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Carrera: Ingeniería Civil
Profesor Titular: Ing. Oscar Drelichman
U.Na.F. - F.R.N.
U. Na. F. –F. R. N.
Carrera: Ingeniería Civil
Cátedra: Mecánica de los fluidos
Profesor Titular: Ing. Oscar Drelichman
1 R
Mecánica de los fluidos
Las propiedades que se estudiarán a continuación corresponden a porciones fluidas lo suficientemente
grandes para poder admitir que son el promedio de las leyes más íntimas de la materia.
Etimológicamente “fluido” es lo que fluye, lo que escurre, es decir que son fluidas aquellas sustancias
cuyas porciones pueden moverse unas con respecto a otras, de manera que quede alterada la forma, sin que para
ello sea necesario el empleo de grandes fuerzas.
Por otra parte, la deformación en un fluido no encuentra en él una apreciable tendencia a restaurar la
conformación primitiva, aunque la fuerza capaz de provocarla sea pequeña.
Como no resulta fácil presentar una definición de fluido real, se ha hecho una abstracción definiendo un
ente ideal que se llama “fluido perfecto” y que se caracteriza por la falta absoluta de resistencia a los cambios de
conformación. Más adelante llamaremos a esa resistencia “viscosidad”, con lo que un fluido perfecto es el que
no tiene viscosidad alguna.
Dentro del concepto de fluido, cabe distinguir todavía los que presentan una enorme resistencia a los
cambios de volumen, que son los líquidos, y los que pueden ser comprimidos más o menos fácilmente: los
gases. Los primeros no tienden a llenar íntegramente los recipientes que los contiene, mientras que los segundos
ocupan todo el volumen libre.
Esto ha motivado también la necesidad de definir un líquido perfecto que sea un fluido perfecto, esto es no
viscoso y además incompresible, y un gas ideal que como el anterior sea fluido perfecto, pero que sea
compresible según la clásica ley de Boyle - Mariotte.
Propiedades físicas de los fluidos
Peso específico y densidad:
El peso específico es el peso de la unidad de volumen del líquido considerado, se medirá en 3/Kg m
,3/gr cm
etc.
De la misma definición se desprende que el peso específico será variable para un mismo líquido con su
posición sobre la superficie terrestre, aún en paridad de otra circunstancia, pues la atracción terrestre depende de
la altura sobre el nivel del mar y de la latitud.
También es sabido que el calor, en igualdad de toda circunstancia, es capaz de hacer cambiar el peso
contenido en la unidad de volumen. Para el agua, el peso específico máximo se obtiene a los 4,00ºC sobre cero.
La presión, finalmente, hace variar al peso específico de los líquidos, pero en medida muy pequeña dada
su escasa compresibilidad.
Entonces, con el fin de obtener un patrón de medidas de pesos y pesos específicos, se ha adoptado como
unidad, el peso de un decímetro cúbico de agua a 4ºC y al nivel del mar, o sea con una presión de 760mm de Hg.
Esto es el kilogramo Kg
. En consecuencia, el peso específico del agua en estas condiciones es 1.000
kg
/ 3m .
La densidad es la masa específica, la masa de la unidad de volumen, esto es el cociente del peso
específico por la aceleración de la gravedad en el lugar donde ha sido medido aquél. Así pues, esta magnitud no
dependerá de la variación de la aceleración de la gravedad.
En igualdad de temperatura y presión, la densidad del agua es constante con respecto a la altitud. Debemos
además establecer un límite en los desarrollos de la Mecánica de los Fluidos, un límite que se diría newtoniano.
Todos nuestros estudios se referirán a movimientos en los que las velocidades serán absolutamente
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despreciables respecto a la de la luz, por lo que se ha considerado la invariación de la masa con respecto al
estado de movimiento del sistema considerado.
La densidad del agua a 4ºC y 760mm de Hg de presión es pues el cociente:
3 2
42
1000 /102
9,808 /
Kg m Kg seg
g mm seg
Viscosidad:
Hemos dicho que en un fluido perfecto no puede haber esfuerzos tangenciales entre dos partes contiguas,
ya sea que estén en reposo o que haya movimiento relativo entre ellos. Esto no ocurre con los fluidos reales.
