MatrizesCapítulo 6: Transformações Lineares e6 150 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza ernandezF Capítulo 6: Transformações Lineares

6

150

Livro: Introdução à Álgebra LinearAutores: Abramo Hefez

Cecília de Souza Fernandez

Capítulo 6: Transformações Lineares eMatrizes

Sumário

1 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . 151

2 Operações com Transformações Lineares e Ma-

trizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3 Operadores Lineares em R2 e em R3 . . . . . . . . 163

4 Mudança de Base e Matrizes Semelhantes . . . . 171

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 151

Neste capítulo, mostramos como associar matrizes a transformações line-

ares, reduzindo as operações com transformações lineares a operações com

matrizes, o que permite ganhar computabilidade.

1 Matriz de uma Transformação Linear

Nesta seção, veremos que se V e W são espaços vetoriais de dimensão

�nita, com bases �xadas, então uma transformação linear T : V → W pode

ser representada por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é

que muitos problemas associados às transformações lineares entre espaços

de dimensão �nita podem ser resolvidos com a teoria das matrizes, como

veremos na próxima seção e nos capítulos a seguir.

Seja T : V→W uma transformação linear, em que dimV=n e dimW=m.

Sejam α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wm} bases de V e W , respec-

tivamente. Como β é uma base de W , podemos determinar de modo único

números reais aij, com 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, tais que

T (vi) = a1iw1 + · · ·+ ajiwj + · · ·+ amiwm. (1)

Tomemos agora v em V . Temos que v = k1v1 + · · · + knvn, em que ki ∈ Rpara 1 ≤ i ≤ n. Pela linearidade de T e por (1), segue que

T (v) = k1T (v1) + · · ·+ knT (vn)

= k1(a11w1 + · · ·+ am1wm) + · · ·+ kn(a1nw1 + · · ·+ amnwm)

= (a11k1 + · · ·+ a1nkn)w1 + · · ·+ (am1k1 + · · ·+ amnkn)wm.

Logo,

[T (v)]β =

a11k1 + · · ·+ a1nkn...

am1k1 + · · ·+ amnkn

=

a11 · · · a1n...

...

am1 · · · amn

k1...kn

= [T ]αβ · [v]α,

(2)

152 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES

onde de�nimos

[T ]αβ =

a11 · · · a1n...

...

am1 · · · amn

.A matriz [T ]αβ , que representa T em relação às bases α e β, é chamada a

matriz de T nas bases α e β. Por (2), temos a expressão

[T (v)]β = [T ]αβ · [v]α para todo v em V . (3)

Observemos que [T ]αβ é uma matriz de ordem m × n tal que, para cada

1 ≤ i ≤ n, a i-ésima coluna de [T ]αβ é dada pelas coordenadas de T (vi) na

base β.

Exemplo 1. Sejam α = {(1, 1), (0, 2)} e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 0)},bases de R2 e R3, respectivamente. Calculemos [T ]αβ , onde T : R2 → R3 é

dada por T (x, y) = (2x, x− y, 2y).Como T é uma transformação linear de R2 em R3, [T ]αβ é uma matriz

3× 2, digamos

[T ]αβ =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

.Pelo que vimos, a11, a21 e a31 são as coordenadas de T (1, 1) na base β e

a12, a22 e a32 são as coordenadas de T (0, 2) na base β. Ou seja,

T (1, 1) = (2, 0, 2) = a11(1, 0, 1) + a21(0, 1, 0) + a31(1, 2, 0)

e

T (0, 2) = (0,−2, 4) = a12(1, 0, 1) + a22(0, 1, 0) + a32(1, 2, 0).

Equivalentemente,a11 + a31 = 2

a21 + 2a31 = 0

a11 = 2

e

a12 + a32 = 0

a22 + 2a32 = −2

a12 = 4 .


Resolvendo os sistemas lineares acima, obtemos

a11 = 2, a21 = 0, a31 = 0, a12 = 4, a22 = 6 e a32 = −4.

Portanto,

[T ]αβ =

2 4

0 6

0 −4

.No exemplo anterior, determinamos [T ]αβ a partir da transformação linear

T . No próximo exemplo, vamos considerar o problema inverso: dada a matriz

[T ]αβ , determinar T a partir desta matriz.

