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1 Dinámica de Sistemas de Partículas:

formulaciones newtoniana y

lagrangiana

Ejercicio 1.1. Un barco con velocidad inicial v0 se ve frena-do por una fuerza de rozamiento F =−beαv . Se pide

1. describir su movimiento,2. hallar el tiempo que transcurre hasta que se para y la

distancia recorrida.

Ejercicio 1.2. Una partícula de masa m cae verticalmentedesde una altura h, en un medio viscoso, de tal forma quela fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Almismo tiempo se lanza hacia arriba una segunda partículaigual que la anterior con una velocidad v0 según el eje ver-tical. Calcular el tiempo que tardan en encontrarse las dospartículas.

Ejercicio 1.3. Una partícula de masa m se abandona sinvelocidad inicial. El medio opone a su movimiento una fuerzaF = mk2v2 siendo k una constante y v la velocidad. Trasrecorrer una altura h choca contra un plano no horizontalrebotando elásticamente. Hallar

1. la velocidad de la partícula al llegar al plano, el tiempoque tarda en ello y

2. el tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura tras elchoque.

Ejercicio 1.4. Una gota de agua cae en una atmósfera satu-rada de vapor de agua. Durante la caída el vapor se condensaen la gota, que aumenta así de tamaño y masa. Estudiar sumovimiento, aceptando la hipótesis de que el aumento demasa por unidad de tiempo es proporcional a la superficie.

Ejercicio 1.5. Demostrar que si un cohete parte del reposo,

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con una velocidad de salida de los gases de 2 km/s, y lapérdida de masa por segundo es constante e igual a 1/60 dela masa inicial, para que alcance la velocidad de escape larazón del peso del combustible al del cohete vacío debe serdel orden de 300.

Ejercicio 1.6. Una partícula de masa m se mueve bajo laacción del potencial V (x) = cx/(x2 + a2) donde a y c sonconstantes positivas. Encontrar las posiciones de equilibrioestable y el periodo de las oscilaciones pequeñas alrededor dedichas posiciones. Si la partícula sale de cada una de dichasposiciones con velocidad v, determinar los valores de v paraque

1. oscile,2. escape a +∞, y3. escape a −∞.

Ejercicio 1.7. Una partícula de masa unidad se está mo-viendo en una dimensión bajo la influencia del potencialV (x) = 1

2tan2( x

`) siendo ` una constante positiva. Se pide

1. determinar las zonas donde es posible encontrar la par-tícula, así como la energía que puede tener. Describircualitativamente el movimiento de la partícula.

2. Calcular la frecuencia de las oscilaciones de la partícula.3. Determinar cuantitativamente la trayectoria de la partí-

cula.4. Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones y

compararla con el resultado obtenido en el apartado 2.

Ejercicio 1.8. Hallar el periodo de oscilación de una partí-cula de masa m que se mueve en el potencial V (x) = A |x |n

siendo A una constante positiva y n ∈N. Analizar los casosn= 2 y n→∞.

Ejercicio 1.9. Un hilo inextensible de longitud `, verticaly con uno de sus extremos fijo, posee en el otro una masa

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m puntual. Se comunica a ésta una velocidad horizontal v0.Determínense los valores de v0 para los cuales el hilo siemprepermanece tenso a lo largo de su movimiento.

Ejercicio 1.10. Un punto material se mueve a lo largo deuna trayectoria horizontal formada por dos rectas enlazadassuavemente por un arco de circunferencia de radio R. Suvelocidad es v = k`, siendo k > 0 una constante y t el tiempotranscurrido desde que se inició el movimiento. Hallar laaceleración máxima, sabiendo que el punto entró en la curvaen t = 2s y que las normales a las dos rectas forman unángulo de 60°.

Ejercicio 1.11. Una partícula de masa m se mueve sobreuna cicloide de ecuaciones x = R(ϕ−senϕ), y = R(1−cosϕ)pudiendo abandonar la curva por la parte superior de lamisma. Teniendo en cuenta que el eje de ordenadas es lavertical ascendente, se lanza una partícula desde el puntomás alto de la cicloide con una velocidad inicial V paralelaal eje de abscisas. Se pide

1. Escribir las ecuaciones del movimiento cuando la partí-cula está en la curva.

2. Integrar dichas ecuacines.3. Reacción de la curva sobre la partícula.4. Punto en el que la partícula se despega de la curva.5. Valor máximo de V para que la partícula no se despegue

inmediatamente de la curva.

Ejercicio 1.12. Estudiar el movimiento de una partícula norelativista de masa m y carga q

1. en un campo eléctrico uniforme y constante,2. en un campo eléctrico uniforme y dependiendo sinuosi-

dalmente del tiempo,3. en un campo magnético uniforme y constante, y4. en un campo eléctrico y otro magnético, constantes,

uniformes y perpendiculares entre sí.

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Ejercicio 1.13. En un instante determinado, cuatro moscasocupan respectivamente los vértices de un cuadrado de lado2a. Si cada una de ellas está persiguiendo a la siguiente ytodas tienen la misma velocidad, determinar la trayectoriaque describen.

Ejercicio 1.14. Dos partículas de masas M y m están unidaspor un hilo inextensible de masa despreciable y longitud L. Lapartícula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre unacurva de ecuación y = a cosh x/a con el eje de ordenadasen la dirección vertical ascendente. La otra partícula puedeoscilar en el plano vertical que contiene a la curva. Se piden

1. las ecuaciones diferenciales del movimiento, y2. la tensión del hilo y la reacción de la curva sobre la

partícula de masa m.

Ejercicio 1.15. Una partícula de masa m se mueve sin roza-miento sobre una élice circular de ecuaciones en coordenadascilíndricas dadas por ρ = a, z = kϕ, teniendo el eje z la di-rección vertical ascendente. Además de su peso, la partículaes atraída desde el origen con una fuerza proporcional a ladistancia. Se pide

1. La reacción de la hélice sobre la partícula.2. Si la partícula en el instante inicial está en reposo en

z = 0, determinar su movimiento.

Ejercicio 1.16. Una partícula de masa m se mueve sin roza-miento sobre la parte interior de una semiesfera fija, hueca yde radio a. Se pide

1. Calcular las ecuaciones diferenciales del movimiento.2. Hallar la reacción de la semiesfera sobre la partícula.3. Encontrar la velocidad de giro de la partícula alrededor

del eje z para que su trayectoria sea una circunferenciasituada en el plano z = b < a.

4. Determinar dos constantes del movimiento y utilizarlaspara expresar mediante cuatraturas la trayectoria de la

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partícula.

Ejercicio 1.17. Una partícula de masa m se puede moversin rozamiento, sometida a la acción de la gravedad, por lasuperficie interior de un paraboloide de ecuación x2 + y2 =az, siendo el eje z la dirección vertical ascendente. Se pide

1. Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento.2. Demostrar que la partícula describe una circinferencia

horizontal en un plano cualquiera con tal de que tengauna velocidad angular

p

2g/a.3. Supóngase que cuando la partícula pasa por la posición

que corresponde a z = a, su velocidad es horizontal yvale

p

8ga. Hallar la cota máxima de la trayectoria.

Ejercicio 1.18. Un tubo horizontal CD de longitud `, giraalrededor del eje vertical que contiene al extremo C convelocidad angular constante ω. En su interior se encuentraun cuerpo de masa m. En el instante inicial su velocidadrespecto al tubo es nula y se encuentra a una distancia x0 deleje. Despreciando el rozamiento, calcular la velocidad quealcanza el cuerpo al salir del tubo.

Ejercicio 1.19. Un tren se desplaza del S al N con unavelocidad constante de 15 m/s, siendo su masa de 2000 t(toneladas). Se pide

1. Determinar la fuerza lateral que ejerce el tren sobre losraíles cuando la latitud es de 60° N.

2. Lo mismo en el caso de que se invierta el sentido deltren.

Ejercicio 1.20. Un río en el norte de Argentina, con latitud32° S, tiene de anchura 1 km y fluye de O a E con velocidadde 2 m/s. Si el flujo es estacionario, calcular la diferencia dealturas de la superficie del agua en dos puntos situados uno acada lado del río, y decir en qué lado del mismo la superficiedel agua está más elevada.

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Ejercicio 1.21. El río Ebro fluye en Zaragoza del N O al S E

aproximadamente. Suponiendo que su anchura es de 300 my su velocidad de 3 m/s, y que la superficie del agua es suave,¿qué diferencia de altura habrá entre las dos orillas y quéorilla estará más alta? La latitud de Zaragoza es de 41°40′ N.

Ejercicio 1.22. Se lanza una bala verticalmente hacia arribacon velocidad v0 y en un punto de la superficie terrestre delatitud ϕ. Suponiendo que la aceleración gravitatoria en elrecorrido de la bala es constante, los efectos de la atmósferason despreciables y trabajando hasta el primer orden deaproximación en la velocidad angular de giro de la Tierraalrededor de su eje, determínese el punto de impacto de labala al caer sobre la superficie terrestre, y la velocidad yposición de la misma en el punto más alto de la trayectoria.

Ejercicio 1.23. Una varilla de masa m y longitud 2L tieneun extremo apoyado en una semicircunferencia de radio r yotro punto de apoyo en el borde de la misma. Suponiendo queno existe rozamiento, determínese la posición de equilibrioutilizando el principio de los trabajos virtuales. Lo mismomediante la formulación newtoniana.

Ejercicio 1.24. De la polea fija de la máquina de Atwoodcompuesta de la figura adjunta, cuelgan una masa m1 yuna polea móvil de masa m2. De ésta a su vez cuelgan dosmasas m3 y m4. Suponiendo que las poleas no giran y loshilos inextensibles que pasan por las poleas lo hacen sinrozamiento, se pide calcular la aceleración de las masas,

1. utilizando el principio de D’Alembert, y2. utilizando la formulación lagrangiana.

Ejercicio 1.25. Mediante el principio de D’Alembert, deter-mínese la aceleración de una máquina de Atwood que tieneuna cuerda flexible e inextensible pesada de densidad linealρ. Se supone que la polea no gira y que la cuerda desliza

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sobre la polea sin rozamiento.

Ejercicio 1.26. Dos partículas de masas M y m están unidaspor un hilo inextensible de masa despreciable y longitud L. Lapartícula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre unacuerva de ecuación y = a cosh x/a, con el eje de ordenadasen la dirección vertical ascendente. La otra partícula puedeoscilar en el plano vertical que contiene a la curva. Utilizandola formulación Lagrangiana, se pide

1. las ecuaciones del movimiento, y2. una constante del mismo, indicando las razones de su

conservación.

Ejercicio 1.27. Hallar por el método de Lagrange las ecua-ciones del movimiento de un péndulo de longitud ` y masam cuyo punto de suspensión oscila armónicamente en unarecta horizontal con amplitud A y frecuencia angular ω.

Ejercicio 1.28. Probar que se cumple la forma de Nielsenen las ecuaciones de Lagrange:

∂ T

∂ q j− 2

∂ T

∂ q j=Q j( j = 1, . . . , n).

Ejercicio 1.29. Una partícula de masa m desliza sin roza-miento desde la parte superior de un plano inclinado de masaM y ángulo θ . A su vez, el plano puede deslizar sin rozmientosobre el plano horizontal y está en reposo inicialmente.

1. Mediante la formulación newtoniana, encontrar la reac-ción del plano inclinado sobre la partícula.

2. Hallar la trayectoria de la partícula utilizando el princi-pio de D’Alembert.

3. Utilizando la formulación lagrangiana, determinar laaceleración de la partícula respecto al plano inclinado.

Ejercicio 1.30. Un sistema etá constituido por una partícula

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de masa m que puede moverse sin rozamiento por una elipsecon semiejes de longitudes a y a/4. El eje menor lleva ladirección vertical y la elipse gira alrededor de él con velocidadangular constante ω = (g/a)1/2. Además de la gravedad,sobre la partícula actúa una fuerza elástica producida porun muelle que la une al centro de la elipse y de constanterecuperadora k = 8mg/15a. Se pide

1. Las ecuaciones del movimiento de la partícula.2. Deducir razonadamente una constante del movimiento

del sistema.3. Determinar en qué puntos de la elipse lapartícula se

mantiene indefinidamente en ellos, si es colocada en losmismos sin velocidad inicial respecto a la curva.

4. Calcular la reacción de la elipse sobre la partícula en lospuntos hallados en el apartado anterior y que no esténen el eje de giro de la elipse.

5. Supóngase que colocamos la partícula en el instanteinicial en la posición más alejada del eje de giro y lavelocidad nula respecto a la elipse. Determínese la partede ésta recorrida por la partícula.

Ejercicio 1.31. Un plano Oxy gira alrededor de la verticalascendente Oy con una velocidad angular ω constante. Endicho plano está situada la rama de una cicloide cuyas ecua-ciones paramétricas son: x = a(1− cosθ ), y = a(θ − senθ ),0¶ θ ¶ 2π, y por la cual puede deslizar sin rozamiento unapartícula de masa m. Se pide

1. Plantear las ecuaciones diferenciales del movimiento.2. Determinar las posiciones en las que se mantiene inde-

finidamente la partícula, cuando se coloca en ellas convelocidad inicial nula respecto a la cicloide.

3. Hallar, dejándola expresada mediante una cuadratura,la trayectoria de la partícula en el caso de que en elinstante inicial la misma se encuentre en reposo conrespecto a la cicloide en la posición más alejada del ejeOy.

4. Suponiendo las condiciones iniciales del apartado ante-

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rior, hallar la componente en la dirección perpendicularal plano Oxy de la reacción de la cicloide sobre la par-tícula, cuando ésta pasa por la posición definida porθ = 2π/3.

Ejercicio 1.32. Una partícula de masa m se puede moversin rozamiento por una curva de ecuación z =−a cos(πx/a),situada en un plano vertical Oxz donde el eje Oz es la verticalascendente y el eje Ox está en el plano horizontal. El planoOxz gira alrededor del eje fijo Oz con velocidad angular ωconstante. Se pide

1. Utilizando la formulación lagrangiana, hallar las ecua-ciones del movimiento de la partícula.

2. Calcular ω para que colocada la partícula en el puntox = a/2, z = 0 y en reposo con respecto a la curva, semantenga indefinidamente en esa posición.

3. Determinar la zona en la que se realiza el movimientode la partícula en el caso de que ω = (2πg/a)1/2 ysuponiendo que inicialmente la partícula se encuentraen la posición de coordenadas x = 0, z = −a y estádotada de una velocidad v0 =

p

ag(2−π/2) respecto aO. ¿Cuánto tarda la partícula en alcanzar la posición másalejada del eje Oz? (déjese el último resultado expresadopor medio de una cuadratura)

4. Hallar la reacción que ejerce la curva sobre la partícu-la en el instante inicial del movimiento del apartadoanterior.

Ejercicio 1.33. Una partícula de masa m está obligada amoverse sin rozamiento por un aro de radio a que gira convelocidad angular constante ω alrededor del diámetro ver-tical del mismo. Además de la fuerza gravitatoria, sobre lapartícula actua una fuerza dirigida hacia el punto superiordel aro y proporiconal a la distancia entre ese punto y lapartícula, con constante de proporcionalidad α. Se pide

1. Mediante la formulación lagrangiana, determinar las

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ecuaciones del movimiento de la partícula.2. Hallar las posiciones en que colocada la partícula con ve-

locidad nula respecto al aro permanece indefinidamenteen esas posiciones. Discútanse los casos ω2 ¶

ga− α

m

y

ga− α

m

<ω2.

3. Supóngase queω = 2Æ

ga− α

my que en el instante inicial

la partícula se coloca en reposo relativo respecto al aroen la posición más alejada del eje de giro. Determinar lazona del aro accesible a la partícula.

4. Con las condiciones del apartado anterior, hallar la solu-ción de las ecuaciones del movimiento. Déjese expresadoel resultado por medio de una cuadratura.

5. Aceptando las condiciones iniciales del apartado 3, calcu-lar la componente normal al plano del aro de la reaccióndel mismo sobre la partícula cuando ésta pasa por suposición más baja.

Ejercicio 1.34. Un sistema mecánico consiste en una esferafija y hueca de radio a y dos partículas enlazadas. La esferatiene un pequeño orificio situado de modo tal que éste yel centro de la esfera están en la misma vertical, estándosituado el orificio por debajo del centro de la esfera. Laprimera partícula de masa m1 puede deslizar sin rozamientopor el interior de la esfera sin separarse de ella, mientrasque la otra masa m2 se mueve a lo largo de la vertical citadaanteriormente. El enlace entre las dos partículas consisteen un hilo ideal de longitud ` siempre tenso que pasa sinrozamiento a través del orificio. Utilizando exclusivamentela formulación newtoniana, se pide

1. Obtener las ecuaciones del movimiento del sistema.2. Deducir dos constantes del movimiento.3. Calcular la trayectoria general del sistema, dejándola

expresada por medio de cuadraturas.4. Determinar unas condiciones iniciales del sistema de

modo tal que en su evolución la partícula de masa m2permanezca en reposo, mientras que la otra de masa m1

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se está moviendo.5. Los apartados 1 y 2 pero utilizando exclusivamente la

formulación lagrangiana.

Ejercicio 1.35. La acción de un sistema es

S =

∫

L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) d t con qi ∈ C 1[t1, t2].

Supóngase que el sistema es esclerónomo y admite un po-tencial generalizado que a lo sumo depende linealmente delas velocidades generalizadas. Probar que en el principio deHamilton se puede escoger el intervalo [t1, t2] lo suficiente-mente pequeño para que dicho principio sea de míninmo.

Ejercicio 1.36. Una partícula de masa m se mueve en unpotencial V (r) = kr4, con k > 0.

1. ¿Para qué valores de la energía y del momento angular,la órbita será una circunferencia de radio a y con centroen el origen?

2. ¿Cuál es el periodo de la órbita?3. Si la partícula se perturba separándola de dicho movi-

miento circular, ¿cuál será el periodo de las oscilacionesradiales alrededor de r = a?

Ejercicio 1.37. Una partícula se mueve en unacircunferen-cia de radio a, bajo la acción de una fuerza central que leatrae hacia un punto fijo O. Sean v1 y v2 los valores máximoy mínimo de su velocidad. Probar que el periodo es

πa(v1 + v2)v1v2

.

Ejercicio 1.38. Un punto material de masa 1 kg se mueveen un campo de fuerzas F = −km/r2 con k = 4 (unidadesdel SI). En t = 0, el punto se encuentra a 1 m del centro defuerzas y con una velocidad de 2 m/s perpendicular al vector

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posición. Calcular la órbita y el módulo de la velocidad enfunción de r.

Ejercicio 1.39. Una partícula es lanzada con velocidad (2µ/3a3)1/2

perpendicularmente al radiovector a una distancia a del cen-tro de fuerzas atractivo. Si la fuerza por unidad de masa esm/r4, se pide determinar la órbita y probar que cae al centrode fuerzas en un tiempo 3π

p

3a5/2µ/8.

Ejercicio 1.40. Sabiendo que la excentricidad de la órbi-ta de la Tierra es 0.016 73 y que su semieje mayor mide1.495× 108 km, encontrar las distancias máxima y mínimaal Sol. Hallar las velocidades de la Tierra en el perihelio yen el afelio, en los extremos del eje menor y en los del latusrectum.

Ejercicio 1.41. Calcular el tiempo durante el que un cometaparabólico está entre los extremos de sus latus rectum enfunción de la distancia al perihelio de la órbita.

Ejercicio 1.42. Un satélite artificial de masa m está en órbitacircular a una altura de 1600 km sobre la superficie terres-tre. Se desea que pase a otra a 3600 km de altura, y paraello se decide utilizar una órbita de transferencia que con-siste en una semielipse tangente a las órbitas y final (órbitaHohmann). Para conseguirlo se hacen actuar los cohetes delsatélite en varios momentos, de modo que producen cambiosinstantáneos en la velocidad.

1. Calcular la energía por unidad de masa en las órbitasinicial y final.

2. Hallar la energía por unidad de masa y la ecuación de laórbita de transferencia.

3. Determinar en qué momentos deben actuar los cohetes,en qué dirección y qué incremento de velocidad debenproducir.

4. ¿Cómo cambiarían los resultados si la masa del satélite

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fuese el doble?

Datos: Radio terrestre= 6500 km, GM = 4× 1014 (unidadesdel SI) siendo M la masa terrestre.

Ejercicio 1.43. Un satélite artificial se mueve en una órbitacircular alrededor de la Tierra. En un instante dado sus mo-tores reducen la velocidad sin variar la dirección instantáneadel movimiento. Encontrar la nueva velocidad para que latrayectoria que describa el satélite roce la superficie terrestre.

Ejercicio 1.44. La estación espacial Mir fue colocada enórbita elíptica alrededor de la Tierra en 1986 por la UniónSoviética, estando su apogeo y perigeo a una altura sobrela superficie terrestre de 398 km y 370 km, respectivamente.Debido a los problemas económicos que atravesaba Rusia, sedecidió acabar con la existencia de dicha estación. Supóngaseque para ello, se colocó a la Mir en órbita circular a unaaltura de 150 km, antes de lanzarla definitifamente sobrela atmósfera para su total desintegración. Para conseguir elpaso de la órbita elíptica inicial a la circular, se hacen actuarlos cohetes de la estación en dos momentos, de modo queproducen cambios instantáneos en su velocidad pero no ensu dirección. El primer momento es cuando la Mir está en elperigeo de la órbita elíptica. Se pide

1. Determinar los dos cambios de velocidades.2. El tiempo transcurrido entre los dos citados momentos.

Datos: En unidades del SI: G = 6.68× 10−11, radio terrestre =6371× 103 y masa terrestre= 5.98× 1024.

Ejercicio 1.45. Un satélite artificial describe una órbita cir-cular alrededor de la Tierra, a una altura de 16000 km.

1. ¿Cuál es su velocidad?2. ¿Cuánto tiene que variar su velocidad para que pueda

escapar de la acción gravitatoria de la Tierra?3. Al volver de un paseo espacial, un astronauta olvida

en el exterior del satélite su máquina fotográfica que

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tiene una masa de 5 kg, ¿qué trayectoria seguirá dichamáquina?

4. En una de sus maniobras, el satélite se separa en dospartes. Una de ellas, con una masa igual a la quinta partedel total, se separa con una velocidad de 4000 m/s, for-mando un ángulo de 60° con el radiovector del satéliterespecto al centro de la Tierra, acercándose a la mismay en el mismo sentido de giro que antes. Determinar lasórbitas de las dos partes y si alguna de ellas cae a laTierra.

Datos: Masa del satélite = 5000kg, masa de la Tierra M =6× 1024 kg, GM = 4.002× 1014 (SI), radio terrestre = 6400km.

Ejercicio 1.46. Una estación espacial describe una órbita cir-cular alrededor de la Tierra con una velocidad de 6316 m/s.En un momento dado, mediante la acción de unos cohetesque actúan instantáneamente sobre la nave espacial acopladaa la estación, aquélla se separa y parte con una velocidadrespecto a la Tierra de 2000 m/s y con la misma direccióny sentido que la estación. Una vez concluida la maniobrade desatranque, el cosmonauta de la nave se da cuenta que,debido a un fallo técnico, no puede actuar sobre la misma.Despreciando la acción de la atmósfera, se pide

1. ¿Caerá la nave a la Tierra o seguirá orbitando alrededorde ella?

2. En caso de caída a la Tierra, calcular el ángulo que formala trayectoria con la vertical en el punto de contacto. Sino hay caída, calcular el periodo de la órbita de la nave.

Datos: Radio terrestre = 6400 km, masa terrestre = 5.97× 1024 kg,G = 6.67× 10−11 (SI).

Ejercicio 1.47. Dos satélites de la misma masa se muevenen dos órbitas coplanarias en el mismo sentido alrededor dela Tierra. Una de ellas es circular de radio R y la otra elípticade apogeo 8R y perigeo R. Los dos satélites coinciden en elpunto de contacto de las dos órbitas, se acoplan instantá-

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neamente quedando perfectamente unidos y continuando sumovimiento de esta forma. Calcúlese el apogeo de la nuevaórbita.

Ejercicio 1.48. Se desea situar un satélite en órbita circulara una distancia r0 del centro de la Tierra. Para ello, cuando seestá a esa altura, se le debe comunicar una cierta velocidadv0 perpendicular a la dirección radial. Sin embargo, debidoa un fallo, el satélite no se impulsó perpendicularmente ala dirección radial y, como resultado, entró en una órbitaelíptica. Se pide

1. Demostrar que la proyectada órbita circular y la órbi-ta elíptica resultante se cortan en los extremos del ejemenor de la elipse.

2. Deducir la ecuación de la órbita elíptica.3. Calcular la velocidad areolar del satélite en esta órbita.4. Calcular la duración de una revolución del satélite en la

órbita elíptica.5. Deducir de estas observaciones el valor de la constante

G de la gravitación universal.

Datos: Masa de la Tierra= 6× 1024 kg, perigeo de la órbitaelíptica OA= 6630km.

Ejercicio 1.49. Finalizada su misión de exploración en laLuna, el astronauta del módlo de exploración lunar se dis-pone a reunirse con el del módulo de mando que orbitacircularmente sobre la Luna a una altura de 150 km. Con esteobjetivo, enciende los motores del módulo de exploración ysigue una determinada trayectoria hasta un punto P, situado10 km por encima de la superficie lunar y apaga los motores.Supóngase que en ese instante la velocidad del modulo deexploración es paralela a la superficie lunar, coplanaria conla ya citada órbita dircular e indicando el mismo sentido degiro alrededor de la Luna que el del módulo de mando. Sepide

1. La velocidad en P, del módulo de exploración, para que

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pueda encontrarse y acoplarse con el módulo de mandoen el punto Q situado radialmente opuesto a P.

2. El tiempo empleado por el módulo de exploración en irde P a Q.

3. La velocidad relativa con que el módulo de mando al-canzará al de exploración en Q.

Datos: Radio de la Luna = 1738 km, masa de la Luna =7.35× 1022 kg, G = 6.67× 10−11 N m2/kg2.

Ejercicio 1.50. A una nave espacial, que denominaremosmódulo de mando, se le ha acoplado otra, que llamaremosmódulo de exploración, y que proviene de la superficie lunaruna vez completada su misión de exploración. El complejoconstituido por ambos módulos orbita cirularmente alrede-dor de la Luna a una altura de 150 km. Pasado un tiempoindeterminado en esa órbita, los astronautas del complejo,con el fin de facilitar su regreso a la Tierra, se desprendendel ya inservible módulo de exploración para que choque enun punto de la Luna. Esto lo consiguen soltando los ancla-jes de ambos módulos y comunicando instantáneamente almódulo de exploración una velocidad en sentido opuesto almovimiento del complejo espacial para que de este modoentre en una órbita de impacto y no se convierta en chatarraespacial orbitando alrededor de la Luna. Se pide

1. La velocidad relativa inicial mínima del mósulo de ex-ploración respecto al de mando para que la órbita seade impacto.

2. Tiempo de media entre la separación de los dos módulosy el del contacto dle módulo de exploración con la Lunaen el caso de la órbita del apartado anterior.

Datos: Radio de la Luna = 1738 km, masa de la Luna =7.35× 1022 kg, G = 6.67× 10−11 N m2/kg2.

Ejercicio 1.51. Un cometa describe una trayectoria tal quesu mínima distancia al Sol es la mitad del radio a de la órbitade la Tierra, supuesta ésta circular y coplanaria con la del

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cometa. En el perihelio de la órbita del cometa su velocidades el doble de la velocidad de la Tierra. Se pide

1. Determinar la órbita del cometa.2. Calcular la velocidad del cometa en los puntos en que

corta a la órbita terrestre y la distrancia entre ellos.3. Determinar el tiempo que pasa el cometa dentro de la

órbita de la Tierra.

Nota: Se desprecia la interacción gravitatoria entre el cometay la Tierra.

2 Sólido rígido

Ejercicio 2.1. Un disco homogéneo de masa M y radio Rse mueve en el plano Oxy de modo que en un instante dadolas velocidades de los puntos A y B del disco son i + j y− j/2, mientras que sus coordenadas en ese instante sonrespectivamente (0,2) y (3,0). Se pide

1. Determinar la posición del centro instantáneo de rota-ción del disco.

2. Energía cinética del disco, sabiendo que en ese instantelas coordenadas del centro de masas son (1, 1).

Ejercicio 2.2. Un sólido rígido se mueve con respecto a unsistema de ejes cartesianos Oxyz. En un momento dado, lavelocidad del punto del sólido de coordenadas (1,1,1) esv = (3, 2, 1). Decir justificadamente si es posible que el puntodel sólido de coordenadas (0,1,0) tenga en ese momentoalguna de las velocidades siguientes:

1. va = (2,1, 1),2. vb = (1,1, 2).

Ejercicio 2.3. Una varilla AB de longitud L y masa M estáarticulada por su extremo A a una guía horizontal a lo largode la cual puede moverse sin rozamiento, ietras que el extre-mo B puede moverse en el plano vertical que continene a la

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guía. En el instante inicial, la varilla está en reposo, alineadacon la guía y se deja caer. Se pide

1. la base y la ruleta del movimiento, y2. el módulo de la velocidad del extremo B cuando pasa

por su posición más baja.

Ejercicio 2.4. El sistema de la figura adjunta consiste de unaro de radio R y una varilla AB de longitud 3R y masa M ,estando dicho sistema contenido en un plano vertical. El aroestá fijo, mientras que el extremo A de la varilla desliza sinrozamiento a lo largo del aro. La varilla en su movimientoestá siempre en contacto con el punto del aro C, interseccióndel aro con su diámetro horizontal. En el instante inicial,el segmento AC de la varilla está situado por encima deldiámetro horizontal formando con él un ángulo de 30° y sedeja caer la varilla sin velocidad inicial. Se pide

1. la base y la ruleta del movimiento, y2. el módulo de la velocidad del extremo A de la varilla

cuando pasa por la posición horizontal.

Ejercicio 2.5. Hallar la frecuencia de las oscilaciones peque-ñas de un semidisco uniforme de masa M y radio R que ruedasin deslizar sobre una superficie horizontal.

Ejercicio 2.6. Un sólido rígido de masa M , radio R y formade tres cuartos de círculo puede rodar sin deslizar en el planosobre una recta horizontal. Si inicialmente el sólido está enreposo como indica la figura adjunta, se pide

1. Ecuaciones del movimiento.2. Calcular la velocidad del cntro de masas cuando pasa

por su posición más baja.3. La velocidad máxima que alcanza el punto P.

Ejercicio 2.7. El sistema de la figura adjunta está consti-tuido por cuatro varillas iguales articuladas de masa m ylongitud 2` cada una. Suponiendo que no existe rozamiento

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y que el movimiento sólo tiene lugar en el plano de la figuramanteniéndose fijo el punto A, se pide

1. las ecuaciones del movimiento, y2. la velocidad del punto C cuando D ocupa su posición

más baja y suponiendo que el sistema haya partido deuna posición inicial en reposo con las cuatro varillasformando una recta horizontal con A y D coincidiendo.

Ejercicio 2.8. Un aro de masa m1 y radio r sube rodandosin deslizar por un plano inclinado de ángulo ϕ, accionadopor un contrapeso de masa m2 como indica la figura adjunta.El hilo es flexible, inextensible, sin masa y tira del aro por sueje. La polea es un anillo de masa M y radio r. Utilizando laformulación lagrangiana, calcular la aceleración del sistemay la tensión del hilo a ambos lados de la polea.

Ejercicio 2.9. Una placa pesada BAC de masa m, con formade triángulo rectángulo isósceles (longitud de los catetos 2a)se mueve en un plano vertical de modo tal que sus catetosAB y AC deslizan sin rozamiento sobre los puntos fijos M y Nsituados en una horizontal y distantes entre sí una distancia2a. Se pide

1. Hallar la base y la ruleta del movimiento.2. Las ecuaciones del movimiento.3. Si en el instante inicial la placa se encuentra en reposo

en una posición tal que el punto medio del cateto ACcoincide con el punto N, calcular la velocidad del centrode masas en el instante en que la hipotenusa pasa porprimera vez por la posición horizontal.

Ejercicio 2.10. Un aro de masa M y radio R rueda sin desli-zar sobre una recta horizontal, manteniéndose siempre en elplano vertical que contiene a dicha recta. Un disco homogé-neo de la misma masa y radio R/2 rueda sin deslizar por elinterior del aro en el mismo plano vertical. Se pide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.

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2. Supóngase que inicialmente la recta que une los centrosdel disco y del aro forma un ángulo de π/4 con la ver-tical descendente que pasa por el centro del aro y quetodo el sistema está en reposo. Expresar mediante unacuadratura el tiempo que tarda el centro del disco enpasar por primera vez por us posición más baja.

Ejercicio 2.11. Un aro de masa M y radio R se mueve en unplano vertical fijo manteniendo inmóvil uno de sus puntos O.Un disco homogéneo de masa m y radio r (r < R) rueda sindeslizar sobre el aro por la parte interior del mismo. Se pide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.2. Una constante del movimiento, indicando la causa de su

conservación.

Ejercicio 2.12. El sistema de la figura adjunta está consti-tuido por dos poleas y tres masas. La masa de la polea quecuelga del techo es M y su radio es R, mientras que la masay el radio de la otra son M ′ y R′. La masa que cuelga de lapolea del techo es m, mientras que las que cuelgan de la otrason m1 y m2. Suponiendo que los hilos son ideales, se pide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.2. Las tensiones en los hilos.

Ejercicio 2.13. El sistema articulado de la figura adjuntaestá constituido por tres varillas AB, BC y CD de la mismalongitud ` y la misma masa m. El movimiento del sistemase realiza en el plano vertical, pudiendo girar libremente lasvarillas AB y CD alrededor de los puntos fijos A y D separadospor una distancia `. Una partícula P, de masa m, puededeslizar sin rozamiento sobre la varilla BC, que a su vez estáarticulada con las otras dos. Inicialmente el sistema está enreposo, P se encuentra en el punto medio de BC y la varillaAB forma un ángulo π/6 con la vertical descendiente. Sepide

1. Ecuaciones del movimiento del sistema.

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2. La posición que ocupa el sistema cuando P llega al ex-tremo de la varilla BC.

3. La fuerza que ejerce la varilla BC sobre P en el instanteinicial.

Ejercicio 2.14. Dos varillas iguales de masa m y longitud` están unidas por dos hilos de longitud a que unen susextremos y siempre tensos. Las varillas se mueven en unplano vertical y una de ellas puede girar alrededor de sucentro de masas fijo. Hallar las ecuaciones del movimiento.

Ejercicio 2.15.

1. Calcular la situación del centro de masas de un cono dealtura h, y radio de la base R.

2. Hallar los momentos de inercia del cono respecto a sueje y respecto a dos ejes perpendiculares a éste y quepasan por el vértice del cono.

Ejercicio 2.16. Probar que la energía cinética de una varillahomogénea de masa m es T = m(u2+ u · v + v2)/6, dondeu y v son las velocidades de los extremos de la varilla.

Ejercicio 2.17. Hallar la energía cinética de un cono cuyabase rueda sobre un plano orizontal y cuyo vértice está fijo auna altura sobre un plano horizontal igual al radio de la basedel cono.

Ejercicio 2.18. Una varilla AB de longitud L y masa M semueve manteniendo fijo el extremo A. Calcular

1. las ecuaciones del movimiento, y2. la velocidad angular de giro de la varilla respecto al eje

vertical que pasa por A, para que el ángulo que forma lavarilla con la vertical sea constante.

Ejercicio 2.19. Dos varillas de longitudes a y b y de igualmasa m, están soldadas formando un ángulo recto y cuyo

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vértice O está fijado a un eje vertical, como indica la figuaradjunta. Si la unión de las varillas con el eje sólo permite elmovimiento de modo tal que las varillas y el eje son copla-narios, calcular la velocidad angular constante del sistemaalrededor del eje para mantener fijos los ángulos que formanlas varillas con el eje.

Ejercicio 2.20. Una varilla de masa m y longitud 2a, semueve respecto a un sistema inercial OXYZ (OZ vertical as-cendente) de forma que su centro de masas G está obligadoa moverse sin rozamiento sobre una guía recta que pasapor O. Dicha guía forma un ángulo constante α = 30° conla misma dirección positiva del eje OZ y puede girar libre-mente alrededor del mismo. En el instante inicial la varillase encuentra en reposo en el plano OYZ, alineada con laguía y siendo OG = 2a. En esta situación, se comunica unavelocidad angular inicial ω a la guía. Se pide

1. Las ecuaciones del movimiento.2. Integrar dichas ecuaciones, reduciéndolas a cuadraturas.3. Si ω2 = g/(

p3 a), determinar las posiciones extremas

de G, la velocidad angular de la guía y la reacción de laguía sobre la varilla en esas posiciones.

4. Hallar la velocidad angular inicial ω de la guía paraque colocada inicialmente la varilla como se dice ante-riormente, su centro de masas G permanezca en reposorespecto a la guía.

5. Describir el movimiento de la guía en el caso del aparta-do anterior.

Ejercicio 2.21. El extremo A de una varilla homogénea demasa m y longitud 2`, desliza por una recta vertical; mientrasque el otro extremo B lo hace sobre un plano horizontal,siendo ambos deslizamientos sin rozamiento. Determinar lasecuacionnes del movimiento de la varilla.

Ejercicio 2.22. Se considera una placa homogénea de masam y que tiene la forma de un triángulo equilátero ABC de

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lado 2a. Dicha placa se mueve de forma que su vértice Aestá obligado a desplazarse sin rozamiento a lo largo deleje vertical ascendente OZ, mientras que el lado BC deslizasin rozamiento sobre el plano horizontal OXY. En el instanteinicial la placa se encuentra en reposo formandu un ángulo2π/3 con el eje orientado OX y el mismo ángulo con el planoOXY. Se pide

1. Ecuaciones del movimiento.2. Calcular la velocidad del centro de masas de la placa en

el instante en que la placa conincide con el plano OXY.

Ejercicio 2.23. Determinar las ecuaciones del movimientode un cono de revolución que rueda sin deslizar sobre unplano inclinado fijo.

Ejercicio 2.24. Una varilla AB de masa despreciable y longi-tud 2` tiene en sus dos extremos dos partículas de la mismamasa m, que firan uniformemente con velocidad angularconstante ω alrededor del eje vertical que pasa por el puntomedio de la varilla y formando un ángulo constante α condicho eje. Si las distancias a los soportes superior e inferiordel punto medio de la varilla son respectivamente a y b, sepide calcular las reacciones sobre dichos soportes del eje.

Ejercicio 2.25. Un sistema material está constituido poruna placa plana de masa M , de forma un rombo de lado ay cuyo ángulo en A es ÔDAB = π/3, y dos partículas igualessituadas en los vértices B y D de la palanca, cada una de lascuales tiene masa m. El sistema gira con velocidad angularconstante ω alrededor de una recta horizontal que siendoparalela a los lados AD y BC de la placa, pasa por su centrode masas. Se pide

1. Calcular la energía cinética del sistema.2. La relación entre m y M para que el momento angular

del sistema con respecto a D sea paralelo a la velocidadangular.

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Ejercicio 2.26. Un cono de altura h y semiángulo α ruedasin deslizar dentro de otro fijo, hueco y semiángulo β (α < β)conincidiendo los dos vértices de los conos. El eje del conomóvil rota alrededor del eje del cono fijo con una velocidadangular constante Ω. Hallar la energía cinética del conomóvil.

Ejercicio 2.27. Deducir las ecuaciones de ligadura y de La-grange de un disco homogéneo de radio r y masa m querueda sin deslizar sobre un plano horizontal.

Ejercicio 2.28. Una esfera homogénea de masa M y radioR rueda sin deslizar sobre un plano horizontal, el cual rotaalrededor de un eje vertical con velocidad angular constanteΩ. Se pide

1. Ecuaciones de la ligadura.2. Probar que el centro de la esfera se mueve en una cir-

cunferencia con velocidad angular 2Ω/7.

Ejercicio 2.29. Una esfera de radio R y masa M rueda sindeslizar sobre un plano vertical que gira con velocidad angu-lar constante Ω alrededor de un eje vertical contenido en elplano. Si en el instante incial la esfera está en reposo respectoal plano, se pide

1. Ecuaciones de la ligadura.2. Probar que la longitud máxima de descenso de la esfera

por el plano vertical es 5g/Ω2.3. Hallar la distancia horizontal del centro de la esfera al

eje de rotación del plano en función del tiempo.

Ejercicio 2.30. Un cilindro hueco de radio Rc está fijo consu eje en la dirección vertical. Una esfera homogénea deradio Re (Re < Rc) rueda sin deslizar por la superficie interiordel cilindro. Se pide

1. Ecuaciones de la ligadura.2. Probar que el centro de la esfera tiene una velocidad

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constante alrededor el eje del cilindro.3. Probar que cuando el centro de la esfera no se mueve

paralelamente al eje del cilindro, dicho centro realiza unmovimiento, y que en un periodo el plano que pasa porel eje del cilindro y el centro de la esfera gira un ángulodep

14π.

Ejercicio 2.31. Un disco de masa M , radio a y centro C,tiene fijo a él en C una varilla OC, de masa m y longitudp

3 a, de modo que OC es ortogonal al disco. El extremo O dela varilla está fijo, pero pivota libremente en el centro O deuna placa giratoria horizontal y el borde de un disco puederodar sin deslizar sobre la misma. La placa es obligada a giraralrededor del eje vertical que pasa por O con una velocidadangular Ω(t). Inicialmente el sistema está en reposo. Si Pes el punto de contacto entre disco y placa, y ϕ el ánguloentre OP y una línea radial fija en la planca, determinar ϕ enfunción de Ω.

Ejercicio 2.32. Un sistema mecánico está constituido porun disco homogéneo de masa m, radio a y centro B, unido auna varilla AB de masa m, longitud 2a y colocada perpendi-cularmente al disco de modo que éste puede girar librementealrededor de aquélla. Además, por la varilla puede deslizarsin rozamiento una partícula de masa m, la cual está unidaal extremo A por un muelle sin masa de longitud natural by constante de rigidez K . Todo este sistema, se coloca sobreuna plataforma horizontalque está girando con velocidad an-gular constante Ω, alrededor de un eje fijo perpendicular a laplataforma y que pasa por un punto O de ella. La colocaciónse realiza de modo que el extremo A de la varilla se mantieneinmóvil en un punto del eje de giro de la plataforma y talque OA = a, mientras que el disco rueda sin deslizar sobre laplataforma. Se pide

1. Ecuaciones de la ligadura de rodar sin deslizar.2. Ecuaciones del movimiento.3. Si en el instante inicial, el sistema está en reposo res-

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pecto a la plataforma y la partícula está en el puntomedio de la varilla, calcúlese la trayectoria del sistemapor medio de cuadraturas.

Ejercicio 2.33. Una esfera de radio a y masa m, rueda sindeslizar sobre un plano inclinado fijo de ángulo α. Probar

1. Que la componente de la velocidad angular de la esferasegún la normal al plano inclinado es constante.

2. Que la trayectoria del centro de masas de la esfera es unaparábola cuyo latus rectum es 14V 2/(5g senα), siendoV la componente de la velocidad inicial del centro demasas paralela a la arista del plano.

Supóngase ahora que el plano inclinado gira con velocidadangular constante Ω alrededor de un eje vertical fijo. Se pide

3. Ecuación de la ligadura de rodar sin deslizar, expresadaen función de la velocidad angular de la esfera ω, elversor k normal al plano y el vector de posición r delcentro de la esfera respecto al punto de intersección deleje vertical con el plano inclinado.

4. Probar que ak ·ω+Ω·r es una constante del movimiento.

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