Matrices en Eigenwaarden

Gertjan Laan Matrices versie 2

1 Matrices

1.1 Wat is een matrix?

Een matrix is een rechthoekige tabel met getallen, en ronde haken erom. Bij-voorbeeld:

(1 2 34 5 6

)of

789

De afmeting van een matrix geef je aan met twee getallen, rk, eerst het aantalrijen, dan het aantal kolommen (rooms katholiek). De linker matrix hierbovenis een 2 3 matrix, de rechter een 3 1 (ook wel kolomvector genoemd).Als voor een matrix M geldt: r = k, dan heet M een vierkante matrix.

1.2 Optellen

Matrices van gelijke grootte kun je bij elkaar optellen:(1 2 34 5 6

)+

(7 8 910 11 12

)=

(8 10 1214 16 18

)

Matrixoptelling is commutatief, dat wil zeggen: A+B = B +A (ga na).

Matrixoptelling is associatief, dat wil zeggen: (A+B) + C = A+ (B + C) (gana).

Opmerking: matrices van ongelijke grootte kun je niet bij elkaar optellen.

1.3 Matrixvermenigvuldiging

Matrices kun je met elkaar vermenigvuldigen. Net als bij optellen stelt ookvermenigvuldigen eisen aan de afmetingen van de matrices. Vermenigvuldigenvan matrix L met matrix M gaat zo:

bepaal het inproduct van de eerste rij van L met de eerste kolom van M(elementen een voor een met elkaar vermenigvuldigen en de uitkomstenoptellen)

bepaal het inproduct van tweede rij van L met de tweede kolom van M etcetera . . .

Bijvoorbeeld:

L M =(

1 2 34 5 6

)a db ec f

= ( a+ 2b+ 3c d+ 2e+ 3f4a+ 5b+ 6c 4d+ 5e+ 6f

)

1


De linker matrix L moet evenveel kolommen hebben als de rechter matrix rijenheeft, anders kan de vermenigvuldiging niet.

Dus als L de afmeting rL kL heeft, en M de afmeting rM kM dan moetkL = rM zijn.

L MrL kL rM

moeten gelijk zijn

kM (1)

Met andere woorden: je kunt alleen matrices L en M met afmeting rL n enn kM met elkaar vermenigvuldigen.De resulterende matrix heeft afmeting rL kM , dat zijn de buitenste getallenin (1).

Matrixvermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, dat wil zeggen:L M 6= M L. L M is hierboven al uitgerekend, en is een 2 2-matrix.Anderzijds is M L een 3 3-matrix:

M L =a db ec f

(1 2 34 5 6

)=

a+ 4d 2a+ 5d 3a+ 6db+ 4e 2b+ 5e 3b+ 6fc+ 4f 2c+ 5f 3c+ 6f

Ook de vermenigvuldiging van vierkante matrices is in het algemeen niet com-mutatief. Bijvoorbeeld, enerzijds is:

(1 23 4

)(

5 67 8

)=

(19 2243 50

)Anderzijds: (

5 67 8

)(

1 23 4

)=

(23 3431 46

)

1.4 Scalaire vermenigvuldiging

Je kunt een matrix met een getal (scalair) vermenigvuldigen:

2 (

1 2 34 5 6

)=

(2 4 68 10 12

)

1.5 Een matrix stelt een afbeelding voor

Een matrix als A =

(1 22 3

)stelt een afbeelding voor.

Bij een afbeelding (of functie) denk ik bijvoorbeeld aan f(x) = x2. Als je voorx een waarde kiest, bijvoorbeeld x = 3, dan is f(3) = 9. Je stopt er 3 in, en erkomt 9 uit. Je kunt er eventueel een grafiek van maken.

2


Hoe zit dat met matrix A? Je vermenigvuldigt A met een vector x, en er komteen andere vector uit: A x = y

Bijvoorbeeld:

(0 11 0

)(

23)

=

(32

)Je kunt hier eventueel een plaatje bij maken (zie opgave 1).