Exemplo 2. Sejam α e β as bases dadas no Exemplo 1. Determine a

transformação linear T : R2 → R3 tal que

[T ]αβ =

1 0

1 2

0 1

.Para determinar T usaremos a expressão (3). Assim, computemos inici-

almente [v]α.

Ora, se (x, y) ∈ R2, então

(x, y) = x(1, 1) +

(y − x2

)(0, 2),

o que nos dá

[(x, y)]α =

xy − x2

.Portanto,

[T (x, y)]β =

1 0

1 2

0 1

xy − x2

=

x

yy − x2

e, consequentemente,


T (x, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) +

(y − x2

)(1, 2, 0)

=

(y + x

2, 2y − x, x

).

O Exemplo 2 pode ser resolvido por um outro método. De fato, sabemos

que, na base β, a primeira coluna de [T ]αβ nos dá as coordenadas de T (1, 1)

e a segunda coluna nos dá as coordenadas de T (0, 2).

Assim,

T (1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(0, 1, 0) + 0 · (1, 2, 0) = (1, 1, 1)

e

T (0, 2) = 0 · (1, 0, 1) + 2(0, 1, 0) + 1(1, 2, 0) = (1, 4, 0).

Para (x, y) ∈ R2 arbitrário, temos

(x, y) = x(1, 1) +

(y − x2

)(0, 2).

Agora, pela linearidade de T , segue que

T (x, y) = x(1, 1, 1) +

(y − x2

)(1, 4, 0)

=

(y + x

2, 2y − x, x

),

como encontrado anteriormente.

Quando a transformação linear for de um espaço vetorial V nele mesmo,

ela será chamada de operador em V .

Exemplo 3. Consideremos o operador identidade em um espaço vetorial V ;

isto é, o operador de�nido por IV (v) = v para todo v ∈ V .Tem-se que [IV ]

αα é a matriz identidade de ordem n. De fato, para cada

1 ≤ j ≤ n, a j-ésima coluna de [IV ]αα é dada pelas coordenadas de IV (vj) na

base α. Mas, para cada 1 ≤ j ≤ n,

IV (vj) = vj = 0v1 + · · ·+ 0vj−1 + 1vj + 0vj+1 + · · ·+ 0vn,


o que implica que [IV ]αα é a matriz identidade de ordem n:

[IV ]αα =

1 · · · 0 · · · 0

0 0 0...

......

0 · · · 1 · · · 0...

......

0 · · · 0 · · · 1

.

↑ ↑ ↑coordenadas coordenadas coordenadas

de IV (v1) de IV (vj) de IV (vn)

na base α na base α na base α

Seja T : V → W uma transformação linear entre espaços vetoriais de

dimensão �nita. Vimos que, uma vez �xadas bases α e β de V e W , res-

pectivamente, existe uma única matriz [T ]αβ que representa T nessas bases.

Uma pergunta natural é o que ocorre com a matriz [T ]αβ se diferentes bases

são escolhidas. Consideremos a transformação linear dada no Exemplo 1. Se

α e β são as bases canônicas de R2 e R3, respectivamente, então

[T ]αβ =

2 0

1 −10 2

.Assim, podemos ter matrizes diferentes representando uma mesma trans-

formação linear. Isto deixa bastante claro que, embora uma transformação

linear T : V → W não dependa de bases particulares escolhidas para V e W ,

a matriz associada depende dessas bases.

Terminamos esta seção observando que escolhidas bases quaisquer α e β

de Rn e Rm, respectivamente, uma matriz A ∈ M(m,n) de�ne uma trans-

formação linear T : Rn → Rm como segue:

[T (v)]β = A · [v]α, v ∈ Rn.


Mais ainda, tem-se que [T ]αβ = A (veja Problema 1.2).

Em particular, se α e β são as bases canônicas de Rn e Rm, respectiva-

mente, então a transformação linear T é chamada transformação multiplica-

ção por A, sendo representada por TA.

Exemplo 4. Seja A = [aij] uma matriz de ordem m× n. Temos que

TA(x1, . . . , xn) =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

x1

x2...

xn

=

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

= x1w1 + x2w2 + · · ·+ xnwn,

onde w1, . . . , wn são os vetores colunas da matriz A.

Assim, temos que ImTA é o subespaço de Rm gerado pelas colunas da

matriz A, chamado espaço coluna de A e denotado por C(A). Por outro

lado, o núcleo KerTA de TA é o conjunto solução Sh(A) do sistema linear

homogêneo AX = 0.

