Mattek 2 Ok_05 Pd Non Homogen

MATEMATIKA TEKNIK 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL NON HOMOGEN

MATEMATIKA TEKNIK 2

5

PERSAMAAN DIFERENSIAL NON HOMOGEN

DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

UNIVERSITAS INDONESIA

JAKARTA

2014

AGUS.R.UTOMO


1. PENGERTIAN DASAR

Persamaan Diferensial Linier Non Homogen (PDNH) adalah persamaandiferensial yang mempunyai sisa (residu) berupa variabel terikat.

Solusi Umum PDNH terdiri atas 2 macam solusi :

1. Solusi Homogen ; Yh2. Solusi Particular ; Yp

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum yh(x) dari PD homogenSolusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum yh(x) dari PD homogendiketahui.

Theorema 1 :

f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu pada interval I. y(x) merupakansolusi dari PD di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y(x) dibentuk olehdua konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusiumum (homogen) yh(x). Konstanta kedua, tetap,terdapat pada fungsi (x),yaitu sembarang solusi PD pada interval I.


Theorema 2 :

Solusi umum dari PD seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaanhomogen yh(x) dengan solusi partikular yang tetap (tak berubah-ubah) yP(x).

Sehingga y(x) = yh(x) + yP(x)

Contoh

PDNH orde 2.PDNH orde 2.

Bentuk umum persamaan PDNH Orde 2, adalah sebagai berikut :

y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 1 )

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum yh(x) dari PD homogendiketahui.

PD homogen :

y + f(x) y + g(x) y = 0 ( 2 )

AGUS.R.UTOMO DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA JAKARTA 2


y(x) terbentuk dari penambahan yh(x) dengan sembarang solusi termasukkonstanta tak tetapnya.

Sehingga y(x) = yh(x) + (x) ( 3 )

1. METODE KOEFISIEN TAK TENTU.Bentuk Persamaan Umum :

y~

y~

y + ay + by = r(x) ( 4 )

Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi partikular yP(x) diperoleh dengancara menebak, seperti misalnya : fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial

atau jumlah dari beberapa fungsi.

r(x) berisi koefisien tak tentu. Turunkan yP sesuai persamaan umum ( 4 ) di atas. Substitusikan yP dan seluruh turunannya ke dalam persamaan ( 4 ).



Tabel 1. Metode koefisien tak tentu

Aturan :

Bentuk r(x) Pilihan untuk yP

kepx Cepx p

kxn (n=0,1....) Knxn + kn-1x

n-1 +.....+ k1x + k0 0

k cos qx

k sin qx

K cos x + M sin x iq

iq

Aturan :

Bila r(x) merupakan salah satu fungsi seperti dalam tabel, pilih bentuk yPyang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tentu. Turunan r(x) harus bebas linier pula.

Bila r(x) merupakan penjumlahan, pilih yP yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai.

Bila r(x) adalah solusi dari persamaan homogen, pilihan dapat dimodifikasi seperti berikut



Aturan Modifikasi

Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2 tergantung dari apakah padakolom 3 berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogen.

Contoh-contoh Soal1. Selesaikan persamaan berikut :

y 4y+ 3y = 10e-2x

Jawab : Jawab partikular yJawab partikular yPTurunan e-2x adalah ke-2x

maka yP = ke-2x

yP = -2ke-2x dan yP= 4 ke

-2x

4ke-2x-4(-2ke-2x ) + 3ke-2x = 10e-2x ; k= 2/3

yP = (2/3)e-2x



Jawab homogen yh2 - 4 + 3 = 0 ; 1 = 3 dan 2 = 1

yh= k1e1x + k2e

2x = k1e3x+ k2e

x

Solusi Umum y = yh + yP

y = k1e3x + k2e

x + (2/3)e-2x

2. Selesaikan y + 4y = 8x22. Selesaikan y + 4y = 8x2

Jawab :

Jawab homogen : 2 + 4 = 0 1 = p + jq = +j2 ; 2 = p jq = -j2 ; p= 0

Solusi umum PD homogen untuk D < 0 :

yh = epx[A cos qx + B sin qx]

yh = [A cos 2x + B sin 2x]



Jawab partikular :

Misal 1 : y = kx2 ; y = 2k

dengan metode identifikasi

2k + 4 kx2 = 8x2 ; 2k = 0 ; 4k = 8

Gagal, tidak konsisten (tidak sesuai dengan persamaan).

