Mécanique du point - 2ème édition

SCIENCES SUP

Cours et exercices corrigeacutes

SCIENCES SUP

2e eacutedition

COURS DE PHYSIQUEMEacuteCANIQUE

DU POINT 2e eacutedition

Alain Gibaud Michel Henry

S DE PH

MEacuteC

Licence 1re et 2e anneacutees

Alain Gibaud bull Michel Henry

COURS DE PHYSIQUEMEacuteCANIQUE DU POINT

Cet ouvrage aborde lensemble de la meacutecanique du point etintroduit les concepts deacutenergie et de puissance Dans cette secondeeacutedition entiegraverement actualiseacutee une nouvelle rubrique drsquoExercicesdrsquoapplication avec solution deacutetailleacutee complegravete les applications etles nombreux exercices corrigeacutesLes deux premiers chapitres sont deacutedieacutes agrave la cineacutematique du pointainsi qursquoaux changements de reacutefeacuterentiels Ensuite les loisfondamentales de la meacutecanique sont preacutesenteacutees ainsi que lesconcepts drsquoeacutenergie et de puissance et les oscillateurs libres et forceacutesUn chapitre est consacreacute agrave la caracteacuterisation des reacutefeacuterentiels nongalileacuteens cas du reacutefeacuterentiel terrestre avec le poids drsquoun corps etdu reacutefeacuterentiel geacuteocentrique avec le pheacutenomegravene des mareacutees Lesdeux derniers chapitres sont consacreacutes au problegraveme agrave deux corpsLrsquoaccent est mis sur la notion de reacutefeacuterentiel barycentriqueLes outils matheacutematiques neacutecessaires agrave la bonne compreacutehensiondrsquoun cours de physique et les notions de base de la meacutecaniqueceacuteleste sont preacutesenteacutes en fin drsquoouvrage

MATHEacuteMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE LrsquoINGEacuteNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

1 2 3 4 5 6 7 8LICENCE MASTER DOCTORAT

6647754ISBN 978-2-10-050586-9 wwwdunodcom

ALAIN GIBAUD

est professeur agrave lrsquouniversiteacutedu Maine

MICHEL HENRY

est maicirctre de confeacuterences agravelrsquoIUFM des Pays de Loire

bull Optique (ParisotLe Boiteux)bull Meacutecanique du point

(GibaudHenry)

bull Matheacutematiques pour laphysique (NoirotBrouillet)

bull Eacutelectromagneacutetisme 1 et 2(Cordier)

COURS DE PHYSIQUECe cours de physique preacutesente les grands domaines de la physiqueenseigneacutes en 1re 2e etou 3e anneacutees de licence

COURS DE PHYSIQUE

MEacuteCANIQUE DU POINT

Alain Gibaud

Professeur agrave lrsquouniversiteacute du Maine (Le Mans)

eacutedition

Michel Henry

Agreacutegeacute de physiqueMaicirctre de confeacuterences agrave lrsquoIUFM des Pays de Loire (Le Mans)

M CANIQUE DU POINT Page I Mardi 26 juin 2007 903 09

Illustration de couverture

Digital Vision

copy Dunod Paris 1999 2007 pour la seconde eacuteditionISBN 978-2 -10-050586-9

M CANIQUE DU POINT Page II Mardi 26 juin 2007 903 09

AVANT-PROPOS

Le cours preacutesenteacute dans ce livre est le fruit de plusieurs anneacutees drsquoenseignement dispenseacuteaux eacutetudiants de premiegravere anneacutee agrave lrsquouniversiteacute du Maine Il srsquoagit drsquoun cours drsquointroduc-tion agrave la meacutecanique du point et des systegravemes de points mateacuteriels Notre souci au coursde la reacutedaction de cet ouvrage a eacuteteacute de nous reacutefeacuterer aux connaissances acquises par leseacutetudiants dans les classes du secondaire afin drsquoassurer une transition la plus continue pos-sible

La principale difficulteacute que nous avons rencontreacutee lors de ce cours a eacuteteacute certainementdrsquoordre matheacutematique La meacutecanique est une science qui exige de la rigueur et lesconcepts acquis lors de lrsquoapprentissage dans le secondaire sont ici repris de faccedilon plusformelle et rigoureuse Nous preacutesentons donc en annexe 1 les outils matheacutematiques quinous semblent neacutecessaires agrave la bonne compreacutehension du cours de physique

Le premier et le second chapitres sont consacreacutes agrave la cineacutematique du point ainsi qursquoauxchangements de reacutefeacuterentiels Nous insistons plus particuliegraverement sur la deacutefinition dureacutefeacuterentiel cette deacutefinition conditionne bien souvent la faccedilon de traiter un problegraveme etreste bien des fois mal comprise

Nous preacutesentons ensuite les lois fondamentales de la meacutecanique en deacutecrivant les forces lesplus classiques susceptibles drsquointervenir dans les problegravemes de meacutecanique Nous introdui-sons alors les concepts drsquoeacutenergie et de puissance avant de preacutesenter les oscillateurs libreset forceacutes

La partie suivante montre que pour traiter un problegraveme de meacutecanique dans un reacutefeacuterentielnon galileacuteen il est neacutecessaire drsquointroduire des pseudos forces appeleacutees forces drsquoinertieLrsquoeacutetude du poids drsquoun corps sur Terre met en eacutevidence le fait que le reacutefeacuterentiel terrestrenrsquoest pas galileacuteen Lrsquoeacutetude du pheacutenomegravene des mareacutees conduit agrave la mecircme conclusion pourle reacutefeacuterentiel geacuteocentrique

Les deux derniers chapitres sont consacreacutes au problegraveme agrave deux corps Lrsquoaccent est missur la notion de reacutefeacuterentiel barycentrique Lrsquoeacutetude de la trajectoire drsquoun systegraveme agrave deuxcorps permet de retrouver les lois de Kepler auxquelles obeacuteissent les planegravetes du systegravemesolaire Une preacutesentation de la meacutecanique ceacuteleste se trouve agrave la fin du livre en annexe 2

Cet ouvrage srsquoadresse bien sucircr aux eacutetudiants du premier cycle universitaire mais aussi agraveceux des classes preacuteparatoires du CAPES et de lrsquoagreacutegation Nous espeacuterons qursquoil leur seraune aide preacutecieuse dans leur effort de compreacutehension de cette branche de la physique

TABLE DES MATIEgraveRES

Avant-propos III

CHAPITRE 1 CINEacuteMATIQUE DU POINT 1

1 De la neacutecessiteacute du reacutefeacuterentiel 12 Vitesse drsquoun point mateacuteriel 53 Acceacuteleacuteration drsquoun point mateacuteriel 94 Reacutecapitulatif 115 Exemples de mouvements 12

Agrave retenir 18Exercice drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 19Exercices 20Solutions 23

CHAPITRE 2 CHANGEMENTS DE REacuteFEacuteRENTIELS 29

1 Mouvements drsquoun reacutefeacuterentiel par rapport agrave un autre 292 Eacutetude de la vitesse 343 Eacutetude de lrsquoacceacuteleacuteration 41

CHAPITRE 3 LOIS DE NEWTON ET REacuteFEacuteRENTIELS GALILEacuteENS 57

1 Principe drsquoinertie premiegravere loi de Newton 572 Principe de la dynamique deuxiegraveme loi de Newton 623 Actions reacuteciproques troisiegraveme loi de Newton 654 Les forces 665 Applications 72

Agrave retenir 77Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 78Exercices 83Solutions 86

CHAPITRE 4 TRAVAIL PUISSANCE EacuteNERGIE 93

1 Travail drsquoune force 932 Exemples de calcul du travail 953 Puissance drsquoune force 984 Eacutenergie 985 Eacutetats lieacutes drsquoun systegraveme meacutecaniquement isoleacute 104

Agrave retenir 107

VI Meacutecanique du point

Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 109Exercices 121Solutions 121

CHAPITRE 5 OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES 125

1 Lrsquooscillateur harmonique 1252 Eacutequation diffeacuterentielle 1273 Exemples drsquooscillateurs harmoniques 1284 Eacutetude eacutenergeacutetique des oscillateurs 1305 Oscillateur meacutecanique amorti par frottements visqueux 1326 Analogie eacutelectrique 1377 Oscillateur amorti par frottement solide 1378 Portrait de phase drsquoun oscillateur 141

CHAPITRE 6 OSCILLATIONS FORCEacuteES REacuteSONANCE 155

1 Oscillations forceacutees 1552 Solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle 1583 Transfert de puissance 1634 Facteur de qualiteacute 165

Agrave retenir 166Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 167

CHAPITRE 7 INTERACTION GRAVITATIONNELLE 175

1 Attraction universelle 1752 Champ de gravitation terrestre 1773 Eacutenergie potentielle de gravitation 1794 Applications 181

Agrave retenir 185

CHAPITRE 8 REacuteFEacuteRENTIELS NON GALILEacuteENS 187

1 Introduction 1872 Loi de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen 1883 Exemples drsquoapplication 1894 Dynamique terrestre 197

CHAPITRE 9 SYSTEgraveMES Agrave DEUX CORPS 227

1 Eacuteleacutements cineacutetiques 2272 Reacutefeacuterentiel du centre de masse 2293 Relation fondamentale de la dynamique 2324 Proprieacuteteacutes du mouvement 236

Agrave retenir 241

Table des matiegraveres VII

Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 242

CHAPITRE 10 TRAJECTOIRES DrsquoUN SYSTEgraveME Agrave DEUX CORPS 253

1 Rappels 2532 Eacutequation polaire de la trajectoire Formule de Binet 2543 Reacutesolution de la formule de Binet 2564 Eacutetude des trajectoires 2575 Eacutetude eacutenergeacutetique 2606 Trajectoires elliptiques lois de Kepler 261

ANNEXE 1 RAPPEL DES OUTILS MATHEacuteMATIQUES 283

1 Scalaires et vecteurs 2832 Composantes drsquoun vecteur 2863 Produit scalaire 2884 Produit vectoriel 2905 Deacuterivation vectorielle 2936 Diffeacuterentielle drsquoune fonction 2947 Vecteur gradient drsquoune fonction 3028 Inteacutegrales et primitives 3049 Inteacutegrales vectorielles 306

ANNEXE 2 INTRODUCTION Agrave LA MEacuteCANIQUE CEacuteLESTE 309

1 Historique 3092 Deacutefinitions 3113 La Voie Lacteacutee 3124 Le Systegraveme Solaire 3135 La deacutefinition du temps 3166 Temps et repeacuterage de la longitude des eacutetoiles 3187 Repeacuterage de lrsquoaltitude du Soleil au cours de lrsquoanneacutee 321

Agrave retenir 322

BIBLIOGRAPHIE 325

INDEX 326

CHAPITRE 1

CINEacuteMATIQUE DU POINT

Preacute-requis bull Connaicirctre les systegravemes de coordonneacutees carteacutesiennes polaires et cylin-driques

bull Savoir deacuteriver les vecteurs de la base polaire ou cylindriquebull Savoir inteacutegrer quelques fonctions eacuteleacutementaires (polynocircmes fonctions

trigonomeacutetriques exponentielle etc)

bull Ces notions sont reprises en annexe Rappel des outils matheacutematiques

Objectif I Agrave partir du vecteur acceacuteleacuteration drsquoun point savoir retrouver le vecteurvitesse les eacutequations horaires du mouvement ainsi que lrsquoeacutequation de latrajectoire de ce point

I Connaicirctre lrsquoexpression des vecteurs position vitesse et acceacuteleacuteration dansles diffeacuterents systegravemes de coordonneacutees

I Connaicirctre la deacutefinition de quelques mouvements particuliers traiteacutes enfin de chapitre

I Lrsquoobjet de la cineacutematique du point est drsquoeacutetudier le mouvement drsquoun pointau cours du temps indeacutependamment des causes qui produisent ce mou-vement Les objectifs sont la deacutetermination des grandeurs cineacutematiquestelles que les vecteurs acceacuteleacuteration vitesse position et lrsquoeacutequation horairede la trajectoire de ce point par rapport agrave un reacutefeacuterentiel choisi par lrsquoob-servateur

1 DE LA NEacuteCESSITEacute DU REacuteFEacuteRENTIEL

Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point implique neacutecessairement la preacutesence simultaneacutee dupoint et drsquoun observateur qui analyse le mouvement de ce point Lrsquoobservateur est le pilierde lrsquoeacutetude du mouvement car selon sa position par rapport agrave lrsquoobjet en mouvement sesconclusions quant agrave la nature du mouvement seront tregraves variables Ainsi dans un TGV quise deacuteplace agrave vitesse constante un passager qui lacircche verticalement une bille conclut quela bille a un mouvement rectiligne La personne qui est sur le quai et qui observe la mecircmescegravene conclut que le mouvement nrsquoest pas rectiligne et pourtant il srsquoagit bien de la mecircmebille Un mouvement est donc toujours lieacute agrave un observateur On dit qursquoil est relatif

2 Meacutecanique du point

Le mouvement drsquoun objet ne pourra se faire que par rapport agrave une reacutefeacuterence Il est doncneacutecessaire de deacutefinir ce que lrsquoon appelle un reacutefeacuterentiel ou solide de reacutefeacuterence dans lequellrsquoobservateur est fixe On entend par solide de reacutefeacuterence un ensemble de points tous fixesles uns par rapport aux autres Par exemple dans le cas citeacute plus haut on peut choisirle TGV comme reacutefeacuterentiel lrsquoobservateur eacutetant assis agrave lrsquointeacuterieur ou bien le reacutefeacuterentielterrestre (constitueacute par tout ce qui est fixe par rapport agrave la Terre) pour la personne resteacuteesur le quai

La figure 11 illustre bien qursquoun mouvement est relatif agrave un reacutefeacuterentiel choisi Ainsi unobservateur situeacute au sommet drsquoune montagne conclut que le pilote drsquoun avion se deacuteplacetregraves vite Lrsquoobservateur situeacute sur lrsquoaile conclut de faccedilon tregraves diffeacuterente que le pilote est bieninstalleacute au repos Nous concluons donc que

Le mouvement drsquoun point est toujours relatif agrave un reacutefeacuterentiel

Suis-je au repos ouen mouvement

Quelle chance Il estbien installeacute au repos

A cette vitesse ils auront vitefait le tour de la Terre

Figure 11 bull Relativiteacute du mouvement

Pour caracteacuteriser le mouvement de lrsquoobjet lrsquoobservateur a ensuite besoin de se repeacutererdans lrsquoespace R3 qui lrsquoenvironne Il lui faut pour deacuteterminer la nature du mouvementconnaicirctre la position du point au cours du temps crsquoest-agrave-dire pouvoir reacutepondre aux ques-tions suivantes

Ougrave se trouve le point

Quand est-il passeacute agrave cette position

Pour pouvoir reacutepondre agrave la question ougrave il se choisit un repegravere drsquoespace Le repegravere drsquoes-pace est deacutefini par une origine O qui est fixe dans le reacutefeacuterentiel et des axes de reacutefeacuterence(x y z) qui permettent agrave lrsquoobservateur de juger dans quelle direction se trouve lrsquoobjet Cesaxes sont eux-mecircmes lieacutes au reacutefeacuterentiel En toute logique lrsquoorigine O du repegravere doit ecirctreplaceacutee sur lrsquoobservateur Aussi dans le cas de la figure 11 le reacutefeacuterentiel est le reacutefeacuterentielmontagne avec une origine O prise sur lrsquoobservateur qui srsquoy trouve Cet observateur choisitses axes x y z comme il lrsquoentend afin de repeacuterer la position drsquoun point de lrsquoavion

Pour un reacutefeacuterentiel donneacute il existe autant de repegraveres drsquoespace que de choix drsquoorigineet drsquoaxes possibles crsquoest-agrave-dire une infiniteacute Par contre agrave un repegravere drsquoespace donneacute necorrespond qursquoun seul reacutefeacuterentiel constitueacute par tout ce qui est fixe par rapport agrave ce repegravere

Cineacutematique du point 3

Pour pouvoir reacutepondre agrave la question quand il faut ajouter un repegravere de temps crsquoest-agrave-dire une grandeur qui est la variable de temps Cette variable est continue et croissantece qui traduit lrsquoirreacuteversibiliteacute du temps Elle est mesureacutee au moyen drsquoune horloge ou chro-nomegravetre agrave partir drsquoune origine des temps fixeacutee par lrsquoobservateur et drsquoune dureacutee unitairefixant une chronologie

Agrave chaque instant on associe un nombre reacuteel appeleacute date qui correspond agrave la dureacutee eacutecouleacuteedepuis lrsquoinstant origine

Axe des temps

Instants

Origine

Instant 1 Instant 2

t1 t2Uniteacute detemps

Figure 12 bull Repegravere de temps La dureacutee entre les deux instants 1 et 2correspond agrave la diffeacuterence de leur date t2 minus t1

En meacutecanique classique ou newtonienne on postule que le repegravere de temps est le mecircmepour tous les reacutefeacuterentiels et que le temps srsquoeacutecoule de la mecircme maniegravere dans des reacutefeacuteren-tiels en mouvement les uns par rapport aux autres Ce principe drsquouniversaliteacute du tempsnrsquoest plus applicable dans le cadre de la meacutecanique relativiste Notons que la meacutecaniquerelativiste est utiliseacutee degraves que la vitesse v drsquoun objet devient voisine de la ceacuteleacuteriteacute c dela lumiegravere dans le vide La transition entre les deux meacutecaniques est fixeacutee en geacuteneacuteral agravev = c 10

Pour terminer nous signalons qursquoun reacutefeacuterentiel peut ecirctre caracteacuteriseacute par son nom Parexemple il est tregraves freacutequent drsquoutiliser pour des observations faites agrave la surface de la Terrele reacutefeacuterentiel terrestre Il est clair alors que lrsquoeacutetude se fera par rapport agrave la Terre ou parrapport agrave tout ce qui est fixe sur Terre On distingue plus particuliegraverement les reacutefeacuterentielsde Copernic (figure 13) geacuteocentrique (figure 13) et terrestre deacutefinis par

bull Le reacutefeacuterentiel de Copernicndash origine centre du Systegraveme Solaire (voisin du centre drsquoinertie du Soleil) ndash axes dirigeacutes vers les eacutetoiles situeacutees dans des directions fixes par rapport au So-

leil ndash proprieacuteteacute supposeacute galileacuteen (voir chapitre 3)

bull Le reacutefeacuterentiel geacuteocentriquendash origine centre de la Terre ndash axes dirigeacutes parallegravelement agrave ceux du reacutefeacuterentiel de Copernic

bull Le reacutefeacuterentiel terrestrendash origine point de la surface de la Terre ndash axes fixes par rapport agrave la Terre

Reacutefeacuterentiel deCopernic

ReacutefeacuterentielGeacuteocentrique

Figure 13 bull Reacutefeacuterentiels de Copernic et geacuteocentrique Il faut noter que lesaxes du reacutefeacuterentiel geacuteocentrique restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel de

Copernic

Au lieu de caracteacuteriser un reacutefeacuterentiel par son nom on convient souvent de le repreacutesenterpar le symbole R associeacute agrave un repegravere drsquoespace et de temps La notation suivante est drsquousagecourant

reacutefeacuterentiel R(O x y z t)

Pour une eacutetude plus preacutecise du mouvement drsquoun point mobile dans un reacutefeacuterentiel R on estameneacute agrave deacutefinir sa position mais aussi des grandeurs vectorielles comme le vecteur vitesseou acceacuteleacuteration de ce point Il faudra donc faire un choix de systegraveme de coordonneacutees(voir annexe rappel des outils matheacutematiques) et utiliser la base correspondante

bull (x y z) en coordonneacutees carteacutesiennes avec la base(minusrarru x

minusrarru yminusrarru z)

qui est une basedont les vecteurs sont fixes dans le repegravere

bull (r u z) en coordonneacutees cylindriques avec la base(uruuk

)qui est une base

dont les deux premiers vecteurs voient leur direction varier au cours du temps

bull (r u w) en coordonneacutees spheacuteriques avec la base mobile(uruuuw

Il est important de noter que suivant le choix effectueacute la base utiliseacutee comme outil ma-theacutematique peut ecirctre fixe ou mobile dans le reacutefeacuterentiel donneacute Ceci a des conseacutequencesimportantes lorsqursquoil srsquoagit de deacuteriver des vecteurs Pour eacuteviter toute erreur ou confusionon notera agrave chaque fois qursquoune eacutetude est entreprise le choix de la base en preacutecisant sielle est fixe ou pas

Lrsquoassociation de lrsquoorigine drsquoun repegravere drsquoespace des axes du repegravere drsquoespace et de la chro-nologie deacutefinit le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude On notera ensuite la base de projections utiliseacutee enpreacutecisant si elle est fixe ou pas dans le reacutefeacuterentiel On notera donc un reacutefeacuterentiel drsquoeacutetudesous la forme preacutesenteacutee sur la figure 14

R(Oxyz t ) avec ( uzuyuxrarrrarrrarr ) fixe

AxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)

ChronologieOrigine

Figure 14 bull Reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude

On appelle reacutefeacuterentiel un solide de reacutefeacuterence constitueacute de lrsquoensemble des pointstous fixes les uns par rapport aux autres

Un reacutefeacuterentiel peut ecirctre deacutefini par un de ses repegraveres drsquoespace muni drsquoune origine de troisaxes et drsquoune chronologie R(O x y z t)

Pour une eacutetude plus preacutecise on notera agrave la suite la base utiliseacutee en preacutecisant si elle estfixe ou pas R(O x y z t) avec (base fixe ou mobile)

Si un reacutefeacuterentiel est deacutefini par un de ses repegraveres on prendra soin de noter bull lrsquoorigine O bull les axes du reacutefeacuterentiel x y z bull le temps tOn preacutecisera ensuite lorsque lrsquoeacutetude le neacutecessite la base de projections dont on indiquerasi elle est fixe ou non dans R

2 VITESSE DrsquoUN POINT MATEacuteRIEL

21 Deacutefinition

Soit un point M mobile dans un reacutefeacuterentiel R(O x y z t) avec(minusrarru x

Ouxrarr

M(t)uzrarr

prime (t+dt)

Figure 15 bull Mouvement drsquoun point M dans le reacutefeacuterentiel R

On appelle vitesse du point M par rapport agrave R la deacuteriveacutee du vecteur positionminusrarrOM du point

M par rapport au temps1 soit

minusrarrv MR =dminusrarrOMd t

Cette deacutefinition est la seule qui reste toujours valable quel que soit le problegraveme consideacutereacuteDrsquoun point de vue pratique le calcul du vecteur vitesse se fait en consideacuterant le deacuteplace-

ment eacuteleacutementaireminusminusrarrMMprime du point M entre les instants t et t + d t qui nrsquoest rien drsquoautre que

le vecteur dminusrarrOM =

minusminusrarrOMprime minusminusrarr

OM =minusminusrarrMMprime (annexe 1 65)

1 La notation d d t est qualifieacutee de notation de Leibniz

22 Expression de la vitesse en coordonneacutees carteacutesiennes

Lorsque le repegravere dans lequel le mouvement est eacutetudieacute est carteacutesien la position du pointM srsquoeacutecrit

minusrarrOM = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z

Les vecteurs(minusrarru x

sont constants et la deacuteriveacutee de la position conduit agrave

=d(xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z)

d xd t

minusrarru x +d yd t

minusrarru y +d zd t

minusrarru z

Lrsquoeacutecriture preacuteceacutedente peut ecirctre condenseacutee en utilisant les variables surmonteacutees drsquoun pointpour deacutecrire la deacuterivation temporelle On eacutecrit alors la vitesse de la faccedilon suivante

minusrarrv MR = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z

23 Vitesse en coordonneacutees polaires ou cylindriques

On appelle coordonneacutees cylindriques des coordonneacutees relatives agrave une base tournante(minusrarru rminusrarru u

minusrarru z)

autour de lrsquoaxe z dans le reacutefeacuterentiel R Les coordonneacutees sont dites cylin-driques si elles font intervenir une coordonneacutee z en dehors du plan (O x y) et polairesdans le cas contraire

ρurarr

θurarr

ρurarr

uxrarr

uzrarr

uyrarr

θurarr

ρurarr

(a) (b)

Figure 16 bull Systegraveme de cordonneacutees cylindriques (a) et polaires (b)

En geacuteneacuteral la base(minusrarru r

minusrarru uminusrarru z)

est repreacutesenteacutee au point M consideacutereacute mais elle peuttout aussi bien ecirctre placeacutee en O

Si le point M se deacuteplace dans le plan xOy (figure 16b) il peut ecirctre repeacutereacute par ses coordon-

neacutees polaires r = OM et la position angulaire u = (minusrarru xminusrarrOM)

Dans la base mobile(minusrarru r

minusrarru uminusrarru z) la position du point M est alors deacutefinie par le vecteur

minusrarrOM = rminusrarru r

Il est impeacuteratif de remarquer que la base(minusrarru r

est une base orthonormeacutee et queles vecteurs minusrarru r

minusrarru u sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps contrai-rement aux vecteurs minusrarru x

minusrarru yminusrarru z qui eux sont fixes

En appliquant la deacutefinition de la vitesse il est possible drsquoexprimer le vecteur vitesse dupoint M dans la base mobile soit

=d(rminusrarru r)

d tminusrarru r + r

dminusrarru r

Le calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le theacuteoregraveme du vecteur unitaire tournant(annexe 1 52) qui impose que

dminusrarru r

d t= minusrarru u

d t= uminusrarru u

ce qui engendre qursquoen coordonneacutees polaires

minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u

En coordonneacutees cylindriques (figure 16a) il suffit de rajouter la troisiegraveme composantesuivant lrsquoaxe Oz minusrarr

OM = rminusrarru r + zminusrarru z

Lrsquoexpression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivant minusrarru z

minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u + zminusrarru z

Lrsquoutilisation des coordonneacutees cylindriques (ou polaires) est appreacuteciable degraves que lemouvement du point M est curviligne (circulaire ou elliptique)

Le vecteur vitesse que nous avons calculeacute et exprimeacute dans la base polaire repreacutesentela vitesse du point par rapport au reacutefeacuterentiel R Il srsquoagit bien du mecircme vecteur quelrsquoon exprime dans la base carteacutesienne par

vMR = x minusrarru x + y minusrarru y

24 Vitesse dans la base de Frenet

Il est eacutegalement possible de deacuteterminer la vitesse du point M dans le reacutefeacuterentiel R enutilisant une nouvelle base appeleacutee base de Frenet La base de Frenet est une base localequi se deacuteplace avec le point M Elle est utiliseacutee lorsque le mouvement du point M estcurviligne Elle fait intervenir le cercle osculateur agrave la trajectoire du point M crsquoest-agrave-direle cercle qui est tangent localement agrave la trajectoire du point M Lrsquoun des vecteurs de baseest tangent agrave la trajectoire et est orienteacute dans le sens positif donneacute agrave la trajectoire lrsquoautrevecteur est dirigeacute selon le rayon de courbure de la trajectoire vers le centre du cercleosculateur

Trajectoire du point M

Figure 17 bull Abscisse curviligne et base de Frenet

La vitesse du point M est par deacutefinition

minusrarrv =dminusrarrOMd t

=dminusrarrOMd s

d sd t

avec s =

VM (mesure algeacutebrique sur la courbe de la distance VM)

Lorsque lrsquoon fait varier de faccedilon eacuteleacutementaire la position du point M en deacutecrivant la trajec-toire lrsquoabscisse curviligne du point M passe de s agrave s + d s entre lrsquoinstant t et lrsquoinstant t + d tLe deacuteplacement eacuteleacutementaire du point M srsquoeacutecrit donc

terarry

Figure 18 bull Preacutesentation du deacuteplacement eacuteleacutementaire sur la trajectoire curviligne

dminusrarrOM =

minusminusrarrMMprime = d sminusrarre t

ce qui permet drsquoeacutecrire que la vitesse dans la base de Frenet est

minusrarrv MR =d sd t

minusrarre t = sminusrarre t

Remarque Le vecteur unitaire tangent agrave la trajectoire peut ecirctre deacutetermineacute analytiquementagrave partir de lrsquoeacutequation ci-dessus

minusrarre t =dminusrarrOMd s

3 ACCEacuteLEacuteRATION DrsquoUN POINT MATEacuteRIEL

31 DeacutefinitionOn appelle acceacuteleacuteration drsquoun point mateacuteriel M par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R la deacuteriveacuteedu vecteur vitesse par rapport au temps soit

minusrarra MR =dminusrarrv MR

(dminusrarrOMd t

) =d2 minusrarrOM

Lrsquoacceacuteleacuteration est aussi la deacuteriveacutee seconde de la position par rapport au temps

32 Expression en coordonneacutees carteacutesiennesConsideacuterons une base orthonormeacutee carteacutesienne

(Ominusrarru x

du reacutefeacuterentiel R servantagrave deacutefinir la position du point M Lrsquoacceacuteleacuteration du point M dans cette base srsquoeacutecrit puisqueles vecteurs de base minusrarru x

minusrarru yminusrarru z sont constants

d2 minusrarrOMd t2

= xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z

avec la notation suivante x =d2 xd t2

33 Expression en coordonneacutees polaires ou cylindriquesSi lrsquoon utilise comme base de reacutefeacuterence du reacutefeacuterentiel la base polaire

(minusrarru rminusrarru u

)qui est une

base qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy) nous avons montreacute que lavitesse dans cette base srsquoeacutecrit minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u

Lrsquoacceacuteleacuteration du point M par rapport au reacutefeacuterentiel R srsquoexprime dans cette base par

d(rminusrarru r + ruminusrarru u)d t

= rminusrarru r + rdminusrarru r

d t+ ruminusrarru u + ruminusrarru u + ru

dminusrarru u

ρurarr

θurarr

Figure 19 bull Vecteurs vitesse etacceacuteleacuteration en coordonneacutees polaires

En utilisant le theacuteoregraveme du vecteur uni-taire tournant il vient minusrarra MR = (r minus ru2)minusrarru r + (2ru + ru)minusrarru u

Lrsquoacceacuteleacuteration du point M dans cette basea deux composantes une composante ra-diale (suivant minusrarru r) et une composante or-thoradiale (suivant minusrarru u)

En coordonneacutees polaires le vecteur acceacute-leacuteration srsquoeacutecrit minusrarra MR = (r minus ru2)minusrarru r + (2ru + ru)minusrarru u

En coordonneacutees cylindriques il suffit de rajouter la troisiegraveme composante suivant lrsquoaxe Oz minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u + zminusrarru z

Lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration est obtenue en ajoutant la composante z suivant minusrarru z minusrarra MR = (r minus ru2)minusrarru r + 2(ru + ru)minusrarru u + zminusrarru z

34 Expression dans la base de FrenetLrsquoacceacuteleacuteration du point M peut eacutegalement srsquoexprimer dans la base de Frenet Dans cettebase la vitesse srsquoeacutecrit minusrarrv MR = sminusrarre t

ce qui entraicircne pour lrsquoacceacuteleacuteration

minusrarra MR = sminusrarre t + sdminusrarre t

Agrave un instant t au point M de la trajectoire le vecteur de base fait un angle a avec ladirection de lrsquoaxe des x Agrave lrsquoinstant t + d t ce vecteur tourne drsquoun angle d a (figure 110)

nerarr

Trajectoire

α dαds

terarr

Figure 110 bull Base de Frenet et deacuteplacement eacuteleacutementaire

La deacuteriveacutee par rapport au temps de ce vecteur unitaire est donc donneacutee par

dminusrarre t

d t= aminusrarre n

De plus on a avec R = rayon du cercle osculateur

d s = CM d a = R d a

soit d a

d t= a =

d sd t

On obtient donc

sdminusrarre t

d t= saminusrarre n =

Rminusrarre n =

Rminusrarre n

ce qui conduit agrave

minusrarra MR = sminusrarre t +v2

Rminusrarre n

Remarquesbull On pourra veacuterifier que ce reacutesultat est toujours vrai quelle que soit la concaviteacute de latrajectoirebull La composante normale eacutetant toujours positive le vecteur acceacuteleacuteration est toujourstourneacute vers la concaviteacute de la trajectoire au point consideacutereacute

4 REacuteCAPITULATIF

Nous preacutesentons dans le tableau suivant le reacutecapitulatif des expressions que nous avonsintroduites preacuteceacutedemment

Base Position Vitesse Acceacuteleacuteration

Carteacutesienne

Ominusrarru xminusrarru y

minusrarru zminusrarrOM = xminusrarru x+ yminusrarru y+ zminusrarru z vMR = xminusrarru x+ yminusrarru y+ zminusrarru z aMR = xminusrarru x+ yminusrarru y+ zminusrarru z

Cylindrique

Ouruuminusrarru z

minusrarrM = rur + zminusrarru z vMR = rur + ruuu + zminusrarru z aMR =

∣∣∣∣∣∣∣∣(r minus ru2)ur

(2ru + ru)uu

zminusrarru z

Base de Frenet

Veten s = VM vMR = set = vet aMR = set +

uzrarr

prime(t+dt)

d rarrrarr θω =

Figure 111 bull Lrsquoangle u croicirct au cours dutemps donc la valeur algeacutebrique de la

vitesse angulaire est positive et le vecteurvitesse angulaire est dirigeacute dans le sens des

z positifs

Remarque Il est eacutegalement possible de deacute-finir agrave partir de la position angulaire drsquounpoint M se deacuteplaccedilant dans le plan O x y levecteur vitesse angulaire minusrarrv = uminusrarru z et le vecteuracceacuteleacuteration angulaire d minusrarrv

d t = uminusrarru z Ces vecteurssont perpendiculaires au plan dans lequel sefait le mouvement de M

Le signe de u (et donc le sens du vecteurminusrarrv ) permet de savoir dans quel sens le sys-tegraveme tourne en appliquant la regravegle habituelledu tire-bouchon (voir annexe) La figure 111illustre ce propos le point M tourne dans lesens trigonomeacutetrique et le tire bouchon quitourne dans ce sens se deacuteplace dans le sensdes z gt 0 Le vecteur vitesse angulaire estdonc orienteacute dans le mecircme sens que minusrarru z

Le mouvement est acceacuteleacutereacute si |u| croicirct avec letemps crsquoest-agrave-dire si u2 est une fonction crois-sante du temps La deacuteriveacutee 2uu doit ecirctre positive Lrsquoeacutetude du signe du produit uu indiquerasi le mouvement est acceacuteleacutereacute (uu gt 0 les deux vecteurs vitesse et acceacuteleacuteration angulairesont le mecircme sens) ou deacuteceacuteleacutereacute (uu lt 0 les deux vecteurs sont alors de sens contraire)

Encart 11 Les eacutequations diffeacuterentielles du mouvement

Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point mateacuteriel a pour but de deacuteterminer les eacutequationshoraires de la trajectoire crsquoest-agrave-dire la loi drsquoeacutevolution des composantes de la positiondu point mateacuteriel en fonction du temps Les eacutequations horaires de la trajectoire ne

peuvent ecirctre obtenues que si lrsquoon connaicirct au preacutealable lrsquoacceacuteleacuteration de ce point Crsquoesten faisant le bilan des actions qui agissent sur le point mateacuteriel que lrsquoon deacuteterminepar la relation fondamentale de la dynamique lrsquoacceacuteleacuteration du point mateacuteriel Onobtient alors lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement du point mateacuteriel crsquoest-agrave-direune eacutequation qui relie lrsquoacceacuteleacuteration la vitesse et la position instantaneacutee du point agravela variable t Nous distinguerons plusieurs types drsquoeacutequations diffeacuterentielles selon leursformes Agrave titre drsquoexemple non exhaustif nous trouvons les eacutequations diffeacuterentiellessuivantes

x = 0 x + ax = 0 x + ax + bx = 0

La derniegravere eacutequation est sans doute lrsquoune des eacutequations les plus connues de la physiquepuisqursquoon la rencontre dans tous les problegravemes drsquooscillateurs que ce soit en meacutecaniqueou en eacutelectriciteacute Cette eacutequation fait intervenir seulement la variable x ainsi que ses deacute-riveacutees Elle est qualifieacutee de lineacuteaire car si la variable x est multiplieacutee par une constanteil en va de mecircme pour ses deacuteriveacutees ce qui fait que la forme de lrsquoeacutequation nrsquoest pas mo-difieacutee si elle est multiplieacutee par une constante Sa reacutesolution ne pose pas de difficulteacutesparticuliegraveres Il faut cependant noter que ce type drsquoeacutequation reacutesulte drsquoune modeacuteli-sation souvent simplifieacutee de pheacutenomegravenes physiques et que la reacutealiteacute est parfois pluscomplexe Les problegravemes reacuteels font souvent appel agrave des eacutequations diffeacuterentielles nonlineacuteaires qui associent par exemple la variable x agrave une puissance n gt 1 agrave ses deacuteriveacuteescomme lrsquoeacutequation suivante

x + ax3 = 0

On voit alors que si la variable x est multiplieacutee par une constante lrsquoeacutequation changede forme Dans de tels cas lrsquoutilisation de lrsquoordinateur devient le seul recours pos-sible pour deacuteterminer la solution qui deacutepend tregraves fortement des conditions initialesdu mouvement (laquo effet papillon raquo)

Agrave partir de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement du point on deacutetermine les eacutequa-tions horaires du mouvement Il importe de noter que geacuteneacuteralement il existe autantdrsquoeacutequations diffeacuterentielles qursquoil y a de variables de position dans le problegraveme Lrsquoob-tention des eacutequations horaires du mouvement se fait par inteacutegration des eacutequationsdiffeacuterentielles

5 EXEMPLES DE MOUVEMENTS

51 Mouvements rectilignesa) Le mouvement rectiligne uniforme

rarrv = cste

Figure 112 bull Mouvement rectiligneuniforme le point M se deacuteplace sur

une droite agrave vitesse constante

Un mouvement drsquoun point mateacuteriel est ditrectiligne uniforme si le point mateacuteriel sedeacuteplace agrave vecteur vitesse constant

Mouvement rectiligne uniforme lArrrArr v = minusrarrcste

Le vecteur vitesse eacutetant constant le mouvement est rectiligne car la vitesse est tangente agrave latrajectoire La droite sur laquelle le point se deacuteplace est assimileacutee agrave lrsquoaxe des x Lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle du mouvement srsquoeacutecrit alors

minusrarrv = xminusrarru x = Cminusrarru x rArr x = C

ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation horaire suivante

x = Ct + x0

b) Le mouvement uniformeacutement varieacute

Un mouvement est dit rectiligne uniformeacutement varieacute si le vecteur acceacuteleacuteration est constantet la trajectoire rectiligne

Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute lArrrArr a = minusrarrcste et trajectoire rectiligne

Si le mouvement est rectiligne il est commode de se fixer comme axe du mouvement lrsquoaxedes x On aura donc

minusrarrOM = xminusrarru x =rArr minusrarrv = xminusrarru x =rArr minusrarra = xminusrarru x

etminusrarra = xminusrarru x = Cminusrarru x

Par inteacutegration de cette eacutequation nous obtenons la vitesse du point M

v = x = Ct + B

ce qui par une nouvelle inteacutegration conduit agrave lrsquoeacutequation horaire du mouvement

Ct2 + Bt + D

Les constantes B et D qui sont apparues dans les deux inteacutegrations successives sont deacute-termineacutees par les conditions initiales du mouvement du point M Ainsi si le point M a unevitesse nulle et est en x = xo agrave t = 0 les constantes B et D deviennent B = 0 et D = xo etlrsquoeacutequation horaire du mouvement srsquoeacutecrit alors

Ct2 + xo

Remarques Le mouvement est uniformeacutement acceacuteleacutereacute si la norme du vecteur vitesse estune fonction croissante de t soit v2 fonction croissante La deacuteriveacutee de v2 doit donc ecirctrepositive La condition sera

d tgt 0 =rArr 2 v

d vd t

Lrsquoeacutetude du signe du produit de la vitesse par lrsquoacceacuteleacuteration permettra de preacuteciser si lemouvement est acceacuteleacutereacute (x x gt 0) ou retardeacute (x x lt 0)

Avoir un vecteur acceacuteleacuteration constant ne suffit pas pour dire que le mouvement est recti-ligne Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la mecircme direction que le vecteur acceacuteleacuterationDans le cas contraire on obtient un mouvement parabolique qui est traiteacute agrave la fin de cechapitre

Encart 12 Un mouvement plus complexeNous consideacuterons maintenant le cas drsquoun mouvement rectiligne plus complexe danslequel nous supposons que lrsquoacceacuteleacuteration est de la forme

x = pt

ougrave p est une constante

Lrsquoacceacuteleacuteration est variable dans le temps et nous recherchons lrsquoeacutequation horaire dumouvement Nous effectuons donc deux inteacutegrations successives qui nous conduisentdrsquoune part agrave la vitesse

x = pt =rArr d v = pt d t =rArr v =int

pt d t

v = pt2

2+ q = x

et drsquoautre part agrave la position

x = pt3

6+ qt + r

Comme toujours les constantes drsquointeacutegration q et r sont deacutetermineacutees par les conditionsinitiales du mouvement qui si elles se reacutesument agrave x = 0 et v = 0 agrave t = 0 conduisent agrave

x = pt3

c) Mouvement rectiligne sinusoiumldal

Figure 113 bull Repreacutesentation du mouvementsinusoiumldal dans le temps

Le mouvement drsquoun point M est ditrectiligne sinusoiumldal si se produisantsur un axe Ox lrsquoabscisse x du point Msrsquoeacutecrit

x = Xm cos(vt + w)

Le terme vt + w est appeleacute phase agravelrsquoinstant t avec w la phase agrave lrsquooriginedes dates (t = 0) Le terme Xm corres-pond agrave lrsquoamplitude du mouvement xvariant sinusoiumldalement de minusXm agrave Xmcomme le montre la figure 113 La vi-tesse a pour expression

v = x = minusXm sin(vt + w)

et lrsquoacceacuteleacuteration a = x = minusv2Xm cos(vt + w)

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement est donc

x + v2x = 0

Cette eacutequation correspond agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du second ordre drsquoun oscillateur har-monique

Remarque La solution de cette eacutequation diffeacuterentielle peut srsquoeacutecrire de diffeacuterentes faccedilonstoutes eacutequivalentes On a

x = Xm cos(vt + w) = Xm sin(vt + wprime) = A sin vt + B cos vt

En utilisant les relations trigonomeacutetriques usuelles on obtient tregraves simplement

wprime = w + p2 A = minusXm sin w B = Xm cos w

52 Mouvement circulaire uniformeθurarry

ρurarr

RMararr

RMvrarr

Figure 114 bull Mouvementcirculaire uniforme

Le mouvement drsquoun point est dit circulaire uni-forme si bull le point se deacuteplace sur un cercle bull sa vitesse angulaire de rotation est constante

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement est donneacuteepar

d t= v = cste

ce qui conduit par inteacutegration agrave

u = vt + uo

Les caracteacuteristiques cineacutematiques du mouvement circulaire uniforme peuvent se deacuteduiredu scheacutema de la figure 114 et sont donneacutees par

minusrarrOM(t) = rminusrarru r(t) = r cos uminusrarru x + r sin uminusrarru y

minusrarrv (t) =d(rminusrarru r(t)

= ruminusrarru u(t)

minusrarra (t) =dminusrarrv (t)

d t= minusru2minusrarru r(t)

Nous remarquons donc que le mouvement circulaire uniforme est un mouvement acceacuteleacutereacutedont lrsquoacceacuteleacuteration est centripegravete En remarquant que minusrarru u = minusrarru z and minusrarru r (annexe 1 4) onpeut donner une expression du vecteur vitesse indeacutependante de la base choisie En effeton obtient

minusrarrv (t) = ruminusrarru u(t) = ruminusrarru z and minusrarru r(t) = uminusrarru z and rminusrarru r(t) = minusrarrv and minusrarrOM(t)

Dans cette expression minusrarrv est le vecteur vitesse angulaire Cette relation est valable pourtout mouvement circulaire On obtient de mecircme pour le vecteur acceacuteleacuteration

minusrarra (t) = minusrarrv and(minusrarrv and minusrarr

OM(t))

= minusrarrv and minusrarrv (t)

Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu directement en deacuterivant le vecteur vitesse exprimeacute sous formedrsquoun produit vectoriel

d(minusrarrv and minusrarr

OM(t))

minusrarrd v

d tand minusrarr

OM(t) + minusrarrv and dminusrarrOM(t)d t

Si le mouvement est circulaire uniforme le vecteur vitesse angulaire minusrarrv est un vecteurconstant Sa deacuteriveacutee eacutetant nulle on retrouve bien lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration

53 Le mouvement heacutelicoiumldal

Figure 115 bull Illustration drsquounmouvement heacutelicoiumldal

Le mouvement heacutelicoiumldal est la combinaison drsquounmouvement de translation rectiligne uniforme se-lon lrsquoaxe des z et drsquoun mouvement circulaire uni-forme dans le plan xOy

Les eacutequations horaires du mouvement selon lestrois axes x y z du reacutefeacuterentiel carteacutesien sont

x(t) = R cos vt y(t) = R sin vt z(t) = vot

Il est facile de deacuteterminer par deacuterivations succes-sives les composantes du vecteur vitesse et du vec-teur acceacuteleacuteration du point dans cette base

minusrarrv MR =

∣∣∣∣∣ minusRv sin vtRv cos vt

minusrarra MR

∣∣∣∣∣∣minusRv2 cos vtminusRv2 sin vt

De mecircme les expressions de la vitesse et de lrsquoacceacuteleacuteration dans la base cylindrique sontdonneacutees par

minusrarrv MR =

∣∣∣∣∣ 0Rvv0

minusrarra MR

∣∣∣∣∣∣minusRv2

54 Le mouvement parabolique

Supposons que le vecteur acceacuteleacuteration soit un vecteur constant et qursquoagrave lrsquoinstant t = 0 levecteur vitesse minusrarrv o soit donneacute Le choix du repegravere eacutetant libre nous pouvons deacutecider de ledeacutefinir agrave partir des donneacutees du problegraveme Nous faisons le choix suivant pour des raisonsde bon sens (figure 116) bull origine du repegravere position du point agrave t = 0 bull axe z suivant le vecteur acceacuteleacuteration soit minusrarra = ao

minusrarru z

bull axe x perpendiculaire agrave lrsquoaxe z et dans le plan contenant minusrarra et minusrarrv o On aura alors

minusrarrv o = voxminusrarru x + voz

minusrarru z

bull axe y deacutefini de sorte que minusrarru xminusrarru y

minusrarru z forment une base orthonormeacutee directe

On obtient par inteacutegrations successives et en tenant compte des conditions initiales

minusrarra MR

∣∣∣∣∣ 00ao

=rArr minusrarrv MR

∣∣∣∣∣ vox0

aot + voz

minusrarrOM =

∣∣∣∣∣∣x = voxt + xo = voxt

y = yo = 0z = 1

2 aot2 + vozt + zo = 12 aot2 + voz

Dans le cas ougrave minusrarrvo = 0 on retrouve le mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute suivantlrsquoaxe des z

Pour vox = 0 le mouvement est un mouvement plan dans le plan deacutefini par le vecteuracceacuteleacuteration et le vecteur vitesse agrave lrsquoinstant t = 0

Le mouvement projeteacute suivant lrsquoaxe des x est un mouvement uniforme de vitesse vox

Le mouvement projeteacute suivant lrsquoaxe des z est uniformeacutement varieacute drsquoacceacuteleacuterationconstante ao

En eacuteliminant la variable t entre les deux eacutequations horaires du mouvement on obtientlrsquoeacutequation de la trajectoire

voxet z =

+ vozx

Si a est lrsquoangle que fait le vecteur vitesse vo avec lrsquoaxe des x et vo la norme de ce vecteurvitesse on peut encore eacutecrire

v2o cos2 a

+ x tan a (11)

La trajectoire est une portion de parabole

La figure 116 repreacutesente la trajectoire drsquoun projectile pour lequel le vecteur acceacuteleacuterationvaut

minusrarra = minusrarrg = minusgminusrarru z =rArr ao = minusg

ougrave g est lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur

La flegraveche h correspond agrave lrsquoaltitude maximale que peut atteindre le point mobile La porteacuteed correspond agrave la distance maximale que peut atteindre le point lorsque qursquoil revient agravelrsquoordonneacutee z = 0

ovrarr

uzaa o

rarrrarr=

uzrarr

uxrarr

La flegraveche h

La porteacutee d

Figure 116 bull Chute parabolique Lrsquoacceacuteleacuteration correspond ici agrave lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur

a) Calcul de la porteacutee

z = 0 =rArr x = 0 et x = d =v2

ao2 sin a cos a =

gsin 2a

La porteacutee est maximale pour 2a = p2 soit pour un angle a = p4 = 45 (il importede noter que ce reacutesultat nrsquoest valide que si lrsquoon part drsquoune altitude de lancement z = 0)

b) Calcul de la flegraveche

Elle peut ecirctre obtenue de diffeacuterentes faccedilons On peut rechercher par exemple lrsquoordonneacuteecorrespondant agrave lrsquoabscisse x = d2 On obtient alors

2gsin2 a

Agrave RETENIR

Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point neacutecessite un reacutefeacuterentiel caracteacuteriseacute par

ChronologieOrigine

Expressions des vecteurs positionminusrarrOM vitesse minusrarrv = d

minusrarrOMd t et acceacuteleacuteration

minusrarra = d minusrarrvd t = d2 minusrarrOM

d t2 dans les diffeacuterents systegravemes de coordonneacutees

Coordonneacutees Carteacutesiennes Cylindriques Frenet

Base(minusrarru x

minusrarru yminusrarru z) (minusrarru r

minusrarru uminusrarru z) (minusrarre t

minusrarre n)

PositionminusrarrOM

] [r0z

Vitesse minusrarrv MR

] ⎡⎣ r

⎤⎦ sminusrarre t = vminusrarre t

Acceacuteleacuteration minusrarra MR

] ⎡⎣ (r minus ru2)(2ru + ru)

⎤⎦ ⎡⎣ sminusrarre tv2

Rminusrarre n

⎤⎦ Diffeacuterents mouvements simples

bull Mouvement rectiligne uniforme rArr minusrarrv = cstebull Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute rArr minusrarra = cste et minusrarra et minusrarrv ont mecircme

directionbull Mouvement circulaire uniforme rArr v = u = cste et acceacuteleacuteration normale et centri-

pegravete a = v2R = v2

EXERCICE DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE

Cineacutematique

Dans un repegravere carteacutesien (O x y z) muni de la base (minusrarru xminusrarru y

minusrarru z) un point M enmouvement a pour eacutequations horaires⎧⎨⎩

x = 1 + cos ty = sin t

z = 0(uniteacutes du systegraveme international)

1) Deacuteterminer lrsquoeacutequation de la trajectoire et montrer que crsquoest un cercle dont le centreC est sur lrsquoaxe Ox (OC = +1 m) et dont le rayon est R = 1m

2) Exprimer le vecteur vitesseminusrarrV Preacuteciser sa direction par rapport agrave la trajectoire

Donner la valeur de la vitesse V du point M et montrer que le mouvement est uniforme

3) Exprimer le vecteur vitesse angulaire minusrarrv (ou vecteur rotation) Donner la valeurde v

4) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra Le comparer avec le vecteurminusrarrCM Que peut-on

dire de ce vecteur par rapport au vecteur vitesseminusrarrV et par rapport agrave la trajectoire

Donner la valeur de a

5) Repreacutesenter la trajectoire le vecteur vitesse angulaire minusrarrv le vecteur vitesseminusrarrV ainsi

que le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra en un point M quelconque

Solution1) (x minus 1)2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1 rArr trajectoire est un cercle de centre xo = 1 m etyo = 0 soit

minusrarrOC = minusrarru x et de rayon R = 1 m (dans le plan Oxy)

⎧⎨⎩x = minus sin ty = cos tz = 0

rArr minusrarrV = minus sin tminusrarru x + cos tminusrarru y rArr

∥∥∥minusrarrV ∥∥∥ = sin2 t + cos2 t = 1 msminus1

La vitesse est constante le mouvement est donc uniforme Le vecteur vitesse est tan-gent agrave la trajectoire circulaire (perpendiculaire au rayon correspondant)

3) minusrarrv = vminusrarru zrArr v =VR

= 1 radsminus1

⎧⎨⎩x = minus cos ty = minus sin tz = 0

rArr minusrarra = minus(cos t)minusrarru x minus (sin t)minusrarru y

Ce vecteur est normal et centripegravete (mouvementcirculaire uniforme) dirigeacute de M vers C Ce vec-teur est perpendiculaire au vecteur vitesse

minusrarrCM =

minusrarrOM minusminusrarr

OC =minusrarrOM minusminusrarru x

minusrarrCM = (1 + cos t minus 1)minusrarru x + (sin t)minusrarru y = minusminusrarra

y rarr

rarr rarr

Figure 117

EXERCICES CORRIGEacuteS

1 Mouvement rectiligne uniforme Agrave lrsquoinstant t = 0 deux navires Nprime et N sont situeacutessur un mecircme meacuteridien Le navire Nprime estagrave une distance a au nord de N

1) N se dirige vers le nord agrave la vitesse v Nprime vers lrsquoest avec la vitesse constante vprimeQuelle sera la distance minimale entre les deux navires

2) Nprime se dirige vers lrsquoest avec la vitesse vprime constante Quelle direction doit prendre Npour atteindre Nprime en ligne droite Calculer la dureacutee correspondante

Figure 118

2 Mouvement rectiligne uniforme Untracteur partant drsquoun point A situeacute surune route rectiligne doit atteindre unpoint B situeacute dans un champ agrave la distanced = CB de la route et ce dans un tempsminimal (voir figure 118) On supposeles trajets successifs AD et DB rectiligneset parcourus agrave vitesse constante par letracteur qui va deux fois moins vite dansle champ que sur la route On poseAC = l et AD = x

1) Exprimer la dureacutee t du trajet ADB en fonction de x

2) En quel point D le tracteur doit-il quitter la route

3 Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute Sur le quai drsquoune gare une voya-geuse en retard court pour essayer de prendre son train agrave une vitesse constantev = 8 msminus1

Le train deacutemarre alors qursquoelle est encore agrave 100 megravetres du dernier wagon Lrsquoacceacuteleacutera-tion constante du train est de a = 05 msminus2

1) La voyageuse rejoindra-t-elle son train Sinon agrave quelle distance minimale srsquoentrouvera-t-elle

2) Reprendre la question 1 dans le cas ougrave le deacutemarrage du train a lieu lorsque ledernier wagon est agrave 40 m de la voyageuse

3) Quelle devrait ecirctre agrave lrsquoinstant du deacutemarrage la distance minimale entre le trainet la voyageuse pour que celle-ci atteigne effectivement le dernier wagon

4 Mouvement rectiligne sinusoiumldal Deux points mobiles A et B se deacuteplacent tous lesdeux le long drsquoun segment drsquoun mouvement sinusoiumldal drsquoamplitude 10 cm Le pointA a une pulsation vA = 10 radsminus1 et B une pulsation vB = 11 radsminus1

1) Agrave la date t = 0 s ils passent dans le mecircme sens agrave lrsquoorigine des abscisses Agrave quelledate se rencontrent-ils agrave nouveau avec chacun une vitesse de mecircme signe

2) Quelle distance aura parcouru le moins rapide le plus rapide

BBVrarr

Figure 119

5 Eacutechelle double Une eacutechelle double OABest appuyeacutee au bas drsquoun mur en O (figure119) Le deuxiegraveme point drsquoappui B glissesur le sol agrave la vitesse minusrarrv B On preacutecise queOA = AB = 2 5 m et que la vitesse angulairede OA garde la valeur constante de 10 degreacutespar seconde Agrave lrsquoinstant t = 0 u = uo = 15

1) Donner lrsquoeacutequation u = f (t)

2) Agrave quel instant t1 lrsquoangle OAB vaut-il 100

3) Agrave cet instant t1 donner les caracteacuteristiques(direction sens module) du vecteur vitesse minusrarrv A1 et du vecteur acceacuteleacuteration minusrarra A1 dupoint A faire un scheacutema repreacutesentant ces deux vecteurs

4) Calculer en fonction de t la longueur OB

5) En deacuteduire les eacutequations horaires de la vitesse vB et de lrsquoacceacuteleacuteration aB du point B

6) Faire lrsquoapplication numeacuterique pour t = t1

7) Quelle est la nature du mouvement de B

6 Mouvement circulaire uniforme Un pilote de chasse fait un looping La trajectoirecirculaire est situeacutee dans un plan vertical La vitesse est supposeacutee constante et eacutegale agrave1800 kmhminus1

Sachant que le corps humain ne peut pas supporter une acceacuteleacuteration supeacuterieure agrave 10g(g = 10 msminus1) calculer le rayon minimal que le pilote peut donner agrave la trajectoire

Instant t=0 Instant t

C oVrarr

Figure 120

7 Mouvement drsquoun point drsquouneroue Une roue circulaire derayon a et de centre C roule sansglisser sur Ox tout en restant dansle plan Oxy (figure 120) Un pointA de la roue coiumlncide agrave lrsquoinstantt = 0 avec lrsquoorigine O du re-pegravere Le centre C a une vitesseconstante Vo

1) Deacuteterminer les coordonneacutees deA agrave lrsquoinstant t

2) Calculer le module du vecteur vitesse de A et eacutetudier ses variations au cours dutemps

3) Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul

8 Rotation Le rotor drsquoune machine tourne agrave 1200 trminminus1 Agrave lrsquoinstant t = 0 il estsoumis agrave une acceacuteleacuteration angulaire a supposeacutee constante jusqursquoagrave lrsquoarrecirct complet Ilsrsquoarrecircte en 300 tours

1) Donner les eacutequations horaires de a et a

2) Calculer la dureacutee du freinage Que vaut a

Figure 121

9 Rotation On considegravere un systegraveme de deuxpoulies relieacutees par une courroie (figure 121)La premiegravere poulie a un rayon R1 = 5 cmet tourne agrave la vitesse angulaire constantevo = 180 radsminus1 la seconde a un rayonR2 = 30 cm

1) Calculer la vitesse angulaire de la secondepoulie

2) La courroie porte une marque C Calculer lrsquoacceacuteleacuteration du point C au cours dumouvement

10 Mouvement curviligne Un ballon sonde a une vitesse drsquoascension verticale vo indeacute-pendante de son altitude Le vent lui communique une vitesse horizontale vx = z

tproportionnelle agrave lrsquoaltitude z atteinte z est une constante

1) Deacuteterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que lrsquoeacutequation de la trajectoirex(z)

2) Calculer le vecteur acceacuteleacuteration ses composantes tangentielle et normale

11 Mouvement curviligne Une mouche M parcourt drsquoun mouvement uniforme avecla vitesse Vo lrsquoaiguille des secondes drsquoune horloge situeacutee sur un mur vertical (figure122) Agrave lrsquoinstant t = 0 la mouche est au centre O de lrsquohorloge qui indique laquo 0 se-condes raquo Au bout drsquoune minute elle atteint lrsquoextreacutemiteacute de lrsquoaiguille qui mesure 20 cm

uxrarr

θurarr

ρurarr

Figure 122

1) Par rapport au mur exprimer levecteur vitesse

minusrarrV (M) de la mouche

sur la base mobile (minusrarrurminusrarruu) lieacutee agrave M

Calculer les composantes deminusrarrV (M)

pour t = 0 s 15 s 30 s 45 s et 60 s

2) RepreacutesenterminusrarrV (M) aux points

M correspondants aux instants ci-dessus Donner lrsquoallure de la trajec-toire sur le mur

3) Calculer les composantes de lrsquoacceacuteleacuteration de M minusrarra (M) sur la base mobile Repreacute-senter minusrarra (M) aux cinq positions preacuteceacutedentes

12 Mouvement curviligne Une particule M se deacuteplace dans le plan xOy Sa vitesse estdeacutefinie par minusrarrv = aminusrarru u + bminusrarru y ougrave a et b sont deux constantes

1) Deacuteterminer lrsquoeacutequation r(u) de la trajectoire en coordonneacutees polaires

2) On choisit a = 3b Sachant que pour u = 0 lrsquoabscisse du point M est +1 m donnerlrsquoexpression de r(u) Quelle est lrsquoallure de la trajectoire dans le plan xOy

13 Mouvement curviligne Un point M se deacuteplace sur une spirale logarithmique drsquoeacutequa-tions polaires parameacutetriques r = roeu u = vt avec v constant

1) Dessiner scheacutematiquement une spirale logarithmique Repreacutesenter les axes descoordonneacutees polaires et le repegravere de Frenet en un point M quelconque de cette tra-jectoire

2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et acceacuteleacuteration de M en coordonneacuteespolaires En deacuteduire les normes de ces vecteurs Que vaut lrsquoangle a que fait la vitesseavec le vecteur unitaire minusrarru r

3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire

4) Le point M deacutecrit la mecircme spirale r = roeu mais cette fois-ci crsquoest la vitesse lineacuteairev qui est constante Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps

Solutions

1 Positions initiales des navires No Nprimeo Axes fixes lieacutes agrave la Terre Nox vers lrsquoest et No Nprime

oy vers lenord (voir figure 123a)

(nord)

Nrsquo

v primerarr

No(est)

(nord)

Nrsquo

v primerarr

Norsquo

No(est)

vrarrN

(a) (b)

Figure 123

1) Date t minusminusrarrNoN = vtminusrarru y

minusminusrarrNprime

oNprime = vprimetminusrarru x et leur distance est D =

minusminusrarrNNprime

vprime2t2 + (a minus vt)2

La deacuteriveacutee dDdt est eacutegale agrave 1

2D (2vprime2t minus 2v(a minus vt)) et srsquoannule pour tm = avv2+vprime2 Agrave cet instant la

distance est minimale et sa valeur est

D(tm) =h

vprime2v2a2

(v2+vprime2)2 + (a minus av2

(v2+vprime2) )2i12

= avprimeradicv2+vprime2

2) Soit u la direction prise par le navire N (figure 123b) On a alors

minusminusrarrNoN = (vt cos u)minusrarru x + (vt sin u)minusrarru y

oNprime = vprimetminusrarru x

Les navires se croisent en N1 srsquoil existe un instant t pour lequel on a simultaneacutementvt cos u = vprimet et vt sin u = a rArr cos u = vprime

v N ne peut atteindre Nprime que si v gt vprime Ladirection qursquoil doit prendre est donneacutee par cos u = vprime

v et le croisement a lieu agrave lrsquoinstantt1 = a

v sin u= aradic

v2minusvprime2

2 Distance AD = d1 = x parcourue agrave la vitesse constante v Temps t1 = xv

Distance DB = d2 =p

(l minus x)2 + d2 parcourue agrave la vitesse constante v2 Temps

t2 =2radic

(lminusx)2+d2

Temps mis pour aller de A agrave B t = t1 + t2 = 1v (x + 2

(l minus x)2 + d2) Ce temps est minimallorsque la deacuteriveacutee srsquoannule soit d t

d x = 0 rArr 1 minus 2(lminusx)radic(lminusx)2+d2

= 0 rArr x = l minus dradic3

3 Repegravere axe Ox dans la direction du mouvement du train et de la voyageuse origine O positionde la voyageuse lorsque le train deacutemarre Agrave t = 0 il se trouve agrave D = 100 m de O

Voyageuse mouvement rectiligne uniforme drsquoeacutequation horaire x = vt = 8t

Train mouvement rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute drsquoacceacuteleacuteration a = 0 5 msminus2

La vitesse horaire est vt = at = 0 5t et lrsquoeacutequation horaire xt = 12 at2 + D = 0 25t2 + 100 La

voyageuse rejoint le train si pour une mecircme date t on a x = xt rArr 0 25t2 minus 8t + 100 = 0

Le discriminant D = minus36 lt 0 rArr pas de solution La distance qui seacutepare la voyageuse etle train est xt minus x = 1

2 at2 + D minus vt Cette distance est minimale quand sa deacuteriveacutee srsquoannulesoit quand at minus v = 0 rArr t = v

a On a donc t = 80 5 = 16 s et la distance minimale estdm = 1

2 at2 + D minus vt = 36 m

Pour D = 40 m x = xt rArr 0 25t2 minus 8t + 40 = 0 Le discriminant D = 24 gt 0 Les solutionssont

t1 = 16 minusradic

96 = 6 2 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 49 6 m (le train a effectueacute 9 6m et sa vitesse est alors de 3 1 msminus1 La voyageuse est plus rapide et commence agrave remonterle train)

t2 = 16 +radic

96 = 25 8 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 206 4 m (le train acceacuteleacuterantil deviendra plus rapide que la voyageuse et la deacutepassera si elle nrsquoa pas pu monter en marcheElle a pour cela 19 6 s)

Distance minimale Dm pour que la voyageuse atteigne le train x = xt rArr 0 25t2 minus 8t + D = 0Le discriminant doit ecirctre positif ou nul soit 64 minus D gt 0 rArr Dm = 64 m On a alors t = 16 set la distance parcourue est de x = 128 m Le train a parcouru 28 m et sa vitesse est de 8msminus1 = v

4 A vA = 10 radsminus1 rArr TA = 2pvA

B vB = 11 radsminus1 rArr TB = 2pvb

La peacuteriode de A est supeacuterieure agrave celle de B qui est donc le plus rapide Lors de la premiegraverecoiumlncidence B aura effectueacute une oscillation de plus que A On peut donc eacutecrire que la rencontrese fera agrave lrsquoinstant t = nTA = (n + 1)TB ougrave n repreacutesente le nombre drsquooscillations effectueacutees parA jusqursquoagrave la coiumlncidence

n = TBTAminusTB

= 1vBvA

minus1= 1

11minus1 = 10 rArr t = 10TA = 6 28 s

Le moins rapide aura effectueacute 10 oscillations soit une distance de 10 fois 4Xm crsquoest-agrave-dire 4 mLe plus rapide effectue une oscillation de plus et a donc parcouru 4 4 m

5 Vitesse angulaire constante de OA vo = u = 10sminus1 = p18 radsminus1

1) u = vot + uo = 10t + 15 (en degreacutes) = p18 t + p

12 (en radians)

2) 2u1 = 100 rArr t1 = u1minusuovo

= 50minus1510 = 3 5 s

3) A a un mouvement circulaire uniforme de rayon OA = 2 5 m= l et de vitesse angulairevo = p

18 radsminus1 On a donc vA = lvo = 0 436 msminus1 et minusrarrv A perp minusrarrOA vers B Lrsquoacceacuteleacuteration est

centripegravete direction OA sens de A vers O et a pour expression a =v2

Al = v2

o l = 0 076 msminus1

4) OB = 2OA sin u = 5 sin(10t + 15) = 5 sin( p18 t + p

5)- minusrarrv B = dminusrarrOBd t = minusrarru x2OAvo cos(vot + uo) = minusrarru x

5p18 cos( p

18 t + p12 )

minusrarra B = minusminusrarru x2OAv2o sin(vot + uo) = minusminusrarru x5( p

18 )2 sin( p18 t + p

Pour t = t1 rArr vB = 5p18 cos 50 = 0 5609 msminus1 et aB = minus0 1523 sin 50 = minus0 1166 msminus1

6) B a un mouvement rectiligne sinusoiumldal drsquoamplitude 2OA = 5 m et de pulsation vo

6 Mouvement circulaire uniforme de vitesse constante v = 1800 kmhminus1 = 0 5103 msminus1 Lrsquoac-ceacuteleacuteration est normale et centripegravete et a pour expression a = v2

r lt 10g rArr r gtv2

10g = 2 5 km

7 Roulement sans glissement pendant la dureacutee d t le point C effectue vo d t et la roue a tourneacutede d u On a donc a d u = vo d t rArr u = vo

a rArr u = voa t (en orientant u comme sur le scheacutema)

minusrarrOA =

minusrarrOC +

minusrarrCA =

(vot)minusrarru x + aminusrarru y˜

minusa sin uminusrarru x minus a cos uminusrarru y˜

minusrarrOA =

vot minus a sin voa t

˜minusrarru x + aˆ

1 minus cos voa t

˜minusrarru y

minusrarrv A = dminusrarrOA

d t = voˆ

(1 minus cos voa t)minusrarru x + minusrarru y sin vo

rArr minusrarrv A = vo

(1 minus cos voa t)2 + sin2 vo

minusrarrv A = voradic

1 minus cos voa t Fonction peacuteriodique de peacuteriode T = 2pa

vo(temps mis pour faire un

tour de roue complet u = 2p) Elle srsquoannule pour t = nT (avec n nombre entier correspondantau nombre de tours effectueacutes) Le point A est alors en contact avec le sol Elle est maximalepour t = nT + T

2 et prend alors la valeur de 2vo Le point A est alors au sommet de la roue

8 Rotation de 1200 trminminus1 rArr ao = 40p radsminus1 Arrecirct en 300 trrArr a1 = 600p Acceacuteleacuterationangulaire constante a rArr a = at + ao et a = 1

2 at2 + aot rArr a = aminusaot et a = 1

2aminusao

t t2 + aot

Lrsquoarrecirct srsquoeffectue pour

a = a1 et a = 0 rArr a1 = minus12

aot + aot =12

aot rArr t = 2a1

40p= 30 s

a = aminusaot = minus ao

30 = minus 43 p radsminus2

9 Un point C de la courroie se deacuteplace avec une vitesse constante La courroie ne glissant passur les roues on peut exprimer la vitesse du point lorsqursquoil est en contact avec la roue de rayonR1 (vc = R1vo) et lorsqursquoil est en contact avec la roue de rayon R2 (vc = R2v2) On a doncR1vo = R2v2 rArr v2 = vo

= 30 radsminus1

Sur les roues le point C a un mouvement circulaire uniforme Lrsquoacceacuteleacuteration est donc normaleet centripegravete (vers le centre des roues) et a pour valeur

Roue n1 a1 = R1v2o = 1620 radsminus2 Roue n2 a2 = R2v2

2 = a1R1R2

= 270 radsminus2 Entreles deux roues le mouvement est rectiligne uniforme et lrsquoacceacuteleacuteration est donc nulle

10 La vitesse drsquoascension verticale vo eacutetant constante on peut eacutecrire que le mouvement projeteacutesur lrsquoaxe des z est rectiligne uniforme On a d2 z

d t2 = 0 d zd t = vo z = vot (avec z = 0 pour t = 0)

Suivant lrsquoaxe des x on a vx = d xd t = z

et x = vot2

2t(le mouvement est uniformeacutement

acceacuteleacutereacute)

Lrsquoeacutequation de la trajectoire est x = z2

2tvoet correspond agrave une portion de parabole

Le vecteur acceacuteleacuteration est donneacute par minusrarra = d2 xd t2

minusrarru x + d2 zd t2

minusrarru y = vot

minusrarru x

Le vecteur vitesse est donneacute par minusrarrv = ztminusrarru x + vo

minusrarru y Le vecteur vitesse eacutetant tangent agrave latrajectoire on en deacuteduit lrsquoexpression du vecteur unitaire tangent

minusrarrut =minusrarrv

minusrarrv = t(z2 + v2o t

2)minus12(ztminusrarru x + vo

minusrarru y)

Le vecteur normal agrave la trajectoire se deacuteduit de minusrarrut par

minusrarrut minusrarrun = 0 rArr minusrarrun = t(z2 + v2

o t2)minus12(vo

minusrarru x minusztminusrarru y)

at = minusrarra minusrarrut = t(z2 + v2o t2)minus12 voz

t2 = (z2 + v2o t2)minus12 voz

an = minusrarra minusrarrun = (z2 + v2o t2)minus12v2

11 minusrarrOM = rminusrarrur rArr minusrarr

V (M) = rminusrarrur + ruminusrarruu M parcourt lrsquoaiguille drsquoun mouvement uniforme avec lavitesse Vo constante On a donc r = Vo rArr r = Vot (agrave t = 0 r = 0) et u = v = minus p

30 radsminus1

(mouvement de lrsquoaiguille des secondes un tour en 60 secondes dans le sens inverse du senstrigonomeacutetrique)

En 60 secondes la mouche effectue 20 cm On a donc Vo = 2060 = 1

3 cmsminus1

minusrarrV (M) = Vo(minusrarrur minus p

30 tminusrarruu )

rArr minusrarrV (t = 0) = Vo

minusrarrur =13minusrarru y

minusrarrV (t = 15) = Vo(minusrarrur minus p

2minusrarruu ) =

(minusrarru x minusp

2minusrarru y)

minusrarrV (t = 30) = Vo(minusrarrurminuspminusrarruu ) = 1

3 (minusminusrarru yminuspminusrarru x) minusrarrV (t = 45) = Vo(minusrarrurminus 3

2 pminusrarruu ) = 13 (minusminusrarru x+ 3

2 pminusrarru y)minusrarrV (t = 60) = Vo(minusrarrur minus 2pminusrarruu ) = 1

3 (minusrarru y + 2pminusrarru x)

Il est alors possible de tracer les diffeacuterents vecteurs vitesse tous tangents agrave la trajectoire Lrsquoallurede la trajectoire est une spiraleminusrarra (M) = Vo(minusrarrur + vtminusrarruu )prime = Vo(vminusrarruu + vminusrarruu + vt(minusvminusrarrur)) = Vo(minusv2tminusrarrur + 2vminusrarruu )minusrarra (M) = p

30 Vo(minus p30 tminusrarrur minus 2minusrarruu ) = p 1

90 (minus p30 tminusrarrur minus 2minusrarruu ) (en cmsminus2)

minusrarra (t = 0) = 2Vovminusrarruu = minus2Vov

minusrarru x = p45minusrarru x

minusrarra (t = 15) = Vo(minusv215minusrarru x + 2vminusrarru y) = minus p

2minusrarru x + 2minusrarru y)

minusrarra (t = 30) = Vo(v230minusrarru y + 2vminusrarru x) = minus p90 (minuspminusrarru y + 2minusrarru x)

minusrarra (t = 45) = Vo(+v245minusrarru x minus 2vminusrarru y) = p90 ( 3

2 pminusrarru x + 2minusrarru y)minusrarra (t = 60) = Vo(minusv260minusrarru y minus 2vminusrarru x) = p

90 (minus2pminusrarru y + 2minusrarru x)

12 minusrarrv = aminusrarruu + bminusrarru y et minusrarru y = sin uminusrarrur + cos uminusrarruu

240 300

Figure 124

rArr minusrarrv = b sin uminusrarrur +(a+b cos u)minusrarruu = rminusrarrur +ruminusrarruu

d t = b sin u et r d ud t = a + b cos u

rArr r d u

a + b cos u

b sin urArr d r

b sin u

a + b cos ud u

On integravegre chaque membre de lrsquoeacutegaliteacute (avecC = minus ln ro une constante drsquointeacutegration)

On obtient

ln r + C =

b sin u

a + b cos ud u = ln r minus ln ro

= minus ln(a + b cos u) = ln r

Lrsquoeacutequation de la trajectoire est r(u) = roa+b cos u

Avec a = 3b et pour u = 0 on a r(0) = 1 = ro3b+b rArr ro = 4b

r(u) = 43+cos u

= 431+ 1

3 cos u Ceci est lrsquoeacutequation drsquoune ellipse en coordonneacutees polaires (allure de

la trajectoire voir figure 124)

13 1) Voir figure 125

ρurarr

turarr

nurarr

Figure 125

2) r = roevt rArr r = vr et r = v2r

La vitesse angulaire est constante u = v rArr u = 0minusrarrv = rminusrarrur + ruminusrarruu = rv(minusrarrur + minusrarruu )

rArr angle a=(minusrarrv minusrarrur ) = 45 =angle (minusrarrut minusrarrur )

minusrarra = (r minus ru2)minusrarrur + (2ru + ru)minusrarruu

= (v2r minus v2r)minusrarrur + 2rv2minusrarruu

= 2rv2minusrarruu

Lrsquoangle entre minusrarra et (minusrarrut ou minusrarrun ) est donc aussi de 45

(voir figure 125)

minusrarrv =radic

2rv et minusrarra = 2rv2

3) an = minusrarra minusrarrun = minusrarra cos 45 =radic

2rv2 =minusrarrv 2

R = 2r2v2

R rArr R =radic

4) minusrarrv =radic

2ru = v = cste rArr d ud t = v

roradic

2eu rArr eu d u = vroradic

eu = vroradic

2t + C Si pour t = 0 u = 0 alors eu = v

roradic

2t + 1

On a donc u = ln( vroradic

2t + 1) et u = v

roradic

vroradic

2t + 1

rdquominus1

CHAPITRE 2

CHANGEMENTS DE REacuteFEacuteRENTIELS

Preacute-requis bull Avoir compris ce qursquoest un reacutefeacuterentielbull Savoir deacuteriver un vecteur unitaire tournant

Objectif I Savoir reconnaicirctre le type de mouvement que peut avoir un reacutefeacuterentielpar rapport agrave un autre

I Savoir deacuteriver un vecteur dans des reacutefeacuterentiels diffeacuterentsI Connaicirctre la loi de composition des vitessesI Connaicirctre la loi de composition des acceacuteleacuterations

Dans les mouvements de rotation que nous allons eacutetudier nous ne consideacutererons que larotation autour drsquoun seul axe

1 MOUVEMENTS DrsquoUN REacuteFEacuteRENTIEL PAR RAPPORT Agrave UN AUTRE

Dans ce qui va suivre nous consideacuterons deux reacutefeacuterentiels R et Rprime Le premier est carac-teacuteriseacute par un de ses repegraveres (O x y z) avec la base correspondante

(minusrarru xminusrarru y

minusrarru z) et le

second par (Oprime xprime yprime zprime) avec la base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

) Les axes Oprimexprime Oprimeyprime Oprimezprime sont choisis

de sorte agrave ecirctre parallegraveles respectivement aux axes Ox Oy Oz agrave un instant quelconque quipeut ecirctre un instant origine Cette condition valide agrave t = 0 nrsquoest plus vraie en geacuteneacuteralquand le temps srsquoeacutecoule puisque nous consideacuterons que Rprime se deacuteplace par rapport agrave RNous allons cependant preacuteciser ce que devient lrsquoorientation des axes de ces deux reacutefeacuteren-tiels dans quelques cas importants

11 Le mouvement de translationa) Deacutefinition

Nous dirons que le reacutefeacuterentiel Rprime est en mouvement de translation par rapport au reacutefeacute-rentiel R si les axes du reacutefeacuterentiel Rprime restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel R au cours dumouvement Si le point Oprime est en mouvement par rapport agrave R tous les points constituantle reacutefeacuterentiel Rprime se deacuteplacent de la mecircme quantiteacute vectorielle que Oprime Conseacutequences

bull Agrave tout instant on a les eacutegaliteacutes minusrarru x = minusrarru primexminusrarru y = minusrarru prime

yminusrarru z = minusrarru prime

z La base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)est donc une base fixe dans Rprime mais aussi dans R Le vecteur

minusminusrarrOOprime correspond au vecteur

translationbull Le mouvement de translation de Rprime par rapport agrave R peut ecirctre rectiligne circulaire ou

quelconque selon la nature du mouvement de lrsquoorigine Oprime du reacutefeacuterentiel Rprime

Vecteur translation

y prime

uzrarr

uyrarr

uxrarr

uxrarr uy

Figure 21 bull Translation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R

b) Translation rectiligne

Le point Oprime suit une trajectoire rectiligne par rapport au reacutefeacuterentiel R Un exemple simpleest celui ougrave le reacutefeacuterentiel Rprime est lieacute agrave un tapis roulant R eacutetant lieacute agrave la Terre Dans cesconditions on peut eacutecrire la vitesse du point Oprime par rapport agrave R en choisissant lrsquoaxe Oxdans la direction du mouvement de translation

minusrarrV OprimeR = VOprime

minusrarru x = VOprimeminusrarru prime

(R) (R)

OO prime

Figure 22 bull Mouvement de translation rectiligne drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime parrapport agrave un reacutefeacuterentiel R

La vitesse VOprime peut varier au cours du temps

Encart 21 Translation rectiligne uniformeLe mouvement du point Oprime est un mouvement rectiligne et uniforme On a donc

minusrarrV OprimeR = minusrarrcste =

dminusminusrarrOOprime

d t=rArr

minusminusrarrOOprime = VOprime tminusrarru x +

minusrarrC

Le vecteurminusrarrC est une constante qui deacutepend des conditions initiales du mouvement En

particulier si agrave t = 0 le point Oprime est confondu avec le point O ce vecteur est nul

Changements de reacutefeacuterentiels 31

c) Translation circulaire

Le point Oprime deacutecrit un cercle autour drsquoun point fixe de R qui peut ecirctre choisi comme origineO du repegravere de R Son mouvement est caracteacuteriseacute par le vecteur vitesse angulaire minusrarrv OprimeRLrsquoexpression du vecteur vitesse du point Oprime par rapport au reacutefeacuterentiel R est donc

minusrarrV OprimeR = minusrarrv OprimeR and

minusminusrarrOOprime

x prime

y prime

O prime

uxrarr

uyrarr

uzrarr

(R prime)

RO primeωrarr

Figure 23 bull Translation circulaire drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave unreacutefeacuterentiel R Les axes de Rprime restent parallegraveles agrave ceux de R lrsquoorigine Oprime deacutecrit

un mouvement circulaire

Exemple Si on considegravere la nacelle drsquoune grande roue drsquoune fecircte foraine elle constitue unreacutefeacuterentiel qui est en translation circulaire par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre le fond dela nacelle restant toujours horizontal (figure 23)

Translation circulaire uniforme Le vecteur vitesse angulaire minusrarrv OprimeR est un vecteurconstant

d) Translation quelconque

Le point Oprime a un mouvement quelconque curviligne uniforme ou varieacute mais les axes durepegravere de Rprime restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel R (figure 24)

12 Le mouvement de rotationNous dirons qursquoun reacutefeacuterentiel Rprime est en rotation par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R si les axesdu reacutefeacuterentiel Rprime tournent par rapport agrave ceux du reacutefeacuterentiel R

Le point Oprime origine du repegravere du reacutefeacuterentiel Rprime est immobile par rapport agrave R Nousconsideacutererons la rotation autour drsquoun seul axe cette rotation eacutetant caracteacuteriseacutee par levecteur vitesse angulaire de rotation du reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave R

minusrarrVRprimeR

uxrarr

uyrarruz

z prime

y prime

O prime

(R prime)zrsquo

x prime

y prime

O prime

(R prime)z

x prime

y prime

x prime

Figure 24 bull Mouvement de translation quelconque

Dans ces conditions on peut choisir lrsquoorigine O confondue avec le point Oprime et choisir unrepegravere (O x y z) de sorte que le vecteur vitesse angulaire

minusrarrVRprimeR soit de la forme

minusrarrVRprimeR = VRprimeR

minusrarru z

Lrsquoaxe Oprimezprime peut ecirctre confondu avec lrsquoaxe Oz et donc minusrarru z = minusrarru primez Les axes Oprimexprime et Oprimeyprime sont

alors en rotation autour de lrsquoaxe Oz Dans ces conditions la base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

) qui est

la base fixe du reacutefeacuterentiel Rprime est une base mobile dans R Les vecteurs minusrarru primex et minusrarru prime

y tournentautour de lrsquoaxe Oz au cours du temps

uyrarr

ux primerarr

uxrarr

x prime

y prime

z z prime

uzrarr

uz prime

uy primerarr

primeΩrarr

O O prime

RRperpprimeΩ

uy primerarr

uyrarr

x prime

y prime

uxrarr

ux primerarr

Figure 25 bull Mouvement de rotation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R

Si u est lrsquoangle que fait minusrarru primex avec lrsquoaxe Ox du reacutefeacuterentiel R (figure 25) nous avons alors

u = VRprimeR

La deacuterivation du vecteur unitaire tournant minusrarru primex conduit agrave (voir 5 de lrsquoannexe 1)

dminusrarru primex

d u= minusrarru prime

y =rArr dminusrarru primex

= uminusrarru primey = VRprimeR

minusrarru primey

Si nous nous placcedilons dans le reacutefeacuterentiel R la deacuterivation des vecteurs de la base donne

d minusrarru primex

= VRprimeRminusrarru prime

y = VRprimeR(minusminusrarru prime

x and minusrarru primez

minusrarrVRprimeR and minusrarru prime

d minusrarru primey

= minusVRprimeRminusrarru prime

x = VRprimeR

(minusrarru primez and minusrarru prime

d minusrarru primez

=minusrarr0

Dans le reacutefeacuterentiel Rprime nous aurions

dminusrarru primex

)Rprime

= 0dminusrarru prime

)Rprime

Il est donc important de preacuteciser agrave chaque fois si la deacuterivation est effectueacutee dans R oudans Rprime Ceci peut ecirctre speacutecifieacute en indice au niveau du symbole de deacuterivation

Enfin on peut remarquer que la base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)du reacutefeacuterentiel Rprime se confond avec la

base(minusrarru r

minusrarru uminusrarru z) base mobile des coordonneacutees cylindriques du repegravere (O x y z)

13 Mouvement quelconque

Un mouvement quelconque peut ecirctre consideacutereacute comme une combinaison drsquoun mouve-ment de translation et de rotation On peut prendre lrsquoexemple suivant de la roue drsquounebicyclette qui se deacuteplace le long drsquoun axe Ox (figure 26) et deacutefinir trois reacutefeacuterentiels pos-sibles

bull le reacutefeacuterentiel R terrestre lieacute agrave la Terre sur laquelle se deacuteplace la bicyclette bull le reacutefeacuterentiel R1 lieacute agrave la bicyclette bull enfin un reacutefeacuterentiel R2 lieacute aux rayons de la roue et agrave la valve de la chambre agrave air

uyrarr rarr

uy1rarr

y1 ux2

rarruy2

uxrarr

uy1rarr

rarrO1

ux1 ux1

Figure 26 bull Mouvement drsquoune roue de bicyclette

Le reacutefeacuterentiel R1 (bicyclette) est en translation rectiligne par rapport au reacutefeacuterentiel Rterrestre Le reacutefeacuterentiel R2 (rayon de la roue) peut ecirctre caracteacuteriseacute par le repegravere (O1 x2 y2)Ce repegravere est en rotation par rapport agrave R1 Le mouvement du reacutefeacuterentiel R2 par rapportau reacutefeacuterentiel R peut donc se deacutecomposer en un mouvement de translation rectiligne etun mouvement de rotation

Avec cet exemple simple on srsquoaperccediloit que

Le mouvement quelconque drsquoun reacutefeacuterentiel par rapport agrave un autre peut toujours seramener agrave une composition de mouvement de translation et de rotation

Drsquoougrave lrsquoimportance de ces deux cas que nous allons eacutetudier maintenant

2 EacuteTUDE DE LA VITESSE

21 Reacutefeacuterentiel Rprime en translation par rapport agrave Ra) Position drsquoun point M

Le repegravere du reacutefeacuterentiel Rprime en translation par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R est choisi desorte que les axes Oprimexprime Oprimeyprime et Oprimezprime soient respectivement parallegraveles aux axes Ox Oy et Oz durepegravere caracteacuterisant le reacutefeacuterentiel R Lrsquoorigine Oprime lieacutee agrave Rprime a un mouvement quelconquepar rapport agrave R

uxrarr

uyrarruz

(R prime)z

x prime

y prime

O prime

(Rrsquo)z prime

x prime

y prime

O prime

(R prime)z

x prime

y prime

La base fixe de R(minusrarru x

minusrarru yminusrarru z) est aussi une base fixe de Rprime

Dans le reacutefeacuterentiel R les coordonneacutees du point M sont (x y z) Dans le reacutefeacuterentiel Rprime elles

sont (xprime yprime zprime) La relation de Chasles appliqueacutee aux vecteursminusrarrOM et

minusminusrarrOprimeM srsquoeacutecrit

minusrarrOM =

minusminusrarrOOprime +

minusminusrarrOprimeM

avec minusrarrOM = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z et

minusminusrarrOprimeM = xprimeminusrarru x + yprimeminusrarru y + zprimeminusrarru z

Encart 22 Transformation de GalileacuteeConsideacuterons le cas particulier ougrave Rprime est en mouvement de translation rectiligne parrapport agrave un reacutefeacuterentiel R Nous pouvons alors choisir les axes des repegraveres de sorteque le mouvement de translation soit colineacuteaire agrave lrsquoaxe des y Dans ces conditions levecteur vitesse du point Oprime par rapport au reacutefeacuterentiel R peut srsquoeacutecrire

minusrarrv OprimeR =dminusminusrarrOOprime

d t= VOprimeminusrarru y = VOprimeminusrarru prime

(R prime)

O primeO y

x prime

z z prime

ROV primerarr

uzrarr

uxrarr

uyrarr

uxrarr

uyrarr

uzrarr

Figure 28 bull Mouvement de translation rectiligne

Si le reacutefeacuterentiel Rprime est en translation rectiligne uniforme par rapport agrave R on peut eacutecrireque

minusminusrarrOOprime = votminusrarru y

On en deacuteduit donc que les coordonneacutees du point M dans R srsquoexpriment en fonction descoordonneacutees du point M dans Rprime par la transformation suivante dite transformationde Galileacutee

xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z = votminusrarru y + xprimeminusrarru x + yprimeminusrarru y + zprimeminusrarru z

Cette relation peut srsquoeacutecrire en utilisant la notion de quadrivecteur (position temps)et en se rappelant que le temps en meacutecanique classique est une grandeur absolue sousla forme matricielle suivante ⎡⎢⎣ x

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 1 0 0 00 1 0 vo0 0 1 00 0 0 1

⎤⎥⎦⎡⎢⎣ xprime

yprime

zprime

tprime

⎤⎥⎦

b) Loi de composition des vitesses

Par deacutefinition nous pouvons eacutecrire que

d xd t

minusrarru z

minusrarrv MRprime =dminusminusrarrOprimeMd t

)Rprime

=d(xprimeminusrarru x + yprimeminusrarru y + zprimeminusrarru z)

d xprime

d tminusrarru x +

d yprime

d tminusrarru y +

d zprime

d tminusrarru z

etdminusminusrarrOOprime

= minusrarrv OprimeR = minusrarrv RprimeR

En deacuterivant par rapport au temps dans le reacutefeacuterentiel R la relation de Chasles qui donnela position du point M il vient

dminusrarrOMd t

=dminusminusrarrOOprime

+dminusminusrarrOprimeMd t

Comme les axes de Rprime restent parallegraveles agrave ceux de R la deacuteriveacutee deminusminusrarrOprimeM dans R est iden-

tique agrave la deacuteriveacutee deminusminusrarrOprimeM dans Rprime

dminusminusrarrOprimeMd t

=dminusminusrarrOprimeMd t

)Rprime

ce qui conduit agrave la relation suivante

dminusrarrOMd t

)Rprime

soit minusrarrv MR = minusrarrv OprimeR + minusrarrv MRprime

Cette relation entre les vitesses est formellement analogue agrave la relation de Chasles surlrsquoaddition des vecteurs et est connue sous lrsquoappellation loi de composition des vitessesOn peut remarquer que si le point M eacutetait fixe dans Rprime on aurait

minusrarrv MR = minusrarrv OprimeR

Pour cette raison minusrarrv OprimeR = minusrarrv RprimeR est aussi appeleacutee vitesse drsquoentraicircnement et noteacutee minusrarrv e

22 Reacutefeacuterentiel Rprime en rotation par rapport agrave R

Consideacuterons maintenant le cas ou le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime zprime t) avec(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)fixe de Rprime est en mouvement de rotation par rapport au reacutefeacuterentiel R(O x y z t) avec(minusrarru x

fixe de R Nous supposons comme lrsquoindique la figure 29 que le point Oprime estconfondu avec O

rarrrarr

x prime

y prime

z z prime

rarr rarrrarr

primeΩrarr

x prime

y prime

θuyux prime

uz uz prime

uy prime

ux prime

Nous faisons en outre lrsquohypothegravese que lrsquoaxe de rotation de Rprime par rapport agrave R est lrsquoaxe desz ce qui permet drsquoeacutecrire que la vitesse angulaire de rotation de Rprime par rapport agrave R est

minusrarrVRprimeR =

d tminusrarru z

Il est alors tregraves important de comprendre que dans le reacutefeacuterentiel Rprime les vecteurs de base(minusrarru primexminusrarru prime

yminusrarru prime

)sont constants puisqursquoils tournent avec les axes du reacutefeacuterentiel Pour srsquoen

assurer il suffit de deacuteterminer agrave tout instant lrsquoangle fait par ces vecteurs et les axes du

reacutefeacuterentiel et de constater qursquoil est toujours nul Les vecteurs(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)sont donc

fixes dans Rrsquo Drsquoautre part le reacutefeacuterentiel R peut ecirctre rapporteacute soit agrave la base(minusrarru x

fixe de R soit agrave la base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)mobile de R Dans ce cas les vecteurs minusrarru prime

xminusrarru prime

correspondent comme nous lrsquoavons vu au paragraphe 12 aux vecteurs minusrarru rminusrarru u de la base

polaire de R Ils ne sont plus constants dans R puisqursquoils tournent agrave la vitesse angulaireminusrarrVRprimeR par rapport agrave R Toute la difficulteacute du calcul qui suit repose sur la compreacutehensionde ce point

Quel que soit le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude la position du point M peut srsquoeacutecrire

minusrarrOM = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru zminusrarrOM = xprimeminusrarru prime

x + yprimeminusrarru primey + zminusrarru prime

La vitesse du point M de coordonneacutees (x y z) dans R(O x y z t) est

=d xd t

minusrarru z

alors que la vitesse du mecircme point M dans Rprime(Oprime xprime yprime zprime t) srsquoeacutecrit

minusrarrv MRprime =dminusrarrOMd t

)Rprime

xprimeminusrarru primex + yprimeminusrarru prime

y + zminusrarru primez

Dans Rprime les vecteurs de base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)sont constants ce qui conduit agrave

minusrarrv MRprime =d xprime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

Nous nous replaccedilons maintenant dans R mais nous exprimons la position du point M dans

la base(minusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

) La vitesse du point M srsquoeacutecrit alors

minusrarrv MR =d(xprimeminusrarru prime

soit minusrarrv MR =

d xprime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

z + xprimedminusrarru prime

d t+ yprime

dminusrarru primey

d t+ zprime

dminusrarru primez

En utilisant les reacutesultats du paragraphe 12 de ce chapitre on obtient

minusrarrv MR =d xprime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

z + xprimeuminusrarru primey minus yprimeuminusrarru prime

En remarquant que

uminusrarru primey =

x et minus uminusrarru primex =

on obtient finalement

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

z + xprimeminusrarrVRprimeR and minusrarru prime

x + yprimeminusrarrVRprimeR and minusrarru prime

Nous constatons ensuite que

minusrarrVRprimeR and xprimeminusrarru prime

x +minusrarrVRprimeR and yprimeminusrarru prime

y =minusrarrVRprimeR and

(xprimeminusrarru prime

x + yprimeminusrarru primey

)Comme le vecteur vitesse instantaneacute de rotation est dirigeacute selon minusrarru prime

z nous avons aussi

minusrarrVRprimeR and

x + yprimeminusrarru primey + zprimeminusrarru prime

minusrarrVRprimeR and minusrarr

Nous pouvons donc conclure que

dminusrarrOMd t

=dminusrarrOMd t

)Rprime

+minusrarrVRprimeR and minusrarr

OM (21)

ce qui montre que

Deacuteriver le vecteurminusrarrOM dans R nrsquoest pas eacutequivalent agrave le deacuteriver dans Rprime

En posant minusrarrv RprimeR =minusrarrVRprimeR and

minusrarrOM la loi de composition des vitesses dans deux reacutefeacuterentiels

en rotation srsquoeacutecrit minusrarrv MR = minusrarrv RprimeR + minusrarrv MRprime

avec minusrarrv RprimeR appeleacutee vitesse drsquoentraicircnement crsquoest-agrave-dire la vitesse par rapport agrave R qursquoau-rait le point M srsquoil eacutetait fixe dans Rprime

La loi preacuteceacutedente a eacuteteacute appliqueacutee au vecteur positionminusrarrOM Elle est tout agrave fait geacute-

neacuterale et peut srsquoappliquer agrave nrsquoimporte quel vecteurminusrarrX Ainsi si

minusrarrX est un vecteur

quelconque on a drsquoapregraves (21)

dminusrarrX

minusrarrX

)Rprime

+minusrarrV RprimeR and minusrarr

X (22)

Nous insistons tregraves fortement sur cette derniegravere relation qui montre que

Si un vecteurminusrarrX appartient agrave deux reacutefeacuterentiels R et Rprime en rotation lrsquoun par rapport

agrave lrsquoautre la deacuteriveacutee du vecteurminusrarrX dans R est diffeacuterente de sa deacuteriveacutee dans Rprime

Par contre il est clair que si deux reacutefeacuterentiels R et Rprime sont en mouvement de transla-

tion lrsquoun par rapport agrave lrsquoautre(minusrarr

V RprimeR =minusrarr0)

la deacuteriveacutee drsquoun vecteurminusrarrX dans lrsquoun

est eacutegale agrave la deacuteriveacutee de ce mecircme vecteurminusrarrX dans lrsquoautre

23 Cas geacuteneacuteralCette relation peut ecirctre geacuteneacuteraliseacutee agrave un mouvement combinant une translation et unerotation en faisant intervenir la vitesse de Oprime par rapport agrave R ainsi que le vecteur vitesseangulaire

minusrarrVRprimeR caracteacuterisant la rotation de Rprime par rapport agrave R En partant de

minusrarrOM =

on voit que

dminusrarrOMd t

Or la deacuteriveacutee deminusminusrarrOprimeM dans R peut srsquoexprimer agrave partir de la deacuteriveacutee de ce mecircme vecteur

dans Rprime drsquoougrave dminusrarrOMd t

)Rprime

+minusrarrVRprimeR and

Nous obtenons ainsi la loi de composition des vitesses dans un cas geacuteneacuteral minusrarrv MR = minusrarrv OprimeR + minusrarrv MRprime +

minusrarrV RprimeR and minusminusrarr

OprimeM

On distingue dans cette expression deux termes

bull minusrarrv MRprime qui repreacutesente la vitesse de M par rapport agrave Rprime et que lrsquoon appelle vitesserelative de M par rapport agrave Rprime

bull minusrarrv OprimeR +minusrarrVRprimeRand

minusminusrarrOprimeM qui est la vitesse drsquoentraicircnement de M dans son mouvement par

rapport agrave R Cette vitesse est la somme de deux termes Le premier terme correspondagrave la vitesse drsquoentraicircnement due au deacuteplacement de lrsquoorigine Oprime (terme de translation)et le deuxiegraveme correspond agrave la vitesse drsquoentraicircnement due agrave la rotation de Rprime parrapport agrave R (terme de rotation)

Encart 23 Le mouvement cycloiumldalNotre but est de montrer comment il est possible drsquoutiliser la loi de composition desvitesses afin de preacutedire la vitesse drsquoun point dans un reacutefeacuterentiel R connaissant sa vitessedans un reacutefeacuterentiel Rprime Agrave ce titre nous consideacuterons le mouvement de la valve M de laroue drsquoune bicyclette de rayon R Ce mouvement est le reacutesultat de la composition drsquoun

mouvement de translation de la fourche et drsquoun mouvement de rotation de la roue Lemouvement eacutetant composeacute il est difficile drsquoeacutecrire lrsquoexpression de la vitesse de la valvedans le reacutefeacuterentiel R fixe Crsquoest pourquoi il est utile de deacutecomposer le mouvement enfaisant intervenir un autre reacutefeacuterentiel dans lequel le mouvement de la valve est simpleNous allons agrave ce titre donner deux exemples qui montrent comment il est possible detirer les avantages de la loi de composition des vitesses

rarrrarr

y1 rarrrarr

rarrO1

ux1 ux1

Figure 210 bull Mouvement de la valve drsquoune roue de bicyclette

Nous consideacuterons dans les exemples qui suivent les reacutefeacuterentiels suivants (fi-gure 210)

bull R(O x y z t) avec(minusrarru x

bull R1(O1 x1 y1 z1 t) avec

(minusrarru x2minusrarru y2)

base polaire mobile de R1bull R2(O1 x2 y2 z2 t) avec

base fixe de R2

Nous observons que la position du point M est deacutefinie par

minusminusrarrO1M = Rminusrarru x2

(minusrarru x1

minusrarru x2

)= u(t)

Avant de faire un bon usage de la loi de composition des vitesses il est utile de se poserles questions suivantes

bull que fait le reacutefeacuterentiel Rprime par rapport au reacutefeacuterentiel R bull que fait le point M dans le reacutefeacuterentiel Rprime

Consideacuterons tout drsquoabord que Rprime srsquoidentifie au reacutefeacuterentiel R1 En reacuteponse agrave la premiegraverequestion nous observons que le reacutefeacuterentiel R1 se deacuteplace avec le centre de la roue O1(fourche) et est en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse minusrarrv O1R Nous

concluons donc queminusrarrVR1R =

minusrarr0

Agrave la deuxiegraveme question nous reacutepondons que le point M est en mouvement de rotationuniforme dans R1

En appliquant la loi de composition des vitesses qui se reacutesume agrave

minusrarrv MR = minusrarrv MR1 + minusrarrv O1R +minusrarrVR1R and minusminusrarr

nous voyons que le dernier terme est nul En utilisant la base mobile(minusrarru x2

minusrarru y2)

dans laquelleminusminusrarrO1M = Rminusrarru x2 nous voyons que

minusrarrv MR = minusrarrv MR1 + minusrarrv O1R = minusrarrv O1R +dminusminusrarrO1Md t

minusrarrv MR = minusrarrv O1R +d(Rminusrarru x2

d t= minusrarrv O1R + Ruminusrarru y2

Consideacuterons maintenant le reacutefeacuterentiel R2 lieacute agrave la valve Ce reacutefeacuterentiel est en rotationtranslation par rapport agrave R donc dans ce cas

minusrarrVR2R = minusrarr

0 etminusrarrVR2R = uminusrarru z

De plus la valve M est immobile dans R2 donc minusrarrv MR2 =minusrarr0

On obtient donc

minusrarrv MR = minusrarrv O1R +minusrarrVR2R and minusminusrarr

O1M = minusrarrv O1R + VR2Rminusrarru z and Rminusrarru x2 = minusrarrv O1R + Ruminusrarru y2

Nous retrouvons bien eacutevidemment la mecircme expression puisqursquoen utilisant le reacutefeacuteren-tiel R1 nous nous sommes placeacutes dans la mecircme base (minusrarru x2

minusrarru y2)

3 EacuteTUDE DE LrsquoACCEacuteLEacuteRATION

31 Loi de composition des acceacuteleacuterationsNous cherchons agrave exprimer lrsquoacceacuteleacuteration du point M par rapport agrave R connaissant lescaracteacuteristiques du mouvement par rapport agrave Rprime Nous supposons que le reacutefeacuterentiel Rprime esten mouvement de translation rotation par rapport agrave R La loi de composition des vitessesnous donne

minusrarrv MR = minusrarrv MRprime + minusrarrv OprimeR +minusrarrVRprimeR and

et par deacutefinition nous avons

Il en reacutesulte que

minusrarra MR =d(minusrarrv MRprime + minusrarrv OprimeR +

minusminusrarrOprimeM)

⎞⎠R

On obtient donc

minusrarra MR = minusrarra OprimeR +dminusrarrv MRprime

+minusrarrVRprimeR and d

minusminusrarrOprimeMd t

+dminusrarrVRprimeR

d tandminusminusrarrOprimeM (23)

Il importe agrave ce stade de commenter les regravegles de deacuterivation Nous voyons que par deacute-finition nous deacuterivons pour obtenir lrsquoacceacuteleacuteration de M par rapport agrave R la vitesse de

M dans R par rapport au temps En faisant cette opeacuteration il apparaicirct dans le secondmembre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs lieacutes au reacutefeacuterentiel Rprime comme

par exemple le vecteurminusminusrarrOprimeM ou encore le vecteur minusrarrv MRprime Nous souhaitons faire apparaicirctre

leur deacuteriveacutee dans Rprime et nous utilisons donc agrave cette fin la regravegle de deacuterivation (22)

dminusrarrX

=dminusrarrX

)Rprime

Appliqueacutee aux vecteursminusminusrarrOprimeM et minusrarrv MRprime cette regravegle conduit agrave

= dminusminusrarrOprimeMd t

)Rprime

d minusrarrv MRprime

=d minusrarrv MRprime

)Rprime

+minusrarrVRprimeR and minusrarrv MRprime

Nous concluons donc que

= minusrarrv MRprime +minusrarrVRprimeR and

= minusrarra MRprime +minusrarrVRprimeR and minusrarrv MRprime

Le report de ces expressions dans lrsquoeacutequation (23) conduit agrave eacutecrire le vecteur acceacute-leacuteration de M par rapport agrave R sous la forme

minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarrae + minusrarrac (24)

avec minusrarrae = minusrarra OprimeR +minusrarrV RprimeR and

(minusrarrV RprimeR and minusminusrarr

OprimeM)

+ dminusrarrV RprimeR

d t and minusminusrarrOprimeM

minusrarrac = 2minusrarrV RprimeR and minusrarrv MRprime

Le reacutesultat ci-dessus constitue la loi de composition des acceacuteleacuterations

Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression

bull le premier terme du second membre minusrarra MRprime qui repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration de M dansRprime ou acceacuteleacuteration relative

bull le dernier terme du second membre qui repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou ac-ceacuteleacuteration compleacutementaire minusrarrvc =

minusrarr2VRprimeR and minusrarrv MRprime Elle nrsquoexiste que si le point est M

en mouvement dans Rprime et si Rprime est un reacutefeacuterentiel en rotation par rapport agrave R bull le terme intermeacutediaire qui repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarrae Cette acceacuteleacute-

ration correspondrait agrave lrsquoacceacuteleacuteration qursquoaurait le point M par rapport agrave R srsquoil eacutetait fixedans Rprime Dans ce cas les acceacuteleacuterations relative et compleacutementaire sont nulles

Encart 24 Application de la loi de composition des acceacuteleacuterationsNous cherchons agrave comprendre comment utiliser lrsquoeacutequation (24) Reprenons lrsquoexempledu mouvement cycloiumldal illustreacute par la figure 210 et consideacuterons les trois reacutefeacuterentielssuivants

fixe de Rbull R1(O1 x1 y1 z1 t) avec

base polaire mobile de R1bull R2(O2 equiv O1 x2 y2 z2 t) avec

base fixe de R2

Nous supposons que la roue se deacuteplace drsquoun mouvement rectiligne uniforme ce quiimpose minusrarra OprimeR =

minusrarr0

Nous commenccedilons par utiliser les reacutefeacuterentiels R et R1 Puisque R1 est en translationpar rapport agrave R le vecteur

minusrarrVR1R et le terme drsquoacceacuteleacuteration de Coriolis sont nuls Il

en va de mecircme de lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement Nous en deacuteduisons que

minusrarra MR = minusrarra MR1

Comme nous avons minusminusrarrO1M =

il est facile de voir que

minusrarra MR = minusrarra MR1 = minusRu2minusrarru x2

Dans le cas ougrave nous consideacuterons les reacutefeacuterentiels R et R2 lieacute agrave la valve lrsquoacceacuteleacuterationde Coriolis est nulle car le point M (valve) est fixe dans R2 ainsi que lrsquoacceacuteleacuterationrelative Par contre R2 est en mouvement de rotation par rapport agrave R et

minusrarrVR2R = uminusrarru z

Nous obtenons alors le reacutesultat suivant

minusrarra MR =minusrarrVRprimeR and

(minusrarrVRprimeR and

= minusRu2minusrarru x2

Comme dans le cas de lrsquoeacutetude de la vitesse nous retrouvons bien les mecircmes expres-sions que lrsquoon utilise le reacutefeacuterentiel R1 ou le reacutefeacuterentiel R2 en raison de lrsquoidentiteacute de labase de ces deux reacutefeacuterentiels

Agrave RETENIR

Mouvement de translation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R

Les axes du reacutefeacuterentiel Rprime restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel R

La translation peut ecirctre rectiligne circulaire ou quelconque suivant le mouvement delrsquoorigine Oprime du reacutefeacuterentiel Rprime

Mouvement de rotation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R

Les axes du reacutefeacuterentiel Rprime tournent par rapport agrave ceux du reacutefeacuterentiel R (vitesse angu-laire

minusrarrVRprimeR)

Loi de composition des vitesses

minusrarrv MR = minusrarrv RprimeR + minusrarrv MRprime

avec minusrarrv RprimeR = minusrarrv OprimeR +minusrarrVRprimeR and

minusminusrarrOprimeM (vecteur vitesse drsquoentraicircnement)

Loi de composition des acceacuteleacuterations

minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarrae + minusrarrac

avec minusrarrae = minusrarra OprimeR +minusrarrVRprimeR and

d t andminusminusrarrOprimeM (vecteur acceacuteleacuteration

drsquoentraicircnement)

et minusrarrac = 2minusrarrVRprimeR and minusrarrv MRprime (vecteur acceacuteleacuteration compleacutementaire ou de Coriolis)

Cineacutematique et changement de reacutefeacuterentiel

Une charrette se deacuteplace agrave vitesse constante Vo = 1 8 kmhminus1 Ces roues agrave rayons ontun diamegravetre de D = 47 75 cm

Instant t = 0

Instant t1

Instant t (0 lt t lt t1)

rarrrarr

Figure 211

Agrave lrsquoinstant t = 0 on considegravere un rayon CA horizontal avec C centre drsquoune roue et Alrsquoautre extreacutemiteacute du rayon Agrave lrsquoinstant t1 ce mecircme rayon se retrouve pour la premiegraverefois dans la mecircme position (la roue a effectueacute un tour complet)

I Question preacuteliminaire Cineacutematique

1) Exprimer la vitesse angulaire v en fonction de Vo et D En deacuteduire lrsquoexpression duvecteur vitesse angulaire v Calculer v

2) Exprimer le temps t1 au bout duquel la roue a effectueacute un tour complet Calculer t1

3) Une petite coccinelle M situeacutee au centre C agrave lrsquoinstant t = 0 part avec une vitesseconstante v sur le rayon CA Quelle doit ecirctre sa vitesse pour atteindre A agrave lrsquoinstant t1

II Reacutefeacuterentiels en mouvement

On considegravere les reacutefeacuterentiels suivants caracteacuteriseacutes par leur repegravere

bull Reacutefeacuterentiel R(O x yminusrarru xminusrarru y

minusrarru z)bull Reacutefeacuterentiel Rprime(C x yminusrarru x

bull Reacutefeacuterentiel Rprimeprime lieacute au rayon CA avec sa base fixe (minusrarru rminusrarru u) qui correspond agrave la base

polaire du repegravere Rprime(C x y)

Quel est le mouvement de Rprime par rapport agrave R (preacuteciser les caracteacuteristiques dumouvement)

Quel est le mouvement de Rprimeprime par rapport agrave Rprime (preacuteciser les caracteacuteristiques dumouvement)

Quel est le mouvement de Rprimeprime par rapport agrave R (preacuteciser les caracteacuteristiques dumouvement)

III On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprimeprime (lieacute au rayon CA base (minusrarru r minusrarru u)1) La coccinelle se deacuteplaccedilant agrave vitesse constante v dans ce repegravere donner lrsquoeacutequationhoraire du mouvement de M(CM = r(t))2) Exprimer le vecteur vitesse minusrarrv du point M dans la base (minusrarru r

minusrarru u)3) Que vaut le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra du point M dans ce reacutefeacuterentiel

IV On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprime(C x y minusrarru xminusrarru y) et on utilisera sa base mobile

(minusrarru r minusrarru u)

1) Donner lrsquoexpression du vecteur positionminusrarrCM

2) Exprimer le vecteur vitesse minusrarrv MRprime du point M par rapport au reacutefeacuterentiel Rprime

3) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra MRprime du point M par rapport au reacutefeacuterentiel Rprime

V Loi de composition des vitesses et acceacuteleacuterations

1) Exprimer pour le point M le vecteur vitesse drsquoentraicircnement minusrarrv primee du reacutefeacuterentiel Rprimeprime

par rapport au reacutefeacuterentiel Rprime Eacutenoncer la loi de composition des vitesses et retrouverlrsquoexpression de minusrarrv MRprime agrave partir de celles de minusrarrv et de minusrarrv prime

2) De mecircme exprimer

a) Le vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarra primee du point M

b) Le vecteur acceacuteleacuteration de Coriolis ou compleacutementaire minusrarra c de Mc) Eacutenoncer la loi de composition des acceacuteleacuterations et retrouver lrsquoexpression de minusrarra MRprime

agrave partir de celles de minusrarra minusrarra e et minusrarra c

VI On se place maintenant dans le reacutefeacuterentiel R(O x y minusrarru xminusrarru y)

1) Comment agrave partir de minusrarrv MRprime peut-on obtenir lrsquoexpression du vecteur minusrarrv MRprime vitessede M par rapport agrave R Donner son expression

2) Mecircme question pour lrsquoacceacuteleacuteration minusrarra MRprime

Solution

xurarr

yurarr

xurarr

Instant t = 0

Instant t1

θurarr

yurarr

Figure 212

I 1) v =2Vo

20504775

= 2094 radsminus1 rArr minusrarrv = vminusrarru z = minus2094minusrarru z attention

v lt 0

2) Pour un tour 2p = |v| t1 rArr t1 =2p

|v| =23142094

= vt1 rArr v =D2t1

6= 796 asymp 8 cms-1

II Rprime est en translation rectiligne uniforme par rapport agrave R avec la vitesse Vo

Rprimeprime est en rotation uniforme par rapport agrave Rrsquo avec la vitesse angulaire

minusrarrv = vminusrarru z = minus2094minusrarru z

Rprimeprime est en mouvement de translation (vitesseminusrarrV o) plus rotation autour axe minusrarru z par

rapport agrave R (minusrarrv = vminusrarru z = minus2094minusrarru z)

III On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprimeprime (lieacute au rayon CA base (minusrarru r minusrarru u)1) CM = r(t) = vt+constante rArr r(t) = vt

2) minusrarrv = vminusrarru r

3) minusrarra =d minusrarrvd t

=d (vur)

minusrarr0 (M a un mouvement rectiligne uniforme sur le

rayon CA

IV On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprime (Cxyminusrarru xminusrarru y) et on utilisera la base mobile

1)minusrarrCM = rminusrarru r

2) minusrarrv MRprime =d (rminusrarru r)

)Rprime

= rminusrarru r + ruminusrarru u = vminusrarru r + rvminusrarru u

= vminusrarru r + vvtminusrarru u = v(minusrarru r + vtminusrarru u)

minusrarrv MRprime = v(minusrarru r + vtminusrarru u) = 008(minusrarru r minus 2094tminusrarru u)

3) minusrarra MRprime =d minusrarrv M

Rprime

)Rprime

= v(uminusrarru u + vminusrarru u minus vtuminusrarru r)

= v(2vminusrarru u minus v2tminusrarru r) = vv(minusvtminusrarru r + 2minusrarru u)

minusrarra MRprime = minus0 35tminusrarru r minus 0 333minusrarru u

V 1) minusrarrv primee = minusrarrv CRprime +minusrarrv andminusrarrCM =

minusrarr0 +vminusrarru zandrminusrarru r = rvminusrarru u = vvtminusrarru u = minus0167tminusrarru u

Le point M aurait un mouvement circulaire uniforme srsquoil ne bougeait pas dans RprimeDonc minusrarrv prime

e = rvminusrarru u Drsquoapregraves la loi de composition des vitesses minusrarrv MRprime = minusrarrv MRprimeprime + minusrarrv prime

e = vminusrarru r + vvtminusrarru u = 008(minusrarru r minus 2094tminusrarru u)

mecircme reacutesultat que pour 3) b

2) a) minusrarra e = minusrarra CRprime

+minusrarrvand(minusrarrvandminusrarrCM)+d minusrarrvd t

andminusrarrCM =minusrarr0 +vminusrarru zand(vminusrarru zandrminusrarru r) = minusv2rminusrarru r

minusrarra e = minusv2rminusrarru r = minusv2vtminusrarru r = minus0349tminusrarru r

Le point M aurait un mouvement circulaire uniforme srsquoil ne bougeait pas dans RprimeDonc lrsquoacceacuteleacuteration est normale centripegravete minusrarra e = minusv2rminusrarru r = minus0349tminusrarru r

b) minusrarra c = 2minusrarrv and minusrarrv = 2vminusrarru z and vminusrarru r = 2vvminusrarru u

c) minusrarra MRprime = minusrarra MRrdquo + minusrarra e + minusrarra c =minusrarr0 minus rv2minusrarru r + 2vvminusrarru u = vv(minusvtminusrarru r + 2minusrarru u)

mecircme reacutesultat que pour 3)c

VI On se place maintenant dans le reacutefeacuterentiel R(Oxyminusrarru xminusrarru y)

1) Rprime est en translation par rapport agrave R On a donc minusrarrv MR = minusrarrv MRprime +

minusrarrV o = v(minusrarru r + vtminusrarru u) + Vo

minusrarru z

2) minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarra CR = minusrarra MRprime =minusrv2minusrarru r + 2vvminusrarru u = vv(minusvtminusrarru r + 2minusrarru u)

1 Agrave un instant pris comme origine des dates (t = 0) un autobus prend un virage agravevitesse angulaire constante vo O est le centre du virage et la distance OA = R

Agrave ce moment preacutecis un passager P immobile en A se preacutecipite directement vers uneplace assise libre en B drsquoun mouvement drsquoacceacuteleacuteration constante ao (voir figure 213)

Figure 213

1) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel lieacute agrave lrsquoautobus RA Preacuteciser le repegravere choisi et la nature dumouvement de P Deacuteterminer en fonction des donneacutees et de t le vecteur acceacuteleacuterationar et le vecteur vitesse vr du point P ainsi que lrsquoeacutequation horaire du mouvement

2) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel terrestre RT Preacuteciser le repegravere choisi Deacuteterminer levecteur vitesse vT et le vecteur acceacuteleacuteration aT du point P Donner lrsquoeacutequation de latrajectoire du point P en coordonneacutees polaires (r = OP en fonction de u)

3) En utilisant les lois de composition des vitesses et des acceacuteleacuterations retrouver lesvecteurs vT et aT agrave partir des vecteurs vr et ar Indiquer clairement les diffeacuterentstermes intervenant dans ces lois en preacutecisant leur signification et leur expression

4) Applications numeacuteriques ao = 6 msminus2 vo = 16 radsminus1 R = 120 nm etAB = 3 m

Avec quelle vitesse P atteint le siegravege B et en combien de temps Quelle distance aparcouru lrsquoautobus et de quel angle a-t-il tourneacute

Figure 214

2 Le repegravere drsquoespace Gminusrarrx 1 Gminusrarry 1 du reacutefeacuteren-tiel R1 tourne autour de lrsquoaxe Oz du reacutefeacuteren-tiel R drsquoaxes Ox Oy Oz Le point G deacutecrit uncercle de rayon a constant agrave la vitesse angu-laire constante vo Dans R1 le point A1 deacutecritun cercle de rayon r et de centre G avec lavitesse angulaire constante v1 (figure 214)Exprimer la vitesse drsquoentraicircnement de A1son acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement et son acceacute-leacuteration compleacutementaire

3 Soit dans un plan un reacutefeacuterentiel R et un reacutefeacuterentiel R1 dont les repegraveres drsquoespacesont formeacutes respectivement des axes Ox Oy et des axes Ox1 Oy1 Le repegravere Ox1 Oy1tourne agrave la vitesse angulaire v constante autour de lrsquoaxe Oz perpendiculaire au planUn point M est mobile sur Ox1 selon la loi

minusrarrOM = r(t)minusrarru x1 = (ro cos vt)minusrarru x1

1) Calculer en fonction de ro et v le vecteur vitesse vR1 de M dans le reacutefeacuterentiel R1ainsi que le vecteur vitesse drsquoentraicircnement ve du point M

2) En deacuteduire le module du vecteur vitesse vR de M dans R et lrsquoangle w deacutefini parw = (

minusrarrOMvR)

3) Calculer le vecteur acceacuteleacuteration aR1 de M dans R1 le vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicirc-nementae du point M le vecteur acceacuteleacuteration compleacutementaire minusrarrac et lprimeacceacuteleacuterationaR

de M dans R Quelle est la valeur de lrsquoangle C = (minusrarrOMaR)

uxrarr

uyrarr

Figure 215

4 Un manegravege de chevaux de bois tourne agrave la vitesseangulaire constante vo = vouz Pour aider un en-fant en difficulteacute sur un cheval de bois repreacutesenteacutepar le point C le patron (point P) du manegravege partdu centre O et se dirige vers C drsquoun mouvementdrsquoacceacuteleacuteration constante ao (figure 215)

Notation Rt reacutefeacuterentiel terrestre (Ominusrarru xminusrarru y

minusrarru zrepegravere fixe dans Rt) et Rm reacutefeacuterentiel lieacute au manegravege

Origine des dates agrave t = 0 P est en O et part avecune vitesse nulle OC coiumlncide avec lrsquoaxe Ox

On utilisera les coordonneacutees polaires (r u) pour re-peacuterer P ainsi que la base (minusrarrur

minusrarru u) pour exprimer lesdiffeacuterents vecteurs

On prendra a = 1 msminus2 v = 15 toursmin OC = ro = 2 m

1) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Rm

a) Quelle est la nature du mouvement de P b) Deacuteterminer le vecteur vitesse de P VPRm

c) Deacuteterminer lrsquoeacutequation horaire du mouvement de P r(t)d) Temps mis pour atteindre C

2) Mouvement du reacutefeacuterentiel Rm par rapport au reacutefeacuterentiel Rt

a) Preacuteciser quel est ce mouvementb) Donner lrsquoeacutequation horaire u(t)

3) Mouvement dans le reacutefeacuterentiel Rt

a) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesse de P VPRt en fonction de a vo et tb) Mecircme chose pour le vecteur acceacuteleacuteration aPRt

c) Donner lrsquoeacutequation de la trajectoire en coordonneacutees polairesd) Faire une repreacutesentation (on prendra les valeurs pour t = 0 s t = 0 5 s

t = 1 s t = 1 5 s et t = 2 s) Repreacutesenter les vecteurs vitesses

4) Utilisation des lois de composition des vitesses et des acceacuteleacuterations

a) Eacutecrire la loi de composition des vitessesb) Exprimer le vecteur vitesse drsquoentraicircnement de RmRt pour le point P

c) Veacuterifier que cette loi redonne bien VPRt (3- a)d) Exprimer la loi de composition des acceacuteleacuterationse) Deacuteterminer lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement

f) Deacuteterminer lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou acceacuteleacuteration compleacutementaireg) Veacuterifier que cette loi redonne bien aPRt (3- c)

5 Une mouche M parcourt lrsquoaiguille des secondes drsquoune horloge avec une acceacuteleacuterationconstante ao et agrave lrsquoinstant t = 0 elle est au centre O de lrsquohorloge avec une vitessenulle alors que lrsquoaiguille indique laquo 0 seconde raquo

R est le reacutefeacuterentiel terrestre (ou le reacutefeacuterentiel du mur de lrsquohorloge) Il est deacutefini par(O x y z) repegravere fixe de R Rprime est le reacutefeacuterentiel lieacute agrave lrsquoaiguille des secondes OX Agravet = 0 OX coiumlncide avec Oy

On utilisera les coordonneacutees polaires de M (r u) et pour exprimer les diffeacuterentsvecteurs la base (minusrarrur

minusrarru u)

1) Mouvement de M dans Rprime

a) Deacuteterminer le vecteur vitesse de M minusrarrV MRprime

b) Deacuteterminer lrsquoeacutequation horaire r(t) du mouvement de Mc) La mouche atteint lrsquoextreacutemiteacute de lrsquoaiguille qui mesure 20 cm en 60 s Quelle

est la valeur de ao

2) Mouvement de M dans R

a) Donner lrsquoeacutequation de la trajectoire en coordonneacutees polaires

b) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesse de MminusrarrV MR en utilisant la loi de com-

position des vitessesc) Donner lrsquoexpression de son vecteur acceacuteleacuteration minusrarra MR en utilisant la loi de

composition des acceacuteleacuterations

6 Une roue circulaire de centre C de rayon a roule sans glisser sur Ox tout en restantdans le plan Ox Oz (figure 216)

uxrarr

ϕuzrarr

Figure 216

Un point A de la roue coiumlncide agrave lrsquoinstant t = 0 avec lrsquoorigine O du repegravere Le centreC a une vitesse constante Vo

1) Deacuteterminer les coordonneacutees de A agrave lrsquoinstant t

2) CalculerminusrarrV le vecteur vitesse de A par rapport au sol et eacutetudier ses variations au

cours du temps Pour quelles positions de A ce vecteur est-il nul

3) Soit le vecteur vitesse angulaireminusrarrV caracteacuterisant la rotation de la roue Donner

lrsquoexpression deminusrarrV Calculer le produit vectoriel

minusrarrV and minusrarr

IA (figure 216) Le comparer agraveminusrarrV et commenter

4) RepreacutesenterminusrarrV sur la figure Montrer que

minusrarrV peut ecirctre deacutecomposeacute en deux vecteurs

de mecircme module lrsquoun parallegravele agrave Ox lrsquoautre tangent agrave la roue

Calculer minusrarra le vecteur acceacuteleacuteration de A par rapport au sol

5) On peut consideacuterer que le mouvement de A est le reacutesultat de la composition dedeux mouvements

bull un mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe Cy de la roue (caracteacuteriseacute parle vecteur vitesse angulaire

minusrarrV )

bull un mouvement de translation rectiligne uniforme de la roue (vitesse Vominusrarru x)

RetrouverminusrarrV et minusrarra en utilisant les lois de compositions des vitesses et des acceacuteleacutera-

Solutions

1 Reacutefeacuterentiel R lieacute agrave lrsquoautobus repegravere (Aminusrarrur minusrarruu ) base fixe dans lrsquoautobus P a un mouvementrectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute drsquoacceacuteleacuteration ao dans la direction de A rarr B (direction deminusrarrur ) Agrave t = 0 P est en A

ar = ao rArr vr = aot rArr AP = x = 12 aot2

2) Reacutefeacuterentiel terrestre RT repegravere (Ominusrarrur minusrarruu ) base mobile des coordonneacutees polairesminusrarrOP = rminusrarrur = (R + x)minusrarrur rArr minusrarrvT = xminusrarrur + (R + x)uminusrarruu = aotminusrarrur + (R + 1

2 aot2)vominusrarruu

minusrarraT = xminusrarrur + xuminusrarruu + xuminusrarruu minus (R + x)u2minusrarrur = (ao minus (R + 12 aot2)v2

o )minusrarrur + 2aotvominusrarruu

On a lrsquoeacutequation de la trajectoire r = R + 12 aot2 et u = vot rArr r = R + 1

ou2 (eacutequation drsquoune

spirale)

3) Loi de composition des vitesses

Le reacutefeacuterentiel R est en mouvement de rotation par rapport agrave RT avec un vecteur vitesse angu-

laireminusrarrV RRT = vo

minusrarru zminusrarrvT = minusrarrv r + minusrarrv e avec minusrarrv r = aotminusrarrur et

minusrarrv e = dminusrarrOA

d t + (minusrarrV RRT and minusrarr

AP) = (minusrarrV RRT and minusrarr

OA) + (minusrarrV RRT and minusrarr

minusrarrv e = (minusrarrV RRT and

minusrarrOP) = (R+x)vo

minusrarruu = (R+ 12 aot2)vo

minusrarruu La vitesse drsquoentraicircnement correspond agravela vitesse du point P par rapport agrave RT srsquoil eacutetait fixe dans lrsquoautobus agrave ce moment-lagrave Il a alors unmouvement circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo drsquoougrave lrsquoexpressiondu vecteur vitesse

On a donc minusrarrvT = minusrarrv r + minusrarrv e rArr minusrarrvT = aotminusrarrur + (R + 12 aot2)vo

minusrarruu

minusrarra T = minusrarra r + minusrarra e + minusrarra c avec minusrarra r = aominusrarrur et minusrarra c = 2

minusrarrV RRT and minusrarrv r = 2vo

minusrarru z and aotminusrarrur = 2aotvominusrarruu

minusrarra e = d2 minusrarrOA

d t2 +dminusrarrV RRT

d t and minusrarrAP +

minusrarrV RRT and (

minusrarrV RRT and minusrarr

=minusrarrV RRT and (

OA) +minusrarrV RRT and (

minusrarra e =minusrarrV RRT and (

OP) = vominusrarru z and (vo

minusrarru z and (R + x)minusrarrur

minusrarra e = minusv2o (R + 1

2 aot2)minusrarruu Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement correspond agrave lrsquoacceacuteleacuteration du pointP par rapport agrave RT srsquoil eacutetait fixe dans lrsquoautobus agrave ce moment-lagrave Il a alors un mouvementcirculaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo drsquoougrave lrsquoexpression du vecteuracceacuteleacuteration qui est normale agrave la trajectoire et centripegraveteminusrarra T = minusrarra r + minusrarra e + minusrarra c rArr (ao minus (R + 1

2 aot2)v2o )minusrarrur + 2aotvo

minusrarruu

4) AB = 3 m= 12 aot2 rArr t =

= 1 srArr vb = aot = 6 msminus1

Lrsquoautobus a tourneacute drsquoun angle u = vot = 16 rad= 9 55 et a parcouru l = Ru = 20 m

2 Le reacutefeacuterentiel R1 a un mouvement combineacute de rotation uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel R

avec un vecteur vitesse angulaireminusrarrV R1R = vo

minusrarru z et de translation circulaire uniforme (G deacutecritun cercle de rayon a avec une vitesse angulaire vo

minusrarru z et donc une vitesse lineacuteaire vominusrarru z and

minusrarrOG)

Vitesse drsquoentraicircnement de A1

minusrarrv e =dminusrarrOGd t

+minusrarrV R1R and minusminusrarr

GA1 =minusrarrV R1R and minusrarr

OG +minusrarrV R1R and minusminusrarr

GA1 =minusrarrV R1R and minusminusrarr

minusminusrarrOA1 =

minusrarrOG +

minusminusrarrGA1 = aminusrarrur + r cos u1

minusrarrur + r sin u1minusrarruu = (a + r cos u1)minusrarrur + r sin u1

minusrarruu

Ceci peut aussi srsquoexprimer dans la base (minusrarru xminusrarru y) en utilisant

minusrarrur = cos uminusrarru x + sin uminusrarru y minusrarruu = minus sin uminusrarru x + cos uminusrarru y

minusrarrv e = vominusrarru z and ((a + r cos u1)minusrarrur + r sin u1

minusrarruu ) = minusvor sin u1minusrarrur + vo(a + r cos u1)minusrarruu

Le point A1 a un mouvement circulaire de rayon r et de vitesse angulaire v1 = cste On a doncle vecteur vitesse de A1 dans R1

minusrarrvA1 = minusrarrv1 andminusminusrarrGA1 = minusrarrv1 and (r cos u1

minusrarrur + r sin u1minusrarruu ) = minusv1r sin u1

minusrarrur + v1r cos u1minusrarruu

On a le vecteur acceacuteleacuteration compleacutementaire

minusrarrvc = 2minusrarrV R1R and minusrarrvA1 = 2vo

minusrarru z and (minusv1r sin u1minusrarrur + v1r cos u1

minusrarruu )

minusrarrvc = minus2vov1r cos u1minusrarrur minus 2vov1r sin u1

minusrarruu = minus2vov1minusminusrarrGA1

minusrarrvc = minus2vov1r(cos u1minusrarrur + sin u1

minusrarruu )

On a le vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement

minusrarrve = d2 minusrarrOG

d t2 +minusrarrV R1R and (

minusrarrV R1R and minusminusrarr

GA1) +dminusrarrV R1R

d t and minusminusrarrGA1

minusrarrve =minusrarrV R1R and (

minusrarrV R1R and minusrarr

OG) +minusrarrV R1R and (

GA1) = vominusrarru z and (vo

minusrarru z andminusminusrarrOA1)

minusrarrve = vominusrarru z and (vo

minusrarru z and ((a + r cos u1)minusrarrur + r sin u1minusrarruu )) = minusv2

o (a + r cos u1)minusrarrur minus v2o r sin u1

minusrarruu

Figure 217

3 1) Dans le reacutefeacuterentiel R1minusrarru x1 = minusrarrur est un vecteur fixe

rArr minusrarrvR1 = rminusrarru x1 = minus(rov sin vt)minusrarru x1

Le reacutefeacuterentiel R1 est en rotation par rapport agrave R avec

une vitesse angulaire constanteminusrarrV R1R = vminusrarru z La vitesse

drsquoentraicircnement minusrarrve srsquoeacutecrit

minusrarrve =minusrarrV R1R and minusrarr

= vminusrarru z and ro cos vtminusrarrur = (vro cos vt)minusrarruu = vrminusrarru y1

(le point M srsquoil eacutetait fixe dans R1 aurait un mouvementcirculaire uniforme de rayon r et de vitesse angulaire v)

2) minusrarrvR = minusrarrvR1 + minusrarrve = minus(rov sin vt)minusrarrur + (vro cos vt)minusrarruu

minusrarrvR = vroˆ

minus(sin vt)minusrarrur + (cos vt)minusrarruu

rArr minusrarrvR = vro

et minusrarrvR minusrarrur = minusrarrvR minusrarrur cos w

rArr cos w =minusrarrvR minusrarrur

vro= minus sin vt = minus sin u = cos

rArr w =p

3) minusrarraR1 = rminusrarrux1 = minus(rov2 cos vt)minusrarrur = minusrv2minusrarrur

Acceacuteleacuteration compleacutementaire

minusrarrac = 2minusrarrV R1R and minusrarrvR1 = 2vminusrarru z and (minusrov sin vt)minusrarrur = minus2(rov

2 sin vt)minusrarruu

Acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarrae =minusrarrV R1R and (

OM) = minusrv2minusrarrur

minusrarraR = minusrarraR1 + minusrarrac + minusrarrae = minus2rov2 ˆ

(cos vt)minusrarrur + (sin vt)minusrarruu

rArr minusrarraR = 2rov2

minusrarraRminusrarrur = minusrarraR cos C = minus2rov2(cos vt) rArr cos C = minus cos vt = minus cos u = cos(p minus u)

C = p minus u

Remarque minusrarrOM = ro cos vtminusrarrur = ro cos vt(cos vtminusrarru x + sin vtminusrarru y)minusrarrOM = ro

(cos2 vt)minusrarru x + (cos vt sin vt)minusrarru y˜

minusrarrOM = ro

12 (1 + cos 2vt)minusrarru x + 1

2 (sin 2vt)minusrarru y˜

rArr (x minus ro2 ) = ro

2 cos 2vt et y = ro2

Lrsquoeacutequation de la trajectoire en cordonneacutees carteacutesiennes est (x minus ro2 )2 + y2 = ( ro

Le point M deacutecrit un cercle de rayon ro2 et de centre C de coordonneacutees ( ro

2 0) (figure 217)

4 1) Eacutetude dans Rm

Repegravere axe OC avec base (minusrarrur minusrarruu ) fixe dans Rm Le point P a un mouvement rectiligne unifor-meacutement acceacuteleacutereacute drsquoacceacuteleacuteration ao rArr

minusrarrV PRm = (aot)minusrarrur (t = 0

minusrarrV PRm (0) =

minusrarr0 )

AN minusrarrV PRm = tminusrarrur

Agrave t = 0minusrarrOP(0) =

minusrarr0 rArr minusrarr

OP = rminusrarrur = 12 aot2minusrarrur AN

minusrarrOP = 0 5t2minusrarrur

OC = ro = 12 aot2 rArr t =

AN t =radic

4 = 2 s

04 0812 16

Figure 218

2) Rm a un mouvement de rotation parrapport agrave Rt avec une vitesse angulaireminusrarrV RmRt = vo

minusrarru z = uminusrarru z = p2minusrarru z

u = vo rArr u = vot (t = 0 u(0) = 0)

AN u = p2 t = 1 57t

3) Eacutetude dans Rt

Repegravere (O x y) avec la base (minusrarrur minusrarruu ) mobiledans Rt

minusrarrOP = rminusrarrur rArr minusrarr

V PRt = rminusrarrur + ruminusrarruu

= (aot)minusrarrur +12

aot2vo

minusrarruu

AN minusrarrV PR = tminusrarrur + p

4 t2minusrarruu

minusrarra PRt = (r minus ru2)minusrarrur + (2ru + ru)minusrarruu = (ao minus 12 aot2v2

o )minusrarrur + (2aovot)minusrarruu

AN minusrarra PRt = (1 minus p2

8 t2)minusrarrur + ptminusrarruu = (1 minus 1 234t2)minusrarrur + 3 14tminusrarruu

r = 12 aot2 et u = p

2 t rArr r = 12

ou2 eacutequation drsquoune spirale

AN r = 2p2 u2 0 2u2

t 0 05 1 15 2

r 0 0125 05 98 = 1 125 2

u 0 p4 0 78 p

2 1 57 3p4 2 36 p 3 14

minusrarrV PRt

minusrarrur 0 12 = 0 5 1 15 2

minusrarrV PRt

minusrarruu 0 p16 0 196 p

4 0 78 9p16 1 77 p 3 14

(voir figure 218)

4) Loi de composition des vitesses minusrarrV PRt =

minusrarrV PRm +

minusrarrVe

minusrarrVe =

minusrarrV RmRt and

minusrarrOP = rvo

minusrarru z and minusrarrur = rvominusrarruu = 1

2 aovot2minusrarruu rArr AN minusrarrVe = p

4 t2minusrarruu

minusrarrV PRt = (aot)minusrarrur + 1

2 aovot2minusrarruu mecircme reacutesultat que celui obtenu agrave la question 3

Loi de composition des acceacuteleacuterations minusrarra PRt = minusrarra PRm + minusrarra e + minusrarra c

minusrarra e =minusrarrV RmRt and (

minusrarrV RmRt and

minusrarrOP) = minusrv2

ominusrarrur = minus 1

2 aov2o t2minusrarrur

minusrarra c = 2minusrarrV RmRt and

minusrarrV PRm = 2aovotminusrarruu

minusrarra PRm = aominusrarrur

minusrarra PRt = (ao minus 12 aot2v2

o )minusrarrur + (2aovot)minusrarruu mecircme reacutesultat que celui obtenu agrave la question 3

5 Le reacutefeacuterentiel Rprime (aiguille) est en rotation uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel R (mur) Le

vecteur vitesse angulaire estminusrarrV = vminusrarru z = minus p

30minusrarru z

1) Eacutetude dans Rprime(Ominusrarrur minusrarruu ) base fixe dans ce reacutefeacuterentiel Agrave t = 0 OM = r(0) = 0 etminusrarrv MRprime (0) =

minusrarr0

minusrarra MRprime = aominusrarrur rArr minusrarrv MRprime = aotminusrarrur rArr minusrarr

OM = rminusrarrur = 12 aot2minusrarrur rArr r(t) = 1

2 aot2

l = 20 cm parcourue en t = 60 srArr ao = 2lt2 = 040

3600 = 1 1110minus4 msminus2 = 0 11 mmsminus2

2) Eacutetude dans R(Ominusrarrur minusrarruu )

u = v rArr u = vt + p2 (agrave t = 0 lrsquoaiguille est suivant lrsquoaxe Oy) et r(t) = 1

2 aot2 Lrsquoeacutequation de latrajectoire est

r(u) = 12

aov2 (u minus p

2 )2 rArr r(u) = 3 3810minus4(u minus p2 )2 eacutequation drsquoune spirale

Loi de composition des vitesses minusrarrv MR = minusrarrv MRprime + minusrarrve

minusrarrve =minusrarrV and minusrarr

OM = rvminusrarruu = 12 aovt2minusrarruu

rArr minusrarrv MR = aotminusrarrur + 12 aovt2minusrarruu = 0 11tminusrarrur minus 0 57610minus2t2minusrarruu (mmsminus1)

Loi de composition des acceacuteleacuterations minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarra e + minusrarrac

minusrarrac = 2minusrarrV and minusrarrv MRprime = 2vaotminusrarruu

minusrarra e =minusrarrV and (

OM) = minusv2rminusrarrur = minus 12 aov

2t2minusrarrur

minusrarra MR = (ao minus 12 aov

2t2)minusrarrur + 2vaotminusrarruu

6 La roue de rayon a roule sans glisser On a donc OI = aw etminusrarrOC =

minusrarrOI +

minusrarrIC = awminusrarru x + aminusrarru z

La vitesse du point C est donc dans le reacutefeacuterentiel terrestre

minusrarrV (C) =

minusrarrVo = awminusrarru x = Vo

minusrarru x rArr w =Vo

1)minusrarrOA =

minusrarrOC +

minusrarrCA = (awminusrarru x + aminusrarru z) + (minusa sin wminusrarru x minus a cos wminusrarru z)

minusrarrOA = a

(w minus sin w)minusrarru x + (1 minus cos w)minusrarru z˜

2)minusrarrV = aw

(1 minus cos w)minusrarru x + sin wminusrarru z˜

= Voˆ

minusrarrV

=radic

2Voradic

1 minus cos w rArrsbquo

minusrarrV

= 0 pour w = 2np (n entier) Chaque fois que le point A

touche le sol (A confondu avec I) sa vitesse est nulle Elle est maximale quand le point est agravelrsquoopposeacute de I par rapport agrave C

3)minusrarrV = wminusrarru y et

minusrarrIA =

minusrarrIC+

minusrarrCA = aminusrarru z+(minusa sin wminusrarru xminusa cos wminusrarru z) = minusa sin wminusrarru x+a(1minuscos w)minusrarru z

IA = awˆ

=minusrarrV Agrave lrsquoinstant consideacutereacute le point A a un mouve-

ment circulaire autour du point I avec un vecteur vitesse angulaireminusrarrV

4)minusrarrV = Vo

minusrarru x + Voˆ

minus cos wminusrarru x + sin wminusrarru z˜

=minusrarrVo + Vo

minusrarru avec minusrarru =ˆ

Ce vecteur minusrarru est un vecteur tangent agrave la roue (figure 219) En effet on a minusrarrCAminusrarru = 0 Le

vecteur vitesse peut donc se deacutecomposer en deux vecteurs de mecircme module (Vo) lrsquoun parallegraveleagrave Ox (

minusrarrVo ) et lrsquoautre tangent agrave la roue (Vo

minusrarru )

minusrarra = Vow(sin wminusrarru x + cos wminusrarru z) = minus( Voa )2minusrarrCA Ce vecteur est dirigeacute de A vers C et minusrarra =

5) Loi de composition des vitesses minusrarrV =

minusrarrV prime +

minusrarrVe

Dans le reacutefeacuterentiel lieacute au veacutelo repegravere de centre C A deacutecrit un cercle de rayon a drsquoun mouvementuniforme On a donc minusrarrV prime =

CA = wminusrarru y and (minusa sin wminusrarru x minus a cos wminusrarru z) = Voˆ

= Vominusrarru

oVrarr

uVorarr

IAV andΩ=rarrrarr rarr

Figure 219

Le reacutefeacuterentiel eacutetant en translation rectiligne uniforme par rapport au sol on a minusrarrVe =

minusrarrVo

Conclusion on retrouveminusrarrV = Vo

minusrarru x + Voˆ

Il nrsquoy a pas drsquoacceacuteleacuteration compleacutementaire (le reacutefeacuterentiel nrsquoest pas en rotation) ni drsquoacceacuteleacuteration

drsquoentraicircnement (la translation est rectiligne uniforme) On a donc minusrarra =minusrarraprime Pour un mouve-

ment circulaire uniforme le vecteur acceacuteleacuteration est un vecteur normal centripegravete et a pour

expressionminusrarraprime = Vprime2

minusrarrCAa = minus( Vo

a )2minusrarrCA = minusrarra

CHAPITRE 3

LOIS DE NEWTONET REacuteFEacuteRENTIELS GALILEacuteENS

Preacute-requis bull Connaicirctre les notions de masse et centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacuterielbull Connaicirctre la notion de moment drsquoune force (se reporter agrave lrsquoannexe 1

Rappel des outils matheacutematiques)bull Savoir projeter un vecteur sur une base donneacuteebull Avoir assimileacute le chapitre sur la cineacutematique du point

Objectif I Savoir reacutesoudre un problegraveme de dynamiqueI Savoir faire un bilan des forces srsquoappliquant sur un systegraveme deacutefini au

preacutealable

1 PRINCIPE DrsquoINERTIE PREMIEgraveRE LOI DE NEWTON

La meacutecanique comme de nombreuses branches de la physique prend ses fondementsdans des principes ou des postulats que lrsquoon ne deacutemontre pas Veacuterifieacutes expeacuterimentale-ment ils restent valables tant qursquoil nrsquoexiste pas drsquoexpeacuteriences les mettant en deacutefaut Parmiceux-ci nous trouvons le principe drsquoinertie qui est agrave la base de lrsquoeacutetude du mouvement dessystegravemes mateacuteriels Ce principe deacutejagrave entrevu par Galileacutee1 a eacuteteacute repris par Newton2 etconstitue ce que lrsquoon appelle la premiegravere loi de Newton

11 Systegraveme mateacuteriela) Deacutefinitions

Par deacutefinition nous appellerons systegraveme mateacuteriel un ensemble de points mateacuteriels Nousdistinguerons deux sortes de systegravemes mateacuteriels

1 Galileo Galilei (1564-1642) agrave lire Galileacutee le messager des eacutetoiles par J P Maury Coll Deacutecouvertes Gallimardn 10 1993

2 Isaac Newton (1642-1727) agrave lire Newton et la meacutecanique ceacuteleste par JP Maury Deacutecouvertes Gallimard n911990

bull Systegraveme mateacuteriel indeacuteformable tous les points mateacuteriels constituant le systegraveme restentfixes les uns par rapport aux autres Ceci correspond agrave la deacutefinition drsquoun solide enmeacutecanique

bull Systegraveme mateacuteriel deacuteformable tous les systegravemes ne correspondant pas agrave la deacutefinitiondrsquoun solide Agrave titre drsquoexemple deux solides sans liens entre eux forment un systegravemedeacuteformable lorsque chacun des solides se deacuteplace indeacutependamment de lrsquoautre

Lorsqursquoil ne subit aucune action venant de lrsquoexteacuterieur un systegraveme mateacuteriel est dit isoleacute (oufermeacute) Crsquoest le cas drsquoun solide seul dans lrsquoespace loin de toute autre masse

Si des actions exteacuterieures agissant sur un systegraveme se compensent alors on dit que le sys-tegraveme est pseudo-isoleacute crsquoest-agrave-dire que tout se passe comme srsquoil eacutetait isoleacute

Sur la Terre il nrsquoest pas possible de rencontrer des systegravemes rigoureusement isoleacutes Lrsquoac-tion de la Terre est une action exteacuterieure pour tout systegraveme mateacuteriel Par contre on peutrencontrer des systegravemes pseudo-isoleacutes chaque fois que lrsquoaction de la Terre est compenseacuteeCrsquoest le cas des mobiles autoporteurs ou encore drsquoun systegraveme se trouvant sur une tablesoufflante Dans ces cas le coussin drsquoair compense lrsquoaction de la Terre et eacutelimine les prin-cipales forces de frottements qui sont les frottements solide-solide On retrouve la mecircmesituation sur une surface horizontale glissante comme la surface geleacutee drsquoune patinoire

Par la suite par mesure de simplification nous utiliserons le terme laquo isoleacute raquo pourtout systegraveme effectivement isoleacute ou seulement pseudo-isoleacute

b) Masse et centre drsquoinertie

La masse drsquoun systegraveme caracteacuterise la quantiteacute de matiegravere qursquoil renferme Elle est invariabledans le cadre de la meacutecanique Newtonienne Crsquoest une caracteacuteristique du systegraveme Dansle systegraveme international drsquouniteacutes lrsquouniteacute de masse est le kilogramme (kg)

Le centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacuteriel (ou centre de gravitation) correspond au pointnoteacute G barycentre des positions des points mateacuteriels affecteacutes de leur masse Par deacutefinitiondu barycentre le point G veacuterifie sum

miminusminusrarrGMi =

minusrarr0

Figure 31 bull Centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacuteriel

Pour un systegraveme discret constitueacute de n masses mi situeacutees aux points Mi on aura par rapportagrave un point O origine

minusrarrOG =

sumi mi

minusminusrarrOMisum

i mi=rArr m

minusrarrOG =

miminusminusrarrOMi

avec m = masse totale du systegraveme

Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 59

Si le systegraveme forme un milieu continu agrave lrsquoeacutechelle macroscopique le signe somme se trans-forme en signe inteacutegrale

mminusrarrOG =

intintintM

minusrarrOMdm

12 Vecteur quantiteacute de mouvement

Comme nous le verrons un peu plus loin la relation fondamentale de la dynamique in-troduit une nouvelle grandeur physique qui est la quantiteacute de mouvement drsquoun systegravememateacuteriel de masse m dont le centre drsquoinertie se deacuteplace agrave la vitesse minusrarrv

Le vecteur quantiteacute de mouvement drsquoun point mateacuteriel de masse m se deacuteplaccedilant avec unevitesse minusrarrv est donneacute par

minusrarrp = mminusrarrv

Ce vecteur deacutepend du reacutefeacuterentiel dans lequel est exprimeacutee la vitesse Il est colineacuteaire agrave lavitesse du point et srsquoexprime en kgmsminus1 dans le systegraveme international drsquouniteacutes

Pour un systegraveme mateacuteriel constitueacute de n masses mi situeacutees aux points Mi et se deacuteplaccedilantagrave la vitesse minusrarrv i le vecteur quantiteacute de mouvement correspond agrave la somme des vecteursquantiteacute de mouvement de chacune des parties constituant le systegraveme On a donc

minusrarrp =

miminusrarrv i =

minusrarrp i

On peut aussi eacutecrire la masse m totale eacutetant invariante

minusrarrp =

midminusminusrarrOMi

miminusminusrarrOMi

(mminusrarrOG)

= mdminusrarrOGd t

= mminusrarrVG

Le vecteur quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme mateacuteriel est eacutegal au vecteur quan-titeacute de mouvement drsquoun point mateacuteriel fictif confondu avec le centre drsquoinertie dusystegraveme ougrave serait concentreacutee la masse totale du systegraveme

Solide en mouvement

Point mateacuterieleacutequivalent

Figure 32 bull Identification drsquoun solide agrave son centre drsquoinertie G auquel est affecteacutee la massetotale m du solide

13 Principe drsquoinertie eacutenonceacute de la premiegravere loi de Newton

Le principe drsquoinertie repose sur lrsquohypothegravese de lrsquoexistence drsquoun reacutefeacuterentiel dit galileacuteen Cetype de reacutefeacuterentiel fait partie drsquoune classe de reacutefeacuterentiels dont lrsquoarcheacutetype est en premiegravereapproximation le reacutefeacuterentiel de Copernic Tout autre reacutefeacuterentiel appartenant agrave cette classedoit ecirctre en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel deCopernic Le principe drsquoinertie stipule que

Dans un reacutefeacuterentiel R galileacuteen le centre drsquoinertie de tout systegraveme mateacuteriel meacutecani-quement isoleacute est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme

Reacutefeacuterentiel R galileacuteen

Systegraveme meacutecaniquement isoleacute

constV RG =rarr

Le mouvement du centre drsquoinertie G dusystegraveme est rectiligne uniforme

Figure 33 bull Illustration du principe drsquoinertie

Il importe de remarquer que drsquoapregraves ce principe si un systegraveme est meacutecaniquement isoleacutecrsquoest-agrave-dire si ce systegraveme ne subit aucune action ou des actions compenseacutees alors le mou-vement du point particulier qursquoest son centre drsquoinertie G est rectiligne uniforme Il enreacutesulte qursquoun systegraveme peut donc ecirctre en mouvement mecircme srsquoil ne subit aucune action Ilpeut tout aussi bien ecirctre au repos Le principe stipule cependant que si le systegraveme meacute-caniquement isoleacute dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen est en mouvement alors le mouvement deson centre drsquoinertie est neacutecessairement rectiligne uniforme Nous insistons sur le fait quele principe drsquoinertie ne reacutegit que le mouvement du centre drsquoinertie agrave lrsquoexclusion de toutautre point Ainsi un hockeyeur qui frappe sur le palet peut imprimer agrave celui-ci un mouve-ment de rotation Si le palet glisse sur la glace sans frottement le centre drsquoinertie deacutecriraune trajectoire rectiligne alors que tous les autres points du palet deacutecriront des trajectoiresplus compliqueacutees appeleacutees cycloiumldes (figure 34)

Remarque Lrsquoapplication du principe drsquoinertie conduit agrave la loi de conservation de la quan-titeacute de mouvement du systegraveme

minusrarrV GR = minusrarrcste =rArr minusrarr

p GR = minusrarrcste =rArrdminusrarr

minusrarr0

Le vecteur quantiteacute de mouvement se conserve si le principe drsquoinertie est veacuterifieacute

Attention le principe drsquoinertie ne preacutedit que le mouvement de G

Figure 34 bull Palet de hockey lanceacute sur la glace Le palet est pseudo-isoleacute doncson centre drsquoinertie G deacutecrit une trajectoire rectiligne et le mouvement de G

est uniforme Tous les autres points du palet qui ne se trouvent pas agrave laverticale de G peuvent avoir un mouvement non rectiligne

14 Reacutefeacuterentiels galileacuteensNous avons deacutejagrave vu que la notion de mouvement ou de repos deacutependait du choix dureacutefeacuterentiel Le principe drsquoinertie ne srsquoapplique donc que dans certains reacutefeacuterentiels ditgalileacuteens

On appelle reacutefeacuterentiel galileacuteen un reacutefeacuterentiel dans lequel le principe drsquoinertiesrsquoapplique

Si on connaicirct un reacutefeacuterentiel galileacuteen on peut en connaicirctre une infiniteacute se deacuteduisant dupremier par une translation rectiligne uniforme En effet soit un reacutefeacuterentiel R galileacuteen etun autre Rprime en mouvement par rapport agrave R cherchons agrave deacuteterminer les conditions qursquoilfaut imposer agrave Rprime pour que si le principe drsquoinertie est veacuterifieacute dans R il le soit aussi dansRprime Si le principe drsquoinertie est veacuterifieacute dans R alors

minusrarrv GR = minusrarrcste

Drsquoapregraves les lois de composition des vitesses et des acceacuteleacuterations on peut eacutecrire

minusrarrv GR = minusrarrv GRprime + minusrarrv e (31)minusrarra GR = minusrarra GRprime + minusrarra e + minusrarra c (32)

Si dans R on a minusrarrv GR = cste =rArr

d minusrarrv GR

d t =minusrarr0

minusrarra GR =minusrarr0

nous aurons les mecircmes conditions dans Rprime (voir (31)) si

minusrarrv e = minusrarrcste =rArr minusrarra e =minusrarr0

De plus si lrsquoon reporte cette condition dans (32) nous voyons que Rprime doit ecirctre en trans-lation rectiligne et uniforme

Encart 31 Exemples de reacutefeacuterentiels galileacuteensLrsquoexpeacuterience montre que le reacutefeacuterentiel de Copernic est un excellent reacutefeacuterentiel galileacuteen(malgreacute le mouvement du Soleil dans notre galaxie qui elle-mecircme est en mouvementpar rapport aux autres galaxies)

Le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique est en translation non rectiligne autour du Soleil (trans-lation pratiquement circulaire uniforme) Il nrsquoest donc pas rigoureusement galileacuteenCependant la reacutevolution de la Terre srsquoeffectue en 365 jours et 6 heures ce qui fait quele reacutefeacuterentiel geacuteocentrique peut en premiegravere approximation ecirctre consideacutereacute comme ga-lileacuteen lorsque le pheacutenomegravene eacutetudieacute se produit pendant un temps tregraves court devant lapeacuteriode de reacutevolution de la Terre

Pour les mecircmes raisons le reacutefeacuterentiel terrestre nrsquoest pas galileacuteen mais srsquoy apparentelorsque le temps de lrsquoexpeacuterience est tregraves infeacuterieur agrave 24 heures ougrave bien lorsque la preacute-cision des mesures ne permet pas de mettre en eacutevidence ce mouvement

2 PRINCIPE DE LA DYNAMIQUE DEUXIEgraveME LOI DE NEWTON

21 La notion de forceUn point mateacuteriel G est rarement meacutecaniquement isoleacute mais subit des actions Ces actionssont appeleacutees forces Lorsqursquoon parle de force il est important de voir que cela supposelrsquoexistence drsquoun acteur (celui qui exerce la force) et un receveur (celui qui subit la force)

Une force srsquoexerce dans une certaine direction (ou ligne drsquoaction de la force) dans uncertain sens et avec une certaine intensiteacute Une force a donc toutes les caracteacuteristiques drsquounvecteur qui servira agrave la repreacutesenter De plus une force srsquoapplique en un point particulier

Une force sera donc mateacuterialiseacutee par un vecteur associeacute agrave un point drsquoapplication Elleest mesureacutee au moyen drsquoun dynamomegravetre et srsquoexprime en Newton (symbole N) dans lesystegraveme international drsquouniteacutes

Les forces qursquoun point mateacuteriel peut subir sont en fait en nombre limiteacute On distingue lesforces suivantes bull Forces drsquointeraction agrave distance comme les forces de gravitation les forces eacutelectromagneacute-

tiques les forces nucleacuteaires de coheacutesionbull Forces de contact comme les forces de frottement et de tension

Des preacutecisions sur ces forces sont donneacutees dans la partie 3 de ce chapitre

22 Principe fondamental de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen

a) Eacutenonceacute de la deuxiegraveme loi de Newton

Consideacuterons un systegraveme mateacuteriel S de centre drsquoinertie G de masse m se deacuteplaccedilant dansun reacutefeacuterentiel galileacuteen Si ce systegraveme nrsquoest pas meacutecaniquement isoleacute crsquoest-agrave-dire srsquoil subitune action non compenseacutee le principe drsquoinertie nous dit que sa quantiteacute de mouvementne peut pas ecirctre constante dans le temps Le principe (ou relation) fondamental(e) dela dynamique nous permet de lier la cause (actions non compenseacutees) agrave lrsquoeffet observeacute(quantiteacute de mouvement variable) (figure 35) Il srsquoeacutecrit summinusrarr

F ext =d(mminusrarrv GR

Comme la masse du systegraveme est supposeacutee constante dans le temps il en reacutesulte que larelation fondamentale de la dynamique ou RFD peut srsquoeacutecrire sous la forme summinusrarr

F ext = mminusrarra GR

Causes Effets

pdF RG

rarrrarrrarr==sum

Actions non compenseacutees Quantiteacute de mouvement variable

Figure 35 bull Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la somme des forces exteacuterieuresappliqueacutees agrave un systegraveme est eacutegale agrave la deacuteriveacutee du vecteur quantiteacute de

mouvement du centre drsquoinertie de ce systegraveme

b) Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen le mouvement du centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacute-riel est le mecircme que celui drsquoun point mateacuteriel coiumlncidant avec ce centre point quiaurait comme masse la masse totale du systegraveme et auquel on appliquerait la sommedes forces agissant sur le systegraveme

Par la suite nous ne nous inteacuteresserons qursquoau mouvement du centre drsquoinertie drsquoun systegraveme(correspondant au mouvement drsquoensemble du systegraveme) Toutes les forces exteacuterieures ap-pliqueacutees au systegraveme seront donc repreacutesenteacutees en ce point (voir figure 36)summinusrarr

1Frarr

2Frarr

3Frarr

4Frarr

1Frarr

2Frarr

3Frarr

4Frarr

Figure 36 bull Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie Le mouvement de translation dusystegraveme se ramegravene agrave celui de son centre drsquoinertie G auquel on applique toutes

les forces

c) Theacuteoregraveme du moment cineacutetique

Deacutefinition du moment cineacutetique Consideacuterons un point mateacuteriel M en rotation autourdrsquoun axe fixe D dans un reacutefeacuterentiel Galileacuteen R(O x y z) (figure 37)

On appelle moment cineacutetique du point M par rapport agrave un point fixe O de lrsquoaxe D lemoment de sa quantiteacute de mouvement que lrsquoon note

minusrarrL MR =

minusrarrOM and mminusrarrv MR

rarrΔ

Figure 37 bull Illustration du mouvement de rotation drsquoun point M dans un reacutefeacuterentiel R

Le moment cineacutetique est donc un vecteur perpendiculaire agraveminusrarrOM et agrave la vitesse minusrarrv MR du

point (annexe 1 4) Crsquoest donc un vecteur perpendiculaire agrave la trajectoire du point M

Theacuteoregraveme du moment cineacutetique Le theacuteoregraveme du moment cineacutetique est un theacuteoregravemequi deacutefinit la valeur de la deacuteriveacutee du moment cineacutetique Dans le reacutefeacuterentiel R galileacuteen ladeacuteriveacutee du moment cineacutetique srsquoeacutecrit

dminusrarrL o

d(minusrarrOM and mminusrarrv MR)

d t= minusrarrv MR and mminusrarrv MR +

minusrarrOM and m

dminusrarrv MR

Il en reacutesulte que la deacuteriveacutee du moment cineacutetique est eacutegale agrave la somme des moments desforces exteacuterieures par rapport au point O (annexe 1 44)

dminusrarrL o

minusrarrOM and mminusrarra MR =

minusrarrOM and

summinusrarrF ext =

summinusrarrMo(

minusrarrFext)

Causes Effets

LdFM o

rarrrarrrarr

=sum )(

Actions en rotation non compenseacutees Moment cineacutetique variable

Figure 38 bull Theacuteoregraveme du moment cineacutetique

Theacuteoregraveme

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la deacuteriveacutee du moment cineacutetique drsquoun point mateacuterielpar rapport agrave un point fixe O est eacutegale agrave la somme des moments des forces exteacute-rieures appliqueacutees agrave ce point

Si le point est en eacutequilibre (pas de rotation) alors la somme des moments des forces exteacute-rieures est nulle et le moment cineacutetique est nul

Pour un point mateacuteriel il est possible drsquoexprimer la deacuteriveacutee du moment cineacutetique agrave lrsquoaidedu moment drsquoinertie ID par rapport agrave lrsquoaxe de rotation choisi Le moment cineacutetique du

point mateacuteriel est eacutegal agrave

minusrarrL =

minusrarrOM and mminusrarrv = mlvminusrarru z = ml2

d tminusrarru z = IDuminusrarru z

Par deacutefinition le moment drsquoinertie du point mateacuteriel M distant de l de lrsquoaxe de rotationest eacutegal au produit de la masse de ce point par le carreacute de la distance agrave lrsquoaxe de rotation

ID = ml2

Pour un point mateacuteriel en rotation autour drsquoun axe fixe on peut appliquer indif-feacuteremment le principe fondamental de la dynamique ou le theacuteoregraveme du momentcineacutetique

3 ACTIONS REacuteCIPROQUES TROISIEgraveME LOI DE NEWTON

31 Principe des actions reacuteciproquesLe principe des actions reacuteciproques ou principe de lrsquoaction et de la reacuteaction a eacuteteacute eacutenonceacutepar Newton (troisiegraveme loi de Newton)

Soit deux systegravemes S1 et S2 Si le systegraveme S1 exerce une action sur le systegraveme S2 alorssimultaneacutement le systegraveme S2 exerce une action (ou reacuteaction) sur le systegraveme S1 et reacutecipro-quement Le principe des actions reacuteciproques3 preacutecise la relation entre ces deux forces

Lorsque deux systegravemes S1 et S2 sont en interaction quel que soit le reacutefeacuterentieldrsquoeacutetude et quel que soit leur mouvement (ou lrsquoabsence de mouvement) lrsquoaction dusystegraveme S1 sur le systegraveme S2 est exactement opposeacutee agrave la reacuteaction du systegraveme S2 surle systegraveme S1

Systegraveme 1 eninteraction avec

systegraveme 2

rarrrarrminus=

Figure 39 bull Illustration du principe des actions reacuteciproques

Ce principe est universel Il srsquoapplique aussi bien aux interactions agrave distance qursquoaux inter-actions de contact agrave lrsquoeacutechelle de lrsquoUnivers comme agrave lrsquoeacutechelle des particules

3 Agrave lire Le principe des actions reacuteciproques par A Gibaud et M Henry BUP n 787 1996 1465-1473

4 LES FORCES

41 Forces drsquointeraction agrave distancea) Force de gravitation newtonienne

On appelle force de gravitation ou force drsquointeraction gravitationnelle la force exerceacuteepar une masse M sur une autre masse m Cette force drsquointeraction suit une loi eacutenonceacutee parNewton en 1650 et qui preacutecise que deux masses m et M interagissent entre elles de faccedilondrsquoautant plus forte que les masses sont grandes et que la distance qui les seacutepare est petiteLa loi qursquoil a formuleacutee est dite laquo loi de la gravitation de Newton raquo ou laquo loi drsquoattractionuniverselle raquo Elle srsquoeacutenonce de la faccedilon suivante

Loi de gravitation de NewtonLes masses de deux corps srsquoattirent en raison de leur masses et de lrsquoinverse du carreacutede leur distance selon une direction qui passe par leurs centres de masses

Vecteur unitaire

MmF rarrrarr

mMF rarrrarr

Figure 310 bull Forces de gravitation drsquoun objet de masse M sur un objet de masse m

La loi drsquoattraction universelle srsquoexprime analytiquement de la faccedilon suivante

minusrarrF Mrarrm = minusGmM

SC2minusrarru

Il importe de remarquer que si M attire m selon la loi preacuteceacutedente il en est de mecircme pourm qui attire M selon la mecircme loi Il srsquoagit drsquoune interaction On retrouve ici le principe desactions reacuteciproques

La force est porteacutee par lrsquoaxe qui seacutepare les deux masses m et M Elle est attractive ce quipermet drsquoeacutecrire que le vecteur force est dirigeacute agrave lrsquoopposeacute du vecteur unitaire minusrarru Le sens duvecteur unitaire est deacutefini par lrsquoappellation de la force Ainsi si lrsquoon considegravere lrsquoaction deM sur mminusrarru sera dirigeacute de M vers m La force est proportionnelle agrave m et M et inversementproportionnelle au carreacute de la distance SC Elle fait intervenir une constante drsquointeractionG appeleacutee constante drsquointeraction gravitationnelle Cette constante est universelle et vautG = 66710minus11usi

minusrarrSC

Encart 32 Gravitation au voisinage de la Terre

Un cas important est celui ougrave la masse M est la masse de la Terre et ougrave m est la massedrsquoun corps au voisinage de la surface de la Terre En premiegravere approximation enneacutegligeant la rotation de la Terre sur elle-mecircme (voir chapitre 8) la force de Newton

repreacutesente le poids de la masse m au voisinage de la Terre Cette force peut srsquoeacutecrire

minusrarrF Mrarrm = mminusrarrg

ougrave minusrarrg repreacutesente le champ de pesanteur ou lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur au point Cconsideacutereacute soit

minusrarrg (C) = minusG MSC2

minusrarru = minusG MSC3

minusrarrSC

Si le corps se trouve agrave la surface de la Terre la distance SC correspond au rayon de laTerre Lrsquointensiteacute du champ de pesanteur go vaut alors

go = G MR2

Si le corps se trouve agrave lrsquoaltitude z par rapport agrave la surface de la Terre cette intensiteacutedevient

g(z) = G M(R + z)2 = G M

(R + z)2 = go(1 +zR

)minus2

Pour z R = 6400 km cette expression donne au premier ordre par rapport agrave zR

go(1 minus 2zR

La variation relative de lrsquointensiteacute du champ de pesanteur est alors de

Pour z lt 32 km la variation relative est infeacuterieure agrave 1 On peut donc consideacuterer lechamp de pesanteur comme localement uniforme

b) Interaction coulombienne

Lrsquointeraction coulombienne est lrsquoanalogue de lrsquointeraction gravitationnelle pour descharges eacutelectriques ponctuelles La force drsquointeraction drsquoune charge Q placeacutee en S surune charge q placeacutee en C srsquoeacutecrit

minusrarrF Qrarrq =

14pacuteo

minusrarrSC

Il est possible de faire apparaicirctre comme dans le cas de la pesanteur un champ creacuteeacute parune charge ponctuelle Q en tout point M de lrsquoespace Ce champ appeleacute champ eacutelectriquesrsquoeacutecrit

minusrarrE (M) =

14pacuteo

minusrarrSM

Toute charge q placeacutee dans ce champ subira une action de la part de la charge Q qui peutsrsquoeacutecrire minusrarr

F Qrarrq = qminusrarrE

c) Interaction eacutelectromagneacutetique

La force que subit une charge eacutelectrique placeacutee dans des champsminusrarrE et

minusrarrB est appeleacutee Force

de Lorentz et srsquoeacutecrit minusrarrF = q(

minusrarrE + minusrarrv and minusrarr

avec v le vecteur vitesse de la charge dans le reacutefeacuterentiel ougrave E et B sont mesureacutes

42 Forces de contacta) Reacuteaction du support

La force que subit un objet poseacute sur un support horizontal en provenance du supportsrsquoappelle reacuteaction du support La reacuteaction du support sur un objet est reacutepartie sur toutela surface de contact support-objet On peut repreacutesenter cette action par une force reacutesul-tante de toutes les actions exerceacutees sur toute cette surface

nRrarr

Figure 311 bull Reacuteaction drsquoun support

Lrsquoobjet subit de la part de lrsquoexteacuterieur deux forces son poidsminusrarrP appliqueacute au centre

drsquoinertie G et la reacuteaction du supportminusrarrR n(figure311) Lrsquoobjet eacutetant en eacutequilibre on a

minusrarrP +

minusrarrR n =

minusrarr0 =rArr minusrarr

P = minusminusrarrR n

Cet eacutequilibre de lrsquoobjet sur le support impose que le point drsquoapplication de la reacuteaction soitagrave lrsquointersection de la surface de contact et de la ligne drsquoaction du poids de lrsquoobjet

Remarque Drsquoapregraves le principe des actions reacuteciproques lrsquoaction de lrsquoobjet sur le supporthorizontal est exactement opposeacute agrave la reacuteaction du support sur lrsquoobjet et correspond doncau poids de lrsquoobjet

b) Forces de frottement

Les forces de frottement sont des forces qui apparaissent soit lors du mouvement drsquounobjet soit si cet objet est soumis agrave une force qui tend agrave vouloir le deacuteplacer Dans tousles cas la force de frottement srsquooppose au deacuteplacement que lrsquoon cherche agrave engendrer Ilimporte de distinguer deux types de frottement le frottement visqueux (contact solide-fluide) et le frottement solide (contact solide-solide)

Le frottement visqueux Lorsqursquoun solide se deacuteplace dans un fluide (gaz comme lrsquoair ouliquide comme lrsquoeau) il subit de la part du fluide des forces de frottement La reacutesultantede ces actions est un vecteur force proportionnel au vecteur vitesse de deacuteplacement delrsquoobjet

Avec k constante positive on a minusrarrF = minuskminusrarrv

Cette force nrsquoexiste que srsquoil y a mouvement

Encart 33 Frottement fluide pour des vitesses importantesDans le cas ougrave la vitesse de lrsquoobjet devient tregraves importante la force de frottementvisqueux nrsquoest plus proportionnelle agrave la vitesse mais au carreacute de la vitesse agrave la surfaceS de lrsquoobjet dans la direction perpendiculaire agrave la direction du deacuteplacement et agrave lamasse volumique r du fluide Le coefficient de proportionnaliteacute deacutepend du profil dela surface en contact avec le fluide et est appeleacute coefficient de peacuteneacutetration Cx La forcede frottement srsquoeacutecrit alors

minusrarrF = minus1

2CxSrvminusrarrv

Le frottement solide Le frottement solide se produit quand deux solides sont en contactIl fut eacutetudieacute par Leacuteonard de Vinci4 qui au travers drsquoexpeacuteriences simples en deacutecouvrit leslois Amontons (1699) et Coulomb5 les eacutenoncegraverent de faccedilon plus preacutecise Le frottementsolide apparaicirct degraves que lrsquoon cherche agrave faire glisser un corps poseacute sur un support Ce corpssoumis agrave des forces exteacuterieures qui auraient pour effet de le deacuteplacer peut rester immobilesi les frottements le permettent La reacuteaction du sol et donc la force de frottement srsquoadaptepour maintenir lrsquoeacutequilibre Dans le cas contraire ce corps se deacuteplacera tout en subissantune force de frottement

minusrarrF constante opposeacutee au sens du mouvement La reacuteaction du

support sur le corps peut dans les deux cas se deacutecomposer en une reacuteactionminusrarrR n normale

au support et qui empecircche le corps de srsquoenfoncer et une forceminusrarrF parallegravele au support et

qui tend agrave srsquoopposer au mouvement du corps

nRrarr

eFrarr

Figure 312 bull Solide en mouvement sur unsupport sous lrsquoaction drsquoune force exteacuterieure

Lorsque le solide se deacuteplace souslrsquoaction drsquoune force exteacuterieure

minusrarrF e (fi-

gure 312) lrsquointensiteacuteminusrarrF de la force

de frottement est proportionnelle agravecelle de la reacuteaction

minusrarrRn normale au

support Le coefficient de propor-tionnaliteacute srsquoappelle le coefficient defriction m ou coefficient de frotte-ment Ce coefficient deacutepend de lanature des surfaces en contact

F = mRn

4 Leacuteonard de Vinci (1452-1519)

5 Charles de Coulomb (1736-1806)

Le rapport FRn deacutefinit la tangente drsquoun angle F Cet angle est appeleacute angle de frotte-ment On a donc la relation

= tan F = m

Si le frottement se produit sur un plan horizontalminusrarrR n compense le poids et la force de

frottement est donc proportionnelle au poids du solide Il est possible de montrer quelrsquoeacutetendue de la surface de contact entre les deux solides ne joue aucun rocircle dans la valeurde la force de frottement La valeur du coefficient m ne deacutepend que de la nature des deuxsurfaces en contact Pour le veacuterifier il suffit de prendre un objet paralleacuteleacutepipeacutedique et de leposer sur diffeacuterentes faces On constate que la force de frottement solide reste identique

Le tableau ci-apregraves deacutefinit la valeur du coefficient de friction pour quelques surfaces

Mateacuteriaux en contact m

Acier-acier 02Checircne-sapin 067

Caoutchouc-bitume 06

nRrarr

eFrarr

Figure 313 bull Solide en eacutequilibre surun support sous lrsquoaction drsquoune force

exteacuterieure et drsquoune force de frottement

Il convient de noter que la force de frotte-ment solide deacutepend de lrsquoaction subie parle solide Si aucune action exteacuterieure netend agrave deacuteplacer un solide se trouvant surun plan horizontal celui-ci est au repos etla force de frottement nrsquoexiste pas Elle neprend naissance que si le solide subit uneaction Son intensiteacute varie alors lineacuteaire-ment en fonction de cette action jusqursquoagravedevenir constante par lrsquointermeacutediaire ducoefficient m degraves que le solide se met enmouvement La force de frottement estalors maximale et ne peut plus empecirccherle mouvement

La condition drsquoeacutequilibre (figure 313) im-pose Rn = P et Fe = F On peut donc eacutecrire

= tan w =Fe

Remarque Le solide en eacutequilibre ne bascule pas non plus Ceci impose que la somme desmoments par rapport agrave un point fixe comme G de toutes les forces soit nulle Si la lignedrsquoaction de

minusrarrF e passe par G comme

minusrarrP alors cette condition impose que la ligne drsquoaction

de la reacuteactionminusrarrR passe aussi par G On deacutetermine ainsi la position du point drsquoapplication

deminusrarrR qui doit se situer sur la surface de contact du solide avec le support

Lorsque lrsquointensiteacute de la force Fe varie de la valeur 0 jusqursquoagrave une valeur permettant lemouvement du corps la force de frottement F passe drsquoune valeur nulle jusqursquoagrave sa valeurmaximale F = mRn (figure 314) Lrsquoangle w que fait la reacuteaction avec la verticale varie de 0agrave la valeur F Lrsquoangle F est appeleacute angle de frottement

Solide en eacutequilibre F = Fe lt mRnF

Rn= tan w lt tan F = m

Solide en mouvement F = mRn lt FeF

Rn= tan F = m

Repos Mouvement

F=μRn

Figure 314 bull Eacutevolution de la force de frottement en fonctionde la force Fe agissant sur le systegraveme

Lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes des forces de friction constitue le domaine de la tribologie6 Lrsquointer-preacutetation microscopique des pheacutenomegravenes de friction est encore mal connue et fait lrsquoob-jet drsquoeacutetudes sophistiqueacutees dans de nombreux centres de recherche Les domaines drsquoac-tion repreacutesentent des enjeux eacuteconomiques eacutenormes en particulier dans la fabrication despneumatiques et des moteurs Drsquoun point de vue plus pragmatique le lecteur prendraconscience qursquoil ne peut tenir son stylo ou qursquoil ne peut marcher que parce que le frotte-ment solide existe

c) Forces de tension

Lorsqursquoun opeacuterateur tire sur une extreacutemiteacute drsquoun fil (lrsquoautre extreacutemiteacute eacutetant fixe) celui-cise tend Simultaneacutement le fil exerce une reacutesistance crsquoest-agrave-dire une action sur lrsquoopeacuterateur(qui la ressent bien) Cette action du fil sur lrsquoopeacuterateur est appeleacutee tension du fil Ellenrsquoexiste que si le fil est tendu sous lrsquoeffet drsquoune action exteacuterieure

Pour un fil de masse neacutegligeable supportant un objet de masse m au repos la tension dufil (action du fil sur la masse) srsquooppose au poids de la masse m (action de la masse m sur lefil) drsquoapregraves le principe des actions reacuteciproques Elle prend la mecircme valeur en tout pointdu fil

Lorsque le fil est eacutelastique (figure 315) la tension du fil peut srsquoexprimer en fonction delrsquoeacutetat drsquoeacutetirement du fil et augmente lineacuteairement avec son allongement (agrave la conditionde ne pas exercer des forces trop importantes) Le coefficient drsquoallongement srsquoappelle laraideur k du fil Un exemple typique de fil eacutelastique est le ressort La force de tension drsquounressort de longueur lo non tendu et eacutetireacute agrave la longueur l srsquoeacutecrit

minusrarrF = minusk(l minus l0)minusrarru

avec minusrarru vecteur unitaire dans la direction de la deacuteformation

Le signe minus dans cette relation signifie que la force de tension du ressort est une force derappel et qursquoelle srsquooppose agrave la deacuteformation

6 Agrave lire La tribologie de lrsquoAntiquiteacute agrave nos jours par J Frecircne BUP 1986 n689 1532-1560

Trarr l

Δ l=l -lo

Figure 315 bull Tension drsquoun fil et drsquoun ressort

5 APPLICATIONS

51 Mouvements uniformesLe systegraveme eacutetudieacute est un point mateacuteriel M de masse m (figure 316) Le reacutefeacuterentiel danslequel on effectue lrsquoeacutetude du mouvement est un reacutefeacuterentiel galileacuteen

uxrarr

cstevmp == rarrrarr

ωrarrrarr

Δ== IcsteLo

axe Δ

Figure 316 bull Mouvement rectiligne uniforme (a) et mouvement circulaire uniforme (b)

a) Mouvement rectiligne uniforme

Eacutetude dynamique (figure 316(a)) Bilan des forces le systegraveme nrsquoest soumis agrave aucuneforce ou agrave un ensemble de forces dont la reacutesultante est nulle Le principe fondamental dela dynamique appliqueacute au point mateacuteriel M conduit agrave summinusrarr

F ext = mminusrarra MR =minusrarr0

Eacutetude cineacutematique Par deacutefinition un mouvement est rectiligne uniforme si

minusrarrv = minusrarrcste

Les conditions initiales sont les suivantes agrave t = 0 minusrarrv o = vominusrarru x et OM = xo =rArr minusrarrv = vo

minusrarru x

Il srsquoensuit que lrsquoeacutequation horaire du mouvement est

d xd t

= vo rArr x = vot + xo

b) Mouvement circulaire uniforme

Eacutetude dynamique (figure 316(b)) Le bilan des forces est tel qursquoil nrsquoy a aucune forceappliqueacutee agrave M ou un ensemble de forces dont le moment reacutesultant par rapport agrave un pointfixe O est nul Le theacuteoregraveme du moment cineacutetique srsquoeacutecrit sum

MFextD = 0 rArr ID

d t2= 0 rArr d u

d t= cste = vo

Eacutetude cineacutematique Par deacutefinition un mouvement est circulaire uniforme si

minusrarrv =d u

d tminusrarru z = minusrarrcste = vo

minusrarru z

d u = vo d t rArr u = vot + uo

52 Mouvement uniformeacutement varieacute

uxrarr

ωrarrrarr

Δ=ne IcsteLo

axe Δ

Figure 317 bull Mouvements uniformeacutement varieacutes Mouvement rectiligne (a)et mouvement de rotation (b)

a) Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute

Eacutetude dynamique (figure 317(a)) Le bilan des forces se reacutesume agrave un ensemble de forcesdont la reacutesultante

minusrarrF est constante Le principe fondamental de la dynamique conduit agravesumminusrarr

F ext = mminusrarra MR =minusrarrF

Eacutetude cineacutematique En projection sur la direction du mouvement nous avons

= cste

Les conditions initiales eacutetant agrave t = 0 minusrarrv o = vominusrarru x et OM = xo nous avons

rArr x =Fm

t + vo

ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation horaire

t2 + vot + xo

b) Mouvement circulaire uniformeacutement varieacute

Eacutetude dynamique (figure 317(b)) Le bilan des forces se reacutesume agrave un ensemble de forcesdont le moment reacutesultant par rapport agrave un point fixe O est constant Lrsquoapplication dutheacuteoregraveme du moment cineacutetique conduit agrave

IDu =sum

MFextD = cste = Fd (avec d = OM etminusrarr

F perp minusrarrOM)

Eacutetude cineacutematique Nous avons donc

md2 =F

md= cste

En consideacuterant qursquoagrave t = 0 u(0) = uo et u(0) = uo il vient

mdt + uo

t2 + uot + uo

53 Mouvements quelconques

a) Chute freineacutee drsquoun corpsuxrarr

Figure 318 bull Chutefreineacutee drsquoun corps

Nous faisons lrsquohypothegravese que le corps de masse m est freineacute aucours de sa chute par une force de frottement de type visqueuxNous eacutetudions le problegraveme dans un reacutefeacuterentiel terrestre sup-poseacute galileacuteen La chute se faisant sur un seul axe on se limite agraveun vecteur de base (figure 318) On supposera que la masse mchute sans vitesse initiale drsquoune position x = 0 agrave t = 0

Systegraveme eacutetudieacute le systegraveme masse m

Reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude R(O x t) supposeacute galileacuteen (vecteur uni-taire minusrarru x)Les forces exteacuterieures appliqueacutees sont bull le poids

minusrarrP

bull la force de frottementminusrarrF = minuskminusrarrv GR

Lrsquoapplication de la relation fondamentale de la dynamique conduit agrave

mdminusrarrv GR

minusrarrP +

minusrarrF =

minusrarrP minus kminusrarrv GR

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de la masse m srsquoeacutecrit donc

dminusrarrvd t

+kmminusrarrv = minusrarrg

ce qui en projection sur lrsquoaxe x du mouvement conduit agrave

vx = g

Cette eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle du premier degreacute agrave coefficients et secondmembre constants La meacutethode de reacutesolution consiste agrave calculer une solution de lrsquoeacutequa-tion sans second membre et y ajouter une solution particuliegravere indeacutependante du tempsLrsquoeacutequation sans second membre srsquoeacutecrit

d vxd t + k

m vx = 0 rArr d vxvx

= minus km d t

ln vx = minus km t + cste = minus k

m t + ln C

Il en reacutesulte que la vitesse du mobile varie exponentiellement selon une loi du type

vx = Ceminuskm t

On recherche une solution particuliegravere de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle ne deacutependant pas dutemps On a donc

d t= 0 rArr vx =

La solution geacuteneacuterale de cette eacutequation srsquoeacutecrit donc

vx =mgk

+ Ceminuskm t

Il ne reste plus qursquoagrave deacuteterminer la constante C en revenant aux conditions aux limites dece mouvement qui impose que v = 0 agrave t = 0 Il vient donc

C +mgk

= 0 rArr C = minusmgk

ce qui conduit agrave vx =

(1 minus eminuskm t)

On peut ainsi constater que la vitesse augmente progressivement pour atteindre une vi-tesse limite lorsque le temps tend vers lrsquoinfini (figure 319) La vitesse limite de chute quilogiquement nrsquoest jamais atteinte est donneacutee par

vlim =mgk

x =mgk

(t +mgk

(eminuskm t minus 1))

0 2 4 6 8 100

Temps (s)

Figure 319 bull Eacutevolution avec le temps de la vitesse dans le casdrsquoune chute avec frottements visqueux

b) Pendule simple

ρurarr

θurarr

Figure 320 bull Repreacutesentationdrsquoun pendule simple

Consideacuterons une masse m mobile autour drsquoun axefixe La distance de la masse m agrave lrsquoaxe de rotation estappeleacutee l (figure 320) On considegravere le mouvementdu systegraveme masse m par rapport agrave un reacutefeacuterentiel gali-leacuteen R(O x y z t) La base choisie est la base mobile(minusrarru r

minusrarru u) Les forces exteacuterieures appliqueacutees sont lepoids

minusrarrP = mminusrarrg et la tension

minusrarrT du fil La relation

fondamentale de la dynamique conduit agrave

minusrarrP +

minusrarrT = mminusrarra GR

m(minuslu2minusrarru r + luminusrarru u) =minusrarrP +

minusrarrT

En projection sur les vecteurs de base le poids et latension srsquoeacutecrivent

minusrarrP(

mg cos uminusmg sin u

)minusrarrT(

minusT0

)ce qui conduit agrave

mg cos u minus T = minusmlu2

minusmg sin u = mlu

De la seconde eacutequation il est possible drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement dela masse m

sin u = 0

Cette eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle non lineacuteaire agrave cause de la preacutesence du termeen sinus La solution nrsquoest donc pas facile agrave obtenir sauf si dans certaines conditions lrsquoeacutequa-tion peut ecirctre assimileacutee agrave une eacutequation lineacuteaire Cette condition est satisfaite dans le casougrave lrsquoangle u est petit crsquoest-agrave-dire lorsque le sinus est assimilable agrave lrsquoangle soit sin u uDans ce cas lrsquoeacutequation diffeacuterentielle devient

u +glu = 0

Crsquoest lrsquoeacutequation diffeacuterentielle drsquoun oscillateur harmonique La solution de cette eacutequationsrsquoeacutecrit

u = um sin(vot + w)

agrave condition de poser v2o =

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle preacuteceacutedente aurait pu ecirctre obtenue directement par le theacuteoregravemedes moments calculeacutes en O soit

ml2uminusrarru z =minusrarrMminusrarr

P O +minusrarrMminusrarr

T O =minusrarrMminusrarr

P O ml2u = minusmgl sin u

Agrave RETENIR

Premiegravere loi de Newton principe drsquoinertie

Deacutefinition drsquoun reacutefeacuterentiel galileacuteen

Tout reacutefeacuterentiel pour lequel le principe drsquoinertie est applicable est un reacutefeacuterentiel gali-leacuteen

Deuxiegraveme loi de Newton principe fondamental de la dynamique

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la somme des forces exteacuterieures appliqueacutees agrave un systegravemeest eacutegale agrave la deacuteriveacutee du vecteur quantiteacute de mouvement du centre drsquoinertie de cesystegraveme

Troisiegraveme loi de Newton principe des actions reacuteciproques

Lorsque deux systegravemes S1 et S2 sont en interaction quel que soit le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetudeet quel que soit leur mouvement (ou lrsquoabsence de mouvement) lrsquoaction du systegraveme S1sur le systegraveme S2 est exactement opposeacutee agrave la reacuteaction du systegraveme S2 sur le systegraveme S1

Moment cineacutetique et theacuteoregraveme du moment cineacutetique

minusrarrL MR =

minusrarrOM and mminusrarrv MR et

dminusrarrL o

minusrarrOM and

summinusrarrF ext =

summinusrarrMo(

minusrarrFext)

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la deacuteriveacutee du moment cineacutetique par rapport agrave un pointfixe O drsquoun point mateacuteriel est eacutegale agrave la somme des moments des forces exteacuterieuresappliqueacutees agrave ce point

Les forces

Forces agrave distance (poids drsquoun corps force de gravitation etc) et forces de contact(tension drsquoun fil ou drsquoun ressort reacuteaction drsquoun support avec ou sans frottement solidefrottement solide)

EXERCICES DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE

Dynamique

(axe de rotation fixe dans le Reacutefeacuterentiel Terrestre)

Tige en rotation autour de lrsquoaxe

Masse m (peut coulisser sur la tige sans frottement)

Ressort de raideur k

Figure 321

Un ressort est enfileacute sur une tige horizontale fixeacutee agrave un axe de rotation (D) vertical Ceressort est eacutegalement fixeacute agrave (D) agrave lrsquoune de ses extreacutemiteacutes tandis qursquoagrave lrsquoautre extreacutemiteacuteest fixeacutee une masse m de 50 g pouvant coulisser sans frottement sur la tige

La tige entraicircne la masse m dans son mouvement de rotation uniforme de vitesse angu-laire constante v La vitesse de rotation est de 2 tours par seconde

Dans ces conditions (figure 2) le ressort est allongeacute et a une longueur L

Sa longueur agrave vide (ou au repos) est de Lo= 48 cm

De plus dans une eacutetude statique de ce ressort on accroche une masse M = 200 g agravelrsquoune de ses extreacutemiteacutes On constate qursquoil srsquoallonge verticalement de d = 1 cm souslrsquoaction du poids de cette masse M

On prendra pour les applications numeacuteriques g = 9 8 msminus2 et p2 = 9 8

1) Question preacuteliminaire eacutetude statique faire un scheacutema repreacutesentant le ressort agrave vide(ou au repos) dans la position verticale et agrave cocircteacute le mecircme ressort mais eacutetireacute sous lrsquoactiondu poids de la masse M Agrave partir de la condition drsquoeacutequilibre exprimer puis calculer laraideur k du ressort

2) On se place dans le cas de la figure Apregraves avoir preacuteciseacute exactement le mouvementde la masse m indiquer quels sont la direction et le sens du vecteur acceacuteleacuteration minusrarra Donner lrsquoexpression de lrsquoacceacuteleacuteration a en fonction de la longueur L du ressort et dela vitesse angulaire v

3) Faire lrsquoeacutetude dynamique complegravete du systegraveme masse m et en deacuteduire lrsquoexpression dela longueur L et de lrsquoallongement DL du ressort Calculer cet allongement

4) Calculer la tension T du ressort

5) Commenter le reacutesultat du 3) quand la vitesse angulaire v varie Que se passerait-il

si lrsquoensemble tournait agrave la vitesse angulaire v = vo =

radickm

Solution1) eacutequilibre Mg = kd rArr k =

001= 196 Nmminus1

2) Mouvement circulaire uniforme Lrsquoacceacuteleacuteration est donc normale et centripegravete Sonexpression est a = v2L

3) Systegraveme m

Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen

Bilan des forces exteacuterieures le poids mminusrarrg vertical vers le bas la reacuteaction de la tige(perpendiculaire agrave la tige car pas de frottement) et la tension du ressort

minusrarrT

Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrT = mminusrarra La projection sur la tige

mobile donne

T = k(L minus Lo) = mv2L rArr L =kLo

k minus mv2 =Lo

1 minus v2

et L minus Lo =mv2Lo

k minus mv2 =Lo

v2 minus 1

avec vo =

radickm

4p2 =1

498196005

= 100 etv2

4p2 = 22 = 4 L minus Lo =Lo

v2 minus 1=

= 2 cm

et L = 50 cm

4) T = k(L minus Lo) = 196002 = 392 N

5) v lt vo rArr LminusLo =Lo

v2 minus 1et L =

k minus mv2 =Lo

1 minus v2

Alors v vo rArr impossible

Le ressort casse avant puisque pour v = vo rArr lrsquoallongement tend vers lrsquoinfini Ensuiteil devient neacutegatif impossible On sort du domaine drsquoeacutelasticiteacute du ressort

Toboggan aquatique (Les parties I et II sont indeacutependantes)

On considegravere un toboggan aquatique ayant la forme drsquoune portion de cercle de centreO et de rayon r Le revecirctement de ce toboggan rend les frottements neacutegligeables

Ce toboggan possegravede une longueur MoM1 telle que sa reacuteaction sur un point mateacute-riel M de masse m (un baigneur) lacirccheacute en Mo sans vitesse initiale soit nulle en M1 minusrarrR (M equiv M1) =

minusrarr0

Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel Terrestre consideacutereacute galileacuteen

I Premiegravere phase du mouvement

La position du point M est repeacutereacutee par lrsquoangle u = (minusrarrOx

minusrarrOM) compris entre uo =

u1 = (minusrarrOx

minusminusrarrOM1) On utilise la base polaire (minusrarru r minusrarru u)

rurarr

yurarr

1Vrarr

H Plan deau urarr

Figure 322

a) Faire le bilan des forces exteacuterieures appliqueacutees sur la masse m dans la position inter-meacutediaire repeacutereacutee par u

b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et faire la projection sur minusrarru r etminusrarru u On obtient ainsi deux relations permettant de deacuteterminer le module V = ru de lavitesse et le module R de la reacuteaction du toboggan en fonction de u

c) Sachant qursquoune eacutequation diffeacuterentielle du type u = A cos u (avec A une constante)srsquointegravegre entre t = 0 et t en multipliant les deux membres par 2u montrer que

radic2gr

(1 minus sin u) En deacuteduire les expressions (fonctions de u) de V(u) et R(u)

d) Montrer qursquoau point M1 (ougrave la reacuteactionminusrarrR (u1) =

minusrarr0 ) on a sin u1 =

et V1 =

radic23

II Deuxiegraveme phase du mouvement

Le point mateacuteriel M effectue agrave preacutesent un mouvement de chute libre (pas de frotte-ment) qui se termine par une reacuteception en H sur un plan drsquoeau drsquoeacutequation y = 0

a) Donner les composantes sur la base (minusrarru xminusrarru y) du vecteur vitesse

minusrarrV 1 donneacute au 1 d)

b) En translatant lrsquoorigine O des coordonneacutees en M1 et en choisissant lrsquoorigine destemps t = 0 lorsque M est en M1 deacuteterminer dans ce nouveau repegravere) les eacutequationshoraires x(t) et y(t) durant cette phase et en deacuteduire lrsquoeacutequation y = f (x) de la trajectoireen fonction de r

c) Indiquer comment deacuteterminer finalement la distance OH en fonction de r

SolutionI Premiegravere phase du mouvement

a) Forces appliqueacutees minusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru y

La reacuteaction normale au toboggan (pas de frottements)minusrarrR = Rminusrarru r (voir scheacutema)

rurarr

yurarr

1Vrarr

H Plan deau

Figure 323

b) Principe fondamental

minusrarrP +

minusrarrR = mminusrarra = m(minusru2minusrarru r + ruminusrarru u) (R minus mg sin u)minusrarru r minus mg cos uminusrarru u = mminusrarra

bull R minus mg sin u = minusmru2 = minusmr

bull minusmg cos u = mru rArr u = minusgr

c) u = minusgr

cos u rArr 2uu = minus2gr

u cos u rArr d (u2)d t

= minus2gr

d (sin u)d tint u

d (u2)d t

= minus2gr

d (sin u)d t

rArr u2 = minus2gr

[sin u]up2

(1 minus sin u) = u2

u2 =2gr

(1 minus sin u) rArr r2u2 = 2gr(1 minus sin u) rArr V =radic

2gr(1 minus sin u)

R minus mg sin u = minusmru2 = minusmr

V2 rArr R = mg sin u minus m[2g(1 minus sin u)] = mg(3 sin u minus 2)

d) Au point M1 minusrarrR (u1) =

minusrarr0 rArr 3 sin u1 minus 2 = 0 rArr sin u1 =

et en remplaccedilant dans V

V1 =radic

2gr(1 minus sin u1) =

radic2gr(1 minus 2

radic23

et cos u1 =radic

1 minus sin2 u1 =

radic1 minus 4

radic5

a)minusrarrV1 = V1(sin u1

minusrarru x minus cos u1minusrarru y) =

radic23

⎛⎝23minusrarru x minusminusrarru y

radic1 minus(

)2⎞⎠

radic23

(23minusrarru x minus

radic5

3minusrarru y

b) minusrarra = minusrarrg =

∣∣∣∣∣∣0minusg0

rArr minusrarrV =

∣∣∣∣∣∣V1 sin u1

minusgt minus V1 cos u1

∣∣∣∣∣∣∣∣x = (V1 sin u1)t

y = minus12

gt2 minus (V1 cos u1)t

avec t =x

V1 sin u1

y = minus12

(V1 sin u1)2 minus cos u1

sin u1x rArr y = minus27

rminus

radic5

2x (origine en M1)

c) Le point M touche le plan drsquoeau pour y = minusr sin u1 rArr 2716

x2 +radic

rx minus 23

r2 = 0

x2 +8radic

rx minus 3281

r2 = 0 rArr x = minus4radic

r plusmn

radicradicradicradic(4radic

x = minus4radic

r +radic

80272 r2 +

329272 r2 = minus4

radic5

radic80 + 288 =

(radic

368 minus 4radic

radic2 minus 4

radic5) =

r(3radic

2 minusradic

27r = 0297r

On a donc OM = r cos u1 +8

(radic5

)r = 10426r

Figure 324

1 Un solide de masse m est en eacutequilibre sur un planinclineacute drsquoun angle a par rapport agrave lrsquohorizontale (fi-gure 324)

Dans les questions 2 et 3 le contact entre le solideet le plan inclineacute est supposeacute sans frottements

1) Rappeler agrave quelles conditions un solide est eneacutequilibre

2) Lrsquoeacutequilibre est drsquoabord reacutealiseacute en maintenant lesolide par un fil non eacutelastique de masse neacutegligeableEacutecrire les lois de lrsquoeacutequilibre de ce solide Deacuteterminer la tension du fil

3) Lrsquoeacutequilibre est maintenant assureacute par un fil eacutelastique de raideur k dont la longueuragrave vide est lo Deacuteterminer la longueur du ressort lorsqursquoil maintient le solide sur leplan inclineacute

4) Le solide nrsquoest plus maintenu par un fil mais on suppose que le coefficient defrottement solide entre le solide et le plan est m Deacutemontrer que le solide ne peut ecirctreen eacutequilibre que si lrsquoangle a est infeacuterieur agrave un angle que lrsquoon deacuteterminera Deacuteterminerla position du point drsquoapplication de la reacuteaction du support dans ce cas

2 Un bœuf tire un traicircneau sur un sol horizontal en appliquant systeacutematiquement uneforce de traction

minusrarrF inclineacutee de 60

par rapport agrave lrsquohorizontale La force de traction

minusrarrF qursquoil exerce sera variable dans les diffeacuterentes parties du problegraveme et lrsquoon chercheagrave comprendre le mouvement du traicircneau en fonction de la valeur du module de

minusrarrF

Dans tout le problegraveme on considegravere que la masse du traicircneau est m = 100 kg et lrsquoonposera g = 10 msminus2

1) Pour mettre en mouvement le traicircneau le bœuf doit tirer avec une force minimaleFm = 40 N Expliquer lrsquoorigine de cette force minimale En deacuteduire les caracteacuteris-tiques de la reacuteaction sol-traicircneau

2) Agrave lrsquoinstant t = 0 il tire le traicircneau avec une force F1 = 100 N pendant t1 = 10 spuis il applique une force F2 = 40 N pendant t2 = 20 s pour ne le tirer qursquoavec uneforce de F3 = 20 N par la suite

a) Eacutecrire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement du traicircneau dans les trois cas preacuteceacute-dents

b) Reacutesoudre ces eacutequations et deacuteterminer lrsquoexpression de la distance parcourue par letraicircneau en fonction de t

c) Le traicircneau srsquoarrecircte-t-il Dans lrsquoaffirmative trouver la position drsquoarrecirct

3 Un traicircneau de masse m = 200 kg est tireacute suivant une ligne de plus grande pentedrsquoun plan inclineacute par lrsquointermeacutediaire drsquoun cacircble faisant un angle b avec celui-ci(figure 325)

1) La tension du cacircble vaut T = 1000 N Le mouvement eacutetant uniforme de vitessev = 10 kmhminus1 deacuteterminer la reacuteaction R somme des forces de contact exerceacutees parle sol sur le traicircneau (norme et inclinaison par rapport agrave la normale au plan inclineacute)Donneacutees a = 20 b = 30 g = 10 msminus2

Figure 325

2) On augmente la tension et le mou-vement du traicircneau devient unifor-meacutement acceacuteleacutereacute

a) Le coefficient de frottementtraicircneau-sol restant identiques la reacute-action R est-elle modifieacutee

b) La vitesse du traicircneau passe de10 kmhminus1 agrave 20 kmhminus1 sur unedistance de 10 m Calculer la puis-sance exerceacutee par la tension du cacircblelorsque la vitesse vaut 15 kmhminus1

4 Un esquimau pousse un traicircneau de masse m = 100 kg le long de lrsquoaxe Ox pourfinalement le lancer dans la pente Ax afin drsquoatteindre un point B dans la pente Lapente fait un angle a avec lrsquohorizontale (figure 326)

Figure 326

On posera dans tout le problegraveme g = 10 msminus2 La force de frottement entre le sol etle traicircneau est du type frottement solide et veacuterifie les lois suivantes

bull Lorsque le traicircneau est mobile par rapport au sol le sol exerce sur le traicircneau uneforce de freinage f = KN qui est proportionnelle agrave la reacuteaction normale N exerceacuteepar le sol sur le traicircneau et proportionnelle au coefficient de frottement solide K

bull Tant que le traicircneau est immobile (v = 0) il faut au moins exercer une forceparallegravele au sol F gt KN pour le mettre en mouvement

1) Mouvement horizontal entre O et A

Au deacutepart le traicircneau est immobile en O Lrsquoesquimau doit exercer une pousseacutee mi-nimale Fo pour faire deacutemarrer le traicircneau puis il exerce une pousseacutee croissanteF(t) = Fo(1 + t

t) pour lui donner de la vitesse Dans tout ce qui suit t est une

constante et Fo = 100 N

a) Exprimer Fo en fonction de K m et g

b) Exprimer la vitesse v(t) et la position x(t) de lrsquoesquimau en fonction de Fomet t

c) Le point A est atteint en 10 s La vitesse v(A) est alors de 5 msminus1 Calculer lecoefficient de frottement K la constante t et la distance OA de lancement

2) Mouvement dans la pente entre A et B

En A lrsquoesquimau de masse me = 60 kg saute sur le traicircneau et lrsquoensemble prend lapente agrave la vitesse v(A) Le coefficient de frottement K est le mecircme dans la pente quesur le plat

a) Discuter les diffeacuterents types de mouvement possibles agrave partir de A selon lavaleur de a Trouver une condition neacutecessaire pour que le mouvement soitacceacuteleacutereacute

b) Lrsquoesquimau souhaite atteindre le point B agrave 2 km de A sans relancer le traicirc-neau La pente est de 8 et v(A) = 5 msminus1

bull Deacutecrire le mouvementbull Deacuteterminer la position drsquoarrecirctbull Lrsquoesquimau regrette de ne pas avoir farteacute les skis de son traicircneau Quel devrait

ecirctre le coefficient K de frottement pour qursquoil atteigne le point B Quelle est dansces conditions la dureacutee du parcours AB

Figure 327

5 On dispose drsquoun ressort agrave boudin BC deraideur k = 20 Nmminus1 de masse neacutegli-geable de longueur agrave vide lo = 10 cmet drsquoune masse m = 100 g consideacutereacuteecomme ponctuelle fixeacutee agrave lrsquoune de ses ex-treacutemiteacutes

On attache lrsquoextreacutemiteacute B du ressort agrave unfil inextensible de masse neacutegligeable delongueur l1 = 40 cm Lrsquoautre extreacutemiteacutedu fil est fixeacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute supeacuterieuredrsquoune tige verticale qui en tournant en-traicircne le fil le ressort et la masse drsquounmouvement de rotation uniforme (figure327) Apregraves un reacutegime transitoire lrsquoangle u entre le fil et la tige verticale prend unevaleur constante eacutegale agrave 60

1) Calculer la tension du ressort et sa longueur

2) Quelle est en nombre de tours par seconde la vitesse de rotation de la tige Onprendra g = 10 msminus2

Figure 328

6 Une masse m = 1 kg est suspendue agrave un ressortde raideur k fixeacute en A comme lrsquoindique la figure328

La tige OM rigide de masse neacutegligeable est arti-culeacutee en O et M et agit sans frottements de sorteque lrsquoaction de la tige sur la masse m est dirigeacuteedans lrsquoaxe OM de la tige Le ressort a une lon-gueur 2lo lorsqursquoil nrsquoest soumis agrave aucune forceDrsquoautre part AO = 2lo et OM = lo = 1 m

On suppose que le systegraveme est en eacutequilibre pourun angle u=60 et lrsquoon cherche agrave deacuteterminer laconstante de raideur du ressort k

1) Peut-on trouver une solution graphique agrave ce problegraveme (faire un scheacutema agrave lrsquoeacutechelle1 cm = 2 N 2 5 cm=1 m)

2) On rappelle deux relations dans un triangle ABC

minusrarrBC2 =

minusrarrAB2 +

minusrarrAC2 minus 2

minusrarrAB

minusrarrAC

minusrarrAB and minusrarr

AC =minusrarrBC and minusrarr

BA =minusrarrCA and minusrarr

Deacuteterminer la longueur du ressort AM ainsi que sin(minusrarrMO

minusrarrMA) en fonction de lo et u

3) Calculer la valeur de la constante de raideur k du ressort qui assure lrsquoeacutequilibre

a) en faisant le bilan des forces

b) en utilisant le theacuteoregraveme des moments

toωθ = x

Figure 329

7 Le mobile M est un anneau enfileacute sur lrsquoaxe ri-gide Oxprime Il peut glisser sur Oxprime sans frottementet on neacuteglige la pesanteur (alors lrsquoanneau nrsquoestsoumis qursquoagrave une reacuteaction normale de lrsquoaxe ri-gide)

Lrsquoaxe Oxprime tourne dans le plan xOy agrave la vitesseangulaire constante vo Le repegravere xOy est un re-pegravere galileacuteen Agrave lrsquoinstant t = 0 u = 0 r = rod r

d t = 0

1) Eacutecrire lrsquoeacutequation fondamentale de la dyna-mique dans le repegravere fixe xOy

2) Deacuteterminer les eacutequations horaires r(t) et u(t) du mouvement du point M

3) Repreacutesenter lrsquoallure de la trajectoire dans le plan xOy

Solutions

1 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacuteest un solide de masse m Les forces appliqueacutees rameneacutees au centre drsquoinertie du solide sont(figure 330) minusrarrP = mminusrarrg (verticale vers le bas)

minusrarrRn (reacuteaction normale du sol car pas de frottement) et

minusrarrT

(tension du fil)

1) Le centre drsquoinertie du solide est immobile dans le reacutefeacuterentiel terrestre si Pminusrarr

Fext =minusrarr0 rArr minusrarr

P +minusrarrRn +

minusrarrT =

minusrarr0

2) En projetant sur les axes du repegravere on obtient mg sin a = T et Rn = mg cos a

3) Le fil est remplaceacute par un ressort La tension du ressort est proportionnelle agrave son allonge-ment On a donc

T = k(l minus lo) rArr (l minus lo) = mgk sin a rArr l = lo + mg

k sin a

4) La tension est remplaceacutee par la force de frottementminusrarrf (figure 331)

On a donc f = mg sin a Rn = mg cos a et la condition drsquoeacutequilibre qui impose mRn gt f Lrsquoeacutequilibre est possible si m gt tan a = f

nRrarr

uxrarr

uyrarr

Figure 330

nRrarr

αα rarr

uyrarr

Figure 331

Si lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute on a minusrarrP +

minusrarrR =

minusrarr0 et les deux forces ont la mecircme ligne drsquoaction

Le point drsquoapplication de la reacuteaction se trouve donc agrave lrsquointersection de la surface de contactsolide-sol avec la ligne drsquoaction de

minusrarrP

α=60˚

nRrarr

Figure 332

2 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestreconsideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacuteest le traicircneau de masse m (m = 100 kg etg = 10 msminus2)

Les forces appliqueacutees (voir figure 332) sont minusrarrP = mminusrarrg

minusrarrF (action du bœuf)

minusrarrR (reacuteaction du

Principe fondamental de la dynamique

mminusrarrg +minusrarrR +

minusrarrF = mminusrarra

(minusrarra acceacuteleacuteration du centre drsquoinertie du traicircneau)

1) Si la reacuteaction du sol eacutetait uniquement normale au sol la projection des forces suivant lrsquoho-rizontale donnerait F cos a = mx Il nrsquoy aurait aucune condition sur F pour que le traicircneau semette en mouvement degraves que F = 0

Il existe donc des forces de frottement et la reacuteaction du sol est inclineacutee vers lrsquoarriegravere (fi-gure 332)

En projetant sur lrsquohorizontale et la verticale on a F cos a minus f = mx et Rn minus mg = 0

La condition est donc x gt 0 rArr F cos a gt f rArr Fm = fcos a

= f12 = 2f = 40 NrArr f = 20 N

Si le traicircneau bouge alors on a f = mRn avec m coefficient de frottement caracteacuteristique de lareacuteaction sol-traicircneau avec Rn = mg rArr m = f

mg = 201000 = 0 02 = tan w ougrave w est lrsquoangle

que fait la reacuteactionminusrarrR avec la normale au sol

minusrarrRn Cet angle de frottement vaut w = 1 146

Dans tout ce qui suit f reste constante et peut srsquoeacutecrire f = mRn = mmg

2) Pour la premiegravere eacutetape F1 cos aminusmmg = mx1 rArr x1 = F1m cos aminusmg = 1

2minus0 2 = 0 3 msminus2

Le mouvement est rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute Agrave t = 0 x1(0) = 0 et x1(0) = 0 On adonc

x1 = x1t = 0 3t rArr x1 = 12 x1t2 = 015t2 Au bout de t1 = 10 s le traicircneau a parcouru

x1(t1) = d1 = 12 x1t21 = 15 m et sa vitesse est x1(t1) = v1 = x1t1 = 3 msminus1

Pour lrsquoeacutetape suivante F2 cos a minus mmg = mx2 rArr x2 = F2m cos a minus mg = 0 2 minus 0 2 = 0

Le mouvement est donc rectiligne uniforme agrave la vitesse x2 = v1 = x1t1 = 3 msminus1 Le deacute-placement x2 srsquoeacutecrit x2 = x2t + C = v1t + C avec pour t = t1 x2 = d1 rArr C = d1 minus v1t1rArr x2 = v1(t minus t1) + d1

Agrave la date t = t1 + t2 il a parcouru x2(t1 + t2) = d2 = v1t2 + d1 = 60 + 15 = 75 m depuislrsquoorigine O point de deacutepart Sa vitesse est alors toujours v1

Pour la derniegravere eacutetape F3 cos a minus mmg = mx3 rArr x3 = F3m cos a minus mg = 0 1 minus 0 2 = minus0 1

msminus2

Le mouvement est donc rectiligne uniformeacutement deacuteceacuteleacutereacute A t = (t1 + t2) x3 = v1 et x3 = d2On a donc

x3 = x3t+C rArr C = v1 minus x3(t1 + t2) rArr x3 = x3(tminus t1 minus t2)+v1 = minus0 1(tminus30)+3 = minus0 1t+6

x3 = 12 x3t2 minus [x3(t1 + t2) minus v1] t + C rArr C = d2 minus 1

2 x3(t1 + t2)2 + [x3(t1 + t2) minus v1] (t1 + t2)

C = d2 + 12 x3(t1 + t2)2 minus v1(t1 + t2) = 75 minus 0 05(30)2 minus 3(30) = minus60 m

x3 = 12 x3t2 minus [x3(t1 + t2) minus v1] t + d2 + 1

2 x3(t1 + t2)2 minus v1(t1 + t2) = minus0 05t2 + 6t minus 60

La vitesse srsquoannule pour minus0 1(t minus 30) + 3 = 0 rArr t3 = 60 s Le traicircneau srsquoarrecircte alors

On a donc en conclusion

t1 gt t gt 0 = 10s rArr x = 12 x1t2 = 015t2 et v = x1t = 0 3t

t1 + t2 gt t gt t1 = 10s = 30s rArr x = x1t1(t minus t1) + 12 x1t21

x = v1(t minus t1) + d1 = x1t1(t minus t12 ) = 3(t minus 5) = 3t minus 15 et v = v1 = 3msminus1

t3 = 60s gt t gt t1 + t2 = 30 rArr x3 = minus0 05t2 + 6t minus 60 et x3 = minus0 1t + 6

Le traicircneau srsquoarrecircte au bout de 60 s agrave la distance du point de deacutepart d3 = minus0 05(60)2 +6(60) minus 60 = 120 m

nRrarr

uxrarr

uyrarr

Figure 333

3 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestreconsideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacute est letraicircneau de masse m (m = 200 kg et g = 10 msminus2)

Bilan des forces (figure 333)

minusrarrP = mminusrarrg = minusmg(sin aminusrarru x + cos aminusrarru y)

= minus2 000(sin 20minusrarru x + cos 20minusrarru y)

minusrarrT = T(cos bminusrarru x + sin b

minusrarrj )

= 1 000((cos 30minusrarru x + sin 30minusrarru y)

etminusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrRn = minusfminusrarru x + Rn

minusrarru y

minusrarrT +

minusrarrR = mminusrarra

Projection sur minusrarru x et minusrarru y minusmg sin a+ T cos bminus f = mx et minusmg cos a+ T sin b+ Rn = my = 0

1) Le mouvement est uniforme (vitesse constante x = v = 10 kmhminus1 = 259 msminus1) lrsquoacceacuteleacutera-

tion est nulle On a donc f = minusmg sin a + T cos b = 1000(minus2 sin 20 + cos 30) = 182 N

Rn = mg cos a minus T sin b = 1000(2 cos 20 minus sin 30) = 1379 4 N sbquo

minusrarrR

=radic

1822 + 1379 42 = 1391 35 N

tan w = fRn

= m = 18213794 = 0 132 rArr w = 7 5

Lrsquoangle w est lrsquoangle que faitminusrarrR avec la normale au sol Puisqursquoil y a mouvement on a la relation

f = mRn ougrave m est le coefficient de frottement ne deacutependant que de la nature des surfaces encontact

2) La tension T augmente Le mouvement devient uniformeacutement acceacuteleacutereacute (x gt 0) Rn va doncdiminuer Le coefficient m restant constant f diminue aussi Le module de

minusrarrR diminue mais

lrsquoangle w ne change pas

Calcul de lrsquoacceacuteleacuteration v = at + v1 et x = 12 at2 + v1t rArr t = vminusv1

a et x = 12

vminusv1a (v + v1)

On peut donc eacutecrire 2ax = v2 minus v21 rArr a =

v2minusv21

2x = (20minus10)(20+10)20 ( 103

3600 )2 = 1 16 msminus1

Calcul de Tprime f = mRn = m(mg cos a minus Tprime sin b) = minusma minus mg sin a + Tprime cos b On en tirelrsquoexpression de Tprime

Tprime = m acos b+m sin b

+ mg m cos a+sin a

cos b+m sin b= m a

cos b+m sin b+ T = 200 116

0932 + 1000 = 1248 93 N

La puissance est P =minusrarrT minusrarrv = T cos bv = 4506 7 W

4 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacuteest le traicircneau de masse m (m = 100 kg et g = 10 msminus2)

uxrarr

uyrarr

Figure 334

1) Mouvement horizontal suivant OA

Bilan des forces (figure 334) minusrarrP = mminusrarrg (

minusrarrP

= P = 1000N) minusrarrF (F = Fo(1 + t

minusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrN

Projection suivant lrsquohorizontale et la verticale N minus mg = 0 et F minus f = mx

Lorsqursquoil y a mouvement on a f = KN Pour deacutemarrer il faut

x gt 0 rArr F gt Fo = f = KN = Kmg

On a donc Fo = Kmg = 1000K

Ensuite F minus f = mx rArr Fo(1 + tt) minus Fo = mx rArr x = Fo

= Kg tt

x = v = 12

2 Kg t2

trArr x = 1

6 Kg t3

t=rArr K = Fo

mg = 1001000 = 0 1

Pour t = 10 s on a v = v(A) = 5 msminus1 rArr v(A) = 12 Kg t2

trArr t = 1

2 Kg t2

v(A) = 12

1005 = 10 s

OA = x = 16 Kg t3

10 = 1006 = 16 67 m

2) Mouvement sur la pente La masse du systegraveme est Mprime = m + me

Les forces appliqueacutees sontminusrarrP

minusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrRn

minusrarrR =

minusrarrP +

minusrarrf +

minusrarrRn = Mprimeminusrarra

Projection sur la base (minusrarru xminusrarru y) Mprimeg sin a minus f = Mprimex et minusMprimeg cos a + N = 0 et f = KN

On obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement g(sin aminusK cos a) = x = g sin a(1minus Ktan a

bull Si x gt 0 le mouvement est uniformeacutement acceacuteleacutereacute rArr K = 0 1 lt tan a rArr a gt 5 71

bull Si x = 0 le mouvement est uniforme de vitesse v(A) rArr K = tan a rArr a = 5 71

bull Si x lt 0 le mouvement est uniformeacutement deacuteceacuteleacutereacute rArr K gt tan a rArr a lt 5 71

La pente est de 8 = 0 08 rArr tan a asymp sin a asymp 0 08 rArr a = 4 57 Le mouvement seradonc uniformeacutement freineacute Lrsquoacceacuteleacuteration sera x = g sin a(1 minus K

tan a) = 0 8(1 minus 5

4 ) = minus0 2msminus2

x = g sin a(1 minus Ktan a

)t + v(A) = minus0 2t + 5

x = 12 g sin a(1 minus K

tan a)t2 + v(A)t = minus0 1t2 + 5t

Pour lrsquoarrecirct x = 0 rArr t = minus v(A)g sin a(1minus K

tan a)= 25 s et x = minus 1

2v(A)2

g sin a(1minus Ktan a

)= minus 1

2v(A)2

x = 62 5 m

Si AB = d = 2000 m rArr x = minus v(A)2

2d = minus 1160 msminus2 rArr (1 minus K

tan a) = x

g sin a= minus 1

K = tan a(1 minus xg sin a

) = (1 + v(A)2

2dg sin a) tan a = 0 08(1 + 1

128 ) = 0 080 625

Il faut donc que 0 080 625 gt K La dureacutee de la descente est t = minus v(A)x = 800 s

θ l1O

amrarr

Figure 335

5 Systegraveme la masse m = 0 1 kg reacutefeacuterentiel terrestregalileacuteen Bilan des forces (figure 335) minusrarrP (P = mg = 1 N) et

minusrarrT (T = k(l minus lo)

minusrarrT = mminusrarra

La masse m a un mouvement circulaire uniforme au-tour de lrsquoaxe vertical Elle deacutecrit un cercle de rayonr = (l1 + l) sin u agrave la vitesse angulaire v Lrsquoacceacuteleacutera-tion est donc normale et centripegravete et a pour expres-sion a = v2r = v2(l1 + l) sin u suivant lrsquohorizontaleet vers lrsquoaxe En projetant on obtient T cos u = mg etT sin u = mv2(l1 + l) sin u

On a donc k(l minus lo) cos u = mg rArr T = k(l minus lo) = mgcos u

(l minus lo) = mgk cos u

= 0 1 m rArr l = lo + 0 1 = 0 2 m

T sin u = mv2(l1 + l) sin u rArr mg

cos u= m(l1 + l)v2

rArr v = (g

(l1 + l) cos u)12 =

= 5 77 radsminus1 = 0 92 trsminus1

6 Systegraveme la masse m = 1 kg en eacutequilibre Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen Bilan des forces minusrarrP

minusrarrR

minusrarrT

minusrarrR +

minusrarrT =

minusrarr0

Theacuteoregraveme du moment cineacutetique minusrarrMo(

minusrarrP ) +

minusrarrMo(

minusrarrT ) +

minusrarrMo(

minusrarrR ) =

minusrarr0

θ=60˚

Figure 336

1)minusrarrP eacutetant connu en direction sens et in-

tensiteacute on deacutetermine la longueur des vec-teurs

minusrarrR et

minusrarrT dont les directions sont

connues en construisant le paralleacutelogrammeminusrarrR +

minusrarrT = minusminusrarr

P (figure 336)

On obtient T 6 6 cmrArr T = 13 2 N etAM = 6 6 cm pour une longueur agrave vide de5 cm Lrsquoallongement du ressort est donc de1 6 cm soit en tenant compte de lrsquoeacutechelle de0 64 m

La raideur du ressort est

k =TDl

=13 20 64

= 20 625 Nmminus1

2)minusrarrAM =

minusrarrAO +

minusrarrOM rArr minusrarr

AM2 =minusrarrAO2 +

minusrarrOM2

+2minusrarrAO

minusrarrOM = 4l2o + l2o + 4l2o cos u

AM2 = l2o (5 + 4 cos 60) rArr AM2 = 7l2o rArr AM =radic

7lo = 2 646 m (soit 6 615 cm sur legraphique agrave lrsquoeacutechelle 2 5 cmrarr 1 m)

AM = loradic

5 + 4 cos u rArr Dl = AM minus 2lo = loradic

5 + 4 cos u minus 2lo

AM = lohradic

5 + 4 cos u minus 2i

minusrarrOM and minusrarr

OA =minusrarrMA and minusrarr

MO rArr 2l2o sin(p minus u) = AMlo sin a rArr sin a = 2loAM sin u = 2radic

5+4 cos usin u

sin a = 2radic7

sin 60 = 0 655 rArr a = 40 89

3) En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur la direction perpen-diculaire agrave

minusrarrR on obtient mg sin u minus T sin a = 0 On en tire lrsquoexpression de T

T = mg sin usin a

= mg AM2lo

54 + cos u = 5

radic7 = 13 23 N (valeur veacuterifieacutee graphique-

La somme des moments des forces par rapport agrave O doit ecirctre nulle Le moment deminusrarrR est nul

puisque la ligne drsquoaction de cette force passe par O Il reste minusrarrMo(

minusrarrP ) +

minusrarrMo(

minusrarrT ) =

minusrarr0 rArr

minusrarrMo(

minusrarrP )

=sbquo

minusrarrMo(

minusrarrT )

Psbquo

= lomg sin u =sbquo

Tsbquo

= Tlo sin(p minus a) = Tlo sin a rArr T = mg sin usin a

On retrouve bien le mecircme reacutesultat On en deacuteduit lrsquoexpression de la raideur k du ressort

k =TDl

54 + cos u

hradic5 + 4 cos u minus 2

i rArr k = 10

radic7

21radic

7 minus 2= 20 48 Nmminus1

(on retrouve la valeur obtenue par la meacutethode graphique)

7 Le systegraveme est lrsquoanneau de masse neacutegligeable Le reacutefeacuterentiel est le reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen

Bilan des forces une forceminusrarrR de contact sans frottement avec la tige force perpendiculaire

agrave la tige

Principe fondamental de la dynamique minusrarrR = mminusrarra

En coordonneacutees polaires on peut eacutecrire

minusrarra = (r minus ru2)minusrarrur + (2ru + ru)minusrarruu =

Rmminusrarruu rArr r minus ru

On a de plus u = vot rArr u = vo rArr r minus rv2o = 0

Lrsquoeacutequation caracteacuteristique donne l2 minus v2o = 0 rArr l = plusmnvo rArr r = Aeminusvot + Bevot

Figure 337

Les condition initiales sont t = 0 r(0) = ro

et r(0) = 0 On a donc ro = A + B etr(0) = 0 = vo(B minus A) rArr A = B = ro

r(t) = ro2 (eminusvot + evot) = ro cos h(vot)

Lrsquoeacutequation de la trajectoire est

r(u) = ro cos hu = ro(eminusu + eu)

Crsquoest lrsquoeacutequation drsquoune spirale exponentielle(figure 337) r tend tregraves rapidement vers lrsquoin-fini Il est possible de connaicirctre la reacuteactionR = m(2ru + ru) = 2mrvo

R = 2mrov2o (evot minus eminusvot)

= 4mv2o ro sin h(vot) = 4mv2

o ro sin hu

CHAPITRE 4

TRAVAIL PUISSANCE EacuteNERGIE

Preacute-requis bull La notion de produit scalaire de deux vecteurs est supposeacutee acquise ainsique les notions drsquointeacutegration et de diffeacuterentiation Ces outils matheacutema-tiques sont abordeacutes dans lrsquoannexe ainsi que dans le livre Matheacutematiquespour la physique paru dans la mecircme collection

Objectif I Calculer le travail drsquoune force variable ou non sur un deacuteplacement quel-conque

I Application au calcul du travail de la force de pesanteur et de la forceeacutelastique quelle que soit lrsquoorientation des axes choisis

I Savoir utiliser le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetiqueI Comprendre comment deacutefinir lrsquoeacutenergie potentielle agrave partir de la notion

de force conservativeI Apprendre agrave utiliser la notion drsquoeacutenergie meacutecanique

1 TRAVAIL DrsquoUNE FORCE

11 Force constante sur un deacuteplacement rectiligneConsideacuterons un objet assimileacute agrave un point mateacuteriel G se deacuteplaccedilant sur une portion dedroite drsquoun point A agrave un point B et soumis agrave une force

minusrarrF constante au cours du deacuteplace-

ment (figure 41)

Figure 41 bull Deacuteplacement du point drsquoapplication drsquoune force sur un chemin rectiligne

Par deacutefinition le travail drsquoune forceminusrarrF constante sur un deacuteplacement rectiligne AB est

eacutegal au produit scalaire du vecteur force par le vecteur deacuteplacement minusrarrF = minusrarrcste sur

minusrarrAB =rArr WArarrB

(minusrarrF)

=minusrarrF

minusrarrAB = FAB cos a

avec a lrsquoangle que faitminusrarrF avec

minusrarrAB

Le travail est soit positif nul ou neacutegatif selon la direction de la forceminusrarrF par rapport au

deacuteplacement SiminusrarrF est perpendiculaire agrave AB le travail est nul la force F ne contribuant

pas agrave deacuteplacer lrsquoobjet Lorsque la force srsquooppose au deacuteplacement elle est reacutesistante et letravail est neacutegatif Lorsque la force est motrice le travail est positif

Le travail srsquoexprime en joules (symbole J)

12 Travail eacuteleacutementaireDans le cas ougrave la force

minusrarrF varie au cours du deacuteplacement qui peut ecirctre quelconque il nrsquoest

plus possible drsquoutiliser lrsquoexpression preacuteceacutedente En effet la force peut changer constam-ment drsquoorientation et drsquointensiteacute sur le deacuteplacement consideacutereacute Pour calculer le travail ondeacutecompose alors le trajet AB en une succession de deacuteplacements eacuteleacutementaires d

minusrarrl =

minusminusrarrMMrsquo

infiniment petits et donc rectilignes ( figure 42) Sur lrsquoun quelconque de ces trajets eacuteleacute-mentaires le vecteur force

minusrarrF peut ecirctre consideacutereacute comme constant et la deacutefinition preacute-

ceacutedente (paragraphe 11) peut srsquoappliquer Lrsquoexpression du travail eacuteleacutementaire sur un teldeacuteplacement eacuteleacutementaire peut donc srsquoeacutecrire

d WMminusrarrMprime

(minusrarrF)

=minusrarrF d

minusrarrl

Nous utiliserons par la suite indiffeacuteremment lrsquoappellation de travail eacuteleacutementaire du vecteurforce ou de circulation eacuteleacutementaire du vecteur force

)(MprimeprimeFrarr

ldrarr

)(MFrarr A

Mprimeprime

Figure 42 bull Force variable sur le deacuteplacement AB quelconque Sur ledeacuteplacement eacuteleacutementaire la force est consideacutereacutee comme constante car le

deacuteplacement est infiniment petit et la force nrsquoa pas le temps de varier

13 Force variable sur un deacuteplacement quelconquePour obtenir le travail total de la force sur le deacuteplacement total AB il suffit drsquoaddition-ner les travaux eacuteleacutementaires quand on passe du point A au point B La sommation estcontinue ce qui conduit agrave

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

minusrarrl

Le travail drsquoune force sur un deacuteplacement AB correspond agrave la circulation C du vecteurforce sur ce trajet

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

minusrarrl = CminusrarrF ArarrB

Travail puissance eacutenergie 95

TheacuteoregravemeLe travail drsquoune force au cours drsquoun deacuteplacement AB est eacutegal agrave la circulation duvecteur force sur ce deacuteplacement

2 EXEMPLES DE CALCUL DU TRAVAIL

21 Travail drsquoune force constante poids drsquoun corpsDans le cas ougrave le vecteur force reste constant (en norme direction et sens) au cours dudeacuteplacement de son point drsquoapplication comme lrsquoindique la figure 43 lrsquoexpression dutravail de cette force se simplifie Il en effet possible de sortir ce vecteur de lrsquointeacutegrale cequi conduit agrave

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF d

minusrarrl =

minusrarrF

dminusrarrl =

minusrarrF

minusrarrAB

)(MFrarr

Figure 43 bull Deacuteplacement drsquoune force constante

On constate alors que le travail de cette force ne deacutepend pas du chemin suivi mais uni-quement de la position initiale (A) et finale (B)

F = cste =rArr WArarrB

(minusrarrF)

=minusrarrF

minusrarrAB

Encart 41 Travail du poids drsquoun corpsUn exemple classique de ce type de situation concerne le travail du poids drsquoun corpsConsideacuterons une masse m se deacuteplaccedilant drsquoun point A drsquoaltitude zA agrave un point B drsquoalti-tude zB et calculons le travail du poids de ce corps au cours de ce deacuteplacement (voirfigure 44) Le deacuteplacement de A agrave B est supposeacute quelconque crsquoest-agrave-dire que le che-min qui megravene de A agrave B peut prendre diffeacuterentes trajectoires Le poids est une forceconstante en norme et en direction (agrave la condition de rester dans une reacutegion de lrsquoes-pace pas trop eacutetendue voir chapitre 3)

On obtient donc lrsquoexpression suivante du travail du poids

WArarrB

(minusrarrP)

minusrarrP (M) d

minusrarrl =

minusrarrP

minusrarrAB = mg (zA minus zB)

On constate que ce travail ne deacutepend pas du chemin suivi mais uniquement de ladiffeacuterence drsquoaltitude Il est positif (donc moteur) si lrsquoaltitude finale est plus petite quelrsquoaltitude initiale et neacutegatif (donc reacutesistant) dans le cas contraire

uyrarrux

uzrarr

Figure 44 bull Travail du poids drsquoun corps

Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en utilisant les coordonneacutees des points A et B et descomposantes du vecteur minusrarrg dans un repegravere carteacutesien (O x y z) En orientant lrsquoaxe Ozvers le haut (voir figure 44) nous pouvons eacutecrire

minusrarrP = mminusrarrg =

∣∣∣∣∣ 00

minusmget

minusrarrAB =

∣∣∣∣∣ xB minus xAyB minus yAzB minus zA

soit WArarrB

(minusrarrP)

=minusrarrP

Enfin ce reacutesultat peut se retrouver en partant de lrsquoexpression du travail eacuteleacutementairedu poids Dans le repegravere carteacutesien (O x y z) on peut eacutecrire

d WminusrarrP =

minusrarrP d

minusrarrl = minusmgminusrarru z (d xminusrarru x + d zminusrarru z) = minusmg d z

Il en reacutesulte que pour aller de A en B le travail du poids est donneacute par

WArarrB

(minusrarrP)

= mg(zA minus zB) (41)

On peut remarquer que le travail eacuteleacutementaire de correspond agrave lrsquoopposeacute de la diffeacuteren-tielle drsquoun fonction qui serait mgz + constante Nous y reviendrons par la suite

22 Travail drsquoune force eacutelastiqueConsideacuterons un ressort de raideur k de longueur au repos l0 au bout duquel est accro-cheacutee une masse m comme lrsquoindique la figure 45 Le ressort et la masse sont sur un planhorizontal et nous nous inteacuteressons uniquement agrave la tension du ressort

La force eacutelastiqueminusrarrT crsquoest-agrave-dire la force de tension du ressort est une force qui varie avec

lrsquoeacutetat drsquoeacutetirement du ressort k Ce nrsquoest donc pas une force constante au cours du deacuteplace-ment Pour calculer le travail de cette force il nous faut calculer le travail eacuteleacutementaire de

uxrarr

Figure 45 bull Illustration de la force de tension drsquoun ressort

cette force sur un deacuteplacement infiniment petit sur lequel nous consideacutererons que la forceest constante

Avec les conventions drsquoorientation des vecteurs de la figure 45 la tension srsquoexprime de lafaccedilon suivante

minusrarrT = minuskDlminusrarru x = minusk (l minus l0)minusrarru x = minuskxminusrarru x

Le travail eacuteleacutementaire de la force eacutelastiqueminusrarrT lorsque la masse passe drsquoune position x agrave

une position x + d x est donc donneacute par

d Wxrarrx+d x

(minusrarrT)

=minusrarrT d

minusrarrl = minuskxminusrarru x d xminusrarru x = minuskx d x = minusd

Lorsque le point drsquoapplication passe drsquoune position x1 agrave une position x2 le travail de laforce eacutelastique est donc

Wx1rarrx2

(minusrarrT)

=int x2

minusrarrT d

minusrarrl =int x2

minuskx d x =12

2minus x2

)Nous remarquons que le travail de cette force ne deacutepend pas du chemin suivi mais uni-quement de la position initiale et finale du ressort Le travail eacuteleacutementaire correspond lagraveaussi agrave lrsquoopposeacute de la diffeacuterentielle drsquoune fonction qui est 1

2 kx2 + cste

23 Travail de la force de Lorentz

Consideacuterons une particule de charge q se deacuteplaccedilant agrave la vitesse minusrarrv dans un champ ma-gneacutetique

minusrarrB La force magneacutetique subie par la particule est la force de Lorentz donneacutee

par minusrarrF = qminusrarrv and minusrarr

Le travail eacuteleacutementaire de cette force au cours drsquoun deacuteplacement sur sa trajectoire estdonneacute par

d W = q(minusrarrv and minusrarrB ) d

minusrarrl = q(minusrarrv and minusrarr

B )minusrarrv d t = 0

Il est toujours nul car le deacuteplacement eacuteleacutementaire de la particule est toujours perpendi-culaire agrave la force

minusrarrF On peut donc conclure que la force de Lorentz ne travaille pas sur sa

trajectoire

3 PUISSANCE DrsquoUNE FORCE

En introduisant la deacutefinition du travail eacuteleacutementaire drsquoune force effectueacute entre les instant tet t + d t il est possible de deacutefinir une puissance instantaneacutee P (t) par

P (t) =d Wd t

=minusrarrF

dminusrarrl

minusrarrF minusrarrv

Cette grandeur srsquoexprime dans le systegraveme international drsquouniteacutes en Watts en utilisant lesymbole W

Il est donc clair que le travail eacuteleacutementaire peut aussi srsquoexprimer agrave partir de la puissancede la force et srsquoeacutecrire

d W =minusrarrF minusrarrv d t = P (t) d t

ce qui conduit agrave lrsquoexpression suivante du travail drsquoune force

W1rarr2

(minusrarrF)

=int t2

minusrarrF minusrarrv d t =

int t2

t1P (t) d t

4 EacuteNERGIE

41 Eacutenergie cineacutetique theacuteoregraveme

Consideacuterons un point mateacuteriel G se deacuteplaccedilant dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen R sous lrsquoactiondrsquoun ensemble de forces exteacuterieures Le mouvement de ce point est reacutegi par le principefondamentale de la dynamique soit

summinusrarrF ext = mminusrarra GR = m

dminusrarrv GR

Au cours drsquoun deacuteplacement eacuteleacutementaire dminusrarrl la somme des travaux eacuteleacutementaires des forces

exteacuterieures est donneacutee par

summinusrarrF ext d

minusrarrl = m

dminusrarrv G

d t dminusrarrl = mminusrarrv G dminusrarrv G

Par inteacutegration de cette relation sur un trajet AB nous obtenons

vBintvA

minusrarrv dminusrarrv =sum Bint

minusrarrF ext d

minusrarrl =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

m(v2B minus v2

A) =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

Drsquoapregraves lrsquoeacutequation 43 on voit qursquoil est inteacuteressant de deacutefinir une fonction drsquoeacutetat ne deacute-pendant que de la vitesse du point appeleacutee eacutenergie cineacutetique

Pour un point mateacuteriel de masse m se deacuteplaccedilant agrave la vitesse v dans un reacutefeacuterentiel R

galileacuteen nous poserons que lrsquoeacutenergie cineacutetique de ce point est Ec =1

Dans ces conditions nous observons que la variation drsquoeacutenergie cineacutetique du point mateacuterielentre deux positions est eacutegale au travail de toutes les forces appliqueacutees sur ce point ce quiconstitue un theacuteoregraveme appeleacute theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetiqueDans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la variation drsquoeacutenergie cineacutetique drsquoun point mateacuterielsoumis agrave un ensemble de forces exteacuterieures entre une position A et une position Best eacutegale agrave la somme des travaux de ces forces entre ces deux points

Ec (B) minus Ec (A) =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

42 Eacutenergie potentiellea) Forces conservatives

Le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique permet de deacuteterminer lrsquoeacutetat de la vitesse drsquoun pointmateacuteriel Il repose sur la deacutetermination du travail de toutes les forces exteacuterieures appli-queacutees agrave ce point Il est possible de deacutefinir une seconde fonction drsquoeacutetat appeleacutee eacutenergiepotentielle du systegraveme Pour ce faire il importe de distinguer deux types de forces exteacute-rieures bull Les forces conservatives qui sont les forces dont le travail ne deacutepend pas du chemin suivi

mais que du point de deacutepart et du point drsquoarriveacutee Exemples travail du poids travailde la tension du ressort travail drsquoune force constante

bull Les forces non conservatives dont le travail deacutepend du chemin suivi comme parexemple les forces de frottement Si lrsquoon considegravere une force de frottement solideminusrarrF = minusK d

minusrarrl d l de norme constante K celle-ci srsquooppose constamment au deacuteplace-

ment On aura donc

d W = minusKdminusrarrl

d l dminusrarrl = minusK d l

WArarrB

(minusrarrF)

= minusKint B

Ad l = minusK

Ce travail de la force de frottement solide deacutepend donc du chemin suivi

b) Eacutenergie potentielle

Nous nous placcedilons ici purement dans le cadre de la meacutecanique Pour cette raison nousappreacutehendons lrsquoeacutenergie potentielle de faccedilon simple et moins ambitieuse que ce que nouspourrions faire dans le cadre plus geacuteneacuteral de la thermodynamique1

Par deacutefinition le travail des forces conservatives ne deacutepend pas du chemin suivi maisuniquement de lrsquoeacutetat initial et final Le travail de ces forces peut donc srsquoexprimer agrave partirdrsquoune fonction drsquoeacutetat appeleacutee eacutenergie potentielle Ep Pour des raisons qui apparaicirctrontclairement au paragraphe 43 nous conviendrons que la variation drsquoeacutenergie potentielleest repreacutesenteacutee par lrsquoopposeacute du travail des forces conservatives soit

EP (B) minus EP (A) = minusWArarrB

(minusrarrF C

)ce qui peut encore srsquoeacutecrire

DEP = minusWArarrB

(minusrarrF C

)Cette relation conduit en explicitant le travail agrave la deacutefinition inteacutegrale de lrsquoeacutenergie poten-tielle

EP (B) minus EP (A) = minusBint

minusrarrF C

ext dminusrarrl (45)

De lrsquoexpression inteacutegrale (45) il est possible de deacuteduire la deacutefinition diffeacuterentielle de lrsquoeacutener-gie potentielle en faisant apparaicirctre le travail eacuteleacutementaire de la force conservative soit

d EP = minusminusrarrF C

ext dminusrarrl

Finalement la diffeacuterentielle de lrsquoeacutenergie potentielle peut srsquoexprimer en fonction du gra-dient de EP (annexe 1 7)

d EP = minusminusrarrgrad EP dminusrarrl

On aboutit agrave la deacutefinition locale de lrsquoeacutenergie potentielle

minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF C

ext (46)

Alors que les deux autres deacutefinitions preacutesentent des appellations eacutevidentes il est certai-nement utile de commenter la terminologie de cette derniegravere deacutefinition Le terme localsignifie que lrsquoeacutequation (46) est valide en un point particulier de lrsquoespace et que drsquoun pointagrave un autre de lrsquoespace le reacutesultat de lrsquoopeacuterateur gradient appliqueacute agrave la fonction scalaireeacutenergie potentielle peut ecirctre variable

Les trois formes preacuteceacutedentes sont eacutequivalentes entre elles comme lrsquoindique la figure reacuteca-pitulative 46

1 Agrave lire agrave ce sujet Le principe de conservation de lrsquoeacutenergie et le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique par E Saltiel BUP1997 n 794 957-972

ldFAEBEB

CextPP

rarrrarr)()( intminus=minus ldFdE C

rarrrarrminus=

CextP FEgrad

rarrminus=

Forme inteacutegrale Forme diffeacuterentielle

Forme locale

Figure 46 bull Repreacutesentation scheacutematique des trois formes possibles de lrsquoeacutenergie potentielle

c) Exemples drsquoeacutenergie potentielle

Eacutenergie potentielle de pesanteur En reprenant les reacutesultat obtenus agrave lrsquoeacutequation (41)nous avons avec lrsquoaxe Oz axe vertical ascendant

WArarrB

(minusrarrP)

= mg(zA minus zB) = EPP (A) minus EPP (B)

Par comparaison avec la relation inteacutegrale il apparaicirct clairement que nous pouvons deacutefinirla fonction eacutenergie potentielle de pesanteur EPP (z) par

EPP (z) = mgz + C

Cette fonction est deacutefinie agrave une constante C pregraves qursquoil convient de fixer La deacuteterminationde cette constante se fait par le choix arbitraire du zeacutero de la fonction eacutenergie potentielleEn geacuteneacuteral lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur est prise nulle en z = 0 ce qui imposeC = 0 Ce choix entraicircne que

EPP (z) = mgz

Remarquesbull Le calcul de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur se fait tout aussi simplement agrave partir de

la relation diffeacuterentielle

d W(minusrarr

=minusrarrP d

minusrarrl = minusmgminusrarru z(d xminusrarru x + d zminusrarru z) = minusmg d z = minusd EPP

Nous obtenons immeacutediatement lrsquoexpression de la fonction eacutenergie potentielleEPP = mgz en choisissant la constante nulle comme preacuteceacutedemment

bull Si lrsquoaxe Oz est orienteacute vers le bas (axe vertical descendant) nous obtenons

d WP =minusrarrP d

minusrarrl = minusmgminusrarru z(d xminusrarru x + d zminusrarru z) = minusmg d z

et lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur devient

Epp = minusmgz

Il faut donc bien preacuteciser lrsquoorientation choisie pour lrsquoaxe Oz pour utiliser la bonne ex-pression de lrsquoeacutenergie potentielle Un bon moyen de veacuterifier si lrsquoexpression utiliseacutee estcorrecte consiste agrave veacuterifier que lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur augmente toujoursavec lrsquoaltitude

Eacutenergie potentielle eacutelastique En reprenant les reacutesultats obtenus agrave lrsquoeacutequation (42) nousvoyons que

d Wxrarrx+d x

(minusrarrT)

=minusrarrT d

minusrarrl = minuskx d x = minusd

= minusd (EPe)

ou encore

Wx1rarrx2

(minusrarrT)

= minuskint x2

x d x =12

1 minus x22

)Lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique EPe correspond donc agrave

EPe =12

kx2 + C

Il est logique de choisir lrsquoeacutenergie potentielle nulle pour une deacuteformation nulle Laconstante C est alors nulle et nous obtenons finalement

EPe =12

Attention Dans cette expression x repreacutesente lrsquoallongement (ou la compression) du res-sort (voir figure 45) Un choix diffeacuterent de lrsquoorigine des abscisses conduirait agrave une ex-pression diffeacuterente de cette eacutenergie potentielle Il vaut donc mieux retenir le reacutesultat enintroduisant lrsquoallongement du ressort

EPe =12

k (Dl)2 =12

k (l minus l0)2

Eacutenergie potentielle et force Nous avons vu que lrsquoeacutenergie potentielle Ep est relieacutee locale-ment agrave la force

minusrarrF qui en deacuterive par la relation

minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF

Cette relation est utile pour revenir agrave lrsquoexpression de la force quand on connaicirct lrsquoexpres-sion de Ep Ainsi pour lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur il vient pour un axe verticalascendant

minusrarrF = minusminusminusrarrgrad EPP = minusd EPP

d zminusrarru z = minusmgminusrarru z

ce qui montre bien que le poids drsquoun corps deacuterive de la fonction eacutenergie potentielle depesanteur

De mecircme pour lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique nous voyons que la force eacutelastique deacuterivede la fonction eacutenergie potentielle eacutelastique

minusrarrF = minusminusminusrarrgrad EPe = minusd EPe

d xminusrarru x = minus

12 kx2)

d xminusrarru x = minuskxminusrarru x

43 Eacutenergie meacutecaniqueNous introduisons maintenant une nouvelle fonction particuliegraverement utile dans tous lesproblegravemes de meacutecanique lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme Pour deacutefinir cette fonctionnous partons du theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique dans lequel nous faisons apparaicirctre letravail des forces conservatives et celui des forces non conservatives soit

WArarrB

(minusrarrF C

WArarrB

(minusrarrF NC

)En appelant Ep lrsquoeacutenergie potentielle totale somme des eacutenergies potentielles dont deacuterivechaque force conservative on peut eacutecrire

[Ec (B) minus Ec (A)] = [EP (A) minus EP (B)] +sum

WArarrB

(minusrarrF NC

)ce qui en faisant passer lrsquoeacutenergie potentielle dans le membre de gauche conduit agrave

[Ec (B) minus Ec (A)] + [EP (B) minus EP (A)] =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

)Si lrsquoon regroupe dans le premier membre les fonctions qui ne deacutependent que de B et deA il vient

[Ec (B) + EP (B)] minus [Ec (A) + EP (A)] =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

)Il est possible drsquointroduire une nouvelle fonction drsquoeacutetat appeleacutee eacutenergie meacutecaniqueE du systegraveme en posant E = Ec + EP

Lrsquointroduction de cette fonction permet de preacutesenter de faccedilon tregraves simple le bilan eacutenergeacute-tique drsquoun systegraveme par la relation suivante

(EB minus EA) =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

)ce qui conduit au theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecaniqueLa variation drsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme entre deux points A et B est eacutegalela somme des travaux des forces exteacuterieures non-conservatives appliqueacutees agrave ce sys-tegraveme

Les forces non conservatives eacutetant des forces reacutesistantes lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegravemene peut que diminuer au cours du temps

Cependant lorsqursquoun systegraveme est meacutecaniquement isoleacute (crsquoest-agrave-dire pour un systegravemequi ne subit aucune force exteacuterieure non conservative) lrsquoeacutenergie meacutecanique se conserveLrsquoeacutenergie meacutecanique ne deacutepend plus du point consideacutereacute

Systegraveme meacutecaniquementisoleacute lArrrArr E = cste

5 EacuteTATS LIEacuteS DrsquoUN SYSTEgraveME MEacuteCANIQUEMENT ISOLEacute

51 Eacutevolution drsquoun systegravemeLorsqursquoun systegraveme est meacutecaniquement isoleacute son eacutenergie meacutecanique se conserve On adonc pour un tel systegraveme

E = EC + EP = cste

En eacutecrivant que lrsquoeacutenergie cineacutetique est une grandeur neacutecessairement positive nous obte-nons une condition restreignant les eacutetats eacutenergeacutetiques possibles du systegraveme cette condi-tion de restriction deacutefinit ce que lrsquoon appelle les eacutetats lieacutes du systegraveme Ces eacutetats sont deacutefinispar

EC gt 0 rArr E minus EP gt 0

Pour une masse accrocheacutee agrave une ressort les eacutetats lieacutes du systegraveme sont deacutefinis par

E minus 12

kx2 gt 0 rArr minusradic

lt x lt

radic2Ek

Les valeurs de x en dehors de cet intervalle sont inaccessibles au systegraveme qui est dit en-fermeacute dans un puits de potentiel agrave cause de la forme prise par la fonction eacutenergie poten-tielle

Le systegraveme ne peut eacutevoluer qursquoentre les valeurs de x comprises entre minusxm et xm Le systegravemeest pris dans un puits de potentiel comme lrsquoindique la figure 47

-4 -2 0 2 400

puits de potentiel

Figure 47 bull Graphe des eacutenergies en fonction de lrsquoallongement pour un ressort

52 Stabiliteacute drsquoun systegravemea) Deacutefinition de la stabiliteacute

Pour un systegraveme soumis uniquement agrave une force conservative il est inteacuteressant de savoirsrsquoil existe ou pas des eacutetats drsquoeacutequilibre La forme locale de lrsquoeacutenergie potentielle permetdrsquoeacutecrire que

minusrarrF = minusminusminusrarrgrad EP

Dans le cas ougrave lrsquoeacutenergie potentielle ne deacutepend que drsquoune variable x cela revient agrave direque

minusrarrF = minusd EP

d xminusrarru x

La condition drsquoeacutequilibre se traduisant parminusrarrF = 0 peut donc srsquoeacutecrire aussi

d x= 0

Une position drsquoeacutequilibre se traduit donc par un extremum de la fonction eacutenergie poten-tielle

Un eacutequilibre est dit stable si agrave la suite drsquoune perturbation qui a eacuteloigneacute le systegraveme decette position celui-ci y retourne spontaneacutement Dans le cas contraire lrsquoeacutequilibre est ditinstable

b) Conditions de stabiliteacute

Reprenons le cas ougrave lrsquoeacutenergie potentielle ne deacutepend que drsquoune variable x et supposons quepour x0 la deacuteriveacutee de cette fonction est nulle Pour une perturbation amenant le systegraveme agravex lt x0 la valeur algeacutebrique de la force doit ecirctre positive pour ramener le systegraveme vers x0

soit d EPd x (x) lt 0 Dans le cas contraire x gt x0 la force doit ecirctre neacutegative et donc d EP

d x (x) gt 0(voir lrsquoexemple de la masse accrocheacutee agrave un ressort de la figure 48) La fonction EP deacutecroicirctavant x0 et est croissante apregraves x0 Elle preacutesente donc un minimum pour x = x0

TT uxrarrrarr

xltx0 = 0

xgtx0 =0

Position drsquoeacutequilibre x0 =0

uxrarr

Figure 48 bull En dehors de la position drsquoeacutequilibre x0 = 0 la valeur algeacutebriqueT de la tension est positive pour x lt x0 et neacutegative pour x gt x0 La force de

tension drsquoun ressort est une force de rappel

Dans ce cas la fonction d EPd x (x) est une fonction croissante qui srsquoannule pour x = x0 La

condition de stabiliteacute crsquoest-agrave-dire Ep minimale peut donc se traduire par d2EPd x2 (x) gt 0 au

voisinage de x0 et donc pour x = x0 Dans le cas contraire la position sera une positiondrsquoeacutequilibre instable Nous concluons donc sur le scheacutema suivant

Eacutequilibre stable pour x = x0 lArrrArr Ep(x0) minimale

= 0 etd2 EP

Eacutequilibre instable pour x = x0 lArrrArr EP(x0) maximale

= 0 etd2 EP

Un systegraveme livreacute agrave lui-mecircme eacutevolue donc spontaneacutement vers un eacutetat drsquoeacutequilibrequi correspond agrave une position pour laquelle lrsquoeacutenergie potentielle est minimale

Remarque On peut eacutecrire que

avec dminusrarrl vecteur deacuteplacement eacuteleacutementaire quelconque

Pour un deacuteplacement quelconque dminusrarrl sur une surface drsquoeacutenergie potentielle constante

d EP = 0 Le vecteur minusminusrarrgrad EP est donc perpendiculaire aux surfaces drsquoeacutegale eacutenergie po-tentielle (voir annexe 1 72)

Pour un deacuteplacement perpendiculaire aux surfaces eacutequipotentielles vers les eacutenergies po-tentielles croissantes d EP gt 0 et donc minusminusrarrgrad EP a la mecircme direction que le deacuteplacementLe vecteur minusminusrarrgrad EP est donc dirigeacute vers les eacutenergies potentielles croissantes

La forceminusrarrF = minusminusminusrarrgrad EP est donc toujours dirigeacutee vers les eacutenergies potentielles deacutecrois-

santes

Un systegraveme livreacute agrave lui-mecircme eacutevolue spontaneacutement vers les eacutenergies potentiellesdeacutecroissantes

Encart 42 Eacutevolution drsquoune bille dans le champs de pesanteur terrestre

Ce que nous venons de formuler peut srsquoillustrer simplement par lrsquoexemple suivantConsideacuterons une bille de masse m pouvant se deacuteplacer sur un sol constitueacute drsquoun creuxet drsquoune bosse comme lrsquoindique la figure 49 Lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur decette masse ne peut varier qursquoentre une valeur maximale (sommet de la bosse) et unevaleur minimale (fond du creux)

Energie potentielle depesanteur maximale eacutequilibre

instable

Energie potentielle de pesanteur minimale

eacutequilibre stable

Evolution spontaneacutee poids dirigeacute versles eacutenergies potentielles deacutecroissantes

Figure 49 bull Illustration de lrsquoeacutevolution drsquoun systegravemeen fonction de son eacutenergie potentielle

Agrave RETENIR

Deacutefinition du travail drsquoune force

Le travail drsquoune force au cours drsquoun deacuteplacement AB est eacutegal agrave la circulation du vecteurforce sur ce deacuteplacement

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

Deacutefinition de la puissance drsquoune force

La puissance instantaneacutee P (t) drsquoune forceminusrarrF est deacutefinie par

P (t) =d Wd t

=minusrarrF

dminusrarrl

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique

Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la variation drsquoeacutenergie cineacutetique DEc = 12 mv2

Bminus 12 mv2

A drsquounpoint mateacuteriel soumis agrave un ensemble de forces exteacuterieures entre une position A et uneposition B est eacutegale agrave la somme des travaux de ces forces entre ces deux points

WArarrB

(minusrarrF ext

) Deacutefinition de la variation drsquoeacutenergie potentielle

La variation drsquoeacutenergie potentielle associeacutee agrave une force conservativeminusrarrF (force dont le

travail ne deacutepend pas du chemin suivi) qui travaille entre deux points A et B est eacutegaleagrave lrsquoopposeacute du travail de cette force conservative

(minusrarrF C

Les trois deacutefinitions suivantes sont agrave connaicirctre

bull Deacutefinition inteacutegrale

minusrarrF C

ext dminusrarrl

bull Deacutefinition diffeacuterentielled EP = minusminusrarr

F Cext d

minusrarrl

bull Deacutefinition locale minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF C

Lrsquoapplication des deacutefinitions ci-dessus permet de montrer que

ndash Lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur (avec g uniforme) est

EP = mgz si lrsquoaxe des z est vertical ascendant

EP = minusmgz si lrsquoaxe des z est vertical descendant

ndash Lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique est

EP =12

k(l minus l0)2

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique

La variation drsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme entre deux points A et B est eacutegale agrave lasomme des travaux des forces exteacuterieures non-conservatives appliqueacutees agrave ce systegraveme

(EB minus EA) =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

)avec lrsquoeacutenergie meacutecanique E du systegraveme deacutefinie par

E = Ec + EP

Conditions de stabiliteacute drsquoun eacutequilibre

Eacutequilibre stable pour x = x0 lArrrArr Ep(x0) minimale()d EP

= 0 etd2 EP

Eacutenergie et chute libre

Orsquo

xurarr

zurarr

Figure 410

Un skieur deacutecide de faire du horspiste (voir figure) Il se retrouve surun passage en forme drsquoarc de cercleAO de rayon CA = CO = R et abou-tissant sur un fosseacute de largeur l Lepoint O se trouve agrave une hauteur h parrapport agrave lrsquoautre bord D du fosseacute Leskieur estimant qursquoil aura assez drsquoeacutelanen O pour passer le fosseacute part dupoint A sans vitesse initial (VA = 0)Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuteren-tiel terrestre consideacutereacute galileacuteen et leskieur est assimileacute agrave un point mateacute-riel M de masse m Lrsquoorigine du re-pegravere choisi est en O (voir figure 410)

Donneacutees m = 60 kg g = 10 msminus2 R = 40 m h = 3 2 m l = 7 m

a = 60 =p

I Descente sur lrsquoarc AO

1) On suppose que les frottements sont neacutegligeables Faire un bilan des forces appli-queacutees agrave M (faire un scheacutema) Le systegraveme est-il conservatif Que peut-on dire alors delrsquoeacutenergie meacutecanique

2) Exprimer lrsquoaltitude z du point M en fonction de R et de lrsquoangle OCM = u (voirfigure)

On choisit le point O comme origine des eacutenergies potentielles de pesanteur Ep(O) = 0

Exprimer lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur Ep(A) au point A (en A u(A) = a)

3) Exprimer lrsquoeacutenergie meacutecanique Em(A) en A et Em(O) en O et en deacuteduire lrsquoexpressionde la vitesse V(O) = Vo Faire lrsquoapplication numeacuterique

4) En fait il existe des frottements solide et la vitesse Vo en O est plus faible que preacutevueOn appelle f la valeur de la force de frottement constante sur AO qui srsquooppose aumouvement

a) Exprimer le travail WAO de cette force f entre A et O

b) Que peut-on dire de la variation drsquoeacutenergie meacutecanique DEm = Em(O) minus Em(A)

c) En deacuteduire une expression de f en fonction de m g R Vo et a

d) Application numeacuterique On trouve Vo = 10 msminus1 calculer f

II Chute libre

1) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesseminusrarrV o au point O dans la base (minusrarru x

minusrarru z)2) Faire lrsquoeacutetude dans le repegravere (O x z) de la masse m en chute libre (on neacuteglige toutfrottement) En deacuteduire lrsquoeacutequation de la trajectoire z = f (x) et faire lrsquoapplication nu-meacuterique avec Vo = 10 msminus1

3) En deacuteduire si le skieur retombe de lrsquoautre cocircteacute du fosseacute ou pas

SolutionI Descente sur lrsquoarc AO

1) Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru x

La reacuteaction du sol pas de frottement donc la reacuteaction est normale minusrarrN = Nminusrarru x

Le systegraveme est conservatif (pas de frottement et le poids force conservative) On a alorsconservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique

Em = constante

2) z = R minus R cos u = R(1 minus cos u)Ep(A) minus Ep(O) = mg(zA minus zo) donc

Ep(A) = mgzA = mgR(1 minus cos a) =12 000 J

3) Em(A) = Ep(A) + Ec(A) = Ep(A) = mgR(1 minus cos a)

Em(O) = Ep(O) + Ec(O) = Ec(O) =12

Em(A) = Em(O) rArr mgR(1 minus cos a) =12

mV2o rArr Vo =

radic2gR(1 minus cos a) = 20 msminus1

4) a) WAO =int O

minusrarrf d

minusrarrl =int O

Aminusfdl = minusf

Adl = minusf

L AO = minusfRa = minusfR

3(la force de frottement srsquooppose au deacuteplacement et garde un module constant)

b) Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique la variation drsquoeacutenergie meacutecanique entre 2 posi-tions est eacutegale au travail des forces non conservatives entre ces 2 positions

DEm = Em(O) minus Em(A) = WAO rArr 12

mV2of minus mgR(1 minus cos a) = minusfRa

c) f =m

2aR(2gR(1 minus cos a) minus V2

o ) =2 7004p

= 21486 N

d) f = 214 9 N

II Chute libre

1)minusrarrV o = Vo

minusrarru x

2) La masse m nrsquoest soumis alors qursquoagrave son poids (chute libre) En appliquant le principefondamental de la dynamique

minusrarrP = minusmgminusrarru z = mminusrarra rArr minusrarra = minusgminusrarru z rArr z = minusg

minusrarra =

⎡⎣ 00

z = minusgrArr minusrarrv =

⎡⎣ vox = Vo

voy = 0voz = minusgt + voz = minusgt

rArr minusrarrOM =

⎡⎣ x = Vot + xo = Voty = yo = 0

z = minus 12 gt2 + zo = minus 1

On a donc

x = Vot

z = minus 12 gt2

t = xVo

z = minus 12 g x2

rArr z = minus 12 g x2

= minus x2

3) Pour z = minush on a h = 12 g x2

20 rArr x =radic

20h =radic

64 = 8 m gt 7 m Le skieurtraverse donc le fosseacute

Eacutetude drsquoune bille dans une gouttiegravere

Une bille assimileacutee agrave un point mateacuteriel M de masse m peut glisser sans frottement surle fond drsquoune gouttiegravere demi cylindrique de rayon R Elle est relieacutee agrave une extreacutemiteacutedrsquoun ressort de raideur k et de longueur agrave vide lo lrsquoautre extreacutemiteacute eacutetant fixeacutee sur unsupport situeacute agrave la distance lo du rebord (voir scheacutema 411) La bille reste toujours encontact avec la gouttiegravere

M Point mateacuterielde masse m

Le ressort est de raideur k et sa longueur agrave vide (ni eacutetireacute ni comprimeacute) est lo Le diamegravetre des spires est neacutegligeable

Gouttiegravere demi cylindre

de rayon R

Figure 411

Le point M est repeacutereacute par lrsquoangle u que fait OM avec lrsquohorizontale OA

Rappel de quelques formules trigonomeacutetriques ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩cos(a + b) = cos a cos b minus sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

cos 2a = cos2 a minus sin2 a = 2 cos2 a minus 1 = 1 minus 2 sin2 asin 2a = 2 sin a cos a

On rappelle que la somme des trois angles drsquoun triangle est eacutegale agrave p

Les parties I et II sont indeacutependantes

I Eacutequilibre de la bille (eacutetude des forces)

1) Faire un bilan des forces agissant sur la masse et les repreacutesenter sur un scheacutema

2) Eacutecrire la condition drsquoeacutequilibre

3) En projetant convenablement cette condition

a) Deacuteduire une relation entre la tension T du ressort le poids P de la masse etlrsquoangle u = ue (position agrave lrsquoeacutequilibre)

b) Deacuteduire une relation entre la reacuteaction RN de la gouttiegravere la tension T du ressortle poids P de la masse et lrsquoangle ue

4) Calculer lrsquoallongement du ressort et montrer que la tension T du ressort srsquoeacutecrit

T = 2kR sinue

25) Agrave partir des reacuteponses 3)a) et 4) exprimer laquo tan ue raquo en fonction de m g k et R

6) A N Calculer ue si m = 0 1 kg g = 10 msminus2 k = 10 Nmminus1 et R = 10 cm

II Eacutequilibre de la bille (eacutetude de lrsquoeacutenergie potentielle)

La masse m se trouve dans une position quelconque deacutefinie par lrsquoangle u

1) Exprimer lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur Epp de la masse en fonction de lrsquoangle uOn prendra lrsquoorigine des eacutenergies potentielles au niveau du point O

2) Exprimer lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique Epe en fonction de lrsquoangle u

3) Montrer alors que lrsquoeacutenergie potentielle totale EP du systegraveme srsquoeacutecrit

EP(u) = kR2(1 minus cos u) minus mgR sin u

4) Agrave quelle condition sur lrsquoeacutenergie potentielle EP le systegraveme est-il en eacutequilibre Endeacuteduire lrsquoexpression detan ue pour lequel la masse est en eacutequilibre et veacuterifier le reacutesultatobtenu agrave la question I5)

SolutionI Eacutequilibre de la bille (eacutetude des forces)

b) Suivant le rayon OM

T cos(

2minus ue

)+ RN minus mg sin ue = 0 rArr T sin

2+ RN minus mg sin ue = 0

4) Triangle OMA isocegraveleAM2

= R sinue

2rArr Dl = 2R sin

2rArr T = 2kR sin

5) T cosue

2= 2kR sin

2kR sin ue = mg cos ue rArr tan ue =

6) tan ue = 1 rArr ue =p

5) Epp = minusmgR sin u

6) Epe =12

k(Dl)2 =12

2R sinu

= 2kR2 sin2 u

2= kR2(1 minus cos u)

7) EP(u) = kR2(1 minus cos u) minus mgR sin u

8) EP doit ecirctre minimale La deacuteriveacutee est donc nulle pour u = ue Lrsquoeacutequilibre est stablesi la deacuteriveacutee seconde est positive

d u= kR2 sin u minus mgR cos u = 0 rArr tan ue =

mecircme reacutesultat que pour I5

d u2 = kR2 cos ue + mgR sin ue gt 0 lrsquoeacutequilibre est bien stable

Pendule pesant

Figure 413

On considegravere une masse m accrocheacutee agraveune des extreacutemiteacutes M drsquoun fil de lon-gueur l et de masse neacutegligeable Lrsquoautreextreacutemiteacute O du fil est fixe dans le reacutefeacute-rentiel R terrestre consideacutereacute galileacuteen

Lrsquoobjectif de lrsquoexercice est de calculer lavaleur minimale de la vitesse VA de lamasse m au point A pour que celle-ci ef-fectue un tour complet autour du pointO le fil restant constamment tendu

On repegravere la masse M sur la boucle parlrsquoangle u que fait OM avec la verticaleOA On notera VA et VM la vitesse de Mrespectivement en A et en M

I Eacutetude eacutenergeacutetique

1) En prenant lrsquoorigine de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur au niveau du point A(EPP(A) = 0) donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur EPP(M) en M

2) En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale Em(A) en A et Em(M) en M

3) Le systegraveme est-il conservatif En deacuteduire une relation entre Em(A) et Em(M)4) En deacuteduire lrsquoexpression de V2

M en fonction de g l VA et u (relation n 1)

II Cineacutematique

Lrsquoeacutetude du mouvement de M sur le cercle (ABCD) se fait naturellement en coordonneacuteespolaires (r = l u) et la base associeacutee (minusrarru r

minusrarru u)

1) Exprimer le vecteur vitesseminusrarrV M en coordonneacutees polaires et en deacuteduire la relation

entre VM l et u Exprimer V2M en fonction de l et u (relation n 2)

2) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra M en coordonneacutees polaires En deacuteduire en uti-lisant la relation n 2 preacuteceacutedente lrsquoexpression de la composante radiale ar (suivant minusrarru r)de lrsquoacceacuteleacuteration en fonction de VM et l

III Dynamique

1) Faire lrsquoeacutetude dynamique de M sur la partie circulaire (ABCD) On appelleraminusrarrT la

tension du fil exerceacutee sur la masse M

2) En projetant le principe fondamental de la dynamique sur (minusrarru rminusrarru u) exprimer le

rapport Tm de la reacuteaction T sur la masse m (relation n 3)

3) En utilisant les relations n 1 et 3 exprimer la tension T du support en fonction del g VA et u

4) Dire que la masse fait un tour complet le fil restant tendu se traduit par

Pour toute valeur de lrsquoangle u la tension T existe forallu T(u) 0

a) Pour quelle valeur eacutevidente de u la reacuteaction T est-elle minimale b) En deacuteduire la valeur minimale que doit avoir la vitesse VA de la masse m au

point A pour que celle-ci effectue un tour complet le fil restant tenduc) Quelle est alors la vitesse VC de la masse au point C

Solution

Figure 414

1) EPP(M) = mgh = mgl(1 minus cos u)

2) E(A) = EPP(A) + EC(A) =12

E(M) = EPP(M) + EC(M)

mV2M + mgl(1 minus cos u)

3) Le systegraveme conservatif (Pas de frot-tement) donc Em(A) = Em(M)

4) V2M = V2

A minus 2gl(1 minus cos u) (relation n 1)

II Cineacutematique

1)minusrarrV M =

d(rminusrarru r)dt

= luminusrarru u rArr VM = lu

donc V2M = l2u2 (relation n 2)

2) Le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra M = minuslu2minusrarru r + luminusrarru u rArr ar = minuslu2 = minusV2M

III Dynamique

1) Systegraveme la masse m Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen

Forces PoidsminusrarrP = mminusrarrg = mg(cos uminusrarru r minus sin uminusrarru u) et

minusrarrT = minusTminusrarru r

2) Suivant minusrarru r mg cos u minus T = minusmV2

let minusmg sin u = mlu

Donc Tm

= g cos u +V2

l(relation n 3)

= g cos u +V2

l= g cos u +

lminus 2g(1 minus cos u) =

lminus g(2 minus 3 cos u) =

4) Pour toute valeur de lrsquoangle u la tension T existe forallu T(u) 0

a) T minimale pour cos u minimal crsquoest agrave dire cos u = minus1 rArr u = p (reacuteponse eacutevidente)

b) forallu T(u) 0 rArr foralluV2

lminus g(2 minus 3 cos u) 0

rArr forallu V2A gl(2 minus 3 cos u) rArr V2

VA =radic

c) V2C = V2

A minus 2gl(1 minus cos uC) = 5gl minus 2gl(1 minus cos p) = gl rArr VC =radic

Looping

Le jouet drsquoun enfant est constitueacute drsquoun petit chariot de masse m qui se deacuteplace sur unepiste se terminant par une boucle circulaire verticale (looping) de rayon R Lrsquoobjectifde lrsquoexercice est de calculer la valeur minimale de lrsquoaltitude h du point A pour que lechariot abandonneacute en A sans vitesse initiale (VA = 0) puisse faire le tour complet de laboucle en restant en contact avec la piste tout le long du trajet

Le chariot assimileacute agrave un point mateacuteriel M glisse sur la piste (ABCDEF) sans frottement

On repegravere la masse M sur la boucle par lrsquoangle u que fait OM avec la verticale OB

1) En prenant lrsquoorigine de lrsquoeacutenergie potentielle au niveau du sol (EPP(B) = 0 = EPP(F))donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle EPP(A) en A et EPP(M) en M (en fonctionde m g h R et u)

z grarr

Figure 415

2) On notera VM la vitesse du point M dans la position repeacutereacutee par u Eacutecrire lrsquoeacutenergiemeacutecanique totale Em(A) en A et Em(M) en M

3) Le systegraveme est-il conservatif En deacuteduire une relation entre Em(A) et Em(M)

4) En deacuteduire lrsquoexpression deV2

Ren fonction de g R h et u (relation n 1)

II Cineacutematique

Lrsquoeacutetude du mouvement de M sur la boucle (BCDE) se fait naturellement en coordon-neacutees polaires (R u) et la base associeacutee (minusrarru r

minusrarru u)

entre VM R et u Exprimer V2M

R en fonction de R et u (relation n 2)

2) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra M en coordonneacutees polaires et en deacuteduire enutilisant la relation n 2 preacuteceacutedente lrsquoexpression de la composante radiale (suivant minusrarru r)de lrsquoacceacuteleacuteration en fonction de VM et R

III Dynamique

1) On appelleraminusrarrF la reacuteaction de la piste sur la masse M

Faire lrsquoeacutetude dynamique de M sur la partie circulaire (BCDE) Projeter le principe fon-damental de la dynamique sur(minusrarru r

minusrarru u) et exprimer alors le rapport Fm (relation 3)

2) Utiliser les relations n 1 et 3 pour exprimer Fm en fonction de h g R et u

3) Dire que la masse fait un tour complet en restant en contact avec la piste se traduitpar

Pour toute valeur de lrsquoangle u la reacuteaction F existe forallu F(u) 0

Pour quelle valeur eacutevidente de u la reacuteaction F est-elle minimale

En deacuteduire la valeur minimale que doit avoir lrsquoaltitude h du point A pour que le chariotreacutealise le looping sans quitter la piste

SolutionI Eacutetude eacutenergeacutetique

1) EPP(A) = mgh EPP(M) = mgR(1 minus cos u)

2) Em(A) = mgh Em(M) =12

mV2M + mgR(1 minus cos u)

3) Le systegraveme conservatif (pas de frottement Em (A) = Em(M)

4) Em(M) =12

mV2M+mgR(1minuscos u) = Em(A) = mgh rArr V2

minus (1 minus cos u)]

II Cineacutematique

1)minusrarrV M = Ruminusrarru u On a donc VM = Ru rArr V2

R= Ru2 (n 2)

2) minusrarra M = minusRu2minusrarru r + Ruminusrarru u soit ar = minusV2M

Rcomposante radiale de lrsquoacceacuteleacuteration

III Dynamique

1) Systegraveme la masse M reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute galileacuteen

Forces minusrarrP = mminusrarrg = mg cos uminusrarru r minusmg sin uminusrarru u et

minusrarrF = minusFminusrarru r (reacuteaction normale agrave

la piste car pas de frottement Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +

2) En projection sur OM

F minus mg cos u = mV2

RrArr F

m= g cos u +

R(n 3)

= g cos u +V2

R= g cos u + 2g

minus 2g(1 minus cos u) = 2g[hR

minus 1 +32

cos u]

4) u = p donne F minimale La condition est donc Fmingt0 soit

Fmin 0 rArr hR

1 minus 32

cos p = 1 +32

La hauteur minimale est donc de h =52

Mouvement sur un plan inclineacute

On considegravere un petit bloc assimilable agrave un point mateacuteriel de masse m abandonneacutesans vitesse initiale au point A drsquoun plan inclineacute comme lrsquoindique la figure ci-apregraves Lepoint A est agrave lrsquoaltitude ho On suppose que le coefficient de frottement est le mecircme surles deux plans et vaut m = tan w (w est appeleacute angle de frottement)

Lrsquoeacutetude suivante se fera dans le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen

yurarr

a b ho h1

xurarr

Figure 416

1) Dans le cas ougrave la masse m glisse si f repreacutesente la reacutesultante des forces de frottementet Rn la reacuteaction normale au support on a la relation f = mRn

Quelle relation a-t-on entre f Rn et m lorsque les frottements sont suffisants pourmaintenir la masse en eacutequilibre

2) On se place dans le cas ougrave la masse glisse Faire le bilan des forces agissant sur lamasse m entre A et B Lrsquoorigine du repegravere choisi est le point A et AB correspond agrave lrsquoaxedes abscisses (voir figure) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et endeacuteduire

a) lrsquoacceacuteleacuteration suivant AB de la masse m Donner son expression en fonction deg a et w

b) En deacuteduire lrsquoexpression de la vitesse VB de la masse m au point B en fonction deg ho a et w

c) Y-a-t-il une condition portant sur lrsquoangle de frottement w et lrsquoangle a du planinclineacute pour que le mouvement puisse se produire Si oui laquelle

d) Faire la mecircme eacutetude sur la partie BC et donner lrsquoacceacuteleacuteration de la masse sur BCIndiquer srsquoil existe une condition pour que le mouvement puisse se produire

3) Que peut-on dire de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale de la masse m

a) Exprimer les eacutenergie cineacutetique EC(A) et potentielle EP(A) de la masse au pointde deacutepart A On choisira lrsquoorigine des eacutenergies potentielles au point B En deacute-duire lrsquoeacutenergie meacutecanique E(A)

b) Exprimer les eacutenergie cineacutetique EC(B) et potentielle EP(B) de la masse au pointdrsquoarriveacutee B En deacuteduire lrsquoeacutenergie meacutecanique E(B)

c) Exprimer le travail de la force de frottement f entre A et B donner lrsquoexpressionen fonction de m g ho a et w

d) Appliquer le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique et en deacuteduire lrsquoexpression de lavitesse VB de la masse m au point B Retrouver le reacutesultat du 2) b)

4) Apregraves le passage au point B agrave la vitesse VB la masse remonte le plan inclineacute BC(angle b avec lrsquohorizontale) Le coefficient de frottement m = tan w reste le mecircmeOn supposera que lrsquoangle fait entre les deux plans ne perturbe pas le mouvement Lamasse srsquoarrecircte au point C

a) Appliquer le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique entre B et C Jusqursquoagrave quelle hau-teur h1 la masse m remontera-t-elle Donner lrsquoexpression de h1 en fonction deho a b et w

b) Application Montrer que pour a = b on a h1 = hotan a minus tan w

tan a + tan wc) La masse eacutetant arrecircteacutee au point C va-t-elle redescendre la pente BC

Solution

yurarr

a b ho h1

xurarr

nRrarr

Figure 417

1) Lorsque les frottements sont suffisants pour maintenir la masse en eacutequilibre on a

Solide en eacutequilibre f

Rnlt m

2) Bilan des forces agissant sur la masse m

bull Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = mg(sin aminusrarru x + cos aminusrarru y)

bull La reacuteaction normaleminusrarrR n = Rn

minusrarru y

bull Les frottements solide minusrarrf = minusfminusrarru x et la masse glisse alors f = mRn

minusrarrf +

minusrarrR n = minusrarra

et en projetant

a) Sur minusrarru y Rn = mg cos a Sur minusrarru x mg sin aminusf = mx et avec f = mRn = mmg cos a

On a mx = mg sin a minus mmg cos a = mg sin a(

1 minus m

)x = g sin a

(1 minus tan w

)= g sin a minus g cos a tan w

b) On obtient x = xt (agrave t = 0 la vitesse est nulle) et x =12

xt2 (agrave t = 0 x = 0)

La masse est en B agrave lrsquoinstant tB correspondant agrave xB =ho

radic2xB

radic2h

x sin a

On en deacuteduit la vitesse en B VB = xtB =

radic2hoxsin a

=radic

1 minus tan w

)c) Il y a mouvement si lrsquoacceacuteleacuteration existe et est positive soit

x 0 rArr tan w tan ail faut donc a w

d) Sur BC mecircme force mais en orientant de B vers C le poids et les frottementsont mecircme sens On a donc Le poids

minusrarrP = mminusrarrg = mg(minus sin bminusrarru x + cos bminusrarru y) la reacuteaction normale

minusrarrR n = Rn

minusrarru y et les frottements solide minusrarrf = minusfminusrarru x et la masse glisse alors

f = mRn

minusrarrf +

minusrarrR n = minusrarra et en projetant

Sur minusrarru y Rn = mg cos b Sur minusrarru x minusmg sin b minus f = mx avec f = mRn = mmg cos b On a

mx = minusmg sin b minus mmg cos b = minusmg sin b

)x = minusg sin b

)= minusg sin b minus g cos b tan w

Il nrsquoy a pas de condition sur les angles puisque lrsquoacceacuteleacuteration est toujours neacutega-tive (mouvement uniformeacutement freineacute)

3) Lrsquoeacutenergie meacutecanique totale de la masse m ne se conserve pas car le systegraveme subit desfrottements (systegraveme non conservatif)

a) Eacutenergie cineacutetique EC(A) = 0 et eacutenergie potentielle EP(A) = mgho On en deacute-duit lrsquoeacutenergie meacutecanique E(A) = EC(A) + EP(A) = mgho

b) Eacutenergie cineacutetique EC(B) = 12 mV2

B et eacutenergie potentielle EP(B) = 0 On en

deacuteduit lrsquoeacutenergie meacutecanique E(B) = EC(B) + EP(B) =12

c) WAB =minusrarrfminusrarrAB = minusfxB = minusmRn

sin a= minusmmg cos a

sin a= minusmgho

d) Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique DE = E(B) minus E(A) = WAB

mV2B minus mgho = WAB = minusmgho

tan arArr V2

B = 2gho

(1 minus tan w

)On retrouve bien le reacutesultat du 2)b)

4) a) Le travail de la force de frottement entre B et C est

WBC =minusrarrfminusrarrBC = minusmRn

sin b= minusmmg cos b

sin b= minusmgh1

Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique entre B et C DE = E(C) minus E(B) = WBC

mgh1 minus12

mV2B = WBC = minusmgh1

rArr V2B = 2gh1

)et V2

B = 2gho

(1 minus tan w

On a donc h1

1 minus tan w

1 +tan w

=tan a minus tan w

tan b + tan w

b) Application Pour a = b on a h1 = hotan a minus tan w

tan a + tan wc) La masse est arrecircteacutee au point C La condition pour redescendre est b gt w

1 1) Rappeler la deacutefinition de la fonction eacutenergie potentielle deacuterivant drsquoune forceconservative

2) En prenant lrsquoexemple du poids drsquoun corps exprimer lrsquoeacutenergie potentielle de pe-santeur en consideacuterant un axe vertical ascendant z

3) Un projectile de masse m = 10 kg est lanceacute du sol sous une incidence de 45 agrave unevitesse initiale v = 10 msminus1 On suppose qursquoil nrsquoy a pas de frottements

a) Deacuteterminer son eacutenergie meacutecanique

b) Repreacutesenter lrsquoeacutevolution de son eacutenergie potentielle en fonction de la variable zrepreacutesentant lrsquoaltitude du projectile

c) En deacuteduire lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutenergie cineacutetique du projectile et lrsquoaltitude maximaleatteinte par le projectile

d) Deacuteterminer lrsquoeacutequation de la trajectoire du projectile et trouver le point drsquoimpactsur le sol

2 Un bateau de masse m ayant atteint sa vitesse de croisiegravere v0 coupe ses moteurs agravelrsquoinstant t = 0 Lrsquoeau exerce une force de frottement proportionnelle agrave la vitesse v dubateau

1) Agrave lrsquoaide de la relation fondamentale de la dynamique donner lrsquoexpression de lavitesse en fonction du temps Ougrave le bateau srsquoarrecirctera-t-il

2) Quel est le travail effectueacute par la force de frottement entre lrsquoinstant ougrave le bateaucoupe ses moteurs et celui ougrave il srsquoarrecircte Le comparer agrave lrsquoeacutenergie cineacutetique du bateauagrave lrsquoinstant t = 0

3 On considegravere un solide de masse m = 2 kg pouvant glisser sur un sol lisse dont leprofil est donneacute par z(x) = ax2 + bx3 + cx4 avec a = 0 4 b = minus0 1 et c = 2 210minus4On ne considegravere que lrsquointervalle de valeurs de x compris entre minus3 et 3

1) Repreacutesenter lrsquoeacutevolution de la fonction eacutenergie potentielle de pesanteur de ce so-lide

2) Deacuteterminer si le long de ce trajet le solide peut occuper des positions drsquoeacutequilibrestable et instable On exprimera les conditions de stabiliteacute de faccedilon quantitative

3) On suppose que le solide se trouve agrave lrsquoinstant t = 0 agrave la position M drsquoabscissex = 1 5 sans vitesse initiale Deacuteterminer qualitativement le mouvement du solideDeacuteterminer quantitativement lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutenergie cineacutetique du solide en fonctionde x Trouver la vitesse maximum atteinte par le solide et en deacutefinir la position P

Solutions1 1) La relation entre une force conservative et lrsquoeacutenergie potentielle dont elle deacuterive est

2) Avec un axe vertical ascendant nous avons

d EPP = minusminusrarrP d

minusrarrl = mgminusrarru z(d xminusrarru x + d zminusrarru z) = mg d z

soit EPP (z) = mgz + cste

3) a) E = Ec + EPP (z) = 12 mv2 + mgz (en prenant comme zeacutero de lrsquoeacutenergie potentielle

EPP (0) = 0)

b) Lrsquoeacutenergie potentielle croicirct lineacuteairement avec lrsquoaltitude

c) Agrave t = 0 s lrsquoeacutenergie potentielle est nulle donc E = Ec0 = 12 mv2

o An E = Eco = 500 J

Lrsquoeacutenergie cineacutetique sera deacutefinie agrave un instant quelconque par Ec = E minus EPP (z) = E minus mgz cequi est une fonction deacutecroissante de lrsquoaltitude z atteinte Lrsquoaltitude maximale zmax atteinte seraobtenue pour Ec(zmax) = 0 soit zmax = Emg An zmax = 5 m

Cependant la vitesse ne peut pas srsquoannuler complegravetement La composante vz suivant la verti-cale peut srsquoannuler mais la composante vx = vo sin a suivant lrsquoaxe x reste constante Donc enreacutealiteacute il existe un minimum non nul pour lrsquoeacutenergie cineacutetique Ecmin = 1

2 m(vo sin a)2 = 14 mv2

o(avec lrsquoangle a = 45)

On a donc Ecmin = 5002 = 250 J ce qui donne alors pour lrsquoaltitude maximale atteintezmax = (E minus Ec min)mg = 2 5 m

d) Eacutequation de la trajectoire (voir chapitre 2) z = 12 ao

v2o cos2 a

+ x tan a et la porteacutee d est

donneacutee par d =v2

2 sin a cos a =v2

0g sin 2a AN d = 10 m

2 1) On considegravere le systegraveme bateau dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R Les forces exteacuterieures appli-queacutees au bateau sont

bull minusrarrP le poids du bateau

bull minusrarrR la pousseacutee de lrsquoeau sur le bateau

bull minusrarrf la force de frottement

Le principe fondamental de la dynamique donne mminusrarra GR =minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ce qui conduit par

projection dans la direction x drsquoavanceacutee du bateau agrave m d vx d t = minuskvx

On en conclut que d vxvx = minus km d t =rArr ln vx = minus k

m t + C

Les conditions initiales du mouvement imposent que

C = ln vom =rArr lnvx

v0= minus k

mt =rArr vx = voe

minus km t

Pour trouver la position drsquoarrecirct il faut inteacutegrer la vitesse soit

vx d t = vo

eminuskm t d t = minusvo

keminus

km t + C2

Agrave lrsquoinstant t = 0 le bateau eacutetait en x = 0 donc C2 = v0k =rArr x = v0

1 minus eminuskm t

Le bateau

srsquoarrecirctera au bout drsquoun temps infini agrave la position xa = vok

2) Par deacutefinition le travail de la force de frottement est donneacute par

W1rarr2

ldquominusrarrf

minusrarrf d

minusrarrl =

minusrarrf minusrarrv d t =rArr W1rarr2

ldquominusrarrf

= minuskv20

eminus2 km t d t

soit entre lrsquoorigine des temps et lrsquoinfini

W1rarr2

ldquominusrarrf

= kv20

eminus2 km t

iinfin

0= minus1

ce qui repreacutesente lrsquoopposeacute de lrsquoeacutenergie cineacutetique de deacutepart (Ceci est logique dans la mesure ougraveseule la force de frottement travaille)

-3 -2 -1 0 1 2 30

Figure 418

2) Conditions de stabiliteacute en x = xo = 0 d EPd x

x0= 0 et d2 EP

= 2a gt 0 donc lrsquoeacutequilibre

est stable dans cette position Par contre en x1 = 2 695 m nous avons

= 0 etd2 EP

donc cette position est une position drsquoeacutequilibre instable

3) En xM = 1 5 m z(xM) = 0 563 m Le solide va aller du cocircteacute correspondant agrave la diminutionde son eacutenergie potentielle soit vers les x deacutecroissants Son eacutenergie potentielle va deacutecroicirctrejusqursquoagrave ce qursquoil passe par x = 0 ougrave elle deviendra nulle si lrsquoon convient de prendre lrsquooriginedes eacutenergies potentielles en z = 0 Comme il nrsquoy a pas de frottements lrsquoeacutenergie meacutecanique seconserve

E = E(M) =rArr 12

mv2 + mgz(x) = mgz(xM)

Lrsquoeacutenergie cineacutetique sera donc 12 mv2 = mgz(xM) minus mgz(x)

Lrsquoeacutenergie cineacutetique passe par un maximum quand z(x) = 0 ce qui correspond agrave la position dupoint P La vitesse en ce point est donneacutee par

2gz(xM) = 3 32 msminus1

CHAPITRE 5

OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES

Preacute-requis bull Une bonne connaissance de lrsquoutilisation des nombres complexes estimpeacuterative pour aborder ce chapitre Il est eacutegalement neacutecessaire deconnaicirctre les reacutesultats des chapitres 3 et 4 de ce livre pour appreacutehen-der la dynamique et lrsquoaspect eacutenergeacutetique des oscillateurs

Objectif I Deacutefinir lrsquooscillateur meacutecaniqueI Preacutesenter les aspects dynamique et eacutenergeacutetique de lrsquooscillateur meacuteca-

niqueI Apprendre comment les forces de frottements solide et fluide influencent

le mouvement de lrsquooscillateurI Aborder le repeacuterage de lrsquooscillateur dans lrsquoespace des phases

1 LrsquoOSCILLATEUR HARMONIQUE

On appelle oscillateur harmonique tout systegraveme dont le paramegravetre ou degreacute de liberteacutex(t) peut se mettre sous la forme

x(t) = xmax cos(vt + w)

Par deacutefinition nous appellerons x(t) lrsquoeacutelongation (ou la position) agrave lrsquoinstant t xmax lrsquoeacutelon-gation maximale ou lrsquoamplitude w la phase agrave lrsquoorigine v la pulsation du mouvement etvt + w la phase agrave lrsquoinstant t La position drsquoun oscillateur harmonique de freacutequence 1 Hzdrsquoamplitude 5 cm est repreacutesenteacutee sur la figure 51

La peacuteriode T des oscillations est le temps mis par lrsquooscillateur pour revenir agrave une positionidentique quel que soit le choix de cette position Matheacutematiquement la peacuteriode T estdeacutefinie par

existTforallt x(t + T) = x(t)

Il est courant de repreacutesenter la position drsquoun oscillateur par un nombre complexe (fi-gure 52) ou de faccedilon eacutequivalente par la repreacutesentation de Fresnel

00 05 10 15 20-6

6x(t)=5sin(2πt+π 3)

Figure 51 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutevolution de la position drsquoun oscillateurharmonique en fonction du temps

Axe des reacuteelsxmax cos(v t+w)

Figure 52 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation instantaneacutee drsquoun oscillateur dans le plan complexe

La position instantaneacutee x(t) de lrsquooscillateur est donneacutee par la partie reacuteelle du nombrecomplexe x deacutefini par

x = [xmax vt + w]x = xmaxej(vt+w)

Par abus drsquoeacutecriture il est freacutequent de confondre le nombre complexe x avec la positioninstantaneacutee x(t) de lrsquooscillateur On eacutecrit ainsi que

x(t) = xmaxej(vt+w)

ce qui nrsquoa pas de sens physique mais qui est bien pratique

La vitesse instantaneacutee de lrsquooscillateur est alors donneacutee par

v (t) =d xd t

= xmaxvjej(vt+w) = xmaxvej(vt+w+ p2 )

On constate que la vitesse est deacutephaseacutee p2 par rapport agrave la position Cela montre bienque lorsque lrsquooscillateur passe par lrsquoorigine x = 0 sa vitesse est maximale alors que quandil passe par son eacutelongation maximale x = xmax sa vitesse est nulle

Oscillateurs meacutecaniques 127

De mecircme on peut calculer lrsquoacceacuteleacuteration de lrsquooscillateur

a =d vd t

= minusxmaxv2ej(vt+w) = v2xmaxej(vt+w+p)

Cette relation montre que lrsquoacceacuteleacuteration de lrsquooscillateur est en opposition de phase aveclrsquoamplitude La repreacutesentation dans le plan complexe de ces trois grandeurs est preacutesenteacuteefigure 53

Axe des imaginaires pursj

Axe des reacuteels

v2xmax

v x max

Elongation

Vitesse

Acceacuteleacuteration

Figure 53 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation de la vitesse et de lrsquoacceacuteleacuterationdans le plan complexe

2 EacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE

De la relation preacuteceacutedente il est facile de voir que lrsquoacceacuteleacuteration de lrsquooscillateur est lieacutee agravesa position par la relation

a = minusv2x

Il en reacutesulte que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement drsquoun oscillateur harmonique estdonneacutee par

x + v2x = 0

Tout systegraveme dont lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement est de cette forme est un oscil-lateur harmonique ce qui peut se reacutesumer de la faccedilon suivante

Oscillateur harmonique

x + v2x = 0 =rArr

⎧⎪⎨⎪⎩x(t) = xmax cos(vt + w) = xmax sin(vt + wprime)

x(t) = A cos vt + B sin vt

x(t) = xmaxej(vt+w)

La forme de la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle peut ecirctre eacutecrite de diffeacuterentes faccedilons toutefois si lrsquoeacutecriture diffegravere (voir ci-dessus) la solution x(t) reste la mecircme La somme drsquounsinus et drsquoun cosinus affecteacutes drsquoamplitudes A et B est bien eacutequivalente agrave un cosinus ou unsinus affecteacute drsquoune certaine phase La derniegravere forme x(t) est la solution dans lrsquoespace descomplexes et seule la partie reacuteelle de x(t) correspond agrave la solution physique de lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle

3 EXEMPLES DrsquoOSCILLATEURS HARMONIQUES

31 Pendule eacutelastique horizontalNous consideacuterons le mouvement drsquoune masse m accrocheacutee agrave un ressort de raideur k as-sujettie agrave se deacuteplacer sans frottements sur un plan horizontal (figure 54) Le mouvementeacutetant rectiligne nous eacutetudions le systegraveme masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y t)muni de la base (minusrarru x

minusrarru y) Le point O correspond agrave la position drsquoeacutequilibre de la masse mle ressort eacutetant au repos (ni eacutetireacute ni comprimeacute)

uxrarr

Figure 54 bull Pendule eacutelastique horizontal

Lrsquoapplication de la RFD conduit agrave

mminusrarra =minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR (51)

avec minusrarrP =

∣∣∣∣ 0minusmg

minusrarrT =

∣∣∣∣ minuskx0

minusrarrR =

∣∣∣∣ 0R

minusrarra =∣∣∣∣ x

Par projection de la RFD sur lrsquoaxe des abscisses on obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dumouvement du pendule eacutelastique soit

qui correspond bien agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement drsquoun oscillateur harmo-nique La solution est bien sucircr sinusoiumldale La pulsation et la peacuteriode du mouvement sontdonneacutees par

radickm

rArr T =2p

radicmk

Il en reacutesulte qursquoun ressort tregraves raide (k grand) a une peacuteriode drsquooscillation courte Nous no-terons qursquoil est drsquousage drsquoappeler T la peacuteriode propre de lrsquooscillateur et que tregraves freacutequem-ment la peacuteriode propre est noteacutee T0 Cette peacuteriode correspond agrave la peacuteriode drsquooscillationsde lrsquooscillateur libre Cette derniegravere notation est tregraves utile quand un oscillateur meacutecaniqueest entretenu ou exciteacute de faccedilon sinusoiumldale La peacuteriode drsquoexcitation est alors noteacutee T etla peacuteriode propre de lrsquooscillateur T0

32 Pendule eacutelastique vertical

Consideacuterons maintenant le mecircme problegraveme que preacuteceacutedemment mais avec un pendulevertical Le systegraveme eacutetudieacute est la masse le reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x t) et les forces ex-teacuterieures appliqueacutees

minusrarrP et

minusrarrT Agrave lrsquoeacutequilibre le poids compense la tension du ressort (fi-

gure 55) et lrsquoon a minusrarrP +

minusrarrT =

minusrarr0 rArr (mg minus kDl0)minusrarru x =

minusrarr0

l0+Δl0

xPrarr

EquilibreA vide Mouvement

uxrarr

Figure 55 bull Scheacutema drsquoune masse accrocheacutee agrave un ressort vertical en eacutequilibrepuis en mouvement

En mouvement le poids ne compense plus la tension Lrsquoorigine O du mouvement est prisesur la position drsquoeacutequilibre du ressort Lrsquoapplication de la RFD conduit agrave

minusrarrP +

minusrarrT = mminusrarra rArr mxminusrarru x = (mg minus k(Dl0 + x))minusrarru x

En utilisant la condition drsquoeacutequilibre du ressort on aboutit agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dumouvement du pendule eacutelastique

Le mouvement a les mecircmes caracteacuteristiques que celles de lrsquooscillateur horizontal

33 Pendule simple

Nous consideacuterons un pendule simple constitueacute drsquoune masse m ponctuelle accrocheacutee agrave unfil de longueur l comme lrsquoindique la figure 56

uTrarr

Figure 56 bull Pendule simple constitueacute drsquoune masse accrocheacutee agrave un fil de longueur l

Lrsquoapplication du theacuteoregraveme du moment cineacutetique dans lequel seul le poids posegravede un mo-ment non nul summinusrarr

(minusrarrF ext

d(minusrarr

OM and minusrarrF ext

conduit apregraves projection sur lrsquoaxe de rotation agrave

mgl sin u = mldvdt

= ml2u =rArr u +gl

sin u = 0 (52)

Nous rappelons que lrsquoeacutequation 52 est celle drsquoun oscillateur anharmonique car elle nrsquoestpas lineacuteaire

Pour u laquo petit raquo nous avons au premier ordre en u sin u u Cette eacutequation devient li-neacuteaire et srsquoeacutecrit

u +glu = 0

On retrouve une eacutequation diffeacuterentielle identique agrave celles rencontreacutees preacuteceacutedemment cequi montre que le pendule simple est assimilable agrave un oscillateur harmonique dans lalimite des petites oscillations (u lt10)

4 EacuteTUDE EacuteNERGEacuteTIQUE DES OSCILLATEURS

41 Diagrammes drsquoeacutenergieUn oscillateur harmonique ne subit pas de forces de frottement il est donc meacutecanique-ment isoleacute et son eacutenergie meacutecanique se conserve Nous pouvons donc eacutecrire que

E = EC + EP = cste

Il est possible de repreacutesenter graphiquement lrsquoeacutevolution de ces trois eacutenergies enfonction du paramegravetre de mouvement de lrsquooscillateur La figure 57 donne lrsquoeacutener-gie meacutecanique drsquoun pendule eacutelastique et drsquoun pendule simple de faible amplitude(u lt 10 =rArr sin u u cos u 1minus u2

E mv kx= +1

mglmlE

)mgl(mlE

minus+=

Pendule eacutelastique Pendule simple

Figure 57 bull Repreacutesentation drsquoun pendule eacutelastique et drsquoun pendule simpleavec leur eacutenergie meacutecanique associeacutee

Lrsquoeacutevolution des diffeacuterentes eacutenergies drsquoun pendule eacutelastique de constante de raideurk = 02 Nmminus1 est preacutesenteacutee sur la figure 58 On y voit que lrsquoeacutenergie meacutecanique estconstante et que lrsquoeacutenergie cineacutetique eacutevolue de faccedilon compleacutementaire agrave lrsquoeacutenergie poten-tielle celle-ci eacutevoluant de faccedilon parabolique

-006 -004 -002 000 002 004 006 00800

40x10-5

80x10-5

12x10-4

16x10-4

20x10-4

24x10-4

Ep E Ec

Figure 58 bull Eacutenergie potentielle cineacutetique et meacutecanique drsquoun penduleeacutelastique sans frottements

42 Eacutenergie instantaneacutee

Lrsquoeacutenergie instantaneacutee est lrsquoeacutenergie de lrsquooscillateur agrave lrsquoinstant t Nous faisons agrave titre drsquoappli-cation le calcul dans le cas du pendule eacutelastique Lrsquoeacutenergie instantaneacutee est la somme des

eacutenergies cineacutetiques et potentielles instantaneacutees qui srsquoeacutecrivent

EC(t) = 12 mv2

0x2msin2(v0t + w)

EP(t) = 12 kx2

mcos2(v0t + w)

En introduisant la raideur k du ressort en fonction de la pulsation propre v0 de lrsquooscil-lateur dans lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie cineacutetique et en sommant ces deux eacutenergies nousobtenons lrsquoeacutenergie meacutecanique instantaneacutee de lrsquooscillateur soit

Conformeacutement agrave lrsquohypothegravese nous trouvons bien que lrsquoeacutenergie meacutecanique de lrsquooscillateurest constante et indeacutependante du temps

5 OSCILLATEUR MEacuteCANIQUE AMORTI PAR FROTTEMENTS VISQUEUX

51 Eacutequation diffeacuterentielle du mouvementNous consideacuterons un pendule eacutelastique horizontal subissant une force de frottement vis-queux du type

minusrarrF = minusaminusrarrv Nous eacutetudions le systegraveme masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen

R(O x t)

Les forces exteacuterieures appliqueacutees sont le poidsminusrarrP la force de frottement

minusrarrF la tension du

ressortminusrarrT et la reacuteaction du support

minusrarrR (figure 59)

kRrarr

Figure 59 bull Repreacutesentation drsquoun pendule eacutelastique horizontal soumis agrave uneforce de frottement visqueux

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR +

minusrarrF = mminusrarra GR

avec minusrarra =

∣∣∣∣ x0

minusrarrT =

minusrarrP =

minusrarrR =

∣∣∣∣ 0R

minusrarrF =

∣∣∣∣ minusav0

En projection sur lrsquoaxe des x il vient

mx = minuskx minus av rArr x +a

x = 0 (53)

Cette eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du deuxiegraveme degreacute Les solutionssont exponentielles en effet il srsquoagit de trouver une fonction solution dont la deacuteriveacuteeseconde et premiegravere sont proportionnelles agrave la fonction elle-mecircme Nous consideacuteronsdonc une solution du type

x (t) = Aert

Le report de cette solution dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle conduit agrave

forallt(

)A ert = 0

car une solution du type A = 0 nrsquoest pas inteacuteressante puisqursquoelle correspond agrave lrsquoimmobiliteacutedu pendule

La derniegravere de ces eacutequations srsquoappelle eacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle Sa reacutesolution permet de deacuteterminer les solutions de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dansles diffeacuterents reacutegimes drsquoamortissement Comme il srsquoagit drsquoune eacutequation du second degreacuteil importe de distinguer trois cas qui correspondent agrave la valeur positive nulle ou neacutegativedu discriminant Le discriminant de cette eacutequation srsquoeacutecrit en faisant apparaicirctre la pulsa-tion propre de lrsquooscillateur

m2 minus 4km

m2 minus 4v20

Nous preacutesentons dans le tableau 51 les trois cas qui sont donc agrave distinguer avec les solu-tions correspondantes de lrsquoeacutequation caracteacuteristique et de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

D lt 0 D = 0 D gt 0

rplusmn = minus a2m plusmn j

radicv2

0 minus a2

4m2 r = minus a2m rplusmn = minus a

2m plusmnradic

4m2 minus v20

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tejtq

v20minus a2

xminus = Beminusa

2m teminusjtq

v20minus a2

x = (At + B)eminusa

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tetq

4m2 minusv20

xminus = Beminusa

2m teminustq

4m2 minusv20

Tableau 51 bull Solutions de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement delrsquooscillateur amorti pour un amortissement faible D lt 0

un amortissement critique D = 0 et un amortissement fort D gt 0

Nous eacutetudions tout drsquoabord le cas tregraves freacutequent de lrsquoamortissement faible

52 Eacutetude de lrsquooscillateur agrave frottement faibleNous avons vu que la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle srsquoeacutecrit

x (t) = eminusa

v20minus a2

4m2 + Beminusjtq

v20minus a2

)ougrave A et B sont deux constantes complexes deacutependant des conditions initiales

La solution x(t) eacutetant une fonction reacuteelle on peut montrer que le terme entre parenthegravesessrsquoeacutecrit comme une combinaison de cosinus et sinus ce qui conduit agrave

x (t) = Xmaxeminusa

2m t cos (vt + w) = eminusa

2m t (X0 cos vt + Y0 sin vt)

radicv2

0 minusa2

qui est la pulsation du mouvement et les couples (Xmax w) et (X0 Y0) sont des constantesreacuteelles deacutependant des conditions initiales La position de lrsquooscillateur srsquoexprime donc parun produit de deux termes Le premier terme est une exponentielle deacutecroissante et re-preacutesente lrsquoenveloppe du mouvement de lrsquooscillateur crsquoest-agrave-dire les positions extreacutemalesprises par x (t) lorsque le temps srsquoeacutecoule La deacutecroissance de lrsquoexponentielle est guideacuteepar le rapport a2m qui traduit lrsquoamortissement plus ou moins prononceacute du mouvementLorsque a est nul le mouvement est non amorti et lrsquoon retombe sur la solution de lrsquooscil-lateur harmonique

Le second terme est un cosinus qui traduirait la peacuteriodiciteacute du mouvement srsquoil nrsquoy avaitpas drsquoamortissement Nous notons bien que le mouvement nrsquoest plus peacuteriodique puis-qursquoau bout du temps T lrsquoeacutelongation de lrsquooscillateur ne reprend pas la mecircme valeur doncx(t) = x(t + T) On parle de pseudopeacuteriode et lrsquoon dit que le mouvement est pseudopeacute-riodique La pseudopeacuteriode est donneacutee par

2pradicv2

0 minus a2

=T0radic

1 minus a2

4v20m2

Cette expression montre que la peacuteriode de lrsquooscillateur amorti augmente avec lrsquoamor-tissement Nous pouvons donc affirmer que les frottements ralentissent le mouvementLa figure 510 montre lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutelongation x du ressort pour un pendule eacutelastiqueamorti par frottement visqueux

Nous remarquons que les constantes A et B sont deacutetermineacutees par les conditions initialesdu mouvement qui geacuteneacuteralement sont x = Xmax et v = 0 agrave t = 0 ce qui conduit agrave

x (t) = Xmaxeminusa

cos vt +a

2mvsin vt

)Dans la pratique il existe deux solutions pour reacutealiser lrsquoamortissement visqueux La pre-miegravere consiste agrave utiliser un pendule eacutelastique horizontal monteacute sur coussin drsquoair et agrave ac-crocher agrave la masse m une palette verticale trempant dans un liquide La seconde consiste agraveamortir le mouvement drsquoun pendule eacutelastique vertical par une force de Lorentz en plon-geant la masse m dans un champ magneacutetique

minusrarrB uniforme On deacutemontre que les courants

induits dans la masse produisent une force de freinage opposeacutee et proportionnelle agrave lavitesse de deacuteplacement de la masse

0 2 4 6 8 10-6

x(t)=5e-αt2m

(cosω t+(α 2m)sinωt)

Figure 510 bull Mouvement drsquoun oscillateur amorti par frottement fluide dansle cas drsquoun amortissement faible Lrsquoamplitude des oscillations deacutecroicirct de faccedilon

exponentielle (traits pointilleacutes)

Encart 51 Deacutecreacutement logarithmique et amortissementLa deacutetermination du coefficient de viscositeacute a peut se faire expeacuterimentalement agrave partirde la courbe x(t) en utilisant le deacutecreacutement logarithmique d Cette quantiteacute est obtenueen consideacuterant le logarithme du rapport des amplitudes des oscillations au bout destemps nT et (n minus 1)T Agrave ces instants nous avons

x (nT) = Xmaxeminusa

2m nT cos (vnT) = Xmaxeminusa

et x ((n minus 1) T) = Xmaxeminus

a2m (nminus1)T cos (v (n minus 1) T) = Xmaxeminus

a2m (nminus1)T

Le deacutecreacutement logarithmique qui est le logarithme du rapport des amplitudes estdonneacute par

d = lnx (nT)

x ((n minus 1) T)=

Cette quantiteacute est facilement accessible par lrsquoexpeacuterience et permet de deacuteterminer ra-pidement a Une meacutethode plus preacutecise consiste agrave tracer le logarithme de lrsquoamplitudeln x(nT) en fonction de nT On obtient alors une droite de pente minusa2m

53 Lrsquooscillateur critiqueLe reacutegime de lrsquooscillateur est dit critique lorsque le discriminant de lrsquoeacutequation caracteacuteris-tique est nul Dans ce cas le mouvement de lrsquooscillateur obeacuteit agrave une eacutequation horaire dutype

x = (At + B)eminusa

Le reacutegime est dit critique car il correspond agrave un amortissement critique pour lequel onbascule du reacutegime pseudopeacuteriodique vers un reacutegime ougrave il nrsquoy a plus drsquooscillations

Les constantes A et B sont deacutetermineacutees par les conditions initiales du mouvement qui sontsupposeacutees ecirctre x = Xmax et v = 0 agrave t = 0 Lrsquointroduction de ces deux conditions conduit agraveune solution du type

x (t) = Xmax

eminusa

Dans la pratique ce reacutegime est extrecircmement important car lorsqursquoil est atteint lrsquooscil-lateur revient dans sa position drsquoeacutequilibre au bout drsquoun temps minimal Crsquoest ainsi quece reacutegime est mis agrave profit dans les systegravemes drsquoamortisseurs qui ont pour but drsquoempecirccherles oscillations drsquoun oscillateur La figure 511 montre le retour agrave lrsquoeacutequilibre drsquoun ressortamorti en reacutegime critique La peacuteriode propre drsquooscillation est de 314 s et le retour agravelrsquoeacutequilibre est de lrsquoordre de cette valeur

0 2 4 6 8 10

α =08Reacutegime apeacuteriodique

α =04

T0 =314s

Reacutegime critique

m=01kgxmax=5cm

Figure 511 bull Eacutevolution de lrsquoeacutelongation drsquoun ressort amorti en reacutegimecritique (trait plein) et en reacutegime apeacuteriodique (trait pointilleacute)

54 Reacutegime apeacuteriodiqueLe reacutegime est dit apeacuteriodique lorsque lrsquooscillateur est tellement amorti qursquoil ne peut plusosciller Il correspond agrave a gt 0 La solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est de la formesuivante

x (t) = eminusa

2m t(Aeminustq

4m2 minusv20 + Bet

4m2 minusv20 )

Le mouvement de lrsquooscillateur nrsquoest plus peacuteriodique et la masse m revient dans sa posi-tion drsquoeacutequilibre au bout drsquoun temps qui en principe tends vers lrsquoinfini Si nous fixons lesconditions initiales pour que x(0) = xmax et v(0) = 0 comme preacuteceacutedemment il vient

A =xmax

(1 minus a

)avec v =

radica2

4m2 minus v20

La figure 511 qui illustre la comparaison entre le mouvement critique et le mouvementapeacuteriodique montre bien que lrsquooscillateur retourne plus vite vers sa position drsquoeacutequilibreen reacutegime critique

6 ANALOGIE EacuteLECTRIQUE

Il est parfois commode de rapprocher le problegraveme de lrsquooscillation drsquoun oscillateur meacute-canique tel que le pendule eacutelastique amorti de celui drsquoun circuit eacutelectrique RLC seacuteriealimenteacute en signaux carreacutes (figure 512)

Figure 512 bull Comparaison drsquoun oscillateur meacutecanique et drsquoun oscillateur eacutelectrique

En effet les eacutequations diffeacuterentielles pour le mouvement de la masse m et pour la chargeeacutelectrique q sont formellement analogues puisqursquoelles srsquoeacutecrivent

mx + ax + kx = 0 Lq + Rq +qC

On peut ainsi constater qursquoil existe une eacutequivalence formelle entre les quantiteacutes suivantes

x rarr q m rarr L a rarr R k rarr 1C

Il est ainsi inteacuteressant de remarquer que la reacutesistance R drsquoun circuit eacutelectrique joue un rocircleanalogue au coefficient de frottement a en meacutecanique

7 OSCILLATEUR AMORTI PAR FROTTEMENT SOLIDE

Consideacuterons un oscillateur harmonique horizontal constitueacute drsquoune masse m et drsquoun res-sort k pour lequel une force de frottement solide est appliqueacutee agrave la masse m commelrsquoindique la figure 513

Lrsquoapplication de la RFD au systegraveme masse m conduit agrave

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR +

k Rrarr

PrarrF

rarr xO

Figure 513 bull Oscillateur horizontal agrave frottement solide

Nous supposons que lrsquointensiteacute de la force de frottement solide est constante au cours dumouvement de lrsquooscillateur et eacutegale agrave F = mR Par projection de la RFD sur lrsquoaxe desabscisses nous obtenons lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement qui srsquoeacutecrit

mx + kx = acuteF avec acute =

∣∣∣∣∣ 1 si x lt 0

minus1 si x gt 0

Il importe de remarquer que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de m change agravechaque fois que m passe par une position drsquoarrecirct ce qui oblige agrave un peu de prudencedans la meacutethode de reacutesolution En effet cela revient agrave reacutesoudre lrsquoeacutequation diffeacuterentiellepar morceaux en respectant la continuiteacute de x(t) entre chaque morceau Nous supposonsque la masse m est agrave la position x = Xm au temps t = 0 et qursquoelle a une vitesse nulle agrave t = 0Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est du deuxiegraveme ordre agrave second membre constant Nous utilise-rons donc la mecircme meacutethode que pour une eacutequation du premier ordre agrave second membreconstant (voir chapitre 3)

Nous seacuteparons le mouvement en diffeacuterents tronccedilons correspondant au passage de lamasse m par des positions extreacutemales (vitesse nulle) Le premier tronccedilon srsquoeffectue agrave vi-tesse neacutegative ce qui conduit agrave une eacutequation diffeacuterentielle du type

mx + kx = F

La somme de la solution particuliegravere et de la solution de lrsquoeacutequation sans second membreest une solution geacuteneacuterale de cette eacutequation et srsquoeacutecrit

x = A cos(v0t + w) +Fk

A et w sont deacutetermineacutes par les conditions initiales du mouvement qui conduisent agrave

Xmax = A +Fk

et w = 0

Sur le premier tronccedilon nous avons donc

x = (Xmax minusFk

) cos v0t +Fk

Sur le second tronccedilon la vitesse est ensuite positive et la masse m quitte sa position dedeacutepart donneacutee par

X1 = minusXmax +2Fk

avec une vitesse nulle Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement sur ce tronccedilon srsquoeacutecrit

mx + kx = minusF

Il faut encore une fois reacutesoudre cette eacutequation diffeacuterentielle sur ce tronccedilon en tenantcompte des nouvelles conditions initiales Il est facile de voir que la solution geacuteneacuteralesrsquoeacutecrit

x = B cos(v0t + f) minus Fk

Agrave t =T2

v0 nous avons v = 0 et x = X1 ce qui permet de deacuteterminer B et f La

solution srsquoeacutecrit alors x = (Xmax minus

) cos v0t minus Fk

Il est possible de deacuteterminer lrsquoeacutequation horaire sur chaque tronccedilon en poursuivant ceraisonnement Une forme geacuteneacuterale de la solution peut srsquoeacutecrire

x = (Xmax minus (2p + 1)Fk

) cos v0t + (minus1)p Fk

avec p isin N et pT2

t (p + 1)T2

Nous preacutesentons sur la figure 514 le graphe de x(t) pour un oscillateur amorti par frot-tement solide Nous observons que lrsquoamplitude des oscillations deacutecroicirct lineacuteairement aucours du temps ce que lrsquoon pouvait preacutevoir en observant qursquoagrave chaque fois que le temps tsrsquoaccroicirct drsquoune peacuteriode propre T0 lrsquoamplitude deacutecroicirct de 4Fk

0 10 20 30 40-006

k=002Nm-1

m=01kgF=00001N

Figure 514 bull Eacutevolution de la position drsquoun oscillateur amortipar frottement solide en fonction du temps

Encart 52 Eacutenergie drsquoun oscillateur amorti par frottement solideUne autre faccedilon tregraves eacuteleacutegante de reacutesoudre ce problegraveme est drsquoutiliser lrsquoapproche eacutener-geacutetique Lrsquooscillateur eacutetant amorti lrsquoeacutenergie meacutecanique ne se conserve pas et deacutecroicirctprogressivement au cours du temps La variation drsquoeacutenergie meacutecanique est eacutegale au tra-vail de la force de frottement entre deux positions de lrsquooscillateur Il convient commepreacuteceacutedemment de raisonner sur les tronccedilons agrave vitesse positive ou neacutegative La force defrottement eacutetant constante le travail de cette force varie lineacuteairement avec la positionde lrsquooscillateur Ainsi sur le premier tronccedilon la variation drsquoeacutenergie meacutecanique entre lepoint de deacutepart xmax et un point x quelconque est donneacutee par

E minus E0 = E minus EP0 = F(x minus Xmax)

E = 12 mv2 + 1

2 kx2 = Fx minus FXmax + 12 kX2

La position drsquoarrecirct X1 de lrsquooscillateur sur ce tronccedilon est obtenue en exprimant quelrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquooscillateur en X1 est nulle soit

12 kx2

1 = minusFx1 + FXmax + 12 kX2

max12 kx2

1 + Fx1 minus (FXmax + 12 kX2

max) = 0

Il est facile de voir que la position X1 = Xmax est solution de cette eacutequation du seconddegreacute ce qui correspond au point de deacutepart de lrsquooscillateur pour lequel lrsquoeacutenergiecineacutetique est eacutegalement nulle Lrsquoautre solution de cette eacutequation est

X1 = minusXmax +2Fk

Nous pouvons ainsi obtenir analytiquement toutes les positions drsquoarrecirct de lrsquooscilla-teur En outre une solution graphique est eacutegalement possible comme le montre lafigure 515

-006 -004 -002 000 002 004 00600

50x 10-5

10x 10-4

15x 10-4

20x 10-4

25x 10-4

Pente de la droite-F

Pente de la tangentekx

xmE(x)=12kxm

2 -F(xm-x)

Figure 515 bull Deacutetermination graphique des positions extreacutemales atteintes parun oscillateur agrave frottement solide agrave partir des traceacutes de lrsquoeacutenergie meacutecanique et

de lrsquoeacutenergie potentielle

Les positions drsquoarrecirct correspondent aux intersections de la courbe E = f (x) avecEP = g(x) Il est eacutegalement remarquable de constater que la position drsquoarrecirct deacutefinitivede lrsquooscillateur peut ecirctre deacutetermineacutee graphiquement En effet cette position drsquoarrecirct estobtenue lorsque la tension du ressort devient eacutegale agrave la force de frottement solide La

tension du ressort est au signe pregraves eacutegale agrave la deacuteriveacutee de lrsquoeacutenergie potentielle eacutelas-tique Graphiquement elle est repreacutesenteacutee en touts points par la pente de la tangenteagrave la courbe EP = f (x) Il y aura donc arrecirct deacutefinitif lorsque la pente de la tangente agrave lacourbe EP = f (x) sera eacutegale agrave la pente des droites E = f (x) F ou minusF

Remarquons enfin pour conclure cette section qursquoil existe deux diffeacuterences notables entrelrsquooscillateur harmonique agrave frottement solide et lrsquooscillateur harmonique agrave frottement vis-queux Pour un frottement solide la peacuteriode drsquooscillation ne deacutepend par de la force defrottement et lrsquoamplitude maximale drsquooscillation (positions drsquoarrecirct) deacutecroicirct lineacuteairement

8 PORTRAIT DE PHASE DrsquoUN OSCILLATEUR

Le mouvement drsquoun oscillateur qursquoil soit amorti ou non est en geacuteneacuteral deacutecrit de faccedilonclassique en repreacutesentant lrsquoeacutevolution de son eacutelongation en fonction du temps Ce traite-ment classique utiliseacute dans les paragraphes preacuteceacutedents est justifieacute par la nature deacutetermi-niste du mouvement de lrsquooscillateur et par le fait que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouve-ment est lineacuteaire Nous rappelons agrave ce titre que lrsquoeacutequation est lineacuteaire car si x(t) est solutionde cette eacutequation il en va de mecircme pour ax(t) avec a isin R

Le mouvement des oscillateurs que nous avons eacutetudieacutes preacuteceacutedemment est reacutegi (sauf dansle cas du frottement solide) par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante

mx + v2

0x = 0 (54)

Lrsquooscillateur est amorti si a gt 0 et entretenu si a lt 0 Ce dernier cas nrsquoest pas freacutequent enmeacutecanique car les frottements fluides imposent a gt 0 Toutefois il est possible de reacutealiserdes oscillations entretenues avec des dispositifs eacutelectroniques

Lrsquoeacutequation (54) peut se reacutecrire

2 + m v20x2

= minus2ax

Lrsquoeacutequation ci-dessus nrsquoest rien drsquoautre que la traduction eacutenergeacutetique de lrsquoeacutequation dif-feacuterentielle du mouvement En particulier nous voyons que dans le cas drsquoun oscillateurharmonique pour lequel a = 0 la quantiteacute

se conserve

Nous voyons ainsi apparaicirctre que si lrsquoon porte sur un graphe la position de lrsquooscillateur enabscisse et en ordonneacutee sa vitesse nous obtenons une ellipse qui deacutefinit ce que lrsquoon appellela trajectoire de phase de lrsquooscillateur Le portrait de phase de lrsquooscillateur repreacutesentelrsquoensemble des trajectoires de phase reacutealiseacutees par le mecircme oscillateur agrave partir de toutes lesconditions initiales reacutealisables1 Lrsquoeacutequation ci-dessus est en effet de la forme

a2 +x2

b2 = 1 agrave condition de poser a =

radic2E

et b =

radic2Em

1 Agrave lire Le portrait de phase des oscillateurs par H Gieacute et JP Sarmant BUP 1992 n744 719-755 et Delrsquooscillateur harmonique agrave Van der Pol par L Sartre BUP 1998 n804

Pour un oscillateur harmonique la trajectoire de phase est donc une ellipse2 (figure 516)Lrsquoellipse se reacutepegravete indeacutefiniment dans le temps ce qui est une signature de la conservationde lrsquoeacutenergie de lrsquooscillateur Nous remarquons de plus qursquoelle peut ecirctre parcourue dans unsens ou dans un autre ce qui montre que le mouvement est invariant par renversementdu temps Pour un oscillateur harmonique donneacute il est clair que le portrait de phase nedeacutepend que de lrsquoeacutenergie meacutecanique E de lrsquooscillateur

-1 0 1

x(t)0 1 2 3 4 5 6

Figure 516 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation de lrsquooscillateur harmonique enfonction du temps (agrave gauche) et du portrait de phase (agrave droite)

Pour un oscillateur amorti lrsquoeacutenergie ne se conserve plus et diminue au cours du tempsLrsquoamplitude des oscillations deacutecroicirct exponentiellement au cours du temps ainsi que lavitesse La trajectoire de phase est alors caracteacuteriseacutee par une spirale logarithmique dontle centre (x = 0 v = 0) porte le nom drsquoattracteur (figure 517)

x(t)0 1 2 3 4 5 6

-10 -05 00 05 10 15

Figure 517 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation de lrsquooscillateur amorti enfonction du temps (agrave gauche) et du portrait de phase (agrave droite)

Il nrsquoest pas indiffeacuterent de parcourir la spirale dans un sens ou dans lrsquoautre ce qui montrebien que le mouvement nrsquoest plus invariant par renversement du temps Il est clair en effetque le frottement engendre ineacuteluctablement lrsquoirreacuteversibiliteacute du mouvement

2 Il arrive souvent que lrsquoon utilise comme coordonneacutees de lrsquoespace des phases x et vv Dans ce cas lrsquoellipse setransforme en cercle

Agrave RETENIR

Deacutefinitions

Si un oscillateur est harmonique alors

x + v2x = 0 =rArr

⎧⎨⎩x(t) = xmax cos(vt + w)

x(t) = xmaxej(vt+w)

Lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun oscillateur harmonique se conserve

E = EC + EP = cste

Oscillateur meacutecanique agrave frottement visqueux

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

preacutesente une solution du type

x (t) = Aert

ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation caracteacuteristique suivante

Selon la valeur du discrimant D = a2

m2 minus 4 km = a2

m2 minus 4v20 de lrsquoeacutequation caracteacuteristique

trois reacutegimes sont agrave distinguer

D lt 0 D = 0 D gt 0

Reacutegime pseudopeacuteriodique Reacutegime critique Reacutegime apeacuteriodique

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tejtq

v20minus a2

xminus = Beminusa

2m teminusjtq

v20minus a2

x = (At + B)eminusa

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tetq

4m2 minusv20

xminus = Beminusa

2m teminustq

4m2 minusv20

Oscillateur meacutecanique agrave frottement solide

Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est valable par morceaux et srsquoeacutecrit

mx + kx = acuteF avec acute =∣∣∣∣ 1 si x lt 0minus1 si x gt 0

Les solutions sont agrave deacuteterminer par morceaux

Trajectoire de phase drsquoun oscillateur

On appelle trajectoire de phase drsquoun oscillateur le graphe de sa vitesse en fonction desa position

Oscillateur

Une masse m consideacutereacutee comme ponctuelle repose sur un plan inclineacute drsquoun angle upar rapport agrave lrsquohorizontale Elle est accrocheacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute drsquoun ressort de raideur kde longueur agrave vide lo lrsquoautre extreacutemiteacute eacutetant fixe par rapport au plan

Donneacutees numeacuteriques m = 01 kg u = 30 g = 10 msminus2 k = 10 Nmminus1

On repegravere la position de la masse par rapport agrave sa position O drsquoeacutequilibre (voir figures)

Fig b) Position deacutequilibre O origine du repegravere pour m

le = lo + Dl1

Fig a) Ressort agrave vide (ni allongeacute ni comprimeacute)

Fig c) Position x(t) agrave linstant t quelconque

Figure 518

I La masse m est en eacutequilibre (fig b)

1) On suppose qursquoil nrsquoy a pas de frottement solide entre le plan et la masse m Fairelrsquoeacutetude du systegraveme et en deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoallongement Dl1 du ressort Calculercet allongement

2) En reacutealiteacute la mesure expeacuterimentale Dl2 de lrsquoallongement du ressort correspond agravela moitieacute de la valeur Dl1 calculeacutee preacuteceacutedemment Pour expliquer la diffeacuterence il fautintroduire une force reacutesultante f de frottement solide entre la masse et le support

a) Pourquoi nrsquointroduit-on pas de forces de frottement de type fluide b) Reprendre lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre de la masse et en deacuteduire lrsquoexpression de la

force de frottement f Calculer f

II La masse m est en mouvement (fig c)

Dans tout ce qui suit on neacuteglige de nouveau les forces de frottement solide

On tire sur la masse de Xo = +5 cm et on la lacircche agrave lrsquoinstant t = 0 sans vitesse initiale

Eacutetude du systegraveme (on neacuteglige aussi les forces de frottement visqueux avec lrsquoair)

a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en utilisant la condi-tion drsquoeacutequilibre montrer que x(t) veacuterifie lrsquoeacutequation diffeacuterentielle de lrsquooscillateurharmonique

x + v2o x = 0

Donner lrsquoexpression de la pulsation propre vo et de la peacuteriode propre To Cal-culer vo et To

b) En tenant compte des conditions initiales donner la solution x(t) et son expres-sion numeacuterique

III Approche eacutenergeacutetique

a) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur Epp agrave un instant t quel-conque la masse se trouvant agrave lrsquoabscisse x On prendra Epp(O) = 0

b) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique Epe agrave un instant t quelconquela masse se trouvant agrave lrsquoabscisse x On prendra Epe(O) = 0

c) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique Em du systegraveme agrave un instant t quel-conque la masse se trouvant agrave lrsquoabscisse x avec la vitesse x

d) Le systegraveme est-il conservatif Que peut-on dire alors de Em que vautd Em

e) Agrave partir de lrsquoexpression de Em obtenue preacuteceacutedemment au (IIIc) exprimerd Em

retrouver lrsquoeacutequation diffeacuterentielle obtenue preacuteceacutedemment (IIa)

SolutionDonneacutees numeacuteriques m = 01 kg u = 30 g = 10 msminus2 k = 10 Nmminus1

eTrarr

NRrarr

le = lo + D l1

Figure 519

1) Systegraveme la masse m Reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute galileacuteen

