เรื่อง ระบบสมการเชงิเสน้และเมทรกิซ์

มติิ i j แถว หลัก

เชน่ A = เมทรกิซ ์A มีมติิ 23

a13 คือ สมาชกิของเมทรกิซ ์A ตำาแหน่งท่ี 1 3

หมายถึง สมาชกิของเมทรกิซ ์A ตัวท่ีอยู่ในแถวท่ี 1 หลักท่ี 3

A = Bต้องม ี มติิท่ีเท่ากัน สมาชกิในตำาแหน่ง เดียวกันเท่ากัน

เชน่ ถ้า จะได้ x = 1 , y = 2 , a = 3

และ b = 4แต่

A + Bต้องม ี มติิท่ีเท่ากัน ดำาเนินการกับสมาชกิในตำาแหน่งเดียวกัน

เชน่

A Bใช ้ แถว หลัก นำาผลคณูมาบวกกัน

ต้องมีหลักของตัวตั้งเท่ากับแถวของ

ตัวคณู

เชน่

ถ้า A B แล้ว AB BA

มติิ 23 31 2 1

(2)

สลับ แถว กับ หลัก

เชน่ ถ้า A = เมทรกิซ ์A มมีติิ 23

แล้ว At = เม

ทรกิซ ์At มมีติิ 32

AA-1 = A-

1A = In

ถ้า AB = In แล้ว B = A-1

เมื่อ ad – bc 0 ได้

และ

คณูทแยงลงมค่ีาเป็นบวก คณูทแยงขึ้นมค่ีาเป็นลบ

เมื่อ m > 2ผลบวกของผลคณูระหวา่งสมาชกิกับค่า

โคเฟกเตอร์แต่ละตำาแหน่งของแถวหรอืหลักท่ีเลือก

และ เมื่อ det(A) 0

det(A) = det(At) det(kA) = kmdet(A) det(AB) = det(A) det(B) det(A-1) =

(3)เมทรกิซเ์อก

ฐาน(Sigolar Matrix)

ถ้าเมทรกิซ ์ A ม ีdet(A) = 0 แล้ว A จะเป็นเมทรกิซเ์อกฐาน (ไมม่ ีA-

1) เมทรกิซไ์มเ่อก

ฐาน(Non-Sigolar Matrix)

ถ้าเมทรกิซ ์ A ม ีdet(A) 0 แล้ว A จะเป็นเมทรกิซไ์มเ่อกฐาน(ม ีA-

1)

เมื่อ det(A) 0

โดยท่ี และ เมื่อ เป็นค่าดีเทอรม์นัินต์ของเมทรกิซท่ี์เกิดจากการตัดแถวท่ี i กับหลักท่ี j

เลือก แถวท่ี 1det(A) = 1C11(A) + 2C12(A) + 6C13(A)= 1M11(A) + 2(-1)M12(A) + 6M13(A)= -11 + (21) + (64)= -11 + 2 + 24 = 15

(4)การแก้ระบบ

สมการ

ใชตั้วผกผันการคณูA เป็นเมทรกิซส์มัประสทิธ์X เป็นเมทรกิซ์ตัวแปรB เป็นเมทรกิซ์ตัวคงท่ี

AX = B X = A-1B

เชน่ x – 3z = -23x + y – 2z = 52x + 2y + z = 4

จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังนี้

ใชตั้วผกผันการคณู

ให ้

ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 ,

2 )(5)

ถ้า det(A) 0 แล้ว det(adj(A)) = det(A)m-1

การแก้ระบบสมการ

ใชก้ฎของคราเมอร์เมื่อ det(A)

0A เป็นเมทรกิซส์มัประสทิธ์Ax เป็นเมทรกิซท่ี์เกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 1 ของเมทรกิซ ์A ด้วยตัวคงท่ีAy เป็นเมทรกิซท่ี์เกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 2 ของเมทรกิซ ์A ด้วยตัวคงท่ีAz เป็นเมทรกิซท่ี์เกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 3 ของเมทรกิซ ์A ด้วยตัวคงท่ี

เชน่ x – 3z = -23x + y – 2z = 52x + 2y + z = 4

จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังนี้

ใชก้ฎของคราเมอร์

ให ้

ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )

(6)

