Radu Ana Raluca

PROBLEMA 1 : Problemă de producție

Societatea comerciala Prodlacta din Brașov, realizeaza 4 tipuri de lapte de consum: integral, semidegresat, degresat, condensat, pentru care se utilizează patru metode de procesare: pasteurizarea, ultrapasteurizarea, procesarea la temperaturii inalte, omogenizarea.

Se cunosc timpii necesari operatiilor (in minute) dar si beneficiile realizate pentru fiecare unitate de produs aferent tipului de lapte; de asemenea se cunosc timpii disponibili pentru fiecare operatie (in ore). Aceste date sunt prezentate in tabelul de mai jos:

OPERATIE/LAPTE

Pasteurizare Ultrapasteurizare Procesare OmogenizareProfit

(RON/1L)Integral 30 20 25 30 5,3

Semidegresat 40 15 22 35 4,7Degresat 45 15 21 37 4,3

Condensat 40 25 20 42 10,7Timp

disponibil120 85 93 157 -

Cererea impune ca laptele integral sa fie de cel putin 40% iar laptele degresat de cel mult 20% din productia totala.

Sa se determine pragul optim de fabricatie, astfel incat profitul sa fie maxim.

Rezolvare:

1. Declararea variabilelor:X1 = numarul prod. de lapte integralX2 = numarul prod de lapte semidegresatX3 = numarul prod de lapte degresatX4 = numarul prod de lapte condensat

[max] f (x1, x2, x3, x4) = 5,3 x1 + 4,7 x2 + 4,3 x3 + 10.7 x4

Pasteurizarea: 30 x1 + 40 x2 +45 x3 +40 x1 ≤ 120 x 60Ultrapasteurizare: 20 x1 + 15 x2 + 15 x3 + 25 x1 ≤ 85 x 60Procesare la temp. inalte: 25 x1 + 22 x2 + 21 x3 + 20 x1 ≤ 93 x 60Omogenizare: 30 x1 + 35 x2 + 37 x3 + 42 x1 ≤ 157 x 60x1 ≥ 40% (x1+ x2+ x3+ x4)

x3 ≤ 20% (x1+ x2+ x3+ x4)

0.6 x1 - 0,4 x2- 0,4 x3- 0,4 x4 ≥ 00.2 x1 + 0,2 x2 - 0,8 x3 + 0,2 x4 ≥ 0

1

Radu Ana Raluca

Solutia (QM):

Explicatie:Din analiza efectuata in QM, a rezultat faptul ca pentru obtinerea profitului maxim, si anume

1708 RON, trebuie realizate un numar de 80 L lapte integral si 120 L lapte condensat, renuntand la productia celor doua tipuri: degresat si semidegresat.

PROBLEMA 2: Programare liniara

SC Prodlacta SRL trebuie sa raspunda unei cereri de 100 de unitati din produsul lapte integral, esalonata pe o perioada de 5 saptamani. La inceputul fiecarei saptamani, unitatea se aprovizioneaza cu lapte la unpret ce variaza de la o saptamana la alta:

Saptamana 1: cererea = 25; pret unitar de stocare = 3 RonSaptamana 2: cererea = 20; pret unitar de stocare = 3 RonSaptamana 3: cererea = 15; pret unitar de stocare = 3.5 RonSaptamana 4: cererea = 30; pret unitar de stocare = 2.5 RonSaptamana 5: cererea = 10; pret unitar de stocare = 4 Ron

Sa se defineasca un model pentru politica optima de aprovizionare a SC Prodlacta SRL, astfel incat, toate cererile sa fie satisfacute stiind ca la inceputul primei saptamani se aflau in stoc 10 litri de lapte din perioada anterioara.

Capacitatea maxima a depozitului este de 60 unitati de lapte, iar la sfarsitul celei de-a cincea saptamana, toate produsele sunt vandute.

