M%E9canique Des Fluides

Cours de PhysiquePr. Henri BROCH

Licence "Sciences de la Vie", 1re anne

Pr. Henri Broch Universit Nice Sophia Antipolis

C o u r s d e M c a n i q u e d e s F l u i d e s

--------------------- STATIQUE DES FLUIDES ----------------------- Introduction: solide, liquide, gaz; qu'est-ce qu'un fluide ?- Proprits du fluide parfait en quilibre- Thorme fondamental de la statique des fluides- Applications-observations: surface libre; surface de sparation de liquides non miscibles; vases communicants; pression atmosphrique; variation avec l'altitude; transmission des pressions; paradoxe hydrostatique- Thorme d'Archimde- Applications-observations: mlange; plumes/Pb; ballons-sondes; iceberg,...- Pression osmotique; phnomne d'osmose; valuation; solutions dilues; sve; saccharose et NaCl

----------- TENSION SUPERFICIELLE, CAPILLARIT ------------ Notion de tension superficielle- Loi de Laplace- Application-observations: bulles; force de rappel; extrmit de tube- Angle de raccordement (trois phases en contact), mnisques- Ascension et dpression capillaire (Loi de Jurin)- Mesure des tensions superficielles- Applications-observations: aiguille; gerris; basilic; flottation; lotus; surfactant pulmonaire- Cohsion d'un liquide (monte de la sve dans les grands arbres)- Situation idalise et "ralit"

------------- DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS --------------- Conservation du dbit.- Equation de Bernoulli- Applications-observations: orientation du tube- Tube de Pitot- Effet Venturi; trompe eau; stnose vasculaire; martinet de Contes- Force associe la dissymtrie,- Limites d'application (variation brusque de section)- Extension aux cas des gaz

------------- DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX -------------- Viscosit: phnomne macroscopique i.e. rsistance au mouvement,

chute, sdimentation, Stokes; valeurs de viscosit; faibles / grandes vitesses- Viscosit: phnomne microscopique, loi fondamentale des fluides visqueux- Loi de Poiseuille, profil de vitesse- Dbit, vitesse moyenne- Applications-observations: arrosage; transfusion sanguine,...- Notion de rgime turbulent et nombre de Reynolds

INTRIEUR

SURFACE

MOUVEMENT

FROTTEMENT

H. Broch Rsum du cours "Mcanique des Fluides" LSV-1 2

S T A T I Q U E D E S F L U I D E S

SOLIDE... LIQUIDE... GAZSolide et liquide: tats condenss de la matire i.e. relativement denses et de masses volumiquescomparables (celles des liquides en gnral plus faibles que celles des solides, mais du mme ordre degrandeur: 10% d'cart pour un corps donn).Etat gazeux: compltement diffrent

H.B. daprs Barker-Henderson, Pour la Science 1982

Solide: molcules astreintes vibrer autour de positionsmoyennes fixes.

Liquide ou gaz: molcules libres de se dplacer au hasard.

Seule coupure "franche" entre 2 classes d'tat:structure ordonne (solides)structure dsordonne (liquides et gaz)- Etat liquide: le dsordre prdomine longue distance.- Gaz (c.n.): pratiquement pas d'interaction entre molcules

Pression

Temprature

solide

gaz

liquide

point triple

point critique

condensationliqufaction

solidification

sublimation

fusionvaporisation

H.B. sch. diagramme de phase

ordonn

dsordonnsolidification

Diagramme de phase d'une substanceordinaire

Diagramme et classification schmatiques. Ilexiste des tats intermdiaires :verre*, cristaux liquides (phase nmatique;phase cholestrique; phase smectique),...

* Le verre est tout de mme un "solide"...

Qu'est-ce qu'un fluide ?Fluide parfait ou idal: ...Etat gazeux: pas de surface libreEtat liquide: surface libre de sparation entre liquide et milieu ambiant

C

H.B. sch. vidence pression

Un fluide est capable d'exercer une force sur un solide

Pression = norme de la force pressante perpendiculaire

surface sur laquelle elle s'exerce P =

||df||dS

unit: le pascal (Pa) = 1 N.m-2 1 bar = 105 PaPo (en moyenne, niveau de la mer) = 1013 millibars


PROPRITS DU FLUIDE PARFAIT EN QUILIBREFluide en quilibre, masse volumique , petit lment de volume cylindrique (limit par une surfaceimaginaire) de longueur dl, de section droite dS, termin par dS1 et dS2 d'orientation quelconque.

G

dS2

dS1

dF2

dF1

dl

1

2

dS

H.B. sch.pression en tout point P1

P2

2

1

dSi se dcoupe en petites bandes rectangulaires.Projection sur axe axe du cylindre, composantes de dF2et dF1 compenses par les Fpression sur les parties decylindre "supplmentaires" par rapport la section droite.

La pression en un point d'un fluide en quilibre estindpendante de l'orientation du disque qui sert sa

dfinition.Principe de Pascal: Si l'on ne tient pas compte du poids,la pression l'intrieur d'un fluide est la mme en tout pointet dans toute direction.

THORME FONDAMENTALEn tenant compte du poids (et en supposant le champ depesanteur uniforme et constant):

G

dSi

l

H.B. Sch. th. fondamental

P1

P2

+

dSi

h

...

