MB148_ VECTORES UNITARIOS

20/03/2015

1

VECTORES UNITARIOS

PARA UNA CURVA REGULAR

CAPÍTULO ICÁLCULO VECTORIAL

SESIÓN 6 Vectores Unitarios

ROSA NIQUE ALVAREZ 2

X

Z

Y

i

j

k b = (2, 7, 4)

kjib 472 ++=

[ ] 3,: ℜ→ba:C r


CURVA REGULAR

con rapidez arbitraria, denotada por )(tr'

VECTORES UNITARIOS

Sea una curva

VECTOR TANGENTE

)()()(

ttt

r'r'T = )(tr'

0P

)()()( ttt Tr'v =



VECTORES TANGENTES A UNA CURVA REGULAR

VECTOR NORMAL PRINCIPAL

0)(;)()()( ≠′

′′

= tttt T

TTN

0P

)()()( ttt NTT ′=′


PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

20/03/2015

2

VECTOR BINORMAL

0P

)()()( ttt NTB ×=


EJEMPLO 1

Considere la curva regular C definida por:

Determine el vector T(t) en el punto:


kjir )()cos()()cos()( tsenttsentt ++=

( )1,2,221 −−=P

Solución

Cuando t =7π/4 se obtiene el punto


( )1,2,221 −−=P

( )

=

−+

==

0,22,

22

47

2cos,cos,2cos1

1)()()(

2

πT

r'r'T tttsen

tttt

kjir )()cos()()cos()( tsenttsentt ++=


-1-0.5

00.5

11.5

-1

-0.5

0

0.5

1-0.5

0

0.5

X

Curva Cerrada

Y

Z

curvaCERRADA

kjir )()cos()()cos()( tsenttsentt:C ++=

TRIEDRO MOVIL


0P

El triedro móvil esuna estructura quejuega un importantepapel en la rama delas matemáticasconocida comogeometría diferencialy en susaplicaciones almovimiento de navesespaciales.


TRIEDRO MOVIL


20/03/2015

3


VIDEO: Triedro Espiral

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

5

10

15

20

X

Hélice Circular

Y

Z( ) [ ]π∈= 6,0;,,cos)( ttsentttr


VECTORES : VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

)()(naceleració

)()(velocidad

tt

tt

'r'a

r'v

=

=


VECTOR VELOCIDAD

)()()(ttt

r'r'T = )()()( ttt Tr'r' =

)()(')(velocidad ttt Trv =


VECTOR ACELERACION

[ ])()()()( ttdtdt

dtdt Tr'r'a ==

)()()(ttt

r'r'T = )()()( ttt Tr'r' =


VECTOR ACELERACION

)()()()(

)( tttdt

tdt Tr'T

r'a ′+=

[ ])()()()( ttdtdt

dtdt Tr'r'a ==


VECTOR ACELERACION

→′′

=)()()(

ttt

TTN )()()( ttt NTT ′=′

)()()()(

)( tttdt

tdt Tr'T

r'a ′+=


20/03/2015

4


VECTORA ACELERACION

)()()()()()( tttsttst NTTa ′′+′′=

)()()()(

)( tttdt

tdt Tr'T

r'a ′+=

,)((t)pero: ts r'=′ )()()( ttt NTT ′=′


COMPONENTES DE LA ACELERACION

{ )()()()()()( tttsttstNT aa

NTTa 43421′′+′′=

)()()()()()( tttsttst NTTa ′′+′′=



)(tsaT ′′=

)()( ttsaN T ′′=

Componente tangencial de la aceleración

Componente normal de la aceleración


)()()( tatat NT NTa +=


)()()()()()( tttsttst NTTa ′′+′′=


Ta

T

Na N



)(tsaT ′′=

)()( ttsaN T ′′=

22

222

222

)(

)(

)()()(

TN

NT

NT

ata

aat

tatat

−=

+=

+=

a

a

NTa





20/03/2015

5

'r'r ×'

r'

'r'


Vector Binormal

)()()()()(

ttttt

'r'r''r'r'B

××

=


[ ]batttt ,);()()( ∈∀= TBN x

VECTORES UNITARIOS


)()()(

ttt

r'r'T =

)()()()()( tt

ttt TB

TTN x=

′′

=

)()()()()()()(

ttttttt

'r'r''r'r'NTB

××

== x

PARA UNA CURVA REGULAR Y DE RAPIDEZ ARBITRARIAEJEMPLO 2

Considerando la siguiente función vectorial

Determine los vectores unitarios T(t), B(t), N(t) para t = 0, 1, 2.


