Introducción Mecánica Cuántica

Introducción A fines del siglo XIX y durante el primer cuarto del XX se acumulo cierta evidencia experimental de la interacción de la radiación electromagnética con

la materia que no estaba claramente de acuerdo con las leyes del electromagnetismo, sintetizadas en las ecuaciones de Maxwell. Al mismo tiempo se

estaba desarrollando la teoría de la estructura atómica de la materia, principalmente como resultado del descubrimiento del electrón y de la confirmación del modelo nuclear para el átomo. Otra serie de experimentos obligó a los físicos a revisar sus conceptos sobre el movimiento de partículas subatómicas,

ya que aparentemente no se movían exactamente de acuerdo con las suposiciones de la mecánica newtoniana. Para explicar las nuevas observaciones,

varios físicos incorporaron, más o menos empíricamente, una serie de de nuevas ideas. Con el correr del tiempo, y gracias a los esfuerzos de muchos

científicos, estas ideas evolucionaron hasta constituir lo que hoy día se conoce como teoría cuántica. En este capítulo se revisarán las bases experimentales más importantes de la física cuántica.

En el transcurso de un intento afortunado de encontrar la solución al problema que presentaba la discrepancia entre el espectro experimental de la

radiación térmica (cuerpo negro) y las predicciones de la teoría clásica, Planck llegó a la conclusión de que la energía de un sistema que efectúa

oscilaciones armónicas simples, sólo puede ser un múltiplo entero de una cierta cantidad finita de energía (1901). Einstein aplico una idea semejante al explicar el efecto fotoeléctrico (1905) y Bohr en una teoría que predecía con gran precisión muchas de las características del complejo espectro atómico

(1913). El trabajo de estos tres físicos y los desarrollos subsiguientes de De Broglie, Schrödinger y Heisenberg (hacia 1925) constituye lo que se conoce

como teoría cuántica.

Se tratarán dos fenómenos, el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton cuya interpretación fue crucial en el desarrollo de la teoría cuántica. Estos fenómenos comprenden la interacción de la radiación electromagnética con la materia –específicamente con los electrones que contiene.

La emisión de electrones por el cátodo metálico del tubo de rayos catódicos o el efecto fotoeléctrico, es un indicio de la presencia de electrones en los

átomos que forman el cátodo. Entonces, es razonable suponer que esto es cierto para cualquier átomo. La hipótesis es atractiva, pues conduce a una

imagen simple de un átomo positivamente ionizado, como al que le han extraído uno o varios electrones. Dado que en su estado normal los átomos son neutros, debe contener una carga positiva de magnitud igual a la de los electrones que normalmente contiene.

En la interacción de la radiación electromagnética con la materia los fotones tienen una función crítica. La dispersión por parte de electrones, ya sean

ligados o libres, se absorbe un fotón y se emite otro con la misma energía o con una distinta. En otros casos se absorbe por completo el fotón, como en el

efecto fotoeléctrico. Como consecuencia, el sistema pasa a un estado de mayor energía o más excitado. Al contrario, un sistema que está en un estado excitado puede liberar el exceso de energía en forma de fotón y pasar a un estado de menor energía. Se verá como se explican los espectros de emisión y

absorción haciendo uso del concepto de fotón.

El movimiento de los cuerpos que se observa a nuestro alrededor puede describirse en términos de reglas generales basadas en la evidencia experimental.

Tales reglas o principios son: (1) la conservación del momentum; (2) la conservación del momentum angular; y (3) la conservación de la energía. Con base en estas leyes de conservación, se desarrolló en el siglo XIX el formalismo conocido como mecánica clásica, suponiendo que las partículas están

localizadas en el espacio y que pueden ser observadas sin perturbar notablemente su comportamiento. Sin embargo, cuando la mecánica clásica se aplica

al movimiento de los constituyentes básicos de la materia, tales como electrones y átomos, los resultados son sólo aproximados y, en algunos casos,

completamente inadecuados. Como resultado de la evidencia experimental, se han incorporado varios conceptos y métodos nuevos y revolucionarios para la descripción del comportamiento de la materia en niveles atómicos y subatómicos. Aunque las leyes de conservación siguen siendo válidas, ya no se

puede aplicar la descripción detallada del movimiento de las partículas en el sentido de la mecánica de Newton. La cuantización de la energía y de otras

cantidades físicas es otra idea que no aparece en la mecánica clásica, y una teoría satisfactoria debe contener información acerca de los valores permitidos

de tales cantidades. La interacción de la radiación y la materia mediante la absorción o emisión de fotones es otro aspecto que debe introducirse.

El nuevo formalismo, conocido como mecánica cuántica, fue el resultado del trabajo original de Louis de Broglie (1892-1987), Erwin Schrödinger (1887-

1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Max Born (1882-1970), Albert Einstein (1879-1955) y otros que lo desarrollaron en la

década de los veinte. La mecánica cuántica es esencial para entender el comportamiento de los constituyentes fundamentales de la materia.

El desarrollo de la teoría de la mecánica cuántica se inició con una idea que, aunque simple, es de una extrema importancia— expuesta por De Broglie en su tesis doctoral (1924). Su línea de pensamiento fue aproximadamente la siguiente: en la física clásica se considera que la radiación electromagnética es

un fenómeno netamente de propagación ondulatoria. Por otra parte, las investigaciones de Einstein y Compton muestran que en ciertas circunstancias

manifiesta una naturaleza característica de las partículas (cuantos). Al ser éste el caso, ¿no será cierto que entidades físicas que consideramos como

partículas (electrones, partículas alfas, bolas de billar, etc.), bajo ciertas condiciones manifestarán una naturaleza característica de las ondas? Cuando se investiga la interacción de la radiación con la materia se pone de manifiesto la naturaleza corpuscular de la radiación electromagnética,

mientras que su naturaleza ondulatoria se revela cuando se considera la forma en que se propaga. La situación puede describirse indistintamente diciendo

que la radiación electromagnética es una onda que al interaccionar con la materia manifiesta un comportamiento corpuscular, o bien, que consta de

partículas cuyo movimiento está determinado por las propiedades de propagación de ciertas ondas que le están asociadas. En cierta medida sería ingenuo sugerir que deba hacerse una elección. Aceptando tentativamente la segunda alternativa y guiado por la analogía, De Broglie examinó las características

ondulatorias de las partículas en términos de algún aspecto de propagación ondulatoria en su movimiento. Examinó la idea de que el movimiento de

una partícula está gobernado por la propagación ondulatoria de ciertas ondas piloto (según su terminología) asociadas con la partícula.

Werner Heisenberg fue uno de los principales contribuyentes al desarrollo inicial de la mecánica cuántica, en la década de los Veinte. En 1927 formuló el principio de incertidumbre, que establece un límite, inherente a la naturaleza, en la precisión con la que es posible medir simultáneamente la posición

y el momentum de una partícula. El principio de incertidumbre demostró que el punto de vista clásico de las partículas atómicas tenía que ser sustituido

por un planteamiento mecánico-cuántico.

Radiación del cuerpo negro. Análisis de las transiciones espontáneas y estimuladas

Transiciones radiativas espontáneas y estimuladas

Un sistema ligado de cargas eléctricas, como es el caso de átomos, moléculas, sólidos o núcleos, que se halle en un nivel de energía

excitado, puede pasar a un nivel de menor energía de manera espontánea (Fig. (a)), pero si se encuentra presente radiación de la

frecuencia apropiada, el sistema puede ser inducido o estimulado a pasar al nivel inferior (Fig. (b)). En cualquier caso, el sistema emite

radiación (un fotón).

La transición de un sistema de un nivel de energía menor a uno mayor con la absorción de energía (Fig. (c)) es también una transición

inducida ya que puede darse sólo en presencia de radiación electromagnética de la frecuencia apropiada, de manera que el sistema pueda

absorber la energía de un fotón. Las transiciones de absorción pueden producirse también en colisiones inelásticas.

La probabilidad de emisión espontánea de radiación depende únicamente de la estructura interna del sistema. Por otro lado, la emisión o

absorción inducida de radiación es producida por el campo electromagnético de la radiación que incide sobre el sistema. Por tanto, la

probabilidad de una transición inducida depende de la intensidad de la radiación, además de la estructura interna del sistema.

Transiciones radiativas: a) Emisión espontánea; b) emisión inducida; c) absorción inducida. En todos los casos h = E2 - E1.

Hasta cierto punto, las transiciones inducidas pueden considerarse como oscilaciones forzadas del sistema y, por consiguiente, pueden

tener una diferencia de fase fija con respecto a la radiación incidente. Esto significa que en el caso de la emisión inducida, todos los

sistemas emiten en fase con la radiación incidente, produciendo una radiación monocromática coherente. Por otro lado, las transiciones

de emisión espontáneas ocurren al azar, dando como resultado una que, aunque monocromática, es incoherente.

Radiación del cuerpo negro Se considera una cavidad cuyas paredes están a cierta temperatura. Los átomos del material que compone las paredes emiten radiación

electromagnética y al mismo tiempo absorben la emitida por otros átomos de la pared. El campo de radiación electromagnética ocupa la

cavidad entera. Cuando la radiación atrapada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las paredes, la cantidad de

energía que emiten los átomos por unidad de tiempo es la misma que la absorbida por ellos. En consecuencia, cuando la radiación de la

cavidad está en equilibrio con las paredes, la densidad de energía del campo electromagnético es constante.

Figura 1. La apertura hacia la cavidad existente en el interior de un objeto hueco es una buena aproximación de lo que es un cuerpo negro. La luz penetra

por el pequeño orificio e incide sobre las paredes interiores, donde una parte absorbida y otra es reflejada en ángulos aleatorios. Las paredes de la cavidad

vuelven a radiar con longitudes de onda correspondientes a su temperatura, produciendo ondas estacionarias dentro de la cavidad. Parte de la energía proveniente de estas ondas estacionarias pueden abandonar la cavidad a través del orificio.

Los experimentos muestran que, en el equilibrio, la radiación electromagnética atrapada tiene una distribución de energías bien definida;

es decir, a cada frecuencia corresponde una densidad de energía que sólo depende de la temperatura de las paredes y es independiente de

su material. La densidad de energía correspondiente a una radiación cuya frecuencia está entre f y f + df se escribe como E(f) df, donde

E(f) es la densidad de energía por unidad de intervalo de frecuencia, en ocasiones llamada densidad de energía monocromática. En la

figura siguiente se muestra la variación observada de E(f) con la frecuencia, para dos temperaturas. En las curvas se puede ver que para

cada temperatura la densidad de energía muestra un máximo pronunciado a una cierta frecuencia o longitud de onda. La frecuencia a la

que la densidad de energía es máxima aumenta (o la longitud de onda disminuye) a medida que aumenta la temperatura. Esto explica el

cambio de color de un cuerpo radiante conforme cambia su temperatura.

Si se abre un pequeño agujero en una de las paredes de la cavidad, algo de la radiación escapa y puede ser analizada sin perturbar el

equilibrio térmico de la cavidad. El agujero aparece muy brillante cuando el cuerpo está a altas temperaturas y la intensidad de la

radiación de equilibrio dentro de la cavidad es alta, pero aparece completamente negro a bajas temperaturas, cuando la intensidad de la

radiación de equilibrio es despreciable en la región visible del espectro. Por tal razón la radiación que sale de la cavidad fue llamada

radiación de cuerpo negro por los primeros científicos que la analizaron en el siglo XIX.

El problema de explicar cómo los átomos producen la distribución de energía observada de la radiación de cuerpo negro condujo a la

formulación de la teoría cuántica. A fines del siglo XIX, todos los intentos por explicar la distribución de energía de cuerpo negro

mediante los conceptos aceptables en la época fallaron por completo. Max Planck (1858-1947) sugirió que si la radiación de la cavidad

estaba en equilibrio con los átomos de las paredes, debería existir una correspondencia entre la distribución de energía de la radiación y las

energías de los átomos de la cavidad. Como modelo de los átomos radiantes, Planck supuso que

los átomos se comportan como osciladores armónicos que absorben o emiten energía de radiación solamente en cantidades

proporcionales a su frecuencia .

Si E es la energía absorbida o emitida en un solo proceso de interacción de un oscilador con la radiación electromagnética, entonces,

según la suposición de Planck, E = hf, donde h es una constante de proporcionalidad, igual para todos los osciladores sin importar su

frecuencia. Así, cuando un oscilador absorbe o emite radiación electromagnética, su energía aumenta o disminuye en la cantidad hf. La

sugerencia de Planck implica que

la energía de los osciladores atómicos está cuantizada.

Figura 2. Densidad de energía monocromática de radiación de cuerpo negro a diferentes temperaturas como función de la frecuencia.

Esto es, la energía de un oscilador de frecuencia y puede tener sólo ciertos valores: 0, hf, 2hf, 3hf, ... (suponiendo que la mínima energía

del oscilador es cero). Así, en general, los valores posibles de la energía de un oscilador de frecuencia son

nE nhf

donde n es un entero positivo. Como ya se sabe, la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de su amplitud y, a priori,

ajustando la amplitud de las oscilaciones, se puede hacer que un oscilador de una frecuencia dada tenga cualquier energía deseada. Por

tanto, la idea de Planck fue una suposición ad hoc que podía justificarse sólo porque ―funcionaba‖ y porque en aquella época (1900) no

había una mejor explicación. En la actualidad se reconoce que la cuantización de algunas cantidades físicas es un hecho fundamental de la

naturaleza.

Aplicando algunas consideraciones de naturaleza estadística, y usando la ley de distribución de Maxwell-Boltzmann, E kT

EN Ae (k =

1,3806504 10-23

J/K, es la constante de Boltzmann), junto con En = nhf, Planck obtuvo la densidad de energía de la radiación de cuerpo

negro como 3 3

3

8 1 J mHz1hf kT

hfE f

c e

Esta expresión, que concuerda sorprendentemente bien con los valores experimentales de E(f) a diferentes temperaturas, ha sido aceptada

como la expresión correcta para la radiación de cuerpo negro. Se conoce como ley de radiación de Planck.

Como la constante h en la ecuación fue introducida por Planck, se llama constante de Planck. Al hacer que la ecuación concordara con los

valores experimentales para E(f), Planck obtuvo primero el valor de h = 6.6256 10-34

J s, que concuerda con los valores obtenidos años

más tarde a partir de los efectos fotoeléctrico y Compton y de los espectros atómicos y moleculares.

En realidad, Planck obtuvo esta ecuación de manera empírica, como la expresión matemática que mejor se adaptaba a la distribución

experimental de energía que se muestra en la figura de arriba, y después buscó una explicación teórica basada en la cuantización de la

energía. Más adelante, Einstein y otros perfeccionaron la derivación de Planck.

La obtención de una Ley de distribución:

A finales del siglo XIX era un problema crucial en la Física explicar la radiación emitida por un cuerpo caliente. Se sabía, en definitiva,

que la intensidad de dicha radiación aumenta con la longitud de onda hasta un valor máximo y, a continuación, disminuye al aumentar la

longitud de onda. También se conocía que el origen de esa radiación radica en las vibraciones de los átomos del cuerpo caliente que se

comportaban como resonadores armónicos en toda la gama de frecuencias. Para el caso del cuerpo negro, emisor perfecto, que absorbe

toda la radiación que recibe, la termodinámica habría de ser capaz de conseguir una expresión teórica.

La Ley de Distribución de Wien:

El físico Wilheim Wein había dado en 1896 su ley de distribución de intensidad o emisividad, bastante aceptable para pequeñas longitudes

de onda: 3

2 2

2 W

m

hf kThfI f df e df

c

o, en función de la longitud de onda, haciendo f=c/ , df = (c/2)d , donde I d = - I f df:

2

5 2

2 W

m

hc kThcI d e d

(h: constante de Planck, c: velocidad de la luz en el vacío, k: constante de Boltzman).

La expresión de la densidad de energía electromagnética de equilibrio se expresar por:

3 3

3

J4 8 m,

Hz

hf kThfE f T I f e

c c

o, en función de la longitud de onda, por:

3

5

J4 8 m,

m

hc kThcE T I e

c

La Ley de Distribución Rayleigh-Jeans:

La ley es derivada de argumentos de la física clásica. Lord Rayleigh obtuvo por primera vez el cuarto grado de la dependencia de la

longitud de onda en 1900; una derivación más completa, la cual incluía una constante de proporcionalidad, fue presentada por Rayleigh y

Sir James Jeans en 1905. Ésta agregaba unas medidas experimentales para longitudes de onda. Sin embargo, ésta predecía una producción

de energía que tendía al infinito ya que la longitud de onda se hacía cada vez más pequeña. Esta idea no se soportaba por los experimentos

y la falla se conoció como la catástrofe ultravioleta.

Lord Rayleigh y James Jeans dedujeron una ley capaz de explicar los resultados de longitudes de onda largas, pero predecía que el cuerpo

debería tener una emisión masiva de energía a longitudes de onda cortas. Un sinsentido conocido como ''catástrofe ultravioleta''. La

expresión de la emisividad o intensidad en función de la longitud de onda era:

4 2

2 W

m

kTcI d d

y la densidad de energía electromagnética por unidad de longitud de onda en equilibrio:

4

4 8,

kTE T I

c

La ley de Wien, obtenida a partir de los principios de la Física clásica,

coincide con los resultados experimentales sólo en la zona de las ondas

cortas, mientras que para la zona de las ondas largas estaba en

contradicción con estos resultados.

La Fórmula de Rayleigh-Jeans, deducida basándose en las mismas

consideraciones clásicas, sólo coincide con los resultados experimentales

para la región de las ondas largas, mientras que no se ajusta a la realidad

para la región de las ondas cortas. "Catástrofe Ultravioleta"

La Ley de Distribución de Planck:

El 19 de octubre de 1900 Max Planck presentó en la Sociedad de Física de Berlín un artículo en el que logró explicitar una nueva ley de

distribución que, hasta la fecha, ha resistido todos los hechos experimentales. La ley de Distribución de Planck coincide con la ley de

Distribución de Wien para longitudes de onda cortas y con la ley de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda largas. 3

2

2 1

1hf kT

hfE f df df

c e

o, en función de la longitud de onda, haciendo f=c/ , df = (c/2)d , donde E d = - E f df:

2

5

2 1

1hc kT

hcE d d

e

y la densidad de energía electromagnética en la radiación de equilibrio:

3

5

J4 8 1 mE ,

m1hc kT

hcT I

c e

Radiación cósmica de fondo.

4

Una aplicación interesante de la expresión de Planck para la radiación de cuerpo negro es en el análisis de lo que se conoce como

radiación cósmica de fondo. La existencia de dicha radiación fue propuesta por Ralph Alpher y Robert Herman en 1948. En 1961, Arno

Penzias y Robert Wilson, que se hallaban probando un detector de microondas muy sensible en Bell Telephone Laboratories, en Estados

Unidos, hicieron un descubrimiento inesperado. Encontraron que, sin importar la dirección en la que orientaran el detector, aparecía una

radiación de fondo que siempre tenía la misma intensidad y distribución espectral. Incluso, la radiación era la misma si las mediciones se

hacían de día o de noche, y durante todo el año. Esto demostró que la radiación es independiente de la rotación y movimiento orbital

terrestre y que, por consiguiente, debe provenir de fuera del sistema solar, e incluso de fuera de la galaxia. La distribución espectral se

parece bastante a la radiación de cuerpo negro a una temperatura de 2.7K aproximadamente. Gracias al trabajo de Robert Dicke, James

Peebles y muchos otros, ahora se acepta que la radiación de 2.7K se extiende por todo el universo y es un residuo de la radiación

electromagnética que se produjo poco después de la Gran Explosión, cuando el universo estaba a una temperatura extremadamente alta.

Debido a la expansión del universo y su correspondiente enfriamiento, la radiación electromagnética original se ha desplazado hacia el

rojo o longitudes de onda más grandes, o lo que es equivalente, a temperaturas más bajas.

Hasta hace poco había sido difícil medir, con precisión, el espectro completo de la radiación cósmica de fondo, en particular a longitudes

de onda cortas (es decir, altas frecuencias), debido a la dispersión de la radiación por la atmósfera. Sin embargo, con instrumentos a bordo

de satélites, ha sido posible eliminar los efectos de la atmósfera. En la figura 57 se muestra el espectro de la radiación cósmica de fondo

medida por el espectrómetro absoluto del infrarrojo lejano (Far Infrared Absolute Spectrometem, FIRAS), a bordo del satélite explorador

de la radiación cósmica de fondo (Cosmic Background Explorer, COBE), lanzado en noviembre de 1989. FIRAS tardó sólo 9 minutos de

observación, en dirección cercana al polo norte galáctico, para obtener los datos, los cuales han sido ajustados a un espectro de radiación

de cuerpo negro de Planck correspondiente a 2.726 ±0.005K. La concordancia es excelente en todas las longitudes de onda (o

frecuencias). Éste es un ejemplo de la importancia de la investigación espacial.

Figura 3Espectro de la radiación cósmica de fondo medido por el Faz

Infrared Absolute Spectrometer (FIRAS) que se encuentra a bordo del

satélite Cosmic Background Explorer (COBE). Los datos se han ajustado a la curva de radiación de cuerpo negro a una temperatura de

2.726K.

En realidad la radiación cósmica de fondo no es exactamente isótropa, sino que muestra una ligera asimetría en la dirección del cúmulo de

galaxias Virgo; ésta se atribuye a un efecto Doppler debido al movimiento de nuestra galaxia en esa dirección, con velocidad de 3 106m/s.

A este respecto es posible definir un sistema de referencia ―preferente‖, en el cual la radiación cósmica de fondo sea exactamente isótropa.

Análisis de las transiciones espontáneas y estimuladas. Deducción de la ley de radiación de Planck

Considere una sustancia cuyos átomos o moléculas pueden estar en los estados de energía E1 y E2. Por ejemplo, E1 puede corresponder al

estado fundamental y E2 a uno excitado. Suponga que incide radiación de frecuencia f = (E2 - E1)/h sobre la sustancia. Los átomos en el

estado E1 pueden absorber fotones de energía hf y pasar al estado de mayor energía E2. También, los átomos en el estado E2 pueden emitir

fotones de energía hf y pasar al estado E1, ya sea de manera espontánea o estimulada por la radiación. Si N1 y N2 son el número de átomos

en los estados E1 y E2 en un instante dado, se puede escribir

1

Rapidez de absorción Probabilidad de

de energía absorción estimuladaN

2

Rapidez de emisión Probabilidad de Probabilidad de

de energía emisión espontánea emisión estimuladaN

Las probabilidades de absorción y emisión estimuladas son proporcionales a la intensidad de la radiación. Por otro lado, la probabilidad de

emisión espontánea es independiente de la presencia de radiación. Si la sustancia está en equilibrio térmico, el número de ocupación N2 es

mucho menor que N1. Por tanto, a menos que la intensidad de la radiación sea muy alta o la población del estado de mayor energía se

incremente por algún medio, como se vio en la sección anterior, la absorción predomina sobre la emisión de radiación. Hay una intensidad

de radiación particular para la cual es posible que la absorción iguale a la emisión sin perturbar el equilibrio térmico.

Cuando materia y radiación están en equilibrio térmico no se produce absorción o emisión neta de radiación porque, en promedio, el

número total de transiciones de absorción y emisión es el mismo. Esto significa que si un fotón de la radiación incidente es absorbido por

un átomo que pasa a un estado de mayor energía, otro átomo en el mismo estado excitado pronto emitirá un fotón de la misma energía,

como resultado de una transición de emisión espontánea o estimulada. Así, en promedio, los números de ocupación N1 y N2 permanecen

constantes. Combinando la expresión anterior para la rapidez de absorción y de emisión, el equilibrio térmico entre materia y radiación se

puede expresar mediante la siguiente relación:

2 1

Probabilidad de Probabilidad de Probabilidad de

emisión espontánea emisión estimulada absorción estimuladaN N

Si la sustancia está en equilibrio térmico, los números de ocupación N1 y N2 están determinados por la ley de distribución de Maxwell-

Boltzmann, ecuación

iE kT

i i

Nn e

ZG

Como la frecuencia de la radiación emitida o absorbida está dada por hf = (E2 - E1), se tiene

2 12

1

E E kT hf kTNe e

N

Insertando esta relación, se obtiene

Probabilidad de Probabilidad de Probabilidad de

emisión espontánea emisión estimulada absorción estimulada

hf kTe

que expresa la condición de equilibrio entre materia y radiación de frecuencia a la temperatura T. Mediante las técnicas de la mecánica

cuántica, es posible demostrar que las probabilidades de emisión y de absorción estimuladas son iguales, hecho reconocido por primera

vez por Einstein en 1916. Entonces la ecuación anterior se puede escribir como

Probabilidad de emisión espontánea1

Probabilidad de emisión estimulada

hf kTe

Esta relación muestra que en el extremo de alta frecuencia del espectro de radiación de cuerpo negro, para el cual la energía del fotón hf es

5

mucho mayor que la energía térmica kT (hf/kT >> 1), la emisión espontánea es más importante que la estimulada, mientras que ocurre lo

contrario en el extremo de bajas frecuencias del espectro, para el cual hf/kT << 1.

La relación anterior fue utilizada por Einstein para deducir la distribución de energía de la radiación en equilibrio térmico con la materia a

temperatura T, sin hacer ninguna suposición específica acerca de los osciladores atómicos, como lo hizo originalmente Planck. Para

simplificar la escritura se designa con A12 la probabilidad de emisión espontánea entre los estados 1 y 2. La probabilidad de emisión

estimulada es proporcional a la densidad de energía E(f) de la radiación correspondiente a las frecuencias entre f y f + df. Entonces se

puede designarla con B12 E(f) y la ecuación queda

12 12 12

12

1 o E ,, 1

hf kT

hf kT

A A Be f T

B E f T e

Calculando el cociente A12/B12, lo cual es algo complejo para hacerlo aquí, Einstein obtuvo la ley de radiación de Planck, ecuación, para la

distribución de energía en la radiación de cuerpo negro; esto es

3 3

3

J8 1 m,

m1hf kT

hfE f T

c e

Ejemplo 1: Expresar la densidad de energía monocromática de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda.

Solución: En algunas ocasiones es preferible expresar la densidad de energía monocromática en función de la longitud de onda en vez de

la frecuencia. Se define E conforme a la relación E d = - E f df. El signo menos se debe a que d y df tienen signos opuestos

mientras que E y E f son positivas. Como f = c/ , se tiene 2df d c y 2E E f df d E f c

Reemplazando 3

3

8 1

1hf kT

hfE f

c e y reemplazando f = c/ , se obtiene finalmente

3

5

J m8,

m

1

1hc kT

hcE T

e

En la figura se muestra el gráfico de E( ) para diversas temperaturas. Presenta un pico pronunciado para una longitud de onda que

depende de la temperatura.

Figura 4 Densidad de energía monocromática de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para diversas temperaturas.

Ejemplo 2: Encontrar la longitud de onda para la cual la densidad de energía monocromática de la radiación de cuerpo negro es máxima a

una temperatura dada (Deducción de la Ley de desplazamiento de Wien).

Solución: Usando la ecuación para E( ) y, para simplificar, se hace x = hc/ kT; la expresión de E( ) se convierte entonces en 5 5 5

4 4

8

1x

k T xE x

c h e

Para encontrar el máximo de E( ) se calcula dE/dx y se iguala a cero. La ecuación resultante es

5 5 0xx e

Esta es una ecuación trascendente que se resuelve por aproximaciones sucesivas obteniendo x = 4,9651. Por lo tanto: T = b, donde b =

hc/4,9651k = 2,8976 10-3

m K se denomina constante de desplazamiento de Wien. La expresión

T = b (68)

constituye la ley de desplazamiento de Wien, descubierta en 1896 por Wilhelm Wien. Esta ley establece que los máximos de E( ) a

diferentes temperaturas T1, T2, T3,… ocurren para las longitudes de onda 1, 2, 3, ... tales que

1 1 2 2 3 3T T T

Obsérvese que a medida que la temperatura del cuerpo aumenta, el máximo de su distribución de energía se desplaza hacia longitudes de

onda más cortas, lo cual origina un cambio de color en el cuerpo. La ley de desplazamiento de Wien es por lo tanto muy útil para

determinar la temperatura de cuerpos calientes, como hornos o estrellas, hallando la longitud de onda para la cual la intensidad de la

radiación es máxima.

La ley de Wien también proporciona un método para determinar h en función del valor experimental de b y de su definición en función de

h, c y k dada anteriormente. La compatibilidad de los resultados con otras determinaciones de h es otra prueba de la corrección de la ley de

distribución de Planck.

Ejemplo 3: Obtener la densidad total de energía de la radiación de cuerpo negro en función de la temperatura (deducción de la ley de

Stefan-Boltzmann). El fotón, es parte del gas de la radiación cósmica de fondo, se caracteriza por tener una longitud de onda inversamente proporcional a su energía. Los fotones «calientes» son azules y tienen una longitud de onda corta; los «fríos» son rojos y de longitud de onda larga. En un gas de fotones con muchas

longitudes de onda distintas, la temperatura del gas será la energía media de los fotones que contenga. Así pues, la longitud de onda media de un fotón del

gas es inversamente proporcional a la temperatura del gas. Imaginemos al universo contrayéndose, todos sus fotones cambiarían al azul: disminuiría su

longitud de onda, aumentaría su flujo de energía media de radiación FR y, en consecuencia, aumentaría proporcionalmente a T, su temperatura: FR ~ T. Si se considera un volumen V cualquiera de espacio, ocupado por un gas de fotones, se ve que también se contrae con el espacio. Como un volumen es el

cubo de una longitud y todas las longitudes, y entre ellas las longitudes ondulatorias de los fotones se contraen al aumentar la temperatura, se deduce de

ello que cualquier volumen de espacio decrece al hacerlo el inverso de la temperatura al cubo: V T-3. La densidad energética del gas de fotones será la energía de los fotones dividida por el volumen del gas. Como el flujo de energía media de los fotones, es proporcional a la temperatura, y ésta ha de

dividirse por el volumen, V, se deduce de ello que la densidad energética, del gas de fotones es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura: F/V ~

T4, relación que se conoce por el nombre de sus descubridores, como ley de «Stefan-Boltzmann». Todo esto significa resumiendo, que si se sabe la

6

temperatura de un gas de fotones se conoce también su densidad energética. Dado que se sabe que en el universo actual la temperatura de este gas es de unos 3°K, se puede calcular la densidad de energía radiante y compararla con la densidad de energía material.

Todos los objetos cuya temperatura está sobre el cero absoluto emiten radiación. La longitud de onda correspondiente a esa emisión de

radiación depende sobre todo de la temperatura del objeto emisor. Mientras más alta es la temperatura más corta es la longitud de onda de

la radiación emitida. La relación por segundo entre la temperatura de los objetos y la energía emitida por el área de la superficie, el flujo

de la energía, intensidad o emisividad F, es descrita por la ley de Stefan-Boltzmann, fue descubierta empíricamente en 1879 por Josef

Stefan y demostrada teóricamente por Ludwig Boltzmann algunos años más tarde usando métodos termodinámicos:

2

4

m.

WTF

Solución: Como E(f) df es la densidad de energía en el intervalo df de la radiación de cuerpo negro, la densidad total de energía es 3

3

0 01.

8hf kT

h f dfE E f df

c e

Es evidente que E es igual al área bajo la curva E(f) de la fig. 2. Introduciendo la variable x = hf/kT, se tiene df = (kT/h) dx y 4 3

3

0

8.

1x

h kT x dxE

hc e

El valor de esta integral es 6,4938, por lo que

E = aT4, (69)

donde

a = 51,9504 k4/c

3h

3 = 7,5643 10

-16 J m

-3 K

-4.

Para llegar a la ley de Stefan-Boltzmann, se considera la intensidad específica integrada I(T) de un cuerpo negro, cuya relación con la

densidad total de energía de radiación esta dada por la formula:

4.E

cI Permite encontrar .

4E

cI

Introduciendo en esta relación el valor de E para el cuerpo negro, que dio E = aT4, en donde a es la constante de la densidad de energía de

radiación, se obtiene:

4

4.T T

caI

I(T) es simplemente el área baja de la curva en la figura 5. Ahora bien, considerando que la radiación es isotrópica y homogénea, el flujo

integrado será:

4.4

T Tca

F

La constante ca/4 es la constante de Stefan - Boltzmann de la radiación. Se designa por y su valor es: 5,6693 10-8

W m-2

K4.

Figura 5 La «ley de Stefan-Boltzmann», expresa que el flujo emitido por una superficie que radia como un cuerpo negro varía con la cuarta potencia de

su temperatura.

La proporcionalidad de E o F a T4 ha sido verificada experimentalmente. Usando los valores medidos de a o de se puede recalcular h

obteniéndose nuevamente el mismo valor. Se puede usar la ley de Stefan-Boltzmann para determinar la temperatura de un cuerpo negro

midiendo su emisividad de radiación.

La intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por la ley de Planck:

23

2

W

m2 1,

4 1sr

Hzhf kT

c hff T E f

c eI

donde I(f) df es la cantidad de energía por unidad de área, unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido emitida en el rango de frecuencias

entre f y f + df. NOTA: El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado, que se corresponde con la zona del espacio limitada por

una superficie cónica. Mide el tamaño aparente de ese objeto. La unidad del ángulo sólido en el SI es el estereorradián, cuyo símbolo es sr.

También puede expresarse la intensidad de la radiación por unidad de longitud de onda a partir de E( ) 2

5

2W

4

m2 1

1 mhc kT

c hc

eI = E

Se debe anotar que la mayoría de los cuerpos radiantes – como el sol, un filamento incandescente o un gas caliente – no se comportan

como cuerpos negros y por lo tanto no siguen rigurosamente las relaciones obtenidas en esta sección.

Ejemplo 4: Compruebe que las fórmulas de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda largas y de Wien para longitudes de onda cortas son

casos extremos de la fórmula de Planck:

Solución:

- Para longitudes de onda largas:

1 1hc

kThc hc

ekT kT

reduciéndose la fórmula de Planck a 2

5 4

2 2hc kT ckTE d d d

hc

que es la ley de Distribución de Rayleigh-Jeans.

7

- Para longitudes de onda cortas:

11

1

hc

kThc

kT

hce

kTe

y se tiene, al sustituir, que 2

5

2 hc kThcE d e d

que es la ley de Distribución de Wien.

Emisión fotoeléctrica

En un tubo de rayos catódicos, los electrones son emitidos de un electrodo metálico (el cátodo) como consecuencia del bombardeo del

electrodo por iones positivos del gas contenido en el tubo. Otro proceso por el cual se emiten electrones de la superficie de un metal fue

descubierto por Hertz en 1887. En la figura se muestra un modelo posterior de su aparato. Un tubo de vidrio contiene un electrodo de

metal pulido llamado fotocátodo, y un segundo electrodo en la forma de placa metálica perforada. La diferencia de potencial entre los dos

electrodos es de algunos voltios (normalmente el segundo electrodo es positivo respecto al fotocátodo). Se observa que fluye una corriente

a través del tubo, cuando se hace pasar luz ultravioleta (frecuencia ~ 1016

seg-1

) por el segundo electrodo perforado, e incide sobre la

superficie interna del fotocátodo. A este fenómeno se le llama efecto fotoeléctrico. El efecto persiste aun cuando en el tubo se haya

reducido la presión considerablemente, lo que implica que los iones gaseosos no son los portadores de la corriente. Los experimentos en

los que se aplicaba un campo magnético en la región entre el fotocátodo y el segundo electrodo indican que la corriente consistía de un

flujo de partículas cargadas negativamente. El descubrimiento de Thomson sobre la existencia de los electrones sugería que las partículas

cargadas negativamente en el efecto fotoeléctrico podían ser también electrones liberados del fotocátodo como resultado del bombardeo

con la luz ultravioleta. Esta hipótesis fue confirmada por Lenard en 1900, quien midió la relación e/m para las partículas fotoeléctricas y

mostró que su valor era igual al que se tiene para el electrón.

Figura 6. Una celda fotoeléctrica.

Los experimentos de Lenard aclararon la cuestión relativa a la identidad de las partículas fotoeléctricas, pero también mostraron que

algunas propiedades del efecto fotoeléctrico eran difíciles de entender en términos de la física clásica. Lenard midió la corriente que

llegaba al segundo electrodo como función del potencial entre este electrodo y el fotocátodo, manteniendo fijos los demás parámetros. En

la figura se representan sus datos. Una característica interesante de estos datos es que todavía llega corriente al segundo electrodo aun

cuando el potencial V de ese electrodo es negativo respecto al fotocátodo. Un potencial con este signo tenderá, por supuesto, a repeler a

los fotoelectrones cargados negativamente. Esto significa obviamente que los fotoelectrones son emitidos del fotocátodo con energía

cinética no despreciable. La forma de la curva indica que no todos los fotoelectrones poseen la misma energía cinética; pero existe un

punto extremo bien definido en V = -Vmáx que muestra la existencia de una energía máxima bien definida ~ eVmáx, donde e es la magnitud

de la carga electrónica. Rápidamente se sugirió que los fotoelectrones de energía máxima eran emitidos de la superficie del fotocátodo,

mientras que los fotoelectrones de energía menor provenían del interior del fotocátodo y perdían energía cinética para llegar a la

superficie. Esta sugerencia implica que Emáx es una buena medida de la energía comunicada a un electrón en el proceso fotoeléctrico.

Lenard efectuó una serie de medidas, del tipo indicado en la figura, en función de la intensidad de la luz ultravioleta incidente. Encontró

que la corriente fotoeléctrica para valores positivos de V (para los cuales los fotoelectrones de cualquier energía cinética llegarán al

segundo electrodo) era directamente proporcional a la intensidad luminosa. Sin embargo, se observaba que el potencial de corte, -Vmáx era

independiente de la intensidad luminosa. Entonces, la energía máxima adquirida por los fotoelectrones no depende de la intensidad de la

luz incidente.

Figura 7 Dependencia del voltaje de la corriente liberada en una celda fotoeléctrica.

El proceso por el cual se liberan electrones de un material por la acción de la radiación se denomina emisión fotoeléctrica o efecto

fotoeléctrico. Los electrones emitidos se denominan fotoelectrones debido al método de producción. La emisión electrónica aumenta

cuando aumenta la intensidad de la radiación que incide sobre la superficie del material, ya que hay más energía disponible para liberar

electrones; pero, también se observa que depende en forma característica de la frecuencia de la radiación incidente. Esto significa que para

cada sustancia hay una frecuencia umbral o mínima 0 de la radiación electromagnética. La figura muestra la corriente fotoeléctrica en

función de la frecuencia de la radiación electromagnética incidente.

Figura 8 Corriente fotoeléctrica en función de la frecuencia de la radiación incidente.

Más acerca de los fotones: efecto fotoeléctrico en metales

8

El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones de metales y otras sustancias cuando absorben energía de una onda electromagnética.

En 1887, Heinrich Hertz observó que al iluminar con luz ultravioleta los electrodos entre los cuales se produce una descarga eléctrica

podía aumentarse la intensidad de la descarga. Esto sugirió la disponibilidad de más partículas cargadas, identificadas más tarde como

electrones. Un año después, Wilhelm Hallwachs (1859-1922) observó una emisión de electrones cuando iluminaba la superficie de ciertos

metales, como Zn, Rb, K, Na, etc. Estos electrones se conocen como fotoelectrones, debido al método de producción.

La emisión electrónica aumenta con la intensidad de la radiación incidente en la superficie metálica, puesto que hay más energía

disponible para liberar electrones, pero se observa también una dependencia con la frecuencia característica de la radiación. Para cada

sustancia existe una frecuencia mínima f0 de radiación electromagnética tal que, para una radiación de frecuencia menor que 0, no hay

producción de fotoelectrones, sin importar la intensidad de la radiación. Además, la energía cinética máxima de los fotoelectrones varía

linealmente con la frecuencia de la radiación electromagnética y es independiente de la intensidad de la radiación.

El efecto fotoeléctrico puede explicarse de manera sencilla si se usa el concepto de fotón. En un metal los electrones de la banda superior

o de conducción son más o menos libres de moverse por la red cristalina. Estos electrones están confinados en el metal mediante una

barrera de potencial situada en la superficie. A menos que los electrones tengan suficiente energía para sobrepasar esta barrera, no pueden

escapar del metal (Fig. 9). Una manera de aumentar la energía de los electrones es aumentando la temperatura del metal. Otra forma de

liberar electrones de un metal es mediante la absorción de energía de la radiación electromagnética.

Figura 9 Función de trabajo de un metal.

Sea la energía necesaria para que un electrón escape de un metal dado. Entonces, si el electrón absorbe una energía E mayor que , la

diferencia E - es la energía cinética del electrón al escaparse y se puede escribir

kE E

De acuerdo con el concepto de fotón, la energía de una onda electromagnética absorbida por un electrón debe ser la de un fotón. Por tanto,

si es la frecuencia de la radiación, entonces E = hf, según la ecuación 10, y se puede escribir la ecuación anterior como

kE hf

Esta ecuación fue propuesta por primera vez por Albert Einstein en 1905, antes de que se introdujera el concepto de fotón, con el fin de

ajustar los datos experimentales. La gran contribución de Einstein fue proponer que los electrones absorben energía electromagnética en

cantidades o cuantos iguales a hf, siguiendo una teoría desarrollada por Max Planck para explicar la radiación de cuerpo negro. Sin

embargo, Einstein no aceptó el concepto de fotón durante muchos años.

No todos los electrones requieren la misma energía para escapar de un metal. Los que ocupan los estados superiores de la banda de

conducción, cercanos al nivel de Fermi, necesitan menos energía. A la energía mínima 0 se la llama función de trabajo del metal (Fig.

9). Entonces la máxima energía cinética de los electrones es

, 0k máxE hf

A partir de esta ecuación se ve que la energía cinética del electrón es cero para la frecuencia f0 = 0/h. Por tanto, 0 es la frecuencia umbral

o frecuencia mínima a la cual hay emisión fotoeléctrica. Para frecuencias menores que 0 no hay emisión. La función de trabajo 0 se

puede calcular en términos de f0 y h y el valor obtenido concuerda con el calculado por otros métodos, confirmándose la validez de esta

ecuación.

No hay necesidad de tener en cuenta la conservación del momentum en el efecto fotoeléctrico pues el electrón que absorbe radiación

electromagnética está ligado a la red cristalina del metal y el momentum del fotón absorbido es compartido por el electrón y la red. Sin

embargo, debido a la masa relativamente grande de la red, su energía cinética es despreciable y podemos suponer (sin incurrir en un error

considerable) que toda la energía del fotón pasa al electrón.

El efecto fotoeléctrico es importante no sólo porque es uno de los fundamentos experimentales de la teoría cuántica, sino también debido a

sus múltiples aplicaciones prácticas, como las fotoceldas y los fotómetros que se usan en diferentes dispositivos, como en cámaras

fotográficas y de vídeo, para determinar la intensidad de la iluminación.

Verificación experimental de la ecuación de Einstein

La máxima energía cinética Ek, máx de los fotoelectrones se puede medir con el método indicado en la figura 10. Aplicando una diferencia

de potencial V entre las placas A y C, se puede retardar el movimiento de los fotoelectrones emitidos por A cuando incide en ella radiación

electromagnética de frecuencia f. A un voltaje dado la corriente indicada por el electrómetro E, cae súbitamente a cero, indicando que no

hay electrones que lleguen a C, ni siquiera los más rápidos. Entonces, mediante la ecuación si Ek, máx = eV0 y la ecuación de arriba se

transforma en

0 0eV hf

Cambiando la frecuencia , se puede obtener una serie de valores para el potencial de frenado V0,. Si esta ecuación es correcta, la gráfica

V0 en función de debe ser una línea recta, como se muestra en la figura 11. La pendiente de la recta es tan = h/e. Midiendo , y

utilizando el valor conocido de e, se puede calcular la constante de Planck, h, obteniéndose el mismo resultado hallado para el efecto

Compton, o viceversa. Esta concordancia se puede considerar como una justificación más del concepto de fotón.

Figura 10 Dispositivo experimental para la observación del efecto

fotoeléctrico.

Figura 11 Relación entre el potencial de frenado y la frecuencia en el efecto fotoeléctrico. Las cruces (X) indican puntos experimentales.

Nótese que tan = h/e.

Dispersión de radiación electromagnética por un electrón libre: efecto Compton

La dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre requiere que el electrón absorba energía de una onda electromagnética

y la emita como radiación dispersada. Una onda electromagnética posee energía y momentum, relacionados por p = (E/c)v, que es la

misma relación válida para una partícula de masa cero. Por tanto, si se retira de la onda una energía E, se debe retirar también de la onda

9

una cantidad correspondiente de momentum p = E/c.

Cuando la radiación electromagnética pasa por una región en la que hay electrones libres, además de la radiación incidente, se observa

otra radiación de frecuencia distinta. Esta nueva radiación se interpreta como la radiación dispersada por los electrones libres. La

frecuencia de la radiación dispersada es menor que la de la incidente y, en consecuencia, su longitud de onda es mayor que la de la

radiación incidente (Fig. 12). La longitud de onda de la radiación dispersada es también diferente para cada dirección de dispersión. Este

fenómeno se conoce como efecto Compton, en honor a ArthurH. Compton (1892-1962), quien fue el primero que lo observó y analizó en

1922.

Siendo la longitud de onda de la radiación incidente y ’ la de la dispérsada, Compton encontró que ’ está determinada solamente por

la dirección de dispersión. Esto es, si es el ángulo entre las ondas incidentes y la dirección en que son observadas las ondas dispersadas

(Fig. 13), la longitud de onda de la radiación dispersada ’ está determinada solamente por el ángulo . La relación experimental es

1 cosC

donde C es una constante cuyo valor, si se mide , y ’ en metros, es C = 2.4262 10-12

m. Se conoce como longitud de onda de

Compton para electrones.

Figura 12 Distribución de la intensidad de la radiación dispersada por un electrón libre para diferentes ángulos de dispersión.

Figura 13 Dispersión de Compton: colisión entre un fotón (o cuanto) con un electrón libre estacionario.

Recordando que = c/f, donde f es la frecuencia de la onda, se puede escribir la ecuación anterior de la forma

1 11 cosC

f f c

La dispersión de una onda electromagnética por un electrón puede considerarse como una ―colisión‖ entre la onda y el electrón, ya que

comprende un intercambio de energía y momentum. Además, como la onda se propaga con velocidad c y su relación energía-momentum,

E = cp, es similar a la relación para una partícula de masa cero, esta dispersión debe semejarse a una colisión en la que una de las

partículas tiene masa cero y se mueve con velocidad c. Se puede demostrar que si E y E’ son las energías de la partícula de masa cero

antes y después de la colisión,

2

1 1 11 cos

eE E m c

donde me es la masa de la otra partícula implicada en la colisión, en este caso un electrón, inicialmente en reposo con respecto al

observador. La semejanza entre las ecuaciones dos últimas ecuaciones es sorprendente y va más allá de un simple parecido algebraico.

Ambas se aplican a procesos de colisión, y la relación energía-momentum, E = cp, para una onda electromagnética es la misma que para

una partícula de masa cero. Una conclusión razonable es relacionar la frecuencia y de la onda y la energía E absorbida de la radiación

mediante

E hf

donde h es una constante universal que describe la proporcionalidad entre la frecuencia de una onda electromagnética y la energía

asociada con el proceso de ―colisión‖. Entonces la ecuación 3 queda

2

1 1 11 cos

ehf hf m c que se puede escribir como

2

1 11 cos

e

h

f f m c

y es parecida a la segunda ecuación. Entonces, por comparación, la longitud de onda de Compton para un electrón se relaciona con la

masa del electrón dispersante por medio de

2C

h

mc

A partir de los valores conocidos de C, me y c se puede obtener el valor h = 6.6261 10-34

Js o m2kg/s. Este es el valor de la constante de

Planck.

Un protón, que tiene una masa mayor que la del electrón, tiene una longitud de onda de Compton (usando el valor anterior de h) y la

ecuación anterioe da C,p = 1,3214 10-15

m

Este resultado ha sido confirmado experimentalmente al analizar la dispersión de rayos por protones libres, lo que nos asegura la validez

general de la suposición, E = hf. Sin embargo, debido a que la longitud de onda de Compton del protón es mucho menor que la del

electrón, el efecto Compton es mucho menos apreciable con los protones, a menos que la radiación tenga una longitud de onda muy corta,

como en el caso de los rayos .

Se puede concluir que es posible ―explicar‖ la dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre como si se tratara de una

colisión del electrón y una partícula de masa cero, la que se llama fotón, nombre propuesto por G. N. Lewis en 1926.

Demostración: Colisiones que implican una partícula de masa cero

Sean E y E’ las energías de la partícula de masa cero antes y después de la colisión; entonces p = E/c y p’ = E’/c son los valores

correspondientes del momentum. Se supone que la otra partícula (electrón) está inicialmente en reposo con respecto al observador. Dado

que pe es el momentum del electrón después de la colisión, los principios de conservación de energía y momentum dan

ep p p

2 2

e k eE m c E E m c

La relación entre energía cinética y momentum para un electrón es, 2

2 2 2 2

2

ek e e e

e

pE c m c p m c

m

entonces,

10

2 2 2 2

e e eE m c E c m c p

De la ecuación de arriba se obtiene pe =p - p’. Elevando al cuadrado se obtiene:

2 2 2 2 2

2

12 2 cosep p p E E EE

cp p

donde es el ángulo en que fue desviada o dispersada la partícula de masa cero. Despejando pe2 de la ecuación 9 se tiene

22 2 2 2 2 2 2

2 2

1 12 2e e e ep E m c E m c E E E E m c EE

c c

Igualando los dos resultados para pe2 y cancelando términos comunes, se obtiene

21 cos

e

EEE E

m c

Dividiendo ambos lados entre EE’ se llega a la ecuación:

2

1 1 11 cos

eE E m c

Fotones

La ―explicación‖ del efecto Compton implica las siguientes suposiciones: (a) la dispersión de radiación electromagnética por un electrón

libre se puede considerar como una colisión entre el electrón y una partícula de masa cero; (b) la radiación electromagnética juega el papel

de la partícula de masa cero que, por brevedad, de ahora en adelante se llamará fotón; y (c) la energía y el momentum de la partícula de

masa cero (o fotón) están relacionados con la frecuencia y la longitud de onda de la radiación electromagnética mediante

y h

E hf p k

donde = h/2 , = 2 f, k = 2 / .

La segunda relación se debe a que p = E/c = hf/c y f/c = 1/ . Así, se puede ―visualizar‖ el efecto Compton como la colisión ilustrada en la

figura 14, en la que un fotón de frecuencia choca con un electrón en reposo, transfiriéndole cierta energía y momentum. Como resultado

de la interacción, la energía del fotón dispersado es menor, con una frecuencia correspondiente menor ’. Una prueba adicional consiste

en verificar si el electrón, después de la dispersión, tiene un momentum igual a la diferencia entre el momentum del fotón incidente y del

dispersado. Es un experimento difícil, pero se ha llevado a cabo y el resultado es positivo.

En lugar de la sencilla colisión de la figura 14, el efecto Compton es más bien un proceso que ocurre en dos pasos, como en la figura 15.

Se puede interpretar la energía, E = hf, y el momentum, p = h/ , del fotón como la energía y el momentum absorbidos por el electrón libre

de la onda electromagnética incidente. Esto viola, momentáneamente, la conservación de energía y momentum. La energía E’ = hf’ y el

momentum p’ = h/ ’ del fotón corresponden a la energía y momentum de un fotón reemitido por el electrón hacia la radiación dispersada.

El electrón adquiere una energía E - E’ y gana un momentum p – p´, y se mantiene la conservación de energía y momentum.

Figura 14 Relaciones de momentum y energía en la dispersión de

Compton.

Figura 15 La dispersión de un fotón por un electrón es un proceso de

dos pasos con Ee + E = E’e + E´ y pe + p = p’e + p’.

De manera parecida, en la dispersión de radiación electromagnética por electrones ligados, los fotones provenientes de la onda incidente

son absorbidos por el átomo, la molécula o el núcleo que, posteriormente, emite otro fotón con igual o diferente energía (o frecuencia) en

la dirección de incidencia o en cualquier otra dirección. Mediante el concepto de fotón, la dispersión se puede expresar como A + h i

A* + h d, donde A y A* se refieren al átomo antes y después de la dispersión.

El fotón es el ―cuanto‖ de energía y momentum electromagnéticos absorbido o emitido en un solo proceso por una partícula cargada. Está

completamente determinado por la frecuencia de la radiación y por la dirección de propagación. El concepto de fotón se aplica a las

interacciones entre radiación electromagnética y partículas cargadas, libres o ligadas, y no sólo con electrones libres. Por tanto, se puede

establecer que:

cuando una onda electromagnética interactúa con un electrón (o cualquier otra partícula cargada), las cantidades de energía y

momentum que se pueden intercambiar en el proceso son las correspondientes a un fotón.

Este principio es una de las leyes fundamentales de la física. Es aplicable a todos los procesos radiativos que implican part ículas cargadas

y campos electromagnéticos.

Figura 16 Interacción electromagnética considerada como un intercambio de fotones. Los fotones transfieren energía y momentum de una partícula

cargada a otra.

El concepto de fotón sugiere una sencilla representación gráfica de la interacción electromagnética entre dos partículas cargadas, como se

muestra en la figura 16. La interacción corresponde a un intercambio de momentum y energía entre las dos partículas. Se puede decir, que

entre las partículas 1 y 2 ha habido un intercambio de fotones.

las interacciones electromagnéticas se pueden describir como el resultado del intercambio de fotones entre las partículas que

interactúan; los fotones transportan energía, momentum y ;nomentum angular entre las partículas.

La naturaleza dual de la radiación electromagnética

La teoría cuántica del efecto fotoeléctrico explicó un fenómeno ininteligible en términos de la teoría clásica. Sin embargo, muchos físicos

se rehusaban a aceptarla, ya que representaba el reverso de la aceptada naturaleza ondulatoria de la radiación electromagnética. Después

del descubrimiento y la explicación del efecto Compton, no pudo ser objetada la existencia de los cuantos (fotones). Se consideró que la

11

física se encontraba en una situación incómoda.

Por otra parte, la radiación electromagnética tiene ciertas propiedades, como la de difracción, que solamente puede ser explicada en

términos del movimiento ondulatorio; otras propiedades, como las que exhiben los efectos fotoeléctricos y Compton, requerían de los

cuantos para su explicación que, al encontrarse localizados, tenían las características esenciales a las partículas. Parece como si la

radiación electromagnética tuviera una doble personalidad: una ondulatoria y otra corpuscular.

Los hechos experimentales respecto a las propiedades de la radiación electromagnética, así como su interpretación en términos de la

existencia de aspectos ondulatorios y corpusculares permanecen actualmente invariables. Sin embargo, como consecuencia del amplio

punto de vista introducido por el desarrollo de la mecánica cuántica, la actitud actual de los físicos, respecto a la inicial, ha cambiado

considerablemente. Las pruebas sobre la dualidad partícula-onda de la radiación electromagnética no se consideran inusitadas, ya que se

sabe que es una característica general de todas las entidades físicas. Además, no se considera que esta dualidad represente un problema, ya

que es posible conciliar la existencia de ambos aspectos con la ayuda de la mecánica cuántica.

Dualidad en la materia, ondas de De Broglie

El movimiento de los cuerpos que se observa a nuestro alrededor puede describirse en términos de reglas generales basadas en la

evidencia experimental. Tales reglas o principios son: (1) la conservación del momentum; (2) la conservación del momentum angular; y (3) la conservación de la energía. Con base en estas leyes de conservación, se desarrolló en el siglo XIX el formalismo conocido como

mecánica clásica, suponiendo que las partículas están localizadas en el espacio y que pueden ser observadas sin perturbar notablemente su comportamiento. Sin embargo, cuando la mecánica clásica se aplica al movimiento de los constituyentes básicos de la materia, tales como

electrones y átomos, los resultados son sólo aproximados y, en algunos casos, completamente inadecuados. Como resultado de la evidencia experimental, se han incorporado varios conceptos y métodos nuevos y revolucionarios para la

descripción del comportamiento de la materia en niveles atómicos y subatómicos. Aunque las leyes de conservación siguen siendo válidas, ya no se puede aplicar la descripción detallada del movimiento de las partículas en el sentido de la mecánica de Newton. La cuantización

de la energía y de otras cantidades físicas es otra idea que no aparece en la mecánica clásica, y una teoría satisfactoria debe contener información acerca de los valores permitidos de tales cantidades. La interacción de la radiación y la materia mediante la absorción o

emisión de fotones es otro aspecto que debe introducirse. El nuevo formalismo, conocido como mecánica cuántica, es resultado del trabajo original de Louis de Broglie (1892-1987), Erwin

Schrodinger (1887-1961), Werner Heisenberg (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Max Born (1882-1970), Albert Einstein (1879-1955) y otros que lo desarrollaron en la década de los veinte. La mecánica cuántica es esencial para entender el comportamiento de los

constituyentes fundamentales de la materia. El desarrollo de la teoría de la mecánica cuántica se inició con una idea que, aunque simple, es de una extrema importancia— expuesta

por De Broglie en su tesis doctoral (1924). Su línea de pensamiento fue aproximadamente la siguiente: en la física clásica se considera que la radiación electromagnética es un fenómeno netamente de propagación ondulatoria. Por otra parte, las investigaciones de Einstein y

Compton han mostrado que en ciertas circunstancias manifiesta una naturaleza característica de las partículas (cuantos). Al ser éste el caso, ¿no será cierto que entidades físicas que consideramos como partículas (electrones, partículas alfas, bolas de billar, etc.), bajo ciertas

condiciones manifestarán una naturaleza característica de las ondas? Cuando se investiga la interacción de la radiación con la materia se pone de manifiesto la naturaleza corpuscular de la radiación

electromagnética, mientras que su naturaleza ondulatoria se revela cuando se considera la forma en que se propaga. La situación puede describirse indistintamente diciendo que la radiación electromagnética es una onda que al interaccionar con la materia manifiesta un

comportamiento corpuscular, o bien, que consta de partículas cuyo movimiento está determinado por las propiedades de propagación de ciertas ondas que le están asociadas. En cierta medida sería ingenuo sugerir que deba hacerse una elección. Aceptando tentativamente la

segunda alternativa y guiado por la analogía, De Broglie examinó las características ondulatorias de las partículas en términos de algún aspecto de propagación ondulatoria en su movimiento. Examinó la idea de que el movimiento de una partícula está gobernado por la

propagación ondulatoria de ciertas ondas piloto (según su terminología) asociadas con la partícula. La experiencia sensorial muestra que los objetos que se tocan y se ven tienen una forma definida y están localizados en el espacio. Así

pues, se tiende a extrapolar esta experiencia sensorial y pensar que las partículas fundamentales (es decir, electrones, protones, neutrones,

etc.) tienen forma y tamaño, e imaginarlas como si fueran algo así como pequeñas esferas, con un radio, masa y carga caracter ísticos. Esta

idea, sin embargo, es una extrapolación que va más allá de la experiencia sensorial y se debe analizar el esquema meticulosamente antes

de aceptarlo.

Los experimentos han mostrado que tal extrapolación del esquema sensorial acerca de los constituyentes básicos de la materia es errónea.

El comportamiento dinámico de las partículas atómicas y subatómicas requiere que se asocie a cada partícula un campo de mater ia, del

mismo modo que, en otro sentido, se asocia un fotón (que se puede considerar equivalente a una partícula) con un campo

electromagnético. El campo de materia describe la condición dinámica de una partícula en el mismo sentido en que el campo

electromagnético corresponde a fotones que tienen momentum y energía precisos. Al analizar la conexión entre el campo de materia y las

propiedades dinámicas de una partícula (es decir, momentum y energía), se utilizan las relaciones E = hf y p = h/ , que se encontraron

para el fotón. Al expresar estas relaciones en el otro sentido, se puede suponer que la longitud de onda y la frecuencia f del campo

asociado con una partícula, de momentum p y energía E. De Broglie postuló que la longitud de onda y la frecuencia f de las ondas piloto

asociadas con una partícula, están dadas por:

h E

fp h

donde h, es la constante de Planck, y que el movimiento de la partícula está regido por la propagación ondulatoria de las ondas piloto. De

Broglie propuso estas relaciones en 1924 y, por tal razón, = h/p, se conoce como longitud de onda de De Broglie de una partícula.

Introduciendo el número de onda k = 2 / y la frecuencia angular = 2 f, y teniendo en cuenta que = h/2 = 1.0546 10-34

[Js], se

pueden escribir las relaciones anteriores de una manera más simétrica:

E

p k

Si esta suposición, expresada por las ecuaciones 1 y 2, es correcta, se puede suponer que siempre que el movimiento de una partícula es

perturbado de tal modo que el campo asociado con ella no se pueda propagar libremente, se deben observar fenómenos de interferencia,

difracción y dispersión, como en el caso de las ondas elásticas y electromagnéticas. De hecho, esto es lo que sucede, como se verá en la

sección siguiente.

Aunque se seguirá utilizando el término partícula cuando se refiera a electrones, protones, neutrones y demás componentes fundamentales

de la materia, se debe evitar considerarlos como pequeñas esferas. Su comportamiento es muy diferente y en ocasiones va en contra de las

percepciones sensoriales. La noción de partícula se aplica sólo cuando el movimiento se efectúa en una región grande, comparada con las

dimensiones atómicas o nucleares, como es el caso de electrones en un cinescopio de televisión o protones en un acelerador. Ésta es la

razón por la que es válido el análisis del movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, se debe

refinar el análisis del movimiento de los electrones dentro de un átomo, de una molécula o de un sólido, pues requiere la introducción del

concepto de campo de materia.

12

Confirmación experimental del postulado de De Broglie. Dispersión de partículas en cristales. Difracción de electrones

Comparando con las características de la propagación de las ondas electromagnéticas, se encuentra que el comportamiento ondulatorio en

el movimiento de una partícula sólo podrá manifestarse si el orden de magnitud de la longitud de onda de De Broglie = h/p no es menor

que el de las dimensiones características del sistema empleado para investigar el movimiento. Puesto que el valor de la constante de

Planck, h = 6.62l0-34

Js, es muy pequeño, a menos que el valor de p también lo sea, el de será tan pequeño que elimine toda esperanza de

observar los efectos postulados. Se calcula p y en algunos casos específicos.

Considerar electrones con energía eV equivalente a la que adquieren al moverse en una diferencia de potencial V del orden de 104V. La

energía cinética de los electrones es p2/2me = e V de modo que p = (2eme V)

½ . Introduciendo los valores de e, me, y h, se obtiene la

longitud de onda de De Broglie para tales electrones como

2 e

h

m V

La longitud de onda de estos electrones es de alrededor de 10-11

m, comparable a la de los rayos X. Esto significa que si un haz de

electrones lo suficientemente rápidos se mueven a través de un cristal, la dispersión del campo de materia debe dar lugar a patrones de

difracción parecidos a los observados en el caso de los rayos X.

