Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n 1, é uma disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||

Notação Condensada• Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.

a32a31

a22a21

a12a11

A =

aij = 3i – j

a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1

a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4

a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7

2 1

5 4

8 7

A =

TIPOS DE MATRIZES

MATRIZ QUADRADA (An)

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DIAGONAL PRINCIPAL

i = j

DIAGONAL SECUNDÁRIA

i + j = n + 1

TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ

Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At

049

132A2x3 = At

3x2 =

01

43

92

085

813

532A =

SIMÉTRICA

A = At

08-5

803-

5-30A =

ANTI SIMÉTRICA

A = - At

MATRIZ IDENTIDADE (In)

100

010

001

DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM

DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO

I3 =

ASSINALE V OU F

O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.

UFSC - 2003 ( )F

UFSC - 2005

V( )

UFSC - 2009 ( )V

UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a

soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO

DE MATRIZES

A.I = AB.I = BC.I = C

ASSINALE V OU F UFSC - 2005

( )F

OPERAÇÕESOPERAÇÕES

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

124

016

842

123

926

139

Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

Comutativa: A + B = B + A

(A + B)t = At + Bt

MULTIPLICAÇÃO MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ

–2 1

3 2M =

3.M =3.23.3

3.13.–2

=–6 3

9 63.M

PRODUTO DE MATRIZES

OPERAÇÕESOPERAÇÕES

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6

–3 1 0

2 4 –2

–1 2

3 5

–2 6

B =A =

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6

2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6

1214

16A.B

PRODUTO DE MATRIZES

Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A 0 B 0.

.00

11

10

10 0 0

0 0

Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B B.A .

A.I = I.A = A

A2 = A.A

OPERAÇÕESOPERAÇÕES

( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto.

01. n.r = m.p02. m = r + 104. p = 2m08. n = r16. n + r = p + m

GABARITO: 18

GABARITO: 05

( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz

x0x

0x2

021

é positivo se:

a) x > −4b) x < 0c) x < 2d) x < −4 ou x > 0e) x > −2 ou x < −6

1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO

0 3 9

0 8 3

0 4 1

0

0

241

2104

152

0

141

383

939

0

743

189

431

Fila de elementos Igual a zero

2 Filas paralelasIguais

2 Filas paralelas proporcionais

Uma das filas é a soma de duas outras

2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante trocará de sinal.

3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será multiplicado por esse número.

4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n

det (k.A) = kn. det A

Gabarito: -48

5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.

6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Gabarito: 70

7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B)

Gabarito: 70

IFSC - 2013

Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes abaixo:

10000

01000

00400

00020

00003

D

20168

1284

3342

2021

C

1000

11200

32830

25171

B

121

213

421

A

Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas.

01. A senha possui dois dígitos nulos.02. A senha possui seis dígitos.04. O último dígito da senha é zero.08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente.16. A + B +C + D = 45 .32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5.

Gabarito: 50

MATRIZ INVERSA

A . A-1 = In

detA

1detA 1

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

ASSINALE V OU F

UFSC - 2001

( )F

UFSC - 2004

( )V

UFSC - 2013 ( )V

MATRIZ INVERSA

A . A-1 = In

detA

1detA 1

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

ASSINALE V OU F

UFSC - 2011

( )V

UFSC - 2011

( )F

UEL – 2010

UDESC – 2009

Regra de Chió Abaixamento de ordem de um determinante

A =

1 2 4 2

3 7 5 6

1 10 4 5

3 8 2 3

7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)

10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)

8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)

det A= (-1)1+1

1 7 0

8 8 3

2 10 3

det A = - 4

1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1.

3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes.

4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos.

5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante