Mec2 11 Lagrange

Mecanica II

Tema 11

Solido de Lagrange

Manuel Ruiz Delgado

28 de marzo de 2011

Solido pesado con punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Solido de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Solido de Lagrange: reduccion a cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Solido de Lagrange: analisis cualitatativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Solido de Lagrange: casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Trompo dormido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Movimiento estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Precesion de los equinoccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1

Solido pesado con punto fijo

Eje Oz1 fijo vertical ascendente:

Ejes solido principales en O: Ii = A,B,C

OG = (ξ, η, ζ)0 = (ξ1, η1, ζ1)1

En el caso general hay dos integrales primeras:

Rotula fija, lisa, peso → conservativo:

1

2

(

Ap2 +Bq2 + Cr2)

+mgζ1 = E

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x1

y1

z1

ζ1

θ

O

G

mg

x

y

z

El peso no da momento segun Oz1, pues ~g ‖ k1:

MDO · k1 =

dHO

dt· k1 =

d

dt(HO · k1) = 0 ⇒ HO · k1 = Hz1 = Cte.

HO = (Ap,Bq,Cr)0 ; k1 = (sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ)0

(Ap sinϕ+Bq cosϕ) sin θ + Cr cos θ = Hz1

Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 21

Solido pesado con punto fijo

Hace falta otra ecuacion, p.e., una de las de Euler:

MO = (ξ, η, ζ)0 ∧ (−mg k1)

Ap+ qr(C −B)Bq + pr(A−C)Cr + pq(B −A)

= −mg

η cos θ − ζ sin θ cosϕζ cos θ sinϕ− ξ cos θsin θ (ξ cosϕ− η sinϕ)

No se pueden integrar analıticamente en el caso general. Pueden reducirse a cuadraturas en dos casos:

Solido de Sofıa Kowaleskaya: A = B = 2C, ζ = 0

Solido de Lagrange: A = B, ξ = η = 0 (trompo simetrico).


2

Solido de Lagrange

Solido pesado con punto fijo, elipsoide de inercia de revolucion (A = B)y centro de masas en el eje (ξ = η = 0).

En este caso, la tercera ecuacion de Euler da una integral primera:

xy

z

yz

x

11

1

0

00

O

ϕ θ

θ

ψ

ψ

ψ

θ

.

.

.

mg

Cr + pq(��B −A) = −mg sin θ (��ξ cosϕ− �η sinϕ) ⇒ r = r0

Las dos integrales primeras del caso general quedan:

A(

p2 + q2)

+ Cr20 + 2mgζ cos θ = 2E

A (p sinϕ+ q cosϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1

Ahora el problema puede reducirse a cuadraturas.


Solido de Lagrange: reduccion a cuadraturas

A(

p2 + q2)

+ Cr20 + 2mgζ cos θ = 2E

A (p sinϕ+ q cosϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1

Sustituyendo p y q por sus valores en funcion de los angulos de Euler y sus derivadas,

θ2 + ψ2 sin2 θ =2E−Cr20

A − 2mgζA cos θ = α − a cos θ

ψ sin2 θ =Hz1A − C

A r0 cos θ = β − b r0 cos θ

α y β dependen de las condiciones iniciales

a y b dependen de la geometrıa de masas del solido

Eliminando ψ, queda una ecuacion en θ2 y θ → cuadratura

Las cuadraturas pueden integrarse mediante funciones elıpticas


3

Solido de Lagrange: reduccion a cuadraturas

De la integral de la energıa se obtiene una cuadratura para t(θ)

(

dθ

dt

)2

= α− a cos θ −(

β − br0 cos θ

sin θ

)2

= f(θ) →∫ t

t0

dt =

∫ θ

θ0

±dθ√

f(θ)

Sustituyendo este dt en la del momento cinetico, se obtiene ψ(θ):

ψ =β − br0 cos θ

sin2 θ→ ψ − ψ0 = ±

∫ θ

θ0

β − br0 cos θ

sin2 θ

dθ√

f(θ)

Y finalmente, de r0 se obtiene ϕ(θ)

r0 = ϕ+ ψ cos θ → ϕ− ϕ0 = ±∫ θ

θ0

(

r0 −β − br0 cos θ

sin2 θcos θ

)

dθ√

f(θ)


Solido de Lagrange: analisis cualitatativo

Mediante dos integrales primeras se ha dejado la de la energıa solo como funcion de θ2 y θ → sepuede hacer un analisis cualitativo:

θ2 = α− a cos θ −(

β − br0 cos θ

sin θ

)2

=2

A

[

E′ − Vef (θ)]

≥ 0

queda mas simple con el cambio u = cos θ, que da u = −θ sin θ:

θ2 sin2 θ = (α− a cos θ) sin2 θ − (β − br0 cos θ)2 ⇒

⇒ u2 = (α− au)(

1− u2)

− (β − br0u)2

Con lo que, tomando la constante E′ como cero, queda:

2

AVef (u) = − (α− au)

(

1− u2)

+ (β − br0u)2


4

Solido de Lagrange: analisis cualitatativo

2AVef (u) = − (α− au)

(

1− u2)

+ (β − br0u)2 ≤ 0.