La diffrence de pression entre deux points quelconquesd'un fluide en quilibre est gale au poids d'un cylindre de

fluide de section unit et ayant pour hauteur ladnivellation entre les deux points.

P = .g.h

axe Oz vertical ascendant dp = -.g.dz ougrad p = -.g

APPLICATIONS

1) surface libre d'un liquide (dans un champ de pesanteur uniforme)

AB

h

P0

H.B. sch. surface libre

P = gh = 0 d'o h = 0

La surface libre d'un liquide au repos est plane et horizontale


2) surface de sparation de deux liquides non misciblesdans le fluide I, PB -PA = 1gh

II

IA

B2

1

h

H.B. sch. deux liquides non miscibles

dans le fluide II, PB -PA = 2ghd'o 1gh = 2gh ==> gh(1 - 2) = 0or g 0 et (1 - 2) 0 ==> h = 0

La surface de sparation de deux liquides non miscibles au reposest horizontale

3) vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles:

A

B

C1

2

h1h2

H.B. sch. tube en U deux liquides

PB -PA = 1gh1 PB -PC = 2gh2Or PA = PC = P0 d'o 1gh1 = 2gh2

Les dnivellations de deux liquides non miscibles dans des vasescommunicants sont en rapport inverse de leurs masses volumiques.

Si 1 = 2 Un fluide est la mme hauteur dans deux vasescommunicants.

4) mesure de la pression atmosphrique (Torricelli)PB - PC = Hg.g.h = PB = PA = P0

vide

C

A B

hP0

H.B. sch. TorricelliP0 = 13.596(kg.m-3). 9,806(m.s-2). 0,76(m)

Hauteur de la colonne d'eau quivalente:heau = hHg.Hg / eau => heau = 10,33 m

La pression atmosphrique (au niveau de la mer) vaut:P0 = 1,013.105 Pa = 1013 mbars

Soit 76 cm de mercure ou ~ 10 m d'eau

5) variation de la pression atmosphrique avec l'altitude (sur une grande hauteur)

Z

0

h

p + dp

pdz(

H.B. sch. variation P. / altitude

S

H) Cylindre, t constante; air = gaz parfait.==> pV = nRT (R = 8,314)

p.S.dz = .S.dzMmolaire RT ==> p =

Mmol RT

Or dp = - .g.dz

D'o dpp = .......

==> log p = ......

La variation (conditions isothermes et g constant) de la pressionavec l'altitude s'crit: p = p0 e-

M.gRT h


6) Transmission des pressions (principe de Pascal)Points A et B fixes, fluide incompressible: PB - PA = gh = CteSi PA PA + dp invariance de (PB - PA) PB PB + dp

Une variation de pression en un point d'un fluide incompressibleest transmise intgralement en tout autre point.

- presse hydraulique, ...

- frein de voiture, ...

H.B. sch. presse hydraulique, frein,..

S1

S2

F1

F2

...

- exprience du crve-tonneau de Pascal,...

H.B. sch. tonneau Pascal

F = S.p

p =.g.hp =.g.h

7) "paradoxe" hydrostatique

? ?F F

F1 F2

1 2

H.B. sch. paradoxe hydrostatique

S S

A surface de fond identique (et mme hauteur de liquide),la force exerce par un liquide sur le fond du rcipient qui le contient est indpendante de la forme du vase.


THORME D'ARCHIMDEParalllpipde rectangle immerg dans un fluide de masse volumique f. V: volume du paralllpipde B C

A D

GF

EH

dS

dS'

F

F '

b

a

c

H.B. sch. dmo. th. Archimde

h

.../...

F = F2 - F1 = (P2 - P1).ac = f.g.b.ac = f.g.V

Un corps solide compltement immerg dans un fluidesubit de la part de celui-ci une pousse verticale dirige

de bas en haut et gale au poids du fluide dplac.piA = fluide .Vcorps .g

S: surface d'une boule virtuelle B trace dans un fluide parfait en quilibre.

H.B. sch. Archimde

G

R

P

dS1dS2

dSk

dF1

dFk

dF2

BS

- Sur chaque surface dSk s'exerce dFk- Rsultante R =

k dFk s'applique au "centre de pousse"

- B en quilibre, donc R oppos P.Si B ne contient plus de fluide mais un solide de mmebord S, les forces de pression demeurent les mmes.

Conclusion: Ce solide plong dans le fluide subit laforce R prcdente correspondant au poids en fluidedu volume occup par le solide.

Le thorme se gnralise au cas d'un solide plong dansun systme de fluides en quilibre statique

APPLICATIONS

P1P2

H.B. sch. couronne Archimde

- La dtection d'un mlangeou "l'orfvre indlicat"

.../...


- Kilogramme de plumes, kilogramme de plomb

1 kilogramme

1 kilogramme

piArchimde

piArchimde

H.B. sch. plume/plomb - Ballons-sondes

volume dair dplac

mhlium 0,18 kg

1 m3

1 m3 dairm = 1,29 kg

piArchimde due au volume dair dplac

H.B. sch. ballon-sonde

- Un iceberg flotte-t-il sur l'eau ?

