44
1 Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2010-2011 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

matris deplasaman yöntemi

  • Upload
    bbytu

  • View
    224

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: matris deplasaman yöntemi

1

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin

Matris Metotları

2010-2011 Bahar Yarıyılı

Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞENDoç.Dr. Ercan YÜKSEL

Page 2: matris deplasaman yöntemi

2

BÖLÜM III

DİREKT MATRİS YERDEĞİŞTİRME YÖNTEMİ

Page 3: matris deplasaman yöntemi

3

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

Page 4: matris deplasaman yöntemi

4

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

Page 5: matris deplasaman yöntemi

5

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

Page 6: matris deplasaman yöntemi

6

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

Page 7: matris deplasaman yöntemi

7

10

0 50 60

50 60

P

P cos β P sinβ

P sinβ P cos βix

P

20

0 30 40

30 40

P

P cos β P sinβ

P sinβ P cos βjx

P

[k]jxix = [k]Tixjx

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

Page 8: matris deplasaman yöntemi

8

• Malzeme doğrusal-elastik davranmaktadır.• Yerdeğiştirmeler, sistem geometrisi ilekarşılaştırıldığında küçüktür. (1. Mertebe Teorisi)

Malzeme ve geometri değişimi bakımından doğrusal davranış sergilemeyen sistemler ilerleyen bölümlerde incelenecektir.

Önce rijit düğüm noktalı ve ankastre mesnetli sistemler çalışılacaktır.

Varsayımlar

Page 9: matris deplasaman yöntemi

9

Çözümün Sağlaması Gerekli Koşullar:

1.Denge Denklemleri• Düğüm noktası denge denklemleri• Çubuk denge denklemleri

2.Geometrik Süreklilik Koşulları• Rijit düğüm noktalarında birleşen elemanların uç

yerdeğiştirmelerinin eşitliği• Mesnetlerdeki geometrik koşullar

3.Bünye Denklemleri (İç kuvvet-şekildeğiştirme ilişkileri)

Page 10: matris deplasaman yöntemi

10

Uç Kuvvetleri İle Uç Yerdeğiştirmeleri Arasındaki Bağıntılar

Ortak eksen sisteminde, i-j çubuğunun uç kuvvetleri ile uç yerdeğiştirmeleri arasındaki bağıntılar

[p]ix = [k]ixix [d]ix + [k]ixjx [d]jx + [p0]ix

[p]jx = [k]jxix [d]ix + [k]jxjx [d]jx + [p0]jx

Page 11: matris deplasaman yöntemi

11

Bilinmeyenler

Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir. n düğüm noktası sayısını göstermek üzere, düzlem çubuk sistemlerde 3×n, düzlem kafes sistemlerde ise 2×n adet bilinmeyen vardır.

Ortak eksen sisteminde düğüm noktalarındaki bilinmeyenler;D1

D2

D3

Page 12: matris deplasaman yöntemi

12

Bilinmeyenler :

Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir.

D1D2

D3

Page 13: matris deplasaman yöntemi

13

Eleman Eksen Takımlarındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri

Page 14: matris deplasaman yöntemi

14

Sistem Ortak Eksen Takımındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri

D1D2

D3

Page 15: matris deplasaman yöntemi

15

Dolu Gövdeli Sistemler Kafes Sistemler

Bilinmeyenler

D1D2

D3

D1D2

D3 D1

D2

Page 16: matris deplasaman yöntemi

16

Bilinmeyenlerin Hesabında Kullanılan Denklemler(Düğüm noktalarının denge denklemleri)i sayılı düğüm noktasına ait denge denkleminin yazılması

00 ix

ij

ixjjx

ij

ixjxjj

ijixixix qPdkkd_

Page 17: matris deplasaman yöntemi

17

qPdS 0

[S] : Sistem rijitlik matrisi[d] : Bilinmeyenler vektörü[P0] : Yükleme vektörü[q] : Düğüm noktaları yük vektörü

Denge denklemleri sistemin tüm düğüm noktaları için yazılırsa

Page 18: matris deplasaman yöntemi

18

1

2

...

i

..

j

n

1 2 ....... i . ..... j ........... n

For Beam Elements [S]3nx3n [d]3nx1 [p0]3nx1 [q]3nx1

For Truss Elements [S]2nx2n [d]2nx1 [p0]2nx1 [q]2nx1

[k]ixix [k]ixjx

[k]jxix [k]jxjx

[d]ix [p0]ix [q]ix

[d]jx [p0]jx [q]jx

x + =

[S] [d] [P0] [q]

Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi

Page 19: matris deplasaman yöntemi

19

Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi (Genel Yöntem)

1.Ankastre mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında denge denklemleri yazılmaz.2.Mafsallı mesnetlerde;

• Mafsallı mesnete birleşen çubukta, özel eleman rijitlik matrisi tanımlanır ve mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında denge denklemi yazılmaz.

• Mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmelere ait 2 adet satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Bu durumda mafsallı mesnette birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.

3.Kayıcı mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmeye ait satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Kayıcı mesnete birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.

Page 20: matris deplasaman yöntemi

20

Kod parametreleri Yöntemi ile [S] Matrisinin Kurulması

Çubuk 1

Çubuk 2

Çubuk 3

12

3

4 5

6

7

8

Her çubukta, elemana ait yerdeğiştirme numaralarından oluşan kod parametreleri dizileri oluşturulur.

Page 21: matris deplasaman yöntemi

21

[S] Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

Elemanların kod parametreleri dizileri

Sıra Uç. Kuv. 1 2 3

1 1 1 2 5

2 5 2 5 8

3 6 3 6 0

4 2 4 7 0

5 3 0 3 6

6 4 0 4 7

Çubuklar

Page 22: matris deplasaman yöntemi

22

l m n

I

I

I

l m n

l kii kij kik kii kij kik

m kji kjj kjk kji kjj kjk

n kki kkj kkk kki kkj kkk

l I kii kij kik

m I kji kjj kjk

n I kki kkj kkk

Eleman Eksen Takımının Sistem Ortak Eksen Takımı İle Aynı Olduğu Sistemler

l

m

n

Page 23: matris deplasaman yöntemi

23

Eleman Özellikleri

Çubuk I[m4] F[m2] L[m]

3-1 0.040 0.280 9.434

1-2 0.020 0.222 8.000

2-4 0.040 0.280 9.434

Örnek #1 : Dış yük etkisindeki 2D sistem

Page 24: matris deplasaman yöntemi

24

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu

Page 25: matris deplasaman yöntemi

25

1 5 6

4EI/L 0 6EI/L2 16.960 0 2.697

[k]33 = 0 EF/L 0 = 0 29.680 0

6EI/L2 0 12EI/L3 2.697 0 0.572

1 0 0 1 0 0

[T2]3 = 0 -cos sin = 0 -0.848 -0.530

0 -sin -cos 0 0.530 -0.848

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu

Page 26: matris deplasaman yöntemi

26

1 0 0

0 -0.848 0.53 [0]

0 -0.53 -0.848

1 0 0

[0] 0 0.848 -0.53

0 0.53 0.848

16.96 0 2.697 8.48 0 2.697

0 29.68 0 0 29.68 0

2.697 0 0.572 2.697 0 0.572

16.96 0 2.697

0 29.68 0

2.697 0 0.572

1 0 0 16.96 -1.429 -2.287 8.481 1.429 2.287

0 -0.848 0.53 [0] 21.504 -13.083 -1.429 -21.504 13.083

0 0.53 -0.848 8.748 -2.287 13.083 -8.748

1 0 0 16.96 1.429 2.287

[0] 0 0.848 0.53 21.504 -13.083

0 -0.53 0.848 8.748

[k]3x3x

[k]1x3x

[k]3x1x

[k]1x1x

Page 27: matris deplasaman yöntemi

27

1 0 0 1 0 0

[T2]1 = 0 -1 0 [T2]2 = 0 1 0

0 0 -1 0 0 1

10 0 -1.875 5 0 1.875

0 27.75 0 0 -27.75 0

0.469 -1.875 0 -0.469

10 0 1.875

27.75 0

0.469

[k]1x1x [k]1x2x

[k]2x1x [k]2x2x

=

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (1-2) Çubuğu

Page 28: matris deplasaman yöntemi

28

1 0 0

0 0.848 -0.53 [0]