การแก้ระบบสมการ

ใชเ้มทรกิซ์แต่งเติมA เป็นเมทรกิซส์มัประสทิธ์X เป็นเมทรกิซ์คำาตอบB เป็นเมทรกิซ์ตัวคงท่ีIn เป็นเมทรกิซ์เอกลักษณ์

A B In X

เชน่ x – 3z = -23x + y – 2z = 52x + 2y + z = 4

จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังนี้

ใชเ้มทรกิซแ์ต่งเติม

จากบรรทัดท่ี 1 ได้ x = 4จากบรรทัดท่ี 2 ได้ y = -3จากบรรทัดท่ี 3 ได้ z = 2

ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )

A In In A-1

ใชเ้มทรกิซแ์ต่งเติม ดำาเนินการตามแถวหา A-1

(7)แนวขอ้สอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชงิเสน้

และเมทรกิซ์

1. ถ้า

แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับขอ้ใด ก. -2 ข. 0 ค. 2 ง. 342. กำาหนดให ้ และ แล้ว ค่าของ 2A – Bt เท่ากับขอ้ใด ก. ข. ค. ง.

4. เมทรกิซใ์นขอ้ใดเป็นตัวผกผันการคณู ของเมทรกิซ ์

ก.

ข.

ค.

ง.

5. ถ้า = แล้ว ค่าของ x เท่ากับขอ้ใด ก. 0 ข. -2 ค. 2

3. กำาหนดให ้

และ

แล้ว ขอ้ใดต่อไปนี้ถกูต้อง ก. ข. ค. ง.

ง. 46. กำาหนดให ้

แล้ว เท่ากับขอ้ใด ก. 6 ข. 7 ค. 8 ง. 14

(8)

7. กำาหนดให ้ และ แล้ว ขอ้ใดต่อไปนี้ไมถ่กูต้อง ก. ข. ค. ง.

8. ถ้า

แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด ก. 0

9. ถ้า

แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด ก. -125 ข. -29 ค. -5 ง. 2510. จากระบบสมการ

ค่าของ x + y + z เท่ากับขอ้ใด ก. 7

ข. 12 ค. 24 ง. -24

ข. 5 ค. 4 ง. 3

(9)

เฉลยแนวขอ้สอบปลายภาค เรื่องระบบสมการเชงิเสน้

และเมทรกิซ์

1. ถ้า แล้ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับขอ้ใดแนวคิด เมทรกิซท่ี์เท่ากันยอ่มมสีมาชกิในตำาแหน่งเดียวกันเท่ากัน

ดังนัน้ x + y = 2 และ 5 = x – 3 x = 5 + 3 = 8

แทนค่า x = 8 ใน x + y = 2 8 + y = 2

y = 2 – 8 = -6

เพราะฉะนัน้ 2x – 3y = 2(8) – 3(-6) = 16 + 18 = 34

ตอบ ง. 34(หรอือาจจะหาค่า x และ y จาก -5 = 2y+7 และ x –

y = 14)

2. ให ้ และ แล้ว 2A – Bt มค่ีาเท่าใดแนวคิด 1) หาค่า 2A จาก ได้

2) หาค่า Bt จาก ได้

3) หาค่า 2A – Bt 2A – Bt = –

= =

ตอบ ข. (10)

3. ให ้ และ แล้ว ขอ้ใดต่อไปน้ี

ถกูต้องแนวคิด ก.

A มมีติิ 23

B มมีติิ 32ฉะนัน้ AB มมีติิ 22

ดังนัน้ ก. ผิดข.

B มมีติิ 32 A มมีติิ 23 ฉะนัน้ BA มมีติิ 33

แต่ ข. มมีติิ 22 ดังนัน้ ข. ผิด ค.

เพราะวา่ ฉะนัน้ ดังนัน้ ค. ถกูต้อง ง.

เพราะวา่ ดังนัน้ ง. ผิด ตอบ ค.

(11)4. เมทรกิซใ์นขอ้ใดเป็นตัวผกผันการคณูของเมทรกิซ ์

แนวคิด

เมื่อ ad – bc 0 ได้

และ

ฉะนัน้ ตัวผกผันการคณูของเมทรกิซ ์ คือ

ก. =

ข. =

ค. =

ง.

ตอบ ข.

