MECÁNICA CUÁNTICA

La mecánica cuántica describe, en su visión más ortodoxa, cómo en cualquier sistema físico –y por tanto, en todo el universo– existe una diversa multiplicidad de estados, los cuales habiendo sido descritos mediante ecuaciones matemáticas por los físicos, son denominados estados cuánticos. De esta forma la mecánica cuántica puede explicar la existencia del átomo y revelar los misterios de la estructura atómica, tal como hoy son entendidos; fenómenos que no puede explicar debidamente la física clásica o más propiamente la mecánica clásica.

De forma específica, se considera también mecánica cuántica, a la parte de ella misma que no incorpora la relatividad en su formalismo, tan sólo como añadido mediante la teoría de perturbaciones.1 La parte de la mecánica cuántica que sí incorpora elementos relativistas de manera formal y con diversos problemas, es la mecánica cuántica relativista o ya, de forma más exacta y potente, la teoría cuántica de campos (que incluye a su vez a la electrodinámica cuántica, cromodinámica cuántica y teoría electrodébil dentro del modelo estándar)2 y más generalmente, la teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo. La única interacción que no se ha podido cuantificar ha sido la interacción gravitatoria.

La mecánica cuántica es el fundamento de los estudios del átomo, su núcleo y las partículas elementales (siendo necesario el enfoque relativista). También en teoría de la información, criptografía y química.

CONTEXTO HISTÓRICO

La mecánica cuántica es, cronológicamente, la última de las grandes ramas de la física. Se formuló a principios del siglo XX, casi al mismo tiempo que la teoría de la relatividad, aunque el grueso de la mecánica cuántica se desarrolló a partir de 1920 (siendo la teoría de la relatividad especial de 1905 y la teoría general de la relatividad de 1915).

Además al advenimiento de la mecánica cuántica existían diversos problemas no resueltos en el electrodinámica clásica. El primero de estos problemas era la emisión de radiación de cualquier objeto en equilibrio, llamada radiación térmica, que es la que proviene de la vibración microscópica de las partículas que lo componen. Usando las ecuaciones de la electrodinámica clásica, la energía que emitía esta radiación térmica tendía al infinito si se suman todas las frecuencias que emitía el objeto, con ilógico resultado para los físicos. También la estabilidad de los átomos no podía ser explicada por el electromagnetismo clásico, y la noción de que el electrón fuera o bien una partícula clásica puntual o bien una cáscara de dimensiones finitas resultaban igualmente problemáticas.

RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA

El problema de la radiación electromagnética fue uno de los primeros problemas resueltos en el seno de la mecánica cuántica. Es en el seno de la mecánica estadística donde surgen las ideas cuánticas en 1900. Al físico alemán Max Planck se le ocurrió un artificio matemático: si en el proceso aritmético se sustituía la integral de esas frecuencias por una suma no continua, se dejaba de obtener infinito como resultado, con lo que se eliminaba el problema; además, el resultado obtenido concordaba con lo que después era medido.

Fue Max Planck quien entonces enunció la hipótesis de que la radiación electromagnética es absorbida y emitida por la materia en forma de «cuantos» de luz o fotones de energía mediante una constante estadística, que se denominó constante de Planck. Su historia es inherente al siglo XX, ya que la primera formulación cuántica de un fenómeno fue dada a conocer por el mismo Planck el 14 de diciembre de 1900 en una sesión de la Sociedad Física de la Academia de Ciencias de Berlín.3

La idea de Planck habría quedado muchos años sólo como hipótesis si Albert Einstein no la hubiera retomado, proponiendo que la luz, en ciertas circunstancias, se comporta como partículas de energía independientes (los cuantos de luz o fotones). Fue Albert Einstein quien completó en 1905 las correspondientes leyes de movimiento en su teoría especial de la relatividad, demostrando que el electromagnetismo era una teoría esencialmente no mecánica. Culminaba así lo que se ha dado en llamar física clásica, es decir, la física no-cuántica.

Usó este punto de vista llamado por él «heurístico», para desarrollar su teoría del efecto fotoeléctrico, publicando esta hipótesis en 1905, lo que le valió el Premio Nobel de Física de 1921. Esta hipótesis fue aplicada también para proponer una teoría sobre el calor específico, es decir, la que resuelve cuál es la cantidad de calor necesaria para aumentar en una unidad la temperatura de la unidad de masa de un cuerpo.

El siguiente paso importante se dio hacia 1925, cuando Louis De Broglie propuso que cada partícula material tiene una longitud de onda asociada, inversamente proporcional a su masa, y dada por su velocidad. Poco tiempo después Erwin Schrödinger formuló una ecuación de movimiento para las «ondas de materia», cuya existencia había propuesto De Broglie y varios experimentos sugerían que eran reales.

La mecánica cuántica introduce una serie de hechos contraintuitivos que no aparecían en los paradigmas físicos anteriores; con ella se descubre que el mundo atómico no se comporta como esperaríamos. Los conceptos de incertidumbre o cuantización son introducidos por primera vez aquí. Además la mecánica cuántica es la teoría científica que ha proporcionado las predicciones experimentales más exactas hasta el momento, a pesar de estar sujeta a las probabilidades.

INESTABILIDAD DE LOS ÁTOMOS CLÁSICOS

El segundo problema importante que la mecánica cuántica resolvió a través del modelo de Bohr, fue el de la estabilidad de los átomos. De acuerdo con la teoría clásica un electrón orbitando alrededor de un núcleo cargado positivamente debería emitir energía electromagnética perdiendo así velocidad hasta caer sobre el núcleo. La evidencia empírica era que esto no sucedía, y sería la mecánica cuántica quien resolvería este hecho primero mediante postulados ad hoc formulados por Bohr y más tarde mediante modelos como el modelo atómico de Schrödinger basados en supuestos más generales. A continuación se explica el fracaso del modelo clásico.

En mecánica clásica, un átomo de hidrógeno es un tipo de problema de los dos cuerpos en que el protón sería el primer cuerpo que tiene más del 99% de la masa del sistema y el electrón es el segundo cuerpo que es mucho más ligero. Para resolver el problema de los dos cuerpos es conveniente hacer la descripción del sistema, colocando el origen del sistema de referencia en el centro de masa de la partícula de mayor masa, esta descripción es correcta considerando como masa de la otra partícula la masa reducida que viene dada por

Siendo   la masa del protón y   la masa del electrón. En ese caso el problema del átomo de hidrógeno parece admitir una solución simple en la que el electrón se moviera en órbitas elípticas alrededor del núcleo atómico. Sin embargo, existe un problema con la solución clásica, de acuerdo con las predicciones de electromagnetismo una partícula eléctrica que sigue un movimiento acelerado, como sucedería al describir una elipse debería emitir radiación electromagnética, y por tanto perder energía cinética, la cantidad de energía radiada sería de hecho:

Ese proceso acabaría con el colapso del átomo sobre el núcleo en un tiempo muy corto dadas las grandes aceleraciones existentes. A partir de los datos de la ecuación anterior el tiempo de colapso sería de 10-8 s, es decir, de acuerdo con la física clásica los átomos de hidrógeno no serían estables y no podría existir más de una cienmillonésima de segundo.

Esa incompatibilidad entre las predicciones del modelo clásico y la realidad observada llevó a buscar un modelo que explicara fenomenológicamente el átomo. El modelo atómico de Bohr era un modelo fenomenológico que explicaba satisfactoriamente algunos datos, como el orden de magnitud del radio atómico y los espectros de absorción del átomo, pero no explicaba cómo era posible que el electrón no emitiera radiación perdiendo energía. La búsqueda de un modelo más adecuado llevó a la formulación del modelo atómico de Schrödinger en el cual puede probarse que el valor esperado de la aceleración es nulo, y sobre esa base puede decirse que la energía electromagnética emitida debería ser también nula. Sin embargo, la representación cuántica de Schrödinger es difícil de entender en términos intuitivos.

DESARROLLO HISTÓRICO

Artículo principal: Historia de la mecánica cuántica

La teoría cuántica fue desarrollada en su forma básica a lo largo de la primera mitad del siglo XX. El hecho de que la energía se intercambie de forma discreta se puso de relieve por hechos experimentales como los siguientes, inexplicables con las herramientas teóricas anteriores de la mecánica clásica o la electrodinámica:

Fig. 1: La función de onda del electrón de un átomo de hidrógeno posee niveles de energía definidos y discretos denotados por un número cuántico n=1, 2, 3,... y valores definidos de momento angular caracterizados por la notación: s, p, d,... Las áreas brillantes en la figura corresponden a densidades elevadas de probabilidad de encontrar el electrón en dicha posición.

Espectro de la radiación del cuerpo negro, resuelto por Max Planck con la cuantización de la energía. La energía total del cuerpo negro resultó que tomaba valores discretos más que continuos. Este fenómeno se llamó cuantización, y los intervalos posibles más pequeños entre los valores discretos son llamados quanta (singular: quantum, de la palabra latina para 

«cantidad», de ahí el nombre de mecánica cuántica). La magnitud de un cuanto es un valor fijo llamado constante de Planck, y que vale: 6.626 ×10-34 julios por segundo.

Bajo ciertas condiciones experimentales, los objetos microscópicos como los átomos o los electrones exhiben un comportamiento ondulatorio, como en la interferencia. Bajo otras condiciones, las mismas especies de objetos exhiben un comportamiento corpuscular, de partícula, («partícula» quiere decir un objeto que puede ser localizado en una región concreta del espacio), como en la dispersión de partículas. Este fenómeno se conoce como dualidad onda-partícula.

Las propiedades físicas de objetos con historias asociadas pueden ser correlacionadas, en una amplitud prohibida para cualquier teoría clásica, sólo pueden ser descritos con precisión si se hace referencia a ambos a la vez. Este fenómeno es llamado entrelazamiento cuántico y la desigualdad de Bell describe su diferencia con la correlación ordinaria. Las medidas de las violaciones de la desigualdad de Bell fueron algunas de las mayores comprobaciones de la mecánica cuántica.

Explicación del efecto fotoeléctrico, dada por Albert Einstein, en que volvió a aparecer esa "misteriosa" necesidad de cuantizar la energía.

Efecto Compton.

El desarrollo formal de la teoría fue obra de los esfuerzos conjuntos de varios físicos y matemáticos de la época comoSchrödinger, Heisenberg, Einstein, Dirac, Bohr y Von Neumann entre otros (la lista es larga). Algunos de los aspectos fundamentales de la teoría están siendo aún estudiados activamente. La mecánica cuántica ha sido también adoptada como la teoría subyacente a muchos campos de la física y la química, incluyendo la física de la materia condensada, la química cuántica y la física de partículas.

La región de origen de la mecánica cuántica puede localizarse en la Europa central, en Alemania y Austria, y en el contexto histórico del primer tercio del siglo XX.

SUPOSICIONES MÁS IMPORTANTES

Artículo principal: Interpretaciones de la Mecánica cuántica

Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes:

Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se renuncia al concepto de trayectoria, vital en mecánica clásica. En vez de eso, el movimiento de una partícula 'puede ser explicado por una función matemática que asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad de que la partícula descrita se halle en tal posición en ese instante (al menos, en la interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o interpretación de Copenhague). A partir de esa función, o función de ondas, se extraen teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias.

Existen dos tipos de evolución temporal, si no ocurre ninguna medida el estado del sistema o función de onda evolucionan de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, sin embargo, si se realiza una medida sobre el sistema, éste sufre un «salto cuántico» hacia un estado compatible con los valores de la medida obtenida (formalmente el nuevo estado será una proyección ortogonal del estado original).

Existen diferencias perceptibles entre los estados ligados y los que no lo están.

La energía no se intercambia de forma continua en un estado ligado, sino en forma discreta lo cual implica la existencia de paquetes mínimos de energía llamados cuantos, mientras en los estados no ligados la energía se comporta como un continuo.

DESCRIPCIÓN DE LA TEORÍA

INTERPRETACIÓN DE COPENHAGUE

Artículo principal: Interpretación de Copenhague

Para describir la teoría de forma general es necesario un tratamiento matemático riguroso, pero aceptando una de las tres interpretaciones de la mecánica cuántica (a partir de ahora la Interpretación de Copenhague), el marco se relaja. La mecánica cuántica describe el estado instantáneo de un sistema (estado cuántico) con una función de onda que codifica la distribución de probabilidad de todas las propiedades medibles, u observables. Algunos observables posibles sobre un sistema dado son la energía, posición,momento y momento angular. La mecánica cuántica no asigna valores definidos a los observables, sino que hace predicciones sobre sus distribuciones de probabilidad. Las propiedades ondulatorias de la materia son explicadas por la interferencia de las funciones de onda.

Estas funciones de onda pueden variar con el transcurso del tiempo. Esta evolución es determinista si sobre el sistema no se realiza ninguna medida aunque esta evolución esestocástica y se produce mediante colapso de la función de onda cuando se realiza una medida sobre el sistema (Postulado IV de la MC). Por ejemplo, una partícula moviéndose sin interferencia en el espacio vacío puede ser descrita mediante una función de onda que es un paquete de ondas centrado alrededor de alguna posición media. Según pasa el tiempo, el centro del paquete puede trasladarse, cambiar, de modo que la partícula parece estar localizada más precisamente en otro lugar. La evolución temporal determinista de las funciones de onda es descrita por la Ecuación de Schrödinger.

Algunas funciones de onda describen estados físicos con distribuciones de probabilidad que son constantes en el tiempo, estos estados se llaman estacionarios, son estados propios del operador hamiltoniano y tienen energía bien definida. Muchos sistemas que eran tratados dinámicamente en mecánica clásica son descritos mediante tales funciones de onda estáticas. Por ejemplo, un electrón en un átomo sin excitar se dibuja clásicamente como una partícula que rodea el núcleo, mientras que en mecánica cuántica es descrito por una nube de probabilidad estática que rodea al núcleo.

Cuando se realiza una medición en un observable del sistema, la función de ondas se convierte en una del conjunto de las funciones llamadas funciones propias o estados propios del observable en cuestión. Este proceso es conocido como colapso de la función de onda. Las probabilidades relativas de ese colapso sobre alguno de los estados propios posibles son descritas por la función de onda instantánea justo antes de la reducción. Considerando el ejemplo anterior sobre la partícula en el vacío, si se mide la posición de la misma, se obtendrá un valor impredecible x. En general, es imposible predecir con precisión qué valor de x se obtendrá, aunque es probable que se obtenga uno cercano al centro del paquete de ondas, donde la amplitud de la función de onda es grande. Después de que se ha hecho la medida, la función de onda de la partícula colapsa y se reduce a una que esté muy concentrada en torno a la posición observada x.

La ecuación de Schrödinger es en parte determinista en el sentido de que, dada una función de onda a un tiempo inicial dado, la ecuación suministra una predicción concreta de qué función tendremos en cualquier tiempo posterior. Durante una medida, el eigen-estado al cual colapsa la función es probabilista y en este aspecto es no determinista. Así que la naturaleza probabilista de la mecánica cuántica nace del acto de la medida.