Problemas

1.1 Dadas duas transformações lineares T, T ′ : V → W e bases α e β de V e

W , respectivamente, mostre que se [T ]αβ = [T ′]αβ , então T = T ′.

1.2* Sejam dados dois espaços vetoriais V e W de dimensões n e m, respec-

tivamente. Seja α uma base de V e β uma base de W . Dada uma matriz

A ∈M(m,n), considere a função T : V → W de�nida por

[T (v)]β = A[v]α, v ∈ V.


Mostre que:

(a) T é uma transformação linear;

(b) [T ]αβ = A.

1.3 Sejam A e B matrizes emM(m,n) e β uma base de um espaço vetorial

V . Mostre que se A[v]β = B[v]β para todo v ∈ V , então A = B.

1.4* Sejam T : Rn → Rm uma transformação linear e α e β bases de Rn e de

Rm, respectivamente. Se r é o posto da matriz [T ]αβ , mostre que

dim ImT = r e dimKerT = n− r.

1.5 Dadas as bases α = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} de R3 e β = {(1, 2), (0, 1)}de R2, ache a transformação linear T : R3 → R2 tal que

[T ]αβ =

[1 0 2

−1 −1 1

].

1.6 Dado o operador linear T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x−y, y−x, x−z), en-contre [T ]αβ , onde α é a base canônica de R3 e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.

1.7 Seja T : R3 → R3 a multiplicação pela matriz 1 3 4

3 4 7

−2 2 0

.(a) Mostre que KerT é uma reta que passa pela origem e encontre as equações

paramétricas desta reta.

(b) Mostre que ImT é um plano que passa pela origem e encontre a equação

cartesiana deste plano.

1.8 Dado o operador linear T (x, y, z) = (x− 2y+ z,−x+4y− 2z, x) em R3,

com base α = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)}, encontre uma base β de R3 tal


que

[T ]αβ =

1 0 0

0 0 0

0 0 1

.1.9 Seja T : R[x]2 → R[x]2 a transformação linear T (p(x)) = p(2x + 1)

(veja Exemplo 6, Seção 1, Capítulo 5). Encontre [T ]ββ em relação à base

β = {1, x, x2}.

1.10 Suponha que V e W tenham dimensão �nita. Mostre a matriz, em

quaisquer bases de V e de W , da transformação nula 0: V → W é a matriz

nula.

1.11 Seja α = {v1, v2, v3, v4} uma base de um espaço vetorial V . Encontre a

matriz [T ]αα da transformação linear T : V → V de�nida por

T (v1) = v2, T (v2) = v3, T (v3) = v4 e T (v4) = v1.

1.12 Seja T : R2 →M(2, 2) a transformação linear de�nida por

[T ]αβ =

1 −2−1 0

2 1

1 −1

,onde α e β são as bases canônicas de R2 eM(2, 2), respectivamente.

(a) Determine os vetores v ∈ R2 tais que T (v) = I2;

(b) Determine T (3,−1).

2 Operações com Transformações Lineares e Ma-

trizes

Sejam T e T ′ transformações lineares de V emW . Sejam α = {v1, . . . , vn}e β = {w1, . . . , wm} bases de V em W , respectivamente. Estamos interessa-

dos em veri�car se existe alguma relação entre as matrizes [T + T ′]αβ , [T ]αβ e

2. OPERAÇÕES COMTRANSFORMAÇÕES LINEARES EMATRIZES159

[T ′]αβ . Notemos que se 1 ≤ j ≤ n, então

[(T + T ′)(vj)]β = [T (vj) + T ′(vj)]β = [T (vj)]β + [T ′(vj)]β,

mostrando que a j-ésima coluna de [T + T ′]αβ é a soma da j-ésima coluna de

[T ]αβ com a j-ésima coluna de [T ]αβ . Demonstramos assim o seguinte resultado:

Proposição 6.2.1. Sejam T e T ′ transformações lineares de V em W , onde

V e W são espaços vetoriais de dimensão �nita. Se α e β são bases de V e

W , respectivamente, então

[T + T ′]αβ = [T ]αβ + [T ′]αβ .

Deixamos como exercício para o leitor (veja Problema 2.3) demonstrar a

próxima proposição, que é um resultado análogo ao anterior para a multipli-

cação por escalar de transformações lineares.