En general, e admite que estos últimos no tienen elasticidad de deformación, es decir, que no se
desarrollan esfuerzos tangenciales que se opongan a una deformación permanente, o por lo menos esta
resistencia es tan pequeña que puede despreciarse en todos los casos.
Además, cuando un fluido real está en reposo, las fuerzas ejercidas entre volúmenes contiguos estarán,
como en los fluidos perfectos, dirigidos normalmente a la superficie de separación. Se verá más adelante que,
en tales condiciones, la presión en un punto tiene magnitud constante, cualquiera sea la dirección que se
considere. Se dice pues, que la distribución de presiones es isotrópica en cada punto y que solo es función de la
posición pero no de la dirección considerada.
Ahora bien, el comportamiento de los fluidos en movimiento es muy diverso, pues se observa claramente
que las fuerzas entre volúmenes contiguos pueden ser oblicuas a la superficie que los limita.
Hay una tendencia a disminuir la velocidad de deformación, de suerte que a mayor velocidad de
deformación se observan mayores esfuerzos tangenciales entre las partículas.
Así como los esfuerzos que se oponen a un cambio real de forma son propios en mayor grado de los
sólidos, los que se oponen a la velocidad de deformación son privativos de los fluidos reales. Los esfuerzos
desarrollados en los fluidos no dependen de la magnitud de la deformación, sino precisamente de su velocidad.
Esta propiedad de los fluidos es lo que se conoce con el nombre de frotamiento interno o viscosidad.
Se puede comprobar esto por medio de dos placas con una capa delgada de líquido en el medio, para
mover la placa superior debemos aplicar una fuerza F
:
Como se ve, existe una delgada capa de contacto con la pared sólida (fija), que según Meyer no puede
desarrollar frotamiento o deslizamiento, esta capa es conocida como capa límite y tiene viscosidad cero.
La separación de placas es pequeña para que la distribución de velocidades pueda considerarse lineal.
C
BA
D
nD
Fr
vr
vvrr
D+A
Avr
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Consideremos una porción de fluido, muy pequeña ABCD que en un tiempo tD pasa a otra posición y se deforma:
n
A
C
B
D
A´ B´
C´D´
(V + V) tA
V tA
D´´
0 0
( )
n v t
vsi t n
t n
d dvelocidad de deformación
dt dn
D D D D
D D D D
D D
α v
De acuerdo a lo ya dicho, existe proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la velocidad de deformación:
: Fuerza tangencial por unidad de superficie
dvdn
: Gradiente transversal de velocidad o velocidad de deformación
: Viscosidad dinámica o factor de proporcionalidad
A : Área de la superficie de la placa superior
F
: Fuerza de corte
Si despejamos de la expresión de Newton la viscosidad tendremos que:
1 1
2 2
F dn M L L TM L T
A dv T L L
En el sistema c.g.s. su unidad fundamental es el poise: gr cm seg poisse
La viscosidad cinemática relaciona la viscosidad dinámica de un fluido con su densidad y viene dada por la
ecuación: 1 1
2 1
3
M L TL T
M L
Su unidad fundamental en el sistema c.g.s. es el Stokes:
2
3
gr cm seg cmStokes
gr cm seg
:
dv
dn
dvSegún Newton
dn
dvF A A
dn
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Hidrostática
Recibe este nombre la parte de la Mecánica que estudia el equilibrio de los fluidos que se encuentran en reposo.
En general se toma como sistema de referencia para definir estos estados de equilibrio, cualquier terna de eles
solidaria a la tierra o que esté animado con respecto a una de esas ternas, de movimiento rectilíneo y uniforme
(sistemas galileanos o inerciales).
Los fluidos en estudio se consideran como un continuo, estará en equilibrio únicamente cuando la resultante de
la totalidad de las fuerzas que actúan en cada una de sus partes es nula.
Para aplicar este principio fundamental a una masa fluida cualquiera(o a una porción de la misma), se deberán
considerar las fuerzas que actúan sobre la superficie que encierra todo el fluido (o una parte del mismo), y las que
actuando sobre cada una de sus partículas son proporcionales a su masa o a su volumen. Las fuerzas del primer tipo
se denominan fuerzas superficiales; y fuerzas de masa o de volumen las del segundo.