Een 2 2-matrix is een afbeelding van R2 naar R2.Immers, als je een 2 2-matrix vermenigvuldigt met een 2 1-vector, krijg jeeen 2 1-vector.Evenzo is een 3 3-matrix is een afbeelding van R3 naar R3. In het alge-meen nemen vierkante (n n) matrices een belangrijke plaats in, omdat ze eenafbeelding zijn van de ruimte Rn op zichzelf.

Opgave 1. Gegeven is de afbeelding M =(

0 11 0

).

a. Teken de vector(

23)

en zijn beeld onder de afbeelding M .

b. Teken ook de vector ( 11 ) en zijn beeld onder de afbeelding M .

c. Hoe kun je de afbeelding M in woorden omschrijven?

1.6 Eenheidsmatrix

Een vierkante matrix heet eenheidsmatrix als op de hoofddiagonaal allemaalenen staan, in in de rest van de matrix nullen.

De 2 2 eenheidsmatrix:(

1 00 1

)= I2

De 3 3 eenheidsmatrix:1 0 00 1 0

0 0 1

= I3Waarom heet hij eenheidsmatrix? Omdat(

1 00 1

)(a bc d

)=

(a.1 + 0.c 1.b+ 0.d0.a+ 1.c 0.b+ 1.d

)=

(a bc d

)

Dus I2 A = A, als A een willekeurige 2 2-matrix is..Overigens is ook A I2 = A (ondanks het feit dat matrixvermenigvuldiging inhet algemeen niet commutatief is, zie paragraaf 1.3).

En voor een 3 3-matrix B geldt: I3 B = B I3 = B.

1.7 Stelsel lineaire vergelijkingen

Een stelsel lineaire vergelijkingen is makkelijk behulp van een matrix en vectorente schrijven. Neem bijvoorbeeld dit stelsel:

3


{2x+ 3y = 8x+ 4y = 9

(2)

In matrixvorm ziet dit stelsel er zo uit:

(2 31 4

)

coefficientenmatrix

(xy

)

onbekende vector

=

(89

)

bekende vector

(3)

Je kunt gemakkelijk controleren dat (2)) en (3) gelijkwaardig zijn door de ma-trixvermenigvuldiging uit te schrijven.

In het algemeen kun je elk stelsel van de vorm

{ax+ by = pcx+ dy = q

schrijven in de vorm A x = y:

A =

(a bc d

), x =

(xy

)en y =

(pq

)Opmerking : net als bij de gewone vermenigvuldiging wordt bij een matrixver-menigvuldiging de punt vaak weggelaten:

A x = y wordt dan Ax = y.

1.8 Distributiviteit

Er geldt (A en B zijn vierkante matrices, en x is een geschikte vector):

Ax+Bx = (A+B)x

Voorbeeld:

A =

(1 23 4

), B =

(5 67 8

)en x =

(1020

)

Enerzijds is Ax+Bx =

(50110

)+

(170230

)=

(220340

).

Anderzijds is (A+B)x =

(6 810 12

)(1020

)=

(220340

).

1.9 Een matrix is een lineaire afbeelding

Een matrix is een lineaire afbeelding. Dit begrip bestaat uit twee delen: afbeel-ding en lineair.

Het is een afbeelding: je neemt een vector x, vermenigvuldigt die met de matrixA, en er komt een andere vector, zeg y uit. Dit is vergelijkbaar met een functie

4


als f(x) = x2. Je stopt er een getal x in, en er komt een functiewaarde yuit.

We gebruiken voor een matrix soms ook wel de functienotatie:

A(x) = A x

De matrix A toepassen op de vector x betekent vermenigvuldiging van de matrixmet de vector.

Het woord lineair is nogal verwarrend: we kennen het vooral van de lineairefunctie f(x) = ax + b. Maar helaas, er zijn veel lineaire functies die geenlineaire afbeelding zijn. Wat is precies een lineaire afbeelding?