Forces poidsminusrarrP = mminusrarrg reacuteaction normale du support

minusrarrR N pas de frottement et la

tension du ressortminusrarrT Condition drsquoeacutequilibre

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR N =

minusrarr0

Repegravere (O x y) minusrarrP = mminusrarrg = mg sin uminusrarru x minus mg cos uminusrarru y

minusrarrR N = RN

minusrarru y minusrarrT = minuskDl1minusrarru x

Projection sur Ox

mg sin u minus kDl1 = 0 rArr Dl1 =mg sin u

01101210

= 005 m = 5 cm

2) Dl2 = Dl12

a) Pour un eacutequilibre la vitesse est nulle Les forces de frottement fluide nrsquointer-viennent que si le systegraveme est en mouvement Il ne peut donc y avoir que desforces de frottement solide La masse aurait tendance agrave descendre donc la forcef est opposeacutee agrave minusrarru x

b) Il faut donc ajouterminusrarrf = minusfminusrarru x et

minusrarrT = minuskDl2minusrarru x = minusk

minusrarru x = minus12

mg sin uminusrarru x

Suivant Ox mg sin u minus 1

2kDl1 minus f = 0 rArr f = mg sin u minus 1

2mg sin u =

mg sin u

=011012

= 025 N

c) Projection sur Oy RN minus mg cos u = 0 rArr RN = mg cos u = cos 30 =

radic32 = 0866 N

d) tan f =f

0250866

= 02887 rArr f = 16

m fT 1

Angle f

rarr rarr

Figure 520

On tire sur la masse de x = Xo = 5 cm et on la lacircche agrave lrsquoinstant t = 0 sans vitesseinitiale

1) Comme I1 avec minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR N = mminusrarra

a) En projetant sur Ox

mg sin u minus k(Dl1 + x) = mx0 rArr x +km

rArr v2o =

= 100 rArr vo = 10 radsminus1

To =2p

vo= 2p

radicmk

= 0628 s

b) x = Xm cos(vot + w) et x = minusvoXm sin(vot + w)Avec

x(0) = Xo = Xm cos w et x(0) = minusvoXm sin w = 0

on obtient x = Xo cos vot = 5 cos 10t (x exprimeacute en cm)

2) Approche eacutenergeacutetique

a) EPP = minusmgx sin u

b) EPe =12

k(Dl1 + x)2

c) Em =12

mx2 minus mgx sin u +12

k(Dl1 + x)2

d) Pas de frottement donc le systegraveme est conservatif Em = constante soitd Em

e)d Em

2mxx minus mgx sin u +12

2k(Dl1 + x)x = 0 rArr mx + kx = 0

(mecircme reacutesultat qursquoau 21)

3) Mouvement avec frottement visqueux

a) Il faut ajouter minusrarrf v = minusaminusrarrv = minusaxminusrarru x On obtient alors

mg sin u minus k(Dl1 + x) minus ax = mx0 rArr x +a

mx + v2

o x = 0

rArr v2o =

rArr vo = 10x + 12x + 100x = 0

b) D = (12)2 minus 400 = minus256 = j2162 rArrradic

D = plusmnj16 rArr r = minus6 plusmn 8j

x(t) = exp(minus6t)[A cos 8t + B sin 8t] reacutegime pseudo peacuteriodique avec v = 8 radsminus1

(pseudo pulsation) et la pseudo peacuteriode T =2p

= 0785 gt To = 0628 s

x(t) = minus6 exp(minus6t)[A cos 8t + B sin 8t] + exp(minus6t)[minus8A sin 8t + 8B cos 8t)x(0) = minus6A + 8B = 0 rArr 3A = 4B et x(0) = A = Xo = 5

x(t) = 5 exp(minus6t)[cos 8t + 075 sin 8t)

Oscillateurs

I Un ressort de raideur k et longueur agrave vide lo pouvant travailler en compression estposeacute verticalement sur le sol Un plateau de masse neacutegligeable est fixeacute agrave lrsquoextreacutemiteacute librede ce ressort (Fig a)

On pose sur le plateau une masse m (consideacutereacutee ponctuelle) Agrave lrsquoeacutequilibre le ressortest comprimeacute drsquoune quantiteacute Xe = Dle (Fig b)

Par la suite (Fig c et d) on repegravere la position de la masse m par son abscisse x sur unaxe Ox vertical dirigeacute vers le haut lrsquoorigine O correspondant agrave la position drsquoeacutequilibredu plateau

x x x x

Fig a) Fig b) Fig c) Fig d)

e= lD e

xurarr

Figure 521

Donneacutees numeacuteriques k = 10 Nmminus1 m = 01 kg g = 10 msminus2

I1 Eacutetudier le systegraveme (masse+plateau) agrave lrsquoeacutequilibre En deacuteduire lrsquoexpression de lacompression Xe = Dle Faire lrsquoapplication numeacuterique

I2 On comprime le ressort jusqursquoagrave lrsquoabscisse xo et agrave t = 0 on lacircche le plateau sansvitesse initiale x(0) = xo et v(0) = 0 (Fig c) On suppose que la masse reste sur leplateau

a) Exprimer la tensionminusrarrT du ressort agrave lrsquoinstant t (Fig d)

b) Faire lrsquoeacutetude du systegraveme agrave lrsquoinstant t (Fig d) et montrer que lrsquoeacutequation diffeacuterentielledu mouvement peut srsquoeacutecrire x + v2x = 0 comment se nomme ce type drsquooscillateur

c) Donner lrsquoexpression de v et calculer sa valeur

d) Donner lrsquoexpression geacuteneacuterale x(t) de la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

e) En tenant compte des conditions initiales montrer que x(t) = xo cos vt

I3 On fixe la valeur de xo telle que xo = minus2Xe

a) Exprimer lrsquoabscisse x(t) et lrsquoacceacuteleacuteration x(t)b) En consideacuterant comme systegraveme uniquement la masse m poseacutee sur le plateau faire unbilan des forces En deacuteduire en appliquant le principe fondamental de la dynamiquelrsquoexpression de la reacuteaction R du plateau sur la masse en fonction de lrsquoacceacuteleacuteration xpuis en fonction du temps t

c) Cette reacuteaction peut-elle srsquoannuler Si oui quand Que peut-il arriver ensuite pourla masse m

II Question de cours

On considegravere un oscillateur constitueacute drsquoune masse m accrocheacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute drsquoun res-sort de raideur k La masse peut osciller suivant un axe Ox le point O correspondant agravela position drsquoeacutequilibre du systegraveme et on repegravere la masse par son abscisse x

Agrave lrsquoinstant t = 0on eacutecarte la masse de sa position drsquoeacutequilibre (x(t = 0) = xo) et on lalacircche sans vitesse initiale (v(t = 0) = 0) On eacutetudie alors lrsquoabscisse x de la masse enfonction du temps

On constate que la fonction x(t) est de la forme

x(t) = eminuslt(X1 cos vt + X2 sin vt)

II1 Agrave quel type drsquooscillateur correspond ce systegraveme Lrsquooscillateur est-il harmonique Le reacutegime est-il apeacuteriodique critique ou pseudopeacuteriodique

II2 Que repreacutesentent les grandeurs v et T =2p

v(nom et uniteacute)

II3 Deacuteterminer lrsquoexpression des constantes X1 et X2 en utilisant les conditions ini-tiales

SolutionI x x x x

Ressort agrave vide

Ressort agrave lrsquoeacutequilibre

t = 0 Ressort comprimeacute x(t = 0) = xo lt 0

Instant t

Xe= D le

Fig a) Fig c) Fig b) Fig d)

Vecteur unitaire

rarr rarr

Figure 522

I1 Systegraveme (masse+plateau) agrave lrsquoeacutequilibre Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen

Forces le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru x et la tension du ressort

minusrarrT e = kDleminusrarru x = kXe

minusrarru x

Agrave lrsquoeacutequilibre minusrarrP +

minusrarrT e =

minusrarr0 rArr minusmgminusrarru x + kXe

minusrarru x = 0 rArr Xe =mgk

= 01 m = 10 cm

I2 a)minusrarrT = k(Dle minus x)minusrarru x = (kXe minus kx)minusrarru x = minusmgminusrarru x minus kxminusrarru x

b) Principe fondamental de la dynamique (projeter selon Ox)

minusrarrP +

minusrarrT = mminusrarra rArr minusmg + kXe minus kx = mx rArr x + v2x = 0avecv2 =

Ce type drsquooscillateur crsquoest un oscillateur harmonique

c) v2 = km rArr v =

radickm = 10 radsminus1

d) x(t) = Xm cos(vt + w)

e) x(0) = xo rArr xo = Xm cos w et x(t) = minusvXm sin(vt + w) rArr x(0) = 0 = minusvXm sin w

On en deacuteduit donc comme solution w = 0 Xm = xo soit x(t) = xo cos vt

I3 a) x(t) = xo cos vt = minus2Xe cos vt x = +2Xev sin vt et donc

x(t) = minusv2xo cos vt = minusv2x(t) = +2Xev2 cos vt

b) Systegraveme uniquement la masse m poseacutee sur le plateau reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen

Bilan des forces exteacuterieures le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru x et la reacuteaction du plateau

minusrarrR = Rminusrarru x

minusrarrR = mminusrarra rArr minusmg + R = mx

En remplaccedilant lrsquoacceacuteleacuteration par son expression R = m(x + g) = m(g + 2v2Xe cos vt)

c) R = m(x + g) = m(g + 2v2Xe cos vt) = 0 rArr minusg = 2v2Xe cos vt

g = minus2v2Xe cos vt rArr cos vt =minusg

2v2Xe=

minus10210001

= minus12rArr vt =

Agrave lrsquoinstant t =2p

30= 021 s la reacuteaction srsquoannule

La masse peut alors deacutecoller du plateau

x(t) = eminuslt(X1 cos vt + X2 sin vt)II1 Oscillateur faiblement amorti Lrsquooscillateur nrsquoest pas harmonique Le reacutegime estpseudopeacuteriodique

II2 Pseudopulsation v en rads-1 et la pseudo-peacuteriode T =2p

ven seconde

II3 x(t) = eminuslt(X1 cos vt + X2 sin vt) rArr x(0) = xo = X1

rArr x(t) = eminuslt[minuslX1 cos vt minus vX1 sin vt minus lX2 sin vt + vX2 cos vt]

x(0) = minuslX1 + vX2 = 0 rArr X2 =l

On a donc

x(t) = xoeminuslt(cos vt +l

vsin vt)

Tunnel traversant la Terre

Figure 523

Le poids drsquoun corps correspond en premiegravere approxima-tion agrave lrsquoattraction gravitationnelle qursquoexerce la Terre surce corps

Dans le cas ougrave la Terre est supposeacute spheacuterique et homo-gegravene on peut montrer que pour tout point P agrave lrsquointeacuterieurde la Terre (voir figure) de masse m situeacute agrave la distanceCP = r du centre C de la Terre lrsquoattraction terrestre estune force agissant sur ce point dirigeacutee vers le centre dela Terre et de mesure

minusrarrF = minusmg

rRminusrarru avec r R et minusrarru

vecteur unitaire de C vers P

Dans cette relation g est le champ de gravitation agrave la surface de la Terre et R est lerayon de la Terre

1) En consideacuterant pour le point P un petit deacuteplacement eacuteleacutementaire dminusrarrl = d rminusrarru

exprimer le travail eacuteleacutementaire dW de la forceminusrarrF Montrer que ce travail eacuteleacutementaire

dW peut srsquoeacutecrire comme lrsquoopposeacute de la diffeacuterentielle drsquoune fonction de r et appeleacuteeeacutenergie potentielle EP(r) dW = minusd EP Donner lrsquoexpression de EP en fonction de mg r et R On choisira lrsquoeacutenergie potentielle nulle au centre C

Srsquo S

Figure 524

2) On considegravere un tunnel rectiligne traver-sant la Terre Une masse ponctuelle m peut srsquoydeacuteplacer sans frottement La distance du tun-nel au centre C de la Terre est CH = d Onabandonne sans vitesse initiale la masse m agravelrsquoentreacutee S du tunnel On repegravere alors la posi-tion du point P par lrsquoabscisse HP = x

a) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielleEP en fonction de la position x dans le tun-nel En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacute-canique E de la masse m

b) Exprimer la deacuteriveacutee par rapport au temps de lrsquoeacutenergie meacutecanique d Ed t

Que peut-

on dire de la valeur de cette deacuteriveacutee En deacuteduire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle en x dumouvement

c) Quelle est la nature du mouvement de m Donner la forme de la solution x(t)d) Calculer la vitesse maximale de m en H

AN d = 5106 m R = 64106 m g = 10 msminus2

Solution1) Le travail eacuteleacutementaire dW pour un petit deacuteplacement eacuteleacutementaire d

minusrarrl = d rminusrarru

est dW =minusrarrFminusrarrdminusrarrl = minusmg

rRminusrarru minusrarru d r

dW = minusmgrR

d r = minusd(

)= minusd EP

Avec lrsquoeacutenergie potentielle nulle au centre C on a

EP(r) =12

2) a) On a r2 = d2 + x2 rArr EP =12

mgd2 + x2

Lrsquoeacutenergie meacutecanique E = Ec + Ep =12

mv2 +12

mgd2 + x2

b)d Ed t

2mvd vd t

d xd t

= mvx + mgR

xv = mv(

Srsquo S

Figure 525

Le systegraveme est conservatif (par de frottement)donc lrsquoeacutenergie meacutecanique se conserve et doncla deacuteriveacutee par rapport au temps est nulle Onen deacuteduit sachant que la vitesse v ne peut pasecirctre identiquement nulle

= 0 rArr x +gR

Crsquoest lrsquoeacutequation diffeacuterentielle drsquoun oscillateurharmonique

c) Mouvement sinusoiumldal x(t) = XM cos(vt+w)

XM et w deacutependant des conditions initiales et v =radic

Pour t = 0 x(0) = HS =radic

R2 minus d2 = XM cos w et x(0) = 0 = minusvXM sin w

On en deacuteduit radic

R2 minus d2 = XM avec w = 0 soit x(t) =radic

R2 minus d2 cos vt avec v =radic

La peacuteriode T T = 2p1v

radicRg

(indeacutependant de la distance d) Cette peacuteriode

appeleacutee peacuteriode de Schuler correspond agrave la peacuteriode drsquoun pendule simple dont la lon-gueur est eacutegale au rayon de la Terre l = R (T asymp 84 minutes)

d) Vitesse maximale

v = minusvradic

R2 minus d2 sin vt donc vmax = vradic

R2 minus d2 =radic

(R2 minus d2)

vmax =radic

(R2 minus d2) =radic

1064106 (642 minus 52)1012 = 5106 msminus1 = 5 000 kmsminus1

1 1) On met en parallegravele deux ressorts de mecircme longueur de constante de raideurk1 et k2 et de masses neacutegligeables On exerce sur lrsquoensemble une force de tension Tqui se communique agrave chacun des ressorts et allonge lrsquoensemble de Dl Deacuteterminer laconstante de raideur eacutequivalente agrave celle de ces deux ressorts En deacuteduire la peacuteriodepropre des oscillations drsquoune masse m accrocheacutee agrave ces deux ressorts (on considegravere queles deux ressorts sont verticaux)

2) Mecircmes questions si les deux ressorts sont maintenant placeacutes bout agrave bout

2 Un corps ponctuel de masse m est assujetti agrave glisser sans frottement sous lrsquoaction deson poids sur un guide circulaire de rayon a Deacuteterminer la peacuteriode To de ses petitsmouvements autour de sa position drsquoeacutequilibre

3 Une sphegravere de rayon r et de masse m est suspendue agrave un ressort de raideur k et delongueur agrave vide lo Elle est plongeacutee dans un liquide de coefficient de viscositeacute h etsoumise alors agrave une force de frottement fluide donneacutee par la formule de Stokes

minusrarrF = minus6phrminusrarrv

ougrave minusrarrv est la vitesse Dans lrsquoair ougrave les frottements fluides sont neacutegligeables sur lasphegravere la peacuteriode des oscillations est To Deacuteterminer le coefficient de viscositeacute h enfonction de m r To et de la pseudo-peacuteriode T des oscillations dans le fluide

4 Un ressort de raideur k et de longueur agrave vide l0 prend une longueur L quand on luiaccroche un point mateacuteriel M de poids mg

1) Exprimer la pulsation q des oscillations verticales de M

2) Exprimer la pulsation p des petites oscillations drsquoun pendule de longueur L

3) On considegravere les oscillations de M dans le plan vertical (xOy) avec Oy verticaleascendante au voisinage de la position drsquoeacutequilibre O Eacutetablir les eacutequations diffeacuteren-tielles du mouvement de M en supposant x et y comme des infiniment petits du 1ier

4) Inteacutegrer ces eacutequations Quelle condition doivent veacuterifier p et q pour que le vecteurminusrarrOM soit une fonction peacuteriodique Eacutetudier le cas pq = 12 v(t = 0) = 0 x(t = 0) = aet y(t = 0) = b

Solutions1 1) Nous consideacuterons le systegraveme constitueacute des deux ressorts Si lrsquoon exerce une force de tension

minusrarrT sur les deux ressorts ils srsquoallongent de Dl On en conclut que si minusrarru x est un vecteur unitairedans la direction verticale de lrsquoallongement alors

minusrarrT = minus(k1 + k2)Dlminusrarru x

La constante de raideur de ces deux ressorts est donc k1 + k2 Si lrsquoon attache une masse m auxdeux ressorts cette masse sera soumise agrave

bull son poidsminusrarrP

bull la tensionminusrarrT

Agrave lrsquoeacutequilibre le poidsminusrarrP compense la tension

minusrarrT et lrsquoallongement des deux ressorts veacuterifie

mgminusrarru x minus (k1 + k2)Dl0minusrarru x =minusrarr0

On en deacuteduit que le ressort eacutequivalent agrave ces deux ressorts placeacutes en parallegravele a une raideur kveacuterifiant k = k1 + k2

Pour une position hors eacutequilibre quelconque de la masse m et en prenant comme origine delrsquoaxe des x la position drsquoeacutequilibre de la masse m le principe fondamental de la dynamiqueappliqueacute agrave la masse m conduit agrave

mgminusrarru x minus (k1 + k2) (Dl0 + x)minusrarru x = mxminusrarru x

qui compte tenu de la condition drsquoeacutequilibre entraicircne [mx + (k1 + k2)x]minusrarru x =minusrarr0 Le vecteurminusrarru x eacutetant un vecteur unitaire cette eacutequation devient [mx + (k1 + k2)x] = 0 ce qui est lrsquoeacutequation

diffeacuterentielle drsquoun oscillateur harmonique de peacuteriode propre T T = 2pq

mk1+k2

2) Dans ce cas la tension des deux ressorts est la mecircme mais leur allongement Dl est diffeacuterentNous avons donc minusrarr

T 1 = minusk1Dl1minusrarru x etminusrarrT 2 = minusk2Dl2minusrarru x

Agrave lrsquoeacutequilibre sous lrsquoaction de la masse m nous avons mgminusrarru x minus k2Dl20

minusrarru x = mgminusrarri minus k1Dl10

minusrarru x =minusrarr0

Nous deacuteduisons que lrsquoallongement total pris par les deux ressorts mis bout agrave bout est

Dl20 + Dl10 = mgldquo

Un ressort unique eacutequivalent agrave ces deux ressorts srsquoallongerait de Dl0 = mgk ce qui permet

drsquoaffirmer que lrsquoon peut remplacer les deux ressorts par un ressort de raideur k veacuterifiant 1k = 1

k2 La peacuteriode drsquooscillation de la masse est donc T = 2p

m(k1+k2)k1k2

2 Lrsquoeacutenergie meacutecanique de la masse m se conserve Crsquoest la somme de lrsquoeacutenergie cineacutetique et delrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur soit E = 1

2 mv2 + mgz = 12 ma2u2 + mga(1 minus cosu) car pour

un guide circulaire v = au La deacuteriveacutee par rapport au temps de lrsquoeacutenergie est nulle puisqueE est constante soit d E

d t = 0 =rArr ma2uu + mga sin uu = 0 ce qui pour u petit conduit agravema2u + mgau = 0

Cette eacutequation diffeacuterentielle est celle drsquoun oscillateur harmonique de pulsation propre

ga La peacuteriode propre des petites oscillations est donc T0 = 2p

3 Dans lrsquoair la peacuteriode des oscillations est donneacutee par T0 = 2pv0

= 2pp m

Dans le fluide on considegravere la masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R du laboratoire elle estsoumise aux trois forces suivantes

bull minusrarrP son poids appliqueacute en G

bull minusrarrT tension du ressort appliqueacutee au point de contact

bull minusrarrF localiseacutee sur toute la surface de la bille

Le principe fondamental de la dynamique appliqueacute au systegraveme bille conduit agrave minusrarrP +

minusrarrT +

Si lrsquoon appelle z lrsquoaxe vertical descendant du reacutefeacuterentiel R nous avons

mg minus k(z + Dl0) minus 6prhz = mz

ce qui compte tenu des conditions drsquoeacutequilibre (mg = kDl0) conduit agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle

mz + 6prhz + kz = 0

Cette eacutequation admet une solution sinusoiumldale amortie si le frottement fluide est faible Dansce cas la pseudopulsation est donneacutee par

v2o minus

laquo2

1 minusbdquo

3prhvom

laquo2

=rArr 1 minusbdquo

laquo2

3prhvom

laquo2

1 minusbdquo

laquo2

=3prhvom

La vsicositeacute du fluide est donc donneacutee par

h =vom3pr

1 minusbdquo

laquo2

1 minusbdquo

laquo2

h =2m3r

ominus 1

CHAPITRE 6

OSCILLATIONS FORCEacuteES REacuteSONANCE

Preacute-requis bull Il importe avant drsquoaborder ce chapitre de bien connaicirctre les reacutesultats duchapitre preacuteceacutedent La notation complexe est ici primordiale

Objectif I Comprendre qursquoun oscillateur peut en eacutetant exciteacute et sous certainesconditions drsquoamortissement entrer en reacutesonance

I Assimiler la notion de reacutesonance en meacutecanique en faisant la diffeacuterenceentre lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude et celle de la vitesse en fonction de lafreacutequence

I Comprendre le bilan eacutenergeacutetique drsquoun oscillateur forceacute

Lrsquoamortissement des oscillations est un pheacutenomegravene ineacuteluctable auquel il convient par-fois de remeacutedier En effet il importe parfois drsquoentretenir les oscillations drsquoun oscillateurcomme par exemple celles drsquoune horloge agrave balancier ou tout simplement celles drsquoune ba-lanccediloire Lorsque le mouvement drsquooscillation est entretenu peacuteriodiquement on dit queles oscillations sont forceacutees par opposition au cas ougrave elles sont non entretenues ougrave ellessont qualifieacutees de libres

1 OSCILLATIONS FORCEacuteES

11 Montage expeacuterimentalPour eacutetudier les oscillations forceacutees drsquoun oscillateur il est neacutecessaire drsquoexciter lrsquooscillateurpeacuteriodiquement dans le temps Le montage preacutesenteacute figure 61 permet drsquoexciter de faccedilonsinusoiumldale un ressort de raideur k au bout duquel est accrocheacutee une masse m

Le moteur tourne agrave la vitesse angulaire v constante et il entraicircne la masse m dans unmouvement de va-et-vient peacuteriodique Ce mouvement de va-et-vient est obtenu en atta-chant un fil au ressort dans une position excentreacutee de e de lrsquoaxe de rotation du moteur Onconstate expeacuterimentalement qursquoen reacutegime permanent la masse m suit le mouvement dumoteur en oscillant agrave la mecircme freacutequence que celle du moteur Pour une freacutequence drsquoexci-tation proche de la freacutequence propre de lrsquooscillateur harmonique lrsquoamplitude de vibrationde la masse m devient maximale On dit que lrsquooscillateur entre en reacutesonance Par la suitele moteur sera qualifieacute drsquoexcitateur et la masse accrocheacutee au ressort de reacutesonateur

Excentriciteacute

Moteur

Poulie

Position deacutequilibre

Moteur arrecircteacute

Figure 61 bull Scheacutema de principe drsquoun montage permettant lrsquoeacutetude desoscillations forceacutees en meacutecanique

12 Eacutequation diffeacuterentielle du mouvement

Nous consideacuterons le mouvement de la masse m dans un reacutefeacuterentiel Galileacuteen lieacute au solR(O x t) avec le vecteur

minusrarri vecteur unitaire servant de base agrave R Lrsquoorigine du reacutefeacuterentiel

est prise sur la position drsquoeacutequilibre de la masse pour laquelle lrsquoallongement du ressort estDl0 Agrave lrsquoeacutequilibre le poids

minusrarrP de la masse m compense la tension

minusrarrT du ressort (figure 62)

soit mg minus kDl0 = 0

Pour une position arbitraire x(t) de lrsquooscillateur et lorsque le moteur est bloqueacute la masse mest soumise agrave son poids

minusrarrP agrave la force de tension

minusrarrT du ressort dont lrsquoallongement est

(x + Dl0) agrave la force de frottement visqueux Degraves que le moteur tourne le fil fait subir auressort une force suppleacutementaire qui tire ou pousse le ressort selon la position de lrsquoexcen-trique Cette force engendre un allongement (x(t) minus X(t) + Dl0) du ressort Il importe denoter que dans cette expression les quantiteacutes x(t) et X(t) sont des quantiteacutes algeacutebriquesAinsi sur le scheacutema de la figure 62 et dans la position ou le moteur tourne nous avonsx(t) gt 0 et X(t) lt 0

Lrsquoapplication de la relation fondamentale de la dynamique conduit agrave lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle du mouvement donneacutee par

minusrarrF +

minusrarrF e +

minusrarrP +

Lrsquoallongement du ressort est alors

x(t) minus X(t) + Dl0

ougrave X(t) correspond au deacuteplacement par rapport agrave la position drsquoeacutequilibre de lrsquoextreacutemiteacutedu ressort relieacutee au moteur

Par projection sur lrsquoaxe des abscisses on obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante

mx = minusk(Dl0 + x minus X (t)) + ax + mg

Oscillations forceacutees reacutesonance 157

l0+Δl0

xPrarr

A vide EquilibreMouvement de m

moteur bloqueacuteMouvement de mmoteur tournant

Figure 62 bull Repreacutesentation de lrsquoallongement du ressort dans diffeacuterents casde deacuteplacement de la masse m et pour diffeacuterents mouvements de rotation du

moteur

En tenant compte de la condition drsquoeacutequilibre il vient

mx + ax + kx = kX (t) (61)

Encart 61 Deacuteplacement X(t) de lrsquoextreacutemiteacute supeacuterieure du ressort

Lrsquoeacutequation (61) est lrsquoeacutequation diffeacuterentielle de lrsquooscillateur entretenu Nous voyonsqursquoelle est eacutequivalente agrave lrsquoeacutequation drsquoun oscillateur libre qui est le membre de gauchedans laquelle il faut ajouter une force F (t) = kX (t) dans le membre de droite Cetteforce fait clairement intervenir lrsquoallongement speacutecifique du ressort lieacute agrave la rotation dumoteur Elle peut ecirctre expliciteacutee quantitativement dans le cas de ce montage expeacuteri-mental En effet il est possible drsquoexprimer X(t) en fonction de la vitesse angulaire derotation du moteur et de lrsquoexcentriciteacute e

Figure 63 bull Interpreacutetation du mouvement X(t) de lrsquoextreacutemiteacute supeacuterieure du ressort

Nous appellerons L la longueur du fil agrave lrsquoeacutequilibre entre le point drsquoattache sur lemoteur et la poulie et l cette longueur pour une position quelconque repeacutereacutee parlrsquoangle u (figure 63) Nous supposons D e ce qui permet de faire un deacuteveloppementlimiteacute au premier ordre par rapport agrave eD Dans ces conditions nous avons

X = L minus l =(D2 + e2)12 minus (D2 + e2 minus 2eD cos u)12 e cos u

Si le moteur tourne agrave la vitesse angulaire constante v nous pouvons eacutecrire

X (t) = e cos vt

Le terme kX (t) du second membre de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle qui est homogegravene agrave uneforce srsquoeacutecrit donc

F (t) = kX (t) = ke cos vt = F0 cos vt (62)

F0 = ke repreacutesente lrsquoamplitude maximale de la force excitatrice Il apparaicirct donc claire-ment que ce montage permet de reacutealiser un geacuteneacuterateur de force sinusoiumldale Lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle peut donc eacutecrire

mx + ax + kx = F0 cos vt

2 SOLUTION DE LrsquoEacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE

21 Eacutetude de lrsquoamplitude

Apregraves quelques oscillations qui correspondent agrave un reacutegime transitoire le systegraveme adopteen reacutegime permanent un mouvement de type sinusoiumldal dont la pulsation est la mecircme quela pulsation de la force excitatrice mais dont la phase diffegravere de celle de la force excitatriceIl est donc logique drsquoeacutecrire que la solution du reacutegime permanent est du type

x (t) = X0 cos(vt + f)

La deacutetermination des quantiteacutes X0 et f se fait en reportant cette solution dans lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle

De mecircme la solution du reacutegime transitoire est la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle sanssecond membre dont nous avons vu qursquoelle conduit agrave lrsquoexpression suivante

xt(t) = Aeminusat2m cos(vprimet + f)

avec vprime = 2

radicv2

0 minus a2

4m2 (voir chapitre 5) La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation diffeacuterentielleest la somme de ces deux solutions Cependant il est clair que la contribution du reacutegimetransitoire devient tregraves vite neacutegligeable par rapport agrave celle du reacutegime permanent en rai-son du terme exponentiel preacutesent dans cette expression Pour cette raison nous ne nousinteacuteresserons qursquoau reacutegime permanent que nous appelerons le reacutegime forceacute

Pour des raisons pratiques il est commode drsquoutiliser la repreacutesentation complexe On eacutecritalors que

x (t) = X0ej(vt+f)

F (t) = F0ejvt

En transposant dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement il vient

X0ej(vt+f)(minusmv2 + jva + k) = F0ejvt

En utilisant la pulsation propre de lrsquooscillateur harmonique et en simplifiant par la partiedeacutependante du temps on aboutit agrave

X0ejf(v20 minus v2 + j

mavec v2

0 = km

De cette eacutequation complexe on peut tirer la valeur de X0 et de f En prenant le modulede lrsquoeacutequation nous obtenons

X0 (v) =F0

mradic

(v20 minus v2)2 + v2a2

soit encore

X0 (v) =ev2

0radic(v2

0 minus v2)2 + v2a2

En raisonnant sur les arguments des nombres complexes nous obtenons la valeur de latangente de la phase f

tan f (v) = minus va

m(v20 minus v2)

Les expressions ci-dessus montrent que lrsquoamplitude et la phase de lrsquooscillateur entretenudeacutependent de la pulsation de lrsquoexcitateur En particulier lrsquoamplitude des oscillations passepar un maximum dont la position est deacutetermineacutee par lrsquoeacutequation suivante

dX0 (v)dv

Le calcul de la deacuteriveacutee ne pose pas de problegraveme majeur et lrsquoeacutequation ci-dessus est veacuterifieacuteelorsque

v2 = v20 minus

Lrsquoamplitude passe donc par un maximum non nul si la condition v0 gt a

mradic

2est veacuterifieacutee

La figure 64 montre lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude et de la phase en fonction de la freacutequence

Il est important de noter que lrsquoamplitude des oscillations passe par un maximum au voisi-nage de la pulsation propre de lrsquooscillateur harmonique non entretenu ce qui correspondagrave un pheacutenomegravene qui de faccedilon impropre (pour des raisons que nous eacutevoquerons plus tard)est qualifieacute de reacutesonance Lrsquoacuiteacute de ce pheacutenomegravene deacutepend fortement du coefficient defrottement a Si celui est tregraves faible on dit que la reacutesonance est aigueuml crsquoest notammentle cas pour la valeur a = 001 de la figure 64 Quand a augmente la reacutesonance devientfloue De plus lrsquoobservation du maximum nrsquoest possible que si le coefficient de frottement

reste assez faible Le maximum nrsquoest plus visible sur la figure 64 pour a = 01 La po-sition de ce maximum drsquoamplitude srsquoeacuteloigne de la valeur v = v0 degraves que le coefficientde frottement augmente comme on peut le voir pour a = 004 Nous noterons qursquoagrave tregravesbasse freacutequence lrsquoamplitude du reacutesonateur correspond agrave la valeur de lrsquoexcentrique e Demecircme agrave haute freacutequence nous constatons que lrsquoamplitude du reacutesonateur tend vers zeacutero

0 1 2 3 4 5-200

α=001

α=004

reacute)

ω (rads-1

0 1 2 3 4 5000

α gt1414ω0m

k=01 Nm-1

m=005 kg

e=2 cm

α=001

α=004

ω (rad s-1

Figure 64 bull Courbes donnant lrsquoamplitude et la phase de lrsquooscillateur enfonction de la pulsation de lrsquoexcitateur pour diffeacuterentes valeurs de

lrsquoamortissement On notera que lrsquoamplitude passe par un maximum pour unevaleur proche mais infeacuterieure agrave la pulsation propre sauf si lrsquoamortissement

devient trop fort Il convient de noter qursquoagrave basse freacutequence lrsquoexcitateur est enphase avec le reacutesonateur puis vibre en opposition de phase avec celui-ci agrave

haute freacutequence Agrave la freacutequence propre les deux systegravemes sont en quadrature

Nous constatons que la phase du reacutesonateur varie de faccedilon tregraves importante avec la va-leur de la pulsation excitatrice Tant que la freacutequence drsquoexcitation est faible le reacutesonateurlaquo suit raquo le mouvement et vibre en phase avec lrsquoexcitateur Ce reacutegime est facile agrave observer carquand la masse m monte il en va de mecircme pour lrsquoextreacutemiteacute haute du ressort Progressive-ment la diffeacuterence de phase croicirct pour atteindre 180 agrave haute freacutequence Le reacutesonateur est

alors en opposition de phase avec lrsquoexcitateur Lagrave encore lrsquoobservation du pheacutenomegravene estfacile quand la masse descend le haut du ressort monte et vice versa Agrave la reacutesonance lereacutesonateur est en quadrature par rapport agrave lrsquoexcitateur et il est alors plus difficile de visua-liser clairement les mouvements respectifs du reacutesonateur et de lrsquoexcitateur Cette difficulteacuteest accrue par le fait que le reacutesonateur se deacuteplace tregraves vite

Nous venons de voir qursquoagrave la reacutesonance lrsquoamplitude des oscillations du reacutesonateurpasse par un maximum Toutefois nous observons que ce pheacutenomegravene ne se produitpas toujours agrave la mecircme freacutequence en particulier si lrsquoamortissement change Cetteobservation impose drsquoecirctre prudent sur la terminologie du mot reacutesonance En effetnous allons voir que la vitesse du reacutesonateur passe elle par un maximum lorsquela pulsation de lrsquoexcitateur est rigoureusement eacutegale agrave la pulsation propre du reacute-sonateur et ceci quelle que soit la valeur de lrsquoamortissement De plus crsquoest agrave cettefreacutequence que le transfert drsquoeacutenergie entre lrsquoexcitateur et le reacutesonateur est optimalLa reacutesonance en meacutecanique est donc de faccedilon rigoureuse plus une reacutesonance devitesse que drsquoamplitude Toutefois comme il est plus facile drsquoeacutetudier lrsquoamplitudedu mouvement plutocirct que la vitesse instantaneacutee du reacutesonateur il est drsquousage drsquoap-preacutehender la reacutesonance en meacutecanique par lrsquoeacutetude de lrsquoamplitude Nous eacutetudionsmaintenant le comportement de la vitesse du reacutesonateur en fonction de la pulsationde lrsquoexcitateur

22 Reacutesonance de vitessePar deacutefinition la vitesse de lrsquooscillateur est eacutegale agrave la deacuteriveacutee de la position soit

v =dxdt

= jvX0ej(vt+f) = vX0ej(vt+f+p2)

Il est facile de voir que lrsquoon peut eacutecrire la vitesse de la faccedilon suivante

v(t) = V0 ej(vt+fv)

agrave condition de poser V0 = vX0 et fv = f +p

2Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de lrsquooscillateur srsquoeacutecrit en termes de vitesse

+ av + kint

vdt = F0ejvt

Le report de lrsquoexpression de la vitesse dans cette eacutequation conduit agrave

V0ej(vt+fv)(mjv + a +kjv

) = F0ejvt

ce qui aboutit agrave V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

)2et tan fv (v) = minus

mv minus kv

Ces relations montrent que si la pulsation v de lrsquoexcitateur est eacutegale agrave la pulsation propre

v0 =radic

km de lrsquooscillateur alors la force et la vitesse sont en phase De plus la vitesse

V0 (v0) est alors maximale on dit qursquoil y a reacutesonance de vitesse Agrave la reacutesonance de vitessenous avons donc

fv (v0) = 0 et V0 (v0) = Vmax =F0

Contrairement agrave ce qui se passe pour lrsquoamplitude la reacutesonance de vitesse se pro-duit toujours lorsque la pulsation de lrsquoexcitateur est eacutegale agrave la pulsation propre delrsquooscillateur

Nous retiendrons qursquoagrave la reacutesonance meacutecanique la vitesse de lrsquooscillateur est en phase avecla force excitatrice et que lrsquoamplitude de la vitesse passe par un maximum

Les figures 65 et 66 repreacutesentent lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude et de la phase de la vitesseen fonction de la pulsation

0 1 2 3 4 50

20 k=01 N m-1

m =005 kg

e=2 cm

α=001

α=004

ω (rads-1

Figure 65 bull Eacutevolution de la vitesse du reacutesonateur en fonction de la pulsationde lrsquoexcitateur pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoamortissement Il convient de

noter que la reacutesonance de vitesse se produit toujours agrave la pulsation propre dureacutesonateur et qursquoelle est drsquoautant plus aigueuml que lrsquoamortissement est faible

0 1 2 3 4 5-100

α=001

α=004

Φ v (

eacute)

ω (ra ds-1

Figure 66 bull Eacutevolution de la phase de la vitesse du reacutesonateur par rapport agrave laphase de lrsquoexcitateur en fonction de la pulsation de lrsquoexcitateur pour

diffeacuterentes valeurs de lrsquoamortissement Il convient de noter qursquoagrave la reacutesonancela vitesse du reacutesonateur et la force excitatrice sont en phase

Nous voyons eacutegalement que la phase de la vitesse est simplement translateacutee de p2 parrapport agrave celle de lrsquoamplitude

Encart 62 Impeacutedance meacutecaniqueLrsquoeacutetude de la reacutesonance de vitesse montre qursquoagrave force excitatrice constante la vitessepasse par un maximum lorsque la pulsation de lrsquoexcitateur est eacutegale agrave la pulsationpropre du reacutesonateur Par analogie avec lrsquoeacutelectriciteacute il est utile drsquointroduire la notiondrsquoimpeacutedance meacutecanique Z deacutefinie par

F = Z(v)v

Cette relation est formellement eacutequivalente agrave la loi drsquoOhm en eacutelectriciteacute u = Zi danslaquelle Z est lrsquoimpeacutedance eacutelectrique En revenant agrave la deacutefinition de la vitesse et de laforce (voir deacutebut du paragraphe 2) nous voyons que

) = F0ejvt

Z(v) = a + j(

mv minus kv

)Si lrsquoon passe au module lrsquoeacutequation preacuteceacutedente devient

F0 = |Z(v)|V0 (v)

V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

tan fv (v) = minusmv minus k

aou cos fv =

|Z(v)|

Agrave la reacutesonance la vitesse passe par un maximum agrave force constante ce qui impose agravelrsquoimpeacutedance meacutecanique drsquoecirctre minimale et de prendre la valeur

|Z(v0)| = a

3 TRANSFERT DE PUISSANCE

31 Puissance instantaneacuteeLrsquoimpeacutedance meacutecanique est une quantiteacute qui traduit lrsquoopposition drsquoun systegraveme meacutecaniqueagrave se deacuteplacer agrave une certaine vitesse sous lrsquoaction drsquoune force Quand lrsquoimpeacutedance est mini-male lrsquoopposition est faible et la vitesse peut devenir grande Ainsi la reacutesonance se produiten meacutecanique parce que le transfert de la puissance de lrsquoexcitateur est maximal vers le reacute-sonateur quand la freacutequence drsquoexcitation est eacutegale agrave la freacutequence propre En effet noussavons que la puissance est deacutefinie par

PminusrarrF (t) =

minusrarrF (t)minusrarrv (t)

Il srsquoensuit que la puissance instantaneacutee fournie par la force excitatrice est donneacutee par

PminusrarrF (t) = F0 cos (vt) V0 cos(vt + fv)

Nous noterons que pour faire ce type de calcul il importe de bien consideacuterer les partiesreacuteelles des quantiteacutes complexes En effet la partie reacuteelle drsquoun produit de deux nombrescomplexes nrsquoest pas eacutegale au produit des parties reacuteelles de ces deux nombres Crsquoest cettederniegravere quantiteacute qui nous inteacuteresse dans ce calcul

En utilisant lrsquoexpression de V0 (63) et en deacuteveloppant le produit des cosinus nous deacutedui-sons que

PminusrarrF (t) =

2radic

a2 + (mv minus kv

)2[cos (2vt + fv) + cos(fv)]

ce qui montre bien que le transfert de puissance est maximal agrave la reacutesonance En outreon peut veacuterifier que la puissance moyenne fournie par la force excitatrice compense lapuissance deacuteveloppeacutee par la force de frottement

32 Puissance moyenne

La puissance moyenne fournie par la forceminusrarrF se calcule en prenant la valeur moyenne de

la puissance sur une peacuteriode T ce qui srsquoeacutecrit langPminusrarr

F (t)rang

0Pminusrarr

F (t)dt

Il srsquoensuit que langPminusrarr

F (t)rang

2radic

a2 + (mv minus kv

)2cos(fv) =

2 |Z (v)| cos(fv)

soit en utilisant (63) langPminusrarr

F (t)rang

0 (v)2

La puissance deacuteveloppeacutee par la force de frottement srsquoeacutecrit

Pminusrarrf (t) =

minusrarrf minusrarrv = minusaminusrarrv minusrarrv = minusaV2

0 cos2 (vt + fv)

ce qui conduit agrave une puissance moyennelangPminusrarr

f(t)rang

= minusaV2

0 (v)2

Nous concluons donc que la puissance fournie par lrsquoexcitateur compense bien la puissancedeacuteveloppeacutee par la force de frottement De plus la reacutesonance meacutecanique est deacutefinie par la valeurde la pulsation qui permet le transfert maximal de puissance entre lrsquoexcitateur et le reacutesonateur Ilsrsquoensuit que la reacutesonance se produit quand V0 (v) passe par un maximum ce qui est veacuterifieacutequand v = v0

Nous avons vu dans les paragraphes preacuteceacutedents que lrsquoamortissement jouait un rocircle pri-mordial sur lrsquoacuiteacute de la reacutesonance Il est possible de rendre la notion drsquoacuiteacute plus quan-titative en introduisant le notion de facteur de qualiteacute

4 FACTEUR DE QUALITEacute

Comme en eacutelectriciteacute il est possible de qualifier lrsquoacuiteacute de la reacutesonance de vitesse par unfacteur de qualiteacute Q Pour cela on considegravere les pulsations v1 et v2 pour lesquelles on a

V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic

Ces deux pulsations peuvent facilement se mesurer sur la courbe de reacutesonance de vitessecomme le montre la figure 67 et elles deacutefinissent la bande passante en pulsation

Dv = v2 minus v1

05 10 15 20 250

Bandes passantes

k=01Nm-1

m=005kg

α=001

α=004

ω (rads-1

Figure 67 bull Repreacutesentation en hachureacutes des bandes passantes observeacuteespour deux valeurs de lrsquoamortissement

Le facteur de qualiteacute se deacutefinit alors par

Dv(64)

Les deux pulsations qui limitent la bande passante peuvent ecirctre deacutetermineacutees analytique-ment La deacutefinition de la bande passante agrave partir de la vitesse conduit agrave

a2 + (mv minus kv

)2 = 2a2 =rArr mv minus kv

= plusmna (65)

Les solutions physiquement acceptables (pulsation positive) donnent

v1 = minus a

radic( a

)2+ v2

radic( a

)2+ v2

m=rArr Q =

Remarques

Nous revenons maintenant sur la reacutesonance drsquoamplitude qui rappelons-le est la plusfacile agrave mesurer Nous avons vu que lrsquoamplitude maximale des oscillations deacutependait de lapulsation En particulier lorsque la pulsation est eacutegale agrave la pulsation propre de lrsquooscillateurnous avons

X0(v0) =F0

av0=rArr X0(v0) =

Nous voyons ainsi que le facteur de qualiteacute repreacutesente simplement le rapport de lrsquoampli-tude maximale agrave la pulsation propre sur la valeur de lrsquoexcentrique e Cette observation estparticuliegraverement utile pour deacuteterminer le facteur de qualiteacute Q En effet la valeur de e semesure facilement de mecircme que celle de X0(v0) Si lrsquoon revient agrave la figure 64 on voitpar exemple que pour a = 001 lrsquoamplitude maximale agrave la pulsation propre est de 14 cmpour un excentrique de 2 cm Le facteur de qualiteacute est donc de 7 ce qui est confirmeacute parle calcul direct

Si Q est grand la tension du ressort peut devenir tregraves importante devant la force exci-tatrice Lrsquoamplitude devenant tregraves grande il y a un risque de rupture du ressort Il fautdonc faire extrecircmement attention quand on eacutetudie un oscillateur agrave ne pas passer par lareacutesonance quand le coefficient drsquoamortissement a est tregraves petit Crsquoest le cas drsquoune masseattacheacutee agrave un ressort exciteacutee par lrsquoexcentrique dans lrsquoair pour lequel le facteur de qualiteacutepeut ecirctre tregraves grand (de lrsquoordre de 1 000)

Agrave RETENIR

Eacutetude de lrsquoamplitude

Eacutequation diffeacuterentielle drsquoun oscillateur entretenu

En passant en notation complexe et en posant x(t) = X0ej(vt+fa) on obtient

X0 =F0

mradic

m2 )et tan fa = minus va

m(v20 minus v2)

Eacutetude de la vitesse

Lrsquoeacutequation qui donne lrsquoamplitude et la phase de la vitesse est

) = F0ejvt

ce qui aboutit agrave

V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

mv minus kv

Reacutesonance

Il y a reacutesonance quand la force excitatrice et la vitesse sont en phase Agrave la reacutesonancede vitesse nous avons donc

fv (v0) = 0 et V0 (v0) =F0

Impeacutedance meacutecanique

On appelle impeacutedance meacutecanique le rapport Z(v) =Fv

Agrave la reacutesonance lrsquoimpeacutedance meacutecanique est minimale et vaut Z(v) = a Le transfertde puissance entre lrsquoexcitateur et le reacutesonateur est alors maximal

Facteur de qualiteacute

Le facteur de qualiteacute se deacutefinit par

avec Dv repreacutesentant la bande passante de la courbe de reacutesonance de vitesse crsquoest-agrave-dire la diffeacuterence de pulsation correspondant agrave

V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic

On deacutemontre que

m=rArr Q =

ce qui montre que le facteur de qualiteacute est tregraves eacuteleveacute si le coefficient de frottement aest faible (reacutesonance aigueuml)

Oscillateurs

Une masse m consideacutereacutee comme ponctuelle repose sur un plan horizontal Elle est ac-crocheacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute drsquoun ressort de raideur k de longueur agrave vide lo lrsquoautre extreacutemiteacuteeacutetant fixe par rapport au plan

On repegravere la position de la masse par rapport agrave sa position O drsquoeacutequilibre (voir figure)

Figure 68

On repegravere la position M de la masse m agrave la date t parminusrarrOM = xminusrarru

Agrave t = 0 on eacutecarte la masse de xo = Xm et on lacircche sans vitesse initiale

1) La masse peut se deacuteplacer sur le plan horizontal sans frottement Deacuteterminer lrsquoeacutequa-tion horaire x(t) du mouvement de cette masse Comment qualifie-t-on cet oscillateur Deacuteterminer les expressions et valeurs de sa pulsation propre vo de sa peacuteriode propreTo et de sa freacutequence propre No

2) La masse subit des forces de frottement fluide dont la reacutesultante est de la formeminusrarrf = minusaminusrarrv

ougrave minusrarrv est le vecteur vitesse de m et a une constante positive

a) Donner la nouvelle eacutequation diffeacuterentielle du mouvement de mb) Indiquer briegravevement quels sont les 3 types de mouvement possible en fonction

de la valeur de a et repreacutesenter lrsquoallure des graphes x(t) correspondant Que sepasse-t-il au bout drsquoun temps suffisamment long

3) Le point M est maintenant soumis agrave une force suppleacutementaire de type sinusoiumldal minusrarrF = Fminusrarru

avec F = Fo cos vt

a) Exprimer la nouvelle eacutequation diffeacuterentielle agrave laquelle obeacuteit x(t)La solution de cette nouvelle eacutequation diffeacuterentielle est la somme de la solutionde lrsquoeacutequation diffeacuterentielle sans second membre qui correspond agrave un reacutegimetransitoire (voir question preacuteceacutedente) et drsquoune solution particuliegravere qui corres-pond au reacutegime permanentEn reacutegime permanent lrsquoamplitude est de la forme x(t) = Xo cos(vt + f) et lavitesse v = Vo cos(vt + w)On utilisera la notation complexe

F = Foe jvt x = Xoe jvt = Xoe jfe jvt v = Voe jvt = Voe jwe jvt

b) Deacutefinir la vitesse v et en deacuteduire la relation entre Vo et Xo et entre w et fc) En remplaccedilant dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle x ˙x et umlx par leur expression com-

plexe montrer qursquoon a la relation suivante Fo = ZXo ougrave Z appeleacute impeacutedance meacutecanique complexe (lieacutee au deacuteplacementx) ne deacutepend que de k m a et v

d) Donner lrsquoexpression de Xo en fonction de Fo m l =a

m vo et v

Montrer que si lrsquooscillateur est faiblement amorti (pour a ltradic

2km) lrsquoamplitudepasse par un maximum pour une pulsation excitatrice vm leacutegegraverement diffeacuterentede vo Donner lrsquoexpression de vm

e) Deacuteterminer lrsquoexpression de tan f ougrave f repreacutesente le deacutephasage de x(t) parrapport agrave F

f) En utilisant b) et d) deacuteduire lrsquoexpression de Vo en fonction de Fo m l =a

et vQue se passe-t-il pour v = vo Quel nom porte ce pheacutenomegravene Donner lrsquoal-lure de la courbe Vo = f (v)

Solution1) Systegraveme la masse m reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen forces

minusrarrP

minusrarrR

minusrarrT = minuskxminusrarru

Principe fondamental minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrT =

minusrarr0 +

minusrarrT = minuskxminusrarru = mminusrarra rArr x +

x + vox = 0 (eacutequation diffeacuterentielle de lrsquooscillateur harmonique) avec vo =

radickm

pulsation propre de lrsquooscillateur et donc To =2p

vo= 2p

radicmk

NorArr 2pNo = vo

Solution x(t) = X cos(vot + f) Avec x(0) = Xm et x(0) = 0

on a Xm = X cos f et x(t) = minusvo sin(vot + f) rArr x(0) = 0 = minusvo sin f

On obtient f = 0 et X = Xm crsquoest agrave dire x(t) = Xm cos(vot)

2) La masse subit des forces de frottement fluide de la formeminusrarrf = minusaminusrarrv

a) minusaminusrarrv minus kxminusrarru = mminusrarra rArr x +a

x = 0 (oscillateur amorti)

b) Pour a faiblea

mlt 2vo rArr a lt 2

radickm Reacutegime pseudo peacuteriodique (oscillations

avec une amplitude qui diminue exponentiellement

m= 2vo rArr a = 2

radickm Reacutegime critique retour agrave lrsquoeacutequilibre sans oscilla-

tion le plus rapidement

Pour a forta

mgt 2vo rArr a gt 2

radickm Reacutegime apeacuteriodique retour agrave lrsquoeacutequilibre

sans oscillationsDans tous les cas Retour agrave lrsquoeacutequilibre x = 0 au bout drsquoun certain temps (reacutegimetransitoire)

3) On force la masse agrave osciller avec une pulsation v en lui appliquant une force sinu-soiumldale

minusrarrF = Fminusrarru avec F = Fo cos vt

a) x +a

mx + v2

o x =Fo

mcos vt

b) v = x rArr v = minusXov sin(vt + f) = Xov cos(vt + f +p

2) = Vo cos(vt + w)

Vo = vXo et w = f +p

c) minusv2Xo + jva

mXo + v2

o Xo =Fo

mrArr Fo =

o minus v2) + jva]

Lrsquoimpeacutedance meacutecanique complexe en amplitude Z =[m(v2

o minus v2) + jva]

d) Xo =∣∣∣Xo

∣∣∣ = Foradicm2(v2

o minus v2)2 + v2a2=

Fomradic(v2

o minus v2)2 + v2l2

dv= 2v

dv2 =2vFo

o minus v2)2 + v2l2]minus1

m(minus1)

[l2 + 2(minus1)(v2

o minus v2)][

(v2o minus v2)2 + v2l2

]2 dXo

= minus 2vFo

[l2 + 2(v2 minus v2

La deacuteriveacutee srsquoannule pour v = 0 et pour v2m = v2

o minus l2

2agrave la condition que

v2m = v2

o minusl2

2 0 rArr l vo

radic2 rArr a mvo

radic2 =

radic2mk

e) tan f = minus vl

v2o minus v2

f) Vo = vXo =vFomradic

=Fomradic

l2 + ( v2o

vminus v)2

Pour v = vo Vo prend une valeur maximale Vom =Fo

a Crsquoest le pheacuteno-

megravene de reacutesonance

Allure du graphe Vof (v)

Figure 69

Principe du sismographe

Soit un point mateacuteriel M (masse m) suspendu agrave un socle (S) par un ressort de raideur ket de longueur agrave vide lo (voir figures ci-dessous)

On associe au reacutefeacuterentiel socle (S) un repegravere constitueacute drsquoune origine O correspondantagrave la position de la masse agrave lrsquoeacutequilibre suspendue au ressort (figure 2) et drsquoun axe (Ox)vertical dirigeacute vers le bas

Lorsque le point M se deacuteplace verticalement il subit une force de frottement fluide dela forme

minusrarrf = minusaminusrarrv (a coefficient de frottement fluide reacuteel positif) On deacutesigne par

x(t) le deacuteplacement de M par rapport agrave sa position drsquoeacutequilibre O (figure 3)

Le socle repose sur le sol terrestre Dans tout ce qui suit le Reacutefeacuterentiel Terrestre lieacute aucentre de la Terre (R) est consideacutereacute comme galileacuteen

m Ressort raideur k

longueur agrave vide lo

Socle (S)

Ressort agrave vide Masse m agrave leacutequilibre

Masse m en mouvement (instant t)

Socle (S) Socle (S)

Sol terrestre immobile

Socle (S)

X(t)Oscillation du so l

Oscillation du solentraicircnant le socle

Figure 610

A) Absence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques)

1) Que peut-on dire du reacutefeacuterentiel socle(S) dans le cas ougrave le sol serait immobile dansle reacutefeacuterentiel terrestre (R) (figure a b et c)

2) Eacutetude de la masse dans la position drsquoeacutequilibre (figure b)

Eacutetudier la masse m dans le cas de la figure 2 et en deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoallongementDle du ressort

3) Eacutetude de la masse en mouvement (figure c) dans le reacutefeacuterentiel socle (S)

On eacutecarte la masse m de sa position drsquoeacutequilibre puis on la lacircche

a) Exprimer la TensionminusrarrT du ressort agrave un instant t quelconque

b) Eacutetudier le systegraveme masse m (cas de la figure 3) et montrer que lrsquoeacutequation diffeacute-rentielle du mouvement de M est de la forme x + 2lx + v2

o x = 0Donner lrsquoexpression de l et de vo Que repreacutesente vo

c) Deux solutions possibles pour ce type drsquoeacutequation diffeacuterentielle sont les sui-vantes

avec w reacuteel positif

x(t) = eminuslt(Aewt + Beminuswt) reacutegime apeacuteriodique

x(t) = Aeminuslt cos(wt + f) reacutegime pseudo peacuteriodiqueQuelle est la forme de la troisiegraveme solution possible et comment nomme-t-once reacutegime

d) On se place dans le cas ougrave les frottements seraient tregraves faibles On a alorsl voParmi les 2 premiegraveres solutions preacuteceacutedentes possibles laquelle correspond aucas preacutesent

e) Donner lrsquoexpression de w en fonction de l et vo Que peut-on dire de w lorsquel vo

B) Preacutesence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques)

Au cours drsquoun tremblement de Terre une onde sismique se propage et vient faireosciller le sol sur lequel repose le socle eacutetudieacute preacuteceacutedemment dans la partie A

On suppose que le sol est animeacute alors par rapport agrave (R) drsquoun mouvement X(t) verticaldirigeacute vers le bas sinusoiumldal de pulsation v (voir figure d) X(t) = Xm cos(vt)Dans ce cas le mouvement du socle par rapport agrave (R) est un mouvement de translationrectiligne non uniforme Le reacutefeacuterentiel socle (S) nrsquoest plus galileacuteen lrsquoeacutetude du mouve-ment de m peut se faire de la mecircme faccedilon que preacuteceacutedemment il suffit drsquoajouter dansle bilan des forces la force drsquoinertie drsquoentraicircnement

minusrarrF i = minusmminusrarra e = minusmXminusrarru x (voir

chapitre sur les reacutefeacuterentiels non galileacuteens)

Eacutetude des oscillations forceacutees dans le reacutefeacuterentiel socle (S)

a) Eacutetude du systegraveme masse m (cas de la figure d) dans le reacutefeacuterentiel socle (S) Quelle diffeacuterence y a-t-il par rapport au cas du A3)a) En deacuteduire alors quelrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de M est de la forme

x + 2lx + v2o x = A cos(vt) avec A = v2Xm

b) On constate au bout drsquoun certain temps que la masse m oscille avec la mecircmepulsation v que le socle (oscillation forceacutees reacutegime permanent) La solutionest de la forme

x(t) = xm cos(vt + w)

En notation complexe on pose X(t) = Xm cos(vt) rArr X(t) = Xme jvt

x(t) = xm cos(vt + w) rArr x(t) = xme jwe jvt = xme jvtavec j2 = minus1

Reporter les grandeurs complexes dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvementde m et en deacuteduire une expression de xm puis de xm en fonction de l v voet Xm

c) Pour le fonctionnement en sismographe on a l vo ainsi que vo vQue peut-on dire alors en premiegravere approximation de xm par rapport agrave XmMontrer qursquoon peut ainsi mesurer lrsquoamplitude du tremblement de Terre

SolutionPrincipe du sismographe

x(t) m Ressort

raideur k longueur agrave vide lo

Socle (S)

a) Ressort agrave vide b) Masse m agrave leacutequilibre

c) Masse m en mouvement (instant t)

Socle (S) Socle (S)

Socle (S)

X(t) Oscillation du sol

d) Oscillation du sol entraicircnant le socle

eTrarr

a) b) c) d)

Figure 611

1) Le reacutefeacuterentiel socle(S) dans le cas ougrave le sol serait immobile dans le reacutefeacuterentiel ter-restre (R) est un reacutefeacuterentiel galileacuteen comme le reacutefeacuterentiel terrestre

Systegraveme masse m reacutefeacuterentiel socle (S) galileacuteen

Forces poidsminusrarrP = mminusrarrg = mgminusrarru x et tension

minusrarrT = minuskDleminusrarru x

Condition drsquoeacutequilibre minusrarrP +

minusrarrT =

minusrarr0 rArr mg = kDle rArr Dle =

a) La tension du ressort agrave un instant t quelconque estminusrarrT = minusk(x + Dle)minusrarru x

b) Force minusrarrP = mminusrarrg = mgminusrarru x

minusrarrT = minusk(x + Dle)minusrarru x et frottement fluide

minusrarrf = minusaminusrarrv = minusaxminusrarru x

mminusrarra = mxminusrarru x = mgminusrarru x minus k(Dle + x)minusrarru x minus axminusrarru x

= rArr x +a

x = g minus kDlem

x + 2lx + v2o x = 0 avec l =

2met vo =

radickm

pulsation propre de lrsquooscillateur

c) Reacutegime critique x(t) = (At + B)eminuslt

d) l vo (frottement tregraves faible) alors la solution correspond agrave un reacutegime pseudopeacuteriodique x(t) = Aeminuslt cos(wt + f)

e) Eacutequation caracteacuteristique r2 +2lr+v2o = 0 rArr D = 4(l2minusv2

o ) = (2j)2(v2o minusl2)

On a donc comme solution r = minusl plusmn jw avec

w =radic

v2o minus l2 = vo

radic1 minus l2

v2oasymp vo (cas l vo)

Le socle a le mecircme mouvement que le sol par rapport agrave (R) Le reacutefeacuterentiel socle (S)nrsquoest plus galileacuteen car il nrsquoest pas en translation rectiligne uniforme par rapport agrave(R) galileacuteen Il est en translation rectiligne sinusoiumldale Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnementcorrespond agrave lrsquoacceacuteleacuteration du point O ou drsquoun point quelconque du socle On a donc

X(t) = Xm cos(vt) rArr X = minusvX sin vt rArr X = ae = minusv2X cos jt

Le reacutefeacuterentiel socle nrsquoest plus galileacuteen il faut donc ajouter la force drsquoinertie drsquoentraicirc-nement

minusrarrF i = minusmminusrarra e =

[mv2Xm cos vt

]minusrarru x

a) Eacutetude du systegraveme masse m (cas de la figure d) dans le reacutefeacuterentiel socle (S)

mminusrarra = mxminusrarru x = minuskxminusrarru x minus axminusrarru x + mv2Xm cos vt

= rArr x +a

x =mv2Xm

mcos v

b) x(t) = xm cos(vt + w) En notation complexe on pose X(t) = Xm cos(vt) rArr X(t) = Xme jvt

(minusv2 + 2ljv + v2o )xm = v2Xm rArr xm =

(v2o minus v2) + 2jvl

xm =Xm

2j lvminus (1 minus v2

xm =Xmradic

v2 + (1 minus v2o

c) avec l vo v on a

xm asymp Xmradic1 minus 2

v2 + 4l2

asymp Xm

(1 minus 2

v2 + 4l2

asymp Xm(1 minus v2o

v2 + 2l2

v2 ) asymp Xm

au deuxiegraveme ordre pregraves La mesure de xm permet de mesurer lrsquoamplitude dutremblement

CHAPITRE 7

INTERACTION GRAVITATIONNELLE

Preacute-requis bull Pour aborder ce chapitre il faut connaicirctre la deacutefinition de lrsquoeacutenergie po-tentielle et avoir une bonne ideacutee de la notion de champ de vecteurs Leprincipe fondamental de la dynamique doit ecirctre acquis

Objectif I Se familiariser avec la loi de la gravitation universelle (loi de Newton)I Comprendre la notion de champ de gravitation terrestre et son eacutevolution

en fonction de lrsquoaltitude consideacutereacuteeI Maicirctriser la notion drsquoeacutenergie potentielle de gravitation

Nous consideacuterons dans ce chapitre que toutes les masses sont agrave symeacutetrie spheacuterique Pourne pas surcharger le texte nous admettons que les masses se comportent comme des ob-jets ponctuels La deacutetermination du champ de gravitation est reacutealiseacutee au niveau le plussimple Nous renvoyons le lecteur soucieux de comprendre comment calculer le champde gravitation de faccedilon exacte au cours drsquoeacutelectrostatique et agrave lrsquoutilisation du theacuteoregraveme deGauss que lrsquoon applique agrave une distribution volumique de masse

1 ATTRACTION UNIVERSELLE

11 Force de gravitation newtonienneOn appelle force de gravitation ou force drsquointeraction gravitationnelle la force exerceacuteepar une masse M sur une autre masse m Cette force drsquointeraction a eacuteteacute deacutecouverte parNewton1 en 1665 Celui-ci a montreacute que deux masses m et M interagissent entre elles defaccedilon drsquoautant plus forte que les masses sont grandes et que la distance qui les seacutepare estpetite La loi qursquoil a formuleacutee est dite loi de Newton et srsquoeacutenonce de la faccedilon suivante

Loi de NewtonLes masses de deux corps srsquoattirent en raison de leurs masses et de lrsquoinverse ducarreacute de leur distance

1 Isaac Newton (1642-1727) La theacuteorie fut publieacutee en 1686 dans Principia Mathematica Philosophiae Naturalis

mMmF rarr

rarrmMF rarr

OPurarr (vecteur unitaire)

Figure 71 bull Interaction gravitationnelle entre deux masses

Lrsquoaction de M sur m peut srsquoeacutecrire

minusrarrF Mrarrm = minusG mM

OP2minusrarru OP

Cette force attractive est porteacutee par lrsquoaxe qui seacutepare les deux centres drsquoinertie des massesm et M Il est pratique alors de deacutefinir sur cet axe un vecteur unitaire minusrarru OP dont le sens estcelui de O (acteur de la force) vers P (receveur celui qui subit la force) Dans ces conditions laforce exerceacutee par M sur m est de mecircme direction mais de sens opposeacute agrave ce vecteur unitaire

Elle est proportionnelle agrave m et M et inversement proportionnelle au carreacute de la distanceseacuteparant les deux centre drsquoinertie O et P Elle fait intervenir une constante drsquointeractionappeleacutee constante drsquointeraction gravitationnelle (figure 71) Cette constante est univer-selle et a pour valeur G = 66710minus11 USI (uniteacutes du systegraveme international)

Notons que commeminusrarrOP = OPminusrarru OP la force de Newton peut aussi srsquoeacutecrire

minusrarrOP

Il importe de remarquer que si M attire m selon la loi preacuteceacutedente il en est de mecircme pour mqui attire M selon la mecircme loi Il srsquoagit drsquoune interaction agrave distance Nous pouvons eacutecrire

minusrarrF mrarrM = minusG mM

minusrarrPO = minusminusrarr

F mrarrM

Nous retrouvons lagrave le principe des actions reacuteciproques

12 Champ de gravitation

Une masse m au voisinage drsquoune masse M subit donc une force Celle-ci est lieacutee agrave la preacute-sence drsquoun champ de gravitation creacuteeacute par la masse M au point ougrave est situeacutee la masse mEn effet on peut exprimer cette force sous la forme suivante

minusrarrF Mrarrm = m

(minusG M

minusrarrOP)

= mminusrarrG (P)

La masse M eacutetant fixeacutee le vecteurminusrarrG (P) ne deacutepend que de la position du centre drsquoinertie

P de la masse m par rapport au centre drsquoinertie O de M On deacutefinit ainsi un champ devecteurs qui correspond au champ de gravitation de la masse M

Interaction gravitationnelle 177

En tout point P de lrsquoespace ce champ a pour expression

minusrarrG (P) = minusG M

minusrarrOP = minusG M

OP2minusrarru OP

Une masse m placeacutee en un point P de lrsquoespace subit alors la force

minusrarrG (P)

Dans le cas ougrave la densiteacute volumique du corps M est agrave symeacutetrie spheacuterique (ce qui est le caspour les astres) le champ de gravitation lrsquoest aussi et est donc radial et centripegravete La forceminusrarrF Mrarrm est alors une force centrale

prime(PGrarr

)(PGrarr

Figure 72 bull Champ de gravitation de la Terre

2 CHAMP DE GRAVITATION TERRESTRE

21 Champ de gravitation agrave la surface de la Terre

mMF rarrrarr

Figure 73 bull Attraction dela Terre au niveau de sa

surface

Lorsque la masse M est la masse de la Terre et que m est agravela surface de la Terre la distance OP correspond au rayonterrestre RT et la force de Newton repreacutesente lrsquoattraction dela Terre sur la masse m

La force de Newton peut alors srsquoeacutecrire

minusrarru OP = mminusrarrG 0 (P)

ougraveminusrarrG 0 (P) repreacutesente le champ de gravitation de la Terre au

point P consideacutereacute soit

minusrarrG 0 (P) = minusG M

minusrarru OP = minusG MOP3

minusrarrOP

Ce champ est un champ centripegravete et radial Il est en premiegravere approximation agrave symeacutetriespheacuterique ce qui signifie que le module de

minusrarrG 0 est constant agrave la surface de la Terre Ceci

nrsquoest pas tout agrave fait veacuterifieacute car la Terre tourne sur elle-mecircme Il se produit une deacuteformationqui rend la Terre plus aplatie aux pocircles qursquoagrave lrsquoeacutequateur

Encart 71 Valeur du champ de gravitation agrave la surface de la TerreLe champ de gravitation correspond au rapport drsquoune force sur une masse et estdonc homogegravene agrave une acceacuteleacuteration Avec G = 66410minus11 USI M = 5981024 kget RT = 637106 m on obtient

G0 = G MR2

T= 983 msminus2

Remarque Cette valeur est proche de celle du champ de pesanteur g agrave la surface dela Terre La diffeacuterence provient principalement de la rotation de la Terre autour deson axe Sud-Nord La comparaison entre ces deux grandeurs est traiteacutee au chapitre 8Cependant il est possible en premiegravere approximation de consideacuterer que le champ degravitation G0 correspond au champ de pesanteur g

22 Champ de gravitation au voisinage de la surface terrestreNous allons maintenant consideacuterer le cas ougrave la masse m nrsquoest plus en contact avec la surfaceterrestre mais se trouve agrave lrsquoaltitude z de la Terre avec z RT

Le champ de gravitation de la Terre agrave lrsquoaltitude z srsquoeacutecrit

minusrarrG (z) = minusG mM

(R + z)2minusrarru OP

En introduisant le module G0 du champminusrarrG 0 agrave la surface de la Terre (z = 0) le module du

champ de gravitation G(z) agrave lrsquoaltitude z peut srsquoeacutecrire

G(z) = minusG mMR2

T(1 + zRT

)2= G0

1(1 + z

Si lrsquoon considegravere que z est tregraves infeacuterieur agrave RT la quantiteacute zRT est infiniment petite parrapport agrave 1 et lrsquoon peut utiliser un deacuteveloppement limiteacute de lrsquoexpression de G(z) agrave lrsquoaltitudez Rappelons que lorsque a est petit devant 1

(1 + a)n = 1 + na +n(n minus 1)

Dans notre cas n = minus2 et a = zRT ce qui conduit agrave lrsquoexpression du champ agrave lrsquoordre 1en zRT suivante

G(z) = G(0)(1 minus 2z

G(z) deacutecroicirct avec lrsquoaltitude Pour une altitude z = 32000 m on obtient une variation rela-tive du champ de lrsquoordre de 1 On peut donc souvent neacutegliger cette variation lorsqursquoonreste au voisinage de la Terre

Remarque Les rayons terrestres issus de deux point seacutepareacutes par un mille (1 852 m) fontentre eux un angle de 1rsquo et sont donc pratiquement parallegraveles On peut donc dans unvolume dont les dimensions sont de lrsquoordre de quelques kilomegravetres consideacuterer le champde gravitation comme uniforme

minusrarrG (z) = G(0)minusrarru OP

3 EacuteNERGIE POTENTIELLE DE GRAVITATION

31 Expression de lrsquoeacutenergie potentielle de gravitationConsideacuterons une masse m de centre drsquoinertie P placeacutee dans le champ de gravitation drsquounemasse M de centre drsquoinertie O

La force de gravitation que subit m est donneacutee par la loi de Newton

minusrarrOP

Au cours drsquoun deacuteplacement quelconque dans lrsquoespace la force de Newton est variableLrsquoeacutenergie potentielle de gravitation peut ecirctre calculeacutee agrave partir de la relation diffeacuterentiellesuivante

d EP = minusminusrarrF d

minusrarrl

ougrave dminusrarrl est un deacuteplacement eacuteleacutementaire de P

La force de gravitation eacutetant agrave symeacutetrie spheacuterique il convient de travailler en coordonneacuteesspheacuteriques (voir annexe) Cependant on peut se contenter de deacutecomposer ce deacuteplacementen un deacuteplacement eacuteleacutementaire suivant le vecteur radial minusrarru r qui correspond donc agrave une

variation d r de la distance r et un deacuteplacement dminusrarrlprime perpendiculaire agrave minusrarru r Lrsquoexpression

en coordonneacutees spheacuteriques est

dminusrarrlprime = r d uminusrarru u + r sin u d wminusrarru w

On peut donc eacutecrire dminusrarrl = drminusrarru r + d

minusrarrlprime

Il en reacutesulte que la diffeacuterentielle de lrsquoeacutenergie potentielle srsquoeacutecrit

d EP = GmMr3 rminusrarru r(d rminusrarru r + d

minusrarrlprime ) = GmM

r2 d r

Lrsquointeacutegration de la diffeacuterentielle de EP conduit agrave

EP = minusGmMr

Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en utilisant les coordonneacutees carteacutesiennes mais le calcul est unpeu plus lourd Le deacuteplacement eacuteleacutementaire et la force de gravitation srsquoeacutecrivent respecti-vement

dminusrarrl = d xminusrarru x + d yminusrarru y + d zminusrarru z

minusrarrOP = minusG

mM(xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z

)(x2 + y2 + z2)32

La diffeacuterentielle de lrsquoeacutenergie potentielle srsquoeacutecrit alors

d EP = GmM(x d x + y d y + z d z)(x2 + y2 + z2)32

Lrsquointeacutegration est plus deacutelicate qursquoen coordonneacutees spheacuteriques et il est utile de faire le chan-gement de variable suivant

r2 = u = (x2 + y2 + z2) rArr du = 2(x d x + y d y + z d z)

=12GmMuminus32 d u

Par inteacutegration nous obtenons

EP = minusG mMu12

ce qui conduit en revenant agrave la variable r agrave

EP = minusGmMr

Lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur dans un champ de gravitationvariable srsquoeacutecrit donc toujours

EP = minusGmM

Remarque La valeur de la constante C deacutepend du choix arbitraire du zeacutero de lrsquoeacutenergiepotentielle On choisit habituellement de prendre nulle lrsquoeacutenergie potentielle de la masse mlorsqursquoelle est agrave lrsquoinfini par rapport agrave M

Le choix de lrsquoorigine de lrsquoeacutenergie potentielle

EP (infin) = 0

conduit agrave prendre la constante C nulle Lrsquoeacutenergie potentielle srsquoeacutecrit alors

EP = minusGmMr

32 Eacutenergie potentielle pour une masse au voisinage de la TerrePour une masse m au voisinage de la Terre situeacutee agrave lrsquoaltitude z par rapport au niveaude la mer il est commode de prendre lrsquoeacutenergie potentielle nulle agrave lrsquoaltitude 0 Lrsquoeacutenergiepotentielle de gravitation peut alors srsquoeacutecrire

EP (z) = minusGmMr

+ C = minusG mMRT + z

avec EP (RT) = 0 ce qui donne

EP = minusGmMr

+ GmMRT

Dans le cas ougrave la masse m est agrave une altitude z tregraves petite devant le rayon de la Terre RTil est possible de deacutevelopper lrsquoeacutenergie potentielle au premier ordre en zRT On obtientlorsque le zeacutero est pris agrave la surface de la Terre

EP (z) = minusG mMRT + z

+ GmMRT

= minusG mMRT(1 + z

+ GmMRT

EP (z) = minusGmMRT

RT)minus1 + GmM

Le deacuteveloppement limiteacute de lrsquoeacutenergie potentielle agrave lrsquoordre 1 en zRT conduit agrave

EP (z) = minusGmMRT

+ GmMR2

Tz + GmM

RT= mG0z

Nous avons vu qursquoau voisinage de la Terre localement le champ de gravitationminusrarrGo peut

ecirctre consideacutereacute comme uniforme et eacutegal au champ de pesanteur minusrarrg On retrouve bienalors lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle drsquoune masse m dans un champ de pesanteuruniforme minusrarrg

EP (z) = mG0z mgz

avec lrsquoaxe des z ascendant

4 APPLICATIONS

41 Comparaison de lrsquointeraction Terre-Lune et Soleil-Lune

Nous allons comparer les forces drsquoattraction terrestre et solaire sur la Lune Nous repor-tons dans le tableau 71 ci-dessous les diffeacuterentes grandeurs utiles

Terre Soleil Lune

MT=61024 kg MS=21030 kg ML=741022 kg

RT=6400 km ST=150106 km TL=60RT=384 000 km

Tableau 71 bull Masses et distances caracteacuteristiques de la Terre du Soleil et de la Lune

La force drsquoattraction du Soleil sur la Lune est donneacutee par

minusrarrF MSrarrML = minusGMSML

SL2minusrarru SL asymp minusGMSML

ST2minusrarru SL

La force drsquoattraction de la Terre sur la Lune srsquoeacutecrit

minusrarrF MTrarrML = minusGMTML

TL2minusrarru TL

Le rapport de lrsquointensiteacute de ces deux forces srsquoeacutecrit donc

r =FMSrarrML

FMTrarrML

=MSTL2

MTSL2 asymp 2

Le calcul preacuteceacutedent montre que la force drsquoattraction solaire sur la Lune est supeacuterieuredrsquoun facteur 2 agrave la force drsquoattraction terrestre sur la Lune Il nrsquoy a donc pas plus de raisonsde consideacuterer que la Lune est un satellite de la Terre ou du Soleil Le mouvement dela Lune autour de la Terre et autour du Soleil est un mouvement agrave trois corps dont lescaracteacuteristiques ont eacuteteacute donneacutees par les conditions initiales du mouvement

42 Champ de gravitation des astres agrave la surface de la TerreToute masse situeacutee agrave la surface de la Terre subit lrsquoattraction de gravitation terrestre maisaussi celles exerceacutees par tous les autres astres et en particulier la Lune (astre le plus prochede la Terre) et le Soleil (pour lrsquoimportance de sa masse) Il est inteacuteressant de comparer cesdiffeacuterents effets

TerreLune

Soleil

Figure 74 bull Repreacutesentation du Soleil de la Terre et de la Lune avec lesdiffeacuterents points utiliseacutes dans les calculs

Pour un point P agrave la surface de la Terre on aura

TP = RT LP 60RT minus RT = 59RT

SP ST minus RT ST ST = 150106 km

SoitminusrarrGS(P)

minusrarrGL(P) et

minusrarrGT(P) respectivement les champs de gravitation du Soleil de la Lune

et de la Terre au point P la comparaison de la valeur des deux premiers champs parrapport au champ de gravitation terrestre donne

GT(P)GS(P)

165103

GT(P)GL(P)

Les rapports que nous venons de calculer montrent que le champ de gravitation terrestreest tregraves supeacuterieur aux champs de gravitation de la Lune ou du Soleil en tout point dela surface de la Terre Les effets gravitationnels du Soleil et de la Lune peuvent doncecirctre neacutegligeacutes devant lrsquoattraction de la Terre Cependant ces effets peuvent ecirctre mis eneacutevidence agrave partir de pheacutenomegravenes comme celui des mareacutees dont une interpreacutetation estdonneacutee dans le chapitre suivant

43 Satellites en orbite circulairea) Deacutetermination de la peacuteriode de reacutevolution

Nous allons nous inteacuteresser au mouvement drsquoun satellite de masse m tregraves petite devantla masse M de la Terre Il peut ecirctre consideacutereacute comme ponctuel et soumis uniquement agravelrsquoattraction gravitationnelle de la Terre De plus nous nous limitons au cas de la trajectoirecirculaire Une eacutetude plus geacuteneacuterale sur le mouvement drsquoune masse dans un champ degravitation est deacuteveloppeacutee dans le chapitre 10

Le rayon r = r0 de lrsquoorbite est constant donc d r d t = 0

P ρurarr

θurarr

Equateur

Figure 75 bull Repreacutesentation drsquoun satellite en orbite circulaire autour de la Terre

Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique R galileacuteen dans lequel la Terre a unmouvement de rotation uniforme de peacuteriode 86164 s autour de son axe sud-nord

Le satellite P subit la force de gravitation de la Terre

minusrarrf Mrarrm = minusGmM

minusrarru r

Lrsquoapplication agrave la masse m du principe fondamental de la dynamique permet drsquoeacutecrire

minusrarrf Mrarrm = mminusrarra

ougrave minusrarra est le vecteur acceacuteleacuteration du point P dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique R

La trajectoire circulaire qursquoon recherche est plane Nous pouvons donc travailler en coor-donneacutees polaires Dans ces conditions avec r = r0 = cste lrsquoacceacuteleacuteration srsquoeacutecrit

minusrarra = minusr0u2minusrarru r + r0uminusrarru u

Nous obtenons donc G mMr20

= r0u2

r0u = 0 =rArr u = v0 = cste

Le mouvement est neacutecessairement uniforme Le vecteur vitesse srsquoeacutecrit en coordonneacuteespolaires minusrarrv = v0

minusrarru u = r0v0minusrarru u

Nous obtenons donc la relation suivante entre vitesse et rayon

= r0v20 =

r0=rArr v2

0 = GMr0

La trajectoire circulaire srsquoeffectue dans un plan passant par le centre de la Terre O le pointP et contenant le vecteur vitesse La peacuteriode T du mouvement est

T =2pr0

v0=rArr T2 =

4p2r20

=4p2r3

La vitesse du satellite est inversement proportionnelle agrave la racine carreacutee du rayon et lapeacuteriode au carreacute est proportionnelle au rayon au cube ce qui constitue lrsquoune des lois deKepler comme nous le verrons au chapitre 10

b) Satellite geacuteostationnaire

Un satellite geacuteostationnaire est un satellite qui paraicirct toujours immobile par rapport agrave unobservateur situeacute sur Terre Il est donc immobile dans un reacutefeacuterentiel terrestre Ce der-nier ayant un mouvement de rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire Vle satellite doit admettre le mecircme axe de rotation et la mecircme vitesse angulaire V Sonmouvement eacutetant uniforme sa trajectoire est circulaire dans un plan contenant le centre Ode la Terre et perpendiculaire agrave lrsquoaxe Sud-Nord Il srsquoeffectue donc neacutecessairement dans leplan eacutequatorial

La vitesse angulaire drsquoun satellite eacutetant fixeacutee le rayon de sa trajectoire lrsquoest automatique-ment

Si Tt est la peacuteriode de rotation de la Terre sur elle-mecircme nous obtenons

4p2r3S

GM=rArr rS =

radicGMT2

On trouve un rayon drsquoorbite circulaire drsquoenviron 42 000 km ce qui compte tenu du rayonterrestre conduit agrave une altitude de 36 000 km

De tels satellites permettent des liaisons radio permanentes entre deux continents drsquoougrave ilssont visibles

c) Eacutenergie drsquoun satellite geacuteostationnaire

Lrsquoeacutenergie meacutecanique du satellite est eacutegale agrave la somme de son eacutenergie cineacutetique Ec et deson eacutenergie potentielle EP En utilisant les reacutesultats preacuteceacutedents nous voyons que

Ec =12

mv20 =

GMm2r0

et EP = minusGmMr0

E = Ec + EP = minusGmM2r0

Cette eacutenergie est neacutegative et correspond agrave la moitieacute de lrsquoeacutenergie potentielle de gravitation

Agrave RETENIR

Loi de Newton ou loi drsquoattraction universelle

Les masses M et m de deux corps situeacutes en O et en P srsquoattirent en raison de leursmasses et de lrsquoinverse du carreacute de leur distance

OP2minusrarru OP

avec G = 6 6710minus11 USI

Champ de gravitation

Une masse M situeacutee en un point O creacutee au point P un champ de gravitation radial quivaut

OP2minusrarru OP

Eacutenergie potentielle de gravitation

Lrsquoeacutenergie potentielle de gravitation (encore appeleacutee de pesanteur) srsquoeacutecrit toujours

EP = minusGmMr

avec C constante arbitraire fixeacutee par lrsquoobservateur En geacuteneacuteral on pose EP (infin) = 0sauf pour calculer EP au voisinage de la Terre

Pour une masse m agrave une altitude z immeacutediatement voisine de la surface de la TerreC = 0 en r = RT et

EP = mgz

CHAPITRE 8

REacuteFERENTIELS NON GALILEacuteENS

Preacute-requis bull La maicirctrise du principe fondamental de la dynamique dans un reacutefeacuteren-tiel galileacuteen (chapitre 4) est impeacuterative ainsi que tout ce qui concerne lacineacutematique des changements de reacutefeacuterentiel (chapitre 3)

Objectif I Apprendre ce que sont les reacutefeacuterentiels non galileacuteens et ecirctre capable drsquoap-pliquer la relation fondamentale de la dynamique dans un reacutefeacuterentielnon galileacuteen en identifiant les forces drsquoinertie

I Interpreacuteter sur des exemples comment agissent les forces drsquoinertieI Appreacutehender comment les forces drsquoinertie permettent de passer de la

force de gravitation agrave la force de pesanteur et bien cerner la diffeacuterenceentre ces deux forces

I Pour les lecteurs motiveacutes appreacutehender la notion de mareacuteeI Comprendre le pheacutenomegravene de deacuteviation vers lrsquoest et interpreacuteter quanti-

tativement son amplitude

1 INTRODUCTION

Nous avons vu dans le chapitre 3 qursquoil eacutetait possible de preacutedire le mouvement drsquoun pointmateacuteriel en connaissant les forces qui sont exerceacutees sur ce point Pour cela nous disposonsdu principe fondamental de la dynamique qui permet drsquoobtenir lrsquoeacutequation diffeacuterentielledu mouvement Cependant ce principe nrsquoest valable que si lrsquoeacutetude est effectueacutee dans unreacutefeacuterentiel galileacuteen ce qui pour des raisons pratiques nrsquoest pas toujours le cas En geacuteneacuteralles expeacuteriences de meacutecanique que nous sommes ameneacutes agrave reacutealiser srsquoeffectuent sur TerreIl est donc logique de prendre comme reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude le reacutefeacuterentiel terrestre

Or nous avons vu que ce reacutefeacuterentiel nrsquoest pas rigoureusement galileacuteen puisqursquoil a dansle reacutefeacuterentiel de Copernic qui est un excellent reacutefeacuterentiel galileacuteen un mouvement detranslation circulaire autour du Soleil combineacute agrave un mouvement de rotation autour deson axe sud-nord Heureusement dans de nombreux cas le reacutefeacuterentiel terrestre peuten premiegravere approximation ecirctre consideacutereacute comme galileacuteen Mais ceci nrsquoest pas toujourspossible comme par exemple lorsque lrsquoon cherche agrave expliquer la deacuteviation vers lrsquoest drsquouncorps en chute libre problegraveme qui est traiteacute dans ce chapitre De mecircme si une expeacuterienceest reacutealiseacutee dans un veacutehicule en acceacuteleacuteration par rapport agrave la Terre le reacutefeacuterentiel pratiquelaquo veacutehicule raquo nrsquoest pas galileacuteen

Il importe donc de consideacuterer comment le principe fondamental de la dynamique doitecirctre modifieacute lorsque le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude choisi est non galileacuteen

2 LOI DE LA DYNAMIQUE DANS UN REacuteFEacuteRENTIEL NON GALILEacuteEN

Soit deux reacutefeacuterentiels dont lrsquoun R est galileacuteen et lrsquoautre Rprime non galileacuteen La loi de com-position des acceacuteleacuterations (voir chapitre 2) permet de relier lrsquoacceacuteleacuteration drsquoun point Mdans le reacutefeacuterentiel R agrave lrsquoacceacuteleacuteration de ce mecircme point dans le reacutefeacuterentiel Rprime

minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarra e + minusrarra c

Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement et celle de Coriolis ont pour expressions

minusrarra e = d2 minusrarrOOprime

d t2 + minusrarrv RprimeR and (minusrarrv RprimeR andminusminusrarrOprimeM) + d minusminusminusrarrvRprimeR

d t andminusminusrarrOprimeM

minusrarra c = 2minusrarrv RprimeR and minusrarrv MRprime

avec minusrarrv RprimeR vecteur rotation de Rprime par rapport agrave R O origine du repegravere lieacute agrave R et Oprime celledu repegravere lieacute agrave Rprime

Dans le reacutefeacuterentiel R galileacuteen il est possible drsquoeacutecrire que summinusrarrF ext = mminusrarra MR

En reportant la loi de composition des acceacuteleacuterations dans la relation fondamentale de ladynamique on obtient une nouvelle eacutequation qui fait intervenir le produit de la masse mdu point mateacuteriel par son acceacuteleacuteration

mminusrarra MRprime =summinusrarr

F ext minus mminusrarra e minus mminusrarra c

Cette eacutequation est connue sous le nom de relation fondamentale de la dynamique dansun reacutefeacuterentiel non galileacuteen

Il est agrave remarquer qursquoil importe de tenir compte dans Rprime de deux termes suppleacutementaires bull minusmminusrarra e que lrsquoon eacutecrit

minusrarrf ie et qui srsquoappelle force drsquoinertie drsquoentraicircnement

bull minusmminusrarra c que lrsquoon eacutecritminusrarrf ic et qui srsquoappelle force drsquoinertie de Coriolis ou force drsquoinertie

compleacutementaire

Il en reacutesulte que la relation fondamentale dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen srsquoeacutecrit

F ext +minusrarrf ie +

minusrarrf ic

ougraveminusrarrf ie et

minusrarrf ic sont des grandeurs homogegravenes agrave des forces et sont proportionnelles agrave la

masse m drsquoougrave leur nom de forces drsquoinertie drsquoentraicircnement et de Coriolis Ce ne sontpas de veacuteritables forces mais plutocirct des pseudo-forces introduites pour pouvoir avoir unerelation eacutequivalente agrave la relation fondamentale mais applicable dans un reacutefeacuterentiel nongalileacuteen Elles nrsquointerviennent que si lrsquoeacutetude est faite dans un reacutefeacuterentiel Rprime non galileacuteenElles sont dues au mouvement non rectiligne uniforme de Rprime par rapport agrave R On lesappelle parfois forces de repegravere

Il est important de noter que pour mettre en eacutevidence lrsquoeffet de la force de Coriolisil faut que le systegraveme que lrsquoon eacutetudie dans le reacutefeacuterentiel Rprime non galileacuteen (qui doit ecirctreen rotation par rapport agrave R) soit en mouvement dans Rprime Un livre poseacute sur une tabledans votre bureau (lieacutee au reacutefeacuterentiel terrestre non galileacuteen) ne peut pas subir la force deCoriolis Cette force a eacuteteacute mise en eacutevidence au cours drsquoexpeacuteriences ceacutelegravebres comme celledu pendule de Foucault Elle est aussi responsable du mouvement rotatoire drsquoun fluide eneacutecoulement dans une baignoire

Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 189

La force drsquoinertie drsquoentraicircnement est plus facile agrave appreacutehender car elle se perccediloit plusfacilement Quand nous sommes installeacutes dans un veacutehicule en deacuteceacuteleacuteration ou en acceacuteleacute-ration nous sommes projeteacutes vers lrsquoavant du siegravege au cours drsquoun freinage brutal et colleacutes aufond au cours de lrsquoacceacuteleacuteration Vu de lrsquoexteacuterieur du veacutehicule ceci est la conseacutequence drsquounedeacuteceacuteleacuteration ou acceacuteleacuteration par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre (consideacutereacute ici comme ga-lileacuteen) Vu de lrsquointeacuterieur du veacutehicule (reacutefeacuterentiel non galileacuteen) tout se passe comme si uneforce nous projetait vers lrsquoavant ou nous collait sur le siegravege Citons eacutegalement la ceacutelegravebreforce centrifuge que nous subissons quand nous sommes installeacutes dans un veacutehicule enmouvement de rotation et qui est mise agrave profit dans les centrifugeuses

3 EXEMPLES DrsquoAPPLICATION

31 Translation non uniformeConsideacuterons un reacutefeacuterentiel Rprime en mouvement de translation rectiligne uniformeacutement ac-ceacuteleacutereacute par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R consideacutereacute comme galileacuteen (figure 81)

zz prime

xx prime

y prime

cstea =rarr

Figure 81 bull Reacutefeacuterentiel Rprime en mouvement acceacuteleacutereacute par rapport au reacutefeacuterentiel R galileacuteen

Le reacutefeacuterentiel Rprime eacutetant en mouvement de translation par rapport agrave R nous constatons quela force de Coriolis est nulle et que la force drsquoinertie drsquoentraicircnement se limite agrave

minusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusm

d2 minusminusrarrOOprime

d t2= minusmminusrarra

Dans Rprime la relation fondamentale de la dynamique srsquoeacutecrit donc

F ext minus mminusrarra

Agrave titre drsquoexemple consideacuterons le cas drsquoun pendule simple accrocheacute au plafond drsquoun wa-gon drsquoun train en mouvement rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute On se place dans le casougrave le mouvement est eacutetabli (acceacuteleacuteration constante) Lrsquoeacutetude du mouvement de ce pen-dule peut se faire dans le reacutefeacuterentiel R terrestre consideacutereacute galileacuteen ou dans le reacutefeacuterentielRprime lieacute au wagon non galileacuteen puisqursquoen acceacuteleacuteration constante par rapport agrave la TerreCommenccedilons par le reacutefeacuterentiel Rprime

primerarrrarr =

gmrarr

amrarrminus

y prime

x prime

Figure 82 bull Eacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun pendule dans le reacutefeacuterentiel non galileacuteen drsquoun wagon

a) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Rprime (veacutehicule) non galileacuteen

Nous eacutetudions le systegraveme point mateacuteriel M de masse m Le reacutefeacuterentiel Rprime est en translationpar rapport au reacutefeacuterentiel R galileacuteen terrestre du quai En conseacutequence la force de Coriolisest nulle Le systegraveme subit donc les forces suivantes bull minusrarr

P = mminusrarrg poids de la masse mbull minusrarr

T tension du fil bull minusrarr

f ie force drsquoinertieminusrarrf ie = minusmminusrarra RprimeR = minusmminusrarra

Pour lrsquoobservateur situeacute en Oprime la masse m est immobile donc minusrarra MRprime =minusrarr0 On peut donc

eacutecrire la condition drsquoeacutequilibre de la masse m dans Rrsquo

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrf ie =

P +minusrarrT minus mminusrarra =

minusrarr0

Il est facile de deacutecomposer les diffeacuterentes forces dans la baseminusrarriprime

minusrarrjprime

minusrarrkprime du reacutefeacuterentiel Rprime

Nous avons en effet

minusrarrP =

0minusmg

minusrarrT =

T sin aT cos a

minusrarrf ie =

minusma00

Apregraves projection sur les deux axes xprime et yprime du mouvement nous obtenonsT sin a = maT cos a = mg

On en deacuteduit donc que lrsquoangle drsquoinclinaison est donneacute par

tan a =ag

y prime

x primeO

Acceacuteleacuteration du veacutehicule

dans R

gmrarr

amrarrM

Figure 83 bull Eacutetude du mouvement du pendule dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen lieacute au sol

b) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Terrestre R galileacuteen

Le systegraveme est le point mateacuteriel M de masse m qui subit les forces bull minusrarr

P poids de la masse mbull minusrarr

T tension du fil

Pour lrsquoobservateur en O la masse m a le mecircme mouvement que le veacutehicule et donc lemecircme vecteur acceacuteleacuteration Le principe fondamental de la dynamique appliqueacute agrave M dansR conduit agrave minusrarr

P +minusrarrT = mminusrarra

On en deacuteduit donc que lrsquoangle drsquoinclinaison est aussi donneacute par (81)

32 Mouvement de rotationConsideacuterons un pendule en mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire v parrapport agrave un reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y z) Nous pouvons eacutetudier le mouvement de lamasse m dans ce reacutefeacuterentiel ou dans le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime zprime) en rotation avec la massem Cette masse est alors fixe par rapport agrave Rprime (figure 84)

Dans le reacutefeacuterentiel R la masse a un mouvement circulaire uniforme de vecteur vitesseangulaire Le rayon du cercle deacutecrit par M est r = OM = l sin a les vecteurs vitesse etacceacuteleacuteration en coordonneacutees polaires sont donc minusrarrv = rvminusrarru u

minusrarra = minusrv2minusrarru r

Le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime z) lieacute au point M est en mouvement de rotation uniforme parrapport agrave R de vecteur vitesse angulaire minusrarrv RprimeR = vminusrarru z Dans ce reacutefeacuterentiel la masse mapparaicirct immobile

rarruθrarr

ρurarr

y prime

x prime

uzrarr

ωrarr

uxrarr

Figure 84 bull Mouvement de rotation uniforme drsquoun pendule simple

a) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel R(O x y z) galileacuteen

α Trarr

ρurarr

Figure 85 bull Eacutetude dumouvement dans le reacutefeacuterentiel

galileacuteen lieacute au sol

Le systegraveme est la masse m (en rotation) qui subitles forces

bull minusrarrP poids de m

bull minusrarrT tension du fil

Le principe fondamental de la dynamiqueconduit agrave minusrarr

soit minusrarrP +

minusrarrT = mminusrarra = minusmlv2 sin aminusrarru r

Par projection de cette relation sur minusrarru r nousavons

minusT sin a = minusmlv2 sin a

En projection sur minusrarru z nous obtenons

minusmg + T cos a = 0

soit tan a =lv2 sin a

b) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime z) non galileacuteen

Nous eacutetudions dans Rrsquo le systegraveme masse m (immobile) qui subit les forcesbull minusrarr

P poids de m bull minusrarr

f ie forces drsquoinertie

α Trarr

ifrarr

x prime

Figure 86 bull Eacutetude de lrsquoeacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel lieacute au pendule

La force drsquoinertie de Coriolis est nulle puisque la masse est immobile dans Rprime La seuleforce drsquoinertie agrave consideacuterer est donc la force drsquoinertie drsquoentraicircnement qui est donneacutee par

minusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarrv and

(minusrarrvminusminusminusrarrandOM)

= minusmminusrarra

soitminusrarrf ie = minusmv2l sin aminusrarru r

La relation fondamentale de la dynamique srsquoeacutecrit alors

minusrarrP +

minusrarrT + mlv2 sin aminusrarru r =

minusrarr0

ce qui compte tenu de la figure 86 conduit agrave

tan a =fiemg

=v2l sin a

Les deux faccedilons de raisonner aboutissent eacutevidemment au mecircme reacutesultat Ce sont lesmecircmes eacutequations qui sont preacutesenteacutees diffeacuteremment

Vu du reacutefeacuterentiel R la masse ayant un mouvement circulaire uniforme il est neacutecessaireque le fil srsquoincline pour que la somme des forces conduise agrave une acceacuteleacuteration normalecentripegravete

Vu du reacutefeacuterentiel Rprime le fil srsquoincline du fait de lrsquoexistence drsquoune force drsquoinertie La masseest alors en eacutequilibre sous lrsquoaction de trois forces La force drsquoinertie est ici centrifuge etmaintient dans Rprime lrsquoobjet sous un angle a par rapport agrave la verticale

La condition drsquoeacutequilibre peut se reacuteeacutecrire sous cette forme

tan a =lv2 sin a

g=rArr sin a

cos aminus v2l

ce qui conduit aux solutions suivantes sin a = 0 =rArr a = 0

1cos a

= v2lg

La derniegravere condition nrsquoest valable que dans la limite possible des valeurs du cosinus cequi impose une condition suppleacutementaire sur la vitesse angulaire de rotation du systegravemepour que lrsquoon puisse observer la deacuteviation sous lrsquoangle a Il faut en effet que

cos a 1 =rArr v2 gl

Cette vitesse de rotation est la vitesse en dessous de laquelle le pendule ne deacutevie pas Untel problegraveme est un magnifique exemple de bifurcation en physique On peut en effet re-preacutesenter lrsquoangle de deacuteviation en fonction de la vitesse angulaire v et veacuterifier que lrsquoangle abifurque quand on atteint la vitesse angulaire limite (figure 87)

0 2 4 6 8 10-02

l = 1 m

ωl = (gl)

ω (rads-1

Figure 87 bull Angle de deacuteviation du pendule en fonction de la vitesse angulaire

33 Poids apparent dans un ascenseurConsideacuterons pour commencer une personne immobile sur un pegravese-personne poseacute sur lesol (figure 88) Le reacutefeacuterentiel terrestre peut ecirctre pris comme galileacuteen Les forces agissantalors sur la personne sont la reacuteaction du support

minusrarrR (crsquoest-agrave-dire du pegravese-personne) et son

poidsminusrarrP La condition drsquoimmobiliteacute de la personne conduit agrave eacutecrire

minusrarrP +

minusrarrR = 0 =rArr minusrarr

P = minusminusrarrR

minusrarrR est lrsquoaction du pegravese-personne sur la personne Drsquoapregraves le principe des actions reacuteci-proques (minusminusrarr

R ) repreacutesente lrsquoaction de la personne sur le pegravese-personne crsquoest-agrave-dire sonpoids

minusrarrP

Consideacuterons maintenant la mecircme situation mais qui se deacuteroule dans un ascenseur enacceacuteleacuteration par rapport agrave la Terre (figure 89)

Lrsquoascenseur se deacuteplace suivant un axe vertical Oz orienteacute vers le haut Le vecteur acceacuteleacutera-tion de la cabine par rapport agrave la Terre est minusrarra = aminusrarru z Le reacutefeacuterentiel Rprime lieacute agrave lrsquoascenseur

Figure 88 bull Personne en eacutequilibre sur un pegravese-personne

uzrarr

uzaa rarrrarr =

AscenseurReacutefeacuterentiel non

galileacuteen

Reacutefeacuterentielterrestregalileacuteen

Figure 89 bull Eacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoune personne monteacuteesur un pegravese-personne placeacute dans un ascenceur

nrsquoest pas galileacuteen sauf si a = 0 car alors la cabine se deacuteplacerait drsquoun mouvement recti-ligne uniforme

Dans le reacutefeacuterentiel ascenseur non galileacuteen la personne est immobile Elle subit les forces

bull minusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru z son poids

bull minusrarrR la reacuteaction du pegravese-personne sur la personne

Il faut ajouter les forces drsquoinertie Lrsquoascenseur eacutetant en mouvement de translation rectilignenon uniforme la force drsquoinertie de Coriolis est nulle et seule subsiste la force drsquoinertiedrsquoentraicircnement qui srsquoeacutecrit

minusrarrf ie = minusmminusrarra = minusmaminusrarru z

La condition drsquoeacutequilibre eacutecrite dans le reacutefeacuterentiel ascenseur donne donc

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie =

R =(mg + ma

)minusrarru z

Nous avons vu que (minusminusrarrR ) correspond agrave lrsquoaction de la personne sur le pegravese-personne Po-

sons alors∥∥∥minusrarrR ∥∥∥ = Pa poids apparent que le pegravese-personne va indiquer On a alors

Pa = m(g + a

)Examinons les diffeacuterents cas pouvant se preacutesenterbull a gt 0 lrsquoascenseur deacutemarre en montant ou freine en descendant On a dans ce cas

Pa = m(g + a

)gt mg = P

Le poids apparent est supeacuterieur au poids reacuteel Nous nous sentons un peu plus lourd etavons tendance agrave fleacutechir leacutegegraverement les genoux

bull a = 0 lrsquoascenseur se deacuteplace agrave vitesse constante

Pa = mg

Le reacutefeacuterentiel est alors devenu galileacuteen Nous retrouvons notre poids habituel et neressentons aucun effet du mouvement de lrsquoascenseur

bull a lt 0 lrsquoascenseur freine en montant ou deacutemarre en descendant On a alors

Pa = m(g minus |a|

)lt mg = P

Cette fois le poids apparent est infeacuterieur au poids reacuteel et nous nous sentons plus leacutegerSi le cacircble de lrsquoascenseur casse la cabine se retrouve en chute libre avec une acceacuteleacuterationminusrarra = minusrarrg = minusgminusrarru z Le poids apparent devient alors nul Nous nous retrouvons en eacutetatdrsquoapesanteur et ne ressentons plus les effets de notre poids (ceci eacutevidemment jusqursquoaumoment ougrave la cabine srsquoeacutecrase au sol)

34 Eacutetat drsquoapesanteur dans un satellite artificiel de la Terre

Consideacuterons un satellite de masse MS en orbite autour de la Terre (figure 810) Lemouvement du centre drsquoinertie I de ce satellite dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique galileacuteenR(T x y z) est deacutetermineacute par le principe fondamental de la dynamique La seule forceagissant sur le systegraveme est la force de gravitation de la Terre On peut eacutecrire

MSminusrarra (I) = MS

minusrarrG (I) rArr minusrarra (I) =

minusrarrG (I)

Le reacutefeacuterentiel Rprime(I xprime yprime z) lieacute au centre drsquoinertie I du satellite et dont les axes restentparallegraveles aux axes du reacutefeacuterentiel geacuteocentrique est en translation circulaire par rapport agraveR et nrsquoest donc pas galileacuteen

Eacutetudions maintenant le mouvement par rapport au satellite drsquoun point mateacuteriel P (centredrsquoinertie drsquoun astronaute) de masse m situeacute dans le satellite Il est soumis a bull la force de gravitation de la Terre m

minusrarrG (P)

bull la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarra (I) = minusm

minusrarrG (I)

Dans ce cas il nrsquoy a pas de force drsquoinertie de Coriolis puisque le reacutefeacuterentiel Rprime(I xprime yprime z)est en translation

x prime

y prime

Figure 810 bull Astronaute en eacutetat drsquoapesanteur dans un satellite

Les dimensions du satellite eacutetant tregraves petites devant le rayon r de lrsquoorbite du satellite onpeut consideacuterer le champ de gravitation localement uniforme agrave lrsquointeacuterieur et donc on peuteacutecrire minusrarr

G (P) =minusrarrG (I)

Dans ces conditions la reacutesultante des forces appliqueacutees agrave P est

m(minusrarrG (P) minusminusrarr

G (I)) =minusrarr0

Lrsquoastronaute se trouve en eacutetat drsquoapesanteur1 (ou impesanteur) la force de gravitation ter-restre est compenseacutee par la force drsquoinertie centrifuge

Nous avons consideacutereacute ici que le satellite eacutetait fixe dans Rprime Il est possible de creacuteer unecertaine pesanteur artificielle dans le satellite en le faisant tourner par exemple autourde lrsquoaxe Iz Dans ce cas lrsquoastronaute subit une force drsquoinertie suppleacutementaire centrifugequi va lui permettre de retrouver un sol sous ses pieds

4 DYNAMIQUE TERRESTRE

41 Poids drsquoun corpsNous avons vu au chapitre 7 que le champ de pesanteur minusrarrg agrave la surface de la Terre pouvaitse confondre avec le champ de gravitation terrestre

minusrarrG Nous allons montrer dans ce pa-

ragraphe que cette relation nrsquoest qursquoapprocheacutee et qursquoelle doit ecirctre en toute rigueur reacuteviseacuteeagrave cause du mouvement de rotation de la Terre

Consideacuterons une masse m caracteacuteriseacutee par un point I agrave la surface de la Terre agrave la latitudel et eacutetudions son eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime en rotation agrave la vitesse angu-laire minusrarrv par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique (origine T centre de la Terre) lui-mecircmeen mouvement de translation circulaire par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen de Copernic

1 Agrave lire Le pheacutenomegravene drsquoimpesanteur par JP Penoit BUP 1988 n700 1-44

(origine S centre drsquoinertie du Systegraveme Solaire) Dans ce qui va suivre nous consideacuteronsque le reacutefeacuterentiel galileacuteen de reacutefeacuterence est le reacutefeacuterentiel de Copernic

Le poidsminusrarrP = mminusrarrg produit de la masse m par le champ de pesanteur se deacutefinit dans le

reacutefeacuterentiel terrestre agrave partir par exemple de lrsquoeacutequilibre de la masse poseacutee sur le sol oususpendue agrave un fil (ou un ressort) (figure 811)

PrarrP

Terre I

Figure 811 bull Eacutequilibre drsquoune masse dans le reacutefeacuterentiel terrestre

Agrave lrsquoeacutequilibre avec les notations de la figure 811 on a

minusrarrP +

minusrarrR =

P = minusminusrarrR

minusrarrP +

minusrarrT =

P = minusminusrarrT

ougraveminusrarrR est la reacuteaction du sol et

minusrarrT la tension du fil

Pour deacuteterminer ce qursquoon appelle le poids drsquoun corps il est neacutecessaire de faire un bilande toutes les forces agissant sur lui en tenant compte en particulier des forces drsquoinertie quiapparaissent dans Rprime

Dans le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime la masse m subit bull la force de gravitation de la Terre m

minusrarrG T(I)

bull la force de gravitation de tous les astres (le Soleil la Lune etc) que nous repreacutesentonspar m

minusrarrG A(I)

bull les forces drsquoinertieminusrarrf i du fait que le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime nrsquoest pas galileacuteen

Comme la masse m est en eacutequilibre dans Rrsquo elle ne subit que la force drsquoinertie drsquoentraicircne-ment

minusrarrf ie Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement est donneacutee par

minusrarra e = minusrarra TS + minusrarrv and(minusrarrv and minusrarr

avec minusrarrv vecteur vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe nord-sud etminusrarra TS lrsquoacceacuteleacuteration du centre T de la Terre par rapport au reacutefeacuterentiel de Copernic centreacutesur S (figure 812)

La force drsquoinertie drsquoentraicircnement srsquoeacutecrit doncminusrarrf ie = minusm