FORMULACIÓN MATEMÁTICA

Artículos principales: Postulados de la mecánica cuántica y Notación braket.

En la formulación matemática rigurosa, desarrollada por Dirac y von Neumann, los estados posibles de un sistema cuántico están representados por vectores unitarios (llamados estados) que pertenecen a un Espacio de Hilbert complejo separable (llamado el espacio de estados). Qué tipo de espacio de Hilbert es necesario en cada caso depende del sistema; por ejemplo, el espacio de estados para los estados de posición y momento es el espacio de funciones de cuadrado integrable  , mientras que la descripción de un sistema sin traslación pero con un espín   es el espacio  . La evolución temporal de un estado cuántico queda descrita por la ecuación de Schrödinger, en la que el hamiltoniano, el operador correspondiente a la energía total del sistema, tiene un papel central.

Cada magnitud observable queda representada por un operador lineal hermítico definido sobre un dominio denso del espacio de estados. Cada estado propio de un observablecorresponde a un eigenvector del operador, y el valor propio o eigenvalor asociado corresponde al valor del observable en aquel estado propio. El espectro de un operadorpuede ser continuo o discreto. La medida de un observable representado por un operador con espectro discreto sólo puede tomar un conjunto numerable de posibles valores, mientras que los operadores con espectro continuo presentan medidas posibles en intervalos reales completos. Durante una medida, la probabilidad de que un sistema colapse a uno de los eigenestados viene dada por el cuadrado del valor absoluto del producto interior entre el estado propio o auto-estado (que podemos conocer teóricamente antes de medir) y el vector estado del sistema antes de la medida. Podemos así encontrar la distribución de probabilidad de un observable en un estado dado computando ladescomposición espectral del operador correspondiente. El principio de incertidumbre de Heisenberg se representa por la aseveración de que los operadores correspondientes a ciertos observables no conmutan.

RELATIVIDAD Y LA MECÁNICA CUÁNTICA

Artículos principales: Teoría cuántica de campos y Segunda cuantización.

El mundo moderno de la física se funda notablemente en dos teorías principales, la relatividad general y la mecánica cuántica, aunque ambas teorías usan principios aparentemente incompatibles. Los postulados que definen la teoría de la relatividad de Einstein y la teoría del quántum están apoyados por rigurosa y repetida evidencia empírica. Sin embargo, ambas se resisten a ser incorporadas dentro de un mismo modelo coherente. Desde mediados del siglo XX, aparecieron teorías cuánticas relativistas del campo electromagnético (electrodinámica cuántica) y las fuerzas nucleares (modelo electrodébil, cromodinámica cuántica), pero hasta la fecha (2015) no se tiene una teoría cuántica relativista del campo gravitatorio que sea plenamente consistente y válida para campos gravitatorios intensos (existen aproximaciones en espacios asintóticamente planos). Todas las teorías cuánticas relativistas consistentes usan los métodos de la teoría cuántica de campos.

En su forma ordinaria, la teoría cuántica abandona algunos de los supuestos básicos de la teoría de la relatividad, como por ejemplo el principio de localidad usado en la descripción relativista de la causalidad. El mismo Einstein había considerado absurda la violación del principio de localidad a la que parecía abocar la mecánica cuántica. La postura de Einstein fue postular que la mecánica cuántica si bien era consistente era incompleta. Para justificar su argumento y su rechazo a la falta de localidad y la falta de determinismo, Einstein y varios de sus colaboradores postularon la llamada paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR), la cual demuestra que medir el estado de una partícula puede instantáneamente cambiar el estado de su socio enlazado, aunque las dos partículas pueden estar a una distancia arbitrariamente grande. Modernamente el paradójico resultado de la paradoja EPR se sabe es una consecuencia perfectamente consistente del llamado entrelazamiento cuántico. Es un hecho conocido que si bien la existencia del entrelazamiento cuántico efectivamente viola el principio de localidad, en cambio no viola la causalidad definido en términos de información, puesto que no hay transferencia posible de información. Si bien en su tiempo, parecía que la paradoja EPR suponía una dificultad empírica para mecánica cuántica, y Einstein consideró que la mecánica cuántica en la interpretación de Copenhague podría ser descartada por experimento, décadas más tarde los experimentos de Alain Aspect (1981) revelaron que efectivamente la evidencia experimental parace apuntar en contra del principio de localidad.4 Y por tanto, el resultado paradójico que Einstein rechazaba como "sin sentido" parece ser lo que sucede precisamente en el mundo real.

ResumenAbordamos, a nivel conceptual, el fascinante y paradójico mundo de la mecánica cuántica, comenzando desde la cuantificación de la energía de Planck, pasando por los grandes aportes de Dirac, Born y Srchödinger, hasta llegar a las más impresionantes interpretaciones filosóficas.IntroducciónEl inicio formal de la física puede remontarse al año 1687, fecha en que el brillante físico Isaac Newton (conocido como el padre de la física), publica su libro: principios matemáticos de filosofía natural, en el que se abrevia todo su trabajo sobre el movimiento de los cuerpos. Newton resumió toda la mecánica, tanto celeste como la de cuerpos en tierra, en tres leyes fundamentales, con la cuales osaba explicarlo todo.Uno de los fenómenos explicados por aquél fue la propagación de la luz, que según él estaba compuesta de partículas diminutas con velocidad finita llamadas corpúsculos; esta hipótesis estaba fundamentada en la similitud que presentaban los choques de cuerpos macroscópicos con la reflexión de la luz (básicamente, notó que el ángulo que formaba un rayo de luz con respecto a la normal de la superficie después de ser reflejado, era igual al ángulo de incidencia; que es lo que ocurre con cuerpos que chocan contra superficies planas).Christiaan Huygens, contemporáneo de Newton, había desarrollado una teoría ondulatoria de la luz: según éste, la luz era una onda como las que se forman en un estanque al perturbar el agua, y así como éstas tienen un medio para propagarse (el líquido), la luz era producida por perturbaciones de un medio llamado éter. Esta teoría casi que fue desechada, pues los fenómenos que podían explicarse con aquella, también podían ser explicados con la teoría corpuscular (además Newton tenía un gran poder científico en aquella época).No fue sino hasta casi cien años después, que el ingles Thomas Youg comprobó experimentalmente la naturaleza ondulatoria de la luz por medio de un fenómeno que "sólo" es propio de las ondas: la producción de franjas de interferencias debido a la desviación (difracción) de una onda circular al pasar por un agujero más pequeño que la longitud de onda de ésta. Aun así Youg fue capaz de demostrar la naturaleza ondulatoria de la luz, no fue tomado muy en serio, pues Newton era considerado como un Dios en aquella época (aún después de muerto) y se seguía con la concepción corpuscular; Sólo fue hasta que científicos como Fresnel y Maxwell corroboraron por completo la naturaleza ondulatoria de la luz, que "todos" quedaron convencidos de esta propiedad.Los científicos de la época creían poder explicarlo todo con la mecánica de Newton y la teoría electromagnética de Maxwell; pero no fue sino hasta finales del siglo XIX que la física entro en una profunda crisis, pues dos fenómenos inexplicables con las teorías disponibles estaban "matando" a los

físicos: La propagación de la luz (¿existe el éter?) y el espectro de radiación del cuerpo negro. El primero da origen a la física relativista, y el segundo da origen a la física cuántica.Espectro de radiación del cuerpo negroCuando se estudia la radiación electromagnética producida por un cuerpo caliente común, se deben tener en cuenta los "errores introducidos" por la energía que éste refleja. Los físicos, a finales del siglo XIX, querían estudiar de qué forma era el espectro de radiación de un cuerpo que no reflejase energía; así pues, optaron por un cuerpo negro, que en teoría es capaz de absorber toda la energía suministrada.Teóricamente un cuerpo con estas características, al calentarlo, emite luz (radiación electromagnética); esta luz aumenta poco a poco su longitud de onda a medida que el cuerpo se va haciendo más caliente, hasta el punto de llegar al espectro visible. Se disponía pues de dos leyes para predecir el comportamiento de un cuerpo en estas condiciones:la primera es la ley de Stefan, la cual postula que el poder emisor de un cuerpo negro (la potencia, o lo que es igual: la cantidad de energía por segundo) es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura; La segunda es la ley de Wien-Golitzin, la cual postula que al elevarse la temperatura del cuerpo negro, la longitud de onda correspondiente al máximo del espectro va haciéndose más pequeña, desplazándose hasta el violeta.Con la primera ley no hay problema; pero la observaciones no concordaban con la segunda, pues a medida que la temperatura aumentaba, el máximo correspondiente a la longitud de onda se hacía azul y no violeta. Así pues, se trataron de unificar estas dos leyes y "repararlas", este trabajo fue conseguido por los físicos Rayleigh y Jeans, pero esta nueva ley unificada tan sólo podía explicar la curva del espectro en los intervalos del amarillo y el naranja, pues para el violeta, el ultravioleta y longitudes más cortas predecía que la intensidad de la radiación crecía ilimitadamente, lo cual era absurdo. La física clásica entró en crisis.Max Planck era uno de lo físicos que estaba tratando de explicar la curva del espectro obtenido. Aquél, a diferencia de otros colegas, optó por tratar de obtener la ecuación matemática de la curva experimental, y como un golpe de suerte la consiguió. Ahora planck tenía la ecuación que generaba la curva, pero éste se encontró en un callejón sin salida cuando trató de deducirla de las leyes de la termodinámica. Luego de agotadores días de trabajo, planck llegó a la conclusión de que con las leyes de la física clásica no era posible deducir la curva; sólo es posible si se asume que la energía no es emitida como un continuo sino como un conjunto de paquetes, a los que planck llamó cuantos. Estos paquetes no pueden tener energías arbitrarias, sólo pueden tener múltiplos enteros de una constante (constante de planck); además, la energía radiada por un oscilador depende de su frecuencia de oscilación (no de la amplitud). La hipótesis cuántica de planck se resume en la siguiente ecuación:

E=hf donde h es la constante de planck que vale 6,55*10^-34 j.s , y f es la frecuencia

Así pues, nace la teoría cuántica y caen dos supuestos clásicos : la energía no depende de la amplitud sino de la frecuencia, y la energía no se radia como un continuo sino como un conjunto de paquetes discretos.Planck, luego de su hipótesis cuántica, no fue tomado muy en serio, pues ni él mismo era capaz de explicar algunas implicaciones que esta hipótesis conllevaba. Sólo fue hasta que Einstein logró aplicarla que todo empezó a tornarse más claro.

El efecto fotoeléctricoHacia 1899, el físico Lenard demostró que los rayos catódicos(electrones) pueden producirse mediante la iluminación de una superficie metálica dispuesta en el vacío, y descubrió algunos hechos interesantes: La cantidad de electrones desprendidos del metal depende de la intensidad; la velocidad de los electrones desprendidos no depende de la intensidad sino de la frecuencia del haz; y para cada metal existe un valor mínimo de frecuencia por debajo del cual no hay emisión de electrones. Este fenómeno no había podido ser explicado hasta la fecha; sólo un loco como Einstein, con su gran imaginación, era capaz de revivir la teoría corpuscular de la luz (de Newton) cuando se daba por hecho su naturaleza ondulatoria.Einstein aplicó la hipótesis cuántica de planck para explicar el fenómeno de desprendimiento de electrones por un haz de luz (conocido como efecto fotoeléctrico); según Einstein, no era posible dar una explicación a este fenómeno si se asumía la luz como una onda, había que darle pues una naturaleza corpuscular; a estos corpúsculos Einstein los llamo fotones, y explicó con ellos los fenómenos detectados por Lenard:Los electrones de los átomos del metal sólo pueden absorber ciertos valores de energía, múltiplos de un valor fundamental hf, es decir: la energía que absorben los electrones debe estar cuantificada. Por esta

razón, la luz debe venir en paquetes que los electrones puedan absorber, y por esta razón, también, es que los metales no emiten electrones por debajo de un cierto valor de frecuencia, pues a los electrones sólo les "gustan" paquetes específicos. Como la energía es proporcional a la frecuencia (E=hf) y no a la intensidad, es por esta razón que las frecuencias más altas arrancan los electrones más veloces. Y debido a que mientras mayor sea la intensidad hay más fotones "golpeando" electrones, la cantidad de estos que se emiten depende de aquella.Einstein recibió el premio Nobel en 1921 por este trabajo.Ecuación del efecto fotoeléctrico:

Ec=h.f-w Ec: energía cinética del electrón desprendido; f: frecuencia; h: cte planck;w:(función de trabajo)energía mínima requerida por un electrón para ser desprendido.

Funbral= w/h F: frecuencia mínima para desprender el electrón

Los valores F y w dependen del metal.

El átomo de BohrHacia 1911, por medio de un experimento de dispersión de partículas en metales, Rutherford descubrió que el átomo contenía una estructura interna, y que no era como la "sandía" que Thomson había propuesto. Según Rutherford, el átomo estaba compuesto por un núcleo cargado positivamente, y un exterior compuesto por electrones (negativos); la suma de las cargas de los electrones era igual a la carga del núcleo (y se conseguía la neutralidad del átomo).Para que los electrones no cayeran al núcleo debido a la fuerza eléctrica, era necesario que éstos giraran, y así su fuerza centrífuga fuera igual a la fuerza de atracción eléctrica, para evitar el colapso del átomo; pero este movimiento por ser curvado generaba una aceleración, y según la teoría de Maxwell éstos deberían emitir radiación, lo que generaba que perdieran energía, y por ende se precipitaran en espiral hacia el núcleo. Así pues, con las teorías y las leyes de que se disponía no era posible explicar la estabilidad del átomo, como también el fenómeno de las líneas espectrales "perfectas" de una sustancia pura.Niels Bohr, en 1913, introdujo un nuevo modelo atómico, el cual combinaba tanto ideas clásicas como cuánticas; su trabajo se basó, generalmente, en introducir la constante de Planck al modelo matemático que representaba al átomo. Asumiendo el átomo como un sistema solar en miniatura, las ideas de Bohr fueron:.Las órbitas de los electrones en el interior del átomo no son todas estables; de aquí se sigue que el electrón sólo puede estar en órbitas definidas (a determinadas distancias del átomo). Esto debido a que cada órbita representa un nivel de energía para el electrón, pero el electrón no puede tomar cualquier valor de energía, sólo hf ; siendo el nivel uno correspondiente al valor de energía uno, el nivel dos al dos....Los niveles aumentan de adentro hacia afuera; al nivel uno se le llama estado fundamental, y el electrón no puede bajar de este estado, pues no hay órbitas mas bajas que uno (los valores son enteros positivos)..Cuando el electrón se encuentra en una órbita estable, éste no emite energía, sólo emite o absorbe energía cuando salta de una órbita a otra. Como el electrón no puede emitir valores arbitrarios y continuos de energía en una órbita estable, no se cumple la predicción electromagnética, el electrón sólo emite valores enteros de energía; esta emisión cuantificada sólo se da cuando el electrón salta de una órbita o nivel de energía mayor a uno menor, la emisión es un fotón, exactamente con la energía que el electrón necesito para pasar de un estado menor a uno mayor; también se da el caso contrario: para hacer subir a un electrón de órbita o nivel, se necesita exactamente la energía de diferencia entre las dos órbitas o niveles, y el electrón permanece allí durante un tiempo (se dice: exitado) hasta que cae otra vez a la órbita o nivel original, y devuelve la misma energía que le fue suministrada en un comienzo (es devuelta en forma de un fotón).Mediante estas ideas, Bohr explicó las líneas aparecidas en el espectro del átomo más sencillo, el hidrógeno; estas líneas eran muy bien definidas, y esto debido a que los electrones al ser excitados (con la energía exacta), saltaban a órbitas mayores que luego abandonaban, devolviendo la energía en forma de fotones con frecuencias muy específicas; estos fotones componían las líneas espectrales. Para cada elemento las líneas eran distintas, pues lo átomos también lo eran.Esta interpretación, aunque errónea (pues luego fue tumbada por la mecánica ondulatoria) , fue capaz de dar una explicación satisfactoria, bonita y acorde con lo observado con relación a los espectros atómicos y a la paradoja del "átomo de emisión continua".