Definitie 1. Een afbeelding A van Rn naar Rn is lineair als hij voor alle vec-toren x en y uit Rn, en voor alle R aan de volgende twee voorwaardenvoldoet:

1. A(x) = Ax

2. A(x+ y) = Ax+Ay

Opgave 2. Ga na dat de functie f(x) = 2x + 1 aan beide voorwaarden nietvoldoet.

Opgave 3. Controleer dat de matrix A =

(2 31 4

)voor = 2 en x =

(56

)en

y =

(78

)aan beide voorwaarden voldoet.

Opgave 4. Toon aan dat de matrix A =

(a bc d

)een lineaire afbeelding is.

Dat wil zeggen: ga na dat voor willekeurige vectoren x =

(x1x2

)en y =

(y1y2

),

en voor een willekeurig getal aan beide voorwaarden is voldaan.

Opgave 5. Voor welke a en b is f(x) = ax+ b een lineaire afbeelding?

Opgave 6. Van een matrix A is bekend dat A

(23

)=

(69

).

a. Wat is dan A

(46

)?

b. En wat is A

(132

)?

5


1.10 Eigenvector

Een eigenvector van een matrix A is een vector x 6= 0 die door A op een veelvoudvan zichzelf wordt afgebeeld.

Voorbeeld:

(1 23 0

)(

11

)=

(33

)= 3

(11

)Dus in dit geval is

(11

)een eigenvector van de matrix A =

(1 23 0

).

De factor 3 heet de eigenwaarde bij deze eigenvector.

Algemeen:x (6= 0) is een eigenvector van A als Ax = x

De waarde heet de eigenwaarde.

Eigenvectoren blijken handig te zijn bij allerlei berekeningen. Je kunt immerseen matrixvermenigvuldiging, Ax, vervangen door een scalaire vermenigvuldi-ging: x.

Opgave 7. Een matrix A heeft de vector e =

(13

)als eigenvector met eigen-

waarde = 2. Toon aan dat elk veelvoud van e ook een eigenvector van A ismet dezelfde eigenwaarde.

1.11 Eigenwaarden en -vectoren bepalen

Een 22-matrix heeft in principe twee verschillende eigenwaarden en -vectoren.een 3 3-matrix drie eigenwaarden en -vectoren, et cetera.

Laten we onderzoeken hoe je van de matrix A =

(2 01 1

)de eigenvectoren en

eigenwaarden kunt bepalen.

Met andere woorden, vind a, b, en zodanig dat(2 01 1

)(ab

)=

(ab

)(4)

Ik zie meteen een oplossing: a = b = 0, dat is een triviale oplossing. Die zoekik niet (een eigenvector mag niet de nulvector zijn).

Verder zoeken dus. Schrijf (4) als stelsel :

{2a = aa+ b = b

(5)

Dit zijn twee vergelijkingen met drie onbekenden. Er is dus een variabele vrijte kiezen. Er zijn veel verschillende manieren om dit op te lossen. Een manierdie doorgaans goed werkt is de volgende:

1. Breng alle termen naar een kant

6


2. Zet gelijksoortige termen bij elkaar

3. Elimineer of a of b uit de vergelijkingen

4. Los de overgebleven vergelijking op, dat wil zeggen: vind waarden voor

5. Bepaal de eigenvectoren

Laten we dit toepassen op (5). Alle termen naar een kant:

{2a a = 0a+ b b = 0 (6)

Gelijksoortige termen bij elkaar:

{(2 )a = 0a+ (1 )b = 0 (7)

Ik kies ervoor a te elimineren, dus ik vermenigvuldig de onderste vergelijkingmet 2 :

{(2 )a = 0(2 )a+ (2 )(1 )b = 0 (8)

De vergelijkingen van elkaar aftrekken levert:

(2 )(1 )b = 0

Hieruit volgt b = 0 of 2 = 0 of 1 = 0.De oplossing b = 0 invullen in (5) levert weer a = 0, de triviale oplossing die ikniet zoek.

Blijft over: = 1 of = 2. Dit zijn de eigenwaarden. Nu nog de eigenvecto-ren.