[minusrarra TS + minusrarrv and(minusrarrv and minusrarr

Lrsquoeacutequilibre de la masse m agrave la surface de la Terre est donc reacutegi par la relation

minusrarrR + m

minusrarrG T(I) + m

minusrarrG A(I) +

minusrarrf ie =

minusrarr0

ωrarr

Soleil

Reacutefeacuterentielgeacuteocentrique

ReacutefeacuterentielterrestreReacutefeacuterentiel de

Copernic

(Lune)(Terre)

Figure 812 bull Reacutefeacuterentiels de Copernic geacuteocentrique et terrestre

De plus si nous consideacuterons le mouvement du centre de masse de la Terre dans sa courseautour du Soleil nous pouvons eacutecrire en nous placcedilant dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen de Co-pernic

MTminusrarra TS = MT

minusrarrGA(T) =rArr minusrarra TS =

minusrarrGA(T)

Il est reacutesulte que la force drsquoinertie drsquoentraicircnement srsquoeacutecrit

minusrarrf ie = minusm

minusrarrG A (T) minus mminusrarrv and

(minusrarrv and minusrarrTI)

La somme des forces exerceacutees sur m srsquoeacutecrit donc dans le reacutefeacuterentiel terrestre

minusrarrR + m

minusrarrG T(I) + m

minusrarrG A(I) minus m

ce qui par identification conduit agrave

minusrarrP = mminusrarrg = m

[minusrarrG T(I) minusminusrarrv and

+minusrarrG A(I) minusminusrarr

G A (T)]

Nous voyons ainsi que le poidsminusrarrP drsquoun corps nrsquoest pas strictement eacutegal agrave la force de

gravitation qursquoexerce la Terre sur lui Le poids drsquoun corps est la somme de trois termes

bull mminusrarrG T(I) force de gravitation de la Terre exerceacutee sur la masse m (centre drsquoinertie I)

bull minusmminusrarrv and(minusrarrv and minusrarr

force centrifuge due agrave la rotation de la Terre

bull mminusrarrG A(I) minus m

minusrarrG A (T) qursquoon appelle le terme des mareacutees car il est responsable du pheacuteno-

megravene des mareacutees comme nous le verrons agrave la fin de ce chapitre

Le premier terme entre crochets est le plus important et correspond en module agrave en-viron 9 8 msminus2 Examinons maintenant lrsquoordre de grandeur des termes correctifs quiapparaissent en estimant leur valeur maximale Le second terme qui est lieacute agrave lrsquoacceacuteleacutera-tion centrifuge veacuterifie ∥∥∥minusrarrv and

(minusrarrv and minusrarrTI)∥∥∥ v2R 0034 msminus2

Le dernier terme peut se calculer en eacutevaluant la diffeacuterence entre le champ de gravitationde tous les astres au point I consideacutereacute et celui au point T centre de la Terre Il est facile devoir en faisant apparaicirctre lrsquoattraction du Soleil (

minusrarrG S) de la Lune (

minusrarrG L) et lrsquointeraction avec

les autres astres que

minusrarrG A(I) minusminusrarr

G A (T) =minusrarrG S(I) minusminusrarr

G S (T) +minusrarrG L(I) minusminusrarr

G L (T) +

On a alors ∥∥∥minusrarrG S(I) minusminusrarrG S (T)

∥∥∥ = GMS(

1SI2 minus 1

)= GMS

SI2 minus 1)

GMSST2

(STminusRT)2 minus 1]

= GMSST2

[(1 minus RT

)minus2 minus 1]

∥∥∥minusrarrG S(I) minusminusrarrG S (T)

∥∥∥ 2GMSRT

ST3 = 510minus7 msminus2

et drsquoautre part∥∥∥minusrarrG L(I) minusminusrarrG L (T)

∥∥∥ GML(

1LI2 minus 1

)= GML

(60RminusR)2 minus 1(60R)2

(60R)2

((1 minus 1

)2 minus 1)

∥∥∥minusrarrG L(I) minusminusrarrG L (T)

∥∥∥ GML

(60RT)21

30= 1110minus7 msminus2

Lrsquoinfluence des autres astres tregraves faible devant celle du Soleil ou de la Lune est absolumentneacutegligeable

On constate que bien que le champ de gravitation du Soleil en un point de la Terre soitsupeacuterieur agrave celui de la Lune la diffeacuterence de ce champ entre le centre T et un point dela surface terrestre est deux fois plus faible que pour la Lune Neacuteanmoins ces correctionsrestent tregraves faibles devant le terme corrrespondant agrave la force drsquoinertie due agrave la rotationde la Terre sur elle-mecircme Elles peuvent donc ecirctre neacutegligeacutees Ceci revient agrave consideacuterer lereacutefeacuterentiel geacuteocentrique comme galileacuteen et agrave ne pas tenir compte de tous les astres Nousverrons un peu plus loin que ces termes correctifs peuvent jouer un rocircle dans lrsquointerpreacute-tation du pheacutenomegravene des mareacutees

Toutes ces consideacuterations montrent que finalement le champ de pesanteur terrestre peutsrsquoeacutecrire

minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) minusminusrarrv and

=rArr minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) + v2RT cos lminusrarru prime

ωrarr

prime (Tx

primey

prime z)

R(Txyz)

uxrarr

primeuxrarr

λcosRHI =

Reacutefeacuterentiel terrestre

Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique

Figure 813 bull Point I agrave la surface de la Terre agrave la latitude l

Le champ de pesanteur correspond donc au champ de gravitation corrigeacute de lrsquoacceacuteleacutera-tion centrifuge

La tensionminusrarrT du fil (ou la reacuteaction du support) qui compense le poids nrsquoest pas selon la

direction du rayon terrestre TI mais en deacutevie un peu agrave cause de la force drsquoinertie drsquoentraicirc-nement comme le montre la figure 814 La tension du fil compense la force mminusrarrg qui estla force de pesanteur et dont lrsquoexpression est

mminusrarrg = mminusrarrG T (I) +

minusrarrf ie = m(

minusrarrG T (I) + v2RT cos lminusrarru prime

)0)((rarrrarr

=Nf ie

)( Igmrarr

)( IGm T

rarr)( If ie

λcosR

N(pocircle Nord)

)()( NgmNGm T

rarrrarr=

)( Ef ie

)( EGm T

rarrE(eacutequateur)

)( Egmrarr

Figure 814 bull Illustration du poids et de la force de gravitation

Cela montre donc que le terme de gravitation GT doit ecirctre corrigeacute de lrsquoeffet drsquoinertie etque lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur diffegravere de lrsquoacceacuteleacuteration de gravitation selon la relation

minusrarrg =minusrarrG T + v2RT cos lminusrarru prime

La correction drsquoinertie deacutepend bien sucircr de la latitude du point consideacutereacute Elle est nullesur lrsquoaxe de rotation terrestre crsquoest-agrave-dire aux latitudes minus90 et 90 Elle est maximale agravelrsquoeacutequateur Les valeurs mesureacutees du champ de pesanteur g aux pocircles et agrave lrsquoeacutequateur sont bull aux pocircles g = 9 83 msminus2bull agrave lrsquoeacutequateur g = 9 78 msminus2

Sachant que la vitesse angulaire de rotation de la Terre est v = 7 310minus5 radsminus1 lacorrection maximale est de 0034 msminus2 Cette correction est agrave lrsquoeacutequateur opposeacutee agrave g etest leacutegegraverement infeacuterieure agrave la correction attendue qui est de 005 msminus2 La diffeacuterence estimputable agrave la non-spheacutericiteacute de la Terre En effet la force drsquoinertie centrifuge deacuteformela Terre qui possegravede un rayon agrave lrsquoeacutequateur plus important qursquoaux pocircles

La verticale drsquoun lieu deacutefinie agrave partir de la direction que prend un fil agrave plomb ne passedonc pas exactement par le centre de la Terre (sauf agrave lrsquoeacutequateur et aux pocircles) Crsquoest agrave lalatitude l = 45 que lrsquoeacutecart est maximal En consideacuterant le triangle formeacute par les deuxvecteurs minusrarrg (I) et

minusrarrG (I) on peut eacutecrire la relation suivante faisant intervenir lrsquoangle acute que

font ces deux vecteurs sin acute

v2R cos l=

sin (p minus l minus acute)G

Avec acute 1 cette relation devient

v2R cos l=

sin l + acute cos l

Pour l = 45 et sachant que v2R G on obtient

acute =v2R

2G minus v2R=

(1 minus v2R

)minus1

= 1 7410minus3 rad

Cet angle maximal correspondant donc agrave 0 1 = 6rsquo est tregraves faible et il apparaicirct leacutegitimede consideacuterer avec une bonne approximation que la verticale drsquoun lieu passe par le centrede la Terre

En conclusion on peut en premiegravere approximation confondre le champ de gravitationet le champ de pesanteur Pour plus de preacutecision on tiendra compte du terme correctifcorrespondant agrave la force drsquoinertie drsquoentraicircnement

42 Deacuteviation vers lrsquoest

Nous consideacuterons maintenant le cas drsquoun objet en mouvement agrave la surface de la Terre Agravetitre drsquoexemple nous traitons le mouvement drsquoune masse m en chute libre drsquoune hauteur hen un point de latitude l agrave la surface de la Terre

ωrarr

uxrarr

λcosRHI =uyrarr

uzrarr M

Figure 815 bull Repreacutesentation des systegravemes de coordonneacutees utiliseacuteespour traiter le problegraveme de la deacuteviation vers lrsquoest

Lrsquoeacutetude du mouvement se fait dans le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime(I xprime yprime zprime) (figure 815) Lamasse m caracteacuteriseacutee par le point M est contenue au temps t = 0 dans le plan xrsquoIzrsquo et quittesa position de deacutepart situeacutee sur la droite TI avec IM(t = 0) = h sans vitesse initiale Agrave uninstant t quelconque la masse m agrave la vitesse

minusrarrvrsquo

Pour simplifier lrsquoeacutetude il est possible de faire quelques approximations justifieacutees Onconsidegravere que h est tregraves petit devant R (h 100 m R = 64106 m) Le champ depesanteur minusrarrg dans la reacutegion de lrsquoespace concernant le mouvement peut alors srsquoeacutecrire

minusrarrg =minusrarrG T (R + h) + v2 (R + h) cos lminusrarru prime

x minusrarrG T (R) + v2R cos lminusrarru prime

On consideacuterera donc le champ de pesanteur minusrarrg comme localement uniforme de directionIT

La masse m est en mouvement dans le reacutefeacuterentiel Rprime(I xprime yprime zprime) non galileacuteen qui est enrotation par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique consideacutereacute galileacuteen Il est donc neacutecessairedrsquoajouter dans le bilan des forces une force suppleacutementaire la force drsquoinertie de Coriolis

minusrarrf ic = minus2mminusrarrv and

minusrarrvprime

Le mouvement de m est reacutegi par le principe fondamental de la dynamique

mminusrarra MR = mminusrarrG +

minusrarrf ie +

minusrarrf ic = m

minusrarrG minus mminusrarra e minus mminusrarra c = mminusrarrg minus mminusrarra c

Les diffeacuterents vecteurs intervenant dans cette relation srsquoeacutecrivent

minusrarra MR =

xprime

yprime

zprimeminusrarrg =

minusg cos l0

minusg sin l

minusrarrv =

xprime

yprime

zprime

fic = minus2mminusrarrv andminusrarrvprime =

2mvyprime

minus2mvxprime

La projection de lrsquoeacutequation fondamentale de la dynamique sur les trois axes conduit auxeacutequations diffeacuterentielles du mouvement suivantes

xprime = 2vyprime minus g cos l

yprime = minus2vxprime

zprime = minusg sin l

Ces eacutequations diffeacuterentielles sont coupleacutees par lrsquointermeacutediaire des variables xprime et yprime et leurreacutesolution est quelque peu difficile si lrsquoon ne fait pas lrsquoapproximation que la composantede la force de Coriolis selon lrsquoaxe des xprime est neacutegligeable Cette hypothegravese est justifieacutee parle fait que la vitesse de la masse m selon lrsquoaxe des yprime est toujours faible puisqursquoau point dedeacutepart le mouvement a lieu dans le plan xprimeOprimezprime Dans ce cas le terme 2vyprime est neacutegligeabledevant le terme g cos l Les eacutequations diffeacuterentielles se simplifient et srsquoeacutecrivent

xprime = minusg cos l = G1

zprime = minusg sin l = G2

La premiegravere eacutequation srsquointegravegre facilement et conduit agrave

xprime = G1 rArr xprime = G1t rArr xprime =12

G1t2 + x0 =12

G1t2 + h cos l

La seconde eacutequation se reacutesout en reportant lrsquoexpression de la vitesse selon xrsquo dans lrsquoex-pression de lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis soit

yprime = minus2vxprime = minus2vG1t rArr yprime minus vG1t2

rArr yprime = minus13

G1vt3 =13

g cos lvt3

La derniegravere eacutequation conduit agrave lrsquoeacutequation horaire suivante

zprime = G2 rArr zprime = G2t rArr zprime =12

G2t2 + z0 = minus12

g sin lt2 + h sin l

La deacuteviation vers lrsquoest est contenue dans le terme en yprime = 13 g cos lvt3 Cette quantiteacute est

positive ce qui correspond agrave une deacuteviation de la masse m vers lrsquoest2 On peut eacutevaluerson importance Supposons que la hauteur de chute soit de 45 m ce qui correspond agrave untemps de chute t eacutegal agrave 3 secondes (h = 12gt2) et que le point M soit agrave une latitude de45 on obtient alors yrsquo= 45 mm

Remarquons que ce terme srsquoannule sur lrsquoaxe de rotation de la Terre car le vecteur vitesseangulaire est alors parallegravele agrave la vitesse de chute ce qui annule la force de Coriolis

Si on neacuteglige cette deacuteviation vers lrsquoest le mouvement se fait suivant la direction TI confon-due avec la verticale du lieu Lrsquoeacutequation du mouvement est alors sur cette direction

IM = minus12

gt2 + h

2 Agrave lire Vers lrsquoest ou vers lrsquoouest par H Gieacute BUP 1986 n685 993-999

43 Pheacutenomegravene des mareacutees

Lrsquoeffet de mareacutee est essentiellement attribueacute agrave la Lune En effet on constate que ce pheacuteno-megravene cyclique a une peacuteriode proche de 12 h Cependant une augmentation de 50 minutesenviron se produit toutes les 24 h Cette augmentation de la peacuteriode est en accord avec lechangement journalier de position de la Lune par rapport agrave la Terre En effet la peacuteriodede reacutevolution de la Lune est de 28 jours En 24 h la Lune aura effectueacute 128e de tour cequi fait qursquoun point de la Terre qui est en conjonction avec la Lune le sera de nouveau aubout de 24(1+127)h La diffeacuterence est ainsi de lrsquoordre de 53 min ce qui est pratiquementeacutegal au retard journalier temporel des mareacutees drsquoun jour sur lrsquoautre De plus on constatedes variations sur lrsquoimportance de ce pheacutenomegravene au cours de lrsquoanneacutee qui deacutependent de laposition du Soleil et de la Lune par rapport agrave la Terre Le Soleil a donc aussi une influencesur les mareacutees

Si on considegravere que le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique (et donc le reacutefeacuterentiel terrestre) est nongalileacuteen nous avons vu que la force exerceacutee sur une masse m drsquoeau de mer peut srsquoeacutecriredans le reacutefeacuterentiel terrestre

minusrarrF = m

G A (T)]

Les seuls astres dont lrsquoaction nrsquoest pas infime sont le Soleil et la Lune en raison de la masseconsideacuterable du premier et de la proximiteacute de la seconde Cette expression peut donc semettre sous la forme

minusrarrF = mminusrarrg + m

(minusrarrG L(I) minusminusrarr

G L (T))

+ m(minusrarr

G S(I) minusminusrarrG S (T)

)soit minusrarr

F = mminusrarrg + m(Dminusrarrg L + Dminusrarrg S

)Le premier terme mminusrarrg correspond au terme de pesanteur (poids de la masse m) tel qursquoil aeacuteteacute deacutefini dans le chapitre 7 tandis que le deuxiegraveme terme m

(Dminusrarrg L + Dminusrarrg S

) correspond

agrave la force geacuteneacuteratrice de la mareacutee Ce dernier terme appeleacute terme des mareacutees doit son nomau fait que la mareacutee est le seul pheacutenomegravene dans lequel il est pris en compte alors qursquoildevrait lrsquoecirctre en toute rigueur dans tous les problegravemes de meacutecanique

Inteacuteressons-nous principalement au terme Dminusrarrg L repreacutesentant lrsquoinfluence de la Lune lamecircme eacutetude pouvant ecirctre appliqueacutee pour le terme Dminusrarrg S influence du Soleil Nous avonsvu que

Dminusrarrg L =minusrarrG L(I) minusminusrarr

G L (T)

Il srsquoensuit que

Dminusrarrg L = minusGML(minusrarrLILI3 minus

minusrarrLTLT3 )

Dans le repegravere (T x y z) les vecteurs suivants ont pour composantes (figure 816)

minusrarrTI =

minusrarrLT =

0minusD0

minusrarrLI =

y minus Dz

TerreLune

Figure 816 bull Influence de la Lune sur un point I de la Terre

Calculons la contribution de la Lune en I Nous avons dans la base carteacutesienne

minusrarrG L(I) = minusGML

minusrarrLILI3 = minusGML

xminusrarru x +(y minus D

)minusrarru y + zminusrarru z

(x2 +(y minus D

)2 + z2)32

La distance TI (rayon de la Terre) eacutetant tregraves infeacuterieure agrave la distance TL il est possible defaire le deacuteveloppement limiteacute de cette expression au premier ordre en yD

D3(1 minus 2yD + x2+y2+z2

D2 )32asymp minusGML

D3 (xminusrarru x +(y minus D

)minusrarru y + zminusrarru z)(1 +3yD

Il en reacutesulte que la quantiteacute Dminusrarrg L srsquoeacutecrit

Dminusrarrg L asymp minusGML

) minus GML

D3 Dminusrarru y

D3 (xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z) +GML

D3 3yminusrarru y = minusGML

minusrarrTI +

D3 3yminusrarru y

Cette quantiteacute est donc la somme de deux termes Le premier terme que lrsquoon notera g1

srsquoeacutecrit minusrarrg 1 = minusGML

minusrarrTI

Il est de module constant et nrsquoinfluence aucunement le mouvement de la mer Il srsquoajouteau champ de pesanteur et sont influence est infime (minusrarrg 1 5 middot 10minus7 msminus2)

Le second terme fluctue avec la position de I dans le repegravere (T x y z) Il est noteacute g2 et a

pour expression minusrarrg 2 =GML

D3 3yminusrarru y

La figure 817 repreacutesente le plan eacutequatorial et preacutecise la contribution en diffeacuterents pointsI du repegravere

I)(2 Ig

J )(2 Jgrarr

I )(2 Igrarr

)prime

primeprime

prime(2 Jg

Figure 817 bull Contribution de la Lune au pheacutenomegravene des mareacutees

Il est clair sur ce scheacutema que la contribution de minusrarrg 2 est nulle lorsque le point I est sur lrsquoaxedes x car y est alors nul On est alors en peacuteriode de mareacutee basse et au cours de la rotationde la Terre autour drsquoelle-mecircme cela se produit deux fois La mer est haute lorsque le pointI se trouve sur lrsquoaxe des y Il faut bien remarquer que minusrarrg 2 est alors centrifuge que le pointM soit en regard ou agrave lrsquoopposeacute de la Lune

Le vecteurg2 peut srsquoeacutecrire minusrarrg 2 = minusrarrg 2v+minusrarrg 2h ougrave minusrarrg 2v est la composante suivant la directiondu rayon TI (verticale du lieu) et minusrarrg 2h suivant la direction perpendiculaire (horizontale)Le vecteur minusrarrg 2v comme minusrarrg 1 est absolument neacutegligeable devant le champ de pesanteurminusrarrg Par contre la composante minusrarrg 2h peut ecirctre prise en compte car elle nrsquoest laquo eacutetouffeacutee raquo paraucune autre force de masse deacutemesureacutee par rapport agrave elle Ainsi malgreacute sa valeur faible(0 lt g2h lt 1710minus6 msminus2) elle agit sur les eacuteleacutements liquides pour les pousser vers lespositions J et Jprime (figure 817) situeacutees sur la direction TL donnant lrsquoillusion drsquoune attractionde la Lune au point J et expliquant une reacutepulsion paradoxale au point Jprime

Encart 81 Influence du Soleil sur les mareacutees

Un calcul identique peut ecirctre fait pour la contribution du Soleil celle-ci eacutetant environdeux fois plus faible que celle de la Lune On peut comprendre alors qursquoil puisse y avoirdes variations sur lrsquoimportance des mareacutees au cours de lrsquoanneacutee En effet lrsquoinfluence duSoleil peut srsquoajouter agrave celle de la Lune lorsque les trois astres (Terre Lune et Soleil) setrouvent sur la mecircme direction (eacutepoque des syzygies ) On obtient alors des mareacutees ditesmareacutees de vive-eau (figure 818) Lorsque la direction Terre-Lune est perpendiculaireagrave celle Terre-Soleil (eacutepoques des quadratures ) les effets de la Lune sont contrarieacutespar ceux du Soleil et les mareacutees moins importantes sont dites mareacutees de morte-eau(figure 819)

En fait la rotation de la Terre a pour effet de deacuteplacer le bourrelet de mareacutee qui ne seretrouve donc pas exactement en regard de la Lune (points J ou Jprime)

Les mouvements apparents de la Lune et du Soleil eacutetant de peacuteriode diffeacuterente le pheacute-nomegravene reacutesultant est assez complexe et peut ecirctre consideacutereacute comme une superpositiondrsquoun grand nombre drsquoondes la plus importante eacutetant pour les oceacuteans comme lrsquoAt-lantique celle due agrave la Lune Viennent srsquoajouter agrave ce pheacutenomegravene les conditions aux

Soleil

LuneOceacutean

Niveaumoyen

Figure 818 bull Mareacutee de vive-eau (eacutepoques des syzygies)

limites que forment les cocirctes En effet elles imposent lrsquoexistence drsquoondes stationnairesdont lrsquoamplitude peut ecirctre consideacuterablement plus importante que celle de la mareacuteeoceacuteanique (baie du Mont-Saint-Michel en France 12 agrave 16 m) Dans les petites mersfermeacutees dont les rivages empecircchent lrsquoafflux liquide les mareacutees sont imperceptiblesPour les petites mers ouvertes sur lrsquooceacutean la mareacutee est indirecte et est entretenue autravers des embouchures par la mareacutee de lrsquooceacutean

Pour conclure le pheacutenomegravene des mareacutees est le pheacutenomegravene qui met en eacutevidence le faitque le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique nrsquoest pas galileacuteen

Soleil

Oceacutean

Figure 819 bull Mareacutee de morte-eau (eacutepoques des quadratures)

Agrave RETENIR

La relation fondamentale de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel Rprime non galileacuteen srsquoeacutecrit

minusrarrf ic

bull minusrarrf ie = minusmminusrarra e nommeacutee la force drsquoinertie drsquoentraicircnement

bull minusrarrf ic = minusmminusrarra c nommeacutee la force drsquoinertie de Coriolis ou force drsquoinertie compleacutementaire

minusrarra e =d2 minusminusrarrOOprime

d t2+ minusrarrv RprimeR and (minusrarrv RprimeR and

minusminusrarrOprimeM) +

dminusminusminusrarrvRprimeR

d tandminusminusrarrOprimeM

Applications

bull Champ de pesanteur et champ de gravitation en un point I de la surface de la Terre

minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) minusminusrarrv RprimeR and

(minusrarrv RprimeR and minusrarrTI)

=rArr minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) + v2

RprimeRRT cos lminusrarru primex

Le champ de pesanteur minusrarrg (I) est eacutegal au champ de gravitationminusrarrG T (I) corrigeacute drsquoun

terme drsquoinertie centrifugebull Les corps lanceacutes agrave la surface de la Terre subissent une deacuteviation vers lrsquoestbull Le pheacutenomegravene des mareacutees met en eacutevidence le fait que le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique nrsquoest

pas galileacuteen Il srsquointerpregravete en tenant compte de lrsquoattraction des astres et principalementde la Lune La diffeacuterence drsquoattraction de ces astres entre un point agrave la surface de la Terreet son centre est agrave lrsquoorigine de ce pheacutenomegravene

Reacutefeacuterentiel non galileacuteen

Un veacutehicule de masse totale m = 200 kg centre drsquoinertie G est abandonneacute sans vitesseinitiale sur un plan inclineacute OA faisant un angle a = 60 avec lrsquohorizontale Au cours deson mouvement il subit des forces de frottement solide dont la reacutesultante

minusrarrf est une

force de module f = 1 000 N constant Pour les applications numeacuteriques on prendrag = 10 msminus2

yurarr

xurarr

Figure 820

xurarrO

yurarr

Figure 821

1) Dans le reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen on choisit un repegravere (O x y) et sa base(minusrarru x

minusrarru y) lrsquoaxe Ox eacutetant suivant la pente OA

a) Eacutetudier le mouvement du centre drsquoinertie G du veacutehicule (figure 820) par rap-port au reacutefeacuterentiel Terrestre Preacuteciser la nature du mouvement Donner lrsquoex-pression de lrsquoacceacuteleacuteration a(t)= x en fonction de m g f et a

b) Soit le reacutefeacuterentiel (R) lieacute au veacutehicule Quel est le mouvement exact de (R) parrapport au reacutefeacuterentiel terrestre En deacuteduire si ce reacutefeacuterentiel est galileacuteen ou pas(justifier)

2) Sur le veacutehicule Il y a une potence GC perpendiculaire au plan inclineacute Une massemo = 10minus2 kg y est suspendue par lrsquointermeacutediaire drsquoun fil inextensible et de masseneacutegligeable Lors du mouvement du veacutehicule on constate que le pendule srsquoeacutecarte drsquounangle u par rapport agrave la potence (figure 821) et se trouve en eacutequilibre dans le reacutefeacuteren-tiel (R) lieacute au veacutehicule On eacutetudie la masse mo dans ce reacutefeacuterentiel

a) Donner lrsquoexpression dans la base (minusrarru xminusrarru y) de la force drsquoinertie drsquoentraicircnement

minusrarrF ie appliqueacutee sur mo Faut-il introduire aussi une force drsquoinertie de Coriolis

b) Quelles sont les autres forces exerceacutees sur la masse mo Faire un scheacutema repreacute-sentant toutes les forces Donner les expressions des diffeacuterents vecteurs forcesdans la base (minusrarru x

minusrarru y)c) La masse mo eacutetant en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel (R) en deacuteduire deux eacutequa-

tions reliant la tension T du fil et lrsquoangle u en fonction de m mo f g et ad) Reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequation et exprimer tan u Montrer que la mesure de

lrsquoangle u permet alors de deacuteterminer les frottements fApplications numeacuteriques calculer u et la valeur de la tension T du file) Lrsquoangle u peut-il ecirctre nul Si oui agrave quelle condition Peut-on avoir u = a Si

oui agrave quelle condition

Solutionyu

xurarrO

Figure 822

xurarr O

ieFrarr T

Figure 823

1) a) Systegraveme masse m de centre drsquoinertie G (figure 822) Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen Bilan des forces le poids

minusrarrP = mminusrarrg = mg[(sin a)minusrarru x minus (cos a)uy]

la reacuteaction normale du plan inclineacuteminusrarrR n = Rn

minusrarru y

la force de frottementminusrarrf = minusfminusrarru x

minusrarrR n +

minusrarrf = mminusrarra

Projection sur la base drsquoeacutetude Sur minusrarru y Rn minus mg cos a = 0 rArr Rn = mg cos a

Sur minusrarru x mg sin a minus f = mx rArr a(t) = x = g sin a minus fm

Lrsquoacceacuteleacuteration est constante Le mouvement est rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacuteb) Le reacutefeacuterentiel (R) lieacute au veacutehicule est en translation rectiligne uniformeacutement

acceacuteleacutereacute par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre avec une acceacuteleacuteration a(t) Ce reacute-feacuterentiel nrsquoest pas en translation rectiligne uniforme ce qui serait la conditionpour qursquoil soit galileacuteen Il est donc non galileacuteen

2) a) Le reacutefeacuterentiel (R) eacutetant en translation il nrsquoy a pas de force drsquoinertie de Coriolis agraveintroduire (elle nrsquointervient uniquement que lorsque le reacutefeacuterentiel non galileacuteenest en rotation) Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement correspond agrave lrsquoacceacuteleacuteration a(t)du point G La force drsquoinertie drsquoentraicircnement est donc

minusrarrF ie = minusmo

minusrarra e = minusmo

[g sin a minus f

]minusrarru x =

[minusmog sin a +

mf]minusrarru x

b) Les autres forces exerceacutees sur la masse mo (figure 823) le poids

minusrarrP o = mo

minusrarrg = mog[(sin a)ux minus (cos a)minusrarru y]la tension

minusrarrT = T[minus(sin u)ux + (cos u)minusrarru y]

c) Condition drsquoeacutequilibre de la masse mo dans le reacutefeacuterentiel (R) minusrarrP o+

minusrarrT +

minusrarrF ie =

minusrarr0

Sur minusrarru x mog sin a minus T sin u minus mog sin a +mo

mf = 0

Sur minusrarru y T cos u minus mog cos a = 0d) Sur minusrarru y T cos u minus mog cos a = 0 rArr T cos u = mog cos a (1)

mf = 0 rArr T sin u =

mf (2)

Le rapport de (2) sur (1) fait apparaicirctre tan u

tan u =f

mg cos a(la mesure de lrsquoangle upermet de connaicirctre f )

Applications numeacuteriques tan u =f

mg cos a=

10002001005

= 1 rArr u = 45 =p

La valeur de la tension T du fil T=mogcos a

cos u=00110

12radic

radic2

2=00707N

e) Si les frottements sont nuls alors f = 0 et lrsquoangle u est nulSi f augmente alors lrsquoangle u augmente jusqursquoagrave u = a qui correspond au casougrave les frottements sont suffisamment importants pour maintenir le veacutehicule agravelrsquoeacutequilibre

Un eacutetudiant deacutesire deacuteterminer lrsquoacceacuteleacuteration que peut avoir lrsquoascenseur de la TourMontparnasse Il a lrsquoideacutee alors de suspendre au plafond de la cabine une masse maccrocheacutee agrave un ressort de raideur k Il fixe le long du ressort une regravegle avec un zeacuterocentral permettant de mesurer drsquoeacuteventuels allongements ou eacutetirements du ressort

Zuaa rarrrarr=

Cabine immobile Cabine en mouvement

ZZ urarr

Figure 824 Figure 825

Le mouvement de lrsquoascenseur dans le reacutefeacuterentiel Terrestre (RT) est deacutefini par rapportagrave un axe vertical ascendant VZ Le vecteur acceacuteleacuteration de la cabine en mouvement estminusrarra = aminusrarru Z avec minusrarru Z vecteur unitaire vertical ascendant

La position de la masse m est repeacutereacutee dans le reacutefeacuterentiel (R) lieacute agrave lrsquoascenseur Lrsquoeacutetudiantchoisit un axe Ox vertical descendant et un vecteur unitaire minusrarru = minusminusrarru Z Lrsquoorigine O(zeacutero central de la regravegle) est pris au niveau de la masse en eacutequilibre lorsque la cabineest immobile (figure 824)

Lorsque la cabine est en mouvement (figure 825) lrsquoeacutetudiant constate que la positionde la masse change Le but de lrsquoexercice est de relier la position algeacutebrique x de lamasse dans le reacutefeacuterentiel (R) avec la valeur algeacutebrique de lrsquoacceacuteleacuteration a de lrsquoascenseuret fabriquer ainsi un acceacuteleacuteromegravetre

1) Lrsquoascenseur est immobile au rez-de-chausseacutee de la tour Lrsquoeacutetudiant mesure drsquoabordla longueur Lo de son ressort agrave vide Puis il accroche la masse m et mesure la nouvellelongueur Le du ressort lorsque la masse est agrave lrsquoeacutequilibre

Donner lrsquoexpression de la raideur k du ressort Calculer la raideur k du ressort

On donne Lo = 20 cm Le = 24 9 cm m = 0 1 kg g = 9 8 msminus2

2) Quel est exactement le mouvement du reacutefeacuterentiel (R) par rapport au reacutefeacuterentielTerrestre galileacuteen (RT) lorsque lrsquoascenseur fonctionne Le reacutefeacuterentiel (R) est-il galileacuteenlorsque lrsquoacceacuteleacuteration a est non nulle Mecircme question si a = 0

3) Lrsquoascenseur est en mouvement Faire lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre de la masse dans le reacutefeacute-rentiel (R) Deacuteterminer la relation entre a et x Faire lrsquoapplication numeacuterique et donnerla relation entre lrsquoacceacuteleacuteration a exprimeacutee en msminus2 et x exprimeacute en cm

4) Application numeacuterique

La masse se trouve devant la graduation ndash1 cm Quelle est la valeur de lrsquoacceacuteleacuteration a Agrave quels phases du mouvement de lrsquoascenseur cela correspond-il

Mecircme question si la position correspond agrave + 1 cm puis si x = 0

Dans lrsquohypothegravese ougrave lrsquoascenseur se trouverait en chute libre quelle serait la longueurdu ressort

Solution1) Lrsquoascenseur est immobile par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen Le reacutefeacuteren-tiel lieacute agrave lrsquoascenseur est donc aussi galileacuteen Les forces exerceacutees sur la masse m sont minusrarrP = mminusrarrg = mgminusrarru et

minusrarrT = k(Le minusLo) La masse est en eacutequilibre donc

minusrarrP +

minusrarrT =

minusrarr0 rArr

La raideur du ressort

Le minus Lo=

01980249 minus 020

0049= 20 Nmminus1 = 0 20 Ncmminus1

2) Le reacutefeacuterentiel (R) est en mouvement de translation rectiligne par rapport au reacutefeacute-rentiel Terrestre galileacuteen (RT) lorsque lrsquoascenseur fonctionne Le reacutefeacuterentiel (R) nrsquoestpas galileacuteen si lrsquoacceacuteleacuteration a est non nulle Si a = 0 alors le reacutefeacuterentiel (R) est entranslation rectiligne uniforme par rapport agrave (RT) et est donc galileacuteen

3) Systegraveme la masse m reacutefeacuterentiel non galileacuteen (R) les forces poids de la masseminusrarrP = mgminusrarru tension du ressort

minusrarrT = minusk(Le + x minus Lo)minusrarru et

minusrarrF ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarra = minusmaminusrarru Z = maminusrarru (la force drsquoinertie drsquoentraicircnement)

Lrsquoeacutequilibre de la masse dans le reacutefeacuterentiel (R) se traduit par

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrF ie =

minusrarr0 = mgminusrarru minus k(Le + x minus Lo)minusrarru + maminusrarru

rArr mg minus k(Le minus Lo) + ma minus kx = 0 = ma minus mx

On a donc a =km

x =2001

x = 200x avec a en msminus2 et x en m

Avec lrsquoacceacuteleacuteration a exprimeacutee en msminus2 et x exprimeacute en cm a = 2x

x = minus1 cm alors a = minus2 msminus2 Lrsquoacceacuteleacuteration est vers le bas donc cela correspond soitagrave un freinage en montant pour srsquoarrecircter agrave un eacutetage soit un deacutemarrage vers le bas pourredescendre

x = +1 cm alors a = +2 msminus2 Lrsquoacceacuteleacuteration est vers le haut donc cela correspondsoit agrave un freinage en descendant pour srsquoarrecircter agrave un eacutetage soit un deacutemarrage vers lehaut pour atteindre un eacutetage supeacuterieur

Chute libre alors a = minusg Alors a = 200x rArr x = minus0049 cm et donc L = 20 cm Leressort est ni eacutetireacute ni comprimeacute Crsquoest lrsquoeacutetat drsquoapesanteur

Mouvement drsquoune fleacutechette dans un reacutefeacuterentiel tournant

Un joueur de fleacutechette srsquoinstalle sur un grand plateau tournant et srsquoamuse agrave tirer surune cible situeacutee au centre Malgreacute son bon niveau il est eacutetonneacute de voir qursquoil nrsquoarriveplus agrave atteindre la cible et cherche agrave expliquer ce reacutesultat en eacutetudiant les effets dumouvement du plateau sur le mouvement de sa fleacutechette

A oVrarr

Cible (Centre O rayon RC)

Axe lieacute agrave la Terre

Axe Ox lieacute au plateau

Figure 826 bull Plateau Oxy tournant Vitesse angulaire v par rapport agrave la Terre

Le plateau est un disque horizontal de rayon R = 10 m et de centre O On utiliseun repegravere carteacutesien (O x y z) lieacute au plateau (voir figure 826) et sa base associeacutee(minusrarru x

Le joueur A se place suivant lrsquoaxe Ox agrave lrsquoextreacutemiteacute du disque crsquoest-agrave-dire OA = RLa cible est placeacutee le long de lrsquoaxe Oy son centre (le laquo mille raquo) eacutetant confondu avec lepoint O Cette cible a un rayon de RC = 5 cm

Par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen le plateau tourne lentement suivant lrsquoaxevertical Oz dans le sens trigonomeacutetrique avec une vitesse angulaire v correspondantagrave 1 tour en 10 minutes

La fleacutechette sera consideacutereacutee comme ponctuelle de masse m et la vitesse que le joueurdonne initialement agrave la fleacutechette est

minusrarrVo = minusVo

minusrarru x avec Vo = 10 msminus1

I Le plateau est fixe (par rapport agrave la Terre)

1) Le reacutefeacuterentiel plateau est-il galileacuteen

2) La fleacutechette F nrsquoest soumise qursquoagrave son poids Appliquer le principe fondamental de ladynamique et montrer que le mouvement projeteacute suivant Ox est uniforme de vitesse

minusrarrVo

En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutequation horaire x(t)en fonction de R et Vo

3) Donner lrsquoexpression du temps T mis par la fleacutechette pour atteindre la cible Fairelrsquoapplication numeacuterique

4) Sans faire de calcul indiquer quel est lrsquoeffet du poids sur le mouvement Cet effetest-il visible dans le plan xOy (on observe comme sur la figure vue de dessus)

Par la suite on srsquointeacuteressera uniquement au mouvement de la fleacutechette dans leplan xOy Cela reviendra donc agrave neacutegliger son poids

II Le plateau tourne (par rapport agrave la Terre)

IIA Eacutetude cineacutematique

1) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesse angulaire minusrarrv dans la base (minusrarru xminusrarru y

minusrarru z) Don-ner la valeur de v dans les uniteacutes du systegraveme international

2) Si la fleacutechette eacutetait poseacutee sur le sol du plateau agrave lrsquoabscisse x quel serait son mou-vement par rapport agrave la terre En deacuteduire lrsquoexpression dans la base (minusrarru x

minusrarru yminusrarru z) de

lrsquoacceacuteleacuteration qursquoelle aurait par rapport au reacutefeacuterentiel Terrestre Donner alors pourla fleacutechette en mouvement situeacutee agrave lrsquoabscisse x (t) (expression en fonction de R Voet t de la question I2) lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarra e de lafleacutechette par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre

3) Lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou compleacutementaire qui intervient dans la loi de compo-sition des acceacuteleacuterations a pour expression minusrarra C = 2

V avecminusrarrV vecteur vitesse du

point consideacutereacute dans le reacutefeacuterentiel tournant etminusrarrV le vecteur vitesse angulaire du reacutefeacute-

rentiel tournant par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre Dans le cas de notre fleacutechette quise deacuteplacerait avec une vitesse

minusrarrV = minusVo

minusrarru x par rapport au plateau tournant donnerlrsquoexpression de lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis minusrarra C dans la base (minusrarru x

IIB Eacutetude dynamique

La rotation du plateau est suffisamment faible pour qursquoon puisse dans un premiertemps consideacuterer que la vitesse de la fleacutechette est

minusrarru x

1) Le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo est-il galileacuteen Pourquoi

2) Faire lrsquoeacutetude du systegraveme fleacutechette de masse m dans le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo Ex-primer les forces drsquoinertie drsquoentraicircnement et de Coriolis en utilisant les reacutesultats dela partie IIA Appliquer le principe fondamental de la dynamique (eacutequation vecto-rielle (1))

3) Projeter lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Ox Apregraves inteacutegration montrer que

x(t) = minusVo(1 + at2 minus bt) ougrave a et b sont 2 constantes positives

a) Exprimer a et b en fonction de R v et Vo Calculer les constantes a et bb) Pour t asymp T (temps mis par la fleacutechette pour atteindre la cible) calculer

(1minusaT2 + bT) Est-il justifieacute de consideacuterer dans un premier temps que la vitessesuivant Ox est minusVo

4) Projeter lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Oy Apregraves inteacutegration montrer que

y(t) = ct2 ougrave c est une constante

a) Exprimer c en fonction de v et Vo Calculer la constante cb) Exprimer y(t) = vy en fonction de la constante cc) Pour t asymp T (temps mis par la fleacutechette pour atteindre la cible) calculer

y(T) = vy(T)et comparer avec Vo Conclure agrave propos de lrsquohypothegravese faite audeacutebut du calcul de consideacuterer dans un premier temps que

minusrarru xd) Pour t asymp T (temps mis par la fleacutechette pour atteindre la cible) calculer y(T) Faire

un scheacutema donnant lrsquoallure de la trajectoire de la fleacutechette dans le plan xOy

Conclure la fleacutechette atteint-elle la cible

(Remarque cette meacutethode se nomme meacutethode par perturbation)

SolutionI Le plateau est fixe (par rapport agrave la Terre)

O A oV

rarrω

Figure 827

1) Le reacutefeacuterentiel plateau fait parti du reacutefeacute-rentiel terrestre galileacuteen

2) Seule force minusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru z En

appliquant le principe fondamental de ladynamique on obtient minusmgminusrarru z = mminusrarra soitminusrarra = minusgminusrarru z En projetant suivant 0x on a x = 0 En inteacutegrant et en tenant comptede la vitesse initiale on aura x = minusVo Lemouvement est uniforme Agrave lrsquoinstant initialt = 0 OA = R et donc

x = minusVo rArr x(t) = minusVot + R = R minus Vot

3) On a x(T) = 0 soit

0 = minusVoT + R rArr T =RVo

4) Le poids agit suivant la direction Oz uniquement Il a pour effet de faire descendrela fleacutechette mais ne provoque pas de deacuteviation suivant Ox ou Oy Cet effet nrsquoest doncpas visible dans le plan xOy

1) Le vecteur vitesse angulaire est minusrarrv = vminusrarru z AN v =2p

1060= 00105 radsminus1

2) La fleacutechette aurait un mouvement circulaire de centre O et de rayon OA = x Il seraituniforme On a donc

minusrarrOA = xminusrarru x avec la base (minusrarru x

minusrarru yminusrarru z) mobile dans le reacutefeacuterentiel

terrestre (correspond agrave la base des coordonneacutees polaire) On aura en deacuterivant et ensachant qursquoon considegravere x comme une constante pour ce calcul

minusrarrV A = xuminusrarru y = xvminusrarru y

et donc minusrarra A = minusxv2minusrarru x Cette acceacuteleacuteration correspond dans le cas ougrave la fleacutechette esten mouvement situeacutee agrave lrsquoabscisse x(t) agrave lrsquoinstant t agrave lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuterationdrsquoentraicircnement minusrarra e de la fleacutechette par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre On a donc

minusrarra e = minusxv2minusrarru x

4) Lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou compleacutementaireminusrarra C = 2

V = 2vminusrarru z and (minusVominusrarru x) = minus2vVo

minusrarru y

1) Le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo nrsquoest plus galileacuteen Il est en rotation par rapport au reacutefeacute-rentiel terrestre galileacuteen avec un vecteur vitesse angulaire minusrarrv = vminusrarru z

2) Systegraveme fleacutechette de masse m dans le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo On ne tient pas comptedu poids donc il reste les forces drsquoinertie

La force drsquoinertie drsquoentraicircnement minusrarrF ie = minusmminusrarra e = mv2x(t)minusrarru x = mv2(R minus Vo t)minusrarru x

La force drsquoinertie de Coriolis minusrarrF iC = minusmminusrarra C = 2mvVo

minusrarru y

Appliquons le principe fondamental de la dynamique (eacutequation vectorielle (1))

mminusrarra = mv2(R minus Vo t)minusrarru x + 2mvVominusrarru y rArr minusrarra = v2(R minus Vot)minusrarru x + 2vVo

minusrarru y

3) Projection de lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Ox x = v2(R minus Vot) En inteacutegrant 2 foisde suite et sachant qursquoagrave t = 0 on a x(0) = minusVo et x = R

x = v2Rt minus v2Vo

2t2 minus Ketx(0) = minusVo

donc x = v2Rt minus v2Vo

2t2 minus Vo = minusVo(1 minus v2R

x(t) = minusVo(1 minus bt + at2) ougrave a et b sont 2 constantes

a) et b) b =v2RVo

)2 RVo

= 000011 sminus2 et a =v2

2= 0000055 sminus1

c) Pour t asymp T = 1 s

(1 minus bT + aT2) = 1 minus 000011 + 0000055 = 1 minus 0000055 = 0999945 asymp 1

Il est donc justifieacute de consideacuterer dans un premier temps que la vitesse suivantOx est ndash V o Lrsquoerreur relative serait de 00055

4) Projection de lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Oy

y = 2vVo rArr y = 2vVot + K et y(0) = 0

donc on obtient y = 2vVo rArr y = 2vVo t

en inteacutegrant encore une fois et avec y(0) = 0 y(t) = vVot2 = ct2

a) Avec c = vVo = 0 1 sminus2

b) y(t) = 2vVo t = 2ctc) Pour t asymp T = 1 s y(T) = vy(T) = 02 msminus1 agrave comparer avec Vo = 10 msminus1

Lrsquohypothegravese revient agrave neacutegliger 2 devant 100 soit une erreur relative de 2 Crsquoestjustifieacute

d) Pour t asymp T = 1 s on a y(T) = 0 1 m = 10 cm gt 5 cm = RC (deacuteviation de10 cm sur une longueur de 10 m (1))Voir scheacutema au deacutebut de lrsquoexercice (portion de parabole y est fonction de t2 etx est fonction de t)

Conclure la fleacutechette nrsquoatteint pas la cible

Reacutefeacuterentiel terrestre non galileacuteen usure des rails

Un train roule agrave vitesse constante sur une voie le long du meacuteridien de Greenwich agravela latitude l Montrer que la force drsquoinertie de Coriolis est responsable drsquoune usureineacutegale des rails De quel cocircteacute se trouve le rail le plus useacute

SolutionUsure des rails

O eacutequateur

Pocircle Nord

xurarr

zurarr

meacuteridien

u zrarr

xu rarr

Ax e Mzrsquo

Verticale du lieu

Ax e Mxrsquo

Vers le Sud sur lemeacuteridien

rarrΩ

Figure 828

Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique consideacutereacute comme galileacuteen repegravere (O x y z) avec O le centrede la Terre

(R) Reacutefeacuterentiel Terrestre non galileacuteen repegravere (M xrsquo yrsquo zrsquo) avec M point lieacute agrave la Terrelrsquoaxe Mxrsquo est la direction du meacuteridien passant par M et orienteacute vers le Sud lrsquoaxe Mzrsquoest la verticale du lieu et Myrsquo correspond agrave la direction sur le parallegravele du lieu orienteacutevers lrsquoEst Lrsquoangle l est la latitude du lieu (environ 45 )

Le mouvement du reacutefeacuterentiel (R) par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique se deacutecom-pose en un mouvement de translation circulaire (le point M deacutecrit un cercle de rayonRT cos l avec la vitesse angulaire V) et en un mouvement de rotation (les axes MxrsquoMyrsquo Mzrsquo tournent) avec un vecteur vitesse angulaire

minusrarrV = Vminusrarru z = V(minus cos lminusrarru prime

x + sin lminusrarru primez)

Dans le reacutefeacuterentiel terrestre on considegravere un train se deacuteplaccedilant agrave la vitesse minusrarrv = vminusrarru primex

(sur le meacuteridien vers le sud par exemple)

Eacutetude des actions exerceacutees sur une roue du train

meacuteridienSud

xu rarr

yu rarr

Estouest

Figure 829

Dans le reacutefeacuterentiel terrestre non galileacuteen il y a

bull Le poids qui comprend agrave la fois lrsquoattraction de laterre et la force drsquoinertie drsquoentraicircnement (laquo force cen-trifuge raquo) verticale vers le bas On peut consideacutererici que la verticale passe par le centre O de la Terre(lrsquoeacutecart eacutetant tregraves faible) donc suivant lrsquoaxe Mzrsquo

bull La reacuteaction des railsbull La force drsquoinertie de Coriolis

minusrarrf ic = minusmminusrarra c = minus2m

minusrarrV and minusrarrv

minusrarrf ic = minus2mV(minus cos lminusrarru prime

x + sin lminusrarru primez) and vminusrarru prime

= minus2mVv sin lminusrarru primey

Mouvement suivant minusrarru primey les rails guident le train et donc il y a eacutequilibre crsquoest-agrave-dire

minus2mVv sin lminusrarru primey + Ryprime

minusrarru primey = 0 rArr Ryprime = 2mVv sin l

Les rails agissent lateacuteralement pour guider le train

Lrsquoaction des roues sur les rails est donc minusRyprime = minus2mVv sin l = ficLes roues vont donc appuyer plus sur le rail droit (par rapport au sens de la marche)Le rail droit va donc srsquouser plus vite du cocircteacute de lrsquointeacuterieur

1 On considegravere un axe Oz vertical et fixe par rapport agrave la Terre et un axe Oxprime horizontalpouvant tourner autour de Oz agrave la vitesse angulaire constante Un point mateacuteriel Mde masse m peut glisser sans frottement sur Ox Ce point est soumis en outre agrave uneforce dirigeacutee de M vers O proportionnelle agrave la distance OM Soit l le coefficient deproportionnaliteacute

1) Deacuteterminer la relation donnant x = OM en fonction du temps ainsi que les com-posantes de la reacuteaction exerceacutee par Ox sur M Discuter suivant les valeurs de l

2) Agrave quelle condition M est-il en eacutequilibre relatif par rapport agrave Oxprime

3) Deacuteterminer alors la reacuteaction de Oxprime On prendra comme conditions initiales agravet = 0 x = x0 d x d t = 0

2 On considegravere un axe Oz vertical fixe par rapport agrave la Terre et un axe Ox faisant avecOz un angle aigu a et tournant autour de Oz avec une vitesse angulaire constante vUn point mateacuteriel M de masse m peut glisser sans frottement sur Ox

1) Deacuteterminer la relation r = OM en fonction du temps ainsi que les composantes dela reacuteaction exerceacutee par Ox sur M

2) Agrave t = 0 r = r0 et d r d t = 0 Agrave quelles conditions sur r0 le point est-il en eacutequilibrerelatif par rapport agrave Ox

O xrsquo

1yy uu =P

rarr rarrrarr

Figure 830

3 On considegravere une gouttiegravere drsquoeacutequation plane y = ax2 par rapport agrave un repegravere Oxy (Oyvertical) Dans cette gouttiegravere on place un point mateacuteriel de masse m On fait tournerla gouttiegravere autour de lrsquoaxe Oy agrave la vitesse angulaire constante v

Trouver la valeur que doit avoir v pour que le point puisse ecirctre en eacutequilibre relatifpar rapport agrave la gouttiegravere lorsqursquoon le deacutepose en un point donneacute de celle-ci sansvitesse initiale relative

4 Pendule de Foucault

En 1850 JB Foucault deacutemontre que le mouvement drsquoun pendule simple illustre lecaractegravere non galileacuteen du reacutefeacuterentiel terrestre en eacutetudiant le mouvement pendant untemps non neacutegligeable devant la peacuteriode de reacutevolution de la Terre sur elle-mecircme Lesconditions initiales sont les suivantes le pendule est initialement dans le plan xOzet il part sans vitesse initiale drsquoune position eacutecarteacutee de 10 par rapport agrave la verticaleDans tout le problegraveme on supposera que lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur g est constanteet eacutegale agrave 10 msminus2

O eacutequateur

PocircleNord

meacuteridien

Axe IzVerticale du lieu

Axe Ix

Sud Meacuteridien

Parallegravele

Est Ouest

xurarr

zurarr

rarrxu

Figure 831 bull Pendule de Foucault

1) Que peut-on dire du reacutefeacuterentiel terrestre

2) Le pendule simple est placeacute au Mans agrave la latitude l=48

Deacuteterminer les composantes du vecteur de rotation instantaneacuteeminusrarrV de la Terre dans

la base minusrarru xminusrarru y

minusrarru z du reacutefeacuterentiel terrestre R(O x y z) Comparer ses composantes agravela pulsation propre v0 du pendule de longueur l = 60 m On rappelle que la Terretourne sur elle-mecircme en 24 h

3) On appelle minusrarru r le vecteur unitaire dans la direction deminusrarrSM = lminusrarru r Calculer lrsquoex-

pression de ce vecteur en fonction de (x y z) position de M dans R et de l longueurdu pendule En deacuteduire lrsquoexpression de la tension

minusrarrT du fil dans la base minusrarru x

minusrarru yminusrarru z

en fonction de T x y z et l

4) Eacutecrire lrsquoeacutequation vectorielle du mouvement du pendule dans R en neacutegligeant laforce drsquoinertie drsquoentraicircnement

5) En deacuteduire les eacutequations diffeacuterentielles du mouvement de la masse m sur les troisaxes du reacutefeacuterentiel

6) On admet que si lrsquoamplitude drsquooscillation est faible la tension T du fil ne diffegravereque de tregraves peu du poids P de la masse m En faisant cette approximation reacuteeacutecrire leseacutequations du mouvement en faisant apparaicirctre la pulsation propre de lrsquooscillateur

7) On suppose que la vitesse de lrsquooscillateur selon z est faible par rapport agrave sa vi-tesse selon y Eacutecrire les eacutequations diffeacuterentielles selon les axes x et y dans le cadre de

cette approximation En utilisant la variable complexe U = x + iy eacutecrire lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle satisfaite par U

8) Reacutesoudre cette eacutequation Montrer que la solution peut se mettre sous la forme

U = A eikt cos v0t

Deacuteterminer A et k

9) En deacuteduire les eacutequations horaires du mouvement selon x et y

10) Montrer que le pendule oscille dans des plans diffeacuterents Au bout de combien detemps le pendule aura-t-il fait un tour Commenter lrsquoinfluence de la latitude

Solutions

1 1) Nous nous placcedilons dans le reacutefeacuterentiel R(O xprime z) en mouvement de rotation Ce reacutefeacuterentielnrsquoest pas galileacuteen puisqursquoil tourne Dans R le point M est soumis agrave

bull la reacuteaction du supportminusrarrR

bull la forceminusrarrF = minusl

minusrarrOM

bull la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrfie

bull la force drsquoinertie de Coriolisminusrarrfic

Lrsquoapplication du principe fondamental de la dynamique au point M dans R non galileacuteenconduit agrave

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie +

minusrarrfic minus l

minusrarrOM = mminusrarra MR avec

ldquominusrarrvminusminusminusrarrandOMrdquo

etminusrarrfic = minus2mminusrarrv and minusrarrv MR

Les composantes des diffeacuterents vecteurs dans R sont

minusrarra MR =

minusrarrP =

minusmg

minusrarrv =

minusrarrf ie =

mv2x00

minusrarrv =

minusrarrF =

minuslx00

minusrarrR =

minusrarrf ic =

0minus2mvx

Il srsquoensuit que x =`

v2 minus lm

x Ry minus 2mvx = 0 Rz minus mg = 0

Le mouvement de M deacutependra du signe de v2 minus lm Si v2 minus l

m lt 0 alors x(t) = A cos (v0t + a)

avec v0 =q

lm minus v2 Avec les conditions initiales (CI) choisies nous obtenons

x(t) = x0 cos v0t

Si v2 minus lm gt 0 alors x(t) = Aev0t + Beminusv0t

Les CI conduisent agrave A + B = 0 et A minus B = 0 drsquoougrave x(t) = x0 cosh v0t

La reacuteaction de lrsquoaxe possegravede deux composantes qui sont Ry = 2mvx et Rz = mg

2) Le point M est en eacutequilibre relatif si x = 0 ce qui est veacuterifieacute pour v2 = lm

3) Dans ce cas la reacuteaction de lrsquoaxe est Rz = mg

2 1) Le Reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen est deacutefini par le repegravere (O xprime y z)

Le reacutefeacuterentiel R lieacute agrave la tige avec le repegravere (0 x y1 z1) est non galileacuteen Il est en rotation avecle vecteur vitesse angulaire minusrarrv = vminusrarru z = v(cos aminusrarru x + sin aminusrarru z1)

On pose r = OM = x

Le point M est soumis aux forces suivantes

bull son poidsminusrarrP (verticale vers le bas) soit

minusrarrP = mg

minus cos aminusrarru x minus sin aminusrarru z1˜

bull la reacuteaction du supportminusrarrR (pas de frottement la reacuteaction est normale agrave la tige et donc pas

de composante suivant lrsquoaxe Ox et agrave priori 2 composantes Ry1 et Rz1

bull la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrf ie Le pointM srsquoil eacutetait fixe par rapport agrave la tige deacutecrirait

un cercle de rayon R = x sin a agrave la vitesse angulaire constante v Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircne-ment est dirigeacutee vers lrsquoaxe Elle est horizontale et a pour valeur v

2x sin a On en deacuteduit la

force drsquoinertie drsquoentraicircnementsbquo

minusrarrf ie

= mv2x sin a (horizontal vers lrsquoaxe) soit

minusrarrf ie = mv

2x sin a`

sin aminusrarru x minus cos aminusrarru z1acute

la force drsquoinertie de Coriolisminusrarrf ic = minus2mminusrarrv andminusrarrv avec minusrarrv = xminusrarru x la vitesse de M par rapport

agrave la tige On a donc minusrarrf ic = minus2mv[cos aminusrarru x + sin aminusrarru z1] and xminusrarru x = minus2mvx sin aminusrarru y1

O xrsquo

1yy uu =P

rarr rarr

Figure 832

La relation fondamentale de la dynamique conduit agrave

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie +

minusrarrf ic = mminusrarra = mxminusrarru x

En projection sur les axes

x = xv2 sin2

a minus g cos a

0 = Ry1 minus 2mvx sin a rArr Ry1 = 2mvx sin a

0 = Rz1 minus mg sin a minus mv2x sin a cos a rArr Rz1 = m sin a

g + v2x cos a

Posons vo = v sin a alors

x = xv2 sin2

a minus g cos a rArr x minus v2o x = g cos a

Solution de lrsquoeacutequation solution particuliegravere plus la solution geacuteneacuteral de lrsquoeacutequation sanssecond membre soit

x = Aevot + Beminusvot +g cos a

Les conditions initiales conduisent agrave

v(0) = 0 rArr voA minus voB = 0 rArr A = B

x(0) = ro rArr A + B +g cos a

= ro rArr 2A = ro minusg cos a

drsquoougrave

x(t) =

ro minusg cos a

laquo bdquo

evot + eminusvot

+g cos a

ro minusg cos a

cosh vot +g cos a

On a Ry1 = 2mvx sin a = 2mv(sin a)vo

ro minusg cos a

sinh vot

(avec sinh vot =evot minus eminusvot

Rz1 = m sin aˆ

g + v2x cos a

= mg sin a + mv2 sin a cos a

raquobdquo

ro minusg cos a

cosh vot +g cos a

(avec vo = v sin a)

2) Il y a eacutequilibre relatif par rapport agrave Ox si x ne deacutepend pas de t crsquoest-agrave-dire bdquo

ro minusg cos a

= 0 rArr rov2o = g cos a rArr ro =

g cos a

v2 sin2 a

Parabole y = ax 2 x

Figure 833

Systegraveme le point M de masse m poseacute en un point de coordonneacutees (x y = ax2)

Reacutefeacuterentiel gouttiegravere avec le repegravere (O x y) en rotation par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre gali-leacuteen vitesse angulaire de rotation minusrarrv = vminusrarru z

Le reacutefeacuterentiel nrsquoest donc pas galileacuteen

Les forces

Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru y

La reacuteaction du supportminusrarrR On suppose qursquoil nrsquoy a pas de frottement Cette reacuteaction est donc

perpendiculaire agrave la tangente agrave la parabole au point consideacutereacute La tangente fait avec lrsquohorizon-

tale un angle a tel que tan a =dydx

Force drsquoinertie le point M eacutetant en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel mobile il nrsquoy a pas de forcedrsquoinertie de coriolis Le point M a un mouvement circulaire uniforme par rapport au reacutefeacuterentielterrestre Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement est donc minusrarra e = minusv

2xminusrarru x La force drsquoinertie est donc minusrarrf ie = minusmminusrarra e = mv

2xminusrarru x

minusrarrR +

minusrarrf ie =

minusrarr0

Ceci se traduit par (voir figure)

tan a =fieP

= 2ax rArr v =p

4 Le pendule de Foucault

1) Le Reacutefeacuterentiel terrestre est non galileacuteen Il nrsquoest pas en translation rectiligne uniforme maisen rotation uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel Geacuteocentrique galileacuteen (sur une longue dureacutee)

2) Le pendule simple est placeacute agrave la latitude l = 48minusrarrV = V

minusrarrk = V

minus cos lminusrarru x + sin lminusrarru zacute

= minus7 310minus5 cos 48 minusrarru x + 7 310minus5 sin 48 minusrarru z

minusrarrV = minus4 8810minus5minusrarru x + 5 4210minus5minusrarru z

Pour un pendule simple vo =

= 0408 radsminus1 gtgt V

3) minusrarru r =minusrarrSMSM =

xlminusrarru x +

yluy +

z minus ll

minusrarru z

Soit minusrarrT = minusTminusrarru r = minus

ldquo xlT

rdquominusrarru x minusldquo y

uy minusbdquo

z minus ll

Tlaquo

minusrarru z

4) On travaille dans le reacutefeacuterentiel non galileacuteen Comme force il y a

Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru z la Tension

minusrarrT

Il faut ajouter la force drsquoinertie de Coriolis minusrarrf ic = minus2m

minusrarrV and minusrarrv = minus2mV

minus cos l

0sin l

minusrarrf ic = 2mV

y sin lminusrarru x minus (z cos l + x sin l)minusrarru y + y cos lminusrarru z˜

On peut neacutegliger la force drsquoinertie drsquoentraicircnement devant la force de gravitation (ou si on preacute-fegravere le poids tient compte de la force drsquoinertie drsquoentraicircnement et on considegravere que la verticalepasse par le centre de la Terre) On a alors

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrf ic = mminusrarra

5) Sur minusrarru x minus xlT + 2mVy sin l = mx

Sur minusrarru y minus ylT minus 2mV(z cos l + x sin l) = my

Sur minusrarru z minusmg minus z minus ll

T + 2mVy cos l = mz

6) Avec P = mg asymp T on a

mx = minus xlmg + 2mVy sin l rArr x +

glx = 2Vy sin l rArr x + v

2o x = 2Vy sin l

my = minus ylmg minus 2mV(z cos l + x sin l) rArr y + v

2o y = minus2V(z cos l + x sin l)

mz = minusmg minus z minus ll

mg + 2mVy cos l rArr z + v2o z = 2Vy cos l

7) On suppose z x (z varie tregraves peu par rapport agrave x) soit z cos l x sin l

x + v2o x = 2Vy sin ly + v

2o y = minus2Vx sin lz + v

2o z = 2Vy cos l

On en deacuteduit en multipliant la 2egraveme eacutequation par i et en ajoutant la 1egravere eacutequation

U + v2o U = 2V sin l(y minus ix) = 2V sin li(minusiy minus x) = minus2Vi sin lU

U + 2Vi sin lU + v2o U = 0 avec U = x + iy

8) Solution de la forme U = Aert rArr r2 + 2Vi sin lr + v2o r = 0

Crsquoest lrsquoeacutequation caracteacuteristique donc les solution sont

rplusmn = minusVi sin l plusmn ip

V2 sin2 l + v2o et avec V sin l vo on obtient

rplusmn = minusVi sin l plusmn ivo soit U = eminusiV sin lt `

Aeivot + Beminusivotacute

Pour t = 0 on a y = 0 et x = x o = l sin 10 soit xo = A + B et on lacircche sans vitesse soitencore

U = minusiV sin leminusiV sin lt(Aeivot + Beminusivot) + eminusiV sin lt(Aivoeivot minus Bivoe

minusivot)

On a donc U(0) = minusiV sin l(A + B) + (Aivo minus Bivo) = 0 rArr Vxo sin l = vo(A minus B)

(A minus B) = xoV sin l

voet xo = A + B rArr A =

1 +V sin l

et B =xo

1 minus V sin l

Avec V sin l vo cela donne A =xo

2= B et donc U = eminusiV sin lt

xoeivot + eminusivot

Donc U = A(cos vot)eikt avec A = xo = l sin 10 = l sin ui et k = minusV sin l

9) x(t) = Re(U) = l sin ui cos(vot) cos(V sin lt)

y(t) = Im(U) = minusl sin ui cos(vot) sin(V sin lt)

10) La peacuteriode propre du pendule est

To =2p

vo= 2p

= 154 s T =2p

V sin l=

24sin l

heures

Cercle de rayon deg== 10sinsin θ llR i

M oscille sur undiamegravetre

(peacuteriode 154 s)

Le diam egravetre tourne avec la

Peacuteriode hTsin24

Figure 834

Le point M deacutecrit donc un segment de longueur 2l sin ui avec une peacuteriode de To = 1 54 sce segment (ou plan du pendule) tournant lentement dans le sens des aiguilles drsquoune montreavec une peacuteriode T

(On remarque que x2 + y2 = R2 = (l sin ui cos vot)2)

Aux pocircles on a sin l = 1 et T = 2pV

= 24 h

Agrave lrsquoeacutequateur sin l = 0 et le pendule oscille dans le plan de deacutepart (son plan ne tourne plus)

Agrave Paris sin l = sin 48 = 0743 et on obtient T = 2pV sin l

= 240743 = 32 h18 minutes

CHAPITRE 9

SYSTEgraveMES Agrave DEUX CORPS

Preacute-requis bull Avoir bien approfondi les chapitres 4 et 5 de ce livre

Objectif I Aborder le mouvement de deux corps en interaction en deacutegageant lanotion fondamentale de reacutefeacuterentiel barycentrique

I Ecirctre capable drsquoexprimer les lois de la physique dans le reacutefeacuterentiel bary-centrique et de reacuteduire le problegraveme agrave deux corps agrave un problegraveme agrave unseul corps

I Comprendre qursquoen utilisant les lois de conservation de lrsquoeacutenergie et dumoment cineacutetique il est possible drsquoobtenir des informations tregraves preacutecisessur la nature du mouvement des deux corps

I Ecirctre en mesure de discuter la repreacutesentation eacutenergeacutetique du problegravemeagrave deux corps

Nous avons vu dans le chapitre preacuteceacutedent une introduction agrave la meacutecanique ceacuteleste Nousnous proposons maintenant drsquoeacutetudier plus preacuteciseacutement le cas tregraves important drsquoun sys-tegraveme de deux masses m1 m2 en interaction mutuelle ne subissant aucune action delrsquoexteacuterieur Le systegraveme m1 m2 est donc consideacutereacute comme meacutecaniquement isoleacute et seracaracteacuteriseacute par son centre de masse G Les forces

minusrarrF1 et

minusrarrF2 qursquoexercent respectivement m2

sur m1 et m1 sur m2 sont des forces inteacuterieures Dans le cas de deux particules portant unecharge eacutelectrique ces forces correspondent aux forces eacutelectrostatiques (loi de Coulomb)Au cours drsquoun choc entre deux particules elles correspondent aux actions de contact Dansce qui suit nous nous inteacuteresserons au cas ougrave les deux masses sont en interaction gravita-tionnelle

1 EacuteLEacuteMENTS CINEacuteTIQUES

11 Centre de masseConsideacuterons un systegraveme de deux masses ponctuelles localiseacutees aux points M1 et M2 Nousrapportons lrsquoeacutetude agrave un reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y z)On appelle centre de masse ou centre drsquoinertie ou encore centre de graviteacute ou bary-centre drsquoun systegraveme de deux masses le point G dont la position est deacutefinie par

m1minusminusrarrGM1 + m2

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

Figure 91 bull Centre de masse drsquoun systegraveme constitueacute de deux masses

Lrsquointroduction drsquoune origine O arbitraire dans lrsquoeacutequation preacuteceacutedente et lrsquoutilisation de larelation de Chasles permet drsquoexprimer la position du centre de masse par

minusrarrOG =

m1minusminusrarrOM1 + m2

minusminusrarrOM2

m1 + m2

12 Vitesse et quantiteacute de mouvementLa deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation vectorielle preacuteceacutedente conduit agrave la vitesse du centre de masse Ennotant minusrarrvG minusrarrv1 et minusrarrv2 respectivement les vecteurs vitesse par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteenR du centre drsquoinertie G et des points M1 et M2 on obtient

minusrarrv G =m1

minusrarrv 1 + m2minusrarrv 2

m1 + m2rArr (m1 + m2)minusrarrv G = m1

p = minusrarrp 1 + minusrarr

p 2 (91)

Theacuteoregraveme

La quantiteacute de mouvement du centre de masse drsquoun systegraveme est eacutegale agrave la sommedes quantiteacutes de mouvement de chaque eacuteleacutement du systegraveme

Le systegraveme m1 m2 est meacutecaniquement isoleacute ce qui conduit par deacuterivation agrave

dminusrarrp

minusrarr0 =

dminusrarrp 1

dminusrarrp 2

Le principe fondamental de la dynamique appliqueacute agrave chacune des masses donne

dminusrarrp 1

minusrarrF 1 et

dminusrarrp 2

minusrarrF2 rArr minusrarr

F 1 +minusrarrF 2 =

minusrarr0

Ceci met en eacutevidence le principe des actions reacuteciproques (3egraveme loi de Newton) puisque laforce que subit M1 de la part de M2 est opposeacutee agrave la force subie par M2 de la part de M1

Systegravemes agrave deux corps 229

13 Moment cineacutetique et eacutenergie cineacutetiqueDans le reacutefeacuterentiel R le moment cineacutetique par rapport au point O du systegraveme de deuxmasses en interaction est eacutegal agrave la somme vectorielle des moments cineacutetiques de chaquemasse Il en reacutesulte que

minusrarrL =

minusrarrL 1 +

minusrarrL 2 =

minusrarrOM1 and m1

minusrarrv 1 +minusrarrOM2 and m2

minusrarrv 2

De la mecircme maniegravere lrsquoeacutenergie cineacutetique dans R est la somme des eacutenergies cineacutetiques dechaque masse

Ec = Ec1 + Ec2 =12

m1v21 +

2 REacuteFEacuteRENTIEL DU CENTRE DE MASSE

21 Deacutefinition

G yrsquo

zrsquo

xrsquo

Figure 92 bull Reacutefeacuterentiel barycentrique ou reacutefeacuterentiel du centre de masse

On appelle reacutefeacuterentiel du centre de masse ou reacutefeacuterentiel barycentrique un reacutefeacuterentielnoteacute Rlowast centreacute sur le centre de masse G du systegraveme et qui se deacuteplace en translation parrapport au reacutefeacuterentiel R galileacuteen

Dans le cas de deux masses en interaction nous avons montreacute que la vitesse du centrede masse par rapport agrave R est constante Le reacutefeacuterentiel du centre de masse est doncen translation rectiligne uniforme par rapport agrave R crsquoest par conseacutequent un reacutefeacuterentielgalileacuteen

Lrsquoorigine eacutetant prise sur G il est clair que la vitesse de G dans Rlowast est nulle

22 Deacutefinition des eacuteleacutements cineacutetiques dans Rlowast

Les eacuteleacutements cineacutetiques que nous venons de deacutefinir dans R peuvent ecirctre deacutefinis dans RlowastNous allons voir en effet que le mouvement des masses m1 et m2 est plus facile agrave eacutetudierdans Rlowast que dans R Nous travaillons donc dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen Rlowast (G x y z) et unasteacuterisque indiquera que les grandeurs sont calculeacutees dans ce reacutefeacuterentiel

a) Quantiteacute de mouvement

Dans Rlowast la quantiteacute de mouvement totale est nulle puisque la vitesse du centre de masseG est nulle On a donc

m1minusrarrv lowast

1 + m2minusrarrv lowast

2 =minusrarr0

b) Eacutenergie cineacutetique

Lrsquoeacutenergie cineacutetique dans Rlowast est eacutegale agrave la somme des eacutenergies cineacutetiques des masses m1 etm2 dans Rlowast On a donc

Elowastc =

m1vlowast21 +

m2vlowast22

c) Moment cineacutetique

Dans Rlowast le moment cineacutetique par rapport agrave G du systegraveme est par deacutefinition

minusrarrL lowast =

minusminusrarrGM1 and m1

minusrarrv lowast1 +

minusrarrv lowast2

Posons minusrarrr =minusminusminusrarrM1M2 et en utilisant la relation m1

minusrarrv lowast1 = minusm2

minusrarrv lowast2

minusrarrL lowast = (

minusminusminusrarrminusGM1 +minusrarrGM2) and m2

minusrarrv lowast2 =

minusminusminusrarrM1M2 and m2

minusrarrv lowast2 = minusrarrr and m2

minusrarrv lowast2 = minusminusrarrr and m1

minusrarrv lowast1

Remarquons que nous venons drsquoexprimer le moment cineacutetique du systegraveme en fonction dela distance r qui seacutepare les deux masses M1 et M2

23 Masse reacuteduitea) Deacutefinition

Pour deacutefinir la notion de masse reacuteduite nous allons deacuteterminer lrsquoexpression de la vitessede la masse m2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique Rlowast Nous utilisons la loi de compositionde vitesse qui nous permet drsquoeacutecrire que

minusrarrv 2 = minusrarrv lowast2 + minusrarrv GR

avec minusrarrv GR =

m1minusrarrv 1 + m2

minusrarrv 2

m1 + m2

Nous obtenons donc minusrarrv lowast

2 = minusrarrv 2 minusm1

m1 + m2

soitminusrarrv lowast

2 =m1(minusrarrv 2 minusminusrarrv 1

)m1 + m2

Le terme minusrarrv = minusrarrv 2 minus minusrarrv 1 apparaissant dans cette derniegravere expression nrsquoest rien drsquoautreque la vitesse de M2 par rapport agrave M1

m1 + m2

minusrarrv

On remarquera que la vitesse de M2 par rapport agrave M1 est donneacutee par

minusrarrv = minusrarrv 2 minusminusrarrv 1 =dminusminusrarrOM2

dtminus d

minusminusrarrOM1

d(minusminusrarrOM2 minus

minusminusrarrOM1)

soitminusrarrv =

dminusminusminusrarrM1M2

dminusrarrrdt

La quantiteacute de mouvement de la masse M2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique srsquoexprimealors sous la forme suivante

minusrarrp lowast

2 = m2minusrarrv lowast

2 =m1m2

m1 + m2

minusrarrv = minusminusrarrp lowast

Le coefficient qui apparaicirct devant le vecteur vitesse minusrarrv et qui est homogegravene agrave une masseest appeleacute masse reacuteduite du systegraveme

DeacutefinitionOn appelle masse reacuteduite drsquoun systegraveme de deux masses m1 et m2 la masse m eacutegale agrave

m =m1m2

m1 + m2ou

b) Expression des eacuteleacutements cineacutetiques en fonction de la masse reacuteduite

Les eacuteleacutements cineacutetiques du systegraveme m1 m2 peuvent srsquoexprimer de faccedilon concise en fonc-tion de la masse reacuteduite du systegraveme Nous avons en effet

minusrarrp lowast

2 = mminusrarrvminusrarrp lowast

1 = minusm2minusrarrv lowast

2 = minusmminusrarrvminusrarrL lowast = minusrarrr and m2

minusrarrv lowast2 = mminusrarrr and minusrarrv

Dans le reacutefeacuterentiel du centre de masse lrsquoeacutenergie cineacutetique Ec est la somme des eacutenergiescineacutetiques de chacune des deux masses soit

Elowastc =

m1vlowast21 +

m2vlowast22

Si lrsquoon remplace minusrarrv lowast1 et minusrarrv lowast

2 par leur expression en fonction de minusrarrv on a alors

Elowastc =

(minusmminusrarrv

(mminusrarrvm2

soitElowast

mv2 (93)

Le tableau 91 reacutecapitule les expressions en fonction de la masse reacuteduite m = m1m2m1+m2

et dela vitesse relative minusrarrv de M2par rapport agrave M1 des eacuteleacutements cineacutetiques dans le reacutefeacuterentieldu centre de masse

Quantiteacute de mouvement de M2minusrarrp lowast

2 = mminusrarrvQuantiteacute de mouvement de M1

minusrarrp lowast

1 = minusmminusrarrvQuantiteacute de mouvement totale minusrarr

p lowast =minusrarr0

Moment cineacutetiqueminusrarrL lowast = mminusrarrr and minusrarrv

Energie cineacutetique Elowastc = 1

2 m1vlowast21 + 1

2 m2vlowast22 = 1

Tableau 91 bull Eleacutements cineacutetiques drsquoun systegraveme agrave deux corps exprimeacutes dansle reacutefeacuterentiel barycentrique

3 RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE

31 Principe fondamental de la dynamique dans Rlowast

Le reacutefeacuterentiel Rlowast est un reacutefeacuterentiel galileacuteenIl est donc possible drsquoy appliquer la relationfondamentale de la dynamique sans se preacuteoccuper drsquoeacuteventuelles forces drsquoinertie Cetterelation peut srsquoappliquer tout aussi bien agrave la masse m1 qursquoagrave la masse m2 Nous avons donc

m1minusrarra M1Rlowast = m1

d2 minusminusrarrGM1

)Rlowast

=summinusrarr

F ext =minusrarrF M2rarrM1 =

minusrarrF 1

)Rlowast

=summinusrarr

minusrarrF 2

1Frarr

2Frarr

Figure 93 bull Interaction entre deux masses m1 et m2

Les deux masses eacutetant en interaction les actions mutuelles qursquoelles subissent sont oppo-seacutees ce qui conduit agrave

m1d2 minusrarrr 1

)Rlowast

=minusrarrF 1 m2

d2 minusrarrr 2

)Rlowast

=minusrarrF 2 = minusminusrarr

avec minusrarrr 1 =minusminusrarrGM1 et minusrarrr 2 =

minusminusrarrGM2

Nous obtenons ainsi deux eacutequations diffeacuterentielles du mouvement de ces deux massesNous allons voir dans le paragraphe suivant que ces deux eacutequations peuvent se combinerentre elles pour conduire agrave une eacutequation unique faisant intervenir la masse reacuteduite dusystegraveme

32 Eacutequation maicirctresseLes deux eacutequations que nous venons drsquoeacutecrire peuvent ecirctre soit additionneacutees soit sous-traites Par addition nous obtenons la relation suivante

m1d2 minusrarrr 1

d t2+ m2

d2 minusrarrr 2

minusrarr0 rArr d2(m1

minusrarrr 1 + m2minusrarrr 2)

minusrarr0

Cette eacutequation est valide en particulier dans le reacutefeacuterentiel barycentrique et plus geacuteneacutera-lement dans tout reacutefeacuterentiel galileacuteen En inteacutegrant une premiegravere fois cette relation nous

aboutissons agrave

m1dminusrarrr 1

d t+ m2

dminusrarrr 2

d t= minusrarrcste (94)

ce qui montre en utilisant (91) que le centre de masse a un mouvement rectiligne uni-forme par rapport au reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude Si lrsquoon fait le choix explicite (comme nous lefaisons ici) de se placer dans le reacutefeacuterentiel barycentrique la constante est nulle puisqueminusrarrv GRlowast =

minusrarr0 On retouve bien alors le fait que dans Rlowast la quantiteacute de mouvement de la

masse m1 est opposeacutee agrave celle de la masse m2 Une nouvelle inteacutegration conduit ensuite agravela relation de deacutefinition du centre de masse agrave savoir

m1minusrarrr 1 + m2

minusrarrr 2 =minusrarr0 rArr m1

minusrarrr 1 = minusm2minusrarrr 2

M1rsquo

M1rsquorsquo

M2rsquorsquo

M2rsquo

Figure 94 bull Trajectoire des centres drsquoinerties M1 et M2

Remarquons que par le biais de cette relation la connaissance de la position de la masse m1entraicircne ipso facto celle de la position de m2 On dit que les masses deacutecrivent des trajectoireshomotheacutetiques de rapport m1m2 ce que montre la figure 94

Par multiplication de chaque eacutequation de la relation fondamentale de la dynamique parla masse de lrsquoautre objet et soustraction des deux eacutequations nous obtenons

m1m2d2minusrarrr 2

dt2minus m1m2

d2minusrarrr 1

dt2= m2

minusrarrF 2 minus m1

minusrarrF 1

Or drsquoapregraves le principe des actions reacuteciproquesminusrarrF 1 = minusminusrarr

F 2 ce qui conduit agrave

m1m2d2(minusrarrr 2 minusminusrarrr 1)

dt2= m2

minusrarrF 2 + m1

minusrarrF 2 = (m1 + m2)

minusrarrF 2

Il srsquoensuit que

m1m2d2(

minusminusrarrGM2 minus

minusminusrarrGM1)

dt2= m1m2

d2minusminusminusrarrM1M2

dt2= (m1 + m2)

minusrarrF 2

ce qui conduit apregraves introduction de la variable minusrarrr =minusminusminusrarrM1M2 et de la masse reacuteduite m du

systegraveme agrave

md2minusrarrrdt2

=minusrarrF 2

Cette eacutequation est lrsquoeacutequation maicirctresse du mouvement

33 Conservation du moment cineacutetique

Lrsquoeacutequation fondamentale de la dynamique est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour traduire le mou-vement de translation du systegraveme Une grandeur tregraves utile pour appreacutehender le mouve-ment de rotation est le moment cineacutetique Nous avons vu en (92) que dans Rlowast lrsquoexpres-sion du moment cineacutetique est donneacutee par

Llowast = mminusrarrr and minusrarrv

La deacuteriveacutee du moment cineacutetique du systegraveme srsquoeacutecrit dans Rlowast

dminusrarrLlowast

dminusrarrrdt

and minusrarrv + mminusrarrr and dminusrarrvdt

= mminusrarrv and minusrarrv + mminusrarrr and dminusrarrvdt

2F21MMr =

Figure 95 bull Illustration drsquouneforce centrale le vecteur force est

colineacuteaire au rayon vecteurminusminusminusrarrM1M2

On obtient ainsi

dminusrarrLlowast

dt= mminusrarrr and dminusrarrv

ce qui apregraves utilisation de lrsquoeacutequation maicirctresseconduit agrave

dminusrarrLlowast

dt= minusrarrr and m

dminusrarrvdt

= minusrarrr and minusrarrF 2

La force est la force drsquointeraction en prove-nance de M1 qui agit sur M2 Sa droite drsquoac-tion a donc pour support le vecteur

minusminusminusrarrM1M2 ce

qui montre que la force est colineacuteaire agrave minusrarrr Ondit que la force est centrale

a) Deacutefinition

On appelle force centrale une force dont la droite drsquoaction passe par lrsquoorigine du rayon vecteur minusrarrr

Il en reacutesulte que la deacuteriveacutee du moment cineacutetique du systegraveme dminusrarrLlowast

dt = minusrarrr andminusrarrF 2 est nulle dans

Rlowast ce qui montre que le moment cineacutetique du systegraveme est constant au cours du temps

b) Theacuteoregraveme de la force centrale

Dans un mouvement agrave force centrale il y a conservation du moment cineacutetique

La conservation du moment cineacutetique est tregraves importante car elle conditionne la naturede la trajectoire du systegraveme En effet le moment cineacutetique est un vecteur qui est agrave la foisperpendiculaire agrave minusrarrr et agrave minusrarrv crsquoest-agrave-dire perpendiculaire au plan deacutefini par les vecteurs minusrarrret minusrarrv Or ce vecteur est constant crsquoest-agrave-dire qursquoil conserve au cours du mouvement unedirection un sens et un module fixes Il en reacutesulte que quel que soit lrsquoinstant t consideacutereacuteles vecteurs minusrarrr et minusrarrv qui sont coplanaires sont perpendiculaires agrave une direction constantecelle du moment cineacutetique Or les vecteurs minusrarrr et minusrarrv deacutefinissent la trajectoire des points M1et M2 On en conclut donc que

Pour un mouvement agrave force centrale la trajectoire est contenue dans un plan per-pendiculaire au vecteur moment cineacutetique constant

M1rsquo

M2rsquo

Figure 96 bull La trajectoire de M1 et M2 est dans un plan perpendiculaireau moment cineacutetique L exprimeacute dans le reacutefeacuterentiel barycentrique

34 Reacuteduction du systegraveme agrave 2 corps masse reacuteduite ou masse fictiveNous avons vu que le mouvement des deux masses est un mouvement plan pour lequel ily a conservation du moment cineacutetique Le mouvement est caracteacuteriseacute dans le reacutefeacuterentielbarycentrique par les eacuteleacutements cineacutetiques suivants

minusrarrp lowast

2 = mminusrarrv = minusminusrarrp lowast

1minusrarrLlowast = mminusrarrr and minusrarrv

md2minusrarrrdt2

= minusminusrarrF 1 =

minusrarrF 2

ElowastC =

Le mouvement des deux masses M1 et M2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique est deacuteter-mineacute par la connaissance en fonction du temps des vecteurs positions minusrarrr 1 =

minusminusrarrGM1 et

minusrarrr 2 =minusminusrarrGM2 Pour cela il suffit de deacuteterminer le vecteur minusrarrr =

minusminusminusrarrM1M2 On constate alors que

le problegraveme se reacutesume agrave lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point mateacuteriel fictif M de masse m re-peacutereacute dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen (muni drsquoune origine O) par le vecteur position minusrarrr =

minusrarrOM

se deacuteplaccedilant agrave la vitesse dminusrarrrdt = minusrarrv et subissant une force centrale

minusrarrf =

minusrarrF 2 Cela signifie

que le problegraveme agrave deux corps a eacuteteacute reacuteduit agrave un problegraveme agrave un seul corps de masse m appeleacutemasse reacuteduite du systegraveme(figure 97)

21MMr ==

Figure 97 bull Systegraveme agrave deux corps eacutequivalent agrave un systegraveme agrave un corpsde masse m soumis agrave une force centrale

Remarques

bull Le fait que le point fictif M soit soumis agrave la forceminusrarrF 2 vient du choix des grandeurs

relatives minusrarrr = minusrarrr 2 minus minusrarrr 1 et minusrarrv = minusrarrv 2 minus minusrarrv 1(vitesse de M2 par rapport agrave M1) Le choixcontraire (minusrarrr = minusrarrr 1 minus minusrarrr 2) neacutecessiterait lrsquoapplication de la force

minusrarrF 1 sur la particule

fictive M Il faut donc bien preacuteciser les notations choisiesbull Pour connaicirctre la trajectoire des deux masses reacuteelles m1 et m2 il suffit drsquoappliquer les

homotheacuteties suivantes minusrarrr 1 = minusmminusrarrr m1 et minusrarrr 2 = mminusrarrr m2bull Lorsque le systegraveme est constitueacute de deux masses de mecircme ordre de grandeur il est

impeacuteratif drsquoutiliser le formalisme preacuteceacutedent pour eacutetudier le mouvement bull Lorsque lrsquoune des deux masses est beaucoup plus grande que lrsquoautre (m1 m2) le

barycentre du systegraveme se trouve au centre de la masse la plus grande ce qui conduit agraver1 = 0 et r2 = r La plus grosse masse est alors immobile et le systegraveme se reacuteduit agrave lamasse la plus faible (m = m2)

Exemples

bull Eacutetude drsquoun satellite de la Terre m1 = MT m2 = msatellite Le centre drsquoinertie dusystegraveme Terre satellite est au centre de la Terre Dans le reacutefeacuterentiel barycentrique(qui correspond donc au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique) la Terre est immobile et le satelliteest en mouvement par rapport agrave la Terre La masse reacuteduite est la masse du satellite etla force est la force de gravitation qursquoexerce la Terre sur le satellite

bull Eacutetoiles doubles cas ougrave 2 eacutetoiles sont suffisamment proches pour interagir Leur masseeacutetant eacutequivalente il faut utiliser le formalisme de la masse reacuteduite On constate alorsque les deux astres tourne autour de leur centre drsquoinertie

4 PROPRIEacuteTEacuteS DU MOUVEMENT

41 Loi des aires

La conservation du moment cineacutetique des deux masses permet de deacutefinir une proprieacuteteacutenouvelle du mouvement Nous eacutetudions maintenant le mouvement du point mateacuteriel fictifM affecteacute de la masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y z t) avec comme base drsquoeacutetudela base mobile (minusrarru r

minusrarru uminusrarru z) comme lrsquoindique la figure 98

csteL =

rarrrarr

Figure 98 bull Mouvement de la masse reacuteduite dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen (O x y z t)

En appliquant le theacuteoregraveme du vecteur unitaire tournant il est facile de voir que la vitessedu point M est donneacutee par

minusrarrv =dminusminusminusrarrM1M2

d rminusrarru r

d t= rminusrarru r + ruminusrarru u (95)

Le moment cineacutetique du systegraveme est donc eacutegal agrave minusrarrL = minusrarrr and mminusrarrv M2M1 = rminusrarru r and m(rminusrarru r + ruminusrarru u)minusrarrL = mr2u

minusrarrk

Nous avons montreacute que ce moment est constant ce qui entraicircne que la quantiteacute

r2u =Lm

est constante La constante C est appeleacutee constante des aires En effet elle a une signi-fication geacuteomeacutetrique lieacutee agrave lrsquoaire balayeacutee par le point M au cours de son mouvement Lafigure 99 met en eacutevidence que cette quantiteacute repreacutesente deux fois lrsquoaire balayeacutee par uniteacutede temps par le point M entre les instants t et t + d t On a ainsi

C = r2 d u

d t= 2

d Ad t

M prime

(t+dt)

Trajectoire

Figure 99 bull Lrsquoaire eacuteleacutementaire dA balayeacutee par le rayon OM pendant la dureacuteedt est assimilable agrave lrsquoaire du triangle OMMprime qui est eacutegale agrave

12 (OMprime)(MH) = 1

2 (r + dr)rdu Au premier ordre par rapport aux infinimentpetits dr et du (grossis volontairement sur le scheacutema) on obtient 1

2 r2du Celarevient agrave neacutegliger la surface du triangle HMMprime devant celle du triangle OMH

Lrsquoaire eacuteleacutementaire d Ad t balayeacutee par le point M est constante au cours du temps lrsquoairetotale balayeacutee par le point M varie donc lineacuteairement dans le temps

42 Eacutenergie meacutecaniqueNous avons deacutefini au chapitre 7 lrsquoeacutenergie potentielle de deux masses m2 et m1 en interac-tion gravitationnelle Lorsque le zeacutero de lrsquoeacutenergie potentielle est pris agrave lrsquoinfini lrsquoexpressionde lrsquoeacutenergie potentielle est donneacutee par

EP = minusGm1m2

Nous avons vu en (93) que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme est EC = 12 mv2 Lrsquoeacutenergie

meacutecanique E du systegraveme des deux masses en interaction est donc

E = EC + EP =12

mv2 minus Gm1m2

rLa vitesse du point M2 est eacutegale agrave minusrarrv = rminusrarru r + ruminusrarru u (95) ce qui conduit agrave v2 = r2 + r2u2

Il en reacutesulte que lrsquoeacutenergie meacutecanique du systegraveme srsquoeacutecrit

E = EC + EP =12

m(r2 + r2u2) minus Gm1m2

rLe mouvement est reacutegi par la loi des aires En utilisant la relation C = ru2 on obtientlrsquoexpression suivante

E = EC + EP =12

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

rLe systegraveme est meacutecaniquement isoleacute ce qui impose que lrsquoeacutenergie meacutecanique du systegravemesoit constante Nous avons donc

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 + EPeff

Nous venons de faire apparaicirctre dans lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique une eacutenergiepotentielle dite eacutenergie potentielle effective qui ne deacutepend que de r et qui srsquoeacutecrit

EPeff =12

r2 minus Gm1m2

rCette eacutenergie dont une partie provient de lrsquoeacutenergie cineacutetique possegravede des proprieacuteteacutesremarquables quant agrave lrsquointerpreacutetation du mouvement du systegraveme

43 Eacutetude de lrsquoeacutenergie potentielle effectiveLrsquoeacutenergie potentielle effective est constitueacutee de la somme de deux termes de signes op-poseacutes Le premier terme positif domine aux petits r alors que le second neacutegatif dominelorsque r devient grand La somme de ces deux termes antagonistes est repreacutesenteacutee sur lafigure 910 On peut voir que lrsquoeacutenergie potentielle effective passe par un minimum qui cor-respond agrave lrsquoannulation de la deacuteriveacutee de lrsquoeacutenergie potentielle effective pour r = r0 = mC2

000 002 004 006 008 010 012 014-8

Figure 910 bull Diagramme drsquoeacutenergie pour un systegraveme de deux masses en interaction

44 Eacutetats lieacutes et eacutetats de diffusion

Lrsquoeacutenergie potentielle effective est un excellent outil pour appreacutehender la nature de la tra-jectoire des deux objets En effet le systegraveme est conservatif ce qui signifie que son eacutenergiemeacutecanique E est constante Or lrsquoeacutenergie meacutecanique est la somme de lrsquoeacutenergie potentielleeffective et drsquoun terme relatif agrave lrsquoeacutenergie cineacutetique de la masse m qui doit neacutecessairementecirctre positif On peut traduire cette condition de la faccedilon suivante

mr2 = E minus EPeff gt 0

Il en reacutesulte que lrsquoeacutenergie meacutecanique du systegraveme doit rester supeacuterieure agrave son eacutenergie po-tentielle effective Cette condition deacutefinit les eacutetats possibles du systegraveme La figure 911 re-preacutesente lrsquoallure de lrsquoenergie potentielle effective et deux valeurs de lrsquoeacutenergie meacutecaniqueElle fait apparaicirctre que trois cas sont agrave distinguer selon la valeur prise par E (valeur quine deacutepend que des conditions initiales du mouvement)

bull E gt 0 le systegraveme peut se deacuteplacer entre une valeur limite rmin et lrsquoinfini On dit quelrsquoon a affaire agrave un eacutetat de diffusion car le systegraveme nrsquoa qursquoune limite imposeacutee

bull E lt 0 le systegraveme est astreint pour maintenir la condition E gt EPeff agrave se deacuteplacerentre deux positions rmin et rmax On dit pour cette raison que lrsquoeacutetat du systegraveme est uneacutetat lieacute Quand E = EPeff (r = r0) r ne peut prendre que la valeur r0 La masse m deacutecritdonc un cercle

bull E = 0 crsquoest un eacutetat intermeacutediaire entre les deux eacutetats preacuteceacutedents Il correspond agrave lacondition de passage entre lrsquoeacutetat lieacute et lrsquoeacutetat de diffusion et donc agrave la libeacuteration de lrsquoeacutetatlieacute

000 003 006 009 012

Eacutetat lieacute

Eacutetat de diffusion

000 003 006 009 012

Figure 911 bull Eacutetat de diffusion et eacutetat lieacute

Encart 91 Eacutetats lieacutes et vitesse de libeacuterationLrsquoeacutetude preacuteceacutedente est particuliegraverement utile en meacutecanique ceacuteleste car elle montreque selon lrsquoeacutenergie du systegraveme le comportement de deux masses en interaction gra-vitationnelle peut ecirctre tregraves diffeacuterent En effet consideacuterons le cas drsquoune masse m eninteraction avec une masse M m Si lrsquoeacutenergie du systegraveme est positive (figure 912)lrsquoeacutenergie cineacutetique preacutedomine sur lrsquoeacutenergie potentielle et la masse m qui approche deM ne pourra ecirctre que deacutevieacutee par le champ de gravitation de cette derniegravere Apregraves deacute-viation de la trajectoire au voisinage de M la masse m va continuer son chemin danslrsquoespace interstellaire Crsquoest le cas de lrsquoeacutetat de diffusion

m Frarr

Figure 912 bull E gt 0 Lrsquoeacutenergie cineacutetique de la masse m est suffisante pourqursquoelle puisse quitter lrsquoattraction de la masse M Sa trajectoire est incurveacutee par

lrsquoaction de M

Si lrsquoeacutenergie est neacutegative (figure 913) cela signifie que lrsquoeacutenergie cineacutetique ne preacutedo-mine pas La masse m est pieacutegeacutee par son eacutenergie potentielle Elle est alors contraintede se maintenir en orbite autour de M

Figure 913 bull E lt 0 La masse m est pieacutegeacutee par son eacutenergie potentielle

Le cas E = 0 est aussi particuliegraverement inteacuteressant Consideacuterons une fuseacutee agrave laquelleon communique de lrsquoeacutenergie cineacutetique Ec au deacutecollage Selon la valeur de Ec la fuseacuteepourra quitter agrave jamais lrsquoattraction de la Terre ou bien rester indeacutefiniment en orbiteautour de cette derniegravere Le cas limite est E = 0 crsquoest-agrave-dire Ec + Ep = 0 On a alors

mv2l minus

La vitesse limite vl qui permet de quitter lrsquoattraction terrestre est

vl = 2

radic2GMT

Cette vitesse limite est appeleacutee vitesse de libeacuteration

Application numeacuterique vl = 11 kmsminus1

Agrave RETENIR

On appelle centre de masse ou centre drsquoinertie ou encore centre de graviteacute ou barycentre drsquounsystegraveme de deux masses m1 et m2 le point G dont la position est deacutefinie par

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

On appelle reacutefeacuterentiel du centre de masse ou reacutefeacuterentiel barycentrique un reacutefeacuterentiel noteacute Rlowast

centreacute sur le centre de masse G du systegraveme et qui se deacuteplace en translation par rapportau reacutefeacuterentiel R galileacuteen

On appelle masse reacuteduite drsquoun systegraveme de deux masses m1 et m2 la masse m eacutegale agrave

m =m1m2

m1 + m2ou

Lrsquoeacutetude dans le reacutefeacuterentiel barycentrique Rlowast du mouvement de deux corps en inter-action gravitationelle distants de r peut se reacuteduire formellement au mouvement drsquouncorps unique M fictif de masse m dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen muni drsquoune origineO dont la position est repeacutereacutee par le vecteur minusrarrr =

minusrarrOM correspondant au vecteur

minusminusminusrarrM1M2et subissant la force

minusrarrF =

minusrarrF2 (action de M1 sur M2) Dans ces conditions le

vecteur vitesse de la particule fictive minusrarrv = drdt corespond agrave la vitesse relative de M2 par

rapport agrave M1

Les eacuteleacutements cineacutetiques dans le reacutefeacuterentiel barycentrique sont

1 = minusmminusrarrv

2 = mminusrarrv

Quantiteacute de mouvement totale minusrarrp lowast =

minusrarr0

Eacutenergie cineacutetique Elowastc = 1

2 m1vlowast21 + 1

2 m2vlowast22 = 1

Lrsquoeacutequation du mouvement de la masse m appeleacutee eacutequation maicirctresse du mouvementest

md2 minusrarrrd t2

minusrarrF 2

Theacuteoregraveme de la force centrale Dans un mouvement agrave force centrale il y a conservation dumoment cineacutetique et la trajectoire est contenue dans un plan qui est perpendiculaire au vecteurmoment cineacutetique

Lrsquoaire eacuteleacutementaire d Ad t balayeacutee par le rayon vecteur minusrarrr est constante au cours dutemps

C = r2 d u

d t= 2

d Ad t

Lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme agrave deux corps srsquoeacutecrit

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 + EPeff

La valeur de lrsquoeacutenergie du systegraveme des deux corps deacutefinit lrsquoeacutetat du systegraveme on dis-tingue les eacutetats suivants

bull lrsquoeacutetat lieacute si E lt 0 (les masses sont pieacutegeacutees dans le puits de potentiel) bull lrsquoeacutetat de diffusion si E gt 0 (les deux masses peuvent srsquoeacuteloigner agrave lrsquoinfini lrsquoune de lrsquoautre) bull lrsquoeacutetat de libeacuteration si E = 0 (crsquoest la limite entre les deux eacutetats preacuteceacutedents)

Mouvement drsquoun satellite artificiel autour de la Terre

bull Donneacutees numeacuteriques bull Masse de la Terre MT = 61024 kgbull Rayon de la Terre RT = 6 400 kmbull Constante de gravitation universelle G = 6 6710minus11 Nm2kgminus2

bull Peacuteriode de rotation de la Terre (dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique) To = 86 164 s

La Terre de masse MT et de centre O origine du reacutefeacuterentiel geacuteocentrique (R) gali-leacuteen a une reacutepartition de masse agrave symeacutetrie spheacuterique Un satellite assimileacute agrave un pointmateacuteriel S de masse m (m MT) est animeacutee dans (R) drsquoune vitesse minusrarrv On note rla distance agrave O du point S et on pose

minusrarrOS = rminusrarru Il subit uniquement la force de

gravitation exerceacutee par la Terre

I Force de gravitation et moment cineacutetique

1) Repreacutesenter sur un scheacutema la force de gravitation exerceacutee par la Terre sur le satelliteet donner lrsquoexpression vectorielle de cette force

minusrarrF (r)

2) Moment cineacutetique

a) Donner lrsquoexpression du moment cineacutetiqueminusrarrL o par rapport au point O de la

masse mb) Deacutemontrer la relation (theacuteoregraveme du moment cineacutetique)

dminusrarrL o

minusrarrMo(

minusrarrF ) =

minusrarrOS and minusrarr

c) Comment nomme-t-on la grandeurminusrarrMo(

minusrarrF ) Donner sa valeur dans le cas preacute-

sentd) En deacuteduire que le moment cineacutetique

minusrarrL o est constant au cours du temps et que

le mouvement du satellite srsquoeffectue donc dans un plan contenant le centre desforces O et perpendiculaire au moment cineacutetique

minusrarrL o

Dans la suite on utilisera la base cylindrique (minusrarru minusrarru uminusrarru z) avec minusrarru z vecteur unitaire suivant

la direction et le sens du moment cineacutetiqueminusrarrL o = Lo

minusrarru z et (minusrarru minusrarru u) base polaire dansle plan du mouvement Le point S est repeacutereacute par ses coordonneacutees polaires r et u

II Eacutetude du mouvement du satellite

Le satellite est sur une orbite circulaire autour de la Terre agrave lrsquoaltitude h

1) Deacutefinir le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique Est-il galileacuteen pour lrsquoeacutetude du mouvement dusatellite

2) Montrer par les 3 diffeacuterentes meacutethodes suivantes que le mouvement est uniforme

a) En exprimant le travail eacuteleacutementaire dW de la force de gravitation au cours drsquoundeacuteplacement eacuteleacutementaire d

minusrarrl entre les instant t et t + dt et en appliquant le

theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique entre ces instantsb) En utilisant la deacutefinition du moment cineacutetique Lo qui est une grandeur

constante au cours du mouvement (voir I2d)c) En exprimant le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra en coordonneacutees polaires et en appli-

quant le principe fondamental de la dynamique montrer alors que lrsquoacceacuteleacutera-tion angulaire u est nulle Donner lrsquoexpression de la vitesse v en coordonneacuteespolaires et montrer que v est constant

3) Agrave partir du principe fondamental de la dynamique (voir 2c) deacuteterminer la relationentre la vitesse angulaire u et la distance r = RT + h entre le satellite et le centre de laTerre En deacuteduire alors la vitesse v du satellite en fonction de G MT RT et h

4) Le satellite SPOT (Satellite Speacutecialiseacute dans lrsquoObservation de la Terre) lanceacute en1986 eacutevolue agrave lrsquoaltitude h = 832 km Deacuteterminer sa peacuteriode de reacutevolution T Est-ilgeacuteostationnaire Justifier

5) La 3egraveme loi de Keacutepler indique que le carreacute de la peacuteriode T de reacutevolution drsquoun satel-lite est proportionnel au cube du rayon r de son orbite Quelle est lrsquoexpression litteacuteralede la constante de proportionnaliteacute apparaissant dans cette loi pour un satellite enorbite terrestre

6) En utilisant cette 3egraveme loi de Keacutepler deacuteterminer la valeur de lrsquoaltitude drsquoun satellitegeacuteostationnaire

III Vitesse drsquoeacutevasion drsquoun satellite

1) Montrer que la forceminusrarrF (r) exerceacutee par la Terre sur le satellite en orbite circulaire est

une force centrale qui deacuterive drsquoune eacutenergie potentielle Ep telle que EP = minusGMTmr

(avec comme origine de lrsquoeacutenergie potentielle celle pour r infini Ep(infin) = 0)

2) Exprimer lrsquoeacutenergie meacutecanique totale du satellite (en fonction de v m G MT RTet h)

3) Deacuteterminer lrsquoexpression de la vitesse drsquoeacutevasion (vitesse de libeacuteration) du satellitepour laquelle lrsquoeacutenergie meacutecanique E srsquoannule Exprimer cette vitesse en fonction de GMT RT et h

Calculer cette vitesse drsquoeacutevasion Ve pour un corps se situant agrave la surface de la Terre

4) Lrsquoeacutenergie cineacutetique moyenne drsquoagitation des moleacutecules de lrsquoatmosphegravere terrestreest de lrsquoordre de Eca = 32 kT ougrave k est la constante de Boltzmann et T la tempeacutera-ture absolue de lrsquoatmosphegravere Calculer cette eacutenergie cineacutetique Eca drsquoagitation pour unetempeacuterature absolue de 300 K avec k = 1 3810minus23 JKminus1

Calculer lrsquoeacutenergie cineacutetique Ece drsquoune moleacutecule de dioxygegravene qui srsquoeacutevaderait de la sur-face terrestre (vitesse Ve)Donneacutees Nombre drsquoAvogadro N = 6 021023 molminus1 et Masse molaire atomique delrsquooxygegravene M(O) = 16 0 gmolminus1

Comparer ces deux eacutenergies cineacutetiques Eca et Ece Que peut-on en deacuteduire

IV Paradoxe

1) En utilisant lrsquoexpression de v obtenue dans la question II3) exprimer lrsquoeacutenergiecineacutetique Ec drsquoun satellite en orbite terrestre en fonction de G MT m et r

2) Exprimer lrsquoeacutenergie meacutecanique totale E du satellite en fonction de G MT m et r

3) Eacutecrire la relation simple entre E et Ec drsquoune part et celle entre E et Ep drsquoautre partSur un mecircme graphe donner lrsquoallure des courbes Ec Ep E en fonction de r

4) Un satellite drsquoobservation eacutevolue sur une orbite circulaire tregraves basse (h = 180 km)ce qui permet de discerner des deacutetails drsquoenviron un megravetre sur la Terre Par suite descollisions avec les moleacutecules de lrsquoair des couches supeacuterieures de lrsquoatmosphegravere le satel-

lite est soumis agrave une force de frottementminusrarrf de norme f

hougrave h repreacutesente lrsquoaltitude

m la masse du satellite v sa vitesse et b une constante valant 10minus8 SI

a) Appliquer le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique et indiquer comment varie lrsquoeacutenergiemeacutecanique E du satellite freineacute par lrsquoatmosphegravere En utilisant la relation simple entreE et Ec indiquer comment varie lrsquoeacutenergie cineacutetique et montrer alors que paradoxale-ment la vitesse du satellite ainsi freineacute augmente

b) La vitesse augmentant cela a pour effet de diminuer le rayon de lrsquoorbite circulaire(voir relation entre v et r du II3)

Soit Dh = Dr la variation drsquoaltitude (en valeur absolue) du satellite apregraves une reacutevo-lution En consideacuterant que cette variation est faible devant la distance r = RT + hmontrer que la variation drsquoeacutenergie meacutecanique peut srsquoeacutecrire

DE = minusGmMT

Exprimer le travail W(minusrarrf ) de la force de frottement au cours drsquoune reacutevolution agrave la

distance r du centre de la Terre

Appliquer le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique et en deacuteduire une valeur approcheacutee deDh = Dr apregraves une reacutevolution (on pourra neacutegliger lrsquoaltitude h devant le rayon RT dela Terre)

SolutionI Force de gravitation et moment cineacutetique

S )(rF

OS = r

Figure 914

1)minusrarrF (r) = minusGMTm

r2minusrarru

a)minusrarrL o =

minusrarrOS and mminusrarrv

b)dminusrarrL o

dminusrarrOS

d tandmminusrarrv +

minusrarrOSand d(mminusrarrv )

d t= minusrarrv andmminusrarrv +

minusrarrOSand mminusrarra =

minusrarr0 +

minusrarrOSandmminusrarra

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la masse m eacutetudieacuteedans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique galileacuteen et sachant que lrsquounique force est

minusrarrF (r)

on obtient mminusrarra =minusrarrF (r) et donc

dminusrarrL o

minusrarrMo(

minusrarrF ) =

F (theacuteoregraveme du

moment cineacutetique)

c)minusrarrMo(

minusrarrF ) est le moment de

minusrarrF (r) par rapport au point O Dans le cas preacutesent

la force a la mecircme direction que le vecteurminusrarrOS et donc le moment est nul