Misal 2 : yP = kx2 + Lx + m ; y = 2kMisal 2 : yP = kx2 + Lx + m ; y = 2k

2k + 4(kx2 + Lx + M) = 8x2

4kx2 + 4Lx +(2k + 4m) = 8x2

dengan metode identifikasi : k = 2 ; L = 0 ; m = 1

maka yP = 2x2 + 1

Solusi umum y = yP + yh

y = A cos 2x + B sin 2x + 2x2 + 1



3. Selesaikan y y 2y = 10 cos x

Jawab :

Jawab homogen 2 - - 2 = 0 yh = c1e

2x + c2 e2x

yh = c1e2x + c2 e

-x

Jawab partikular yP = k cos x + m sin x

yP = -k sin x + m cos x

yP = -k cos x m sin x

(-k cos x m sin x)-(-k sin x + m cos x)- 2(k cos x + m sin x) = 10 cos x(-k cos x m sin x)-(-k sin x + m cos x)- 2(k cos x + m sin x) = 10 cos x

(-3k m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x

-3k m = 10 ; k 3m = 0 ; k = -3 ; m = -1

yP = -3 cos x sin x

Solusi umum : y = yh + yP

y = ce2x + ce-x -3 cos x sin x



4. Selesaikan : y 3y+ 2y = 4x + e3x

Jawab :

Jawab homogen : yh = c1e2x + c2e

x

Jawab partikular :

yP = k1x +k0 + Ce3x

yP = k1 + 3Ce3x

yP = 9Ce3x

(9Ce3x)-3(k + 3Ce3x)+2(k x +k + Ce3x) = 4x + e3x(9Ce3x)-3(k1 + 3Ce3x)+2(k1x +k0 + Ce

3x) = 4x + e3x

k1 = 2 ; k0 = 3 ; C = (1/2)

yp = 2x + 3 + (1/2) Ce3x

Solusi umum : y = c1e2x + c2e

x + 2x + 3 + (1/2) Ce3x



5. Selesaikan : y 2y + y = (D-1)2 = ex + xJawab :Jawab homogen : yh = c1e

x +c2xex = (c1x + c2) e

x

Jawab partikular :

Lihat tabel k1x + k0karena akar ganda cx2ex

sehingga yp = k1x + k0 + cx2exsehingga yp = k1x + k0 + cx e

Bila disubstitusikan ke dalam persamaan :

yp 2yp + yp = ex + x

maka didapatkan : 2cex + k1x 2k1 + k0 = ex + x

c = ; k1 = 1 ; k0 = 2

Solusi umum : y = (c1x + c2) ex + x2ex + x + 2



SOAL-SOAL LATIHAN 1

Selesaikan PD non homogen berikut ini :

1. y + 4y = e-x

2. y + 2y + y = 2x2

3. y + y 2y = 3ex

4. y + y = 2 sin x

5. y + y 6y = 52 cos 2x

6. y-5y + 4y = 10 cos x

7. y 2y + 2y = 2ex cos x7. y 2y + 2y = 2ex cos x

8. y + y = x2 + x

9. y + 5y + 6y = 9x4 x

10. y 2y + y = 2x2 8x + 4

11. y+ 2y y 2y = 1 4x3

12. y 4 y + 9y = 10 e2x 12 cos 3x

13. y + 2y + 10y = 4.5 cos x sin x

14. y + 2y + 2y = -2 cos 2x 4 sin 2x

15. y + 4y + 8y = 4 cos x + 7 sin x



2. METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PARTIKULAR

Bentuk umumnya seperti persamaan ( 1 )Contoh :

( 5 )

Dengan metode koefisien tak tentu akandiperoleh :

IP(t) = 3 cos t + 3 sin t

Menurut hukum Euler, ruas kanan pers ( 5 ), 6 cos t, adalah komponen

.. .