En 1927, G. P. Thomson (1882-1975) inició una serie de experimentos para estudiar el paso de un haz de electrones a través de una

película delgada hecha de un material cristalino. Como se muestra en la figura 17, después de que los electrones atraviesan la película,

inciden en una placa fotográfica. Si los electrones se hubiesen comportado como partículas en el sentido macroscópico, se habría obtenido

una imagen borrosa, pues, en general, cada electrón habría sufrido una dispersión distinta por los átomos del cristal. Sin embargo, el

resultado obtenido fue idéntico a los patrones de Debye-Scherrer para la dispersión de rayos X por una sustancia poli-cristalina, como se

indica en la fotografía de la figura 18. De manera parecida, cuando un haz de electrones pasa por un cristal simple, se producen patrones

de Laue, que también se observan con rayos X, como se muestra en la fotografía de la figura 19. De la estructura de tales patrones se

puede calcular la longitud de onda de De Broglie, si se conoce el espaciado entre los planos cristalinos y se aplican las fórmulas derivadas

para rayos X. Los valores de que se obtienen se pueden comparar con los obtenidos con la ecuación anterior. El resultado es una completa

concordancia, dentro de los límites del error experimental.

Figura 17 Dispositivo experimental para observar la

dispersión de electrones por un material cristalino.

Figura 18 Dispersión de electrones producida por un cristal pulverizado

Figura 19 Dispersión de electrones por un

cristal de carbono (grafito) simple.

En los experimentos efectuados por C. Davisson y L. Germer (más o menos al mismo tiempo que los de Thomson) se hacía incidir un haz

de electrones formando un ángulo determinado con respecto al cristal. Los electrones dispersados fueron observados mediante un detector

colocado simétricamente, como se indica en la figura 20, en forma semejante al experimento de Bragg para observar la dispersión de

rayos X. Se encontró que la corriente de electrones registrada por el detector era máxima cada vez que se cumplía con la condición de

Bragg, originalmente obtenida para rayos X,

sen2

n

d

En esta ecuación, d es la separación entre capas atómicas sucesivas del cristal y = h/p.

Varios años después de que se iniciaron los experimentos con electrones, Estermann, Frisch y Stern demostraron la aparición de efectos de

difracción al dispersar un haz de átomos de He en la superficie de un cristal de LiF. El patrón obtenido para los átomos de He fue

semejante al observado por Davisson y Germer para la dispersión de electrones. Asimismo, la ubicación angular del pico de difracción

concordó satisfactoriamente con el que debía esperarse para la longitud de onda predicha por el postulado de De Broglie.

También, se ha observado el mismo fenómeno de la dispersión de Bragg en experimentos con protones y neutrones. La dispersión de

neutrones constituye uno de los medios más eficaces para estudiar la estructura cristalina. Por ejemplo, los neutrones que emergen de un

reactor nuclear a través de una ventana especial (Fig. 21) tienen un amplio rango de energías y por consiguiente también de momentum.

Por tanto, el espectro del haz de neutrones está compuesto por muchas longitudes de onda de De Broglie. Cuando el haz de neutrones

provenientes del reactor incide en un cristal, de LiF por ejemplo, los neutrones que se observan en la dirección simétrica tienen energía y

momentum bien definidos que corresponden a la longitud de onda , dada por la condición de Bragg, ecuación anterior. Entonces el

cristal actúa como un filtro de energía o monocromador. El haz mono-energético de neutrones, a su vez, puede ser utilizado para estudiar

otros materiales o para el análisis de reacciones nucleares con neutrones.

Estos experimentos verifican tanto la presencia de efectos ondulatorios en el movimiento de las partículas como la longitud de onda

predicha por el postulado de De Broglie. Desde entonces numerosos ejemplos de estos efectos se han observado experimentalmente, de

modo que la validez del postulado de De Broglie ha sido confirmada más allá de toda duda.

Figura 20 Dispositivo experimental de Davisson y Germer para la observación de la dispersión de electrones de Bragg.

Figura 21 Espectrómetro cristalino de neutrones

13

Problema ejemplo: Longitud de onda de De Broglie de neutrones térmicos a una temperatura de 25 C.

Se llaman neutrones térmicos los neutrones que están en equilibrio térmico con la materia a una temperatura dada. Por tanto, los neutrones

térmicos tienen una energía cinética media idéntica a la de las moléculas de un gas ideal a la misma temperatura, o sea Emed = 3/2kT,

donde T es la temperatura absoluta y k la constante de Boltzmann (k = 1,3805×10-23

J/K). Dada una temperatura de 25 C, o T = 298K, se

tiene 21 23

26,17 10 3J eV,85 10molE kT

El momentum correspondiente es 242 4,55 10 kg m/se molp m E

Luego, usando la ecuación =h/p, se encuentra que la longitud de onda de De Broglie promedio de los neutrones térmicos es λ=1.85 10-10

m.

Teniendo en cuenta que la separación de los planos de un cristal de NaCl es d = 2.82 10-10

m, se ve que el primer máximo de Bragg para

neutrones con esta longitud de onda dispersados por el cristal ocurre a un ángulo = 19 .

Principio de Heisemberg y relaciones de incertidumbre

Una consecuencia inevitable de la descripción de un electrón, que se mueve en una órbita de Bohr, introducida por De Broglie es la

imposibilidad de especificar exactamente, y en forma simultánea, la posición del electrón y el vector de su momentum lineal. Esta

situación contrasta con la que presenta la descripción corpuscular de Bohr para el movimiento de un electrón atómico, donde es posible

una especificación exacta, a un tiempo dado, de la posición y el momentum lineal, de la misma manera que es posible en la descripción de

Newton del movimiento de un planeta. Esta incertidumbre, para un tiempo dado, en la posición y el momentum de una partícula es una

característica general de la descripción de De Broglie para su movimiento en términos de la propagación de sus ondas piloto asociadas.

Un paquete de ondas localizado en el espacio es el resultado de la superposición de varios campos con diferentes longitudes de onda (o

con diferentes valores del número de onda). Si el paquete de ondas se extiende sobre una región x, los valores de los números de onda,

de las ondas que interfieren y componen el paquete, caen dentro de un intervalo k tal que, según un análisis matemático que se omite, x

k 1. Esta relación muestra que x y k son inversamente proporcionales y, por tanto, cuanto menor sea el tamaño x del paquete de

ondas, mayor será la dispersión k de los números de onda o de las longitudes de onda necesarias para construir el paquete (Fig. 22).

Figura 22 Ejemplo de x k 1. Gráficas de f(x) = (l/n) coskx para k = 1 a: (a) n = 1; (b) n = 2; (c) n = 4; (d) n = 8. Conforme aumenta la dispersión en los valores de k, el ancho del máximo principal se hace menor.

El que haya diferentes longitudes de onda o números de onda k significa que existen varios valores del momentum p tales que p = k.

Por tanto, se ve que la expresión es equivalente a

x p

El significado físico de esta relación es el siguiente: si una partícula está localizada dentro de la región x – ½ x y x + ½ x (es decir, x es

la incertidumbre en la posición de la partícula), su campo asociado se obtiene mediante la superposición de los campos correspondientes a

momentum que están entre p – ½ p y p + ½ p, donde p está relacionada con x mediante la ecuación x p . Se dice que p es la

incertidumbre en el momentum de la partícula. La relación de arriba implica que cuanto más grande sea x, menor será p y viceversa.

En otras palabras, la información acerca de la localización de una partícula en el espacio se obtiene a expensas del conocimiento acerca

del momentum. Cuanto más preciso sea el conocimiento de la posición de la partícula, menos precisa será la información de su

momentum, porque para localizar un paquete de ondas tenemos que combinar varias longitudes de onda. Al contrario, cuanto más

precisamente se conozca el momentum, menos longitudes de onda se necesitará en el paquete y más extendido será éste. Por eso es que

una partícula de momentum bien conocido ( p = 0) está representada por una onda de amplitud constante que se extiende por todo el

espacio ( x ), de modo que este conocimiento de su posición es nulo. Por el contrario, si la localización de una partícula es muy

precisa ( x = 0), el conocimiento de su momentum es muy impreciso ( p ) (Desde luego, estas dos situaciones extremas nunca se dan

en la práctica.) No es posible determinar exactamente la posición y el momentum de una partícula al mismo tiempo, de modo que x = 0 y

p = 0, pues eso violaría la relación x p , que relaciona la máxima precisión con la que se puede conocer ambas cantidades.

El resultado expresado por la relación x p se conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg para la posición y el

momentum, y se puede formular de la manera siguiente:

es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y el momentum de las partículas fundamentales que constituyen la

materia. La precisión óptima del conocimiento de la posición y el momentum está determinada por la ec. x p .

Este principio expresa uno de los hechos fundamentales de la naturaleza. Se ha dicho que sería mejor que el principio de incertidumbre se

llamara principio de limitación, ya que expresa una limitación fundamental de la naturaleza que restringe también la precisión de las

mediciones.

El principio de incertidumbre implica que nunca se puede definir la trayectoria de una partícula atómica o subatómica con la absoluta

precisión que se supone en mecánica clásica. Sin embargo, esta suposición sigue siendo válida cuando la incertidumbre implicada por la

relación x p es mucho más pequeña que los errores experimentales de los valores medidos de x y p. Por ejemplo, para describir

ciertos movimientos de partículas atómicas, como el caso de electrones en un tubo de televisión y de electrones y protones en un

acelerador, se puede usar la mecánica clásica cuando los valores x y p, permitidos por la ecuación x p , son mucho menores que

el error experimental del momentum y la posición de las partículas. Sin embargo, para partículas restringidas al moverse en regiones de

dimensiones atómicas, el concepto de trayectoria no tiene significado, pues no se le puede definir precisamente; por tanto, para describir el

movimiento se requiere un esquema distinto al de la física clásica. Por la misma razón, conceptos como los de velocidad, aceleración y

fuerza son de uso limitado en la mecánica cuántica. Por otro lado, el concepto de energía es de gran importancia, ya que está relacionado

con el ―estado‖ del sistema, más que con su ―trayectoria‖.

Debe observarse que el principio de incertidumbre impone un límite inferior al producto x k. Esto es, es posible encontrar un grupo de

ondas para el cual la relación correspondiente a x k 1 sea x k 1 = donde > l/2 . El producto de las incertidumbres instantáneas

en la posición y el momentum de la partícula asociada a este grupo será mayor que .

Cuando x p es apreciablemente mayor que , significa que en el experimento no se ha alcanzado el límite inferior en la precisión

impuesta por el principio de incertidumbre. Dado que tiene un valor muy pequeño, es muy difícil que x p sea comparable con en

una medición real. Por esto no se observan las consecuencias del principio de incertidumbre en los experimentos de la mecánica clásica.

14

Por otra parte, su importancia es extrema cuando se consideran las distancias y los momentos en los sistemas atómicos y nucleares, que

son sumamente pequeños.

En un sistema de tres dimensiones, conforme al principio de Heisenberg, se tiene:

Existen tres relaciones de incertidumbre independientes. Si x, y, z son las coordenadas rectangulares y px, py, pz los momentum

correspondientes, se tiene

El símbolo indica que el principio de incertidumbre establece solamente un límite inferior. Por otra parte, no existe restricción alguna

sobre los productos del tipo x py.

Ejemplos del principio de Heisenberg

Puede entenderse fácilmente la ―razón física‖ para la existencia de un límite en la precisión máxima con la que puede medirse

simultáneamente la posición y el momentum de una partícula: la medición del valor de una de estas cantidades perturbará a la partícula de

modo que deja incierto el valor de la otra cantidad. En 1928 Bohr imaginó un buen ejemplo de lo anterior. Mediante el dispositivo

ilustrado en la figura 23 se desea determinar la ubicación instantánea de una partícula. La partícula puede verse por los cuantos de luz que

dispersa al ser iluminada. El poder de resolución del microscopio determina la precisión máxima con la que puede ubicarse la partícula. Se

sabe que este poder de resolución es aproximadamente /sen , si es la longitud de onda de la luz dispersada y es el semi-ángulo

subtendido por el objetivo del microscopio; se tiene que la precisión de la medida es igual a

Figura 23. Experimento ―imaginario‖de Bohr con un microscopio.

Supóngase que el observador necesita ver solamente un fotón (o cuanto) para llevar a cabo su medida. El momentum de este fotón es p =

h/ . Por otra parte, el cuanto pudo haber sido dispersado con cualquier ángulo comprendido entre +a y -a. En consecuencia, la

incertidumbre en la componente x del momentum del fotón después de la dispersión es

Puesto que la componente x del momentum del fotón puede conocerse exactamente antes de la dispersión (no es preciso conocer su

coordenada x), la conservación del momentum requiere que la partícula absorba un momentum cuya magnitud px es incierta en una

cantidad igual a la incertidumbre del momentum del fotón, esto es,

El producto de las incertidumbres en la posición x y en la componente x del momentum de la partícula, en el instante de la medición, es

Si se emplea luz de longitud de onda menor, el observador aumentará la precisión en la medida de la posición. Pero esto aumentará la

incertidumbre en el momentum de la partícula.

Para ilustrar el principio de Heisenberg se consideran algunas situaciones o experimentos ―imaginarios‖. Por ejemplo, suponga que se

desea determinar la coordenada X de una partícula que se mueve a lo largo del eje Y (Fig. 24) observando si la partícula pasa o no por una

ranura (de ancho b) en una pantalla perpendicular a la dirección de movimiento. La precisión de la posición de la partícula está limitada

por el tamaño de la ranura; esto es, x = b. Pero la ranura perturba el campo asociado con la partícula y esto provoca un cambio en el

movimiento de la partícula después de haber pasado, como se puede ver en el patrón de difracción que se produce. La incertidumbre en el

momentum de la partícula paralelo al eje X está determinada por el ángulo θ, correspondiente al máximo central del patrón de difracción,

ya que la partícula, después de pasar por la ranura, es más probable que se mueva dentro de un ángulo 2θ. Según la teoría de la difracción

producida por una ranura rectangular, el ángulo θ está dado por senθ = /b. Entonces

es la incertidumbre en el momentum de la partícula paralelo al eje X. Así, p x h, lo que concuerda con la relación x p (el 2

que falta es irrelevante para este análisis). Nótese que para mejorar la medida de la posición de la partícula en el eje X se debe utilizar una

ranura muy delgada. Pero ésta produce un máximo central muy ancho en el patrón de difracción, lo que significa una incertidumbre

grande en el conocimiento de la componente X del momentum de la partícula después de pasar por la ranura. Por el contrario, para reducir

la incertidumbre en el conocimiento de la componente X del momentum, el máximo central del patrón de difracción debe ser muy

estrecho. Esto requiere una ranura muy ancha que, a su vez, trae como resultado una incertidumbre grande en la coordenada X de la

partícula.

Figura 24. Medición de la posición y el momentum de una partícula mediante un microscopio.

Estos dos experimentos ―imaginarios‖ muestran cómo se relaciona el principio de incertidumbre con el proceso de medición. Al nivel

atómico, las mediciones, inevitablemente, introducen una perturbación significativa en el sistema, debido a la interacción del dispositivo

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de medición con la cantidad que se va a medir, lo que limita la precisión de la medición. Sin embargo, el principio de incertidumbre es de

validez general, independientemente de que hagamos medidas o no.

La situación descrita por el principio de incertidumbre es una consecuencia inmediata de la cuantización de la radiación electromagnética

que precisa que por lo menos sea dispersado una ―unidad‖ de luz (un fotón de momento p = h/ ) para poder ver la partícula. Si no

existiera esta limitación no existiría, en principio, razón alguna para que el observador no fuera capaz de ver la partícula empleando una

iluminación cuyo momentum fuera arbitrariamente pequeño. El fotón de luz dispersado es el mensajero indispensable entre el instrumento

de medida y la partícula. Pero este mensajero perturba la partícula en una forma incontrolable e impredecible. En consecuencia, es

imposible, después de la medida, conocer exactamente las coordenadas y el momentum de la partícula. La relación x p ; afirma que

la constante de Planck es una medida de la magnitud (mínima) de esta perturbación incontrolable.

Problema ejemplo: Energía mínima de un electrón en un átomo hidrogenoide.

El principio de Heisenberg permite estimar la energía mínima de un electrón en un átomo. Si r es el radio de la región en que el electrón se

puede hallar, se puede suponer que x r, y si p es el momentum del electrón, también se puede suponer que p p. En ese caso la

relación de incertidumbre queda rp , y se inserta en la expresión para la energía total del electrón,

Para calcular la mínima energía compatible con el principio de incertidumbre, se hace dE/dr = 0 y se despeja r. Esto da

Cuando se sustituye este valor en la expresión para E, se obtiene

Ésta es precisamente la energía obtenida con n = 1 en la ecuación deducida mediante la teoría de Bohr. El resultado no debe sorprender,

pues la relación de incertidumbre rp es equivalente a la condición de cuantización de Bohr L = nh/2 con n = 1. Así, el principio de

incertidumbre hace que sea muy difícil reducir la energía del electrón por debajo de un cierto valor mínimo. También, la condición rp

es equivalente a r /p , de manera que la energía mínima corresponde a la longitud de onda del campo asociado con la partícula que

se puede adaptar a la región en la que el electrón se puede mover.

Relación de incertidumbre para el tiempo y la energía

A partir de las propiedades matemáticas de las ondas y del postulado de De Broglie, puede darse otra forma al principio de incertidumbre,

de la misma manera como la ecuación x p . Mediante un análisis de Fourier puede mostrarse que si un intervalo f de frecuencias

intervienen en la composición de un grupo de ondas de longitud x y velocidad de grupo vg = x/ , entonces

donde = x/vg es el tiempo que el grupo necesita para recorrer la distancia x, esto es, es la duración del pulso de ondas.

Considérese un grupo de ondas piloto de duración . Esta cantidad será una medida de la incertidumbre en el tiempo del paso de la

partícula por un punto dado. Por otra parte, el postulado de De Broglie relaciona la frecuencia de las ondas piloto y la energía de la

partícula:

f = E/h

En consecuencia

f = E/h

Una incertidumbre f en la frecuencia de las ondas implica una incertidumbre E en la energía de la partícula asociada, que está

relacionada con la incertidumbre en el tiempo del paso de la partícula por un punto, de modo que

La interpretación dada por Heisenberg a esta relación de incertidumbre es mucho más amplia que la dada anteriormente. Su enunciado es:

Una medida de la energía de una partícula (o de cualquier sistema) efectuada durante el tiempo será incierta por la cantidad E de

modo que E .

Se concluye que es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la energía de una partícula y el tiempo en el que tiene tal energía.

No debe resultar sorprendente que se encuentren dos relaciones de incertidumbre, x p y E , pues esto es un requisito de la

teoría de la relatividad, dado que las parejas de cantidades (x, t) y (p, E) se transforman del mismo modo bajo una transformación de

Lorentz.

Problema ejemplo: Ancho de los niveles de energía y duración de un estado excitado.

Supóngase que un electrón está en un estado estacionario excitado de un átomo. Después de cierto tiempo, el electrón sufrirá una

transición radiativa hacia otro estado estacionario de menor energía. Sin embargo, no hay modo de predecir con certeza cuánto tiempo

permanecerá el electrón en el estado estacionario excitado antes de efectuar la transición. A lo sumo se puede hablar de la probabilidad de

que el electrón pase a un estado de menor energía. Por tanto, el tiempo promedio que el electrón permanece en el estado estacionario,

llamado tiempo de vida del estado, se conoce con una incertidumbre , inversamente proporcional a la probabilidad de transición P, esto

es, = 1/P.

En consecuencia, la energía del estado estacionario del electrón no se conoce de manera precisa, sino que tiene una incertidumbre E, tal

que se cumple la relación . E se conoce como ancho de energía del estado cuya energía está con más probabilidad entre E –

½ E y E + ½ E (Fig. 2). Como es del orden de magnitud del tiempo de vida del estado excitado, cuanto más corto es el tiempo de

vida de un estado excitado o mayor es la probabilidad de transición, mayor será la incertidumbre en la energía del estado; esto es, E =

/ . El tiempo de vida de los estados atómicos excitados es del orden de 10-8

s, dando un ancho de energía del orden de l0-26

J o 10-7

eV.

Los estados con tiempo de vida mucho más grande se conocen como meta-estables. Para el estado fundamental, cuyo tiempo de vida es

infinito —pues un sistema que se encuentra en el estado fundamental no puede sufrir una transición a un estado estacionario de menor

energía— se tiene que . Esto da E = 0, que significa que la energía del estado fundamental se puede conocer exactamente.

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Figura 25. Ancho natural de los niveles de energía.

Debido al ancho de energía de los estados estacionarios, la energía emitida o absorbida en una transición no está bien definida. Por tanto,

en una transición entre estados de energía E1 y E2, los fotones emitidos o absorbidos se hallan en el intervalo de energías E2 - E1 ± ½ E,

donde E es el ancho total de energía de ambos estados, dando como resultado un ensanchamiento de las líneas espectrales con un

intervalo de frecuencias del orden de E/h. En la mayoría de las transiciones atómicas y moleculares el efecto Doppler debido al

movimiento térmico es mucho mayor que el ensanchamiento debido al principio de incertidumbre, que se puede despreciar. Sin embargo,

el ensanchamiento de las líneas es importante en la sintonización de láseres.