De esto se deduce que en un fluido en equilibrio no existen fuerzas de fricción, o sea esfuerzos tangenciales.
La fuerza superficial normal por unidad de área se denomina presión:
AD : Área del elemento de superficie.
ED . Fuerza total sobre la superficie de área AD .
La presión es independiente de la orientación del plano sobre la que se ejerce
Partiendo del principio que rige el equilibrio de los fluidos y del hecho ya explicado de que en estos, en estado
de equilibrio, no existen tensiones tangenciales, vamos a demostrar que la presión en un unto cualquiera de un fluido
en equilibrio, es igual en todas las direcciones.
Sea un volumen elemental cualquiera de forma
tetraédrica de una masa fluida en equilibrio. Tal como lo
exige el principio fundamental enunciado anteriormente,
las fuerzas que actúan sobre este tetraedro deben tener
resultante nula, o lo que es lo mismo; las proyecciones de
dichas fuerzas sobre cada uno de los ejes coordenados
también deben ser iguales a cero.
Las únicas fuerzas que se considerarán son las
superficiales, ya que las fuerzas de masa se pueden
despreciar. En efecto las fuerzas superficiales, como se
verá, son proporcionales al producto de dos aristas del
tetraedro, las fuerzas de masa resultan proporcionales a
dzdydx , siendo por consiguiente infinitésimo de orden superior respecto a las primeras, lo que permite
despreciarlas sin cometer error.
Las fuerzas superficiales que actúan en cada una de las caras son, tal como se ven en la figura:
dAp ; 2
dzdypx
;
2
dzdxpy
;
2
dydxpz
0A
E dEp
dAAlimD
D
D
x
y
z
p dA
··
2x
dy dzp
··
2z
dx dyp
··
2y
dx dzp
B
dz
dy
dx
C
A
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R 5
Si dA es el área de la superficie de la cara ABC, y px, py, pz las presiones que actúan sobre cada una de las
resultantes.
Proyectando dichas fuerzas sobre los ejes coordenados y teniendo en cuenta que:
cos ; cos ; cos2 2 2
dy dz dx dz dx dydA dA dA
En las que cos ,cos , cos son los cosenos directores de la fuerza p dA
(normal al plano ABC), se
deduce que:
coscos dApdAp x xpp
coscos dApdAp y ypp
coscos dApdAp z zpp
pppp zyx
Como la terna de ejes y el elemento de fluido utilizado en el desarrollo fueron elegidos arbitrariamente, queda
demostrado que en un punto cualquiera de un fluido en equilibrio, la magnitud de la fuerza por unidad de área es
independiente de la orientación de ésta.
De lo anterior se deduce que la magnitud de las presiones en un punto cualquiera de un fluido en equilibrio
puede representarse por los radios de una esfera cuyo centro coincide con el punto considerado.
Ecuación Fundamental de la Hidrostática
Esta ecuación nos permitirá establecer las relaciones necesarias para resolver muchos de los
problemas que se relacionan con el equilibrio de los líquidos.
Como en los casos anteriores, la
demostración parte del principio
fundamental del equilibrio de los fluidos,
estableciendo las condiciones de
equilibrio de un paralelepípedo elemental
cualquiera perteneciente a una masa
líquida sometida a la acción de fuerzas de
masa y presiones superficiales.
En efecto, consideramos el
paralelepípedo elemental de la figura, sea
𝜌 su densidad y 𝑋 − 𝑌 − 𝑍 las
componentes según los ejes coordenados
de las fuerzas por unidad de masa que
actúan sobre el mencionado elemento.
