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Alberto Coronado Matutti
Facultad de Ingeniera MecnicaUniversidad Nacional de
Ingeniera
Vibraciones Mecnicas MC-571Captulo 2Respuesta Bajo Excitacin
Armnica
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
2
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32.1 Excitacin armnica
El concepto ms importante en vibraciones es la resonancia.
La resonancia ocurre cuando una fuerza armnica externa es
aplicada a un sistema cuya frecuencia natural es igual a la de la
fuerza aplicada.
La fuerza de excitacin puede ser producida por algn componente
rotativo (motor, turbina, compresor, etc.)
La resonancia producir grandes deflexiones, las cuales podrn
exceder los lmites elsticos y causar el colapso de estructuras.
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42.1 Excitacin armnica
Excitacin armnica se refiere a una fuerza senoidal externa de
frecuencia simple aplicada a un sistema.
La resonancia es la tendencia de un sistema de absorber energa
cuando la frecuencia de excitacin coincide con su frecuencia
natural.
Excitaciones armnicas son una fuente comnde fuerzas externas
aplicadas a mquinas y estructuras.
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52.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Considerando que el sistema mostrado tiene amortiguamiento
despreciable (c=0).
La naturaleza armnica de la excitacin puede ser representada en
forma de seno, coseno o exponencial complejo:
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62.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
F0 representa la magnitud (amplitud mxima) de la fuerza y la
frecuencia.
La frecuencia tambin se denomina frecuencia de entrada o
frecuencia de forzamiento.
Alternativamente, la funcin de forzamientoarmnica puede ser
representada por:
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72.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Realizando la sumatoria de fuerzas en la direccin del
movimiento:
Dividiendo por la masa y usando la definicin de n:
Podemos usar una gran variedad de tcnicaspara resolver la
ecuacin diferencial.
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82.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
La solucin de una ecuacin diferencial no homognea es igual a la
suma de la solucin homognea (f0=0) ms la solucin particular.
La solucin particular puede ser hallada asumiendo que tiene la
misma forma que la funcin de forzamiento.
Si la excitacin es , la solucin particular ser:
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92.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Sustituyendo la solucin particular y su 2da derivada en la
ecuacin de movimiento:
Factorizando:
Donde el trmino entre parntesis debe ser igual a cero:
Esta ecuacin es vlida siempre que:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Por tanto, la solucin particular ser:
Este mtodo se denomina mtodo de los coeficientes
indeterminados.
La solucin homognea fue calculada anteriormente y puede ser
escrita en 3 formas:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Por tanto, la solucin total ser:
Donde A1 y A2 son los coeficientes a ser determinados usando las
condiciones iniciales.
Hallando A1 y A2 y substituyndolos:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
El segundo y tercer trmino de la solucin noson vlidos para
Conforme ambas frecuencias se acercan, la amplitud de la
vibracin se incrementar apreciablemente.
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Considerando condiciones iniciales iguales a cero:
La solucin total queda:
Usando identidades trigonomtricas:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
En el caso particular en el que ambas frecuencias son bastante
cercanas obtendremos el fenmeno del batimiento (beat).
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Conforme ambas frecuencias coinciden, la solucin particular dada
anteriormente ya no es vlida.
Esto debido a que escogida como solucin particular es tambin
parte de la solucin homognea.
Para evitar que ambas sean linealmente dependientes,
consideremos:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Usando la nueva expresin para hallar X:
La solucin total para ser:
Hallando las constantes de integracin usando las condiciones
iniciales:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados
Se observa que la respuesta crece ilimitadamentecon el
tiempo.
Este fenmeno se denomina resonancia.
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
Una cmara de seguridad (3 kg) montada sobre un edificio est
sujeta a la fuerza del viento, la cual es modelada como funcin una
armnica de amplitud 15 N y frecuencia 10 Hz.
Se desea disear una viga de montaje que produzca una deflexin
mxima de 0.01 m. El reatransversal de la viga es 0.02x0.02 m y su
longituddebe ser de al menos 0.5, para dar visibilidad.