Rezolvare:

2

Radu Ana Raluca

Variabilele modelului:x1 = cantitatea cu care se aprovizioneaza in prima saptamanax2 = cantitatea cu care se aprovizioneaza in a doua saptamanax3 = cantitatea cu care se aprovizioneaza in a treia saptamanax4 = cantitatea cu care se aprovizioneaza in a patra saptamanax5 = cantitatea cu care se aprovizioneaza in a cincea saptamana

Restrictii:[min] Z = 3 x1 + 3 x2 + 3.5 x3 + 2.5 x4 + 4 x5

I. 25 ≤ 10 + x1 ≤ 60 I.1. x1 ≤ 50I.2. x1 ≥ 15II. 20 ≤ x1 + x2 -15 ≤ 60 1.1. x1 + x2 ≥ 351.2. x1 + x2 ≤ 75III. 15 ≤ x1 + x2 + x3 – 35 ≤ 60 1.1. x1 + x2 + x3 ≥ 501.2. x1 + x2 + x3 ≤ 95IV. 30 ≤ x1 + x2 + x3 + x4 – 50 ≤ 601.1. x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 801.2. x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 110V. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 – 80 = 10 => x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 90

Solutie (QM):

3

Radu Ana Raluca

Explicatii:

Pentru a satisfice toate cererile intr-un mod optim se aprovizioneaza astfel:x1 = 15 (cererea este 25 unitati iar 10 unitati erau in stoc)x2 = 35 (cererea curenta este de 20 de unitati si preconizand ca pretul va creste in perioada

urmatoare am cumparat mai mult in aceasta perioada)x3 = 0 (stoc precedent = 15 unitati)x4 = 40 (pretul mic – am cumparat mai multe unitati)x5 = 0 (pretul este maxim, cererea a fost satisfacuta din cantitatile achizitonate in perioada

anterioara)

PROBLEMA 3: Problema de transport

SC Prodlacta SRL dispune de 3 fabrici si 5 centre de distributie. Punctele de lucru al fabricilor sunt in urmatoarele orase: Sibiu, Covasna si Brasov iar capacitatile de productie ale acestora sunt prezentate in urmatorul tabel:

Fabrica Capacitatea de productieSibiu 550Covasna 500Brasov 650

Centrele de distributie sunt plasate in: Codlea, Bucuresti, Ploiesti, Targu Mures, Onesti. Se cunosc cererile pentru produsele companiei in fiecare centru de distributie:

Centre de distributie CerereaCodlea 300Bucuresti 500Ploiesti 200Targu Mures 400Onesti 300

Determinati cantitatile optime de transportat de la fiecare fabrica la fiecare centru de distributie astfel incat costurile de transport sa fie minime, stiind costurile unitare de transport pe fiecare ruta:

Codlea Bucuresti Ploiesti Targu-Mures OnestiSibiu 120 250 200 150 180Covasna 100 210 130 120 80Brasov 60 180 110 150 100

4

Radu Ana Raluca

Rezolvare:

Variabilele:

XSC = cantitatea de produse transportate de la Sibiu la Codlea

XSB = cantitatea de produse transportate de la Sibiu la Bucuresti

XSP = cantitatea de produse transportate de la Sibiu la Ploiesti

XST = cantitatea de produse transportate de la Sibiu la Tg. Mures

XSO = cantitatea de produse transportate de la Sibiu la Onesti

XCC = cantitatea de produse transportate de la Covasna la Codlea

XCB = cantitatea de produse transportate de la Covasna la Bucuresti

XCP = cantitatea de produse transportate de la Covasna la Ploiesti

XCT = cantitatea de produse transportate de la Covasna la Tg. Mures

XCO = cantitatea de produse transportate de la Covasna la Onesti

XBC = cantitatea de produse transportate de la Brasov la Codlea

XBB = cantitatea de produse transportate de la Brasov la Bucuresti

XBP = cantitatea de produse transportate de la Brasov la Ploiesti

XBT = cantitatea de produse transportate de la Brasov la Tg. Mures

XBO = cantitatea de produse transportate de la Brasov la Onesti

[min] Z = 120 XSC + 250 XSB + … + 130 XCP + … + 100 XBO

Restrictii:

XSC + XSB + XSP + XST + XSO = 550

XCC + XCB + XCP + XCT + XCO = 500

XBC + XBB + XBP + XBT + XBO = 650

XSC + XCC + XBC = 300

XSB + XCB + XBB = 500

XSP + XCP + XBP = 200

5

Radu Ana Raluca

XST + XCT + XBT = 400

XSO + XCO + XBO = 300

Solutie QM:

Explicatie:

Din analiza efectuata in QM, a rezultat faptul ca pentru obtinerea costului minim fabrica din Sibiu v distribui 150 u.m in Codlea si 400 in Tg. Mures, fabrica din Covasna distribuie 200 u.m in Ploiesti si

300 u.m in Onesti din capacitatea sa de productie iar productia din Brasov este distribuita in Codlea si Bucuresti.

PROBLEMA 4: Problema de alocare

Compania aeriana Tarom asigura transporturi aeriene zilnice in ambele sensuri intre orasele Bucuresti, Romania – Torino, Italia. Desi sediul este in Romania, compania are echipaje cu personal avand domiciliu atat in Bucuresti cat si in Torino. Managementul companiei doreste sa asigure la fiecare zbor ca timpul de sedere al echipajelor pe aeroportul strain sa fie minim.

Stiind ca echipajele trebuie sa se odihneasca intre zboruri timp de 6 ore sa se determine perechile de zboruri dus-intors care trebuie formate astfel incat timpul pe aeroportul strain sa fie minim.

Orarul zilnic al zborurilor pe directia Bucuresti – Torino – Bucuresti este urmatorul:

Zbor Plecare Bucuresti Sosire TorinoBucuresti –Torino1 7 9Bucuresti –Torino2 8 10Bucuresti –Torino3 11 13Bucuresti –Torino4 15 17Bucuresti –Torino5 17 19Bucuresti –Torino6 21 23

6

Radu Ana Raluca

Zbor Plecare Torino Sosire BucurestiTorino – Bucuresti1 9 11Torino – Bucuresti2 12 14Torino – Bucuresti3 15 17Torino – Bucuresti4 19 21Torino – Bucuresti5 21 23Torino – Bucuresti6 22 24

Plecare Bucuresti – Sosire Torino

ZBOR Tor – Buc1 Tor – Buc2 Tor – Buc3 Tor – Buc4 Tor – Buc5 Tor – Buc6Buc-Tor1 24 27 6 10 12 13Buc-Tor2 23 26 29 9 11 12Buc-Tor3 20 23 27 6 8 9Buc-Tor4 16 19 22 26 28 29Buc-Tor5 14 17 20 24 26 27Buc-Tor6 10 13 16 20 22 23

Plecare Torino – Sosire Bucuresti

Buc-Tor1 Buc-Tor2 Buc-Tor3 Buc-Tor4 Buc-Tor5 Buc-Tor6Tor – Buc1 20 21 24 28 6 10Tor – Buc2 17 18 21 25 26 8Tor – Buc3 14 15 18 22 24 28Tor – Buc4 10 11 14 18 20 24Tor – Buc5 8 9 12 16 18 22Tor – Buc6 7 8 11 15 17 21

Suprapunere tabele orare

Tor – Buc1 Tor – Buc2 Tor – Buc3 Tor – Buc4 Tor – Buc5 Tor – Buc6Buc-Tor1 20 21 6 10 6 10Buc-Tor2 17 18 21 9 11 8Buc-Tor3 14 15 18 6 8 9Buc-Tor4 10 11 14 18 20 24Buc-Tor5 8 9 12 16 18 22Buc-Tor6 7 8 11 15 17 21

7

Radu Ana Raluca

Solutie:

PROBLEMA 5: Problema de investitie a proiectelor

O firmă doreşte să investească suma de 2300 u.m. în domeniul imobiliar. Se pot achizitiona 5 tipuri de locuinte. Beneficiul obţinut din exploatare este prezentat in urmatorul tabel:

Casa / x1 Garsoniera / x2 Ap 2 camere / x3 Ap 3 camere / x4 Ap 4 camere / x5

Beneficiul 150 75 90 115 130Costul 600 250 300 400 450

Ipoteze:

1. Daca firma cumpara o casa aceasta nu mai poate cumpara un apartament cu 4 camere.2. Daca cumpara o casa mai poate cumpara cel putin doua imobile dintre garsoniera, apartament

cu 2 camere si apastament cu 3 camere.

Să se determine soluţia optimă de achiziţie care realizează beneficiul maxim.Rezolvare:

xi = 1, daca cumpara imobilulxi = 0, daca nu cumpara imobilul[max] Z = 150 x1 + 75x2 + 90x3 + 115x4 + 130x5

Restrictii:600 x1 + 250x2 + 300x3 + 400x4 + 450x5 ≤ 23002x1 ≤ x2 + x3 + x4

x1 + x5 ≤ 1xi € {0,1}

Solutie:

8

S4

BV 11ASOV

S3

S2

S1 S5

S6

S7

S8

300

150

230

4003

200

330

190 630

5007

350

390

480

100BV

111

211

611

3

9

711

411

8

5

Radu Ana Raluca

Explicatie:Din analiza efectuata in QM, a rezultat faptul ca pentru obtinerea beneficiu maxim firma

poate cumpara o garsoniera, un apartament cu 2 camere, 2 apartamente cu 3 camere si un apartament cu 4 camere.

PROBLEMA 6: Drumuri in Grafuri

SC GDF SUEZ Energy Romania SA studiaza posibilitatea de a lega 8 sate din imprejurimea Brasovului la conducta principala.

Conditiile de realizare a acestui proiect permit stabilirea unui numar de 13 legaturi reprezentate in graful de mai jos impreuna cu costurile aferente:

Să se rezolve problema şi să se marcheze pe graf drumurile soluţie obţinute.

Solutie:

9

Radu Ana Raluca

PROBLEMA 7: Modelarea deciziilor monocriteriale

10

Radu Ana Raluca

Societatea comerciala Prodlacta din Brașov doreste sa dezvolte vanzarea laptelui integral si ia in considerare urmatoarele alternative:

Reducerea pretului produsului prin oferte Marirea nr de angajati Marirea volumului de productie

Efectul acestor alternative sunt urmatoarele: Cerere mare datorata reducerii de pret Cerere moderata datorata reactiei concurentiale Cerere mica Esec total

Costurile aferente acestor alternative stunt reprezentate in urmatorul tabel:

Cerere mare

Cerere moderata

Cerere mica

Esec ROWMIN

ROW MAX

Savoge EMV Hurwicz

Oferta 800 350 -300 -400 -400 800 300 112,5 440Angajati 600 100 -50 -100 -100 600 350 137,5 390Productie

950 400 -150 -600 -600 950 500 150 485

-100 950 500 150 485

Cu ajutorul criteriilor de edcizie vom identifica cea mai buna decizie.Matricea Regretelor:

Cerere mare Cerere moderata Cerere mica EsecOferta 150 50 250 300Angajati 350 300 0 0Productie 0 0 100 500

Solutie:

Matricea clasamentelor pentru decizie:

11

Radu Ana Raluca

ROWMIN

ROW MAX Savoge EMV Hurwicz

Oferta 2 2 3 3 2Angajati 1 3 2 2 3Productie 3 1 1 1 1

Explecatie:

In urma analizei putem observa ce cea mai buna decizie este marirea volumului de productie.

PROBLEMA 8: Metoda drumului critic

Societatea Prodlacta din Brasov, doreste sa lanseze 4 sortimente noi de iaurt cu fructe.Pentru alegerea sortimentelor Societatea Prodlacta cerceteaza piata cu ajutorul unui program

de marketing constituit din urmatoarele activitati:

Activitatea

Continutul activitatii Activitati precedente Durata (zile)

1 Decizia de lansare a noilor iaurturi - 1*2 Selectionarea sortimentelor 1 23 Studiul documentar 1 54 Cercetarea firmelor competitive 2 105 Realizarea variantelor de ambalaj 2 26 Testarea mai multor sortimente (6) 2,3 67 Alegerea a 4 sortimente pe baza testarii 6 18 Omologarea si inregistrarea marcii 6 19 Pregatirea capacitatii de productie 8 1510 Realizarea unor oferte promitionale 9 511 Alegerea si realizarea ambalajului 5 812 Contactarea potentialilor clienti 9 2013 Incheierea contractelor cu firmele

colaboratoare12 17

14 Desfasurarea activitatii de promovare 9,10 1315 Realizarea productiei de lansare 9,13 716 Lansarea sortimentelor 11,14,15 14

a) Să se traseze graful asociat programului de marketing;

b) Să se stabilească durata minimă de execuţie a programului, activităţiile critice şi să se

traseze drumul critic.

c) Reluaţi programul indicând pentru fiecare activitate cele trei durate estimate:

- vaoarea optimistă;

12

Radu Ana Raluca

- valoarea cea mai probabilă;

- valoarea pesimistă.

Solutie:Single time estimate:

13

Radu Ana Raluca

PROBLEMA 9: Nr. Angajatilor intr-o banca

14

Radu Ana Raluca

Banca Comerciala Romana doreste sa faca noi angajari pentru relatia directa cu publicul.Programul bancii este de Luni pana Vineri intre orele 08 – 16.Necesarul de personal difera pe parcursul programului astfel:

Perioada orara Nr minim de personal necesar08:00 – 09:00 809:00 – 10:00 510:00 – 11:00 911:00 – 12:00 1012:00 – 13:00 613:00 – 14:00 414:00 – 15:00 915:00 – 16:00 7

Banca poate avea 2 categorii de angajati: full time si part time:Personalul cu norma intreaga , lucreaza de la ora 08:00 pana la 16:00 de Luni pana Vineri si

pot avea puza intre 11:00 - 12:00 sau intre 12:00 – 13:00, acestia sun platiti cu 15 RON / ora.Banca mai poate anjaja cel mult 8 persoane cu program redus ( part –time) care lucreaza 4

ore consecutive in fiecare zi pe care sa ii plateasca cu 10 RON / ora.Construiti modelul care asigura necesarul de personal la un cost minim.

Rezolvare:

x1 – nr de angajati full-time cu pauza de masa intre 11:00 -12:00x2 – nr de angajati full-time cu pauza de masa intre 12:00 -13:00y1 – nr de angajati part-time care incep la ora 08:00y2 – nr de angajati part-time care incep la ora 09:00y3 – nr de angajati part-time care incep la ora 10:00y4 – nr de angajati part-time care incep la ora 11:00y5 – nr de angajati part-time care incep la ora 12:00

[min] Z = (15x8) x1 + (15x8) x2 + (10x4) y1 + (10x4) y2 + (10x4) y3 + (10x4) y4 + (10x4) y5 [min] Z = 120x1 + 120 x2 + 40 y1 + 40 y2 + 40 y3 + 40 y4 + 40 y5

Restrictii:

08:00: x1 + x2 + y1 ≥ 809:00: x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 510:00: x1 + x2 + y1 + y2 + y3 ≥ 911:00: x2 + y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 1012:00: x1 + y2 + y3 + y4 + y5 ≥ 613:00: x1 + x2 + y3 + y4 + y5 ≥ 4

15

Radu Ana Raluca

14:00: x1 + x2 + y4 + y5 ≥ 915:00: x1 + x2 + y5 ≥ 7y1 + y2 + y3 + y4 + y5 ≤ 8x1, x2, y1, y2, y3, y4, y5 ≥ 0

Solutie:

Banca Comerciala romana poate obtine un minim ce 920 RON / zi daca asigura necerasul de personal.

Pentru acest lucru trebuie sa angajeze 5 persoane full-time si 8 persoane part-time.

PROBLEMA 10: Problema repartizarii

Un număr de 4 persoane din fabrica Prodlacta executa 4 activităţi diferite pentru a asigura

productia de lapte necesara cererii. Se cunoaşte timpul necesar fiecărei persoane pentru execuţia

fiecărei activităţi. Aceste date sunt prezentate în tabelul următor:

Pasteurizare Ultrapasteurizare Procesare Omogenizare

Persoana 1 5 7 3 8

Persoana 2 3 3 2 4

Persoana 1 8 2 4 6

Persoana 4 1 6 5 2

16

Radu Ana Raluca

Să se determine soluţia de alocare optimă (care minimizează durata totală de execuţie a celor

6 activităţi).

Solutie:

17