Proposição 6.2.2. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e

W são espaços vetoriais de dimensão �nita. Se α e β são bases de V e W ,

respectivamente, então

[kT ]αβ = k[T ]αβ ,

onde k é um número real arbitrário.

Decorre, das duas proposições acima, que [T+kT ′]αβ = [T ]αβ+k[T′]αβ , o que

mostra, em virtude dos Problemas 1.1 e 1.2, da Seção 1, que dados espaços

vetoriais V e W , de dimensões respectivamente, n e m, e �xadas bases α de

V e β de W , a aplicação

L(V,W ) → M(m,n)

T 7→ [T ]αβ

é um isomor�smo de espaços vetoriais. Portanto, temos que

dimL(V,W ) = dimM(m,n) = nm.

No próximo resultado veremos que a composta de duas transformações

lineares pode ser representada por um produto de matrizes. Esta é uma das

principais razões da importância do estudo de matrizes.


Proposição 6.2.3. Sejam T : V → W e S : W → U transformações lineares,

em que V,W e U são espaços vetoriais de dimensão �nita. Se α, β e γ são

bases de V,W e U , respectivamente, então

[S ◦ T ]αγ = [S]βγ · [T ]αβ . (1)

Demonstração Consideremos α = {v1, . . . , vn}. Denotemos por Cj(M) a

j-ésima coluna de uma matriz M arbitrária. Se A e B são matrizes para as

quais a matriz AB está de�nida, segue da de�nição de produto que

Cj(AB) = A · Cj(B). (2)

Para demonstrar (1) basta provar que, para cada j, com 1 ≤ j ≤ n, tem-se

que Cj([S ◦ T ]αγ ) = Cj([S]βγ · [T ]αβ). Ora, �xe um índice j. De (2), segue que

Cj([S]βγ · [T ]αβ) = [S]βγ · Cj([T ]αβ) = [S]βγ · [T (vj)]β.

Por outro lado, de (3), da Seção 1, segue que

Cj([S ◦ T ]αγ ) = [(S ◦ T )(vj)]γ = [S(T (vj))]γ = [S]βγ · [T (vj)]β,

o que prova o desejado. �

Exemplo 1. Sejam T : R2 → R3 e S : R3 → R2 transformações lineares

cujas matrizes são

[T ]αβ =

1 0

2 1

−1 1

e [S]βγ =

[1 0 1

0 0 1

],

sendo α = {(1, 0), (1, 1)}, β = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 2)}.Vamos encontrar a transformação linear S ◦ T .

Para determinarmos S ◦ T , vamos primeiramente determinar [S ◦ T ]αγ .Pela Proposição 6.2.3,

[S ◦ T ]αγ =

[1 0 1

0 0 1

] 1 0

2 1

−1 1

=

[0 1

−1 1

].

2. OPERAÇÕES COMTRANSFORMAÇÕES LINEARES EMATRIZES161

Agora por (3), da Seção 1, temos que, para qualquer (x, y) ∈ R2,

[(S ◦ T )(x, y)]γ =

[0 1

−1 1

][(x, y)]α

=

[0 1

−1 1

][x− yy

]

=

[y

2y − x

]e, consequentemente,

(S ◦ T )(x, y) = y(1, 0) + (2y − x)(0, 2) = (y, 4y − 2x).

Vimos que se T é uma transformação linear bijetiva, T−1 é também uma

transformação linear. O resultado a seguir, que é uma consequência da Pro-

posição 6.2.3, nos apresenta uma relação entre as matrizes que representam

T e T−1, quando �xadas bases do domínio e do contradomínio de T .

Teorema 6.2.4. Seja T : V → W um isomor�smo, onde V e W são espaços

vetoriais de dimensão �nita. Se α é uma base de V e β é uma base de W ,

então

[T−1]βα = ([T ]αβ)−1.

Demonstração Como T−1 é a inversa de T , temos que T−1 ◦ T é a função

identidade em V , ou seja,

T−1 ◦ T = IV .

Pela Proposição 6.2.3,

[IV ]αα = [T−1 ◦ T ]αα = [T−1]βα · [T ]αβ . (3)

Se dimV = n, pelo Exemplo 3, da Seção 1, temos que [IV ]αα é a matriz

identidade de ordem n. Assim, de (3), segue-se que [T ]αβ é invertível e sua

inversa é a matriz [T−1]βα. �

Corolário 6.2.5. Seja T : V → W uma transformação linear, onde V e W

são espaços vetoriais de mesma dimensão �nita. Sejam α e β bases de V


e W , respectivamente. Temos que T é invertível se, e somente se, a matriz

[T ]αβ é invertível.