Obtenga la longitud del montaje que produzca vibraciones de
amplitudes no mayores a 0.01 m. Ignore vibraciones torsionales y
asuma condiciones iniciales iguales a cero.
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
El esquema general del problema es el siguiente:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
La ecuacin de movimiento es:
El momento de inercia ser:
La frecuencia natural del sistema ser:
Debemos hallar la longitud l.
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
La mxima deflexin de la respuesta deber ser menor a 0.01 m:
Tendremos 2 casos:
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
El primer caso se cumple para
El segundo caso se cumple para
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2.1 Excitacin armnica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
En los clculos la frecuencia fue transformada a rad/seg y E para
el aluminio es
Para ahorrar material se escoger la segundaopcin.
Adicionalmente, debido a las restricciones, la longitud deber
cumplir
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Sumando fuerzas en la direccin del movimiento para un sistema
amortiguado:
Dividiendo por la masa y usando:
Obtenemos:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Nuevamente usaremos el mtodo de los coeficientes indeterminados
para hallar la solucin particular.
La respuesta forzada de un sistema amortiguadotiene la misma
forma del forzamiento, pero con diferente amplitud y fase:
El cambio de fase se debe al efecto del amortiguamiento.
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Para simplificar la derivacin usaremos la forma equivalente:
Con las siguientes equivalencias:
Hallando la primera y segunda derivadas:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Sustituyendo la solucin y sus derivadas en la ecuacin de
movimiento, luego factorizando:
Esta ecuacin debe ser vlida para todos los tiempos, por tanto,
los trminos entre parntesis deben ser iguales a cero:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Ello resulta en 2 ecuaciones con 2 incgnitas:
Resolviendo las ecuaciones:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Transformando los valores obtenidos a X y , y sustituyndolos en
la solucin:
La solucin total ser la suma de la solucin homognea ms la
solucin particular.
Para el caso subamortiguado :
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Los valores de A y deben ser calculados usando las condiciones
iniciales.
Estas constantes deben ser calculadas usando la expresin de la
solucin total.
Para grandes valores de tiempo el primer trmino (solucin
homognea) tender a cero.
Por ello, la primera parte se denomina solucin transitoria y la
segunda solucin en estado estable.
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Sumario: respuesta de sistemas no amortiguados
Respuesta total de un sistema no amortiguado:
Donde, para respuesta libre:
Donde, para respuesta forzada:
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Sumario: respuesta de sistemas subamortiguados
Respuesta total de un sistema subamortiguado:
Donde, para respuesta libre:
Donde, para respuesta forzada:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
En muchas aplicaciones es comn ignorar la parte transitoria de
la solucin total y enfocarseen la respuesta en estado estable .
Esta decisin depende en gran medida del valorde la razn de
amortiguamiento.
Si el sistema tiene un amortiguamientorazonablemente grande, la
respuesta transitoriase aproximar a cero rpidamente, quiz en
fracciones de segundo.
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
En otras aplicaciones (terremotos, satlites, robots, etc.), la
parte transitoria puede ser la ms importante.
El telescopio espacial Hubble experimentaba una vibracin
transitoria que duraba 10 min, inutilizndolo en ese tiempo cada vez
que pasaba por la sombra de la tierra, hasta que el sistema fue
corregido.
Antes de desechar la parte transitoria se debe verificar su
valor para ver si puede ser ignorada.
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Considerando la magnitud X y la fase de la respuesta en estado
transitoriocomo funcin de la frecuencia de excitacin:
Luego de factorizar y dividir la magnitud por F0/m,
obtenemos:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Graficando las ecuaciones anteriores:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Graficando la magnitud es escala logartmica:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
La resonancia ocurre cuando , lo cual corresponde a un cambio de
fase de
Sin embargo, la resonancia no coincide con el valor pico de la
respuesta en estado estable.
Considerando la magnitud en estado estable:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Factorizando en el denominador y usando
Dividiendo por . El mximo valor de X ocurre cuando la primera
derivada de X/F0 es igual a cero:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Lo que resulta en:
Esta expresin es vlida solo para:
Para valores mayores, la magnitud no presenta un valor
mximo.
