Upload
bobon
View
70
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
matematika
Citation preview
Matriks 1
@by:MurtiAstuti
MATRIKS
PENGERTIAN MATRIKS
Matriks adalah beberapa elemen yang disajikan dalam bentuk jajaran segiempat yang
terdiri dari m baris dan n kolom.
Misalkan matriks A =
06423
13131
01502
REPRESENTASI MATRIKS
Secara umum, suatu matriks dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
A = Amxn =
mnm2m1
2n2221
1n1211
a..........aa
..............
a..........aa
a..........aa
aij = elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A ; i = 1, 2, 3, , m
j = 1, 2, 3, , n
Jajaran mendatar disebut baris. Jajaran vertikal disebut kolom
Matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks mxn, ditulis Amxn
Notasi Matriks :
Suatu matriks bisa ditulis dengan notasi :
- Huruf besar : A, B, C, .
- Huruf besar dengan indeks ukuran matriks, misalnya : Amxn ; Bnxp ; ..
- Huruf besar dengan notasi elemen : A = [aij] , dengan i = 1, 2, , m
j = 1, 2, , n
Matriks baris (vektor baris) matriks yang hanya terdiri dari satu baris
Matriks kolom (vektor kolom) matriks yang terdiri dari satu kolom.
Notasi untuk matriks baris atau kolom biasanya ditulis dengan huruf kecil yang
dicetak tebal.
Misalnya :
a = [ a1 a2 an ] matriks baris yang terdiri dari n kolom
b =
m
2
1
b
:
b
b
matriks kolom yang terdiri dari m baris
Matriks Bujur Sangkar matriks dengan banyak baris = banyak kolom
Matriks bujur sangkar nxn dikatakan mempunyai orde atau ordo n.
Matriks 2
@by:MurtiAstuti
Contoh : A2x2 =
20
31 matriks bujur sangkar berordo 2
Jika diberikan matriks Amxn , maka sub-matriks dari Amxn adalah sembarang matriks
yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris atau kolom dari matriks Amxn
Misal :
Matriks A2x3 =
232221
131211
aaaaaa
mempunyai 3 buah sub-matriks 2x2 sebagai berikut :
2221
1211
aaaa
;
2321
1311
aaaa
;
2322
1312
aaaa
Matriks padat (fully populated) matriks yang semua elemennya tidak nol
Matriks jarang (sparse matrix) matriks yang sebagian kecil elemennya tidak nol
dan elemen lainnya nol.
Matriks nol (null matrix) adalah matriks dengan semua elemen nol, dinotasikan
dengan 0mxn
OPERASI ALJABAR DALAM MATRIKS
1. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika ordonya sama dan aij = bij , untuk
i = 1, 2, 3, , m dan j = 1, 2, 3, , n
dan ditulis dengan
Contoh : A =
2221
1211
aaaa
dikatakan sama dengan B =
1304
Jika dan hanya jika : a11 = 4 ; a12 = 0 ; a21 = 3 . a22 = -1
2. Penjumlahan Matriks
Penjumlahan 2 matriks hanya bisa dilakukan jika keduanya mempunyai ordo sama.
Jika A = Amxn = [aij] dan B = Bmxn = [bij] ; maka
A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij]
i = 1, 2, , m j = 1, 2, , n
Contoh : A =
1364
; B =
1315
; maka : A + B =
2659
A = B atau [aij] = [bij]
Matriks 3
@by:MurtiAstuti
3. Invers Terhadap Operasi Penjumlahan (additive inverse)
Jika A = [aij] , maka A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap
elemen dari matriks A dengan 1.
A = [aij] = [aij]
Contoh : Jika A =
1364
; maka A =
1364
4. Pengurangan Matriks
Pengurangan dua matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks mempunyai ordo
yang sama. Jika A = Amxn = [aij] dan B = Bmxn = [bij] ; maka
A - B = A + (-B) = [aij] + [-bij] = [aij - bij]
i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n
Contoh : A =
1364
; B =
1315
; maka : A B =
00 71
Sifat-sifat penjumlahan matriks :
a. A + B = B + A ( sifat komutatif)
b. (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (sifat asosiatif)
c. A + 0 = A (mempunyai elemen netral terhadap jumlahan, yaitu matriks nol 0)
d. A + ( A) = 0 (mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan)
5. Perkalian Matriks Dengan Skalar
Hasil kali matriks Amxn = [aij] dengan skalar c , ditulis cA atau Ac adalah matriks mxn
yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks Amxn dengan skalar c.
Jadi jika : A = Amxn =
mnm2m1
2n2221
1n1211
a..........aa
:...........::
a..........aa
a..........aa
= [aij]
maka : cA = Ac =
mnm2m1
2n2221
1n1211
ac..........acac
:...........::
ac..........acac
ac..........acac
= c [aij] = [c aij]
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
a. c(A + B) = cA + cB ; c = sembarang skalar
b. (c + k) A = cA + k A ; c dan k = sembarang skalar
c. c(kA) = (ck) A
d. 1(A) = A
Matriks 4
@by:MurtiAstuti
4. Perkalian Matriks Dengan Matriks
Misalkan A = Amxn = [aij] ; B = Brxp = [bij]
Perkalian antara matriks A dengan matriks B hanya bisa dilakukan jika r = n
(banyaknya baris matriks B = banyaknya kolom matriks A), dan :
Contoh :
8124 x
540132 =
)5(8)1(1)4(8)3(10)(8)2(1)5(2)1(4)4(2)3(42(0)2)(4
=
4135214208
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :
a. (kA)(B) = k(AB) = A (kB) = kAB ; k = sembarang skalar
b. A(BC) = (AB)C = ABC
c. A(B+C) = AB + AC
d. C(A+B) = CA + CB
e. AB BA
f. Jika AB = 0 tidak selalu A = 0 atau B = 0
MATRIKS-MATRIKS KHUSUS
Jika : A = Anxn = [aij] =
nn
22
11
a
a
a
..........aa
..............
a..........a
a..........a
n2n1
2n21
1n12
adalah matriks bujur
sangkar, maka elemen : a11 ; a22 ; a33 ; . ; ann dari matriks A disebut elemen
diagonal utama matriks A
Matriks Segi Tiga
Matriks Segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di atas
diagonal utama semuanya nol.
Contoh : T1 =
413020001
A x B = Amxn x Brxp = Cmxp = [cij]
dengan cij =
n
1k
kjik ba = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + .+ ainbnj ; i = 1, 2, , m
j = 1, 2, , n
Matriks 5
@by:MurtiAstuti
Matriks Segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di bawah
diagonal utama semuanya nol.