1. Eigenvector bij = 1.

= 1 invullen in (5): {2a = aa+ b = b

Oftewel: {a = 0b = b

Dus a = 0 en b is vrij te kiezen.

Ik kies bijvoorbeeld b = ( is een willekeurig getal). De eigenvectoren zijn

dus

(0

)De oplossing is dus: de eigenvectoren zijn

(01

), de eigenwaarde is = 1. Vaak

wordt weggelaten en wordt de oplossing zo geschreven:

7


De eigenvector is

(01

)met eigenwaarde = 1.

2. Eigenvector bij = 2.

= 2 invullen in (5) levert: {2a = 2aa+ b = 2b

Oftewel: {a = aa = b

Dus a is vrij te kiezen, en b is gelijk aan a. De oplossing is dus:

(11

), met

eigenwaarde = 2.

Opgave 8. Ga na dat

(11

)en

(01

)inderdaad eigenvectoren zijn van A =(

2 01 1

), met eigenwaarden respectievelijk 2 en 1.

Opgave 9. Bepaal de eigenwaarden en -vectoren van A =

(1 42 1

)

1.12 Stelsels oplossen

De methode uit de vorige paragraaf om eigenwaarden en -vectoren te bepalenis nogal omslachtig. De methode is gebaseerd op de oplossing van een stelsel.Door het oplossen van stelsels te bestuderen kunnen we misschien een slimmeremethode vinden.

Opgave 10. Teken bij elk van de volgende stelsels een plaatje, en los het stelselop.

a. {x1 3x2 = 7

3x1 + 2x2 = 12

b. {x1 3x2 = 7

2x1 6x2 = 14c. {

x1 3x2 = 73x1 9x2 = 10

Opgave 11. Welke conclusies kun je trekken over het aantal oplossingen vanhet volgende stelsel? {

ax1 + bx2 = pcx1 + dx2 = q

8


Hoe kun je aan de coefficienten a, b, c, d en p en q zien dat er geen of oneindigveel oplossingen zijn?

1.13 De determinant

Als de verhouding tussen de coefficienten a en c gelijk is aan die tussen b en dlopen de lijnen ax + by = p en cx + dy = q evenwijdig of vallen ze samen. Er

geldt dana

c=b

d(vooropgesteld dat c en d niet 0 zijn).

Anders opgeschreven: ad bc = 0 (als je het zo opschrijft mogen c en d best 0zijn).

Het getal D = ad bc heet de determinant.Uit de vorige paragraaf weten we:

het stelsel {ax1 + bx2 = pcx1 + dx2 = q

(9)

bestaat uit

1. snijdende lijnen als ad bc 6= 0, en er is dan 1 oplossing2. evenwijdige of samenvallende lijnen als ad bc = 0, en er zijn dan 0 of

veel oplossingen

Opmerking: of er 0 of veel oplossingen zijn hangt af van p en q. Als deverhouding p : q dezelfde is als a : c en b : d, dan vallen de lijnen samen. In datgeval zijn er veel oplossingen. Anders zijn de lijnen evenwijdig en is er geenoplossing.

Gebruikelijke notaties: Schrijf het stelsel (9) met behulp van matrices:

(a bc d

)(x1x2

)=

(pq

)Dan geldt:

detA =

a bc d = ad bc

Als detA = 0 dan zijn er 0 of veel oplossingen.Als detA 6= 0 dan is er 1 oplossing.

1.13.1 3 3-determinant

De uitspraken over de determinant uit de vorige paragraaf gelden ook voorgrotere determinanten dan die van 2-matrices, maar zijn moeilijker te bewij-zen.

De determinant van een 3-matrix A =

a b cd e fg h k

is:9


detA =

a b cd e fg h k

= ae fh k

b d fg k+c d eg h

= a(ekfh)b(dkfg)+c(dheg)(10)

1.14 Determinant en eigenwaarde

Hoe kunnen we de determinant gebruiken om de eigenwaarden te vinden?