La verdadera importancia de esta explicación, es que todos los científicos de la época se estaban convenciendo de que la teoría cuántica (o mecánica cuántica), era una potente y única herramienta para explicar el mundo de lo muy pequeño: el mundo de lo atómico.Principio de complementariedadAunque Einstein ya estaba convencido de la existencia de los fotones, se necesitaba la prueba experimental que corroborara esta teoría. Compton desde 1913, venía trabajando con rayos x y su interacción con los electrones; aquél había descubierto que cuando un fotón golpea a un electrón, éste gana momento y energía hf, pero el fotón que ha entregado parte de su energía, disminuye su frecuencia (este fenómeno es conocido como dispersión o efecto Compton).Para poder lograr una descripción de este fenómeno, Compton tuvo que asumir que los rayos x eran fotones muy energéticos (corroborando la teoría de Einstein), pero para dar una descripción completa de este fenómeno no sólo bastaba con introducir la teoría corpuscular de la luz, sino también la ondulatoria. Resultaban pues, dos teorías de la luz: la ondulatoria y la corpuscular, ambas correctas. Esta dualidad onda-partícula de la luz fue a lo que Bohr llamó "principio de complementariedad", y se basa en que las teorías corpuscular y ondulatoria de la luz no se excluyen sino que se complementan, para así lograr una correcta descripción de la realidad. La luz es pues onda y partículas.Dualidad onda-partículaEl descubrimiento de la dualidad de la luz dejó inquieto a Louis de Broglie, un físico de la época, que se preguntó: "si la luz también se comporta como partículas ¿por qué no se deberían comportar los electrones también como ondas?" A los electrones sólo se les puede asociar números enteros de órbitas y energías, y esto es algo propio en los fenómenos de vibración en ondas. De Broglie le dio una estructura matemática a su hipótesis asociándole una longitud de onda a los electrones o cualquier cuerpo material:

λ = h/mv mv: masa y velocidad del cuerpo; h: constante de Planck

Así pues, si los electrones tenían propiedades ondulatorias, deberían presentar fenómenos de difracción. La longitud de onda asociada al electrón es de unos 10^-7cm; para difractarlo se necesita que éste pase por un espacio del orden de esta longitud. Hacia 1922 y1923 los físicos Clinton Dawisson y Charles Kunsman habían estudiado el comportamiento de los electrones al ser dispersados por cristales; de Broglie, al enterarse, los disuadió para que realizaran el experimento, y en 1925 se publicaron los resultados que corroboraban la teoría de de Broglie. Pero el mundo científico era muy escéptico, más aún cuando se trataba de la teoría de un joven de 21 años.Sólo fue hasta que Erwin Schrödinger formuló una teoría atómica con las ideas de de Broglie, que los físicos empezaron a revaluar las ideas sobre el electrón; En 1927 fueron publicados los resultados de nuevos experimentos, y fue comprobada la hipótesis de de Broglie.El total desprendimiento con la física clásica, fue cuando se comprobó que no sólo los electrones y los fotones tienen esta dualidad onda-partícula sino también todas las demás partículas existentes.Un macro cuerpo también tiene estas propiedades, pero su longitud de onda es tan ínfima que no puede detectarse. De Broglie, no interpretó muy bien este resultado, pues según él el electrón era como un bote viajando por una ola. Luego Max born y Heisemberg explicaron esta propiedad ondulatoria como la probabilidad de encontrar al electrón en un punto dado.

El principio de incertidumbreSupongamos que queremos conocer la velocidad y la posición de una partícula, para lo cual es necesario una fuente de luz cuya longitud de onda sea igual o menor al tamaño de dicha partícula; luz con esta característica son los rayos gamma. Así pues, disparamos una haz de rayos gamma hacia la partícula, este rayo gamma va a "rebotar" (dispersarse) en la partícula (este rayo dispersado va hacia un detector para conocer algo sobre esa partícula), pero por efecto Compton este fotón gamma va a suministrar energía a la partícula y por ende, ésta se va a "perder" pues se le ha dado un golpe muy fuerte; así pues, vamos a tener algo de certeza sobre la velocidad pero casi ninguna sobre su posición. Ahora bien, supongamos que la partícula está en reposo (velocidad 0),si se sigue el mismo procedimiento anterior, cuando el fotón golpee a la partícula, ésta, de nuevo va ha perderse y no podremos saber algo sobre su posición.Werner Heisemberg, un precoz físico de la época y uno de los grandes estructuradores de la mecánica cuántica (desarrollo el método matricial de ésta), dedujo de las ecuaciones de la mecánica cuántica la conocida relación de incertidumbre en 1927, que en honor a Heisemberg fue llamado el principio de incertidumbre de Heisemberg. Las dos relaciones son:

Δp.Δx ≥ h Δp: incertidumbre (Inexactitud) sobre el momento; Δx: incertidumbre(inexactitud) sobre la posiciσnh: constante de planck

ΔE.Δt ≥ h ΔE: incertidumbre (inexactitud) sobre la energνa; Δt: incertidumbre (inexactitud) sobre el tiempo;h: constante de planck 

Así pues, mientras con más precisión se quiera saber la velocidad (o momento) de un cuerpo, más es la incertidumbre que se tiene sobre su posición. Así mismo, mientras con más precisión se quiera saber la energía de un cuerpo más incertidumbre se tendrá sobre la medida del tiempo.El principio de incertidumbre es uno de los peldaños más estables e importantes de la mecánica cuántica. Hay que aclarar que la incertidumbre no se condiciona al aparato de medida, la incertidumbre es una propiedad intrínseca en la naturaleza.La antimateriaPaul Dirac, un físico de la época (Dirac fue a la mecánica cuántica como Newton fue a la física clásica), trató de obtener una versión relativista de la mecánica cuántica. Según la ecuación de Einstein para la energía de una partícula de masa m y momento p se tiene:

E²=m²c^2 + p²c² y esta formula se reduce a E=mc² cuando el momento es cero

Pero al calcular esta energía se obtiene el resultado de una raíz, es decir: se obtienen valores -mc² y +mc². Dirac no se detuvo aquí. Cuando se obtienen los niveles de energía de la versión relativista de la mecánica cuántica resultan conjuntos positivos y negativos; el mayor nivel negativo es menor al menor nivel positivo; según la teoría atómica, el electrón debe caer al nivel más bajo ¿por qué entonces no caían todos los electrones al nivel negativo? porque ya estaban llenos. Si ya había electrones allí ¿por qué no suministrarles la energía necesaria para que saltaran a un nivel positivo?Para que un electrón salte de un peldaño -mc² a uno +mc² se necesita energía 2mc², que para el electrón es aproximadamente 1 Mev (la energía de un rayo gamma aprox). El electrón creado es común y corriente, pero habrá dejado un hueco en el conjunto negativo; un hueco como estos deberá comportarse como una partícula cargada positivamente y con la misma masa del electrón. Dirac afirmo erróneamente que esta partícula era el protón a finales de los años 20. Pero un científico llamado Carl Anderson descubrió por accidente, en un experimento de rayos cósmicos, una partícula con la misma masa del electrón pero de carga positiva. Esta partícula fue llamada positrón.Luego se fueron descubriendo más antipartículas asociadas a partículas específicas, lo cual llegó a la conclusión que toda partícula creada genera una antipartícula (cualquier partícula tiene asociada una antipartícula).InterpretacionesLa interpretación de CopenhaguePara muchos físicos de la época el principio de incertidumbre fue una habitación oscura en la cual no se podía caminar con seguridad; sin embargo para unos cuantos, fue la pieza que faltaba para que todo el sistema fuera completo y coherente. Bohr fue uno de estos hombres, y en 1927 en una conferencia en Italia presentó la idea de complementariedad, y lo que es conocido como interpretación de Copenhague.Bohr señaló que mientras en la física clásica un sistema puede considerarse como un mecanismo de relojería, en mecánica cuántica el observador interactúa con el sistema, haciendo que el último pueda considerarse como algo no independiente: si se realiza un experimento para medir la posición de una partícula se la obliga a que halla incertidumbre en su velocidad, y si lo que se obtiene no es la posición sino su velocidad, se la obliga a que halla incertidumbre en su posición, luego el observador hace parte del experimento y la mera detección lo modifica todo; el primero de estos experimentos muestra las propiedades corpusculares del sistema, mientras que el segundo muestra las propiedades ondulatorias del mismo; así pues, nunca, mediante un experimento podrán conocerse las propiedades corpusculares y ondulatorias de un sistema a la vez (se dice que la relatividad es una teoría clásica puesto que permite conocer posición y velocidad en el espacio-tiempo a la vez). Toda la información sobre el sistema la proporciona el experimento, y como el observador ha intervenido en éste, no puede decirse algo sobre el comportamiento de este sistema cuando no se lo observa, sólo pueden obtenerse las probabilidades de que un suceso se dé; por ejemplo, los saltos cuánticos en el átomo son una interpretación de por qué se

obtienen dos resultados diferentes del mismo experimento, no pude saberse que hay entre salto y salto;No se tiene ni idea de lo que hace una partícula cuando no se la observa, entonces podría decirse que no existe mientras no se la observe; el núcleo atómico no existe, no existen las partículas: "nada es real".Richard Feynman, uno de los desarrolladores de la electrodinámica cuántica, presentó, por medio de un experimento imaginario, algunas implicaciones a las que se llegaría con la interpretación de Bohr:si realizáramos el experimento de la rendija, con el que Yuog demostró las propiedades ondulatorias de la luz, usando partículas, los patrones de interferencia nos llevarían a deducir las propiedades ondulatorias de éstas. Cuando se trata de una onda, como una ola por ejemplo, esta onda pasa por los dos agujeros de difracción, pero si hablamos de partículas como electrones o fotones ¿cuál partícula pasa por cuál agujero? Imaginemos un montaje en el que se tiene la rejilla de difracción, un detector de partículas (de electrones por ejemplo) y un cañón de partículas.Asumamos electrones: el cañón se pone en funcionamiento, los electrones pasan a través de la rejilla y producen patrones de interferencia; Ahora bien, si reducimos la cantidad de electrones disparados por segundo de forma que sólo uno pase por la rejilla, este electrón produce patrones de interferencia, pero ¿por dónde pasó el electrón? ¿por cuál de los dos agujeros? Si tapamos uno de los dos agujeros el electrón no produce interferencia, y si colocáramos un detector en los agujeros para saber por dónde pasa el electrón tampoco se obtendría la interferencia (ocurriría lo mismo si no es uno sino varios los electrones); entonces ¿sabe el electrón desde un principio que están intentando detectarlo? "Sí". Bien, entonces engañemos al electrón ¿cómo? Cuando sea disparado tapemos un agujero. Aún así, el electrón no produce interferencia ¿Qué está pasando entonces?Cuando tratamos de detectar el electrón estamos interviniendo en él buscando saber su posición, lo que significa que este electrón muestre propiedades corpusculares (y halla incertidumbre en su velocidad), se "materialice" y no halla interferencia; tapar un agujero o saber por dónde pasa el electrón es tener certidumbre sobre su posición. Si dejamos que el electrón "continúe en paz" su camino, como no sabemos algo de su posición, éste se comporta como una onda produce interferencia. Es como si el electrón se "enterara de todo".En probabilidades esto significa: hay dos agujeros, en cada uno hay probabilidades de que el electrón pase, estas probabilidades generan la interferencia; Si se tapara un agujero o si se detectara el electrón, las probabilidades se reducirían a un sólo agujero y ya no habría interferencia, esto equivale a decir: al dejar el cañón, el electrón se divide en muchos electrones llamados electrones fantasmas, estos muchos electrones producen la interferencia, pero si se detecta la posición del sistema, los electrones fantasmas se materializan en un solo electrón rompiendo la interferencia y produciendo lo que se llama colapso de función de onda, es decir: ya no hay onda. También, si el electrón deja de observarse, se desdobla en fantasmas de nuevo.Aquí se entiende mejor por qué la onda asociada a un cuerpo material es la probabilidad de encontrarlo en un sitio dado: pues si es la probabilidad de encontrarlo, no se conoce su posición, y si no se conoce su posición presenta propiedades ondulatorias.

Otra interpretación: los múltiples mundosBohr también dio una interpretación al experimento de la rendija:Supóngase una partícula la cual tiene dos posibilidades: pasar por el agujero A o por el B, estos agujeros pueden interpretarse como dos mundos; por un mundo la partícula pasa por el agujero A, y por el otro mundo por el B. Nuestro mundo no es alguno de estos dos mundos, sino una "mezcla híbrida" de los dos que genera la interferencia. Pero cuando detectamos por donde pasa el electrón todo se reduce a un sólo mundo: el mundo en donde la partícula pasó por ese agujero, y ya no hay interferencia.A cada partícula se le puede asociar dos mundos en este caso, pero ¿Cuántas partículas hay en el universo?

Paradoja del gato de SchrödingerHacia 1935, Schödinger publicó una paradoja calificada por Einstein como la forma más bonita de mostrar el carácter de incertidumbre en la mecánica cuántica, su carácter incompleto (Einstein nunca aceptó la incertidumbre como una propiedad intrínseca de la naturaleza).Los fenómenos radiactivos son completamente aleatorios, y sólo pueden expresarse en términos de probabilidades. Supóngase que se tiene una caja en la cual se ha metido un gato, una botella con cianuro, un material radiactivo y un detector de partículas; el experimento está diseñado de forma tal de que el detector esté conectado a la botella, para que cuando reciba radiación del material rompa la botella y mate al gato. Todo el sistema, se monta de forma de que halla un 50% de posibilidad que un núcleo atómico se desintegre; la caja se cierra. No es posible saber si el gato está vivo o no; la única manera de

saberlo es si se abre la caja y se observa al gato, pues, como se dijo, la desintegración radiactiva es aleatoria, y para el experimento hay tantas posibilidades de que el gato muera como de que viva.Así pues, puede interpretarse esto como si el gato tuviera tantas probabilidades de vivir como de morir, esto genera una interferencia, que se rompe cuando se abre la caja (colapso de onda) y las probabilidades se reducen a una. Desde el punto de vista de los otros mundos, existen dos mundos: uno donde el gato está vivo y otro donde está muerto. Pero se está en un mundo híbrido donde el gato está vivo y muerto, esto genera la interferencia; cuando se abre la caja ya sólo se opta por un mundo, o donde el gato vive o donde muere, y se rompe la interferencia.Referencias bibliográficasGRIBBIN, JHON. En Busca del Gato de Schrödinger. Biblioteca Científica Salvat. 1986.HAWKING, Stephen. Historia del Tiempo. Editorial Crítica. Bogotá. 1988. 

