ME: Una visión de su evolución

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Ricardo Cantoral, Rosa Mara Farfn, Javier Lezama, Gustavo Martnez-SierraSocioepistemologa y representacin: algunos ejemplos

Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa, nm. Esp, 2006, pp. 83-102,Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa

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Fecha de recepcin: Marzo de 2006/ Fecha de aceptacin: Mayo de 2006. Centro de Investigacin en Matemtica Educativa (Cimate). Facultad de Matemticas, Universidad Autnoma deGuerrero (en receso sabtico 2005 2006). Departamento de Matemtica Educativa Cinvestav, IPN.

rea de Educacin Superior. Departamento de Matemtica Educativa Cinvestav, IPN. Programa de Matemtica Educativa del Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada del IPN. Cimate. Facultad de Matemticas, Universidad Autnoma de Guerrero.

Socioepistemologa y representacin:algunos ejemplos

Ricardo Cantoral 1Rosa-Mara Farfn 2

Javier Lezama 3Gustavo Martnez-Sierra 4

RESUMEN

Este artculo discute, en distintos planos y con el empleo de diversos ejemplos, un papelpara la nocin de prctica social en la construccin de conocimiento matemtico y decmo se articula con procesos de representacin. Particularmente, estudiamos algunasactividades como medir, predecir, modelar y convenir, como escenarios de construccinsocial de conocimiento matemtico.

PALABRAS CLAVE: Socioepistemologa, prctica social, representacin.

ABSTRACT

In this article we discuss, at different levels and through several examples, one role thatthe notion of social practice can play in the construction of mathematical knowledge andits articulation with processes of representation. Particularly, we study some activitiessuch as measuring, predicting, modeling and agreeing as scenarios of social constructionof mathematical knowledge.

KEY WORDS: Socioepistemology, social practice, representation.

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Relime, Nmero Especial, 2006, pp. 83-102.

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RESUMO

Este artigo discute, em distintos planos e com o emprego de diversos exemplos, um papelpara a noo de prtica social na construo do conhecimento matemtico e de como searticula com os processos de representao. Particularmente, estudamos algumas atividadescomo medir, predizer, modelar e ajustar, como cenrios de construo social de conhecimentomatemtico.

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Introduccin

En un sentido amplio, digamos quetradicional, la teora del conocimiento haconsiderado a la Representacin comouna imagen, una idea, una nocin o msampliamente, un pensamiento expresado,formado al nivel mental y que estpresente de modo consciente. En estesentido la representacin precisa deaquello que habr de ser re-presentado es decir, vuelto a presentar, requiere portanto de un Objeto con existencia previacuya captacin intelectual reproduzcamentalmente a travs de traer al presentelas situaciones vividas, o de anticipareventos por venir que condensen laexperiencia adquirida. Bajo ese enfoque,la actividad semitica no puede crear alobjeto, pues slo lo re-presenta, es por elloque algunos autores han sealado crticasa su sustento epistemolgico. Radford,(2004), por ejemplo, citando a Peirce,deca que el signo no crea al objeto: aqules solamente afectado por ste. En pocaspalabras, en las diferentes escuelas depensamiento que adoptan una perspectivatrascendental respecto a los objetosmatemticos (que sea el caso delidealismo o del realismo), los signosconstituyen el puente de acceso a esos

objetos conceptuales vistos como situadosms all de las peripecias de la accinhumana y la cultura. Para Radford, es laactividad humana la que produce al objeto.El signo y la forma en que ste es usado(esto es, su sintaxis) forma necesariamentecultural en tanto que inmersa en SistemasSemiticos Culturales de significacin sonconsiderados como constitutivos del objetoconceptual: stos objetivan al objeto. (op.Cit., p. 14).

El enfoque socioepistemolgico compartela tesis, de la semitica cultural, queconfiere a la actividad humana la funcinde produccin del objeto, aunque el nfasissocioepistemolgico no est puesto ni enel objeto preexistente o construido, ni ensu representacin producida o innata; sinoms bien se interesa por modelar el papelde la prctica social en la produccin deconocimiento a fin de disear situacionespara la intervencin didctica. Claramente,ello exige de un posicionamiento sobre elsentido que adquiere la expresin prcticasocial, en este enfoque.

Se asume como tesis fundamental queexiste una profunda diferencia entre la

PALAVRAS CHAVE: Socioepistemologia, prtica social, representao.

RSUM

Dans cet article nous discutons, sur des plans diffrents et travers lutilisation de plusieursexemples, dun rle que la notion de pratique sociale peut jouer dans la construction dusavoir mathmatique et de son articulation avec des processus de reprsentation. Enparticulier, nous tudions quelques activits comme mesurer, prdire, modeler et conveniren tant que scnarios de construction social du savoir mathmatique.

MOTS CLS : Sociopistmologie, pratique sociale, reprsentation.

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realidad del objeto la llamada realidadimplicada y la realidad descrita queproducen los seres humanos en su accindeliberada para construir su realidadexplicada. La socioepistemologa hatratado el problema de la representacinde un modo singular, pues no buscadiscurrir tericamente sobre la accin derepresentar al objeto mediante artefactos,herramientas o signos, sino que se ubicaa ras de las prcticas y de la forma enque stas son normadas por prcticassociales.

En primer trmino, es importante que sedistinga la nocin de prctica en un sentidollano, de aquella que usamos en esteenfoque. La prctica social la entendemoscomo normativa de la actividad, ms quecomo actividad humana reflexiva oreflexin sobre la prctica; o aun como seseala en (Radford, 2004), comointeriorizacin reflexiva de prcticassociales histricamente constituidas. Ahradica una de las principales distincionestericas del enfoque socioepistemolgico:la prctica social no es lo que hace en sel individuo o el grupo, sino aquello queles hace hacer lo que hacen (Covin,2005). De este modo, se pretende explicarlos procesos de construccin, adquisiciny difusin del saber matemtico con baseen prcticas sociales. En susinvestigaciones, los socioepistemlogosreportan ms bien caracterizaciones delejercicio de las prcticas que anteceden ala produccin o construccin de conceptosy al desarrollo del saber.

Segn este encuadre terico, es precisomodificar el foco: pasar de los objetos alas prcticas. Los enfoquesreificacionistas centrados en objetos,buscan explicar el proceso mediante elcual se llega a la construccin del objeto yminimizan el papel que desempea latriada: herramientas, contextos y

prcticas. El cambio de centracinproducir un deslizamiento de orden mayorhacia explicaciones sistmicas, holsticas,complejas y transdisciplinarias, en virtudde que la accin cognitiva no busca laapropiacin de objetos a travs de suspartes, sino que asume que stos noexisten objetiva y previamente, ahafuera, previos a la experiencia, sino quems bien los objetos son creados enel ejercicio de prcticas normadas (tesiscompartida con la semitica cultural). Enconsecuencia, se cuestiona la idea de quela cognicin se reduzca a la accin derecobrar el entorno inmediato mediante unproceso de representacin, para asumirque la cognicin sea as entendida comola capacidad de hacer emerger elsignificado a partir de realimentacionessucesivas entre el humano y su medioambiente prximo, tanto fsico comocultural, a partir de una interaccindialctica entre protagonistas. Estainteraccin, socialmente normada, da a laprctica, inevitablemente, una connotacinde prctica social. El conocimientoentonces, como se ha sealado en (Varelaet al., 1997) depende de las experienciasvividas que, a su vez, modifica las propiaspercepciones y creencias.

1. La socioepistemologa

Debemos sealar que la aproximacinsocioepistemolgica a la investigacin enmatemtica educativa busca construir unaexplicacin sistmica de los fenmenosdidcticos en el campo de las matemticas,no slo discute el asunto de la semiosis oel de la cognicin de manera aislada, sinoque busca intervenir en el sistema didcticoen un sentido amplio, al tratar a losfenmenos de produccin, adquisicin y dedifusin del conocimiento matemticodesde una perspectiva mltiple, queincorpore al estudio de la epistemologa del

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conocimiento, su dimensin sociocultural,los procesos cognitivos asociados y losmecanismos de institucionalizacin va laenseanza (Cantoral & Farfn, 2003).

En este enfoque se pone nfasis el hechode que las aproximaciones epistemolgicastradicionales, han asumido que elconocimiento es el resultado de laadaptacin de las explicaciones tericas conlas evidencias empricas, ignorando, enalgn sentido, el papel que los escenarioshistricos, culturales e institucionalesdesempean en la actividad humana. Lasocioepistemologa, por su parte, se planteael examen del conocimiento matemtico,social, histrica y culturalmente situado,problematizndolo a la luz de lascircunstancias de su construccin y difusin(Cantoral & Farfn, 2004).

La aproximacin socioepistemolgica a lainvestigacin en matemtica educativa seocupa entonces, especficamente, delproblema que plantea la construccinsocial del conocimiento matemtico y desu difusin institucional. Dado que esteconocimiento adquiere el estatus de saberslo hasta que se haya constituidosocialmente, en mbitos no escolares, sudifusin hacia y desde el sistema deenseanza le obliga a una serie demodificaciones que afectan directamentesu estructura y su funcionamiento, demanera que afectan tambin a lasrelaciones que se establecen entre losestudiantes y su profesor. Bajo esteenfoque se han producido una grancantidad de investigaciones empricas y delas cuales citamos algunas (Alans et al,2000; Arrieta, 2003; Cantoral, 1990, 1999;Cantoral & Farfn, 1998; Cordero, 2001;Covin, 2005; Lezama, 2003; Lpez, 2005;Martnez Sierra, 2003; Montiel, 2005).

En su intento por difundir estos saberes,la socioepistemologa sostiene que se

forman discursos que facil itan larepresentacin en matemticasalcanzando consensos entre los actoressociales. Nombramos a estos discursoscon el trmino genrico de discursomatemtico escolar (Cantoral, 1990).Debemos aclarar que la estructuracin dedichos discursos no se reduce a laorganizacin de los contenidos temticos,ni a su funcin declarativa en el aula (eldiscurso escolar), sino que se extiende untanto ms all, al llegar al establecimientode bases de comunicacin para laformacin de consensos y la construccinde significados compartidos; en estesentido se trata ms bien de una unidadcultural en el sentido de Minguer (2004).

Para mostrar lo anterior, consideremos elsiguiente hecho. El tratamiento didcticode las distintas clases de funciones atravs de sus representaciones grficasenfrenta dificultades serias al momento deevaluar los logros al nivel de lacomprensin por parte de los estudiantes.Si bien la mera clasificacin visual de susrepresentaciones puede ser un elementode partida para distinguirlas en unaexplicacin didctica, habr que explorarms profundamente aquellos elementosque les permitan aproximarse a lanaturaleza de las distintas clases defunciones. Al poner en escena unasituacin didctica relativa al tratamientode la funcin 2x entre estudiantes debachillerato (15 17 aos), a fin de que seapropiaran del concepto de funcinexponencial, se favoreci el empleo decriterios geomtricos: localizar puntos enel plano, identificar regularidades paratransitar de la figura a sus propiedades.Para inducirles a construir, basados en lacoordinacin de elementos geomtricos ygrficos, una curva a partir de un atributoanaltico. Se propici tambin la induccinde lo local a lo global, partiendo decasos particulares se les solicitaba que


argumentasen sobre la posibilidad delocalizar otros puntos ms y de ah, secuestionaba sobre la naturaleza especficade la funcin 2x.

Presentamos a cont inuacin dosfragmentos realizados por equipos deestudiantes, para dotar de ciertaevidencia empr ica nuestrasafirmaciones. La secuencia propusoactividades para la localizacin depuntos en el plano que formasen partede la grfica de la funcin 2x. Como sepuede observar en la Figura 1, losestudiantes ponen de manifiesto quetienen una imagen de la representacingrfica de la funcin creciente con trazocontinuo. Tambin se puede observarque la localizacin de los puntos sobrela grfica (como pares ordenados) nocorresponde a la escala que se planteaen los ejes.

El haberles solicitado la obtencin dedeterminados puntos sobre la grfica,permiti que se iniciara una discusinsobre el significado de elevar a unapotencia. En la figura se observa que leasocian, a la expresin 2 x distintosvalores a la x lo que les lleva a explorarel significado de elevar a potencia paradistintas clases de nmeros. (Potenciaentera, 3; potencia racional, ; y aun elcaso de una potencia irracional, . Anteesto l t imo los estudiantes norepresentan nada).

El ubicar puntos especf icos parapotencias, enteras y racionales,problematiza entre los estudiantes elcarcter creciente de la funcin y sutrazo continuo, hay en el dibujo unapregunta tcita cmo se eleva a lapotencia ?

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Figura 1

En la siguiente figura, de nueva cuenta, losestudiantes tienen una idea de la funcin2x mediante una representacin grfica,creciente y con trazo continuo,bosquejndola de manera general ypermitindonos ver que no reparan anteel caso de que la variable x tome el valorde cero o sea incluso negativa. Encontraste, observamos junto a ese trazo,la localizacin de los segmentos de valor21/4, 21/2, 21, etc., que fueron obtenidos atravs de la aplicacin del algoritmogeomtrico de la media geomtrica en lasemicircunferencia. Podemos interpretar elempleo de dicho algoritmo, como unejercicio de medicin, ya que es construidoa partir de la definicin de una determinadaunidad de medida. En el caso del grficode la izquierda las ordenadas tienen unsignificado concreto, explcito para losestudiantes: son segmentos de longitud21/4, 21/2, 21, etc. Este ejercicio de medirpermite comparar a los segmentos y conellos aproximarse a una idea especfica de

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crecimiento, ya no es arbitrario como en elgrfico siguiente, sino que sigue un patrnsusceptible de comparacin y descripcindetallada.

Figura 2

La representacin grfica, aun respetandolas escalas y dibujndola con granexactitud, no garantiza una comprensinde la trama interna de la misma, es hastaque se agrega una accin, una prcticaconcreta, proveniente del cmulo deexperiencias de los alumnos durante suvida, la de medir segmentos, lo que lespermite en principio entender la naturaleza

(P + PQ)m

n= P

m

n +m

nP

m

n Q + mn

m n

2n Pm

n Q2 + mn

m n

2nm 2n

3n Pm

n Q3 + etc .

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del crecimiento de la funcin 2x. Larepresentacin no existe como tal hastaque algunas prcticas cotidianas comomedir, comparar, observar son llevadas acabo, son ejercidas. En este sentido, laaproximacin socioepistemolgica pone sunfasis en el papel de las prcticas socialesen la construccin del conocimiento. Restaaun discutir a mayor profundidad cul esla prctica social que subyace al empleo ya la necesidad de la medicin; sinembargo, dado que no es asunto de esteescrito puede consultarse (Lezama, 2003).

Una explicacin ms amplia sobre el papelque desempean las prcticas, tanto lasde referencia como las sociales, en laconstruccin de conocimiento, puedeobtenerse de los siguientes ejemplos.Cada uno de ellos obedece acircunstancias especficas y no haremosde ellos un estudio a profundidad.

2. La prediccin, el binomio deNewton y la serie de Taylor

Por qu Newton represent por vezprimera a su binomio como (P + PQ)m/n yno, como es usual hoy da a (a + b)n? Lasexpresiones aunque matemticamente

equivalentes, son distintas conceptualmente.

Una lectura ingenua de tales expresiones nos hara creer que se trata slo de un asuntode la notacin propia de la poca; en nuestra opinin, ello no es as. Se trata de unaverdadera concepcin alternativa del binomio, que se apoya en una epistemologasensiblemente diferente de la que hoy enseamos en clase. De hecho, obedece a unprograma emergente, alternativo en el campo de la ciencia y la filosofa, con el que se

(a + b)n = an + nan1b + n(n 1)2! an 2b2 +

n(n 1)(n 2)3! a

n 3b3 + ...


buscaba modelar, anticipar, predecirfenmenos naturales con respaldomatemtico. Un amplio programa dematematizacin de los fenmenossusceptibles de modelar con una fructferametfora del flujo del agua, metfora quese aplicara por igual a la evolucin de muydiversas magnitudes.

La idea bsica a la que nos referimosconsiste en la asuncin de que con laprediccin de los fenmenos de flujocontinuo en la naturaleza, era posibleanunciar, anticipar, su estado ulterior. Puesconociendo ciertos valores iniciales de unsistema en evolucin, sabramos la formaen la que ste progresa. Centremos laatencin en la cinemtica de una partculaque se desplaza rectilneamente; situacinen la que se precisa de una prediccin delargo alcance en mbitos de variacincontinua. Desde nuestro punto de vista,la prediccin se construye socialmente apartir de las vivencias y experienciascotidianas de los individuos y de los grupossociales. Pues en ciertas situacionesnecesitamos conocer el valor que tomaruna magnitud B con el paso del tiempo.Sabemos, por ejemplo, que B depende asu vez de otra magnitud P que fluyeincesantemente. Necesitamos saberentonces el valor que tomar B antes deque transcurra el tiempo, antes de que Ptransite del estado uno al estado dos. Perodada nuestra imposibilidad de adelantarel tiempo a voluntad debemos predecir. Ental caso, no disponemos de razones paracreer que en este caso, el verdadero valorde B est distante de las expectativas quenos generan los valores de B y de P en unmomento dado, de la forma en la que P yB cambian, de la forma en la que cambiansus cambios, y as sucesivamente. Elbinomio de Newton (Newton, 1669), sepresenta como una entidad que emergeprogresivamente del sistema de prcticassocialmente compartidas ligadas a la

resolucin de una clase de situaciones queprecisan de la prediccin. De modo que siP evoluciona de cierta manera, la preguntacentral consiste en saber cmo ser B(P)si conocemos el inicio de P, el cambio quesufre P, el cambio del cambio de P,etctera. El binomio fue entonces, unarespuesta a la pregunta y una organizacinde las prcticas sociales.

El caso de mayor inters se presenta,naturalmente, cuando no se dispone enforma explcita de la relacin entre B y P.En ese caso, habr que hacer emergerprogresivamente una nueva nocin, unanocin que permita de algn modo lageneracin de la solucin ptima a unaclase de situaciones propias de laprediccin. Para el lo habr queconsiderar tanto la diversidad decontextos en los que puede suceder lavariacin, como la var iedad defenmenos estudiados con estrategiassimilares. En su momento, este programanewtoniano de investigacin llev alsurgimiento de una progresiva cadena deelaboraciones tericas, cada vez msabstractas, que culmina, por as decirlocon el programa lagrangiano dondehabr de emerger la nocin de funcinanaltica. Los detalles de este estudiopueden consultarse en (Cantoral, 1990,2001).

Ejemplifiquemos esta situacin en uncaso simple. Supongamos que tenemoslos valores iniciales (en el tiempo t = 0),tanto de la posicin s(0) = s0, como de lavelocidad v(0) = v0, y la aceleracina(0) = a0 de una partcula que se desplazasobre una recta. Para cualquier instanteposterior t la posicin s(t), la velocidadv(t) y la aceleracin a(t) estarndadas mediante el instrumento parapredecir, a saber, la serie de Taylor,f(x) = f(0) + f(0)x + f (0)x2 /2! + ... La seriedeviene en:

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s(t) = s(0) + s(0)t + s(0)t2 /2! + ...v(t) = v(0) + v(0)t + v(0)t2 /2! + ...a(t) = a(0) + a(0)t + a(0)t2 /2! + ...

En notacin usual:

s(t) = s0 + v0t + at2v(t) = v0 + ata(t) = a

En este ejemplo, es el tratamiento de laprediccin de fenmenos de movimiento,lo que da lugar a un sucesivo proceso dematematizacin de una gran cantidad denociones y procesos matemticos.Estrictamente hablando, no se buscrepresentar un objeto, ni construirlo a partirde su representacin. Se intenta, segnla visin de la ciencia del periodo,simplemente predecir el cambio. En estesentido, la prediccin en tanto que no esun objeto matemtico, tiene que entrar enla problemtica terica no como nocin, orepresentacin, sino como prctica social.Para la socioepistemologa el foco delanlisis estar puesto no en el binomio ens, en tanto signo o artefacto que mediatizala actividad, sino en la bsqueda de laprediccin como prctica social.

Veamos un segundo ejemplo en el cual, adiferencia del anterior, el fenmeno mismoque ser tratado, el fenmeno natural queintentan describir con el mtodo predictivo,estaba aun poco claro para losinterlocutores. El calor como nocin, noemerge aun con la claridad requerida.Qu se representa entonces?

3. Teora analtica del calor

El ejemplo de la propagacin del calorresulta til para mostrar de qu manera,antes que el objeto y su representacin,est la praxis, y con sta la significacincultural. La propagacin del calor resulta

un asunto desafiante, pues no trata de unobjeto matemtico como tal, sino de uncontexto en que habran de ejercer ciertasprcticas los cientficos e ingenieros de unapoca y de una circunstancia especfica. Fueuna cuestin a la que tanto la MecnicaRacional como el Anlisis Matemtico delsiglo XVIII no dieron respuesta cabal, y deello da cuenta la histrica controversiasuscitada a raz de la cuerda vibrante. Al ladode este desarrollo, encontramos elsurgimiento de la ingeniera matemticasobre la prctica tradicional y el papelsustantivo que una institucin de educacinsuperior, la cole Polytechnique, tuvo parasu posterior consolidacin. As pues, elasunto matemtico que estaremosejemplificando, el del estudio de laconvergencia de series infinitas, se inscribeen el ambiente fenomenolgico de laconduccin del calor, en estrecha relacincon la prctica de la ingeniera, dio a luz,gracias a la conjuncin de, por supuesto,innumerables variables, de entre las cualesdestacamos como antecedentes al clculoalgebraico y al surgimiento de la ingenieraen el siglo XVIII. Es decir, una prctica socialque normaba el quehacer de los cientficosy tecnlogos de la poca: Predecir elcomportamiento de lo que fluye, fuese elcalor, el movimiento o los flujos elctricos,la intencin ltima de este programarenovador era el de mostrar el papel delsaber como la pieza clave de la vida futurade esa sociedad. Es importante ubicar queesto se da en el marco de laprofesionalizacin de una prctica dereferencia, la prctica de la ingeniera y porende en el seno de la comunidad politcnica.La cuestin entonces no se redujo a conocerun objeto matemtico, sino el mostrar quela prctica de la ingeniera podra sercientfica. La funcin normativa de la prcticasocial hara su aparicin en forma dediscurso matemtico y enseguida, casi almismo tiempo, como una forma dediscurso matemtico escolar.

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El surgimiento del concepto deconvergencia, que data del siglo XIX seda en un ambiente fenomenolgico desingular relevancia para la IngenieraMatemtica; la propagacin del calor endonde la variacin est presente y laecuacin en la que tal variacin sesignifica:

En los inicios del desarrollo de lahumanidad, cuando las diversasexperiencias se examinan por vez primera,se recurre de entrada a la intuicin reinantedel fenmeno, ya sea de lo calrico parael caso que nos ocupa, del mpetu o delter, en otros. De este modo, es con localrico que se realiza mejor laconduccin, o con el mpetu que se da elmovimiento. Se precis de una revolucindel conocimiento cientfico para agruparen una unidad fundamental alconocimiento y la manera de percibirlo.

Con la obra de Biot (1774 - 1802) laexperiencia se dirige hacia la medida y elclculo, y se desecha la explicacin delfenmeno mediante la nocin de calrico,valindose de las indicacionessuministradas por termmetros, y seobtiene as la primera ecuacin diferencialque rige al fenmeno. Sin embargo, loscoeficientes constantes no fueronanalizados, no se distingui entre lo quees propio del cuerpo especfico, de aquelloque persiste independientemente de l. Enespecial, los parmetros deconductibilidad, de densidad, de calorespecfico, permanecen en un nicocoeficiente emprico. La tarea constructivaculmina con la Thorie Analytique de laChaleur (1822) de Fourier, en donde seanaliza el problema de la propagacin delcalor en los slidos, que consiste endescribir el comportamiento del fenmeno

de propagacin, buscando aquello establey permanente, que se conserva inalterablecon el fluir del tiempo. Esto es, la ecuacinque gobierna el comportamiento delsistema.

Como Fourier llega finalmente a la ecuacindiferencial de Biot, que ha recibido la sancinde la experiencia, se puede decir que elmtodo de Fourier ha logrado la construccinmatemtica completa del fenmeno. Depaso, se rompen o, mejor an, se niegan,los conceptos fundamentales del anlisismatemtico del siglo XVIII, como: el defuncin, el papel del lgebra, el continuo real,as como la interpretacin fsica de lassoluciones, y se inicia el estudio de laconvergencia de series infinitas, pilarfundamental del Anlisis Matemticomoderno. Salta a la vista la importanciasingular de la obra de Fourier, tanto para laingeniera como para el anlisis matemticomismo. De suerte tal, que determinar elestado estacionario del sistema conduce,necesariamente, a un estudio de laconvergencia de una serie trigonomtricainfinita. La bsqueda de la prediccin y laprediccin como prctica, antecede alproceso de significacin y de representacinde objetos. Es decir, son las prcticas y nosus representaciones las que forman enprimera instancia al saber matemtico.

En este ejemplo, qu objeto matemticose representa?, no hay objetopreestablecido, ni preexistente, estos sonconstruidos por los actores con elejercicio de sus prcticas y normados porsu bsqueda de la prediccin. Se pasadel oficio a la profesin gracias al logrode la funcin normativa de la prcticasocial.

A fin de mostrar el problema particularcon el que Fourier inicia este estudio,entresacamos algunas notas de supublicacin original:

dvdt =

KCD

d2vdx2 +

d2vdy2 +

d2vdz 2

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Suponemos que una masa slidahomognea est contenida entredos planos verticales B y Cparalelos e infinitos, y que se hadividido en dos partes por unplano A perpendicular a los otrosdos (ver figura); consideraremoslas temperaturas de la masa BACcomprendida entre los tresplanos inf initos A, B, C. Sesupone que la otra parte BACdel slido infinito es una fuenteconstante de calor, es decir, quetodos esos puntos permanecencon temperatura 1, la cual nopuede llegar a ser jams menorni mayor. En cuanto a los dossl idos laterales, unocomprendido entre el plano C yel plano A prolongado y el otroentre el plano B y el Aprolongado, todos los puntos deambos tienen una temperaturaconstante 0, y una causa exteriorlos conserva siempre a la mismatemperatura; en f in, lasmolculas del sl idocomprendido entre A, B y Ctienen la temperatura inicial 0. Elcalor pasar sucesivamente dela fuente A al slido BAC; l sepropagar en el sentido de lalongitud inf inita y, al mismotiempo, se desviar hacia lasmasas fr as B y C, quienesabsorbern una gran cantidad.Las temperaturas del slido BACse elevarn ms y ms; peroellas no podrn pasar ni aunalcanzar un mximo detemperatura, que es diferentepara los distintos puntos de lamasa. Tratamos de conocer elestado final y constante al cualse aproxima el estado variable.

Temperatura constante igual a 1

As, el problema consiste endeterminar las temperaturaspermanentes de un slidorectangular infinito comprendidoentre dos masas de hielo B y C yuna masa de agua hirviendo A; laconsideracin de los problemassimples y primordiales es uno delos medios ms seguros para eldescubrimiento de leyes defenmenos naturales, y nosotrosvemos, por la historia de lasciencias, que todas las teoras sehan formado siguiendo estemtodo. (Fourier, 1822; traduccinlibre al espaol por los autores )

Para el caso particular propuesto, laecuacin general se reduce a

pues se omite tanto la coordenada z comosu correspondiente derivada parcial (elgrosor se considera infinitesimal). Dadoque se trata de determinar el estadoestacionario, independiente del tiempo (esdecir, constante respecto del tiempo),deber tenerse que:

vt =

KCD

2vx2 +

2vy 2


.

As que la ecuacin por resolver es:

.

Si una funcin satisface la ecuacin,deber cumplir con las siguientescondiciones:

i) Anularse cuando se sustituye oen lugar de y, cualquiera que sea, por otrolado, el valor de x.

ii) Ser igual a la unidad si se supone x=0y si se le atribuye a y un valor cualquieracomprendido entre y .5

Es necesario aadir que esta funcin debellegar a ser extremadamente pequeacuando se da a x un valor muy grande, yaque todo el calor surge de una sola fuenteA, condiciones que hoy nombramos defrontera. Fourier encuentra la solucin porun mtodo de separacin de variables,considerando que la temperatura v se puedeexpresar como el producto de una funcinde x por una funcin de y, v = F(x) f(y),obtenindose:

v = a e-x cos y + b e-3x cos 3y + c e-5x cos 5y +...(b)

en este punto Fourier hace notar: ... No

Esto es debido a que la longitud del lado finito BAC es . Ntese que, en el trabajo de Fourier, la abscisa la denota por y,mientras que a la ordenada por x (ver figura).

La consideracin de los valores de una funcin en un intervalo es nueva; recurdese que en el siglo XVIII eso careca designificado.

Pero, a diferencia de Bernoulli que presenta argumentos fsicos para la demostracin del problema, aqu Fourier nosmuestra que la solucin matemtica es coherente con la situacin fsica, pero la demostracin se inserta en la matemticamisma, sin alusin a argumentos que no pertenecen a ella. As, se inicia la separacin entre la fsica y las Matemticas, quedesde la antigedad caminaban estrechamente ligadas una de la otra.

5

6

7

vt = 0

2vx2 +

2vy 2 = 0

pi

2 +pi2

pi

2 pi

2

pi

2 +pi2

pi

2 +pi2

se puede inferir nada para los valores quetomara la funcin si se pone en lugar deuna cantidad que no est comprendidaentre y ... 6

As, (b) se convierte en

1 = a cos y +b cos 3y + c cos 5y + d cos 7y +...

para y ; ahora slo restacalcular la infinidad de coeficientesa,b,c,d,... . A nuestros ojos, la solucin yaest dada (salvo por dicho clculo); paraFourier, en cambio, es necesario justificarla solucin fsicamente7 antes de realizartal clculo y aade:

Supongamos que la temperatura fija dela base A, en lugar de ser igual a launidad para todos los puntos, sea tantomenor entre ms alejado est el punto0 de la recta A, y que sea proporcionalal coseno de esta distancia; seconocer fcilmente, en ese caso, lanaturaleza de la superficie curva cuyaordenada vertical expresa latemperatura u, o f(x,y). Si se corta estasuperficie por el origen con un planoperpendicular al eje de las x, la curvaque determina la seccin tendr porecuacin

v = a cos y ;

los valores de los coeficientes sern lossiguientes

a = a, b = 0, c = 0, d = 0,

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y as sucesivamente, y la ecuacin dela superficie curva ser

v = ae-x cos y.

Si se corta esa superficieperpendicularmente al eje de las y, setendr una logartmica cuya convexidades devuelta hacia el eje; si se le cortaperpendicularmente al eje x, se tendruna curva trigonomtrica que tiene suconvexidad hacia el eje. Se sigue de ahque la funcin tiene siempre

un valor positivo, y que el de es

2vx2 2v

y2siempre negativo. Ahora bien (art. 1 3),la cantidad de calor que una molculaadquiere, de acuerdo con su lugar entreotras dos en el sentido de las x, es

proporcional al valor de ; por2v

x2tanto, se tiene que la molculaintermedia recibe, de la que precede enel sentido de las x, ms calor del queella le comunica a la que le sigue. Pero,si se considera esta misma molculacomo colocada entre otras dos en elsentido de las y, siendo negativa lafuncin , se ve que la molcula

2v

y2intermedia comunica a la que le siguems calor que lo que recibe de laprecedente. Se llega as, que elexcedente de calor que ella adquiereen el sentido de las x se compensaexactamente con lo que pierde en elsentido de las y, como lo expresa laecuacin

Se sabe as la ruta que sigue el calorque sale de la fuente A. l se propagaen el sentido de las x, y al mismo tiempose descompone en dos partes, una sedirige hacia uno de los ejes, mientrasque la otra parte contina alejndosedel origen para descomponerse comola anterior, y as sucesivamente hastael infinito. La superficie que

2vx2 +

2vy 2 = 0

consideramos es engendrada por lacurva trigonomtrica que responde a labase A, y se mueve perpendicularmenteal eje de las x, siguiendo este eje,mientras que cada una de susordenadas decrece al infinito,proporcionalmente a las potenciassucesivas de una misma fraccin.

Se obtendrn consecuencias anlogas silas temperaturas fijas de la base A fueranexpresadas por el trmino b cos 3y, o unode los trminos siguientes c cos 5y...; yse puede, despus de esto, formarseuna idea exacta del movimiento delcalor en el caso general; ya que se ver,por lo que sigue, que ese movimientose descompone siempre en unamultitud de movimientos elementales,en donde cada uno se comporta comosi fuese solo. (Fourier, 1822; traduccinlibre al espaol por los autores )

En el episodio anterior, tanto Fourier comoBiot y los ingenieros egresados de laPolytechnique, estn interesados enanticipar el comportamiento de la naturaleza,en modelarla, su bsqueda no podraentonces ser reducida a la accin derepresentar un objeto preexistente, unanocin, un concepto o un procedimiento, sinodebe ampliarse al nivel de la prctica: cmoser posible confundir en este caso, al objetocon su representacin?, tiene, en estecontexto, sentido tal pregunta?

Para finalizar este artculo, mostramos cmolas prcticas sociales a las que nos hemosreferido, no estn exclusivamente ligadas ala actividad inmediata. Desarrollamos unejemplo relativo al proceso de convenir enmatemticas.

4. El proceso de convencinmatemtica

La acepcin que util izamos paraconvencin, es la de aquello que es


2, 3, 4, 5, 6,4, 8, 16, 32, 64,

conveniente para algn fin especfico;entonces una convencin matemtica esuna conveniencia para las matemticas.El anlisis socioepistemolgico de losexponentes no naturales muestra lapresencia de una manera comn, entre lossiglos XIV y XVIII,para posibilitar laconstruccin de cuerpos unificados ycoherentes de conocimiento matemtico, esdecir para la integracin sistmica deconocimientos. Designamos sintticamentea este proceso de construccin deconocimiento con la expresin convencinmatemtica. Las formas de estemecanismo pueden ser varias: unadefinicin, un axioma, una interpretacin,o una restriccin. La eleccin depende delos objetivos tericos. Convenir enmatemticas, puede entenderse comoproceso de bsqueda de consensos alseno de una comunidad que se norma porla prctica social relativa a dar unidad ycoherencia a un conjunto deconocimientos (Martnez Sierra, 2005).Por su naturaleza esta prctica seencuentra en el plano de la teorizacin.Este proceso de sntesis, conlleva elsurgimiento de propiedades emergentesno previstas por los conocimientosanteriores. Las convenciones matemticasseran una parte de tales propiedadesemergentes.

En el plano de la historia de las ideas, almenos dos tipos de formulacionesemergen para significar a los exponentes

no naturales. El primer tipo deformulaciones fue hecho en el contexto delo algebraico y el segundo en el mbito dela formulacin de coherencia entre loalgebraico y lo grfico. En el contextoalgebraico, la nocin de exponente nonatural surge de la intencin de preservarla relacin entre las progresionesaritmtica y geomtrica, a fin de unificarun algoritmo para la multiplicacin demonomios. En el contexto algebraicogrfico, la construccin de significadosemerge como organizador de las frmulasde cuadraturas de ciertas curvas.

En el marco de las formulacionesalgebraicas, los convencionalismos tienenpor finalidad el incluir nuevos objetosalgebraicos a la estructura operativaconformada por los diferentes caracterescsicos 8.

Primera formulacin algebraica. Encuanto a la multiplicacin, la regla de Aurel(1552) se basa en el comportamientoespecial de las sucesiones: la relacinentre la progresin aritmtica y progresingeomtrica (relacin PAPG) 9. Con estemarco de referencia se determinan losconvencionalismos para incluir al nmeroen la estructura operativa del conjunto{x, x2, x3, x4, x5,...}, que en la notacin deMarco Aurel (1552) corresponde alconjunto . Deesta manera el nmero 5 es representadocomo 5 y es multiplicado con los dems

En el lenguaje moderno se puede identificar estos caracteres csicos con la segunda potencia, la tercera potenciade la incgnita.

Es decir, si se coloca la progresin aritmtica que representa el nmero de multiplicaciones de la base y la progresingeomtrica que representa las potencias, se tiene que la adicin (resta) en la parte superior (la serie aritmtica) correspondea la multiplicacin (divisin) de la serie de abajo (geomtrica):

A la relacin expresada en el enunciado anterior la abreviaremos, en lo sucesivo, como la relacin entre la progresinaritmtica y geomtrica (relacin PA-PG).