Laten we dit proberen met de matrix A =

(a bc d

). We zoeken waarden en

vectoren x 6= 0 zodanig dat Ax = x.Dus {

ax1 + bx2 = x1cx1 + dx2 = x2

Breng alles naar de linkerkant:

{ax1 x1+ bx2 = 0cx1+ dx2 x2 = 0

Ofwel:

{(a )x1+ bx2 = 0cx1+ (d )x2 = 0 (11)

Uit paragraaf 1.12 weten we dat een dergelijk stelsel 0, 1 of oneindig veel oplos-singen kan hebben.

In dit geval is een oplossing duidelijk te zien: de nulvector. Dit stelsel heeftdus precies een (detA 6= 0) of oneindig veel (detA = 0) oplossingen. We zoudengraag zien dat er oneindig veel oplossingen zijn: er zijn immers oneindig veeleigenvectoren. Dat betekent dat de determinant van het stelsel (11) gelijk aan0 moet zijn.

Dus: a bc d = (a )(d ) bc = 0

Deze vergelijking heet de karakteristieke vergelijking. Haakjes uitwerken le-vert:

2 (a+ d)+ ad bc = 0

Het is een kwadratische vergelijking in die in principe twee oplossingen heeft.Twee eigenwaarden dus, en elke eigenwaarde heeft zijn eigen eigenvectoren.

10


Laten we dit toepassen op de matrix A =

(2 01 1

)uit paragraaf 1.11. De

karakteristieke vergelijking is: 2 01 1 = 0

Dus(2 )(1 ) 1 0 = 0

Ofwel:(2 )(1 ) = 0

Dus 1 = 2 en 2 = 1.

Nog een voorbeeld: wat zijn de eigenwaarden en -vectoren van de matrix A =(1 42 1

)uit opgave 9? De karakteristieke vergelijking is:

1 42 1 = 0

Dus(1 )(1 ) 2 4 = 0

Ofwel:1 + + 2 8 = 0

2 9 = 0

Dus 1 = 3 en 2 = 3.De eigenvectoren vind je uit Ax = 3x en uit Ax = 3x.Bijvoorbeeld Ax = 3x: (

1 42 1

)(x1x2

)= 3

(x1x2

){

x1 +4x2 = 3x12x1 x2 = 3x2{

4x2 = 2x12x1 = 4x2{x1 = 2x2x1 = 2x2

Kies bijvoorbeeld x2 = , dan is x1 = 2, dus de eigenvectoren bij 1 zijn:

(21

).

Evenzo vind je de andere eigenvectoren bij = 3.

11


Opgave 12. Vind de eigenwaarden en -vectoren van A =

(7 33 1

).

Opgave 13. Bepaal de eigenwaarden en -vectoren van A =

0 1 11 1 01 0 1

.

Opgave 14. (*) Bepaal de eigenwaarden en -vectoren van A =

2 1 41 2 40 0 1

.1.15 Een basis voor een lineaire ruimte

Voorbeelden van een lineaire ruimtes zijn

1. een rechte lijn door O, bijvoorbeeld de x-as, of R

2. een vlak door O, bijvoorbeeld R2

3. onze ruimte: R3

Een basis voor de R2 is bijvoorbeeld {( 10 ), ( 01 )}. Het woord basis wil zeggen datje door optellen en scalaire vermenigvuldiging van de basisvectoren elke anderevector uit R2 kunt krijgen.

Bijvoorbeeld:(23

)= 2

(10

)+ 3

(01

)of:(10

37

)= 10

(10

)+ 37

(01

)In het algemeen:(ab

)= a

(10

)+ b

(01

)Een uitdrukking als a

(10

)+ b

(01

)heet een lineaire combinatie van

(10

)en(

01

).

Als je alle mogelijke lineaire combinaties van deze twee vectoren opschrijft krijgje alle vectoren van R2. De twee vectoren brengen R2 voort. Ze vormen eenbasis voor R2.

Het grappige is dat dit niet de enige basis is. Je kunt ook een tweetal betrekkelijk

willekeurige vectoren nemen, bijvoorbeeld

(20

)en

(11

). Kun je nu

(23

)of(10

37

)ook als lineaire combinatie schrijven van deze twee?

