ELEMENTOSPROC./OP.UNITARIAS

MECANISMOSDETRANSFERENCIADECALOR

Procesos de transporte de masa y energía. Aplicación de balances en Procesos Industriales

2

TRANSMISIÓN DEL CALOR

Introducción. Flujos de masa y energía

El Balance de Energía. Primer principio de la Termodinámica

La transmisión de calor por radiación. Factor de forma

La transmisión de calor por convección. Coeficientes de convección.

La transmisión de calor por conducción. Fenómenos multidimensionales. Puentes térmicos.

TRANSMISIÓNDELCALOR

Latransferenciadecaloreselpasodeenergíatérmicadesdeuncuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura.Cuando un cuerpo, por ejemplo, un objeto sólido o un fluido,está a una temperatura diferente de la de su entorno u otrocuerpo, la transferencia de energía térmica, también conocidacomotransferenciadecalorointercambiodecalor,ocurredetalmaneraqueelcuerpoysuentornoalcancenequilibriotérmico.

El calor se puede transferir de 3 maneras: Conducción: Transferencia de calor sin movimiento de materia. Depende de la conductividad térmica de la sustancia. Convección: Transferencia de calor con movimiento de materia. El movimiento está ocasionado por los cambios de densidad de la sustancia dentro de un campo gravitatorio. Radiación: Transferencia de calor por medio de ondas. No precisa materia para su propagación.

TRANSMISIÓN DEL CALOR

PotenciaLapotenciasedefinecomolarapidezdetransferenciadeenergíaoeltrabajorealizadoporsegundo.

LasunidadesdepotenciasonJ/soWaOs(W)

Enmecánica:

Entonces,

6

Concepto de flujo

Una magnitud física... A

Carácter vectorial... Una superficie...

S

Flujo de A a través de la superficie S

A

θ

SA!!

⋅=Φ θcos⋅⋅=Φ SA CANTIDAD ESCALAR

7

Sentido físico de distintos tipos de flujo

Transporte de partículas: El flujo es el número de partículas transportadas por unidad de tiempo

volumenunidadpartículasnumero

= n

v

x

t N Número de partículas que atraviesan la superficie en el intervalo t

S

N = n S x

x = vt N =nSvt

vSntN ⋅⋅==Φ3

mpartículasnumero

sm2m s

partículasnumero =

8

Flujo de calor

Energía que atraviesa una superficie por unidad de tiempo = Potencia

Energía Tiempo

Potencia = watios

Densidad de flujo

Potencia que atraviesa una superficie por unidad de tiempo y unidad de área A

Potencia Área Watios/m2

dxdTkAQ −=!

dxdTk

AQ −=!

x)(xTT =

9

Mecanismos de transmisón de calor

Conducción: transferencia de energía desde cada porción de materia a la materia adyacente por contacto directo, sin intercambio, mezcla o flujo de cualquier material.

Convección: transferencia de energía mediante la mezcla íntima de distintas partes del material: se produce mezclado e intercambio de materia.

Convección natural: el origen del mezclado es la diferencia de densidades que acarrea una diferencia de temperatura.

Convección forzada: la causa del mezclado es un agitador mecánico o una diferencia de presión (ventiladores, compresores...) impuesta externamente.

Radiación: transferencia de energía mediada por ondas electromagnéticas, emanadas por los cuerpos calientes y absorbidas por los cuerpos fríos.

Conducción

hOp://www.gcsescience.com/pen5.htm

Laconduccióneselúnicomecanismodetransmisióndelcalorposibleenlosmediossólidosopacos.

Cuandoentalesmediosexisteungradientedetemperatura,elcalorsetransmitedelaregióndemayortemperaturaalademenortemperaturadebidoalcontactodirectoentremoléculas.

La conducción de calor ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medioconductor. Para un volumen de espesor Δx, con área de sección transversal A y cuyas carasopuestasseencuentranadiferentesT1yT2,conT2>T1,seencuentraqueelcalorΔQtransferidoenun[empoΔtfluyedelextremocalientealfrío.

Larapidezdetransferenciadecalor(H),enWaOs,correspondealcalortransferidoporunidadde[empo;H=ΔQ/Δt,yobedecealaleydelaconduccióndecalordeFourier.