I + I + 2I = 6 cos t

Menurut hukum Euler, ruas kanan pers ( 5 ), 6 cos t, adalah komponen nyata (riel), karena :

6 eit = 6 (cos t + i sin t)

Sehingga persamaan ( 5 ) dapat ditulis dengan :

( 6 )


.. .itI + I + 2I = 6 e


Solusi partikular kompleks dapat dibuat dalam bentuk :

Ip*(t) = keit ( 7 )

dan Ip* = ikeit Ip * = -keit

Bila disubstitusikan ke dalam pers ( 6 ) :

(-1 + I +2) keit = 6 eit

= 3 i3

Sehingga solusi umum pers. ( 6 ) adalah :

IP*(t) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t)

dan komponen nyatanya adalah : IP(t) = 3 cos t + 3 sin t



3. METODE UMUM

Bentuk umum PD non homogen y + f(x)y + g(x)y = r(x) ( 8 )

f, g dan r kontinyu pada interval terbuka I

Bentuk umum PD homogen : y + f(x)y + g(x)y = 0 ( 9 )

maka solusi umumnya yh(x) pada interval terbuka I berbentuk : maka solusi umumnya yh(x) pada interval terbuka I berbentuk :

Yh(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)

Bila c1 dan c2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi partikular pada interval terbuka I, sbb :

yP(x) = u(x) y1(x) + v(x) y2(x) ( 10 )



Jika pers. ( 10 ) diturunkan, hasilnya :

yP = uy1 + uy1 + vy2 + vy2

Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c1 dan c2, maka :

uy1 + vy2 = 0 ( 11 )

Sehingga y menjadi :Sehingga yP menjadi :

yP = uy1+ vy2 ( 12 )

Bila pers.( 12 ) diturunkan, hasilnya :

yP = uy1+ uy1+ vy2 + vy2 ( 13 )



Substitusikan pers.(10), (12) dan (13) ke dalam pers.(8), dan kemudiankumpulkan komponen yang mengandung u dan v :

u(y1+ fy1+ gy1) + v(y2+ fy2+ gy2) + uy1+vy2 = r

Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogen dari pers. ( 9 ), sehingga terjadipenyederhanaan persamaan, menjadi ;

uy1 + vy2 = r

Lihat pers. (11) : uy1 + vy2 = 0

Terbentuk sebuah sistem dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u dan v yang tak diketahui. Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga :

dan ( 14 )

dengan W = y1 y2 y1y2 ; W 0.

W = Bilangan Wronskian dari y1 dan y2


2y ru' = -W

1y rv' = -W


Dengan integrasi diperoleh :

dan

substitusikan hasil ini ke dalam pers(10), sehingga didapatkan :

( 15 )

2y ru = - dxW

1y rv = - dxW

2 1p 1 2

y r y ry (x) = -y dx y dx

W W+



Contoh :

Selesaikan PD berikut ini : y + y = sec x

Jawab :misalkan y1 = cos x dan y2 = sin x

Solusi homogen :Bilangan Wronskian : W(y1,y2) = cos x cos x (-sin x) sinx =1

Solusi partikular :Solusi partikular :Dari pers. (15) :

yP = cos x ln|cos x| + x sin x

maka solusi umumnya adalah : y = yh + yP

y = [c1 + ln|cos x|] cos x + (c2 + x) x sin x


py = -cos x sin x sec x dx + sinx cos x sec x dx


SOAL-SOAL LATIHAN 2

Selesaikan PD non homogen berikut ini :

1. y + y = cosec x + x

2. y+ 9y = sec 3 x

3. y 4y + 4y = [e2x]/x

4. y + 2y + y = e-x ln x

5. y + 6y 9y = [e-3x]/[x2 + 1]

6. y + 2y + y = e-x cos x

7. x2y 5xy + 9 = 3x2

8. x2y 4xy + 6y = 1/[x2]

9. x2y (1-2x)y + (6-4x2)y = x2 cos x

10. 2x2y xy 2y = x3 ex


Documents

Mattek 2 Ok_05 Pd Non Homogen