12


Dan moet gelden: (23

)= a

(20

)+ b

(11

)Ofwel: (

2 10 1

)(ab

)=

(23

)

Dit stelsel heeft precies een oplossing als

2 10 1 6= 0. Nu is 2 10 1

= 2110 = 1.Inderdaad ongelijk aan nul.

Let op: hier moet de determinant ongelijk aan nul zijn, bij de berekening vaneigenwaarden moest de determinant juist wel nul zijn.

Welke vector we in plaats van

(23

)ook nemen, de determinant blijft steeds

hetzelfde.

Conclusie: de vectoren

(20

)en

(11

)vormen een basis voor R2.

In het algemeen geldt dat twee vectoren

(a1a2

)en

(b1b2

)een basis voor R2 vormen

als

a1 a2b1 b2 6= 0.

Dergelijke vectoren heten onafhankelijke vectoren. En als de determinant welnul is heten ze afhankelijk.

1.15.1 Een basis voor R3

Voor R3 heb je een basis nodig van drie onafhankelijke vectoren, bijvoorbeeldde standaardbasis

{(100

),(

010

),(

001

)}.

Of een andere basis van drie onafhankelijke vectoren (dat wil zeggen drie vecto-

ren die niet in hetzelfde vlak liggen), zoals de vectoren{(

100

),(

236

),(

107

)}.

Onafhankelijke vectoren kun je herkennen aan het feit dat de determinant vande matrix die is opgebouwd uit de vectoren ongelijk aan nul is:

1 2 10 3 00 6 7

= 13 06 7

2 0 00 7+ 1 0 30 6

= 21 0 + 0 = 21 6= 0

13


2 Dynamische modellen en matrices

In de syllabus DM2b staat een voorbeeld van een keverpopulatie die bestaat uitJongeren (tot 1 jaar), Volwassenen (tussen 1 en 2 jaar) en Bejaarden (tussen 2en 3 jaar). Niemand wordt ouder dan 3 jaar.

Elke jongere krijgt gemiddeld 0.8 nakomelingen, elke volwassene 2, en elke be-jaarde geen. De overlevingskansen zijn respectievelijk 110 ,

3100 en 0. De volgende

matrix vat deze gegevens samen:

J V B

J45 2 0

V110 0 0

B 0 3100 0

Nu we zo handig zijn met eigenwaarden (zie paragraaf 1.14) ligt het voor dehand eens te kijken wat de eigenwaarden van deze matrix zijn.

Opgave 15. Bepaal de eigenwaarden van deze matrix.

Opgave 16. Bepaal de eigenvectoren bij elk van de eigenwaarden.

2.1 Slim idee

Wat gebeurt er met de keverpopulatie als de tijd verstrijkt? Je begint met een

startpopulatie, zeg s0 =

200080020

.De grootte van de volgende generatie reken je uit door de matrix met deze vectorte vermenigvuldigen: s1 = A s0.En dan opnieuw: s2 = A s1 = A2 s0.. . .

Uiteindelijk krijg je sn = An s0 = An

200080020

Een heel slim idee is nu om de eigenvectoren te gebruiken om Ans0 uit terekenen.

Uit opgave 16 weten we wat de eigenvectoren van de kevermatrix zijn:

001

,10001003

en 4020

3

.

14


Zijn deze drie vectoren onafhankelijk? De determinant geeft antwoord.0 1000 400 100 201 3 3

= 0 10000 201 3

+ 40 0 1001 3 = 20000 4000 6= 0

Ze zijn onafhankelijk en de drie eigenvectoren vormen dus een basis voor R3.Dat betekent dat je elke vector uit R3 kunt schrijven als lineaire combinatie vande drie eigenvectoren. Dus ook de startvector s0:

s0 =

200080020

= c100

1

+ c21000100

3

+ c3 4020

3

(12)Dus As0 is hetzelfde als:

A

c100

1

+ c21000100

3

+ c3 4020

3

Omdat A lineair is (zie definitie 1 eigenschap 2), is dit hetzelfde als:

s1 = A(c1

001

) +A(c21000100

3

) +A(c3 4020

3

)En wederom omdat A lineair is (zie definitie 1 eigenschap 1), is dit hetzelfdeals:

s1 = c1A

001

+ c2A1000100

3

+ c3A 4020

3

Aangezien de drie vectoren eigenvectoren zijn, met eigenwaarden 0, 1 en 15(zie 15) is dit hetzelfde als:

s1 = c1 000

1

+ c2 11000100

3

+ c3 15

40203

Oftewel:

s1 = c2

10001003

+15c3

40203

Opnieuw A toepassen levert:

s2 = A(c2

10001003

+15c3

40203

)

15


En dit is gelijk aan:

s2 = c2

10001003

+ (15

)2c3

40203

Dus op den duur:

sn = c2

10001003

+ (15

)nc3

40203

Het is duidelijk dat

( 15)n erg klein wordt voor grote n, waardoor de laatsteterm verwaarloosbaar klein wordt.

Conclusie:

sn = An

200080020

' c21000100

3

Uit dit hele verhaal volgt dat de populatie altijd groeit naar een vaste verhouding200:100:3. De waarde van c2 hangt af van de keuze van de startvector.

2.1.1 Het berekenen van c2

De waarde van c2 kun je vinden uit (12), dat wil zeggen door het volgende stelselop te lossen:

c1

001

+ c21000100

3

+ c3 4020

3

=2000800

20

Dit is gelijkwaardig met: 1000c2 +40c3 = 2000100c2 20c3 = 800

c1+ 3c2 +3c3 = 20

Beetje vereenvoudigen: 25c2 +c3 = 505c2 c3 = 40c1+ 3c2 +3c3 = 20

Eerste twee rijen bij elkaar optellen levert 30c2 = 90, dus c2 = 3.

Dus voor de keverpopulatie geldt:

sn = An

200080020

' 31000100

3

=3000300

9

16


2.2 Samenvatting

Een (Leslie)matrix A is een vierkante matrix en is een lineaire afbeelding. Inprincipe heeft een m m-matrix m eigenwaarden, zeg 1 tot en met m en monafhankelijke eigenvectoren, zeg e1 tot en met em. Deze vectoren vormen eenbasis voor Rm.

Het groeien van de populatie kun je berekenen door een startvector s0 herhaaldmet de matrix A te vermenigvuldigen.

Als de eigenvectoren een basis vormen kun je de startvector s0 schrijven alslineaire combinatie van de eigenvectoren.

Dus:s0 = c1e1 + . . .+ cmem

Het gevolg is dat je de vermenigvuldiging As0 kunt herschrijven met behulp vaneigenwaarden en -vectoren:

As0 = A(c1e1 + . . .+ cmem)

Omdat A een lineaire afbeelding is, en omdat het in deze uitdrukking om eigen-vectoren gaat, geldt:

As0 = c11e1 + . . .+ cmmem

Evenzo geldt:Ans0 = c1

n1 e1 + . . .+ cm

nmem

Het ontwikkelen van de populatie wordt dus vooral bepaald door de eigenwaar-den:

1. Als |i| < 1, dan zal ni erg klein worden, en zal de betreffende term opden duur verwaarloosbaar klein worden.

2. Als |i| = 1, dan blijft ni gelijk aan 1, en zal de betreffende term een rolblijven spelen.

3. Als |i| > 1, dan zal ni erg groot worden, en zal de betreffende term, endaardoor de populatie, onbeperkt groeien.

Het is dus vooral eigenwaarde met de grootste absolute waarde die het gedragvan de populatie bepaalt. Deze heet dan ook de dominante eigenwaarde.

De eigenvector die bij de dominante eigenwaarde hoort bepaalt de verhoudingtussen de leeftijdsklassen op lange termijn.

De startvector is niet van invloed op de verhouding tussen leeftijdsklassen oplange termijn, wel op de absolute aantallen binnen die klassen.

17

Documents

Matrices en Eigenwaarden