© 1977 Doris Schattschneider und Wallace Walker© 1987 TACO Verlagsgesellschaft und Agentur mbH,

TACO, Hauptstr. 9, D-1000 Berlin 62© Für die Illustrationen von M. C. Escher:

Cordon Art B. U., W. F. Veldhuysen,NL 3743 De Baarn

Übersetzung aus dem Amerikanischen: Nikolaus Hoffmann

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Buches darf nachgedruckt, photokopiert oder in irgendeiner anderen Weise übertragen werden ohnedie Genehmigung des Copyright-Inhabers.

ISBN 3-89268-013-2

M.C. ESCHERKALEIDOZYKLEN

M.C. ESCHERKALEIDOZYKLEN

von Doris Schattschneider und Wallace Walker

TACO

INHALT

In drei Dimensionen 8

Die geometrischen Körper 10

Die Kaleidozyklen 11

Zyklische Flächenaufteilungen 14

Oberflächengestaltung bei den geometrischen Körpern 16

Oberflächengestaltung bei den Kaleidozyklen 18

Die farbliche Gestaltung der Entwürfe 20

Einzelheiten zu den Modellen 21

Geometrische Körper 21

Sechseckige Kaleidozyklen 25

Quadratische Kaleidozyklen 30

Verdrillte Kaleidozyklen 34

Weiterführende Literatur 35

Bauanleitungen für die Modelle 35

IN DREI DIMENSIONEN:Erweiterung der Kunst M. C. Eschers

Jeder mag Überraschungen, und es gibt zwei Arten von ih-nen. Die eine ist ein freudiger Zufall, die andere minutiösgeplant, vielleicht sogar geschickt getarnt, um natürlich zuerscheinen. Häufig ist es schwer zu entscheiden, wer dabeidas größere Vergnügen hat - die Person, die überraschtwird, oder die, die sich den Zauber ausgedacht hat. Derholländische Künstler M. C. Escher (1898-1972) war eingenialer Schöpfer vieler Überraschungen der zweiten Art.Seine Grafiken sind voll von intelligent entworfenen opti-schen Überraschungen. Auf den ersten Blick sehen vieleseiner Werke naturalistisch aus, doch beim zweiten Hinse-hen stellt sich das scheinbar Einleuchtende als unmöglichheraus, und der Betrachter muß immer wieder und wiederhinsehen. Nur so entdeckt er die versteckten Überra-schungen, die das Werk bietet. Wie hat Escher das ge-macht? Er besaß eine geniale Phantasie und war ein hand-werklich hervorragender Grafiker, doch der Schlüssel zuden erstaunlichen Effekten in seinen Bildern ist die Ma-thematik. Nicht die Mathematik der Zahlen und Glei-chungen, die den meisten von uns sofort einfällt, sonderndie Geometrie, und zwar die klassische wie die moderneGeometrie. Escher konnte sich die phantastischen Effek-te, die er grafisch hervorrufen wollte, in der Phantasie aus-malen, doch notwendiges Mittel, um diese Effekte prak-tisch zu bewältigen, war die Mathematik. Aus diesemGrund las er technische Abhandlungen und korrespon-dierte mit Mathematikern und Kristallographien. In diesenBriefen kommt zum Ausdruck, daß er sein mathemati-sches Verständnis nicht hoch einschätzte, und dennochveranschaulicht er in seinen Bildern, daß er die grundle-genden mathematischen Prinzipien beherrschte.

Die kaleidoskopartig ausgestalteten geometrischen For-men in diesem Buch sind eine Fortführung und Erweite-rung von Eschers Werk. Sie wurden mit Reproduktionenvon Eschers Zeichnungen versehen und repräsentierenviele Themen seiner Drucke, die sich auf seine Erfor-schung einer dreidimensionalen Ausdrucksmöglichkeitbeziehen. Wer Eschers Werk kennt, den kann es nichtüberraschen, daß diese Entwürfe nur mit Hilfe eines Ma-thematikers und eines Grafikers möglich waren.Auch IHRE aktive Beteiligung ist erforderlich. Bei eineroberflächlichen Betrachtung kann man die subtilen Über-raschungen in Eschers Drucken nicht entdecken. Sie er-

Abb. 1 Sterne, Holzstich 1948, National Gallery of Art, Wash-ington, D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

Abb. 2 Die fünf Platonischen Körper: (a) Tetraeder mit vier Flä-chen; (b) Oktaeder mit acht Flächen; (c) Ikosaeder mit zwanzigFlächen; (d) Würfel mit sechs Flächen; (e) Dodekaeder mit zwölfFlächen.

fahren die wahren Geheimnisse unserer Modelle nur,wenn Sie die Objekte bauen, genau untersuchen und na-türlich auch mit ihnen spielen. Jedes der geometrischenObjekte liegt zunächst als flache Zeichnung vor, SIE er-wecken das Objekt zum Leben, indem Sie es von einemzweidlmensionalen in ein dreidimensionales Ding ver-

wandeln. Wenn die Modelle erst einmal zum „Leben" er-wacht sind, bieten sie viele Überraschungen für Hand undAuge. Das zweidimensionale Muster gibt wenig Auf-schluß darüber, was Sie an dem fertigen dreidimensiona-len Objekt sehen und wie Sie es empfinden werden.

DIE GEOMETRISCHENKÖRPER

Die Sterne, die in Eschers schwarzem Universum (Abb. 1)schweben, sind geometrische Figuren mit der Symmetriegeschliffener Juwelen. Eschers Atelier war voll von sol-chen geometrischen Formen, und er gestand bereitwilligseine Ehrfurcht vor diesen Figuren, die in vielen seinerGrafiken vorkommen.

Die Platonischen Körper (Abb. 2) werden seit frühesterZeit von den Menschen bewundert und geachtet, denn siesind konvexe Polyeder mit der perfektesten Symmetrie:Jeder Platonische Körper hat als Außenflächen identischeKopien eines regelmäßigen Vielecks - alle Kanten undWinkel jeder Fläche sind gleich. Außerdem sind alle Eck-punkte des Körpers identisch, das heißt in jeder Ecke sto-ßen gleichviele Flächen zusammen, und diese sind zuein-ander jeweils im gleichen Winkel geneigt. Mathematikernennen sie regelmäßige Polyeder (oder regelmäßige Viel-fache). Bei jedem werden alle nur denkbaren Forderungennach Deckungsgleichheit erfüllt. Diese Forderungen sindso streng, daß es nur fünf regelmäßige Körper gibt.

Die Namen stammen aus dem Griechischen und gebenan, wieviele Außenflächen ein Körper besitzt. Drei vonihnen sind mit gleichseitigen Dreiecken bedeckt: Tetra-eder, Oktaeder, Ikosaeder. Der bekannteste ist der Würfel(Kubus), der von sechs Quadraten begrenzt wird, dierechtwinklig aufeinanderstehen. Sein Name kommt vomgriechischen Wort für Spielwürfel - cubos. Das Dodeka-eder hat als Flächen zwölf regelmäßige Fünfecke; es istwahrscheinlich der bewundernswerteste Körper, da dasDodekaeder kaum vorstellbar scheint. In dem DruckReptilien (Abb. 3) schnaubt der kleine Drache auf einemDodekaeder, das den Gipfel seiner phantastischen Reisebildet.

Wenn man nur eine Forderung nach Regelmäßigkeit fürden Körper fallen läßt, stößt man auf eine große Gruppeanderer hochsymmetrischer Formen. Die Archimedi-schen (oder auch halbregelmäßigen) Körper lassen zweioder mehr verschiedene Arten regelmäßiger Vielecke alsAußenfläche zu. Sie erfüllen ansonsten alle anderenBedingungen eines regelmäßigen Polyeders: Die Kantenaller Außenflächen sind gleichlang, die Ecken des Körperssind alle gleich (in jeder Ecke stoßen die Flächen in dergleichen Weise aufeinander). Von diesen halbregelmäßi-gen Körpern gibt es dreizehn verschiedene. Wir stellenhier einen vor.

Abb. 5 Kristall, Mezzotinto, 1947, National Gallery of Art,Washington, D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

Das Kubo-Oktaeder (Kubus + Oktaeder) hat sechs Qua-drate und acht gleichseitige Dreiecke als Außenflächen(Abb. 4). In jeder Ecke stoßen zwei Quadrate und zweiDreiecke zusammen, und zwar so, daß jeweils zwischenzwei Dreiecken ein Quadrat liegt. An dem Namen desKörpers kann man erkennen, wovon er abgeleitet ist. Manerhält diesen Körper auf drei Arten: indem man an einemWürfel die Ecken abschneidet oder an einem Oktaeder dieEcken entfernt; ebenso findet man diesen Körper alsgemeinsam umschlossenen Raum, wenn ein Würfel undein Oktaeder sich durchdringen. Diese Möglichkeit zeigtEschers Grafik Kristall (Abb. 5).

Abb. 4 Das Kubo-Oktaeder (a) erhält man aus einem Würfel (b)oder aus einem Oktaeder (c), wenn man deren Ecken abschnei-det. (Es muß immer durch die Mitten der zusammenstoßendenKanten geschnitten werden.) Werden alle hervortretenden Ek-ken an Eschers Kristall (Abb. 5) entfernt, so entsteht einKubo-Oktaeder. Der Kristall ist die Durchdringung von einemWürfel und einem Oktaeder.

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Abb. 6 Die Verbindung einiger Tetraeder an ihren Kanten er-gibt einen geschlossenen Ring. Man kann die Kaleidozyklen aufdiese Weise erhalten.

nem Ring falten kann. Alle diese Ringe sind außen vonDreiecken begrenzt und können erstaunlicherweise eben-so wie IsoAxisR durch ihr Zentrum rotieren. Für diese au-ßergewöhnlich symmetrischen Figuren, die sich endloswie ein Rad drehen können, scheint „Kaleidozyklen" derpassende Name zu sein. (Griechisch: kalös (schön) + eidos(Figur) + kyklos (Ring))

Abb. 7 IsoAxisR ist zuerst ein ebenes Gitternetz von gleich-schenkligen Dreiecken. Man kann aus ihm den gezeigten Körperfalten - er „blüht" auf, sobald man die Einzelflächen durch dasZentrum des Ringes drückt. Photo: Terry McGinnis.

DIE KALEIDOZYKLEN

Ein Kaleidozyklus ist ein dreidimensionaler Ring aus Te-traedern. Um ihn herzustellen, beginnt man mit mehrerenidentischen Tetraedern (Abb. 6a). Verbindet man nun je-weils zwei davon flexibel an einer Kante, so erhält man ei-ne Kette von Tetraedern (Abb. 6b). Sobald diese Kettelang genug ist, läßt sie sich zu einem geschlossenen Kreiszusammenfügen (Abb. 6c). Wegen derflexiblen Scharnie-re an den Kanten kann man den Ring kontinuierlich durchsein Zentrum drehen.

Meistens wird in Lehrbüchern die Entdeckung neuer For-men und neuer Ideen als das Ergebnis einer vorhersehba-ren Entwicklung beschrieben. Die Wirklichkeit ist anders.Man macht eine unerwartete Entdeckung, und erst vielspäter wird die neue Erkenntnis in ihren „natürlichen" Zu-sammenhang eingeordnet. So war es auch mit derEntdek-kung der Kaleidozyklen. Obwohl sie natürlicherweise zudem oben beschriebenen Gebiet gehören, hat erst eine au-ßergewöhnlich genaue Analyse zu ihrer Entdeckung ge-führt. Zuerst gab es IsoAxisR (U.S. Patent Nr. 3302321), dasvon dem Grafik-Designer Wallace Walker erfunden wur-de. Walker hatte IsoAxisR im Jahr 1958 bei der Arbeit an ei-nem Projekt zur strukturellen Gestaltung von Papier ge-schaffen. Er war damals Student an der Cranbrook Acade-my of Art in Michigan. Im zweidimensionalen Zustand istIsoAxisR ein Gitternetz aus sechzig gleichschenklig-recht-winkligen Dreiecken (Abb. 7a). Diesem flachen Mustersieht man keine seiner erstaunlichen dreidimensionalenFormen an. Wenn man es entlang der Linien faltet und zueinem dreidimensionalen Ring formt, nimmt IsoAxisR ei-ne auffallende Gestalt an (Abb. 7b). Erstaunlicherweisekann diese Ringform durch ihr Zentrum gedreht werden.Bei jeder Drehung ändert sie ihr Aussehen (Abb. 7cund d). Nach fünf Drehungen nimmt sie wieder die Aus-gangsgestalt an, und der Zyklus der Veränderungen kannvon neuem beginnen.

Ein mathematisch orientierter Mensch fragt natürlich so-fort: In welcher Beziehung steht das zweidimensionaleGitternetz zu den dreidimensionalen Formen? Was pas-siert, wenn man das Netz ändert? Die Untersuchungen derAutorin, einer Mathematikerin, haben zu dem Ergebnisgeführt, daß sich eine unendlich große Klasse von dreidi-mensionalen Formen ergibt. Unsere Kaleidozyklen gehö-ren zu dieser Klasse.

Das Liniennetz des flachen Musters von IsoAxisRkann ge-dehnt und gestaucht werden wie ein Holzlattenzaun. Da-bei entstehen Muster, die man genau wie IsoAxisR zu ei-

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Wenn man das IsoAxisR-Netz staucht, sehen die entste-henden Figuren wie vielfach gefaltete Lampenschirmeaus. Sie sind sehr biegsam und wirken bei der Rotation wieaufblühende Blumen. Leider sind sie jedoch schwer zuhandhaben, da sie eine Vielzahl kleiner Außenflächen auf-weisen.

Bei der Dehnung des IsoAxisR-Netzes entstehenDreiecke, deren Winkel kleiner sind als ein rechter. Wennman diese Muster zusammenfaltet, entsteht ein Ringzusammenhängender Tetraeder! Man kann die kleinenDreiecke von der Oberkante des Netzes entfernen und anden unteren Rand setzen; dabei entsteht zwar ein neuesGittermuster (Abb. 9), jedoch ergibt sich die gleiche drei-dimensionale Figur. Jeder senkrechte „Streifen" von vierkongruenten Dreiecken wird zu einem Tetraeder gefaltet;die senkrechten Linien im Muster ergeben die Scharnierefür die fertige Kette. Ändert man den Dehnungsfaktor fürdas Muster oder fügt man Dreiecke an, so kann man eineunendliche Vielfalt von Tetraederringen erzeugen.

Abb. 8 Ein Gitternetz, das entsteht, wenn man das IsoAxisR-Muster streckt.

Abb. 9 In diesem Netz sind alle Dreiecke identisch; wenn manes faltet und richtig zusammenfügt, ergibt sich der gleiche Tetra-ederring wie bei dem Netz aus Abb. 8.

Damit stellen sich neue Fragen: Wieviele Tetraederbraucht man mindestens, um einen geschlossenen Ringzu erhalten? Wie klein läßt sich das Loch in der Mitte desRinges machen? Diese Fragen wurden durch praktischeVersuche und mit Hilfe der Lehrsätze der EuklidischenGeometrie beantwortet. Man braucht mindestens sechsTetraeder, um einen Ring zu erhalten; man kann das Lochin der Mitte, theoretisch zumindestens, auf die Größe ei-nes Punktes zusammenziehen. Auch dann würden die Te-traeder sich noch durch dieses Zentrum drehen lassen. Esließen sich sogar Bedingungen für die Dreiecke formulie-ren, die ein punktförmiges Zentrum für den Ring ergeben.

Nach diesen Vorüberlegungen konnten nun viele wunder-volle Kaleidozyklen konstruiert werden. Die ersten bei-den Exemplare der Gruppe von Ringen, die nur ein punkt-großes Loch in der Mitte aufweisen, haben einen ähnli-chen Umriß, wenn man sie von oben betrachtet. Der vonsechs Tetraedern gebildete Kaleidozyklus hat als Umrißli-nie ein regelmäßiges Sechseck (Abb. 10a), der Ring ausacht Tetraedern hat den Umriß eines Quadrates (Abb.10b). Mit steigender Zahl von Tetraedern wird die Sil-houette sternförmig oder ähnelt einer vielblättrigen Blüte(Abb. 11).

Alle bisher behandelten Kaleidozyklen sind wunderbarsymmetrisch. Bei der Rotation berühren sich die Dreiecks-flächen und gleiten dann auseinander. Das wirft eine wei-tere Frage auf: Lassen sich mit anderen Dreiecksnetzenandersartige Kaleidozyklen herstellen? Wieder gaben Ex-perimente und Lehrsätze aus der Geometrie die Antwort.Ein schräges Netz von Dreiecken ergibt einen verdrilltenRing von Tetraedern (Abb. 12). Die verdrillten Kaleidozy-klen sehen unregelmäßig aus, der Umriß zeigt Kerben,und bei der Rotation scheinen sich die Tetraeder einzelndurch das Zentrum zu drehen.

Die vielen Außenflächen der Kaleidozyklen laden zurVerzierung ein. Eine farbige Gestaltung der Flächen er-gibt viele geometrische Effekte, und mit einem Linienmu-ster läßt sich die besondere Art der Bewegung betonen(Abb. 13). Während die Autorin sich mit diesen Fragen be-schäftigte, erforschte und unterrichtete sie die mathemati-schen Aspekte zyklischer Flächenaufteilung. Bei diesenUntersuchungen boten die Zeichnungen von M. C.Escher einen großen Fundus an Beispielen. In vielenseiner Drucke tauchen diese Muster auf. Bei der Betrach-tung von Eschers Zeichnungen wird deutlich, daß dieKaleidozyklen zwei seiner Hauptthemen aufgreifen:geschlossene Zyklen und unendliche Bewegung. Reptilien(Abb. 3) und Begegnung (Abb. 14) zeigen zwei Beispielevon sich durchdringenden und wiederholenden Mustern,die einen unendlichen Zyklus der Bewegung vorspiegeln.

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d

Abb. 10 (a) Ein sechseckiger Kaleidozyklus, (b) ein quadrati-scher Kaleidozyklus.

Abb. 11 Ein sternförmiger Kaleidozyklus aus zehn Tetraedern.

Abb. 12 Ein verdrillter Kaleidozyklus.

Daraus ergab sich natürlicherweise eine Idee zur Oberflä-chengestaltung der Kaleidozyklen; doch würden sichEschers Zeichnungen bruchlos auf die Kaleidozyklenübertragen lassen? Dann würden nämlich im Dreidimen-sionalen viele Aspekte von Eschers Werken lebendigerhervortreten. Diese Frage konnte schließlich mit Ja"beantwortet werden, doch um den Weg dorthin zu verste-hen, müssen wir erst etwas über zyklische Flächenauftei-lungen lernen.

Abb. 13 Auffällige geometrische Verzierung akzentuiert die be-sondere Form eines Kaleidozyklus.

Abb. 14 Begegnung, Lithographie, 1944, National Galleryof Art,Washington, D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

ZYKLISCHEFLÄCHENAUFTEILUNGEN

Jedermann weiß, wie man einen Fußboden fliest. Vieleidentische, manchmal auch verschieden große Fliesenwerden wie ein Puzzle ausgelegt, um den Boden glatt undfugenlos zu bedecken. Zwar kann man die Fliesen einiger-maßen zufällig legen, doch gewöhnlich entsteht ein Mu-ster, das sich in regelmäßigen Abständen wiederholt.Solch ein Muster nennt man eine zyklische Flächenauftei-lung. Diese Art der Flächenaufteilung war für Escher seinLeben lang Hauptthema, ernannte seine Begeisterung da-für eine „hoffnungslose Besessenheit" (vgl. Eschers Vor-wort zu dem Buch von Caroline MacGillany). Solange die

Abb. 15 Periodische Zeichnung 50; VII1942. Fisch und Frosch,Studie für Verbum. Man wähle einen festen Punkt in einem perio-dischen Muster (hier wurde der Punkt gewählt, an dem die Beinevon drei Fröschen zusammentreffen) und suche alle seine Wie-derholungen. Die Anordnung dieser Punkte ergibt das Gitter desMusters. Die Verbindungslinien dieser Punkte bilden ein Netzaus Parallelogrammen (breite weiße Linien); diese Parallelo-gramme sind alle identisch und geben die Originalzeichnung wie-der. Eine Halbierung der Parallelogramme ergibt ein Dreiecks-netz. Jedes Parallelogramm enthält genau einen Fisch und einenFrosch (obwohl die Linien das Motiv zerschneiden). Aus demgleichen Raster von Punkten kann man auch andere Parallelo-grammnetze erhalten: Jeder Schnittpunkt von Netzlinien istdann ein Eckpunkt des Gitters und liegt daher nicht innerhalbeines Parallelogramms. Die neuen Parallelogramme haben eineandere Form als die in der Abbildung gezeigten, besitzen aberden gleichen Flächeninhalt und enthalten ebenfalls genau einenFisch und einen Frosch.

Abb. 16 Periodische Zeichnung 35; VII1941, Echsen. Jeder miteinem kleinen Quadrat markierte Punkt ist Zentrum einer vier-fachen Drehsymmetrie für dieses Muster. D. h.: hält man diesenPunkt fest, läßt sich mit einer Vierteldrehung (90°) das Musterwieder zur Deckung bringen. Die Kreise kennzeichnen die Zent-ren einer zweifachen Rotationssymmetrie; eine Drehung um180° bildet die Zeichnung wieder auf sich selbst ab.

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Form der Fliesen auf gleichseitige Dreiecke, Quadrateoder regelmäßige Sechsecke beschränkt bleibt, ist es kin-derleicht, ein Muster zu finden. Escher hatte sich jedochselbst auferlegt, zyklische Flächenaufteilungen zu erfin-den, bei denen die Elemente erkennbar belebte Figurendarstellen (natürlich ließ er auch Phantasiefiguren zu).Aus den Notizen über seine ersten Bemühungen um die-ses Thema wird deutlich, daß er dieses Unterfangen aus ei-gener Kraft zu bewältigen versuchte. Erst später stellte erfest, daß Mathematiker und Kristallographien all diese Mu-ster schon theoretisch untersucht hatten und auf Gesetz-mäßigkeiten gestoßen waren, die für jede zyklische Flä-chenaufteilung gelten. Mit diesem Wissen konnte Escherseine enttäuschenden Experimente aufgeben und die gan-ze Kraft seines kreativen Talentes darauf verwenden, Fi-guren zu entwickeln, die sich in der gewünschten Weiseüberlagern. Er fertigte über 150 farbige Skizzen von zykli-schen Mustern an, die aus Phantasiefiguren bestehen. Inder Zeichnung Reptilien (Abb. 3) flieht eine solche Figuraus der Fläche des Skizzenblocks, um schließlich wieder inseine parkettierte Welt einzutauchen.Die genaue Definition einer zyklischen Flächenaufteilungverlangt, daß das Muster durch eine in Richtung undStrecke festgelegte Verschiebung auf sich selbst abbildbarist. In der Sprache der Mathematiker heißt dieser Vorgangdie Translation einer Menge von Punkten in der Ebene.Alle Wiederholungen eines beliebigen Punktes bilden einGitter. Die Anordnung dieses Gitters ist unabhängig vonder Wahl des Punktes. Die parallelen Verbindungen derGitterpunkte ergeben immer ein Netz aus Parallelogram-men. Durch weitere parallele Aufteilung wird daraus einNetz von Dreiecken (Abb. 15). Jede zyklische Flächenauf-teilung läßt sich auf ein solches Liniennetz zurückführen.Dabei spielen Form und Größe der ursprünglichen Flä-chenelemente keine Rolle. Die entstehenden Netze ausParallelogrammen oder Dreiecken bilden selbst wiedereine Parkettierung aus untereinander gleichen Einzeltei-len. Jede zyklische Flächenaufteilung hat eine charakter-istische Verteilung der Gitterpunkte, und diese Punktekönnen sehr verschieden miteinander verbunden werden.Daraus ergeben sich völlig unterschiedliche Parallelo-gramm- und Dreiecksgitter. Nur diese Gitter sind Gegen-stand der mathematischen Analyse, bei der man sich aufgewisse Grundtypen beschränken kann.Manche zyklische Flächenaufteilungen lassen sich nichtnur durch Verschiebungen auf sich selbst abbilden. Diemöglichen anderen Bewegungen nennt man auch dieSymmetrien eines Musters; erstaunlicherweise gibt es nurdrei Arten von Symmetrien. Es kann einen Punkt in demMuster geben, der die Rolle einer Radnabe spielt; das Mu-ster läßt sich um den festen Punkt drehen, und nach weni-ger als einer vollen Umdrehung kommt es wieder mit sich

selbst zur Deckung. Diese Art der Bewegung nennt manDrehung (Abb. 16 und 17). Läßt sich durch das Muster eineGerade ziehen, so daß die eine Hälfte des Musters dasSpiegelbild der anderen ist, kann man es durch Umklap-pen auf sich selbst abbilden. Alle Punkte der Geraden blei-ben dabei unbewegt (Abb. 18). Diese Bewegung nenntman Spiegelung, und die Gerade heißt Spiegelachse.Schließlich kann es notwendig sein, das Muster erst ent-lang einer Strecke zu verschieben und dann an der ent-sprechenden Geraden zu spiegeln (Abb. 19). Diese Art der

Abb. 17 Periodische Zeichnung 44; XII 1941. Vögel. DiesesMuster hat Zentren für sechsfache Rotationssymmetrien. (Siesind mit Sechsecken markiert; die Zentren für eine dreifacheDrehsymmetrie sind mit Dreiecken gekennzeichnet.) Ebensogibt es Zentren für eine zweifache Drehung. (Finden Sie dieseSymmetriezentren!) Dreht man das Muster 60° um ein Zentrumder sechsfachen Drehsymmetrie, so kommen alle Umrißlinienzur Deckung, doch sind die grauen und die weißen Vögel ver-tauscht. Eine Drehung von 120° um ein Zentrum der dreifachenSymmetrie bildet die Vögel der gleichen Farbe aufeinander ab.

Bewegung nennt man Schubspiegelung. Die theoretischeBearbeitung der drei Bewegungsklassen ist Gegenstandder Transformationsgeometrie, deren Gesetze für jede zy-klische Flächenaufteilung gelten.

Bei seinen farbig zusammengesetzten Zeichnungen hatEscher die Farben so verteilt, daß jeweils benachbarte Fi-guren verschiedene Farben erhielten. Dadurch sind ein-zelne Figuren klar erkennbar - auch wenn alle den glei-chen Umriß haben. In Mustern mit identischen Einzelflä-chen bringen manche Symmetrien die Umrißlinien zurDeckung, vertauschen dabei aber die Farbverteilung;ebenso gibt es Symmetrien, die auch die Farben richtig ab-bilden (Abb. 17). Escher war Vorreiter einer systemati-schen Untersuchung von kolorierten zyklischen Flächen-aufteilungen, heute heißt dieser ForschungsbereichFarb-Symmetrie.

Der tatsächliche Entwurf von Motiven, die sich durchdrin-gen und ausschließlich vermittels Kopien lückenlos eineFläche bedecken, ist nach Eschers Worten ein „schwieri-

Abb. 19 Periodische Zeichnung 63; II 1944. Studie für Be ge-gnung. Dieses Muster läßt sich entlang der eingezeichneten Linieverschieben und danach umklappen. Bei dieser Schubspiegelungwerden die nach links schauenden Optimisten auf die nach rechtsschauenden abgebildet.

Abb. 18 Periodische Zeichnung 85; IV1952. Drei Elemente. Ei-ne Spiegelungsachse teilt diese Zeichnung in zwei Hälften. Hierlassen sich durch jedes Motiv mehrere Spiegelachsen legen.

ges Unterfangen". Vom mathematischen Standpunkt ausgibt es nur 17 verschiedene Muster, d.h. Muster mit ver-schiedenen Symmetriearten. Für den Künstler gibt es na-türlich eine unendliche Vielzahl von Möglichkeiten. Umein einzelnes passendes Flächenelement zu entwerfen,muß der Künstler den Beschränkungen gehorchen, die diemöglichen Symmetrien der Zeichnung für die Umrißliniedes Elementes vorgeben. Noch schwieriger ist der Ent-wurf einer Umrißlinie, die zwei verschiedene Darstellun-gen in der Zeichnung gleichzeitig umschließen muß.Dieser kurze Blick auf die geometrischen Prinzipien derzyklischen Flächenaufteilung soll genügen. Jetzt könnenwir beschreiben, wie die Modelle unserer Sammlung mitEschers Zeichnungen versehen wurden.

OBERFLÄCHENGESTALTUNG BEIDEN GEOMETRISCHEN KÖRPERN

Escher selbst hat Versuche angestellt, seine periodischenMuster zur Oberflächengestaltung dreidimensionalerObjekte zu verwenden. In seinem Aufsatz „Annäherungan die Unendlichkeit" deutet er die ebenen Zeichnungenals Bruchstücke einer möglichen Unendlichkeit. Auf derOberfläche eines dreidimensionalen Körpers läßt sich dieunendliche Wiederholung einer Zeichnung mit einer end-lichen Anzahl von Figuren verwirklichen. Das Muster aufeinem Körper hat weder Anfang noch Ende. Bei seinenVersuchen hat Escher einige Papiermodelle beklebt (Abb.20), doch lediglich einer dieser Körper ist schließlich wirk-lich in endgültiger Form hergestellt worden. Es war einMetallikosaeder mit einem Emailledesign aus Muschelnund Seesternen. Eine holländische Firma hatte es als Jubi-läumsausgabe bestellt (Abb. 21).

Escher hat außerdem Kugeln entworfen, deren Oberflä-chen geschnitzte, sich wiederholende Motive zeigen(Abb. 22). Wahrscheinlich hat er sich bei der Planung derKugeloberfläche die ebenen Muster auf einem geeignetenVielflach, einem Würfel oder Oktaeder, vorgestellt und siesich von diesem Vielflach auf die umhüllende Kugelober-fläche projiziert gedacht.

Die drei Platonischen Körper mit Dreiecksaußenflächensowie der Würfel haben als ebenes Netz eine Verbindungvon gleichseitigen Dreiecken bzw. Quadraten. Für diesenKörper findet man leicht passende Entwürfe, da ihreNetze bei zyklischen Zeichnungen häufig als Grund-muster auftreten. Es ist jedoch nicht ganz einfach, dieseKörper zu bekleben, denn es kann sein, daß die aus-geschnittenen Stücke der Zeichnung beim Zusammenfal-ten und Kleben nicht mehr genau aneinanderpassen.

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Grundsätzlich läßt sich das Kubo-Oktaeder ebenfallsleicht bekleben, vorausgesetzt, man verwendet Zeichnun-gen, deren Symmetrien sowohl auf Dreieck- als auch aufQuadratgittern beruhen. Es gibt von Escher solche Zeich-nungen, er hat sie als Studien für Kreislimit III (Abb. 23)entworfen. In diesem Bild wechseln Dreiecke und Qua-drate als Flächenelemente ab; bei der Übertragung auf diezweidimensionale Darstellung einer besonders ge-krümmten (hyperbolischen) Ebene mußten allerdings dieGitterstrukturen ebenfalls gekrümmt werden.(Eine hyperbolische Ebene hat folgende Eigenschaft: Zueiner gegebenen Geraden und einem gegebenen Punktlassen sich mindestens zwei Geraden zeichnen, die durchden Punkt gehen, nicht aber die erste Gerade schneiden.)Bei der Gestaltung der Oberfläche stellt das Dodekaederdie größte Herausforderung dar, da die regelmäßigenFünfecke nicht als Gitterelemente einer Symmetrie derEbene vorkommen können. Es ist unmöglich, eine ebeneZeichnung in regelmäßige Fünfecke zu zerlegen und dieseauf dem Körper anzubringen. Aber es gibt eine spezielleZerlegung der Fläche in unregelmäßige Fünfecke, die hierden Schlüssel zum Erfolg darstellte. In Verbindung mitder Technik, die Escher wahrscheinlich bei den Kugelnbenutzt hat, gelang es, ein Dodekaeder mit einerEscher-Zeichnung zu versehen. (Die Details der Entwürfefür die einzelnen Körper werden später in dem KapitelEinzelheiten zu den Modellen besprochen.)

Abb. 20 M. C. Escher hat dieses Papiermodell eines rhombi-schen Dodekaeders (12 rautenförmige Außenflächen) mit einerVersion seiner Zeichnung aus Abb. 18 versehen.

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Abb. 21 Dieses emaillierte Metallikosaeder wurde vonM. C. Escher gestaltet. National Gallery of Art, Washington,D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

Abb. 22 Eine elfenbeinerne Nachbildung von Eschers Kugelmit Fisch; sie wurde 1962 von Masatoshi, einem Netsuke-Schnit-zer, hergestellt. (Netsuke ist in Japan ein kleiner geschnitzterKopf zur Befestigung von Schreib- oder Rauchgegenständen.)National Gallery of Art, Washington, D. C, Schenkung vonMr. C. V. S. Roosevelt.

OBERFLÄCHENGESTALTUNG BEIDEN KALEIDOZYKLEN

Als Escher sich mit dem Problem der Darstellung wirklichunendlicher Wiederholung beschäftigte, mußte er zuge-ben, daß Zeichnungen für diesen Zweck unangemessensind. Er schlug daher eine Teillösung vor: Wenn man beieiner rechteckigen Zeichnung mit einem solchen Muster(Abb. 24a) zwei gegenüberliegende Kanten passend zu-sammenfügt, erhält man einen Zylinder (Abb. 24b). In derRichtung, die um den Zylinder herumführt, hat das Mu-ster dann weder Anfang noch Ende. Da jedoch der Zylin-der nur eine endliche Höhe haben kann, endet das Musterunvermittelt an seiner Ober- und Unterkante. Eine Formmit einer echten unendlichen Wiederholung ließe sich auffolgende Weise herstellen: Man beginnt mit einem ebe-nen Rechteck, formt dann daraus einen Zylinder und setztdessen Ober- und Unterkanten aufeinander, so daß maneinen geschlossenen Ring erhält. Bei einem normalen Pa-pierzylinder läßt sich das nicht bewerkstelligen, ohne dasPapier zu zerknittern. Mit den Kaleidozyklen läßt sich das

Kunststück eines geschlossenen Ringes fertigbringen, dabei ihnen das Papier so gefalzt und gefaltet wird, daß ausdem ursprünglichen Zylinder eine Kette von Tetraedernentsteht. Diese Kette läßt sich leicht zu einem Ring zusam-menfügen, ohne das Papier zu verletzen (Abb. 24c). Diedreieckigen Facetten des Kaleidozyklus wiederholen sichalso unendlich oft in beiden ringförmigen Richtungen -ähnlich wie auf der Oberfläche eines Rettungsringes. DieOberfläche eines Kaleidozyklus durchgehend mit zykli-schen Flächenaufteilungen zu versehen stellt die Weiter-entwicklung und endgültige Lösung des von Escher vor-geschlagenen Ansatzes dar.Geht man nun tatsächlich daran, die Kaleidozyklen mitEschers periodischen Zeichnungen zu versehen, so ist dasnicht so einfach, wie man es sich nach der oben gegebenen

Beschreibung denken könnte. Die einfache Beobachtung,daß sowohl die zyklische Flächenaufteilung als auch dieGrundmuster der Kaleidozyklen einen gemeinsamengeometrischen Aspekt haben, hatte zu der Hoffnung aufeine einfache Lösung Anlaß gegeben. Jeder Kaleidozyklusentsteht aus einem ebenen Netz von Dreiecken - und einsolches Netz von Dreiecken ist eng verwandt mit einer re-gelmäßigen Flächenaufteilung. Es sah erst so aus, als müs-se man bloß eine zyklische Flächenaufteilung mit einemgewissen Gitter auf das Baumuster eines Kaleidozyklusmit demselben Gitter abbilden; doch das war leider zunaiv gedacht. Betrachtet man einen sechseckigen Kaleido-zyklus von oben, so scheint er sich aus sechs gleichseitigenDreiecken zusammenzusetzen (Abb. 25a), ein quadrati-scher Kaleidozyklus erscheint als Zusammensetzung aus

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8 identischen Dreiecken (Abb. 26a). Es sieht so aus, als obeine regelmäßige Flächenaufteilung, die auf einem Netzvon gleichseitigen Dreiecken beruht, die Facetten dessechseckigen Kaleidozyklus bedecken könnte; und eben-so, als ob eine Aufteilung, die ein Netz aus gleichschenkli-gen rechtwinkligen Dreiecken besitzt, die Einzelflächendes quadratischen Kaleidozyklus bedecken könnte. Dochunser Auge spielt uns hier einen Streich. Es liegt daran,daß wir die Kaleidozyklen von oben sehen; die dreieckigenEinzelflächen sind in Wirklichkeit geneigt. Seitenansich-ten der Modelle (Abb. 25b und 26b) und eine genauereUntersuchung ihrer ebenen Netze zeigen, daß die dreiek-kigen Einzelflächen nicht mit den Dreiecken übereinstim-men, die den regelmäßigen Mustern zugrunde liegen.

