Matriks

Oleh: Lailatul Husniah, S.ST

Page 2

Tujuan

Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu :Menjelaskan konsep MatrikMenunjukkan model matrik Identitas, Invers matrik, Transpose matrik, dan matrik Elementer, dan matrik dengan bentuk khusus

Page 3

TopikMatriks :

– Definisi matriks– Matriks Identitas– Invers matrik– Transpose matrik– Matrik Elementer

Page 4

Definisi Matriks

Sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks yang disebut skalar.

Semua entri adalah bilangan riel atau kompleks.

Ukuran Matriks dapat dinyatakan dengan banyaknya baris (garis horisontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

Page 5

Notasi Matriks dan Terminologi(1/2)

Secara umum matriks A m x n

adalah entri dalam baris i dan kolom j dari matriks A. adalah bilangan riel yang disebut sebagai skalar.

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...

... ...

21

22221

11211

ijij Aa or

ija

Page 6

Matriks A dengan n baris dan n kolom disebut matriks kuadrat berorde n (square matrix of order n), dan entri-entri dikatakan berada pada diagonal utama (main diagonal) dari A.

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

...

... ...

21

22221

11211

nnaaa ,,, 2211

Notasi Matriks dan Terminologi(2/2)

Page 7

Equality of Matrices

Dua Matriks dikatakan sama jika:– Mempunyai ukuran yang sama

– Entri-entri yang bersangkutan dalam dua matriks sama

Contoh:

– Jika x=5, maka A=B.– Untuk semua nilai x yang lain, maka A≠B.

– A ≠ C karena A dan C mempunyai ukuran berbeda itu juga berlaku untuk B ≠ C .

043012

,5312

,3

12CB

xA

Matriks Satuan(Identity Matrices)

Page 9

Definisi Matriks satuan = matriks berorde nxn, dimana

Contoh:

Jika A adalah matriks m×n, maka A = A and A = A Sangat mirip dengan peranan bilangan 1 dalam hubungan numerik : a x 1 = 1 x a = a .

nI mI

)( ijI

jiji

ij jika 0 jika 1

)(

Page 10

Contoh 1

mInIJadi : A = A dan A = A

A 100010001

dan

A 1001

Maka

Matriks

232221

131211

232221

1312113

232221

131211

232221

1312112

232221

131211

aaaaaa

aaaaaa

AI

aaaaaa

aaaaaa

AI

nmaaaaaa

A

Page 11

Contoh 2

810362143

100010001

810362143

dan

810362143

810362143

100010001

3n

Pada umumnya, jika B adalah sebarang matriks mxn dan C sebarang matriks nxr, maka: BI = B dan IC = C

Invers Matrik

Page 13

Suatu matriks A berorde nxn dikatakan tak singular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga AB = BA = I

Matriks B disebut invers perkalian dari A

Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers perkalian.

Notasi:1AB

Definisi

Page 14

Contoh 1

IBA

IAB

AB

1001

3152

2153

dan

1001

2153

3152

Karena

3152

dari inversadalah 2153

Matriks

Page 15

Contoh 2

Jadi,

00

0001

:maka 2,2 matriks sembarangadalah jika Karena, invers. memilikiTidak

0001

Matriks

21

11

2221

1211

IBA

Ibb

bbbb

BA

B

A

Page 16

Apakah sebuah matriks yang dapat dibalik dapat memiliki lebih dari 1 invers?– Jawab : Tidak

Teorema yang mendukung:– Teorema 1

– Teorema 2

– Teorema 3

Page 17

Teorema 1

Jika B dan C kedua-duanye adalah invers dari matriks A, maka B=C Karena BA = I dan AC = I maka B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Sehingga

IAAIAA dan 11

Page 18

Teorema 2

1

0 jikadibalik Dapat

Matriks

1

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA

bcad

dcba

A

Page 19

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan ukurannya sama, maka AB dapat dibalik dan:

111 ABAB

Teorema 3

Page 20

Contoh

27

29

34

1123

23111

dan27

29

34)(A

23111

1123

:didapatkan 2, teoremadalam rumusn menggunakaDengan

8967

A 2223

3121

Matriks

11

111

AB

BBA

BBA

Teorema 3 terbukti

Page 21

Definisi

Jika A adalah matriks kuadrat dan k adalah bilangan bulat positif, maka:

Jika A dapat dibalik, maka:

IA

AAAAk

k

0

kali

....

kali

1111 ...)(k

kk AAAAA

Page 22

Jika A invertible matriks, maka :

Teorema 4

Page 23

Jika A adalah matriks kuadrat dimana r dan s adalah bilangan bulat positif, maka berlaku hukum eksponen berikut:

rssrsrsr AAAAA ,

Teorema 5

Page 24

Contoh

Page 25

Metode untuk mencari invers matriks

Untuk mencari invers sebuah matriks A yan invertible, maka harus mencari urutan OBE yang mereduksi matriks A ke matriks satuan dan melakukan Operasi yang sama pada In untuk mendapatkan A-1.