Las presiones que actúan sobre sus caras son:
𝑝 ; 𝑝 +𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑𝑥 ; 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦𝑑𝑦 ; 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧𝑑𝑧
·p dxdy
·p dydz
·p
p dy dxdzy
+
·p
p dx dydzx
+
·p
p dz dxdyz
+
·p dx dz
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R 6
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio para cada dirección coordenada, resulta:
𝑝 · 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − 𝑝 +𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 𝜌 · 𝑋 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0
𝑝 · 𝑑𝑥 𝑑𝑧 − 𝑝 +𝜕𝑝
𝜕𝑦𝑑𝑦 · 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 𝜌 · 𝑌 · 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 0
𝑝 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 − 𝑝 +𝜕𝑝
𝜕𝑧𝑑𝑧 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝜌 · 𝑍 · 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 0
De donde se tiene finalmente:
𝜌 · 𝑋 =𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜌 · 𝑌 =𝜕𝑝
𝜕𝑦 (2)
𝜌 · 𝑍 =𝜕𝑝
𝜕𝑧
Multiplicando ambos miembros de estas igualdades respectivamente por 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 y sumando
resultará:
𝜌 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 + 𝑍 𝑑𝑧 =𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑𝑦 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧𝑑𝑧 (3)
Como 𝑝 = 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) el segundo miembro de la ecuación (3) es su diferencial exacta:
𝜌 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 + 𝑍 𝑑𝑧 = 𝑑𝑝 (4)
Superficies de Nivel
En un líquido en equilibrio, se denomina “superficie de nivel” a los lugares geométricos de los
puntos de igual presión hidrostática. La superficie libre de un líquido es un ejemplo de superficie de
nivel.
Demostraremos ahora que las fuerzas de masa son normales a las superficies de nivel.
En efecto por ser el segundo miembro de la ecuación (4) una diferencial exacta, también debe serlo
el primero. Existirá pues una función 𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 tal que:
𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 /
𝑑𝑈 =𝜕𝑈
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑈
𝜕𝑦𝑑𝑦 +
𝜕𝑈
𝜕𝑧𝑑𝑧 = 𝑋 𝑑𝑥 + 𝑌 𝑑𝑦 + 𝑍 𝑑𝑧 (5)
∴ 𝜕𝑈
𝜕𝑥= 𝑋 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥 ;
𝜕𝑈
𝜕𝑦= 𝑌 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦 ;
𝜕𝑈
𝜕𝑧= 𝑍 =
𝜕𝑓
𝜕𝑧 (6)
Ecuación Fundamental de
la Hidrostática
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Comparando (4) con (5):
𝑑𝑈 =𝑑𝑝
𝜌 (7)
En una superficie de nivel, donde se verifica que 𝑑𝑝 = 0 porque las presiones son iguales en
todos los puntos, la expresión resultará:
𝑑𝑈 = 0 ∴ 𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒.
Es decir, en todos los puntos de una superficie de nivel, la función 𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 tiene un valor
constante, y como es evidente la ecuación de la referida superficie es la función:
𝑈 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒.
Los cosenos directores de las normales a dicha superficie están dados por las fórmulas:
cos 𝛼 =
𝜕𝑈𝜕𝑥
𝜕𝑈𝜕𝑥
2
+ 𝜕𝑈𝜕𝑦
2
+ 𝜕𝑈𝜕𝑧
2
cos 𝛽 =
𝜕𝑈𝜕𝑦
𝜕𝑈𝜕𝑥
2
+ 𝜕𝑈𝜕𝑦
2
+ 𝜕𝑈𝜕𝑧
2
cos 𝛾 =
𝜕𝑈𝜕𝑧
𝜕𝑈𝜕𝑥
2
+ 𝜕𝑈𝜕𝑦
2
+ 𝜕𝑈𝜕𝑧
2
Expresiones que de acuerdo con las igualdades en (6) se convierten en:
cos 𝛼 =𝑋
𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
cos𝛽 =𝑌
𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
cos 𝛾 =𝑍
𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2
Estos valores coinciden con los cosenos directores de las fuerzas por unidad de masa, cuyas
componentes según los ejes coordenados son 𝑋 𝑌 𝑍 . Con eso queda demostrado que las fuerzas de
masa son normales a las superficies de nivel.
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R 8
La función 𝑈(𝑥; 𝑦; 𝑧) se denomina “función potencial”.
El campo de las fuerzas de masa, cuyas componentes 𝑋 𝑌 𝑍 son las derivadas parciales de 𝑈 , se
llama “campo potencial”
Presión en un Punto de una Masa Líquida en Equilibrio
La expresión que nos da el valor de la presión hidrostática en un punto de una masa líquida en
equilibrio, sometida únicamente a la acción de la gravedad, puede deducirse de la ecuación
fundamental (4). Haciendo coincidir el eje de las “z” con la dirección de las fuerzas de atracción
terrestre, se verifica:
𝑋 = 0 ; 𝑌 = 0 ; 𝑍 = −𝑔
∴ −𝜌 · 𝑔 · 𝑑𝑧 = 𝑑𝑝 7
Y como: 𝜌 = 𝛾 𝑔
𝑝 = −𝛾 · 𝑧 + C (8)
La constante de integración C puede
despejarse conociendo la presión
hidrostática en un punto R0 de la masa del
fluido. Por lo que resultará.