Eine Kamera projiziert ein dreidimensionales Objekt aufeine ebene Fläche. Es ist möglich, diesen Vorgang umzu-kehren und eine ebene Fläche auf ein dreidimensionalesObjekt zu projizieren. Warum sollte man also nicht eineZeichnung mit einem Netz aus gleichseitigen Dreieckenvon oben auf den sechseckigen Kaleidozyklus^ro/zz/eren?Ebenso könnte man auch ein Muster mit rechtwinkligenDreiecken auf die Außenfläche eines quadratischen Kalei-dozyklus projizieren. Um dies auszuführen, benötigt maneinen anderen Zweig der Geometrie: die projektive Geo-metrie; sie untersucht, welche Eigenschaften eines Objek-tes unverändert bleiben, wenn man es auf eine andereOberfläche projiziert.

Es gibt zwei wesentlich verschiedene Arten der Projek-tion. Die eine Art, die Zentralprojektion (Abb. 27a), kenntman vom Diaprojektor. Eine punktförmige Quelle sendeteinen Lichtkegel aus, der das Bild vergrößert und es auf ei-ner Fläche abbildet. Die andere Art der Projektion ist tech-nisch schwieriger zu bewerkstelligen, mathematisch gese-hen jedoch genauso „natürlich". Bei einer Parallelprojek-tion (Abb. 27b) wird das Bild durch parallele Strahlen über-tragen. Bei beiden Arten der Projektion bleiben gewisseEigenschaften des Bildes erhalten, während andere verän-dert werden. Die wesentlichen Eigenschaften der zykli-schen Flächenaufteilungen, die man zur durchgängigenBedeckung der Kaleidozyklen benötigt, bleiben nur beider Parallelprojektion erhalten. Damit war, zumindesttheoretisch, das Problem der Projektion von Flächenmu-stern auf die Kaleidozyklen gelöst. (Für die praktischeAusführung einer Parallelprojektion braucht man einenComputer oder ein kompliziertes Linsensystem.)

Damit blieb nur noch eine Frage unbeantwortet: WelcheArt Muster kann man auf die sechseckigen bzw. quadrati-schen Kaleidozyklen übertragen? Wenn man diese Tetrae-derringe dreht, berühren sich die Dreiecksflächen undgleiten dann aneinander vorbei; viele unterschiedliche

Abb. 24 Periodische Zeichnung 103; IV1959. Fisch. Bei diesemrechteckigen Ausschnitt der periodischen Zeichnung passen dieKanten rechts, links, oben und unten zusammen, (b) Man erhälteinen Zylinder, indem man eines der Paare gegenüberliegenderKanten zusammenfügt, (c) Wenn man die Zeichnung entlang derGitterlinien eines Kaleidozyklus falzt, kann man beide Paare dergegenüberliegenden Kanten zusammensetzen und das Musterum den Kaleidozyklus „wickeln".

Kanten treffen aufeinander, während das Modell in sei-nem endlosen Zyklus bewegt wird. Außerdem muß derEntwurf das ebene Netz des Kaleidozyklus ausfüllen,sonst treffen die Ober- und Unterkanten sowie die Kantenrechts und links nicht passend aufeinander. Es ließen sichviele Muster finden, die diesen Anforderungen genügtenund damit wurde die theoretische Möglichkeit der durch-gehend bedeckten Kaleidozyklen Wirklichkeit.

Die Herstellung der Vorlagen für die Kaleidozyklen erfor-derte ein absolut genaues Vorgehen. Eschers Skizzen inden Notizheften sehen zwar einigermaßen präzise aus,doch ergeben sich bei den handgezeichneten Motivenwinzige Abweichungen innerhalb einer ganzen Seite. Beider Gestaltung eines Kaleidozyklus muß jedes Detail zu

Abb. 25 (a) Draufsicht und (b) Seitenansicht eines sechsecki-gen Kaleidozyklus.

Abb. 26 (a) Draufsicht und (b) Seitenansicht eines quadrati-schen Kaleidozyklus.

jedem entsprechenden anderen des Musters genau pas-sen, da bei der Rotation des Kaleidozyklus Einzelheitenaus entferntliegenden Teilen des Musters aufeinander-treffen; darum war für die Oberflächengestaltung äußersteGenauigkeit gefordert. Für jeden der verwendeten geo-metrischen Körper und für alle Kaleidozyklen wurden dieEntwürfe von Hand nachgezeichnet. Wallace Walker undseine Helfer - Victoria Vebell, Robert McKee und RobinMcGrath - wandelten im Wortsinn auf Eschers Spuren, alssie die Zeichnungen noch einmal schufen. Die exaktenEntwürfe wurden in einem speziellen photographischenVerfahren vergrößert und entsprechend der Parallelpro-jektion gestreckt. Schließlich wurden die Entwürfe sorg-fältig handkoloriert. In jedem Fall sollten die Farben derOriginalskizzen so genau wie möglich getroffen werden.

Abb. 28 (a) Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck wur-de mit Hilfe eines Computers auf die Dreiecksaußenfläche (b) ei-nes quadratischen Kaleidozyklus parallelprojiziert. Man beachte,daß in der Waagerechten der Abstand zwischen den Parallelenunverändert bleibt, während in der senkrechten Richtung alleAbstände einheitlich gestreckt sind.

DIE FARBLICHE GESTALTUNGDER ENTWÜRFE

Escher hatte ein strenges Kriterium für die Kolorierungder zyklischen Flächenaufteilungen: Je zwei benachbarteMotive sollten verschiedene Farben tragen; denn nurdurch den farblichen Kontrast lassen sich in einem Ent-wurf aus identischen Kopien einzelne Motive erkennbarherausheben.

Kartographen müssen normalerweise jedes Land mit ei-ner eigenen Farbe kennzeichnen; dabei verwenden sieausreichend viele Farben, um Länder mit gemeinsamenGrenzen unterschiedlich einfärben zu können. Es mag be-fremdlich klingen, doch die Probleme, die bei diesen An-forderungen an die Farbgebung auftreten, gehören in denBereich der Mathematik. Bei einer vorgegebenen Struk-tur, die farblich wie eine Landkarte zu gestalten ist (sei eseine geometrische Zeichnung oder ein Mosaik), fragenMathematiker: Wieviele verschiedene Farben braucheich höchstens, um den Anforderungen zu genügen? Aufwieviele verschiedene Weisen kann ich die Struktur ein-färben? Kann man die Farben so verteilen, daß zwangsläu-fig bestimmte Farbkombinationen auftreten? Diese Fra-gen sind erstaunlich schwer zu beantworten, besonderswenn die Struktur kompliziert ist und die Farbgebungstrengen Regeln zu gehorchen hat. Kombinatorik, Gra-phentheorie und Topologie sind die Zweige der modernenMathematik, in denen solche Fragen bearbeitet werden.

Die Frage nach der minimalen Anzahl von Farben, dieman für eine beliebige Landkarte in der Ebene oder auf ei-ner Kugeloberfläche benötigt, blieb über zweihundertJahre lang unbeantwortet, obwohl viele fähige Mathema-tiker nach einer Antwort suchten. Viele glaubten, daß vierFarben für jede Landkarte ausreichend sind - denn nie-mandem gelang der Entwurf einer denkbaren Karte, diefünf Farben verlangt. Erst 1976 konnte bewiesen werden,daß diese Vermutung korrekt ist. (Die Mathematiker K.Appel und W Haken der University of Illinois benötigtenzum Beweis Zehntausende von Computeroperationen.)Zwar sind vier Farben ausreichend, um eine ebene Zeich-nung entsprechend den Forderungen für Landkarten zukolorieren, doch für zyklische Flächenaufteilungen ist esansprechender, wenn die Farbgebung die Symmetrien derZeichnung betont. Escher hatte lange vor einer systemati-schen Bearbeitung durch Mathematiker und Kristallogra-phien in dieser Richtung gearbeitet und die experimentellgefundenen Möglichkeiten systematisiert. Bei der Über-nahme von Eschers Entwürfen für die Gestaltung der geo-metrischen Modelle wurden die Anforderungen an die

Kolorierung aufrechterhalten. Wenn man die ebenen Net-ze der Körper aus den Gittern, die Eschers periodischenZeichnungen zugrunde liegen, ausschneidet, fallen einigeTeile der Zeichnung fort. So kann es vorkommen, daßbeim Zusammenfalten zu einem Körper gleichfarbigeMotive aufeinanderstoßen. Um bei den Körperoberflä-chen das Prinzip der unterschiedlichen Farbgebungdurchzuhalten, mußte Eschers Kolorierung in einigen Fäl-len geändert werden. So waren für einige ebene Muster le-diglich drei Farben nötig, während dasselbe Muster aufder Oberfläche eines Platonischen Körpers vier Farbenverlangte. In drei Fällen - beim Würfel, beim Ikosaederund beim Kubo-Oktaeder - mußte die Farbgestaltung derMuster geändert werden.

Bei allen Modellen wurde eine zusätzliche Anforderungan die Farbgebung erfüllt: Jeder mit einem Muster verse-hene Körper konnte gerade koloriert werde, d.h. jedeFarbe wurde gleich häufig verwendet. Eine solche Farb-verteilung für den Würfel zu finden, der mit zwölf identi-schen Fischen bedeckt ist, haben wir als Rätsel für Sie of-fengelassen.

Abb. 29 Das Fischmuster auf dem Kubo-Oktaeder kommt beider Kolorierung mit nur drei Farben aus. Jede der hier eingesetz-ten Farben (Weiß, Grau und Schwarz) wird genau für je acht derinsgesamt vierundzwanzig Fische auf dem Kubo-Oktaeder ver-wendet.

EINZELHEITEN

ZU DEN MODELLEN

DIE GEOMETRISCHEN KÖRPER

Das TetraederDie Zeichnung Reptilien bot sich natürlicherweise für dieOberfläche des Tetraeders an. Verbindet man die Zentrender sechsfachen Rotationssymmetrien, so ergibt sich einGitter aus gleichseitigen Dreiecken. (Ein Dreieck wird inAbb. 30a gezeigt.) Werden vier Teile dieses Gitters ver-wendet, erhält man das Netz eines Tetraeders, bei dem so-wohl Farbgebung als auch Umrißlinien passend zusam-menstoßen; die Rotationszentren des ebenen Musterswerden zu Zentren der Drehsymmetrie des ganzen Kör-pers. Bei einer Drehachse, welche die Mitte einerDreiecksfläche mit dem gegenüberliegenden Eckpunktverbindet (Abb. 30b), bringt eine 120°-Drehung den Kör-per mit sich selbst zur Deckung. Da man diese Drehungdreimal ausführen kann, bis sich der Körper wieder in derAusgangslage befindet, heißt sie dreifache Rotationssym-metrie des Tetraeders; dabei kann man drei Reptilien imSchnittpunkt Achse/Oberfläche laufen sehen. Der Mittel-punkt jeder Kante des Tetraeders ist Drehzentrum einerzweifachen Rotationssymmetrie der ebenen Zeichnungund des gesamten Tetraeders; die entsprechende Achseim Tetraeder verbindet die Mittelpunkte zweier gegen-überliegender Kanten (Abb. 30c).

Das Oktaeder

Abb. 30 (a) Periodische Zeichnung 56; XI1942. Reptilien, (b)Eine Achse der dreifachen Rotationssymmetrie, (c) Eine Achseder zweifachen Rotationssymmetrie.