0 -0.53 0.848

1 0 0

[0] 0 0.848 0.53

0 -0.53 0.848

16.96 0 2.697 8.48 0 2.697

0 29.68 0 0 29.68 0

2.697 0 0.572 2.697 0 0.572

16.96 0 2.697

0 29.68 0

2.697 0 0.572

1 0 0 16.96 1.429 -2.287 8.481 -1.429 2.287

0 -0.848 0.53 [0] 21.504 13.083 1.429 -21.504 -13.083

0 -0.53 -0.848 8.748 -2.287 -13.083 -8.748

1 0 0 16.96 -1.429 2.287

[0] 0 0.848 -0.53 21.504 13.083

0 0.53 0.848 8.748

[k]3x3x

[k]1x3x

[k]3x1x

[k]1x1x

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (2-4) Çubuğu

Page 29: matris deplasaman yöntemi

29

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden

Sonra

Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

Page 30: matris deplasaman yöntemi

30

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden

Sonra

3-1, 1-2 ve 2-4 Çubuklarının Yerleştirilmesinden Sonra

Mesnetlere Karşılık Gelen 3 ve 4 Ayrıldıktan Sonra

Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

1 2

1

2

Page 31: matris deplasaman yöntemi

31

1 2

26.960 1.429 0.412 5 0 1.875

1 49.254 -13.083 0 -27.750 0

9.217 -1.875 0 -0.469

26.960 1.429 -0.412

2 49.254 13.083

9.217

Sistem Rijitlik Matrisi

Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

Page 32: matris deplasaman yöntemi

32

1.042 1.042

[p0]3x = -1.250 [p0]1x = -1.250

0 0

Dış Yükler İçin Yük Vektörünün Elde Edilmesi

Page 33: matris deplasaman yöntemi

33

-1.042

-1.250

[p0]1x 0

[p0]2x 0

0

0

=[p0]=

Dış Yükler İçin [P0] Yük Vektörünün Elde Edilmesi

Page 34: matris deplasaman yöntemi

34

0.0416

0.1748

[d]1x 0.2345

[d]2x -0.0031

0.1568

-0.2198

=[d]=

Dış Yükler İçin Hesap

Yerdeğiştirmelerin Hesabı

qPdS 0

Page 35: matris deplasaman yöntemi

35

Çubuk 3-1 1-2 2-4

2.181 -0.45 0.673

[P]3 1.77 [P]1 -0.50 [P]2 -0.497

0.941 -0.141 0.145

0.450 -0.674 0.699

[P]1 -0.350 [P]2 -0.500 [P]4 -0.497

-0.384 -0.141 0.145

= = =

= = =

Dış Yükler İçin Çubuk Kuvvetleri

Page 36: matris deplasaman yöntemi

36

Örnek #2 ye ait PDF dosyası ....

Page 37: matris deplasaman yöntemi

37 11 mxmxmxm qdS

n = 4 3n = 12 degrees of static freedom

m = 4 < 3n = 12 degrees of static freedom

n = 4 ; 3n = 12 statik serbestlik derecesi

m = 4 statik serbestlik derecesi

131333 nxnxnnx qdS

Yatay Rijitlik Matrisi(İndirgenmiş Sistem Rijitlik Matrisi)

Page 38: matris deplasaman yöntemi

38

The stiffness matrix

1 2 3 4

1

2

3

4

[S] Sistem Rijitlik Matrisi

D1D2

D3

Page 39: matris deplasaman yöntemi

39

The stiffness matrix

1 2 3 4

1

2

3

4

Mome

nt Dü

şey İzd

üşüm

Yatay

İzdüşü

m

[S]r Yeniden Dizilmiş Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)

Nasıl Yapılıyor?

Page 40: matris deplasaman yöntemi

40

The stiffness matrix

1 2 3 4

1

2

3

4

[ 0 ]

[ S ]

[S]r Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)

Gauss Eleme

Yöntemi İle

İndirgeme

Page 41: matris deplasaman yöntemi

41

The stiffness matrix

Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması

Page 42: matris deplasaman yöntemi

42

The stiffness matrix

Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması

Kod Parametreleri

Sıra UçKuv. 1 2 3 4 5 6 1 1 0 5 1 5 2 6 2 5 5 1 2 6 6 0 3 6 10 9 9 10 10 0 4 2 7 3 4 8 8 0 5 3 0 10 9 10 9 10 6 4 0 7 3 7 4 8

Page 43: matris deplasaman yöntemi

43

Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması

Page 44: matris deplasaman yöntemi

44

f11 f12

f12 f22 [F]= 1 FS

Yatay Rijitlik Matrisinin Bir Diğer Yolla Elde Edilmesi