(minusrarrMo(

minusrarrF ) =

minusrarr0 )

d)dminusrarrL o

L o =minusrarrOS and mminusrarrv =vecteur constant Agrave tout instant

minusrarrOS et minusrarrv

sont des vecteurs perpendiculaires agrave un vecteur constantminusrarrL o Donc O S et minusrarrv

reste dans un mecircme plan (contenant le centre des forces O et perpendiculaireau moment cineacutetique

minusrarrL o)

minusrarrL o est constant au cours du temps et le mouvement

du satellite srsquoeffectue donc dans un plan contenant le centre des forces O etperpendiculaire au moment cineacutetique

minusrarrL o

1) Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique origine le centre de la Terre et trois directions restantfixes par rapport au reacutefeacuterentiel de Copernic Le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique (R) est doncen translation circulaire uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen de Copernic etnrsquoest donc pas rigoureusement galileacuteen Cependant pour lrsquoeacutetude du mouvement dusatellite il peut ecirctre consideacutereacute comme galileacuteen

a) dW =minusrarrF (r) d

minusrarrl Sur lrsquoorbite circulaire la force de gravitation

minusrarrF (r) = minusGMTm

r2minusrarru

est normale agrave la trajectoire alors que le deacuteplacement eacuteleacutementaire dminusrarrl = dlminusrarru u

est tangent agrave la trajectoire On a donc dW =minusrarrF (r) d

minusrarrl = 0

En appliquant le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique entre les instant t et t + dton a dW = d Ec = 0 Lrsquoeacutenergie cineacutetique ne varie pas donc la valeur de la vitesse estconstante et le mouvement est uniforme

b)minusrarrL o =

minusrarrOS and mminusrarrv Sur une orbite circulaire de rayon r = OS = constante

minusrarrOS

(normale agrave la trajectoire) et minusrarrv (tangent agrave la trajectoire) sont 2 vecteurs ortho-

gonaux On obtient donc ∥∥∥minusrarrL o

∥∥∥ = OSmv = mrv Le moment cineacutetique Lo est

une grandeur constante au cours du mouvement donc mrv = constante soit v =constante et le mouvement est uniforme

c) Le vecteur acceacuteleacuteration dans le cas drsquoun mouvement circulaire a pour expres-sion minusrarra = minusru2minusrarru + ruminusrarru u

En appliquant le principe fondamental de la dynamique on obtient

r2minusrarru = mminusrarra = minusmru2minusrarru + mruminusrarru u

La composante tangentielle de lrsquoacceacuteleacuteration (suivant minusrarru u) est donc nulle Celaimplique que lrsquoacceacuteleacuteration angulaire u est nulle et que la vitesse angulaireu = v est constante Le mouvement est uniformeOn a minusrarrv = ruminusrarru u crsquoest-agrave-dire v = ru = rv Le rayon r et la vitesse angulaireu = v eacutetant constant v est constant

3) drsquoapregraves la reacuteponse preacuteceacutedente on a minusrarrF (r) = minusGMTm

r2minusrarru = minusmru2minusrarru = minusmv2

rminusrarru

On en tire la relation GMTmr2 =

rrArr v2 = GMT

rrArr v =

radicGMT

r=radicG MT

RT + h4) Le satellite SPOT eacutevolue agrave lrsquoaltitude h = 832 km Sa peacuteriode de reacutevolution T est

donneacutee par le temps mis pour faire un tour crsquoest-agrave-dire T =2pr

v En eacutelevant au carreacute

on obtient T2 = 4p2 r2

v2 = 4p2 r3

GMTrArr T = 2p

radic(RT + h)3

T = 2p

radic(6 400 + 832)3109

66710minus1161024 =6 10842 s = 10181 minutes = 1 h 41rsquo 48rdquo

Le satellite nrsquoest pas geacuteostationnaire En effet un satellite geacuteostationnaire reste fixepar rapport agrave la Terre Il tourne donc avec la mecircme vitesse angulaire que la Terre dansle reacutefeacuterentiel geacuteocentrique et agrave la mecircme peacuteriode To = 86164 s

5) On a T2 = 4p2 r2

v2 = 4p2 r3

GMTrArr T2 =

GMTr3 Lrsquoexpression litteacuterale de la

constante de proportionnaliteacute est donc T2

r3 =4p2

6) Pour le satellite geacuteostationnaire la valeur de lrsquoaltitude sera

r3 = (RT+h)3 =GMTT2

4p2 rArr RT+h =(GMTT2

66710minus1161024(86 164)2

RT + h = 4 222107 m = 42 220 km soit une altitude de 42 220 minus 6 400 = 35 820 km(environ 36 000 km)

1) dW =minusrarrF (r) d rminusrarru = F(r) d r = minusGMTm

r2 d r = minusd(minusGMTm

)= minusd(Ep)

rArr Ep = minusG MTmr + cte

Avec EP(infin) = 0 alors Ep = minusGMTmr

2) E =12

mv2 minus G MTmRT + h

3) E = 0 donne E =12

mv2 minusminusG MTmRT + h

= 0 rArr v =

radic2GMT

(RT + h) Pour un corps agrave la

surface de la Terre (h = 0) on a

Ve =radic

radic266710minus1161024

64106 = 11183 msminus1 = 11 18 kmsminus1

4) Lrsquoeacutenergie cineacutetique drsquoagitation pour T = 300 K est Eca = 32 kT = 6 2110minus21J

Ece =12

mv2 =12

M(O2)N

2M(O)N

21610minus3

6021023 (11183103)2 = 33210minus18 J

On a Eca Ece et donc les moleacutecules de dioxygegravene ne peuvent pas quitter lrsquoattractionde la Terre par agitation thermique

IV Paradoxe

1) Ec =12

mv2 =12GMTm

r2) E = EC + EP = 1

r minus G MTmr = minus 1

3) On constate que E = minus Ec drsquoune part et que E = 12 Ep drsquoautre part

EC =-EP2 =-E

Figure 915

4) a) On a une seule force non conservative Le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecaniquedonne donc DE = W(

minusrarrf ) avec le travail W(

minusrarrf )lt0 puisqursquoil correspond agrave une

force de frottement srsquoopposant au deacuteplacement Lrsquoeacutenergie meacutecanique va doncdiminuer au cours du temps Drsquoapregraves la relation E = minusEc on en deacuteduit quelrsquoeacutenergie cineacutetique va augmenter

b) DE = minusGmMT

[1rminus 1

r + Dr

]= minusGmMT

r(r + Drasymp minusGmMT

Travail de la force de frottement sur une reacutevolution

W(minusrarrf ) = minus2pr

h= minus2p

On a donc

W(minusrarrf ) = minus2p

hmMTG = DE = minusGmMT

2Drr2 rArr Dr =

Dr =4pb(RT + h)2

hasymp 4pbR2

4p10minus8(64106)2

18105 = 286 m

Mouvement drsquoun point mateacuteriel dans un champ de gravitationEacutetude eacutenergeacutetique

On considegravere la Terre de masse MT et de centre O origine du reacutefeacuterentiel geacuteocentriquegalileacuteen (R) On note r la distance agrave O drsquoun point M quelconque de lrsquoespace et onpose

minusrarrOM = rminusrarru Un satellite assimileacute agrave un point mateacuteriel M de masse m (m MT)

est animeacutee dans (R) drsquoune vitesse minusrarrv Il subit uniquement la force de gravitation exerceacuteepar la Terre

minusrarrf (M) = minusK

r2minusrarru (K constante positive)

I Mouvement plan

1) On note G la constante universelle de gravitation Donner lrsquoexpression de K

2) Montrer que le moment cineacutetique par rapport au point O de la masse m minusrarrL o =

minusrarrOM and mminusrarrv reste constante au cours du mouvement En deacuteduire que ce mou-

vement srsquoeffectue dans un plan contenant le centre des forces O et perpendiculaire aumoment cineacutetique

minusrarrL o

minusrarru z et (minusrarru minusrarru u) base polaire dansle plan du mouvement Le point M est repeacutereacute par ses coordonneacutees polaires r et u

3) Moment cineacutetique et constante des aires

a) Exprimer Lo en fonction de r u (ou leurs deacuteriveacutees par rapport au temps) et mb) On deacutefinit laquo la constante des aires raquo du mouvement par C = r2u Justifier le

terme laquo constante des aires raquoc) Les conditions initiales agrave t = 0 du mouvement sont deacutefinies par

r = ro u = uo minusrarrv = vo a = ao avec a = angle que fait minusrarrv avec minusrarru a = (minusrarrv minusrarru )Exprimer Lo en fonction de m ro vo et sin ao et en deacuteduire lrsquoexpression de laconstante C

II Eacutetude eacutenergeacutetique

1) Montrer que la forceminusrarrf deacuterive drsquoune eacutenergie potentielle EP(r) Eacutetablir lrsquoexpression

de cette eacutenergie potentielle en la prenant par convention nulle agrave lrsquoinfini (EP(infin) = 0)2) Deacutefinir lrsquoeacutenergie cineacutetique EC de la masse m Lrsquoexprimer en fonction de r u (ou leursdeacuteriveacutees par rapport au temps) et m En utilisant la deacutefinition de la constante des airesC exprimer lrsquoeacutenergie cineacutetique EC en fonction de m r r et C

3) Deacutefinir lrsquoeacutenergie meacutecanique E Le systegraveme est-il conservatif Que peut-on dire alorsde cette eacutenergie meacutecanique E Montrer que lrsquoeacutenergie meacutecanique E peut se mettre sousla forme

mr2 + Eprime(r) avec Eprime(r) = minusKr

2r2 (eacutenergie potentielle effective)

4) Exprimer lrsquoeacutenergie meacutecanique Eo de lrsquoeacutetat initial (t = 0) en fonction de K m ro vo

III Eacutetude de lrsquoeacutenergie potentielle effective Eprime(r) Eacutetats lieacutes Eacutetats de diffusion

1) Montrer que la fonction Eprime(r) admet un minimum Eprimem pour r = rm Exprimer Eprime

m etrm en fonction de K m ro vo et ao

2) Quelles sont les limites de cette fonction quand r rarr 0 et r rarr infin Tracer lrsquoallure dugraphe Eprime

3) On a E minus Eprime(r) =12

mr2 0 Indiquer les valeurs possibles que peut prendre r si

E 0 Mecircme question si E lt 0 En deacuteduire la condition sur E pour que la masse resteprisonniegravere du centre de force (eacutetats lieacutes) et la condition sur E pour qursquoelle eacutechappe agravelrsquoattraction de O (eacutetats de diffusion)

4) Quelle est la nature du mouvement lorsque E = Eprimem

5) Applications

a) Quelle est en fonction de K m ro la valeur minimale Vom (vitesse de libeacuteration) de vo pour que la masse m eacutechappe au centre de force O (la valeur limite delrsquoeacutenergie est alors E = 0)

b) Vitesse de libeacuteration VLT de la gravitation de la Terre pour un objet se trouvant agrave lasurface de la Terre Exprimer K en fonction de la constante de gravitation

G = 6 6710minus11 Nm2kgminus2 MT = 61024 kg

et la masse m En prenant ro = RT = 6 400 km en deacuteduire lrsquoexpression de VLTen fonction en fonction de G MT et RT (rayon de la terre RT = 6 400 km)Calculer VLTApproche classique du trou noir rayon de Schwarzschild drsquoun astreLe premier postulat de la relativiteacute restreinte impose une limite supeacuterieure agrave lavitesse agrave tout objet v lt c (c = 3108 msminus1 ceacuteleacuteriteacute de la lumiegravere dans le vide)Si la vitesse de libeacuteration drsquoun astre est supeacuterieure ou eacutegale agrave cette limite c alorsrien ne peut srsquoeacutevader de la surface de cet astre y compris la lumiegravere On ditque lrsquoastre est un trou noir Deacuteterminer le rayon R (rayon de Schwarzschild de laTerre) qursquoaurait la Terre si crsquoeacutetait un trou noir

SolutionI Mouvement plan

1)minusrarrf (r) = minusGMm

r2minusrarru = minusK

r2minusrarru rArr K = GMm

2) Principe fondamental de la dynamique minusrarrf = minusK

r2minusrarru = mminusrarra = m

dminusrarrvdt

minusrarrL o =

minusrarrOM and mminusrarrv rArr d

minusrarrL o

dminusrarrOMd t

and mminusrarrv +minusrarrOM and d (mminusrarrv )

d t= (minusrarrv and mminusrarrv ) + (rminusrarru and mminusrarra )

dminusrarrL o

minusrarr0 + rminusrarru and (minusm

Kr2minusrarru ) =

minusrarr0

dminusrarrL o

L o =minusrarrOM and mminusrarrv = vecteur constant

Agrave tout instantminusrarrOM et minusrarrv sont des vecteurs perpendiculaires agrave un vecteur constant

minusrarrL o

Donc O M et minusrarrv reste dans un mecircme plan (contenant le centre des forces O et perpen-diculaire au moment cineacutetique

minusrarrL o)

a)minusrarrL o =

minusrarrOM and mminusrarrv = rminusrarru and m(rminusrarru + ruminusrarru u) = mr2uminusrarru z rArr Lo = mr2u

b) C = r2u = Lom = constante Cette constante est homogegravene agrave une surface paruniteacute de temps En fait la surface balayeacutee par uniteacute de temps par le rayon

minusrarrOM

correspond agrave 2C

c)minusrarrL o = ro

minusrarru and mminusrarrv o = mrovo sin ao rArr C = rovo sin ao

1) dW =minusrarrf (r) d rminusrarru = f (r) d r = = minusGMm

r2 d r = minusd(minusGMm

)= minusd(Ep)

rArr Ep = minusG Mmr + cte Avec EP(infin) = 0 alors Ep = minusGMm

2) EC =12

mv2 =12

m[r2 + r2u2] =

r2 +C2

)3) Lrsquoeacutenergie meacutecanique E = EC + EP =

r2 +C2

)+ minusK

r Le systegraveme est conser-

vatif car il subit uniquement une force conservative Cette eacutenergie meacutecanique E est uneconstante

4) Lrsquoeacutenergie meacutecanique Eo =12

mv2o minus

correspondant agrave lrsquoeacutetat initial en fonction

1)d Eprime

Kr2 minus 2mC2

2r3 =1r2

[K minus mC2

]rArr d Eprime

d r= 0 rArr rm =

m(rovo sin ao)2

Eprimem = minus K2

mC2 +K2

2mC2 = minus K2

2m(rovo sin ao)2

2) E(r rarr 0) rarr infin et E(r rarr infin) rarr 0minus

Ersquom

Eeacutechappe

Eellipse

rmax rmin

Figure 916

3) Si E 0 alors r peut varier de 0 agrave lrsquoinfini Si E lt 0 alors r peut varier entre 2 valeursrmin et rmax (la masse deacutecrit une ellipse) La masse reste prisonniegravere du centre de forcePour E = 0 valeur limite pour eacutechapper agrave lrsquoattraction de O

4) Lorsque E = Eprimem alors r = rm et donc la masse deacutecrit un cercle

5) Applications

a) Eo =12

mv2o minus

0 la valeur minimale de la vitesse est Vom =(

b) Vitesse de libeacuteration VLT de la gravitation de la Terre pour un objet se trouvant agrave lasurface de la Terre K = GMm = m41014 donc

VLT =(

= 1 12104 msminus1 = 11 2 kmsminus1

VLT =(

= 11 2 kmsminus1

Approche classique du trou noir rayon de Schwarzschild drsquoun astre

VLT = c =(

rArr R = 2GMc2 =

91016 = 8910minus3 m = 8 9 mm

CHAPITRE 10

TRAJECTOIRES DrsquoUN SYSTEgraveMEAgrave DEUX CORPS

Preacute-requis bull Connaicirctre les notions de reacutefeacuterentiel barycentrique de reacuteduction du sys-tegraveme agrave deux corps agrave un objet unique de masse reacuteduite m ainsi que tousles aspects cineacutematique et eacutenergeacutetique du systegraveme agrave deux corps

Objectif I Eacutetablir agrave partir des principes fondamentaux de la meacutecanique les trajec-toires drsquoun systegraveme agrave deux corps

I Savoir deacutemontrer la formule de Binet et reacutesoudre lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle du mouvement

I Apprendre agrave reconnaicirctre une trajectoire en fonction de son excentriciteacute I Eacutetablir les trois lois de Keacutepler

1 RAPPELS

Nous cherchons dans ce chapitre agrave deacuteterminer lrsquoeacutequation de la trajectoire drsquoun systegravemeconstitueacute par deux corps en interaction Nous avons vu dans le chapitre preacuteceacutedent queles conditions initiales du mouvement conditionnent la nature de ce dernier Le systegravemea une eacutenergie meacutecanique qui deacutepend de ces conditions initiales et eacutevolue soit entre deuxlimites pour un eacutetat lieacute soit entre une position minimale drsquoapproche et lrsquoinfini pour uneacutetat de diffusion

Nous avons vu eacutegalement qursquoun systegraveme agrave deux corps (masse m1 de centre drsquoinertieM1 et masse m2 de centre drsquoinertie M2) peut ecirctre formellement reacuteduit agrave un systegraveme agraveun corps dont la position M par rapport agrave une origine O drsquoun reacutefeacuterentiel galileacuteen estminusrarrr =

minusrarrOM =

minusminusminusrarrM1M2 et qui est affecteacute de la masse reacuteduite m = m1m2

m1+m2 Ce corps subit la force

de gravitationminusrarrF =

minusrarrF 2 Les eacutequations de son mouvement sont les suivantes

r2u = C = Lm

E = 12 mr2 + EPeff = 1

2 mr2 + m C2

2r2 minus G m1m2r

minusrarrF =

minusrarrF 2 = minusminusrarr

F 1 = m d2minusrarrrdt2 = m dminusrarrv

La figure 101 reacutesume lrsquoeacutequivalence utiliseacutee

21MMOMr ==

Lrsquoeacutetude du mouvement du point M peut ecirctre reacutealiseacutee dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen en utili-sant la base des coordonneacutees cylindriques

minusrarru z) Dans cette base les composantes

de la vitesse et de lrsquoacceacuteleacuteration du point M srsquoeacutecrivent

minusrarrv =

⎧⎨⎩ rru0

minusrarra =

⎧⎨⎩ r minus ru2

2ru + ru0

csteL =

Figure 102 bull Eacutetude du mouvement de la masse reacuteduite m dans le reacutefeacuterentielgalileacuteen (O x y z t)

2 EacuteQUATION POLAIRE DE LA TRAJECTOIRE FORMULE DE BINET

Lrsquoeacutequation horaire de la trajectoire est classiquement obtenue par inteacutegration de la rela-tion fondamentale de la dynamique Cette eacutequation srsquoeacutecrit dans la base tournante

r minus ru2)minusrarru r +(2ru + ru

)minusrarru u

)= minusGm1m2

r2minusrarru r

On obtient les deux eacutequations diffeacuterentielles suivantes

m(r minus ru2) = minusGm1m2

r2 2ru + ru = 0

Trajectoires drsquoun systegraveme agrave deux corps 255

La deuxiegraveme eacutequation traduit le fait que le moment cineacutetique est constant En effet cetteeacutequation peut srsquoeacutecrire

d(r2u)

dt= 0 =rArr r2u = C

On retrouve donc la relation des aires deacutejagrave connue Le systegraveme drsquoeacutequations devient

m(r minus ru2

)= minusG m1m2

r2 = minus Kr2

r2u = C

avec K = G m1m2m

Lrsquointeacutegration de cette relation ne peut pas ecirctre reacutealiseacutee agrave ce stade car deux des variablessont coupleacutees par lrsquointermeacutediaire de la relation des aires La relation peut ecirctre utiliseacuteepour eacuteliminer la variable temps et obtenir ainsi lrsquoeacutequation de la trajectoire r = r(u) Pourcela il convient drsquointroduire comme lrsquoa montreacute Binet le changement de variable suivant

=rArr u =du

Cr2 = Cu2

ougrave u est consideacutereacute comme une fonction de r avec r fonction de u Nous allons maintenantrechercher la relation u = u(u) Pour faire apparaicirctre u dans la premiegravere eacutequation noussommes ameneacutes agrave exprimer r et u en fonction de cette variable Nous avons

u = Cu2 =rArr u2 = C2u4 =rArr ru2 = C2u3

minusGm1m2

r2 = minusGm1m2u2

r =drdt

dt=rArr r = minusC

r =drdt

= minusCd (dudu)

dt= minusC

d2udu2 u = minusCu2 d2u

En reportant ces expressions dans la premiegravere eacutequation diffeacuterentielle du systegraveme on ob-tient

r minus ru2 = minusKr2 =rArr minusC2u2 d2u

duminus C2u3 = minusKu2

Avec u diffeacuterent de 0 lrsquoeacutequation diffeacuterentielle devient

+ u =KC2

Lrsquoexpression obtenue est qualifieacutee de formule de Binet

3 REacuteSOLUTION DE LA FORMULE DE BINET

Cette eacutequation du second degreacute agrave second membre constant admet une solution particu-liegravere

u =KC2 =

et une solution de lrsquoeacutequation sans second membre de la forme

u = A cos(u minus f)

La solution geacuteneacuterale est donc de la forme

= A cos(u minus f) +Gm1m2

ougrave A et f sont deux constantes drsquointeacutegration qui deacutependent des conditions initiales

Il est toujours possible de srsquoarranger pour avoir f = 0 Il suffit pour cela de faire unerotation du repegravere(O x y z) drsquoun angle f autour de lrsquoaxe Oz (figure 103) La nouvellecoordonneacutee angulaire u = u(X Y) du repegravere (O X Y z) ainsi obtenu correspond alors agraveu(x y) minus f

u(xy) -f=u(XY)=u

Figure 103 bull Dans le nouveau repegravere (O X Y) obtenu par rotation du repegravere(O x y) la coordonneacutee angulaire se transforme en u(X Y) = u(x y) minus f

Il en reacutesulte que la distance r eacutevolue en fonction du nouvel angle selon une expression dutype

A cos u + Gm1m2mC2

Cette relation peut se mettre sous une forme diffeacuterente en factorisant la quantiteacuteGm1m2

On obtient alors lrsquoeacutequation suivante

(1 + AGm1m2

cos u)Gm1m2mC2

En utilisant les notations suivantes

p =mC2

Gm1m2=

G (m1 + m2)(103)

e = Ap (104)

il vient r =

p1 + e cos u

Cette eacutequation est connue sous le nom drsquoeacutequation polaire parameacutetreacutee en (p e) Elle corres-pond agrave lrsquoeacutequation en coordonneacutees polaires drsquoune conique de paramegravetre p et drsquoexcentri-citeacute e

Il importe de remarquer que cette solution permet ensuite de deacuteterminer la position despoints M1 et M2 par rapport agrave G en fonction de lrsquoangle u En effet rappelons que

r = r1 + r2 et m1r1 = m2r2

r1 =m2

m1 + m2r et r2 =

m1 + m2r

Notons une fois encore que si m1 gtgt m2 alors le point M1 est fixe car G est pratiquementen M1 et le point M2 se trouve agrave la distance r de G

Les paramegravetre p et e deacutependent des conditions initiales Le paramegravetre p est toujours positifdans le cas drsquoune interaction gravitationnelle Pour une interaction eacutelectrostatique entredeux charges q1 et q2 on aurait

p =4pacute0mC2

On constate que p gt 0 pour des charges de mecircme nature et p lt 0 dans le cas contraire

Lrsquoexcentriciteacute e est choisie positive Suivant les conditions initiales on peut obtenir

1 plusmn e cos u

Lorsque le signe de e est neacutegatif le changement de phase u rarr u + p permet de passeragrave un signe positif Il suffit ensuite de faire une rotation des axes de p pour se ramener agravelrsquoexpression 1 + e cos u

Les trajectoires possibles du point M deacutependent essentiellement du paramegravetre e appeleacuteexcentriciteacute de la trajectoire Nous preacutesentons dans le paragraphe suivant lrsquoeacutetude de latrajectoire en fonction de lrsquoexcentriciteacute e avec e 0

4 EacuteTUDE DES TRAJECTOIRES

41 Excentriciteacute nulle e = 0

Lorsque lrsquoexcentriciteacute de la trajectoire est nulle on obtient un rayon vecteur de valeurconstante r = p La trajectoire est alors circulaire et le rayon de la trajectoire eacutegal auparamegravetre p de la conique (figure 104) Les trajectoires des deux masses m1 et m2 sedeacuteduisent par simple homotheacutetie

42 Excentriciteacute e lt 1

Lorsque lrsquoexcentriciteacute est infeacuterieure agrave 1 la trajectoire se caracteacuterise par un rayon vecteurqui varie avec lrsquoangle u Il suffit pour connaicirctre la trajectoire de calculer r pour u variantde 0 agrave 2p Le tableau 111 donne ces valeurs de faccedilon geacuteneacuterale pour e = 0 5

(masse μ)

O G r2

M1 (masse m1)

M2 (masse m2)

Figure 104 bull Mouvement circulaire de la masse reacuteduite m excentriciteacutee = 0 Nous remarquons de mecircme que les trajectoires des masses m1 et m2homotheacutetiques de celle de m sont aussi circulaires de centre G et de rayons

r1 = m2m

r et r2 = m1m

u 0 p2 p 3p2 2p

r p(1 + e) p p(1 minus e) p p(1 + e)

r 0 666p p 2p p 0 666p

Tableau 101 bull Eacutevolution de la valeur de r en fonction de lrsquoangle u

Il est facile de reporter ces valeurs sur un graphe en coordonneacutees polaires On obtient ainsiune trajectoire elliptique dont lrsquoun des foyers F est lrsquoorigine O du repegravere et pour laquelleles positions minimale P et maximale A drsquoapproche de F sont donneacutees par p (1 + e) etp (1 minus e) Ces positions sont appeleacutees respectivement le peacuterigeacutee et lrsquoapogeacutee du mouve-ment

M(masse μ)

)(rAF A π== )(rFP P 0==

Figure 105 bull Repreacutesentation drsquoune trajectoire elliptique et des diffeacuterentes grandeurs utiliseacutees

La distance qui seacutepare le peacuterigeacutee P de lrsquoapogeacutee A est eacutegale au grand axe de lrsquoellipse ce quiconduit agrave lrsquoexpression suivante du demi-grand axe a

1 minus e2

On notera que si la masse m1 est tregraves supeacuterieure agrave la masse m2 alors le point M1 estconfondu avec Get correspond au foyer F Le point M2 se confond alors avec M Cettesituation est celle du Soleil (M1) et de la Terre (M2) par exemple

43 Excentriciteacute unitaire e = 1

Lorsque lrsquoexcentriciteacute de la trajectoire est eacutegale agrave 1 on passe par une trajectoire de tran-sition Cette trajectoire diffegravere de la preacuteceacutedente principalement pour un angle u tendantvers p Pour cette valeur de lrsquoangle u le rayon vecteur r tend vers lrsquoinfini et la trajectoirene se referme plus sur elle mecircme Le peacuterigeacutee du mouvement est obtenu pour u = 0 et cor-respond agrave r = p2 Lrsquoeacutequation de la trajectoire peut srsquoeacutecrire en coordonneacutees carteacutesiennesOn aura

r(1 + cos u) = p =rArrradic

X2 + Y2 = p minus X =rArr Y2 = p2 minus 2pX

On obtient donc

X = minusY2

La trajectoire observeacutee est alors une parabole drsquoaxe FX Pour u = p2 (x = 0) on a Y = pOn verra par la suite qursquoelle correspond agrave une eacutenergie nulle caracteacuteristique du passage delrsquoeacutetat de diffusion agrave lrsquoeacutetat lieacute

Figure 106 bull Trajectoire parabolique drsquoexcentriciteacute e = 1

44 Excentriciteacute e gt 1

Lorsque lrsquoexcentriciteacute de la trajectoire est supeacuterieure agrave 1 la trajectoire se deacutemarque dela trajectoire parabolique On reste dans un eacutetat de diffusion crsquoest-agrave-dire qursquoil existe desvaleurs de u pour lesquelles le point M srsquoeacuteloigne agrave lrsquoinfini du centre de force O (confonduavec F) La trajectoire est alors une branche drsquohyperbole

On passe subitement drsquoune branche agrave une autre pour des valeurs critiques um de u quiannulent le deacutenominateur du rayon vecteur Ces valeurs sont donneacutees par

r gt 0 =rArr 1 + e cos u gt 0 =rArr cos u gt cos um = minus1e

=rArr minusum lt u lt um

Il importe de remarquer que physiquement la trajectoire du point M est confineacutee agrave uneseule branche de lrsquohyperbole et que la nature de la branche est deacutetermineacutee par les condi-tions initiales du mouvement Le tableau 102 donne lrsquoeacutevolution de la valeur de r en fonc-tion de lrsquoangle u

u -um -p2 0 p2 um

r infin p p(1 + e) p infinTableau 102 bull Eacutevolution de r en fonction de lrsquoangle u

Asymptote

Figure 107 bull Trajectoire hyperbolique drsquoexcentriciteacute e gt 1

5 EacuteTUDE EacuteNERGEacuteTIQUE

Il est inteacuteressant de revenir maintenant sur lrsquoeacutenergie du systegraveme Nous avons que lrsquoeacutenergiemeacutecanique est constante et qursquoelle srsquoeacutecrit

m(r2 + r2u2)minus Gm1m2

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

La deacutetermination de la valeur de lrsquoeacutenergie meacutecanique en fonction notamment de lrsquoex-centriciteacute de la trajectoire peut se faire au peacuterigeacutee P En effet agrave cette position r passepar un minimum eacutegal agrave r = p (1 + e) et la quantiteacute drdt est alors nulle Lrsquoexpression delrsquoeacutenergie est alors donneacutee par

r2 minus Gm1m2

p2 (1 + e)2 minus Gm1m2(1 + e)p

avec C2 = pG(m1 + m2)

En reprenant la valeur de la masse reacuteduite et en reportant celle-ci dans lrsquoeacutequation donnantlrsquoeacutenergie il vient

E =Gm1m2

p(1 + e)

(1 + e

2minus 1)

= minusGm1m2

(1 minus e2)

Lrsquoeacutenergie du systegraveme est donc eacutegale agrave

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

Il est inteacuteressant de constater que lrsquoeacutenergie meacutecanique passe par 0 lorsque lrsquoexcentriciteacutede la trajectoire est eacutegale agrave 1 (trajectoire ouverte parabolique) et que si e gt 1 (trajectoireouverte hyperbolique) lrsquoeacutenergie est positive ce qui correspond bien agrave un eacutetat de diffusionLorsque que e lt 1 on trouve bien que lrsquoeacutenergie est neacutegative ce qui correspond agrave lrsquoeacutetat lieacute(trajectoire fermeacutee elliptique ou circulaire)

6 TRAJECTOIRES ELLIPTIQUES LOIS DE KEPLER

61 Caracteacuteristiques des trajectoires elliptiquesLes trajectoires de forme elliptique sont extrecircmement importantes dans la pratique Ellescorrespondent au mouvement des planegravetes du systegraveme solaire ainsi qursquoaux trajectoiresdes satellites artificiels Rappelons que dans de tels cas lrsquoexcentriciteacute de la trajectoire estinfeacuterieure agrave 1 et que lrsquoeacutenergie meacutecanique est neacutegative La trajectoire elliptique corresponddonc agrave un eacutetat lieacute et le point M (dans ce cas confondu avec le centre drsquoinertie M2 de laplanegravete) se deacuteplace par rapport agrave M1 (qui se confond avec le centre drsquoinertie du systegraveme)entre une position minimale le peacuterigeacutee et une position maximale lrsquoapogeacutee Nous allonsvoir dans ce paragraphe comment cerner toutes les caracteacuteristiques de cette trajectoireNous avons deacutejagrave eacutetabli que lrsquoeacutequation polaire de la trajectoire est

1 + e cos u

avec (voir 103 et 104)

p =mC2

Gm1m2=

G(m1 + m2) e =

AGm1m2

= Ap (105)

En outre lrsquoeacutenergie est donneacutee par

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

Nous cherchons agrave deacuteterminer les caracteacuteristiques de la trajectoire en fonction des pro-prieacuteteacutes du systegraveme crsquoest agrave dire son eacutenergie E la constante des aires C et en fonction desmasses m1 et m2 Une trajectoire elliptique est caracteacuteriseacutee par trois paramegravetres pertinentsqui sont le grand axe 2a le petit axe 2b et lrsquoexcentriciteacute e Il importe de savoir qursquouneellipse possegravede deux foyers F et Fprime Lrsquoun des foyers F est ici confondu avec le centre deforce O

AFrsquo

Figure 108 bull Caracteacuteristiques drsquoune ellipse

F et Fprime eacutetant les deux foyers de lrsquoellipse et V le milieu de FFprime (voir figure 108) on pose

bull AV = VP = a le demi-grand axe bull VH = b le demi-petit axe bull VF = VFprime = c

La position drsquoun point M de la trajectoire veacuterifie toujours la relation

FM + FprimeM = cste

Il est facile de voir que lorsque M est en P ou en A la distance FM + FprimeM est eacutegale agrave

FA + FprimeA = FA + FP = 2a = FM + FprimeM

a) Deacutetermination de a (demi-grand axe)

Le grand axe de lrsquoellipse est eacutegal agrave la distance qui seacutepare lrsquoapogeacutee A du peacuterigeacutee P Il veacuterifiela relation PF = 2a La position des points P et A srsquoobtient agrave partir de lrsquoeacutequation polairede la trajectoire On a

1 + eet FA =

p1 minus e

1 minus e2 (106)

b) Deacutetermination de lrsquoexcentriciteacute

Il est facile de voir sur la figure 108 que c = VF = AF minus VA soit

1 minus eminus a =

p(1 + e)1 minus e2 minus a = a(1 + e) minus a

On a doncc = ae

On peut remarquer que pour e = 0 on obtient c = 0 Les point F et Fprime sont alors confon-dus et la trajectoire est un cercle

c) Deacutetermination de b (demi-petit axe)

Pour deacuteterminer le petit axe nous utilisons la proprieacuteteacute des foyers en positionnant le pointM au point H du petit axe (figure 108)

FH + FprimeH = 2FH = 2a =rArr FprimeH = FH = a

Dans cette configuration lrsquoapplication du theacuteoregraveme de Pythagore dans le triangle rec-tangle FH conduit agrave

FH2 = FV2 + VH2 = c2 + b2 = a2e2 + b2

On peut donc conclure que le petit axe de lrsquoellipse est donneacute par

b2 = a2(1 minus e2) (107)

d) Eacutenergie du systegraveme

Lrsquoeacutenergie du systegraveme est constante et eacutegale agrave

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

En utilisant le reacutesultat obtenu pour le demi-grand axe de lrsquoellipse (voir le reacutesultat obtenuen 106) il vient

E = minusGm1m2

Nous pouvons donc conclure que lrsquoeacutenergie ne deacutepend que du grand axe de lrsquoellipse Ilimporte de remarquer que des trajectoires elliptiques diffeacuterentes peuvent avoir mecircmeeacutenergie crsquoest-agrave-dire mecircme grand axe

Figure 109 bull Diffeacuterentes trajectoires pour une mecircme eacutenergie E donneacutee

La diffeacuterence entre ces deux trajectoires de mecircme eacutenergie est lieacutee aux conditions initialesdu mouvement qui deacutefinissent la valeur de la constante des aires C et donc du paramegravetrep de lrsquoellipse qui rappelons-le (voir eacutequation 105) est eacutegal agrave

62 Lois de Keplera) Rappel de leur eacutenonceacute

Ces lois ont eacuteteacute eacutenonceacutees par Kepler en 1604 Elles sont relatives aux planegravetes du systegravemesolaire dont elles deacutecrivent le mouvement Eacutetablies expeacuterimentalement par Kepler (voirchapitre 9) elles ont permis agrave Newton drsquoeacutetayer sa theacuteorie de la gravitation

Loi n 1 Les planegravetes du systegraveme solaire deacutecrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est lrsquoundes foyers

Loi n 2 Au cours de leur mouvement les planegravetes balayent des aires eacutegales pendant des tempseacutegaux (loi des aires)

Loi n 3 Le carreacute de la peacuteriode de reacutevolution des planegravetes est proportionnel au cube du grand axede lrsquoellipse

b) Relation avec la meacutecanique de Newton

La premiegravere loi montre que les planegravetes du systegraveme solaire sont des systegravemes agrave eacutenergieneacutegative ce qui est la condition sine qua non drsquoobservation drsquoune trajectoire elliptique

La seconde loi est la loi des aires sur laquelle nous revenons maintenant Nous avonsdeacutemontreacute que le moment cineacutetique se conserve dans tout mouvement agrave force centraleLa conservation du moment cineacutetique permet drsquoaffirmer que la quantiteacute r2u = C = L

est constante Nous avons montreacute que cette quantiteacute est le double de lrsquoaire balayeacutee par lepoint M au cours de son mouvement orbital On a donc

=C2rArr A =

On considegravere qursquoagrave lrsquoinstant t = 0 le point M nrsquoa pas encore balayeacute drsquoaire Pendant unepeacuteriode de reacutevolution lrsquoaire balayeacutee correspond agrave lrsquoaire de lrsquoellipse On a donc

CT rArr T =2AC

On peut en conclure que le carreacute de la peacuteriode de reacutevolution est donneacute par

T2 =4p2a2b2

ce qui compte tenu du fait que (voir eacutequations (105) (106) (107))

b2 = a2(1 minus e2) (1 minus e2) =pa

C2 = pG(m1 + m2)

conduit agrave

T2 =4p2a3

G(m1 + m2)

Cette derniegravere relation est conforme agrave la deacutetermination expeacuterimentale de Kepler etmontre en outre que la mesure de la peacuteriode drsquoun satellite permet de deacuteterminer avecpreacutecision la masse drsquoune planegravete

Agrave RETENIR

Binet a montreacute que le changement de variable u = 1r combineacute agrave la constante des aires

C = ur2 permet drsquoobtenir lrsquoeacutequation diffeacuterentielle de la masse fictive m suivante

+ u =KC2

Cette eacutequation admet la solution

qui se simplifie en r =p

1 + e cos u

Selon la valeur de e excentriciteacute de la trajectoire il convient de distinguer les trajec-toires suivantes

bull e = 0 la trajectoire circulaire de rayon r = p bull 0 lt e lt 1 la trajectoire est elliptique le systegraveme est lieacute bull e = 1 la trajectoire est parabolique bull e gt 1 la trajectoire est confineacutee agrave une branche drsquohyperbole

Lrsquoeacutenergie du systegraveme des deux masses est donneacutee par

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

Lrsquoexcentriciteacute e = 1 marque la transition entre les trajectoires elliptiques ou circulairesdu systegraveme lieacute (E lt 0) agrave celle hyperbolique du systegraveme diffusif (E gt 0)

Les trajectoires elliptiques sont gouverneacutees par les lois de Kepler La trajectoire estpeacuteriodique de peacuteriode

T2 =4p2a3

G(m1 + m2)

a repreacutesentant le demi-grand axe de la trajectoire elliptique (troisiegraveme loi de Kepler)

Satellite dans le champ de gravitation terrestre

Donneacutees numeacuteriques

bull Masse de la Terre M = 61024 kgbull Rayon de la Terre R = 6 400 kmbull Constante de gravitation universelle G = 6 6710minus11 Nm2kgminus2

bull Peacuteriode de rotation de la Terre (dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique) T o = 86 164 s

I Satellite sur Terre

Figure 1010

1) Un satellite consideacutereacute ponctuelle de masse m est au repossur la Terre en un point de latitude l Quel est son mouve-ment dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen geacuteocentrique

2) Exprimer sa vitesse v o et son eacutenergie cineacutetique ECo dansle reacutefeacuterentiel geacuteocentrique en fonction de m R To et l

3) En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale E o

AN m = 800 kg et latitude l = 40 Calculer les valeursde v o ECo et Eo

II Satellite sur orbite circulaire

Le satellite est maintenant sur une orbite circulaire autourde la Terre

1) Eacutetude geacuteneacuterale

a) Faire lrsquoeacutetude du satellite dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique et deacuteterminer en uti-lisant le principe fondamental de la dynamique la relation entre le rayon r delrsquoorbite et la vitesse v du satellite Montrer que cette relation peut srsquoeacutecrire

radicgoR2

ravec go = G(R) champ de gravitation agrave la surface de la Terre

b) Deacuteduire lrsquoexpression de la peacuteriode T de reacutevolution en fonction du rayon r g oet R

c) Exprimer lrsquoeacutenergie cineacutetique E C et lrsquoeacutenergie potentielle EP En deacuteduire lrsquoex-pression de lrsquoeacutenergie totale E en fonction de m r go et R

2) Orbite circulaire rasante

Le satellite est drsquoabord envoyeacute sur une orbite basse de rayon r1 Lrsquoaltitude z1 de lrsquoordrede quelques centaines de kilomegravetres est tregraves faible devant le rayon R de la Terre Onpeut donc consideacuterer r1 asymp R (orbite rasante)

a) Donner lrsquoexpression de sa vitesse v1 (1egravere vitesse cosmique) en fonction de goet R

b) Donner lrsquoexpression de la peacuteriode T1 et de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale E1c) Calculer go v1 T1 et E1d) Exprimer lrsquoeacutenergie DE = E1 minus Eo qursquoil a fallu fournir au satellite initialement

au repos sur la Terre agrave la latitude l pour le mettre sur lrsquoorbite rasante Cetteeacutenergie deacutepend-elle du point de lancement sur terre Ougrave sont situeacutees les bases de lancement les plus favorables du point de vue eacutener-geacutetique Connaissez-vous le nom de lrsquoune de ces bases

e) Il est habituel de dire que les astronautes et les objets situeacutes agrave lrsquointeacuterieur drsquounsatellite sont laquo en eacutetat drsquoapesanteur raquo Que signifie cette expression On considegravere le reacutefeacuterentiel Rrsquo deacutefini par le repegravere dont lrsquoorigine est au centredrsquoinertie P du satellite et dont les axes restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentielgeacuteocentrique galileacuteen RQuel est le mouvement de Rrsquo par rapport agrave R Le reacutefeacuterentiel Rrsquo est-il galileacuteen Faire lrsquoeacutetude meacutecanique dans Rrsquo drsquoune masse mrsquo placeacutee au centre drsquoinertie P dusatellite et montrer alors que cette masse est en parfait eacutetat drsquoapesanteur

3) Orbite circulaire geacuteostationnaire

Le satellite est ensuite envoyeacute sur lrsquoorbite geacuteostationnaire de rayon r2

a) Qursquoest-ce qursquoun satellite geacuteostationnaire En deacuteduire la valeur de sa peacuteriode dereacutevolution T2 dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique

b) Exprimer et calculer le rayon r2 et lrsquoaltitude z2 du satellite geacuteostationnairec) Exprimer et calculer la vitesse v2 et lrsquoeacutenergie E2 du satellite geacuteostationnaire

4) Changement drsquoorbite ellipse de transfert

On fait passer le satellite de lrsquoorbite circulaire rasant de rayon OP = r1 asymp R agrave lrsquoorbitegeacuteostationnaire de rayon r2 = CA Un moteur auxiliaire permet de modifier la vitessedu satellite aux points P et A Le satellite parcourt alors une demi ellipse dite detransfert de peacuterigeacutee P(rP = OP = r1 = rmin) et drsquoapogeacutee A(rA = OA = r2 = rmax)

Orbite rasante OP = r1 R

Orbite geacuteostationnaire OA = r2

Ellipse de transfert

raquoraquo

Figure 1011

a) Donner lrsquoexpression et la valeur du demi grand axe laquo a raquo de lrsquoellipse de transfertb) Lrsquoeacutenergie meacutecanique totale Eellipse du satellite sur son orbite elliptique est

constante Son expression peut se deacuteduire de celle obtenue pour une orbitecirculaire en remplaccedilant dans lrsquoexpression de E le rayon r de lrsquoorbite circulairepar le demi grand axe laquo a raquo de lrsquoorbite elliptique Donner lrsquoexpression de cetteeacutenergie meacutecanique total Eellipse Calculer Eellipse

c) Pour faire passer le satellite de lrsquoorbite circulaire rasante agrave lrsquoellipse de transfert ilsuffit de faire passer sa vitesse au point P de la valeur v1 agrave la valeur vprime1 sans chan-gement drsquoeacutenergie potentielle La variation drsquoeacutenergie DE(P) du satellite au pointP correspond donc aussi agrave la variation drsquoeacutenergie cineacutetique Exprimer DE(P)Faut-il acceacuteleacuterer ou freiner le satellite

d) De mecircme exprimer la variation drsquoeacutenergie DE(A) du satellite au point A lorsqursquoilpasse de la vitesse vprime1 de lrsquoorbite elliptique de transfert agrave la vitesse v1 de lrsquoorbitecirculaire geacuteostationnaire sans changement drsquoeacutenergie potentielle Faut-il acceacuteleacute-rer ou freiner le satellite

SolutionI Satellite sur Terre

1) Mouvement circulaire uniforme de rayon r = R cos l et vitesse angulaire vo=2p

2) vo = rvo = Rvo cos l ECo =12

mv2o =

2mp2R2 cos2 l

3) Eacutenergie meacutecanique totale Eo= EPo + ECo = minusGMmR

+2mp2R2 cos2 l

AN vo =2p6 4106

86164104 cos 40 = 357102 msminus1

ECo = 05800(357102)2 = 5112107 J

Eo = 5112107 minus 66710minus11 610248102

64106 = 5112107 minus 51010 asymp minus51010 J

a) Systegraveme satellite de masse m Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique galileacuteen force

minusrarrF (r) = minusGMm

r2minusrarru

mminusrarra = minusGMmr2

minusrarru rArr minusrarra = minusGMr2minusrarru

En coordonneacutee cylindrique

minusrarra = minusv2

rminusrarru rArr v2

r= minusGM

r2 rArr v =

radicGM

Avec go = G MR2 rArr GM = goR2 et on obtient donc v =

radicgoR2

b) T =2pr

2prradicgoR2

radicr = 2p

radicr3

c) E C =12

mv2 =12

rEP = minusGMm

et donc E = EC + EP = minusmgoR2

2r2) Orbite circulaire rasante

a) v1 =

radicgoR2

R=radic

goR (1egravere vitesse cosmique)

b) T 1 = 2p

radicR3

goR2 = 2p

radicRgo

E1 = minusmgoR2

2R= minusmgoR

c) go = G MR2 =

66710minus1161024

(64106)2 = 977 msminus2

v1 =radic

goR =radic

97764106 = 79103 msminus1

T1 = 2p

radic64106

977= 508537 s = 84 756 minutes = 1 h24prime45primeprime

E 1 = minusmgoR2

= minus40097764106 = minus251010 J

d) DE = E1 minus Eo = minusmgoR2

minus(minusGMm

2mp2R2 cos2 l

)DE = E1 minus Eo = minusmgoR

2+ mgoR minus 2mp2R2 cos2 l

= mgoR minus 2mp2R2 cos2 l

Cette eacutenergie deacutepend du point de lancement sur Terre Les bases de lancementles plus favorables du point de vue eacutenergeacutetique se situent le plus pregraves possiblede lrsquoeacutequateur (l= 0) comme Kourou en Guyane

e) Eacutetat drsquoapesanteur = absence de pesanteur ou pesanteur compenseacuteeLe reacutefeacuterentiel Rrsquo est en translation circulaire uniforme par rapport agrave R Lrsquoacceacute-

leacuteration du centre drsquoinertie P est minusrarra = minusG MOP2

minusrarru (voir 1a) Ce reacutefeacuterentiel est

non galileacuteenForce agissant sur mrsquo situeacutee au centre drsquoinertie P du satellite

minusrarrF prime = minusGMmprime

OP2minusrarru

et la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrF ie = minusmprimeminusrarra (P) = minusmprime

(minusGM

r2minusrarru)

= GMmprime

r2minusrarru

Le principe fondamental appliqueacute dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen donne minusrarrF prime +

minusrarrF ie =

minusrarr0 La masse mrsquo est donc pseudo isoleacute et se trouve en eacutetat drsquoape-

santeur

a) Satellite geacuteostationnaire = immobile par rapport agrave la Terre Donc il tourneautour du mecircme axe avec la mecircme peacuteriode par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocen-triqueOn a donc T2 = 8 6164104 s

b) T2 = 2p

radicr22

goR2 rArr r2 =(

T22goR2

(86164104)2977(64106)2

= 421107 mr2 = 42100 km et donc lrsquoaltitude z2 = 35 700 km (environ 36 000 km)

c) v2 =

radicgoR2

radic977(64106)2

421107 = 308 kmsminus1

Lrsquoeacutenergie E2 = minusmgoR2

2r= minus400977

(64106)421107 = minus38109 J

a) Demi grand axe de lrsquoellipse de transfert

a =r1 + r2

(6 400 + 42 100)2

= 24 250 km

b) Lrsquoeacutenergie meacutecanique

E ellipse = minusmgoR2

2a= minus mgoR2

R + r2= minus400977

(64106)2425107 = minus66109 J

c) DE(P) = Eellipse minus Erasante = minusmgoR2

R + r2minus 1

mvprime21 minus 12

mv21 gt 0

Il faut acceacuteleacuterer le satellite

d) DE(A) = Egeacuteostationnaire minusEellipse = minusmgoR2[

minus 1R + r2

mv22 minus

mvprime22 gt 0

Trajectoire drsquoune particule dans un champ de forces newtonien

On considegravere un point mateacuteriel M de masse m soumise uniquement agrave un champ deforces newtonien Le centre de forces correspond au point O fixe dans le reacutefeacuterentielgalileacuteen choisi pour eacutetudier le systegraveme On a alors

minusrarrF (r) = minus k

r2minusrarru avec r = OM et minusrarru =

minusrarrOM

1) Eacutecrire la relation fondamentale de la dynamique

2) Le moment cineacutetiqueminusrarrL o de M par rapport au point O est deacutefini par la relation

minusrarrL o =

minusrarrOM and mminusrarrv avec minusrarrv le vecteur vitesse de M dans le reacutefeacuterentiel choisi

a) CalculerdminusrarrL o

d tet montrer que

minusrarrL o est un vecteur constant

b) En deacuteduire que le mouvement de M srsquoeffectue dans un plan contenant O et Met perpendiculaire au moment cineacutetique

minusrarrL o

c) Le point M est repeacutereacute dans le plan ougrave srsquoeffectue le mouvement par ses co-ordonneacutees polaires r et u On utilisera la base cylindrique (minusrarru minusrarru u

minusrarru z) avecminusrarru z vecteur unitaire suivant la direction du moment cineacutetique

minusrarrL o = Lo

minusrarru z et(minusrarru minusrarru u) base polaire dans le plan du mouvementExprimer

minusrarrOM et minusrarrv dans la base (minusrarru minusrarru u) et en deacuteduire lrsquoexpression du moment

cineacutetique Lo en fonction de m et des coordonneacutees (r u) ou de leurs deacuteriveacutees

3) Pour retrouver certaines caracteacuteristiques des trajectoires possibles de M on introduitle vecteur

minusrarrA (appeleacute vecteur de Runge-Lenz)

minusrarrA = (minusrarrv and minusrarr

L o) minus kminusrarru

a) En deacuterivant directement cette relation vectorielle deminusrarrA donner lrsquoexpression

dedminusrarrA

En utilisant les reacutesultats preacuteceacutedents montrer que le vecteur estminusrarrA est constant

Sans faire de calcul montrer queminusrarrA est dans le plan du mouvement

On peut choisir alors de prendre le vecteur unitaire minusrarru x de la base carteacutesiennedu repegravere suivant ce vecteur

minusrarrA = Aminusrarru x

b) Effectuer le produit scalaireminusrarrA

minusrarrOM en remplaccedilant les vecteurs

minusrarrA et

minusrarrOM par

leur expression dans la base (minusrarru minusrarru u) et montrer la relation

minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr

c) Quelle est lrsquoautre expression possible du produit scalaireminusrarrA

minusrarrOM faisant appa-

raicirctre lrsquoangle u que font entre eux ces deux vecteursd) En deacuteduire que r peut se mettre sous la forme

1 + e cos u

La trajectoire de M est une conique de paramegravetre p et drsquoexcentriciteacute eDonner lrsquoexpression du paramegravetre p et de lrsquoexcentriciteacute e en fonction de Lo mk et A

4) Relation entre eacutenergie et excentriciteacute

a) Lrsquoeacutenergie potentielle dont deacuterive la forceminusrarrF (r) a pour expression Ep = minusk

Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale E en fonction de m v k et r

b) Exprimer A2 =minusrarrA

minusrarrA et montrer que

A2 = k2[

1 +v2L2

k2 minus 2L2o

]c) Exprimer A2 en fonction de lrsquoeacutenergie E En deacuteduire une expression de lrsquoexcen-

triciteacute e en fonction de lrsquoeacutenergie E et montrer qursquoon retrouve la classification desconiques obtenues en fonction du signe de lrsquoeacutenergie bull e gt 1 hArr E gt 0 hyperbolebull e = 1 hArr E = 0 parabolebull e lt 1 hArr E lt 0 ellipse

SolutionminusrarrF (r) = minus k

minusrarrOM

r1) Relation fondamentale de la dynamique

d minusrarrvd t

= md 2 minusrarrOM

2) a)minusrarrL o =

minusrarrOMandmminusrarrv rArr d

minusrarrL o

dminusrarrOMd t

andmminusrarrv +minusrarrOMandd mminusrarrv

d t= minusrarrv andmminusrarrv +rminusrarru andm

d minusrarrvd t

En utilisant la relation fondamentale de la dynamique

dminusrarrL o

d t= minusrarru and m

d minusrarrvd t

= rminusrarru and(minus k

r2minusrarru)

=minusrarr0 rArr minusrarr

est un vecteur constantb) Agrave tout instant

minusrarrOM et minusrarrv sont des vecteurs perpendiculaires agrave un vecteur

constantminusrarrL o Donc O M et minusrarrv reste dans un mecircme plan (contenant le centre

des forces O et perpendiculaire au moment cineacutetiqueminusrarrL o)

c)minusrarrOM = rminusrarru et minusrarrv = rminusrarru + ruminusrarru u

minusrarrL o =

3) Le vecteur de Runge-Lenz minusrarrA = (minusrarrv and minusrarr

a)dminusrarrA

d (minusrarrv and minusrarrL o)

d tminus d (kminusrarru )

d minusrarrvd t

and minusrarrL o + minusrarrv and d

minusrarrL o

d tminus k

d minusrarrud t

Le terme minusrarrv and dminusrarrL o

minusrarr0 (le moment cineacutetique

minusrarrL o est constant sa deacuteriveacutee est

nulle)

Le terme suivant minuskd minusrarrud t

= minuskuminusrarru u

Le premier terme avec la relation fondamentale de la dynamique

d minusrarrvd t

=minusrarrFm

= minus kmr2

minusrarru

on obtient d minusrarrvd t

and minusrarrL o = minus k

mr2minusrarru and mr2uminusrarru z = ku(minusminusrarru and minusrarru z) = kuminusrarru u

Finalement dminusrarrA

d t= kuminusrarru u +

minusrarr0 minus kuminusrarru u =

minusrarr0 et donc le vecteur est

minusrarrA est

constantLe terme minusrarrv and minusrarr

L o est un vecteur perpendiculaire agraveminusrarrL o et est donc dans le plan

du mouvement Le vecteur suivant minuskminusrarru est aussi dans le plan du mouvementLe vecteur

minusrarrA srsquoeacutecrit comme une combinaison lineacuteaire de deux vecteurs situeacutes

dans le plan du mouvement et donc ce vecteur est dans le plan du mouvementChoix axe Ox

b)minusrarrA

minusrarrOM = (minusrarrv and minusrarr

L o minus kminusrarru )rminusrarru =[(

rminusrarru + ruminusrarru u

)and(mr2uminusrarru z

)]rminusrarru minus kr

minusrarrA

minusrarrOM =

[rmr2u

(minusrarru and minusrarru z)

+ mr3u2 (minusrarru u and minusrarru z)]

rminusrarru minus kr

minusrarrA

minusrarrOM =

[rmr2u

(minusminusrarru u

)+ mr3u2 (minusrarru )] rminusrarru minus kr = mr4u2 minus kr =

(mr2u)2

mminus kr

minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr

c)minusrarrA

minusrarrOM = Aminusrarru xrminusrarru = Ar cos u

d) On en deacuteduit minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr = Ar cos u rArr L2

m= (k + A cos u)r

k + A cos u=

k(1 + Ak cos u)

1 + Ak cos u

1 + e cos u

La trajectoire de M est une conique de paramegravetre p et drsquoexcentriciteacute e

Le paramegravetre p est p =L2

kmet lrsquoexcentriciteacute e est e =

a) Lrsquoeacutenergie totale est E = Ec + Ep =12

mv2 minus kr

b) A2 =minusrarrA

minusrarrA =

[(minusrarrv and minusrarr

L o) minus kminusrarru] [(minusrarrv and minusrarr

)minus kminusrarru

]=(minusrarrv and minusrarr

)2minus 2kminusrarru

(minusrarrv and minusrarrL o

Les vecteurs minusrarrv etminusrarrL o sont orthogonaux et donc la norme du produit vectoriel

est eacutegal au produit des normes des vecteurs (minusrarrv and minusrarrL o)2 = (vLo)2 = v2L2

2kminusrarru (minusrarrv and minusrarrL o) = 2kminusrarru

[(rminusrarru + ruminusrarru u

)and Lo

minusrarru z]

= 2kminusrarru[Lor(minusrarru and minusrarru z) + ruLo(minusrarru u and minusrarru z)

]2kminusrarru (minusrarrv and minusrarr

L o) = 2kminusrarru[Lor(minusminusrarru u) + ruLo(minusrarru )

]= 2kruLo = 2k

mr2uLo =2kmr

A2 = v2L2o minus

L2o + k2 = k2

k2 minus 2L2o

]c) A2 = k2

k2 minus 2L2o

]et E =

mv2 minus krrArr 2E

m= v2 minus 2k

A2 = k2[

1 +v2L2

k2 minus 2kL2o

(v2 minus 2k

)]= k2

mk2 E]

On en deacuteduit lrsquoexcentriciteacute e en fonction de lrsquoeacutenergie E

e =AkrArr e2 =

k2 = 1 +2L2

On retrouve la classification des coniques obtenues en fonction du signe delrsquoeacutenergie bull E gt 0 alors e gt 1 hyperbolebull E = 0 alors e = 1 parabolebull E lt 0 alors e lt 1 ellipse

1 1egravere loi de Kepler (1610)

laquo Les planegravetes deacutecrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un foyer raquo Ondeacutefinit lrsquouniteacute astronomique comme eacutetant la distance Terre-Soleil (1 UA=150 mil-lions de km) La planegravete Mars a une trajectoire caracteacuteriseacutee par un demi-grand axea = 1 52 UA et une excentriciteacute e = 0 093

1) Calculer la distance Mars-Soleil au peacuteriheacutelie (plus petite distance) et agrave lrsquoapheacutelie (plusgrande distance)

2) Quelle est la valeur du demi-petit axe b de la trajectoire de Mars

2 2e loi de Kepler

laquo Les planegravetes parcourent sur leurs orbites des aires eacutegales pendant des intervallesde temps eacutegaux raquo Cette loi permet de rendre compte du ralentissement zodiacaldes astres En effet elle implique que la vitesse des planegravetes varie le long de leurtrajectoire

1) Donner lrsquoexpression geacuteneacuterale de la vitesse drsquoune planegravete sur sa trajectoire

2) Deacutemontrer que la vitesse prend une forme particuliegravere au peacuteriheacutelie et agrave lrsquoapheacutelie

3) Calculer lrsquoaire parcourue par une planegravete entre les instants t et t + dt

4) En utilisant la 2e loi de Kepler montrer que le produit rv est constant au peacuteriheacutelieet agrave lrsquoapheacutelie Deacuteterminer le rapport de ces deux vitesses en fonction de lrsquoexcentri-citeacute e de la trajectoire En deacuteduire la vitesse la plus importante

5) La comegravete de Halley se deacuteplace agrave 56 kms au peacuteriheacutelie se trouvant agrave 053 UA duSoleil Calculer sa vitesse agrave lrsquoapheacutelie situeacute agrave 351 UA En deacuteduire lrsquoexcentriciteacute de satrajectoire

3 3e loi de Kepler

laquo Le carreacute de la peacuteriode de reacutevolution drsquoun astre est proportionnel au cube du grandaxe raquoLes caracteacuteristiques du mouvement de quelques planegravetes sont reporteacutees dans le ta-bleau 113

1) Tracer T = g(a) puis T2 = f (a3) Conclusions

2) En deacuteduire a(Mercure) et T(Veacutenus)

Planegravete a (UA) T (an) e

Mercure 024 0206

Veacutenus 072 0007

Terre 1 1 0017

Mars 152 188 0055

Jupiter 52 1186 0093

Saturne 95 2946 0056

Tableau 103

4 Orbite de Jupiter

1) Quelle est la distance entre les deux foyers de lrsquoorbite de Jupiter

2) Quelle est la distance Jupiter-Soleil agrave lrsquoapheacutelie

5 Premiegravere vitesse cosmique

On deacutesire mettre un satellite en orbite circulaire basse autour de la Terre agrave lrsquoaltitudede 130 km Agrave cette altitude le satellite est en dehors des couches atmospheacuteriques Ilnrsquoest donc pas freineacute

1) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au systegraveme satellite

2) Deacuteterminer la vitesse du satellite sur son orbite Cette vitesse est appeleacutee premiegraverevitesse cosmique

6 Satellite geacuteostationnaire

1) Deacuteterminer lrsquoaltitude que lrsquoon doit donner agrave un satellite pour qursquoil soit en orbitegeacuteostationnaire autour de la Terre Preacuteciser la nature de sa trajectoire ainsi que leplan de son orbite Deacuteterminer la vitesse du satellite sur sa trajectoire

2) Pour mettre en place un satellite geacuteostationnaire on le lance sur une orbite detransfert de peacuterigeacutee rp = 6 600 km et drsquoapogeacutee le rayon de lrsquoorbite geacuteostationnaireEn deacuteduire le demi-grand axe de cette orbite ainsi que la vitesse au peacuterigeacutee et agravelrsquoapogeacutee Que doit-on faire pour amener le satellite de lrsquoorbite de transfert agrave lrsquoorbitegeacuteostationnaire

7 Vitesse de libeacuteration ou deuxiegraveme vitesse cosmique

1) Rappeler lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie effective drsquoun systegraveme

2) Tracer sur un mecircme graphe lrsquoeacutenergie potentielle lrsquoeacutenergie effective et lrsquoeacutenergiemC22r2

3) Que se passe-t-il si lrsquoeacutenergie effective est neacutegative Commenter la forme de latrajectoire

4) Agrave quelle condition peut-on libeacuterer un objet de lrsquoattraction terrestre

5) Calculer la valeur de la vitesse de libeacuteration si lrsquoon considegravere que lrsquoon part drsquouneorbite de transfert agrave 220 km drsquoaltitudeAN RT = 6378 km MT = 61024 kg G = 66710minus11 USI

8 Trajectoire elliptique

Soit la courbe plane drsquoeacutequation polaire r = p1+e cos u

avec p gt 0 et 0 lt e lt 1

1) Agrave lrsquoaide de coordonneacutees carteacutesiennes montrer que cette courbe est une ellipse donton calculera les demi-axes a et b en fonction du paramegravetre p et de lrsquoexcentriciteacute e

Dans la suite on supposera que le mouvement est elliptique

2) Montrer que lrsquoacceacuteleacuteration radiale de ce mouvement est de la forme ar = minus Kr2

On retrouvera drsquoabord lrsquoexpression geacuteneacuterale de ar en fonction de r et de leurs deacuteriveacuteestemporelles dans le cas drsquoun mouvement plan quelconque puis on posera pour lemouvement agrave force centrale r2u = C

3) Exprimer le paramegravetre p de lrsquoellipse en fonction des constantes K et C

4) En utilisant lrsquoaire de lrsquoellipse eacutetablir la relation entre la peacuteriode T du mouvementet le demi-grand axe a de lrsquoorbite

5) AN sachant que la constante K est la mecircme pour toutes les planegravetes du systegravemesolaire calculer le demi-grand axe a des orbites de Pluton Jupiter et Mercure Ondonne

Planegravetes T a

Terre 365 jours 150106 km

Mercure 88 jours

Jupiter 118 ans

Pluton 2484 ans

9 Satellite freineacute

1) Un satellite de la Terre de masse m est placeacute sur une orbite elliptique Eacutecrirelrsquoexpression de son eacutenergie meacutecanique en fonction de sa vitesse v et de sa coordonneacuteeradiale r

2) Montrer que les coordonneacutees radiales rA et rB de lrsquoapogeacutee et du peacuterigeacutee sont ra-cines drsquoune eacutequation du second degreacute dont les coefficients srsquoexpriment en fonctionde lrsquoeacutenergie meacutecanique et de la constante des aires

3) En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique en fonction du demi-grand axe ade lrsquoellipse et eacutetablir la relation

v2 = g0R2(

2rminus 1

1vrarr

Figure 1012

4) Le satellite est initialement situeacute sur uneorbite circulaire de rayon r0 Deacuteterminer savitesse v0

5) Agrave son passage par un point A de lrsquoorbiteon exerce sur le satellite dans la direction deson vecteur vitesse et de faccedilon quasi instan-taneacutee une force qui le ralentit

Deacuteterminer la vitesse v1 qursquoil doit prendrepour atteindre la Terre en un point P tel queAOP = p

2 (O deacutesigne le centre de la Terre)

6) Calculer la variation drsquoeacutenergie cineacutetique subie par le satellite

10 Satellite

Un satellite est lanceacute agrave la distance ro du centre de la Terre avec une vitesse v0

1) Agrave quelle condition se met-il sur une trajectoire elliptique ayant pour foyer le centrede la Terre

2) Agrave quelle condition le point de lancement est-il le peacuterigeacutee Agrave quelle condition est-illrsquoapogeacutee

3) Agrave quelle condition lrsquoellipse ne recoupe-t-elle pas la Terre

11 Orbite de transfert

On veut faire passer un satellite de lrsquoorbite circulaire C1 de rayon R1 = 7 000 kmagrave lrsquoorbite C2 de rayon R2 = 7 400 km Pour cela il faut provoquer la mise agrave feu aupoint M1 de fuseacutees permettant de modifier leacutegegraverement le module de la vitesse sanschanger sa direction ni son sens ceci en un temps tregraves court devant la peacuteriode derotation La vitesse V prime

1 est infeacuterieure agrave la vitesse de libeacuteration du point M1

1) Quelle est la nouvelle orbite du satellite orbite de transfert ou drsquoeacutechange (E)

Figure 1013

2) On se propose de deacuteterminer V prime1 de fa-

ccedilon que la nouvelle orbite passe par le pointM2 (figure 1013) Montrer que lrsquoorbite (E)sera tangente en M2 au cercle (C2) de rayonR2 Quelle sera la peacuteriode TE de lrsquoorbitedrsquoeacutechange

3) Soit V prime2 la vitesse du satellite en M2 sur

(E) En utilisant lrsquoeacutenergie meacutecanique et laconstante des aires deacuteterminer les expres-sions des vitesses V prime

1 et V prime2 Les calculer nu-

meacuteriquement

4) Au point M2 on acceacutelegravere agrave nouveau le sa-tellite pour le placer sur une orbite circulaire(C2) Sa vitesse passe alors de V prime

2 agrave V2 sanschangement de direction ougrave de sens Calcu-ler V2 et la variation totale drsquoeacutenergie cineacutetique due aux deux acceacuteleacuterations celle subieen M1 et celle subie en M2 Comparer cette variation agrave E2 minus E1 Expliquer ce reacutesul-tat Calculer le travail fourni par les moteurs des fuseacutees pour reacutealiser le changementdrsquoorbite

AN RT = 6 378 km MT = 61024 kg G = 66710minus11 USI

Solutions

1 1) Soit P le peacuteriheacutelie de la trajectoire et A lrsquoapheacutelie Si F est le foyer (position du Soleil autourduquel tournent les planegravetes) alors (figure 118) FA + FP = 2a

Si lrsquoon reprend lrsquoeacutequation polaire de lrsquoellipse nous savons que r (u) = p1+e cos u

Au peacuteriheacutelie (figure 118) nous avons u = 0 drsquoougrave rP = FP = p(1+e) et agrave lrsquoapheacutelie u = p soitrA = FA = p(1minuse) Il srsquoensuit que 2a = p

1+e + p1minuse = 2p

1minuse2 ce qui conduit agrave rA = FA = a(1+e)et rP = FP = a(1 minus e) drsquoougrave rA = 16614 UA rP = 13786 UA

2) Le demi-petit axe b est donneacute par (figure 118) b2 = a2(1 minus e2) soit b = 15134 UA

2 1) La vitesse drsquoune planegravete est donneacutee par minusrarrv = rminusrarru r + ruminusrarru u

2) Au peacuteriheacutelie et agrave lrsquoapheacutelie r par un extreacutemum ce qui impose r = 0on a donc dans ces deuxpositions minusrarrv = ruminusrarru u

3) Lrsquoaire parcourue par la planegravete entre deux instants t et t + dt est donneacutee par dAdt = 1

2 r2u = 12 C

Cette quantiteacute est constante en vertu de la conservation du moment cineacutetique Ceci constituela deuxiegraveme loi de Kepler C est appeleacutee la constante des aires

4) Il est facile de voir qursquoau peacuteriheacutelie et agrave lrsquoapheacutelie vP = rPuP et vA = rAuA

En utilisant le reacutesultat de la question 3 il est facile de voir que vPrP = vArA = C

Le rapport des deux vitesses est donc (voir exercice 1) vPvA

= rArP

= 1+e1minuse

Il srsquoensuit que la vitesse la plus eacuteleveacutee est celle du peacuteriheacutelie Plus la planegravete est eacuteloigneacutee et pluselle se deacuteplace vite

5) Sa vitesse agrave lrsquoapheacutelie est vA = 08456 kmsminus1 Lrsquoexcentriciteacute de la trajectoire est e = 097

3 1) Voir la figure 1014

0 5 100

a (UA)

nneacutee

0 500 10000

Figure 1014

Nous voyons que le carreacute de la peacuteriode est proportionnel au cube du grand axe a De plusdans le systegraveme drsquouniteacute choisi (T en anneacutees et a en UA) la pente de la droite T2 = f (a3) esteacutegale agrave 1 et lrsquoon a donc T2 = a3

2) La remarque preacuteceacutedente conduit agrave a3(Mercure) = 0 242 =rArr a(Mercure) = 0 0192 UAT2(Venus) = 0723 =rArr T = 0 1866 an

4 Orbite de Jupiter

1) La distance entre les deux foyers de lrsquoorbite de Jupiter est 2OG = 2c = 2ae = 09672 UA

2) Agrave lrsquoapheacutelie nous avons vu (exercice 1) que rA = a(1 + e) = 56836 UA

1) Il srsquoagit drsquoune orbite circulaire donc la vitesse du satellite est de norme constante Dansla base de Frenet minusrarre t

minusrarre n relative au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique consideacutereacute comme galileacuteen leprincipe fondamental de la dynamique appliqueacute au sytegraveme satellite conduit agrave

mminusrarra SR = md vd t

minusrarre t + mv2

rminusrarre n = G mMT

r2minusrarre n

2) On en deacuteduit que d vd t = 0 =rArr v = cste et que m v2

r = G mMTr2 =rArr v2 = G MT

AN G = 666710minus11 USI r = (6378 + 130) km MT = 61024 kg =rArr v = 78 kmsminus1

1) Pour qursquoun satellite soit geacuteostationnaire il faut qursquoil reste fixe par rapport agrave un point parti-culier de la Terre Il faut donc qursquoil ait un mouvement circulaire uniforme et que sa peacuteriode dereacutevolution soit eacutegale agrave la peacuteriode de rotation de la Terre De plus pour qursquoil reste constammenten regard drsquoun point de la Terre il faut qursquoil se trouve dans le plan eacutequatorial En utilisant lereacutesultat de lrsquoexercice preacuteceacutedent on voit que

v2 = r2v2 = r2 4p2

T2 = G MTr =rArr r3 = G MT

4p2 T2

On trouve une valeur de r = 42 223 km soit une altitude de 35 823 km Nous en deacuteduisonsaussi que v = 42 223 times 710minus5 = 3 07 kmsminus1

2) Nous avons donc rP = 6 600 km et rA = 42 223 km soit rP + rA = 48 823 km = 2a Ledemi-grand axe vaut donc a = 24 411 km Nous avons vu agrave lrsquoexercice 2 que vPrP = vArA = C

Nous savons aussi que la conservation du moment cineacutetique impose que dAdt = 1

2 r2u = 12 C

=rArr 2pabTt

= C avec Tt peacuteriode de lrsquoorbite de transfert Rappelons que lrsquoaire drsquoune ellipse esteacutegale agrave pab Nous voyons donc que vP = 2pab

Or nous savons drsquoapregraves la troisiegraveme loi de Kepler que T2t = 4p2a3

GMT drsquoougrave

vP =2pab

GMTa(1 minus e)

et comme b = aradic

1 minus e2 nous concluons que

a2 (1 minus e2)q

GMT(1 minus e)

GMT (1 + e)a (1 minus e)

arP= 1048 kmsminus1

Nous en deacuteduisons que vA = 10 48times6 60042 223 = 1638 kmsminus1 Pour lrsquoamener de lrsquoorbitede transfert agrave lrsquoorbite circulaire il faut lui communiquer de lrsquoeacutenergie car la vitesse du satellite agravelrsquoapogeacutee est trop faible par rapport agrave celle qui correspond agrave lrsquoorbite circulaire

7 Vitesse de libeacuteration ou 2e vitesse cosmique

1) Lrsquoeacutenergie effective drsquoun systegraveme est Eeff = m C2

2r2 minus G m1m2r avec m = m1m2

2) Voir la figure 911

3) Si lrsquoeacutenergie effective est neacutegative le systegraveme est lieacute Lrsquoobjet de masse la plus petite ne peutpas quitter lrsquoattraction de lrsquoautre objet On dit qursquoil est enfermeacute dans un puits de potentiel

4) La libeacuteration se produit quand E = 0

5) Pour libeacuterer un objet de masse m de lrsquoattraction de la Terre il faut lui communiquer unevitesse v qui veacuterifie

mv2 minus G mMT

r= 0 =rArr v =

r= 11 kmsminus1 (108)

1) Nous voyons que r + re cos u = p =rArr y2 + x2(1 minus e2) + 2pex = p2

1 minus e2+ x2 + 2x

pe1 minus e2

+bdquo

pe1 minus e2

laquo2

pe1 minus e2

laquo2

1 minus e2

1 minus e2+ (x +

pe1 minus e2

)2 =p2

(1 minus e2)2

soitbdquo

yradic

1minuse2

laquo2

+ldquo

1minuse2

p x + erdquo2

Lrsquoeacutequation drsquoune ellipse de centre (x0 0) de petit axe b et de grand axe a est (xminusx0)2

a2 + y2

b2 = 1

Il srsquoensuit que a = p(1 minus e2) b = pradic

1 minus e2 x0 = minusea = minusep(1 minus e2)

2) Dans la base polaireldquominusrarru r

minusrarru uminusrarrk

le vecteur acceacuteleacuteration srsquoeacutecrit minusrarra = (rminus ru2 2ru+ ru 0)

Sa composante radiale est donc ar = rminus ru2 Le mouvement eacutetant agrave force centrale nous avonsr2u = C =rArr dr2 u

dt = 0 = 2ru+ru Il nrsquoy a donc pas drsquoacceacuteleacuteration orthoradiale Si lrsquoon appliquele principe fondamental de la dynamique on voit que mar = minusGmMr2 =rArr ar = minus K

r2 avecK = GM

3) ar = r minus ru2 = minus k

r2 r = p1+e cos u

et C = r2u Nous avons ru2 = C2

r3 Il resteexprimer r On a r = d r

d uu soit r = ep sin u

(1+e cos u)2 u = ep r2 sin u C

r2 = eCp sin u On a en-

suite r = d rd u

u = eCp cos u C

r2 = eC3

pr2 cos u Lrsquoexpression de lrsquoacclration radiale donne

ar = r minus ru2 = eC2

pr2 cos u minus C2

r3 = C2

r2 ( e cos up minus 1+e cos u

p ) = minus C2

pr2 = minus Kr2 =rArr p = C2

K = C2

4) La loi des aires conduit agrave 2pabT = C Or b = a

radic1 minus e2

9 1) E = 12 mv2 minus G mMT

2) Agrave lrsquoapogeacutee (A) et au peacuterigeacutee (B) nous avons vArA = vBrB = C (voir exercice 2) On en deacuteduitque

r2Aminus G mMT

rA=rArr r2

A + G mMT

ErA minus

3) La somme des racines de cette eacutequation qui est veacuterifieacutee pour rA et rB est

rA + rB = 2a = minusG mMT

E=rArr E = minusG mMT

Comme g0R2T=GMT il srsquoensuit que

v2 minus g0R2T

r= minusg0R2

2a=rArr v2 = g0R2

2rminus 1

4) Si lrsquoorbite est circulaire alors a = r = r0 drsquoougrave v20 =

r0et Ec = 1

2 mv20 =

mg0R2T

5) Pour que le sattelite arrive sur la Terre au point P il faut que son orbite soit elliptique Aupoint P lrsquoeacutequation parameacutetreacutee de lrsquoellipse conduit agrave r (u = p2) = RT = p

1+e cos u= p

Or le paramegravetre p de lrsquoellipse veacuterifie p = C2

G(m+MT ) C2

GMT= C2

=rArr C2 = g0R3T

Agrave lrsquoapogeacutee crsquoest-agrave-dire au point A de cette trajectoire elliptique nous avons r1v1 = C et parhypothegravese r1 = r0 donc v1 = C

g0R3T rArr v2

1 = RTr0

6) La variation drsquoeacutenergie cineacutetique est

DEc =12

v21 minus v2

r0minus 1

=mg0R2

r0minus 1

10 1) La trajectoire est elliptique si lrsquoeacutenergie meacutecanique est neacutegative soit

mv20 minus G mMT

r0lt 0 =rArr v2

0 lt 2G MT

2) Le point de lancement est le peacuterigeacutee si v0 est perpendiculaire agrave r0 et si r0 est miminum

Le point de lancement est lrsquoapogeacutee si v0 est perpendiculaire agrave r0 et si r0 est maximum

3) Lrsquoellipse ne recoupe pas la Terre si r = p1+e cos u

1) La nouvelle orbite est elliptique

2) En M1 la vitesse vprime1 tangente agrave la trajectoire est perpendiculaire agrave OM1 donc ce point est lepeacuterigeacutee Le point M2 diameacutetralement opposeacute est donc lrsquoapogeacutee En cette position la vitesseest de nouveau perpendiculaire agrave OM2 donc lrsquoorbite (E) est bien tangente en M2 au cercle (C2)Le grand axe de lrsquoellipse est eacutegal agrave 2a = R1 + R2 On en conclut que a = R1+R2

2 = 7 200 km

et T2E = 4p2a3

GMT 1 h 40 min

3) La vitesse vprime1 est donneacutee par la conservation de lrsquoeacutenergie

E = 12 mvprime21 minus G mMT

R1= minusG mMT

2a =rArr vprime21 = 2G MTR1

minus G MTa 7 79 kmsminus1

Il est clair que la vitesse vprime2 doit satisfaire vprime2R2 = vprime1R1 = C =rArr vprime2 = vprime1R1R2

7371 kmsminus1

4) Sur une orbite circulaire de rayon R2 la vitesse veacuterifie (application du PFD) v2 =q

G MTR2

lrsquoeacutenergie est E2 = 12 mv2

2 minus G mMTR2

= minusG mMT2R2

La variation drsquoeacutenergie cineacutetique srsquoeacutecrit

DEc =12

mvprime21 minus 1

mv22 minus

mvprime22

R1minus G mMT

minus G mMT

2R1+ G mMT

2R2minus

R2minus G mMT

DEc = G mMT

2R1minus GmMT

2R2 E2 minus E1 = G mMT

2R1minus G mMT

2R2= DEc

La variation drsquoenergie cineacutetique correspond au travail des moteurs

Le travail des moteurs srsquoeffectue sans changement drsquoeacutenergie potentielle On retrouve donc lefait que la variation drsquoeacutenergie meacutecanique correspond agrave la variation drsquoeacutenergie cinetique

ANNEXE 1

RAPPELDES OUTILS MATHEacuteMATIQUES

1 SCALAIRES ET VECTEURS

Il est important de noter qursquoune quantiteacute physique peut se preacutesenter sous les deux naturesdiffeacuterentes que sont les scalaires et les vecteurs

Une quantiteacute scalaire1 est geacuteneacuteralement un nombre affecteacute drsquoune uniteacute comme parexemple la reacutesistance drsquoun reacutesistor la tempeacuterature ou la pression en un point de lrsquoes-pace Alors que pour un reacutesistor la donneacutee drsquoun seul nombre suffit agrave caracteacuteriser la valeurde la reacutesistance drsquoautres grandeurs physiques dont la valeur change avec par exemple laposition dans lrsquoespace ne pourront pas ecirctre caracteacuteriseacutees par un seul nombre Ce type degrandeur fait appel agrave la notion plus geacuteneacuterale de champ de scalaires Le champ contraire-ment au scalaire lui-mecircme nrsquoest plus deacutefini par un seul nombre mais par une infiniteacute denombres qui repreacutesentent lrsquoeacutevolution de la quantiteacute scalaire dans lrsquoespace Les exemples dechamps de scalaires sont tregraves nombreux comme le potentiel en eacutelectrostatique la pressiondans un fluide la densiteacute dans un solide inhomogegravene Un champ de scalaires peut eacuteven-tuellement se mateacuterialiser par une forme analytique lorsque les causes qui le produisentont une symeacutetrie suffisamment grande pour en permettre le calcul Un exemple simple estle potentiel eacutelectrostatique V(x y) creacuteeacute dans un plan par une charge ponctuelle q donneacutepar

V(x y) =1

4pacuteo

q(x2 + y2)12

Le potentiel ainsi deacutefini varie dans le plan et peut ecirctre calculeacute en tous points (sauf agrave lrsquoori-gine) Le potentiel est donc un champ de scalaires qui peut ecirctre repreacutesenteacute dans lrsquoespaceAgrave tout point M(x y) du plan on associe la cote z = V(x y) Lrsquoensemble des points de coor-donneacutees (x y z = V(x y)) deacutefinit une surface dans lrsquoespace La figure A11 en donne unerepreacutesentation qui illustre eacutegalement la symeacutetrie de reacutevolution de ce champ de scalaires

Les quantiteacutes vectorielles diffegraverent des quantiteacutes scalaires par le fait qursquoelles ne peuventecirctre deacutefinies que si lrsquoon prend soin de preacuteciser la direction le sens le point drsquoapplicationet lrsquointensiteacute de leur action Par deacutefinition un vecteur est un bipoint orienteacute dont la lon-gueur correspond agrave lrsquointensiteacute de la quantiteacute vectorielle ainsi repreacutesenteacutee On peut citerbon nombre de grandeurs physiques vectorielles telles que la vitesse les forces le champeacutelectrique et le champ magneacutetique La figure A12 donne la repreacutesentation drsquoune forcede pousseacutee sur un objet On voit que le vecteur force est caracteacuteriseacute par une direction quirepreacutesente la droite drsquoaction de la force un sens un point drsquoapplication et une intensiteacutescheacutematiseacutee par la longueur du vecteur force

1 Nous conseillons en compleacutement agrave nos lecteurs lrsquoouvrage Matheacutematiques pour la physique Y NoirotJ-P Parisot et N Brouillet Dunod 1997

z = V(xy)M

Potentiel v(xy)

Charge eacutelectrique

Figure A11 bull Potentiel eacutelectrostatique creacuteeacute par une charge ponctuelle

Crsquoest bien parce queje pousse en ce pointdans cette direction et

assez fort que lechariot avance

Droite drsquoactionde la forcePoint drsquoapplication

de la force

Vecteur force

Figure A12 bull Illustration du caractegravere vectoriel de la force

1Frarr

2Frarr

Figure A13 bull Effets de laposition du point drsquoapplicationdes forces sur la rotation drsquoun

solide la forceminusrarrF1 est sans

action sur la rotation alors que laforce

minusrarrF2 favorise la rotation

dans le sens trigonomeacutetrique

Il convient de noter que le point drsquoapplication duvecteur peut revecirctir une importance capitale danscertains cas comme dans celui ougrave un systegraveme esten rotation autour drsquoun axe fixe

Il est clair dans lrsquoexemple de la figure A13 queles forces

minusrarrF 1 et

minusrarrF 2 qui sont eacutegales nrsquoont pas la

mecircme action sur le solide essentiellement parceqursquoelles diffegraverent par la position de leur pointdrsquoapplication Hormis le problegraveme important dela rotation il faut remarquer que lorsqursquoun sys-tegraveme est soumis agrave plusieurs forces il est toujourspossible de ramener toutes les forces agrave la mecircmeorigine pour en deacuteterminer la reacutesultante Unexemple est proposeacute sur la figure A14 ougrave lrsquoonvoit que les forces agissant sur un objet cubiquepeuvent ecirctre rameneacutees en un point G unique defaccedilon agrave permettre la construction de la sommevectorielle

Annexes 285

tRrarr

nRrarr

tRrarr

Figure A14 bull Reacutesultante des forces appliqueacutees agrave un solidePour deacuteterminer la reacutesultante des forces on ramegravene le point drsquoapplication

de toutes les forces en un seul point Nous avons choisi ici le point G

En meacutecanique les vecteurs sont toujours deacutefinis en un point preacutecis de lrsquoespace et sontrepreacutesenteacutes geacuteneacuteralement par un vecteur unique Cependant il existe drsquoautres situationspour lesquelles la quantiteacute physique vectorielle varie drsquoun point agrave un autre de lrsquoespace on parle alors de champ de vecteurs Des exemples courants de champs de vecteurs sontle champ eacutelectrique le champ magneacutetique et le champ de gravitation mais on peut aussiimaginer le champ de vitesses dans un fluide en mouvement (figure A15) etc Ces champsvectoriels peuvent ecirctre aleacuteatoires mais aussi deacutetermineacutes par une expression analytique quideacutefinira leur valeur en tous points

Figure A15 bull Champde reacutepartition des

vitesses dans un fluideen eacutecoulement dans un

Le champ de gravitation agrave la surface de la Terre est un bonexemple de champ de vecteurs dont la repreacutesentation peutecirctre deacutefinie par une expression analytique qui deacutecoule dela loi de Newton En tout point P de lrsquoespace distant de SPdu centre S de la Terre le champ de gravitation est donneacutepar

minusrarrG (P) = minusGMT

minusrarrSP

Comme lrsquoindique la figure A16 ce champ est radial etcentripegravete (dirigeacute vers le centre de la Terre) Sa norme estconstante agrave la surface de toute sphegravere de rayon SP

(P)Grarr

Figure A16 bull Champ de gravitation agrave la surface de la Terre

2 COMPOSANTES DrsquoUN VECTEUR

21 RepegravereDans de nombreux problegravemes il importe de preacuteciserlrsquoorientation drsquoun vecteur par rapport agrave une reacutefeacuterence arbitrairement choisie Les direc-tions de reacutefeacuterence ou axes du systegraveme de reacutefeacuterence permettront de qualifier lrsquoorientationdu vecteur par rapport agrave ce systegraveme Le systegraveme de reacutefeacuterence que lrsquoon choisit est appeleacuterepegravere Il est constitueacute drsquoun systegraveme drsquoaxes et drsquoune origine Dans lrsquoespace physique lrsquoundes repegraveres les plus utiliseacutes est le repegravere carteacutesien Il est formeacute drsquoune origine O et de troisaxes x y et z Dans le repegravere choisi on se deacutefinit ensuite une base En physique nous uti-liserons exclusivement une base orthonormeacutee crsquoest-agrave-dire une base dans laquelle les troisvecteurs de base sont orthogonaux entre eux et unitaires

La position de la base dans le reacutefeacuterentiel deacutefinit le systegraveme de coordonneacutees du point dansle reacutefeacuterentiel Un systegraveme de coordonneacutees tregraves utiliseacute est le systegraveme de coordonneacutees car-teacutesiennes Il en existe drsquoautres comme le systegraveme de coordonneacutees polaires ou spheacuteriques

22 Coordonneacutees carteacutesiennesDans le systegraveme de coordonneacutees carteacutesiennes preacutesenteacute sur la figure A17 la direction des

vecteurs de base(minusrarr

i minusrarrj

minusrarrk)

du repegravere (O x y z) est confondue avec celle des axes durepegravere Les vecteurs sont orthornormeacutes crsquoest-agrave-dire orthogonaux entre eux et unitaires(la longueur du vecteur est eacutegale agrave 1) Tout point M dans lrsquoespace est deacutefini par ses troiscoordonneacutees (x y z) et on lui associe un vecteur

minusrarrOM = x

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk repreacutesenteacute

symboliquement par ses composantes (x y z)

B (x2 y2 0)

A (x1 y1 0)

Figure A17 bull Repreacutesentation du systegraveme de coordonneacutees carteacutesiennes

Si les points A et B sont contenus dans le plan xOy les vecteurs position des pointsA(x1 y1 0) et B(x2 y2 0) noteacutes

minusrarrOA et

minusrarrOB veacuterifient

minusrarrOA = x1

minusrarri + y1

minusrarrj

minusrarrOB = x2

minusrarri + y2

minusrarrj

ce qui permet en utilisant la relation de Chasles de deacutefinir le vecteurminusrarrAB

minusrarrAB = (x2 minus x1)

minusrarri + (y2 minus y1)

minusrarrj

La meacutethode preacuteceacutedente est geacuteneacuteralisable agrave trois dimensions et un vecteur quelconque delrsquoespace pourra toujours srsquoeacutecrire

minusrarrV = x

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk

Annexes 287

Par deacutefinition de la norme sa longueur est donneacutee par ∥∥∥minusrarrV ∥∥∥ = V =radic

x2 + y2 + z2

23 Coordonneacutees cylindriques ou polaires

En coordonneacutees cylindriques on utilise une base que lrsquoon notera(minusrarru r

minusrarru uminusrarrk)

Cettebase est utiliseacutee dans tous les problegravemes ou la symeacutetrie est de reacutevolution autour drsquoun axeque lrsquoon fixe arbitrairement comme eacutetant lrsquoaxe z Le vocable laquo coordonneacutees polaires raquo estreacuteserveacute au problegraveme plan z = 0 La base est repeacutereacutee par rapport au repegravere (O x y z) parlrsquoangle u que fait le vecteur minusrarrur avec lrsquoaxe des x

ρurarr

θurarr

ρurarr

Figure A18 bull Repreacutesentation du systegraveme de coordonneacutees polaires (agrave gauche)et de coordonneacutees cylindriques (agrave droite)

Le vecteurminusrarrOM srsquoeacutecrit dans la base polaire

minusrarrOM = rminusrarrur =rArr OM = r

Il est repeacutereacute par deux coordonneacutees de position qui sont r et u Dans la base cylindriquece vecteur srsquoeacutecrit

minusrarrOM = rminusrarrur + z

minusrarrk =rArr OM =

radicr2 + z2

Il est repeacutereacute par trois coordonneacutees de positions qui sont r u et z

24 Coordonneacutees spheacuteriques

Ce systegraveme de coordonneacutees illustreacute sur la figure A19 est tregraves utile dans tous les pro-blegravemes agrave symeacutetrie spheacuterique dont un bon exemple est le repeacuterage drsquoun point agrave la surfacede la Terre

Le vecteurminusrarrOM est un vecteur radial Il peut srsquoexprimer en fonction du vecteur unitaire ra-

dial minusrarru r qui lui est colineacuteaire minusrarrOM = rminusrarru r et la base locale spheacuterique associeacutee agrave la position

du point M est formeacutee des trois vecteurs unitaires(minusrarru r

minusrarru uminusrarru w

) Ces trois vecteurs uni-

taires sont associeacutes de faccedilon agrave former une base orthonormeacutee directe Nous noterons queces vecteurs deacutependent de la position du point M et donc varient drsquoun point agrave lrsquoautre delrsquoespace Seule leur norme reste constante puisqursquoils sont unitaires Le point M est repeacutereacutedans ce systegraveme de coordonneacutees par trois coordonneacutees de positions qui sont r u et w

θrurarr

ϕurarr

θurarr

Figure A19 bull Illustration des grandeurs utiliseacutees dans le systegraveme de coordonneacutees spheacuteriques

3 PRODUIT SCALAIRE

31 Deacutefinition

α ararr

Figure A110 bull Produitscalaire de deux vecteurs

Soit deux vecteurs minusrarra etminusrarrb faisant un angle a entre eux

on appelle produit scalaire de minusrarra parminusrarrb la quantiteacute sca-

laire deacutefinie par

minusrarra minusrarrb = minusrarra

∥∥∥minusrarrb ∥∥∥ cos(a)

Lorsque lrsquoun des deux vecteurs du produit scalaire est unvecteur unitaire le produit scalaire est alors la projectiondu vecteur sur la direction du vecteur unitaire crsquoest-agrave-dire la composante de ce vecteur dans cette direction

Le produit scalaire est une grandeur positive neacutegative ou nulle selon la valeur de lrsquoangle aentre les deux vecteurs qui forment le produit

Le calcul du produit scalaire peut se faire agrave partir des composantes des deux vecteurs Eneffet nous avons

minusrarra minusrarrb =

(x1minusrarri + y1

minusrarrj + z1

minusrarrk)

x2minusrarri + y2

minusrarrj + z2

minusrarrk)

= x1x2 + y1y2 + z1z2

On utilise aussi la notation suivante en vecteur colonne

( x1y1z1

( x2y2z2

)= x1x2 + y1y2 + z1z2

Annexes 289

32 Proprieacuteteacutes

a) Condition de nulliteacute

Le produit scalaire de deux vecteurs minusrarra etminusrarrb est nul si et seulement si

bull lrsquoun des vecteurs est nul bull les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux

b) Relation avec la norme

La norme drsquoun vecteur est eacutegale agrave la racine carreacutee de lrsquoautoproduit scalaire

minusrarra =radicminusrarra minusrarra

c) Angle entre deux vecteurs

Par deacutefinition lrsquoangle formeacute entre deux vecteurs minusrarra etminusrarrb est donneacute par

cos(a) =abab

Ainsi le cosinus de lrsquoangle entre les deux vecteurs minusrarra (120) etminusrarrb (3-21) est donneacute par

cos(a) = minus 1radic70

33 Applications

a) Identiteacute drsquoAlcachi longueur drsquoun cocircteacute drsquoun triangle

Figure A111 bull Notations utiliseacutees dans un triangle quelconque ABC

Il est possible de calculer la longueur du cocircteacute AB agrave partir du produit scalaire deminusrarrAB par

lui-mecircme minusrarrAB =

minusrarrAC +

minusrarrCB

AB2 = AC2 + CB2 + 2minusrarrAC

minusrarrCB

c2 = b2 + c2 + 2bc cos a

b) Travail drsquoune force constante

Figure A112 bull Travail drsquoune force

Par deacutefinition on appelle travail de la forceminusrarrF

constante sur le deacuteplacement AB rectiligne laquantiteacute

WFArarrB =minusrarrF

minusrarrAB

4 PRODUIT VECTORIEL

41 Deacutefinition

On appelle produit vectoriel de minusrarra parminusrarrb le vecteur minusrarrc noteacute

minusrarrc = minusrarra and minusrarrb

dont la direction est perpendiculaire agrave minusrarra et agraveminusrarrb le sens est donneacute par la regravegle du tire-

bouchon et la norme en deacutesignant par a lrsquoangle entre minusrarra etminusrarrb par

c = ab sin a

La regravegle du tire-bouchon consiste agrave placer un tire-bouchon perpendiculairement au planformeacute par les vecteurs minusrarra et

minusrarrb puis agrave tourner le tire bouchon dans le sens correspondant

agrave celui qursquoimpose le produit vectoriel (de minusrarra versminusrarrb srsquoil srsquoagit du produit vectoriel minusrarra andminusrarr

b )Le sens du produit vectoriel est alors donneacute par le sens de deacuteplacement du tire bouchon(figure A113)

bacrarrrarrrarr

and=brarr

Figure A113 bull Deacutetermination du sens du produit vectoriel en utilisant la regravegle du tire-bouchon

Nous constatons que les vecteurs (minusrarra minusrarrb minusrarrc ) forment un triegravedre direct comme les vecteurs

(minusrarri

minusrarrj

minusrarrk ) dans une base orthonormeacutee directe

a) Anticommutativiteacute

Le produit vectoriel change de signe lorsque lrsquoon intervertit les vecteurs Cette proprieacuteteacuteest appeleacutee anticommutativiteacute

minusrarra and minusrarrb = minusminusrarr

b and minusrarra

Annexes 291

b) Condition de nulliteacute

Le produit vectoriel de deux vecteurs minusrarra etminusrarrb est nul si et seulement si

bull lrsquoun des deux vecteurs est nul bull les vecteurs minusrarra et

minusrarrb ont mecircme direction

c) Double produit vectoriel

Nous donnons sans deacutemonstration lrsquoexpression du double produit vectoriel

minusrarra and (minusrarrb and minusrarrc ) = (minusrarra minusrarrc )

minusrarrb minus (minusrarra

minusrarrb )minusrarrc

d) Signification geacuteomeacutetrique du produit vectoriel

Consideacuterons deux vecteurs minusrarra etminusrarrb faisant un angle a entre eux

aba and

Figure A114 bull Repreacutesentation geacuteomeacutetrique de la surface correspondant au produit vectoriel

La norme du produit vectoriel est eacutegale agrave c = ab sin a

Crsquoest la surface griseacutee du rectangle de la figure A114 Cette surface correspond de touteeacutevidence agrave la surface du paralleacutelogramme deacutefini par les vecteurs minusrarra et

minusrarrb En outre

le produit vectoriel repreacutesente le vecteur surface orienteacute perpendiculairement agrave la surfacedeacutefinie par minusrarra et

minusrarrb

43 Meacutethode de calculConsideacuterons deux vecteurs minusrarra et

minusrarrb dont les composantes sont donneacutees par

minusrarra =

∣∣∣∣∣ x1y1z1

minusrarrb =

∣∣∣∣∣ x2y2z2

Le produit vectoriel de minusrarra etminusrarrb peut srsquoexprimer en fonction des composantes de minusrarra et de

minusrarrb par

minusrarra and minusrarrb =

(x1minusrarri + y1

minusrarrj + z1

minusrarrk)and(

x2minusrarri + y2

minusrarrj + z2

minusrarrk)

⎧⎪⎨⎪⎩x1y2

minusrarri and minusrarr

j + y1x2minusrarrj and minusrarr

i+x1z2

k + z1x2minusrarrk and minusrarr

i+z1y2

minusrarrk and minusrarr

j + y1z2minusrarrj and minusrarr

⎫⎪⎬⎪⎭

En deacuteveloppant les produits vectoriels des vecteurs de base il vient

∣∣∣∣∣ z2y1 minus z1y2z1x2 minus z2x1x1y2 minus x2y1

44 Applicationsa) Normale agrave un plan

Soit trois points A B et C Par ces trois points il passe un plan dont la normale peut ecirctredeacutefinie par le produit vectoriel des vecteurs contenus dans le plan Le vecteur unitaire minusrarrucolineacuteaire agrave la normale est donneacute par

minusrarru =minusrarrAB and minusrarr

AC∥∥∥minusrarrAB and minusrarrAC∥∥∥

b) Moment drsquoune force

Consideacuterons un solide en rotation autour drsquoun axe fixe et soumis agrave une forceminusrarrF dont le

point drsquoapplication est en P (figure A115)

dOPHP == αsin

Figure A115 bull Repreacutesentation du moment drsquoune force par rapport agrave O

Par deacutefinition le moment de la force par rapport agrave O est donneacute par

minusrarrMminusrarr

F O =minusrarrOP and minusrarr

Le moment drsquoune force est donc un vecteur perpendiculaire agrave la fois agrave la forceminusrarrF et agrave

minusrarrOP

La direction et le sens de ce vecteur donnent le sens de rotation que produira lrsquoaction dela force

minusrarrF autour de lrsquoaxe

Dans le cas ougrave le solide peut tourner autour drsquoun axe D passant par le point O le momentde

minusrarrF par rapport agrave D correspond agrave la projection de

minusrarrMminusrarr

F O suivant la direction de D soit

MminusrarrF D

=minusrarrMminusrarr

F Ominusrarrk =

(minusrarrOP and minusrarr

minusrarrk

ougraveminusrarrk est un vecteur unitaire suivant D deacutefinissant le sens positif de rotation avec la conven-

tion habituelle de la regravegle du tire-bouchon

Annexes 293

Si la ligne drsquoaction de la force se trouve dans un plan perpendiculaire agrave D le moment dela force par rapport agrave D est donneacute par

MminusrarrF D

=∥∥∥minusrarrOP∥∥∥ F sin(a) = plusmnFd

ougrave a repreacutesente lrsquoangle entreminusrarrOP et

minusrarrF

La quantiteacute HP = d = OP| sin(a)| est appeleacutee bras de levier de la force

Remarque Si le bras de levier est nul crsquoest-agrave-dire si la droite drsquoaction de la force passepar lrsquoaxe de rotation le moment de

minusrarrF est alors nul

5 DEacuteRIVATION VECTORIELLE

51 Deacutefinition

On appelle deacuteriveacutee drsquoun vecteurminusrarrOM dans une base fixe (

minusrarri

minusrarrj

minusrarrk ) le vecteur dont les

composantes sont les deacuteriveacutees des composantes du vecteurminusrarrOM dans cette base soit

dminusrarrOMdt

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk )

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk

Il est tregraves important de remarquer que la deacuteriveacutee des vecteurs de base est nulle car cesvecteurs sont constants De plus les regravegles de deacuterivation sont les mecircmes que pour lesfonctions scalaires

52 Deacuterivation drsquoun vecteur unitaire tournant

ρurarrj

θurarr

Figure A116 bull Repreacutesentationdes vecteurs tournants dans le

repegravere (Oxy)

Consideacuterons le scheacutema de la figure A116 Le re-pegravere O x y est muni des bases orthornomeacutees (minusrarr

i minusrarrj)

base du systegraveme de coordonneacutees car-teacutesiennes fixe par rapport aux axes x y et(minusrarru r

minusrarru u

) base du systegraveme de coordonneacutees po-

laires mobile par rapport agrave ces axes

Les vecteursminusrarri et

minusrarrj sont constants mais les vec-

teurs unitaires minusrarru r et minusrarru u ne le sont pas car ilspeuvent tourner autour de la normale au planLeur direction varie donc au cours du temps et lesdeux vecteurs minusrarru r et minusrarru u sont appeleacutes des vecteurstournants Nous allons voir comment deacuteriver cesvecteurs non constants dans le temps Exprimons-

les dans la base(

Ominusrarri

minusrarrj)

minusrarru r(t) = cos u(t)minusrarri + sin u(t)

minusrarrj

minusrarru u(t) = minus sin u(t)minusrarri + cos u(t)

minusrarrj

Il est immeacutediat de constater que les vecteurs minusrarru deacutependent du temps par lrsquointermeacutediairede u(t) La deacuterivation temporelle de ces vecteurs srsquoeacutecrit en utilisant la notation diffeacuteren-tielle

dminusrarru r(t)dt

=d(cos u(t)

minusrarri + sin u(t)

minusrarrj )

dminusrarru u(t)dt

=d(minus sin u(t)

minusrarri + cos u(t)

minusrarrj )

Il faut alors remarquer que nous devons deacuteriver des sinus et cosinus par rapport agrave lavariable de deacuterivation t (et non u) En utilisant le fait que

d cos u(t)dt

= minus sin u(t)du(t)

dt= minus sin u(t)

il vient dminusrarru r

dt = (minus sin u(t)minusrarri + cos u(t)

minusrarrj ) du(t)

dminusrarru u

dt = (cos u(t)minusrarri + sin u(t)

minusrarrj ) du(t)

En comparant ces reacutesultats agrave lrsquoexpression des vecteurs minusrarru on voit que

dminusrarrur

dtminusrarru u et

dminusrarru u

dt= minusdu

dtminusrarru r

Nous pouvons donc eacutenoncer ce reacutesultat en tant que theacuteoregraveme que par la suite nous re-tiendrons sous lrsquoappellation du theacuteoregraveme de la deacuteriveacutee du vecteur unitaire tournant

Theacuteoregraveme de la deacuteriveacutee du vecteur unitaire tournant

La deacuteriveacutee par rapport au temps drsquoun vecteur unitaire tournant est eacutegale au vec-teur unitaire tournant qui lui est directement orthogonal multiplieacute par la vitesseangulaire de la rotation de la base tournante

6 DIFFEacuteRENTIELLE DrsquoUNE FONCTION

61 DeacutefinitionConsideacuterons une fonction f de la variable x Cette fonction est deacuterivable sur son domainede deacuterivation et sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit

f prime(xo) = limxrarrxo

f (x) minus f (xo)x minus xo

La repreacutesentation geacuteomeacutetrique de cette fonction correspond dans le plan xOy agrave unecourbe deacutefinie par y = f (x) comme le montre la figure A117 Consideacuterons la droite tan-gente agrave la courbe au point drsquoabscisse xo La deacuteriveacutee f prime(xo) est eacutegale agrave la tangente de lrsquoangleque fait cette droite avec lrsquoaxe des x

Soit une variation quelconque Dx de la variable x On deacutefinit la diffeacuterentielle de la fonctionf (x) par d f (x) = f prime(x) Dx

Annexes 295

x0+dx xo

f(x0+dx)

y y=f(x)

Figure A117 bull Signification geacuteomeacutetrique de la notion de deacuteriveacutee

Cette diffeacuterentielle est fonction de lrsquoabscisse x mais aussi de la variation Dx choisie

Remarque Pour la fonction f (x) = y = x on obtient df (x) =dy =dx = 1Dx = Dx Oneacutecrira donc toujours df (x) = f prime(x)dx

Deacutefinition La diffeacuterence drsquoune fonction f drsquoune variable reacuteelle x est eacutegale au produitde la deacuteriveacutee de cette fonction par lrsquoeacuteleacutement diffeacuterentiel (qui est d(variable))

Exemples

La fonction y(x) = 2x a pour diffeacuterentielle dy = 2dx

La fonction S(R) = pR2 a pour diffeacuterentielle dS = 2pRdR

Il est important de remarquer que ces quantiteacutes sont des nombres reacuteels que lrsquoon peutmanipuler comme on le veut De cette faccedilon on peut eacutecrire que

f prime(x) =dfdx

ce qui correspond agrave lrsquoautre notation possible de la deacuteriveacutee drsquoune fonction que lrsquoon appellenotation diffeacuterentielle

62 Interpreacutetation geacuteomeacutetriqueIl est inteacuteressant de comparer lrsquoaccroissement de la fonction f = f (x+dx) minus f (x) et ladiffeacuterentielle de cette fonction pour la mecircme abscisse x et variation dx Cette comparaisonpeut se faire graphiquement

df (xo) = f prime(xo)dx = tan adx = CD

Df = f (xo + dx) minus f (xo) = BD

On constate que la diffeacuterentielle df est diffeacuterente de lrsquoaccroissement de la fonction Df Mais lorsque la quantiteacute dx devient infiniment petite Df tend vers df Il en reacutesulte que ladiffeacuterentielle drsquoune fonction srsquoidentifie agrave la variation de la fonction pour un changementinfiniteacutesimal de la variable

Encart 11 Aire drsquoun disque et diffeacuterentielleAppliquons ceci au cas de la fonction S(R) donnant lrsquoaire drsquoun disque de rayon R Notrepreacuteoccupation est de deacuteterminer la diffeacuterentielle de cette fonction et de la comparer agravelrsquoaccroissement de surface quand le rayon du disque passe de R agrave R+dR De la surfacedrsquoun cercle de rayon R S(R) = pR2 nous tirons celle drsquoun cercle de rayon R+dR

S(R + dR) = p(R + dR)2 = pR2 + 2pRdR + p(dR)2

Lrsquoaccroissement de surface reacutesultant est donneacute par

DS = S(R + dR) minus S(R) = 2pRdR + p(dR)2

alors que la diffeacuterentielle de la fonction vaut dS = 2pRdR

Nous constatons donc que DS =dS au premier ordre par rapport agrave lrsquoinfiniment petitdR crsquoest-agrave-dire en neacutegligeant les termes drsquoordre supeacuterieur en dR (dR agrave une puissancesupeacuterieure agrave 1 est infiniment petit devant dR lui-mecircme infiniment petit)

En physique la quantiteacute dx sera toujours une variation infiniment petite de la va-riable

On confondra donc toujours lrsquoaccroissement de la fonction (exprimeacute au premierordre par rapport agrave dx) avec la diffeacuterentielle de cette fonction

Encart 12 Deacutetermination de lrsquoaire drsquoun disqueSupposons que lrsquoon cherche agrave exprimer la fonction S(r) donnant la surface drsquoun disquede rayon r Exprimons lrsquoaccroissement DS de cette fonction lorsque le rayon passe der agrave r+dr