Die periodische Zeichnung, welche die Drei Elemente - Er-de, Wasser und Luft - zeigt (Abb. 18), verwendete Escher,als er mit der Oberflächengestaltung bei dreidimensiona-len Formen experimentierte. Jedes Motiv füllt annäherndeinen Rhombus aus zwei verbundenen gleichseitigenDreiecken. Die Maße der Rhomben lassen sich so verän-dern, daß diese eine Facette des rhombischen Dodekae-ders ergeben. Auf diese Weise veränderte Escher den ebe-nen Entwurf und erzielte eine vollständige Bedeckung deszwölfflächigen Körpers (Abb. 20). Ein Prisma konnte erebenfalls mit dieser Zeichnung versehen.

Auf Anregung von C. V. S. Roosevelt, einem begeistertenSammler seines Werkes, fertigte Escher im Jahre 1963 ei-nen detaillierten Entwurf und eine Modellkugel für denja-panischen Handwerker Masatoshian, der nach diesen Vor-gaben eine kleine Elfenbeinkugel schnitzte (Abb. 31).

Der ebene Entwurf von Drei Elemente eignet sich offen-sichtlich am besten für die Oberfläche eines Oktaeders.Bei der Übertragung sind keine Veränderungen erforder-lich. Jedes gleichseitige Dreieck enthält die verschränktenHälften der drei Motive und kann die Außenfläche des Ok-taeders bilden (Abb. 31d). Insgesamt zwölf Einzelmotive -vier von jeder Sorte - bedecken das Oktaeder. Die vierWiederholungen eines Motivs liegen rund um das Oktae-der auf einem quadratisch angeordneten Weg, der über ei-nige Kanten führt.

Umhüllt man das Oktaeder mit einer Kugel und projiziert,vom Mittelpunkt ausgehend, die Oktaederoberfläche auf

die Kugeloberfläche, so erhält man den Entwurf der Elfen-beinkugel. Der erwähnte quadratische Weg wird dabei zueinem Großkreis auf der Kugel.Escher war sehr genau bei der farblichen Gestaltung dergeschnitzten Elfenbeinkugel. Er versah seinen Entwurfmit Mustern der drei Farben, die er bei der fertigen Kugelverwendet sehen wollte. Unsere Version des Oktaedersmit der Zeichnung Drei Elemente entspricht EschersWunsch für die Kugel. Man beachte, daß diese Farbge-bung von der des ebenen Entwurfs abweicht. Eschers ur-sprüngliche Farbgebung haben wir bei der Gestaltung dessechseckigen Kaleidozyklus mit derselben Zeichnung ver-wendet.

Abb. 31 (a) Eschers Anweisungen und (b) das plastische Mo-dell für die geschnitzte Elfenbeinkugel (c) mit der Drei-Elemente-Ztsichnung. Das sphärische Dreieck, welches die Hälftejedes Motivs umfaßt, ist klar erkennbar. Das Dreieck entstehtdurch die Projektion einer Außenfläche des Oktaeders (d) auf dieOberfläche der umhüllenden Kugel. Photo: (b) National Galleryof Art, Washington, D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

Abb. 32 Periodische Zeichnung 70; III 1948. Schmetterlinge.Rosa und grüne Schmetterlinge wechseln sich ab rund um dasZentrum der sechsfachen Rotationssymmetrie. Zwei Farben ge-nügen, um diesen Teil der Zeichnung in der Ebene nach den Re-geln für Landkarten zu kolorieren. Wird dieser Entwurf auf dieOberfläche eines Ikosaeders übertragen, muß ein Schmetterlingherausgeschnitten werden; das Zentrum der Drehung wird dannzu einem Eckpunkt. An dem Eckpunkt liegen dann zwei gleich-farbige Schmetterlinge nebeneinander. Damit benachbarte Mo-tive unterschiedliche Farben bekommen, muß man bei diesemEntwurf auf dem Körper vier Farben verwenden.

Das Ikosaeder

Eschers periodische Zeichnung mit dem Motiv derSchmetterlinge (Abb. 32) hat eine sehr komplizierte undausgeklügelte Kolorierung. Jedes Muster, in dem Zentreneiner sechsfachen Drehung vorkommen, läßt sich auf dieOberfläche eines Ikosaeders übertragen, doch der schöneSchmetterlingsentwurf war eine besondere Herausforde-rung. In der ebenen Zeichnung genügen drei Farben, umbenachbarte Einzelmotive zu unterscheiden; Escher ver-wendete eine Färb Verteilung, bei der jeweils zwei Farbenrund um die Rotationszentren abwechselnd auftreten. (Essind die Punkte, an denen sechs Flügelspitzen zusammen-treffen.) Das Fehlen der jeweils dritten Farbe hebt Escherhervor, indem er sie für die Zeichnung auf den Flügeln ver-

22

Abb. 33 Periodische Zeichnung 20; III1938. Fisch.

Abb. 34 Eschers Anweisungen für das Schnitzen einer Elfen-bein-Kopie seiner hölzernen Kugel mit Fisch. Die eingezeichne-ten Umrißlinien auf dem Photo der Holzkugel zeigen die Projek-tion einer Würfelseite unseres Modells Nr. 4. Escher notierte zudem Photo: „Die acht Punkte A und B (von denen nur vier sicht-bar sind) bilden die Eckpunkte eines Würfels."

wendet: Jeder Schmetterling, der um ein Drehzentrumschwirrt, trägt sie als kleinen Kreis auf den Flügeln. DasNetz des Ikosaeders läßt sich aus den gleichseitigenDreiecken, die ein Gitter der ebenen Zeichnung bilden,zusammensetzen; bei dieser Vorgehensweise werden dieRotationszentren zu Eckpunkten des Ikosaeders. Alsosind auf der Körperoberfläche nur fünf der sechs Schmet-terlinge um diesen Punkt gruppiert. Die Verteilung derFarben mußte geändert werden, um benachbarte Schmet-terlinge durch unterschiedliche Farben abzugrenzen.

Es ist leicht einsehbar, daß unter dieser Bedingung auf derKörperoberfläche vier Farben notwendig sind. Ein inter-essantes Ziel war, die neue Kolorierung so ausgewogenwie möglich zu gestalten. Vielleicht erscheint die erreichteFarbverteilung ein wenig beliebig, sie hält jedoch eineaußergewöhnliche Balance: Rund um jeden Eckpunkt des

Körpers werden drei der insgesamt vier Farben verwen-det. Jede mögliche Kombination, bei der zwei Farben dop-pelt und die dritte nur einmal verwendet wird, tritt aneinem Eckpunkt auf. (Zum Beispiel gibt es mit den dreiFarben Grün, Blau und Rosa genau drei Möglichkeiten,eine Ecke des Körpers zu kolorieren: (1) zweimal Grün,zweimal Blau, einmal Rosa; (2) zweimal Grün, zweimalRosa, einmal Blau; (3) zweimal Blau, zweimal Rosa, ein-mal Grün.) Außerdem ist es auch noch eine gerade Farb-verteilung, das heißt hier: Auf der Körperoberfläche sindsechzig Schmetterlinge zu sehen, von jeder Farbe genaufünfzehn Exemplare. Das Ikosaeder war das einzigeModell, bei dem eine zusätzliche Farbe verwendet werdenmußte. Escher hattte Grün, Blau und Rosa für den ebenenEntwurf ausgewählt. Für die Lösung des Problems derFarbverteilung auf dem Körper wurde die Farbe Gelb hin-zugenommen.

Da unser Modell Der Würfel in einer direkten Beziehungzu Eschers Kugel mit Fisch steht, kann es als Zwischensta-tion bei der Umwandlung einer Parkettierung der Ebene(Abb. 33) in eine regelmäßige Aufteilung der Kugelober-fläche angesehen werden. Mit einer einzigen Fliesenartdes Fischmotivs bedeckt man die Ebene in einem Muster,das zwei verschiedene Zentren vierfacher Drehsymme-trien enthält: Vier Fische wirbeln um den Punkt, an demdie Schwanzflossen zusammentreffen, und vier (andere)Fische drehen sich um den Punkt, an dem sich die Rücken-flossen berühren. Escher hat die Symmetriezentren andem einzeln gezeichneten Fisch mit kleinen Quadratengekennzeichnet. In der Ebene bilden die Verbindungender Drehzentren ein Gitter aus Quadraten, aus dem sichdas Netz des Würfels herauslösen läßt. Faltet man den soerhaltenen Würfel zusammen, sieht man, daß er die Bildervon zwölf einzelnen Fischen trägt: Um jede Ecke drehen

sich drei Fische. Ließe sich der Würfel zu einer Kugel auf-blasen, so würde er zu Eschers Kugel mit Fisch. Möglicher-weise hat Escher auf diese Weise seine geschnitzte Holz-kugel entworfen. Zu den Planskizzen (Abb. 34) für einkleines Elfenbeinreplikat (Abb. 22) machte Escher die Be-merkung, daß die Mittelpunkte der dreifachen Symmetriesich an den Berührungsstellen eines der Kugel einbe-schriebenen Würfels (mit der Kugel) befinden.

In seinem Skizzenheft notiert Escher über die Zeichnungmit dem Fischmotiv, daß es möglich sei, dieses Muster mitdrei Farben entsprechend den Regeln für Landkarten zukolorieren. Er verwendete jedoch vier Farben, damit dieSymmetrie der Zeichnung deutlicher hervortritt. Auf derWürfeloberfläche verlangt dieses Muster vier Farben.Eschers geschnitzte Kugel ist nicht koloriert, darum habenwir auch für den Würfel keine Farben ausgewählt. Sie sindeingeladen, folgendes Farbenproblem selbst zu lösen:Verteilen Sie die Farben auf dem Würfel unter folgendenBedingungen: (1) Jeder Fisch hat eine Farbe. (2) Benach-barte Fische haben verschiedene Farben. (3) Genau vierFarben werden verwendet. (4) Jede Farbe kommt bei ge-nau drei der zwölf Fische vor. (Doch, das ist möglich! Wirhaben für Sie eine kleine Kopie des Würfelmusters abge-bildet, an der Sie die Möglichkeiten ausprobieren kön-nen.) Mit der Lösung der Aufgabe erhalten Sie ein Beispielfür eine gerade Farbverteilung (nach den Regeln fürLandkarten) auf einer Kugeloberfläche. Bei diesem Bei-spiel sind vier Farben erforderlich.

Das Dodekaeder

Die Ebene läßt sich nicht in regelmäßige Fünfecke zerle-gen - zwischen den einzelnen Flächenstücken gibt es im-mer unbedeckte Stellen. Wie sollte unter diesen Voraus-setzungen das Dodekaeder mit einer zyklischen Fläche-naufteilung versehen werden? Eins der bevorzugten Mu-ster war für Escher die Parkettierung durch kongruenteFünfecke, wie sie in Abbildung 35 zu sehen ist. Da bei denFünfecken nicht alle Winkel übereinstimmen, sind sienicht regelmäßig. In der Zeichnung sind die Zentren dervierfachen Drehsymmetrien markiert; die Verbindungsli-nien dieser Zentren bilden ein Netz aus Quadraten. Sechspassend zusammenhängende Quadrate lassen sich zu ei-nem Würfel zusammenfalten.

Die periodische Zeichnung Muscheln undSeesterneberuhtauf der Fünfeck-Parkettierung; injedem der unregelmäßi-gen Fünfecke ist ein Seestern abgebildet (Abb. 36a). Da-mit sich die Zeichnung auf die Oberfläche eines Dodekae-ders übertragen läßt, haben wir sie zuerst auf einem Wür-

Abb. 36 Die Vorgehensweise bei der Bedeckung des Dodekae-ders mit der Muscheln-und-Seesteme-Z&ichnung. (a) PeriodischeZeichnung 42; VIII1941. Muscheln und Seesterne (Das Netzwerkaus Fünfecken, das der Zeichnung zugrunde liegt, wird von derWürfeloberfläche nach außen auf die Oberfläche des umhüllen-den Dodekaeders (c) projiziert.

fei angebracht (Abb. 36b). Bei genauer Betrachtung desvon Fünfecken bedeckten Würfels macht man zwei aufre-gende Beobachtungen, die Hinweise zur Lösung des ur-sprünglichen Problems geben. Erstens umfaßt die Zeich-nung auf der Würfeloberfläche genau zwölf Fünfecke -das Dodekaeder hat zwölf fünfeckige Außenflächen.Zweitens weiß man, daß sich dem Dodekaeder ein Würfeleinbeschreiben läßt, so daß jede Würfelkante unter einerAußenfläche des Dodekaeders liegt und jede Ecke desWürfels zugleich Eckpunkt des Dodekaeders ist (Abb.35c). Die Umrißlinien der Fünfecke erscheinen auf demWürfel so, als ob sie die Projektionen der Kanten des Do-dekaeders wären. Der Würfel aus Abbildung 36b wurde al-so mit einem passenden Dodekaeder umhüllt, dann warnur noch das Muster auf die Flächen des Dodekaeders zuprojizieren. Auf diesem Wege wurde das Muster beibehal-ten (obwohl es zu regelmäßigen Fünfecken verformt wur-de) und zur durchgängigen Oberflächengestaltung des un-gewöhnlichsten Platonischen Körpers verwendet.

