Módulo Instruccional Didáctica de la enseñanza de la

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Instituto de Educación Superior Nueva Luz

Técnico Superior en Didáctica de la Matemática

Módulo Instruccional

Didáctica de la enseñanza de la Geometría

Nombre del Participante

_______________________

Facilitador

Magister. Abraham González Morales

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VISIÓN

Ser un Instituto Laboral de excelente proyección social, elevada calidad y reconocimiento nacional en la formación de jóvenes y adultos con innovaciones tecnológicas adecuadas al entorno social y empresarial.

MISIÓN

El Instituto Laboral Nueva Luz es una entidad privada innovadora con proyección social, creada para formar y capacitar jóvenes y adultos con calidad humana, emprendedores con las competencias esenciales para continuar estudios universitarios en cualquier instituto superior pública o privada.

VALORES

Responsabilidad Cooperación Honestidad

Sensibilidad Social Innovación Creativa

Respeto Diversidad Solidaridad

Equidad

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LECTURA REFLEXIVA

IMPORTANCIA DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

La enseñanza de la Geometría tradicionalmente ha tenido un enfoque deductivo dándose

prioridad a la memorización de conceptos, teoremas y fórmulas. Estas limitaciones formales,

simbólicas y algebraicas iban en perjuicio de la intuición como una primera manera de

acceder al conocimiento geométrico pues la manipulación, el tacto, la vista y el dibujo deben

permitir al alumno habituarse a las figuras, formas y movimientos de su entorno para

posteriormente establecer las abstracciones precisas. Así pues, se formaban excelentes

calculistas de medida, alumnos teóricos que en el contexto del aula eran capaces de resolver

complicados problemas geométricos pero que en la práctica de la vida cotidiana dudaban

cuando tenían que resolver un problema geométrico elemental. En los contenidos actuales

de la enseñanza-aprendizaje de la Geometría se pretende establecer una serie de destrezas

cognitivas de carácter general que puedan ser utilizadas en muchos casos particulares y que

contribuyen por sí mismas a desarrollar las capacidades del conocimiento de los alumnos.

Estos contenidos se caracterizan por tener una visión práctica del aprendizaje, valorando y

aplicando los alumnos sus conocimientos dentro y fuera del aula. Se pasa de inventar

problemas y de suponer datos sobre la pizarra a resolver ejemplos reales que desarrollen la

creatividad, el ingenio y la iniciativa de los alumnos promoviendo unos contenidos intuitivos

que sienten las bases para su análisis posterior. Estos contenidos potencian también la

elaboración y utilización de estrategias personales que muestran al profesor la manera de

pensar y actuar de sus alumnos, de forma que pueda adaptar o modificar estas estrategias,

cuando sea necesario, para realizar un aprendizaje más preciso y significativo. En este

sentido, la línea general es trabajar la Geometría desde una metodología de resolución de

problemas o una metodología de laboratorio mediante las que el alumno además de realizar

actividades, sobretodo aprende. Estas metodologías, parten de una concepción

constructivista del aprendizaje basada en que aquellos conocimientos construidos por los

propios alumnos son realmente operativos, duraderos y generalizables a diferentes contextos.

Por el contrario, los conocimientos que simplemente se transmiten a los alumnos, no

construidos por ellos, no quedan integrados en sus estructuras lógicas y sólo pueden

aplicarlos en situaciones similares a las del aprendizaje. Es precisamente en la Secundaria

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cuando el profesor debe aprovechar los conocimientos empíricos de los alumnos para

transformarlos en otros más estructurados y rigurosos sin olvidar, en esta etapa, los

planteamientos experimentales pues el alumno todavía puede seguir manipulando y

aprendiendo intuitivamente.

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CONTRATO DE APRENDIZAJE

Me comprometo a asistir con puntualidad a las sesiones de la materia Didáctica de la

enseñanza de la Geometría.

Participaré activamente en las actividades propuestas en clases, tales como talleres,

presentaciones, charlas.

Utilizaré un lenguaje adecuado en muestra de mi formación y educación integral.

Participaré de los trabajos grupales con esmero y creatividad.

Respetaré las opiniones de mis compañeros.

Desarrollaré mis asignaciones y las entregaré en las fechas establecidas a fin de obtener una

buena evaluación.

Pensamiento

La realización plena de un educador en la vida depende del caudal de información que medie

con sus estudiantes y no de las comodidades efímeras con las que cuente

Abraham González

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Descripción del Curso

El curso Didáctica de la enseñanza de la Geometría está fundamentado en el desarrollo de la

teoría sobre el significado e importancia de la enseñanza de la Geometría mediante estrategias

innovadoras que permitan al estudiante interactuar de manera efectiva en la enseñanza de

ésta asignatura

El módulo contiene una amplia teoría sobre las demostraciones y sus aplicaciones en el

ámbito escolar, de tal manera que al leerla podrás actualizar tus conocimientos y así poner

en práctica lo aprendido

El curso está diseñado para que de manera autodidáctica también puedas profundizar durante

las sesiones no presenciales.

Las actividades propuestas te ayudarán a comprender y verificar lo que has aprendido en el

desarrollo de la asignatura.

Usaremos la evaluación formativa (puntualidad en la entrega de las asignaciones) y sumativa

mediante la evaluación del contenido de los talleres y las tareas asignadas.

La evaluación del curso será de la siguiente forma

Asistencia (visita puntual a la plataforma y reuniones …………………………….10%

Talleres ( 3 ) 10% cada uno………………………………………………………...30%

Trabajo en casa ( 2 tareas, # 1, 13%, # 2, 12% )…………………………………..25%

Prueba final…………………………………………………………………………35%

Total………………………………………………………………………………..100%

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Orientaciones generales para el estudio y desarrollo del

módulo

El módulo está estructurado de tal forma que los contenidos se puedan entender de forma

clara y precisa, con el propósito de que tu aprendizaje sea significativo con miras a lograr los

objetivos establecidos.

Entre las recomendaciones para que logres este aprendizaje te podemos señalar las siguientes.

El desarrollo del módulo se hará en cuatro sesiones, según el cronograma establecido por el

Instituto de Educación Superior Nueva Luz, para alcanzar los objetivos señalados en el

módulo es importante que administres tu tiempo de forma correcta, lo cual debes hacer con

la responsabilidad debida.

Te recomendamos el uso de técnicas de estudio tales como: resúmenes, subrayados,

conversatorios heurísticos, lectura comprensiva, análisis crítico entre otras

Al final del módulo se presentan las actividades que debes realizar para cumplir con el

proceso de evaluación

Para tus consultas me puedes escribir al correo: [email protected] o llamar

al celular 6284 – 1415, también mediante la plataforma virtual y los teléfonos de la institución

mailto:[email protected]

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Evaluación

Este curso cuya modalidad es a distancia/virtual, es decir que no existirá contacto personal

con el facilitador, es por ello que se proponen actividades para realizar con el apoyo del

módulo. Te recomendamos que puedes profundizar los conceptos que tu así lo decidas en los

diferentes medios para hacerlo.

Cada actividad tiene una fecha de entrega las cuales han sido establecidas de manera tal que

cubran las cuatro semanas que demora el curso, las actividades ( talleres, tareas ) las

encontrarás al final del módulo con los detalles y fecha de entrega al igual que los criterios

de evaluación de cada una de ellas

Realizaremos dos reuniones vía web, haciendo uso del meet, las cuales tendrán el siguiente

horario:

1. Domingo 14 de marzo de 2021

1. Hora: de 8:00 a.m – 10:00 m

2. Temas a tratar

a. Importancia de la enseñanza de la Geometría

b. Experiencias personales

c. Aplicabilidad en las clases virtuales

3. Aclarar dudas e información sobre las actividades asignadas

2. Domingo 28 de marzo de 2021

1. Hora: de 8:00 a.m – 10:00 m

2. Temas a tratar

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a. Estrategias innovadoras, juegos y programas interactivos

b. Experiencias personales

c. Aplicabilidad en las clases de Geometría

3. Aclarar dudas e información sobre las actividades asignadas

4. Indicaciones para la prueba final

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Técnico Superior en Didáctica de la Matemática

Curso: Didáctica de la Enseñanza de la Geometría

Modalidad: Virtual y modalidad a distancia

Duración: 4 sesiones (domingos)

Objetivo General

Utilizar herramientas didácticas para desarrollar la geometría y poderlas trasmitirla a los

estudiantes

Objetivos Específicos

✓ identificar los tipos de conceptos geométricos.

✓ Comprender la necesidad de realizar programaciones de aula, adaptadas al

grupo-clase para poder desarrollar la geometría.

✓ Desarrollar habilidades necesarias para reconocer los aspectos relacionados

con la geometría.

✓ Desarrollar un pensamiento crítico y reflexivo, para reconocer los aspectos

primordiales que influyen e intervienen en el desarrollo de la geometría al

momento de trasmitir esos conocimientos a los estudiantes.

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Índice

Misión, visión, valores del Instituto Superior Nueva Luz…………………………...…. 2

Lectura reflexiva…………………………………………………………………….…. 3

Contrato de aprendizaje y pensamiento………………………………………………... 5

Descripción del curso..…………………………………………………………............ 6

Orientaciones generales para el estudio y desarrollo del módulo……………………... 7

Evaluación……………………………………………………………………………… 8

Objetivos…………………………………………………………………………….…. 10

Didáctica de la Geometría y su importancia………………………..……………..…… 12

Materiales didácticos concretos para la Geometría de séptimo grado…………………. 14

Principios de la enseñanza de la Geometría…..…………….……….…………………. 15

Habilidades esperadas en la enseñanza de la Geometría……………………………….. 18

Grupo de materiales didácticos usados en la Geometría……………….………………. 22

Taller 1…………………………………………………………………….………....… 36

Tarea 1………………………………….……………………………………….……… 37

Taller 2 …………………………………………….…………..…………….………… 38

Taller 3………………………………………………….……………………………… 39

Tarea 2…………………………………………………………….…………………… 40

Trabajo final…….……………………………………………………………………. 41

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DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Y SU IMPORTANCIA

Es de interés internacional el problema de la enseñanza de la Geometría, de tal manera

la preocupación por mejorar la enseñanza de esta asignatura. Los resultados didácticos

obtenidos no son del todo halagadores, de este modo, podemos destacar las siguientes

carencias en la enseñanza de la Geometría:

1. Ausencia de generalización.

2. Desaparición de métodos de razonamiento propios de esta rama de las matemáticas.

3. Predominio prácticamente total de la geometría métrica.

4. Olvido de otros tipos de geometría.

5. Inexistencia de clasificaciones al nivel de las figuras elementales que crea un estado

de inseguridad a la hora de establecer relaciones intrafigurales entre los elementos

geométricos e incluso transfigurales al nivel de consideración de estructuras más

globales.