5. ถ้า = แล้ว ค่าของ x เท่ากับขอ้ใดแนวคิด จากโจทยก์ำาหนดใหค่้าดีเทอรม์นัินต์เท่ากัน ฉะนัน้ต้องนำาแต่ละค่าไปหาค่า

= = = = =

แต่ = ฉะนัน้ = + 4 = 0

(x – 2)(x – 2) = 0 x = 2 ตอบ ค. 2

(12)

6. กำาหนดให ้ แล้ว เท่ากับขอ้

ใด

แนวคิด

= (–1)( –4 – 3)

= (–1)( –7) = 7

= 4 – 3 = 1

ดังนัน้ = 7 + 1 = 8

ตอบ ค. 8

(13)

7. ให ้ และ แล้ว ขอ้ใดต่อไปน้ีไมถ่กูต้องแนวคิด ก.

ดังนัน้ ก. ถกูต้องข.

เพราะวา่ det(AB) = det(A) det(B) = –23 12 = –276

ดังนัน้ ข. ถกูต้องค.

เพราะวา่ det(A) = det(At) ดังนัน้ det(A+B) = det(A+B)t

ซึ่ง จาก ก. ฉะนัน้ ดังนัน้ ค. ถกูต้อง

ง. เพราะวา่ det(A-1) = ซึ่ง จาก ก. ฉะนัน้

ดังนัน้ ง. ไมถ่กูต้อง ตอบ ง.

(14)

8. ถ้า แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด

แนวคิด = = [004]+[(-1)30]+[2(-3)(-2)]–[002]–[(-2)30]–[4(-3)(-1)]= 0 + 0 + 12 – 0 – 0 – 12= 0

หรอื ใชว้ธิเีลือก หลักท่ี 1 ซึ่งมสีมาชกิเป็น 0 , -3 , 0

= 0 + (-3) + 0 = 0 + (-3) + 0

= = = = (-1)[(-8) + 8] = (-1) 0 = 0

ตอบ ก. 0

(15)

9. ถ้า แล้ว มค่ีาเท่ากับขอ้ใด

แนวคิด

เมื่อ ถ้า det(A) 0 แล้ว det(adj(A))

= det(A)m-1

= = [114]+[(-1)(-3)0]+[23(-2)]–[012]–[(-2)(-3)1]–[43(-1)]= 1 + 0 + (-12) – 0 – 6 – (-12)= -5

= 3-1 = (-5) 3-1 = (-5)2 = 25

ตอบ ง. 25

(16)

10. จากระบบสมการ ค่าของ x + y + z เท่ากับขอ้ใด

แนวคิด จากระบบสมการเขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ ดังน้ี

ใชก้ฎของคราเมอร์

ให ้

ดังนัน้ x + y + z = 4 + (-3) + 2 = 3ตอบ ง. 3

(17)

ตัวอยา่งขอ้สอบ Entrant

เรื่องระบบสมการเชงิเสน้และเมทรกิซ์

1) กำาหนดให ้

และ แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มค่ีาเท่ากับเท่าใด

(Ent. 45 คณิต 2)2) ให ้x เป็นจำานวนจรงิบวก

และ A เป็นเมตรกิซโ์ดยท่ี ถ้า det [ A2] = 16

แล้ว det [8A-1 + 2At] มค่ีาเท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 40 2. 72 3. 80 4.

82 (Ent. 46 คณิต 2)

3) กำาหนดเมตรกิซ ์ ถ้า a, b เป็นคำาตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45 โดยท่ี a > b แล้ว 2a – b มค่ีาเท่ากับเท่าใด

(Ent. 47 คณิต 2)4) ถ้า

และ det (ABt) = -132 แล้ว det (A + B) มค่ีาเท่ากับเท่าใด

(Ent. 47 คณิต 2)(18)

5) กำาหนดให ้x เป็นจำานวนเต็ม และ

ถ้า det (A – B) = 44 แล้ว เท่ากับเท่าใด

(Ent. 47 คณิต 2)6) ถ้า x และ y เป็นจำานวนจรงิ

ซึ่งสอดคล้องกับสมการ แล้ว y2 – 2x เท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8(Ent. 48 คณิต 2)

7) ถ้า A เป็น 22 เมตรกิซ ์ ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0

และ det (A) เป็นจำานวนเต็ม แล้วขอ้ใดต่อไปน้ีถกู 1. det (A) 10 2. 10 det

(A) 20 3. 20 det (A) 30 4. det (A) 30

(Ent. 48 คณิต 2)

8) กำาหนดให ้ และ

ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด

(Ent. 48 คณิต 2)(19)เฉลย

ตัวอยา่งขอ้สอบ Entrant เรื่องระบบสมการเชงิเสน้และเมทรกิซ์

1) กำาหนดให ้ และ

แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มค่ีาเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2)

แนวคิด

จาก

ได้ ……..