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Relación de indeterminación de HeisenbergEn mecánica cuántica, la relación de indeterminación de Heisenberg o principio de incertidumbre establece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes físicas sean conocidas con precisión arbitraria. Sucintamente, afirma que no se puede determinar, en términos de la física cuántica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, la posición y el momento lineal (cantidad de movimiento) de un objeto dado. En otras palabras, cuanta mayor certeza se busca en determinar la posición de una partícula, menos se conoce su cantidad de movimientos lineales y, por tanto, su masa y velocidad. Este principio fue enunciado por Werner Heisenberg en 1925.

El principio de indeterminación no tiene un análogo clásico y define una de las diferencias fundamentales entre física clásica y física cuántica. Desde un punto de vista lógico es una consecuencia de axiomas corrientes de la mecánica cuántica y por tanto estrictamente se deduce de los mismos.

Explicación cualitativa del principio de incertidumbreLa explicación "divulgativa" tradicional del principio de incertidumbre afirma que las variables dinámicas como posición, momento angular, momento lineal, etc. se definen de manera operacional, esto es, en términos relativos al procedimiento experimental por medio del cual son medidas: la posición se definirá con respecto a un sistema de referencia determinado, definiendo el instrumento de medida empleado y el modo en que tal instrumento se usa (por ejemplo, midiendo con una regla la distancia que hay de tal punto a la referencias ).

Sin embargo, cuando se examinan los procedimientos experimentales por medio de los cuales podrían medirse tales variables en microfísica, resulta que la medida siempre acabará perturbada por el propio sistema de medición. En efecto, si por ejemplo pensamos en lo que sería la medida de la posición y velocidad de un electrón, para realizar la medida (para poder "ver" de algún modo el electrón) es necesario que un fotón de luz choque con el electrón, con lo cual está modificando su posición y velocidad; es decir, por el mismo hecho de realizar la medida, el experimentador modifica los datos de algún modo, introduciendo un error que es imposible de reducir a cero, por muy perfectos que sean nuestros instrumentos.

Esta descripción cualitativa del principio, sin ser totalmente incorrecta, es engañosa en tanto que omite el principal aspecto del principio de incertidumbre: el principio de incertidumbre establece un límite más allá del cuál los conceptos de la física clásica no se

pueden emplear. La física clásica concibe sistemas físicos descritos por medio de variables perfectamente definidas en el tiempo (velocidad, posición,...) y que en principio pueden conocerse con la precisión que se desee. Aunque en la práctica resultara imposible determinar la posición de una partícula con una precisión infinitesimal, la física clásica concibe tal precisión como alcanzable: es posible y perfectamente concebible afirmar que tal o cual partícula, en el instante de tiempo exacto 2 s, estaba en la posición exacta 1,57 m. En cambio, el principio de incertidumbre, al afirmar que existe un límite fundamental a la precisión de la medida, en realidad está indicando que si un sistema físico real se describe en términos de la física clásica, entonces se está haciendo una aproximación, y la relación de incertidumbre nos indica la calidad de esa aproximación.

Por motivos culturales y educativos, las personas se suelen enfrentar al principio de incertidumbre por primera vez estando condicionadas por el determinismo de la física clásica. En ella, la posición   de una partícula puede ser definida como una función

continua en el tiempo,  . Si la masa de esa partícula es   y se mueve a velocidades suficientemente inferiores a la de la luz, entonces el momento lineal de la partícula se define como masa por velocidad, siendo la velocidad la primera derivada en el

tiempo de la posición:  .

Dicho esto, atendiendo a la explicación habitual del principio de incertidumbre, podría resultar tentador creer que la relación de incertidumbre simplemente establece una limitación sobre nuestra capacidad de medida que nos impide conocer con precisión

arbitraria la posición inicial   y el momento lineal inicial   . Ocurre que si

pudiéramos conocer   y   , entonces la física clásica nos ofrecería la posición y la velocidad de la partícula en cualquier otro instante; la solución general de las ecuaciones

de movimiento dependerá invariablemente de   y   . Esto es, resolver las ecuaciones del movimiento lleva a una familia o conjunto de trayectorias dependientes

de   y   ; según qué valor tomen   y   , se tendrá una trayectoria dentro de esa familia u otra, pero la propia resolución de las ecuaciones limita el número de trayectorias a un conjunto determinado de ellas. Según se ha razonado, de acuerdo con el

principio de incertidumbre   y   no se pueden conocer exactamente, así que

tampoco podrán conocerse   y   en cualquier otro instante con una precisión arbitraria, y la trayectoria que seguirá la partícula no podrá conocerse de manera absolutamente exacta. Este razonamiento es, sin embargo, incorrecto, pues en él subyace

la idea de que, pese a que   y   no se pueden conocer exactamente, es posible continuar usando la descripción clásica en virtud de la cual una partícula seguirá una trayectoria definida por la solución general de las ecuaciones de movimiento, introduciendo

la noción añadida de que las condiciones iniciales   y   no pueden conocerse al detalle: esto es, no podemos conocer exactamente qué trayectoria va a seguir la partícula, pero estaremos aceptando que, de facto, va a seguir una.

Esta forma de proceder es, sin embargo, totalmente incorrecta: el principio de incertidumbre conlleva un desvío completo de las concepciones clásicas, haciendo que la noción clásica de trayectoria debe ser desechada: preguntar cuáles son simultáneamente

los valores de   y   es un absurdo. Así dicho, podría resultar paradójico que primero se establezca una relación de incertidumbre en términos de posición   y momento lineal   , para luego afirmar que   y   , que aparecen en dicha relación, no tienen sentido: si no tienen sentido, ¿qué sentido puede tener una relación que las emplee? Ocurre que, en física cuántica, es posible introducir una serie de entidades matemáticas   y   que se correspondan en muchos aspectos con la posición y el momento clásicos. Dichas entidades no son, no obstante, exactamente iguales a la posición y el momento clásicos: el principio de incertidumbre sencillamente indica que si interpretamos esas entidades como

posición y momento lineal -y por tanto interpretamos el movimiento de una forma clásica-, entonces existe un límite fundamental en la precisión con que dichas variables pueden ser conocidas; esto es, si intentamos introducir variables clásicas e intentamos interpretar el movimiento de forma clásica, la precisión con que estas variables pueden ser especificadas está limitada.

Consecuencias de la relación de indeterminaciónEste principio supone un cambio básico en la naturaleza de la física, ya que se pasa de un conocimiento absolutamente preciso en teoría (aunque no en el conocimiento basado sólo en probabilidades). Aunque debido a la pequeñez de la constante de Planck, en el mundo macroscópico la indeterminación cuántica es casi siempre completamente despreciable, y los resultados de las teorías físicas deterministas, como la teoría de la relatividad, siguen teniendo validez en todos casos prácticos de interés.

Las partículas, en mecánica cuántica, no siguen trayectorias definidas. No es posible conocer exactamente el valor de todas las magnitudes físicas que describen el estado de movimiento de la partícula en ningún momento, sino sólo una distribución estadística. Por lo tanto no es posible asignar una trayectoria a una partícula. Sí se puede decir que hay una determinada probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada región del espacio en un momento determinado.

