Módulo de Trigonometría - Web viewMódulo de Trigonometría. Segundo año. Profesor: Walberto de Jesús Ortiz AlvarengaPágina 1. Para medir un ángulo, debemos identificar: el lado

Módulo de Trigonometría Segundo año

TEORIA DE ANGULOS

Lado Terminal

Vértice

Lado Inicial

Tipos de ángulos Descripción Ejemplo

Ángulo agudo Un ángulo que mide menos de 90° 30º, 45º, 15º

Ángulo recto Es el ángulo que mide 90° 90º

Ángulo obtuso Un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°

100º,170º.

Ángulo llano un ángulo que mide exactamente 180° 180º

Ángulo reflejo o cóncavo Es un ángulo que mide más de 180°

El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

Profesor: Walberto de Jesús Ortiz AlvarengaPágina 1

Para medir un ángulo, debemos identificar: el lado Inicial y el Lado Terminal.


Los ángulos se pueden medir en grados. Hay 360 grados en una vuelta completa.

El Radian: Es la medida del ángulo que se forma cuando en radio gira a partir del lado positivo del eje X y su extremo recorre una longitud de arco igual a un radio.

Los ángulos se pueden medir en grados o radianes. Un radián son 180/π grados, aproximadamente 57.296°.

Caso I

Convertir 72º a radianes.

Ruta de Solución:

Establecer la equivalencia;

Plantear la Regla de Tres directa;

Resolvemos la regla de tres:

0.4 rado también 1.256 rad.


¿Cómo convertir de grados a radianes y viceversa?

180º = π rad

180º = π rad

72º = x

(72 º)(rad)180 º

=0.4 rad

Ejemplo 1 1

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pi.html



http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/grados.html


En muchos casos, la respuesta no se da en π rad sino solo en radianes, por lo tanto multiplicamos

por 3.14 que es el valor aproximado usado tradicionalmente y resultaría: 1.256 rad.

Aproximadamente.

Caso II

Convertir 3.24 rad a grados.

Ruta de Solución: Establecer la equivalencia;

Plantear la Regla de Tres directa;

Resolvamos la regla de tres directa:

Caso III

Convertir 1.23 πrad a grados:

Este caso es más simple, solo bastara con sustituir πrad por su equivalencia en 180º.

1.23 πrad = (1.23)(180º) = 221.4



180º= πrad

x = 3.24 rad

(3.24 rad )(180 º )rad

=185.64 º

180º = πrad


PRACTICA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

Encuentra la medida en radianes de los valores en grados siguientes:

1) 60º , 2) 135º , 3) -75º , 4) 540º , 5) 4º

Encuentra el valor en grados que corresponde en radianes:

6) 23

rad , 7) ❑9

rad , 8) -7πrad , 9) 0.123 rad , 10) 3.67 rad.

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Son aquellos ángulos que juntos miden 90º

Se calculan así. 90º - ø

Ejemplo 3

Ejemplo 2









90º - ø

ø

180º - ø ø


ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Son aquellos ángulos que juntos miden 1800ºSe calculan así. 180º - ø

El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

Por lo tanto puedes escribir 90º como 89º59’60’’


ANGULOS COTERMINALES

Se refiere a aquellos ángulos que poseen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.

Por ejemplo: Encontrar el menor ángulo positivo que sea coterminal con 60º.

ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE

Partamos de la siguiente figura:

b a

c d

¿Quiénes son los ángulos opuestos por el vértice?

Son los ángulos que se ubican uno frente al otro a través de su vértice común, por lo tanto:

El ángulo “a” es opuesto al ángulo “c”, y también el ángulo “b” es opuesto al ángulo “d”.


Resuelve los siguientes Ejercicios.

Encuentra el ángulo complementario a los ángulos que se te presentan:

1)75º 2) 18º 3)25º30’ 4)30º25’10’’ 5)40º40’40’’

Ahora calcula el ángulo suplementario a cada ángulo que se te presenta:

6) 115º 7)60º 8)45º 9) 30º30’ 10) 80º40’20’’

RUTA DE SOLUCION

Dibuja con tu transportador el ángulo dado.

60º

Vértice común


“ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE SON IGUALES”

a=c yb=d

De aquí que: Si conocemos el valor del ángulo a = 105º , podemos obtener el valor de los otros angulosa si:

ANGULOS ALTERNOS INTERNOS

Los ángulos alternos internos surgen, cuando a una línea paralela le corta una secante, así:

Recta Secante

b a

c d Rectas Paralelas

f e

g h

¿Quiénes son los ángulos alternos internos? c=e y d=f

Volvamos al ejemplo anterior donde el ángulo a = 105º, ¿cómo se encontraran los valores de los

otros ángulos?