𝑝0 = −𝛾 𝑧0 + 𝐶
⟹ 𝐶 = 𝑝0 + 𝛾 · 𝑧0
Sustituyendo en (8) tenemos:
𝑝 = −𝛾 · 𝑧 + 𝑝0 + 𝛾 · 𝑧0
∴ 𝑝 − 𝑝0 = 𝛾 𝑧0 − 𝑧 (9)
𝑝 = 𝑝0 + 𝛾 𝑧0 − 𝑧 = 𝑝0 + 𝛾 · (10)
Fórmula que nos da la presión hidrostática en un punto cualquiera 𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧) en función de la
existente en otro punto de la misma masa líquida.
Conviene en general tomar como punto de referencia (R0) uno que se encuentre sobre la superficie
libre, si la hay. La presión 𝑝0 en este caso será, en la mayoría de nuestros problemas, la presión
atmosférica y la diferencia = 𝑧0 − 𝑧 será la profundidad del punto considerado (R) por debajo del
plano de la superficie libre.
Las ecuaciones (9) y (10) son válidas indistintamente para fluidos ideales o viscosos y en todos los
casos en que pueda pasarse de un punto a otro de la masa líquida sin salir de la misma.
x
y
0R
R0z z h
0z
0x
0y
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R 9
Empuje sobre Superficies Planas
Analizaremos el caso de una figura plana sumergida en un líquido en equilibrio, el empuje total
que se ejerce sobre ella será.
y
Cy
Gyh
Gh
Ch
dE p dA
q
y
x
A
G
C
hCh Gh
G
C
A
BB
dA A
O
𝐸 = 𝑝 𝑑𝐴
𝐴
En la que 𝑝 es la presión en cada punto y 𝑑𝐴 es el área de un elemento de superficie.
Además 𝑝 = 𝛾 · y = 𝑦 · sen 𝜃 , por lo que resulta:
𝐸 = 𝛾 𝑑𝐴
𝐴
= 𝛾 · sen 𝜃 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
(28)
Pero 𝑦 𝑑𝐴
𝐴 es el momento estático de la superficie con respecto a “O” intersección del plano
que contiene A con la superficie libre del líquido, por lo que:
𝑦 𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴 · 𝑦𝐺
En la que 𝑦𝐺 es la distancia entre el baricentro de A y el eje “O”
∴ 𝐸 = 𝛾 · sen 𝜃 · 𝑦𝐺 · 𝐴 = 𝛾 · 𝐺 · 𝐴 (29)
En la que 𝛾𝐺 es la presión en el baricentro de la superficie considerada.
Podemos decir entonces que “el empuje total que un líquido en equilibrio ejerce sobre una
superficie plana es igual al producto de su área por la presión hidrostática que se ejerce sobre su
centro de gravedad”.
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R 10
Centro de empujes. Determinación
Para determinar el punto de aplicación del empuje total, bastará con tomar momentos con respecto
al eje “O” de los esfuerzos elementales y dividir dicho momento por el valor del esfuerzo total:
𝐸 · 𝑦𝑐 = 𝑦 𝑝 𝑑𝐴
𝐴
y como: = 𝑦 sen 𝜃
∴ 𝑦𝑐 = 𝑦 𝑝 𝑑𝐴
𝐴
𝐸=
𝑦 𝛾 𝑑𝐴
𝐴
𝑝 𝑑𝐴
𝐴
=𝛾 sen 𝜃 𝑦2 𝑑𝐴
𝐴
𝛾 sen 𝜃 𝑦 𝑑𝐴
𝐴
=𝛾 sen 𝜃 𝐼0
𝛾 sen 𝜃 𝑆0
En donde 𝐼0 es el momento de inercia con respecto al eje “O”, y 𝑆0 es el momento estático de la
superficie con respecto al eje de traza “O”.