8

9

,x,, ,,, ,b,, ,...{ }

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a travs de una nueva tabla de caracterescsicos que tienen la misma regla operativareferente a la relacin entre la progresinaritmtica y geomtrica. Lo anterior estexpresada en los siguientes trminos: Ycuando tu querras multiplicar vna dignidad,grado, o carcter con otro, mira lo que estaencima de cada uno y junta lo simplemente,y aquello que verna, mira encima de qualcarcter estara: tal diras que procede detal multiplicacion (Op. Cit.). As al utilizarla Tabla 1 se pueden hacer, por ejemplo,las multiplicaciones contenidas la Tabla 2.

x b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla 1. Caracteres csicos de Aurel y la relacinPA-PG

Notacin de Aurel

82

234

16 92132

506

26 300

----- -----

----- -----

Tabla 2. Multiplicaciones en la notacin de Aurel

En el marco de esta primera formulacinalgebraica los cocientes del tipo x5/x7, esdecir, donde el grado del dividendo esmenor que el del divisor, no son incluidoscomo caracteres csicos; ya que sloconsidera para la divisin el caso en queel dividendo y el divisor son monomios,distinguindose dos posibilidades: 1) el

grado del dividendo es menor que el deldivisor y 2) el grado del dividendo es mayorque el del divisor. En la primera posibilidadtal particin no se podr partir y quedarcomo quebrado; en la segunda, la reglade Aurel coincide con la actual(am/an=am-n con m>n).

Segunda formulacin algebraica, seencuentra en un contexto donde elprogreso en la operatividad con losnmeros negativos y el cero hace posiblela inclusin de los cocientes 1/x, 1/x2,....entre los caracteres csicos y suoperatividad. La formulacin surge dehaber admitido la operatividad decantidades negativas para despusenmarcarlas en la estructura algortmicade la relacin entre las progresionesaritmtica y geomtrica. En La triparty enla Science des Nombres, Chuquet, (1880/1484) construy una nocin de exponentecero y negativo (al parecer no utilizexponentes fraccionarios). Explica quecada nmero puede considerarse comocantidad estricta, y as para indicarlo, sepuede aadir un cero en la parte superiordel nmero, como por ejemplo, 120, 130para indicar 12 o 13. Pero cada nmeropuede considerarse como nmero primerode una cantidad continua, tambin dichonmero lineal, indicando as: 121, 131... obien nmero superficial cuadrado: 122, 132... y as, sucesivamente, hasta el orden quese quiera (120 quiere decir doce; 121 indica12x; 122 significa 12x2,...).

Es importante sealar que el superndicecero que util iza Chuquet significaausencia de variable. En este sentidoopta por abandonar las distintasnomenclaturas para designar el orden delas races, as como el de las potenciasde la incgnita, para exponer una formade denominacin unificadora, que facilitelas operaciones entre estas entidades.


El contexto de la formulacin est relacionada con las soluciones negativas que resultan de la resolucin formal deecuaciones lineales. Es por ello que al parecer uno de los objetivos de la aceptacin de los exponentes negativos era darlegitimidad a los nmeros negativos y su operatividad, pues eran usados para la operatividad consistente con los monomios.

Por ejemplo es bien conocida la forma en que Galileo estableci su ley de cada de los cuerpos a travs de entenderel rea determinada por una grfica velocidad-tiempo como la distancia recorrida por el cuerpo.

En trminos modernos la nocin de razn caracterstica se apoya en que

As se opera como sigue10, Chuquet utiliza.71.. para denotar 7/x.

Formulaciones algebraicasgrficasAl parecer los convencionalismosalgebraicos descritos, fueron marginalesa la sintaxis algebraica o al estudio de lacosa; dado que careca de sentido fueradel contexto algebraico. Podemos decirque la aceptacin de las potenciasmayores a tres fue posible gracias a laintroduccin de la representacincartesiana de las variables. En el marcode las formulaciones algebraicasgrficas,los convencionalismos tienen por finalidaddotar de coherencia a ambos elementos,lo algebraico y lo grfico.

Primera formulacin algebraicogrfica. Hacia finales del XVI se saba quelas curvas y = kxn (n = 1, 2, 3, 4,), llamadasde ndice n, tenan una propiedad llamadarazn caracterstica. Este conocimiento,segn Bos (1975), era propio de la pocadel clculo de reas determinadas pordistintas curvas, tanto mecnicas comoalgebraicas, y al significado que se asociaa las reas en contextos de variacin11.Tomando como ejemplo la curva y = x2 sedeca que sta tiene razn caractersticaigual a 1/3; ya que si tomamos un punto Carbitrario de la curva (Figura 1) el rea deAECBA guarda una proporcin de 1:3respecto del rea del rectngulo ABCD,es decir, el rea de AECBA es la mitaddel rea AECDA. En general, se saba deque la razn caracterstica de la curva de

10

11

12 (a > 0) x ndx0

a :a

n+1= 1:(n +1)

ndice n es 1/(n +1) para todos los enterospositivos n .12

Figura 1. Razn Caracterstica de la curva y = x2

En sus investigaciones acerca de lacuadratura de las curvas, Wallis utiliz loanterior para convenir que el ndice de

debe ser igual a 1/2 a fin deunificar la nocin de razn caractersticacon la nocin de ndice. Lo mismo puedeverse para ,cuya razn caractersticadebe ser 3/4=1/(1+1/3) por lo que su ndiceser 1/3. A continuacin Wallis afirma(segn Confrey & Dennis, 2000) que elndice apropiado de debe ser p/q yque su razn caracterstica es 1/(1+p/q);pero al no tener manera de verificardirectamente la razn caracterstica detales ndices, por ejemplo de ,retoma el principio de interpolacin el cualafirma que cuando se puede discernir unpatrn de cualquier tipo en una sucesin deejemplos, uno tiene el derecho de aplicar esepatrn para cualesquiera valoresintermedios. En el caso que interesa, l hacela siguiente tabla de razones caractersticasconocidas (R(i/j) denota la razncaracterstica, desconocida, de ndice i/j):

y = x2

y = x3

y = x pq

y = x 23

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q/b123456789

01=1/11=2/21=3/31=4/41=5/51=6/61=7/71=8/81=9/9

21/32/4

R(2/3)2/3=4/6R(2/5)3/4=6/8R(2/7)

4/5=8/10R(2/9)

31/4

R(3/2)1/2=3/6R(3/4)R(3/5)2/3=6/9R(3/7)R(3/8)

3/4=9/12

41/5

1/3=2/6R(4/3)1/2=4/8R(4/5)R(2/3)R(4/7)

2/3=8/12R(4/9)

51/6

R(5/2)R(5/3)R(5/4)

1/2=5/10R(5/6)R(5/7)R(5/8)R(5/9)

61/7

1/4=2/81/3=3/9R(3/2)R(6/5)

1/2=6/12R(6/7)R(3/4)R(2/3)

71/8

R(7/2)R(7/3)R(7/4)R(7/5)R(7/6)

1/2=7/14R(7/8)R(7/9)

Al aplicar el principio de interpolacinsobre la fila 5 se puede conjeturar, porejemplo, que R(3,5)=5/8 y sobre la columna3 que R(3,5)=5/8. Razonamientosemejante se puede hacer sobre la fila 10para establecer que R(3,5)=10/16 y sobrela columna 6 que R(3,5)=10/16.