Ruta de solución:

Aplicando el caso de ángulos opuestos por el vértice son iguales:

Usamos el caso de los ángulos suplementarios:

Aplicamos de nuevo el caso de los ángulos opuestos por el vértice:

a=c

105 º=C

a + b = 180º

105 + b = 180º

b = 180º - 105º

b = 75º

b=d

75º = d


Para resolver hacemos uso de los principios antes estudiados, como, ángulos opuestos por el

vértice son iguales, los ángulos suplementarios:

Ángulos opuestos por el vértice: a = c entonces 105º = c

Ángulos alternos internos: c = e entonces 105º = e

Ángulos opuestos por el vértice: e = g entonces 105º = g

Ángulos suplementarios: a + b = 180º entonces 105º + b = 180º

b = 180º - 105º

b = 75º

Repetimos el proceso de utilizar los principios anteriores:

Ángulos opuestos por el vértice: b = d entonces 75º = d

Ángulos alternos internos: d = f entonces 75º = f

Ángulos opuestos por el vértice: f = h entonces 75º = h. Resueltos los 8 ángulos.

TEORIA DE LOS TRIANGULOS.

Definición: Es una figura geométrica que consta de tres lados y tres ángulos, además se dice que

tiene tres vértices.

Clasificación de los Triángulos:

a) Los triángulos se clasifican por sus Lados de la siguiente manera:


Triángulo Equilátero.

Es el triángulo que consta de sus tres lados iguales. Además sus ángulos son iguales y agudos.


b) Los triángulos también se clasifican por sus ángulos, así:

60º


Triangulo Isósceles.

Es el triángulo que consta de dos lado iguales y uno desigual de los otros dos

Triangulo Escaleno.

Es el triángulo que no tiene lados iguales, en otras palabras sus lados son desiguales.

Triangulo Acutángulo.

Es el triángulo que tiene sus ángulos agudos, en este caso, el triángulo Equilátero, por lo tanto

es Equilátero Acutángulo.

TEOREMAS

La suma de las medidas de los tres ángulos internos de cualquier triangulo es 180ºa + b + c = 180º

La suma de las medidas de los tres ángulos externos de cualquier triangulo es 360ºA + B + C = 360º


ESTUDIEMOS LOS TRIANGULOS RECTANGULOS.

Las partes del triángulo rectángulo:


Triangulo Rectángulo.

Es el triángulo que tiene un ángulo recto o de 90º.En este triángulo usaras dos

herramientas para resolver:

El teorema de Pitágoras: c2=a2+b2

Las Funciones Trigonométricas: sen ø= lado puestohipotenusa

cos ø= lado adyacentehipotenusa

tan ø= lado opuestolado Adyacente

cot ø=lado AdyacenteLado Opuesto

S ec ø= Hipotenusalado adyacente

Csc ø= Hipotenusaladoopuesto

Triangulo Obtusángulo.

Son aquellos que tienen un ángulo obtuso, o mayor de 90º y menor de 180º, se trata

de todos los triángulos que no son rectángulos.

Las herramientas que se usan para resolver un triángulo obtusángulo, (llamado

también triángulo oblicuángulo) son:

La ley del Seno: A

sen a= B

senb= C

senc

Ley del Coseno: A2=B2+C2−2 ABcosa

B2=A2+C2−2 ACcos b.

C2=A2+B2−2 ABcos c


Hipotenusa

Cateto

Angulo Recto

Cateto

Herramientas para resolverlos: PRIMERA HERRAMIENTA: El teorema de Pitágoras: c2=a2+b2

Ejemplo No1.- Encontrar el valor faltante en el triángulo siguiente:

No olvides aplicar la ruta de solución:

c2=a2+b2

¿? c2=42+32

4 c2=16+9

c2=25c=√25 c = 5

Ejemplo No2.- Encontrar el valor faltante en el triángulo dado:

¿? c2=a2+b2(√74)2=52+b2

5 √74(√74)2−52=b2

√74¿¿

74−25=b2 49=b2 √49=¿7 = b

IGUALDAD DE TRIANGULOS RECTANGULOS.


3

1º

Mi problema

2º herramienta de solución.

Sustituyendo


Recordemos que los triángulos rectángulos tiene uno de sus ángulos recto, para que dos triángulos sean iguales deben tener tres elementos iguales (ya tenemos un dato, el ángulo recto: 90º) por lo tanto solo se requiere encontrar dos valores más, de estos uno debe de ser un lado.