Contoh : T2 =
400420051
Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di bawah dan di atas
diagonal utama semuanya nol. Atau aij = 0 untuk i j
Contoh : A =
400020001
; B =
7000000000200001
Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal dengan elemen dalam diagonal utama
semuanya sama.
Contoh : S =
c0000c0000c0000c
; c = skalar
Matriks Satuan (Matriks Identitas) = In
Matriks identitas adalah matriks skalar dengan c = 1
Contoh : In = Inxn =
10.....00::::01.....0000.....1000.....01
= matriks identitas berordo-n
Transpos Matriks (Matriks Transposisi)
Transpos dari matriks A = Amxn = [aij] ; ditulis AT = ATnxm adalah matriks berordo nxm
yang diperoleh dengan mengganti kolom dari matriks A menjadi baris matriks AT dan
baris dari matriks A menjadi kolom matriks AT. Jadi jika,
A = Amxn = [aij] =
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
a..........aaa
...............
a..........aaa
a..........aaa
, maka
AT = ATnxm = [aji] =
mn3n2n1n
m2322212
m1312111
a..........aaa
...............
a..........aaa
a..........aaa
Matriks 6
@by:MurtiAstuti
Sifat Matriks Transpos :
a. (A + B)T = AT + BT
b. (AB)T = BT AT
c. (AT)T = A
Matriks Ortogonal
Matriks bujur sangkar A disebut matriks orthogonal jika memenuhi: A AT = AT A = I
Contoh : A =
21
430
43
210
001
adalah matriks orthogonal, karena
A AT =
21
430
43
210
001
21
430
43
210
001
=
100
010
001
Matriks Bujur Sangkar Anxn = [aij] dikatakan Simetris jika :
AT = A atau [aij] = [aji]
untuk semua i = 1, 2, 3, .., n dan j = 1, 2, 3, .., n
Contoh : A =
425201513
Matriks Bujur Sangkar Anxn = [aij] dikatakan Skew Simetris jika :
AT = A atau [aij] = [ aji]
untuk semua i = 1, 2, 3, .., n dan j = 1, 2, 3, .., n
Sehingga elemen diagonal utamanya pasti nol, karena : aii = aii ; i = 1, 2, 3, ., n ajj = ajj ; j = 1, 2, 3, ., n
Contoh : A =
025201510
Jika A adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks dan jika semua elemen aij
diganti dengan kompleks sekawannya ija , maka matriks yang diperoleh disebut
matriks Kompleks Sekawan (Complex Conjugate) dari matriks A, ditulis A
Contoh : Jika A = [aij] =
i2i51i94i6
5i2i5 ; maka
Matriks 7
@by:MurtiAstuti
A = [ ija ]=
i2i51i94i6
5i2i5
Jika A = [aij] adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks, maka
AH = TA = [ jia ] disebut matriks Transpos Hermite (Hermitian Transpose) dari
matriks A , yaitu transpos dari kompleks sekawan matriks A.
Contoh : Jika A = [aij] =
i94i6
1i2i5 maka :
AH = TA = [ jia ] =
i914i2
i6i5
Matriks Bujur Sangkar A disebut Matriks Hermit (Hermitian Matrix) jika :
AH = A atau [ jia ] = [aij]
Contoh : A =
4i32i5i320i21
i5i213
A =
4i32i5i320i21
i5i213
AH = TA =
4i32i5i320i21
i5i213 = A
Jika A = C + iD dengan C matriks simetris dan D matriks skew simetris maka A
merupakan matriks Hermite.
Dari contoh di atas:
425201513
+ i
031302120
=
4i32i5
i320i21
i5i213
C + i D = A
Jika diberikan matriks kolom (vektor kolom) :
x =
n
2
1
x
:
x
x
dan y =
n
2
1
y
:
y
y
maka : xT y = [ x1 x2 .. xn ]
n
2
1
y
:
y
y
=
n
1i
ii yx = yTx
xT x = [ x1 x2 .. xn ]
n
2
1
x
:
x
x
=
n
1i
2
ix
Matriks 8
@by:MurtiAstuti
DETERMINAN MATRIKS
Setiap matriks bujur sangkar Anxn mempunyai determinan, yaitu suatu nilai yang bisa
dihitung dari elemen matriks Anxn yang dinotasikan dengan det A atau
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa.............................................
a..........aaa
a..........aaa
ADet ; determinan dari matriks Anxn
dengan aij = elemen baris ke-i dan kolom ke-j ; i = 1, 2, 3, ......, n j = 1, 2, 3, ......, n
DETERMINAN MINOR
Mij = determinan minor dari elemen aij ; i = 1, 2, 3, ......, n j = 1, 2, 3, ......, n
= determinan orde-(n-1) yang diperoleh dari suatu determinan orde-n dengan meng-
hapus baris ke-i dan kolom ke-j.
Contoh :
Jika diberikan determinan A seperti di atas, maka :
nnn3n2n1
n3333231
2n232221
1n131211
21
a..........aaa.............................................
a...........aaa
a..........aaa
a..........aaa
M =
nnn3n2
3n3332
1n1312
a..........aa..........................................a..........aaa..........aa
DETERMINAN KOFAKTOR
Kij = determinan kofaktor dari elemen aij ; i = 1, 2, 3, ......, n j = 1, 2, 3, ......, n
= (-1)i+j Mij
Contoh :
nnn3n2n1
n3333231
2n232221
1n131211
1221
12
a..........aaa.............................................
a...........aaa
a..........aaa
a..........aaa
1M)1(K =
nnn3n1
3n3331
2n2321
a..........aa..........................................a..........aaa..........aa
Matriks 9
@by:MurtiAstuti
MENGHITUNG NILAI DETERMINAN
Nilai determinan matriks bujur sangkar Anxn dapat ditentukan dengan rumus berikut :
= det A = A =
n
1j
ijij Ka =
n
1j
ijijji Ma)1( ; untuk i tertentu diantara i = 1, 2, 3, , n
atau =
n
1i
ijij Ka =
n
1i
ijijji Ma)1( ; untuk j tertentu diantara j = 1, 2, 3, , n
dengan :
Mij = determinan minor dari aij
= determinan dari matriks (n1) x (n1) yang diperoleh dari matriks Anxn dengan
menghilangkan baris i dan kolom j
Kij = kofaktor dari aij = (1) i+j Mij
a. Determinan Orde-2 atau (2x2) :
2221
1211
aa
aa = a11 a22 a12 a21
+
Contoh :
1. 21
32
= 2(-2) (3)(-1) = - 4 + 3 = -1
2. 23
12 = -2(2) (-1)(3) = - 4 + 3 = -1
3. 32
21 = -1(3) (-2)(2) = - 3 + 4 = 1
4. 12
23
= 3(-1) (2)(-2) = - 3 + 4 = 1
b. Determinan Orde-3 atau (3x3) :
Metoda Sarrus :
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
+ + +
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)
Matriks 10
@by:MurtiAstuti
Contoh :
232
116
223
=
32
16
23
232
116
223
+ + + = [(3)(1)(2) + (-2)(-1)(-2) + (2)(6)(-3)] [(2)(1)(-2) + (3)(-1)(-3) + (-2)(6)(2)]
= [ 6 4 36 ] [ - 4 + 9 24 ] = 34 + 19 = 15
c. Determinan Orde-n atau ( n x n ) :
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa.............................................
