11

Mecânica Computacional

Engenharia Mecânica

José Carlos F Teixeira

2013

Funcionamento da disciplina22

* José Carlos F Teixeira (T)

jt@dem.uminho.pt; 253 510 236

Docente; contacto (parte #2)

Funcionamento da disciplina33

Calendário (parte #2)

Semana 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado1 18/02 a 23/022 25/03 a 02/033 04/03 a 09/034 11/03 a 16/035 18/03 a 23/03

25/03 a 30/036 01/04 a 06/047 08/04 a 13/048 15/04 a 20/049 22/04 a 27/05 T 25 Abril

10 29/04 a 04/05 T 1 Maio11 06/05 a 11/05 T12 13/05 a 18/0513 20/05 a 25/05 T14 27/05 a 01/06 T15 03/06 a 08/06 T16 10/06 a 15/06 T Trabalho17 17/06 a 22/06 Teste18 24/06 a 29/0619 01/07 a 06/0720 08/07 a 13/07

Férias e feriadosExames - RecursoLançamento das classificaçõesSemana de Enterro da Gata

CALENDÁRIO PARA MECÂNICA COMPUTACIONAL

Calendário Escolar Ano Lectivo 2012/2013

PÁSCOA

* Bibliografia:

# Ferziger, J. H. e Peric, M. (1996) “Computational Methods for Fluid Dynamics”, Springer

# Patankar, S. V. (1980), “Numerical heat transfer and fluid flow”, Mc Graw Hill

# Teixeira, JC; Teixeira, SFC (2003), “Métodos Numéricos em Transferência de Calor”, Universidade do Minho

# Teixeira, SFC (1994), “Computação em Mecânica dos Fluidos”, Universidade do Minho

# Teixeira, JC (1996), “Equações de Navier-Stokes”, Universidade do Minho

44

Suporte Bibliográfico

Funcionamento da disciplina

55

Avaliação

* Trabalho computacional (grupos de 4 elementos) (60%)

* Teste final (40%)

* Teste com classificação mínima: 7 valores

Funcionamento da disciplina

* Motivação

* Programação: linguagem FORTRAN

* Equações fundamentais

* Discretização no espaço

* Discretização no tempo

* Solução de matrizes

66 Programa da disciplina

77

Porquê simular a Transferência de Calor?

– A Transferência de Calor surge nas mais variadas situações:– Estações de produção de energia– Nas actividades relacionadas com a regulação térmica do corpo– No climatização dos edifícios– Em inúmeros processos de transformação alimentar (congelação,

cozedura, ...)– Em inúmeros processos industriais (fundição, soldadura,...)– No desempenho de equipamentos eléctricos, por vezes limitados

pela capacidade de remoção de calor (ex., processadores de pc)

O interesse em simular a TC, surge assim como resposta a uma necessidade de compreensão e previsão, para lidar com este fenómeno de forma mais efectiva.

88

Porquê simular a Transferência de Calor?

– O domínio do método de previsão da Transferência de Calor, permite:

– Optimizar o desenho de equipamentos– Escolher a melhor opção entre um conjunto de alternativas– Antever problemas de segurança na operação– ...

A capacidade de previsão, em regra, oferece benefícios económicos e vantagens para o bem-estar geral (conforto, segurança,...).

99

Métodos de Previsão

– Previsão Experimental– Previsão Teórica

Sempre que possível, é recomendável seguir ambas e comparar os resultados

Previsão Experimental– Informação mais precisa– Frequentemente é proibitiva em termos de custos– Muitas vezes apenas possível em modelos à escala (além das

limitações inerentes, requer extrapolação dos resultados...)– Medições nem sempre possíveis– Todos os dados experimentais têm um erro associado

1010

Métodos de Previsão

Previsão TeóricaVantagens:

– Baixo custo– Rapidez na obtenção de resultados– Dados relevantes em todo o domínio (numa situação experimental

existem locais inacessíveis e interferências inevitáveis dos equipamento de medida com o meio)

– Capacidade de simular condições realistas (não há necessidade de recorrer a modelos à escala, nem perigo em simular substâncias tóxicas ou corrosivas)

– Capacidade de simular situações ideais (simetria, fronteiras adiabáticas, massa volúmica constante,...)

1111

Métodos de Previsão

Previsão Teórica (cont.)Desvantagens:

– Não esquecer que a utilidade dos resultados duma simulação depende da validade do modelo matemático

– Os problemas com a simulação podem ser de dois tipos:

Grupo A - Situações em que é viável obter uma boa representação matemática do fenómeno em análise (ex., transferência de calor; escoamento laminar,...)

Grupo B - Situações para as quais não existe um modelo matemático adequado (escoamento turbulento; escoamentos bifásicos; combustão turbulenta,...)

1212

Métodos de Previsão

Previsão Teórica (cont.)

Desvantagens da Previsão Teórica – Grupo A– Normalmente não apresenta inconvenientes, mas...

– Por ex., em problemas com: geometrias complexas, propriedades dos fluidos variáveis e com grande sensibilidade, a simulação pode-se revelar complexa e cara.

– Qdo o modelo matemático admite mais do que uma solução, pode ser complicado determinar qual delas é a correcta.

1313

Derivada substantiva

ex: variação da temperatura durante uma viagem

C f x y z t , , ,

dtdz

zC

dtdy

yC

dtdx

xC

tC

dtdC

zCu

yCu

xCu

tC

DtDC

zyx

CutC

DtDC

1414

Conservação da massa

u u u ux y z , ,

massa desaída

de taxa

massa deentrada

de taxa

massa de acumulação

de taxa

1515

Conservação da massa

Volume de controlo

acumulação

fluxo

t

dVt

x y zV . .

u x zy y y . .

u x zy y. .

u u x zy y y y y

. .

1616

Conservação da massa

Volume de controlo

em regime estacionário

t x

uy

uz

ux y z

t

u .

x

iy

jz

k

DDt

u .

ou:

. ,uux

uy

uz

x y z

0

0

1717

Conservação do ‘momentum’

Lei de Newton (dinâmica)

acumulação

F ma d

dtm u .

sistema noforças

das soma

momentum desaída

de taxa

momentum deentrada

de taxa

momentum deacumulação

de taxa

At

u dVc V

A x y zt

u i x y zt

u j x y zt

u kc x y z

1818

Conservação do ‘momentum’

tensor de tensões

alterações de ‘momentum’próprio movimento do fluido através das faces do volume de controlo (convecção);

atrito viscoso entre o elemento e o fluido circundante (transporte molecular)

1919

Conservação do ‘momentum’ (convecção)

taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces xx

taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces yy

taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces zz

u u y zx x x. . u u y zx x x x

. .

u u x zy x y. . u u x zy x y y

. .

u u x yz x z. . u u x yz x z z

. .

y z u u u u x z u u u u

x y u u u u

x x x x x x x y x y y xy y

z x z z x z z

. . . .

. .

2020

Conservação do ‘momentum’ (atrito)

taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces xx

taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces yy

taxa de entrada/saída de momentum xx nas faces zz

xx xy z. . xx x x

y z

. .

xy yx z. . xy y y

x z

. .

xz zx y. . xz z z

x y

. .

y z x z x yxx x xx x x xy y xy y y xz z xz z z

2121

Conservação do ‘momentum’ (outras forças)

Forças de pressão e gravíticas

finalmente

y z p p g x y zx x x x

tu

xu u

yu u

zu u

x y zpx

g

x x x y x z x

xx xy xzx

DuDt

px x y z

gx xx xy xzx

2222

Conservação do ‘momentum’

Equações constitutivas

xxxu

xU 2 2

3

yyyu

yU 2 2

3

zzzu

zU 2 2

3

xy yx

x yuy

ux

xz zx

x zuz

ux

zy yz

z yuy

uz

2323

Conservação do ‘momentum’

xzxyxxx g

xu

zu

zxu

yu

yu

xu

xxp

DtDu

.322

DuDt

px

ux

uy

uz

gx x x xx

2

2

2

2

2

2

DuDt

py

ux

uy

uz

gy y y yy

2

2

2

2

2

2

DuDt

pz

ux

uy

uz

gz z z zz

2

2

2

2

2

2

2424

a 2 dimensões:

0

yu

xu yx

xP

dyuuu

ydxuuu

xx

yxx

xx

yP

dyu

uuydx

uuu

xy

yyy

yx

2525

Equação da energia

iz

zzz

yzz

xzy

zyy

yy

yxy

xzx

xyx

xxx

Szu

yu

xu

zu

yu

xu

zu

yu

xuTkup

DtDi

grad

iz

zzz

yzz

xzy

zyy

yy

yxy

xzx

xyx

xxx

Szu

yu

xu

zu

yu

xu

zu

yu

xuTk

DtDTc

grad

iSTkupDtDi

grad

2222222

2 uyu

zu

xu

zu

xu

yu

zu

yu

xu zyzxyxzyx

2626

Equações de conservação (eq Navier-Stokes)

Massa

Momentum x

Momentum y

Energia

0 u

t

xxxx Su

xpuu

tu

grad

yyyy Su

ypuu

tu

grad

iSTkupuiti

grad

2727

Equações de conservação (Simplificações)

Escoamento incompressível (ρ=cte)

Momentum xx

0

0ˆˆˆˆˆˆ

0

zu

yu

xu

kujuiukz

jy

ix

u

zyx

zyx

xxxx Su

xpuu

tu

grad

xxxx Su

xpuu

tu

grad1

2828

Equações de conservação (Simplificações)

Escoamento invíscido (Euler)

Momentum xx

xxx S

xpuu

tu

0 u

t

2929

Equações de conservação (Simplificações)

creeping flow (Stokes)(Re<<1)

Momentum xx

ex: meios porosos, micro fluidos

0 u

t

0grad

xx Suxp

3030

Equações de conservação (Simplificações)

Aproximação de Boussinesq

, g cte

gravidade em zz

iiii Su

ipuu

tu

grad

rggradgS ii.

zgz

S zz

zpzgp

z z

~

0iS

3131

Equações de conservação (Simplificações)

Aproximação de Boussinesq (cont)

se não constante (g cte)

Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)

iii ggg 00

000 TTgg ii

3232

Equações de conservação (Simplificações)

Camada limite

* Termo difusivo na direcção principal desprezável* ux >> uy* dp/dy << dp/dx

a 2D:

2

2

yu

xp

yuu

xuu

tu xxyxxx

3333

Equações de conservação

Formulação diferencial

Formulação integral

Teorema de Gauss

Sut

grad

CVCVCVCV

dVSdVdVudVt grad

ACV

dAdV ana

3434

Equações de conservação

(significado)

Em estado estacionário:

CVAACV

dVSdAdAudVt grad nn

CVAA

dVSdAdAu grad nn

3535

Classificação dos problemas

* Em equilíbrio* Evolutivos (no tempo)

EQUILÍBRIO

Φ=T

02

2

2

2

yx

3636

Classificação dos problemas

EVOLUTIVOS

Φ=T

2

2

xt

3737

Classificação dos problemas (resumo)

Tipo problema Equação Exemplo Condições Equilíbrio Elíptica 0grad Fronteira

Evolutivos com dissipação Parabólica grad

t Fronteira e

iniciais Evolutivos sem

dissipação Hiperbólica grad22

2

c

tFronteira e

iniciais

Condições de fronteira

3838

Diferenças Finitas

1D

2D

3939

Diferenças Finitas

derivada

x

xxxx

ii

xxi

0

lim

4040

Diferenças Finitas

Séries de Taylor

FDS:

Hxn

xxx

xx

xxx

xxxxx

in

nni

i

i

i

i

iii

!.....

!3

!2

3

33

2

22

Hx

xx

xxx

xxxx

x

i

ii

i

ii

ii

ii

i

3

321

2

21

1

1

6

2

4141

Diferenças Finitas

BDS:

CDS:

Hx

xx

xxx

xxxx

x

i

ii

i

ii

ii

ii

i

3

321

2

21

1

1

6

2

H

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxx

x

iii

iiii

iii

iiii

ii

ii

i

3

3

11

31

31

2

2

11

21

21

11

11

6

2

4242

Diferenças Finitas

FDS:

BDS:

CDS:

erro:

1

1

ii

ii

i xxxx

x

11

11

ii

ii

i xxxx

x

ii

ii

i xxxx

x

1

1

2x

4343

Diferenças Finitas

Aproximação polinomial:

outros:

x

xxxxx

iiii

i

6632 21

11

221

211

21

iiii

iiiiiii

i xxxxxxxxxxx

x

4444

Diferenças Finitas

Erro por não uniformidade da malha:

se:

FDS; BDS

iei xrx 1

H

xxxxx

xxxxx

iii

ii

iii

iiT

3

3

1

331

2

2

1

221

62

i

ieT x

xr

2

2

21

i

iT x

x

2

2

2

4545

Diferenças Finitas

Segunda derivada

FDS

BDS

ii

ii

i xxxx

x

1

12

2

1

21

1111112

2

iiii

iiiiiiiii

i xxxxxxxxxx

x

4646

Diferenças Finitas

Segunda derivada

CDS 11

21

21

2

2

21

ii

ii

i xx

xx

x

1111

1111112

2

21

iiiiii

iiiiiiiii

i xxxxxx

xxxxxxx

211

2

2 2xx

iii

i

4747

Diferenças Finitas

Série de Taylor (erro malha não uniforme)

derivadas cruzadas

Hx

xxxx

xxxxxx

xxxxxxx

i

iiii

iiiiii

iiiiiiiii

i

3

311

1111

1111112

2

3

21

yxyx2

4848

Volumes finitos; difusão

Formulação diferencial

Formulação integral

Aplicando o Teorema de Gauss:

Sut

grad

CVCVCVCV

dVSdVdVudVt grad

CVAACV

dVSdAdAudVt grad nn

4949

Volumes finitos; difusão

Só difusão:

a 1D:

0grad CVA

dVSdA n

0ˆˆ

dVSdAix

iA

0

dVSx

Ax

Awe

0

dVSdAxk Ak

5050

Volumes finitos; difusão

0

dVSx

Ax

Awe

5151

Volumes finitos; difusão

PE

PEee

e xA

xA

WP

WPww

w xA

xA

5252

Volumes finitos; difusão

PPu SSdVS

0

PPu

WP

WPww

PE

PEee SS

xA

xA

uEePE

eWw

WP

wPPw

WP

we

PE

e SAx

Ax

SAx

Ax

Agrupando:

onde:

5353

Volumes finitos; difusão

uEEWWPP Saaa

Wa Ea Pa

wWP

w Ax e

PE

e Ax PPW Saa

Exemplo:

5454

Volumes finitos; difusão

KW/m1000m01.0

2

2

kA

Linear

Expandindo em séries de Taylor

5555

Interpolação

ePEee 1

PE

PEee

e xA

xA

PE

Pee xx

xx

.....2

1 2

2

x

xxxx eEPeePEee

Up-wind

Expandindo em séries de Taylor

5656

Interpolação

0. se ,0. se ,

eE

ePe nu

nu

.....2 2

22

x

xxx

xx PePePe

QUICK (quadratic upwind interpolation)

Erro de 3ª ordem!!

5757

Interpolação

UUUUDUe gg 21

UUDUD

UUeUe

xxxxxxxxg

1

UUDUUU

eDUe

xxxxxxxxg

2

5858

TDM (Thomas)

n

n

n

n

nn

nnn

bb

bb

xx

xx

dludl

udlud

1

2

1

1

2

1

111

222

11

5959

TDM (Thomas)

i

iiii

n

nn

iii

iii

i

i

dxubx

nidbx

bmbbumdd

dlm

ni

1

11

11

1

faça 1 até 1 Desde

faça 1 até 1 Desde

3.

2.

1.

Derivada temporal

6060

Integração no tempo

SxTk

xtTcp

Δtt

t

Δtt

t

Δtt

tp SdVdtdVdt

xTk

xdVdt

tTc

CVCVCV

Δtt

t

tt

t we

e

w

tt

tp VdtSdt

xTkA

xTkAdVdt

tTc

VTTcdVdttTc PPp

e

w

tt

tp

0

Onde calcular temperatura?

6161

Integração no tempo

Δtt

t

tt

t WP

WPw

PE

PEePPp VdtSdt

xTTAk

xTTAkVTTc

0

tTTdtT PP

tt

tP

01

explicito

6262

Integração no tempo

xSx

TTkx

TTk

xTTk

xTTkx

tTTc

WP

WPw

PE

PEe

WP

WPw

PE

PEe

PPp

0000

0

1

0

xSx

TTkx

TTkxtTTc

WP

WPw

PE

PEe

PPp

00000

1

xk

txcp

2

Crank-Nicholson

Implícito

6363

Integração no tempo

21

kxct p

2

1

Convecção-difusão (estacionário)

Exemplo (1D; s/ termo fonte)

6464

Convecção

CVAA

dVSdAdAu gradnn

Su grad

dxd

dxdu

dxd

0dx

ud

integrando

6565

Convecção

we

we dxdA

dxdAuAuA

0 we uAuA

Fluxos nas faces

6666

Convecção

dxDuF e

WPwPEewwee DDFF

wwee uFuF

we

ee dx

Ddx

D

0 we FF

Interpolação nas faces (diferenças centrais)

transporte

6767

Convecção

2

2PW

w

EPe

dx

uDFPe

Interpolação nas faces (upwind)

Fluxos faces

6868

Convecção

WwPe ;