Polinomio de grado 3 con las siguientes propiedades:

u −∞ −1 u0 1 ∞Vef (u) + + − + −

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0

Vef (u) 1

1

−1

−1 u1 u2 u3

u

θ1

θ2

Curvas: traza del eje de revolucion sobre la esfera unidad


Solido de Lagrange: casos

Vef (u) = − (α− au)(

1− u2)

+ (β − br0u)2

ψ sin2 θ = β − br0u ψ = 0 → u∗ =β

br0

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

> 1 |u∗| > 1 ⇒ u∗ /∈ [u1, u2]−1 0 1

Vef(u)

uu1 u2 u3

u*

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

< 1

|u∗| < 1

α > au∗ u∗ ∈ [u1, u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

α < au∗ u∗ /∈ [u1, u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

α = au∗ u∗ = u2[

V ′(u∗) = a(

1− u∗2)

> 0]

−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*


5


∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

= 1u∗ = +1

V ′(1) = 2(α − a)

α > a θ(1) =√

α − a−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

α < a u = 1 imposible, pues T < 0−1 0 1

Vef(u)

uu1 u2 u3

α = ab2r2

0> 2a Trompo dormido estable

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2 u3

b2r20

= 2aTransicion: ω∗ =2

C

√Amgζ

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2=u3

b2r20

< 2a Trompo dormido inestable−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2=u3



∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

= 1 u∗ = −1 V ′(1) = −2(α+ a)α+ a > 0

−1 0 1

Vef(u)

uu1u2 u3

α+ a = 0

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2 u3


6

Trompo dormido

Vef (u) = − (α− au)(

1− u2)

+ (β − br0u)2 β = br0

V ′ef (u) = a

(

1− u2)

+ 2u (α− au) − 2br0 (β − br0u) α = a

V ′′ef (u) = 2 (α− au) −4au+ 2b2r20 Disipacion: r0 ↓ ω∗ =

√2ab

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2 u3

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2=u3

−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2=u3


Trompo dormido

Aplicacion del trompo dormido: estabilizacion de proyectiles por rotacion

θθ

v

Fr

v

Fr

ψ

ϕ


7

Movimiento estacionario

Movimiento con θ = θ0, θ = 0, ψ = ψ0 y ϕ = ϕ0

Las condiciones inciales necesarias se pueden obtener de

• analisis cualitativo: hacer V ′ef (u) = 0

• ecuaciones de Euler: hacer θ = θ = ψ = ϕ = 0

En el movimiento estacionario se cumple para u = u0 = cos θ0

Vef (u0) = −(α− au0)(1 − u20) + (β − br0u0)2 = 0

V ′ef (u0) = a(1− u20) + 2u0(α− au0)− 2br0(β − br0u0) = 0

La primera no dice nada: se cumple siempre que se lance con θ = 0. Lo propio del estacionario esque se anule V ′.

θ0 = 0 θ0 = 0



V ′ef (u0) = a(1− u20) + 2u0(α− au0)− 2br0(β − br0u0) = 0

Las constantes α, β, en funcion de las condiciones iniciales,

��θ20 + ψ2

0 sin2 θ0 = α− au0

ψ0 sin2 θ0 = β − br0u0

se sustituyen en la derivada del potencial,

a(

1− u20)

+ 2u0

[

ψ20

(

1− u20)

]

− 2br0

[

ψ0

(

1− u20)

]

= 0

Como solo interesan los casos con |u0| 6= 1, queda:

a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0 = 0


8


a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0 = 0

Es mas intuitivo sustituir r0 = ϕ0 + ψ0 u0:

a+ 2u0(1− b) ψ20 − 2b ϕ0 ψ0 = 0

Esta expresion es cuadratica en la ψ0 y lineal en la ϕ0:

ψr0 =2bϕ0+

√4b2ϕ2

0−8au0(1−b)4u0(1−b) ψl0 =

2bϕ0−√

4b2ϕ20−8au0(1−b)

4u0(1−b)

Habra dos valores de la precesion, rapida y lenta, si:

(ϕ∗0)

2 ≥ 2a

b2u0(1− b) = ω∗2 u0(1− b)

donde ω∗ es la velocidad crıtica del trompo dormido.


Movimiento estacionarioLa rotacion propia es unica, y tiene dos terminos:

ϕ0 =a

2b ψ0

+u0 (1− b)

bψ0 =

mgζ

Cψ0

+

(

1− C

A

)

r0

Uno, inversamente proporcional a la precesion, recoge el efecto del peso a traves de a = 2mgζ/A. El

otro, proporcional a la precesion, se debe a la inercia como en el solido de Poinsot.Para valores altos de ϕ0,

Precesion lenta: efecto del peso dominante: ψl0 ≃a

2bϕ0

Precesion rapida: inercia dominante: ψr0 ≃ bϕ0

u0(1− b)


9


ϕ0 =mgζ

ψ0

+

(

1− C

A

)

cos θ0ψ0

ω∗√

u0(1 − b)

ϕ0

ψ0

u0 > 0

b < 1: Prolato

b > 1: Oblato

ψr0

ψl0


Inclinacion del eje de la Tierra: equinoccios

� Punto aries

�

23,5o

Equinoccio:

PrimaveraSolsticio:

Verano

Equinoccio:

Otono

Solsticio:

Invierno


10

Inclinacion del eje de la Tierra: estaciones

dıanoche

Verano en el

hemisferio norte

Invierno en el

hemisferio norte

23o26′

Cırculo

Polar Artico

Tropico

de Cancer

Tropico

de Capricornio


Precesion de los equinoccios

Movimiento de la Tierra como solido de Lagrange: achatamiento en los polos, exceso de masa en elecuador por la fuerza centrıfuga. Momento gravitatorio analogo al del solido de Lagrange. Precesiondel eje de giro de la tierra.

ST

ω

Periodo precesion general (sol+luna): ≃ 26000 anos


11

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