2πr 2πdr

Figure A118 bull Repreacutesentation geacuteomeacutetrique de la diffeacuterentielle de la surfacedrsquoun cercle et comparaison avec lrsquoaccroissement de surface

La quantiteacute DS est la surface eacuteleacutementaire de la couronne et vaut 2prdr au premierordre par rapport agrave dr (le terme correctif (p(dr)2) est un terme du deuxiegraveme ordre)Cette expression est donc eacutegale agrave la diffeacuterentielle de notre fonction soit

dS = 2prdr = Sprimedr

Nous constatons donc que si lrsquoon connaicirct le rayon drsquoun cercle il est possible de deacuteter-miner lrsquoaugmentation de la surface de ce cercle si la variation de son rayon est faible

Annexes 297

De mecircme nous voyons que si lrsquoon connaicirct le peacuterimegravetre drsquoun cercle de rayon r il est pos-sible de deacuteduire la surface du disque associeacute puisque comme lrsquoindique la figure A118lrsquoaire hachureacutee srsquoeacutecrit

dS = 2prdr =rArr S = pr2 + c

Il est eacutevident que la constante c est nulle puisque la surface drsquoun disque de rayon nulest nulle

63 Calcul de diffeacuterentielles

Les regravegles de calcul de diffeacuterentielles sont les mecircmes que pour le calcul de deacuteriveacutees Parexemple la diffeacuterentielle drsquoun produit de fonctions est donneacutee par

d(fg) = (fg)primedx = f primegdx + fgprimedx = gdf + f dg

64 Diffeacuterentielle drsquoune fonction de plusieurs variablesa) Deacutefinitions

Une fonction reacuteelle de deux variables reacuteelles est une application de R2 dans R qui associeau couple (x y) le reacuteel f (x y) = z

Agrave tout point M du plan (O x y) on fait correspondre un point de lrsquoespace de coordonneacutees(x y z = f (x y)) Lrsquoensemble de ces points forme une surface Un exemple simple estconstitueacute par le lieu des points drsquoaltitude z = constante qui deacutefinit des plans parallegraveles auplan O x y

On peut geacuteneacuteraliser ceci agrave une fonction de trois variables (x y z) rarr f (x y z) Eacutevidemmentla repreacutesentation geacuteomeacutetrique ferait appel agrave un espace agrave quatre dimensions

En sciences physiques la plupart des grandeurs calculeacutees peuvent ecirctre traiteacuteescomme des fonctions de plusieurs variables Crsquoest ainsi que lrsquoeacutenergie dissipeacutee pareffet joule dans une reacutesistance R parcourue par un courant constant drsquointensiteacute ipendant la dureacutee t est W = Ri2t = W(R i t)

b) Deacuteriveacutees partielles

Lorsque lrsquoon fixe toutes les variables sauf une une fonction de plusieurs variables devientune fonction drsquoune variable On peut alors deacuteterminer si elle existe la deacuteriveacutee de cettefonction par rapport agrave cette variable (les autres eacutetant fixeacutees)

Soit la fonction de deux variables f (x y) Si on fixe y = yo alors on peut eacutecrire

f (x yo) = g(x) rArr dgdx

=partfpartx

)y=cste

La notation part (d rond) est reacuteserveacutee aux deacuteriveacutees partielles Ainsi la fonctionf (x y) = x2 + 2yx possegravede deux deacuteriveacutees partielles

partfpartx

= 2x + 2y etpartfparty

Surfacedeacutefinie par z = f(xy)

Courbe z = f(x 0 y)

Courbe z = f(x y 0)

Plan y = y

Plan x = x0

Figure A119 bull Repreacutesentation scheacutematique drsquoune fonction z = f(x y)agrave plusieurs variables En fixant lrsquoune des variables par exemple y = yo nous

obtenons une fonction agrave une seule variable f(x yo)

Il est facile de geacuteneacuteraliser ce reacutesultat pour des fonctions agrave n variables et aussi deacutefinir desdeacuteriveacutees partielles drsquoordre supeacuterieur En reprenant lrsquoexemple preacuteceacutedent on aura

part2fpartx2 =

(partfpartx

part2fparty2 =

(partfparty

part2fpartxparty

(partfparty

)= 2 =

part2fpartypartx

(partfpartx

Remarque Si les deacuteriveacutees partielles secondes existent et sont continues alors on a toujourspart2fpartypartx = part2f

partxparty Ce reacutesultat peut ecirctre facilement geacuteneacuteraliseacute aux fonctions de trois variables ouplus

c) Diffeacuterentielles partielles diffeacuterentielle totale

Reprenons le cas drsquoune fonction de deux variables f (x y) La repreacutesentation geacuteomeacutetriquede cette fonction correspond agrave une surface Si on fixe la variable y = yo on deacutefinit alorsune courbe z = f (x yo) que lrsquoon obtient par intersection de la surface avec le plan y = yocomme le montre la figure A119

Pour un accroissement dx infiniment petit de la variable x lrsquoaccroissement de la fonctionse confond avec la diffeacuterentielle On peut eacutecrire

avec y = yo =rArr dy = 0 on a df =partfpartx

On deacutefinit ainsi une diffeacuterentielle partielle par rapport agrave x que lrsquoon note

partxf =partfpartx

Annexes 299

On peut reacutepeacuteter la mecircme opeacuteration en fixant x = xo on aura alors partyf = partfparty dy

Pour une variation des deux variables dx et dy lrsquoaccroissement infiniteacutesimal de la fonctioncorrespondra agrave la diffeacuterentielle totale qui est la somme des diffeacuterentielles partielles

df = partxf + partyf =partfpartx

dx +partfparty

Agrave titre drsquoexemple on voit que la fonction f = x2y admet pour diffeacuterentielle totale

df = 2xydx + x2dy

De mecircme si on considegravere une fonction f de plusieurs variables reacuteelles x y z cette fonctionadmet plusieurs deacuteriveacutees par rapport agrave chacune des variables Ces deacuteriveacutees repreacutesententlrsquoeacutevolution de cette fonction par rapport agrave chacune des variables Toutefois il est possiblede connaicirctre lrsquoeacutevolution de la fonction f par rapport agrave lrsquoensemble des variables en utilisantla diffeacuterentielle On fait apparaicirctre tout drsquoabord les deacuteriveacutees partielles de la fonction fpar rapport agrave chacune des variables obtenues lorsque les autres variables sont supposeacuteesconstantes

partfpartx

partfparty

partfpartz

et la diffeacuterentielle de la fonction est par deacutefinition

df =partfpartx

dx +partfparty

dy +partfpartz

d) Forme diffeacuterentielle et diffeacuterentielle totale

Soit lrsquoexpression suivante df = F(x y)dx + G(x y)dy

Cette expression a la mecircme forme que la diffeacuterentielle totale drsquoune fonction de deuxvariables x et y Crsquoest une forme diffeacuterentielle On peut se poser la question de savoir srsquoilexiste effectivement une fonction f (x y) dont la diffeacuterentielle correspondrait agrave cette formeSi tel est le cas on aura

F(x y) =partfpartx

et G(x y) =partfparty

Une condition neacutecessaire et suffisante pour que cette forme diffeacuterentielle soit une diffeacute-rentielle totale est lrsquoeacutegaliteacute des deacuteriveacutees partielles croiseacutees soit

partFparty

=part2fpartypartx

=part2fpartxparty

=partGpartx

Encart 13 Inteacutegration drsquoune diffeacuterentielle totaleConsideacuterons comme exemple la forme diffeacuterentielle suivante

F(x y)dx + G(x y)dy = 6xydx + 3x2dy

Cela conduit agrave F(x y) = 6xyG(x y) = 3x2 =rArr partF

party= 6x =

partGpartx

Comme les deacuteriveacutees partielles croiseacutees sont eacutegales il existe bien une fonction f (x y)qui veacuterifie

df = 6xydx + 3x2dy =partfpartx

dx +partfparty

doncpartfpartx

= 6xy =rArr f (x y) =int

6xydx = 3x2y + g(y)

La primitive est deacutetermineacutee agrave une fonction de y pregraves car y est consideacutereacute commeconstant dans lrsquointeacutegration ci-dessus

La deuxiegraveme eacutegaliteacute est utiliseacutee pour deacuteterminer la fonction g(y) La solution est donc

partfparty

= 3x2 + gprime(y) = G(x y) =rArr gprime(y) = 0 =rArr g(y) = C

La solution finale srsquoeacutecrit f (x y) = 3x2y + C

65 Diffeacuterentielle drsquoun vecteura) Calcul en coordonneacutees carteacutesiennes

Consideacuterons (figure A120) un vecteurminusrarrOM de composantes (x y) dans le repegravere (O

minusrarri

minusrarrj )

Nous allons consideacuterer que lrsquoextreacutemiteacute M de ce vecteur se deacuteplace en un point Mprime

tregraves proche de M (deacuteplacement eacuteleacutementaire) Les coordonneacutees de Mprime deviennent(xprime = x+dx yprime = y+dy) avec dx et dy des deacuteplacements infiniment petits Nous cher-chons agrave deacuteterminer la diffeacuterentielle du vecteur

minusrarrOM crsquoest-agrave-dire sa variation

minusminusrarrMMprime

Il est facile de voir que minusminusrarrMMprime =

OM = dxminusrarri + dy

minusrarrj

Cette quantiteacute est appeleacutee diffeacuterentielle du vecteurminusrarrOM et noteacutee d

minusrarrOM ou encore deacuteplace-

ment eacuteleacutementaire dminusrarrl

M (xy)

jdyHM prime rarr

M prime(x+dx y+dy)

H(x+dx y)

Figure A120 bull Illustration du calcul de la diffeacuterentielle drsquoun vecteur encoordonneacutees carteacutesiennes

La diffeacuterentielle de ce vecteur consideacutereacute comme potentiellement variable est aussi cal-culable directement agrave partir de lrsquoexpression de

minusrarrOM et conduit en trois dimensions agrave la

relation suivante dminusrarrOM = dx

minusrarri + dy

minusrarrj + dz

minusrarrk

Annexes 301

La quantiteacute obtenue est un vecteur de composantes dxdydz Elle repreacutesente une variationeacuteleacutementaire quelconque du vecteur

minusrarrOM Il est utile de remarquer que d

minusrarrOM repreacutesente un

deacuteplacement eacuteleacutementaire dans lrsquoespace Pour cette raison la diffeacuterentielle du vecteurminusrarrOM

est noteacutee dminusrarrOM =d

minusrarrl

b) Expression en coordonneacutees polaires

Cette mecircme variation eacuteleacutementaire dminusrarrOM du vecteur

minusrarrOM peut srsquoexprimer en coordonneacutees

polaires On peut comme on lrsquoa fait preacuteceacutedemment deacuteterminer la diffeacuterentielle soit gra-phiquement soit par un calcul direct Commenccedilons par la meacutethode graphique

θρρ

ddHMrarr

θurarr prime

M (ρθ)

M prime (ρ+ dρθ+dθ)

dθH (ρ+dρθ)

rarr ρurarr

Figure A121 bull Illustration du calcul de la diffeacuterentielle drsquoun vecteur en coordonneacutees polaires

Il est facile de voir sur le scheacutema de la figure A121 que la diffeacuterentielle du vecteurminusrarrOM qui

est deacutefinie par dminusrarrOM =

minusrarrOMprime minusminusrarr

OM =minusminusrarrMMprime peut se deacutecomposer dans la base polaire en

dminusrarrOM =

minusminusrarrMH +

minusminusrarrHMprime = drminusrarru r + (r + dr)duminusrarru u

Le deacuteplacement eacuteleacutementaire dr est neacutegligeable par rapport agrave r ce qui conduit agrave

dminusrarrOM = drminusrarru r + rduminusrarru u

Le calcul direct se fait en utilisant les regravegles de diffeacuterenciation drsquoun produit de fonction etde deacuterivation drsquoun vecteur unitaire tournant

minusrarrOM = rminusrarru r =rArr d

minusrarrOM = d

(rminusrarru r

)= drminusrarru r + rdminusrarru r = drminusrarru r + rduminusrarru u

Le reacutesultat preacuteceacutedent peut ecirctre geacuteneacuteraliseacute en coordonneacutees cylindriques en ajoutant undeacuteplacement eacuteleacutementaire dans la direction minusrarru z soit

minusrarrOM = rminusrarru r + zminusrarru z =rArr d

minusrarrOM = drminusrarru r + rduminusrarru u + dzminusrarru z

c) Expression en coordonneacutees spheacuteriques

Nous partons de la position du point M qui est donneacutee parminusrarrOM = rminusrarru r et nous nous

bornons agrave deacutecrire graphiquement le deacuteplacement eacuteleacutementaire dminusrarrl

Tout deacuteplacement eacuteleacutementaireminusminusrarrMMprime de lrsquoextreacutemiteacute du vecteur

minusrarrOM peut ecirctre projeteacute sur

les vecteurs de bases minusrarru rminusrarru u

minusrarru w Ce deacuteplacement eacuteleacutementaire engendre des variationseacuteleacutementaires (drdudw) des paramegravetres de position (r u w) du point M Ces variationseacuteleacutementaires doivent ecirctre converties en deacuteplacements eacuteleacutementaires en particulier lorsqursquoilsrsquoagit des angles Elles srsquoobtiennent facilement en utilisant la figure A122

rarrur

rarruϕ

rarruθ

rsinθ

Figure A122 bull Deacutetermination drsquoun deacuteplacement eacuteleacutementaire en coordonneacutees spheacuteriques

Deacutetermination drsquoun deacuteplacement eacuteleacutementaire en coordonneacutees spheacuteriques bull selon ur le passage de r agrave r + d r produit le deacuteplacement d r bull selon uu le passage de u agrave u + d u produit un deacuteplacement r d u bull selon uw le passage de w agrave w + d w produit un deacuteplacement r sin u d wLe vecteur dl dont les composantes dans la base

(uruuuw

)sont les valeurs preacute-

ceacutedemment deacutetermineacutees srsquoeacutecrit donc

dminusrarrOM = dl = d rur + r d uuu + r sin u d wuw

7 VECTEUR GRADIENT DrsquoUNE FONCTION

71 Deacutefinition

On appelle vecteur gradient drsquoune fonction scalaire f (x y z) de plusieurs variables reacuteellesle vecteur noteacute minusminusrarrgrad deacutefini par

minusminusrarrgrad f =partfpartx

minusrarri +

partfparty

minusrarrj +

partfpartz

minusrarrk

Annexes 303

Ce vecteur peut ecirctre deacutefini agrave partir de lrsquoopeacuterateur nabla

minusminusrarrgrad f =minusrarrnabla f

avec nabla =

⎛⎜⎝partpartxpartpartypartpartz

Le gradient drsquoun champ de scalaires (fonction f (x y z)) est un vecteur qui renseigne surlrsquoeacutevolution de la fonction dans lrsquoespace Il est facile de srsquoen convaincre en travaillant avecdes fonctions agrave une seule variable Le gradient est alors un vecteur dont lrsquointensiteacute corres-pond agrave la deacuteriveacutee de la fonction Un exemple est donneacute agrave la fin de cette partie

72 Relation entre le gradient et la diffeacuterentielleNous avons vu que par deacutefinition

minusminusrarrgrad f = partfpartxminusrarri + partf

partyminusrarrj + partf

minusrarrk

df = partfpartx dx + partf

party dy + partfpartz dz

Si lrsquoon multiplie scalairement le vecteur gradient par le vecteur deacuteplacement eacuteleacutementairedminusrarrOM il vient

dminusrarrOM =dx

minusrarri +dy

minusrarrj +dz

minusrarrk

minusminusrarrgrad f dminusrarrOM = (partf

partxminusrarri + partf

minusrarrk )(dx

minusrarri +dy

minusrarrj +dz

minusrarrk )

minusminusrarrgrad f dminusrarrOM =df

Cette derniegravere relation est particuliegraverement importante car elle permet de donner unesignification du gradient drsquoune fonction En effet consideacuterons une surface eacutequipotentielledeacutefinie par f = cste Supposons que M appartienne agrave la surface eacutequipotentielle Alorsquel que soit le deacuteplacement eacuteleacutementaire de M sur cette surface eacutequipotentielle on auradf = 0 soit

minusminusrarrgrad f dminusrarrOM = 0

Dans cette expression dminusrarrOM est non nul puisqursquoil repreacutesente un deacuteplacement eacuteleacutementaire

quelconque dans la surface eacutequipotentielle ainsi que minusminusrarrgrad f Cela montre que pour quelrsquoeacutegaliteacute soit veacuterifieacutee il faut que minusminusrarrgrad f soit perpendiculaire agrave la surface eacutequipotentielle

Le vecteur gradient minusminusrarrgrad f est perpendiculaire aux surfaces eacutequipotentiellesf = cste

Si maintenant on considegravere un deacuteplacement du point M dans la direction et le sens dugradient (crsquoest-agrave-dire perpendiculairement agrave la surface eacutequipotentielle) on aura

df = minusminusrarrgrad f dminusrarrOM =

∥∥∥minusminusrarrgrad f∥∥∥∥∥∥dminusrarrOM

∥∥∥ gt 0 =rArr df gt 0

Le vecteur gradient minusminusrarrgrad f est donc orienteacute vers les valeurs croissantes de la fonc-tion f

Encart 14 Le gradient de tempeacuterature

Agrave titre drsquoexemple simple prenons la cas drsquoune fonction tempeacuterature ne deacutependantque drsquoune seule variable z Nous supposons que cette fonction deacutecroicirct lineacuteairementavec lrsquoaltitude

Exemple T(z) = To minus az

minusminusrarrgrad T(z) =

∣∣∣∣∣∣∣∣partTpartx = 0

partTparty = 0

partTpartz = minusa

krarr rarr

T1gtT2

Figure A123 bull Exemple de repreacutesentation drsquoune fonction gradient

Les surfaces laquo eacutequipotentielles raquo sont dans ce cas lrsquoensemble des points pour lesquelsla tempeacuterature est la mecircme

T(z) = cste =rArr To minus az = cste =rArr z = cste

Les surfaces laquo eacutequitempeacuteratures raquo sont donc des plans parallegraveles au plan O x y Le gra-dient de T(z) est un vecteur perpendiculaire agrave ces plans et dirigeacute vers les tempeacuteraturescroissantes

8 INTEacuteGRALES ET PRIMITIVES

81 Primitives

Soit une fonction drsquoune variable f (x) on appelle primitive de f une fonction F(x) quiveacuterifie Fprime(x) = f (x) Lrsquoeacutequation preacuteceacutedente peut srsquoeacutecrire en notation diffeacuterentielle ce quiconduit agrave

= f (x) =rArr dF = f (x)dx

Annexes 305

La fonction primitive F(x) est repreacutesenteacutee par la notation suivante

F(x) =int

f (x)dx

La primitive drsquoune fonction est toujours deacutefinie agrave une constante pregraves puisque la deacuteriveacuteedrsquoune constante est nulle On a donc de faccedilon geacuteneacuterale int

f (x)dx = F(x) + C = G(x)

Si lrsquoon connaicirct une condition sur la fonction G(x) rechercheacutee alors la constante nrsquoest plusquelconque La condition se preacutesente sous la forme G(xo) = Co On obtient une deacutetermi-nation de C en reportant cette relation dans lrsquoexpression de la primitive

La solution rechercheacutee est donc unique

G(x) =int

f (x)dx = F(x) minus F(xo) + Co

82 Inteacutegrale deacutefinie

Si au lieu drsquointeacutegrer de faccedilon geacuteneacuterale la fonction f (x) celle-ci est inteacutegreacutee entre deuxbornes a et b nous obtenons agrave lrsquoissue du calcul un nombre appeleacute inteacutegrale deacutefinie de f ou inteacutegrale simple de f entre a et b

af (x)dx = F(b) minus F(a) (13)

Ce reacutesultat ne deacutepend pas du choix de la primitive car par diffeacuterence la constante quipeut diffeacuterencier deux primitives disparaicirct

Remarque Lorsque lrsquoon recherche une primitive dont on connaicirct une condition pour unevaleur xo de la variable de la forme G(xo) = Co on peut pratiquer comme indiqueacute dans leparagraphe 81 crsquoest-agrave-dire deacuteterminer la primitive et ensuite calculer la constante pourque la condition soit veacuterifieacutee On peut aussi calculer lrsquointeacutegrale de la fonction f (x) entredeux bornes lrsquoune correspondant agrave xo pour laquelle on connaicirct la valeur G(xo) lrsquoautrecorrespondant agrave une valeur quelconque de la variable Si F(x) est une primitive de f (x) etG(x) la primitive correspondant agrave la solution rechercheacutee on aura int x

f (x)dx = F(x) minus F(xo) = G(x) minus Co

G(x) = F(x) minus F(xo) + Co

83 Signification geacuteomeacutetrique de lrsquointeacutegrale deacutefinieConsideacuterons une fonction f dont le graphe est repreacutesenteacute sur la figure A124

a bx i x i+1=x i+dx

Figure A124 bull Repreacutesentation scheacutematique de lrsquointeacutegrale

Supposons que lrsquointervalle [a b] sur lequel nous effectuons lrsquointeacutegrale deacutefinie de la fonc-tion f (x) soit deacutecoupeacute en N bandes de largeur dx Lrsquointeacutegrale deacutefinie peut srsquoeacutecrire int b

af (x)dx =

Nminus1sumi=0

int xi+1

f (x)dx

Sur chacun des intervalles de largeur dx la fonction f (x) est comprise entre une valeur Mmaximale et une valeur m minimale Il en reacutesulte que lrsquointeacutegrale est borneacutee par la relation

Nminus1sumi=0

Mi (xi+1 minus xi) int b

af (x)dx

Nminus1sumi=0

mi (xi+1 minus xi)

Nous voyons facilement que les bornes supeacuterieure et infeacuterieure se rejoindront pour peuque lrsquointervalle dxi = xi+1 minus xi soit extrecircmement petit quel que soit i Pour cela il suf-fit de faire tendre le nombre drsquointervalles N vers lrsquoinfini Il est ainsi possible de deacutefinirgeacuteomeacutetriquement lrsquointeacutegrale au sens de Rieman par la relation limite suivante int b

af (x)dx = lim

Nrarrinfin

(Nminus1sumi=0

f (xi)dxi

Lrsquoexpression ci-dessus montre que pour calculer une inteacutegrale il suffit de sommer les airesde tous les rectangles de hauteur f (xi) et de largeur dxi quand N tend vers lrsquoinfini soitquand dxi tend vers 0

9 INTEacuteGRALES VECTORIELLES

91 Champ de vecteursSoit (D) une reacutegion de lrsquoespace et M(x y z) un point de cette reacutegion Un champ de vec-teurs est deacutefini par la transformation suivante

M(x y z) minusrarr minusrarrE (M) = Ex

minusrarri + Ey

minusrarrj + Ez

minusrarrk

Annexes 307

dans laquelle Ex Ey et Ez sont des fonctions des coordonneacutees x y z et (minusrarri

minusrarrj

minusrarrk ) est

une base du repegravere carteacutesien utiliseacute Cette notion a eacuteteacute abordeacutee en introduction (para-graphe 1) Rappelons que des exemples classiques de champs de vecteurs sont le champde gravitation le champ eacutelectrique etc

92 Circulation drsquoun champ de vecteurs

Consideacuterons un champ de vecteursminusrarrE (M) et une portion de courbe (C) limiteacutee par les

points M1 et M2

)(MErarr

ldrarr

Figure A125 bull Circulation drsquoun champ entre deux points M1 et M2

On appelle circulation eacuteleacutementaire deminusrarrE (M) sur (C) pour un deacuteplacement eacuteleacutementaire

dminusrarrl la quantiteacute dC(

minusrarrE ) =

minusrarrE (M)d

minusrarrl

Lrsquoexpression de la circulation peut srsquoeacutecrire en fonction du systegraveme de coordonneacutees choisiEn coordonneacutees carteacutesiennes il est facile de veacuterifier que pour un problegraveme plan la circu-lation eacuteleacutementaire srsquoeacutecrit

dC(minusrarrE ) = E(x y)dx + E(x y)dy

La circulation eacuteleacutementaire se preacutesente donc comme une forme diffeacuterentielle La circula-tion de

minusrarrE (M) sur (C) entre M1 et M2 srsquoobtient en inteacutegrant la circulation eacuteleacutementaire sur

le chemin suivi soit

CM1rarrM2 (minusrarrE ) =

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl

Remarquesbull Si le champ de vecteurs est un champ de forces

minusrarrF la circulation de

minusrarrF sur (C) entre M1

et M2 est eacutegale au travail deminusrarrF lorsque son point drsquoapplication passe de M1 agrave M2 en

suivant le chemin deacutefini par la courbe (C)bull Si le champ de vecteurs est uniforme on a alors

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl =

minusrarrE (M)

int M2

dminusrarrl =

minusrarrE (M)

minusminusminusrarrM1M2

bull Si la circulation eacuteleacutementaire correspond agrave la diffeacuterentielle totale drsquoune fonction G(x y)on peut eacutecrire

dC(minusrarrE ) =

minusrarrE (M)d

minusrarrl = dG

CM1rarrM2 (minusrarrE ) = G(M2) minus G(M1)

La circulation ne deacutepend pas du chemin suivi mais uniquement de la position initialeet finale En particulier la circulation sur une courbe fermeacutee donnera toujours 0

bull Le calcul de lrsquointeacutegrale curviligne se ramegravene en geacuteneacuteral au calcul drsquoune inteacutegrale simpleEn effet la courbe (C) peut ecirctre caracteacuteriseacutee par une fonction y = f (x) qui indique queles variable x et y ne sont pas indeacutependantes On a alors

dy = f prime(x)dx

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl =int x2

Ex(x f (x))dx + Ey(x f (x))f prime(x)dx

int x2

[Ex(x f (x)) + Ey(x f (x))f prime(x)

ANNEXE 2

INTRODUCTIONAgrave LA MEacuteCANIQUE CEacuteLESTE

1 HISTORIQUE

α = 23deg7

Figure A21 bull Mouvement depreacutecession de lrsquoaxe de rotation de laTerre par rapport agrave une direction fixe

Lrsquoeacutetude1 de la position et du mouvementdes astres encore appeleacutee astronomie de po-sition est certainement lrsquoune des sciences lesplus vieilles qui soient Les Grecs les Chi-nois et les Eacutegyptiens en furent les preacutecur-seurs Scientifiquement les Grecs nous ontlaisseacute le plus de traces En 600 avant J-C Anaximandre speacutecula que la Terre eacutetaitun corps ceacuteleste cylindrique isoleacute dans lrsquoes-pace au centre de lrsquounivers et que les astrestournaient autour de la Terre sur des rouesParmeacutenide en 504 avant J-C imagina quela Terre devait ecirctre spheacuterique il nota quelrsquoeacuteclat des planegravetes variait au cours du tempset en deacuteduisit qursquoelles eacutetaient eacuteclaireacutees parle Soleil Il affirma que la lumiegravere du Soleileacutetait reacutefleacutechie par la Lune et les planegravetesCeci fut confirmeacute par Aristote qui veacutecut de384 agrave 321 avant J-C Connu comme le pegraveredu geacuteocentrisme Aristote affirmait que laTerre eacutetait spheacuterique et immobile Dans latheacuteorie geacuteocentrique la Terre est placeacutee aucentre de lrsquoUnivers et les astres tournent au-tour de la Terre Agrave titre de preuve de lrsquoim-mobilisme de la Terre Aristote avanccedilait que tout objet lanceacute verticalement vers le hautretombe agrave la mecircme position Son argumentation sur la spheacutericiteacute de la Terre reposait surles observations suivantes le macirct drsquoun bateau est visible avant le corps du bateau lrsquoombrede la Terre lors drsquoune eacuteclipse de Lune est limiteacutee par un arc de cercle

Heacuteraclide (388-315) fut le premier agrave envisager que la Terre tourne sur elle-mecircme en unjour Pour interpreacuteter le mouvement de Veacutenus il suggeacutera que Veacutenus tournait autour duSoleil et non de la Terre Aristarque de Samos affirma alors que cela devait ecirctre le cas detoutes les planegravetes y compris la Terre mais cette ideacutee fut rejeteacutee

Agrave partir de 250 avant J-C le geacuteocentrisme est toujours de mode et lrsquointerpreacutetation dumouvement des planegravetes passe par la theacuteorie des eacutepicycles que lrsquoon doit agrave Ptoleacutemeacutee Dans

1 Agrave lire Histoire de la deacutecouverte du systegraveme solaire par J Sivardiegravere BUP 1995 n773 et 776 645-662 et1265-1282

cette theacuteorie les planegravetes deacutecrivent des trajectoires circulaires autour drsquoun centre qui deacute-crit lui-mecircme une trajectoire circulaire Agrave cette eacutepoque Hipparque (190-120) qui fut pro-bablement lrsquoun des plus grands astronomes de lrsquoAntiquiteacute deacutecouvrit la trigonomeacutetrie et lapreacutecession des eacutequinoxes Le mouvement de preacutecession signifie que lrsquoaxe de rotation dela Terre nrsquoest pas fixe mais tourne agrave 237 drsquoune direction fixe (figure A21) en une anneacuteeplatonique soit 25 800 ans approximativement On remarquera que ce mouvement depreacutecession qui srsquoeffectue dans le sens reacutetrograde ne correspond qursquoagrave un deacutecalage de 50rdquopar an et est de ce fait difficile agrave observer On peut mesurer ici tout le geacutenie drsquoHipparquedrsquoavoir pu deacuteceler ce mouvement agrave cette eacutepoque

Crsquoest Erathostegravene (273-192) qui mesura le premier le rayon de la Terre (figure A22) enmesurant agrave la mecircme heure le mecircme jour lrsquoinclinaison des rayons du Soleil par rapportagrave la verticale du lieu en deux villes situeacutees sur un mecircme meacuteridien En effet le jour dusolstice drsquoeacuteteacute le Soleil est au Zeacutenith agrave Syegravene (ville eacutegyptienne) et au mecircme moment agraveAlexandrie les rayons sont inclineacutes de 712rsquo crsquoest-agrave-dire un angle de 36050 Il en conclutque la circonfeacuterence de la Terre est eacutegale agrave 50 fois la distance seacuteparant Syegravene drsquoAlexandrieCette distance mesureacutee agrave cette eacutepoque agrave pied vaut 820 km Il srsquoensuit que la circonfeacuterenceterrestre vaut donc 50 times 820 = 41 000 km

7˚12rsquoAlexandrie

Syegravene

Figure A22 bull Le Soleil eacutetant tregraves eacuteloigneacute de la Terre ses rayons arrivent tousparallegraveles entre eux agrave la surface de la Terre Ils rencontrent la verticale drsquoun lieusous une incidence qui deacutepend de la latitude Un poteau planteacute verticalement

dans le sol permet de mesurer lrsquoinclinaison des rayons solaires

Le pegravere de la theacuteorie heacuteliocentrique est Copernic qui veacutecut en 1473-1543 Il a donneacute sonnom au reacutefeacuterentiel de Copernic qui est le reacutefeacuterentiel galileacuteen par excellence Rappelonsque le reacutefeacuterentiel de Copernic est un reacutefeacuterentiel dont lrsquoorigine se trouve au centre dusystegraveme solaire (crsquoest-agrave-dire au voisinage du centre du Soleil) et dont les axes pointentdans la direction de trois eacutetoiles fixes Jusqursquoagrave preacutesent aucune expeacuterience nrsquoa permis dedeacutemontrer que ce reacutefeacuterentiel nrsquoest pas galileacuteen Il faut en effet savoir que le Soleil parcoursnotre galaxie agrave la vitesse de 200 kmsminus1 mais doit parcourir une trajectoire gigantesque Ileffectue donc sa ronde en agrave peu pregraves 2108 anneacutees (200 millions drsquoanneacutees environ) soit uneanneacutee galactique On peut donc en tregraves bonne approximation consideacuterer que le centre dusystegraveme solaire est en mouvement de translation rectiligne uniforme mecircme sur un tempsdrsquoune anneacutee

Annexes 311

Les lois qui reacutegissent le mouvement des planegravetes ont eacuteteacute deacutecouvertes par lrsquoastronomeDanois Johannes Kepler qui veacutecut entre 1571 et 1630 Il utilisa les donneacutees accumuleacuteespar Tycho Braheacute (1546-1601) Ces donneacutees lui permirent de mettre en eacutevidence la natureelliptique des trajectoires astrales

Galileacutee2 veacutecut agrave la mecircme eacutepoque (1564-1642) Il permit une meilleure observation desplanegravetes en utilisant sa ceacutelegravebre lunette dite lunette de Galileacutee Il publia en 1610 un livreintituleacute Le messager des eacutetoiles dans lequel il fit part de ses deacutecouvertes les montagnesexistent sur la Lune quatre astres tournent autour de Jupiter Il est extrecircmement connuagrave cause de ses deacutemecircleacutes avec les Pegraveres de lrsquoEacuteglise Gracircce agrave ses observations Galileacutee eacutetaitconvaincu de la pertinence de la theacuteorie heacuteliocentrique proposeacutee par Copernic et Ptoleacute-meacutee Il eacutecrivit en 1632 un livre intituleacute Dialogue sur les deux principaux systegravemes du monde etil fut jugeacute en 1633 pour avoir oseacute preacutetendre que la Terre tournait autour du Soleil

Ce fut Newton (1642-1716) qui permit de deacuteterminer les lois de la meacutecanique ceacuteleste endeacutefinissant la loi dite de Newton ou loi de la gravitation universelle3 Nous devons eacutegalementagrave Newton les principes de la meacutecanique qursquoil eacutenonccedila sous forme de lois appeleacutees les troislois de Newton agrave savoir le principe drsquoinertie le principe fondamental de la dynamiqueet le principe des actions reacuteciproques

2 DEacuteFINITIONS

Lrsquoastronomie est la science qui eacutetudie la position le mouvement et le comportement descorps ceacutelestesPar opposition lrsquoastrologie est un art divinatoire qui cherche agrave deacuteterminer lrsquoinfluence preacute-sumeacutee des astres sur la destineacutee humaine Cet art est baseacute sur lrsquoinfluence de la position desastres par rapport aux constellations du zodiaque agrave la date de naissance drsquoun individu Lesconstellations du zodiaque sont au nombre de 12 Sagittaire Capricorne Verseau PoissonBeacutelier Taureau Geacutemeaux Cancer Lion Vierge Balance Scorpion La position des astresdeacutefinit lrsquohoroscope de lrsquoindividu Cela signifie que si vous ecirctes du signe du Beacutelier le Soleildevrait ecirctre dans la constellation du Beacutelier agrave la date de votre naissance Or les constel-lations du zodiaque ont bougeacute au fil des temps agrave cause de la preacutecession des eacutequinoxesActuellement il y a un deacutecalage drsquoune constellation en retard agrave cause du mouvement reacute-trograde de preacutecession Ainsi un Beacutelier naicirct quand le Soleil est dans la constellation desPoissons mais est neacuteanmoins Beacutelier pour les astrologues

La cosmologie est une branche de lrsquoastronomie qui eacutetudie lrsquoeacutevolution de lrsquounivers consi-deacutereacute dans son ensemble

La cosmogonie est le reacutecit mythique de la formation de lrsquounivers mais aussi la science dela formation des objets ceacutelestes

Lrsquoastrophysique est la science qui eacutetudie lrsquointeacuterieur des eacutetoiles

Une eacutetoile est un astre qui possegravede un eacuteclat propre ducirc aux reacuteactions nucleacuteaires dont ilest le siegravege comme par exemple le Soleil ou lrsquoeacutetoile polaire La reacuteaction qui se produitest la transformation de lrsquohydrogegravene en heacutelium Lrsquohydrogegravene srsquoeacutepuise progressivement etlrsquoeacutetoile se transforme Il existe des eacutetoiles geacuteantes (peu denses et tregraves lumineuses) desnaines (eacutetoiles agrave forte densiteacute et peu eacutemissives) des eacutetoiles agrave neutrons et des trous noirs(espace ou la gravitation est si forte que mecircme la lumiegravere ne peut en sortir)

2 Agrave lire Galileacutee le messager des eacutetoiles par JP Maury Collection Deacutecouvertes Gallimard n10 1993

3 Agrave lire Newton et la meacutecanique ceacuteleste par Jean-Pierre Maury Deacutecouvertes Gallimard n91 1990

Une planegravete est un corps ceacuteleste sans lumiegravere propre gravitant autour drsquoune eacutetoile

Un asteacuteroiumlde est une planegravete de faible taille (R lt 2 000 km) Sa forme nrsquoest pas neacutecessai-rement spheacuterique

Une galaxie est un vaste ensemble drsquoeacutetoiles et de poussiegraveres interstellaires dont la co-heacutesion est assureacutee par la gravitation Une galaxie peut contenir des dizaines voire descentaines de milliards drsquoeacutetoiles Il existe diffeacuterentes galaxies comme les galaxies spiraleselliptiques et irreacuteguliegraveres Elles se comptent par dizaines de milliers et sont le constituantde lrsquoUnivers Elles se regroupent en amas Ainsi notre galaxie fait partie de lrsquoamas local quicompte une vingtaine de galaxies parmi lesquelles on trouve les deux nuages de Magel-lan ainsi qursquoAndromegravede Les amas galactiques sont eux-mecircmes regroupeacutes en superamasOn admet que toutes les galaxies se sont formeacutees au mecircme moment environ un milliarddrsquoanneacutees apregraves le BigBang qui se serait produit il y a 15 milliards drsquoanneacutees environ Lrsquoacircgede lrsquoUnivers est deacutetermineacute par lrsquoacircge de ses plus vieux atomes On lrsquoobtient en mesurant laradioactiviteacute de certains eacuteleacutements comme le carbone 14 par exemple

Une constellation est une reacutegion du ciel reconnaissable agrave un groupe drsquoeacutetoiles voisinespreacutesentant un aspect invariable (du moins sur un laps de temps court devant lrsquoacircge delrsquoUnivers) Il existe dans notre galaxie 88 constellations sur la voucircte ceacuteleste dont lrsquoune desplus ceacutelegravebres est la Grande Ourse Notons que lrsquoeacutetoile la plus brillante drsquoune constellationest noteacutee a la suivante b etc

Une neacutebuleuse est un nuage de gaz et de matiegravere interstellaire Crsquoest encore une tachelumineuse eacutetendue Citons agrave titre indicatif la neacutebuleuse drsquoOrion la neacutebuleuse drsquoAndro-megravede et les nuages de Magellan observeacutes pour la premiegravere fois par lrsquoexplorateur lors deson voyage dans lrsquoheacutemisphegravere Sud

3 LA VOIE LACTEacuteE

La Voie Lacteacutee est le nom donneacute agrave notre galaxie (figure A23) Elle se preacutesente sous laforme drsquoun vaste disque aplati drsquoenviron 100 000 anneacutees-lumiegravere (al) de diamegravetre et5 000 al drsquoeacutepaisseur Il est bon de rappeler que lrsquoanneacutee-lumiegravere est la distance parcouruepar la lumiegravere en une anneacutee soit

1 al asymp 1013 km

Notre galaxie est donc un disque de 1018 km de diamegravetre et il faudrait agrave la lumiegravere centmille anneacutees pour traverser ce disque drsquoun bord agrave lrsquoautre Autant dire puisque la vitesselimite de deacuteplacement est celle de la lumiegravere qursquoil nous est physiquement impossible devisiter notre propre galaxie

Lrsquoeacutetoile de notre galaxie qui nous est la plus essentielle est le Soleil Les planegravetes dusystegraveme solaire comme la Terre gravitent autour drsquoelle car le Soleil est extrecircmementmassif Situeacute agrave 24 000 al du centre de la galaxie il est actuellement admis que notreSoleil srsquoest formeacute il y a 5 milliards drsquoanneacutees soit 25 anneacutees galactiques et qursquoil persisteraencore pendant agrave peu pregraves le mecircme temps Les reacuteserves drsquohydrogegravene srsquoeacutepuiseront alorset lrsquoheacutelium se transformera en carbone et oxygegravene le Soleil deviendra une geacuteante rougecomme le sont deacutejagrave Beacutetelgeuse dans lrsquoeacutepaule gauche drsquoOrion Adelbaran dans le Taureauou encore Antaregraves dans le Scorpion Le Soleil grossira de plus en plus jusqursquoagrave vaporiserles diffeacuterentes planegravetes inteacuterieures4

4 Agrave lire absolument Astronomie et Astrophysique par Marc Seacuteguin et Benoicirct Villeneuve Masson 1995

Annexes 313

Figure A23 bull Image de notre Voie Lacteacutee obtenue agrave partir du satellite COBE(NASA) On y distingue parfaitement le bulbe et le fait que notre galaxie se

preacutesente sous la forme drsquoun disque aplati

4 LE SYSTEgraveME SOLAIRE

Le systegraveme solaire est constitueacute du Soleil autour duquel gravitent les planegravetes Crsquoest ununivers tregraves reacuteduit en comparaison de celui de notre galaxie puisque la plus eacuteloigneacutee desplanegravetes est Pluton situeacutee agrave 6 milliards de km du Soleil soit environ 0002 al Le Soleille plus proche de notre Soleil est Proxima du Centaure agrave 40 000 milliards de km soitapproximativement 4 al

Le Soleil est de plus loin lrsquoastre le plus massif du systegraveme solaire Crsquoest pourquoi les pla-negravetes gravitent-elles autour de son centre La masse de la Terre est de 6 1024 kg alors quecelle du Soleil est de 21030 kg Les planegravetes du systegraveme solaire sont seacutepareacutees en deuxclasses

bull les planegravetes telluriques de faible masse Mercure Veacutenus la Terre et Mars Mercure etVeacutenus sont eacutegalement appeleacutees planegravetes inteacuterieures car elles sont contenues agrave lrsquointeacuterieurde lrsquoorbite terrestre

bull les planegravetes joviennes plus lourdes Jupiter Saturne Uranus Neptune et Pluton

La Terre se trouve agrave 150 millions de km du Soleil et il faut donc agrave la lumiegravere solaire agrave peupregraves 8 minutes pour nous parvenir Ainsi le Soleil est-il agrave 8 minutes lumiegravere de la Terre

Nous avons deacutejagrave eu lrsquooccasion de noter que Kepler5 a eacuteteacute le premier astronome agrave com-prendre le mouvement des planegravetes en srsquoappuyant sur lrsquoobservation de leurs positions aucours du temps Il preacutecisa les caracteacuteristiques du mouvement des planegravetes sous forme delois connues sous le nom de lois de Kepler Ces lois sont au nombre de trois et srsquoeacutenoncentde la faccedilon suivante

5 Johannes Kepler (1571-1630) Les lois eacutemises par Kepler sont lrsquoaboutissement des travaux drsquoobservation (agravelrsquoœil nu ) de Tycho Braheacute (1546-1601)

LOIS DE KEPLER

Premiegravere loi Les planegravetes deacutecrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est unfoyer

Deuxiegraveme loi Les planegravetes parcourent des aires eacutegales pendant des intervalles de tempseacutegaux

Troisiegraveme loi Le carreacute de la peacuteriode de reacutevolution drsquoune planegravete est proportionnel aucube du grand axe

Nous reportons dans le tableau A21 quelques caracteacuteristiques des planegravetes du systegravemesolaire

Nom Trs Aplatissement Re km Tr a (times106km) e inclinaison M (times1024kg) d

Mercure 586j 0 2 439 8797j 579 0206 7 00rsquo 3310 23 54

Veacutenus 243j 0 6 052 2447j 1082 00068 3 24rsquo 4871 024 52

Terre 23h56rsquo04s 000335 6 378 36525j 1496 00167 0 5971 024 55

Mars 24h37rsquo22s 000518 3 397 68698j 2279 0093 1 51rsquo 6421 023 39

Jupiter 9h55rsquo30s 006481 71 398 11863ans 7784 0048 1 18rsquo 1910 27 13

Saturne 10h30rsquo 010762 60 000 2941ans 1 4256 0054 2 29rsquo 5691 026 07

Uranus 17h14rsquo 003 26 320 8402ans 2 870 0046 0 46rsquo 8710 25 11

Neptune 18h 00259 24 300 16479ans 4 501 001 1 46rsquo 1031 026 17

Pluton 6j09h17rsquo 1 150 2484ans 5 881 0246 17 10rsquo 1110 22 21

Tableau A21 bull Paramegravetres caracteacuteristiques du mouvement des planegravetesdu systegraveme solaire (Trs peacuteriode de rotation sideacuterale Re rayon eacutequatorialTr peacuteriode de reacutevolution a le demi-grand axe e excentriciteacute M masse

et d densiteacute)

Planegravete

F prime

Soleil

ApheacuteliePeacuteriheacutelie

Figure A24 bull Repreacutesentation de la trajectoire elliptiquedrsquoune planegravete autour du Soleil Le Soleil est lrsquoun des foyers F de lrsquoellipse

Le demi-grand axe a est repreacutesenteacute

On notera avec inteacuterecirct que les planegravetes ne gravitent pas toutes dans le mecircme plan Leurtrajectoire est repeacutereacutee par lrsquoinclinaison de leur plan de reacutevolution par rapport agrave un plande reacutefeacuterence appeleacute le plan de lrsquoeacutecliptique qui contient la trajectoire du Soleil et la Terre(figure A26) Crsquoest de loin Pluton qui possegravede la trajectoire la plus inclineacutee sur lrsquoeacuteclip-tique Le plan de lrsquoeacutecliptique est inclineacute de 2326rsquo sur le plan de lrsquoeacutequateur ceacuteleste Aux

Annexes 315

Planegravete

Soleilt

Figure A25 bull Illustration de la deuxiegraveme loi de Kepler Les aires hachureacuteessont eacutegales pour peu que lrsquoon considegravere le mecircme temps de parcours

deux intersections de lrsquoeacutecliptique avec lrsquoeacutequateur nous trouvons les eacutequinoxes Le pointvernal ou point g est le point ougrave se trouve le Soleil agrave lrsquoeacutequinoxe de printemps Ce pointnrsquoest pas fixe eu eacutegard au mouvement de preacutecession des eacutequinoxes dont nous avons deacutejagraveparleacute Lrsquoaxe de rotation de la Terre est appeleacute axe du monde il coupe la sphegravere ceacutelesteau pocircle boreacuteal Nord ou Zeacutenith Ce point se trouve actuellement dans la constellation de laPetite Ourse tregraves pregraves de lrsquoeacutetoile polaire Toutefois agrave cause de la preacutecession des eacutequinoxeslrsquoaxe du monde perce la sphegravere ceacuteleste en un point dont la position change lentement aucours du temps Crsquoest ainsi qursquoil y a 4 000 ans le zeacutenith eacutetait localiseacute dans la constellationdu Dragon

ε=23deg6

γPoint vernal

Plan deleacutecliptique

Plan de leacutequateur

SphegravereCeacuteleste

zeacutenith

Axe dumonde

Soleil

Figure A26 bull Repreacutesentation de la sphegravere ceacuteleste et de lrsquoaxe du monde avecle plan de lrsquoeacutecliptique dans lequel se deacuteplace le Soleil par rapport agrave la Terre

Nous savons que la peacuteriode de reacutevolution peut ecirctre deacutetermineacutee agrave partir des lois de Kepleret quantifieacutee avec assez de preacutecision en appliquant le principe fondamental de la dyna-mique pour un systegraveme agrave deux corps (voir chapitres suivants)

La dimension et la forme des planegravetes sont tregraves variables la plus grosse est Jupiter et laplus deacuteformeacutee Saturne Tournant toutes autour drsquoun axe propre elles ont un mouvementde rotation caracteacuteriseacute par la peacuteriode de rotation sideacuterale Crsquoest ainsi que la Terre tourneautour drsquoelle-mecircme en 23 h 56rsquo 04rdquo Notons que cette peacuteriode est tregraves variable drsquoune pla-negravete agrave une autre et qursquoil nrsquoexiste aucun calcul permettant de preacutedire la peacuteriode de rotation

Il est admis que cette peacuteriode reacutesulte de la rotation initiale des planegravetes lorsqursquoelles furentcreacuteeacutees dans la galaxie Leur mouvement de rotation est agrave lrsquoorigine de leur deacuteformationqui se caracteacuterise par un aplatissement Lrsquoaplatissement provient de lrsquoaction de la forcecentrifuge qui est plus importante agrave lrsquoeacutequateur qursquoaux pocircles Sous lrsquoaction de cette forceil y a formation drsquoun bourrelet eacutequatorial Le rayon terrestre agrave lrsquoeacutequateur est donc plusgrand que le rayon terrestre aux pocircles Le pheacutenomegravene drsquoaplatissement qui en reacutesulte esten partie agrave lrsquoorigine de la diffeacuterence entre la valeur de lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur auxpocircles g = 983 msminus2 et agrave lrsquoeacutequateur g = 978 msminus2 La plus aplatie des planegravetes est deloin Saturne pour laquelle lrsquoaplatissement est voisin de 10 Lrsquoaplatissement de Saturneest tregraves visible sur la figure A27

Figure A27 bull Saturne et ses anneaux Noter lrsquoaplatissement de la planegravete tregravesvisible sur la photographie (photographie prise agrave partir de la sonde Voyager)

5 LA DEacuteFINITION DU TEMPS

La notion de temps a toujours eacuteteacute intimement lieacutee au mouvement des astres Alors que cer-tains peuples (Arabes et Chinois) ont longtemps utiliseacute la Lune pour deacutefinir le temps lesRomains sous lrsquoempire de Jules Ceacutesar ont chercheacute agrave adopter un calendrier conforme auxvariations saisonniegraveres et ont mesureacute le temps en jours et en anneacutees en prenant commereacutefeacuterence le passage du Soleil agrave lrsquoeacutequinoxe de printemps Ce calendrier fut appeleacute en 46av J-C calendrier julien6 La peacuteriode de reacutevolution du Soleil deacutefinit alors lrsquoanneacutee et lapeacuteriode de rotation de la Terre le jour La deacutefinition du temps deacutepend tregraves preacuteciseacutement deces deux quantiteacutes Les Romains lrsquoavaient bien compris en introduisant lrsquoanneacutee bissextiletous les quatre ans (lrsquoanneacutee est rallongeacutee drsquoun jour tous les quatre ans) ce qui conduisitagrave une dureacutee moyenne de lrsquoanneacutee de 36525 jours Malheureusement crsquoeacutetait sans comptersur la preacutecession reacutetrograde des eacutequinoxes Il fallut attendre le 4 octobre 1582 pour que lePape Geacutegoire XIII srsquoen aperccediloive et rectifie le calendrier en faisant adopter le calendriergreacutegorien dans lequel la dureacutee de lrsquoanneacutee est de 3652422 jours Le jour est donc unebase de temps tregraves importante Crsquoest ainsi que lrsquoon peut deacutefinir le jour stellaire comme

6 Nous conseillons particuliegraverement la lecture suivante Le calendrier par Paul Couderc Collection Que Sais-je n203 PUF

Annexes 317

eacutetant la dureacutee qui seacutepare les passages successifs drsquoune eacutetoile au meacuteridien drsquoun mecircme lieu(figure A28) On observe alors que lrsquoeacutetoile repasse au meacuteridien avec une avance de quatreminutes par jour (de 24 h) Le jour stellaire vaut donc

1 jour stellaire = 23 h 56rsquo 4rdquo 0989 de temps universel

Meacuteridien

Eacutetoile

Eacutequateur

Figure A28 bull Le jour stellaire est obtenu en mesurant la dureacutee qui seacuteparedeux passages conseacutecutifs drsquoune eacutetoile au meacuteridien drsquoun mecircme lieu

Le jour sideacuteral est deacutefini agrave partir de lrsquoanneacutee sideacuterale obtenue par passage du Soleil aupoint vernal Comme ce point nrsquoest pas fixe agrave cause de la preacutecession des eacutequinoxes le joursideacuteral est plus court que le jour stellaire En effet le point vernal reacutetrograde de 50rdquo surlrsquoeacutecliptique par an soit (50rdquo 36525)cos237= 0125rdquo par jour sur le plan de lrsquoeacutequateurIl en reacutesulte que le jour sideacuteral vaut

1 jour sideacuteral = 1 jour stellaire - 00084 s = 23 h 56rsquo 4rdquo 0905 de temps universel

Jour J +1

Jour J

Soleil

Figure A29 bull Illustration du deacutecalageentre jour stellaire et jour solaire Le repegravere

vertical qui indique la dureacutee du jourstellaire indiquera le jour solaire lorsqursquoil

sera dans la direction des pointilleacutes

Le jour solaire est deacutefini commeeacutetant la dureacutee qui seacutepare deux pas-sages conseacutecutifs du Soleil au meacuteri-dien drsquoun mecircme lieu Le jour solairedont la dureacutee est de 24 h exactementdiffegravere du jour stellaire agrave cause dumouvement de reacutevolution de la Terresur son orbite Nous savons en effetque la Terre a une peacuteriode de reacutevo-lution de 36525 jours ce qui permetdrsquoaffirmer qursquoelle parcourt pratique-ment 1 par jour sur son orbite Lemeacuteridien drsquoun mecircme lieu serait enconjonction avec le Soleil si la Terreeacutetait fixe Comme elle se deacuteplace drsquo1

par jour par rapport au Soleil ce meacute-ridien doit effectuer chaque jour 1

suppleacutementaire pour ecirctre en conjonc-tion avec le Soleil (figure A29) Letemps mis par un meacuteridien terrestrepour deacutecrire 1 est de 24 h360 soit24times60 min360 = 4 minutes Le joursolaire est donc 4 minutes plus longque le jour stellaire

1 jour solaire (synodique) = 24 h de temps universel

On peut en outre deacutefinir le temps sur une dureacutee plus longue qui est celle de lrsquoanneacuteeLrsquoanneacutee tropique correspond agrave la dureacutee seacuteparant deux passages conseacutecutifs du Soleil aupoint vernal soit

1 anneacutee tropique =36524220 jours de temps universel

6 TEMPS ET REPEacuteRAGE DE LA LONGITUDE DES EacuteTOILES

61 Ascension droite et deacuteclinaisonLe repeacuterage de la longitude drsquoune eacutetoile neacutecessite lrsquoutilisation drsquoun reacutefeacuterentiel Le reacutefeacuteren-tiel le plus commode est en geacuteneacuteral le reacutefeacuterentiel eacutequatorial Lrsquoun des axes du reacutefeacuterentielest lrsquoaxe du monde lrsquoautre est dirigeacute du centre de la Terre vers le point vernal et le dernieraxe est perpendiculaire aux preacuteceacutedents (figure A210)

Axe du Monde

Pointvernal

Eacutetoile

Figure A210 bull Coordonneacutees eacutequatoriales montrant la positiondu point vernal lrsquoascension droite et la deacuteclinaison drsquoune eacutetoile

Ces deux derniers axes sont dans le plan de lrsquoeacutequateur lrsquoaxe du monde eacutetant perpendicu-laire agrave ce plan Les axes de ce reacutefeacuterentiel sont fixes par rapport agrave la sphegravere ceacuteleste si lrsquoonomet la preacutecession eacutequinoxiale La longitude drsquoune eacutetoile est alors repeacutereacutee dans ce reacutefeacute-rentiel par son ascension droite noteacute AD deacutefinie en heures minutes et secondes modulo24 h Toutes les eacutetoiles drsquoun mecircme meacuteridien ont donc mecircme longitude ou mecircme AD

La hauteur (ou altitude) de lrsquoeacutetoile par rapport agrave lrsquoeacutequateur est deacutefinie par la deacuteclinaisonde lrsquoeacutetoile exprimeacutee en degreacutes

62 Le repeacuterage de la longitude et la rotation de la TerreLa longitude drsquoune eacutetoile est donneacutee par son AD qui en premiegravere approximation estconstante au cours du temps Toutefois lrsquoAD drsquoune eacutetoile est lrsquoangle que fait lrsquoeacutetoile parrapport au point vernal et cette quantiteacute doit ecirctre relieacutee agrave lrsquoobservateur Il importe alorsde remarquer que lrsquoobservateur tourne avec la Terre alors que les eacutetoiles restent fixes sur

Annexes 319

la sphegravere ceacuteleste donc fixes par rapport au point vernal Pour un observateur terrestreles eacutetoiles semblent donc tourner en sens inverse du sens de rotation de la Terre Noussavons que la Terre tourne dans le sens inverse des aiguilles drsquoune montre les eacutetoilessemblent donc tourner dans le sens horaire Elles se legravevent donc agrave lrsquoest et se couchentagrave lrsquoouest exactement comme le fait le Soleil Le repeacuterage en longitude drsquoune eacutetoile estdonc compliqueacute par la rotation de la Terre Une complication suppleacutementaire vient de ladiffeacuterence existant entre le jour stellaire (sideacuteral) et le jour solaire

Comme nous pouvons le voir sur la figure A211 (page suivante) la diffeacuterence entre joursideacuteral et jour solaire qui est de 4 min fait qursquoun observateur terrestre verra les eacutetoiles selever (ou se coucher) avec une avance de 4 min par jour solaire Crsquoest pourquoi lrsquoaspect duciel change au cours du temps et crsquoest pourquoi il est possible de deacutecouvrir chaque jour denouvelles constellations au lever des eacutetoiles Il nrsquoen serait pas de mecircme si lrsquoon avait choisicomme base de temps le jour sideacuteral Les eacutetoiles auraient alors des positions fixes pour unobservateur qui les regarderait tous les jours agrave la mecircme heure sideacuterale

Jour J Jour J+1

Heure solaire h Heure solaire h

Figure A211 bull Illustration du changement de longitude drsquoune eacutetoile drsquounjour solaire agrave une autre Une eacutetoile apparaicirct en conjonction avec le bacircton avec

une avance de 4 min par jour solaire

Il est clair que le choix du jour solaire fut le plus judicieux pour les besoins de la viecourante En effet si lrsquoon avait choisi le jour sideacuteral comme base de temps au bout de15 jours nous serions en avance drsquoune heure par rapport au Soleil et au bout de 12 fois cetemps (6 mois) il serait midi au Soleil et minuit agrave la pendule

Malheureusement ce choix de lrsquoeacutecoulement du temps complique singuliegraverement notretacircche pour ce qui est du repeacuterage des eacutetoiles Le jour sideacuteral aurait eacuteteacute dans ce cas plusjudicieux car dans cette base de temps les eacutetoiles sont agrave une heure preacutecise au mecircmeendroit Il nous faut donc tenir compte du deacutecalage entre jour solaire et jour sideacuteral pourrepeacuterer la longitude des eacutetoiles

Nous preacutesentons maintenant la faccedilon de proceacuteder pour deacuteterminer la longitude drsquouneeacutetoile et comme cette longitude reste la mecircme pour un meacuteridien drsquoobservation donneacutenous nous placerons par la suite sur les graphes agrave lrsquoeacutequateur bull la premiegravere eacutetape consiste agrave consulter dans la table des eacutepheacutemeacuterides lrsquoascension droite

de lrsquoeacutetoile que lrsquoon cherche agrave observer bull la deuxiegraveme eacutetape consiste agrave se fixer une heure drsquoobservation et la position de lrsquoobser-

vateur (longitude et latitude)

Il importe alors de deacuteterminer lrsquoheure solaire au lieu drsquoobservation qui deacutepend du paysdans lequel on se trouve En France le 21 mai 1996 une observation reacutealiseacutee agrave 22 heuresleacutegales (on parle ici de temps leacutegal qui est le temps adopteacute par les eacutetats) sur le meacuteridiende Greenwich sera faite agrave 20 heures solaire ou 20 heures de TUG (Temps Universel deGreenwich) car nous sommes alors agrave lrsquoheure drsquoeacuteteacute et nous avons une avance de 2 heures surle Soleil (alors qursquoen hiver lrsquoavance nrsquoest que drsquoune heure et il serait alors 21 heures TUG)

Si cette observation est faite en dehors du meacuteridien de Greenwich il faut corriger le tempsde la longitude drsquoobservation Ainsi le 21 mai 1996 agrave 22 heures le temps local (TL) nrsquoestpas le mecircme agrave Strasbourg (745rsquo) au Mans (012 ) ou agrave Brest (minus429rsquo) Pour faire le calculil suffit de convertir la longitude du lieu en temps par le biais de la peacuteriode de rotationde la Terre 24 h = 360 soit 1 = 4 min Pour reprendre notre exemple srsquoil est 20 heuresau meacuteridien de Greenwich il est 20 heures 01 minute au Mans 20 heures 31 minutes agraveStrasbourg et 19 heures 42 minutes agrave Brest en temps local

Il faut alors convertir ce temps local (TL) en temps sideacuteral local (TSL) Pour cela on peututiliser une meacutethode grossiegravere qui consiste agrave utiliser le fait qursquoil y a par jour un deacutecalage de4 min entre le temps sideacuteral et le temps leacutegal On se fixe comme origine du temps sideacuteralle passage au zeacutenith du Soleil au point vernal crsquoest-agrave-dire lrsquoeacutequinoxe de printemps Il estalors 0 heure sideacuterale alors qursquoil est 12 heures solaire en temps universel On utilise alorsla correction suivante pour passer du temps universel au temps sideacuteral

Heure Siderale = Heure Solaire + C

ougrave C est une constante donneacutee dans le tableau 92

Jour Heure Solaire Heure Sideacuterale C

21 mars 12 h 0 h 12 h

22 mars 12 h 0 h 04 min 12 h 4 min

23 mars 12 h 0 h 08 min 12 h 8 min

21 juin 12 h 6 h 18 h

21 septembre 12 h 12 h 0 h

21 deacutecembre 12 h 18 h 6 h

Tableau A22 bull Valeurs de la constante C agrave diffeacuterentes dates

Il nous faut donc trouver cette conversion le 21 mai 1996 Du 21 mars au 21 mai il y a 60jours soit un deacutecalage de 60 times 4 min = 240 min = 4 h Agrave 12 heures solaire il sera donc4 heures sideacuterale et la correction est donc de 16 heures Lrsquoheure sideacuterale locale au Mans le21 mai 1996 agrave 22 heures leacutegale ou 20 heures 01 minute TU sera donc de

TSL = TL + C = 20 h 01 + 16 h + 8 times 4 min 24 = 12 h 02 min 33 s (modulo 24 h)

Nous savons donc que par rapport aux eacutetoiles il est 12 h 0 min 33 s au Mans le 21 juin agrave22 heures Cet angle srsquoappelle lrsquoangle horaire du meacuteridien du lieu drsquoobservation

Lrsquoangle horaire sous lequel nous voyons lrsquoeacutetoile du meacuteridien du lieu drsquoobservation estdonneacute par la diffeacuterence entre lrsquoangle horaire du meacuteridien drsquoobservation ou TSL et lrsquoas-cension droite de lrsquoastre comme lrsquoindique la figure A212

c = AH = TSL minus AD

Annexes 321

PointVernal

Meacuteridiendu lieu

Figure A212 bull Illustration de la deacutefinition de lrsquoangle horaire AH et de lrsquoascension droite AD

7 REPEacuteRAGE DE LrsquoALTITUDE DU SOLEIL AU COURS DE LrsquoANNEacuteE

71 Interpreacutetation des saisons

Du fait de lrsquoinclinaison de lrsquoaxe de rotation de la Terre par rapport au plan de lrsquoeacutecliptiquelrsquoinclinaison des rayons du Soleil varie au cours de lrsquoanneacutee Elle deacutepend eacutegalement du lieudrsquoobservation (figure A213)

NSolstice dhiver

Soleil

Solstice deacuteteacute

Figure A213 bull Illustration de lrsquoinfluence de la position de la Terre par rapportau Soleil sur la deacutefinition des saisons

Lrsquoangle que font les rayons du Soleil lorsque celui-ci est au zeacutenith (midi au Soleil) est de237 le 21 juin et de minus237 le 21 deacutecembre par rapport au plan de lrsquoeacutequateur Aux eacutequi-noxes cet angle est eacutegal agrave 0 On voit ainsi que le 21 deacutecembre agrave 12 heures solaires seuleune partie de lrsquoheacutemisphegravere nord est eacuteclaireacutee par les rayons solaires alors que tout lrsquoheacutemi-sphegravere sud lrsquoest Crsquoest la nuit arctique et le Soleil de minuit dans lrsquoheacutemisphegravere austral Ausolstice drsquoeacuteteacute la situation est inverseacutee notons que la Terre est alors au plus loin du SoleilLes saisons srsquoexpliquent donc par la variation de lrsquoinclinaison des rayons du Soleil parrapport au plan de lrsquoeacutequateur et non par lrsquoeacuteloignement de la Terre par rapport au Soleil

72 Altitude du Soleil agrave son zeacutenithNous venons de voir que les rayons solaires ont une inclinaison variable au cours dessaisons Cela entraicircne eacutegalement que le Soleil nrsquoest pas toujours perccedilu agrave la mecircme altitudeau cours de lrsquoanneacutee En hiver il est bas sur lrsquohorizon et haut en eacuteteacute Si lrsquoon considegravere unlieu de latitude l la figure A214 indique comment repeacuterer la hauteur du Soleil agrave sonzeacutenith

a = 90 minus (l minus d)ougrave d est lrsquoangle que font les rayons du Soleil avec le plan de lrsquoeacutequateur

Au solstice drsquoeacuteteacute agrave Paris de latitude 48 le Soleil culmine agrave son zeacutenith agrave une altitude de90minus (48minus 23) = 65 alors que cet angle nrsquoest plus que de 42 au eacutequinoxes et de 19 ausolstice drsquohiver Il y a donc une amplitude de variation de 46 entre lrsquohiver et lrsquoeacuteteacute quelque soit le lieu consideacutereacute Toutefois cette amplitude est plus ou moins perceptible selon lelieu Ainsi pour prendre les extrecircmes lrsquoaltitude du Soleil varie de 113 agrave 67 agrave lrsquoeacutequateuret de 0 agrave 23 aux pocircles sachant qursquoen ces lieux il est invisible pendant six mois

Plan eacutequatorial

Figure A214 bull Repreacutesentation de lrsquoinclinaison des rayons du Soleil en un lieu de latitude l

Agrave RETENIR

Lrsquoastronomie est la science qui eacutetudie la position le mouvement et le comportementdes corps ceacutelestes

La Voie Lacteacutee est le nom donneacutee agrave notre galaxie Celle-ci est un vaste disque applatide 100 000 al de diamegravetre et de 5 000 al drsquoeacutepaiseur

Toutes les planegravetes de notre systegraveme solaire deacutecrivent des mouvements gouverneacutes parles trois lois de Kepler

Annexes 323

Toutes les planegravetes ont un mouvement plan Le plan de leur trajectoire srsquoappellelrsquoeacutecliptique

La position drsquoune eacutetoile (ou drsquoune planegravete) est repeacutereacutee dans le reacutefeacuterentiel eacutequatorialpar son ascension droite (angle que fait le meacuteridien de lrsquoeacutetoile avec le point vernal)et sa hauteur

Agrave cause de la rotation de la Terre sur elle-mecircme le repeacuterage de la position drsquoun astreneacutecessite la connaissance du temps sideacuteral (TSL) Lrsquoangle horaire sous lequel on ob-serve une eacutetoile drsquoun meacuteridien drsquoobservation est donneacute par la diffeacuterence du tempssideacuteral local et de lrsquoascension soit AH = TSL minus AD

Lrsquoaltitude drsquoun astre quand il culmine agrave son zeacutenith deacutepend de la latitude du pointdrsquoobservation Si sa deacuteclinaison est d son altitude dans un lieu de latitude l est donneacutepar a = 90 minus (l minus d)

BIBL IOGRAPHIE

bull Meacutecanique du point Cours et problegravemes reacutesolus L1 IUT F Viot Dunod (2005)

bull Meacutecanique du point Exercices corrigeacutes 1re anneacutee MPSI-PCSI-PTSI David TeyssierEllipses (2005)

bull La Physique en Fac Meacutecanique 1re et 2e anneacutee J Cipriani 2e eacutedition Edisciences(2003)

bull Meacutecanique 1re anneacutee MPSI PCSI J M Breacutebec collection H Preacutepa Hachette Supeacute-rieur (2003)

bull Meacutecanique du point problegravemes reacutesolus H Lumbroso Dunod (2002)

bull Toute la meacutecanique Cours et exercices corrigeacutes L Bocquet J P Faroux J RenaultMPSI-PCSI Jrsquointegravegre Dunod (2002)

bull Meacutecanique I H Gieacute J P Sarmant Tec et Doc (1996)

bull Meacutecanique Fondements et applications J P Perez 5e eacutedition Coll Enseignement dela Physique Masson (1997)

bull Cours de Physique de Berkeley 1 Meacutecanique C Kittel WD Knight en franccedilais chezDunod (1999)

bull Le cours de Physique de Feynman Meacutecanique I R Feynman en franccedilais chez Dunod(1999)

bull Astronomie et astrophysique M Seacuteguin et B Villeneuve Masson (1995)

bull Matheacutematiques pour la Physique Y Noirot J-L Quereyl et J Mesplegravede Breacuteal (1985)

AAbscisse curviligne 8Acceacuteleacuteration

angulaire 11coordonneacutees carteacutesiennes 9coordonneacutees polaires 9drsquoentraicircnement 42 188dans la base de Frenet 10de Coriolis 42 188deacutefinition 9relative 42

Anglede frottement 70horaire 320

Anneacuteebissextile 316galactique 310platonique 310

Apesanteur 196Apogeacutee 258Ascension droite 318Asteacuteroiumlde 312Astronomie 311Astrophysique 311

BBande passante 165Barycentre 227 241Base de Frenet 7Bifurcation 194Binet 255Bras de levier 293

CCalendrier

greacutegorien 316julien 316

Centre drsquoinertie 58Centre de masse 227Champ 285

de gravitation 285de scalaires 283

Champ de gravitation 176agrave la surface de la Terre 177

au voisinage de la surface de la Terre178

Champ de pesanteur 200Chronologie 3Cineacutematique 1Circulation 94 307Constante des aires 237Constellation 312

du zodiaque 311Coordonneacutees 4

carteacutesiennes 286cylindriques 287spheacuteriques 287

Cosmogonie 311Cosmologie 311

DDeacutecreacutement logarithmique 135Deacuteriveacutee 294

partielle 297Deacuteviation vers lrsquoest 202Diffeacuterentielle

drsquoun vecteur 300drsquoune fonction agrave une variable 294totale 299

EEacutecliptique 314Eacutenergie meacutecanique 103Eacutenergie potentielle 100

de gravitation 179de pesanteur 101effective 238eacutelastique 102

Eacutequationcaracteacuteristique 133diffeacuterentielle 12diffeacuterentielle non lineacuteaire 12horaire 13

Eacutequinoxes 315Eacutetat lieacute 104 239Eacutetats de diffusion 239Excentriciteacute 257

Index 327

FFacteur de qualiteacute 165Force

centrale 234drsquoinertie 188drsquoinertie centrifuge 193 197

Forcesconservatives 99drsquointeraction 66de contact 68de frottement 68

Formule de Binet 255Foucault 188Frottement

solide 69visqueux ou fluide 69

GGalaxie 312Gradient 302Grand axe 259

H ndash IHauteur 318

Impeacutedance meacutecanique 163

J ndash KJour

sideacuteral 317solaire 317stellaire 316

Kepler 264

LLibeacuteration 239Loi

de composition des acceacuteleacuterations 42de composition des vitesses 36de Newton (1egravere loi) 60de Newton (2e loi) 62de Newton (3e loi) 65des aires 236geacuteneacuterale de composition des vitesses39

Lois de Kepler 261 313

MMareacutee (pheacutenomegravene des) 205Masse reacuteduite 230

Momentcineacutetique 64cineacutetique drsquoun systegraveme agrave deux corps229drsquoune force 292

Mouvementacceacuteleacutereacute retardeacute 13circulaire uniforme 15de rotation de Rprime par rapport agrave R 31de translation de Rprime par rapport agrave R29heacutelicoiumldal 16rectiligne sinusoiumldal 14rectiligne uniforme 12uniformeacutement varieacute 13

N ndash ONeacutebuleuse 312

Oscillateuramorti par frottement fluide ouvisqueux 132amorti par frottement solide 137critique 135harmonique 125

Oscillations forceacutees 155

PPeacuterigeacutee 258Paramegravetre 257Pendule de Foucault 220Planegravete 312

jovienne 313tellurique 313

Poids 197apparent 196

Point vernal 315Portrait de phase 141Preacutecession des eacutequinoxes 310Principe drsquoinertie 57 60Principe des actions reacuteciproques 65Produit

scalaire 288vectoriel 290

Pseudopeacuteriode 134Puissance 98

instantaneacutee 163moyenne 164

Puits de potentiel 104

Q ndash RQuadratures (eacutepoques des) 207Quantiteacute de mouvement 59

Reacutefeacuterentiel 2de Copernic 3deacutefinition 5du centre de masse 229eacutequatorial 318geacuteocentrique 3non galileacuteen 187terrestre 3

Reacutegime forceacute 158Regravegle du tire bouchon 290Repegravere 286Reacutesonance 161Rotation sideacuterale 315

SSaisons 321Satellite

en orbite circulaire 183geacuteostationnaire 184

Scalaires 283Stabiliteacute 104Systegraveme

de coordonneacutees 4isoleacute 58mateacuteriel 57pseudo-isoleacute 58

Syzygies (eacutepoque des) 207

TTemps

leacutegal 320local 320

universel de Greenwich 320Theacuteoregraveme

de lrsquoeacutenergie cineacutetique 98de lrsquoeacutenergie meacutecanique 103de la deacuteriveacutee drsquoun vecteur unitairetournant 294de la force centrale 234du moment cineacutetique 64

Transformation de Galileacutee 35Translation

circulaire 31quelconque 31rectiligne uinforme 30

Travail 94de la force eacutelastique 97de la force de Lorentz 97du poids 95eacuteleacutementaire 94

Tribologie 71

V ndash ZVecteur 283

tournant 293Vitesse

angulaire 11coordonneacutees carteacutesiennes 6coordonneacutees cylindriques 7coordonneacutees polaires 7drsquoentraicircnement 39dans la base de Frenet 8de libeacuteration 240deacutefinition 5relative 39

Voie Lacteacutee 312

Zeacutenith 315

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Imprimeacute en Belgique

SCIENCES SUP

2e eacutedition

S DE PH

MEacuteC

MATHEacuteMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

ALAIN GIBAUD

MICHEL HENRY

(GibaudHenry)

Table des Matiegraveres

Avant-propos

CHAPITRE 1 CINEacuteMATIQUE DU POINT

1 De la neacutecessiteacute du reacutefeacuterentiel

2 Vitesse dun point mateacuteriel

3 Acceacuteleacuteration dun point mateacuteriel

4 Reacutecapitulatif

5 Exemples de mouvements

Agrave retenir

Exercice dapplication avec solution deacutetailleacutee

Exercices

Solutions

CHAPITRE 2 CHANGEMENTS DE REacuteFEacuteRENTIELS

1 Mouvements dun reacutefeacuterentiel par rapport agrave un autre

2 Eacutetude de la vitesse

3 Eacutetude de lacceacuteleacuteration

Agrave retenir


Exercices

Solutions

CHAPITRE 3 LOIS DE NEWTON ET REacuteFEacuteRENTIELS GALILEacuteENS

1 Principe dinertie premiegravere loi de Newton

2 Principe de la dynamique deuxiegraveme loi de Newton

3 Actions reacuteciproques troisiegraveme loi de Newton

4 Les forces

5 Applications

Agrave retenir

Exercices dapplication avec solution deacutetailleacutee

Exercices

Solutions

CHAPITRE 4 TRAVAIL PUISSANCE EacuteNERGIE

1 Travail dune force

2 Exemples de calcul du travail

3 Puissance dune force

4 Eacutenergie

5 Eacutetats lieacutes dun systegraveme meacutecaniquement isoleacute

Agrave retenir


Exercices

Solutions

CHAPITRE 5 OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES

1 Loscillateur harmonique

2 Eacutequation diffeacuterentielle

3 Exemples doscillateurs harmoniques

4 Eacutetude eacutenergeacutetique des oscillateurs

5 Oscillateur meacutecanique amorti par frottements visqueux

6 Analogie eacutelectrique

7 Oscillateur amorti par frottement solide

8 Portrait de phase dun oscillateur

Agrave retenir


Exercices

Solutions

CHAPITRE 6 OSCILLATIONS FORCEacuteES REacuteSONANCE

1 Oscillations forceacutees

2 Solution de leacutequation diffeacuterentielle

3 Transfert de puissance

4 Facteur de qualiteacute

Agrave retenir


CHAPITRE 7 INTERACTION GRAVITATIONNELLE

1 Attraction universelle

2 Champ de gravitation terrestre

3 Eacutenergie potentielle de gravitation

4 Applications

Agrave retenir

CHAPITRE 8 REacuteFEacuteRENTIELS NON GALILEacuteENS

1 Introduction

2 Loi de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen

3 Exemples dapplication

4 Dynamique terrestre

Agrave retenir


Exercices

Solutions

CHAPITRE 9 SYSTEgraveMES Agrave DEUX CORPS

1 Eacuteleacutements cineacutetiques

2 Reacutefeacuterentiel du centre de masse

3 Relation fondamentale de la dynamique

4 Proprieacuteteacutes du mouvement

Agrave retenir


CHAPITRE 10 TRAJECTOIRES DUN SYSTEgraveME Agrave DEUX CORPS

1 Rappels

2 Eacutequation polaire de la trajectoire Formule de Binet

3 Reacutesolution de la formule de Binet

4 Eacutetude des trajectoires

5 Eacutetude eacutenergeacutetique

6 Trajectoires elliptiques lois de Kepler

Agrave retenir


Exercices

Solutions

ANNEXE 1 RAPPEL DES OUTILS MATHEacuteMATIQUES

1 Scalaires et vecteurs

2 Composantes dun vecteur

3 Produit scalaire

4 Produit vectoriel

5 Deacuterivation vectorielle

6 Diffeacuterentielle dune fonction

7 Vecteur gradient dune fonction

8 Inteacutegrales et primitives

9 Inteacutegrales vectorielles

ANNEXE 2 INTRODUCTION Agrave LA MEacuteCANIQUE CEacuteLESTE

1 Historique

2 Deacutefinitions

3 La Voie Lacteacutee

4 Le Systegraveme Solaire

5 La deacutefinition du temps

6 Temps et repeacuterage de la longitude des eacutetoiles

7 Repeacuterage de laltitude du Soleil au cours de lanneacutee

Agrave retenir

BIBLIOGRAPHIE

INDEX

Index

COURS DE PHYSIQUE

MEacuteCANIQUE DU POINT

Alain Gibaud

Professeur agrave lrsquouniversiteacute du Maine (Le Mans)

eacutedition

Michel Henry

Agreacutegeacute de physiqueMaicirctre de confeacuterences agrave lrsquoIUFM des Pays de Loire (Le Mans)

M CANIQUE DU POINT Page I Mardi 26 juin 2007 903 09

Digital Vision

AVANT-PROPOS

Avant-propos III

Agrave retenir 107

Agrave retenir 185

Agrave retenir 241

Agrave retenir 322

BIBLIOGRAPHIE 325

INDEX 326

CHAPITRE 1

Axe des temps

Instants

Origine

Instant 1 Instant 2

Copernic

)qui est une base

ChronologieOrigine

21 Deacutefinition

Ouxrarr

M(t)uzrarr

prime (t+dt)

d xd t

minusrarru z

minusrarru z)

ρurarr

θurarr

ρurarr

uxrarr

uzrarr

uyrarr

θurarr

ρurarr

(a) (b)

=d(rminusrarru r)

d tminusrarru r + r

dminusrarru r

d t= minusrarru u

d t= uminusrarru u

=dminusrarrOMd s

d sd t

avec s =

terarry

dminusrarrOM =

(dminusrarrOMd t

) =d2 minusrarrOM

(Ominusrarru x

d2 minusrarrOMd t2

)qui est une

dminusrarru u

ρurarr

θurarr

nerarr

Trajectoire

α dαds

terarr

dminusrarre t

d t= aminusrarre n

soit d a

d t= a =

d sd t

On obtient donc

sdminusrarre t

Rminusrarre n =

Rminusrarre n

Carteacutesienne

Cylindrique

Ouruuminusrarru z

(2ru + ru)uu

zminusrarru z

Base de Frenet

uzrarr

prime(t+dt)

d rarrrarr θω =

z positifs

x = 0 x + ax = 0 x + ax + bx = 0

x + ax3 = 0

rarrv = cste

x = Ct + x0

v = x = Ct + B

Ct2 + Bt + D

Ct2 + xo

d tgt 0 =rArr 2 v

d vd t

x = pt

pt d t

v = pt2

2+ q = x

x = pt3

6+ qt + r

x = pt3

x = Xm cos(vt + w)

x + v2x = 0

ρurarr

RMararr

RMvrarr

d t= v = cste

u = vt + uo

= ruminusrarru u(t)

OM(t))

minusrarrd v

d tand minusrarr

minusrarrv MR =

minusrarra MR

minusrarrv MR =

∣∣∣∣∣ 0Rvv0

minusrarra MR

minusrarru z

minusrarra MR

∣∣∣∣∣ 00ao

=rArr minusrarrv MR

∣∣∣∣∣ vox0

aot + voz

minusrarrOM =

y = yo = 0z = 1

voxet z =

+ vozx

v2o cos2 a

+ x tan a (11)

ovrarr

uzaa o

rarrrarr=

uzrarr

uxrarr

La flegraveche h

La porteacutee d

z = 0 =rArr x = 0 et x = d =v2

ao2 sin a cos a =

gsin 2a

2gsin2 a

Agrave RETENIR

ChronologieOrigine

Base(minusrarru x

minusrarre n)

PositionminusrarrOM

] [r0z

] ⎡⎣ r

Rminusrarre n

Cineacutematique

= 1 radsminus1

minusrarrCM =

y rarr

rarr rarr

Figure 117

Figure 118

BBVrarr

Figure 119

C oVrarr

Figure 120

Figure 121

uxrarr

θurarr

ρurarr

Figure 122

pour t = 0 s 15 s 30 s 45 s et 60 s

Solutions

(nord)

Nrsquo

v primerarr

No(est)

(nord)

Nrsquo

v primerarr

Norsquo

No(est)

vrarrN

(a) (b)

Figure 123

D(tm) =h

vprime2v2a2

(v2+vprime2) )2i12

v sin u= aradic

v2minusvprime2

Distance DB = d2 =p

t2 =2radic

(lminusx)2+d2

t1 = 16 minusradic

t2 = 16 +radic

n = TBTAminusTB

= 1vBvA

minus1= 1

11minus1 = 10 rArr t = 10TA = 6 28 s

12 (en radians)

= 50minus1510 = 3 5 s

Al = v2

5p18 cos( p

18 t + p12 )

18 )2 sin( p18 t + p

10g = 2 5 km

minusrarrOA =

minusrarrOC +

minusrarrCA =

minusrarrOA =

1 minus cos voa t

˜minusrarru y

d t = voˆ

2aminusao

t t2 + aot

aot + aot =12

aot rArr t = 2a1

40p= 30 s

= 30 radsminus1

2 = a1R1R2

et x = vot2

minusrarru y = vot

minusrarru x

minusrarru y)

o t2)minus12(vo

30 radsminus1

3 cmsminus1

30 tminusrarruu )

2minusrarruu ) =

2minusrarru y)

240 300

Figure 124

rArr r d u

a + b cos u

b sin urArr d r

b sin u

a + b cos ud u

On obtient

ln r + C =

b sin u

r(u) = 43+cos u

= 431+ 1

ρurarr

turarr

nurarr

Figure 125

= 2rv2minusrarruu

(voir figure 125)

minusrarrv =radic

2rv2 =minusrarrv 2

R = 2r2v2

R rArr R =radic

roradic

eu = vroradic

roradic

2t + 1

2t + 1) et u = v

roradic

vroradic

2t + 1

rdquominus1

CHAPITRE 2

minusrarru z) et le

xminusrarru prime

yminusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

Vecteur translation

y prime

uzrarr

uyrarr

uxrarr

uxrarr uy

(R) (R)

OO prime

d t=rArr

minusrarrC

x prime

y prime

O prime

uxrarr

uyrarr

uzrarr

(R prime)

RO primeωrarr

minusrarrVRprimeR

uxrarr

uyrarruz

z prime

y prime

O prime

(R prime)zrsquo

x prime

y prime

O prime

(R prime)z

x prime

y prime

x prime

minusrarru z

xminusrarru prime

yminusrarru prime

) qui est

uyrarr

ux primerarr

uxrarr

x prime

y prime

z z prime

uzrarr

uz prime

uy primerarr

primeΩrarr

O O prime

RRperpprimeΩ

uy primerarr

uyrarr

x prime

y prime

uxrarr

ux primerarr

u = VRprimeR

dminusrarru primex

minusrarru primey

d minusrarru primex

d minusrarru primey

x = VRprimeR

d minusrarru primez

=minusrarr0

dminusrarru primex

)Rprime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

base(minusrarru r

uyrarr rarr

uy1rarr

y1 ux2

rarruy2

uxrarr

uy1rarr

rarrO1

ux1 ux1

uxrarr

uyrarruz

(R prime)z

x prime

y prime

O prime

(Rrsquo)z prime

x prime

y prime

O prime

(R prime)z

x prime

y prime

minusrarrOM =

(R prime)

O primeO y

x prime

z z prime

ROV primerarr

uzrarr

uxrarr

uyrarr

uxrarr

uyrarr

uzrarr

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 1 0 0 00 1 0 vo0 0 1 00 0 0 1

yprime

zprime

tprime

⎤⎥⎦

d xd t

minusrarru z

)Rprime

d xprime

d tminusrarru x +

d yprime

d tminusrarru y +

d zprime

d tminusrarru z

dminusrarrOMd t

)Rprime

dminusrarrOMd t

)Rprime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

rarrrarr

x prime

y prime

z z prime

rarr rarrrarr

primeΩrarr

x prime

y prime

θuyux prime

uz uz prime

uy prime

ux prime

minusrarrVRprimeR =

d tminusrarru z

yminusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)sont donc

xminusrarru prime

yminusrarru prime

xminusrarru prime

=d xd t

minusrarru z

)Rprime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

d xprime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

d t+ yprime

dminusrarru primey

d t+ zprime

dminusrarru primez

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

En remarquant que

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

z nous avons aussi

dminusrarrOMd t

=dminusrarrOMd t

)Rprime

OM (21)

ce qui montre que

dminusrarrX

minusrarrX

)Rprime

X (22)

minusrarrOM =

on voit que

dminusrarrOMd t

)Rprime

OprimeM

rarrrarr

y1 rarrrarr

rarrO1

ux1 ux1

base fixe de R2

(minusrarru x1

minusrarru x2

)= u(t)

minusrarr0

minusrarru y2)

On obtient donc

minusrarru y2)

⎞⎠R

On obtient donc

+dminusrarrVRprimeR

dminusrarrX

=dminusrarrX

)Rprime

OprimeM)

base fixe de R2

minusrarr0

Agrave RETENIR

minusrarrVRprimeR)

Instant t = 0

Instant t1

rarrrarr

Figure 211

Solution

xurarr

yurarr

xurarr

Instant t = 0

Instant t1

θurarr

yurarr

Figure 212

I 1) v =2Vo

20504775

v lt 0

|v| =23142094

= vt1 rArr v =D2t1

=d (vur)

rayon CA

)Rprime

Rprime

)Rprime

minusrarru z

Figure 213

Figure 214

minusrarrOMvR)

uxrarr

uyrarr

Figure 215

minusrarru u)

est la valeur de ao

uxrarr

ϕuzrarr

Figure 216

minusrarrV )

Solutions

spirale)

minusrarruu

4) AB = 3 m= 12 aot2 rArr t =

minusrarrOG)

minusminusrarrOA1 =

minusrarrOG +

minusrarruu

minusrarruu )

minusrarruu

Figure 217

minusrarrvR = vroˆ

rArr w =p

C = p minus u

minusrarrOM = ro

2 0) (figure 217)

minusrarr0 )

AN t =radic

4 = 2 s

04 0812 16

Figure 218

u = vo rArr u = vot (t = 0 u(0) = 0)

AN u = p2 t = 1 57t

aot2vo

minusrarruu

4 t2minusrarruu

2 t rArr r = 12

AN r = 2p2 u2 0 2u2

t 0 05 1 15 2

r 0 0125 05 98 = 1 125 2

u 0 p4 0 78 p

2 1 57 3p4 2 36 p 3 14

minusrarrV PRt

minusrarrur 0 12 = 0 5 1 15 2

minusrarrV PRt

4 0 78 9p16 1 77 p 3 14

(voir figure 218)

minusrarrV PRm +

minusrarrVe

minusrarrVe =

minusrarrV RmRt and

minusrarrOP = rvo

4 t2minusrarruu

minusrarrV RmRt and

30minusrarru z

minusrarr0

2 aot2

r(u) = 12

aov2 (u minus p

2t2minusrarrur

minusrarrOI +

minusrarrV (C) =

1)minusrarrOA =

minusrarrOC +

minusrarrOA = a

2)minusrarrV = aw

= Voˆ

minusrarrV

=radic

2Voradic

minusrarrV

minusrarrIA =

minusrarrIC+

IA = awˆ

4)minusrarrV = Vo

minusrarru x + Voˆ

=minusrarrVo + Vo

minusrarru )

minusrarrV prime +

minusrarrVe

= Vominusrarru

oVrarr

uVorarr

Figure 219

minusrarrVo

minusrarru x + Voˆ

CHAPITRE 3

preacutealable

minusrarr0

minusrarrOG =

sumi mi

i mi=rArr m

minusrarrOG =

miminusminusrarrOMi

mminusrarrOG =

intintintM

minusrarrOMdm

minusrarrp =

miminusrarrv i =

minusrarrp i

minusrarrp =

miminusminusrarrOMi

(mminusrarrOG)

= mdminusrarrOGd t

= mminusrarrVG

Solide en mouvement

constV RG =rarr

minusrarr0

d minusrarrv GR

d t =minusrarr0

Causes Effets

pdF RG

rarrrarrrarr==sum

1Frarr

2Frarr

3Frarr

4Frarr

1Frarr

2Frarr

3Frarr

4Frarr

les forces

minusrarrL MR =

rarrΔ

dminusrarrL o

minusrarrOM and m

dminusrarrv MR

dminusrarrL o

minusrarrOM and

summinusrarrF ext =

summinusrarrMo(

minusrarrFext)

Causes Effets

LdFM o

rarrrarrrarr

=sum )(

Theacuteoregraveme

minusrarrL =

ID = ml2

systegraveme 2

rarrrarrminus=

4 LES FORCES

Vecteur unitaire

MmF rarrrarr

mMF rarrrarr

SC2minusrarru

minusrarrSC

go = G MR2

g(z) = G M(R + z)2 = G M

(R + z)2 = go(1 +zR

)minus2

go(1 minus 2zR

minusrarrF Qrarrq =

14pacuteo

minusrarrSC

minusrarrE (M) =

14pacuteo

minusrarrSM

nRrarr

minusrarrP +

minusrarrR n =

minusrarrF = minus1

2CxSrvminusrarrv

nRrarr

eFrarr

minusrarrF e (fi-

F = mRn

= tan F = m

nRrarr

eFrarr

= tan w =Fe

Rn= tan F = m

Repos Mouvement

F=μRn

Trarr l

Δ l=l -lo

5 APPLICATIONS

uxrarr

cstevmp == rarrrarr

ωrarrrarr

Δ== IcsteLo

axe Δ

minusrarru x

d xd t

MFextD = 0 rArr ID

d t2= 0 rArr d u

d t= cste = vo

minusrarrv =d u

minusrarru z

uxrarr

ωrarrrarr

Δ=ne IcsteLo

axe Δ

= cste

rArr x =Fm

t + vo

t2 + vot + xo

IDu =sum

F perp minusrarrOM)

md2 =F

md= cste

mdt + uo

t2 + uot + uo

minusrarrP

mdminusrarrv GR

minusrarrP +

minusrarrF =

dminusrarrvd t

vx = g

d vxd t + k

= minus km d t

m t + ln C

vx = Ceminuskm t

d t= 0 rArr vx =

vx =mgk

+ Ceminuskm t

C +mgk

vlim =mgk

x =mgk

(t +mgk

0 2 4 6 8 100

Temps (s)

b) Pendule simple

ρurarr

θurarr

minusrarrP +

minusrarrT

minusrarrP(

)minusrarrT(

minusT0

minusmg sin u = mlu

sin u = 0

u +glu = 0

u = um sin(vot + w)

Agrave RETENIR

minusrarrL MR =

dminusrarrL o

minusrarrOM and

summinusrarrF ext =

summinusrarrMo(

minusrarrFext)

Les forces

Dynamique

Figure 321

radickm

001= 196 Nmminus1

3) Systegraveme m

minusrarrT

minusrarrR +

mobile donne

k minus mv2 =Lo

1 minus v2

k minus mv2 =Lo

v2 minus 1

avec vo =

radickm

4p2 =1

498196005

= 100 etv2

v2 minus 1=

= 2 cm

et L = 50 cm

4) T = k(L minus Lo) = 196002 = 392 N

v2 minus 1et L =

k minus mv2 =Lo

1 minus v2

minusrarr0

u1 = (minusrarrOx

rurarr

yurarr

1Vrarr

H Plan deau urarr

Figure 322

radic2gr

et V1 =

radic23

rurarr

yurarr

1Vrarr

H Plan deau

Figure 323

minusrarrP +

c) u = minusgr

= minus2gr

d (sin u)d tint u

d (u2)d t

= minus2gr

d (sin u)d t

rArr u2 = minus2gr

[sin u]up2

u2 =2gr

2gr(1 minus sin u)

V1 =radic

radic2gr(1 minus 2

radic23

et cos u1 =radic

1 minus sin2 u1 =

radic1 minus 4

radic5

radic23

radic1 minus(

)2⎞⎠

radic23

radic5

3minusrarru y

rArr minusrarrV =

∣∣∣∣∣∣V1 sin u1

∣∣∣∣∣∣∣∣x = (V1 sin u1)t

y = minus12

avec t =x

V1 sin u1

y = minus12

rminus

radic5

2x (origine en M1)

x2 +radic

rx minus 23

r2 = 0

x2 +8radic

rx minus 3281

r plusmn

x = minus4radic

r +radic

80272 r2 +

329272 r2 = minus4

radic5

radic80 + 288 =

(radic

368 minus 4radic

radic2 minus 4

radic5) =

r(3radic

2 minusradic

27r = 0297r

(radic5

)r = 10426r

Figure 324

minusrarrF

Figure 325

Figure 326

Figure 327

Figure 328

minusrarrBC2 =

minusrarrAB2 +

minusrarrAB

minusrarrAC

toωθ = x

Figure 329

d t = 0

Solutions

minusrarrT

(tension du fil)

P +minusrarrRn +

minusrarrT =

minusrarr0

k sin a

nRrarr

uxrarr

uyrarr

Figure 330

nRrarr

αα rarr

uyrarr

Figure 331

minusrarrR =

minusrarrP

α=60˚

nRrarr

Figure 332

= f12 = 2f = 40 NrArr f = 20 N

msminus2

2 x3(t1 + t2)2 + [x3(t1 + t2) minus v1] (t1 + t2)

nRrarr

uxrarr

uyrarr

Figure 333

minusrarrj )

etminusrarrR =

minusrarrf +

minusrarru y

minusrarrT +

minusrarrR

=radic

1822 + 1379 42 = 1391 35 N

tan w = fRn

= m = 18213794 = 0 132 rArr w = 7 5

a et x = 12

vminusv1a (v + v1)

v2minusv21

2x = (20minus10)(20+10)20 ( 103

3600 )2 = 1 16 msminus1

+ mg m cos a+sin a

cos b+m sin b= m a

cos b+m sin b+ T = 200 116

0932 + 1000 = 1248 93 N

uxrarr

uyrarr

Figure 334

minusrarrP

minusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrN

= Kg tt

x = v = 12

2 Kg t2

trArr x = 1

6 Kg t3

t=rArr K = Fo

mg = 1001000 = 0 1

trArr t = 1

2 Kg t2

v(A) = 12

1005 = 10 s

OA = x = 16 Kg t3

10 = 1006 = 16 67 m

minusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrRn

minusrarrR =

minusrarrP +

minusrarrf +

)t + v(A) = minus0 2t + 5

2v(A)2

)= minus 1

2v(A)2

x = 62 5 m

tan a) = x

g sin a= minus 1

) = (1 + v(A)2

2dg sin a) tan a = 0 08(1 + 1

128 ) = 0 080 625

θ l1O

amrarr

Figure 335

= 0 1 m rArr l = lo + 0 1 = 0 2 m

cos u= m(l1 + l)v2

rArr v = (g

(l1 + l) cos u)12 =

minusrarrR

minusrarrT

minusrarrR +

minusrarrT =

minusrarr0

minusrarrP ) +

minusrarrMo(

minusrarrT ) +

minusrarrMo(

minusrarrR ) =

minusrarr0

θ=60˚

Figure 336

minusrarrR et

P (figure 336)

k =TDl

=13 20 64

= 20 625 Nmminus1

2)minusrarrAM =

minusrarrAO +

AM2 =minusrarrAO2 +

minusrarrOM2

+2minusrarrAO

AM = loradic

AM = lohradic

5+4 cos usin u

sin a = 2radic7

sin 60 = 0 655 rArr a = 40 89

T = mg sin usin a

= mg AM2lo

54 + cos u = 5

minusrarrP ) +

minusrarrMo(

minusrarrT ) =

minusrarr0 rArr

minusrarrMo(

minusrarrP )

=sbquo

minusrarrMo(

minusrarrT )

Psbquo

= lomg sin u =sbquo

Tsbquo

k =TDl

54 + cos u

i rArr k = 10

radic7

21radic

agrave la tige

Figure 337

o ro sin hu

CHAPITRE 4

ment (figure 41)

(minusrarrF)

=minusrarrF

minusrarrAB

minusrarrl =

d WMminusrarrMprime

(minusrarrF)

=minusrarrF d

minusrarrl

)(MprimeprimeFrarr

ldrarr

)(MFrarr A

Mprimeprime

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

minusrarrl

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF d

minusrarrl =

minusrarrF

dminusrarrl =

minusrarrF

minusrarrAB

)(MFrarr

(minusrarrF)

=minusrarrF

minusrarrAB

WArarrB

(minusrarrP)

minusrarrP (M) d

minusrarrl =

minusrarrP

uyrarrux

uzrarr

∣∣∣∣∣ 00

minusmget

minusrarrAB =

soit WArarrB

(minusrarrP)

=minusrarrP

d WminusrarrP =

minusrarrP d

WArarrB

(minusrarrP)

uxrarr

d Wxrarrx+d x

(minusrarrT)

=minusrarrT d

Wx1rarrx2

(minusrarrT)

=int x2

minusrarrT d

minusrarrl =int x2

minuskx d x =12

2minus x2

2 kx2 + cste

trajectoire

P (t) =d Wd t

=minusrarrF

dminusrarrl

W1rarr2

(minusrarrF)

=int t2

int t2

t1P (t) d t

4 EacuteNERGIE

dminusrarrv GR

summinusrarrF ext d

minusrarrl = m

dminusrarrv G

vBintvA

minusrarrF ext d

minusrarrl =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

m(v2B minus v2

A) =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

WArarrB

(minusrarrF ext

ment On aura donc

WArarrB

(minusrarrF)

= minusKint B

Ad l = minusK

(minusrarrF C

DEP = minusWArarrB

(minusrarrF C

minusrarrF C

ext dminusrarrl

ext (46)

ldFAEBEB

CextPP

rarrrarrminus=

CextP FEgrad

rarrminus=

Forme locale

WArarrB

(minusrarrP)

EPP (z) = mgz + C

EPP (z) = mgz

d W(minusrarr

=minusrarrP d

d WP =minusrarrP d

Epp = minusmgz

d Wxrarrx+d x

(minusrarrT)

=minusrarrT d

= minusd (EPe)

ou encore

Wx1rarrx2

(minusrarrT)

= minuskint x2

x d x =12

1 minus x22

EPe =12

kx2 + C

EPe =12

k (Dl)2 =12

k (l minus l0)2

12 kx2)

WArarrB

(minusrarrF C

WArarrB

(minusrarrF NC

WArarrB

(minusrarrF NC

WArarrB

(minusrarrF NC

WArarrB

(minusrarrF NC

(EB minus EA) =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

E = EC + EP = cste

E minus 12

lt x lt

radic2Ek

-4 -2 0 2 400

puits de potentiel

d xminusrarru x

d x= 0

TT uxrarrrarr

xltx0 = 0

xgtx0 =0

uxrarr

= 0 etd2 EP

santes

instable

Agrave RETENIR

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

P (t) =d Wd t

=minusrarrF

dminusrarrl

Bminus 12 mv2

WArarrB

(minusrarrF ext

(minusrarrF C

minusrarrF C

ext dminusrarrl

F Cext d

minusrarrl

EP =12

k(l minus l0)2

(EB minus EA) =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

E = Ec + EP

= 0 etd2 EP

Orsquo

xurarr

zurarr

Figure 410

a = 60 =p

II Chute libre

Em = constante

Em(O) = Ep(O) + Ec(O) = Ec(O) =12

mV2o rArr Vo =

4) a) WAO =int O

minusrarrf d

minusrarrl =int O

Aminusfdl = minusf

Adl = minusf

c) f =m

o ) =2 7004p

= 21486 N

d) f = 214 9 N

II Chute libre

1)minusrarrV o = Vo

minusrarru x

minusrarra =

⎡⎣ 00

⎡⎣ vox = Vo

rArr minusrarrOM =

⎡⎣ x = Vot + xo = Voty = yo = 0

On a donc

x = Vot

z = minus 12 gt2

t = xVo

z = minus 12 g x2

= minus x2

20 rArr x =radic

20h =radic

de rayon R

Figure 411

T = 2kR sinue

T cos(

2minus ue

= R sinue

2rArr Dl = 2R sin

2rArr T = 2kR sin

5) T cosue

2= 2kR sin

6) Epe =12

k(Dl)2 =12

2R sinu

= 2kR2 sin2 u

Pendule pesant

Figure 413

II Cineacutematique

minusrarru u)

III Dynamique

Solution

Figure 414

2) E(A) = EPP(A) + EC(A) =12

4) V2M = V2

II Cineacutematique

1)minusrarrV M =

d(rminusrarru r)dt

III Dynamique

Donc Tm

= g cos u +V2

l(relation n 3)

= g cos u +V2

l= g cos u +

VA =radic

c) V2C = V2

Looping

z grarr

Figure 415

II Cineacutematique

minusrarru u)

III Dynamique

2) Em(A) = mgh Em(M) =12

4) Em(M) =12

II Cineacutematique

R= Ru2 (n 2)

III Dynamique

RrArr F

m= g cos u +

R(n 3)

= g cos u +V2

R= g cos u + 2g

minus 1 +32

cos u]

Fmin 0 rArr hR

1 minus 32

cos p = 1 +32

yurarr

a b ho h1

xurarr

Figure 416

Solution

yurarr

a b ho h1

xurarr

nRrarr

Figure 417

Rnlt m

minusrarru y

minusrarrf +

et en projetant

1 minus m

)x = g sin a

(1 minus tan w

radic2xB

radic2h

x sin a

radic2hoxsin a

=radic

1 minus tan w

minusrarrR n = Rn

f = mRn

minusrarrf +

)x = minusg sin b

sin a= minusmgho

tan arArr V2

B = 2gho

(1 minus tan w

sin b= minusmgh1

mgh1 minus12

rArr V2B = 2gh1

)et V2

B = 2gho

(1 minus tan w

On a donc h1

1 minus tan w

1 +tan w

=tan a minus tan w

tan b + tan w

EPP (0) = 0)

2 m(vo sin a)2 = 14 mv2

v2o cos2 a

2 sin a cos a =v2

minusrarrR +

m t + C

v0= minus k

mt =rArr vx = voe

minus km t

vx d t = vo

keminus

km t + C2

1 minus eminuskm t

Le bateau

W1rarr2

ldquominusrarrf

minusrarrf d

minusrarrl =

ldquominusrarrf

= minuskv20

eminus2 km t d t

W1rarr2

ldquominusrarrf

= kv20

eminus2 km t

iinfin

0= minus1

-3 -2 -1 0 1 2 30

Figure 418

x0= 0 et d2 EP

= 0 etd2 EP

E = E(M) =rArr 12

CHAPITRE 5

00 05 10 15 20-6

x(t) = xmaxej(vt+w)

v (t) =d xd t

a =d vd t

Axe des reacuteels

v2xmax

v x max

Elongation

Vitesse

a = minusv2x

x + v2x = 0

x + v2x = 0 =rArr

x(t) = xmaxej(vt+w)

uxrarr

minusrarrT +

minusrarrR (51)

avec minusrarrP =

minusrarrT =

minusrarrR =

∣∣∣∣ 0R

radickm

rArr T =2p

radicmk

minusrarrP et

minusrarrT =

minusrarr0

l0+Δl0

xPrarr

uxrarr

minusrarrP +

33 Pendule simple

uTrarr

(minusrarrF ext

d(minusrarr

mgl sin u = mldvdt

= ml2u =rArr u +gl

sin u = 0 (52)

u +glu = 0

E = EC + EP = cste

E mv kx= +1

mglmlE

)mgl(mlE

minus+=

-006 -004 -002 000 002 004 006 00800

40x10-5

80x10-5

12x10-4

16x10-4

20x10-4

24x10-4

Ep E Ec

EC(t) = 12 mv2

0x2msin2(v0t + w)

EP(t) = 12 kx2

mcos2(v0t + w)

R(O x t)

kRrarr

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR +

avec minusrarra =

∣∣∣∣ x0

minusrarrT =

minusrarrP =

minusrarrR =

∣∣∣∣ 0R

minusrarrF =

x = 0 (53)

x (t) = Aert

forallt(

)A ert = 0

m2 minus 4km

m2 minus 4v20

D lt 0 D = 0 D gt 0

radicv2

0 minus a2

2m plusmnradic

4m2 minus v20

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tejtq

v20minus a2

xminus = Beminusa

2m teminusjtq

v20minus a2

x = (At + B)eminusa

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tetq

4m2 minusv20

xminus = Beminusa

2m teminustq

4m2 minusv20

x (t) = eminusa

v20minus a2

4m2 + Beminusjtq

v20minus a2

x (t) = Xmaxeminusa

radicv2

0 minusa2

2pradicv2

0 minus a2

=T0radic

1 minus a2

4v20m2

x (t) = Xmaxeminusa

cos vt +a

2mvsin vt

0 2 4 6 8 10-6

x(t)=5e-αt2m

a2m (nminus1)T

d = lnx (nT)

x ((n minus 1) T)=

x = (At + B)eminusa

x (t) = Xmax

eminusa

0 2 4 6 8 10

α =04

T0 =314s

m=01kgxmax=5cm

x (t) = eminusa

2m t(Aeminustq

4m2 minusv20 + Bet

4m2 minusv20 )

A =xmax

(1 minus a

)avec v =

radica2

4m2 minus v20

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR +

k Rrarr

PrarrF

rarr xO

∣∣∣∣∣ 1 si x lt 0

minus1 si x gt 0

mx + kx = F

Xmax = A +Fk

et w = 0

x = (Xmax minusFk

) cos v0t +Fk

X1 = minusXmax +2Fk

mx + kx = minusF

Agrave t =T2

) cos v0t minus Fk

t (p + 1)T2

0 10 20 30 40-006

k=002Nm-1

m=01kgF=00001N

E = 12 mv2 + 1

12 kx2

max12 kx2

max) = 0

X1 = minusXmax +2Fk

-006 -004 -002 000 002 004 00600

50x 10-5

10x 10-4

15x 10-4

20x 10-4

25x 10-4

xmE(x)=12kxm

2 -F(xm-x)

mx + v2

0x = 0 (54)

2 + m v20x2

= minus2ax

se conserve

a2 +x2

radic2E

et b =

radic2Em

-1 0 1

x(t)0 1 2 3 4 5 6

-10 -05 00 05 10 15

Agrave RETENIR

Deacutefinitions

x + v2x = 0 =rArr

x(t) = xmaxej(vt+w)

E = EC + EP = cste

x (t) = Aert

m2 minus 4 km = a2

D lt 0 D = 0 D gt 0

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tejtq

v20minus a2

xminus = Beminusa

2m teminusjtq

v20minus a2

x = (At + B)eminusa

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tetq

4m2 minusv20

xminus = Beminusa

2m teminustq

4m2 minusv20

Oscillateur

le = lo + Dl1

Figure 518

x + v2o x = 0

eTrarr

NRrarr

le = lo + D l1

Figure 519

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR N =

minusrarr0

minusrarrR N = RN

Projection sur Ox

01101210

= 005 m = 5 cm

2) Dl2 = Dl12

2mg sin u =

mg sin u

=011012

= 025 N

radic32 = 0866 N

d) tan f =f

0250866

= 02887 rArr f = 16

m fT 1

Angle f

rarr rarr

Figure 520

minusrarrT +

rArr v2o =

To =2p

vo= 2p

radicmk

= 0628 s

b) EPe =12

k(Dl1 + x)2

c) Em =12

k(Dl1 + x)2

e)d Em

2k(Dl1 + x)x = 0 rArr mx + kx = 0

mx + v2

o x = 0

rArr v2o =

rArr vo = 10x + 12x + 100x = 0

= 0785 gt To = 0628 s

Oscillateurs

x x x x

e= lD e

xurarr

Figure 521

SolutionI x x x x

Ressort agrave vide

Instant t

Xe= D le

Vecteur unitaire

rarr rarr

Figure 522

minusrarru x

minusrarrT e =

= 01 m = 10 cm

minusrarrP +

c) v2 = km rArr v =

2v2Xe=

minus10210001

= minus12rArr vt =

ven seconde

On a donc

vsin vt)