a..........aaa
a..........aaa
=
n
1jijij Ka ; dengan mengambil salah satu baris i sembarang di antara
i = 1, 2, 3, ........, n
=
n
1iijij Ka ; dengan mengambil salah satu kolom j sembarang di antara
j = 1, 2, 3, ........, n
= Jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada salah satu baris (atau kolom)
dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian dengan masing-masing elemen
tersebut.
Contoh :
1. Menghitung = 3barispada)andikembangk(ekspansi*)
1324
2201
0523
3112
*) Misalkan dipilih elemen baris ke-3 i = 3 , maka :
=
4
1jj3j3 Ka =
4
1j
j3j3
j3 M)1(a =
4
1j
j3j3j3 Ma)1(
= (-1)3+1 a31 M31 + (-1)3+2 a32 M32 + (-1)3+3 a33 M33 + (-1)3+4 a34 M34
Matriks 11
@by:MurtiAstuti
= +1
132
052
311
0
134
053
312
2
124
023
312
2
324
523
112
= [(-5+0+18)(-30+0+2)] 0 2[(4+0+18)(24+0+3)] 2[(12-20+6)(8-20+9)]
= (13 + 28) 2(22 - 27) 2(-2 + 3) = 41 + 10 2 = 49
2. =
*)
32001
23204
12003
12012
31102
=
5
1i2i2i Ka =
5
1i2i2i
2i Ma)1(
= (-1)1+2 0 M12 + (-1)2+2 1 M22 + (-1)3+2 0 M32 + (-1)4+2 0 M42 + (-1)5+2 0 M52
= M22 =
*
3201
2324
1103
3112
=
4
1i2i2i Ka =
4
1i2i2i
2i Ma)1(
= (-1)1+2 (-1) M12 + (-1)2+2 0 M22 + (-1)3+2 (2) M32 + (-1)4+2 0 M42 = M12 2 M32
=
321
234
113
- 2
321
113
312
= [(27 + 2 + 8) (-3 12 + 12)] 2 [(6 -1 18) (3 + 4 + 9)] = 40 + 58 = 98
SIFAT-SIFAT DETERMINAN
1. Jika setiap baris ditulis sebagai kolom dan setiap kolom ditulis sebagai baris, maka
nilai determinan tidak akan berubah.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
Karena :
= ( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) ( a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )
= ( a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a23 a12 ) ( a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a12 a21 )
Matriks 12
@by:MurtiAstuti
Contoh :
=
*)
2302
1203
0102
1211
= (-1)1+2 (-1)
232
123
012
= (8+2+0) (06+6) = 10
=*)
2101
3212
0001
2321
= (-1)2+1(-1)
210
321
232
= (8+0+2)(06+6) = 10
2. Jika setiap elemen dalam satu baris atau kolom dikalikan dengan faktor k, maka nilai
determinan yang dihasilkan adalah k kali nilai determinan sebelumnya.
Contoh :
a.
333
222
111
cba
cba
cba
p
p
p
= p
333
222
111
cba
cba
cba
b.
333
222
111
cba
cba
cba
pmmm
p
pkkk
= kpm
333
222
111
cba
cba
cba
c. *
201
031
462 = 2
*
21
21
01
0
3
3
= 2. 3
*
01
11
11
2
2
0
=2.3.2
101
111
011
= 12 [(1 - 1 + 0) (0 + 0 + 1)] = -12
3. Jika seluruh elemen dalam satu baris (atau kolom) adalah nol, maka nilai deter-
minannya adalah nol.
Contoh :
*
a0a
a0a
a0a
3331
2321
1311
= - 0
3331
2321
aa
aa + 0
3331
1311
aa
aa - 0
2321
1311
aa
aa = 0
4. Jika seluruh elemen dalam satu baris (atau kolom) merupakan jumlahan dari 2 suku
atau lebih, maka determinan bisa ditulis dalam bentuk jumlahan 2 atau lebih
determinan.
Matriks 13
@by:MurtiAstuti
Contoh :
33
22
11
cb
cb
cb
33
22
11
da
da
da
=
33
22
11
cb
cb
cb
3
2
1
a
a
a
+
33
22
11
cb
cb
cb
3
2
1
d
d
d
5. Jika 2 baris (atau kolom) ditukar, maka nilai determinan akan berubah tanda.
333
222
111
cba
cba
cba
=
111
333
cba
cba
222 cba =
222
111
cba
cba
333 cba
=
333
222
cba
cba
111 cba
=
3
2
1
c
c
c
33
22
11
ab
ab
ab
=
33
22
11
ac
ac
ac
3
2
1
b
b
b
=
33
22
11
ac
ac
ac
3
2
1
b
b
b
6. Jika elemen-elemen yang bersesuaian dalam 2 baris atau kolom sebanding, maka
nilai determinannya adalah nol.
Contoh :
a.
33
22
11
aa
aa
aa
3
2
1
b
b
b
= (a1b2a3+ b1 a2 a3+ a1 b3 a2) (a1 b2 a3+ a2 b3 a1+ a3 a2 b1) = 0
b.
111 kckbka
222
111
cba
cba
= k
111
111
cba
cba
222 cba = k 0 = 0
c.
8126
31-1
463
= 2
463
463
31-1 = 2 . 0 = 0
7. Jika setiap elemen dalam satu baris (atau kolom) dari determinan ditambah dengan
m kali elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, maka nilai determinan
tidak berubah ( bilangan m boleh positif atau negatif).
Contoh :
a.
33
22
11
cb
cb
cb
33
22
11
mba
mba
mba
=
33
22
11
cb
cb
cb
3
2
1
a
a
a
+
33
22
11
cb
cb
cb
3
2
1
mb
mb
mb
=
333
222
111
cba
cba
cba
+ 0 =
333
222
111
cba
cba
cba
Matriks 14
@by:MurtiAstuti
b.