𝑦𝑐 =𝐼0
𝑆0
Si escribimos la expresión anterior en función del radio de inercia (o de giro) de la superficie con
respecto al eje de baricéntrico paralelo a “O” tendremos:
𝐼0 = 𝐴 · 𝑖02 ∴ 𝐼0 = 𝐴 𝑦𝐺
2 + 𝑖𝐺2
∴ 𝑦𝑐 =𝐴 𝑦𝐺
2 + 𝑖𝐺2
𝐴 𝑦𝐺= 𝑦𝐺 +
𝑖𝐺2
𝑦𝐺 (33´)
Debe observarse que en todos los casos, según la (33´) el centro de presión ocupa una posición más
profunda que el baricentro de la superficie plana sometida a la presión hidrostática. Esto se debe por
supuesto a la circunstancia de que al presión crece hacia abajo.
Si fuera uniforme, ambos centros coincidirían, como es el caso de una superficie horizontal.
Empujes sobre Superficies Alabeadas
Pasamos a determinar ahora el empuje que un líquido en equilibrio ejerce sobre una superficie
curva.
El esfuerzo total puede considerarse como la suma de los esfuerzos parciales que actúan sobre
cada uno de los elementos de área elemental. Este sistema de fuerzas parciales no se compone en
general por fuerzas paralelas o contenidas en un plano, por lo que podrá reducirse en principio, a una
resultante de traslación y a un par que se aplica según leyes de la estática.
Si llamamos 𝛼𝑖 ; 𝛽𝑖 ; 𝛾𝑖 a los ángulos que forman las normales a la superficie considerada con
los ejes coordenados, las componentes de los esfuerzos elementales serán:
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R 11
𝑑𝐸𝑥 = 𝑝 · 𝑑𝐴 · cos𝛼𝑖
𝑑𝐸𝑦 = 𝑝 · 𝑑𝐴 · cos𝛽𝑖
𝑑𝐸𝑧 = 𝑝 · 𝑑𝐴 · cos𝛾𝑖
O también puede pueden ser:
𝑑𝐸𝑥 = 𝛾 · − 𝑧 · 𝑑𝐴 · cos 𝛼𝑖
𝑑𝐸𝑦 = 𝛾 · − 𝑧 · 𝑑𝐴 · cos 𝛽𝑖
𝑑𝐸𝑧 = 𝛾 · − 𝑧 · 𝑑𝐴 · cos 𝛾𝑖
Por lo tanto las proyecciones de
la resultante de traslación son:
𝐸𝑥 = 𝛾 − 𝑧
𝐴
cos𝛼𝑖 𝑑𝐴 ; 𝐸𝑦 = 𝛾 − 𝑧 cos 𝛽𝑖 𝑑𝐴
𝐴
; 𝐸𝑧 = 𝛾 − 𝑧 cos 𝛾𝑖 𝑑𝐴
𝐴
Integrales que se resuelven en casos particulares, teniendo en cuenta la ecuación analítica de la
superficie curva que se considera.
Si nos fijamos en la figura, 𝑑𝐴 cos𝛾𝑖 es la proyección de la superficie elemental de área 𝑑𝐴 sobre el plano coordenado "𝑋𝑌" , y el producto 𝛾 − 𝑧 𝑑𝐴 cos𝛾𝑖 resulta el peso de un prisma
líquido elemental ubicado entre la superficie curva y la superficie libre del líquido, por lo tanto:
𝐸𝑧 = 𝛾 − 𝑧 cos 𝛾𝑖 𝑑𝐴
𝐴
Es el peso de la columna líquida que gravita sobre la superficie curva que se considera.
Con respecto al empuje 𝐸𝑥 puede hacerse un razonamiento similar:
𝐸𝑥 = 𝛾 − 𝑧 cos 𝛼𝑖 𝑑𝐴
𝐴
Pero como 𝑑𝐴 cos 𝛼𝑖 es la proyección del elemento 𝑑𝐴 sobre el plano "𝑌𝑍" , puede escribirse:
𝐸𝑥 = 𝛾 − 𝑧
𝐴
𝑑𝐴𝑍𝑌
O también:
𝐸𝑥 = 𝛾 · ( − 𝑧)𝐺𝑌𝑍· 𝐴𝑌𝑍
En la que ( − 𝑧)𝐺𝑌𝑍 es la profundidad del baricentro de la proyección de la superficie
considerada sobre el plano 𝑌𝑍 , y 𝐴𝑌𝑍 es el área de dicha proyección.