CONDUCCIÓN

k(enW/mK)sellamaconduc[vidadtérmicadelmaterial,magnitudquerepresentalacapacidadconlacuallasustanciaconducecaloryproducelaconsiguientevariacióndetemperatura;ydT/dxeselgradientedetemperatura.

El signo menos indica que la conducción de calor es en la dirección decreciente de latemperatura.

xtt

kAqΔ−

= 21

Geometríabásicaparadefinirelprocesode

conduccióntérmica

q[W]

kconduc[vidadtérmica[Wm-1ºC-1]Aáreatransversalaladireccióndepropagación[m2]ttemperatura[ºC]

Δxespesor[m]Lascaras

delbloque

son

superficies

isotermas

CONDUCCIÓN

Paraunmaterialen formadebarrauniformede largoL,aisladaen todosu largo,con los extremos, de área A, en contacto térmico con fuentes de calor atemperaturas T1 y T2 > T1, cuando se alcanza el estado de equilibrio térmico, latemperatura a lo largo de la barra es constante. En ese caso el gradiente detemperatura es el mismo en cualquier lugar a lo largo de la barra, y la ley deconduccióndecalordeFouriersepuedeescribirenlaforma:

CONDUCCIÓN

Problema:DosplacasdeespesoresL1yL2yconduc[vidadestérmicask1yk2estánencontactotérmico,comoenlafigura.LastemperaturasdelassuperficiesexterioressonT1yT2,conT2>T1.Calcularlatemperaturaenlainterfaseylarapidezdetransferenciadecaloratravésdelasplacascuandosehaalcanzadoelestadoestacionario.

Solución: si T es la temperatura en la interfase,entonceslarapidezdetransferenciadecalorencadaplacaes:

Cuandosealcanzaelestadoestacionario,estosdosvaloressoniguales:

CONDUCCIÓN

DespejandolatemperaturaT:

YlatransferenciadecalorH1oH2es:

16

http://www.jhu.edu/~virtlab/conduct/conduct.htm Experimento virtual de conducción del calor

Conducción Ley de Fourier: determinación del flujo de calor

dxdT

kAQx −=!

(Estado estacionario)

Calor difundido por unidad de tiempo

Conductividad térmica (W·m-1·grado -1): calor que atraviesa en la dirección x un espesor de 1 m del material como consecuencia de una diferencia de 1 grado entre los extremos opuestos

Superficie (m2): superficie a través de la cual tiene lugar la transmisión de calor

Gradiente de temperatura (grados/m): variación de la temperatura en la dirección indicada por x.

X

xQ!

dzdTAkq −=

ntkf

Aq

n δδ

δδ −==

∫ ∂∂−=

S

dAntkq

ntAkq

∂∂−=

FormulacióndelaLeydeFourier

Integrandosobreunasuperficieisoterma

Conducción:LeyesFundamentalesEcuacióngeneraldelaconduccióntérmica

∗+∂∂=

∂∂

qxt

kt

c p 2

2

τρ

zyxt

caEalmacenad promp ΔΔΔ

∂∂

=τ

ρ

Eentrante–Esaliente=Eacumulada

pck

ρα =

Entérminosde

energíaporunidadde

Mempoyunidadde

volumen

Puedeformularseenotrossistemasdecoordenadas:cilíndricas,esféricas

tktcp2∇=

∂∂τ

ρ

tt 2∇=∂∂ ατ

Conducción: Estado estacionario

02 =∇ t

02

2

=∂∂xt

Ecuación de Laplace

02

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

zt

yt

xt

Coordenadas Cartesianas Tridimensional Unidimensional

No hay variación de la temperatura con el tiempo en un punto. La energía que entra a un volumen es la misma que la que sale

q q = - k A (dt/dx) q

q = - k A (dt/dx) t1

t2

Conducción: Estado estacionario Unidimensional

q = - k A (t1 – t2)/ Δx

q/A = (t1 – t2)/R

q/A [W m-2]

R [ºC m2 W-1]

q = (t1 – t2)/ R

R q/A t1 t2

q/A

Δx

q = - k Ar (dt/dr)

Conducción: Estado estacionario Unidimensional

q t1

q = (t1- t2)/R

t2

q/L = (t1- t2)/R q/L [W m-1]; t [ºC] R [ºC m W-1 ]

R t1

q/L

El problema del espesor del aislamiento de tuberías!