H.B. sch. iceberg

piArchimde

Poids

Vimmerg

Vmerg

PRESSION OSMOTIQUE

Le phnomne d'osmose

Solutions dilues: apparition du phnomne d'osmose d la diffrence de concentration des deux ctsd'une membrane.

eau pure

eau trs salecellule

H.B. sch. cellule/osmose

Seules les molcules d'eau passent travers la membrane, les ions Na+ etCl- sont arrts.Flux d'eau travers la membrane s'arrte lorsque pressions d'eauintrieure et extrieure identiqueLa pression osmotique est la diffrence de pression l'quilibre, traversla paroi semi-permable.pi = Pi - Pe = Pi(NaCl) - Pe(NaCl)La dilatation ou la contraction de la cellule n'est pas due aux molculesd'eau mais uniquement aux molcules de NaCl.


Evaluation de la pression osmotique

h

l

A

C

E

F

D

B

H.B. sch. pression osmotique

A l'quilibre: dnivell hP(C) = P(A) + sol g (h + l)P(D) = P(E) P(E) = P(F) + eau g l

P(F) = P(A) = Popi = P(C) - P(D) ~ sol g hcar solution dilue et l peut tre rendu arbitrairement petit

La pression osmotique a pour valeurpi = solution.g.h

Solutions dilues et gaz parfaits

Solutions dilues obissent loi analogue celle des gaz parfaits.

Loi de Van t'HoffLa pression osmotique d'une solution dilue est gale la pression d'un gazcompos de la substance dissoute qui occuperait le mme volume, la mmetemprature: pi = RcT (avec n nombre de moles de solut, pi.V = n.R.T)

APPLICATIONS

- Monte de la sve dans les rables au printemps (Mmole = 342 g ; C = 29 moles.m-3)h 7,2 m C) ne suffit pas expliquer totalement monte de sve dans les arbres

- Une eau trs sale ne dsaltre pas,......

- Saccharose et NaCl

H.B. saccharose/NaCl

solution desaccharose solution deNaCl

pi 1 pi 2

Une cuve de section carre de 10 cm de ct et de capacit 10 l estspare en 2 compartiments gaux par une cloison, permableseulement l'eau, pouvant tre mobile et glisser sans frottement lelong de la cuve.

1) La cloison tant d'abord maintenue fixe, on remplit uncompartiment d'une solution aqueuse de saccharose 10 g.l-1 etl'autre d'une solution aqueuse de NaCl (non dissoci) 20 g.l-1Calculer la pression osmotique dans chaque compartiment, sachantque T = 300K.

2) La cloison tant ensuite laisse libre de se mouvoir, dansquel sens et de combien va-t-elle se dplacer ?

Masses molaires (en grammes): saccharose = 342 chlore = 35,5 sodium = 23----------------------

1) pisaccharose = 75.103 Pa ~ 0,7 P0 piNaCl = 853.103 Pa ~ 8,4 P0 2) --> saccharose, 42 cm.


TENSION SUPERFICIELLE, CAPILLARIT

NOTIONS DE TENSION SUPERFICIELLE

Interfaces du type liquide-vapeur, liquide-solide et solide-vapeur.

Interface

Liquide

R = 0

R = 0

R

H.B. sch. interface liquide-gaz

Gaz

Rsultante des forces

Echelle macroscopique: pas demouvements d'ensemble du liquide.

Echelle microscopique: molculessitues l'interface: subissent une forcersultante dirige vers le liquide

L

Ti

Ti

H.B. sch. tension superf.

Ti-

Fente L de longueur l; tractions T

= |T|l = tension superficielle (unit: N.m-1)

Un liquide avec une surface libre possde une nergie superficielleproportionnelle l'aire de cette surface

Es = .S dpend de la nature du liquide, de l'interface et de la temprature.

Valeurs / air :Eau.... ( 0C) 7,6.10-2 N.m-1

(20C) 7,3 10-2 N.m-1(37C) 7,0 10-2 N.m-1

Plasma sanguin (37C) 7,3 10-2 N.m-1Mercure (20C) 43,6 10-2 N.m-1


LOI DE LAPLACE

H.B. sch. loi de Laplace

1

f = p.S

O

dl 2

dl1

f1

f1

f22

R1

R2f2

O1

O2 R

dl

d

dl = 2R.d 2R.sind = 2R.cos(pi/2 - d) = 2R.cos

fluide B

fluide A

1

p.S = p.dl1.dl2

f2 = .dl1 et f1 = .dl2

p = 2 .cos 2dl2 + 2 . cos 1

dl1

La pression subit unaccroissement la traversede la surface de sparationde deux fluides, de la face

convexe vers la face concave,gal la tension superficielle

de l'interface multipliepar la courbure moyenne :

p = ( 1R1 + 1

R2 )

APPLICATIONS

bulles de savon

Rint

Rext

A

B C

p2

p1

B C A

H.B. sch. bulles de savon

p = ( 1Rext.1 + 1

Rext.2 ) + ( 1Rint.1 +

1Rint.2

)

= 4R

.../...

.../...

O est la plus importante surpression ?

pellicule savonneuse, force de rappel...


extrmit de tube

A

z

DC

E ?

