Foto de http://haberhabermagdis.blogspot.com.es/

MATRICES E DETERMINANTES

Definición de matriz Chámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular

formada por m filas e n columnas de números reais:

aij representa o elemento que está na fila i e na columna j

o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.

TIPOS DE MATRICES

Matriz fila: ( )naaaa 1131211

Matriz columna:

1

31

21

11

ma

a

a

a

Matriz nula

Matriz cadrada:

TIPOS DE MATRICES

Matriz diagonal:

Matriz unidade ou identidade:

Matriz Triangular:

matriz triangular inferior matriz triangular superior

MATRIZ TRASPOSTA

Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se

obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnas

Matriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = At

Matriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At

SUMA E DIFERENCIA DE MATRICES

non se poden sumar.

A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade Asociativa

A + B = B + A Propiedade conmutativa

Matriz Nula A + 0 = A (0 é a matriz nula)

PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN NÚMERO

PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ

a.(b.A)=(a.b).A

a.(A+B)=a-A+a.B

(a+b).A=a.A+b.A

1.A=A

PROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICES

ASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C).

DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C.

(A+B).C = A.C+B.C..

NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A.

PRODUCTO DE MATRICES

DETERMINANTE DUNHA MATRIZ CADRADA

Determinante de orden 2

Determinante de orden 3

DETERMINANTE DE ORDEN n

MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO.

Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor

complementario do elemento aij ao determinante da

matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j,

designase M ij

Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a

Aij= (-1) i+ j Mij

Defínese determinante de A como a suma dos elementos

dunha liña polos seus respectivos adxuntos.

PROPIEDADES DOS DETERMINANTES

Todas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para columnas.

Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante queda multiplicado por dito número.

Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo.

Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0.

Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0.

Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos que o determinante inicial.

Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía.

Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.

Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou

regular; en caso contrario recibe o nome de singular.

MATRIZ INVERSA

Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada:

método de Gauss

Usando determinantes

Directamente

Chámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outra matriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = In

Unha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seu determinante é distinto de 0

A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A.

Dada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicir

Para elo propoñemos o sistema de ecuacións:

Cálculo Directo da Matriz Inversa

Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss - Jordan

2º.- Triangularizamos a matriz A de arriba a abaixo e realizamos as mesmas operacións na matriz da dereita

Queremos calcular a inversa de

1º.- Escribese a matriz A seguida da matriz identidade,

Como podemos observar o rango da matriz A é máximo (neste caso 3), polo tanto a matriz A ten inversa, ímola calcular

3º.- Triangularizamos a matriz de abaixo a arriba, realizando as mesmas operacións na matriz da dereita

4º.- Por último divídese cada fila polo elemento diagonal correspondiente.

Cálculo da matriz inversa usando determinantes

tadxAA

A )(11 =−

O rango non pode ser maior ao número de filas ou de columnas.

RANGO DUNHA MATRIZ

Chámase “menor” de orden p dunha matriz ao determinante que resulta de eliminar certas filas e columnas ata quedar una matriz cadrada de orden p.

É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de A

Nunha matriz A m×n pode haber varios menores de orden p.Definición:

Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo que se poida formar na matriz.

Consecuencia

As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das dúas primeiras

RANGO DUNHA MATRIZVectores fila dunha matriz:

As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan linealmente de outros. Por exemplo:

As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen linealmente das primeiras

As súas dúas son linealmente independentes

=

2431

5232A

=

43

50

12

31

B

−−=

158

209

351

C

2123 FFF −⋅=

214 FFF +=

312 FFF =−

Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes

Teorema

Nunha matriz o número de filas L.I. coincide co número de columnas L.I.

RANGO DUNHA MATRIZ

Vectores columna dunha matriz:

Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmente independentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir á anterior.

Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas, linealmente independentes.

O rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodos diferentes:

RANGO DUNHA MATRIZ

Polo método de Gauss

Usando Determinantes

Cálculo do rango: método de Gauss

Se se permutan dúas filas o rango non varía

Se se multiplica unha fila por un nº non nulo o rango non varía

Se a unha fila se lle suma ou resta outra paralela o rango non varía

Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss

Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss

Cálculo de rango por determinantes