Conducción: Leyes Fundamentales Conductividad térmica, Difusividad Térmica

pck

ρα =

α [m2 s]

23

Conductividades térmicas de algunos materiales a temperatura ambiente

Material K (W·m-1·K -1)Vapor de agua 0.025Aire 0.026Agua líquida 0.61Mercurio 8.4Espuma de poliestireno 0.036Papel 0.13Vidrio 0.35-1.3Hielo 2.2Plomo 34Acero 45Aluminio 204Cobre 380

k

Buenos conductores

Malos conductores

La conductividad térmica cambia con el estado de agregación

... pero la capacidad de transporte de calor no depende sólo de la conducción

Conducción

A diferencia de los metales, los cuales son buenos conductores de la electricidad y el calor, los sólidos cristalinos, como el diamante y los semiconductores como el silicio, son bueno conductores del calor pero malos conductores eléctrico. Como resultado, esos materiales encuentran un uso muy amplio en la industria electrónica.

25

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/heatra.html

Conductividad térmica

Área A

Espesor

Calor transferido en el tiempo t

EJEMPLO 1: CONDUCCIÓN DEL CALOR (Placa plana)

tQQ =!

Integración de la ecuación de Fourier

26

Cálculo del flujo de calor a través del tabique de una habitación, de 34 cm de espesor, siendo las temperaturas interior y exterior de 22 ºC y 5 ºC respectivamente. Tómese como valor de la conductividad k = 0.25 W·m-1·K -1.

15034.0522 −⋅=−=

−−

= mKxxTT

dxdT

fueradentro

fueradentro

25.125025.0 −⋅−=⋅−=−= mWdxdTk

SQ!

Gradiente de temperaturas

Densidad de flujo Tfuera

xdentro xfuera

Gradiente de temperaturas constante, la temperatura varía linealmente

Gradiente de temperaturas constante � � densidad de flujo constante

0.34 m

dxdT

SQx!

Tdentro

27

Resistencias térmicas

Cuando el calor se transfiere a través de una pared aparece una resistencia a la conducción

xTTk

AQ 12 −−=!

x

T1 T2 kxTT/

12 −−=

Conductividad

RTT 12 −−=

RTΔ=

Resistencia térmica en W-1·m2·K

Similitud con circuitos eléctricos

RI

0V RVI 0=

RT

AQ Δ=!

28

Ejemplo. Resistencias en serie

R1 R2

Resistencia equivalente = suma de resistencias

Ejemplo Calcular la resistencia térmica de la pared de un refrigerador, formada por tres capas de material, cuyos espesores son, de dentro afuera 2 cm, 10 cm y 3 cm. Las conductividades térmicas de los tres materiales son, respectivamente, 0.25, 0.05 y 0.20 W· m-1 ·K-1.

08.025.002.0

1

11 ==Δ=

kxR W-1·m2·K

00.205.010.0

2

22 ==Δ=

kxR W-1·m2·K

15.020.003.0

3

33 ==Δ=

kxR W-1·m2·K

Resistencias en serie

23.2321 =++= RRRR W-1·m2·K

R1 R2

2 10 3 (cm)

29

1 2ln ln( )

ln

r aT Tb rT r

ab

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

http://scienceworld.wolfram.com/physics/CylinderHeatDiffusion.html

EJEMPLO 2: CONDUCCIÓN EN EL AISLAMIENTO DE UNA TUBERÍA

T1

T2

a

b

r

r

30

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

300

320

340

360

380

400

T (ºC)

r (m)0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

300

320

340

360

380

400

T (ºC)

r (m)

400 ºK 300 ºK

10 cm 0.5

31

Ley de enfriamiento de Newton

ThATThAQ Δ⋅=−= ∞ )(!

Temperatura superficial Temperatura del fluido libre

Coeficiente de convección

Superficie de intercambio

T superficial

T fluido libre Capa límite ∆T

32

Superficie Distribución de temperaturas

Distancia

Temperatura

Capa límite

( )fsx TThAq −−=•

T superficie sT

T fluido libre (región de temperatura uniforme)

fT

Ley de Newton del enfriamiento

Perfiles de temperaturas

( )hTT

Aq fsx

/1−

−=

•

RTΔ=

33

ck⋅

=ρ

αDifusividad térmica m2s-1

RTTc

xTTc

xTTk

AQ 121212

/−⋅−=−⋅−=−−= ρ

αρ

!

kxcTTc/12

⋅⋅−⋅−=

ρρ

xTTk

AQ 12 −−=!

kxTT/

12 −−=RTT 12 −−=

RTΔ=

Calor específico

34

30 35 40 45 50 T (ºC)

08:00 10:00

05:00

12:00

15:00

18:00

Altura

15 cm 30 cm

60 cm

1.20 m

10.0 m

2.40 m

-2 cm -5 cm

-15 cm

Perfiles en verano (datos: media meses julio y agosto, basado en A. H. Strahler, Geografía Física)

CONDUCCIÓN EN SUELO

El suelo tiene una capacidad calorífica alta, entre 0.27 y 0.80 cal/g/ºC, lo que significa que es un buen acumulador de calor, y una baja conductividad térmica, que hace que la penetración del calor en el suelo sea lenta, al igual que su enfriamiento.

Conduc[vidadtérmica

ConducciónmulMdimensional.Casoestacionarioyno

estacionario

Transferenciadecalorporconducción

Solucionesanalí[cas,gráficas,numéricasyanalógicas:

Analí[cas:integraciónfuncionaldelaecuacióndeLaplace(casoestacionario)yPoison(casonoestacionario)

Gráficas:Representacióndeisotermas,trazadodelíneasdeflujoperpendicularaellas

Numéricas:Integraciónnuméricadelasecuacionesdiferenciales.Diferenciasfinitas,elementosfinitos,elementosfrontera

Analógicas:Modelosderesistenciasycondensadores

Transferencia de calor por conducción Conducción multidimensional. Caso estacionario y no

estacionario Soluciones numéricas

Puentes térmicos

Puentes térmicos. Puntos críticos

Ejercicio:Conducción

Convección

42

Cuando un fluido caliente se mueve en contacto con una superficie fría, el calor se transfiere hacia la pared a un ritmo que depende de las propiedades del fluido y si se mueve por convección natural, por flujo laminar o por flujo turbulento.

Convección natural Flujo laminar Flujo turbulento

Convección forzada

Convección

43

•  La convección es un fenómeno de transporte (materia y energía) que tiene su origen en diferencias de densidad.

•  Cuando un fluido se calienta, se expande; en consecuencia su densidad disminuye.

•  Si una capa de material más fría y más densa se encuentra encima del material caliente, entonces el material caliente asciende a través del material frío hasta la superficie.

•  El material ascendente disipará su energía en el entorno, se enfriará y su densidad aumentará, con lo cual se hundirá reiniciando el proceso.

http://www.sunblock99.org.uk/sb99/people/KGalsgaa/convect.html

http://theory.uwinnipeg.ca/mod_tech/node76.html

Convección

Un modelo de transferencia de calor H por convección, llamado ley de enfriamiento de Newton, es el siguiente:

H = h A (TA – T) donde h se llama coeficiente de convección, en W/(m2K), A es la superficie que entrega calor con una temperatura TA al fluido adyacente, que se encuentra a una temperatura T, como se muestra en el esquema de la figura.

CONVECCIÓN

45

Ley de enfriamiento de Newton

ThATThAQ Δ⋅=−= ∞ )(!

Temperatura superficial Temperatura del fluido libre

Coeficiente de convección

Superficie de intercambio

T superficial

T fluido libre Capa límite �T

46

Viscosidad: propiedad molecular que representa la resistencia del fluido a la deformación

Dentro de un flujo, la viscosidad es la responsable de las fuerzas de fricción entre capas adyacentes de fluido. Estas fuerzas se denominan de esfuerzo cortante (“shearing stress”) y dependen del gradiente de velocidades del fluido.

zc

AF

∂∂== µτ

Viscosidad dinámica

Gradiente de velocidad

(Pa · s=N·s/m2)

(1 Pa · s = 10 Poise)

z

c c+dc

F A

νµρ lclc ⋅=⋅⋅=Re

Convección. Conceptos

Capa límite de velocidades y térmica

¿Cómo se produce el transporte de energía?

