Matriz mudança de base

Laura Goulart

UESB

21 de Agosto de 2018

Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 1 / 8

8 - Coordenadas de um vetor

A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos

vetores está �xada.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.

Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais

que v =n∑

i=1

αivi .

Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a

base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:

[v ]B =

α1α2...

αn

n×1

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8 - Coordenadas de um vetor

A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos

vetores está �xada.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.

Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais

que v =n∑

i=1

αivi .

Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a

base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:

[v ]B =

α1α2...

αn

n×1

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8 - Coordenadas de um vetor

A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos

vetores está �xada.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.

Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais

que v =n∑

i=1

αivi .

Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a

base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:

[v ]B =

α1α2...

αn

n×1

Laura Goulart (UESB) Matriz mudança de base 21 de Agosto de 2018 2 / 8

8 - Coordenadas de um vetor

A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos

vetores está �xada.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.

Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais

que v =n∑

i=1

αivi .

Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a

base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:

[v ]B =

α1α2...

αn

n×1

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8 - Coordenadas de um vetor

A partir de agora iremos trabalhar com bases ordenadas, ie, a posição dos

vetores está �xada.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {v1, . . . , vn}uma base de V.

Pela de�nição de base, dado v ∈ V , existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais

que v =n∑

i=1

αivi .

Os escalares dessa combinação linear são as coordenadas de v em relação a

base B e podemos representá-los através de uma matriz da seguinte forma:

[v ]B =

α1α2...

αn

n×1

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Exemplos

8.1) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base

canônica.

8.2) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base

B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)}.

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Exemplos

8.1) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base

canônica.

8.2) Ache as coordenadas de v = (−1, 2, 3) com relação a base

B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)}.

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9 - Matriz Mudança de Base

Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para

uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e

C = {v1, . . . , vn} bases de V.

Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como

combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un

...

vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun

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9 - Matriz Mudança de Base

Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para

uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e

C = {v1, . . . , vn} bases de V.

Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como

combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un

...

vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun

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9 - Matriz Mudança de Base

Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para

uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e

C = {v1, . . . , vn} bases de V.

Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como

combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1un

v2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un...

vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun

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9 - Matriz Mudança de Base

Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para

uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e

C = {v1, . . . , vn} bases de V.

Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como

combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un

...

vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun

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9 - Matriz Mudança de Base

Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para

uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e

C = {v1, . . . , vn} bases de V.

Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como

combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un

...

vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun

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9 - Matriz Mudança de Base

Quando quisermos expressar as coordenadas de um vetor na base B para

uma base C, usaremos uma matriz dita matriz mudança de base.

Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considere B = {u1, . . . , un} e

C = {v1, . . . , vn} bases de V.

Como B é uma base de V podemos escrever cada vetor C como

combinação linear de B da seguinte forma:v1 = α11u1 + α21u2 + · · ·+ αn1unv2 = α12u1 + α22u2 + · · ·+ αn2un

...

vn = α1nu1 + α2nu2 + · · ·+ αnnun

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A matriz P =

α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n...

.... . .

...

αn1 αn2 · · · αnn

é chamada matriz mudança

da base B para a base V e denotada por P = [M]BC .

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Exemplo

9.1) Ache a matriz mudança da base

B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} para a base canônica.

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Propriedades

MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e

vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)

MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e

D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e

Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .

Observação (9.1)

Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.

Exemplo (9.2)

Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do

R3.

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Propriedades

MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e

vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)

MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e

D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e

Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .

Observação (9.1)

Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.

Exemplo (9.2)

Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do

R3.

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Propriedades

MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e

vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)

MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e

D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e

Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .

Observação (9.1)

Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.

Exemplo (9.2)

Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do

R3.

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Propriedades

MB1) Se B=C temos que a matriz mudança de base de B para C, e

vice-versa, é a matriz identidade. (trivial)

MB2) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} e

D = {w1, . . . ,wn} bases de um e.v.r. V. Se P = [M]BC e

Q = [M]CD , então P · Q = [M]BD .

Observação (9.1)

Uma consequência é que a matriz mudança de base é inversível.

Exemplo (9.2)

Considere B = {(−1, 1, 1); (1,−1, 1); (1, 1,−1)} e C = canônica bases do

R3.

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MB3) Sejam B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vn} bases de um

e.v.r. V e considere v ∈ V . Então, [v ]B = [M]BC · [v ]C e

[v ]C = [M]CB · [v ]B .

Exemplo (9.3)

Vamos refazer os exemplos 9.1 e 9.2.

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