z
x
y
ZdE
ydE
dA¬¾¾
x
y
z
p dA
A
XdE
h
·cosi
dA ^
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R 12
Idéntico razonamiento puede hacerse con respecto al empuje 𝐸𝑦 llegándose a su expresión:
𝐸𝑦 = 𝛾 · ( − 𝑧)𝐺𝑋𝑍· 𝐴𝑋𝑍
En la que ( − 𝑧)𝐺𝑋𝑍 es la profundidad del baricentro de la proyección de la superficie
considerada sobre el plano 𝑋𝑍 , y 𝐴𝑋𝑍 es el área de dicha proyección.
Por lo tanto, el empuje horizontal según una dirección dada es igual al área de la proyección de la
superficie que se considera sobre un plano vertical normal a dicha dirección, multiplicada por la
presión hidrostática a la profundidad del baricentro de esa proyección.
El par resultante puede obtenerse teóricamente, estableciéndose las expresiones del momento del
sistema de fuerzas elementales, con respecto al centro de reducción elegido.
Estabilidad de Cuerpos Totalmente Sumergidos y de Cuerpos Flotantes
Se sabe por el “Principio de Arquímedes” que un cuerpo sumergido en un fluido pierde
aparentemente, de su peso tanto como pesa el fluido por él desalojado. O lo que es igual: Un cuerpo
sumergido total o parcialmente en un fluido está sujeto a un empuje de abajo hacia arriba, cuya
magnitud es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.
Se deduce de este principio que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo total o parcialmente
sumergido en una masa fluida son los siguientes:
a) El peso del cuerpo. Esta fuerza tiene dirección vertical, sentido: de arriba hacia abajo, y su
punto de aplicación es el baricentro del cuerpo.
b) El empuje que ejerce el fluido, y que está aplicado en el centro de gravedad de la masa fluida
desplazada por el cuerpo (o sea, el centro de volumen de la parte sumergida del sólido). Este
punto de aplicación del empuje se denomina en general, “Centro de Empuje”, y toma también
el nombre de centro de flotación o centro carena en el caso particular de los cuerpos
parcialmente sumergidos. El empuje tiene también dirección vertical pero su sentido es
opuesto al del peso del cuerpo.
Resulta evidente, por tanto, que para que un cuerpo total o parcialmente sumergido este en
equilibrio, es necesario que las fuerzas antes citadas tengan igual intensidad, y que sus puntos de
aplicación se encuentren sobre la misma vertical
Pero estas consideraciones no resultan suficientes por si solas para
establecer el carácter de de equilibrio referido. Para determinar si un
cuerpo total o parcialmente sumergido esta en equilibrio estable,
inestable o indiferente, resulta necesario estudiar si el cuerpo después de
experimentar un cambio de posición bajo la acción de una fuerza
accidental, vuelve a su posición primitiva de equilibrio una vez que deja
de actuar dicha fuerza. Si tal caso ocurre el equilibrio en el que estaba el
cuerpo era estable; si por el contrario, continua alejándose de su posición inicial, el equilibrio es
inestable y si permanece en la nueva posición una vez que la fuerza accidental deja de actuar, el
equilibrio es indiferente.
Antes de entrar a analizar la estabilidad de los cuerpos total o parcialmente sumergidos,
recordaremos que todo desplazamiento puede descomponerse en una traslación y una rotación. Las
traslaciones, tanto horizontales como verticales, no alteran las condiciones de estabilidad de los
cuerpos total o parcialmente sumergidos.
C
G
Er
Pr
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Por consiguiente en el estudio de la estabilidad de los cuerpos total o parcialmente sumergidos
“solo interesa considerar las rotaciones en que puede descomponerse cualquiera de los
desplazamientos que eventualmente puede experimentar el cuerpo”.
1) Estabilidad de los cuerpos totalmente sumergidos
Si analizamos el caso de la figura, vemos que si el centro de gravedad del cuerpo está por debajo
del centro de empuje, el par que se origina al producirse el desplazamiento tiende a restablecer al
cuerpo en su primitiva posición. Por ello el equilibrio es estable.