Wallis tambin interpreta a los nmerosnegativos como ndices13. Define el ndicede 1/x como 1, el ndice de 1/x2 como 2,etc. A continuacin l intenta darcoherencia a estos ndices y a la nocinde razn caracterstica. En el caso de lacurva y = 1/x la razn caracterstica debeser 14. Acept este cociente1

1+1 =10 =

Deseamos aclarar que a travs de la literatura consultada no fue posible determinar claramente los motivos que tuvoWallis para dar tales definiciones; pero es de suponer que fueron tomadas de las convenciones de los exponentes queya se trabajaban en esa poca en el contexto algebraico (Martnez, 2003).

Lo que hoy se entiende por fracciones, en la poca de Wallis se conceba como proporcionalidad por lo que 1 es 0(nada) como es a 1.

13

14

E

A B

C

F

E

A B

C

F

D

como razonable debido a que el rea bajola curva 1/x diverge; el cual, al parecer, eraun hecho conocido en la poca. Lo anterior

puede ser interpretado como que laproporcin entre el rea de ABCEFA (Figura2) y el rea del rectngulo ABCD es de 1:0.Cuando la curva es y=1/x2 la razncaracterstica debe ser 1/(-2+1)=1/-1. Aqu,la concepcin de Wallis sobre la razn difierede la aritmtica moderna de nmerosnegativos. l no utiliza la igualdad 1/-1 = -1,ms bien l construye una coherencia entrediversas representaciones; que es enesencia una convencin matemtica.Debido a que el rea sombreada bajo lacurva y=1/x2 es ms grande que el rea bajola curva 1/x, concluye que la razn 1/-1 esmayor que infinito (ratio plusquam infinita).Contina concluyendo que 1/-2 es inclusoms grande. Esto explica el plural en el ttulode su tratado Arithmetica Infinitorum, de lacual, la traduccin ms adecuada sera LaAritmtica de los Infinitos.

Figura 2. Razn Caracterstica de la curva y = 1/x


Lo anterior nos motiva a enfocar nuestraatencin en los procesos de integracinsistmica de un conjunto deconocimientos. Tericamente, desde unprincipio, esta bsqueda de integracin,que es una bsqueda de relaciones,puede tener dos salidas: 1) La rupturaocasionada por dejar a un lado unsignificado por otro que eventualmente esconstruido para la tarea de integracin; esdecir, cambiar la centracin de significadoy 2) La continuidad al conservar unsignificado en la tarea de integracin.Entonces, la convencin matemticapuede ser interpretada como unapropiedad emergente para establecer unarelacin de continuidad o de ruptura designificados.

En nuestros ejemplos respecto a lasformulaciones de Wallis, la bsqueda decoherencia entre la nocin de ndice y derazn caracterstica (en donde la razn/proporcin posee significados especficosque difiere de considerarla como nmero)provoca dos convencionalismos: el ndicede como 1/2 y diversos tipos deinfinito representados por 1/0, 1/-1, 1/-2,etc. Esto seala el carcter conveniente yrelativo de la convencin matemticarespecto a la integracin de las nocionesde ndice y razn caracterstica y lasrepresentaciones algebraicas y grficas.Hoy en da la convencin de considerar alas proporciones 1/0, 1/-1, 1/-2 comodiversos tipos de infinitos no es coherentecon la interpretacin numrica de lasproporciones como nmeros.

De este modo, la convencin, o labsqueda de consensos, al igual que enlos ejemplos descritos anteriormente,adquiere una dimensin socialfundamental que no podra ser captada sil imitramos nuestra mirada a laconstruccin de objetos o a surepresentacin, pues aspectos como

y = x2

creencias, ideologa y matemticasestaran excluidos al momento de teorizarsobre la construccin de conocimientomatemtico.

Reflexiones finales

Con los ejemplos mostramos el papel dealguna prctica: medir al construir lafuncin 2x, predecir en el caso de lacinemtica y las funciones analticas,modelar bajo fenomenologas deingeniera y, finalmente, convenir en elcaso de los exponentes no naturales. Losejemplos muestran la diversidad desituaciones que habran de considerarsellevando la mirada hacia lasocioepistemologa.

Este artculo ha querido mostrar cmoopera el enfoque socioepistemolgico alcentrar su atencin en prcticas ms queen objetos. Su centracin en las prcticasarroja una luz distinta de aquella queproduce la centracin en objetos, procesoso mediadores. El artculo mostr, medianteejemplos, el papel que juega la prcticasocial en la construccin del conocimientomatemtico y de cmo se articula con losprocesos de representacin.

Este artculo si bien pretende posicionar ala Socioepistemologa a travs deejemplos, busca sobre todo discurrir sobreel papel de la nocin de prctica social enla formacin de conocimiento. No seabordan las relaciones decomplementariedad o contraposicin decara a otros enfoques tericos, aunquebien sabemos que existen relaciones conla Semitica Cultural de Radford, o con elenfoque Ontosemitico de DazGodino,o aun con la Teora Antropolgica de laDidctica de Chevallard y colaboradores,o con la Etnomatemtica de DAmbrosio ycolaboradores, pero ms bien quisimos

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aportar un elemento adicional, unaparticular interpretacin de la nocin deprctica social que juzgamos prometedorapara la investigacin en matemticaeducativa. En el futuro inmediato, el

enfoque socioepistemolgico estarintentando construir elementos dearticulacin entre los enfoques sealadosanteriormente, aunque esa sea otrahistoria

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Ricardo CantoralDepartamento de Matemtica EducativaCINVESTAVMxico

E-mail: [email protected]

Rosa Mara FarfnDepartamento de Matemtica EducativaCINVESTAVMxico


Gustavo Martnez-SierraCimate de la UAGMxico


Javier LezamaPrograma de Matemtica EducativaCICATA del IPNMxico


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