B

H

h

0

H.B. sch. tube + goutte

P1

P2

Une goutte de liquide, masse volumique et tension superficielle , est enquilibre l'extrmit d'un tube capillaire vertical en verre.Les deux mnisques sont supposs hmisphriques, de rayons respectifsintrieur R et extrieur 2R.1) Dterminer H, distance sparant les deux mnisques suivant l'axe Oz.2) Tracer la pression en fonction de z et dterminer la position h du point Edans la goutte qui est la pression atmosphrique P0.--------------------

1) H = 3.g.R 2) h = P1.g =

.g.R =

13 H

ANGLE DE RACCORDEMENT, PHASES EN CONTACT

a

c

b

i - j < k < i + j

eau

huile

airdFha

dFhe

dFea

A

pa = 31.10 -3 N.m-1

pe = 28.10 -3 N.m-1

ea = 73.10-3 N.m-1

eau

ptrole

air

dFpa

dFpe

dFea

A?

H.B. sch. contact 3 phases

A

3 corps au contact:goutte d'huile sur del'eau, au contact de l'air.

...

dFea

+ dFhe

+ dFha

= 0

...

cba

verreeau

verre verre

air air air

eaueau

H.B. sch. contacts

a) verre parfaitement propreb) verre sale c) verre trs saleL'tat de surface des diverses phases estessentiel dans la dtermination desconditions d'quilibre.

Condition d'quilibre de trois phases au contact: | liq.gaz.cos + sol.liq. | = sol.gaz


ASCENSION ET DPRESSION CAPILLAIRESurface verticale: phnomnes de tension interfaciale galement.

alcool

verre

airc

eau

air

verre

Fva

FeaFve

bairFma

mercure

verre

Fvm

Fva

a

eau

air

lame de verre dlH.B. sch. mouillages

eau

air

e

h

d

2 lames peu de distance:

Les ractions aux forces de tension compensent le poids deliquide soulev entre les plaques:

2.l = . l.d.h. g ==> h = 2.g.d

dx

dx

/2

d/2 = x.sin /2 x./2 => d x.

H.B. sch. didre d'eau

Si les lames forment un petit angle didre:

h = 2g. 1x h = C.1

x


Capillarit, Loi de JurinTube fin ; interface liquide-air assimile calotte sphrique

E

D C

B

A

h

R

r

1le liquide mouille le solide dont est fait le tube

R

r

h

2le liquide ne mouille pas le solide

H.B. sch. loi de Jurin

aigu (figure 1)loi de Laplace entre A et B

loi de Laplace entre D et E

principe fondamental de la statique entre B, C et D.../...

obtus (figure 2)Raisonnement identique (attention au signe)

Loi de JurinUn liquide monte ou descend dans un tube fin (de rayon r, plong verticalement dans le liquide)

d'une hauteur: h = 2.cos .g.r

mouillage parfait: = 0 liquides > pi/2 h

MESURE DES TENSIONS SUPERFICIELLES

Rupture d'quilibre entre poids de la partie situe sous le rtrcissement et forces detension superficielle s'exerant le long de ce rtrcissement:

H.B. compte-gouttes

mg

Tr

R

T = . 2pir = k.2piR.

C) Toutes les gouttes formes par un compte-gouttes ont la mme masse.

Techniques de mesure: - Mthode "d'arrachement" - stalagmomtrie

r

H.B. sch. tensiomtre

R

F

F = mg + 2pir. + 2piR.

APPLICATIONS

- Aiguille d'acier sur l'eau Araigne d'eau

eau

acier

couche d'acides gras

H.B. sch. aiguille acier/eau

Un gerris peut se dplacer sur l'eau ~ 1 m.s-1

H.B. sch. gerris

Et le Basilic ?... NHPA Sunset S&V N 945

Le lzard basilic atteint 12 km/h mais sa "tenue" sur l'eauvient principalement de l'effet de rame de ses pattespostrieures et de la minimisation des forces de "retenue"de l'eau via les cavits d'air qu'il cre (plus, un moindredegr, des impulsions verticales rsultant des "gifles"donnes par les pattes sur l'eau). Les forces de tensionsuperficielles n'interviennent quasiment pas (except peut-tre pour la queue des moments spcifiques de la coursedu basilic)


- Enrichissement des minerais par flottation

eau + huile spciale

H.B. sch. flottation

minerai finement broy

air sous pression

...

- Fleur de lotus, eau boueuse et puret (cf. galement "Effet Lotus" in cours de Zttique UMED1)H.C. Von Baeyer, "The sciences" (NY Acad. Sc.), janvier-fvrier 2000

Surface de Lotus blanc, Nelumbo nucifera (x1200) Goutte de mercure sur une feuille (x 470) : poussires ramasses !

peinture de faade "Lotusan", peinture de voiture,

- Fonction respiratoire chez les tres vivants, en milieu arienH.B. sch. alvole pulmonaire

alvoles

bronchiole

p = R

2

capillaire eau + surfactant

Homme: surface de peau ~ 2 m2surface alvoles (N > 108) pulmonaires ~ 100 m2

Paroi interne des alvoles: "surfactant pulmonaire" fait varier (entre 5.10-3 et 45.10-3 N.m-1).

Cette proprit de :- limite la variation de surpression dans les alvoles,- empche les petites alvoles de se vider dans les grandes,- ralise l'galit de pression dans toutes les alvoles pulmonaires pouvant ainsi fonctionner simultanment.

eau-air 37C = 70.10-3 N.m-1< (eau+surfactant)-air 37C > = 25.10-3 N.m-1


COHSION D'UN LIQUIDEou monte de la sve dans les grands arbres...

