UNIDAD 1 MATRICES

DOC. ING. VALENTIN FLORES GUZMAN

Materia : Algebra Lineal

Sigla : MAT – 103Universidad Autónoma Gabriel René Moreno

valentinfloresguzman@gmail.com

Universidad Autónoma

¨Gabriel René Moreno¨

DEFINICIÓN: Se define una matriz como una ordenación

de números colocados en filas y columnas encerrado entre paréntesis o corchetes, el orden, tamaño o forma de una matriz depende del número de filas y numero de columnas que tenga.

Las matrices se simbolizan con letras mayúsculas generalmente las primeras letras del alfabeto.

Los elementos de las matrices pueden pertenecer a cualquier conjunto numérico tales como número entero, racional o complejo.

DEFINICIÓN:

Los elementos de las matrices se representan por letras minúsculas con dos subíndices de posición, el primer subíndice indica la fila en la que se encuentra el elemento y el segundo subíndice indica la columna en la que se encuentra el elemento.

4

MATRICES

Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis.Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas

4

1

2

0

5

3

AEjemplo:

Es una matriz de 3 filas y 2 columnas

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas.

Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2

5

nxmmnmm

n

n

a...aa.

.

.

.a...aa

a...aa

A

21

22221

11211Donde:

aij : es el elemento o entrada

general ubicado en la fila “i” , columna j

A = [ aij ]m x n

Donde:

aij : es el elemento o entrada general

i = 1, 2, 3, ….., m

j = 1, 2, 3, ….., n

REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n

REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n

6

Es una matriz que tiene sólo una fila

Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 5

Es una matriz que tiene sólo una columna

Ejemplo:

131

0

2

x

C

- Matriz fila o Vector fila

- Matriz columna o Vector columna

7

Construcción de una Matriz

Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información:

a21 = -6

a12 = 4

a11 = 0

a23 = 1

a13 = -2

a22 = 5

A

Fila 1

Fila 2

Col. 1 Col. 2 Col. 3

-6

40

1

-2

5

Solución:

8

Construir la siguiente matriz:

A = [ aij ]2x3 tal que:

jiSi,ji

jiSi,jiaij

2

2

A

a11 =

a12 =

a13 =

a21 =

a22 =

a23 =

Solución:

Col. 1 Col. 2 Col. 3

Fila 1

Fila 2

1

3/2

2

3/2

2

5/2

1 3/2 2

3/2 2 5/2

Construcción de una Matriz

IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices son iguales si tienen la misma forma o tamaño

y sus elementos correspondientes son iguales:

MATRIZ CERO

Una matriz cuyo elementos son todos iguales a cero, tiene el nombre de matriz cero, se representa con una O mayúscula

SUMA ALGEBRAICA DE MATRICES

Para sumar algebraicamente 2 o más matrices es necesario que l orden de la matriz sea igual para todos, caso contario no se puede realizar la operación.

La suma de dos matrices del mismo orden da como resultado otra matriz de orden de las matrices operadas, los elementos de la matriz resultante se obtienen al sumar algebraicamente los elementos correspondientes de las matrices operadas.

Ejemplo:

PROPIEDAD DE LA SUMA DE MATRICESA, B, C ɛ Reales

1.- Operación binaria interna

A + B = ɛ R

2.- Asociativa

(A+B) + C= A + (B+C)

3.- Elemento neutro (0)

A + 0 = A

4.- Inversa (-)

A + (-A) = 0

5.- Conmutativa

A + B = B+ A

SUMA ALGEBRAICA DE MATRICESEjemplo:

Ejemplo:

                                                      

Sin embargo,                            no se pueden sumar.

Suma de matrices

La suma de dos matrices A y B de la misma dimensión, es otra matriz S de la misma dimensión que los sumandos y con términos genéricos S= aij + Bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

Ejemplo: hallar la suma de A+ B

14

Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces al sumar o restar estas matrices se obtiene una matriz de orden m x n, sumando o restando los correspondientes elementos de A y B, es decir:

A B =[aij bij]mxn

Ejemplos:

2x32x3 12

52

87

810

50

32

2x3712

02

55

89

31

92

43

15 No se pueden sumar ya que las matrices son de diferente orden

2x22x2 39

75

14

32

2x2413

107

SUMA O RESTA DE MATRICES

SUMA ALGEBRAICA DE MATRICESEjercicios :

a) A+B=C

b) A+B=C

A

SUMA ALGEBRAICA DE MATRICESEjercicios :

a) A+B=C

B) A+B=C

C) A+B=C

764

876

903

A

465

330

154

B

764

876

903

A

46/15

33/10

15/24/1

B

7/264/1

8/174/6

9/102/5

A

465

330

154

B

MULTIPLICACION O PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Se define como un escalar a cualquier número real y se simboliza por la letra (K ó L) ɛ a los números reales.

La multiplicación de un escalar por una matriz da como resultado otra matriz del mismo orden de la matriz multiplicada, los elementos de la matriz resultantes se obtienen al multiplicar los elementos por el escalar.