Das Kubo-Oktaeder

Es gibt viele Möglichkeiten, einen Boden fugenlos mitgleichseitigen Dreiecken und Quadraten zu fliesen. DreiDreiecke und zwei Quadrate können auf genau zwei Artenum einen Punkt herum angeordnet werden (Abb. 37). Injeder beliebigen Verteilung, die sowohl Dreiecks- als auchQuadratfliesen verwendet, muß mindestens eine dieserAnweisungen auftreten. Es gibt nur ein Blatt in EschersSkizzenbuch, das eine Dreiecks- und Quadratparkettie-rung mit demselben Fischmotiv zeigt. Bei dem Versuch,beide Flächenformen in einer Parkettierung zu verwen-den, stellt man fest, daß bei beiden Anordnungen vonQuadraten und Dreiecken die Fischmotive an einer Kantenicht zusammenpassen (Abb. 39). (Es liegt an der ungera-den Anzahl von Fliesen, die um einen Punkt gelegt wer-den müssen.) Das ebene Netz eines Kubo-Oktaeders läßtsich jedoch so aus der Parkettierung herauslösen, daß diestörende Fliese an jedem Eckpunkt entfällt. Beim Zusam-menfalten ergibt sich dann ein zusammenpassendes Mu-ster auf der Körperoberfläche.

Kreislimit III (Abb. 23) stellt Eschers Lösung dar, eineKombination dieser Fliesen dreidimensional abzubilden.Er hat sie auf dem Weg mathematischer Berechnungenverformt und damit erreicht, daß eine nichteuklidischeEbene mit einer geraden Anzahl von Fliesen an jedemKreuzungspunkt ausgefüllt wurde; somit passen dieMotive der einzelnen Fliesen aneinander.

Das periodische Fischmuster mit quadratischen Einzelflä-chen erfordert nur zwei Farben; für das Muster ausDreiecken benötigt man drei Farben. Die Kombinationbeider Aufteilungen in Kreislimit III hat Escher vierfarbigkoloriert. Die Regeln für landkartengerechte Farbvertei-lung hätten das hier nicht erfordert, doch ästhetischeGründe bewogen ihn, die „Verkehrsströme" der Fischefarbig zu betonen. Entlang der kreisförmigen Bahnen indem Muster haben alle Fische die gleiche Farbe, die um-gebenden Fische sind farblich unterschieden; darum wa-ren vier Farben notwendig. Das Fischmuster auf dem Ku-bo-Oktaeder kann in vielen gefälligen Variationen kolo-riert werden, von denen jede die Regeln für Landkarten-farben erfüllt sowie alle Farben gleich häufig verwendet.Man braucht aber mindestens drei Farben. Eine mathe-matisch ausgewogene Version mit drei Farben ist in Abbil-dung 40 zu sehen. Bei dieser Farbverteilung zeigt jedeDreiecksfliese alle drei Farben; in den Quadraten tretenimmer nur zwei Farben auf. Jede Farbe wird bei genauacht von vierundzwanzig Fischen verwendet.

Folgt man Escher und verwendet vier Farben für diesesMuster, ergeben sich zwei interessante Farbverteilungen.Man kann sich entscheiden, die Betonung der „Verkehrs-ströme" wie in Kreislimit III zu gestalten. Auf der Oberflä-che des Kubo-Oktaeders gibt es vier natürliche sechsecki-ge Wege, die über sechs benachbarte Kanten um den Kör-per herumführen. Nimmt man diese Wege und gibt allenFischen auf einem Pfad dieselbe Farbe, so liegen die Far-ben für alle vierundzwanzig Fische fest; je sechs Fische ha-ben eine gemeinsame Farbe. Auf den Quadraten findetman jedes mögliche Arrangement aus vier Farben, auf denDreiecken ist jede mögliche Auswahl von drei Farbenringförmig um den Körper zu sehen.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, eine geradeFarbverteilung zu wählen, bei der die quadratischen Au-ßenflächen nur zwei und die dreieckigen drei Farben tra-gen - genau wie bei der Farbverteilung in Kreislimit III.Diese Möglichkeit haben wir für unser Modell ausgesucht.Optisch steht sie der Farbgebung des zweidimensionalenDrucks am nächsten.

Abb. 38 Periodische Zeichnungen 122 (a) und 123 (b); IV 1964.Studien zu Kreislimit III.

Abb. 40 Das Netz eines Kubo-Oktaeders läßt sich aus einerregelmäßigen Flächenaufteilung heraustrennen; man erhält aufdem dreidimensionalen Körper ein zusammenpassendes Designmit dem Fischmotiv. Eine mathematisch ausgewogene Flächen-verteilung, bei der nur drei Farben notwendig sind.

Abb. 39 Quadratische und dreieckige Fliesen können eine Ebe-ne ausfüllen; doch Eschers Flächenstücke mit dem Fischmotivpassen nicht in eine solche Parkettierung.

SECHSECKIGE KALEIDOZYKLEN

Jedem Muster, das auf diese Kaleidozyklen paßt, liegt einGitter aus gleichseitigen Dreiecken zugrunde. In jedemMuster gibt es Zentren dreifacher Drehsymmetrien; man-che haben zusätzlich noch zweifache (also insgesamtsechsfache) Rotationssymmetrien. Manche sind spiegel-symmetrisch. Versuchen Sie, diese Muster unter den ferti-gen Modellen herauszufinden.

Käfer

Dieser Entwurf (Abb. 41) sieht beinahe abstrakt aus undwirkt aus einigem Abstand wie ein üppiges Stoffmuster.Erst eine nähere Betrachtung zeigt die verschränkten Kä-fer. Jedes Dreieck wie das eingezeichnete füllt eine dreiek-kige Außenfläche des Kaleidozyklus. Der Mittelpunkt je-des Dreiecks ist Zentrum einer dreifachen Drehsymme-trie; die Kanten sind Spiegelungsachsen des Musters.Wenn man den fertigen Kaleidozyklus dreht, stoßen diespiegelverkehrten Bilder der Käfer aneinander; dabei er-kennt man, daß der Mittelpunkt des Tetraederrings auchein Drehzentrum für eine dreifache Symmetrie ist.

Fisch

Diese periodische Zeichnung (Abb. 42) hat dieselbenSymmetrien wie die Zeichnung der Käfer (Abb. 41), wennman von der Farbverteilung absieht. Wendet man die Re-geln für Landkarten an, zeigt sich ihr Unterschied in derFarbverteilung: Das Käfer-Design mit zwei verschiede-nen Motiven benötigt nur zwei Farben, während für dasFischmuster mit nur einem Motiv drei Farben erforderlichsind. Berücksichtigt man die Farben nicht, so läßt sich dasFischmuster aus den kleinen dreieckigen Einzelflächender Abbildung 42a zusammensetzen. Um die dreifarbigeVersion auf die Oberfläche des Kaleidozyklus übertragenzu können, muß man auf die größeren Dreiecke (Abb.42b) für die Tetraederaußenflächen zurückgreifen. In derMitte jedes Dreiecks liegt dann das Zentrum einer dreifa-chen Drehsymmetrie; es ist der Schnittpunkt von dreiSpiegelachsen des Musters.

Abb. 41 Periodische Zeichnung 54; X 1942. Käfer.

Abb. 44 Ein Holzschnitt aus Regelmatige Vlakvedelung (Regel-mäßige Flächenfüllung), 1958. Hier wird die Silhouette zu einemfliegenden Fisch. (Eschers periodische Zeichnung, die Studie zudiesem Druck, enthält die Bemerkung „Siehe Nr. 44", der Hinweisbezieht sich auf die periodische Zeichnung der Vögel aus unsererAbbildung 17.

Fisch-Vogel

Schauen Sie auf den Umriß in Abbildung 43. Was sehenSie? Den Schatten eines fliegenden Vogels? Ja, dochschauen Sie noch einmal hin - mit der Phantasie eines Kin-des. Es ist auch ein fliegender Fisch. Eine einzige Form,und doch können zwei Tiere diese Umrißlinie füllen. DieFliesen dieser Form bedecken fugenlos eine Fläche, sodaß das entstehende Muster abwechselnd beide Tierezeigt (Abb. 44).Ein Großteil der magischen Überraschungen in EschersWerk beruht auf der Art, wie wir Umrißlinien wahrneh-men und deuten, auf der Tatsache also, daß eine Silhouet-te mehrere Deutungen ermöglicht. Wenn Sie den Kalei-dozyklus drehen, werden Sie Zeuge einer scheinbaren,unendlich wiederkehrenden Verwandlung des Vogels ineinen Fisch und des Fisches in einen Vogel. Doch würdeman die Einzelheiten der Motive weglassen, bliebe nur eindurchgängiges Muster einer einzigen Fliesenform übrig.

Drei Elemente

In Eschers Zeichnung Drei Elemente (Abb. 18) gibt es dreiverschiedene Zentren von dreifachen Drehsymmetrien.An dem einen Mittelpunkt treffen die Köpfe von drei Fi-schen zusammen, an dem zweiten die Köpfe von drei Ech-sen, am dritten die Köpfe von drei Fledermäusen (Abb.45). Man kann dieser Zeichnung Leben verleihen, indemman die kleinen Dreiecke, die schon die Außenfläche desOktaeders bilden (Abb. 31d) auf dem Kaleidozyklus an-bringt. Wie bei einem Kaleidoskop ist bei jeder Drehungein neues Bild zu sehen. Das Muster von drei Seiten unse-res Modells läßt sich nicht auf der vierten Seite der Tetrae-der fortsetzen; ein Prinzip der periodischen Muster ist miteinem Grundsatz der räumlichen Struktur nicht verein-bar: In der periodischen Zeichnung wiederholen sich dieDreiecke, die wir für die Gestaltung unseres Modells ge-wählt haben, in Sechserstreifen, während die Netze derTetraeder im aufgebauten Modell die Dreiecke in Vierer-streifen enthalten. Darum haben wir die vierte Seite so ge-staltet, daß sie Eschers Namen zeigt.

Fisch, Ente, Echse

Für dieses Muster (Abb. 46) gilt aus mathematischer Sichtdas gleiche wie für Drei Elemente (Abb. 18). (Die Figurensymbolisieren ebenfalls Luft, Erde und Wasser.) Man hät-te dieses Muster auch in der gleichen Weise auf einem Ka-leidozyklus anbringen können, doch bei diesem Entwurfhaben wir uns entschieden, eine wirklich durchgängigeBedeckung der Oberfläche zu erhalten. Um das zu errei-chen, haben wir ein größeres Dreieck als bei Drei Elemente(Abb. 3 ld) für die einzelnen Außenflächen des Kaleidozy-klus gewählt. Die Verbindungslinien der Punkte, an denendrei Fischköpfe zusammentreffen, ergeben ein Dreieck,mit dem sich das Vorhaben erfolgreich ausführen läßt.