Convección. Ecuación fundamental

)( fs tthAq −=

Tf

R

Ts

Rtt

htt

Aq fsfs )(

/1( ) −

=−

=

Aq

Convección. Ecuación fundamental

)( fs tthAq −=

Convección forzada Convección natural

Convección. Ecuación fundamental

)( fs tthAq −=

La ecuación de transporte

sfs n

tktthAq

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∂∂=−= )(

shp

z

ph n

tDcntc

DAq

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∂∂=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂= ρ

ρ

klhNu =

Relaciones entre grupos adimensionales

La tabla lista algunos valores aproximados de coeficiente de convección h.

El flujo de calor por convección es positivo (H > 0) si el calor se transfiere desde la superficie de área A al fluido (TA > T) y negativo si el calor se transfiere desde el fluido hacia la superficie (TA < T).

CONVECCIÓN

http://www2.udec.cl/~jinzunza/fisica/cap14.pdf

CONVECCIÓN

Problema 1. El vidrio de una ventana se encuentra a 10º C y su área es 1.2 m2. Si la temperatura del aire exterior es 0º C, calcular la energía que se pierde por convección cada segundo. Considerar h = 4 W/(m2K).

Solución: Los datos son: TA = 10º C = 283K, T = 0º C = 273K, A = 1.2 m2. Usando la ley de enfriamiento de Newton:

53

h (W⋅m-2⋅K-1)Convección libre en aire 5-25Convección libre en agua 500-1000Convección forzada en aire 10-500Convección forzada en agua 100-15000Agua hirviendo 2500-25000Vapor condensando 5000-100000

Valores típicos del coeficiente de convección

54

Distancia

Velocidad Velocidad

Distancia

Laminar Turbulento

Perfiles de velocidad

55

Superficie Distribución de temperaturas

Distancia

Temperatura

Capa límite

( )fsx TThAq −−=•

T superficie sT

T fluido libre (región de temperatura uniforme)

fT

Ley de Newton del enfriamiento

Perfiles de temperaturas

( )hTT

Aq fsx

/1−

−=

•

RTΔ=

56

Viscosidad: propiedad molecular que representa la resistencia del fluido a la deformación

Dentro de un flujo, la viscosidad es la responsable de las fuerzas de fricción entre capas adyacentes de fluido. Estas fuerzas se denominan de esfuerzo cortante (“shearing stress”) y dependen del gradiente de velocidades del fluido.

zc

AF

∂∂== µτ

Viscosidad dinámica

Gradiente de velocidad

(Pa · s=N·s/m2)

(1 Pa · s = 10 Poise)

z

c c+dc

F A

Radiación

Radiación¿CómollegaalaTierraelcalorgeneradoporelsol?

La radiación térmica es energía emi[da por la materia que se encuentra a unatemperaturadadayseproducedirectamentedesdelafuentehaciaafueraentodaslasdirecciones. Es producida por los cambios en las configuraciones electrónicas de losátomos o moléculas cons[tu[vos y transportada por ondas electromagné[cas ofotones,porlorecibeelnombrederadiaciónelectromagné4ca.Lamasaenreposodeun fotón es idén[camente nula. Por lo tanto, atendiendo a rela[vidad especial, unfotónviajaalavelocidaddelaluzynosepuedemantenerenreposo.

Entre la tierra y el sol no existen iene átomos o moléculas para transmitir el calor por conducción ni convección. El calor del sol llega a la tierra en forma de radiación. ~1340 J de energía llegan por segundo a cada m2 de la parte superior de la atmósfera. Parte de ésta es reflejada, la otra parte es absorbida por la atmósfera.

Todos los objetos irradian energía en forma de ondas electromagnéticas. La radiación asociada con la pérdida de energía térmica de un objeto se llama radiación infrarroja.

62

Z

X

Y

)(0

δω +−= tkzjx eEuE !!

)(0

δω +−= tkzjy eBuB !!

k!

RADIACIÓN

La radiación electromagnética es una combinación de campos eléctricos y magnéticos oscilantes y perpendiculares entre sí, que se propagan a través del espacio transportando energía de un lugar a otro.