Adicionalmente, este pico ocurre ligeramente antes de la
resonancia (r=1), ya que:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Finalmente, el valor de la magnitud en es:
Recapitulando, tanto para sistemas amortiguados como no
amortiguados, la resonancia se define para o .
Esta condicin no define de manera precisa el valor pico de la
magnitud. Sin embargo, para amortiguamientos pequeos se podr
considerar que el pico ocurre en .
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
Se observa la dependencia del valor pico de la magnitud de la
respuesta y de en funcin del nivel de amortiguamiento:
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2.2 Excitacin armnica de sistemas amortiguados
La explicacin fsica de la resonancia es la siguiente:
En estado estable una fuerza producir un desplazamiento y
velocidadiguales a:
Pero en la resonancia:
Por tanto, , es decir, en la resonancia la fuerza y la velocidad
estn exactamente en fase.
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2.4 Excitacin de base
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2.4 Excitacin de base
Frecuentemente, mquinas o partes de mquinas estn excitadas
armnicamente a travs de sus bases.
Dichas bases pueden ser modeladas como conjuntos de resortes y
amortiguadores.
Como ejemplos tenemos, sistemas de suspensin de automviles,
sistemas de montaje de motores, alas de aviones con turbinas en sus
extremos, etc.
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2.4 Excitacin de base
Dichos sistemas se modelan considerando que la excitacin se debe
al movimiento del soporte:
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2.4 Excitacin de base
Sumando fuerzas en la direccin del movimiento:
Asumiendo que la base se mueve armnicamente:
Donde Y es la amplitud de la oscilacin de la base y es su
frecuencia.
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2.4 Excitacin de base
Sustituyendo y(t) en la ecuacin de movimiento y reagrupando:
Esta ecuacin se puede interpretar como un sistemas
masa-amortiguador-resorte bajo 2 fuerzas de excitacin.
Para resolverla podemos usar la linealidad de la ecuacin y sumar
la respuesta de ambas fuerzas actuando por separado.
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2.4 Excitacin de base
Dividiendo la ecuacin por m y usando las definiciones :
Recordando la expresin de la solucin particular anteriormente
derivada:
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2.4 Excitacin de base
Primeramente, sustituyendo :
Luego, sustituyendo :
En ambos casos es el mismo pues nodepende de la amplitud de la
fuerza.
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52
2.4 Excitacin de base
Usando el principio de superposicin, la solucin particular total
ser:
Donde fue usado:
Denotando la magnitud de la solucin particularpor X ( ):
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2.4 Excitacin de base
Graficando X/Y, denominada transmisibilidad de
desplazamiento.
Esta razn describe cmo el movimiento es transmitido desde la
base hasta la masa en funcin de .
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54
2.4 Excitacin de base
Se observa que para la razn de transmisibilidad es mayor a 1, es
decir, hay amplificacin del movimiento.
En cambio, para la razn de transmisibilidad es menor a 1, es
decir, hay atenuacin del movimiento.
En el rango de frecuencias altas, a mayor amortiguamiento
obtenemos mayor amplitud de oscilacin, justo lo opuesto a lo
observado en frecuencias bajas.
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2.4 Excitacin de base
Otra cantidad de inters en el problema de excitacin de base es
la fuerza transmitida a la masa debida al desplazamiento de la
base.
Dicha fuerza ser igual a la suma de las fuerzas debidas al
resorte y al amortiguador:
La cual debe ser igual a la fuerza inercial:
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2.4 Excitacin de base
Considerando el estado estable, la solucin particular fue
calculada anteriormente:
Derivando 2 veces y sustituyendo en
Usando :
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2.4 Excitacin de base
De donde podemos definir la transmisibilidad de fuerzas
como:
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2.4 Excitacin de base
Considerando el caso de se muestra una comparacin entre
transmisibilidad de fuerzas (trazos) y transmisibilidad de
desplazamientos(continuo).
