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CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Matrices y determinantes
1
MATRICES Y DETERMINANTES
1. Definición de matriz. 2. Tipos de matrices. 3. Suma de matrices. 4. Producto de un número real por una matriz. 5. Producto de matrices. 6. Ejercicios 7. Determinante de una matriz. 8. Menor complementario y adjunto. 9. Propiedades de los determinantes. 10. Cálculo de determinantes de cualquier orden. 11. La matriz inversa mediante determinantes. 12. Rango de una matriz mediante determinantes.
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
EJEMPLO:
130121
A
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un
elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.
mnmm
n
mxn
aaa
aaaA
.......................................................
....................
21
11211
En el ejemplo: la matriz A es de orden 2x3 El elemento a13 = 1, a22 = 3, a21 = 0 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. 2. TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: Es una matriz constituida por una sola fila. 102
Matriz columna: Es una matriz con una sola columna.
12
01
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Matrices y determinantes
2
Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada: La que tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
120231
201 Es una matriz de orden 3
Diagonal principal
Matriz nula: “O” Todos los elementos son nulos.
Matriz triangular superior: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.
100030311
Matriz triangular inferior: Los elementos situados por encima de la diagonal
principal son 0.
312001́002
Matriz diagonal: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la
diagonal principal son nulos.
3000010000200001
Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales.
2000020000200002
Matriz identidad o unidad: “I” Es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales a 1.
I =
100010001
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Matrices y determinantes
3
Matriz transpuesta: “At” Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
422301
420231 tAA
PROPIEDADES: (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α · A)t = α· At (A · B)t = Bt · At
Matriz idempotente: Si A2 = A. Matriz involutiva:Si A2 = I. Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = At. Una matriz es
simétrica si es cuadrada y el elemento aij es igual al elemento aji
231302121
231302121
tAA
Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A =
- At. La matriz debe ser cuadrada y aij = - aji, por tanto los elementos de la diagonal aii deben ser nulos
AAA t
031302120
031302120
Matriz ortogonal: Si verifica: A·At= I 3. SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).
Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
032324
113002211331
232142
113002211331
130213
102131
BA
BA
B
A
PROPIEDADES
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + O = A Elemento opuesto: A + (-A) = O Conmutativa: A + B = B + A
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4
4. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k: kA=(k aij)
Es decir, todos los elementos de A quedan multiplicados por k
6393
32131
AA
PROPIEDADES
a · (b · A) = (a · b) · A AMmxn, a, b a · (A+B) = a · A + a · B A,BMmxn a (a+b)·A = a·A + b·A A Mmxn a, b 1 · A = A A Mmxn
5. PRODUCTO DE MATRICES
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mmxn x Mnxp = Mmxp El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Es decir, se multiplica cada fila de A por cada columna de B como si fuese un producto escalar de vectores
8111714
910192610162
)3,1)(3,1()0,1)(3,1()3,2)(3,1()3,1)(2,1()0,1)(2,1()3,2)(2,1(
303112
3121
BAB
A
PROPIEDADES
Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A · I = A No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C
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6. EJERCICIOS
1. Dadas las matrices:
122013121
A y
231214
013B
Calcular:
A + B; A - B; A.B; B.A; At.
2. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:
011101110
A
3. Sea A la matriz
100010101
. Hallar An , para n
4. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
101234
3
012221
2
BA
BA
5. Sean las matrices:
122013121
A
231214
013B
123111
211C
Efectuar las siguientes operaciones: (A + B)2; (A - B)2; (B)3; A·Bt·C.
6. Sean las matrices:
230121
A
1321
B
120121
C
a) Justificar si son posibles los siguientes productos: (At·B)·C (B·Ct)·At
b) Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A·M·C c) Determina la dimensión de M para que Ct·M sea una matriz cuadrada.
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7. CONCEPTO DE DETERMINANTE Es un escalar que se asigna a cada matriz cuadrada A. Se expresa como |A| o det (A).
DETERMINANTE DE ORDEN UNO |a11| = a11 55 22 DETERMINANTE DE ORDEN DOS
743)2(2131223
211222112221
1211
aaaaaaaa
DETERMINANTE DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32) Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Regla de Sarrous
Pierre Sarrous (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3:
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria
y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Ejemplo
15161)0106(405
101512213212013511502111
321
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8. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO MENOR COMPLEMENARIO αij Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
8)4(42412
124201312
23
ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE Aij Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario multiplicado por (- 1)i+j , es decir, anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es – si i+j es impar.
8)4(42412
2412
)1(124201312
3223
A
CALCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: Ejemplo
23)12(11)1002()308(
23)5(1)2(0)9(21213
14253
04151
21
23)1(2)1(3)9(25110
24110
34151
21
412513102
SARROUS
FILA
COLUMNA
9. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales. |At|= |A|
2. |A|=0 si posee dos líneas paralelas iguales 0212103212 A (la fila 1 y 3 son iguales)
3. |A|=0 si todos los elementos de una línea son nulos 0000103212 A
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4. |A|=0 si los elementos de una línea son combinación lineal de las otras
0315103212 A (F3 = F1 + F2)
5. En una matriz triangular el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
40542512043002
A
6. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.
103031212
031103212
(se ha cambiado la fila 2 con la 3)
7. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
15321701814089902211721
15161)0106(405502111
321
a la C3 se le ha sumado 2C1 + C2
8. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.
2
1
3502131
361
3502111
963
502111
3213
C
F
9. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.
102
341
102
341
102
341fdbecafedcba
10. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes: |A·B| =|A|·|B|
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10. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE DE CUALQUIER ORDEN Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por
elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).
1123230822176326332
2. En caso negativo podemos hacer dos cosas: o Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos
nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).
322353082476336332
F2 = F2 – F1
322353082413016332
o Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe: común en una línea de uno de sus elementos.
3251304276316331
2
3252304476326332
hemos dividido la F1 entre dos y lo hemos sacado fuera
3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los
elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.
14
13
12
2
3251304276316331
2FFFFFF
31209620
13006331
2
4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de
orden inferior en una unidad al original.
116)58(2312962
13012
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11. MATRIZ INVERSA La matriz inversa de una matriz cuadrada, es otra matriz que cumple que:
A · A-1 = A-1 · A = I No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Para que exista la matriz inversa de A su determinante tiene que ser distinto de cero:
A-1 existe si 0A PROPIEDADES
1. (A · B)-1 = B-1 · A-1 2. (A-1)-1 = A 3. (k · A)-1 = k-1 · A-1
4. (A t)-1 = (A -1)t CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA
tdAA
A 11 , siendo Ad la matriz formada por los adjuntos de los elementos de A
EJEMPLO 3)000(300115003102
115003102
AA
Hallamos los adjuntos de cada elemento:
01100
11 A 31503
12 A 31503
13 A
11110
21 A 31512
22 A 21502
23 A
00010
31 A 30312
32 A 00302
33 A
030231
330dA
Calculamos la transpuesta de la matriz adjunta.
023333010
tdA
La matriz inversa se obtiene dividiendo todos los elementos de (Ad)t entre el determinante de A.
0321
111
0110
311 tdAA
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12. RANGO DE UNA MATRIZ
Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición, se puede calcular usando el método de Gauss.
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada de determinante no nulo. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
411017123
701115232312
B
1. Podemos descartar una línea si:. Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras:
c3 = c1 + c2
4101723
711123212
411017123
701115232312
2. Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de mayor orden posible, si hay alguno distinto de cero, el orden de la submatriz es el rango de B
0711
123212
0410
123212
01723
711212
0410711
212
…
Son todos nulos, por tanto el determinante es menor que 3. 3. Buscamos si hay alguna submatriz de orden 2 cuyo determinante sea no nulo:
01342312
rango = 2
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CÁLCULO POR EL MÉTODO DE GAUSS Podemos descartar una línea si:
Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.
En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. EJEMPLOS: 1.
21101223121
122504
123
051450000046242
1101223121
rgCFFF
FFF
C
2.
3
1310347000001241
123132
13101012361231241
rgDFFFF
D