Demonstração Uma implicação resulta de (3). A outra, do fato que a

transformação linear L(V,W ) → M(n, n), onde n = dimV = dimW , é

sobrejetora e transforma composição de transformações lineares em produtos

de matrizes.

�

Exemplo 2. Seja T : R2 → R2 a transformação linear dada por T (x, y) =

(4x − 3y,−2x + 2y). Vamos veri�car que T é invertível e vamos encontrar

T−1.

Para veri�carmos que T é invertível, podemos calcular KerT e usar a

Proposição 5.2.4, ou, ainda, podemos calcular [T ]αα, onde α é uma base qual-

quer de R2, e usar o Corolário 6.2.5. Vamos aqui optar pelo segundo método.

Ora, se α é a base canônica de R2, então

[T ]αα =

[4 −3−2 2

].

Utilizando a técnica exposta logo após a Proposição 2.1.7, podemos veri�car

que a matriz acima é invertível e a sua inversa é a matriz[1 3/2

1 2

].

Portanto, devido ao Teorema 6.2.4, temos que

[T−1]αα = ([T ]αα)−1 =

[1 3/2

1 2

].

A transformação linear T−1 é, então, determinada usando a fórmula (3) da

Seção 1, como segue:

[T−1(x, y)]α = [T−1]αα [(x, y)]α =

[1 3/2

1 2

][x

y

]=

[x+ 3

2y

x+ 2y

],

3. OPERADORES LINEARES EM R2 E EM R3 163

o que fornece

T−1(x, y) = (x+3

2y, x+ 2y).

Problemas

2.1 Sejam

A =

1 0 1

0 2 −10 0 1

e B =

1 1 −10 0 1

−1 2 0

.Determine a transformação linear T : R3 → R3 tal que TA = TB ◦ T .

2.2 Considere as matrizes

A =

1 2

0 1

1 −1

e B =

1 1 1

−1 0 0

1 2 1

.Determine:

(a) KerTA; (b) ImTA; (c) KerTB;

(d) ImTB; (e) Ker(TB ◦ TA); (f) Im(TB ◦ TA).

2.3 Prove a Proposição 6.2.2.

3 Operadores Lineares em R2 e em R3

Dentre os operadores lineares mais importantes em R2 e em R3 estão os

que produzem re�exões, projeções e rotações. A seguir, passamos a estudar

alguns destes operadores.

Re�exões Consideremos o operador linear T : R2 → R2, chamado de re�e-

xão em torno do eixo Ox, que transforma cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua

imagem simétrica em relação ao eixo Ox.Figura 10

Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), obtemos as equações

w1 = x = 1x+ 0y, w2 = −y = 0x− 1y.


Assim, se α denota a base canônica de R2, segue que

[T (v)]α =

[1 0

0 −1

][v]α.

Em geral, os operadores lineares de R2 ou de R3 que levam cada vetor em

seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de re�exões .

Abaixo, apresentamos algumas das re�exões mais comuns em R2 e R3. Fi-

xamos a notação α para denotar a base canônica de R2 ou de R3.


Operador Equações Matriz [T ]αα

Re�exão em torno

do eixo Oy

{w1 = −xw2 = y

[−1 0

0 1

]

Re�exão em torno

da reta y = x

{w1 = y

w2 = x

[0 1

1 0

]

Re�exão em torno

do plano xOy

w1 = x

w2 = y

w3 = −z

1 0 0

0 1 0

0 0 −1

Re�exão em torno

do plano yOz

w1 = −xw2 = y

w3 = z

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

Re�exão em torno

do plano xOz

w1 = x

w2 = −yw3 = z

1 0 0

0 −1 0

0 0 1

Projeções Consideremos o operador linear T : R2 → R2 que transforma

cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua projeção ortogonal sobre o eixo Ox

(Figura 11). Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), obteremos as equações

w1 = x = 1x+ 0y, w2 = 0 = 0x+ 0y.

Assim, se α denota a base canônica de R2, temos

[T (v)]α =

[1 0

0 0

][v]α.

