Mecanica Capitulo III(2014huhu I)

Mecanica y Resistencia de Materiales FIP UNI

CAPITULO III

CENTROS DE GRAVEDAD

MOMENTOS DE INERCIA

Mecánica y Resistencia de Materiales FIP UNI

SUMILLA1. Centro de gravedad, centroides

2.Momentos de Inercia

3.Teorema de Steiner.

4.Ejes y momentos principales de Inercia

5.Circulo de Mohr para Momentos y productos de Inercia.

6.Problemas

OBJETIVOS.1. Recordar y calcular centros de gravedad, centroides,el momento de Inercia y producto de inercia de las masas.

2. Introducir el producto de Inercia de un área y enseñar como se calculan los momentos de inercia máximo y mínimo.

3.Conocer las propiedades de las secciones transversales en elementos estructurales e identificar la variable que implica el estudio de Momento de Inercia.

Capitulo 3 Centro de Gravedad : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad El peso de un cuerpo es la fuerza de la atracción gravitacional de la tierra sobre el cuerpo.

El peso Resultante de todas sus partículas pasa a través de un punto llamado CENTRO

DE GRAVEDAD

Centro de gravedad de una placa

Centro de gravedad de una área

Momentos estáticos o de 1º orden

x, y : coordenadas de centro de gravedad de área

Capitulo 3 : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad de figuras compuestasContribución de cada figura geométrica simple

ii

ii

AyAy

AxAx

Simetría•Si hay eje de simetría, centro de gravedad sobre ese eje.

•Si hay dos ejes de simetría perpendiculares,punto de intersección es centro de gravedad.

Ejemplo:

Capitulo 3 : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad Determinar el centroide de la figura

compuesta

ƩAX ƩAyX= ---------- =3cm ; y= --------= 97/22=4.409

ƩA ƩA

6cm2cm

5cm

2cmx

Seccion Area x Y AX AY

1 12 3 6 36 72

2 10 3 2.5 30 25

Sumat. 22 66 97

Capitulo 3 Centro de Gravedad –Centroides : Estática y Resistencia de Materiales

Centro de Gravedad

Capitulo 3 Fuerzas Distribuidas: Estática y Resistencia de Materiales

Cargas distribuídas sobre vigas

(útil cálculo de reacciones)

Ejemplo


TEOREMA PAPPUS GULDINUS

A=2π yc L.

Yc= distancia perpendicular desde el eje de revolución al centroide de la curva

L= longitud de la curva

Los dos teoremas de Pappus y Guldin, desarrollados en un principio por Pappus de Alejandría durante el siglo tercero a. c. y establecidos posteriormente por el matemático suizo Paul Guldin o Guldinus (1577-1643), se utilizan para calcular la superficie y volumen de cualquier objeto de revolución. PRIMER TEOREMA. El área de una superficie en revolución es igual a la longitud de la curva

generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie:

SEGUNDO TEOREMA El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la

distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo:

V=2π yc A

http://1.bp.blogspot.com/-e_IH4qPEJ5A/TY959dO-9VI/AAAAAAAAAAs/P5xrHJxn36M/s1600/Imagen8.png


El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad

de la curva cuando se engendra la superficie

Conocido el centro de gravedad de la curva generatriz, se puede calcular el área de la superficie de revolución

Cálculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-Guldin


Cálculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-Guldin

El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del área

cuando se engendra el cuerpo

Conocido el área de la superficie generatriz, se puede calcular el volumen del cuerpo de revolución


MOMENTOS DE INERCIA


INTRODUCCION

En mecánica muchas aplicaciones requieren que se conozca la resistencia a la rotación de los cuerpos o propiedades físicas involucradas en el calculo de otras magnitudes.

En Física I el tema se aplicaba solo a masas. Sin embargo gracias a ello se demostrara que el momento de Inercia es una propiedad aplicable también a áreas planas.

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular

Una bailarina tendrámás momento de inercia si extiende los brazos, girara más rápido si los contrae.


MOMENTO DE INERCIA DE MASA.Considere una pequeña masa m que esta montada sobre una barra, la cual puede rodar libremente sobre un eje AA´. Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa las cuales estaban en reposo comienzan a girar alrededor de AA. Por tanto el producto de r2m proporciona una medida de inercia, esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento. Por esta razón el producto de r2m es llamado el momento de inercia de la masa con respecto al eje AA´. El momento de inercia es igual a la integral:


MOMENTO DE INERCIA DE MASA.El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en términos de la coordenadas x, y y z. Del elemento de la masa dm se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia con respecto a los ejes x, y y z:


MOMENTO DE INERCIA DE AREAS.Considere una placa delgada de espesor uniforme t , la cual esta hecha de material homogéneo de densidad p (densidad = masa por unidad de volumen). El momento de inercia de masa de la placa con respecto a un eje AA´ esta dado por:

Como dm = pt dA, se escribe

Capitulo 7 Momentos de Inercia: Estática y Resistencia de Materiales

Momentos de Inercia de Areas.

A

xy dAyxI

Momento de Inercia respecto eje x o y

Momento de Inercia polar

Momento de Inercia centrífugo(producto

de Inercia)

Momento de Inercia del rectángulo

3

A

h

0

22x bh

31

bdyydAyI

bdydA

Momentos de 2º orden

Capitulo 7 Momentos de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Momentos de Inercia de áreas de formas comunes

x , y ejes baricéntricos x´, y´ ejes de referencia alternativos


Momentos de Inercia de áreas de formas comunes

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual :a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área:

Capitulo 7 Momento de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Consideremos el momento de inercia I de una área A con respecto a un eje AA' (figura). representando con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA', escribimos

Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide C del área: este eje es llamado un eje centroidal. Llamando y' la distancia del elemento dA a BB', escribimos y = y' + d, donde d es la distancia entre los ejes AA' y BB'. Remplazando y en la integral de I, escribimos:

I AA´= / IBB c +/2dQBB +/ Ad2

El primer termino representa el momento de inercia I del área con res pecto al eje centroidal BB'. El segundo representa el momento de primer orden del área con respecto a BB'; como el centroide C del área está localizado sobre ese eje ,(se elimina) La segunda integral debe ser nula. Final mente, observamos que la última integral es igual al área total A.

Capitulo 7 Momento de Inercia : Estática y Resistencia de Materiales

Formulacion Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

IXG: momento de inercia respecto a eje baricéntrico

IX: momento de inercia respecto a eje alternativo

A : área de la figura

yG: distancia entre ambos ejesRotación de ejes

2cosI2sen2

III

2senI2cos2

II

2

III

2senI2cos2

II

2

III

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x


Momentos Principales de Inercia

yx

xym

2xy

2yxyx

minmax,

II

I22tg

I2

II

2

III

Círculo de MohrEs utilizado para ilustrar las relaciones que existen entre los momentos y productos de inercia de un area dada respecto a ejes que pasan por un punto fijo OFue inialmente por el Ingeniero Aleman Otto Mohr(1835-1918)



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr Se conoce Iox, Ioy,Pxy , se ubica los puntos A y B



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr



Círculo de Mohr


Momentos de Inercia de figuras compuestas• Dividir área en figuras geométricas simples.• Ubicar su Centro de gravedad.• Calcular momentos de inercia baricéntrico de cada figura.• Aplicar T. De Steiner para cada figura.

Ejemplo:


PROBLEMAS. Ejemplo 1

62xx

63x

10*2.138)2/h(*)bh(II

10*55.34bh121

I

1

1

622xx

6x

22x´AA

64´AA

10*3.92)b(*)2/R(II

10*2.7I

)a(*)2/R(II

10*76.25R81

I

666x 10*9.4510*3.9210*2.138I

Ejemplo 2

yx*AII

97.6I38.10I

0

yxxy

yx

º7.127

º7.3797.638.10)56.6(2

II

I22tg

897.1I45.15I

56.62

97.638.102

97.638.10I

I2

II

2

III

min

maxyx

xym

minmax

22

minmax,

2xy

2yxyx

minmax,

Fig. Area x1 y1 A*x1* y1

I 1.5 -1.25 1.75 -3.28

II 1.5 0 0 0

III 1.5 1.25 -1.75 -3.28

Ixy -6.56

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