P0 P0

vaporation

P0

h

H.B. sch. sve grands arbres

?a) pression atmosphrique ?b) capillarit ?c) pression osmotique ?

aa + b

a + b + c

P0

- Pression atmosphriquePo au niveau du sol et des racines superficiellespeut faire monter la sve :

h = P.g max. ~10 m

- Ascension capillaireTubes fins de xylme, rayon 20 200 m,permet lvation (avec = 0):

h = 2.g.r max. ~0,7 m

- Pression osmotiquePour concentration en sucres leve (~ 20 30g/l avec Mmol. ~ 350)

h = c.R.T.g max. ~20 m

a + b + c ==> au mieux environ 30 m. Etpourtant des arbres de 50 m et plus poussentsans problme...

Cohsion d'un liquide

S

E = 2.S = F.l F/S = 2 / l

H.B. sch. sve grands arbres 2Forces intermolculaires ne s'exercent que sur distances trs courtes, dizaine de fois la taille des molcules.H) sve = eau, force constante sur 2 nm:W = 2.S = F.l d'o FS =

2l =

2. 73.10-32.10-9 = 73.10

6 Pa

C) l'eau peut rsister des pressions ngatives de plus de 700 fois lapression atmosphrique sans se fractionner.

L'vaporation au niveau des feuilles produit une aspiration de la svequi se dplace "en bloc" du fait de sa cohsion.

Situation "idalise" et "ralit"...

Pesanteur (essentielle pour les gouttes de liquide dans un gaz) et pousse d'Archimde (essentielle pour lesbulles de gaz dans un liquide) s'ajoutent aux forces de tension superficielle; d'o dformation des volumesconsidrs.

.../


DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

CONSERVATION DU DBIT

-- Fluide parfait incompressible, rgime permanent, stationnaire.

S1 S2v1

v2

H.B. sch. tube de fluide

Tube de courant: engendr par les lignes decourant s'appuyant sur 2 surfaces fermes S1 et S2.

Dans un fluide parfait incompressible,le dbit est conserv S.v = Cte

EQUATION DE BERNOULLIH.B. sch. q. de Bernoulli

SA

h

0

S'A

S'B

vA

vB

hA

hBSB

Tout point de Si hauteur hi et mme vitesse vi.Volumes AA' et BB': mme quantit m de matire.

Thorme de l'nergie cintique:"La variation d'nergie cintique est gale au travail des forcesextrieures appliques au systme"

Ecin. = 12 m(vB2 - vA2) = Wf.ext.

= Wpoids + Wf.pression

Wpoids = m.(-g).(hB-hA) = m.g.(hA-hB)Wf.press. = FA.lA - FB.lB = pA.V - pB.V

.../...

12 m.vA

2 + m.g.hA + pA.V =

12 m.vB

2 + m.g.hB + pB.V

Quantit (12 v2 + gh + p) identique en 2 points A et B choisis de faon quelconque ; donc...

En tout point d'une ligne de courant:12 .v

2 + .g.h + p = Cte

Conservation de l'nergie par unit de volume

v = 0 .g.h + p = Cte dp = - .g.dh (principe fondamental de la statique des fluides)


APPLICATIONS--- Orientation de l'ouverture du tube

H.B. sch. orientation tube / coulement

h1h2

AB

ABA'

B'

h

Vitesse = f(p,h, g, ) dtermination via la pression.

vA' = v (vitesse gnrale)vB = 0

q. de Bernoulli applicable le long d'uneligne de courant. Or en B, fluide immobile,aucune ligne de courant ne passe.B', voisinage immdiat de B. Pression sansdiscontinuit brutale en B ==> q. deBernoulli entre A et B (en toute rigueurentre A' et B').

.../ ...

v = 2g.(h2 - h1)

--- Tube de Pitot

H.B. sch. tube de Pitot

B

h

1

C

D

2

A'

A

B

A

A'

VB nulle.

Surpression donne dnivellationhC - hD = h dans le manomtre

Rsolution caractristique via l'exemple du tube de PitotPoints initial et final identiques (B et A) mais via deux chemins 1) et 2) diffrents1) Dynamique (Bernoulli)

12 1.vA

2 + 1.g.hA + pA = 1.g.hB + pB

pB - pA = 12 1.vA

2 + 1.g.hA - 1.g.hB =

12 1.vA

2 + 1.g.(hA - hB) (1)

2) Statique (th. fondamental ou Bernoulli avec v = 0) pB - pA = pB - pD + pD - pC + pC - pA

= 1.g.(hD - hB) + 2.g.(hC - hD) + 1.g.(hA - hC)= 1.g.(hD - hB + hA - hC) + 2.g.(hC - hD) (2)

Or (1) = (2)

12 1.vA

2 = 1.g.(hD - hC) + 2.g.(hC - hD) = - 1.g.h + 2.g.h = g.h.(2 - 1)

vA = 2g.h 2 - 1

1 Si 2 >> 1 (liquide 2 choisi en consquence) v = 2g.h 21

)


--- Effet Venturi

H.B. sch. phnomne de Venturi

SB

h

BASA

hB

hA

A'

B'

Changement de sectiondu tube.

Equation de continuitS.v = Cte v varie

==> pour A et B sur unmme plan horizontal,PA PB

.../...

.../

pA - pB = 12 .vA

2 ([SASB ]2 - 1)

pA - pB = .g.(hA - hB) = .g.h Mnmotechnique: file d'attente au restaurant universitaire. Etudiantscompresss dans la partie large coulement faible puis tudiants "l'aise" dans la partie troite coulement plus rapide.

Effet Venturi, base d'un grand nombre d'applications pratiques

H.B. sch. trompe eau

A

B

C

O

--- Trompe eau

.../...

--- Carburateur

.../...

--- Phnomne de stnose vasculaire

H.B. sch. stnose vasculaire

Pi PiPe

vv

Pe Pe Pe

Pe Pe


--- Une application peu banale visible dans les A.-M.

H.B. martinet de Contes

air

eau

air

eau

forge

F

B

H

G

E

C

D

A

a a

Martinet de Contes:forge d'origine mdivale encore en activit.

Le systme d'alimentation en air du feu de cette forge ne faitappel aucun soufflet; il repose sur... une trompe eau !

.../...

--- Force de dissymtrie: balle avec effet,...Mouvement a) dcompos en

v

H.B. sch. balle avec effet

21

vt1 vt2

21

vr2

vr1

21

v1

v2

1' 2'

a)

d)

b) c)

b) translation et c) rotation(d = cas complet = b + c)N.B.: c ncessite un frottement

Il existe une force associe unedissymtrie des lignes de courant d'un

fluide autour d'un objet.

Force obtenue par- rotation de l'objet (bateau "voiles"cylindriques tournantes), ou- modelage prcis et orientation dans lefluide de dplacement (aile d'avion, aileron devoiture,... )

... balle sur jet d'eau

P0 P0

H.B. sch. balle/jet deauH.B. sch. balle/jet deau

vair p < P0


LIMITES D'APPLICATION (variation brusque de section)

H.B. variation brusque de section

S1

S2

v1 v2

~ 20 diam.

"Thorme" des qts de mouvement

"Axe quelconque: projection des forcesextrieures s'appliquant un fluide = diffrencedes quantits de mouvement sortante et entrante

par unit de temps suivant mme direction"

F = m = d(mv)dt

p2 - p1 = .S1S2 v1(v1 - v2)

= .S1S2 v1(v1 -

S1S2 v1)

= .v21 S1S2 (1 -

S1S2)

Si la section changeait progressivement (quation de Bernoulli)12 .v1

2 + p1 =

12 .v2

2 + p2 p2 - p1 =

12 .(v12 - v22)

Perte de pression due la variation brusque:(p2 - p1)progr. - (p2 - p1)brusque = p = 12 (v12 - v22) - .v2(v1 - v2)

= .... = 12 (v1 - v2)2 =

12 v1

2 k

Conclusion: l'nergie mcanique perdueest gale l'nergie cintique correspondant la perte de vitesse (thorme de Carnot)

Attention la gomtrie de la "jonction"

k ~ 0,50 k ~ 0,04 k ~ 0,90

EXTENSION AU CAS DES GAZ

Relation de Bernoulli (12 .v2 + .g.h + p) tablie stricto sensu pour les fluides incompressibles.Or, pour les gaz (fluides compressibles): - conditions normales: p 105 Pa

- plupart d'entre eux: ~ 1 kg.m-3

pour que 12 .v2 soit du mme ordre de grandeur que p ==> v ~ 450 m/s

pour que .g.h soit du mme ordre de grandeur que p ==> h ~ 104 m

Dans un large domaine de valeurs, le thorme de Bernoulli est encore applicable aux gaz


DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX

H.B. sch. chute de pression monotone

gh

P4P3P2P1

La pression n'est pas invariante !

Chute de pression monotone. Ce phnomne estd aux forces de frottement conscutives l'coulement laminaire dans le tube horizontal.

Ces forces de frottement se nomment forces deviscosit dans le cas des fluides.

VISCOSIT: PHNOMNE MACROSCOPIQUE

Chute libre dans un fluide visqueux

H.B. sch viscosit macroscopique

P

piA

Ff

3 forces agissent: 1) poids 2) pousse d'Archimde 3) frottementA faible vitesse, force de viscosit: F = - K..v

K coefficient gomtrique (en m) dpendant de la forme du corps coefficient de viscosit (en kg.m-1.s-1 = Pa.s)

(on utilise aussi le poise qui vaut 10-1 Pa.s)

Sphre de rayon R: K = 6piR (loi de Stokes)disque K ~16R (face) ou K~11R (tranche)

m = mg - piA - Ff soit m dvdt = mg - V.fluide.g - K..v

dvdt +

K.m

.v = g(1 - V.fluidem

) = g(1 - fluidecorps ) q. diff. en v(v' + Av = B) .../

v = mgK. (1 -

fc ) [1 - e -

K.m

.t ] t , exp. 0 vitesse limite vL

Sphre: K = 6piR; m = c 43 piR

3 vL = 2g.R2

9 (c - f) R2 (vL m2/3)

Quelques valeurs de , coefficient de viscosit, 15Ca) Gaz: augmente faiblement quand la t augmente (viscosit ~ constante [variation < 10%] entre 0C et 40C, domaine biologique)

air ................ 1,7 .10-5 Pa.s (1,8.10-5 20C)azote ............. 1,65.10-5 Pa.sgaz carbonique .. 1,4 .10-5 Pa.shydrogne ....... 0,85.10-5 Pa.s (0,9.10-5 20C)


b) Liquides: baisse fortement quand la t augmente (forces d'attraction intermolculaires diminuent quand la t augmente)

eau ............ 1,14.10-3 Pa.s (1,0.10-3 20C)alcool ......... 1,30.10-3 Pa.smercure ....... 1,60.10-3 Pa.s (1,5.10-3 20C)

krosne ...... 1,83.10-3 Pa.sglycrine ..... 1300 .10-3 Pa.s (800.10-3 20C)

Une seule et unique loi ?