Verbum

Escher hat Ausschnitte aus seinen periodischen Zeich-nungen sehr häufig verwendet, um Metamorphosen zuveranschaulichen. Die Lithographie Verbum ist eine hand-werklich sehr anspruchsvoll ausgeführte Arbeit dieser Art(Abb. 47). Die ineinander übergehenden Figuren wurdenerst als einfache flächenfüllende Muster skizziert (Abb. 48,15). Dabei bilden die parallelen Reihen der Figuren einGitter aus gekreuzten Streifen. Als Escher diese Skizzenfür Verbum bearbeitete, verwandte er ein subtiles mathe-

Abb. 46 Periodische Zeichnung 69; III1946. Fisch, Ente, Echse(erste Version von Drei Elemente).

matisches Hilfsmittel, um die Themen Explosion, Evolu-tion, wechselseitige Abhängigkeit und Kreislauf darzu-stellen.In Verbum sind zwei unterschiedliche Richtungen der Ent-wicklung erkennbar. Vom Mittelpunkt nach außen erge-ben vage und ungestalte Formen immer klarer umrissene,erkennbare Geschöpfe, die in ihre natürlichen Lebensele-mente streben. In einer ringförmigen Bewegung rund umdas Sechseck verwandeln sich die Geschöpfe - Vogel zuFisch zu Frosch zu Vogel - im ökologischen Kreislauf vonLuft, Wasser, Land. Dieses zweiperspektivisch angelegteSystem von Entwicklungen, bestehend aus radialen Strah-len und konzentrischen Kreisen, ist Mathematikern ver-traut durch das System der Polarkoordinaten.Das Bild wurde auf einem Kaleidozyklus so angebracht,daß bei jeder Drehung zum Ringmittelpunkt, mit der Ex-plosion beginnend, eine Vervielfachung und Evolutionder Geschöpfe zu sehen ist, die in der Gesamtansicht desDruckes gipfelt.

Abb. 47 Verbum, Lithographie, 1942, National Gallery of Art,Washington, D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

Abb. 48 Das periodische Muster des Deckblattes von Regelma-tige Vlakverdelung wird in Verbum am oberen Rand bei der Ver-schränkung der Vogelmotive verwendet. Der Umschlagentwurfist hier seitenverkehrt abgedruckt, damit die Vögel die gleicheOrientierung wie in Verbum haben. Siehe Abbildung 15 wegen desperiodischen Frosch-Fisch-Musters.

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Zu Abb. 47 Sechseckiger Randausschnitt aus Verbum; ökologi-scher Kreislauf von Luft, Wasser und Land.

QUADRATISCHE KALEIDOZYKLEN

Jedes Muster, das für die quadratischen Kaleidozyklenverwendet wurde, beruht auf einem Netzwerk aus Qua-draten, ähnlich wie bei normalem Rechenpapier. JedeZeichnung enthält zweifache Drehsymmetrien; bei man-chen treten Spiegelsymmetrien auf. Der Mittelpunkt derfertigen Kaleidozyklen ist Zentrum einer vierfachenDrehsymmetrie.Bei jeder Drehung der Kaleidozyklen wird sich das gezeig-te Bild verändern.

Muscheln und Seesterne

Wir haben über diese Zeichnung schon bei der Gestaltungdes Dodekaeders gesprochen (Abb. 36a). Diesmal verbin-den wir die Punkte, an denen vier gleichartige Muschelnzusammenstoßen; das ergibt ein quadratisches Gitter. Je-des Einzelquadrat läßt sich in zwei rechtwinklige Dreieckezerlegen, wie in Abb. 49 gezeigt. Diese Dreiecke werdenals Außenflächen des Kaleidozyklus verwendet. AchtenSie auf die Veränderung der Muscheln am Mittelpunkt,wenn Sie den fertigen Kaleidozyklus drehen. Abb. 49 Periodische Zeichnung 42; VIII1941. Muscheln und See-

sterne.

Blumen

Die geometrische Aufteilung in Fünfecke ist deutlichsichtbar (Abb. 50). Es handelt sich um die gleichen Fünf-ecke wie in Muscheln und Seesterne, die dort allerdingsnicht sichtbar sind (vergleiche Abb. 36a). Escher ver-wandte diesen Entwurf in der überarbeiteten und erwei-terten Version der Drucke Metamorphose (Abb. 51, sieheThe Graphic Work ofM. C. Escher, dort ist eine Reproduk-tion des sieben Meter langen Originals abgebildet). Bei derÜbertragung auf einen Kaleidozyklus findet eine erstaun-liche Verwandlung des Entwurfs statt. Die ebene Zeich-nung setzt sich aus einem roten Netz von Sechseckenzusammen, das sich rechtwinklig mit einem blauen Gitteraus Sechsecken kreuzt. Diese Überlagerung ergibt Fünf-ecke, die rote und blaue Kanten haben. Auf dem drei-dimensionalen Kaleidozyklus jedoch hat jedes Fünfeckgleichfarbige Kanten! Mit jeder Drehung des Kaleido-zyklus wechseln die Farben, und die Drehrichtung um denMittelpunkt ändert sich.

Abb. 50 Periodische Zeichnung 132; XII1967. Blumen.

Abb. 51 Ausschnitt aus Metamorphose, Holzschnitt, 1939-40und 1967-68.

Himmel und Hölle

Häufig hat Escher die Verschränkung gegensätzlicher Mo-tive in einer Zeichnung verwendet, um zu veranschauli-chen, daß es unmöglich ist, eine Sache ohne ihr Gegenteilzu verstehen. Himmel und Hölle ist eine solche Zeichnung.(Der Druck Begegnung (Abb. 14) zeigt sowohl einen Pessi-misten als auch einen Optimisten.) Die periodische Zeich-nung der Engel und Teufel ist nie in dieser Form alsDruck erschienen. In dem hyperbolischen Mosaik Kreisli-mit IV findet sich eine Abwandlung des Themas; es bildetebenfalls die Grundlage für eine Holzkugel mit demgeschnitzten Motiv von Engeln und Teufeln. (Verfährtman mit dieser periodischen Zeichnung so, wie wir es mitdem vierten Modell (Würfel) gemacht haben, erhält mandurch eine Projektion der Würfeloberfläche auf die um-hüllende Kugel genau Eschers Himmel-und-Hölle-Kugel.)Für den Kaleidozyklus werden die Flügelspitzen derEngel und Teufel verbunden; man erhält rechtwinkligeDreiecke, die innerhalb eines Quadrats liegen. DieseDreiecke bilden die Außenflächen des Kaleidozyklus. Mitjeder Drehung des Kaleidozyklus ändern Engel und Teu-fel den Drehsinn rund um den Mittelpunkt - erst im Uhr-zeigersinn, dann andersherum.

Abb. 52 Periodische Zeichnung 45; Weihnachten 1941. Himmelund Hölle.

Echsen

Auf den ersten Blick erscheint der Druck Kleiner und klei-ner wie eine periodische Zeichnung mit Echsen. Einegenauere Untersuchung zeigt jedoch viele Feinheiten(nämlich immer kleiner werdende Echsen) und keineechte Wiederholung des Motivs. Dieser farbige Druck istdie Abwandlung einer Zeichnung (Abb. 16), die wirklichperiodisch ist; Escher hat auch eine vierfarbige Versiondieser Zeichnung entworfen (Abb. 54).Bei der Bearbeitung für den Kaleidozyklus wählt man alsquadratisches Netz der ebenen Zeichnung die Verbind-ungslinien der Drehzentren der vierfachen Symmetrie(wo die Köpfe von vier Echsen zusammentreffen). DieseQuadrate lassen sich in gleichschenklige Dreiecke zerle-gen. Das Quadrat in Abbildung 55 enthält acht solcherDreiecke und zeigt das fertige Modell von oben. Aus eini-ger Entfernung wirkt Eschers vierfarbiger Entwurf wieeine Verkettung verschiedenfarbiger Kreise. Für unserModell haben wir eine andere Farbverteilung gewählt, dienach den Regeln für Landkarten benachbarte Motiveunterscheidet und bei jeder Drehung ein neues Farbarran-gement zeigt.

Abb. 53 Kleiner und kleiner, Holzschnitt, 1956, National Galleryof Art, Washington, D. C, Schenkung von Mr. C. V. S. Roosevelt.

VERDRILLTE KALEIDOZYKLEN

Begegnung

Der Entwurf sich überlagernder Motive (Abb. 19), ausdem der Druck Begegnung (Abb. 14) mit den Pessimistenund den Optimisten hervorging, läßt sich nicht auf einensymmetrischen Kaleidozyklus übertragen.Diese periodische Zeichnung beruht auf einem Gitter-werk aus Rechtecken. (Sie können das überprüfen, indemSie alle Wiederholungen eines gegebenen Punktes verbin-den, zum Beispiel die Wiederholungen der Nasenspitzedes nach rechts schauenden Pessimisten.) Bei der Bearbei-tung für den verdrillten Kaleidozyklus haben wir ein ge-kipptes Netz aus Dreiecken auf die periodische Zeichnungabgebildet, damit die Ober- und Unterkanten sowie dieKanten rechts und links zusammenpassen. Die Rechteckeim ursprünglichen Muster legten die Kantenlänge undden Neigungswinkel für die Dreiecke fest.Wenn Sie diesen verdrillten Ring drehen, sehen Sie die Fi-guren in einer unendlichen zyklischen Prozession tau-meln.

Abb. 54 Periodische Zeichnung 118; IV1963. Echsen (vierfarbi-ge Variation des Entwurfs aus Abbildung 16).

WEITERFÜHRENDE LITERATUR

Beard, Col. R. S.,Patterns in Space, Creative Publications,Palo Alto, Kalifornien 1973. Viele zwei- und dreidimensio-nale mathematische Entwürfe und Konstruktionen wer-den vorgestellt. Beschreibung zweier drehbarer Tetrae-derringe.

Bool, F. H., Kist, J. R., Locher, J. L. und Wierda, F.,M. C. Escher, His Life and Complete Graphic Work, Har-ry N. Abrams, New York 1982. Die umfassendste Darstel-lung von Eschers Werk; der gesamte Text und alle Bilderaus Eschers Buch Regelmatige Vlakverdelung (Regelmäßi-ge Flächenfüllung), 1958. Ausführliche Zitate aus EschersBriefen und Tagebüchern geben der exzellenten Biogra-phie eine persönliche Note.

Coxeter, H. S. M.,Introduction to Geometry, Zweite Aufla-ge, John Wiley & Sons, New York 1969. Behandelt weiteTeile der Geometrie auf Hochschulniveau. (Durch dieKorrespondenz mit Coxeter machte Escher Bekannt-schaft mit den mathematischen Gesetzen, die bei hyper-bolischen Mosaiken gelten; Kreislimit III ist dafür ein Bei-spiel.)

Coxeter, H. S. M., Emmer, M., Penrose, R. und Teuber, M.(Hg.), M. C. Escher: Art and Science, North Holland, Am-sterdam 1987. Eine Aufsatzsammlung verschiedener Au-toren zu vielen Aspekten des Werks von M. C. Escher.

Cundy, H. N. und Rollet, A. P., MathematicalModels, zwei-te Auflage, Oxford University Press, Oxford 1961. Detail-lierte Information zu den Platonischen und Archimedi-schen Körpern, ebenso zu vielen anderen interessantengeometrischen Modellen.

Ernst, Bruno, The Magic Mirror o/M. C.Escher, RandomHouse, New York 1976; dt. Ausgabe: Der Zauberspiegel desM. C. Escher, Taco, Berlin 1986. Behandelt alle Aspekte vonEschers Werk einschließlich seine Verwendung von Ma-thematik, um seine überraschenden Effekte zu realisieren.

Escher, M. C, The Graphic WorkofM. C. Escher, BallantineBooks, New York 1971. Eine Sammlung von Eschers Ar-beiten auf graphischem Gebiet mit Anmerkungen desKünstlers.

Grünbaum, B. and Shephard, G.C., Tillings and Patterns,W. H. Freeman & Co., New York 1986. Eingehende Studieüber die mathematischen Aspekte von Fliesen mit Ein-schluß von Eschers Werk.

Locher, J.L. (Hg.), The World of M. C. Escher, Harry N.Abrams, Inc., New York 1971. Eine Auswahl von EschersArbeiten mit Aufsätzen über verschiedene Aspekte seinesWerkes.