Figura 11

Em geral, uma projeção (ou, mais precisamente, uma projeção ortogonal)

de R2 ou R3 é um operador linear que transforma cada vetor em sua projeção


ortogonal sobre alguma reta ou algum plano que passa pela origem. A seguir,

apresentamos algumas das projeções mais comuns.


Projeção sobre

o eixo Oy

{w1 = 0

w2 = y

[0 0

0 1

]

Projeção sobre

o plano xOy

w1 = x

w2 = y

w3 = 0

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Projeção sobre

o plano yOz

w1 = 0

w2 = y

w3 = z

0 0 0

0 1 0

0 0 1

Projeção sobre

o plano xOz

w1 = x

w2 = 0

w3 = z

1 0 0

0 0 0

0 0 1

Rotações Consideremos o operador linear T : R2 → R2 que gira cada vetor

v = (x, y) ∈ R2 de um ângulo �xado θ (Figura 12). T é chamado de rotação

por θ em R2. Figura 12


Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), segue da trigonometria que

x = r cosφ, y = r senφ (1)

e

w1 = r cos(θ + φ), w2 = r sen(θ + φ), (2)

onde r denota o comprimento de v e φ denota o ângulo entre v e o eixo Ox

positivo no sentido anti-horário. Aplicando identidades trigonométricas em

(2), temos {w1 = r cos θ cosφ− r sen θ senφw2 = r sen θ cosφ+ r cos θ senφ.

Substituindo (1) nas expressões acima, obtemos as equações{w1 = x cos θ − y sen θw2 = x sen θ + y cos θ.

(3)

Assim, se α denota a base canônica de R2, obtemos

[T (v)]α =

[cos θ − sen θ

sen θ cos θ

][v]α.

Em geral, uma rotação de vetores em R3 é feita em relação a uma reta

partindo da origem, chamada eixo de rotação. À medida que um vetor gira

em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone (Figura 13).


O ângulo de rotação, que é medido na base do cone, é descrito no sentido

horário ou anti-horário em relação a um ponto de vista ao longo do eixo de

rotação olhando para a origem. Por exemplo, na Figura 13, o vetor T (v)

resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor v em torno do eixo Ox

por um ângulo θ. Assim como em R2, os ângulos são positivos se gerados

por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no

sentido horário.

Figura 13

Na tabela a seguir, apresentamos as rotações em R3 cujos eixos de rotação

são os eixos coordenados.



Rotação anti-horária

em torno do eixo Ox

por um ângulo θ

w1 = x

w2 = y cos θ − z sen θw3 = y sen θ + z cos θ

1 0 0

0 cos θ − sen θ

0 sen θ cos θ


em torno do eixo Oy

por um ângulo θ

w1 = x cos θ + z sen θ

w2 = y

w3 = −x sen θ + z cos θ

cos θ 0 sen θ

0 1 0

− sen θ 0 cos θ


em torno do eixo Oz

por um ângulo θ

w1 = x cos θ − y sen θw2 = x sen θ + y cos θ

w3 = z

cos θ − sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

Para cada uma das rotações na tabela acima, uma das componentes do

vetor permanece inalterada durante a rotação e a relação entre as duas outras

componentes pode ser deduzida da mesma forma que deduzimos (3).

Sabemos que a multiplicação por escalar de um vetor em R2 e em R3, de-

pendendo do valor do escalar, produz no vetor uma dilatação, contração ou

inversão. Podemos representar estes efeitos geométricos por meio de opera-

dores lineares. De fato, o operador linear Ta : R2 → R2, dado por Ta(v) = av,

em que a ∈ R e v ∈ R2, dilata v, se a ≥ 1; contrai v, se 0 ≤ a < 1; inverte

o sentido de v, se a < 0. No caso particular de a = −1, o operador Ta é

chamado re�exão em torno da origem. O que acabamos de ver vale também

para R3 (Figura 14). Figura 14

Exemplo 1. Determinemos se T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1, onde T1 : R2 → R2 é a

projeção ortogonal sobre o eixo Ox e T2 : R2 → R2 é a projeção ortogonal

sobre o eixo Oy.