Figure 523

Srsquo S

Figure 524

Que peut-

AN d = 5106 m R = 64106 m g = 10 msminus2

dW = minusmgrR

d r = minusd(

)= minusd EP

EP(r) =12

2) a) On a r2 = d2 + x2 rArr EP =12

mgd2 + x2

mv2 +12

mgd2 + x2

b)d Ed t

2mvd vd t

d xd t

= mvx + mgR

xv = mv(

Srsquo S

Figure 525

= 0 rArr x +gR

radicRg

d) Vitesse maximale

v = minusvradic

R2 minus d2 =radic

(R2 minus d2)

vmax =radic

mk1+k2

m(k1+k2)k1k2

= 2pp m

minusrarrT +

mz + 6prhz + kz = 0

v2o minus

laquo2

1 minusbdquo

3prhvom

laquo2

=rArr 1 minusbdquo

laquo2

3prhvom

laquo2

1 minusbdquo

laquo2

=3prhvom

h =vom3pr

1 minusbdquo

laquo2

1 minusbdquo

laquo2

h =2m3r

ominus 1

CHAPITRE 6

Excentriciteacute

Moteur

Poulie

minusrarrF +

minusrarrF e +

minusrarrP +

l0+Δl0

xPrarr

moteur

mx + ax + kx = kX (t) (61)

X (t) = e cos vt

avec vprime = 2

radicv2

0 minus a2

x (t) = X0ej(vt+f)

F (t) = F0ejvt

mavec v2

0 = km

X0 (v) =F0

mradic

soit encore

X0 (v) =ev2

0radic(v2

0 minus v2)2 + v2a2

m(v20 minus v2)

dX0 (v)dv

v2 = v20 minus

mradic

0 1 2 3 4 5-200

α=001

α=004

reacute)

ω (rads-1

0 1 2 3 4 5000

α gt1414ω0m

k=01 Nm-1

m=005 kg

e=2 cm

α=001

α=004

ω (rad s-1

v =dxdt

v(t) = V0 ej(vt+fv)

+ av + kint

vdt = F0ejvt

) = F0ejvt

a2 + (mv minus kv

mv minus kv

v0 =radic

fv (v0) = 0 et V0 (v0) = Vmax =F0

0 1 2 3 4 50

20 k=01 N m-1

m =005 kg

e=2 cm

α=001

α=004

ω (rads-1

0 1 2 3 4 5-100

α=001

α=004

Φ v (

eacute)

ω (ra ds-1

F = Z(v)v

) = F0ejvt

Z(v) = a + j(

mv minus kv

F0 = |Z(v)|V0 (v)

V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

aou cos fv =

|Z(v)|

|Z(v0)| = a

PminusrarrF (t) =

2radic

a2 + (mv minus kv

F (t)rang

0Pminusrarr

F (t)dt

F (t)rang

2radic

a2 + (mv minus kv

)2cos(fv) =

2 |Z (v)| cos(fv)

F (t)rang

0 (v)2

Pminusrarrf (t) =

0 cos2 (vt + fv)

f(t)rang

= minusaV2

0 (v)2

V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic

Dv = v2 minus v1

05 10 15 20 250

Bandes passantes

k=01Nm-1

m=005kg

α=001

α=004

ω (rads-1

Dv(64)

a2 + (mv minus kv

= plusmna (65)

v1 = minus a

radic( a

)2+ v2

radic( a

)2+ v2

m=rArr Q =

Remarques

X0(v0) =F0

av0=rArr X0(v0) =

Agrave RETENIR

X0 =F0

mradic

m(v20 minus v2)

) = F0ejvt

V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

mv minus kv

Reacutesonance

fv (v0) = 0 et V0 (v0) =F0

V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic

m=rArr Q =

Oscillateurs

Figure 68

avec F = Fo cos vt

m vo et v

minusrarrP

minusrarrR

minusrarrR +

minusrarrT =

minusrarr0 +

radickm

vo= 2p

radicmk

NorArr 2pNo = vo

b) Pour a faiblea

mlt 2vo rArr a lt 2

m= 2vo rArr a = 2

Pour a forta

mgt 2vo rArr a gt 2

a) x +a

mx + v2

o x =Fo

mcos vt

2) = Vo cos(vt + w)

c) minusv2Xo + jva

mXo + v2

o Xo =Fo

mrArr Fo =

o minus v2) + jva]

d) Xo =∣∣∣Xo

Fomradic(v2

o minus v2)2 + v2l2

dv= 2v

dv2 =2vFo

m(minus1)

[l2 + 2(minus1)(v2

o minus v2)][

]2 dXo

= minus 2vFo

[l2 + 2(v2 minus v2

o minus l2

v2m = v2

o minusl2

2 0 rArr l vo

radic2 rArr a mvo

radic2 =

radic2mk

e) tan f = minus vl

v2o minus v2

=Fomradic

l2 + ( v2o

vminus v)2

Figure 69

m Ressort raideur k

Socle (S)

Socle (S) Socle (S)

Socle (S)

Figure 610

x(t) m Ressort

Socle (S)

Socle (S) Socle (S)

Socle (S)

eTrarr

a) b) c) d)

Figure 611

minusrarrT =

= rArr x +a

x = g minus kDlem

x + 2lx + v2o x = 0 avec l =

2met vo =

radickm

w =radic

v2o minus l2 = vo

radic1 minus l2

[mv2Xm cos vt

]minusrarru x

= rArr x +a

x =mv2Xm

mcos v

xm =Xm

xm =Xmradic

v2 + (1 minus v2o

c) avec l vo v on a

v2 + 4l2

asymp Xm

(1 minus 2

v2 + 4l2

v2 + 2l2

v2 ) asymp Xm

CHAPITRE 7

mMmF rarr

rarrmMF rarr

OP2minusrarru OP

minusrarrOP

F mrarrM

(minusG M

minusrarrOP)

= mminusrarrG (P)

OP2minusrarru OP

minusrarrG (P)

prime(PGrarr

)(PGrarr

mMF rarrrarr

surface

minusrarrOP

G0 = G MR2

T= 983 msminus2

G(z) = minusG mMR2

T(1 + zRT

)2= G0

1(1 + z

(1 + a)n = 1 + na +n(n minus 1)

minusrarrOP

minusrarrl

minusrarrlprime

r2 d r

EP = minusGmMr

)(x2 + y2 + z2)32

=12GmMuminus32 d u

EP = minusG mMu12

EP = minusGmMr

EP = minusGmM

EP (infin) = 0

EP = minusGmMr

EP (z) = minusGmMr

EP = minusGmMr

+ GmMRT

= minusG mMRT(1 + z

+ GmMRT

EP (z) = minusGmMRT

RT)minus1 + GmM

EP (z) = minusGmMRT

+ GmMR2

Tz + GmM

RT= mG0z

EP (z) = mG0z mgz

4 APPLICATIONS

Terre Soleil Lune

MT=61024 kg MS=21030 kg ML=741022 kg

RT=6400 km ST=150106 km TL=60RT=384 000 km

ST2minusrarru SL

TL2minusrarru TL

r =FMSrarrML

FMTrarrML

=MSTL2

MTSL2 asymp 2

TerreLune

Soleil

SoitminusrarrGS(P)

minusrarrGL(P) et

GT(P)GS(P)

165103

GT(P)GL(P)

P ρurarr

θurarr

Equateur

minusrarru r

= r0u2

= r0v20 =

r0=rArr v2

0 = GMr0

T =2pr0

v0=rArr T2 =

4p2r20

=4p2r3

4p2r3S

GM=rArr rS =

radicGMT2

Ec =12

mv20 =

GMm2r0

et EP = minusGmMr0

Agrave RETENIR

OP2minusrarru OP

EP = minusGmMr

EP = mgz

CHAPITRE 8

1 INTRODUCTION

compleacutementaire

minusrarrf ic

zz prime

xx prime

y prime

cstea =rarr

primerarrrarr =

gmrarr

amrarrminus

y prime

x prime

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrf ie =

minusrarr0

minusrarrjprime

Nous avons en effet

minusrarrP =

0minusmg

minusrarrT =

T sin aT cos a

minusrarrf ie =

minusma00

tan a =ag

y prime

x primeO

dans R

gmrarr

amrarrM

T tension du fil

rarruθrarr

ρurarr

y prime

x prime

uzrarr

ωrarr

uxrarr

α Trarr

ρurarr

soit minusrarrP +

α Trarr

ifrarr

x prime

= minusmminusrarra

minusrarrP +

minusrarr0

tan a =fiemg

=v2l sin a

tan a =lv2 sin a

g=rArr sin a

cos aminus v2l

1cos a

= v2lg

cos a 1 =rArr v2 gl

0 2 4 6 8 10-02

l = 1 m

ωl = (gl)

ω (rads-1

minusrarrP +

P = minusminusrarrR

minusrarrP

uzrarr

uzaa rarrrarr =

galileacuteen

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie =

R =(mg + ma

)minusrarru z

Pa = m(g + a

)gt mg = P

Pa = mg

Pa = m(g minus |a|

)lt mg = P

minusrarrG (I)

minusrarrG (P)

minusrarrG (I)

x prime

y prime

G (I)) =minusrarr0

PrarrP

Terre I

minusrarrP +

minusrarrR =

P = minusminusrarrR

minusrarrP +

minusrarrT =

P = minusminusrarrT

minusrarrG T(I)

minusrarrG A(I)

minusrarrR + m

minusrarrG T(I) + m

minusrarrG A(I) +

minusrarrf ie =

minusrarr0

ωrarr

Soleil

Copernic

(Lune)(Terre)

minusrarrGA(T)

minusrarrR + m

minusrarrG T(I) + m

G A (T)]

G L (T) +

∥∥∥ = GMS(

1SI2 minus 1

)= GMS

SI2 minus 1)

GMSST2

= GMSST2

[(1 minus RT

)minus2 minus 1]

∥∥∥ 2GMSRT

∥∥∥ GML(

1LI2 minus 1

)= GML

(60R)2

((1 minus 1

)2 minus 1)

∥∥∥ GML

(60RT)21

ωrarr

prime (Tx

primey

prime z)

R(Txyz)

uxrarr

primeuxrarr

λcosRHI =

minusrarrf ie = m(

)0)((rarrrarr

=Nf ie

)( Igmrarr

)( IGm T

rarr)( If ie

λcosR

N(pocircle Nord)

)()( NgmNGm T

rarrrarr=

)( Ef ie

)( EGm T

)( Egmrarr

v2R cos l=

sin l + acute cos l

acute =v2R

2G minus v2R=

(1 minus v2R

)minus1

= 1 7410minus3 rad

ωrarr

uxrarr

λcosRHI =uyrarr

uzrarr M

minusrarrvrsquo

minusrarrvprime

minusrarrf ie +

minusrarrf ic = m

minusrarra MR =

xprime

yprime

zprimeminusrarrg =

minusg cos l0

minusg sin l

minusrarrv =

xprime

yprime

zprime

2mvyprime

minus2mvxprime

G1t2 + x0 =12

G1t2 + h cos l

G1vt3 =13

g cos lvt3

G2t2 + z0 = minus12

g sin lt2 + h sin l

IM = minus12

gt2 + h

minusrarrF = m

G A (T)]

G L (T))

+ m(minusrarr

)soit minusrarr

) correspond

G L (T)

Il srsquoensuit que

minusrarrLTLT3 )

minusrarrTI =

minusrarrLT =

0minusD0

minusrarrLI =

y minus Dz

TerreLune

(x2 +(y minus D

)2 + z2)32

) minus GML

D3 Dminusrarru y

minusrarrTI +

D3 3yminusrarru y

minusrarrTI

D3 3yminusrarru y

I)(2 Ig

J )(2 Jgrarr

I )(2 Igrarr

)prime

primeprime

prime(2 Jg

Soleil

LuneOceacutean

Niveaumoyen

Soleil

Oceacutean

Agrave RETENIR

minusrarrf ic

Applications

minusrarrf est une

yurarr

xurarr

Figure 820

xurarrO

yurarr

Figure 821

Solutionyu

xurarrO

Figure 822

xurarr O

ieFrarr T

Figure 823

minusrarru y

minusrarrR n +

[g sin a minus f

]minusrarru x =

[minusmog sin a +

mf]minusrarru x

minusrarrP o = mo

minusrarrT +

minusrarrF ie =

minusrarr0

mf = 0

mf (2)

tan u =f

mg cos a=

10002001005

= 1 rArr u = 45 =p

cos u=00110

12radic

radic2

2=00707N

Zuaa rarrrarr=

ZZ urarr

minusrarrP +

minusrarrT =

minusrarr0 rArr

Le minus Lo=

01980249 minus 020

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrF ie =

On a donc a =km

x =2001

A oVrarr

minusrarrVo

minusrarru x

O A oV

rarrω

Figure 827

minusrarru y

x = v2Rt minus v2Vo

a) et b) b =v2RVo

)2 RVo

2= 0000055 sminus1

O eacutequateur

Pocircle Nord

xurarr

zurarr

meacuteridien

u zrarr

xu rarr

Ax e Mzrsquo

Verticale du lieu

Ax e Mxrsquo

rarrΩ

Figure 828

meacuteridienSud

xu rarr

yu rarr

Estouest

Figure 829

O xrsquo

1yy uu =P

rarr rarrrarr

Figure 830

O eacutequateur

PocircleNord

meacuteridien

Axe Ix

Sud Meacuteridien

Parallegravele

Est Ouest

xurarr

zurarr

rarrxu

U = A eikt cos v0t

Solutions

minusrarrOM

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie +

minusrarra MR =

minusrarrP =

minusmg

minusrarrv =

minusrarrf ie =

mv2x00

minusrarrv =

minusrarrF =

minuslx00

minusrarrR =

minusrarrf ic =

0minus2mvx

v2 minus lm

avec v0 =q

x(t) = x0 cos v0t

On pose r = OM = x

minusrarrP = mg

minusrarrf ie

minusrarrf ie = mv

2x sin a`

O xrsquo

1yy uu =P

rarr rarr

Figure 832

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie +

x = xv2 sin2

a minus g cos a

g + v2x cos a

x = xv2 sin2

drsquoougrave

x(t) =

ro minusg cos a

laquo bdquo

evot + eminusvot

+g cos a

ro minusg cos a

cosh vot +g cos a

ro minusg cos a

sinh vot

Rz1 = m sin aˆ

g + v2x cos a

raquobdquo

ro minusg cos a

cosh vot +g cos a

(avec vo = v sin a)

ro minusg cos a

g cos a

v2 sin2 a

Parabole y = ax 2 x

Figure 833

Les forces

2xminusrarru x

minusrarrR +

minusrarrf ie =

minusrarr0

tan a =fieP

= 2ax rArr v =p

minusrarrk = V

xlminusrarru x +

yluy +

z minus ll

minusrarru z

ldquo xlT

uy minusbdquo

z minus ll

Tlaquo

minusrarru z

minusrarrT

minus cos l

0sin l

minusrarrf ic = 2mV

minusrarrP +

minusrarrT +

T + 2mVy cos l = mz

2o x = 2Vy sin l

2o z = 2Vy cos l

minusivot)

1 +V sin l

et B =xo

1 minus V sin l

To =2p

vo= 2p

= 154 s T =2p

V sin l=

24sin l

heures

Figure 834

= 24 h

= 240743 = 32 h18 minutes

CHAPITRE 9

minusrarrF1 et

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusrarrOG =

minusminusrarrOM2

m1 + m2

minusrarrv G =m1

p 2 (91)

Theacuteoregraveme

dminusrarrp

minusrarr0 =

dminusrarrp 1

dminusrarrp 2

dminusrarrp 1

minusrarrF 1 et

dminusrarrp 2

F 1 +minusrarrF 2 =

minusrarr0

minusrarrL =

minusrarrL 1 +

minusrarrL 2 =

minusrarrOM1 and m1

minusrarrv 2

Ec = Ec1 + Ec2 =12

m1v21 +

21 Deacutefinition

G yrsquo

zrsquo

xrsquo

m1minusrarrv lowast

2 =minusrarr0

Elowastc =

m1vlowast21 +

m2vlowast22

minusrarrL lowast =

minusrarrv lowast2

minusrarrv lowast1

m1minusrarrv 1 + m2

minusrarrv 2

m1 + m2

)m1 + m2

m1 + m2

minusrarrv

dtminus d

minusminusrarrOM1

minusminusrarrOM1)

soitminusrarrv =

dminusrarrrdt

minusrarrp lowast

2 =m1m2

m1 + m2

m =m1m2

m1 + m2ou

minusrarrp lowast

Elowastc =

m1vlowast21 +

m2vlowast22

Elowastc =

(minusmminusrarrv

(mminusrarrvm2

soitElowast

mv2 (93)

minusrarrp lowast

2 m1vlowast21 + 1

2 m2vlowast22 = 1

)Rlowast

=summinusrarr

minusrarrF 1

)Rlowast

=summinusrarr

minusrarrF 2

1Frarr

2Frarr

m1d2 minusrarrr 1

)Rlowast

=minusrarrF 1 m2

d2 minusrarrr 2

)Rlowast

minusminusrarrGM2

m1d2 minusrarrr 1

d t2+ m2

d2 minusrarrr 2

minusrarr0

aboutissons agrave

m1dminusrarrr 1

d t+ m2

dminusrarrr 2

m1minusrarrr 1 + m2

M1rsquo

M1rsquorsquo

M2rsquorsquo

M2rsquo

m1m2d2minusrarrr 2

dt2minus m1m2

d2minusrarrr 1

dt2= m2

minusrarrF 1

dt2= m2

minusrarrF 2 + m1

minusrarrF 2

Il srsquoensuit que

m1m2d2(

minusminusrarrGM1)

dt2= m1m2

dt2= (m1 + m2)

minusrarrF 2

systegraveme agrave

md2minusrarrrdt2

=minusrarrF 2

dminusrarrLlowast

dminusrarrrdt

2F21MMr =

On obtient ainsi

dminusrarrLlowast

dminusrarrvdt

a) Deacutefinition

M1rsquo

M2rsquo

minusrarrp lowast

md2minusrarrrdt2

minusrarrF 2

ElowastC =

minusrarrOM

minusrarrf =

21MMr ==

Remarques

Exemples

41 Loi des aires

csteL =

rarrrarr

d rminusrarru r

minusrarrk

r2u =Lm

C = r2 d u

d t= 2

d Ad t

M prime

(t+dt)

Trajectoire

EP = minusGm1m2

E = EC + EP =12

mv2 minus Gm1m2

E = EC + EP =12

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 + EPeff

EPeff =12

r2 minus Gm1m2

000 002 004 006 008 010 012 014-8

000 003 006 009 012

Eacutetat lieacute

000 003 006 009 012

m Frarr

lrsquoaction de M

mv2l minus

vl = 2

radic2GMT

Agrave RETENIR

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

m =m1m2

m1 + m2ou

minusrarrF =

rapport agrave M1

2 = mminusrarrv

minusrarr0

2 m1vlowast21 + 1

2 m2vlowast22 = 1

md2 minusrarrrd t2

minusrarrF 2

C = r2 d u

d t= 2

d Ad t

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 + EPeff

minusrarrF (r)

dminusrarrL o

minusrarrMo(

minusrarrF ) =

minusrarrL o

IV Paradoxe

DE = minusGmMT

S )(rF

OS = r

Figure 914

r2minusrarru

a)minusrarrL o =

b)dminusrarrL o

dminusrarrOS

d tandmminusrarrv +

minusrarr0 +

minusrarrF (r)

dminusrarrL o

minusrarrMo(

minusrarrF ) =

c)minusrarrMo(

(minusrarrMo(

minusrarrF ) =

minusrarr0 )

d)dminusrarrL o

minusrarrL o)

minusrarrL o

r2minusrarru

minusrarrl = 0

b)minusrarrL o =

minusrarrOS

rminusrarru

rrArr v2 = GMT

rrArr v =

radicGMT

r=radicG MT

v2 = 4p2 r3

GMTrArr T = 2p

radic(RT + h)3

T = 2p

radic(6 400 + 832)3109

5) On a T2 = 4p2 r2

v2 = 4p2 r3

GMTrArr T2 =

r3 =4p2

r3 = (RT+h)3 =GMTT2

66710minus1161024(86 164)2

)= minusd(Ep)

2) E =12

3) E = 0 donne E =12

= 0 rArr v =

radic2GMT

Ve =radic

Ece =12

mv2 =12

M(O2)N

2M(O)N

21610minus3

6021023 (11183103)2 = 33210minus18 J

IV Paradoxe

1) Ec =12

mv2 =12GMTm

r2) E = EC + EP = 1

EC =-EP2 =-E

Figure 915

b) DE = minusGmMT

[1rminus 1

r + Dr

]= minusGmMT

h= minus2p

On a donc

2Drr2 rArr Dr =

Dr =4pb(RT + h)2

hasymp 4pbR2

4p10minus8(64106)2

18105 = 286 m

I Mouvement plan

minusrarrL o

5) Applications

dminusrarrvdt

minusrarrL o =

minusrarrL o

dminusrarrOMd t

dminusrarrL o

Kr2minusrarru ) =

minusrarr0

dminusrarrL o

minusrarrL o

minusrarrL o)

a)minusrarrL o =

minusrarrOM

c)minusrarrL o = ro

)= minusd(Ep)

2) EC =12

mv2 =12

m[r2 + r2u2] =

r2 +C2

)+ minusK

mv2o minus

1)d Eprime

Kr2 minus 2mC2

2r3 =1r2

[K minus mC2

]rArr d Eprime

d r= 0 rArr rm =

m(rovo sin ao)2

Eprimem = minus K2

mC2 +K2

2mC2 = minus K2

2m(rovo sin ao)2

Ersquom

Eeacutechappe

Eellipse

rmax rmin

Figure 916

5) Applications

a) Eo =12

mv2o minus

VLT =(

= 11 2 kmsminus1

VLT = c =(

rArr R = 2GMc2 =

91016 = 8910minus3 m = 8 9 mm

CHAPITRE 10

1 RAPPELS

minusrarrOM =

r2u = C = Lm

E = 12 mr2 + EPeff = 1

2 mr2 + m C2

2r2 minus G m1m2r

minusrarrF =

21MMOMr ==

minusrarrv =

⎧⎨⎩ rru0

minusrarra =

2ru + ru0

csteL =

)minusrarru u

)= minusGm1m2

r2minusrarru r

r2 2ru + ru = 0

d(r2u)

dt= 0 =rArr r2u = C

m(r minus ru2

)= minusG m1m2

r2 = minus Kr2

r2u = C

avec K = G m1m2m

=rArr u =du

Cr2 = Cu2

minusGm1m2

r2 = minusGm1m2u2

r =drdt

dt=rArr r = minusC

r =drdt

= minusCd (dudu)

dt= minusC

+ u =KC2

u =KC2 =

u(xy) -f=u(XY)=u

A cos u + Gm1m2mC2

(1 + AGm1m2

cos u)Gm1m2mC2

p =mC2

Gm1m2=

G (m1 + m2)(103)

e = Ap (104)

il vient r =

p1 + e cos u

r = r1 + r2 et m1r1 = m2r2

r1 =m2

m1 + m2r et r2 =

m1 + m2r

p =4pacute0mC2

1 plusmn e cos u

(masse μ)

O G r2

M1 (masse m1)

M2 (masse m2)

r1 = m2m

r et r2 = m1m

u 0 p2 p 3p2 2p

r p(1 + e) p p(1 minus e) p p(1 + e)

r 0 666p p 2p p 0 666p

M(masse μ)

)(rAF A π== )(rFP P 0==

1 minus e2

On obtient donc

X = minusY2

u -um -p2 0 p2 um

Asymptote

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

p2 (1 + e)2 minus Gm1m2(1 + e)p

E =Gm1m2

p(1 + e)

(1 + e

2minus 1)

= minusGm1m2

(1 minus e2)

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

1 + e cos u

p =mC2

Gm1m2=

G(m1 + m2) e =

AGm1m2

= Ap (105)

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

AFrsquo

FM + FprimeM = cste

1 + eet FA =

p1 minus e

1 minus e2 (106)

1 minus eminus a =

On a doncc = ae

FH2 = FV2 + VH2 = c2 + b2 = a2e2 + b2

b2 = a2(1 minus e2) (107)

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

E = minusGm1m2

=C2rArr A =

CT rArr T =2AC

T2 =4p2a2b2

C2 = pG(m1 + m2)

conduit agrave

T2 =4p2a3

G(m1 + m2)

Agrave RETENIR

+ u =KC2

1 + e cos u

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

T2 =4p2a3

G(m1 + m2)

Figure 1010

radicgoR2

raquoraquo

Figure 1011

mv2o =

2mp2R2 cos2 l

+2mp2R2 cos2 l

AN vo =2p6 4106

86164104 cos 40 = 357102 msminus1

ECo = 05800(357102)2 = 5112107 J

Eo = 5112107 minus 66710minus11 610248102

r2minusrarru

rminusrarru rArr v2

r= minusGM

r2 rArr v =

radicGM

radicgoR2

b) T =2pr

2prradicgoR2

radicr = 2p

radicr3

c) E C =12

mv2 =12

rEP = minusGMm

a) v1 =

radicgoR2

R=radic

b) T 1 = 2p

radicR3

goR2 = 2p

radicRgo

E1 = minusmgoR2

2R= minusmgoR

c) go = G MR2 =

66710minus1161024

(64106)2 = 977 msminus2

v1 =radic

goR =radic

97764106 = 79103 msminus1

T1 = 2p

radic64106

E 1 = minusmgoR2

= minus40097764106 = minus251010 J

minus(minusGMm

2mp2R2 cos2 l

OP2minusrarru

(minusGM

r2minusrarru)

= GMmprime

r2minusrarru

minusrarrF ie =

santeur

b) T2 = 2p

radicr22

goR2 rArr r2 =(

T22goR2

(86164104)2977(64106)2

c) v2 =

radicgoR2

radic977(64106)2

421107 = 308 kmsminus1

2r= minus400977

(64106)421107 = minus38109 J

a =r1 + r2

(6 400 + 42 100)2

= 24 250 km

2a= minus mgoR2

R + r2= minus400977

(64106)2425107 = minus66109 J

R + r2minus 1

mvprime21 minus 12

mv21 gt 0

minus 1R + r2

mv22 minus

mvprime22 gt 0

minusrarrOM

minusrarrL o =

d tet montrer que

minusrarrL o

minusrarrL o = Lo

dedminusrarrA

minusrarrA et

minusrarrOM par

minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr

1 + e cos u

A2 = k2[

1 +v2L2

k2 minus 2L2o

minusrarrOM

d minusrarrvd t

= md 2 minusrarrOM

2) a)minusrarrL o =

minusrarrL o

dminusrarrOMd t

d minusrarrvd t

dminusrarrL o

d minusrarrvd t

r2minusrarru)

minusrarrL o =

a)dminusrarrA

d minusrarrvd t

minusrarrL o

d tminus k

d minusrarrud t

nulle)

d minusrarrvd t

=minusrarrFm

= minus kmr2

minusrarru

minusrarrA est

b)minusrarrA

minusrarrA

minusrarrOM =

[rmr2u

minusrarrA

minusrarrOM =

[rmr2u

(minusminusrarru u

(mr2u)2

mminus kr

minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr

c)minusrarrA

minusrarrOM =

m= (k + A cos u)r

k + A cos u=

k(1 + Ak cos u)

1 + Ak cos u

1 + e cos u

mv2 minus kr

b) A2 =minusrarrA

minusrarrA =

)minus kminusrarru

)and Lo

minusrarru z]

]= 2kruLo = 2k

mr2uLo =2kmr

A2 = v2L2o minus

L2o + k2 = k2

k2 minus 2L2o

]c) A2 = k2

k2 minus 2L2o

]et E =

mv2 minus krrArr 2E

m= v2 minus 2k

A2 = k2[

1 +v2L2

k2 minus 2kL2o

(v2 minus 2k

)]= k2

mk2 E]

e =AkrArr e2 =

k2 = 1 +2L2

2 2e loi de Kepler

3 3e loi de Kepler

Mercure 024 0206

Veacutenus 072 0007

Terre 1 1 0017

Mars 152 188 0055

Jupiter 52 1186 0093

Saturne 95 2946 0056

Tableau 103

4 Orbite de Jupiter

Planegravetes T a

Mercure 88 jours

Jupiter 118 ans

Pluton 2484 ans

v2 = g0R2(

2rminus 1

1vrarr

Figure 1012

10 Satellite

Figure 1013

meacuteriquement

Solutions

1+e + p1minuse = 2p

2 r2u = 12 C

= rArP

= 1+e1minuse

0 5 100

a (UA)

nneacutee

0 500 10000

Figure 1014

4 Orbite de Jupiter

minusrarre t + mv2

r2minusrarre n

v2 = r2v2 = r2 4p2

4p2 T2

2 r2u = 12 C

=rArr 2pabTt

GMT drsquoougrave

vP =2pab

GMTa(1 minus e)

et comme b = aradic

a2 (1 minus e2)q

GMT(1 minus e)

arP= 1048 kmsminus1

mv2 minus G mMT

r= 0 =rArr v =

1 minus e2+ x2 + 2x

pe1 minus e2

+bdquo

pe1 minus e2

laquo2

pe1 minus e2

laquo2

1 minus e2

1 minus e2+ (x +

pe1 minus e2

)2 =p2

(1 minus e2)2

soitbdquo

yradic

1minuse2

laquo2

+ldquo

1minuse2

p x + erdquo2

a2 + y2

b2 = 1

r2 avecK = GM

r2 r = p1+e cos u

suite r = d rd u

u = eCp cos u C

r2 = eC3

pr2 cos u minus C2

r3 = C2

p ) = minus C2

K = C2

radic1 minus e2

r2Aminus G mMT

rA=rArr r2

A + G mMT

ErA minus

v2 minus g0R2T

r= minusg0R2

2a=rArr v2 = g0R2

2rminus 1

r0et Ec = 1

2 mv20 =

mg0R2T

1+e cos u= p

G(m+MT ) C2

GMT= C2

=rArr C2 = g0R3T

g0R3T rArr v2

1 = RTr0

DEc =12

v21 minus v2

r0minus 1

=mg0R2

r0minus 1

mv20 minus G mMT

r0lt 0 =rArr v2

0 lt 2G MT

2 = 7 200 km

et T2E = 4p2a3

GMT 1 h 40 min

R1= minusG mMT

7371 kmsminus1

G MTR2

2 minus G mMTR2

= minusG mMT2R2

DEc =12

mvprime21 minus 1

mv22 minus

mvprime22

R1minus G mMT

minus G mMT

2R1+ G mMT

2R2minus

R2minus G mMT

DEc = G mMT

2R1minus GmMT

2R1minus G mMT

2R2= DEc

ANNEXE 1

V(x y) =1

4pacuteo

q(x2 + y2)12

z = V(xy)M

Potentiel v(xy)

de la force

Vecteur force

1Frarr

2Frarr

minusrarrF 1 et

Annexes 285

tRrarr

nRrarr

tRrarr

minusrarrSP

(P)Grarr

i minusrarrj

minusrarrk)

minusrarrOM = x

minusrarri + y

minusrarrj + z

B (x2 y2 0)

A (x1 y1 0)

minusrarrOA et

minusrarrOA = x1

minusrarri + y1

minusrarrj

minusrarrOB = x2

minusrarri + y2

minusrarrj

minusrarrV = x

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk

Annexes 287

x2 + y2 + z2

ρurarr

θurarr

ρurarr

radicr2 + z2

θrurarr

ϕurarr

θurarr

3 PRODUIT SCALAIRE

31 Deacutefinition

α ararr

(x1minusrarri + y1

minusrarrj + z1

minusrarrk)

x2minusrarri + y2

minusrarrj + z2

minusrarrk)

= x1x2 + y1y2 + z1z2

( x1y1z1

( x2y2z2

)= x1x2 + y1y2 + z1z2

Annexes 289

cos(a) =abab

33 Applications

minusrarrAC +

minusrarrCB

c2 = b2 + c2 + 2bc cos a

minusrarrAB

4 PRODUIT VECTORIEL

41 Deacutefinition

c = ab sin a

bacrarrrarrrarr

and=brarr

(minusrarri

minusrarrj

b and minusrarra

Annexes 291

aba and

minusrarrb En outre

minusrarrb

minusrarra =

∣∣∣∣∣ x1y1z1

minusrarrb =

∣∣∣∣∣ x2y2z2

minusrarrb par

(x1minusrarri + y1

minusrarrj + z1

minusrarrk)and(

x2minusrarri + y2

minusrarrj + z2

minusrarrk)

⎧⎪⎨⎪⎩x1y2

i+x1z2

i+z1y2

⎫⎪⎬⎪⎭

dOPHP == αsin

minusrarrMminusrarr

minusrarrOP

minusrarrMminusrarr

MminusrarrF D

F Ominusrarrk =

minusrarrk

Annexes 293

MminusrarrF D

minusrarrF

51 Deacutefinition

minusrarri

minusrarrj

dminusrarrOMdt

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk )

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk

ρurarrj

θurarr

repegravere (Oxy)

i minusrarrj)

minusrarru u

les dans la base(

Ominusrarri

minusrarrj)

minusrarrj

dminusrarru r(t)dt

=d(cos u(t)

minusrarrj )

dminusrarru u(t)dt

=d(minus sin u(t)

minusrarrj )

d cos u(t)dt

dt= minus sin u(t)

minusrarrj ) du(t)

dminusrarru u

minusrarrj ) du(t)

dminusrarrur

dtminusrarru u et

dminusrarru u

dt= minusdu

dtminusrarru r

Annexes 295

x0+dx xo

f(x0+dx)

y y=f(x)

Exemples

f prime(x) =dfdx

2πr 2πdr

Annexes 297

=partfpartx

)y=cste

partfpartx

Courbe z = f(x 0 y)

Courbe z = f(x y 0)

Plan y = y

Plan x = x0

part2fpartx2 =

(partfpartx

part2fparty2 =

(partfparty

part2fpartxparty

(partfparty

)= 2 =

part2fpartypartx

(partfpartx

partxf =partfpartx

Annexes 299

dx +partfparty

df = 2xydx + x2dy

partfpartx

partfparty

partfpartz

df =partfpartx

dx +partfparty

dy +partfpartz

F(x y) =partfpartx

partFparty

=part2fpartypartx

=part2fpartxparty

=partGpartx

party= 6x =

partGpartx

dx +partfparty

doncpartfpartx

6xydx = 3x2y + g(y)

partfparty

minusrarri

minusrarrj )

minusrarrj

M (xy)

jdyHM prime rarr

M prime(x+dx y+dy)

H(x+dx y)

minusrarri + dy

minusrarrj + dz

minusrarrk

Annexes 301

minusrarrl

θρρ

ddHMrarr

θurarr prime

M (ρθ)

dθH (ρ+dρθ)

rarr ρurarr

dminusrarrOM =

minusminusrarrMH +

minusrarrOM = d

(rminusrarru r

rarrur

rarruϕ

rarruθ

rsinθ

(uruuuw

71 Deacutefinition

minusrarri +

partfparty

minusrarrj +

partfpartz

minusrarrk

Annexes 303

avec nabla =

minusrarrk

dminusrarrOM =dx

minusrarri +dy

minusrarrj +dz

minusrarrk

minusrarrk )(dx

minusrarri +dy

minusrarrj +dz

minusrarrk )

partTparty = 0

partTpartz = minusa

krarr rarr

T1gtT2

81 Primitives

Annexes 305

F(x) =int

f (x)dx

f (x)dx = F(x) + C = G(x)

G(x) =int

a bx i x i+1=x i+dx

af (x)dx =

Nminus1sumi=0

int xi+1

f (x)dx

Nminus1sumi=0

af (x)dx

Nminus1sumi=0

mi (xi+1 minus xi)

af (x)dx = lim

Nrarrinfin

(Nminus1sumi=0

f (xi)dxi

minusrarri + Ey

minusrarrj + Ez

minusrarrk

Annexes 307

minusrarrj

minusrarrk ) est

points M1 et M2

)(MErarr

ldrarr

minusrarrE ) =

minusrarrE (M)d

minusrarrl

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl =

minusrarrE (M)

int M2

dminusrarrl =

minusrarrE (M)

dC(minusrarrE ) =

minusrarrE (M)d

minusrarrl = dG

dy = f prime(x)dx

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl =int x2

int x2

ANNEXE 2

1 HISTORIQUE

α = 23deg7

Syegravene

Annexes 311

2 DEacuteFINITIONS

1 al asymp 1013 km

Annexes 313

LOIS DE KEPLER

Mercure 586j 0 2 439 8797j 579 0206 7 00rsquo 3310 23 54

Terre 23h56rsquo04s 000335 6 378 36525j 1496 00167 0 5971 024 55

et d densiteacute)

Planegravete

F prime

Soleil

Annexes 315

Planegravete

Soleilt

ε=23deg6

γPoint vernal

zeacutenith

Axe dumonde

Soleil

Annexes 317

Meacuteridien

Eacutetoile

Eacutequateur

Jour J +1

Jour J

Soleil

Axe du Monde

Pointvernal

Eacutetoile

Annexes 319

Jour J Jour J+1

21 mars 12 h 0 h 12 h

22 mars 12 h 0 h 04 min 12 h 4 min

23 mars 12 h 0 h 08 min 12 h 8 min

21 juin 12 h 6 h 18 h

Annexes 321

PointVernal

NSolstice dhiver

Soleil

Agrave RETENIR

Annexes 323

BIBL IOGRAPHIE

CCalendrier

Index 327

J ndash KJour

Kepler 264

TTemps

Tribologie 71

tournant 293Vitesse

Zeacutenith 315

050586 - (I) - (15) - OSB 80deg - PUB - NGT

SCIENCES SUP

2e eacutedition

S DE PH

MEacuteC

MATHEacuteMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

ALAIN GIBAUD

MICHEL HENRY

(GibaudHenry)

Avant-propos







Agrave retenir


Exercices

Solutions





Agrave retenir


Exercices

Solutions





4 Les forces

5 Applications

Agrave retenir


Exercices

Solutions





4 Eacutenergie


Agrave retenir


Exercices

Solutions










Agrave retenir


Exercices

Solutions






Agrave retenir






4 Applications

Agrave retenir


1 Introduction




Agrave retenir


Exercices

Solutions






Agrave retenir



1 Rappels






Agrave retenir


Exercices

Solutions




3 Produit scalaire

4 Produit vectoriel







1 Historique

2 Deacutefinitions






Agrave retenir

BIBLIOGRAPHIE

INDEX

Index

Digital Vision

AVANT-PROPOS

Avant-propos III

Agrave retenir 107

Agrave retenir 185

Agrave retenir 241

Agrave retenir 322

BIBLIOGRAPHIE 325

INDEX 326

CHAPITRE 1

Axe des temps

Instants

Origine

Instant 1 Instant 2

Copernic

)qui est une base

ChronologieOrigine

21 Deacutefinition

Ouxrarr

M(t)uzrarr

prime (t+dt)

d xd t

minusrarru z

minusrarru z)

ρurarr

θurarr

ρurarr

uxrarr

uzrarr

uyrarr

θurarr

ρurarr

(a) (b)

=d(rminusrarru r)

d tminusrarru r + r

dminusrarru r

d t= minusrarru u

d t= uminusrarru u

=dminusrarrOMd s

d sd t

avec s =

terarry

dminusrarrOM =

(dminusrarrOMd t

) =d2 minusrarrOM

(Ominusrarru x

d2 minusrarrOMd t2

)qui est une

dminusrarru u

ρurarr

θurarr

nerarr

Trajectoire

α dαds

terarr

dminusrarre t

d t= aminusrarre n

soit d a

d t= a =

d sd t

On obtient donc

sdminusrarre t

Rminusrarre n =

Rminusrarre n

Carteacutesienne

Cylindrique

Ouruuminusrarru z

(2ru + ru)uu

zminusrarru z

Base de Frenet

uzrarr

prime(t+dt)

d rarrrarr θω =

z positifs

x = 0 x + ax = 0 x + ax + bx = 0

x + ax3 = 0

rarrv = cste

x = Ct + x0

v = x = Ct + B

Ct2 + Bt + D

Ct2 + xo

d tgt 0 =rArr 2 v

d vd t

x = pt

pt d t

v = pt2

2+ q = x

x = pt3

6+ qt + r

x = pt3

x = Xm cos(vt + w)

x + v2x = 0

ρurarr

RMararr

RMvrarr

d t= v = cste

u = vt + uo

= ruminusrarru u(t)

OM(t))

minusrarrd v

d tand minusrarr

minusrarrv MR =

minusrarra MR

minusrarrv MR =

∣∣∣∣∣ 0Rvv0

minusrarra MR

minusrarru z

minusrarra MR

∣∣∣∣∣ 00ao

=rArr minusrarrv MR

∣∣∣∣∣ vox0

aot + voz

minusrarrOM =

y = yo = 0z = 1

voxet z =

+ vozx

v2o cos2 a

+ x tan a (11)

ovrarr

uzaa o

rarrrarr=

uzrarr

uxrarr

La flegraveche h

La porteacutee d

z = 0 =rArr x = 0 et x = d =v2

ao2 sin a cos a =

gsin 2a

2gsin2 a

Agrave RETENIR

ChronologieOrigine

Base(minusrarru x

minusrarre n)

PositionminusrarrOM

] [r0z

] ⎡⎣ r

Rminusrarre n

Cineacutematique

= 1 radsminus1

minusrarrCM =

y rarr

rarr rarr

Figure 117

Figure 118

BBVrarr

Figure 119

C oVrarr

Figure 120

Figure 121

uxrarr

θurarr

ρurarr

Figure 122

pour t = 0 s 15 s 30 s 45 s et 60 s

Solutions

(nord)

Nrsquo

v primerarr

No(est)

(nord)

Nrsquo

v primerarr

Norsquo

No(est)

vrarrN

(a) (b)

Figure 123

D(tm) =h

vprime2v2a2

(v2+vprime2) )2i12

v sin u= aradic

v2minusvprime2

Distance DB = d2 =p

t2 =2radic

(lminusx)2+d2

t1 = 16 minusradic

t2 = 16 +radic

n = TBTAminusTB

= 1vBvA

minus1= 1

11minus1 = 10 rArr t = 10TA = 6 28 s

12 (en radians)

= 50minus1510 = 3 5 s

Al = v2

5p18 cos( p

18 t + p12 )

18 )2 sin( p18 t + p

10g = 2 5 km

minusrarrOA =

minusrarrOC +

minusrarrCA =

minusrarrOA =

1 minus cos voa t

˜minusrarru y

d t = voˆ

2aminusao

t t2 + aot

aot + aot =12

aot rArr t = 2a1

40p= 30 s

= 30 radsminus1

2 = a1R1R2

et x = vot2

minusrarru y = vot

minusrarru x

minusrarru y)

o t2)minus12(vo

30 radsminus1

3 cmsminus1

30 tminusrarruu )

2minusrarruu ) =

2minusrarru y)

240 300

Figure 124

rArr r d u

a + b cos u

b sin urArr d r

b sin u

a + b cos ud u

On obtient

ln r + C =

b sin u

r(u) = 43+cos u

= 431+ 1

ρurarr

turarr

nurarr

Figure 125

= 2rv2minusrarruu

(voir figure 125)

minusrarrv =radic

2rv2 =minusrarrv 2

R = 2r2v2

R rArr R =radic

roradic

eu = vroradic

roradic

2t + 1

2t + 1) et u = v

roradic

vroradic

2t + 1

rdquominus1

CHAPITRE 2

minusrarru z) et le

xminusrarru prime

yminusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

Vecteur translation

y prime

uzrarr

uyrarr

uxrarr

uxrarr uy

(R) (R)

OO prime

d t=rArr

minusrarrC

x prime

y prime

O prime

uxrarr

uyrarr

uzrarr

(R prime)

RO primeωrarr

minusrarrVRprimeR

uxrarr

uyrarruz

z prime

y prime

O prime

(R prime)zrsquo

x prime

y prime

O prime

(R prime)z

x prime

y prime

x prime

minusrarru z

xminusrarru prime

yminusrarru prime

) qui est

uyrarr

ux primerarr

uxrarr

x prime

y prime

z z prime

uzrarr

uz prime

uy primerarr

primeΩrarr

O O prime

RRperpprimeΩ

uy primerarr

uyrarr

x prime

y prime

uxrarr

ux primerarr

u = VRprimeR

dminusrarru primex

minusrarru primey

d minusrarru primex

d minusrarru primey

x = VRprimeR

d minusrarru primez

=minusrarr0

dminusrarru primex

)Rprime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

base(minusrarru r

uyrarr rarr

uy1rarr

y1 ux2

rarruy2

uxrarr

uy1rarr

rarrO1

ux1 ux1

uxrarr

uyrarruz

(R prime)z

x prime

y prime

O prime

(Rrsquo)z prime

x prime

y prime

O prime

(R prime)z

x prime

y prime

minusrarrOM =

(R prime)

O primeO y

x prime

z z prime

ROV primerarr

uzrarr

uxrarr

uyrarr

uxrarr

uyrarr

uzrarr

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ 1 0 0 00 1 0 vo0 0 1 00 0 0 1

yprime

zprime

tprime

⎤⎥⎦

d xd t

minusrarru z

)Rprime

d xprime

d tminusrarru x +

d yprime

d tminusrarru y +

d zprime

d tminusrarru z

dminusrarrOMd t

)Rprime

dminusrarrOMd t

)Rprime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

rarrrarr

x prime

y prime

z z prime

rarr rarrrarr

primeΩrarr

x prime

y prime

θuyux prime

uz uz prime

uy prime

ux prime

minusrarrVRprimeR =

d tminusrarru z

yminusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

)sont donc

xminusrarru prime

yminusrarru prime

xminusrarru prime

=d xd t

minusrarru z

)Rprime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

xminusrarru prime

yminusrarru prime

d xprime

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

d t+ yprime

dminusrarru primey

d t+ zprime

dminusrarru primez

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

En remarquant que

d tminusrarru prime

x +d yprime

d tminusrarru prime

y +d zprime

d tminusrarru prime

z nous avons aussi

dminusrarrOMd t

=dminusrarrOMd t

)Rprime

OM (21)

ce qui montre que

dminusrarrX

minusrarrX

)Rprime

X (22)

minusrarrOM =

on voit que

dminusrarrOMd t

)Rprime

OprimeM

rarrrarr

y1 rarrrarr

rarrO1

ux1 ux1

base fixe de R2

(minusrarru x1

minusrarru x2

)= u(t)

minusrarr0

minusrarru y2)

On obtient donc

minusrarru y2)

⎞⎠R

On obtient donc

+dminusrarrVRprimeR

dminusrarrX

=dminusrarrX

)Rprime

OprimeM)

base fixe de R2

minusrarr0

Agrave RETENIR

minusrarrVRprimeR)

Instant t = 0

Instant t1

rarrrarr

Figure 211

Solution

xurarr

yurarr

xurarr

Instant t = 0

Instant t1

θurarr

yurarr

Figure 212

I 1) v =2Vo

20504775

v lt 0

|v| =23142094

= vt1 rArr v =D2t1

=d (vur)

rayon CA

)Rprime

Rprime

)Rprime

minusrarru z

Figure 213

Figure 214

minusrarrOMvR)

uxrarr

uyrarr

Figure 215

minusrarru u)

est la valeur de ao

uxrarr

ϕuzrarr

Figure 216

minusrarrV )

Solutions

spirale)

minusrarruu

4) AB = 3 m= 12 aot2 rArr t =

minusrarrOG)

minusminusrarrOA1 =

minusrarrOG +

minusrarruu

minusrarruu )

minusrarruu

Figure 217

minusrarrvR = vroˆ

rArr w =p

C = p minus u

minusrarrOM = ro

2 0) (figure 217)

minusrarr0 )

AN t =radic

4 = 2 s

04 0812 16

Figure 218

u = vo rArr u = vot (t = 0 u(0) = 0)

AN u = p2 t = 1 57t

aot2vo

minusrarruu

4 t2minusrarruu

2 t rArr r = 12

AN r = 2p2 u2 0 2u2

t 0 05 1 15 2

r 0 0125 05 98 = 1 125 2

u 0 p4 0 78 p

2 1 57 3p4 2 36 p 3 14

minusrarrV PRt

minusrarrur 0 12 = 0 5 1 15 2

minusrarrV PRt

4 0 78 9p16 1 77 p 3 14

(voir figure 218)

minusrarrV PRm +

minusrarrVe

minusrarrVe =

minusrarrV RmRt and

minusrarrOP = rvo

4 t2minusrarruu

minusrarrV RmRt and

30minusrarru z

minusrarr0

2 aot2

r(u) = 12

aov2 (u minus p

2t2minusrarrur

minusrarrOI +

minusrarrV (C) =

1)minusrarrOA =

minusrarrOC +

minusrarrOA = a

2)minusrarrV = aw

= Voˆ

minusrarrV

=radic

2Voradic

minusrarrV

minusrarrIA =

minusrarrIC+

IA = awˆ

4)minusrarrV = Vo

minusrarru x + Voˆ

=minusrarrVo + Vo

minusrarru )

minusrarrV prime +

minusrarrVe

= Vominusrarru

oVrarr

uVorarr

Figure 219

minusrarrVo

minusrarru x + Voˆ

CHAPITRE 3

preacutealable

minusrarr0

minusrarrOG =

sumi mi

i mi=rArr m

minusrarrOG =

miminusminusrarrOMi

mminusrarrOG =

intintintM

minusrarrOMdm

minusrarrp =

miminusrarrv i =

minusrarrp i

minusrarrp =

miminusminusrarrOMi

(mminusrarrOG)

= mdminusrarrOGd t

= mminusrarrVG

Solide en mouvement

constV RG =rarr

minusrarr0

d minusrarrv GR

d t =minusrarr0

Causes Effets

pdF RG

rarrrarrrarr==sum

1Frarr

2Frarr

3Frarr

4Frarr

1Frarr

2Frarr

3Frarr

4Frarr

les forces

minusrarrL MR =

rarrΔ

dminusrarrL o

minusrarrOM and m

dminusrarrv MR

dminusrarrL o

minusrarrOM and

summinusrarrF ext =

summinusrarrMo(

minusrarrFext)

Causes Effets

LdFM o

rarrrarrrarr

=sum )(

Theacuteoregraveme

minusrarrL =

ID = ml2

systegraveme 2

rarrrarrminus=

4 LES FORCES

Vecteur unitaire

MmF rarrrarr

mMF rarrrarr

SC2minusrarru

minusrarrSC

go = G MR2

g(z) = G M(R + z)2 = G M

(R + z)2 = go(1 +zR

)minus2

go(1 minus 2zR

minusrarrF Qrarrq =

14pacuteo

minusrarrSC

minusrarrE (M) =

14pacuteo

minusrarrSM

nRrarr

minusrarrP +

minusrarrR n =

minusrarrF = minus1

2CxSrvminusrarrv

nRrarr

eFrarr

minusrarrF e (fi-

F = mRn

= tan F = m

nRrarr

eFrarr

= tan w =Fe

Rn= tan F = m

Repos Mouvement

F=μRn

Trarr l

Δ l=l -lo

5 APPLICATIONS

uxrarr

cstevmp == rarrrarr

ωrarrrarr

Δ== IcsteLo

axe Δ

minusrarru x

d xd t

MFextD = 0 rArr ID

d t2= 0 rArr d u

d t= cste = vo

minusrarrv =d u

minusrarru z

uxrarr

ωrarrrarr

Δ=ne IcsteLo

axe Δ

= cste

rArr x =Fm

t + vo

t2 + vot + xo

IDu =sum

F perp minusrarrOM)

md2 =F

md= cste

mdt + uo

t2 + uot + uo

minusrarrP

mdminusrarrv GR

minusrarrP +

minusrarrF =

dminusrarrvd t

vx = g

d vxd t + k

= minus km d t

m t + ln C

vx = Ceminuskm t

d t= 0 rArr vx =

vx =mgk

+ Ceminuskm t

C +mgk

vlim =mgk

x =mgk

(t +mgk

0 2 4 6 8 100

Temps (s)

b) Pendule simple

ρurarr

θurarr

minusrarrP +

minusrarrT

minusrarrP(

)minusrarrT(

minusT0

minusmg sin u = mlu

sin u = 0

u +glu = 0

u = um sin(vot + w)

Agrave RETENIR

minusrarrL MR =

dminusrarrL o

minusrarrOM and

summinusrarrF ext =

summinusrarrMo(

minusrarrFext)

Les forces

Dynamique

Figure 321

radickm

001= 196 Nmminus1

3) Systegraveme m

minusrarrT

minusrarrR +

mobile donne

k minus mv2 =Lo

1 minus v2

k minus mv2 =Lo

v2 minus 1

avec vo =

radickm

4p2 =1

498196005

= 100 etv2

v2 minus 1=

= 2 cm

et L = 50 cm

4) T = k(L minus Lo) = 196002 = 392 N

v2 minus 1et L =

k minus mv2 =Lo

1 minus v2

minusrarr0

u1 = (minusrarrOx

rurarr

yurarr

1Vrarr

H Plan deau urarr

Figure 322

radic2gr

et V1 =

radic23

rurarr

yurarr

1Vrarr

H Plan deau

Figure 323

minusrarrP +

c) u = minusgr

= minus2gr

d (sin u)d tint u

d (u2)d t

= minus2gr

d (sin u)d t

rArr u2 = minus2gr

[sin u]up2

u2 =2gr

2gr(1 minus sin u)

V1 =radic

radic2gr(1 minus 2

radic23

et cos u1 =radic

1 minus sin2 u1 =

radic1 minus 4

radic5

radic23

radic1 minus(

)2⎞⎠

radic23

radic5

3minusrarru y

rArr minusrarrV =

∣∣∣∣∣∣V1 sin u1

∣∣∣∣∣∣∣∣x = (V1 sin u1)t

y = minus12

avec t =x

V1 sin u1

y = minus12

rminus

radic5

2x (origine en M1)

x2 +radic

rx minus 23

r2 = 0

x2 +8radic

rx minus 3281

r plusmn

x = minus4radic

r +radic

80272 r2 +

329272 r2 = minus4

radic5

radic80 + 288 =

(radic

368 minus 4radic

radic2 minus 4

radic5) =

r(3radic

2 minusradic

27r = 0297r

(radic5

)r = 10426r

Figure 324

minusrarrF

Figure 325

Figure 326

Figure 327

Figure 328

minusrarrBC2 =

minusrarrAB2 +

minusrarrAB

minusrarrAC

toωθ = x

Figure 329

d t = 0

Solutions

minusrarrT

(tension du fil)

P +minusrarrRn +

minusrarrT =

minusrarr0

k sin a

nRrarr

uxrarr

uyrarr

Figure 330

nRrarr

αα rarr

uyrarr

Figure 331

minusrarrR =

minusrarrP

α=60˚

nRrarr

Figure 332

= f12 = 2f = 40 NrArr f = 20 N

msminus2

2 x3(t1 + t2)2 + [x3(t1 + t2) minus v1] (t1 + t2)

nRrarr

uxrarr

uyrarr

Figure 333

minusrarrj )

etminusrarrR =

minusrarrf +

minusrarru y

minusrarrT +

minusrarrR

=radic

1822 + 1379 42 = 1391 35 N

tan w = fRn

= m = 18213794 = 0 132 rArr w = 7 5

a et x = 12

vminusv1a (v + v1)

v2minusv21

2x = (20minus10)(20+10)20 ( 103

3600 )2 = 1 16 msminus1

+ mg m cos a+sin a

cos b+m sin b= m a

cos b+m sin b+ T = 200 116

0932 + 1000 = 1248 93 N

uxrarr

uyrarr

Figure 334

minusrarrP

minusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrN

= Kg tt

x = v = 12

2 Kg t2

trArr x = 1

6 Kg t3

t=rArr K = Fo

mg = 1001000 = 0 1

trArr t = 1

2 Kg t2

v(A) = 12

1005 = 10 s

OA = x = 16 Kg t3

10 = 1006 = 16 67 m

minusrarrR =

minusrarrf +

minusrarrRn

minusrarrR =

minusrarrP +

minusrarrf +

)t + v(A) = minus0 2t + 5

2v(A)2

)= minus 1

2v(A)2

x = 62 5 m

tan a) = x

g sin a= minus 1

) = (1 + v(A)2

2dg sin a) tan a = 0 08(1 + 1

128 ) = 0 080 625

θ l1O

amrarr

Figure 335

= 0 1 m rArr l = lo + 0 1 = 0 2 m

cos u= m(l1 + l)v2

rArr v = (g

(l1 + l) cos u)12 =

minusrarrR

minusrarrT

minusrarrR +

minusrarrT =

minusrarr0

minusrarrP ) +

minusrarrMo(

minusrarrT ) +

minusrarrMo(

minusrarrR ) =

minusrarr0

θ=60˚

Figure 336

minusrarrR et

P (figure 336)

k =TDl

=13 20 64

= 20 625 Nmminus1

2)minusrarrAM =

minusrarrAO +

AM2 =minusrarrAO2 +

minusrarrOM2

+2minusrarrAO

AM = loradic

AM = lohradic

5+4 cos usin u

sin a = 2radic7

sin 60 = 0 655 rArr a = 40 89

T = mg sin usin a

= mg AM2lo

54 + cos u = 5

minusrarrP ) +

minusrarrMo(

minusrarrT ) =

minusrarr0 rArr

minusrarrMo(

minusrarrP )

=sbquo

minusrarrMo(

minusrarrT )

Psbquo

= lomg sin u =sbquo

Tsbquo

k =TDl

54 + cos u

i rArr k = 10

radic7

21radic

agrave la tige

Figure 337

o ro sin hu

CHAPITRE 4

ment (figure 41)

(minusrarrF)

=minusrarrF

minusrarrAB

minusrarrl =

d WMminusrarrMprime

(minusrarrF)

=minusrarrF d

minusrarrl

)(MprimeprimeFrarr

ldrarr

)(MFrarr A

Mprimeprime

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

minusrarrl

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF d

minusrarrl =

minusrarrF

dminusrarrl =

minusrarrF

minusrarrAB

)(MFrarr

(minusrarrF)

=minusrarrF

minusrarrAB

WArarrB

(minusrarrP)

minusrarrP (M) d

minusrarrl =

minusrarrP

uyrarrux

uzrarr

∣∣∣∣∣ 00

minusmget

minusrarrAB =

soit WArarrB

(minusrarrP)

=minusrarrP

d WminusrarrP =

minusrarrP d

WArarrB

(minusrarrP)

uxrarr

d Wxrarrx+d x

(minusrarrT)

=minusrarrT d

Wx1rarrx2

(minusrarrT)

=int x2

minusrarrT d

minusrarrl =int x2

minuskx d x =12

2minus x2

2 kx2 + cste

trajectoire

P (t) =d Wd t

=minusrarrF

dminusrarrl

W1rarr2

(minusrarrF)

=int t2

int t2

t1P (t) d t

4 EacuteNERGIE

dminusrarrv GR

summinusrarrF ext d

minusrarrl = m

dminusrarrv G

vBintvA

minusrarrF ext d

minusrarrl =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

m(v2B minus v2

A) =sum

WArarrB

(minusrarrF ext

WArarrB

(minusrarrF ext

ment On aura donc

WArarrB

(minusrarrF)

= minusKint B

Ad l = minusK

(minusrarrF C

DEP = minusWArarrB

(minusrarrF C

minusrarrF C

ext dminusrarrl

ext (46)

ldFAEBEB

CextPP

rarrrarrminus=

CextP FEgrad

rarrminus=

Forme locale

WArarrB

(minusrarrP)

EPP (z) = mgz + C

EPP (z) = mgz

d W(minusrarr

=minusrarrP d

d WP =minusrarrP d

Epp = minusmgz

d Wxrarrx+d x

(minusrarrT)

=minusrarrT d

= minusd (EPe)

ou encore

Wx1rarrx2

(minusrarrT)

= minuskint x2

x d x =12

1 minus x22

EPe =12

kx2 + C

EPe =12

k (Dl)2 =12

k (l minus l0)2

12 kx2)

WArarrB

(minusrarrF C

WArarrB

(minusrarrF NC

WArarrB

(minusrarrF NC

WArarrB

(minusrarrF NC

WArarrB

(minusrarrF NC

(EB minus EA) =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

E = EC + EP = cste

E minus 12

lt x lt

radic2Ek

-4 -2 0 2 400

puits de potentiel

d xminusrarru x

d x= 0

TT uxrarrrarr

xltx0 = 0

xgtx0 =0

uxrarr

= 0 etd2 EP

santes

instable

Agrave RETENIR

WArarrB

(minusrarrF)

minusrarrF (M) d

P (t) =d Wd t

=minusrarrF

dminusrarrl

Bminus 12 mv2

WArarrB

(minusrarrF ext

(minusrarrF C

minusrarrF C

ext dminusrarrl

F Cext d

minusrarrl

EP =12

k(l minus l0)2

(EB minus EA) =sum

WArarrB

(minusrarrF NC

E = Ec + EP

= 0 etd2 EP

Orsquo

xurarr

zurarr

Figure 410

a = 60 =p

II Chute libre

Em = constante

Em(O) = Ep(O) + Ec(O) = Ec(O) =12

mV2o rArr Vo =

4) a) WAO =int O

minusrarrf d

minusrarrl =int O

Aminusfdl = minusf

Adl = minusf

c) f =m

o ) =2 7004p

= 21486 N

d) f = 214 9 N

II Chute libre

1)minusrarrV o = Vo

minusrarru x

minusrarra =

⎡⎣ 00

⎡⎣ vox = Vo

rArr minusrarrOM =

⎡⎣ x = Vot + xo = Voty = yo = 0

On a donc

x = Vot

z = minus 12 gt2

t = xVo

z = minus 12 g x2

= minus x2

20 rArr x =radic

20h =radic

de rayon R

Figure 411

T = 2kR sinue

T cos(

2minus ue

= R sinue

2rArr Dl = 2R sin

2rArr T = 2kR sin

5) T cosue

2= 2kR sin

6) Epe =12

k(Dl)2 =12

2R sinu

= 2kR2 sin2 u

Pendule pesant

Figure 413

II Cineacutematique

minusrarru u)

III Dynamique

Solution

Figure 414

2) E(A) = EPP(A) + EC(A) =12

4) V2M = V2

II Cineacutematique

1)minusrarrV M =

d(rminusrarru r)dt

III Dynamique

Donc Tm

= g cos u +V2

l(relation n 3)

= g cos u +V2

l= g cos u +

VA =radic

c) V2C = V2

Looping

z grarr

Figure 415

II Cineacutematique

minusrarru u)

III Dynamique

2) Em(A) = mgh Em(M) =12

4) Em(M) =12

II Cineacutematique

R= Ru2 (n 2)

III Dynamique

RrArr F

m= g cos u +

R(n 3)

= g cos u +V2

R= g cos u + 2g

minus 1 +32

cos u]

Fmin 0 rArr hR

1 minus 32

cos p = 1 +32

yurarr

a b ho h1

xurarr

Figure 416

Solution

yurarr

a b ho h1

xurarr

nRrarr

Figure 417

Rnlt m

minusrarru y

minusrarrf +

et en projetant

1 minus m

)x = g sin a

(1 minus tan w

radic2xB

radic2h

x sin a

radic2hoxsin a

=radic

1 minus tan w

minusrarrR n = Rn

f = mRn

minusrarrf +

)x = minusg sin b

sin a= minusmgho

tan arArr V2

B = 2gho

(1 minus tan w

sin b= minusmgh1

mgh1 minus12

rArr V2B = 2gh1

)et V2

B = 2gho

(1 minus tan w

On a donc h1

1 minus tan w

1 +tan w

=tan a minus tan w

tan b + tan w

EPP (0) = 0)

2 m(vo sin a)2 = 14 mv2

v2o cos2 a

2 sin a cos a =v2

minusrarrR +

m t + C

v0= minus k

mt =rArr vx = voe

minus km t

vx d t = vo

keminus

km t + C2

1 minus eminuskm t

Le bateau

W1rarr2

ldquominusrarrf

minusrarrf d

minusrarrl =

ldquominusrarrf

= minuskv20

eminus2 km t d t

W1rarr2

ldquominusrarrf

= kv20

eminus2 km t

iinfin

0= minus1

-3 -2 -1 0 1 2 30

Figure 418

x0= 0 et d2 EP

= 0 etd2 EP

E = E(M) =rArr 12

CHAPITRE 5

00 05 10 15 20-6

x(t) = xmaxej(vt+w)

v (t) =d xd t

a =d vd t

Axe des reacuteels

v2xmax

v x max

Elongation

Vitesse

a = minusv2x

x + v2x = 0

x + v2x = 0 =rArr

x(t) = xmaxej(vt+w)

uxrarr

minusrarrT +

minusrarrR (51)

avec minusrarrP =

minusrarrT =

minusrarrR =

∣∣∣∣ 0R

radickm

rArr T =2p

radicmk

minusrarrP et

minusrarrT =

minusrarr0

l0+Δl0

xPrarr

uxrarr

minusrarrP +

33 Pendule simple

uTrarr

(minusrarrF ext

d(minusrarr

mgl sin u = mldvdt

= ml2u =rArr u +gl

sin u = 0 (52)

u +glu = 0

E = EC + EP = cste

E mv kx= +1

mglmlE

)mgl(mlE

minus+=

-006 -004 -002 000 002 004 006 00800

40x10-5

80x10-5

12x10-4

16x10-4

20x10-4

24x10-4

Ep E Ec

EC(t) = 12 mv2

0x2msin2(v0t + w)

EP(t) = 12 kx2

mcos2(v0t + w)

R(O x t)

kRrarr

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR +

avec minusrarra =

∣∣∣∣ x0

minusrarrT =

minusrarrP =

minusrarrR =

∣∣∣∣ 0R

minusrarrF =

x = 0 (53)

x (t) = Aert

forallt(

)A ert = 0

m2 minus 4km

m2 minus 4v20

D lt 0 D = 0 D gt 0

radicv2

0 minus a2

2m plusmnradic

4m2 minus v20

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tejtq

v20minus a2

xminus = Beminusa

2m teminusjtq

v20minus a2

x = (At + B)eminusa

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tetq

4m2 minusv20

xminus = Beminusa

2m teminustq

4m2 minusv20

x (t) = eminusa

v20minus a2

4m2 + Beminusjtq

v20minus a2

x (t) = Xmaxeminusa

radicv2

0 minusa2

2pradicv2

0 minus a2

=T0radic

1 minus a2

4v20m2

x (t) = Xmaxeminusa

cos vt +a

2mvsin vt

0 2 4 6 8 10-6

x(t)=5e-αt2m

a2m (nminus1)T

d = lnx (nT)

x ((n minus 1) T)=

x = (At + B)eminusa

x (t) = Xmax

eminusa

0 2 4 6 8 10

α =04

T0 =314s

m=01kgxmax=5cm

x (t) = eminusa

2m t(Aeminustq

4m2 minusv20 + Bet

4m2 minusv20 )

A =xmax

(1 minus a

)avec v =

radica2

4m2 minus v20

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR +

k Rrarr

PrarrF

rarr xO

∣∣∣∣∣ 1 si x lt 0

minus1 si x gt 0

mx + kx = F

Xmax = A +Fk

et w = 0

x = (Xmax minusFk

) cos v0t +Fk

X1 = minusXmax +2Fk

mx + kx = minusF

Agrave t =T2

) cos v0t minus Fk

t (p + 1)T2

0 10 20 30 40-006

k=002Nm-1

m=01kgF=00001N

E = 12 mv2 + 1

12 kx2

max12 kx2

max) = 0

X1 = minusXmax +2Fk

-006 -004 -002 000 002 004 00600

50x 10-5

10x 10-4

15x 10-4

20x 10-4

25x 10-4

xmE(x)=12kxm

2 -F(xm-x)

mx + v2

0x = 0 (54)

2 + m v20x2

= minus2ax

se conserve

a2 +x2

radic2E

et b =

radic2Em

-1 0 1

x(t)0 1 2 3 4 5 6

-10 -05 00 05 10 15

Agrave RETENIR

Deacutefinitions

x + v2x = 0 =rArr

x(t) = xmaxej(vt+w)

E = EC + EP = cste

x (t) = Aert

m2 minus 4 km = a2

D lt 0 D = 0 D gt 0

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tejtq

v20minus a2

xminus = Beminusa

2m teminusjtq

v20minus a2

x = (At + B)eminusa

x = x+ + xminus

x+ = Aeminusa

2m tetq

4m2 minusv20

xminus = Beminusa

2m teminustq

4m2 minusv20

Oscillateur

le = lo + Dl1

Figure 518

x + v2o x = 0

eTrarr

NRrarr

le = lo + D l1

Figure 519

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrR N =

minusrarr0

minusrarrR N = RN

Projection sur Ox

01101210

= 005 m = 5 cm

2) Dl2 = Dl12

2mg sin u =

mg sin u

=011012

= 025 N

radic32 = 0866 N

d) tan f =f

0250866

= 02887 rArr f = 16

m fT 1

Angle f

rarr rarr

Figure 520

minusrarrT +

rArr v2o =

To =2p

vo= 2p

radicmk

= 0628 s

b) EPe =12

k(Dl1 + x)2

c) Em =12

k(Dl1 + x)2

e)d Em

2k(Dl1 + x)x = 0 rArr mx + kx = 0

mx + v2

o x = 0

rArr v2o =

rArr vo = 10x + 12x + 100x = 0

= 0785 gt To = 0628 s

Oscillateurs

x x x x

e= lD e

xurarr

Figure 521

SolutionI x x x x

Ressort agrave vide

Instant t

Xe= D le

Vecteur unitaire

rarr rarr

Figure 522

minusrarru x

minusrarrT e =

= 01 m = 10 cm

minusrarrP +

c) v2 = km rArr v =

2v2Xe=

minus10210001

= minus12rArr vt =

ven seconde

On a donc

vsin vt)

Figure 523

Srsquo S

Figure 524

Que peut-

AN d = 5106 m R = 64106 m g = 10 msminus2

dW = minusmgrR

d r = minusd(

)= minusd EP

EP(r) =12

2) a) On a r2 = d2 + x2 rArr EP =12

mgd2 + x2

mv2 +12

mgd2 + x2

b)d Ed t

2mvd vd t

d xd t

= mvx + mgR

xv = mv(

Srsquo S

Figure 525

= 0 rArr x +gR

radicRg

d) Vitesse maximale

v = minusvradic

R2 minus d2 =radic

(R2 minus d2)

vmax =radic

mk1+k2

m(k1+k2)k1k2

= 2pp m

minusrarrT +

mz + 6prhz + kz = 0

v2o minus

laquo2

1 minusbdquo

3prhvom

laquo2

=rArr 1 minusbdquo

laquo2

3prhvom

laquo2

1 minusbdquo

laquo2

=3prhvom

h =vom3pr

1 minusbdquo

laquo2

1 minusbdquo

laquo2

h =2m3r

ominus 1

CHAPITRE 6

Excentriciteacute

Moteur

Poulie

minusrarrF +

minusrarrF e +

minusrarrP +

l0+Δl0

xPrarr

moteur

mx + ax + kx = kX (t) (61)

X (t) = e cos vt

avec vprime = 2

radicv2

0 minus a2

x (t) = X0ej(vt+f)

F (t) = F0ejvt

mavec v2

0 = km

X0 (v) =F0

mradic

soit encore

X0 (v) =ev2

0radic(v2

0 minus v2)2 + v2a2

m(v20 minus v2)

dX0 (v)dv

v2 = v20 minus

mradic

0 1 2 3 4 5-200

α=001

α=004

reacute)

ω (rads-1

0 1 2 3 4 5000

α gt1414ω0m

k=01 Nm-1

m=005 kg

e=2 cm

α=001

α=004

ω (rad s-1

v =dxdt

v(t) = V0 ej(vt+fv)

+ av + kint

vdt = F0ejvt

) = F0ejvt

a2 + (mv minus kv

mv minus kv

v0 =radic

fv (v0) = 0 et V0 (v0) = Vmax =F0

0 1 2 3 4 50

20 k=01 N m-1

m =005 kg

e=2 cm

α=001

α=004

ω (rads-1

0 1 2 3 4 5-100

α=001

α=004

Φ v (

eacute)

ω (ra ds-1

F = Z(v)v

) = F0ejvt

Z(v) = a + j(

mv minus kv

F0 = |Z(v)|V0 (v)

V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

aou cos fv =

|Z(v)|

|Z(v0)| = a

PminusrarrF (t) =

2radic

a2 + (mv minus kv

F (t)rang

0Pminusrarr

F (t)dt

F (t)rang

2radic

a2 + (mv minus kv

)2cos(fv) =

2 |Z (v)| cos(fv)

F (t)rang

0 (v)2

Pminusrarrf (t) =

0 cos2 (vt + fv)

f(t)rang

= minusaV2

0 (v)2

V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic

Dv = v2 minus v1

05 10 15 20 250

Bandes passantes

k=01Nm-1

m=005kg

α=001

α=004

ω (rads-1

Dv(64)

a2 + (mv minus kv

= plusmna (65)

v1 = minus a

radic( a

)2+ v2

radic( a

)2+ v2

m=rArr Q =

Remarques

X0(v0) =F0

av0=rArr X0(v0) =

Agrave RETENIR

X0 =F0

mradic

m(v20 minus v2)

) = F0ejvt

V0 (v) =F0radic

a2 + (mv minus kv

mv minus kv

Reacutesonance

fv (v0) = 0 et V0 (v0) =F0

V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic

m=rArr Q =

Oscillateurs

Figure 68

avec F = Fo cos vt

m vo et v

minusrarrP

minusrarrR

minusrarrR +

minusrarrT =

minusrarr0 +

radickm

vo= 2p

radicmk

NorArr 2pNo = vo

b) Pour a faiblea

mlt 2vo rArr a lt 2

m= 2vo rArr a = 2

Pour a forta

mgt 2vo rArr a gt 2

a) x +a

mx + v2

o x =Fo

mcos vt

2) = Vo cos(vt + w)

c) minusv2Xo + jva

mXo + v2

o Xo =Fo

mrArr Fo =

o minus v2) + jva]

d) Xo =∣∣∣Xo

Fomradic(v2

o minus v2)2 + v2l2

dv= 2v

dv2 =2vFo

m(minus1)

[l2 + 2(minus1)(v2

o minus v2)][

]2 dXo

= minus 2vFo

[l2 + 2(v2 minus v2

o minus l2

v2m = v2

o minusl2

2 0 rArr l vo

radic2 rArr a mvo

radic2 =

radic2mk

e) tan f = minus vl

v2o minus v2

=Fomradic

l2 + ( v2o

vminus v)2

Figure 69

m Ressort raideur k

Socle (S)

Socle (S) Socle (S)

Socle (S)

Figure 610

x(t) m Ressort

Socle (S)

Socle (S) Socle (S)

Socle (S)

eTrarr

a) b) c) d)

Figure 611

minusrarrT =

= rArr x +a

x = g minus kDlem

x + 2lx + v2o x = 0 avec l =

2met vo =

radickm

w =radic

v2o minus l2 = vo

radic1 minus l2

[mv2Xm cos vt

]minusrarru x

= rArr x +a

x =mv2Xm

mcos v

xm =Xm

xm =Xmradic

v2 + (1 minus v2o

c) avec l vo v on a

v2 + 4l2

asymp Xm

(1 minus 2

v2 + 4l2

v2 + 2l2

v2 ) asymp Xm

CHAPITRE 7

mMmF rarr

rarrmMF rarr

OP2minusrarru OP

minusrarrOP

F mrarrM

(minusG M

minusrarrOP)

= mminusrarrG (P)

OP2minusrarru OP

minusrarrG (P)

prime(PGrarr

)(PGrarr

mMF rarrrarr

surface

minusrarrOP

G0 = G MR2

T= 983 msminus2

G(z) = minusG mMR2

T(1 + zRT

)2= G0

1(1 + z

(1 + a)n = 1 + na +n(n minus 1)

minusrarrOP

minusrarrl

minusrarrlprime

r2 d r

EP = minusGmMr

)(x2 + y2 + z2)32

=12GmMuminus32 d u

EP = minusG mMu12

EP = minusGmMr

EP = minusGmM

EP (infin) = 0

EP = minusGmMr

EP (z) = minusGmMr

EP = minusGmMr

+ GmMRT

= minusG mMRT(1 + z

+ GmMRT

EP (z) = minusGmMRT

RT)minus1 + GmM

EP (z) = minusGmMRT

+ GmMR2

Tz + GmM

RT= mG0z

EP (z) = mG0z mgz

4 APPLICATIONS

Terre Soleil Lune

MT=61024 kg MS=21030 kg ML=741022 kg

RT=6400 km ST=150106 km TL=60RT=384 000 km

ST2minusrarru SL

TL2minusrarru TL

r =FMSrarrML

FMTrarrML

=MSTL2

MTSL2 asymp 2

TerreLune

Soleil

SoitminusrarrGS(P)

minusrarrGL(P) et

GT(P)GS(P)

165103

GT(P)GL(P)

P ρurarr

θurarr

Equateur

minusrarru r

= r0u2

= r0v20 =

r0=rArr v2

0 = GMr0

T =2pr0

v0=rArr T2 =

4p2r20

=4p2r3

4p2r3S

GM=rArr rS =

radicGMT2

Ec =12

mv20 =

GMm2r0

et EP = minusGmMr0

Agrave RETENIR

OP2minusrarru OP

EP = minusGmMr

EP = mgz

CHAPITRE 8

1 INTRODUCTION

compleacutementaire

minusrarrf ic

zz prime

xx prime

y prime

cstea =rarr

primerarrrarr =

gmrarr

amrarrminus

y prime

x prime

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrf ie =

minusrarr0

minusrarrjprime

Nous avons en effet

minusrarrP =

0minusmg

minusrarrT =

T sin aT cos a

minusrarrf ie =

minusma00

tan a =ag

y prime

x primeO

dans R

gmrarr

amrarrM

T tension du fil

rarruθrarr

ρurarr

y prime

x prime

uzrarr

ωrarr

uxrarr

α Trarr

ρurarr

soit minusrarrP +

α Trarr

ifrarr

x prime

= minusmminusrarra

minusrarrP +

minusrarr0

tan a =fiemg

=v2l sin a

tan a =lv2 sin a

g=rArr sin a

cos aminus v2l

1cos a

= v2lg

cos a 1 =rArr v2 gl

0 2 4 6 8 10-02

l = 1 m

ωl = (gl)

ω (rads-1

minusrarrP +

P = minusminusrarrR

minusrarrP

uzrarr

uzaa rarrrarr =

galileacuteen

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie =

R =(mg + ma

)minusrarru z

Pa = m(g + a

)gt mg = P

Pa = mg

Pa = m(g minus |a|

)lt mg = P

minusrarrG (I)

minusrarrG (P)

minusrarrG (I)

x prime

y prime

G (I)) =minusrarr0

PrarrP

Terre I

minusrarrP +

minusrarrR =

P = minusminusrarrR

minusrarrP +

minusrarrT =

P = minusminusrarrT

minusrarrG T(I)

minusrarrG A(I)

minusrarrR + m

minusrarrG T(I) + m

minusrarrG A(I) +

minusrarrf ie =

minusrarr0

ωrarr

Soleil

Copernic

(Lune)(Terre)

minusrarrGA(T)

minusrarrR + m

minusrarrG T(I) + m

G A (T)]

G L (T) +

∥∥∥ = GMS(

1SI2 minus 1

)= GMS

SI2 minus 1)

GMSST2

= GMSST2

[(1 minus RT

)minus2 minus 1]

∥∥∥ 2GMSRT

∥∥∥ GML(

1LI2 minus 1

)= GML

(60R)2

((1 minus 1

)2 minus 1)

∥∥∥ GML

(60RT)21

ωrarr

prime (Tx

primey

prime z)

R(Txyz)

uxrarr

primeuxrarr

λcosRHI =

minusrarrf ie = m(

)0)((rarrrarr

=Nf ie

)( Igmrarr

)( IGm T

rarr)( If ie

λcosR

N(pocircle Nord)

)()( NgmNGm T

rarrrarr=

)( Ef ie

)( EGm T

)( Egmrarr

v2R cos l=

sin l + acute cos l

acute =v2R

2G minus v2R=

(1 minus v2R

)minus1

= 1 7410minus3 rad

ωrarr

uxrarr

λcosRHI =uyrarr

uzrarr M

minusrarrvrsquo

minusrarrvprime

minusrarrf ie +

minusrarrf ic = m

minusrarra MR =

xprime

yprime

zprimeminusrarrg =

minusg cos l0

minusg sin l

minusrarrv =

xprime

yprime

zprime

2mvyprime

minus2mvxprime

G1t2 + x0 =12

G1t2 + h cos l

G1vt3 =13

g cos lvt3

G2t2 + z0 = minus12

g sin lt2 + h sin l

IM = minus12

gt2 + h

minusrarrF = m

G A (T)]

G L (T))

+ m(minusrarr

)soit minusrarr

) correspond

G L (T)

Il srsquoensuit que

minusrarrLTLT3 )

minusrarrTI =

minusrarrLT =

0minusD0

minusrarrLI =

y minus Dz

TerreLune

(x2 +(y minus D

)2 + z2)32

) minus GML

D3 Dminusrarru y

minusrarrTI +

D3 3yminusrarru y

minusrarrTI

D3 3yminusrarru y

I)(2 Ig

J )(2 Jgrarr

I )(2 Igrarr

)prime

primeprime

prime(2 Jg

Soleil

LuneOceacutean

Niveaumoyen

Soleil

Oceacutean

Agrave RETENIR

minusrarrf ic

Applications

minusrarrf est une

yurarr

xurarr

Figure 820

xurarrO

yurarr

Figure 821

Solutionyu

xurarrO

Figure 822

xurarr O

ieFrarr T

Figure 823

minusrarru y

minusrarrR n +

[g sin a minus f

]minusrarru x =

[minusmog sin a +

mf]minusrarru x

minusrarrP o = mo

minusrarrT +

minusrarrF ie =

minusrarr0

mf = 0

mf (2)

tan u =f

mg cos a=

10002001005

= 1 rArr u = 45 =p

cos u=00110

12radic

radic2

2=00707N

Zuaa rarrrarr=

ZZ urarr

minusrarrP +

minusrarrT =

minusrarr0 rArr

Le minus Lo=

01980249 minus 020

minusrarrP +

minusrarrT +

minusrarrF ie =

On a donc a =km

x =2001

A oVrarr

minusrarrVo

minusrarru x

O A oV

rarrω

Figure 827

minusrarru y

x = v2Rt minus v2Vo

a) et b) b =v2RVo

)2 RVo

2= 0000055 sminus1

O eacutequateur

Pocircle Nord

xurarr

zurarr

meacuteridien

u zrarr

xu rarr

Ax e Mzrsquo

Verticale du lieu

Ax e Mxrsquo

rarrΩ

Figure 828

meacuteridienSud

xu rarr

yu rarr

Estouest

Figure 829

O xrsquo

1yy uu =P

rarr rarrrarr

Figure 830

O eacutequateur

PocircleNord

meacuteridien

Axe Ix

Sud Meacuteridien

Parallegravele

Est Ouest

xurarr

zurarr

rarrxu

U = A eikt cos v0t

Solutions

minusrarrOM

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie +

minusrarra MR =

minusrarrP =

minusmg

minusrarrv =

minusrarrf ie =

mv2x00

minusrarrv =

minusrarrF =

minuslx00

minusrarrR =

minusrarrf ic =

0minus2mvx

v2 minus lm

avec v0 =q

x(t) = x0 cos v0t

On pose r = OM = x

minusrarrP = mg

minusrarrf ie

minusrarrf ie = mv

2x sin a`

O xrsquo

1yy uu =P

rarr rarr

Figure 832

minusrarrP +

minusrarrR +

minusrarrf ie +

x = xv2 sin2

a minus g cos a

g + v2x cos a

x = xv2 sin2

drsquoougrave

x(t) =

ro minusg cos a

laquo bdquo

evot + eminusvot

+g cos a

ro minusg cos a

cosh vot +g cos a

ro minusg cos a

sinh vot

Rz1 = m sin aˆ

g + v2x cos a

raquobdquo

ro minusg cos a

cosh vot +g cos a

(avec vo = v sin a)

ro minusg cos a

g cos a

v2 sin2 a

Parabole y = ax 2 x

Figure 833

Les forces

2xminusrarru x

minusrarrR +

minusrarrf ie =

minusrarr0

tan a =fieP

= 2ax rArr v =p

minusrarrk = V

xlminusrarru x +

yluy +

z minus ll

minusrarru z

ldquo xlT

uy minusbdquo

z minus ll

Tlaquo

minusrarru z

minusrarrT

minus cos l

0sin l

minusrarrf ic = 2mV

minusrarrP +

minusrarrT +

T + 2mVy cos l = mz

2o x = 2Vy sin l

2o z = 2Vy cos l

minusivot)

1 +V sin l

et B =xo

1 minus V sin l

To =2p

vo= 2p

= 154 s T =2p

V sin l=

24sin l

heures

Figure 834

= 24 h

= 240743 = 32 h18 minutes

CHAPITRE 9

minusrarrF1 et

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

minusrarrOG =

minusminusrarrOM2

m1 + m2

minusrarrv G =m1

p 2 (91)

Theacuteoregraveme

dminusrarrp

minusrarr0 =

dminusrarrp 1

dminusrarrp 2

dminusrarrp 1

minusrarrF 1 et

dminusrarrp 2

F 1 +minusrarrF 2 =

minusrarr0

minusrarrL =

minusrarrL 1 +

minusrarrL 2 =

minusrarrOM1 and m1

minusrarrv 2

Ec = Ec1 + Ec2 =12

m1v21 +

21 Deacutefinition

G yrsquo

zrsquo

xrsquo

m1minusrarrv lowast

2 =minusrarr0

Elowastc =

m1vlowast21 +

m2vlowast22

minusrarrL lowast =

minusrarrv lowast2

minusrarrv lowast1

m1minusrarrv 1 + m2

minusrarrv 2

m1 + m2

)m1 + m2

m1 + m2

minusrarrv

dtminus d

minusminusrarrOM1

minusminusrarrOM1)

soitminusrarrv =

dminusrarrrdt

minusrarrp lowast

2 =m1m2

m1 + m2

m =m1m2

m1 + m2ou

minusrarrp lowast

Elowastc =

m1vlowast21 +

m2vlowast22

Elowastc =

(minusmminusrarrv

(mminusrarrvm2

soitElowast

mv2 (93)

minusrarrp lowast

2 m1vlowast21 + 1

2 m2vlowast22 = 1

)Rlowast

=summinusrarr

minusrarrF 1

)Rlowast

=summinusrarr

minusrarrF 2

1Frarr

2Frarr

m1d2 minusrarrr 1

)Rlowast

=minusrarrF 1 m2

d2 minusrarrr 2

)Rlowast

minusminusrarrGM2

m1d2 minusrarrr 1

d t2+ m2

d2 minusrarrr 2

minusrarr0

aboutissons agrave

m1dminusrarrr 1

d t+ m2

dminusrarrr 2

m1minusrarrr 1 + m2

M1rsquo

M1rsquorsquo

M2rsquorsquo

M2rsquo

m1m2d2minusrarrr 2

dt2minus m1m2

d2minusrarrr 1

dt2= m2

minusrarrF 1

dt2= m2

minusrarrF 2 + m1

minusrarrF 2

Il srsquoensuit que

m1m2d2(

minusminusrarrGM1)

dt2= m1m2

dt2= (m1 + m2)

minusrarrF 2

systegraveme agrave

md2minusrarrrdt2

=minusrarrF 2

dminusrarrLlowast

dminusrarrrdt

2F21MMr =

On obtient ainsi

dminusrarrLlowast

dminusrarrvdt

a) Deacutefinition

M1rsquo

M2rsquo

minusrarrp lowast

md2minusrarrrdt2

minusrarrF 2

ElowastC =

minusrarrOM

minusrarrf =

21MMr ==

Remarques

Exemples

41 Loi des aires

csteL =

rarrrarr

d rminusrarru r

minusrarrk

r2u =Lm

C = r2 d u

d t= 2

d Ad t

M prime

(t+dt)

Trajectoire

EP = minusGm1m2

E = EC + EP =12

mv2 minus Gm1m2

E = EC + EP =12

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 + EPeff

EPeff =12

r2 minus Gm1m2

000 002 004 006 008 010 012 014-8

000 003 006 009 012

Eacutetat lieacute

000 003 006 009 012

m Frarr

lrsquoaction de M

mv2l minus

vl = 2

radic2GMT

Agrave RETENIR

minusminusrarrGM2 =

minusrarr0

m =m1m2

m1 + m2ou

minusrarrF =

rapport agrave M1

2 = mminusrarrv

minusrarr0

2 m1vlowast21 + 1

2 m2vlowast22 = 1

md2 minusrarrrd t2

minusrarrF 2

C = r2 d u

d t= 2

d Ad t

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

mr2 + EPeff

minusrarrF (r)

dminusrarrL o

minusrarrMo(

minusrarrF ) =

minusrarrL o

IV Paradoxe

DE = minusGmMT

S )(rF

OS = r

Figure 914

r2minusrarru

a)minusrarrL o =

b)dminusrarrL o

dminusrarrOS

d tandmminusrarrv +

minusrarr0 +

minusrarrF (r)

dminusrarrL o

minusrarrMo(

minusrarrF ) =

c)minusrarrMo(

(minusrarrMo(

minusrarrF ) =

minusrarr0 )

d)dminusrarrL o

minusrarrL o)

minusrarrL o

r2minusrarru

minusrarrl = 0

b)minusrarrL o =

minusrarrOS

rminusrarru

rrArr v2 = GMT

rrArr v =

radicGMT

r=radicG MT

v2 = 4p2 r3

GMTrArr T = 2p

radic(RT + h)3

T = 2p

radic(6 400 + 832)3109

5) On a T2 = 4p2 r2

v2 = 4p2 r3

GMTrArr T2 =

r3 =4p2

r3 = (RT+h)3 =GMTT2

66710minus1161024(86 164)2

)= minusd(Ep)

2) E =12

3) E = 0 donne E =12

= 0 rArr v =

radic2GMT

Ve =radic

Ece =12

mv2 =12

M(O2)N

2M(O)N

21610minus3

6021023 (11183103)2 = 33210minus18 J

IV Paradoxe

1) Ec =12

mv2 =12GMTm

r2) E = EC + EP = 1

EC =-EP2 =-E

Figure 915

b) DE = minusGmMT

[1rminus 1

r + Dr

]= minusGmMT

h= minus2p

On a donc

2Drr2 rArr Dr =

Dr =4pb(RT + h)2

hasymp 4pbR2

4p10minus8(64106)2

18105 = 286 m

I Mouvement plan

minusrarrL o

5) Applications

dminusrarrvdt

minusrarrL o =

minusrarrL o

dminusrarrOMd t

dminusrarrL o

Kr2minusrarru ) =

minusrarr0

dminusrarrL o

minusrarrL o

minusrarrL o)

a)minusrarrL o =

minusrarrOM

c)minusrarrL o = ro

)= minusd(Ep)

2) EC =12

mv2 =12

m[r2 + r2u2] =

r2 +C2

)+ minusK

mv2o minus

1)d Eprime

Kr2 minus 2mC2

2r3 =1r2

[K minus mC2

]rArr d Eprime

d r= 0 rArr rm =

m(rovo sin ao)2

Eprimem = minus K2

mC2 +K2

2mC2 = minus K2

2m(rovo sin ao)2

Ersquom

Eeacutechappe

Eellipse

rmax rmin

Figure 916

5) Applications

a) Eo =12

mv2o minus

VLT =(

= 11 2 kmsminus1

VLT = c =(

rArr R = 2GMc2 =

91016 = 8910minus3 m = 8 9 mm

CHAPITRE 10

1 RAPPELS

minusrarrOM =

r2u = C = Lm

E = 12 mr2 + EPeff = 1

2 mr2 + m C2

2r2 minus G m1m2r

minusrarrF =

21MMOMr ==

minusrarrv =

⎧⎨⎩ rru0

minusrarra =

2ru + ru0

csteL =

)minusrarru u

)= minusGm1m2

r2minusrarru r

r2 2ru + ru = 0

d(r2u)

dt= 0 =rArr r2u = C

m(r minus ru2

)= minusG m1m2

r2 = minus Kr2

r2u = C

avec K = G m1m2m

=rArr u =du

Cr2 = Cu2

minusGm1m2

r2 = minusGm1m2u2

r =drdt

dt=rArr r = minusC

r =drdt

= minusCd (dudu)

dt= minusC

+ u =KC2

u =KC2 =

u(xy) -f=u(XY)=u

A cos u + Gm1m2mC2

(1 + AGm1m2

cos u)Gm1m2mC2

p =mC2

Gm1m2=

G (m1 + m2)(103)

e = Ap (104)

il vient r =

p1 + e cos u

r = r1 + r2 et m1r1 = m2r2

r1 =m2

m1 + m2r et r2 =

m1 + m2r

p =4pacute0mC2

1 plusmn e cos u

(masse μ)

O G r2

M1 (masse m1)

M2 (masse m2)

r1 = m2m

r et r2 = m1m

u 0 p2 p 3p2 2p

r p(1 + e) p p(1 minus e) p p(1 + e)

r 0 666p p 2p p 0 666p

M(masse μ)

)(rAF A π== )(rFP P 0==

1 minus e2

On obtient donc

X = minusY2

u -um -p2 0 p2 um

Asymptote

mr2 +12

r2 minus Gm1m2

p2 (1 + e)2 minus Gm1m2(1 + e)p

E =Gm1m2

p(1 + e)

(1 + e

2minus 1)

= minusGm1m2

(1 minus e2)

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

1 + e cos u

p =mC2

Gm1m2=

G(m1 + m2) e =

AGm1m2

= Ap (105)

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

AFrsquo

FM + FprimeM = cste

1 + eet FA =

p1 minus e

1 minus e2 (106)

1 minus eminus a =

On a doncc = ae

FH2 = FV2 + VH2 = c2 + b2 = a2e2 + b2

b2 = a2(1 minus e2) (107)

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

E = minusGm1m2

=C2rArr A =

CT rArr T =2AC

T2 =4p2a2b2

C2 = pG(m1 + m2)

conduit agrave

T2 =4p2a3

G(m1 + m2)

Agrave RETENIR

+ u =KC2

1 + e cos u

E = minusGm1m2

2p(1 minus e2)

T2 =4p2a3

G(m1 + m2)

Figure 1010

radicgoR2

raquoraquo

Figure 1011

mv2o =

2mp2R2 cos2 l

+2mp2R2 cos2 l

AN vo =2p6 4106

86164104 cos 40 = 357102 msminus1

ECo = 05800(357102)2 = 5112107 J

Eo = 5112107 minus 66710minus11 610248102

r2minusrarru

rminusrarru rArr v2

r= minusGM

r2 rArr v =

radicGM

radicgoR2

b) T =2pr

2prradicgoR2

radicr = 2p

radicr3

c) E C =12

mv2 =12

rEP = minusGMm

a) v1 =

radicgoR2

R=radic

b) T 1 = 2p

radicR3

goR2 = 2p

radicRgo

E1 = minusmgoR2

2R= minusmgoR

c) go = G MR2 =

66710minus1161024

(64106)2 = 977 msminus2

v1 =radic

goR =radic

97764106 = 79103 msminus1

T1 = 2p

radic64106

E 1 = minusmgoR2

= minus40097764106 = minus251010 J

minus(minusGMm

2mp2R2 cos2 l

OP2minusrarru

(minusGM

r2minusrarru)

= GMmprime

r2minusrarru

minusrarrF ie =

santeur

b) T2 = 2p

radicr22

goR2 rArr r2 =(

T22goR2

(86164104)2977(64106)2

c) v2 =

radicgoR2

radic977(64106)2

421107 = 308 kmsminus1

2r= minus400977

(64106)421107 = minus38109 J

a =r1 + r2

(6 400 + 42 100)2

= 24 250 km

2a= minus mgoR2

R + r2= minus400977

(64106)2425107 = minus66109 J

R + r2minus 1

mvprime21 minus 12

mv21 gt 0

minus 1R + r2

mv22 minus

mvprime22 gt 0

minusrarrOM

minusrarrL o =

d tet montrer que

minusrarrL o

minusrarrL o = Lo

dedminusrarrA

minusrarrA et

minusrarrOM par

minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr

1 + e cos u

A2 = k2[

1 +v2L2

k2 minus 2L2o

minusrarrOM

d minusrarrvd t

= md 2 minusrarrOM

2) a)minusrarrL o =

minusrarrL o

dminusrarrOMd t

d minusrarrvd t

dminusrarrL o

d minusrarrvd t

r2minusrarru)

minusrarrL o =

a)dminusrarrA

d minusrarrvd t

minusrarrL o

d tminus k

d minusrarrud t

nulle)

d minusrarrvd t

=minusrarrFm

= minus kmr2

minusrarru

minusrarrA est

b)minusrarrA

minusrarrA

minusrarrOM =

[rmr2u

minusrarrA

minusrarrOM =

[rmr2u

(minusminusrarru u

(mr2u)2

mminus kr

minusrarrA

minusrarrOM =

mminus kr

c)minusrarrA

minusrarrOM =

m= (k + A cos u)r

k + A cos u=

k(1 + Ak cos u)

1 + Ak cos u

1 + e cos u

mv2 minus kr

b) A2 =minusrarrA

minusrarrA =

)minus kminusrarru

)and Lo

minusrarru z]

]= 2kruLo = 2k

mr2uLo =2kmr

A2 = v2L2o minus

L2o + k2 = k2

k2 minus 2L2o

]c) A2 = k2

k2 minus 2L2o

]et E =

mv2 minus krrArr 2E

m= v2 minus 2k

A2 = k2[

1 +v2L2

k2 minus 2kL2o

(v2 minus 2k

)]= k2

mk2 E]

e =AkrArr e2 =

k2 = 1 +2L2

2 2e loi de Kepler

3 3e loi de Kepler

Mercure 024 0206

Veacutenus 072 0007

Terre 1 1 0017

Mars 152 188 0055

Jupiter 52 1186 0093

Saturne 95 2946 0056

Tableau 103

4 Orbite de Jupiter

Planegravetes T a

Mercure 88 jours

Jupiter 118 ans

Pluton 2484 ans

v2 = g0R2(

2rminus 1

1vrarr

Figure 1012

10 Satellite

Figure 1013

meacuteriquement

Solutions

1+e + p1minuse = 2p

2 r2u = 12 C

= rArP

= 1+e1minuse

0 5 100

a (UA)

nneacutee

0 500 10000

Figure 1014

4 Orbite de Jupiter

minusrarre t + mv2

r2minusrarre n

v2 = r2v2 = r2 4p2

4p2 T2

2 r2u = 12 C

=rArr 2pabTt

GMT drsquoougrave

vP =2pab

GMTa(1 minus e)

et comme b = aradic

a2 (1 minus e2)q

GMT(1 minus e)

arP= 1048 kmsminus1

mv2 minus G mMT

r= 0 =rArr v =

1 minus e2+ x2 + 2x

pe1 minus e2

+bdquo

pe1 minus e2

laquo2

pe1 minus e2

laquo2

1 minus e2

1 minus e2+ (x +

pe1 minus e2

)2 =p2

(1 minus e2)2

soitbdquo

yradic

1minuse2

laquo2

+ldquo

1minuse2

p x + erdquo2

a2 + y2

b2 = 1

r2 avecK = GM

r2 r = p1+e cos u

suite r = d rd u

u = eCp cos u C

r2 = eC3

pr2 cos u minus C2

r3 = C2

p ) = minus C2

K = C2

radic1 minus e2

r2Aminus G mMT

rA=rArr r2

A + G mMT

ErA minus

v2 minus g0R2T

r= minusg0R2

2a=rArr v2 = g0R2

2rminus 1

r0et Ec = 1

2 mv20 =

mg0R2T

1+e cos u= p

G(m+MT ) C2

GMT= C2

=rArr C2 = g0R3T

g0R3T rArr v2

1 = RTr0

DEc =12

v21 minus v2

r0minus 1

=mg0R2

r0minus 1

mv20 minus G mMT

r0lt 0 =rArr v2

0 lt 2G MT

2 = 7 200 km

et T2E = 4p2a3

GMT 1 h 40 min

R1= minusG mMT

7371 kmsminus1

G MTR2

2 minus G mMTR2

= minusG mMT2R2

DEc =12

mvprime21 minus 1

mv22 minus

mvprime22

R1minus G mMT

minus G mMT

2R1+ G mMT

2R2minus

R2minus G mMT

DEc = G mMT

2R1minus GmMT

2R1minus G mMT

2R2= DEc

ANNEXE 1

V(x y) =1

4pacuteo

q(x2 + y2)12

z = V(xy)M

Potentiel v(xy)

de la force

Vecteur force

1Frarr

2Frarr

minusrarrF 1 et

Annexes 285

tRrarr

nRrarr

tRrarr

minusrarrSP

(P)Grarr

i minusrarrj

minusrarrk)

minusrarrOM = x

minusrarri + y

minusrarrj + z

B (x2 y2 0)

A (x1 y1 0)

minusrarrOA et

minusrarrOA = x1

minusrarri + y1

minusrarrj

minusrarrOB = x2

minusrarri + y2

minusrarrj

minusrarrV = x

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk

Annexes 287

x2 + y2 + z2

ρurarr

θurarr

ρurarr

radicr2 + z2

θrurarr

ϕurarr

θurarr

3 PRODUIT SCALAIRE

31 Deacutefinition

α ararr

(x1minusrarri + y1

minusrarrj + z1

minusrarrk)

x2minusrarri + y2

minusrarrj + z2

minusrarrk)

= x1x2 + y1y2 + z1z2

( x1y1z1

( x2y2z2

)= x1x2 + y1y2 + z1z2

Annexes 289

cos(a) =abab

33 Applications

minusrarrAC +

minusrarrCB

c2 = b2 + c2 + 2bc cos a

minusrarrAB

4 PRODUIT VECTORIEL

41 Deacutefinition

c = ab sin a

bacrarrrarrrarr

and=brarr

(minusrarri

minusrarrj

b and minusrarra

Annexes 291

aba and

minusrarrb En outre

minusrarrb

minusrarra =

∣∣∣∣∣ x1y1z1

minusrarrb =

∣∣∣∣∣ x2y2z2

minusrarrb par

(x1minusrarri + y1

minusrarrj + z1

minusrarrk)and(

x2minusrarri + y2

minusrarrj + z2

minusrarrk)

⎧⎪⎨⎪⎩x1y2

i+x1z2

i+z1y2

⎫⎪⎬⎪⎭

dOPHP == αsin

minusrarrMminusrarr

minusrarrOP

minusrarrMminusrarr

MminusrarrF D

F Ominusrarrk =

minusrarrk

Annexes 293

MminusrarrF D

minusrarrF

51 Deacutefinition

minusrarri

minusrarrj

dminusrarrOMdt

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk )

minusrarri + y

minusrarrj + z

minusrarrk

ρurarrj

θurarr

repegravere (Oxy)

i minusrarrj)

minusrarru u

les dans la base(

Ominusrarri

minusrarrj)

minusrarrj

dminusrarru r(t)dt

=d(cos u(t)

minusrarrj )

dminusrarru u(t)dt

=d(minus sin u(t)

minusrarrj )

d cos u(t)dt

dt= minus sin u(t)

minusrarrj ) du(t)

dminusrarru u

minusrarrj ) du(t)

dminusrarrur

dtminusrarru u et

dminusrarru u

dt= minusdu

dtminusrarru r

Annexes 295

x0+dx xo

f(x0+dx)

y y=f(x)

Exemples

f prime(x) =dfdx

2πr 2πdr

Annexes 297

=partfpartx

)y=cste

partfpartx

Courbe z = f(x 0 y)

Courbe z = f(x y 0)

Plan y = y

Plan x = x0

part2fpartx2 =

(partfpartx

part2fparty2 =

(partfparty

part2fpartxparty

(partfparty

)= 2 =

part2fpartypartx

(partfpartx

partxf =partfpartx

Annexes 299

dx +partfparty

df = 2xydx + x2dy

partfpartx

partfparty

partfpartz

df =partfpartx

dx +partfparty

dy +partfpartz

F(x y) =partfpartx

partFparty

=part2fpartypartx

=part2fpartxparty

=partGpartx

party= 6x =

partGpartx

dx +partfparty

doncpartfpartx

6xydx = 3x2y + g(y)

partfparty

minusrarri

minusrarrj )

minusrarrj

M (xy)

jdyHM prime rarr

M prime(x+dx y+dy)

H(x+dx y)

minusrarri + dy

minusrarrj + dz

minusrarrk

Annexes 301

minusrarrl

θρρ

ddHMrarr

θurarr prime

M (ρθ)

dθH (ρ+dρθ)

rarr ρurarr

dminusrarrOM =

minusminusrarrMH +

minusrarrOM = d

(rminusrarru r

rarrur

rarruϕ

rarruθ

rsinθ

(uruuuw

71 Deacutefinition

minusrarri +

partfparty

minusrarrj +

partfpartz

minusrarrk

Annexes 303

avec nabla =

minusrarrk

dminusrarrOM =dx

minusrarri +dy

minusrarrj +dz

minusrarrk

minusrarrk )(dx

minusrarri +dy

minusrarrj +dz

minusrarrk )

partTparty = 0

partTpartz = minusa

krarr rarr

T1gtT2

81 Primitives

Annexes 305

F(x) =int

f (x)dx

f (x)dx = F(x) + C = G(x)

G(x) =int

a bx i x i+1=x i+dx

af (x)dx =

Nminus1sumi=0

int xi+1

f (x)dx

Nminus1sumi=0

af (x)dx

Nminus1sumi=0

mi (xi+1 minus xi)

af (x)dx = lim

Nrarrinfin

(Nminus1sumi=0

f (xi)dxi

minusrarri + Ey

minusrarrj + Ez

minusrarrk

Annexes 307

minusrarrj

minusrarrk ) est

points M1 et M2

)(MErarr

ldrarr

minusrarrE ) =

minusrarrE (M)d

minusrarrl

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl =

minusrarrE (M)

int M2

dminusrarrl =

minusrarrE (M)

dC(minusrarrE ) =

minusrarrE (M)d

minusrarrl = dG

dy = f prime(x)dx

int M2

minusrarrE (M)d

minusrarrl =int x2

int x2

ANNEXE 2

1 HISTORIQUE

α = 23deg7

Syegravene

Annexes 311

2 DEacuteFINITIONS

1 al asymp 1013 km

Annexes 313

LOIS DE KEPLER

Mercure 586j 0 2 439 8797j 579 0206 7 00rsquo 3310 23 54

Terre 23h56rsquo04s 000335 6 378 36525j 1496 00167 0 5971 024 55

et d densiteacute)

Planegravete

F prime

Soleil

Annexes 315

Planegravete

Soleilt

ε=23deg6

γPoint vernal

zeacutenith

Axe dumonde

Soleil

Annexes 317

Meacuteridien

Eacutetoile

Eacutequateur

Jour J +1

Jour J

Soleil

Axe du Monde

Pointvernal

Eacutetoile

Annexes 319

Jour J Jour J+1

21 mars 12 h 0 h 12 h

22 mars 12 h 0 h 04 min 12 h 4 min

23 mars 12 h 0 h 08 min 12 h 8 min

21 juin 12 h 6 h 18 h

Annexes 321

PointVernal

NSolstice dhiver

Soleil

Agrave RETENIR

Annexes 323

BIBL IOGRAPHIE

CCalendrier

Index 327

J ndash KJour

Kepler 264

TTemps

Tribologie 71

tournant 293Vitesse

Zeacutenith 315

050586 - (I) - (15) - OSB 80deg - PUB - NGT

SCIENCES SUP

2e eacutedition

S DE PH

MEacuteC

MATHEacuteMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

ALAIN GIBAUD

MICHEL HENRY

(GibaudHenry)

Avant-propos







Agrave retenir


Exercices

Solutions





Agrave retenir


Exercices

Solutions





4 Les forces

5 Applications

Agrave retenir


Exercices

Solutions





4 Eacutenergie


Agrave retenir


Exercices

Solutions










Agrave retenir


Exercices

Solutions






Agrave retenir






4 Applications

Agrave retenir


1 Introduction




Agrave retenir


Exercices

Solutions






Agrave retenir



1 Rappels






Agrave retenir


Exercices

Solutions




3 Produit scalaire

4 Produit vectoriel







1 Historique

2 Deacutefinitions






Agrave retenir

BIBLIOGRAPHIE

INDEX

Index

Documents

Mécanique du point - 2ème édition