1B2/34B1Barisx)2/3(4Baris
1B22B1Barisx)2/4(2Baris
1983
1620
0454
6102
=
102/1580
1620
12650
6102
= 2
102/158
162
1265
= 2 [(300 48 180) - (-576 37,5 + 120)] = 2 ( 72 + 493,5) = 2 (565,5) = 1131
SOAL-SOAL LATIHAN :
Hitung nilai determinan-determinan berikut :
1.
5200
7402
0086
1020
2.
2/15728
721213
001714
0001
3.
4600
4570
0235
0012
4.
6352
1011
4202
2131
5.
161429
6323
5506
1023
6.
7382
156168
2485
2414
Matriks 15
@by:MurtiAstuti
INVERS MATRIKS
Invers suatu matriks hanya bisa ditentukan pada matriks bujur sangkar.
Definisi :
Invers dari matriks A = Anxn = [aij] , ditulis dengan A-1 adalah matriks nxn yang
memenuhi : A A-1 = A-1 A = Inxn = I ( I adalah matriks identitas nxn).
Jika matriks A mempunyai invers maka A disebut matriks Non Singular, jika tidak
disebut matriks Singular. Jika A mempunyai invers maka inversnya pasti tunggal
Menentukan Invers Matriks :
Jika A = Anxn = [aij] =
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa
:...........:::
a..........aaa
a..........aaa
Invers dari matriks A = A-1 ditentukan dengan : A-1 = AintAdjoAdet
1 = A
~
A
1
det A = A = determinan matriks A
A~
= Adjoint A = adjoint dari matriks A = [Kij]T = [ (-1)i+j Mij]T
=
T
K..........KKK
...............
K..........KKK
K..........KKK
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
=
mn3n2n1n
m2332212
m1322111
K..........KKK
...............
K..........KKK
K..........KKK
=
mnnm
2nn2
1nn1
m22m
2212
m11m
2111
M)1(..........M)1(M)1(
..............
M)1(..........MM
M)1(..........M-M
Atau :
A-1 = A
1
mn3n2n1n
m2332212
m1322111
K..........KKK
...............
K..........KKK
K..........KKK
Matriks 16
@by:MurtiAstuti
= A
1
mnnm
2nn2
1nn1
m22m
2212
m11m
2111
M)1(..........M)1(M)1(
:...........::
M)1(..........MM
M)1(..........M-M
Contoh :
1. Jika A =
121
201
213
maka
A = (0 2 4) (0 12 + 1) = 6 + 11 = 5
M11 = 1220
= 4 ; M12 = 1121
= 3 ; M13 = 2101
= 2
M21 = 1221
= 5 ; M22 = 11
23 = 5 ; M23 = 21
13
= 5
M31 = 2021
= 2 ; M32 = 2123
= 4 ; M33 = 0113
= 1
A-1 =A
1
332313
322212
312111
MM-M
MMM
MM-M
=5
1
152
453
254
=
5/115/2
5/415/3
5/215/4
AA-1 =
121201213
5/115/2
5/415/3
5/215/4
=
100010001
= I
2. B =
8124
det B = 32 2 = 30
M11 = 8; M12 = 1 ; M21 = 2 ; M22 = 4
B~
=
T
42-
18
=
41
28
B-1 =
41
28
30
1
Matriks 17
@by:MurtiAstuti
SISTEM PERSAMAAN LINIER
PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Sistem persamaan linier (SPL) adalah sekumpulan m persamaan linier yang simultan
dengan n buah variabel ( x1 , x2 , .., xn) yang berbentuk :
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = b3
: : : : : : : :
am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm
Sistem Persamaan Linier yang terdiri dari m persamaan dan n besaran yang tidak
diketahui (variabel) : x1 , x2 , x3, ., xn. bisa ditulis dalam bentuk perkalian matriks :
n
2
1
mnm3m2m1
2n232221
1n131211
x
.
.
.
x
x
a..........aaa
...............
...............
...............
a..........aaa
a..........aaa
=
m
2
1
b
.
.
.
b
b
atau : A X = B
Penyelesaian dari SPL yaitu nilai dari semua xi harus memenuhi seluruh persamaan (m
persamaan) secara simultan atau serentak, sehingga sering disebut dengan
penyelesaian simultan dari SPL.
Apabila semua bi untuk i = 1, 2, 3, .., m bernilai nol, maka SPL nya disebut Homogen
Apabila terdapat nilai bi yang tidak nol, maka SPL nya disebut Non Homogen.
SPL NON HOMOGEN DENGAN n PERSAMAAN dan n VARIABEL
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = b3
: : : : : : : :
an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn
=
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa.............................................
a..........aaa
a..........aaa
= determinan koefisien = det A
Matriks 18
@by:MurtiAstuti
Jika dikalikan dengan salah satu variable , misalkan x1 , maka :
. x1 =
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa.............................................
a..........aaa
a..........aaa
x1 =
nnn3n21n1
2n2322121
1n1312111
a..........aaxa.............................................
a..........aaxa
a..........aaxa
Nilai determinan ini tidak akan berubah jika elemen kolom 1 ditambah dengan x2 kali
elemen kolom 2, x3 kali elemen kolom 3, , xn kali elemen kolom n, sebagai berikut :
. x1 =
nnn3n2nnn22n1n1
2n2322nn2222121
1n1312nn1212111
a..........aaxa........xaxa
...............
...............
a..........aaxa........xaxa
a..........aaxa........xaxa
. x1 =
nnn3n2n
2n23222
1n13121
a..........aab
...............
...............
a..........aab
a..........aab
= 1
Sehingga : . x1 = 1 x1 =
1 ; dengan syarat 0
Dengan cara yang sama akan diperoleh :
x2 =
2
x3 =
3
:
xn =
n
Atau :
dengan :
= determinan koefisien.
i = determinan orde-n yang diperoleh dari determinan koefisien dengan meng-
ganti elemen kolom ke-i dengan elemen ruas kanan atau suku konstan bi.