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.1
Un ejemplo comn de excitacin de base es el modelo de 1GDL de un
automvil sobre una autopista:
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60
2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.1
La superficie de la autopista es aproximada por una funcin
armnica, la cual proveer el desplazamiento de la base:
Donde:
Por tanto, la velocidad del vehculo determinala frecuencia de
excitacin de la base.
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.1
Determine el efecto de la velocidad en la amplitud del
desplazamiento del automvil.
As mismo determine el efecto del valor de la masa del carro.
Asuma que el sistema de suspensin provee una rigidez equivalente
a y un amortiguamiento equivalente a
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.1
A 20 km/h obtenemos
Si el carro es un deportivo, la masa podra estar en torno a 1007
kg.
Por tanto, la frecuencia natural sera:
En este caso obtendramos:
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.1
Adicionalmente:
Usando:
Lo cual muestra que un bache de 1 cm de amplitud es amplificado
hasta 3.2 cm para los ocupantes del vehculo.
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.1
La tabla muestra valores de desplazamientospara 2 vehculos
diferentes viajando a 4 velocidades sobre un bache de 1 cm.
El vehculo 1 es un deportivo con masa 1007 kgy el vehculo 2 es
un sedan con masa 1585 kg. Ambos vehculos tiene el mismo k y c.
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.2
Una gran mquina rotativa transmite vibraciones armnicas al piso
de una fbrica.
El desplazamiento del piso debajo de la prensa (punch press)
es
Calcule la mxima fuerza transmitida a la prensa en la
resonancia.
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2.4 Excitacin de base: ej. 2.4.2
La fuerza transmitida a la prensa en la resonancia (r=1) es:
La razn de amortiguamiento ser:
Sabiendo que Y=0.001:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
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68
2.5 Rotaciones desbalanceadas
Una fuente muy comn de vibraciones indeseadas es la maquinaria
rotativa.
Pequeas irregularidades en la distribucin de la masa del
componente rotativo pueden causar grandes vibraciones.
Este fenmeno se denomina rotaciones desbalanceadas.
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
Considerando que existe una masa desbalanceada m0 a una
distancia e del centro de rotacin:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
El diagrama de cuerpo libre correspondiente ser:
Para la masa desbalanceada, sumando fuerzasen la direccin
vertical:
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71
2.5 Rotaciones desbalanceadas
Para la mquina, sumando fuerzas en la direccin vertical:
Combinando ambas ecuaciones
La componente en x del movimiento de la masadesbalanceada
ser:
Substituyendo la aceleracin:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
Se observa que la magnitud del forzamiento es:
La solucin particular tendr la forma:
Luego de sustituirla en la ecuacin diferencial para hallar las
constantes, siendo :
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
Graficando la magnitud adimencionalizada:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.1
Considere una mquina cuyo mximodesplazamiento en la resonancia
es 0.1 m.
La razn de amortiguamiento se estima en 0.05y la masa de
desbalance en 10%.
Estime el radio e.
Luego halle la cantidad de masa que debe ser adicionada
uniformemente para reducir el desplazamiento en la resonancia a
0.01 m.
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.1
En la resonancia (r=1):
De donde obtenemos e=0.1 m.
Nuevamente, en la resonancia:
Si deseamos cambiar m tal que X=0.01 m, obtendremos:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
La cola de un helicptero tiene rigidezequivalente de y masa de
60 kg. La razn de amortiguamiento de 0.01.
La masa total del rotor de cola es 20 kg. Suponga que una masa
de 0.5 kg se adhiere a una de las hlices a 15 cm del eje.
Halle la magnitud de la deflexin de la cola cuando el rotor gira
a 1500 RPM.
A que velocidad la deflexin es mxima? Calcule dicha
deflexin.
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
La masa total del rotor ser 20.5 kg.
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
Cuando la masa del resorte no es despreciable, es posible
estimar la frecuencia natural usando:
La frecuencia de rotacin es:
Por tanto, tendremos:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
Para obtendremos:
La mxima deflexin ocurre en r=1:
