Mecánica

Mecnica de Fluidos Prof. Dr.-Ing. Gonzalo Salinas-Salas

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Mecnica de Fluidos y bombeo

Dr.- Ing. Gonzalo E. Salinas Salas Ingeniero Civil Mecnico

2015


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ndice 0. ndice 0 1. Introduccin 2 2. Propiedades de los fluidos 2 2.1. Densidad 2 2.2. Viscosidad 3 2.3. Tensin superficial 7 2.4. Elasticidad 8 2.5. Comportamiento del agua respecto de la temperatura 9 2.6. Presin 10 3. Esttica de fluidos 11 3.1. Fuerzas sobre superficies sumergidas 12 3.2. Fuerzas de empuje y flotacin 16 4. Dinmica de fluidos 17 4.1. Ecuacin de continuidad 18 4.2. Ecuacin de energa 19 4.3. Ecuacin de momentum 20 4.4. Caso de aplicacin 21 5. Fluido real 22 5.1. Prdida de carga por escurrimiento de un fluido 24 5.2. Prdida de carga primaria 24 5.3. Prdida de carga secundaria 26 5.4. Mtodo de longitud y altura equivalente 27 6. Bombeo 25 6.1 Clasificacin de bombas 29 6.2 Descripcin fsica de una bomba centrifuga 29 6.3 Descripcin matemtica del funcionamiento de una bomba centrifuga 31 6.4 Semejanza hidrulica 33 6.5 Criterios para seleccin de bombas centrfugas 34 7. Escurrimiento sobre cuerpos sumergidos 42 8. Bibliografa 44


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1. Introduccin

La mecnica de fluidos es la rama de la fsica aplicada que estudia el comportamiento de la materia que presenta la caracterstica de escurrir y por ende soporta mnimos esfuerzos de corte, por lo que se deforma. Esto se debe a que los fluidos estn constituidos por materia cuyas molculas tienen entre s una fuerza de atraccin dbil que les impide mantener su forma y carece de fuerzas restituti-vas que le permiten recuperar la forma "original", frente a cambios en el campo de fuerzas en que se encuentra. Por lo que el concepto de fluido se aplica tanto a lquidos como los gases. Donde lquidos se caracterizan por adoptar la forma del recipiente que los contiene, manteniendo su propio volu-men. Mientras que los gases carecen de una forma propia, por lo que se tienden a ocupar todo el vo-lumen existente.

2. Propiedades de los fluidos

Como ya se indic, la principal propiedad de un fluido es su caracterstica de escurrir, lo que se debe a su capacidad de deformarse cuasi infinitamente. En cuanto a las propiedades asociadas a esta ca-racterstica, las ms relevantes son las siguientes.

2.1 Densidad

La primera propiedad que caracteriza a un fluido es su densidad (), que se define como la cantidad de masa de fluido contenida en un determinado volumen, por lo que matemticamente se define a travs de la ecuacin 2.1.

=

(2.1)

Dnde : Densidad absoluta del fluido (kg/m

3)

m : Masa del fluido (kg) V : Volumen que ocupa la masa de fluido (m

3)

En particular para el caso de gases se puede emplear la ecuacin tcnica de estado para gases ideales, despejando el trmino de densidad, lo que se muestra en la ecuacin 2.2.

=

(2.2)

Dnde

P : Presin absoluta del gas (Pa) R : Constante particular del gas (J/kgK) T : Temperatura absoluta del gas (K)

Por lo general en mecnica de fluidos se emplea el concepto de peso especfico (), que representa al peso que ejerce una unidad volumtrica de fluido, en el campo gravitatorio. Matemticamente esta propiedad se determina mediante la ecuacin 2.3

g (2.3)

Dnde : Peso especfico del fluido (N/m

3)

g : Aceleracin de gravedad (m/s2)


3

En trminos tcnicos se tiende a utilizar el concepto de densidad relativa, donde las densidades de los distintos fluidos se comparan con la densidad estndar del agua W, cuyo valor se establece en:

W = 1.000 kg/m3

A partir de este valor se define a densidad relativa, dr, de un fluido, empleando la ecuacin 2.4.

=

(2.4)

Dnde:

dr : Densidad relativa del fluido (-) w : Densidad absoluta del agua estndar (kg/m

3)

La tabla 2.1 presenta valores de densidad y densidad relativa de algunos fluidos relevantes.

Tabla 2.1: Densidades estndar de fluidos relevantes

Sustancia Densidad Densidad relativa

kg/m3

-

Mercurio 13.600 13,6000

Tetracloruro de carbono 1.540 1,5400

Agua 1.000 1,0000

Petrleo 910 0,9100

Alcohol etlico 790 0,7900

Aire 1,2 0,0012

2.2 Viscosidad

La viscosidad es la propiedad de los fluidos asociada con la resistencia que estos oponen a escurrir por sobre una superficie slida. Su existencia permite agrupar el comportamiento de los fluidos en movimiento en los denominados regmenes de escurrimiento, los que permitirn su modelacin ma-temtica. La viscosidad dinmica se define como divisin entre el esfuerzo de corte por el gradiente de veloci-dad de escurrimiento perpendicular al flujo. A su vez, el esfuerzo de corte corresponde a la divisin entre la fuerza de corte o friccin entre las capas del fluido y el rea de contacto entre stas. Mien-tras que el gradiente de velocidad es la divisin entre variacin de la velocidad respecto de la varia-cin de distancia perpendicular a la superficie slida en la direccin del escurrimiento de fluido. La figura 2.1 representa la situacin fsica de estos parmetros.


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Fig. 2.1: Situacin fsica asociada a la existencia de viscosidad Matemticamente la viscosidad dinmica en el caso de un fluido newtoniano, se evala a travs de la ecuacin 2.5.

=

(2.5)

Dnde

: Viscosidad dinmica del fluido (Pas) : Esfuerzo de corte (Pa) v : Variacin de velocidad del fluido (m/s) y : Variacin de posicin vertical de la velocidad del fluido (m)

Como se puede desprender de la ecuacin 2.5, que el valor de la viscosidad dinmica en el caso de los fluidos newtonianos es constante. Este en la realidad no ocurre, ya que los fluidos tienen un comportamiento distinto al indicado. Sin embargo, es una buena aproximacin para los casos del agua, del aire y otras sustancias. La tabla 2.2 presenta valores de algunos lquidos que se pueden asumir como fluidos newtonianos. Tabla 2.2: Densidades y viscosidades dinmicas para lquidos considerados como fluidos newtonia-

nos a presin atmosfrica y una temperatura de 20C

Sustancia Densidad (kg/m3)

Viscosidad (Pas)

Agua 998,00 1,0010-3

Agua de mar 1.025,00 1,0710-3

Aceite SAE 30 917,00 2,9010-1

Gasolina 680,00 2,9210-4

Glicerina 1.260,00 1,4910-0

Tetracloruro de carbono 1.540,00 9,6710-4

Amoniaco 608,00 2,2010-4

y

y

x=vt

yy

x


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Por su parte, la tabla 2.3 presenta valores de algunos gases que se asumen como fluidos newtonia-nos para efectos de su modelacin matemtica. Tabla 2.3: Densidades y viscosidades dinmicas para gases considerados como fluidos newtonianos

a presin atmosfrica y una temperatura de 20C

Sustancia Densidad (kg/m3)

Viscosidad (Pas)

Aire 1,20 1,8010-5

Vapor de agua 0,75 1,0210-5

Nitrgeno 1,16 1,7610-5

Oxgeno 1,34 2,0010-5

Dixido de carbono 1,83 1,4810-5

Metano 0,67 1,3410-5

Helio 0,17 1,9710-5

Por otro lado, la viscosidad dinmica, , depende directamente de la temperatura, descendiendo su valor drsticamente en el caso de los lquidos e incrementado su valor en el caso de los gases. A su vez, es de uso comn el empleo de la denominada viscosidad cinemtica, que corresponde a la divisin entre la viscosidad dinmica y la densidad del fluido, como se muestra en la ecuacin 2.6.

=

(2.6)

Como se indic el fluido newtoniano solo es una simplificacin del comportamiento de la viscosidad de un fluido en trminos reolgicos, ya que viscosidad depende de la composicin qumica del fluido, de la temperatura y presin que se encuentre, del gradiente de velocidad o el tiempo. Por lo que en general se puede asumir a la viscosidad como una funcin de las anteriores, como se muestra en la ecuacin 2.7.

= (, , ,

, ) (2.7)

En trminos industriales los fluidos se clasifican a travs de Normas Tcnicas, siendo las Normas DIN 1342-1 a 1342-3, las que describen el comportamiento de la viscosidad, lo que permite agrupar a los fluidos en familias de similares caractersticas de flujo. La figura 2.2, muestra la clasificacin de fluidos segn su comportamiento de flujo, segn la norma DIN 1342.


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Fig. 2.2: Clasificacin de fluidos segn su comportamiento de flujo, segn norma DIN 1342. A su vez, la tabla 2.4, muestra conjunto de valores de viscosidad para fluidos industriales no-newtonianos a presin atmosfrica y una temperatura de 20C. Tabla 2.4: Viscosidades dinmicas para fluidos no-newtonianos a presin atmosfrica y una tempe-

ratura de 20C

Sustancia Viscosidad dinmica (Pas)

Petrleo 6,510-4

Mercurio 1,510-3

Jugo de uvas 3,510-2

Sangre a 37C 10-2

Turba de caf 10-2

Aceite de olivas 10-1

Aceite de motor 310-1

Aceite hidrulico 510-1

Melaza 1,0

Glicerina 1,5

Miel 10

Alquitrn 103

Betn de zapatos 106

Vidrio 1040

Los fluidos industriales no-newtonianos ms comunes son denominados fluido de Bingham y fluido de Ostwald-Waele, cuyo comportamiento en trminos del esfuerzo de corte y el gradiente de veloci-dad se muestran junto al de un fluido newtoniano en la figura 2.3.

Comportamiento de flujo

Dependiente del tiempo Independiente del tiempo

Sin frontera de flujo Con frontera de flujo

Newtoniano Ostwald Bingham Plstico Tixtrpico Reotrpico


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Fig. 2.3: Comportamiento de las familias de fluidos industriales ms comunes.

El fluido de Bingham, corresponde al comportamiento que tienen las pinturas en base a leo, sus-pensiones de aceites, pasta dentfrica, ktchup, lpiz labial, etc. Matemticamente se representa su comportamiento a travs de la ecuacin 2.8, de donde se infiere que realizando un esfuerzo de corte

inicial (c), el fluido comienza a comportase como newtoniano.

=

(2.8)

El fluido de Ostwald-Waele, corresponde al comportamiento que tienen los jugos y purs de frutas, salsas, ltex, polmeros fundidos, chocolates, pulpas, etc. Estos fluidos siguen matemticamente la llamada ley de la potencia, la que es de tipo emprico y adopta la forma de la ecuacin 2.9.

= (

) (2.9)

Dnde

K : ndice de consistencia (Pasn)

n : ndice de comportamiento de flujo (1/sn)

De esta ecuacin puede desprenderse la denominada viscosidad aparente, que es el valor que pun-tualmente adopta esta viscosidad para una determinada velocidad de corte o estado de carga. Ma-temticamente este valor se obtiene de la ecuacin 2.10.

= (

)1

(2.10)

2.3 Tensin superficial

Otra caracterstica de los fluidos es la denominada tensin superficial, , que es la fuerza normal que se establece en la superficie de un fluido, fundamentalmente lquidos, divido por la longitud unitaria de la superficie. Este efecto que mantiene cohesionado al fluido, separndolo de las superficies sli-das conque toma contacto y del aire. As permite la formacin del fenmeno de capilaridad, de go-

v/y

Fluido de Bingham

Fluido Newtoniano

Fluido de Ostwald-Waele

c


8

tas, burbujas, cuyas dimensiones dependern, principalmente, de la diferencia de presiones y el va-lor de la tensin superficial Los dos casos ms comunes corresponden a la capilaridad y la formacin de gotas. Siendo el prime-ro la capacidad de los lquidos de trepar por un capilar, que es un tubo de un dimetro muy pe-queo, por sobre su superficie libre. La situacin fsica se muestra en la figura 2.4.

Fig. 2.3: Situacin fsica de la capilaridad en lquidos A su vez, su modelacin matemtica se realiza a travs de la ecuacin 2.11.

=

4 (2.11)

Dnde : Tensin superficial (N/m) h : Altura de la capilaridad (m) d : Dimetro del tubo capilar (m) : ngulo de contacto (rad)

En el caso de gotas, estas se asumen como completamente esfricas, donde en su interior existe una presin que sostiene su forma. Matemticamente su modelacin se realiza mediante la ecuacin 2.12.

=(01)

4 (2.12)

Dnde

P0 : Presin generada por la tensin superficial (Pa) P1 : Presin exterior a la burbuja (Pa)

2.4 Elasticidad

Finalmente, existe otra propiedad de los fluidos que es muy relevante, ya que la elasticidad, E, que es la propiedad que representa la capacidad que tiene un fluido de absorber como una variacin de volumen una variacin de presin, lo que permite el transporte de ondas mecnicas, en particular el sonido, a travs de ste. Matemticamente la elasticidad se define a travs de la ecuacin 2.13.

hd

P

P

1

0


9

=

(2.13)

A partir de la definicin de elasticidad de un fluido, se puede determinar la velocidad con que se pro-paga el sonido en ste. De modo que la ecuacin 2.14, permite evaluar la velocidad de propagacin

del sonido en fluidos, us.

=

(2.14)

En particular para el caso de gases general y aire en particular, la velocidad del sonido se puede de-terminar matemticamente mediante la ecuacin 2.15.

= (2.15) Dnde

k : Relacin de calores especficos (-), para aire es 1,4 R : Constante particular del gas (J/kgK), para aire es 287 J/kgK T : Temperatura del gas (K)

2.5 Comportamiento del agua respecto de la temperatura

Como se ha indicado los fluidos en general y los lquidos en particular, ven alteradas sus propieda-des de manera importante por la accin de la temperatura. Por lo general a medida que la tempera-tura aumenta, en los lquidos, la densidad, la viscosidad dinmica y la tensin superficial descienden, lo que en muchas aplicaciones tecnolgicas es muy complejo, en particular en el caso de lubricacin de equipos. La tabla 2.5, muestra en comportamiento de la densidad, viscosidad dinmica y tensin superficial del agua a presin atmosfrica frente a la variacin de la temperatura.

Tabla 2.5: Tabla de densidad, viscosidad, tensin superficial y elasticidad para agua a presin at-

mosfrica

Temperatura (C)

Densidad

(kg/m3)

Viscosidad (mPas)

Tensin Superficial (N/m)

Elasticidad (GN/m

2)

0 999,9 1,7870 7,5610-2 1,98

5 1.000,0 1,5190 7,4910-2 2,05

10 999,7 1,3070 7,4210-2 2,10

20 998,2 1,0020 7,2810-2 2,15

30 995,7 0,7975 7,1210-2 2,17

40 992,2 0,6529 6,9610-2 2,22

50 988,1 0,5468 6,7910-2 2,25

60 983,2 0,4665 6,6210-2 2,28

70 977,8 0,4042 6,4410-2 2,29

80 971,8 0,3547 6,2610-2 2,28

90 965,3 0,3147 6,0810-2 2,25

100 958,4 0,2818 5,8910-2 2,20


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2.6 Presin

La presin es una propiedad termodinmica referida al campo de fuerzas en que se encuentra el fluido y su definicin conceptual es divisin entre la fuerza aplicada perpendicularmente a un ele-mento de rea del fluido. Matemticamente se evala a travs de la ecuacin 2.16.

dAFP (2.16)

Dnde

P : Presin (Pa) F : Fuerza perpendicular al elemento de rea (N) dA : Elemento de rea (m

2)

La presin puede expresarse en trminos absolutos y relativos respecto a la presin atmosfrica, en este ltimo caso se le denomina presin manomtrica o gravimtrica. Donde la relacin matemtica entre la presin absoluta y la manomtrica se representa a travs de la ecuacin 2.17. = + (2.17) Dnde

Pabs : Presin absoluta (Pa) Patm : Presin atmosfrica que en trminos estndar es 101.325 (Pa) Pman : Presin manomtrica (Pa)

En el caso que la presin que se ejerce se encuentre bajo la presin atmosfrica, se le denomina presin de vaco o vacuomtrica, por lo que su valor es precedido por un signo negativo. El valor de la presin se expresa no slo en unidades de sta, sino que tambin se expresa como al-tura de columna de fluido. Para lo cual se considera como fuerza ejercida al peso que ejerce sta sobre el rea transversal a esta columna. A este aparato se le denomina tubo piezomtrico o piez-metro y la relacin entre la altura que registra y en unidades de presin estndar se presenta mate-mticamente a travs de la ecuacin 2.18. Cabe indicar que el fluido manomtrico es un lquido. = (2.18) Dnde

P : Presin registrada (Pa) : Peso especfico del fluido (N/m

3)

h : Altura de la columna de fluido (m) La figura 2.4 presenta la situacin fsica de un tubo piezomtrico en U, donde existen dos fluidos,

uno en el interior del tanque a una presin P1 y con un peso especfico 1, el otro es el lquido ma-nomtrico, el que posee un peso especfico 2. Dado que el tubo se encuentra en una profundidad h1, por debajo de la lnea de presin, sta debe ser considerada en la medicin de la presin P1.


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Fig. 2.4: Situacin fsica de un tubo piezomtrico en U Matemticamente este equilibrio esttico de fuerzas de presin y del peso de las columnas de lqui-do se determina empleando la ecuacin 2.19. 1 = 2 2 1 1 (2.19) Finalmente, en el evento que un fluido se encuentre en movimiento, la presin total que ejerce o so-porta ste, se descompone en dos trminos, que son la presin esttica, que es la que el fluido ejer-ce contra el medio que lo conduce radialmente a su sentido de movimiento y la presin dinmica, que es la que ejerce axialmente a su sentido de movimiento, en otras palabras es la que impulsa su escurrimiento. La ecuacin 2.20 plantea matemticamente el comportamiento de la presin total res-pecto de la presin esttica y la dinmica. = + (2.20)

3. Esttica de fluidos

Los fluidos pueden encontrarse tanto en reposo o en movimiento. En ambos casos se encuentran sujetos a la presin atmosfrica, por lo que todo anlisis se realiza bajo la consideracin de encon-trarse bajo la presin atmosfrica y esta se considera como nula. El concepto de esttica de fluidos se refiere cuando ste no tiene movimiento, por lo que siempre el fluido ejerce la presin total. Los fenmenos estticos tienden a presentarse, comnmente, en los l-quidos que corresponden a aquellos fluidos que en las condiciones ambientales se caracterizan por adoptar la forma del recipiente que los contiene en los niveles ms bajos de energa potencial y por el escurrir siguiendo una pendiente o una diferencia de presiones, manteniendo casi constante su densidad, la que de hecho, se le asume como constante, denominndoseles como cuasi-incompresi- bles, distribuyendo de igual forma la presin total en todas los direcciones, en un mismo nivel de pro-fundidad, como se representa en la figura 3.1. A esta caracterstica se le denomina Principio de Pas-cal.

h

P1

1

2

h1

2


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Figura 3.1: Representacin del principio de Pascal Este principio parte del concepto de que al ser la presin igual en todos los sentidos, se puede multi-plicar la fuerza ejercida en una pequea rea, a una fuerza muy considerable, a partir de un incre-mento de rea donde se ejerce la fuerza. Matemticamente se representa a travs de la ecuacin 3.1.

2 =12

1 (3.1)

Dnde:

F1 : Fuerza ejercida sobre el fluido en el rea menor (N) A1 : rea menor, donde se ejerce la fuerza sobre el fluido (m

2)

F2 : Fuerza ejercida por el fluido en el rea mayor (N) A1 : rea mayor, donde ejerce la fuerza el fluido (m

2)

Tcnicamente, este principio de emplea en los equipos oleodinmicos o hidrulicos de potencia, par-tiendo de la simple herramienta denominada gata hidrulica.

3.1 Fuerzas sobre superficies sumergidas

Como se indic los lquidos en reposo ejercen una fuerza debida a su peso propio y perpendicular-mente contra las discontinuidades que pudiesen surgir, que impidan la cohesin del lquido, o sea en las zonas donde hay paredes, estas reciben una fuerza perpendicular distribuida ejercida por el flui-do. Esta fuerza ejercida contra la pared es funcin directa de la profundidad donde acta el fluido, de la densidad de ste y su densidad. La figura 3.2, muestra una pared recta de ancho b, que en su la-do izquierdo contiene un lquido de densidad conocida que ejerce una fuerza sobre pared slida que constituye la discontinuidad del fluido. A su vez, que en la pared se ha ubicado un manmetro que registra la presin ejercida por el fluido a una determinada profundidad. Como se aprecia a la fuerza hidrosttica que ejerce el fluido crece directamente con la profundidad y se comporta como una car-ga distribuida. Por lo que para evaluar esta carga distribuida como una fuerza nica, es necesario realizar un procedimiento matemtico para determinar su valor y su punto de aplicacin, el que se encuentra siempre por debajo del centro de gravedad de la superficie sumergida de la compuerta.

P

A2 A1

F1F2


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Figura 3.2: Representacin de las fuerzas hidrostticas de un lquido contra la pared que lo contiene. El valor de la fuerza hidrosttica evala aplicando la ecuacin 3.2. = (3.2)

Dnde:

Fh : Fuerza hidrulica (N) As : rea o superficie sumergida donde el lquido ejerce su fuerza (m

2)

hg : Profundidad del centro de gravedad o centro de gravedad del rea sumergida (m) Donde el punto de aplicacin de la fuerza hidrosttica se le denomina centro de presin, el que se evala considerando que este punto corresponde a la posicin medida desde la superficie, en que el momento de fuerzas ejercido por el fluido sobre este se compensa o anula con el existente bajo de ste, lo matemticamente se obtiene empleando la ecuacin 3.3.

= +

(3.3)

Dnde:

hp : Profundidad del centro de presin (m4)

I : Momento de inercia principal del rea sumergida (m) Si se aplica lo anterior a una compuerta recta, como la situacin mostrada en la figura 3.2, se obtie-ne el valor de la fuerza hidrosttica y su posicin, considerando que el ancho de la compuerta es de magnitud b y la altura del agua apoyada en la compuerta es H, se tiene:

h Fh

Ph

hp


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Figura 3.3: Representacin de las fuerzas hidrostticas de un lquido contra la pared que lo contiene. Reemplazando los valores conocidos en la ecuacin 3.2, se obtiene el valor de la magnitud de la fuerza a partir de la ecuacin 3.4.

= =

2=

1

2 2 (3.4)

A su vez, la determinacin de la posicin de la fuerza medida desde la superficie libre el lquido, se evala empleando la ecuacin 3.3, donde al reemplazar los parmetros fsicos, se obtiene la ecua-cin 3.5.

= +

=

2+

3

12

2

=

2+

6=

2

3 (3.5)

Lo que medido desde le base es: H/3.

Para el caso de una compuerta inclinada en un ngulo respecto de la horizontal o curva a la fuerza total que ejerce el lquido sobre sta, corresponde a la suma vectorial del peso ejercido por el fluido que se encuentra sobre la compuerta, ms la fuerza horizontal ejercida sobre el rea proyectada en la vertical de la compuerta, como las que se muestran en la figura 3.4. La posicin del peso del fluido corresponde al centro de gravedad del volumen de fluido sobre la compuerta y la posicin de la fuerza horizontal corresponde a la posicin del centro de presin del rea proyectada.

bH

H

H

2

H


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Figura 3.4: Representacin de las fuerzas hidrostticas de un lquido contra una pared inclinada o curva.

Considerando la figura 3.4, se desprende que el valor de la fuerza hidrulica horizontal y su posicin de aplicacin son los mismos que para el caso de la compuerta vertical y corresponden a los indica-dos en las ecuaciones 3.4 y 3.5 respectivamente, considerando al rea proyectada, que para ese caso corresponde a un rectngulo de altura H y ancho b. Para el caso del peso del agua sobre la compuerta o en su defecto la fuerza que ejerza el agua bajo de sta, se aplica el criterio de evaluar el peso del fluido que exista sobre la compuerta, por lo que la fuerza se dirige hacia abajo. En el ca-so que el fluido exista bajo la compuerta, la fuerza que ejerce sobre sta, se dirige hacia arriba. En ambos casos se considera como su punto de aplicacin al centro de gravedad de la masa involucra-da. Finalmente, la fuerza total ejercida por el fluido contra la compuerta corresponde a la suma vectorial de las fuerzas evaluadas y el punto de aplicacin al obtenido de las posiciones vectoriales donde se ejerce. En el caso de las compuertas rectas inclinadas en un ngulo cualquiera (), como la que se muestra en la figura 3.5 existe un mtodo simplificado que consiste en emplear un sistema alterno de refe-rencia (u-v), que sigue la direccin de la compuerta, lo que permite modelar el comportamiento de las fuerzas hidrostticas en funcin de este sistema reduciendo considerablemente el trabajo mate-mtico. Considerando las condiciones geomtricas mostradas en la figura 3.5, se determina el valor de la longitud, L, de la compuerta a partir de la ecuacin 3.6.

=

() (3.6)

Fh

hpy

Wh

xg

y

x

H

hpyWh

xg

y

x

FhH


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Figura 3.5: Representacin del mtodo simplificado de evaluacin de las fuerzas hidrostticas de un lquido contra una pared inclinada.

En este caso, la magnitud de la fuerza se establece como se indica en la ecuacin 3.7, donde se plantea a travs de la profundidad vertical del fluido (h) en trminos del eje cartesiano de referencia normal x-y, como mediante el eje auxiliar u-v, siguiendo la profundidad inclinada del fluido (L). = = () (3.7) Dnde:

Lg : Posicin del centro de gravedad siguiendo el eje auxiliar inclinado u-v (m) : ngulo de inclinacin de la compuerta respecto de la horizontal (-)

Por su lado, la posicin del centro de presin se determina empleando la ecuacin 3.8, donde se presenta la correlacin que existe entre ambos ejes de referencia.

= () = ( +

) () (3.8)

Dnde:

Lp : Posicin del centro de presin siguiendo el eje auxiliar inclinado u-v (m) IL : Momento de inercia principal del rea sumergida siguiendo el eje auxiliar inclinado u-

v. (m4)

3.2 Fuerzas de empuje y flotacin

Para el caso de un cuerpo slido sumergido en un lquido o de una burbuja de gas, se genera una discontinuidad en lquido, la que da lugar a la aparicin de una fuerza de empuje o flotacin que trata de expulsar al cuerpo en el sentido vertical, como se muestra en la figura 3.4. Dependiendo del ba-lance de fuerzas entre la fuerza de empuje y el peso del cuerpo, ste ascender hasta alcanzar la superficie, si la fuerza de empuje es mayor al peso del cuerpo o en su defecto se sumergir hasta

u

v

Fh Lp

L

H


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alcanzar el fondo, en el caso que el peso del cuerpo fuera mayor a la fuerza de empuje. Si estas fuerzas fueran idnticas el cuerpo sostendra su posicin. Matemticamente la fuerza de empuje se determina a partir de la ecuacin 3.6. = (3.6) Dnde:

Ff : Fuerza de empuje o flotacin (N) V : Volumen del cuerpo (m

3)

Figura 3.6: Representacin de las fuerzas de empuje y peso de un cuerpo sumergido en un lquido. Por su lado, la fuerza neta del cuerpo en el fluido es igual a la suma del peso con la fuerza de empu-je, donde ambas van en sentido opuesto. La ecuacin 3.7 permite evaluar la fuerza neta del cuerpo sumergido.

= ( ) (3.7)

Dnde:

Fn : Fuerza neta del cuerpo sumergido (N) V : Volumen del slido (m

3)

s : Peso especfico del cuerpo (N/m3)

f : Peso especfico del fluido (N/m3)

4. Dinmica de fluidos

La dinmica de fluidos se desarrolla para fluidos ideales, esto es fluidos sin viscosidad y se basan en tres principios, los que son: la conservacin de la masa, la conservacin de la energa y la conserva-cin del momentum, las que se plantean en forma de ecuaciones matemticas. Para el caso de flui-dos reales, que son aquellos que poseen viscosidad, se plantea su forma ms simplificada que es el fluido newtoniano o con viscosidad constante. Finalmente, se presenta un ltimo tpico correspon-

Ff

W

V


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diente a flujo por sobre cuerpos sumergidos, donde se aplican las ecuaciones de arrastre y susten-tacin.

4.1 Ecuacin de continuidad

Para describir un fenmeno de mecnica de fluidos se empleara la denominada descripcin de Eu-ler, lo que significa separar imaginariamente del Universo una fraccin de volumen, al que se deno-mina como Volumen de Control, al cual puede ingresar y salir un flujo o caudal de masa, lo que per-mite que sta se acumule o se ceda en un determinado intervalo de tiempo. La ecuacin 4.1 o ecua-cin de continuidad, muestra matemticamente el principio de conservacin de la masa. 1

+

2

=

(4.1)

Dnde: m1 : Diferencial de masa que ingresa al volumen de control (kg) m2 : Diferencial de masa que sale del volumen de control (kg) mf : Diferencial de masa en el volumen de control (kg) t : Diferencial de tiempo (s)

Los trminos conceptuales la ecuacin de continuidad indica que el cambio del caudal msico que ingresa a un volumen de control es igual al cambio de la masa en el contenido en ste, en un deter-minado intervalo de tiempo. La ecuacin de continuidad puede simplificarse segn sea la situacin fsica a analizar. Consideran-do el caso de una mquina o equipo que opere en condiciones de Flujo Estable, esto es que el cau-dal msico que ingresa es idntico al caudal msico que sale, por lo que la masa en su interior per-manece constante, la ecuacin 4.1 adopta la forma de la ecuacin 4.2. 1 = 2 = (4.2) Dnde: 1 : Caudal masico que ingresa al volumen de control (kg/s) 2 : Caudal masico que egresa del volumen de control (kg/s)

Si se asume que la sustancia que compone el fluido que ingresa y egresa del volumen de control tiene una densidad constante o sea es cuasi incompresible, lo que es vlido para lquidos y gases impulsados con diferencias de presin no mayores a 0,1 bar, se obtiene el caudal volumtrico o gas-to o flujo empleando la ecuacin 4.3.

=

(4.3)

Dnde: Q : Caudal volumtrico o gasto o flujo (m

3/s)

A su vez, el caudal volumtrico puede expresarte en funcin de la velocidad media del escurrimiento y la seccin transversal a ste, empleando la ecuacin 4.4. = 1 1 = 2 2 (4.4)


19

Dnde: v : Velocidad media del escurrimiento (m/s) A : rea transversal al escurrimiento (m

2)

La figura 4.1 muestra la situacin genrica donde se aplica la ecuacin de conservacin de la masa en condiciones de flujo estable para el caso de un fluido cuasi-incompresible (lquido), con la aplica-cin de las velocidades medias del escurrimiento y la seccin transversal a ste.

Figura 4.1: Representacin genrica de la situacin fsica de flujo estable y ecuacin de continuidad.

4.2 Ecuacin de energa

Por su parte, el fluido requiere de energa para desarrollar su movimiento, por lo que asumiendo la existencia de un campo conservativo de energa, esto es no existen prdidas de energa y un fluido ideal sin viscosidad y que una partcula de fluido describe una trayectoria a la que se denomina l-nea de corriente, se puede plantear que para dos posiciones definidas como la entrada y salida del volumen de control, la energa permanece constante. La figura 4.2 ilustra esta situacin:

Figura 4.2: Representacin de una lnea de corriente situacin y un volumen de control. Aplicando la Primera Ley de la Termodinmica a la lnea de corriente y considerando que el escurri-miento es isotrmico o sea a temperatura constante, se puede plantear la denominada ecuacin de Bernoulli, la que se presenta matemticamente en la ecuacin 4.5. Donde la energa se representa en la forma de altura.

vv1

2A1 A2Q Q

1

2


20

1

+

12

2+ 1 =

2

+

22

2+ 2 (4.5)

Dnde:

P : Presin esttica que ejerce el fluido (Pa) z : Posicin relativa (m)

Convencionalmente se denomina al trmino de energa expresada como altura con el nombre de Bernoulli, como se muestra en la ecuacin 4.6.

=

+

2

2+ (4.6)

Dnde:

Bi : Bernoulli (m) Considerando que al fluido y por ende a la lnea de corriente que describe su movimiento se le pue-de agregar o retirar energa mecnica a medida que escurre, sta se debe agregar a la condicin planteada por la ecuacin de Bernoulli, la que adopta la forma de la ecuacin 4.7. Donde la energa que se agrega al fluido se considera positiva y la que se extrae del fluido se considera negativa. 12 + 1 = 2 (4.7) Dnde: 12

: Energa en forma de altura que se agrega o retira de una lnea de corriente (m)

Considerando slo el trmino de energa de una mquina que intercambia con una lnea de corrien-te, se puede indicar que la potencia desarrollada por sta, se determina a partir de la ecuacin 4.8. = 12 (4.8) Dnde:

Nh : Potencia intercambiada entre una mquina y el fluido (W)

4.3 Ecuacin de momentum

El principio de conservacin del momentum o impulso surge a partir de la segunda ley de Newton, que plantea del cambio del momentum lineal de una lnea de corriente es igual a suma de las fuerzas externas que actan sobre o ejerce el fluido en un choque con una superficie slida. Como se mues-tra en la figura 4.3


21

Figura 4.3: Representacin del principio de conservacin del momentum en un choque.

Matemticamente este principio se representa a travs de la ecuacin 4.9, considerando que los va-lores del caudal deben estar asociados a la direccin de la velocidad que lo impulsa.

= [( ) ( )] (4.9) Dnde:

Qs : Caudal que abandona el punto de choque (m3/s)

vs : Velocidad vectorial que abandona el punto de choque (m/s) Qe : Caudal que ingresa al punto de choque (m

3/s)

ve : Velocidad vectorial que ingresa el punto de choque (m/s)

Tambin este principio se puede aplicar al caso de un torque o momento externo que se ejerza so-bre un fluido o ste sobre un slido, a lo que se le denomina principio de conservacin del momen-tum angular, cuya modelacin matemtica se representa a travs de la ecuacin 4.10.

= [( ( )) ( ( ))] (4.10) Dnde:

rs : Brazo de accin de salida del fluido respecto del punto de giro (m) re : Brazo de accin de entrada del fluido respecto del punto de giro (m)

4.4 Caso de aplicacin

Una aplicacin de los principios anteriormente expuestos son los denominados mtodos de aforo por estrangulacin, donde el tubo de Venturi es el mtodo ms exacto. La figura 4.11 muestra esquem-ticamente dicho equipo con sus respectivos aparatos de medida de presin esttica.

Q

v

e

e

Qv

s

s

Fext


22

Figura 4.11: Representacin de un tubo de Venturi. La modelacin matemtica del tubo de Venturi corresponde a la aplicacin sucesiva del concepto de presin total y esttica, las ecuaciones de continuidad y de energa. Debe tenerse en cuenta que la ecuacin de momentum se emplea para evaluar la resistencia de los elementos de unin que sos-tendrn al tubo en su posicin. Asumiendo que el tubo es de seccin redonda, la seccin efectiva de medida la constituye slo a parte inicial del tubo, donde se realiza la estrangulacin del flujo, esto es la seccin 0 y 1 del tubo. Aplicando la ecuacin de continuidad, donde el caudal que cruza por las secciones 0 (inicial del tu-bo) y 2 su garganta es la misma, se obtiene la ecuacin 4.11.

0 = 1 (1

0)2 (4.11)

Considerando que se est midiendo la presin total esttica que ejerce el fluido contra los aparatos de medida y considerando que el nivel gravimtrico del eje del tubo de Venturi es idntico entre las secciones de entrada y garganta. Se reemplaza estas consideraciones en la ecuacin de Bernoulli, se puede determinar tanto la velocidad del fluido en la seccin de entrada como en la garganta. Siendo esta ltima determinada a travs de la ecuacin 4.12.

1 = 2(01)

(1(10)4) (4.12)

Finalmente el caudal se obtiene del producto de la seccin transversal de la garganta y el rea de sta, como se expresa en la ecuacin 4.13.

= (1

2

4)

2(01)

(1(10)4) (4.13)

5. Fluido real

Como se indic un fluido real es aquel que posee viscosidad, por lo que se presentan los fenmenos de roce viscoso cuando escurre por sobre una superficie slida, lo que genera la aparicin de los denominados regmenes de escurrimiento, los que se plantean a travs de la relacin entre las fuer-

v0 v1

P0

P1

z1z0

P2


23

zas de inercia y las fuerzas viscosas, que matemticamente se establece a travs de los rangos que adopta el Nmero de Reynolds (Re), que es un parmetro adimensional, que se evala para el caso de escurrimiento por el interior de tuberas mediante la ecuacin 5.1.

=

(5.1)

Dnde:

Re : Nmero de Reynolds (-) d : Dimetro interior de la tubera (m) v : Velocidad media del escurrimiento (m/s)

Los regmenes de escurrimiento son tres: laminar, transicional y turbulento, tcnicamente se opera el flujo de fluido en los regmenes laminar y turbulento, ya que el comportamiento del rgimen transi-cional es tan complejo de modelar que no ha sido posible aun realizarla y por lo tanto se evita operar en estas condiciones. Las caractersticas del escurrimiento estn dadas por la forma y la velocidad que adoptan las lneas de corriente que forman el caudal se desplaza dentro de la tubera, ya que el roce que existe con la pared interior de sta modifica sustancialmente a la velocidad, tanto en direccin como en magnitud, as el rgimen laminar se caracteriza en el hecho que las lneas de corriente se desplazan paralelas entre e incrementan su velocidad gradualmente hasta alcanzar la velocidad mxima en el centro de la tubera. Por su lado, en el caso del rgimen turbulento las lneas de corriente se deforman signifi-cativamente y su velocidad se mantiene aproximadamente constante, con excepcin de la cercana de la pared. Dado que la velocidad vara con la distancia desde la pared hacia el centro de la tube-ra, se utiliza el concepto de velocidad media, que es el promedio de las velocidades de las lneas de corriente y utilizando esta se pueden emplear las ecuaciones aplicables a fluido ideal. La figura 5.1 muestra los dos tipos de escurrimiento, el comportamiento de la velocidad de las lneas de corriente, el concepto de velocidad media y el rango del nmero de Reynolds aplicable a cada caso.

Rgimen de escurrimiento laminar Rgimen de escurrimiento turbulento

Re < 2.300 Re > 4.000

Figura 5.1: Representacin del comportamiento del perfil de velocidades del fluido para escurri-

miento laminar y turbulento.

v

d

vd

d

v

vd


24

5.1 Prdida de carga por escurrimiento de un fluido

La prdida de carga por escurrimiento de un fluido corresponde a la prdida de energa asociada al requerimiento de transporte de ste a travs de las tuberas que lo conducen, entre una posicin (1), a una segunda posicin (2). Esta prdida de carga tiene su origen tres condiciones, las que son: la viscosidad del fluido, la rugosidad de la tubera y el cambio de momentum asociado a los cambios de direccin o velocidad del escurrimiento. Matemticamente la forma general de la ecuacin de Bernoulli con los trminos de energa intercambiada por una mquina y la prdida de carga se pre-senta en la ecuacin 5.2.

12 + 1 = 2 +12 (5.2) Dnde:

12 : Sumatoria de las prdidas de carga de la tubera (m)

5.2 Prdida de carga primaria

La prdida de carga primaria corresponde a la prdida de energa por efecto de la viscosidad del fluido y la rugosidad superficial de la tubera, dentro de la cual escurre. Para evaluar esta prdida existen varios modelos, siendo el ms comnmente empleado para uso industrial, el denominado DarcyWeissbach, el que matemticamente corresponde a la ecuacin 5.3. Donde se suman las prdidas por cada tramo recto de tuberas, con sus respectivas condiciones geomtricas y de escu-rrimiento.

12 = (

)2

2 (5.3)

Dnde:

12 : Suma de la prdidas de carga primaria por cada tramo de tubera existente entre las

posiciones 1 y 2 (m) f : Coeficiente de friccin del tramo de tubera (-) L : Longitud del tramo de tubera de igual seccin (m) d : Dimetro de la tubera de igual seccin (m) v : Velocidad media del escurrimiento en la tubera de igual seccin (m)

La forma con al cual se puede determinar el coeficiente de friccin (f), depende directamente del r-gimen de escurrimiento, esto es si el tipo de escurrimiento es laminar o turbulento. A la vez, depende de la rugosidad de la tubera, entendida sta como las irregularidades que existen en su superficie interior. Por lo anterior, se clasifican dos grupos de modelos de evaluacin, el denominado para tu-bera lisa, donde la rugosidad es nula y el denominado con rugosidad. El modelo de tubera lisa supone que la causa de la prdida de carga radica solo en la viscosidad del fluido. La tabla 5.1 muestra las ecuaciones aplicables para para determinar el coeficiente de friccin para tuberas lisas para los distintos regmenes de escurrimiento. Tabla 5.1 Ecuaciones para determinar el coeficiente de friccin para tuberas lisas

Tipo de escurrimiento Nombre del modelo Formulacin Rango

Escurrimiento laminar Hagen-Poiseuille

=64

(Re < 2.300)


25

Escurrimiento turbulento 2 Forma de Blasius

=0,3146

0,25

(Re > 4.000)

El modelo de tubera rugosa requiere conocer el valor de rugosidad superficial de la tubera, el que depende del material con el cual est construida, su grado de deterioro o uso de sta. El concepto de rugosidad superficial de tubera se ilustra en la figura 5.2.

Figura 5.2: Representacin de la rugosidad de una tubera, el dimetro de sta y la velocidad me-

dia del escurrimiento. La rugosidad (k) se expresa dimensionalmente como la diferencia entre los valores mximos y mni-mos de las deformaciones superficiales de la tubera (crestas y valles). La tabla 5.2 muestra las ecuaciones aplicables para para determinar el coeficiente de friccin para tuberas rugosas para los distintos regmenes de escurrimiento.

Tabla 5.2. Ecuaciones para determinar el coeficiente de friccin para tuberas rugosas

Escurrimiento laminar Hagen-Poiseuille

=64

(Re < 2.300)

Escurrimiento turbulento Colebrook =1

(2(2,51

+0,27))

(Re > 4.000)

Dnde:

k : Rugosidad superficial del tramo de tubera (m) Estas ecuaciones pueden representarse grficamente para reducir la complejidad de su evaluacin. A esta grafico se le denomina Diagrama de Moody y se presenta en la figura 5.3.

v

d t

k


26

Figura 5.3: Diagrama de Moody. La forma de utilizar el diagrama de Moody, consisten en cruzar la lnea del Nmero de Reynolds del Escurrimiento con la lnea de la rugosidad relativa de la seccin de tubera, que es la divisin de la rugosidad por el dimetro de sta. La intercepcin de estas lneas se traslada a la izquierda del dia-grama y se obtiene el valor del coeficiente de friccin.

5.3 Prdida de carga secundaria

La prdida de carga secundaria ocurre en las singularidades o accesorios que requiere una lnea de conduccin de fluido, por lo que la engendran elementos tales como: codos, vlvulas, reducciones, etc. Dado que estos elementos producen un cambio en la direccin del escurrimiento o de su veloci-dad, alteran el momentum del fluido, lo que genera el hecho que se engendre una fuerza sobre el fluido en un sentido opuesto al movimiento de ste, lo que debe ser vencida. A esto se suma la pr-dida por friccin que se genera por el escurrimiento del fluido por la superficie interior de sta. La forma de representacin de estas prdidas para su uso en la ecuacin de Darcy-Weissbach, es a travs de la generacin de un coeficiente singular, que se asume como constante para un determi-nado elemento. En trminos estrictos este coeficiente depende el Nmero de Reynolds. Matemti-camente su emplea la ecuacin 5.4, para su evaluacin.

12 = 2

2 (5.4)

Dnde: Ci : Coeficiente singular de un elemento en un tramo de tubera de igual seccin (-)


27

Para la evaluacin del coeficiente singular se puede emplear la ecuacin emprica de Gibson, la que plantea que el valor del coeficiente depende del ngulo de desviacin del fluido () y la prdida de carga primaria que se presenta dentro de la singularidad. De tal modo, la ecuacin de Gibson adopta la forma de la ecuacin 5.5.

=

+

67,6

106 2.17 (5.5)

Dnde: : ngulo de desviacin del fluido en grados hexadecimales ()

Como se observa, ambos tipos de prdida, la primaria y la secundaria, dependen de la energa cin-tica del escurrimiento, por lo que se plantea la forma general de la ecuacin de Darcy-Weissbach, donde ambos coeficientes de prdida se plantean en trminos de su comn denominador, obtenin-dose la ecuacin 5.6 o ecuacin general de Darcy-Weissbach.

12 = (

+ )

2

2 (5.6)

Finalmente, la ecuacin 5.7 permite evaluar la altura hidrulica asociada al transporte por el interior de un ducto de un fluido. 12 = 2 1 + 12 (5.2)

5.4 Mtodo de longitud y altura equivalente

El mtodo de longitud y altura equivalente es un mtodo eminente prctico en que mediante tablas, permite, para el caso de agua o aire, determinar la altura de la prdida de carga, en funcin del tipo de tubera (acero o PVC) y el caudal que circula por sta, dando lugar a un valor que corresponde a la prdida de carga, en trminos de altura, que se engendra en una determinada longitud de tubera (10 o 100 m). A su vez, la prdida que engendran las singularidades se expresan como longitud de tubera, con las caractersticas del tramo analizado. Por lo que emplea la ecuacin 5.8, para deter-minar la prdida de carga de un determinado tramo de la red de tubera.

12 = ( + ) 12 (5.8) Dnde:

H1p2 : Prdida de carga total del tramo analizado (m) Lt : Longitud del tramo de tubera de igual seccin (m) Le : Longitud de tubera equivalente de igual seccin por efecto de las singularidades (m) h1p2 : Altura especifica de prdida de carga por longitud estndar de tubera (m)

La tabla 5.3 muestra un ejemplo del mtodo de altura equivalente para agua, donde la longitud es-tndar es 100 m.


28

Tabla 5.3. Altura especfica de prdida de carga para agua.

Dimetro nominal pulg. Dimetro nominal 1 pulg. Dimetro nominal 1 pulg.

l/min Acero PVC l/min Acero PVC l/min Acero PVC

5 0,89 0,49 20 3,60 1,92 60 3,42 1,88

10 3,21 1,76 30 7,60 4,10 80 5,83 3,20

15 6,82 3,72 40 12,80 7,00 100 8,85 4,86

20 11,60 6,35 50 19,50 10,50 125 13,20 7,25

25 17,50 9,20 60 27,20 14,70 150 18,60 10,30

30 24,50 13,40 70 36,40 19,60 175 24,70 13,60

35 32,70 17,80 80 46,40 25,00 200 31,60 17,50

40 41,90 22,80 90 58,00 31,20 225 39,20 21,70

45 52,10 28,40 100 70,70 38,00 250 48,00 26,50

50 63,40 34,60 110 84,30 45,30 275 56,80 31,50

La tabla 5.4 muestra el mtodo de longitud equivalente aplicado a singularidades para agua.

Tabla 5.4. Longitud equivalente de tubera por efecto de singularidades en la red.

Dimetro Nominal 1 1

Codo estndar en 90 o lnea principal de Tee 1,50 1,80 2,40

Curva suave en 90 o lnea principal de Tee estndar 1,20 1,20 1,80

Codo cuadrado o Tee estndar con salida lateral 2,40 2,70 4,00

Codo estndar en 45 0,31 0,43 0,61

Vlvula de compuerta totalmente abierta 0,14 0,18 0,30

Vlvula de globo totalmente abierta 6,40 8,20 13,40

Vlvula de ngulo totalmente abierta 3,60 4,60 6,40

Vlvula de retencin estndar 1,50 2,10 3,30

Entrada a estanque normal 0,40 0,50 0,73

Entrada a estanque internado en el deposito 0,61 0,80 1,22

Reduccin repentina d/D = 0,14 0,18 0,30

Ampliacin repentina d/D = 0,14 0,18 0,30

Tobera de aforo estndar segn ISO 0,20 0,20 0,22

6. Bombeo

Con respecto al agua, su uso en trminos industriales es muy variado, se utiliza para la generacin y transporte de energa, aplicaciones en servicios sanitarios, en riego, etc. En todos estos casos, as como para retirar agua desde sitios inundados (minas y zonas de construccin) o simplemente trans-portarla, se requiere de agregar una cierta cantidad de energa para moverse y vencer las resistencias que encuentra a su paso, las que corresponden a la diferencia de cotas o alturas, entre el punto de entrada y el de salida, a lo que se suman las prdidas por su transporte por el interior de tuberas, el que se asocia a la viscosidad del agua y el cambio de momentum asociados a sus cambios de direc-cin y velocidad. El equipo mecnico que le transfiere la energa necesaria para su elevacin y trans-porte corresponde a una bomba hidrulica, que es la mquina que le adiciona energa mecnica a un lquido, la que le permite trasladarse de un punto a otro y es equivalente a un ventilador, donde se cumple una funcin anloga pero empleado aire como fluido de trabajo.


29

6.1 Clasificacin de bombas

Las bombas se agrupan fundamentalmente, por su principio de funcionamiento y por los fluidos o l-quidos que transporta. De tal modo, que las bombas se clasificarn de acuerdo al siguiente esque-ma: a) Bombas centrfugas o roto dinmicas b) Bombas de desplazamiento positivo o alternativas Los principios de funcionamiento de estas mquinas son: a) Las bombas centrifugas se basan en el hecho de que al girar a gran velocidad un rodete, ste le

entrega cierta velocidad al lquido que abandona sus alabes, luego el espacio dejado por estos es llenado por un lquido "nuevo" que estaba ms abajo, el que tambin es expulsado, establecin-dose un flujo continuo de lquido. Estas bombas se utilizan fundamentalmente para operar con agua.

b) Bombas de desplazamiento positivo; estas bombas se basan en el principio de que una pared empuja al fluido hacia un sentido y luego la misma pared (pistn) y otra (diente de engranaje), empuja al fluido que est ms atrs, crendose as una secuencia. De estas bombas existen mu-chos tipos, como por ejemplo: bombas de pistn, bombas de engranajes, de tornillo y de paletas. Estas bombas se utilizan para operar fluidos viscosos o sea petrleo, aceites y otros lquidos se-mejantes. De modo tal, que se les conocen como bombas oleohidrulicas. (leo significa aceite).

6.2 Descripcin fsica de una bomba centrifuga

Las bombas centrfugas son las de ms amplia aplicacin para el transporte de agua yse pueden clasificar de la manera siguiente, segn: - Direccin del flujo: Radial, Axial y Mixta. - Posicin del eje o flecha: Vertical, Horizontal. - Presin engrendada: Alta, Baja y Media. - Nmero de rodetes: Uno o ms escalonamientos. Desde el punto de vista constructivo, los elementos bsicos de una bomba son los siguientes: a) Rodete: Es el conjunto de eje, rueda y alabes de la mquina, es el conjunto mvil y es el elemen-

to que le transmite la energa al agua. b) Voluta o caja espiral: Este es el elemento que sella a la bomba y convierte la velocidad del agua,

que es una forma de energa, en presin y conduce al agua a la tubera de salida. En algunas bombas existe una corona directriz, que es un conjunto de alabes fijos que recoge el agua que abandona los alabes creando una segunda etapa de trasformacin de energa.

c) Tubo difusor troncocnico: Esta es otra etapa de transformacin de la energa de velocidad en presin y est a la salida de la caja espiral.

La figura 6.1 muestra los elementos bsicos de una bomba centrfuga, en este caso una radial, de eje horizontal, de baja presin y un rodete. En este caso la figura 6.1 corresponde a un corte de una bomba de marca Vogt, tomada de su catlogo de INTERNET.


30

Fig. 6.1: Esquema de una bomba centrifuga estndar (Marca Vogt). Las bombas se pueden accionar de varias formas, pero las principales son las siguientes: - Turbinas de vapor - Motores de combustin interna - Motores elctricos Actualmente, casi todas las bombas se accionan por motores elctricos, quedando las que operan con motores Diesel o bencineros para los equipos de emergencia o donde no se dispone de energa elctrica. Las que operan con equipos de vapor tpicas de centrales trmicas o plantas de proceso. La figura 6.2 muestra fsicamente un corte de una bomba centrfuga radial, de eje horizontal, de baja presin y un rodete, tomado del catlogo de INTERNET de la empresa Vogt.


31

Fig. 6.2: Corte de una bomba centrfuga estndar (Marca Vogt).

6.3 Descripcin matemtica del funcionamiento de una bomba centrifuga

La modelacin matemtica de las bombas centrifugas se basa en la denominada teora de turbom-quinas, la que a partir del comportamiento dinmico de las velocidades del agua, que es considerado como un medio continuo, a la entrada y salida del rodete, aplicando las ecuaciones de continuidad, conservacin de energa e impulso permite establecer la energa intercambiada entre el rodete y el fluido, en uno u otro sentido de transferencia, a la que se le denomina altura de Euler. El principio de funcionamiento de la bomba se basa en el escurrimiento de un elemento de fluido que ingresa al rodete es acelerado centrfugamente, a medida que avanza por el alabe, incrementando su velocidad tangencial y con ello energa cintica. Una vez que abandona el alabe, ingresa a la caja espiral, reduciendo con ello drsticamente su velocidad y permitiendo que su energa cintica se transforme en energa de presin. Por lo que el comportamiento de las velocidades del fluido en el alabe permite describir sus condiciones de funcionamiento. En este sentido se emplea el denomina-do tringulo de velocidades, que se aplica para el fluido en una mquina centrifuga, el que se repre-sentado en la figura 6.3.


32

Fig. 6.3: Triangulo de velocidades de una bomba centrfuga. Dnde se aplica el tringulo de velocidades, la siguiente notacin:

w : Velocidad radial (m/s) c : Velocidad absoluta (m/s) u : Velocidad tangencial (m/s) : ngulo formado por la velocidad tangencial y la velocidad absoluta (rad) : Angulo formado por la velocidad tangencial y la velocidad radial (rad) : Velocidad angular del eje (rad/s) Cu : Componente tangencial de la velocidad absoluta (m/s) Cn : Componente radial de la velocidad absoluta (m/s) 1 : Posicin de entrada al rodete del fluido (-) 2 : Posicin de salida del rodete del fluido (-)

En el tringulo de velocidades se cumple la ecuacin 6.1. = + (6.1)

A partir de la ecuacin de impulso o momentum angular aplicada a la lnea de corriente, se obtiene la ecuacin 6.2. = (2 2 1 1) (6.2) Multiplicando la expresin anterior por la velocidad de rotacin y aplicando la definicin de potencia hidrulica, es posible obtener la primera forma de la ecuacin de Euler, que representa en el caso

de bombas la altura terica de aspiracin o altura de Euler (HE), la que adopta la forma de la ecua-cin 6.3.

=1

(2 2 1 1) (6.3)

A partir de relaciones trigonomtricas aplicadas al triangulo de velocidades es posible obtener la de-nominada segunda forma de la ecuacin de Euler, la que adopta la forma de la ecuacin 6.4.

=1

(

221

2

2+

221

2

2

221

2

2) (6.4)

u

w

c

1

2


33

6.4 Semejanza hidrulica

En diversas ocasiones se debe reemplazar un determinado motor de accionamiento de la bomba por otra unidad, ya sea por desgaste del motor o por la necesidad de variar el punto de operacin de la bomba, o por efecto del reemplazo de una bomba, manteniendo el motor de accionamiento o la ve-locidad de giro de ste, resulta ms que atractiva la posibilidad de poder predecir el comportamiento de la bomba ante esta nueva condicin de operacin. Esto se realiza mediante la denominada teora de semejanza de maquinara hidrulica, en la que mediante diversas relaciones entre los parmetros de funcionamiento de la maquina es posible pre-decir su comportamiento en otra condicin. El parmetro principal de funcionamiento de una bomba centrfuga es el denominado nmero espe-

cfico de revoluciones (ns), el que representa la semejanza geomtrica entre mquinas de distinto tamao y se define a travs de la ecuacin 6.5.

= 12

34 (6.5)

Dnde:

ns : Nmero especfico de revoluciones (-) n : Velocidad del rodete de la bomba (rpm) Q : Caudal impulsado por la bomba (m

3/s)

H : Altura de bombeo desarrollado por la bomba (mca) De acuerdo a este nmero especfico de revoluciones, se pueden agrupar las bombas de acuerdo al tipo de rodete impulsor en tipo radial, Francis, de flujo mixto y flujo axial, los rangos de dimetros y los de nmeros especficos de revoluciones, que se muestran en la tabla 6.1, considerando la figura 6.3.

Fig. 6.3: Esquema de nomenclatura de dimetros de rodete de una bomba centrfuga.

Tabla 6.1. Rangos operacionales de tipos de bombas centrifugas asociados a sus condiciones de diseo y operacin.

Tipo de bomba Relacin de dimetros Nmeros especficos de revoluciones

Radial

(D2/D1) > 2

500 a 1.500

Francis (D2/D1) = 1,5 a 2 1.500 a 4.000 Flujo mixto (D2/D1) > 1,5 4.000 a 8.000 Flujo axial (D2/D1) = 1 8.000 a 20.000


34

En cuanto a las leyes de semejanza, utilizadas para predecir el comportamiento de una bomba ante un cambio de condiciones de funcionamiento, se clasifican en dos grupos, los que corresponden a aquellas en que el dimetro de la mquina se mantiene y aquellas en la velocidad de giro de la ma-quina se mantiene. Cabe destacar, que ambos grupos de leyes de semejanzas se basan en el supuesto que el rendi-miento de la bomba se mantiene constante. Esto significa que el rendimiento de la bomba se man-tiene constante. Por lo que se aplican los denominados coeficientes de semejanza dinmica (poten-cia, altura y caudal). Los que son definidas mediante las formulaciones que se presentan en la tabla 6.2. Tabla 6.2: Coeficientes de semejanza dinmica para turbomquinas. Coeficiente de semejanza dinmica Formulacin

Coeficiente de potencia

=

35

Coeficiente de altura

=

22

Coeficiente de caudal

=

3

De las relaciones anteriores es posible establecer un conjunto de leyes de semejanza aplicables al caso que el dimetro de rodete permanezca constante o que la velocidad de giro de la bomba per-manezca constante, considerando que el rendimiento o eficiencia de la bomba permanece constan-te.

6.5 Criterios para seleccin de bombas centrfugas

La seleccin de bombas centrfugas se basa en el hecho que una bomba debe ser capaz de entre-gar un determinado caudal o gasto a una altura dada, por lo que no solo debe vencer la diferencia de alturas o cotas, sino que tambin la prdida de carga que le impone al escurrimiento la tubera por donde se conduce el agua. Por lo anterior, se desprende que el punto de operacin de una bomba, en trminos de caudal, altura de elevacin y rendimiento, queda determinado por la intercepcin entre la curva de operacin de bomba y la denominada curva de respuesta de la tubera, en el diagrama altura versus caudal (H v/s Q). Por otro lado, se deben considerar tambin los fenmenos de cavitacin, el que se origina en la ex-cesiva presin de succin o vaco, que tiene lugar en la tubera de aspiracin, por lo que en determi-nados montajes debe vigilarse que la succin no supere un determinado valor. Paralelamente a lo anterior, debe considerarse algunos cuidados en el montaje de la red de tuberas, la que debe ser autosoportante y de la misma unidad de bombeo a fin de evitar vibraciones y desali-neamientos. Adicionalmente se deben consultar algunos fitting o elementos hidrulicos destinados a permitir la operacin de la bomba, as como de protegerla, como a la red de tuberas de algunos fenmenos asociados al escurrimiento del agua y al desgaste propio de la operacin del equipo. El principio fsico de funcionamiento de las bombas centrfugas se basa en la conversin en fuerza que por efecto de la brusca aceleracin y desaceleracin que sufren las partculas de lquido, debi-das a la accin simultanea del rodete y la carcasa o caracol de la bomba, ya que el fluido es acele-rado al impulsarlo los alabes existentes en el rodete, aumentando con ello su velocidad, para luego ser bruscamente detenido en el caracol, convirtiendo esta energa de velocidad en energa de pre-


35

sin y por ende en elevacin del lquido. Esto obliga a que los fluidos (lquidos y/o gases) que se im-pulsen deban necesariamente poseer viscosidades pequeas, como lo seran el agua, sus mezclas y eventualmente el aire. Por lo anterior, se debe tener en cuenta que el rodete de la bomba y por lo tanto la seccin de aspi-racin de la bomba, esto es aguas debajo de ella, deben estar siempre llenos de agua, a esto se le denomina cebado de la bomba, ya que s no ocurriera la bomba no podra operar. Por esto, es que toda instalacin de bombeo en que se ubique la bomba por encima del espejo de agua o superficie libre de sta, se debe contar con una vlvula de retencin o de pie, ubicada en la base de la tubera, a fin de mantener retenida el agua en la tubera y as mantener el rodete sumergido, cuando la bom-ba se detiene. Por otro lado, en el caso de descargar en estanques elevados, la tubera debe consultar una vlvula de retencin inmediatamente aguas arriba de la bomba a fin de protegerla de sobrepresiones. Por otro lado, se recomienda instalar un reductor de energa, esto es una placa orificio a fin de reducir los golpes de ariete, que son pulsos de sobrepresin que se generan al abrir o cerrar bruscamente vlvulas y al detenerse la bomba. En cuanto al montaje de red de tuberas, este debe ser autosoportante, lo que significa que no se apoye en la bomba, a fin de transmitirle vibraciones ni generar cargas axiales al eje de bomba y del motor de accionamiento. Adems, esta red debe ser montada en pendiente hacia la bomba, a fin de permitir el vaciado de la red en el evento de una mantencin. En cuanto a la cavitacin, esta se evita al mantener la seccin de aspiracin de la bomba con un va-co en el ingreso a la bomba o presin de succin negativa (NPSH), menor al indicado por el fabri-cante en las curvas de funcionamiento de la bomba. De hecho este valor depende de la presin at-mosfrica local, sin embargo se puede asumir entre el rango de 0 a 500 m de altura por sobre el ni-vel de mar, que este valor no baje de los 3,5 mca absolutos, esto es no supere los -6,5 mca mano-mtricos. En cuanto a la forma de seleccionar una bomba, se debe partir de la evaluacin de la energa hi-drulica necesaria para la elevacin del agua, la que debe considerar no solo la altura geodsica o de elevacin bruta, sino que tambin, la prdida de carga o de energa, que por efecto del roce del agua con la tubera y los fitting se presenta. Todo lo anterior, se puede evaluar a partir de las denominadas ecuaciones de continuidad, de la energa o de Bernoulli y la ecuacin de potencia. Sin embargo, en ms de una ocasin no se requiere optimizar el consumo de energa de una bomba dentro de una determinada red de tuberas ya existente, en este evento se debe aplicar la metodolo-ga de la curva de respuesta de tubera, la que debe coincidir con la curva de funcionamiento de la bomba, construida en el diagrama altura v/s caudal (H-Q). A esta intercepcin se le denomina como punto de funcionamiento o de operacin de la bomba y permite determinar el caudal entregado por la bomba, la altura a que lo realiza y el rendimiento de bombeo a travs de las denominadas curvas concha o colina. En la figura 6.4 se presenta un diagrama estandarizado de funcionamiento de una bomba de marca Pedrollo, tomada de su catlogo de INTERNET, donde se representa el comportamiento de la altura de elevacin, el comportamiento de la curva NPSH y de la potencia absorbida por el motor de accio-namiento respecto del caudal impulsado. Adems, se muestran las curvas concha o colina de igual-dad de rendimiento o eficiencia de la bomba. Adicionalmente, en la figura 6.4, se muestra las curva de funcionamiento de la bomba como una ta-bla en que se ingresa con el modelo de bomba, la potencia nominal del motor de accionamiento de la bomba y los caudales suministrados a determinadas alturas, generndose una tabla que aparece en el pie de la figura.


36

Fig. 6.4: Diagrama de funcionamiento de una bomba centrifuga estndar (Marca Pedrollo).


37

En cuanto a la determinacin del punto de funcionamiento de la bomba, esto se realiza al interceptar la curva de respuesta de tubera con la de bombeo, en el diagrama altura v/s caudal (H-Q), lo que implica que es necesario evaluar la curva de respuesta de tubera, la que se obtiene de la evaluacin de la prdida de carga, al reemplazar la velocidad de escurrimiento por las tuberas, por el caudal, ya que ambos se relacionan a travs del rea, para luego tabular dicha curva, al reemplazar en ella los valores de caudales, a lo que se suma la diferencia de energa entre la entrada y salida del sistema de bombeo. En trminos de ecuacin, la curva de respuesta de tubera toma la forma de la ecuacin 6.6.

() = (2 1) + (

+ )

1

22

2 (6.6)

Lo que al reemplazarlo adecuadamente y tomando como puntos de aspiracin y descarga las su-perficies libres de entrada o succin (1) y de salida o descarga (2), se obtiene la ecuacin 6.7. .

() = (2 1) + (

+ )

1

22

2 (6.7)

Donde al tabularse y dibujarse en el diagrama altura v/s caudal (H-Q) de la bomba se obtiene el punto de funcionamiento y sus condiciones de operacin como rendimiento, presin de succin

negativa (NPSH) y potencia absorbida. La figura 6.5 muestra la aplicacin de curva de respuesta de tubera para la obtencin del punto de operacin de la bomba, con cuatro distintas velocidades de su motor de accionamiento.

Fig. 6.5: Determinacin del punto de operacin de una bomba a partir del trazado de la curva de

respuesta de tubera en el diagrama de funcionamiento de una bomba centrifuga.

Ht(Q)

z - z2 1


38

De acuerdo a lo anterior, se presentan cuatro posibles puntos de funcionamiento, definidos por altura y caudal, para cuatro velocidades de la bomba. De ellos, obviamente, se eligiera al que satisfaga si-multneamente los requerimientos que de altura y caudal deba suministrar la red. A partir de este punto de funcionamiento se puede obtener el valor del rendimiento de la bomba y por ende de la po-tencia del motor de accionamiento. Cabe indicar que existen casos en que se encuentran ms de un posible punto de funcionamiento, por lo que al igual que en el caso anterior se elegir al aquel punto en que se satisfaga simultnea-mente tanto los requerimientos que de altura y caudal deba suministrar la red, con el mximo rendi-miento posible. A partir de este punto de funcionamiento se puede obtener el valor del rendimiento de la bomba y por ende de la potencia del motor de accionamiento. De acuerdo a lo anterior, para el caso mostrado en la figura 6.5, se presenta un solo posible punto de funcionamiento, definido por una altura de 41 m, un caudal de 16 m

3/s y un rendimiento de 50%.

A partir de este punto, se obtiene la presin de succin negativa (NPSH) de -1,4 m y la potencia del motor de accionamiento 3,65 kW. Esto se muestra en la figura 6.6.

Fig. 6.6: Determinacin del punto de operacin de una bomba a partir del trazado de la curva de

respuesta de tubera en el diagrama de funcionamiento de una bomba centrifuga En el caso de utilizar la metodologa de longitud equivalente, se debe utilizar un valor estimado de caudal y partir de ste, determinar los valores de altura de prdida y reemplazarlo en el diagrama al-tura v/s caudal (H-Q), como se muestra en la figura, dando lugar a una situacin anloga a la ante-rior.

Ht(Q)

Pto. Op.

Pto. Op.

Pto. Op.

z - z2 1


39

Sin embargo, se debe indicar que por efecto de que los fabricantes de bombas entregan curvas y diagramas nominales de funcionamiento de sus productos, hace necesario considerar un sobre di-mensionamiento del caudal determinado, el que debe alcanzar al 10%, del valor definido por el punto de funcionamiento. Esto adems, permite absorber los errores de clculo asociados a la evaluacin de la prdida de carga, la que se basa en muchos valores de carcter empricos, como es el caso de los coeficientes singulares y la estimacin de la rugosidad interior de las tuberas. En la prctica, el punto de funcionamiento lo regula la vlvula de flujo, con la que se debe equipar a todo sistema de bombeo, esta vlvula usualmente de compuerta, se ubica inmediatamente aguas arriba de la seccin de impulsin de la bomba y persigue regular el flujo mediante la introduccin de una prdida de carga regulada, la que a la larga tambin permitir absorber el desgaste de los ele-mentos mviles de la bomba y su natural envejecimiento. En cuanto a la evaluacin de la presin de succin negativa, esta debe realizarse a fin de determinar la posible existencia de cavitacin, esto se realiza empleando la ecuacin 6.8.

NPSH = Patmosfrica - Pvapor Helevacin Hpaspiracin (6.8) Dnde:

NPSH Presin de succin negativa ( mca) Patmosfrica Presin atmosfrica local (mca) Pvapor Presin del vapor de agua a su temperatura (mca) Helevacin Altura de elevacin (mca) Hpaspiracin Altura de la prdida de carga en la aspiracin (mca) Fsicamente la situacin correspondera a la mostrada en la figura 6.7.

Fig. 6.7: Montaje de bomba con succin negativa.

Para evaluar la presin de succin negativa en mca (NPSH), es necesario determinar los valores de la presin atmosfrica y la presin de vapor del agua, lo que se realiza utilizando la tabla 6.3 y la me-todologa siguiente.


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Tabla 6.3: Valores de la presin atmosfrica respecto de la altura sobre el nivel del mar.

Altura sobre el nivel del mar (m) Presin atmosfrica (mca)

-152,4 10,403 0,0 10,033

152,4 9,861 304,8 9,690 457,2 9,492 609,6 9,320 762,0 9,162 914,4 8,990 1066,8 8,819 1524,0 8,356 1981,2 7,881

En todo caso, el valor de la presin atmosfrica se puede obtener del informe meteorolgico utilizan-do la ecuacin 6.9. Patmosfrica = (Presin atmosfrica en hectopascales)0,0099 = Patmosfrica en mca (6.9) Considerando que una presin atmosfrica a 304,8 m de altura por sobre el nivel del mar, se tiene: Patmosfrica = 9,690 mca Los valores de la presin de vaporizacin para agua respecto de la temperatura se presentan en la tabla 6.4.

Tabla 6.3: Valores de la presin vaporizacin del agua respecto de la temperatura.

Temperatura del agua (C) Presin de vapor (mca) 0 0,0622

4,4 0,0857 7,2 0,1036 10 0,1227

12,8 0,1506 15,6 0,1801 18,3 0,2152 21,1 0,2557 23,9 0,3030

Cabe indicar que existen otros posibles montajes los cuales requiere considerar en la evaluacin de

la presin de succin negativa (NPSH), mediante la ecuacin 6.8, los casos de succin positiva (el estanque de succin se ubica por sobre la bomba) y de succin bajo presin o depresin, en que el estanque se encontrara bajo presin o en vaco. En el caso de la succin positiva, implica que este tipo de montaje de la bomba, como todos aquellos en que el estanque de succin se ubica por encima de la bomba, donde la situacin fsica se presen-ta en la figura 6.8. Por lo que al contrario del caso de las bombas de pozo profundo y las sumergi-bles, el valor de la altura de elevacin cambia de signo en la ecuacin, de modo que sta tomar la forma que indica la ecuacin 6.10.


41

Fig. 6.8: Montaje de bomba con succin positiva.

NPSH = Patmosfrica - Pvapor + Helevacin Hpaspiracin (6.10)

En el caso de succin bajo presin o depresin, corresponde a la situacin que se presenta cuando el estanque de succin fuera cerrado y/o sellado, de modo que el agua en su interior se encuentre bajo presin o en vaco, por lo que el trmino de la presin atmosfrica, deber ser reemplazado por

la presin existente en el interior del estanque (Pestanque). Este montaje se muestra en la figura 6.9 y la ecuacin 6.11 indica como evaluar la presin de succin negativa (NPSH).

Fig. 6.9: Montaje de bomba con succin bajo presin o vaco.

NPSH = Pestanque - Pvapor + Helevacin Hpaspiracin (6.11) Nota: Debe tenerse en especial consideracin para todos los casos de montaje de bombas, que la cavita-

cin no se presentara si el valor de la presin de succin negativa (NPSH), se mantiene por debajo de los valores entregados por el fabricante en el diagrama H-Q, que contenga la curva de presin de

succin negativa, (NPSH) ya que esta curva representa los valores de presin de succin mxima que el fabricante asegura que su equipo soporta sin que se presente cavitacin.


42

7. Escurrimiento sobre cuerpos sumergidos

Los cuerpos slidos se desplazan a travs de un fluido, desarrollando dos grandes tipos de fuerzas asociadas a la densidad del fluido respecto de la del slido, la geometra de ste, la viscosidad del fluido y fundamentalmente la velocidad relativa del fluido respecto de la del slido. Adems, de la fuerza de empuje y el peso propio del slido. Las fuerzas que engendra el fluido sobre el slido por efecto del movimiento de ste son dos: la fuerza de arrastre en el sentido opuesto al movimiento del slido y la fuerza de sustentacin que se dirige en el sentido opuesto de la aceleracin de gravedad. Matemticamente la fuerza de arrastre se evala a travs de la ecuacin 7.1.

= 2

2 (7.1)

Dnde: Fa : Fuerza de arrastre (N) Ca : Coeficiente de arrastre (-) AT : rea transversal del slido respecto de la velocidad relativa del slido (m/s) f : Densidad del fluido (kg/m

3)

v : Velocidad relativa del slido respecto del fluido (m/s) A su vez la fuerza de sustentacin se evala a travs de la ecuacin 7.2.

= 2

2 (7.2)

Dnde: Fs : Fuerza de sustentacin (N) Cs : Coeficiente de sustentacin (-)

Los valores que adoptan los coeficientes de arrastre y sustentacin que permiten la evaluacin de las fuerzas correspondiente, se asocian al Nmero de Reynolds del escurrimiento del fluido por so-bre el cuerpo. El caso de mayor inters industrial corresponde al escurrimiento por sobre esferas, ya sea por el proceso de sedimentacin de partculas o la flotacin de stas o burbujas de fluido o gas. Estas par-tculas se asumen de forma esfrica y el diagrama de cuerpo libre que muestran las fuerzas que ac-tan sobre el slido se muestra en la figura 7.1.

Figura 7.1: Fuerzas sobre un cuerpo esfrico sumergido que se sumerge.

W

EFa


43

Cuando un cuerpo se sumerge o flota, la suma de fuerzas externas sobre el cuerpo inicialmente no es nula, pero este intervalo de tiempo es muy pequeo, de hecho tiende a ser cero. Transcurrida es-ta etapa, la velocidad de sumergimiento se vuelve constante, ya que la suma de fuerzas externas se vuelve nula, como se expresa en la ecuacin 7.3. = 0 (7.3) Dnde:

W : Peso del cuerpo (N) E : Fuerza de empuje ejecutada por el fluido (N) Fa : Fuerza de arrastre ejecutada por el fluido (N)

La velocidad constante que se genera del equilibrio nulo de fuerzas, se le denomina velocidad termi-nal y su valor se obtiene a partir del valor que adopta el coeficiente de arrastre, el que a su vez de-pende del Nmero de Reynolds. Para el caso de una esfera, los valores del coeficiente de arrastre y las dos aproximaciones ms comunes que se emplean se presentan en la figura 7.2.

Figura 7.2: Diagrama del coeficiente de arrastre para una esfera y sus dos aproximaciones ms co-

munes (Stokes y Newton) El conjunto de ecuaciones que se muestra en la tabla 7.1, muestra el tipo de rgimen de escurri-miento, el rango de valores del Nmeros de Reynolds, el valor del coeficiente de arrastre aproxima-do empleado y la ecuacin que determina la velocidad terminal, la que adopta el nombre de la apro-ximacin empleada.

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

0,0001 0,01 1 100 10000 1000000

Co

efi

cie

nte

de

arr

astr

e

Nmero de Reynolds

Curva Real Stokes Newton


44

Tabla 7.1. Velocidades terminales de sumergimiento aproximadas. Tipo de escurrimiento Coeficiente de arrastre Velocidad terminal Rango

Escurrimiento laminar o rgimen de Stokes

=24

=

( ) 2

18

(Re < 0,25)

Escurrimiento turbulento o rgimen de Newton

= 0,44

= 3 ( )

(Re > 1.000)

8. Bibliografa 8.1 Elementos de Mecnica de los Fluidos

J. Vennard, R Street CECSA 3 Edicin en castellano, 1995 ISBN 968-26-6817-1

8.2 Mecnica de los Fluidos Aplicada

R. Mott Prentice Hall Inc. 4 Edicin en castellano, 1996 ISBN 0-02-384231-4

8.3 Fundamentos de Mecnica de los Fluidos

P. Gerhart, R. Gross, J. Hochstein Addison-Wesley 2 Edicin en castellano, 1995 ISBN 968-26-6817-1

8.4 Mecnica de los Fluidos

V. L. Streeter, E. Benjamin McGraw-Hill Book Company 2 Edicin en castellano, 1998 ISBN 0-07062242-2

8.5 Mecnica de los Fluidos e Hidrulica

R. Giles, J. Evett, C Lin Coleccin Schaum McGraw-Hill Book Company 3 Edicin en castellano 1999 ISBN 8448118987


I. Shames McGraw-Hill Book Company 3 Edicin en castellano, 1998 ISBN 958-600-246-2


45

8.7 Mecnica de los Fluidos J. Franzini, J. Finnemnore McGraw-Hill Book Company 9 Edicin en castellano, 1999 ISBN 84-481-2474-X


M. Potter, D. Wiggert Prentice Hall Inc. 2 Edicin en castellano, 1997 ISBN 0-13-207632-5

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Mecánica