Contoh: carilah invers dari

801352321

A

Page 26

B2 = B2-2B1B3 = B3-B1Lihat elemen pada (2,2)? 1 Jika tidak Jadikan 1

B3 + 2B2

Contoh 2/3 Menggunakan OBE untuk mencari 1A

B3 = B3*(-1)

Next page

Page 27

Contoh 3/3 Menggunkan OBE Untuk mencari 1A

B1 = B1-3B3B2 = B2+3B3

B1 = B1-2B2B2 = B2+3B3

Page 28

ContohMatriks yang tidak memiliki Invers

Transpose Matriks

Page 30

Definisi

Transpose dari matriks A berorde m x n adalah matriks B berorde n x m dimana:

Dinyatakan oleh

ijji ab

TA

Page 31

Contoh

3221

maka ,3221

Jika

521232143-

maka ,521234123-

Jika

635241

maka ,654321

Jika

T

T

T

CC

BB

AA

Matriks C dikatakan Simetris Suatu matriks A dikatakan simetris jika atau aij = aji AAT

Page 32

Aturan2 Aljabar untuk Transpose

TTT

TTT

TT

TT

ABAB

BABA

kkAkA

AA

)( .4

)( .3

skalarbilangan adalah ,)( .2

)( .1

Ada 4 aturan yaitu:

Page 33

Jika A adalah invertible matriks ,maka adalah invertible dan

TT AA 11

TA

Teorema 6

Page 34

contoh

Matriks Elementer

Page 36

Definisi

Sebuah matriks n x n disebut matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dari matriks identitas n x n yaitu dengan melakukan Operasi Baris Elementer tunggal.

Contoh:

nI

100010001

100010301

0010010010000001

30

01

Kalikan baris 2 dr I2 dgn -3

Tukarkan baris 2 dan baris 4 dr I4

Tambahkan 3x baris 3 dr I3 ke baris 1

Kalikan baris 1 dari I3 dgn 1

Page 37

Operasi Invers pada Matriks Elementer

OBE pada I yang menghasilkan E OBE pada E yang menghasilkan IKalikan baris i dengan c ≠0 Kalikan baris i dengan 1/cTukarkan baris i dengan baris j Tukarkan baris i dengan baris j

Tambahkan c kali baris i ke baris j Tambahkan -c kali baris i ke baris j

Page 38

Contoh

Page 39

Teorema 7

Setiap matriks Elementer dapat dibalik (invertible), dan inversnya juga sebuah matriks elementer

Jadi, matriks elementer E0 adalah invers dari E

Matriks yang diperoleh dari matriks yang lain dengan urutan terhingga dari OBE disebut ekivalen baris (row equivalent)

IEEIEE 00 dan

Matriks Diagonal dan Segitiga

Page 41

Matriks Dengan bentuk Khusus

Matriks A(n n) bujur sangkar, artinya banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A

Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar adalah :• Matriks diagonal D

• Matriks segi-3 atas

• Matriks segi-3 bawah

• Matriks simetrik

Page 42

Matriks Diagonal

Matriks diagonal D: aij = 0 untuk i j

Semua matriks diagonal adalah matriks segitiga atas dan metriks sigitiga bawah

nnn d

dd

d

a

aa

a

0000...............000000000000

0000...............000000000000

3

2

1

33

22

11

Page 43

Matriks segitiga 1/2

Matriks segitiga atas: aij = 0 untuk i > j

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

...000...............

...00

...0

...

333

22322

1131211

Page 44

Matriks segitiga 2/2

Matriks segitiga bawah: aij = 0 untuk i < j

nnnnn aaaa

aaaaa

a

..................0...0...00...00

321

333231

2221

11

Page 45

Referensi

Leon, Steven J., ”Aljabar Linier dan Aplikasinya”, Edisi kelima, Jakarta: Erlangga, 2001

Anton, Howard, ”Elementary Linier Algebra”, 8th ed, United States of America: John Wiley and Sons, Inc, 2000

Anton, Howard; Rorres, Chris, “Elementary Linear Algebra.ppt”