=

3,,2)(

32 ttttr

Solución

Vector Tangente


( )( )2

,2,2)()()( 2

2

+==

′′

ttt

ttt

rrT

=

3,,2)(

32 ttttr Solución: vector Binormal

( )( )2

2,2,)()()()()( 2

2

+−

=××

=t

ttttttt

'r'r''r'r'B



20/03/2015

6

Solución

Vector Normal Principal


( )( )

( )( )

( )( )22

343

2

2

2

2

242,4,42)(

2,2,2

22,2,)()()(

+

+−−−=

++−==

ttttttt

ttt

tttttt

N

TBN xx


( )( )2

,2,2)( 2

2

+=

ttttT ( )

( )22,2,)( 2

2

+−

=t

tttB

( )( )22

343

242,4,42)(

+

+−−−=

tttttttN

Solución: VECTORES UNITARIOS

Solución


t r(t) T(t) N(t) B(t)

0 P0(0, 0, 0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

1 P1(2, 1, 1/3)

2 P2(4, 4, 8/3)

)1,2,2(31 )2,1,2(

31

− )2,2,1(31

−

)2,1,2(31

−− )1,2,2(31

−)2,2,1(31

=

3,,2)(

32 ttttC r:

ROSA NIQUE ALVAREZ 34curvaregular6

-2 0 2 4 6 8

-5

0

5

10-2

0

2

4

6

8

10

X

Y

Z

Curvavector tangentevector normalbinormal

=

3,,2)(

32 ttttC r:

EJEMPLO 3

Determine el vector Binormal de la curva plana


[ ]π4,0;3)cos()(cos)( ∈+−++= ttttsentsenttt kjir

Solución



[ ]

=∈−=

+=

34,0,cos

cos:

ztttsenty

tsenttxC π

La curva C esta contenida en el plano z = 3


20/03/2015

7

Solución


( ) 0)1,0,0(,0,0)(

)()()()()(

2

2

≠===

××

=

tt

tt

ttttt

k;B

'r'r''r'r'B


Solución


kB =)(tVector Binormal constante


0=′= )(ttd

d BBNOTA:

-15 -10-5

0 5 10

-15-10

-50

510

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4

XY

Z

CURVA PLANA


CurvaPlana


VECTORES UNITARIOS

CURVA REGULAR DE RAPIDEZ UNITARIA

1)( =su'




[ ] 3,:: ℜ→dcC u

1)( =′ surapidez unitaria

s : longitud de arco

Sea una curva



)()( ssT u'=

VECTOR TANGENTE

1)( =su'


20/03/2015

8



)()(

)()()(

ss

sss

'u''u'

TTN =

′′

=

VECTOR NORMAL PRINCIPAL

1)( =su'



)()()( sss NTB ×=

VECTOR BINORMAL

1)( =su'

)()()()(

ssss

'u''u'u'B x

=

VECTORES UNITARIOS


)()( ss u'T =

)()(

)()()(

ss

sss

uu

TTN

′′′′

=′′

=

)()()()()()(

ssssss

'u''u'u'NTB ×

== x

PARA UNA CURVA REGULAR Y DE RAPIDEZ UNITARIAEJEMPLO 4


Sea C la curva suave de rapidez unitaria, definida por

( )

−=

+=

=

=

sszsysx

sarctan

1ln

arctan

)( 222u

Determine los vectores unitarios Tangente, Normal y Binormal.

Solución: vector tangente


)()( ss u'T =

( )22 ,2,1

11)( sss

s+

=T

( )

−=

+=

=

=

sszsysx

sarctan

1ln

arctan

)( 222u

Solución: vector normal principal


)()(

)()()(

ss

sss

'u''u'

TTN =

′′

=

( ) ( )( )ssss

s 2,12,21

1)( 222

−−+

='u'

212)(s

s+

=′′u


20/03/2015

9

Solución: vector normal principal


( ) ( )( )ssss

s 2,1,21

1)( 22 −−

+=N

)()(

)()()(

ss

sss

'u''u'

TTN =

′′

=

Solución: vector Binormal


( )( )1,2,1

1)( 22 ss

ss −

+=B

)()()()(

ssss

'u''u'u'B x

=

Solución: vectores unitarios


( )( )1,2,1

1)( 22 ss

ss −

+=B

( ) ( )( )ssss

s 2,1,21

1)( 22 −−

+=N

( )22 ,2,1

11)( sss

s+

=T

( )

−=+=

=

=ssz

sysx

sarctan

1ln

arctan

)( 222u s: longitud de arco



( )( )1,2,1

1)( 22 ss

ss −

+=B

212)(s

s+

=B'

( ) ( )( )ssss

s 2,12,21

1)( 222

−−+

=B'

s: longitud de arco

0)(lim =∞→

ss

B'