Metoda penyelesaian SPL seperti ini disebut Metoda Cramer.
xi =
i ; dengan syarat 0
Matriks 19
@by:MurtiAstuti
Contoh :
Selesaikan SPL :
2 x + 3 y = 28
3 y + 4 z = 46
4 z + 5 x = 53
Atau :
zyx
405430032
=
534628
Penyelesaian :
= 405430032
= 3. 4 . 105110012
= 12 (2 + 5 + 0 0 0 0 ) = 84
x = 405343640328
= 12 105311640128
= 12 (28 + 53 46) = 420
y = 453546400822
= 4 153516400822
= 4.2. 153516400141
= 8 (46 + 70 53) = 504
z = 530546308232
= 3 530546108212
= 3 (106 + 230 140) = 588
Sehingga :
x =
x = 84
420 = 5
y =
y =
84
504 = 6
z =
z = 84
588 = 7
Untuk SPL Non-Homogen dengan n persamaan dengan n variabel , berlaku :
a. Jika 0 , maka SPL mempunyai penyelesaian tunggal.
b. Jika 0 dan semua i = 0 , maka SPL mempunyai penyelesaian nol (trivial),
yaitu xi = 0 untuk semua i.
c. Jika = 0 dan terdapat i 0 , maka SPL tidak mempunyai penyelesaian
(inconsistent).
d. Jika SPL mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak berhingga (tidak
tunggal), maka = 0 dengan semua i = 0, untuk sebaliknya belum tentu
berlaku.
Matriks 20
@by:MurtiAstuti
Contoh :
1. SPL : x 3y + 2z = 4
2x + y 3z = -2
4x 5y + z = 5
= 1543-12231
= (1 + 36 20) (8 + 15 6) = 17 17 = 0
x = 1553-12234
= (4 + 45 + 20) (10 + 60 + 6) = 69 76 = -17
Karena = 0 dan terdapat x = -17 0 maka SPL tidak mempunyai
penyelesaian.
Atau :
(i) x 3y + 2z = 4 (*2) 2x 6y + 4z = 8
(ii) 2x + y 3z = -2 2x + y 3z = -2 +
4x 5y + z = 6
Sementara dari persamaan (iii) : 4x 5y + z = 5, berarti inconsistent
2. SPL : ntinconsiste
4z3yx25z3yx28z6y2x4
= 312312624
= 2.3.(-1) 111111222
= 0
x = 314315628
= -1. 3 114115228
= 0
y = 342352684
= 2. 3 141151282
= 0
z = 412512824
= -1. 2 411511822
= 0
SPL tidak mempunyai penyelesaian, karena persamaan (ii) dan (iii) inconsistent.
3. SPL : 2x + y 2z = 4 (i)
x 2y + z = -2 (ii)
5x 5y + z = -2 (iii)
Matriks 21
@by:MurtiAstuti
= 155121212
= (- 4 + 5 + 10) (20 -10 + 1) = 11 11 = 0
x = 15212 2214
= (-8 2 20 ) (-8 20 2) = 0
y = 125121242
= (-4 + 20 + 4) ( 20 4 + 4) = 0
z = 255221412
= (8 10 20) (- 40 + 20 2) = 0
Tetapi :
(i) : 2x + y 2z = 4
(ii)*2 : 2x 4y + 2z = - 4
5y 4z = 8
5 y = 4z + 8
y = )2z(54
Dari persamaan (ii) : x = 2y z 2 = 2z)2z(58 =
56
53 z
Persamaan (iii) : 5x 5y + z = -2
5(56
53 z ) 5. )2z(
54 + z = - 2
3z + 6 4z 8 + z = - 2
- 2 = - 2 ( memenuhi / consistent )
Sehingga penyelesaiannya :
x = )2z(53
y = )2z(54
z = z
Jadi terdapat banyak sekali penyelesaian (banyaknya penyelesaian tak
terhingga), tergantung dari nilai z yang diberikan.
Misalnya :
Untuk z = 0 x = 56 ; y =
58
Untuk z = 3 x = 3 ; y = 4 dan seterusnya.
Matriks 22
@by:MurtiAstuti
SPL NON-HOMOGEN DENGAN m PERSAMAAN, n VARIABEL
a. SPL dengan (n +1) persamaan dan n variabel
Misalkan SPL : a1 x + b1 y = c1 (i)
a2 x + b2 y = c2 (ii)
a3 x + b3 y = c3 (iii)
Umumnya SPL semacam ini inconsistent (tidak punya penyelesaian).
Tetapi, jika 2 dari 3 persamaan tersebut consistent (punya penyelesaian) dan
penyelesaiannya memenuhi 1 persamaan yang lain, maka SPL akan consistent.
Jadi misalkan persamaan (i) dan (ii) independent dan consistent , berarti :
= 22
11
ba
ba 0
x =
22
11
bc
bc
; y =
22
11
ca
ca
Agar SPL mempunyai penyelesaian (consistent), maka x dan y harus memenuhi (iii),
sehingga :
a3
22
11
bc
bc
+ b3
22
11
ca
ca
= c3 atau
a3 22
11
bc
bc + b3
22
11
ca
ca c3
22
11
ba
ba = 0 atau
det K =
333
222
111
cba
cba
cba
= 0
Jadi syarat perlu dan cukup agar SPL dengan (n+1) persamaan dan n variabel akan
mempunyai penyelesaian adalah :
1. Determinan orde-(n+1) yang dibentuk dari determinan koefisien dan suku
konstan (elemen ruas kanan) harus = 0 atau det K = 0
2. Determinan orde-n yang elemen-elemennya terdiri dari koefisien sembarang n
persamaan harus 0 atau 0.
b. SPL dengan m persamaan dan n variabel (m >n).
Jika diantara n persamaan dari SPL tersebut consistent dan penyelesaian xi ;
untuk i = 1, 2, 3, .., n memenuhi (m-n) persamaan sisanya maka SPL akan
consistent ; jika tidak maka SPL inconsistent.
Matriks 23
@by:MurtiAstuti
c. SPL dengan m persamaan dan n variabel (m < n).
SPL ini akan mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak terhingga. Dalam hal ini,
m variabel bisa dinyatakan dalam bentuk (n-m) variabel sisanya.
Contoh :
1. SPL : x + y + z = 0
x + y + 3z = 2
2x 3y 5z = 8
3x 2y 8z = 4
SPL dengan 4 persamaan dan 3 variabel
det K =
4823853223110111
=
41153875222010001
= 1 4115875220
= -5(2) 4111871110
= -10
4111440110
= - 10
4411
= -10 (4 4) = 0
Jadi SPL mempunyai penyelesaian.