Comúnmente se considera que el carácter probabilístico de la mecánica cuántica invalida el determinismo científico. Sin embargo, existen varias interpretaciones de la mecánica cuántica y no todas llegan a esta conclusión. Según puntualiza Stephen Hawking, la mecánica cuántica es determinista en sí misma, y es posible que la aparente indeterminación se deba a que realmente no existen posiciones y velocidades de partículas, sino sólo ondas. Los físicos cuánticos intentarían entonces ajustar las ondas a nuestras ideas preconcebidas de posiciones y velocidades. La inadecuación de estos conceptos sería la causa de la aparente impredecibilidad. Otros fenómenos deducibles o conectados con el principio de indeterminación de Heisenberg son:

Efecto túnel Energía del punto cero Existencia de partículas virtuales Energía del vacío  e inexistencia del vacío absoluto. Radiación de Hawking  e inestabilidad de agujeros negros

Enunciado matemáticoSi se preparan varias copias idénticas de un sistema en un estado determinado, como puede ser un átomo, las medidas de la posición y de la cantidad de movimiento variarán de acuerdo con una cierta distribución de probabilidad característica del estado cuántico del sistema. Las medidas del objeto observable sufrirán desviación estándar Δx de la posición y el momento Δp. Verifican entonces el principio de indeterminación que se expresa matemáticamente como:

donde la h es la constante de Planck (para simplificar,   suele escribirse como   )

El valor conocido de la constante de Planck es:

En la física de sistemas clásicos esta indeterminación de la posición-momento no se manifiesta puesto que se aplica a estados cuánticos del átomo y h es extremadamente pequeño. Una de las formas alternativas del principio de indeterminación más conocida es la indeterminación tiempo-energía que puede escribirse como:

Esta forma es la que se utiliza en mecánica cuántica para explorar las consecuencias de la formación de partículas virtuales, utilizadas para estudiar los estados intermedios de una interacción. Esta forma del principio de indeterminación es también la utilizada para estudiar el concepto de energía del vacío.

Expresión general de la relación de indeterminación

Además de las dos formas anteriores existen otras desigualdades como la que afecta a las componentes Ji del momento angular total de un sistema:

Donde i, j, k son distintos y Ji denota la componente del momento angular a lo largo del eje xi.

Más generalmente si en un sistema cuántico existen dos magnitudes

físicas a y b representadas por los operadores u observables denotados como  , en general no será posible preparar una colección de sistemas todos ellos en el estado  , donde las desviaciones estándar de las medidas de a y b no satisfagan la condición:

Demostración

La expresión general de la relación de indeterminación se deduce de los postulados I y III de la mecánica cuántica. La demostración más particular de que existen magnitudes que no pueden conocerse con precisión arbitraria usa también y de manera crítica el postulado VI.

Para probar el principio de indeterminación de Heisenberg supongamos dos observables   y   cualesquiera y supongamos un estado   tal que  . En esa situación puede demostrarse que:

(1)

Donde:

, la "incertidumbre" medida como desviación

estándar del valor de una medida sobre el estado  .

, el conmutador de ambos observables.

Definiendo a partir de   y  , los operadores autoadjuntos:

Se puede construir la función real:

Y desarrollando el producto escalar anterior:

(2)

Teniendo en cuenta que:

1.

2.

3.

La ecuación (2) puede ser reescrita como:

(3)

Como   es un operador hermítico los coeficientes de la función polinómica anterior son reales, y como la expresión anterior es real para todo valor de   necesariamente eldiscriminante del polinomio asociado debe ser negativo:

(4)

Reordenando y obteniendo raíces cuadradas en la ecuación anterior se obtiene precisamente la ecuación (1). Si se particulariza la ecuación (1) tomando  :

Estimación de la energía de niveles fundamentalesMediante el principio de incertidumbre es posible estimar la energía del punto cero de algunos sistemas. Para ello supondremos que en tales sistemas el punto cero cumple que la partícula estaría clásicamente en reposo (a nivel cuántico significa que el valor esperado del momento es nulo). Este método del cálculo de energías tan solo da una idea del orden de magnitud del estado fundamental, nunca siendo un método de cálculo del valor exacto (en algún sistema puede resultar que el valor obtenido sea el exacto pero ello no deja de ser más que una simple casualidad). La interpretación física del método es que debido al principio de incertidumbre, la localización de la partícula tiene un coste energético (el término de la energía cinética), de modo que cuanto más cerca del centro de fuerzas esté la partícula más energía tendrá el sistema debido a las fluctuaciones cuánticas, de modo que en el nivel fundamental el sistema minimizará su energía total.

Partícula en un potencial culombiano

A continuación se estimará la energía fundamental de un átomo monoelectrónico. Por el principio de indeterminación se tiene que:

Empleando como estimación que para el nivel fundamental se cumple:

La energía total es la suma de cinética más potencial. Dado que el valor medio del momento radial es nulo, su valor cuadrático esperado será igual a su desviación y se aproximará el valor esperado del inverso del radio al inverso de su desviación.

En el nivel fundamental la energía ha de ser mínima de modo que:

El valor obtenido es casualmente idéntico al radio de Bohr y sustituyendo en la estimación obtenida para la energía se obtiene:

Casualmente este es exactamente la energía del estado fundamental de un átomo hidrogenoide. El objetivo del método es la estimación del valor, si bien en este ejemplo particular obtenido es idéntico al calculado formalmente.

Oscilador armónico unidimensional

Empleando como estimación:

Tomando que el valor medio de la posición y momento son nulos debido a la simetría del problema se tiene que la energía total es:

Minimizando la energía:

Sustituyendo el valor en la energía se obtiene:

Como se puede observar el valor obtenido es el doble del punto cero del oscilador armónico, de modo que aunque el valor obtenido no sea exacto el orden de magnitud sí es el correcto.

Partícula en un pozo

Sea una partícula que se encuentra confinada en un pozo infinito de anchura 2a. Dado que las únicas posiciones posibles de la partícula se encuentran dentro del pozo se puede estimar que:

La energía cinética será por tanto:

Como se observa el resultado obtenido difiere en un factor algo superior a 2 del valor real, pero de nuevo el orden de magnitud es el correcto. Este cálculo da una idea de las

energías que hay que aportar para confinar una cierta párticula en una región, tal como puede ser un nucleón en el núcleo.

Hipótesis de De Broglie

Tradicionalmente, los electrones se habían considerado como partículas, y por tanto un haz de electrones sería algo claramente distinto de una onda. 

Louis de Broglie propuso (1923) eliminar esta distinción: un haz de partículas y una onda son esencialmente el mismo fenómeno; simplemente, dependiendo del experimento que realicemos, observaremos un haz de partículas u observaremos una onda. Así, el electrón posee una longitud de onda (que es un parámetro totalmente característico de las ondas).

Esta idea, que en un principio era una simple propuesta teórica, fue confirmada experimentalmente en 1927, cuando se consiguió que haces de electrones experimentasen un fenómeno muy característico de las ondas: la distorsión de la onda al atravesar una rendija muy estrecha (difracción).

 

La energía correspondiente a un fotón viene dada por la ecuación:

E = h f = h c/   

Teniendo en cuenta la ecuación de Einstein:

E = m c2

Al fotón, considerado como partícula, le correspondería un momento lineal que va a estar relacionado con su longitud de onda y se puede deducir de las expresiones anteriores:

h c/m c2

= h / mc

De Broglie, asignó a las partículas una onda asociada cuya longitud de onda viene dada por la siguiente expresión:

= h / mv