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

K, L ɛ Reales

1.- Distributiva

K (A+B) = K.A + K.B

2.- Distributiva para suma de un escalar

(K + ) A = K.A + l A

3.- Asociativa

K (lA) = (K l) A

19

1. k(A + B) = kA + kB

2. (k1 + k2)A = k1A + k2A

3. k1(k2A) = (k1k2)A

4. 0A = O

5. kO = O

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Sea una matriz

y

un escalar,

el producto se define como

para todo ,

ij

ijij

a m n

r

r

r ra

i j

A

A

A

21

Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces kA es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k, es decir:

kA =[ kaij ]mxn

Ejemplo:

704

1532

1408

2106

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.

.

.

...

1,2,..., 1,2,...,

n

n

m m mn

ij

ra ra ra

ra ra ra

r

ra ra ra

r ra i m j n

A

A

Ejemplo :

A = encentre 4 x A

Practico :

A = encentre 4 x A

A = encentre 1/2 x A

A = encentre 3/2 x A

A = encentre -1/2 x A

1408

2106

1408

2106

23712

02

55

x

704

153

MULTIPLICACION DE MATRICES

Para multiplicar una matriz A por una matriz B es necesario que el número de columna de A sea igual al número de filas de B, caso contrario no se puede realizar la operación.

a)

b)

c)

se puede hacer este producto, perono se puede hacer

es una matriz

es una matriz

MULTIPLICACION DE MATRICES

La multiplicación de A x B, da como resultado una matriz C que tiene la filas de A y columnas de B.

El elemento de la matriz C es igual a la sumatoria de a fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B.

 

Ejemplo:

Multiplicación de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

. .

. .

. .

... ...

n s

n s

m m mn n n ns

a a a b b b

a a a b b b

a a a b b b

m n n s

A B

1

n

ij jkikj

a b

m s

AB

1

n

ij jkikj

a b

m s

AB

La multiplicación no es conmutativa

El número de columnas del primer factor

debe ser igual al número de renglones del

segundo factor

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES1.- Distributiva P/izquierdaA(B+ C) = AB + AC2.- Distributiva P/derecha(A+B) = AC+BC3.- Asociativa(AB) C = A(BC)4.- Si AB=0, no necesariamente A=0 ó B=05.- Si AB=AC , no necesariamente B=C6.- No es conmutativa AB ≠ BA

Si , , son matrices

Si es un número

Claro, siempre y cuando las sumas y los

productos puedan realizarse

r

r r

A B C

A B + C = AB + AC

A B AB

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES

Si , , son matrices tales que y pueden

ser multiplicadas y y pueden ser multiplicadas.

Entonces , pueden ser multiplicadas.

También , y se tiene

A B C A B

B C

A BC

AB C

AB C = A BC

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES

1 0

2 3

13

12

2221

1211

cc

cc

1)(31)(23)(32)(2

1)(01)(13)(02)(1

513

12

X =

=

=

Matriz nueva

A B

Linear Algebra & Matrices, MfD 2009

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES

0 2 1 2 6 2

1 3 3 1 8 1

1 2 0 2 2 8

3 1 1 3 1 9

1 2 0 2

3 1 1 3

0 2 1 2

1 3 3 1

¡La multiplicación de matricesno es conmutativa!

31 1 1 3 1 2

1 2 2 1 1 1

52

2

3 1 3 13 3 31 1

2 1 2 1

1 1

2

2

2 2

2 2

3 4 1 51 3

1 2 3 51 1

2 1 1

3 2 2 2 3 2

5

3 41 3

1 21 1

2 1

?

No se pueden multiplicarEl número de columnas del primer factor debe ser igual al número de renglones del segundo factor

Matriz transpuesta: La matriz transpuesta de A (A es una matriz cualquiera), se representa por At. Esta se obtiene cambiando renglones por columnas. El primer renglón de A es la primera columna de At , el segundo renglón de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n ´ m.

809

64132xA

86

04

91

23txA

Matriz transpuesta

Operaciones elementales sobre las filas de una matriz:MATRIZ EQUIVALENTE:Una matriz “A” se dice que es equivalente a una matriz “B” si la matriz “B” se obtiene a partir de la matriz “A” mediante operaciones elementales de fila, las operaciones elementales de fila, son la sgts.:

1º Operación elementalConsiste en intercambiar fila, se representa de la siguiente manera:

⇔

⇔

A = ≅

2º Operación elemental Consiste en multiplicar una fila por un escalar distinto de cero, se presenta de la siguiente manera:

→ K ; K ≠0

↔ -3

≅

Operaciones elementales sobre las filas de una matriz:

3º Operación elementalConsiste en reemplazar una fila por otra fila multiplicada por un escalar y sumada a la fila a reemplazar, se representa de la siguiente manera:

→ K≠

→2

≅

-4 5 -1 -1 -> fila

4º Operación elementalConsiste en reemplazar una fila por otra fila multiplicada por un escalar y sumada a la fila a reemplazar multiplicada por otro escalar, se representa de la siguiente manera:

→K

≅

Ejemplo:

↔ →3 →-2

B= ≅ ≅

 

 

MATRIZ ELEMENTALSi en una matriz identidad se realiza una operación elemental, se obtiene una matriz elemental:

I = =

→3

I = =

MATRIZ ESCALONADAUna matriz cualquiera se dice que es escalonada o que está en su forma escalonada si el número de cero a partir de la prima componente distinta de cero, de una fila van aumentando fila por fila hasta llegar a filas en las que todos los componentes sean cero siempre y cuando lo tuviera:

Elemento distinguido