6. Aritmetización de la geometría al limitarse muchas veces la enseñanza – aprendizaje

de la misma a un cálculo incosciente sobre fórmulas justificadoras de todo el

entramado geométrico elemental.

7. Generación de un lenguaje pseudo – científico.

¿Cuáles son las posibles causas que nos llevan a esta situación?

1. El diseño curricular adolece de indeterminación casi siempre y, en ciertas ocasiones,

de falta de rigor en el planteamiento o estructuración de los conceptos geométricos,

contribuyendo a la confusión lingüística y conceptual denunciada.

2. Los manuales escolares, imponen una concepción de la geometría en la que se ha

operado una transposición didáctica claramente reduccionista y generadora de efectos

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ligados al contrato didáctico. La geometría que se observa en estos manuales no se

encuentra sobre todo sostenida por una base espacial suficientemente sólida.

3. La adopción del libro de texto como elemento determinante del currículo, determina,

en la mayoría de las ocasiones un agravamiento de la visión simplista propuesta de

antemano, con la consiguiente generación, en el alumno, de cláusulas implícitas en

el contrato didáctico que el docente no habrá imaginado jamás que llegaran a

generarse.

4. La ausencia carencial o intencionada de materiales didácticos específicos para la

construcción de los conceptos geométricos se convierte en una fuente inagotable de

obstáculos didácticos que convierten e aprendizaje de esta materia en algo falto de

consistencia y rigor.

5. El cambio brusco que se produce respecto a la introducción del espacio que se hace

en educación infantil, lo que genera la falta de una base fuerte de geometría que debe

constituir una buena construcción previa del espacio.

¿Qué podemos hacer?

Así como mencionamos algunas de las principales causas de que no exista un buen

aprendizaje de la geometría, señalamos algunas posibles soluciones. Claro está que no

tenemos soluciones mágicas, pero podemos analizar las siguientes:

1. Una geometría dinámica frente a una geometría estática tradicional.

2. Una geometría interfigural e intrafigural frente a una geometría exfigural propia de

una enseñanza tradicional.

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3. Una geometría que tenga en cuenta el carácter deductivo intrínseco al razonamiento

geométrico pero también un carácter inductivo que pueden generar los diversos

procesos o materiales propuestos para el desarrollo de la misma.

4. La geometría caracterizada por los grupos invariantes ( topológicos, proyectivos o

métricos ) considerados de antemano, sin establecimiento de prelación alguna en las

secuencias didácticas organizadas al efecto.

5. Una geometría fundada en procesos de percepción, de representación, de

construcción, de reproducción y de designación de los entes geométricos

considerados en cada caso.

Proponemos para el cambio el uso de materiales diversos tales como: poliminós,

geoplanos, tangrams, tiras de mecano, policubos, programas educativos (CABRI, GEO

GEBRA)

Materiales didácticos concretos en Geometría en séptimo año

En este módulo se propone identificar y caracterizar los materiales didácticos concretos que

pueden utilizarse en la enseñanza de los contenidos geométricos en séptimo grado de la

Educación Secundaria. Además, interesa reconocer las habilidades geométricas que tales

materiales permiten desarrollar al ser aplicados. Se distinguen siete grandes grupos de

materiales: modelos fijos 2D y 3D, rompecabezas geométricos, tangram, geoplano,

transformaciones dinámicas, origami o papiroflexia, objetos del entorno real. Los mismos,

dependiendo de la intencionalidad didáctica, favorecen el desarrollo de variadas habilidades

geométricas. Sobre esto, surgen los siguientes interrogantes: ¿Cuáles son los materiales

didácticos concretos que se pueden utilizar para la enseñanza de los contenidos geométricos

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en séptimo grado de la Educación Secundaria (alumnos de 13 años de edad)? ¿Qué

habilidades geométricas permite desarrollar la utilización de estos materiales?

La Educación Matemática Realista refleja un determinado punto de vista sobre la Matemática

como asignatura, sobre cómo la aprenden los estudiantes y sobre cómo deberían enseñarla

los docentes. Es posible caracterizar esta perspectiva en términos de seis principios donde

cada uno refleja una parte de la identidad de la enseñanza de la Geometría

PRINCIPIOS DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Principio de actividad:

Los alumnos aprenden Matemática haciendo y son tratados como participantes activos en el

proceso educativo, donde desarrollan toda clase de herramientas y discernimientos

matemáticos por sí mismos.

Principio de realidad.

Resulta fundamental el uso de contextos y situaciones realistas, en el sentido de realizables

o imaginables, no sólo como dominio de aplicación, sino también y sobre todo como punto

de partida para la matematización.

Principio de niveles.

Al aprender Matemática los estudiantes pasan por diversos niveles de comprensión:

capacidad para inventar soluciones informales relacionadas con un contexto (nivel

situacional), creación de diversos niveles de atajos y esquematizaciones (nivel referencial),

desarrollo mediante la exploración, reflexión y generalización de las esquematizaciones,

superando la referencia al contexto (nivel general), adquisición de una comprensión de los

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principios subyacentes y el discernimiento de relaciones más amplias (nivel formal). La

génesis y el desarrollo de modelos matemáticos a partir de la organización de situaciones

realistas cumplen la función de puentes entre los distintos niveles (de informales a formales)

de matematización.

Principio de reinvención guiada.

Se trata de un proceso de aprendizaje por medio del cual el conocimiento matemático formal

en sí mismo puede ser reconstruido. La Educación Matemática, mediante los profesores, debe

dar a los estudiantes una oportunidad de re-inventar la Matemática.

Principio de interrelación.

Resolver problemas de contexto rico suele involucrar la aplicación de una amplia variedad

de herramientas matemáticas. La fuerte interrelación de los distintos ejes y unidades

curriculares da una mayor coherencia a la enseñanza desde la Educación Matemática Realista

y posibilita distintos modos de matematizar las situaciones.

Principio de interacción.

Se considera al aprendizaje de la Matemática como una actividad social, donde los

estudiantes dan a conocer, unos a otros, sus estrategias e inventos. Al escuchar lo que otros

averiguan y comentar estos hallazgos, los estudiantes nutren sus ideas y mejoran sus

estrategias. La interacción lleva a la reflexión de los alumnos, favoreciendo así una

comprensión más profunda.

La Geometría sólo puede tener sentido si explota su relación con el espacio vivenciado. Si el

educador elude este deber, desperdicia una ocasión irrecuperable. La Geometría es una de las

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mejores oportunidades que existen para aprender a matematizar la realidad. Es una ocasión

única para hacer descubrimientos. Los descubrimientos realizados por uno mismo, con las

propias manos y con los propios ojos, son más convincentes y sorprendentes.

Hasta que de alguna forma se puede prescindir de ellas, las figuras espaciales son una guía

indispensable para la investigación y el descubrimiento.

En el Séptimo grado de la Educación Secundaria se requiere desarrollar las ideas de formas

geométricas y favorecer al máximo la intuición espacial, apuntando hacia una imaginación

de formas espaciales originales que trascienda la mera identificación de figuras y cuerpos

regulares.

Lo anterior se pretende lograr a través del reconocimiento, la producción, el análisis y la

construcción de figuras y cuerpos geométricos, argumentando en base a propiedades, en

situaciones problemáticas que requieran: determinar puntos que cumplan condiciones

referidas a distancias y construir circunferencias, círculos, mediatrices y bisectrices como

lugares geométricos; explorar diferentes construcciones de triángulos y argumentar sobre

condiciones necesarias y suficientes para su congruencia; construir polígonos utilizando regla

no graduada y compás, a partir de diferentes informaciones, y justificar los procedimientos

utilizados en base a datos o propiedades de las figuras; formular conjeturas sobre las

relaciones entre distintos tipos de ángulos a partir de propiedades del paralelogramo y

producir argumentos que permitan validarlas (opuestos por el vértice, adyacentes y los

determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal); analizar afirmaciones

sobre propiedades de las figuras y argumentar su validez, reconociendo los límites de las

pruebas empíricas.

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A la enseñanza de la Geometría se puede acceder por dos vertientes: lógica-racional, la cual

define a la Geometría como una teoría axiomática que se desarrolla bajo leyes rigurosas de

razonamiento deductivo, o la más intuitiva y experimental, basada en la búsqueda,

descubrimiento y comprensión por parte del sujeto que aprende de los conceptos y

propiedades geométricas en función de explicarse aspectos del mundo en que vive (Bressan,

Bogisic y Crego, 2000). La más cercana a las posibilidades y necesidades cognitivas de los

alumnos de la Educación Secundaria es la segunda. Asimismo el docente debe saber que su

meta en este nivel es crear las condiciones para que el alumno pueda avanzar, en estudios

posteriores, hacia la primera.

La enseñanza de la Geometría debe orientarse al desarrollo de habilidades específicas. Según

Hoffer (1981), las habilidades básicas que una buena enseñanza de la Geometría debería

ayudar a desarrollar son clasificadas en cinco áreas: visuales, de comunicación, de dibujo y

construcción, lógicas o de razonamiento y de aplicación o transferencia.

HABILIDADES ESPECÍFICAS EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

1. Habilidades visuales: Visualizar implica tanto representar lo mental a través de formas

visuales externas como representar a nivel mental objetos visuales. El proceso de

visualización requiere de dos tipos de habilidades globales: captación de representaciones

visuales externas y procesamiento de imágenes mentales. A su vez, comprende siete

habilidades específicas que son consideradas como básicas: coordinación visomotora,

percepción figura-fondo, constancia perceptual o constancia de forma tamaño y posición,

percepción de la posición en el espacio, percepción de relaciones espaciales entre objetos,

discriminación visual y memoria visual. Muchos conceptos en Geometría no pueden ser

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reconocidos y comprendidos a menos que el estudiante pueda percibir visualmente ejemplos

e identificar figuras y propiedades por asociación con conocimientos previos. El proceso de

aprendizaje de la Geometría requiere de la capacidad de distinguir las características

esenciales de una configuración particular que aparece dibujada en concreto o mentalmente,

a partir de las características accidentales o irrelevantes. Resulta sumamente importante dar

a los alumnos variedad en los estímulos visuales para que puedan generalizar sus imágenes

y conceptos acerca de las propiedades geométricas, dejando de lado los aspectos no

matemáticos e irrelevantes para el problema planteado (Bressan, Bogisic y Crego, 2000).

2. Habilidades de comunicación: Abarcan la competencia del alumno para leer, interpretar

y explicar, en forma oral y escrita, información (en este caso geométrica), usando el

vocabulario y los símbolos del lenguaje matemático en forma adecuada. Habilidades de

comunicación son: escuchar, localizar, leer e interpretar información geométrica presentada

en diferentes formas, así como denominar, definir y comunicar información geométrica en

forma clara y ordenada, utilizando los lenguajes natural y simbólico apropiados. Resulta

esencial que los alumnos y el docente analicen diversos significados e interpretaciones de las

palabras, frases y símbolos, de manera que cada uno sepa claramente lo que el otro entiende

y quiere decir al utilizar determinadas expresiones lingüísticas. De allí la necesidad de que el

docente interprete el vocabulario que usan sus alumnos, pero al mismo tiempo tienda a

mejorarlo y rigorizarlo, proveyéndoles de mejores herramientas para expresar sus

pensamientos.

3. Habilidades de dibujo y construcción: Están ligadas a las de uso de representaciones

externas, como son: una escritura, un símbolo, un trazo, un dibujo, una construcción, etc.,

con las cuales se puede dar idea de un concepto o de una imagen interna relacionada con la

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Matemática. Estos conceptos e imágenes de los que trata la Matemática son objetos mentales

con existencia real pero no física. Ni los cuerpos que confeccionamos ni las figuras que

dibujamos son las “figuras geométricas” de las que trata la Geometría. Son sólo modelos más

o menos precisos de las ideas que tenemos respecto de ellas. Las representaciones o modelos

geométricos externos confeccionados por el docente o realizados por los propios alumnos no

sólo sirven para evidenciar conceptos e imágenes visuales internas, sino también se

constituyen en medios de estudio de propiedades geométricas, sirviendo de base a la intuición

y a procesos inductivos y deductivos de razonamiento. En su aprendizaje de la Geometría,

los alumnos deben desarrollar habilidades de dibujo y construcción relacionadas con: la

representación de figuras y cuerpos, la reproducción a partir de modelos dados y la

construcción sobre la base de datos dados. El docente ha de tener especial cuidado al

representar conceptos geométricos, ya que a menudo representaciones únicas o demasiado

imprecisas suelen conducir a errores.

4. Habilidades lógicas o de razonamiento: Están relacionadas con las habilidades

necesarias para desarrollar un argumento lógico. Habitualmente en Matemática, cuando se

habla de razonamiento se hace referencia al razonamiento lógico. Las habilidades lógicas a

desarrollar con el estudio de la Geometría en el período escolar de interés son: abstracción

de características o propiedades de las relaciones y de los conceptos geométricos; generación

y justificación de conjeturas; argumentación; formulación de contraejemplos; seguimiento

de una serie de argumentos lógicos; realización de deducciones lógicas. Reconociendo que

las habilidades lógicas son relevantes en el desarrollo del razonamiento matemático, no

pueden dejarse de lado las habilidades de creación, como por ejemplo: crear, inventar,

imaginar, intuir situaciones, explorar y descubrir conceptos, regularidades y relaciones.

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5. Habilidades de aplicación o transferencia: Se espera que los alumnos sean capaces de

aplicar lo aprendido no sólo en el mismo contexto geométrico, sino también que modelen

geométricamente situaciones del mundo físico, de otras disciplinas o de la vida misma. Al

aprender Geometría los alumnos están en condiciones de desarrollar habilidades de

aplicación o transferencia relacionadas con: sensibilización acerca de los aspectos visuales y

geométricos del mundo que los rodea; interrogación acerca de por qué las cosas tienen esa

forma o guardan tal o cual relación; representación, descripción y explicación de ideas o

imágenes en términos geométricos (verbales, visuales o simbólicos); análisis de

representaciones para ver si se ajustan al concepto, imagen o problema planteado. Tishman,

Perkins y Jay (1995) sostienen que si no existe una transferencia rica y plena de lo que los

alumnos aprenden, la educación no cumple su deber. Sin transferencia no existe un proceso

rico de aprendizaje sino yuxtaposición de conocimientos fragmentados, aplicables sólo a

casos particulares y previsibles. Aprender a transferir o aplicar conocimientos, estrategias y

actitudes de un contexto en otro y a buscar relaciones entre ellos es un proceso que hay que

enseñar, ya que por lo general no se realiza de manera espontánea. Son recursos para enseñar

a transferir: la búsqueda de analogías y generalizaciones entre situaciones y formas de

solución; el uso de distintas estrategias para un mismo problema; el descubrimiento de

aplicaciones de un contenido en diferentes contextos; el establecimiento de relaciones entre

lo que se conoce informalmente y lo que se trata en la clase; etc.

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Grupos de materiales didácticos concretos que pueden ser utilizados en la enseñanza

de los contenidos geométricos de Séptimo grado de la Educación Secundaria

1. Modelo 1. Modelos fijos 2D y 3D

Modelos fijos 2D y 3D: Bloques lógicos de Dienes, Cuerpos geométricos rígidos.

Actividad 1: “Adivina qué es”

Momento 1.1: Comentarios iniciales

Se necesitan: dos conjuntos iguales de cuerpos geométricos rígidos (uno de ellos se

exhibe con sus respectivos nombres y el otro se coloca en una bolsa que no permita ver

en su interior), tarjetas con las definiciones de cuerpo redondo y cuerpo poliédrico

convexo (poliedro convexo).

Momento 1.2: Explora y contesta

Colocados en grupos de dos personas, resuelve:

a. Por turno, cada integrante del grupo extrae un cuerpo geométrico de la bolsa y sin

mirarlo lo describe oralmente. Su compañero registra las características mencionadas

e intenta identificarlo. De esta manera se continúa hasta terminar con todos los cuerpos.

http://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&docid=4eOcfwhyT4o7ZM&tbnid=THUytsiwgrQ1xM:&ved=0CAUQjRw&url=http://recursosquintsextomates.blogspot.com/2011_05_01_archive.html&ei=GGyOU8iHPNOMqgbGtYLIBg&bvm=bv.68235269,d.aWw&psig=AFQjCNGbH8pRwCzFZEuFtqP2jzjvpne2aA&ust=1401929026864813

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b. Propongan alguna clasificación entre los cuerpos explorados y justifíquenla.

Compartan dicha clasificación con el resto de la clase.

c. Tomen las tarjetas con las definiciones, interprétenlas y compárenla con la

clasificación realizada en el ítem anterior.

d. Busquen ejemplos de su alrededor que sean representados por los cuerpos

geométricos estudiados.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, constancia

perceptual y memoria visual); de comunicación (recolección e interpretación de

información, denominación, definición, escucha, registro, lectura y localización de datos

y objetos); lógicas o de razonamiento (clasificación, comparación y justificación); de

aplicación o transferencia (sensibilización).

2. Modelo 2. Rompecabezas geométricos

Rompecabezas geométricos: Poliominós y poliamantes, Rompecabezas de la T, de la H,

de la casita o la cruz griega, Rompecabezas de las cuatro T, Rompecabezas de piezas

idénticas, Cubos y policubos, Demostraciones dinámicas, Rompecabezas de mosaicos

de Van Hiele, Rompecabezas por cuadratura.

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Actividad 2: “Construye con cubos”


Los policubos son cuerpos geométricos formados por cubos iguales encajados o pegados

por medio de sus caras. Se pueden considerar diferentes colecciones de agrupaciones de

cubos, entre ellas una de las más conocidas es el cubo Soma, formado por siete

agrupaciones diseñado por el danés Piet Hein (1905 – 1997) en el año 1936. El objetivo

de este rompecabezas es colocarlos de manera que todos juntos formen un cubo 3x3x3.

Momento 2.2: Antes de comenzar

Observa los policubos con los que está formado el cubo de soma:

a. Utilizando los cubos representa cada uno de ellos.

b. ¿Por cuántos cubos está formado cada uno de los siete policubos del cubo de Soma?

Momento 2.3: Investiga y luego responde

Con la ayuda de los cubos descubre cuántos policubos diferentes se pueden formar con

tres (tricubos), cuatro (tetracubos) y cinco unidades (pentacubos). ¡En este último caso

hay 29 disposiciones distintas!

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c. Construye dos figuras idénticas a la que aparece en la figura siguiente, utilizando

cuatro cubos para cada una. Observa que se pueden encajar una en otra para formar

un cubo de tamaño 2x2x2

d. Hay otras dos figuras que se pueden construir con cuatro cubos cada una y que

reunidas forman un cubo 2x2x2. Descúbrelas.

e. Piensa: ¿Cuál es el motivo por el que al ubicar de determinada manera estas

disposiciones forman un cubo?

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, percepción

figura- fondo, discriminación visual, constancia perceptual y percepción de la posición

en el espacio y de relaciones espaciales entre objetos);de dibujo y construcción

(representación y reproducción de figuras a partir de modelos dados); de comunicación

(denominación y definición); lógicas o de razonamiento (creación, invención y

exploración de figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de

representaciones).

3. Modelo 3. Tangram

Tangram: Chino, de Fletcher, Cardiotangram, Hexagonal, Pentagonal, Triangular, de

Lloyd, Pitagórico, de Brügner, Stomachion, Ovoide, Espacial.

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Actividad 3: “Juega y aprende con el Tangram”

Momento 3.1: Conociendo el Tangram

El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa

"juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Es un rompecabezas que consta

de 7 piezas y requiere de

ingenio, imaginación y, sobre todo, paciencia. Estas piezas son llamadas Tans y las

figuras obtenidas mediante su composición Tangramas. Todas ellas juntas forman un

cuadrado.

Sus piezas son las siguientes: “cinco triángulos de diferentes tamaños”, “un cuadrado”,

y “un paralelogramo”. Las reglas del juego son muy simples:

1. Con dichos elementos, ni uno más ni uno menos, se deben construir figuras. Es decir,

al momento de formar las distintas figuras no debe quedar ninguna pieza sin utilizar.

2. Las piezas no deben superponerse.

3. El tangram (que estamos utilizando ahora) es un juego planimétrico, es decir, todas

las figuras deben estar contenidas en un mismo plano.

4. Se tiene libertad total para elaborar las figuras, por lo cual no es necesario seguir un

orden.

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Momento 3.2: Construcción y reconocimiento del juego

a. Construye tu propio juego de Tangram mediante el doblado de papel, siguiendo

los pasos que se detallan a continuación:

b. Algunas de las figuras que pueden construirse son las que se presentan a

continuación. Como verás se pueden representar figuras humanas, animales y

muchos objetos. Inténtalo.

c. Las figuras construidas son las soluciones de los correspondientes tangramas. El

objetivo de este juego es que tú solo puedas encontrar dichas soluciones. Aquí

tienes algunos para que pongas en juego tu ingenio:

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Momento3.3: Investiga y luego responde

d. Toma uno de los triángulos pequeños y clasifícalo.

e. Toma el otro triángulo pequeño y con ellos forma diferentes figuras geométricas.

f. Las figuras formadas, ¿se parecen a alguna otra pieza del Tangram?

g. ¿Qué podemos concluir acerca de sus áreas?

Acabas de descubrir el: “Principio de conservación de la cantidad y no necesariamente

de la forma”

A estas figuras se las llama equivalentes. En particular si conservan la misma superficie,

se las llama equisuperficiales. Por lo tanto, los tangramas

son……….………………………………………

h. Piensa y justifica, ¿las figuras equisuperficiales tendrán el mismo perímetro

(isoperimétricas)?

i. Piensa, averigua y completa: Cuando tenemos dos o más figuras geométricas, éstas

pueden ser:

Figuras congruentes:……………………… Figuras semejantes: ………………………

Figuras equivalentes: ……………………… Figuras diferentes: ………………………

j. Identifica entre las piezas del Tangram un par de figuras que se correspondan a cada

una de las clasificaciones anteriores.

Página 29

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, percepción

figura- fondo, discriminación visual, constancia perceptual, rotación mental,

percepción relaciones espaciales entre objetos); de dibujo y construcción

(representación y reproducción de figuras a partir de modelos dados); de comunicación

(escucha, localización, lectura, interpretación, denominación y definición); lógicas o de

razonamiento (abstracción de características y propiedades, invención y exploración de

figuras); de aplicación o transferencia (interrogación y análisis de representaciones).

4. Modelo 4. Geoplano

Geoplano: Cuadrado u ortogonal, Triangular o isométrico, Circular.

Actividad 4: “Comprueba relaciones entre los ángulos en una circunferencia”


Un ángulo inscrito en una circunferencia es aquél cuyo vértice está sobre la

circunferencia y sus lados determinan cuerdas sobre la misma. Un ángulo central de

Página 30

una circunferencia es aquél cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son

dos radios de la misma.

a. Construye en tu geoplano un ángulo inscrito y un ángulo central cualquiera.

b. Investiga cuánto mide el ángulo central más pequeño de lados no coincidentes que

puede hacerse en tu geoplano e indica por qué.

c. Según lo anterior, ¿serías capaz de calcular cuánto miden los ángulos inscrito y

central que has construido?

d. Vas a descubrir ahora el modo de calcular ángulos inscritos en la circunferencia. A

continuación tienes un ángulo y otros que tienen los lados paralelos al primero: mídelos

y anota las medidas junto a cada uno.

¿Qué relación existe entre ellos?

d. ¿Cómo puedes aplicar la relación anterior al cálculo de la amplitud de un ángulo

inscrito en la circunferencia?

Página 31


f. En tu geoplano, construye dos ángulos inscritos que abarquen el mismo arco de

circunferencia. ¿Cómo son sus amplitudes? Prueba con varios ejemplos. ¿Puedes

extraer alguna conclusión?

g. Ahora, construye un ángulo central y un ángulo inscrito que abarquen el mismo arco.

¿Cómo son sus amplitudes? Prueba con varios ejemplos. ¿Puedes extraer alguna

conclusión?

h. Por último, construye un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia. ¿Cuál

es su amplitud? Justifica.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora); de dibujo

y construcción (representación de figuras y cuerpos); de comunicación (lectura,

interpretación, denominación y definición); lógicas o de razonamiento (abstracción de

características y propiedades, argumentación y exploración de figuras); de aplicación o

transferencia (interrogación y análisis de representaciones).

5. Modelo 5. Transformaciones dinámicas

Transformaciones dinámicas: Poliformas, Varillas de mecano, Retículas, Desarrollos

planos.

Página 32

Actividad 5: “Construye y clasifica cuadriláteros”


Si construyes un triángulo, con las varillas de mecano, comprobarás que esta figura

geométrica es rígida; es decir, aunque se haga presión sobre los vértices, el triángulo no

se deforma, no se mueve. Esta propiedad, la indeformabilidad o bien la estabilidad, es

una característica propia de los triángulos y es por lo que se los utiliza en diferentes

construcciones. En cambio, las figuras de cuatro lados, los cuadriláteros, no gozan de

esta propiedad.


Toma cuatro varillas de mecano, todas de distinta longitud, y construye un

cuadrilátero. La construcción, ¿es siempre posible?, ¿qué resulta necesario?

Presionando sobre un vértice se comprueba que puede lograrse que dos lados lleguen a

ser paralelos. Así se obtiene un………………………………………………………

a. Si conservamos fija la posición de tres de sus varillas y hacemos girar una alrededor

de una mariposa, vemos que es posible obtener una infinidad de trapecios y que en un

momento determinado obtenemos un ……………………………

b. ¿Qué puedes concluir?

1. Toma cuatro varillas de mecano, dos de las cuales sean iguales entre sí, lo mismo para

las otras dos, aunque no sean iguales a las dos primeras. Únelas para formar un

rectángulo.

Página 33

c. Presionando en uno de los vértices o en los lados, el rectángulo se transforma en un

………

d. ¿Qué puedes concluir?

e. Observa y anota lo que ocurre con los elementos de un rectángulo (lados, ángulos,

diagonales) durante la transformación de aquél en paralelogramo.

2. Vimos que las diagonales de un rectángulo son iguales y se cortan en el punto medio.

Esta propiedad nos permite hacer la siguiente construcción: toma dos piezas iguales de

mecano y únelas por su punto medio. Luego, pasa un hilo elástico por los cuatro

agujeros que hay en los extremos de las varillas y separa las varillas. Se forman

distintos………………………………………………….

f. Observa lo que sucede cuando las diagonales son perpendiculares y anótalo.

g. ¿Qué puedes concluir?

3. Toma cuatro varillas de mecano iguales y ponlas de manera que formen un cuadrado.

h. Realiza una leve presión sobre uno de los vértices o sobre uno de los lados, para ver

que un cuadrado no es rígido, sino que se transforma en

un………………………………………………..

i. ¿Qué puedes concluir?

j. Observa y anota lo que ocurre con los elementos de un cuadrado (lados, ángulos,

diagonales) durante la transformación de aquél en rombo.

Página 34

4. Une, por su punto medio, dos varillas de mecano de distinta longitud y pasa luego el

hilo elástico por los cuatro agujeros extremos. Abriendo las piezas tendremos

un…………………………

k. Observa lo que sucede cuando las diagonales son perpendiculares y anótalo.

l. ¿Qué puedes concluir?

Momento 5.3: Extrayendo conclusiones

5. Intenta resumir las actividades anteriores en una red conceptual que muestre la

clasificación de los cuadriláteros realizada.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (coordinación visomotora, constancia

perceptual, percepción de la posición espacial y discriminación visual); de

comunicación (escucha, lectura, interpretación y diálogo entre pares y con el docente);

de dibujo y construcción (representación y construcción sobre la base de datos dados);

lógicas o de razonamiento (argumentación, clasificación de objetos geométricos por sus

atributos abstracción de propiedades, comparación de conceptos y propiedades).

6. Modelo 6. Origami o Papiroflexia: Modelos sin corte de papel, Con cortes de

papel, Con apoyo de materiales adicionales, Multi-capas, Multi-hoja,

Desarrollados partir de módulos, Decorados, Con técnica de encorvado.

La actividad considerada en tangram también involucra la técnica del origami.

Página 35

Objetos del entorno real: Entornos natural, artificial y artístico.

Actividad 6: “La Geometría nos rodea”


Ubicado en pequeños grupos de 2 o 3 personas, recorre distintos ámbitos escolares y

toma fotografías de ellos. Puedes tomar distintas fotografías de un mismo objeto desde

diferentes lugares.

Momento 6.2: A trabajar sobre ellas

a. Describe, desde el punto de vista geométrico, las fotografías tomadas.

b. Fundamenta en base a tus conocimientos la descripción anterior.

Habilidades abordadas en la actividad: Visuales (percepción figura-fondo,

discriminación visual, constancia perceptual, percepción de la posición espacial y de la

relación entre objetos); de comunicación (recolección e interpretación de información,

denominación); de dibujo y construcción (obtención de distintas vistas de un mismo

objeto); lógicas o de razonamiento (Argumentación, abstracción de propiedades); de

aplicación y transferencia (identificación de formas y relaciones geométricas en el

mundo natural y artificial, análisis de las formas n relación con el objeto en donde se

encuentran).

Página 36

Taller # 1 ( 40 puntos ) ( 10% )

Fecha de entrega: 17 de marzo de 2021

1. Haga un cuadro comparativo de las carencias en la enseñanza de la Geometría, con

la realidad vivida por usted como estudiante.

2. Justifique sus respuestas con vivencias o anécdotas.

3. Entregar el cuadro comparativo al profesor.

Evaluación

1. Puntualidad 3 puntos

2. Ortografía 3 puntos

3. Creatividad 4 puntos

4. Contenido ( Mínimo 5 páginas )

4.1. Letra arial 12

4.2. Doble espacio

Página 37

Tarea # 1 ( 40 puntos ) ( 13% )


1. Elaborar una planificación didáctica sobre un tema de Geometría plana

2. Elaborar material didáctico que sustente la planificación hecha por usted, para

la explicación del tema.

Evaluación



3. Creatividad y coherencia 8 puntos

4. Contenido (26 puntos )

4.1. Letra arial 12

4.2. Doble espacio

Página 38

Taller # 2 ( 40 puntos ) ( 10% )


Asignaciones.

1. Elabore un texto paralelo sobre cómo la aprenden Geometría los estudiantes y sobre

cómo deberían enseñarla los docentes.

2. Presente por escrito las principales ideas de dos de los principios presentados en el

módulo

Evaluación





4.1. Letra arial 12

4.2. Doble espacio

Página 39

Taller # 3 ( 40 puntos ) ( 10% )


Asignaciones.

1. Elabore un texto paralelo del desarrollo de habilidades específicas en la enseñanza de

la Geometría, según Hoffer.

2. Sustente su posición.

3. Entregar al profesor el texto paralelo.

Evaluación





4.1. Letra arial 12

4.2. Doble espacio

Página 40

Tarea # 2 ( 40 puntos ) ( 12% )

Fecha de entrega: 3 de abril de 2021

Asignación: Cada estudiante escogerá uno de los modelos del 1 al 6 y lo presentará

utilizando cualquier herramienta didáctica, debe usar su creatividad para la

confección de su modelo.

Evaluación




Página 41

Trabajo Final ( 100 puntos ) ( 35% )

Fecha de entrega: 6 de abril de 2021

Utilizando el software geométrico CABRI GEOMETRA o GEOGEBRA, diseña actividades

donde el estudiante pueda manipular, dibujar, hacer conjeturas sobre temas de Geometría que

presenta el Programa de Matemática del Nivel Medio. ( Mínimo 20 páginas de contenido ).

A continuación te presento un ejemplo para que elabores tu trabajo final, sea creativo y

objetivo al diseñar su trabajo.

Evaluación





4.1. Letra arial 12

4.2. Doble espacio

Página 42

La ventana de CABRI GEOMETRA

Barra de Menú

Barra de Herramientas

Describiremos brevemente cada elemento.

BarradeMenú:

contiene los menús comunes del interfase gráfico de usuarios para la

gestión y edición de archivos, así como las opciones de CABRI II.

Archivo:

Órdenes para abrir, cerrar, guardar o imprimir construcciones.

Edición:

Órdenes para seleccionar o copiar objetos, actualizar la ventana de diseño o

reproducir construcciones.

Opciones:

Órdenes para configuraciones de menú, mostrar / ocultar atributos, preferencias.

Ayuda:

Opciones de ayuda.

Página 43

Barra de Herramientas: contiene las herramientas que permiten generar construcciones. En

total hay 11 cuadros de herramientas y para acceder a uno de ellos debes mantener pulsado

el botón izquierdo del ratón sobre el icono respectivo.

Puntero: herramienta de selección o transformación a mano alzada.

Ver: herramienta para incluir anotaciones en las construcciones o animar.

Medir: herramienta para medidas o cálculos.

Comprobar propiedades: herramienta para comprobar propiedades

Macro: herramienta para crear macros.

Transformar: herramienta geometría de transformaciones

Construir: herramienta para construcciones de geometría euclidiana.

Curvas: herramienta para construir circunferencias, arcos o cónicas.

Rectas: herramienta para construir objetos lineales.

Puntos: herramienta para construir puntos.

Página 44

Herramientas que contiene cada cuadro de herramientas

Dibujo: herramienta para cambiar el aspecto de los objetos.

Página 45

TALLER

CONSTRUYENDO CONCEPTOS GEOMÉTRICOS CON EL CABRI –

GEOMETRA

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

1. CONSTRUIR Y NOMBRAR PUNTOS.

1.1. Desde la barra de herramientas selecciones PUNTO.

1.2. Mueva el cursor a cualquier localización del plano y haga Click, inmediatamente escribe

el nombre del punto. ( A, B, C ).

1.3. Repite este proceso para construir cinco puntos con sus respectivos nombres.

1.4. Utilizando PUNTERO mueve los puntos de una posición a otra en el plano.

Observación: si se te olvida nombrar un punto, selecciona ETIQUETA de la barra de

herramientas, mueve el cursor cerca del punto y cuando aparezca el mensaje “este punto”

haga Click, inmediatamente aparecerá un rectángulo. Escribe entonces el nombre que deseas

darle al punto.

1.5. Limpie la pantalla, para esto puede elegir cualquiera de las siguientes opciones:

1.5.1. Haga Click en EDICIÓN y después en SELECCIONAR TODO, luego presione la

tecla DELETE o SUPR.

1.5.2. Presiona y mantén la tecla CTRL. Y escriba A, luego presiona la tecla DELTE o

SUPR.

2. CONSTRUCCIÓN DE UNA RECTA.

2.1. Selecciona RECTA.

2.2. Haga click para crear un punto de la recta.

Página 46

2.3. Mueva el cursor a otra posición del plano, por donde desea que pase la recta y haga

Click. De esta manera queda construida una recta.

2.4. Nombra esta recta r.

2.5. Utilizando PUNTERO señale un punto de la recta y mueva ese punto. ¿Qué observa

usted?. _

2.6. Utilizando PUNTERO señale otro punto cualquiera de la recta y mueva la recta. ¿Qué

observa usted?.

2.7. Limpie la pantalla.

3. CONSTRUCCIÓN Y MEDIDAS DE SEGMENTOS.

3.1. Construya segmentos en el plano. Para ello, utilizando SEGMENTO haga clic para

crear el extremo inicial del segmento, inmediatamente nombre el punto. Seguidamente

mueva el cursor a la posición del extremo final, haga clic y nombre el punto. Repita

este proceso varias veces.

3.2. Construya un segmento y nómbrelo AB.

3.3. Utilizando PUNTERO mueve un extremo del segmento. ¿Qué observa usted?.

3.4.Utilizando PUNTERO señala una parte del segmento y muévelo.¿Qué observa usted?. _


3.6. Construya cinco segmentos de distintos tamaños y en diferentes posiciones, nómbrelos.

3.7. Utilice DISTANCIA Y LONGITUD para medir los segmentos, esto lo puede hacer de

dos formas:

3.7.1. Haga clic sobre el punto inicial y luego otro clic sobre el extremo final o,

3.7.2. Señale con el cursor una parte del segmento y haga clic cuando aparezca el mensaje.


Página 47

4. ELIMINAR OBJETOS DE LA PANTALLA.

4.1. Construye tres puntos en el plano, nómbralos M; N, R.

4.2. Construye una recta r.

4.3. Construye los segmentos AB, CD y EF.

4.4. Selecciona PUNTERO y haga clic sobre el punto B, cuando empiece a parpadear

presiona la tecla DELETE o SUPR.

4.5. Haga clic sobre el segmento CD, cuando empiece a parpadear presione la tecla

DELETE o SUPR.

5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.

5.1. Selecciona TRIÁNGULO.

5.2. Haga clic para marcar un punto, llámelo A, mueva el cursor, haga clic y marque el

segundo punto llámelo B, mueva el cursor y haga nuevamente clic para marcar el tercer

punto, llámelo C. De esta manera queda construido el triángulo ABC.

5.3. Utilizando PUNTERO mueva un punto del triángulo. ¿Qué observas?.

5.4. Utilizando PUNTERO señala un lado del triángulo y muévelo. ¿Qué observas?.

6. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS.

6.1. Selecciona POLÍGONO.

6.2. Haga clic para crear un vértice del polígono.

6.3. Haga tantos clic como lados quiere que tenga el polígono. Para cerrar el polígono haga

doble clic en el último punto.

Página 48

7. CONSTRUCCIÓN DE CIRCUNFERENCIAS.

7.1. Selecciona CIRCUNFERENCIA.

7.2. Haga clic para marcar el centro de la circunferencia, nómbrelo C.

7.3. Mueva el cursor para determinar la longitud del radio, luego haga clic.

Es hora de resolver la ACTIVIDAD Nº 1.

8. CONSTRUCCIÓN DE PERPENDICULARES.

8.1. Construye una recta llámala r.

8.2. Marca un punto P fuera de la recta r.

8.3. Usando RECTA PERPENDICULAR haga clic sobre la recta r y luego haga clic sobre

el punto P. De esta manera queda construida la perpendicular a la recta r que pasa por el

punto P.

8.4. Limpia la pantalla.

9. CONSTRUCCIÓN DE PARALELAS.

9.1. Construye una recta llámala t.

9.2. Marca un punto P fuera de la recta t.

9.3. Usando RECTA PARALELA haga clic sobre la recta t y luego haga clic sobre él punto

P. De esta manera queda construida la paralela a la recta t que pasa por él punto P.

10. CONSTRUCCIÓN DE MEDIATRICES.

10.1. Construye un segmento AB.

Página 49

10.2. Usando MEDIATRIZ haga clic sobre el segmento AB, de esta manera queda construida

la mediatriz del segmento AB.

11. CONSTRUIR, NOMBRAR Y MEDIR UN ÁNGULO.

11.1. En la barra de herramientas selecciona SEMIRRECTA.

11.2. Haga clic en cualquier parte del plano y nombre el punto O, luego mueve el cursor a

otra posición y haga nuevamente clic.

11.3. Haga nuevamente clic sobre el punto O y luego mueva el cursor a otra posición y haga

clic, de esta manera queda construido el ángulo.

11.4. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO marca un punto sobre cada uno de los lados del

ángulo, llámalos A y B respectivamente.

11.5. Repite los pasos anteriores varias veces.


11.7. Construye un ángulo y llámalo MON.

11.8. Utilizando ANGULO haga clic en el punto M, luego clic en el vértice O y por último

clic en el punto N, de esta manera se determina la medida del ángulo MON.


12. Utilizando SEMIRRECTA construye tres semirrectas distintas con el mismo origen.

12.1. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO construye en cada semirrecta un punto.

12.2. Utilizando ETIQUETA, denota sucesivamente cada punto sobre las semirrectas con

las letras A, B, C. El origen común denótalo con la letra O.

12.3. Mida la amplitud de los ángulos AOB y BOC.

12.4. Mida ahora la amplitud del ángulo AOC. ¿Qué observas?.

Página 50

12.5. ¿Puedes sugerir una conclusión?.

13. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.

El comando BISECTRIZ permite construir la bisectriz de un ángulo determinado por tres

puntos. El segundo punto define el vértice del ángulo a través del cual la bisectriz pasa.

13.1. Construye un ángulo AOB.

13.2. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO marca los puntos A y B respectivamente sobre

cada semirrecta.

13.3. Selecciona BISECTRIZ y haga clic sobre los puntos A, O, B. El segundo punto

seleccionado debe ser el vértice del ángulo.

13.4. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO marca el punto C sobre la bisectriz.

13.5. Utilizando ÁNGULO mide la amplitud de los ángulos AOC y COB. ¿Qué observas?.


Es hora de resolver la ACTIVIDAD Nº 2

14. En esta actividad podrá investigar la relación entre los segmentos especiales en

triángulos: bisectriz, mediana y altura.

14.1. Construya un triángulo ABC.

14.2. Usando BISECTRIZ, biseque uno de los ángulos del triángulo.

14.3. Construya el punto de intersección de la recta bisectriz y el lado opuesto del ángulo

bisecado.

14.4. Oculte la recta bisectriz, para esto use OCULTAR / MOSTRAR.

Página 51

14.5. Construya el segmento desde el vértice del lado opuesto hasta el punto de intersección

sobre el lado opuesto.

14.6. Utilizando ÁNGULO mida ambos ángulos del ángulo bisecado.

14.7. Utilizando DISTANCIA Y LONGITUD mida ambos segmentos del lado opuesto al

ángulo bisecado. Utilizando PUNTERO coloque los números en lugares apropiados.

14.8. Utilizando PUNTERO mueva los vértices del triángulo. Observe el movimiento de la

bisectriz.

14.9. ¿La bisectriz siempre biseca el ángulo del triángulo?. ________________.

14.10. . ¿La bisectriz siempre biseca el lado opuesto del ángulo?. _____________.

14.11. Usando PUNTO MEDIO construya el punto medio del lado opuesto al ángulo

bisecado.

14.12. Construya el segmento desde el vértice del ángulo bisecado al punto medio. Este

segmento es la mediana. Marque en rojo este segmento, use COLOR para esto.

14.13. Utilizando DISTANCIA Y LONGITUD mida los otros dos lados del triángulo.

Mueva las medidas a un lugar apropiado.

14.14. Use PUNTERO para mover los vértices del triángulo. ¿Bajo qué condiciones la

bisectriz y la mediana coinciden? _______________________________________.

14.15. Utilizando RECTA PERPENDICULAR construya una recta desde el vértice del

ángulo bisecado que sea perpendicular al lado opuesto. Construya el segmento desde el

vértice del ángulo bisecado hasta la intersección de la perpendicular y el lado opuesto. Esta

es la altura. Pinte de verde este segmento.

14.16. Use PUNTERO para mover los vértices del triángulo, a medida que usted cambia la

forma del triángulo, uno de los segmentos siempre se encuentra sobre o entre los otros dos,

¿cuál es este segmento?. ____________________.

Página 52


15. Construya el triángulo ABC.

15.1. Construya las medianas AX, BY y CZ del triángulo.

15.2. Usando PUNTERO mueva los vértices. ¿En cuántos puntos se cortan las medianas?

15.3. Llama N a la intersección de las medianas y mide los segmentos AN y NX ; BN y

NY ; CN y NZ.

15.4. Mueve los puntos A, B y C. ¿Qué pasa con las medidas?. __________________


Es hora de desarrollar las ACTIVIDADES PARA DESCUBRIR.

16. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

16.1. Utilizando CIRCUNFERENCIA construya una circunferencia.

16.2. Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO construya cinco puntos sobre la circunferencia.

16.3. Utilizando SEGMENTO construya los radios que van del centro de la circunferencia a

cada uno de los puntos recién construidos.

16.4. Utilizando DISTANCIA Y LONGITUD determina la distancia del centro de la

circunferencia a cada uno de los puntos marcados sobre la circunferencia.

16.5. ¿Qué observa usted?. ¿Puede sugerir una definición de la circunferencia?

________________________________________________________________________.

17. TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA.

Una recta puede intersecar una circunferencia en cero, uno o dos puntos. Una recta que

Página 53

interseque a una circunferencia en exactamente un punto se llama tangente a la

circunferencia. El punto de intersección se llama punto de tangencia. Una recta que

interseque a una circunferencia en dos puntos se llama secante a la circunferencia.

17.1. Construye una circunferencia. Usa CIRCUNFERENCIA.

17.2. Usando PUNTO SOBRE OBJETO construye dos puntos sobre la circunferencia

17.3. Usando ETIQUETA denomina el centro de la circunferencia con la letra A y los puntos

sobre la circunferencia con las letras B y C respectivamente.

17.4. Usa SEGMENTO para construir el segmento AB, radio de la circunferencia.

17.5. Usa RECTA y construye la secante BC, para ello primero haga clic en el punto B y

luego en el punto C.

17.6. Mida el ángulo ABC, use ANGULO.

17.7. Use PUNTERO para mover el punto C sobre la circunferencia en dirección al punto B.

17.8. ¿Qué observas en relación al ángulo ABC cuando el punto B se aproxima al punto C?.

________________________________________.

17.9. ¿Cuál es la medida del ángulo ABC cuando el punto B está justo sobre el punto C?.

______. En esta situación la recta interseca a la circunferencia en un solo punto, es

decir es tangente a la circunferencia.

17.10. ¿Cuál es la relación entre una tangente y el radio en el punto de tangencia?

18. CIRCUNFERENCIA INSCRITA.

Si una circunferencia es tangente a los tres lados de un triángulo, entonces decimos que

la circunferencia está inscrita en el triángulo y que el triángulo está circunscrito a la

circunferencia.

18.1. Construye un triángulo ABC.

Página 54

18.2. Usa BISECTRIZ y construye las bisectrices de los ángulos A, B, C. ¿Qué observas?.

18.3. Usa PUNTERO y mueve cada uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?.

18.4. Marca la intersección de las tres bisectrices y llámalo P.

18.5. Oculta las bisectrices.

18.6. Determina la distancia del punto P a cada uno de los lados del triángulo, para ello utiliza

RECTA PERPENDICULAR construye las perpendiculares desde el punto P a cada lado del

triángulo.

18.7. Usa PUNTO DE INTERSECCIÓN y marca la intersección de estas perpendiculares y

los lados del triángulo. Oculta las perpendiculares. Usa SEGMENTO para construir los

segmentos que tienen por extremo a P y los pies de las perpendiculares desde P a los lados

del triángulo. ¿Qué observas?.

18.8. Usa PUNTERO y mueve uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?. Sugiere

una conjetura. __________________________________________.

18.9. Usando COMPAS construye la circunferencia de centro P y radio igual a la distancia

de P a los lados del triángulo. Para ello haga clic sobre uno de los radios y luego sobre

P. La circunferencia construida está inscrita en el triángulo.

19. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.

Si una circunferencia pasa por los tres vértices de un triángulo, entonces decimos que

la circunferencia está circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la

circunferencia.

19.1. Construye u7n triángulo ABC.

19.2. Construye las mediatrices de los lados del triángulo. ¿Qué observas?. Sugiere una

conjetura. ___________________________________________________.

19.3. Usa PUNTO DE INTERSECCIÓN y marca la intersección de las mediatrices,

llámalo P.

Página 55

19.4. Usa SEGMENTO para construir los segmentos que van de P a los vértices del

triángulo y usando DISTANCIA Y LONGITUD determina la distancia del punto P

a cada uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?. __________________.

19.5. Usa PUNTERO y mueve uno de los vértices del triángulo. ¿Qué observas?.

19.6. Usa COMPÁS y construye la circunferencia de centro P y radio igual a PA. Para

ello haga clic sobre el segmento PA y luego sobre el punto P. La circunferencia

construida está circunscrita al triángulo.

20. ÁNGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA.

20.1. Usa CIRCUNFERENCIA y construye la circunferencia de centro O.

20.2. Construye un diámetro de la circunferencia, para ello utiliza RECTA haciendo clic

en O y después en un punto cualquiera. Use PUNTO DE INTERSECCIÓN para

construir los puntos de intersección de la circunferencia y la recta. Oculte la recta.

Use SEGMENTO y construya el segmento que une los puntos de intersección. Este

es un diámetro de la circunferencia. Llama los extremos A y B.

20.3. Usa PUNTO SOBRE OBJETO y construye un punto sobre la circunferencia,

llámelo P.

20.4. Usando SEGMENTO construya los segmentos PA y PB.

20.5. Usando ÁNGULO mida el ángulo APB. ¿Qué observas?. _________________.

20.6. Usando PUNTERO mueve el punto P. ¿Qué observas?. Sugiere una conjetura.

Resuelva las actividades para reflexionar.

CREACIÓN DE MACROS

21. En muchas ocasiones mientras se estudia o se investiga una propiedad geométrica se

requiere realizar construcciones más simples y que son usadas con cierta frecuencia. En

tales ocasiones es muy apropiado ( entre otras razones porque se ahorra tiempo ) disponer

de un comando que permita construir la figura simple requerida. El programa CABRI provee

Página 56

de facilidades al usuario para que pueda crear sus propios comandos según sus necesidades.

Estos comandos se denominan en términos generales MACROS.

21.1. Creación de una macro para construir un cuadrado sobre un segmento o sobre los lados

de un polígono.

21.2. Utilizando SEGMENTO construya un segmento.

21.3. Usa RECTA PERPENDICULAR y construya una perpendicular en cada extremo del

segmento.

21.4. Use COMPÁS y construya una circunferencia con centro en un extremo del segmento y

con radio igual a la longitud del segmento.

21.5. Marque la intersección de la circunferencia con la recta perpendicular.

21.6. Usando RECTA PERPENDICULAR construya otra perpendicular a través de la intersección

de la circunferencia y la perpendicular, marque el punto de intersección.

21.7. Conecte los cuatro vértices del cuadrado usando POLÍGONO.

21.8. Seleccione OBJETOS INICIALES en el menú macro y entonces selecciones el segmento

original del dibujo. Selecciones OBJETOS FINALES en el menú macro y entonces seleccione

el polígono cuadrado. Selecciones DEFINIR MACRO. NOMBRE SU MACRO COMO

CUADRADO, HAGA CLIC EN LA CAJA ok.

21.9. Pruebe su macro, para ello limpie la pantalla y utilizando SEGMENTO construya un

segmento, seleccione su macro cuadrado y haga clic sobre el segmento.

TRABAJA CON LAS ACTIVIDADES DE MACRO Y APRENDE REPASANDO

ACTIVIDAD Nº 1

1. Construye dos rectas que se corten o intersequen, llámalas r y t respectivamente.

1.1.Construye un punto sobre la recta r y nómbralo A. Para ello selecciona PUNTO

SOBRE OBJETO, mueve el cursor hacia la recta r hasta que aparezca el mensaje

alusivo y entonces haga clic.

1.2.Construye el punto de intersección de las dos rectas y nómbralo I. Para ello selecciona

PUNTO DE INTERSECCIÓN. Señala el punto de intersección con el cursor y

cuando aparezca el mensaje haga clic.

Página 57

1.3.Utilizando puntero trate de mover todos los puntos que aparezcan en el plano. ¿Qué

observa usted?. _______________________________________________.

1.4.Limpia la pantalla.

2. Construye un segmento y nómbralo AB.

2.1.Utilizando PUNTO SOBRE OBJETO construye un punto C sobre el segmento AB.

2.2.Mida la longitud del segmento AC y CB utilizando DISTANCIA Y LONGITUD.

2.3.Mida la longitud del segmento AB.

2.4.Usando PUNTERO coloca las medidas adecuadamente sobre cada segmento.

2.5.Usando PUNTERO mueve el punto C sobre el segmento AB. ¿Qué observas?.

___________________________________________________

¿Puedes sugerir una conclusión. __________________________________

2.6.¿En qué situación el segmento AC es igual al segmento CB?. _________________


3. Construye un segmento y nómbralo CD.

3.1.Construye el punto medio del segmento CD y nómbralo M. Para ello selecciona

PUNTO MEDIO y haga clic sobre el segmento o haga clic en cada uno de los

extremos del segmento.

3.2.Usando DISTANCIA Y LONGITUD mide los segmentos CM y MD. ¿Qué

observas?. ____________________________________________________.

3.3.Usando PUNTERO mueve el punto D. ¿Qué observas?. _____________________

3.4.¿Qué puedes decir del segmento CM con relación al segmento CD?. ___________.


ACTIVIDAD Nº 2

1. Construye una perpendicular a la recta m, por un punto R sobre la recta m.


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2. Construye un triángulo ABC.

2.1. Construye un punto P exterior al triángulo ABC.

2.2. Construye una paralela al lado AB que pase por el punto P.


3. Construye una recta s y un punto P fuera de s.

3.1. Construye una recta t perpendicular a s que pase por P.

3.2. Marca la intersección de las rectas s y t, llámala I.

3.3. Mide los ángulos que se forman al cortarse las dos rectas.

3.4. ¿Puedes sugerir una conclusión?. __________________________________.


4. Construye el segmento AB.

4.1. Construye un punto C exterior a AB.

4.2. Construye la recta paralela a AB que pase por C.

4.3. Traza la recta AC, llámala r.

4.4. Construye una recta paralela a r que pase por B.

4.5. Marca el punto de intersección entre las rectas que son paralelas a AB y a r.

4.6. Llama D al punto de intersección.

4.7. Construye el paralelogramo ABCD. Utiliza SEGMENTO.

4.8. Oculta las rectas que construiste, para ello usa OCULTAR / MOSTRAR.

4.9. Marca el ángulo CAB.

4.10. Mide el ángulo CAB.

4.11. Marca los ángulos restantes y mídelos.

4.12. Mide los segmentos AB, BD, DC y AC.

4.13. Usando PUNTERO mueve los puntos A y B. ¿Qué observas?.

_______________________________________________________________.


5. En la siguiente actividad vas a encontrar algunas propiedades de la figura que se

forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos en un cuadrilátero.

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5.1. Usando POLÍGONO construye un cuadrilátero.

5.2. Usando PUNTO MEDIO construye el punto medio de cada lado del cuadrilátero.

5.3. Usando SEGMENTO une los puntos medios de los lados consecutivos del

cuadrilátero.

5.4. Usando DISTANCIA Y LONGITUD mide estos segmentos.

5.5. ¿Qué puedes decir de los lados opuestos de la figura formada?:

______________________________________________________________.

5.6. Usa PUNTERO para mover los vértices los vértices del cuadrilátero. Observa la

medida de los lados opuestos. ¿Qué ocurre?. _____________________________.

5.7. Escribe una propiedad de la figura que se formó.

___________________________________________________________________

5.8. Usa PUNTERO y borra las medidas de los lados del paralelogramo.

5.9. Traza una diagonal en el paralelogramo. ¿Cuántos triángulos se forman?. ________

5.10. Usando DISTANCIA Y LONGITUD mide los lados de los triángulos. ¿Qué

puedes decir de ellos?. _____________________________________.

Generaliza sobre la diagonal de un paralelogramo.

ACTIVIDADES PARA DESCUBRIR

❖ Ángulo recto: es aquel cuya amplitud es de 90º.

❖ Ángulo obtuso: es aquel cuya amplitud es mayor de 90º pero menor de 180º.

❖ Ángulo agudo: es aquel cuya amplitud es menor de 90º.


1.1. Mide todos los ángulos del triángulo ABC.

1.2. Investiga la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC a la vez que mueves

los vértices.

1.3. Investiga el número de ángulos obtusos que puede tener un triángulo. __________.

1.4. Investiga el número de ángulos agudos que puede tener un triángulo. __________.

1.5. Investiga el número de ángulos rectos que puede tener un triángulo. __________.


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2. Construye el segmento AB.

2.1. Construye una recta perpendicular al segmento AB a través de B.

2.2. Construye el punto C sobre la recta perpendicular.

2.3. Construye el segmento BC.

2.4. Construye el segmento AC.

2.5. Oculta la recta perpendicular.

2.6. Construye el punto medio de AC, nómbrelo D.

2.7. Mida las distancias desde D a cada vértice. ¿Qué ocurre?. __________________.


Propiedad de las alturas de un triángulo.

Definición: la altura correspondiente a un lado es el segmento perpendicular a la recta

que contiene a ese lado, trazado desde el vértice opuesto.

Actividad: verificar que las tres rectas que contienen a las alturas de cualquier triángulo,

se cortan en un punto. A este punto se le llama ortocentro.

3. Construya un triángulo cualquiera, llámelo ABC.

3.1. Usando RECTA PERPENDICULAR construya las tres alturas del triángulo y

llámelas: hC, hA, hB.

3.2. Marque el punto de intersección de las tres alturas, para ello use PUNTO DE

INTERSECCIÓN, llámelo O.

3.3. Verifique que el punto O pertenece a las tres alturas, para esto use PERTENECE.

3.4. Utilizando ÁNGULO obtenga la medida de los ángulos interiores del triángulo.

3.5. Usando PUNTERO mueva cualquiera de los vértices del triángulo y observe lo que

sucede con el punto O. Use esta visualización para contestar las siguientes preguntas:

¿El punto O se encuentra siempre en el exterior del triángulo?. ¿Cómo es el triángulo

cuando se encuentra el punto O en el exterior del triángulo?. ¿Cuándo se encuentra

en el interior del triángulo?. ¿En algún caso O coincide con algún vértice del

triángulo?. ¿Cómo es el triángulo es ese caso?.

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Propiedad de las medianas y del baricentro de un triángulo

Definición: las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice con el

punto medio del lado opuesto.

Actividad: verificar que las tres medianas de cualquier triángulo se cortan en un punto

llamado baricentro y que la distancia del baricentro a cada vértice es el doble de la distancia

del baricentro al punto medio del lado opuesto.

4. Construya un triángulo cualquiera, llámelo ABC.

4.1. Marque el punto medio de cada lado del triángulo, para esto use PUNTO MEDIO,

llámelos de la siguiente forma: M el opuesto al ángulo A, N el opuesto al ángulo B

y P el opuesto al ángulo C.

4.2. Usando SEGMENTO trace las medianas AM, NB y PC.

4.3. Marque el punto de intersección de las tres medianas, para ello use PUNTO DE

INTERSECCIÓN, llámelo Q.

4.4. Verifique que el punto Q pertenece a las tres medianas, para esto use PERTENECE.

4.5. Usando PUNTERO mueva cualquiera de los vértices del triángulo y observe lo que

sucede con la posición del punto Q. ¿El punto Q se encuentra siempre en el interior

del triángulo?. __________.

4.6. Utilice DISTANCIA Y LONGITUD y mida la distancia entre los puntos M y Q y

entre Q y A. ¿Qué relación observa entre las medidas halladas?.

4.7. Repite el procedimiento realizado en el paso 4.6. con las otras medianas NB y PC.

¿Qué conclusión puedes obtener?. _____________________________________.

ACTIVIDADES PARA REFLEXIONAR

1. En esta actividad, usted aprenderá a construir una circunferencia inscrita en un triángulo.

Una circunferencia está inscrita en un triángulo cuando es tangente a cada lado del

triángulo.

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1.1. Construye un triángulo.

1.2. Construya una circunferencia. Use PUNTERO para mover el centro y ajustar el

tamaño de la circunferencia de manera tal que la circunferencia quede inscrita en el

triángulo. Cambie la forma del triángulo y entonces inscriba la circunferencia otra

vez. Sólo con suerte la circunferencia que usted hizo es tangente a cada lado del

triángulo. Usted necesita encontrar una construcción exacta que automáticamente se

ajuste a los cambios del triángulo. El primer paso para lograr esta construcción es

inscribir la circunferencia en un ángulo más bien que en un triángulo.


1.4. Construya un ángulo. Use SEMIRRECTA para esto.

1.5. Construya cuatro circunferencias de diferentes tamaños. El radio puede medir entre

1 cm a 5 cm.

1.6. Use PUNTERO para mover los centros y ajustar los tamaños de las circunferencias

de manera tal que queden inscritas en el ángulo.

1.7. Oculte las circunferencias pero no sus centros utilizando OCULTAR / MOSTRAR.

¿Qué observa en relación a los centros de las circunferencias inscritas?.

1.8. Construye un rayo con SEMIRRECTA con su punto extremo en el vértice del ángulo

y que pase a través de los centros de las cuatro circunferencias. Usando ÁNGULO

mide los ángulos formados por los tres rayos. ¿Qué puedes decir en relación al rayo

que contiene los centros de las circunferencias circunscritas? _____.

1.9. ¿Cómo podría usted encontrar un punto para el centro de una circunferencia que sea

tangente a dos lados ( de un ángulo ), de un triángulo.?

1.10. ¿Cómo podría usted encontrar el punto para el centro de una circunferencia

inscrita en un triángulo?. _____________________________

1.11. Trate de construir una circunferencia inscrita en un triángulo usando la

respuesta anterior. ¿Qué otra información necesita para que sea posible construir la

circunferencia.. ______________________________________________.