Radiación térmica. Espectro electromagnético

Longitud de onda 1 Amgstrom (A) = 10-10 m 1 nanometro (nm)= 10-9 m

1 micrometro (um) = 10-6 m 1 um = 1000 nm 

Frecuencia 1 kilohertzio (KHz) = 103 Hz

1 megahertzio (MHz) = 106 Hz 1 gigahertzio (GHz) = 109 Hz

La radiación térmica abarca la parte del espectro electromagnético entre 0,3 y 100 µm

Radiación térmica (0.3 um – 100 um)

Radiación de onda corta o solar: 0.4um-3um.

Radiación de onda larga: 3um – 100 um .

Master en Energías Renovables,

Espectro Visible/Radiación fotosintéticamente activa

0,455 µm

0,485 µm

0,575 µm

0,585 µm

0,620 µm

[0,4 – 0,7] µm ¿Cuáles son los fotones mas efectivos para la fotosíntesis? ¿Cual es el color de esos fotones?

Espectro Visible

Radiación fotosintéticamente activa PAR

Interacción radiación-materia

E = hc/λ

donde h se llama constante de Planck, su valor es h = 6,63 x 10-34 Js.

Los fotones son emitidos o absorbidos por la materia. La longitud de onda de la radiación está relacionada con la energía de los fotones, por una ecuación desarrollada por Planck:

EnergíaemiMdaenformaderadiación.

Cuerponegro.Leyesbásicas

LeydeStefan-Boltzmann, expresalaenergíatotalemi[daporuncuerponegroporunidaddesuperficieemisora(poderemisivo,Eb) que es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura

absoluta(enKelvin)

Eb=eT4.

� =5.6697x10-8Wm-2K-4

Eb[W/m2]

Nos dice que todo cuerpo por encima del cero absoluto emiteenergía radiante.Uncuerponegroemitecon lamisma intensidadentodasdirecciones.E

b=πI.

RADIACIÓN

Ley de Stefan.

Todos los objetos emiten energía radiante, cualquiera sea su temperatura; ejemplo, el Sol, la Tierra, la atmósfera, los Polos, las personas, etc. La energía radiada por el Sol a diario afecta nuestra existencia en diferentes formas. Esta influye en la temperatura promedio de la tierra, las corrientes oceánicas, la agricultura, el comportamiento de la lluvia, etc.

Ley de Stefan

Todo cuerpo absorbe y emite

Radiación

(Pneta ) =σ Ae(T4 −T0

4 )

P = H = ε AσT 4

RadiaciónLa tasa de radiación R es la energía emitida por unidad de área por unidad de tiempo (potencia por unidad de área).

Q PRA Aτ

= =Tasa de radiación (W/m2):

Emisividad, e : 0 > e > 1

Constante de Stefan-Boltzman: � = 5.67 x 10-8 W/m·K4

4PR e TA

σ= =

Ejemplo:Unasuperficieesféricade12cmderadiosecalientaa6270C.Laemisividades0.12.¿Quépotenciaseiradia? 2 24 4 (0.12 m)A Rπ π= =

A = 0.181 m2 T = 627 + 273; T = 900 K

4P e ATσ=-8 4 2 4(0.12)(5.67 x 10 W/mK )(0.181 m )(900 K)P =

P = 808 W Potencia radiada desde la superficie:

A

6270C

Encuentre potencia radiada

Radiación entre superficies grises. Casos de interés

q = (Eb – J)/(1-ε)/εA

Modelización de edificios

niJFEbJn

jjijiiii .,..,2,1)1(

!=−+= ∑

=

εε

RADIACIÓN

Problema: Una carretera de superficie ennegrecida a una temperatura de 320 K recibe energía radiante del Sol por un valor de 700 W/m2. Calcular la radiación neta ganada por cada m2 de la superficie de la carretera. Solución: la energía que emite la superficie de la carretera es:

Como del Sol recibe 700 W/m2, la radiación neta es:

ResumendefórmulasQLkA tτ

=Δ

Q kA tHLτΔ= =

H; A

Q kA t k tHL LτΔ Δ= = =

Q PRA Aτ

= = 4PR e TA

σ= =

4P e ATσ=

°⋅⋅=

CmsJUnidades