และ ได้ ……..

+

ดังนัน้ det [5(A-1 + Bt)] = 2515 – 255 = 375 – 125 = 250

ตอบ 250(20)

2) ให ้x เป็นจำานวนจรงิบวก และ A เป็นเมตรกิซโ์ดยท่ี

ถ้า det [ A2] = 16 แล้ว det [8A-1 + 2At] มค่ีาเท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี (Ent. 46 คณิต 2) 1. 40 2. 72 3. 80

4. 82

แนวคิด จาก det(A) = (1+x) (1+x) – 11 = 1 + 2x + x2 – 1 = x2 + 2x

เพราะวา่ det[ A2] = ( )2det(A2) = [det(A)]2

= [ (x2 + 2x)]2

แต่โจทยก์ำาหนดให ้ det[ A2] = 16 = 42 ฉะนัน้ [ (x2 + 2x)] = 4ดังนัน้ (x2 + 2x) = 4 หรอื (x2 + 2x) = -4

x2 + 2x = 8 หรอื x2 + 2x = -8

x2 + 2x – 8 = 0 หรอื x2 + 2x + 8 = 0 เป็นไปไมไ่ด้ (x – 2)(x + 4) = 0 ได้ x = 2 , -4

แต่โจทยก์ำาหนดให ้ x เป็นจำานวนจรงิบวก ดังนัน้ x คือ 2ดังนัน้ ดังนัน้ det (8A-1 + 2At) = (99) – [(-3)(-3)] = 81 – 9 = 72

ตอบ 2. 72(21)

3) กำาหนดเมตรกิซ ์ ถ้า a, b เป็นคำาตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 โดย a > b แล้ว 2a – b มค่ีาเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)

แนวคิด จาก ได้ det (A) = x(-x) – 1(-1) = -x2 + 1

det (A2) = (x2 – 1)(-1 + x2) = -x2 + 1 + x4- x2

= x4– 2x2 + 1 เพราะวา่ det (2A2) = 22det (A2) = 4(x4– 2x2 + 1) = 4x4– 8x2 + 4 และ det(A-1) = = =

แทนค่าใน det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)3( ) = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)2 = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – 2x2+x4) =

45 5x4– 10x2 + 5 = 45 x4– 2x2 + 1 = 9 x4– 2x2 – 8 = 0 (x2– 4)(x2+ 2) = 0แต่ (x2+ 2) 0 ฉะนัน้ (x2– 4) = 0

(x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 , -2

แต่โจทยก์ำาหนดให ้ a, b เป็นคำาตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45

โดยท่ี a > b ดังนัน้ a คือ 2 และ b คือ -2 แล้ว 2a – b = 22 – (-2) = 4 + 2 = 6

ตอบ 6(22)

4) ถ้า , และ det (ABt) = -132 แล้ว det (A + B) มค่ีาเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)

แนวคิดจาก ได้ det (A) = -31 – aa2 = -3 – a3

และ ได้ det (B) = 43 – 0(-1) = 12เพราะวา่ det (ABt) = det (A) det (Bt) และ det(Bt) = det (B)

ได้ det (ABt) = (-3 – a3) 12 แต่โจทยก์ำาหนดให ้ det (ABt) = -132

ดังนัน้ (-3 – a3) 12 = -132 (-3 – a3) = -11

– a3 = -8 a3 = 8

a = 2จาก และ ได้ = แต่ a = 2 ดังนัน้ det (A + B) = =

= 14 – 23 = 4 – 6 = -2

ตอบ -2(23)

5) กำาหนดให ้x เป็นจำานวนเต็ม และ ,

ถ้า det (A – B) = 44 แล้ว เท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)

แนวคิด จาก และ

ได้ det (A) = (x+1)(2x+3) ได้ det (B) = (2 – x)(5 – 3x)