Encontrando el centro de la circunferencia inscrita, aún no se ha completado la

construcción, usted necesita definir el radio. Use el hecho de que una tangente a una

circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.

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2. Construye una circunferencia.

2.1. Construye una cuerda de la circunferencia, usando SEGMENTO haga clic sobre la

circunferencia dos veces en posiciones diferentes.

2.2. Construye una perpendicular desde la circunferencia a la cuerda.

2.3. Marca el punto de intersección de la cuerda y la perpendicular a ella.

2.4. Mide las distancias del punto de intersección a los extremos de la cuerda. ¿Qué

observas?. _______________________________________________

2.5. Usa PUNTERO y mueve uno de los extremos de la cuerda. ¿Qué observas?. Sugiere

una conjetura. ___________________________________________.


3.1. Construye una cuerda de la circunferencia.

3.2. Construye el punto medio de la cuerda.

3.3. Usando SEGMENTO construye el segmento que va del centro de la circunferencia

al punto medio de la cuerda.

3.4. Usa ÁNGULO y mide el ángulo entre el segmento recién construido y la cuerda.

¿Qué observas?. ________________________________________.

3.5. Usa PUNTERO y mueve uno de los extremos de la cuerda. ¿Qué observas? Sugiere

una conjetura. ______________________________________________.


4.1. Construye una cuerda de la circunferencia.

4.2. Usando MEDIATRIZ construye la perpendicular bisectriz de la cuerda. ¿Qué

observas con relación a por donde pasa la perpendicular bisectriz.

4.3. Construye otras dos cuerdas y repite lo anterior. Sugiere una conjetura.

________________________________________________________.

5. Investiga en que tipo de triángulo el circuncentro, ortocentro y baricentro coinciden.

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6. Trazar la circunferencia que pase por tres puntos no alineados A, B y C.

ACTIVIDADES DE MACRO

1. Utilizando SEGMENTO construye un segmento.

1.1. Usa COMPÁS y construye una circunferencia con centro en un extremo del

segmento y con radio igual a la longitud del segmento. Repite esta construcción pero

para una circunferencia con centro en el otro extremo del segmento.

1.2. Utilizando TRIÁNGULO conecte los dos extremos del segmento u uno de los

puntos de intersección de las dos circunferencias.

1.3. Seleccione OBJETO INICIAL en el menú macro y entonces selecciones el

segmento original en el dibujo. Seleccione OBJETO FINAL en el menú de macro y

entonces seleccione el polígono triángulo . Seleccione DEFINA MACRO y nombre

su macro triángulo. Haga cilc en la caja ok.

1.4. Pruebe su macro. Para ello, limpie la pantalla y construya un segmento, seleccione

su macro triángulo y haga clic sobre el segmento.

2. Construya un triángulo rectángulo. Para ello use SEGMENTO y construya un

segmento. Usando RECTA PERPENDICULAR construya una perpendicular en un

extremo del segmento. Use PUNTO SOBRE OBJETO y construya un punto sobre la

perpendicular al segmento, use MOSTRAR / OCULTAR para ocultar la

perpendicular. Usando TRIÁNGULO conecte los extremos del segmento y el punto

construido sobre la perpendicular.

2.1. Utilizando la macro cuadrado construya los cuadrados externos a los tres lados del

triángulo rectángulo.

2.2. Coloree los cuadrados, para ello seleccione el comando RELLENAR y seleccione

un color de la paleta de colores y luego haga clic sobre los cuadrados que están

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construidos sobre los catetos, vuelva a seleccionar otro color de la paleta y haga clic

cobre el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

2.3. Utilizando el comando ÁREA calcule el área de los cuadrados, para ello haga clic

sobre cada cuadrado.

2.4. Compara el área del cuadrado sobre la hipotenusa con la suma de las áreas de los

cuadrados sobre los catetos del triángulo rectángulo.

2.5. Prueba este teorema con la macro triángulo.

2.6. ¿Qué observas?.

APRENDE REPASANDO

1. Construir un triángulo isósceles cuyo lado no congruente ( base ) mida 7.4 cm y cuya altura

mida 4.2 cm. Marcar y medir sus ángulos. Obtener su perímetro. Determinar su área. Medir

sus lados congruentes. Modificar la medida de la base (observe como se modifica el

triángulo y todas las medidas calculadas ).

1.1. Selecciona COMENTERIOS, haga clic sobre una esquina de la pantalla y escribe la

base mide:

1.2. Selecciona EDICIÓN NUMÉRICA, haga clic al lado del comentario recién escrito

y escriba el número 7.4 ( medida de la base ). Repita estos mismos pasos para escribir

La altura mide: y a continuación el número 4.2.

1.3. Dibuja una semirrecta, para ello usa SEMIRRECTA. Para transportar la medida de

la base sobre esa semirrecta selecciona TRANSFERENCIA DE MEDIDAS, haga

clic sobre 7.4, luego sobre el origen de la semirrecta y por último sobre la semirrecta.

Obtendrás un punto situado a 7.4 cm del origen de la semirrecta.

1.4. Traza el segmento AB que une el origen de la semirrecta y el punto recién obtenido,

este segmento es la base del triángulo.

1.5. Traza la altura, usa MEDIATRIZ para encontrar la mediatriz del segmento AB.

1.6. Marca el punto de intersección M entre el segmento y la mediatriz.

1.7. Transfiera la medida de la altura ( como hizo anteriormente ) a partir del punto M (

en cualquier dirección ), obtendrás el punto S.

1.8. Traza la circunferencia con centro en M y que pase por S.

Página 66

1.9. Obtenga el punto de intersección C entre la circunferencia y la mediatriz.

1.10. Trace el segmento MC ( altura ).

1.11. Una los puntos A, B, C usando TRIÁNGULO.

1.12. Oculta todos los elementos que usaste para construir el triángulo.

1.13. Marca los ángulos usando MARCA DE ÁNGULO.

1.14. Mide los ángulos.

1.15. Para obtener el perímetro selecciona DISTANCIA Y LONGITUD, haga clic

sobre el triángulo, cuando aparezca el número que representa el perímetro agrega la

leyenda Perímetro:

1.16. Para obtener el área selecciona ÁREA, haga clic sobre el triángulo, cuando

aparezca el número que representa el área agrega la leyenda Área:

1.17. Para medir los lados marca primero los segmentos y luego con la herramienta

DISTANCIA Y LONGITUD mida dichos segmentos.

1.18. Para cambiar la medida de la base haga clic sobre el número 7.4 y luego con

las flechas modifique el número.

2. Propiedad del triángulo con un lado igual al diámetro y vértice en la circunferencia.

2.1. Construye una circunferencia.

2.2. Construye una recta que pase por el centro de la circunferencia.

2.3. Marca los puntos de intersección, llámalos A y B respectivamente.

2.4. Usando PUNTO SOBRE OBJETO marca el punto C sobre la circunferencia.

2.5. Usando TRIÁNGULO construye uno que tenga como vértices los puntos de

intersección entre la recta y la circunferencia y el punto C de la circunferencia.

2.6. Mide el ángulo ACB. ¿Qué observas?.

2.7. Usa PUNTERO y mueve el punto C sobre la circunferencia. ¿Qué observas?.


3.1. Construye la recta que contiene a la altura correspondiente al lado AB, usando

RECTA PERPENDICULAR, llama hc a esta recta.

3.2. Repite este procedimiento para construir las rectas perpendiculares que contienen a

las otras alturas y llama hb y ha a esta rectas.

Página 67

3.3. Verifica que estas tres rectas se cortan en un punto, para lo cual marca la intersección

de las tres rectas y llámalo O.

3.4. Para verificar que este punto está sobre cada una de la rectas, seleccione

PERTENECE, indique el punto O y luego la recta haciendo un clic aparecerá la

leyenda “ este punto está sobre el objeto”, lo cual corrobora que O es el punto de

intersección de las rectas ha, hb y hc.

3.5. Con ÁNGULO, mide los ángulos ABC, ACB y BAC.

3.6. Mueve con PUNTERO cualquiera de los tres vértices del triángulo y observa lo que

sucede con el punto O. Usa esta visualización que te permite el programa CABRI

para contestar las siguientes preguntas.

1. ¿El punto O se encuentra siempre en el exterior del triángulo? ________.

2. ¿Cómo es el triángulo cuando se encuentra el punto O en el exterior del

triángulo?. ______________________________.

3. ¿Cómo es el triángulo cuando se encuentra el punto O en el interior del

triángulo?. ______________________________.

4. ¿En algún caso O coincide con algún vértice del triángulo?. __________.

5. ¿Cómo es el triángulo en este caso?. _______________________.

4. Dado un segmento AB, una recta b no paralela a AB y dos puntos cualesquiera del

plano M y N. Construir:

a. La recta que pasa por M y paralela a b.

b. La recta que pasa por N y perpendicular a b.

c. NQ congruente a AB y paralelo a AB.

d. MP congruente a AB y paralelo a b.

5. CONSTRUCCIÓN DE MACROS.

5.1. Macro para el baricentro (punto de intersección de las tres medianas de un triángulo

).

5.2. Construya un triángulo.

5.3. Busque el punto medio de cada lado del triángulo, use PUNTO MEDIO.

5.4. Usando SEGMENTO construya las medianas del triángulo. ( unión del vértice con

el punto medio del lado opuesto ).

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5.5. Marque la intersección de las tres medianas, use PUNTO DE INTERSECCIÓN.

5.6. Seleccione OBJETO INICIAL en el menú macro y entonces seleccione el triángulo

en el dibujo. Seleccione OBJETO FINAL en el menú de macro y entonces seleccione

el punto de intersección de las tres medianas. Selecciones DEFINA MACROS.

Nombre su macro BARICENTRO. Haga clic en la caja ok.

5.7. Pruebe su macro, para ello limpie la pantalla y construya un triángulo, seleccione su

macro BARICENTRO y haga clic sobre el triángulo.

6. Atendiendo al caso anterior, construye una macro para:

1. El ortocentro. (punto de intersección de las tres alturas de un triángulo).

2. El circuncentro. (punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo).

3. El incentro. (punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo)

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Bibliografía

Dinora ... [et Al.] Azcárate Jiménez. Didáctica de la Geometría.

González, Javier Juan. Modelos geométricos para una mejor enseñanza de la Geometría

Stan, Hikary. La Geometría y los juegos

.

Documents

Módulo Instruccional Didáctica de la enseñanza de la