Como vimos na Seção 2, compor transformações lineares é equivalente a

multiplicar as matrizes que representam estas transformações. Seja α a base


canônica de R2. Como

[T1]αα =

[1 0

0 0

]e [T2]

αα =

[0 0

0 1

],

segue que T1 ◦ T2 é dada pelo produto[1 0

0 0

][0 0

0 1

]=

[0 0

0 0

](4)

e que T2 ◦ T1 é dada pelo produto[0 0

0 1

][1 0

0 0

]=

[0 0

0 0

]. (5)

De (4) e (5), obtemos que T1 ◦ T2 e T2 ◦ T1 são o operador nulo em R2.

Portanto, T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1.

Problemas

3.1* Encontre a matriz na base canônica para a composição de uma rotação

de 90◦ seguida de uma re�exão em torno da reta y = x, em R2.

3.2* Determine a inversa do operador linear em R3 dado por uma re�exão

em torno do plano xOy.

3.3 Sejam T : R2 → R2 a re�exão em torno do eixo Oy e S : R2 → R2 a

re�exão em torno do eixo Ox. Mostre que S ◦ T = T ◦ S.

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 171

3.4 Sejam T : R2 → R2 a re�exão em torno da reta y = x e S : R2 → R2 a

projeção ortogonal sobre o eixo Oy. Mostre que S ◦ T 6= T ◦ S.

3.5 Mostre que se T : R3 → R3 é uma projeção ortogonal sobre um dos eixos

coordenados, então os vetores T (v) e v − T (v) são ortogonais, para cada v

em R3.

3.6 Seja T : R3 → R3 a projeção ortogonal sobre o plano xOy. Mostre que

uma reta ortogonal ao plano xOy é levada por T a um mesmo ponto deste

plano.

3.7 Determine a matriz na base canônica de T : R2 → R2, em que

(a) T dilata os vetores de R2 por 3, em seguida re�ete estes vetores em torno

da reta y = x e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo Oy;

(b) T contrai os vetores de R2 por1

2, em seguida gira estes vetores pelo

ânguloπ

4e depois re�ete estes vetores em torno do eixo Ox.

4 Mudança de Base e Matrizes Semelhantes

Um problema comum no estudo de espaços vetoriais de dimensão �nita é

conhecer as relações entre as coordenadas de um vetor em diferentes bases.

Como a noção de base é a generalização para espaços vetoriais arbitrários da

noção de sistemas de coordenadas em R2 e R3, mudar de base é análogo a

mudar de eixos coordenados em R2 ou R3.

Dado um espaço vetorial V arbitrário de dimensão �nita e duas bases α e

β de V , podemos obter uma relação entre as matrizes [v]α e [v]β de um vetor

v em V , usando, para isto, o operador identidade em V .

Com efeito, pela expressão (3) da Seção 1, para todo v ∈ V , temos que

[v]β = [IV ]αβ · [v]α. (1)

A matriz [IV ]αβ é chamada matriz mudança de base de α para β, pois, pela

igualdade (1), ela nos permite obter as coordenadas de um vetor v em V em

relação à base β uma vez conhecidas suas coordenadas na base α.


Exemplo 1. Considerando a base canônica α de R2 e a outra base β =

{(1, 1), (1, 2)}, temos que

[IR2 ]αβ =

[a1 b1

a2 b2

],

onde a1, a2, b1, b2 são números reais satisfazendo o sistema de equações(1, 0) = a1(1, 1) + a2(1, 2)

(0, 1) = b1(1, 1) + b2(1, 2).

Resolvendo as equações acima, obtemos a1 = 2, a2 = −1, b1 = −1 e

b2 = 1. Portanto,

[IR2 ]αβ =

[2 −1−1 1

].

Seja agora v = (x, y) em R2. Se

[v]β =

[x′

y′

],

então [x′

y′

]=

[2 −1−1 1

][x

y

],

o que garante que

x′ = 2x− y e y′ = −x+ y

são as coordenadas de v na base β. Ou seja,

(x, y) = (2x− y)(1, 1) + (−x+ y)(1, 2).

A Figura 15 ilustra como a determinação do par (2,3) em R2 depende da

base com a qual estamos trabalhando.


Figura 15

O próximo resultado mostra que uma matriz mudança de base é invertível

e que sua inversa também é uma matriz mudança de base.

Teorema 6.4.1. Sejam α e β duas bases de um espaço de dimensão �nita

V . Temos que a matriz [IV ]αβ é invertível e sua inversa é a matriz [IV ]βα. Ou

seja,

([IV ]αβ)−1 = [IV ]

βα.