Ambil 3 persamaan pertama : x + y + z = 0
x + y + 3z = 2
2x 3y 5z = 8
= 532311111
= (- 5 + 6 3) (2 9 5) = - 2 + 12 = 10
x = 538312110
= (0 + 24 6) (8 + 0 10) = 20
y = 582321101
= (-10 + 0 + 8) ( 4 0 + 24) = -30
z = 832211011
= (8 + 4 + 0) ( 0 6 + 8) = 10
Jadi :
x =
x = 10
20 = 2 masuk persamaan (iv) : 3(2) -2(-3) 8(1) = 4
y =
y =
10
30 = - 3 6 + 6 8 = 4
z =
z = 10
10 = 1 4 = 4 (consistent)
Matriks 24
@by:MurtiAstuti
2. SPL : x1 + x2 + x3 = 3 SPL dengan 2 persamaan, 3 variabel 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 = 13
x1 + x2 = 3 - x3 x1 dan x2 dinyatakan dalam bentuk x3 3 x1 + 4 x2 = 13 - 5 x3
= 4311
= 4 3 = 1
1 = 4x5311x3
3
3
= 4(3 x3) (13 5 x3) = x3 1
2 = 3
3x5313x31
= (13 5 x3) 3 (3 x3) = - 2 x3 + 4
Jadi :
x1 =
1 = 1
1x3 = x3 1
x2 =
2 = 1
4x2 3 = - 2x3 + 4
x3 = x3 (bisa diberi harga sembarang)
Misalkan :
x3 = 0 maka x1 = -1 ; x2 = 4
x3 = 2 maka x1 = 1 ; x2 = 0
x3 = 1 maka x1 = 0 ; x2 = 2 dan seterusnya.
SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0
a31 x1 + a32 x2 + + a3n xn = 0
: : : :
am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = 0
SPL Homogen paling tidak pasti mempunyai penyelesaian trivial ( xi = 0 untuk semua i )
a. SPL Homogen dengan n persamaan dan n variabel
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0
: : : :
an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = 0
Atau :
Matriks 25
@by:MurtiAstuti
a11 x1 + a12 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - a2n xn SPL dengan n persamaan
: : : dan (n -1) variabel an1 x1 + an2 x2 + + a1 n-1 xn-1 = - ann xn
Syarat SPL ini punya penyelesaian, jika dipenuhi :
Det K =
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa
...............
a..........aaa
a..........aaa
= 0
Jika det K 0 , maka SPL tidak mempunyai penyelesaian non-trivial ( hanya
mempunyai penyelesaian trivial)
Penyelesaian selanjutnya, pilih (n -1) persamaan sembarang dengan (determinan
koefisien) 0. Jika nilai xn diberi harga tertentu, maka x1, x2, .., xn-1 dapat
ditentukan, sehingga SPL akan mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak
terhingga.
Contoh :
SPL Homogen : x y 3z = 0
2x 2y 6z = 0
2x + 3y z = 0
Det K = 132622311
= (2 + 12 18) (12 18 + 2) = 0
SPL mempunai penyelesaian non-trivial
Selanjutnya :
Ambil 2 persamaan sembarang, misalnya 2 persamaan pertama :
x y 3z = 0 x y = 3z
2x 2y 6z = 0 2x 2y = 6z
= 22
11
= -2 + 2 = 0, karena = 0 berarti kedua persamaan dependen linier.
Sehingga kedua persamaan tersebut tidak bisa digunakan untuk menentukan
penyelesaian SPL.
Ambil 2 persamaan yang lain, misalnya 2 persamaan terakhir :
2x 2y 6z = 0 2x 2y = 6z
2x + 3y z = 0 2x + 3y = z
Matriks 26
@by:MurtiAstuti
= 3222
= 6 + 4 = 10 0
x = 3z2z6
= 18z + 2z = 20z
y = z2z62
= 2z 12z = -10z
Jadi : x =
x = 10
z20 = 2z Misal : z = 1, maka : x = 2 dan y = -1
y =
y =
10
z10 = -z Misal : z = -1 , maka : x = -2 dan y = 1
z = z dan seterusnya.
b. SPL Homogen dengan n persamaan dan (n + 1) variabel
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + a1 n+1 xn+1 = 0
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + a2 n+1 xn+1 = 0 : : : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn + an n+1 xn+1 = 0
Atau :
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = a1 n+1 xn+1
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = a2 n+1 xn+1 : : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = an n+1 xn+1
Syarat SPL ini punya penyelesaian, jika dipenuhi :
=
nnn3n2n1
2n232221
1n131211
a..........aaa
...............
a..........aaa
a..........aaa
0 dengan
1 =
nnn3n2
2n2322
1n1312
a..........aa
...............
a..........aa
a..........aa
1n n
1n2
1n1
a
a
a
xn+1 x1 =
1n1 x
2 =
nnn3n1
2n2321
1n1311
a..........aa
...............
a..........aa
a..........aa
1n n
1n2
1n1
a
a
a
xn+1 x2 =
1n2 x
: : : :
dan seterusnya xn =
1nn x
Harga x1, x2, , xn dapat ditentukan dengan memberi nilai sembarang pada xn+1.
Matriks 27
@by:MurtiAstuti
Contoh :
SPL : x + y + z + w = 0
x 7y + z w = 0
x + y 7z w = 0 ; SPL homogen dengan 3 persamaan dan 4 variabel
x + y + z = - w
x 7y + z = w
x + y 7z = w
= 711171111
=
801081001
= 64 0
x = 711171111-
w =
786182100
w = (16 48) w = -32 w
y = 711111111
w =
821021001
w = 16 w
z = 111171111
w = 201281001
w = 16 w
x =
x = 64
w32 = w
21
y =
y =
64
w16 = w
41
z =
z = 64
w16 = w
41
w = w
Misal : w = 1 , maka : x = 21 ; y =
41 dan z =
41
Misal : w = 4 , maka : x = 2 ; y = 1 dan z = 1
Misal : w = -4 , maka : x = 2 ; y = 1 dan z = 1 dan seterusnya.
Matriks 28
@by:MurtiAstuti
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN ELIMINASI
Diketahui sistem persamaan linier (SPL) dengan m persamaan linier yang simultan
dengan n buah variabel ( x1 , x2 , .., xn) yang berbentuk :
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2
: : : :
am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm
Atau :
n
2
1
mnn3n2n1
2n232221
1n131211
x
.
x
x
a..........aaa
...............
a..........aaa
a..........aaa
=
m
2
1
b
.
b
b
atau : (Amxn) x (Xnx1)= (bmx1)
dengan : Amxn = matriks koefisien
Xnx1 = matriks variabel
bmx1 = matriks ruas kanan
Jika : bi = 0 untuk semua i SPL Homogen
bi 0 untuk semua i SPL Non-Homogen
Penyelesaian atau solusi SPL adalah nilai x1 , x2 , .., xn yang memenuhi SPL.