Solución


s P B(s) B’(s) ||B’(s)||

0 (0,0,0) (0, 0, 1) (0,-√2,0) 2

1 (0.78,0.49,0.21) ½(1,-√2,1) ¼(2,0,-2) 1

2 (1.11,1.14,0.89) 1/5(4,-2√2,1) 1/25(4,3√2,-4) 2/5=0.4

3 (1.25,1.63,1.75) 1/10(9,-3√2,1) 1/100(6,8√2,-6) 2/10=0.2

( )( )1,2,1

1)( 22 ss

ss −

+=B 21

2)(s

s+

=B' Solución


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.50

0.51

1.52

2.5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

XY

Z

Curvau(0)u(1)u(2)u(3)Vector Binormal

curvaregular5

||B’(0)||=2||B’(1) || =1||B’(2) ||=0,4||B’(3) ||=0.2

212)(s

s+

=B'


20/03/2015

10


RECTAS

Recta Tangente Recta Normal

B

TN

Recta Binormal

0P

C

RECTAS

RECTA TANGENTE A C EN P0 (x0, y0, z0) esta dado por


{ }ℜ∈+= λλ /)(: 00 tPPT Tl

RECTA

RECTA NORMAL A C EN P0 (x0, y0, z0) esta dado por:


{ }ℜ∈+= λλ /)(: 00 tPPN Nl

PLANOS

B

TN

PlanoOsculador

PlanoNormal

Plano

Rectificante

Recta TangenteRecta Normal

Recta Binormal

0P

C


PLANOS

• Plano Osculador en el punto P0 (x0, y0, z0)

• Plano Normal Principal en el punto P0 (x0, y0, z0)

• Plano Rectificante en el punto P0 (x0, y0, z0)


( )[ ] 0)(,,),,(: 0000 =⋅−Ρ tzyxzyx B

( )[ ] 0)(,,),,(: 0000 =⋅−Ρ tzyxzyx T

( )[ ] 0)(,,),,(: 0000 =⋅−Ρ tzyxzyx N


PLANO OSCULADOR A LA CURVA REGULAR C


20/03/2015

11


( )[ ] 0)(,,),,(: 0000 =⋅− tzyxzyxΡ B

PLANO OSCULADOR A LA CURVA REGULAR C EJEMPLO 5

Determine el vector binormal y la ecuación del plano osculador a la curva regular

en el punto


π20)()cos()()cos()(:

≤≤++=

ttsenttsenttC kjir

( )1,2,221 −−=P



×

×

=

47

47

47

47

47

ππ

πππ

'r'r'

'r'r'B

( )1,2,2,4

721 −−== Pt π

Solución


( )1,2,25

1)4/7(

BinormalVector

−=πB

( )1,2,2,4

721 −−== Pt π

Solución: Plano Osculador


( )1,2,2,4

721 −−== Pt π

04

721,

22,

22),,(: =

⋅

−−− πBzyxP

( )1,2,25

1)4/7( −=πB

Solución


2322

OsculadorPlano

=+− zyx


20/03/2015

12

Gráfica


curvaCERRADA1-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

1-0.5

0

0.5

X

Curva Cerrada

Y

Z

π20)()cos()()cos()(:

≤≤++=

ttsenttsenttC kjir

EJEMPLO 6

68Rosa Ñique Alvarez

Dada la siguiente curva regular

Determine el vector binormal y el plano osculador para cada punto de C cuando t = 0,1,2.

=

3,,2)(:

32 ttttC r

Solución

69Rosa Ñique Alvarez

=

3,,2)(:

32 ttttC r

( )2

2,2,)( 2

2

+−

=t

tttB

)2,2,1(31)1(,1 −== Bt

)1,2,2(31)2(,2 −== Bt

kB === )1,0,0()0(,0t

)()()()()(

ttttt

'r'r''r'r'B

××

=

Solución Plano osculador

Rosa Ñique Alvarez 70

[ ] 0)0()0(),,(:,0 0 =⋅−= BrzyxPt

[ ] 0)1()1(),,(:,1 1 =⋅−= BrzyxPt

[ ] 0)2()2(),,(:,2 2 =⋅−= BrzyxPt

=

3,,2)(:

32 ttttC r



[ ] 0)0()0,0,0(),,(:,0 =⋅−= BzyxPt

[ ] 0)1()3/1,1,2(),,(:,1 =⋅−= BzyxPt

[ ] 0)2()3/8,4,4(),,(:,2 =⋅−= BzyxPt

=

3,,2)(:

32 ttttC r



0:,0 0 == zPt

yxzzyxPt +−=→=+−=21

312663:,1 1

yxzzyxPt 22388366:,2 2 +−=→=+−=

=

3,,2)(:

32 ttttC r


20/03/2015

13

Plano osculador a C para t =0,1,2


=

3,,2)(:

32 ttttC r

-20

24

68

-20

24

68-2

0

2

4

6

PlanoOsculador2

kB =)0(

)2,2,1(31)1( −=B

)1,2,2(31)2( −=B


Documents

MB148_ VECTORES UNITARIOS