MacGillary, Caroline, Fantasy andSymmetry. The PeriodicDrawings of M. C. Escher, Harry N. Abrams, Inc., NewYork 1976. Enthält 41 von Eschers periodischen Zeichnun-gen. Der ursprüngliche Zweck des Buches bestand darin,Studenten der Kristallographie in frühen Semestern aufinteressante Weise an die Gesetze heranzuführen, die fürsich wiederholende Muster und ihre Kolorierung gelten.O'Daffer, P. G. und Clemens, S. R., Geometry: An Investiga-tive Approach, Addison-Wesley, Menlo-Park, Kalifornien1976. Enthält umfassende elementare Informationen überdie Platonischen Körper, Transformations-Geometrieund regelmäßige Muster; Eschers Werk wird häufig zurVeranschaulichung verwendet.

Senechal, M. und Fleck, G. (Hg.), ShapingSpace, Birkhäu-ser, Boston 1987. Aufsätze, informative Ideen, Probleme -alle bezogen auf Polyeder (Vielfache). Unter den Autorensind Mathematiker, Künstler, Naturwissenschaftler undLehrer.

Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, CambridgeUniversity Press, Cambridge 1971. Konstruktionsangabenzu Platonischen, Archimedischen und anderen symmetri-schen geometrischen Körpern.

BAUANLEITUNG FÜR DIE MODELLE

Für alle Modelle

1. Entfernen Sie sorgfältig das überflüssige Papier rundum die ebenen Netze. Die Kanten der Zeichnung müssensauber ausgeschnitten werden.2. Befolgen Sie die unten genannten Anweisungen, umdie Muster entlang der eingezeichneten Linien zu falzen.Achten Sie darauf, daß Sie das Papier nur an diesen Linienknicken.3. Falten Sie vor dem Kleben jedes Modell probeweisezusammen.4. Verwenden Sie einen schnell trocknenden Papierkle-ber, aber keinen Sofort-Kleber, denn Sie müssen die ge-klebten Kanten noch leicht verschieben können, um dieMuster passend aneinanderzubringen. Dickflüssige Kle-ber sind ungeeignet.5. Tragen Sie nur wenig Klebemittel auf die überstehen-den Falze, und kleben Sie jeweils nur eine Kante. Strei-chen Sie die frisch geklebten Stellen mit dem Finger glatt,damit keine Luftpolster entstehen. Überschüssigen Leimsollten Sie abwischen, damit er nicht auf die Außenflächequillt.6. Kleben Sie die entsprechenden Falze bei jedem Mo-dell nach innen; so ergeben sich perfekte durchgehendeOberflächen.7. Lassen Sie die Modelle sorgfältig trocknen, bevor Siemit ihnen hantieren.

Zusammenbau der geometrischen Körper

Falzen Sie zuerst die Muster entlang aller eingezeichnetenLinien, einschließlich derer, an denen sich die Klebefalzebefinden. Falten Sie jedes Modell wie in den Zeichnungenangegeben, kleben Sie dann die Falze von innen an die zu-gehörige Seite. Achten Sie dabei auf die genaue Passungdes Musters. Streichen Sie die Klebestelle glatt, um ihr si-cheren Halt zu verleihen.

Das Tetraeder

Falten Sie das Tetraeder zusammen und kleben Sie dieFalze innen an die Kanten - wie in Abbildung 55 gezeigt.Kleben Sie die übrigbleibende Kante fest.

Das Oktaeder

Verbinden Sie die beiden Hälften der Vorlage, indem SieFalz A so an die passende Kante kleben, daß sich das flacheNetz aus Abbildung 56 ergibt. Falten Sie das Modell zu-sammen und kleben Sie die Falze, wie gezeigt, innen andie zugehörigen Kanten; Sie erhalten dann zwei zusam-menhängende Pyramiden. Setzen Sie die Pyramiden anden passenden Stellen zu einem Oktaeder zusammen.

Das Ikosaeder

Verbinden Sie die beiden Hälften der Vorlage, indem SieFalz A so an die passende Kante kleben, daß sich das flacheNetz aus Abbildung 57 ergibt. Falten Sie das Modell zu-sammen und kleben Sie die Falze, wie gezeigt, innen andie zugehörigen Kanten; Sie erhalten dann zwei zusam-menhängende Halbschalen. Setzen Sie die Halbschalenan den passenden Stellen zu einem Ikosaeder zusammen.

Der Würfel

Verbinden Sie die beiden Hälften der Vorlage, indem SieFalz A so an die passende Kante kleben, daß sich das flacheNetz aus Abbildung 58 ergibt. Falten Sie das Modell zu-sammen und kleben Sie die Falze, wie gezeigt, innen andie zugehörigen Kanten. Verkleben Sie zum Schluß dieKanten des Würfels.

Abb. 56 Der Zusammenbau des Oktaeders. Abb. 57 Der Zusammenbau des Ikosaeders.

Abb. 59 Der Zusammenbau des Dodekaeders. Abb. 60 Der Zusammenbau des Kubo-Oktaeders.

Abb. 61 (a) Das Netz für den sechseckigen Kaleidozyklus.(b) Das Netz für den quadratischen Kaleidozyklus.(c) Das Netz für den verdrillten Kaleidozyklus.

Zusammenbau der Kaleidozyklen

Die Netze aller drei Kaleidozyklusarten sind in Abbildung61 zu sehen. Die zwei Hälften für den verdrillten Kaleido-zyklus können Sie zusammensetzen, indem Sie Falz A andie passende Kante kleben. In der Abbildung sind diesenkrechten Linien fett eingezeichnet, alle anderen Linienverlaufen diagonal. Alle Muster werden entlang der einge-zeichneten Linien folgendermaßen gefaltet: Falten Sieentlang der senkrechten Linien (einschließlich derer mitden Falzen) so, daß die bedruckten Seiten aufeinanderlie-gen. Legen Sie entlang aller diagonalen Linien das Musternach hinten um. Das gefalzte Muster wird sich von selbstungefähr in die gewünschte Form bringen. Nehmen Siedas Modell vorsichtig in die Hände, und bringen Sie dieDeck-Dreiecke an die oberen freien, weißen Falze. Strei-

Das Kubo-Oktaeder

Falten Sie das Modell zusammen und kleben Sie die Fal-ze, wie in Abbildung 60 gezeigt, innen an die zugehörigenKanten; Sie erhalten dann zwei zusammenhängendeHalbschalen. Verbinden Sie die Halbschalen an den pas-senden Stellen, indem Sie jeweils ein Dreieck an ein Qua-drat kleben.

Das Dodekaeder

Verbinden Sie die beiden Hälften der Vorlage, indem SieFalz A so an die passende Kante kleben, daß sich das flacheNetz aus Abbildung 59 ergibt. Falten Sie das Modell zu-sammen und kleben Sie die Falze, wie gezeigt, innen andie „Blütenblätter"; Sie erhalten dann zwei zusammen-hängende Halbschalen. Verbinden Sie die Halbschalen anden passenden Stellen zu einem Dodekaeder.

Abb. 62 (a) Der Zusammenbau des sechseckigen Kaleidozyklus.(b) Der Zusammenbau des quadratischen Kaleidozyklus.(c) Der Zusammenbau des verdrillten Kaleidozyklus.

chen Sie Klebstoff auf die Falze und kleben Sie dieDreiecke fest. Verschieben Sie die Klebestellen, bis dieOberflächenzeichnungen genau übereinstimmen; achtenSie auf den festen Halt aller Klebestellen. Sie haben jetzteine Kette aus verbundenen Tetraedern. Lassen Sie denKlebstoff vor der Weiterverarbeitung trocknen.Nehmen Sie die Tetraederkette in beide Hände und bie-gen Sie sie behutsam zu einem geschlossenen Ring; viel-leicht müssen Sie den Ring dafür verdrehen. Der doppelteFalz an dem einen Ende gehört in den Schlitz am anderen

Ende des Ringes. (Für das verdrillte Modell müssen Siejetzt den Ring verdrillen.) Bestreichen Sie den doppeltenFalz auf beiden Seiten mit Klebstoff und führen Sie ihn inden Schlitz ein. Achten Sie dabei auf eine exakte Passungder Zeichnung. Drehen Sie den Ring so, daß Sie mit demFinger die Klebestellen feststreichen können. WischenSie überschießenden Klebstoff ab, und lassen Sie die Kle-bestelle einige Sekunden antrocknen; dabei sollten Sie dasModell nicht bewegen, damit die Naht nicht wieder aus-einandergeht. Wenden Sie das Modell und drehen Sie es

leicht durch sein Zentrum, damit Sie die andere Seite derKlebestelle sehen können. Verschieben Sie die Klebeflä-chen vorsichtig, bis das Muster paßt, streichen Sie die Kle-bestelle fest und lassen Sie sie dann antrocknen.Nun müssen Sie das Modell sorgfältig trocknen lassen (ambesten über Nacht). Wenn es trocken ist, kann es ineinem kontinuierlichen Zyklus der Bewegung durch seineMitte gedreht werden; drücken Sie dabei die Spitzen derTetraeder zur Mitte hin.

Bemerkungen zu den Bildunterschriften:

M. C. Escher hat seine farbigen Zeichnungen der periodi-schen Muster nicht mit Titeln versehen; er hat sie jedochfortlaufend numeriert und datiert. In einigen Fällen („DreiElemente", „Muscheln und Seesterne" und „Himmel undHölle") haben sich Namen für die Zeichnungen eingebür-gert. Im Text bezeichnen wir jedes periodische Muster mitEschers Nummer und dem Datum (Monat, Jahr) und ver-wenden einen beschreibenden Namen.

Die Autoren

Doris Schattschneider ist Mathematikprofessorin am Mo-ravian College in Bethlehem, Pennsylvania. Ihr doppeltesInteresse an Geometrie und an Kunst führte sie natürli-cherweise zur Beschäftigung mit dem Werk vonM. C. Escher. Sie arbeitet als Lehrerin, Lektorin, Heraus-geberin und Autorin und hat mehrere Artikel über Flä-chenaufteilung und Eschers Rolle als Pionier für mathe-matische Forschungsvorhaben verfaßt. Zwei neuereUntersuchungen erscheinen in den Büchern Symmetry:Unijying Human Understanding, herausgegeben von IstvanHargittai, Pergamon 1986, und M.C.Escher: Art andScience, North-Holland 1987.

Wallace G. Walker ist freischaffender Künstler mit Wohn-sitz in New York. Seine Ausbildung erhielt er an der Cran-brook Academy of Art, Bloomfield Hills, Michigan; er istder Erfinder von IsoAxis. Er hat für I. M. Pei and Partners,Architects gearbeitet und war Lehrer für Design an derParsons School of Design. Vor kurzem hatte er Ausstel-lungen (Skulpturen und Zeichnungen) bei WaterfordFriends of the Art, Pontiac, Michigan und am InterlochenCenter for the Arts, Interlochen, Michigan.

DANKSAGUNG

Wallace Walker überwachte die Vorbereitung der Zeichnungen und die Herstellung der Druckvor-lagen für die hier vorgestellten Modelle. Robin McGrath, Robert McKee, Victoria Vebell und Wal-lace Walker bearbeiteten Eschers periodische Muster für die durchgängige Oberflächengestaltungder geometrischen Körper und Kaleidozyklen.Die Autoren bedanken sich bei dem Haags Gemeentemuseum, Den Haag, Niederlande, der Natio-nal Gallery of Art, Washington, und Mr. C. V. S. Roosevelt für die Zusammenarbeit und die Bereit-stellung von Illustrationen für dieses Buch.

DER ZAUBERSPIEGEL DESM. C. ESCHER von Bruno ErnstEscher ist ein Konstrukteur unmöglicherWelten, der das real Unmögliche in seinenBildern streng und gesetzmäßig darstellt.Das Ergebnis ist ein intelligentes Verwirr-spiel mit Dimensionen und Perspektiven,das dem Betrachter die Gewohnheitenseiner Sinne vor Augen führt. Vielseitigsind die Mittel, durch die Escher zu ver-blüffen weiß: In seinen Metamorphosebil-dern verwandeln sich geometrische Gebildeallmählich in Tier gestalten; Figuren, die indie Zweidimensionalität gebannt scheinen,bewegen sich ins Körperhaft-Dreidimen-sionale. Ewige Wiederholungen und sinn-los erscheinende Verwandlungen sindweitere Kennzeichen seiner Welt im „Zau-berspiegel". 112 Seiten, 215x305 mm,über 150 s/w- und Farbabb.,Softcover. nur DM 9,95

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