Untuk SPL homogen paling tidak pasti mempunyai satu penyelesaian trivial, yaitu :
xi = 0 untuk semua i
MATRIKS PERLUASAN (AUGMENTED MATRIX)
Dari SPL di atas bisa dirumuskan matriks perluasan dari matriks koefisien A menjadi :
A~
=
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
:
b
b
a.....aa
::::
a.....aa
a.....aa
terakhirkolompadabkolommatriks
nmenyisipkadengandiperluasAmatriks
Jadi A~
= A~
m x (n+1)
PENYELESAIAN SPL DENGAN METODA ELIMINASI GAUSS
Metoda eliminasi Gauss metoda penyelesaian SPL yang dimulai dengan membentuk
matriks perluasan A~
, kemudian dilakukan operasi baris elementer sampai diperoleh
bentuk matriks echelon, yaitu matriks segitiga atas yang berbentuk sebagai berikut :
Matriks 29
@by:MurtiAstuti
A~
=
1n
barism
baris)rm(
barisr
b~:
b~b~:
b
b
0..0..00
::::::
0..0..00
k..k..00
::::::
c.....c0
a......aa
m
1r
r
*2
1
rnrr
n222
n11211
dengan : r m dan
a11 0 ; c22 0 ; ; krr 0
1rb~
; .............. ; mb~
boleh nol , boleh tidak
Selanjutnya dilakukan substitusi mundur (back substitution) untuk menentukan nilai
variabel x1 ; x2 ; ; xn
CONTOH :
1. Selesaikan SPL :
x1 + x2 + 2 x3 = 2
3 x1 x2 + x3 = 6
x1 + 3 x2 + 4 x3 = 4
4
6
2
x
x
x
431
113
211
3
2
1
Bentuk A~
dan lakukan operasi baris elementer sampai diperoleh bentuk mariks
echelon
A~
=
1313
1212
BBB)1/1(B
B3BB)1/3(B
4
6
2
431
113
211
=
2323 BBB)2/2(B2
12
2
220
720
211
= echelonMatriks
10
12
2
500
720
211
Substitusi mundur :
Matriks 30
@by:MurtiAstuti
5x3 = 10 x3 = 2
2x2 + 7x3 = 12 2x2 + 14 = 12 x2 = 1
x1 + x2 + 2x3 = 2 x1 1 + 4 = 2 x1 = 1
2. Selesaikan SPL :
3 x1 + 2 x2 + x3 = 2
2 x1 + x2 + x3 = 0
6 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0
A~
=
1313
12
B2BB)3/6(B
B)3/2(B
0
0
2
246
112
123
=
4
3/4
2
000
3/13/10
123
Substitusi mundur :
0 x3 = - 4 0 = 4 (tidak mungkin) tidak ada solusi
1/3 x2 + 1/3 x3 = 4/3
3 x1 + 2 x2 + x3 = 2
3. Selesaikan SPL :
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 5 x-4 = 8
0,6 x1 + 1,5 x2 + 1,5 x3 5,4 x-4 = 2,7
1,2 x1 0,3 x2 0,3 x3 + 2,4 x-4 = 2,1
A~
=
13
12
B)0,3/4(B
B)3/2(B
7
9
8
8114
18552
5223
Atau:
A~
=
1313
1212
B4,0BB)0,3/2,1(B
B2,0BB)0,3/6,0(B
1,2
7,2
0,8
4,23,03,02,1
4,55,15,16,0
0,50,20,20,3
=
2313 BBB)1,1/1,1(B1,1
1,1
0,8
4,11,11,10,0
4,41,11,10,0
0,50,20,20,3
=
echelonmatriks0,0
1,1
0,8
0,00,00,00,0
4,41,11,10,0
0,50,20,20,3
Substitusi mundur : 0 = 0
1,1 x2 + 1,1 x3 4,4 x4 = 1,1 x2 = 1 x3 4 x4
Matriks 31
@by:MurtiAstuti
x2
x1
x2
x1
x2
x1
3,0 x1 + 2,0 x2 + 2,0 x3 5,0 x4 = 8,0 x1 = 2 x4
Nilai x3 dan x4 bisa dipilih sembarang, misalnya x3 = 4 dan x4 = 1 sehingga :
x1 = 2 1 = 1 dan x2 = 1 4 4(1) = 7
Dalam hal ini dikatakan SPLnya mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak
terhingga (tidak tunggal).
Kemungkinan Solusi Dari SPL :
a. SPL tidak mempunyai solusi
Misal :
b. SPL mempunyai solusi tunggal
Misal :
c. SPL mempunyai solusi tidak tunggal
Misal :
Kemungkinan solusi dari SPL bisa diketahui dari bentuk matriks echelon :
A~
=
1nn..r..21
barism
m
:
1r
r
:
2
1
b~:
b~b~:
b
b
0..0..00
::::::
0..0..00
k..k..00
::::::
c.....c0
a......aa
m
1r
r
*2
1
rnrr
n222
n11211
a. Jika r < m dan salah satu dari 1rb~
; .............. ; mb~
0 SPL tidak
mempunyai solusi
b. Jika r = n dan 1rb~
; ......; mb~
jika ada semua = 0 SPL mempunyai
solusi tunggal
c. Jika r < n dan 1rb~
; ......; mb~
jika ada semua = 0 SPL mempunyai
solusi yang banyaknya tidak berhingga (tidak tunggal).
x1 + x2 = 1
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 1
x1 x2 = 0
x1 + x2 = 1
2x1 + 2 x2 = 2
Matriks 32
@by:MurtiAstuti
MENENTUKAN INVERS MATRIKS DENGAN ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Bentuk SPL : Anxn Xnxn = Inxn (Inxn = matriks identitas berordo n)
A-1 A X = A-1I I X = A-1 X = A-1
Selanjutnya penyelesaian X = A-1 bisa diperoleh dengan menyelesaikan SPL : AX = I
dengan metoda eliminasi Gauss. Dalam hal ini, augmented matrix A~
= [ A I ] dengan
Anxn dan Inxn
Contoh :
Tentukan invers matriks A =
100
001
010
dengan eliminasi Gauss-Jordan
Bentuk augmented matrix A~
= [ A I ] =
100
010
001
100
001
010
Lakukan operasi baris elementer pada A~
sehingga elemen dari matriks A dalam A~
membentuk matriks identitas.
A~
=
21 BB
100
010
001
100
001
010
= 12 BB
100
010
011
100
001
011
= )1(xB
100
001
011
100
010
011
2
=
21 BB
100
001
011
100
010
011
=
1AI
100
001
010
100
010
001
Jadi invers dari matriks A adalah A-1 =
100
001
010
Matriks 33
@by:MurtiAstuti
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS
PENGERTIAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Nilai Eigen (Eigen value) dan vektor Eigen (Eigen vector) suatu matriks memenuhi sifat
bahwa jika vektor Eigen dikalikan dengan matriksnya akan menghasilkan vektor yang
proporsional dengan vektor Eigennya. Nilai proporsionalitasnya disebut nilai Eigen atau
nilai karakteristik dari matriks tersebut.
