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Módulo 6. Propuestas didácticas para el contenido de incertidumbre Presentación
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Resultados de aprendizaje Al final del módulo, el participante será capaz de: 1. Entender la importancia del manejo de la información a través del concepto de
representación mental alternativa. 2. Enseñar la probabilidad en forma conceptual profunda evitando el manejo superficial
de fórmulas. 3. Usar reactivos PISA y ENLACE para aplicar estas ideas.
Mapa conceptual
Temario Tema 1. Importancia del concepto de probabilidad e incertidumbre Tema 2. Importancia del manejo de la información Tema 3. ENLACE, probabilidad y manejo de la información Tema 4. PISA, probabilidad y manejo de la información Conclusión
Tema 1. Importancia del concepto de probabilidad e incertidumbre
Hoy en día escuchamos y leemos en todas partes afirmaciones probabilísticas:
…y muchas más situaciones que no resulta sorpresivo que el currículo matemático se haya ido preocupando con mayor intensidad sobre este tema.
Si analizamos rápidamente el currículo actual observamos que existen una gran cantidad de subtemas relacionados a probabilidad e incertidumbre distribuidos a través de los tres grados. La tabla siguiente muestra algo similar a esto:
Si pensamos que el aprendizaje escolar es una forma de preparación para entender las complejidades del mundo difícilmente podríamos encontrar un tema más relevante.
Si tenemos un indicador de estos temas en el número de reactivos utilizados en ENLACE entonces podríamos también concluir que se considera el tema menos importante. Pero ya sabemos que no lo es. Si los alumnos no aprenden estos conceptos o los aprenden deficientemente sus capacidades para entender el mundo que los rodea se limitan seriamente. Para entender las complicaciones y trucos que los conceptos de probabilidad encierran veamos el siguiente caso.
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La verdad es que no podemos afirmar nada para un lanzamiento individual, lo único que podemos decir es que a la larga, después de lanzar la moneda miles de veces, considerando por supuesto que la moneda no está cargada en uno de sus lados, el número de águilas y soles será el mismo.
Otro hecho de importancia es que el resultado probabilístico “empírico” no tiene porque ser igual al resultado probabilístico “teórico” y pedagógicamente hablando, esto es de gran importancia para que el alumno comprenda que las matemáticas no son siempre determinísticas como muchos alumnos inocentemente piensan que las matemáticas son la ciencia de las respuestas exactas.
Veamos otra situación.
Tal comprensión de la probabilidad no se obtiene simplemente calculando la probabilidad como una relación de dos cantidades. Ciertamente que tal modelo matemático está imbuido en esta situación, pero definitivamente no representa la esencia del concepto de probabilidad.
La lista de ejemplos de un pobre pensar probabilístico puede extenderse.
ara una mente que no ha entendido los conceptos asociados a la probabilidad y la estadística tales afirmaciones demagógicas suenan adecuadas. Por ello el aprendizaje del concepto de la media es mucho más importante que el aprendizaje del cálculo de la media de un conjunto de datos. Sin embargo el aprendizaje de conceptos pone demandas mucho más pesadas en el maestro que el aprendizaje de los modelos matemáticos en sí mismos.
Este aprendizaje es deseable por supuesto pues es el conocimiento que finalmente nos permite operar con las ideas matemáticas con confianza y facilidad, pero definitivamente no es suficiente. Como ya lo hemos discutido son condiciones necesarias pero no suficientes para el aprendizaje.
La probabilidad y la estadística definitivamente no están exentas de esta situación y aun más, sus aspectos puramente procedimentales son bastante más simples que los del álgebra pero sus implicaciones conceptuales para un entendimiento de un mundo lleno de números y datos son mucho más complejas e importantes.
Ilustremos estas ideas encaminadas a lograr que el alumno logre posesión de los conceptos a través del entendimiento de la media como medida de tendencia central y luego como distribución probabilística de resultados.
• Vamos a utilizar dados y sacar la media de muestras de dos dados.
• Podemos calcular una probabilidad teórica de que esto suceda construyendo
una tabla de posibles medias del evento “calcular la media de dos dados”.
• Podemos entonces notar que existe una distribución simétrica de medias donde
la gran media puede obtenerse sumando todas las medias y dividiendo entre 36.
Esto es:
• Tal operación puede factorizarse:
• Realizando las operaciones y factorizando de nuevo:
• En este punto es importante observar que 3.5 es el valor más probable
puesto que ocurre 6 veces de las 36 posibles y ningún otro valor ocurre tantas
veces. Curiosamente este valor más probable (esto es lo que los alumnos deben
empezar a notar) es el valor de la gran media.
Tales conocimientos pueden representarse como funciones de probabilidad donde
el alumno puede ir notando las tendencias (que después serán llamadas leyes o
teoremas) asociadas a estas situaciones.
Obviamente sería muy difícil, mucho más difícil que obtener que en un
evento de arrojar dos dados. ¿Si tuviéramos 25 dados? ¿50 dados? Es intuitivamente correcto pensar que podríamos pasarnos una vida arrojando 50 dados y no lograr que todos ellos sean 1 o todos 6.
Otra pregunta de importancia sería, ¿Cómo esta gráfica cambiaría si en lugar de utilizar dos dados usamos tres?
Es claro que los valores de probabilidad extremos para obtener un promedio 1 y 6
al lanzar tres dados van a estar más bajos y los valores centrales (alrededor de
3.5 van a ser más probables). Por ello la distribución tenderá a tomar una forma
de “campana” con valor central en 3.5 y con una probabilidad central que tendría
que ser determinada, pero podemos anticipar que será definitivamente mayor
que 6/36.
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Pedagógicamente hablando, la idea fundamental de esta reflexión es que
situaciones procedimentalmente simples pueden dar una seguridad falsa de conocimiento si se quedan estancadas en el uso de una fórmula. Si un alumno simplemente sabe cómo calcular la media, se logra algo de importancia pero definitivamente no es suficiente. Es la reflexión y uso del concepto en situaciones no obvias lo que produce un aprendizaje deseado.
Vayamos al siguiente tema: la importancia del manejo de la información.
Tema 2. La importancia del manejo de la información
Un manejo efectivo de la información está profundamente ligado a la creación de una representación mental efectiva, esto es, una forma de organización mental mediada por un dispositivo generalmente gráfico que nos permita manejar mentalmente una gran cantidad de información que de otra manera nos sería imposible hacerlo.
La psicología cognitiva en el modelo del sistema de procesamiento de la información nos habla de una memoria de trabajo y una memoria a largo plazo.
En esencia no podemos poner atención ni mantener en la consciencia
muchas unidades de información al mismo tiempo (este límite está cerca de siete unidades) y sin embargo cualquier situación escolar típica demanda mucho más que el manejo de siete unidades informativa.
Es decir hemos de usar más de siete palabras, más de siete conceptos, más de siete números, etc. ¿Cómo es que somos capaces de resolver problemas entonces? La respuesta es, manejando la información.
Es por ello que…
Para ilustrar esto, veamos cómo se puede manejar la información.
Haz clic en las opciones para ir a la información.
Otras formas del manejo de la información
El manejo de la información tiene por límites sólo los límites del ingenio humano. Todo problema realmente se resuelve a través de formas alternativas de representación que producen información más simple y más manejable, hasta llegar a una situación en la cual el problema se ha resuelto o se ha
comprendido tan exactamente como nos fue posible.
De esta manera tenemos además de tablas, gráficas cartesianas y diagramas, diagramas de árbol, gráficas caja-brazos, mapas y muchas otras como formas de manejar la información.
En el aprendizaje de las matemáticas la pregunta que siempre debe existir entre maestros y alumno es precisamente cómo manejar la información para que el conocimiento pueda ser adquirido. Si un alumno no comprende y si un maestro no puede promover el aprendizaje del alumno hay buenas probabilidades de que el problema resida en un manejo inadecuado de la información.
El manejo de la información como una fórmula
Para resolver el problema de los frijolitos en el módulo 1 reflexionamos matemáticamente para llegar a una conclusión de importancia, que el número de los frijolitos se podía calcular por medio de la formula:
El problema pudo haberse resuelto inmediatamente haciendo cálculos parciales y no obstante decidimos llevar el proceso simbólicamente hasta una fórmula.
¿Por qué? La razón es obviamente porque queríamos resumir todo el proceso en una sola expresión compacta que permitiera resolver el problema.
Esta es una de las formas más poderosas del manejo de la información.
• Una gran cantidad de hechos y pensamientos y ciertamente una gran cantidad
de palabras quedan encapsuladas en una forma de representación mental
compacta, eficiente y elegante que nos permite manejar en una sola expresión.
• En realidad todo problema que se intenta resolver plantea de una forma u otra
cambios de representaciones mentales que nos permitan ir tomando control del
problema.
Aquellos que no pudieron dar una respuesta al problema cuando se les pidió que lo resolvieran por primera vez en gran medida no pudieron hacerlo porque no supieron manejar la información para lograr una representación mental eficiente.
El manejo de la información en la exploración de un problema
En el módulo 4 analizamos el problema de las edades que entre sus muchas posibilidades de solución tenían la iteraciones múltiples. Estas iteraciones ciertamente pueden realizarse de muchas maneras distintas pero sólo a través de un manejo de la información adecuado puede hacerse el proceso comprensible y eficiente; por ello creamos una tabla que claramente permitía observar la tendencia de los datos hacia un resultado, en lugar de generar números a ciegas, hasta que finalmente pudiéramos acertar con el resultado.
El manejo de la información como una tabla
Cuando explicamos los procesos de pensamiento matemáticos en el módulo 2, resumimos toda la información en una tabla:
Observen cómo esto es una ayuda para la memoria, no tenemos tiempo ni deseamos hacer el esfuerzo de volver a leer todo el material al respecto; sin embargo, tenemos una poderosa forma de representación que nos permite recuperar la información adecuadamente.
Además, en el proceso de aprendizaje de estas ideas hubiera sido muy difícil organizar estas ideas si hubiéramos tenido simplemente el texto frente a nosotros sin una ayuda de este tipo.
El manejo de la información por medio de un sistema cartesiano
El problema del autobús produjo una interpretación sorpresiva al transformar el sistema matemático original de tres ecuaciones a un sistema matemático de dos ecuaciones y colocarlos en una grafica:
El sistema original
Cuya representación gráfica fue:
Como explicamos ahí, tal resultado no dejaba de ser paradójico, la situación física de objetos moviéndose a velocidad constante se transformó a un
movimiento de velocidad no uniforme, que produce en el punto de intersección la solución del problema. Esto hubiera sido casi imposible descubrirlo de no haber manejado la información de esta manera.
El manejo de la información en forma gráfica (lenguaje -> diagrama)
En el módulo 4, en el problema del autobús, observamos cómo situaciones verbales ambiguas muy difíciles de mantener en la memoria simplemente manejando el español fueron transformadas a tres diagramas. En cada diagrama se simbolizó la situación con la aplicación de la fórmula v=d/t
Para obtener:
Y así lograr un modelo matemático de tres ecuaciones:
El manejo de la información en forma gráfica (abstracción simbólica -> geometría)
Esta es una de las formas pedagógicas más poderosas disponibles para el aprendizaje.
Un concepto abstracto tiene un equivalente geométrico que nos es totalmente familiar. Como sucedió en el módulo 2 al explicar los procesos reflexivos con la famosa fórmula del binomio al cuadrado.
Un término abstracto como x2 tiene un referente visual geométrico como área y por ello:
Vean la enorme importancia del manejo de la información como área para llevar a cabo este proceso de comprensión del significado del binomio al cuadrado.
Es en gran medida que gracias a este manejo de la información alternativo que el alumno puede lograr un aprendizaje significativo.
Tema 3. ENLACE, probabilidad y el manejo de la información
ENLACE intenta ser un reflejo fiel de lo que el currículo matemático de secundaria dicta. Hagamos una pregunta importante:
Para dar respuesta precisa a tal pregunta hemos preparado un documento
electrónico que sirva como base de datos para analizar el currículo. Descargue el documento:
[Vealapáginadeldiplomadoparavereldocumento]
Te sugerimos realizar lo siguiente:
• Deja el documento como está, es decir, genera una nueva copia como
documento de trabajo con un nombre diferente como "MiCurrMat". Esto con el fin
de en cualquier momento puedas usar una nueva copia si así lo deseas.
• Observa las columnas:
• Este documento nos permite entonces agrupar de diferentes maneras los
conocimientos y habilidades por grado, localización, eje, tema, subtema.
• Preguntábamos cuántos conocimientos tienen que ver con el manejo de la
información y ahora podremos dar respuesta ….
• Coloca el cursor en la columna de “Eje” y luego en “Ordenar y Filtrar” haz clic
en “ordenar de A a Z”.
• Observa que todo queda ordenado por eje y que desde el renglón 35 hasta el
renglón 72 se tiene como descriptor “manejo de la información”.
Si observan que el currículo en total queda descrito en 103 renglones (no olviden que el encabezado no cuenta como renglón) entonces tenemos que 37% del currículo está dedicado a este tema).
Es de esperar entonces que más de una tercera parte de ENLACE quede representada por estos temas. ¿Es igual esta distribución para el primero, segundo o tercer grado? Veamos.
Agrupemos ahora por grado de la misma manera que lo hicimos por eje.
• Observamos para primer grado 14/38 = 37%
• Observamos para segundo grado 14/35 = 40%
• Observamos para tercer grado 10/30 = 33%
Haremos más ejercicios en las actividades de aprendizaje.
Tema 4. PISA, probabilidad y el manejo de la información
Una vez más se ha hecho un análisis completo de cuatro problemas PISA, de tal manera que se pueda apreciar lo que este examen demanda.
[Vealapáginadeldiplomadoparaverlosdocumentos]
• Nuevamente podrá observarse que en los problemas el aprendizaje memorístico tiene en algunos casos poca influencia sobre la posibilidad de lograr la respuesta correcta.
• El problema de la altura de los estudiantes lo más probable es que el
alumno haya adquirido conocimiento de la media, pero es muy poco probable que
el alumno haya pensado en lo que le sucede a una población cuando se suma un
nuevo dato a ella que tiene precisamente el valor medio. El que la media no
cambia cuando se suman datos con la media es algo que el alumno tiene
necesariamente que reflexionar para demostrarlo o intuirlo. Pensamiento y
razonamiento y argumentación están al nivel de reflexión.
• El problema de la pizza por el contrario demanda solamente que el alumno
conozca la técnica de conteo usando un diagrama de árbol.
• El problema de las calificaciones demanda mucha más reflexión, tal vez no
tanta como el problema de las estaturas.
• Finalmente el problema del mejor candidato una vez más no demanda
conocimiento procedimental de ninguna clase sino un conocimiento conceptual de
que el tamaño de la muestra, la aleatoriedad de la misma y su actualidad son
factores importantes de representatividad.
Conclusión
• Este ha sido el módulo seis de nuestro diplomado y con ello debemos mantener en mente varios asuntos cruciales:
• Todo aprendizaje matemático de importancia debe utilizar un proceso de
matematización completo. Esta es una experiencia de aprendizaje que debe vivirse
frecuentemente en el salón de clases para evitar que el alumno adquiera un
conocimiento fragmentado con poco significado personal.
• El aprendizaje de las matemáticas se desarrolla a través de tres grandes procesos:
reproducción, conexión y reflexión. El más fundamental (la reproducción) forma la
base del edificio matemático pero resulta disfuncional si el progreso del aprendizaje
se queda ahí estancado. Es un error pedagógico importante el pensar que un alumno
ha aprendido matemáticas cuando fundamentalmente sólo puede repetir o reproducir
lo que se le ha enseñado. Reproducir es sólo la condición necesaria para que la
conexión y la reflexión complementen el aprendizaje.
• Así como el proceso mental de reproducción del pensamiento matemático es la
base de todos los demás procesos, la competencia en el manejo de los números (la
numeracidad) es la base de todo el edificio matemático. No podemos esperar que los
alumnos aprendan matemáticas a un buen nivel si no son capaces de dominar los
números y los algoritmos que los producen según cada rama de las matemáticas lo
requiera.
• El álgebra es la simbolización y generalización de la aritmética. Con su simbolismo
y terminología precisa da la base para generar un conocimiento flexible, un lenguaje
especial, que permita representar adecuadamente todas las situaciones matemáticas
del currículo.
• Un proceso de matematización que implique geometría debe apoyarse por un
sistema numérico y un sistema algebraico. En este tema es donde más claramente
puede darse un aprendizaje significativo de acuerdo a las etapas de representación
mental de Bruner: enactivas, icónicas y simbólicas. • Finalmente, en el módulo de probabilidad y manejo de la información se indicó que, pedagógicamente hablando, situaciones procedimentalmente simples pueden dar una seguridad falsa de conocimiento si se quedan estancadas en el uso de una
fórmula. Los problemas PISA son un reflejo fiel de esta situación. Si un alumno simplemente sabe cómo calcular la media, se logra algo de importancia pero definitivamente no es suficiente. Es la reflexión y uso del concepto en situaciones no obvias lo que produce un aprendizaje deseado.
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