Dos triángulos rectángulos son iguales en las siguientes condiciones:

1) Caso HA: Cuando tienen igual la Hipotenusa y un ángulo agudo, por ejemplo:

2) Caso CA: Cuando tienen igual un cateto y un ángulo agudo, por ejemplo:

3) Caso CC: Cuando tienen iguales dos catetos, por ejemplo:


Hipotenusas iguales

Ángulos agudos Iguales

Además de los ángulos rectos que son iguales.

Ángulos Agudos iguales

Catetos Iguales



4) Caso HC: Cuando tiene igual la Hipotenusa y un Cateto.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

Como sabemos que todo triangulo rectángulo tiene un ángulo recto, entonces, para que dos triángulos rectángulos sean semejantes bastara con tener un ángulo agudo igual, pues los ángulos rectos son iguales.


Catetos Iguales


Catetos Iguales

Hipotenusas iguales


44º

7

1.6√6

5 4


¿Cómo se resuelven problemas a partir de la semejanza de triángulos rectángulos?

Resuelve el triángulo siguiente:

2x

X ?

3

5

Puedes distinguir dos triángulos?, veamos: Un externo mayor y otro menor:

Planteamos las razones:

La base del mayor con la base del menor: 5x

La hipotenusa del mayor con la del menor: 3+2 x

2 x

Establecemos la proporción: 5x=3+2 x

2 x

Despejamos x:10 x

x=3+2 x10−3=2x entonces x=7

2

Un árbol proyecta una sombra de 8mts. al final de la sombra se para un hombre cuya estatura es

de 1.65 m. Y este proyecta una sombra de 2 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

Ruta de solución:

Has un bosquejo del problema:

Plantea las rozones y la proporción adecuadas

Despeja y resuelve.


Ejemplo 1

Resuelve con tu

maestro/a


ESTUDIEMOS LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las Funciones Trigonométricas: sen ø= lado puestohipotenusa

cos ø= lado adyacentehipotenusa

tan ø= lado opuestolado Adyacente

cot ø=lado AdyacenteLado Opuesto

Sec ø= Hipotenusalado adyacente

Csc ø= Hipotenusalado opuesto

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo con vértice en A,


Ejemplo No1.- Estable las funciones trigonométricas correspondientes al ángulo ø.

sen ø= lado puestohipotenusa =

4√65

cos ø= lado adyacentehipotenusa =

7√65

√65

tan ø= lado opuestolado Adyacente =

47

cot ø= lado AdyacenteLadoOpuesto

=74

Sec ø= Hipotenusalado adyacente = √65

7Csc ø= Hi potenusa

lado opuesto=√65

4 4

Has una práctica: obtén las funciones trigonométricas para el otro ángulo¡¡7

ø

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A1ngulo-en-c%C3%ADrculo.svg?uselang=es


Analiza y resuelve con tu maestro/a:

En un día especifico, el sol apareció en el horizonte a las 6 am y desapareció en el horizonte

opuesto a las 6 pm. Si a las 10 am de ese día se mide la sombra de un pino, y es de 3.393 m.

a) Cuál es la altura del pino?

b) A qué horas proyectara una sombra igual a su altura?

c) Cuál sería la sombra a las 8 am de un pino de 12.125 m de altura? Y que sombra proyectaría a

las 10 am?





TEOREMA DE LA ALTURA

El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la proporcionalmente las

proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración:

La altura del triángulo rectángulo ABC, lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de

forma que:

Teorema de la altura.

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por se tiene:

por lo que

Otra forma del mismo teorema

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo también puede obtenerse

reemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus respectivos

equivalentes dados por el teorema del cateto.

;


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg?uselang=es


Lo que al simplificar en el último término de la ecuación la raíz con

los cuadrados nos conduce a:

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.La

ecuación nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:

Teorema de la altura (forma 2)

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus

catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la

proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Demostración:

Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c,

siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo.svg?uselang=es


Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La

altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los

catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son

semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.

2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus

lados perpendiculares.

3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

de donde,

Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

y el teorema queda demostrado.

“En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la

hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto dividido por la longitud de la

hipotenusa.”

Basados en las dos ecuaciones del teorema anterior, para deducir, basta con despejar en cada una

de ellas, la respectiva variable de su proyección ortogonal, siendo éstas m y n:

en las que al despejar respectivamente m y n producen las

ecuaciones:



Donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa

y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c.

Cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. La medida de un cateto es la

media proporcional entre la medida de la hipotenusa y su proyección sobre ella.

, también se cumple:

La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la

hipotenusa. , es decir:

Las tres alturas del triángulo rectángulo pueden calcularse como:

donde b y c son los catetos y a, la hipotenusa, en tanto que ha, hb y hc son las alturas

sobre los respectivos lados.

Ponte a prueba: Resuelve algunos problemas de solución de Triángulos Rectángulos.

Un niño está elevando una piscucha, su mano se encuentra a 1.5 metros del

piso, el hilo forma con la horizontal un ángulo de 30º, ¿Cuál es la altura de la piscucha sobre el

piso cuando se han soltado 64 metros de hilo?

Un pájaro y un ratón se encuentran en la parte superior de un acantilado

vertical de 98 metros de altura. Desde ahí observan que a 310 metros de la base del acantilado se


Ejercicio No1

Ejercicio No2

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo.svg?uselang=es


encuentra un gusanito en una mazorca. El ratón baja del acantilado y se dirige corriendo hacia la

mazorca. El pajarito asciende verticalmente una altura H, y luego se dirige en línea recta hacia el

gusanito, ¿cuál debe ser la altura H para que ambos animalitos recorran la misma distancia?

Encuentra la altura H de un árbol si se sabe que la longitud de su sombra es

de 120 cm. Además, el ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal es de 45º.

Amadeo mide 1.72 metros de estatura y su sombra 1.54 metros de

longitud, ¿Qué ángulo forman en ese instante los rayos del sol con la horizontal.

Calcula la altura del poste:

RESOLVAMOS LOS TRIANGULOS OBLICUANGULOS


Ejercicio No4

Ejercicio No5






La ley del Seno: A

sen a= B

senb= C

senc

Ley del Coseno: A2=B2+C 2−2 ABcosa



Resolver un triángulo Obtusángulo u oblicuángulo, consiste en encontrar los valores de todas las partes de él, dicho de otra manera, se deben conocer los tres lados y sus tres ángulos.

Por ejemplo, Encuentra las demás partes del triángulo siguiente:

15 13

C







La ley del Seno: A

sen a= B

senb= C

senc

Ley del Coseno: A2=B2+C 2−2 ABcosa


67.38º

Sigue estos pasos:

I) Identifica los lados y los ángulos conocidos y desconocidos.Lado A = 15Lado B = 13Lado C = ¿?Angulo a = 67.38ºAngulo b = ¿?Angulo c = ¿?

1

Paso II. Selecciona las herramientas:

Ley del Seno:

Asen a

= Bsenb

= Csenc

Ley del coseno:

A2=B2+C2−2 ABcosa

Sustituye según los datos:

15sen67.38 º

= 13senb

= Csenc

15sen67.38 º

= 13senb

senb15=sen67.38 º13

senb=(sen67.38 º )(13)15

Sen b = 0.79999

b=sen−1 0.79999 , b = 53.13º


RESUELVE AHORA TÚ LOS SIGUIENTES CASOS:

Una palmera creció recta, pero inclinada 13º de la vertical, si cuando el ángulo de elevación del sol es de 39º, la palmera proyecta una sombra que mide 17.4 metros.

¿Qué altura tiene la palmera?


Hemos encontrado al ángulo “b”, ya contábamos coa el ángulo “a”, ya puedes encontrar “c”.

a + b + c = 180º , 67.38º + 53.13º + c =180º ,120.51 + c = 180º ,entonces: c = 180º - 120.5º, c= 59.49º

Ahora utiliza el teorema del coseno y encuentra el lado faltante:

A2=B2+C2−2 ABcosa , sustituyendo: c2=152+132−2(15)(13)(cos59.49 º)

Resolviendo: c2=394−390(cos59.49 º)

c2=394−390(0.508)

c2=394−198

c2=244 c=√244 , Entonces c = 14

El Triángulo Obtusángulo está resuelto:

Lado A = 15

Lado B = 13

Lado C = 14

Angulo a = 67.38º

Angulo b = 53.13

Angulo c = 59.49

Ejercicio No 1

Ejercicio No 2


De la intersección de dos calles rectas, que forman un ángulo de 96º; parten al mismo tiempo dos corredores, uno por cada una de las calles, el más rápido a una velocidad de 12 km/h, y el otro a 10 km/h, después de correr por una hora y media, ambos corredores se detendrán, ¿qué distancia les separa en ese instante?

Dos lados de un triángulo son: 110 y 138; mientras que el ángulo comprendido entre ellos es de 41º. Resolver dicho triangulo.

Resolver el triángulo cuyos lados son: A =15, B = 21 y C = 32

Desde un punto P, un ciclista se dirige al Este, ha recorrido 7 kms, cambia de dirección a 38º NO y después para retornar al punto P vira de nuevo 64º SO. ¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista


Ejercicio No 3

Ejercicio No 4

Ejercicio No 5

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