Goutte d'eau, de rayon r, en chute libre dans l'air ( 20C)-- r = 10-6 m vitesse de 1,2.10-4 m.s-1 soit ~ 43 cm l'heure-- r = 1 mm v = 120 m.s-1 soit ... ~ 430 km.h-1 !

Ne correspond pas du tout la ralit de la vitesse des gouttes de pluie (quelques m.s-1). "Stokes" (F = 6piR..v) n'est plus valable.

Pas de loi unique du frottement fluide.Deux lois diffrentes fonction de v et L, dimension caractristique du mobile

Force de rsistance visqueuse aux petites vitesses: F .v.LCoefficient de proportionnalit prend en compte la forme du corps."petites vitesses": pour l'air v < 75.10-4/L ; pour l'eau v < 5.10-4/L ; pour miel v < 1/L (en m.s-1)

Force de rsistance turbulente aux grandes vitesses: F .v2.L2

Viscosit passe au 2me plan; masse volumique devient le paramtre le plus important. Lorsque la vitesseaugmente encore, la force de frottement augmente comme une puissance (de la vitesse) > 2

VISCOSIT: PHNOMNE MICROSCOPIQUE

axe d'coulement

Vagitation

Vcoulement

H.B. sch. V coul./agitationH.B. sch. V coul./agitation

Ecoulement d'un fluide l'intrieur d'un cylindre.

Origine forces de viscosit: change de quantit de mouvemententre les diffrentes "strates" en train de s'couler.

H.B. sch. notion de viscosit

P'v = 0

P

Fv

Fluide entre plans P et P' //, surface grande /cartement;

P' fixe; P peut se dplacer // P'

Une force est ncessaire pour dplacer P vitesse constante

==> il existe un processus dissipatif.


xz

H.B. sch. gradient de vitesse

P

P'

l

v

fixe

.../

"Loi fondamentale des fluides visqueux"Dans un fluide rel en mouvement,s'exercent des forces de frottement

dues sa viscosit:F = .S. dvdz

Les fluides vrifiant cette relation ( constant pour P et t donnes) sont dits newtoniens ; il s'agit desliquides et gaz constitus de corps purs et homognes.

Cette proprit n'est plus vraie pour des mlanges complexes qui peuvent prsenter des comportementscurieux et qui sont dnomms fluides non newtoniens. Corps "plastiques" et corps "paississants" ou"fluidifiants"..../

LOI DE POISEUILLE (tubes troits)

H.B. sch. perte de chargeH.B. sch. perte de charge

p h

A B

l

p = chute de pression pA - pB = "perte de charge"

12 vA

2 + ghA + pA =

12 vB

2 + ghB + pB + p

H.B. sch. loi de Poiseuille

r

a

0 x

A

l

B

dr

Fpx = (pA - pB).pir2

Ff = Ffx = .S. dvdr

= .2pir.l.dvdr

Fpx + Ffx = 0

v(r) = - (pA - pB)4.l r2 + C

Dans un tuyau cylindrique troit de rayon a, la vitesse d'coulement d'un fluide visqueux varieen fonction de la distance r l'axe du tuyau: v(r) = (pA - pB)4.l (a2 - r2) loi de Poiseuille


Profil de vitesse dans un plan quelconque contenant l'axe du cylindre

a

0v(r)

H.B. sch. profil de vitesse parabolique

r

vmax (centre) = (pA - pB)4.l a2

non applicable stricto sensu pour tubes "larges"

H.B. sch. profil vitesse tuyau large

Dbit Q = 0

a

dQ = 0

a

2pir.v(r).dr = 0

a

2pir. (pA - pB)4.l (a2 - r2) .dr

= pi.(pA - pB)

2.l 0a

r(a2 - r2).dr = pi.(pA - pB)2.l (a2 [r2

2 ] a0 - [

r4

4 ] a0)

Dbit du fluide : Q = pi (pA - pB)8.l a4 (autre "loi de Poiseuille")

Vitesse moyenne

v = 1S v.dS =

1pia2

0

a

v(r).2pir.dr = 1pia2

0

a

dQ = Qpia2

= (pA - pB)

8.l a2 = vmax. /2

APPLICATIONS-- Tuyau horizontal, longueur AB = 31 m, diamtre = 20 mm, dbite l'air libre 0,5 litre.s-1 travers unorifice terminal de section SB = 0,5 cm21) En ngligeant la viscosit de l'eau, quelle est la pression pA de l'eau au robinet ?2) Si l'on tient compte de cette viscosit = 1.10-3 Pa.s, quelle pression supplmentaire p faut-il exercerau niveau du robinet ?