Demonstração Como IV é um isomor�smo e I−1V = IV , o resultado segue

do Teorema 6.2.4. �

Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão �nita V e T

um operador linear em V . Com as matrizes mudança de base podemos obter

uma relação entre as matrizes [T ]αα e [T ]ββ. De fato, como T = IV ◦T ◦ IV ,segue, da Proposição 6.2.3, que

[T ]αα = [IV ◦T ◦ TV ]αα = [IV ]βα · [T ]

ββ · [IV ]

αβ ,

ou seja

[T ]αα = [IV ]βα · [T ]

ββ · [IV ]

αβ . (2)

No entanto, pelo Teorema 6.4.1, temos que [IV ]βα é a inversa de [IV ]αβ . Assim,

se denotarmos [IV ]αβ por P , a equação (2) pode ser reescrita como

[T ]αα = P−1 [T ]ββ P .


Com isto, demonstramos o seguinte resultado:

Teorema 6.4.2. Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão

�nita V . Se T é um operador linear em V , então

[T ]αα = P−1 · [T ]ββ · P, (3)

onde P = [IV ]αβ .

A relação dada na expressão (3) é de tal importância que existe uma ter-

minologia associada a ela. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem.

Dizemos que B é semelhante a A, quando existir uma matriz invertível P tal

que B = P−1AP . É fácil veri�car que se uma matriz B é semelhante a uma

matriz A, então A também é semelhante a B. Assim, dizemos simplesmente

que A e B são semelhantes . Por (3), temos que [T ]αα e [T ]ββ são semelhantes.

Exemplo 2. Para veri�car se as matrizes

A =

[5 2

−8 −3

]e B =

[1 2

0 1

]são semelhantes, devemos encontrar uma matriz invertível P tal que

PA = BP.

Se tal matriz P existir, ela necessariamente é uma matriz quadrada de ordem

2; digamos

P =

[x y

z t

].

Assim, [x y

z t

][5 2

−8 −3

]=

[1 2

0 1

][x y

z t

],

o que é equivalente ao sistema linear homogêneo4x− 8y − 2z = 0

2x− 4y − 2t = 0

4z − 8t = 0,


que admite a solução não trivial (3, 1, 2, 1). Portanto, obtemos a matriz

invertível

P =

[3 1

2 1

],

que satisfaz A = P−1BP .

Problemas

4.1 Sejam dadas as bases de R2

α = {(1, 1), (0, 2)}, β = {(1, 2), (2, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 1)}.

(a) Determine[IR2

]αβ,[IR2

]αγ,[IR2

]γβ.

(b) Se v = (4,−1), encontre [v]β usando uma matriz mudança de base.

4.2 Se[IR2

]αβ=

[−1 2

4 −11

]e β = {(3, 5), (1, 2)}, encontre a base α.

4.3 Determine[IR3

]βα, sabendo que

[IR3

]αβ=

0 1 0

1 1 0

1 1 1

.4.4 Encontre três matrizes semelhantes à matriz[

1 1

−1 2

].

4.5 Mostre que não são semelhantes as matrizes[3 1

−6 −2

]e

[−1 2

1 0

].

4.6 Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que:

(a) At e Bt são semelhantes;

(b) Se A e B são invertíveis, então A−1 e B−1 são semelhantes.


4.7 Mostre que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência, ou

seja: (i) A é semelhante a A; (ii) se A é semelhante a B, então B é semelhante

a A; (iii) se A é semelhante a B e B a C, então A é semelhante a C.

4.8* Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n. De�ne-se o traço de

A como

trA = a11 + · · ·+ ann.

a) Mostre que tr :M(n, n)→ R é um funcional linear.

b) Se A,B ∈M(n, n), mostre que

trAB = trBA.

c) Seja T : V → V um operador linear, onde V é um espaço n-dimensional,

e seja α uma base de V . De�na trT = tr[T ]αα. Mostre que esta de�nição

independe da base de V escolhida; ou seja, se β é uma outra base de V , então

tr[T ]αα = tr[T ]ββ. Conclua que assim temos bem de�nido um funcional linear

tr : L(V, V )→ R, de�nido por T 7→ trT .

Bibliogra�a

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300

Documents

MatrizesCapítulo 6: Transformações Lineares e6 150 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza ernandezF Capítulo 6: Transformações Lineares