= x2 + 5x + 3 = 10 – 11x + 3x2

= ได้ det (A – B) = (2x–1)(5x–2) – 11(2 –

3x) = 10x2– 9x + 2 – 22 + 33x =

10x2+ 24x – 20 แต่โจทยก์ำาหนดให ้ det (A – B) = 44 ฉะนัน้

10x2+ 24x – 20 = 44 10x2+ 24x – 20 – 44

= 0 10x2+ 24x – 64

= 0 5x2+ 12x – 32

= 0 (5x – 8)(x + 4)

= 0

x = -4 , แต่โจทยก์ำาหนดให ้ x เป็นจำานวนเต็ม ดังนัน้ x = -4

ดังนัน้ det (A) = x2 + 5x + 3 = (-4)2 + 5(-4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -1 และ det (B) = 10 – 11x + 3x2

= 10 – 11(-4) + 3(-4)2 = 10 + 44 + 48 = 102

เพราะวา่ det (A-1B) = det (A-1) det (B) และ det(A-1) = แทนค่า หา det (A-1B) ได้ det (A-1B) = 102 = -102ดังนัน้ = = 102

ตอบ 102(24)

6) ถ้า x และ y เป็นจำานวนจรงิ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ แล้ว y2 – 2x เท่ากับขอ้ใดต่อไปน้ี (Ent. 48 คณิต 2)

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

แนวคิด จาก

ได้ 93x + 82y = 5 ……..

63x + 42y = 3 ……..

2, 123x + 82y = 6 …….. –, 33x = 1

3x = 3x = 3-1 x = -1

แทนค่า 3x = ใน ได้ 6 + 42y = 3 2 + 42y

= 3 42y = 1 2y =

2y = 2-2 y = -2

ดังนัน้ y2 – 2x = (-2)2 – 2(-1) = 4 + 2 = 6

ตอบ 2. 6(25)

7) ถ้า A เป็น 22 เมตรกิซ ์ ซึ่ง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 และ det (A) เป็นจำานวนเต็ม แล้วขอ้ใดต่อไปน้ีถกู (Ent. 48 คณิต 2)

1. det (A) 10 2. 10 det (A) 20 3. 20 det (A) 30 4. det (A) 30

แนวคิดจาก 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 ( ใชค้วามรูเ้กี่ยวกับ det(A) = det(At) ดังนัน้ det( (A-

1)t = det( (A-1) ) det(3(A-1)t) = 32det( (A-1)t) = 9det(A-1)

= 9 = ดังนัน้ 2det (A) + 3 – 55 = 0

2det (A) det (A) + 3 det (A) – 55 det (A) = 0det (A)

2det2(A) + 27 – 55det (A) = 0

2det2(A) – 55det (A) + 27 = 0

(2det(A) – 1)(det(A) – 27) = 0

ได้ det(A) = , 27

แต่กำาหนดให ้ det (A) เป็นจำานวนเต็ม

ดังนัน้ det(A) = 27แต่ det(3(A-1)t) = แสดงวา่ det (A) 0

ฉะนัน้ ตัวเลือก 1. det (A) 10 ตัวเลือก 2. 10 det (A) 20

และ ตัวเลือก 4. det (A) 30 ผิดตอบ 3. 20 det (A)

30 (26)

9) กำาหนดให ้ และ ถ้า det (2A) = 28 แล้ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2)

แนวคิด ใชค้วามรูเ้กี่ยวกับ det(kA) = kmdet(A)

det(AB) = det(A) det(B) det(A-1) =

จากกำาหนดให ้ det (2A) = 28 ได้ 22det (A) = 28

นัน้คือ det (A) = 7 แต่จาก ได้ det(A) = x3 – 1

ดังนัน้ x3 – 1 = 7 x3 = 8 นัน้คือ x = 2

แต่จาก ได้ det(B) = (x-1)(x-1) – (-x2) = x2 – 2x

+ 1 + x2 = 2x2 – 2x + 1แทน x = 2 ใน det(B) = 2x2 – 2x +

1 ได้ det(B) = 2(2)2 – 2(2) + 1 =

8 – 4 + 1 = 5เพราะวา่ det (AB-1) = det (A) det (B-1)

= det (A) = 7

= ตอบ

……The End……