Contoh :
A =
17189
023
182416
Jika untuk matriks A dipenuhi persamaan :
17189
023
182416
0
1
2
=
0
4
8
= 4
0
1
2
maka dikatakan bahwa 4 adalah nilai Eigen dari matriks A yang berkaitan dengan vektor
Eigen
0
1
2
Secara umum :
Jika diberikan matriks Anxn = [aij] ; maka persamaan untuk nilai Eigen dan vektor
Eigen x dari matriks A adalah : Ax = x .
Himpunan nilai Eigen dari matriks A disebut spectrum dari matriks A.
Nilai terbesar dari harga mutlak nilai Eigen A disebut radius spektral dari matriks A.
CARA MENENTUKAN NILAI EIGEN
Dari persamaan Ax = x dengan A = Anxn
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = x1
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = x2
: : : : an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = xn
Dibawa ke bentuk SPL homogen :
(a11 ) x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a21 x1 + (a22 ) x2 + + a2n xn = 0
: : : : an1 x1 + an2 x2 + + (ann ) xn = 0
Matriks 34
@by:MurtiAstuti
Atau :
0
:
0
0
x
:
x
x
a.....aa
:.....::
a.....aa
a.....aa
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
SPL homogen akan mempunyai solusi non-trivial jika nilai determinan koefisien = 0
Atau : det[A I] = 0 atau :
nn2n1n
n22221
n11211
a.....aa
:.....::
a.....aa
a.....aa
= 0
det[A I] = f() = 0 polynomial atau persamaan karakteristik
Akar-akar dari f() = 0 merupakan nilai Eigen dari matriks A. Dari masing-masing nilai Eigen bisa ditentukan vektor Eigen dari matriks A
Vektor Eigen satuan : vektor Eigen dengan jumlah kuadrat komponen-komponennya = 1
Vektor Eigen satuan diperoleh dengan membagi vektor Eigen dengan akar dari jumlah
kuadrat komponen-komponennya.
CONTOH :
1. Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks A =
021
612
322
Dari Ax = x diperoleh SPL homogen [AI]x = 0 ;
dengan matriks [AI] =
021
612
322
Det [AI] =
021
612
322
= [(-2-)(1-)(-)+12+12] - [(3(1-)-12(2+)-4]
= 3 2 + 21 + 45
Agar SPL homogen [AI]x = 0 mempunyai penyelesaian non-trivial, maka det [AI] = 0
Sehingga diperoleh polynomial atau persamaan karakteristik :
3 2 + 21 + 45 = 0 3 + 2 21 45 = 0 ( 5)( + 3)2 = 0
Jadi nilai Eigen matriks A adalah : 1 = 5 dan 2;3 = 3
Menentukan vektor eigen:
Untuk nilai eigen 1 = 5 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :
Matriks 35
@by:MurtiAstuti
0
0
0
x
x
x
5021
6512
3252
3
2
1
0
0
0
x
x
x
521
642
327
3
2
1
SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :
A~
=
13
1212
B7/1B
B7/2BB)7/2(B
0
0
0
521
642
327
=
23B3/2B0
0
0
7/327/160
7/487/240
327
=
0
0
0
000
7/487/240
327
Substitusi mundur :
24/7 x2 48/7 x3 = 0 x2 + 2x3 = 0 x2 = 2x3
7x1 + 2 x2 3 x3 = 0 7x1 = 7 x3 x1 = x3
Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 5 adalah :
x =
3
2
1
x
x
x
=
3
3
3
x
x2
x
= x3
1
2
1
x3 bisa ditentukan secara sembarang
Misalkan x3 diambil = 1 maka x =
1
2
1
adalah salah satu vektor Eigen matriks A
yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 5
Untuk nilai eigen 2;3 = 3 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :
0
0
0
x
x
x
3021
6312
3232
3
2
1
0
0
0
x
x
x
321
642
321
3
2
1
SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :
A~
=
13
12
BB
B2B
0
0
0
321
642
321
=
0
0
0
000
000
321
Substitusi mundur :
x1 + 2 x2 3 x3 = 0 x1 = 2x2 + 3x3
x2 = x2 ditentukan sembarang
x3 = x3 ditentukan sembarang
Vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = 3 adalah :
Matriks 36
@by:MurtiAstuti
x =
3
2
1
x
x
x
=
3
2
32
x
x
x3x2
; misalkan x2 diambil = 1 dan x3 = 0; maka : x =
0
1
2
2. Tentukan nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks A =
1311
Dari Ax = x diperoleh SPL homogen [AI]x = 0 ;
dengan matriks [AI] =
13
11
Det [AI] =
13
11 = 2 1 + 3 = 2 + 2
Agar SPL homogen [AI]x = 0 mempunyai penyelesaian non-trivial, maka det [AI] = 0
Sehingga diperoleh polynomial atau persamaan karakteristik :
2 + 2 = 0 1;2 = i2
Jadi nilai Eigen matriks A adalah : 1 = i2 dan 2 = i2
Menentukan vektor eigen:
Untuk nilai eigen 1 = i2 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :
00
x
x
2i13
12i1
2
1
SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :
A~
= 12 B
2i1
3B0
0
2i13
12i1
=
00
0012i1
Substitusi mundur :
(1-i2) x1 x2 = 0 x2 = (1-i2) x1
x1 = x1
Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2
adalah :
x =
1
1x
x)2i1( = x1
1
2i1 x1 bisa ditentukan secara sembarang
Misalkan x1 diambil = 1 maka x =
1
2i1 adalah salah satu vektor Eigen
matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2
Matriks 37
@by:MurtiAstuti
Untuk nilai eigen 2 = i2 SPL homogen [AI]x = 0 menjadi :
00
x
x
2i13
12i1
2
1
SPL ini diselesaikan dengan eliminasi Gauss :
A~
= 12 B
2i1
3B0
0
2i13
12i1
=
00
0012i1
Substitusi mundur :
(1+ i2) x1 x2 = 0 x2 = (1+ i2) x1
x1 = x1
Jadi vektor Eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2
adalah :
x =
1
1x
x)2i1( = x1
1
2i1 x1 bisa ditentukan secara sembarang
Misalkan x1 diambil = 1 maka x =
1
2i1 adalah salah satu vektor Eigen
matriks A yang bersesuaian dengan nilai Eigen = i2
SOAL-SOAL:
1. Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A =
101
131
101
2. Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A =
003
020
100
3. Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang bersesuaian dari matriks A =
111
210
111