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1)

pA 1,5.105 Pa (P0 + 0,4875.105) 2) p = 0,04.105 Pa-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

h

-- Accident sur la Lune (gLune = 1,6 m.s-2): besoin d'une transfusion sanguine. Onutilise un matriel consistant en- flacon de sang, sang = 31,4.10-4 Pa.s; sang 103 kg.m-3- tuyau, diamtre suffisant pour ngliger la perte de charge due la viscosit- aiguille, diamtre intrieur 0,2 mm et longueur 0,8 cm .1) Pour un dbit Q de 3 cm3.mn-1, quelle est la diminution de pression due laviscosit dans l'aiguille ?2) Pression du sang Pveine = 0,7.103 Pa /extrieur. Pour une transfusion flacon ->homme, quelle hauteur h au-dessus du bras faut-il placer le flacon ? (sans tenircompte de la hauteur de sang dans le flacon)

--------------------------------------------------

1) Paiguille = 0,32.105 Pa 2) sang.gLune.h - Paiguille > Pveine ==> h > 20 m (20,44)Changer de matriel (sinon "don" de sang au lieu de "transfusion")


NOTION DE RGIME TURBULENT

H.B. sch chute carte,...

v

V lam

inai

ret u

r

bul e

n

t

Ecoulements turbulents:prsentent une troite dpendance /temps

...

Nombre de Reynolds :rapport (sans dimension) R = .v.d

: masse volumique du fluide : viscosit du fluidev : vitesse de l'coulement d : dimension linaire caractristique de l'objet ou de la section du fluide

Le passage d'un rgime laminaire un rgime turbulent se fait lorsquele nombre de Reynolds R = .v.d est compris entre 1000 et 2000

R < 1000, rgime laminaireR > 2000, rgime turbulent

zone de transition, autour de Rcritique = 1500

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ouvrages gnraux ayant servi l'laboration du cours "Mcanique des Fluides"

- collectif (1971), "La Physique", d. CEPL, Paris, Dictionnaires du Savoir Moderne- collectif (1974), "Nouveau manuel de l'Unesco pour l'enseignement des sciences", Les Presses de l'Unesco, Paris- collectif (1981), "Guide de l'Unesco pour les professeurs de sciences", Les Presses de l'Unesco, Paris- AFNOR collectif (1995), "Grandeurs et units", recueil de normes franaises, 5me dition, AFNOR, Paris- ALONSO M., FINN E. (1970), "Physique gnrale", d. Renouveau Pdagogique, Montral- ANGELA P. , ANGELA A. (1996), "The extraordinary story of life on Earth", Prometheus Books, Buffalo- d'ARCY THOMPSON (1994), "Forme et croissance" (vers. abrge de "On growth and Form", d. 1917), Seuil-CNRS, Paris- AUDOYE P. (1992), "Mcanique des fluides" , Masson, Paris- BARKER J.A., HENDERSON D., "La matire l'tat fluide", Pour la Science N 51, 1982- BOUYSSY A., DAVIER M., GATTY B. (1987), "Physique pour les sciences de la vie" (t. 1 et 2), collection "Dia", Belin, Paris- CANDEL S. (1995), "Mcanique des Fluides" (tomes1 et 2 cours et problmes rsolus), Dunod, Paris- DAUDEL R. (1981), "Vision molculaire du monde", d. Hachette-CNRS, Paris, collection "Liaisons Scientifiques"- DUPONT B., TROTOGNON J.P. (1995), "Units et Grandeurs", d. Nathan, Paris, collection "Etapes"- GILES R.V., EVETT J.B., LIU C. (1995), "Mcanique des fluides et hydraulique", McGraw-Hill, Paris- GUINIER A. (1980), "La structure de la matire", d. Hachette-CNRS, Paris, collection "Liaisons Scientifiques"- KITAIGORODSKI A. (1984), "La Physique la porte de tous" (t. 3 et 4), Mir, Moscou (pour t. 1-2, cf Landau et Kitagorodski)- KUHN K.F., FAUGHN J.S. (1980), "Physics in your world", Saunders Philadelphie, Golden Sunbrust series- LACHNITT J. (1969), "La mcanique des fluides", d. PUF, Paris, collection "Que sais-je?"- LANDAU L., LIFCHITZ E. (1971), "Mcanique des Fluides", d. Mir, Moscou- LANDAU L., KITAIGORODSKI A. (1984), "La Physique la porte de tous" (t. 1 et 2), Mir, Moscou (t. 3-4, cf Kitagorodski)- LUMBROSO H. (1994), "Problmes rsolus de mcanique des fluides", Dunod, Paris- MATHIEU J.P., KASTLER A., FLEURY P. (1991), "Dictionnaire de Physique", Masson-Eyrolles, Paris- PRELMAN Y. (1987), "La Physique rcrative" , d. Mir, Moscou- RUHLA C. (1989), "La Physique du hasard", d. Hachette-CNRS, Paris, collection "Liaisons Scientifiques"- VASILESCU D., BROCH H. (1977), "Mcanique et Statique et Dynamique des Fluides" , d. Bral, Montreuil, collection "Physique",

tome 3


Documents

M%E9canique Des Fluides