Si el centro de gravedad en cambio se halla por arriba del centro de empuje, el par producido a raíz
de la votación tiende a alejar al
cuerpo de su posición primitiva. El
equilibrio es por lo tanto inestable.
Si el centro de gravedad del
cuerpo y el centro de empuje
coincidieran el equilibrio seria
indiferente. Por lo que se deduce
que un cuerpo homogéneo (de
densidad uniforme) totalmente
sumergido, de estar en equilibrio, este solo puede ser indiferente.
2) Estabilidad de cuerpos parcialmente sumergidos (Flotantes)
El estudio de la estabilidad de cuerpos flotantes si bien es lo fundamental se realiza en forma
análoga a la expuesta para el caso de cuerpos totalmente sumergidos, ofrece ciertas complicaciones que
obligan a introducir nuevos conceptos para definir si el cuerpo flota en equilibrio estable o inestable.
C
G
C
G
O O1 2
56
1
6
3
2
4
5
dq
M
´C
Sea el caso de un cuerpo cualquiera con dos ejes de simetría (un caso común en la ingeniería
práctica) que se encuentra en equilibrio, en este caso no puede enunciarse una regla tan sencilla como la
C
G
E
P
C
G
E
P
M
C
G
E
P
C
G
E
P
M
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deducida para los cuerpos totalmente sumergidos que permitía establecer la condición de equilibrio en
función de la posición relativa en altura de los centros de gravedad y de empuje.
Ello se debe a que un desplazamiento del cuerpo provoca un cambio de la posición del centro de
carena, cambio de posición que en ciertas circunstancias es de tal naturaleza que el equilibrio puede ser
estable aun estando el centro de carena por debajo del de gravedad.
Analizamos la estabilidad de la figura del dibujo, con respecto a una rotación que se efectúa
alrededor de un eje de traza “O” contenido en el plano de simetría longitudinal. Como se parte de la
hipótesis de que el cuerpo está en equilibrio, es necesario que se verifique que el centro de gravedad
“G” y el centro de empujes o de carena “C” se hallen sobre la misma vertical.
Al producirse una rotación infinitesimal 𝑑𝜃 alrededor del eje longitudinal de traza “O”, una parte
del cuerpo se sumergirá y otra de igual volumen emergerá. Por consiguiente la porción sumergida
cambiará de forma, experimentando el centro de carena un desplazamiento con respecto al cuerpo. En
estas circunstancias las fuerzas que actúen sobre el cuerpo, peso propio y empuje del agua, al no actuar
sobre una misma recta, formarán un par cuyo signo determinará que el cuerpo vuelva a su posición
inicial, o bien gire hasta alcanzar una posición de equilibrio diferente a la anterior.
En la figura se puede apreciar que si el punto “M” (intersección de la dirección del empuje del agua
y del plano de simetría del cuerpo) o “metacentro” está por arriba de “G”, centro de gravedad del
cuerpo, el equilibrio es estable, y es inestable si está por debajo del mismo. El segmento 𝐺𝑀 se llama
altura metacéntrica, su magnitud es en cierta forma la medida de la estabilidad del cuerpo, pues tanto
mayor cuanto mayor es el brazo de palanca del par estabilizador. Determinaremos el valor de la altura
metacéntrica 𝐺𝑀 :
𝐶𝐶 ´ = 𝐶𝑀 · 𝑑𝜃 ⟹ 𝐶𝑀 =𝐶𝐶 ´
𝑑𝜃=
𝑎
𝑑𝜃 (44)
𝐺𝑀 = 𝐶𝑀 − 𝐶𝐺 =𝐶𝐶 ´
𝑑𝜃− 𝐶𝐺 =
𝑎
𝑑𝜃− 𝐶𝐺 (45)
En la que 𝐶𝐶 ´ es la proyección
horizontal del desplazamiento que ha
experimentado el centro “C” del
empuje hidrostático. Su valor puede
determinarse mediante métodos de la
estática para determinar centro de
gravedad.
Aplicamos en los centros de
gravedad de las superficies o
volúmenes, vectores paralelos entre
sí y proporcionales a sus respectivos
volúmenes. Tomamos momento
estático con respecto al punto “C´”
situado en la recta de acción del
empuje.
𝑉 · 𝑎 − 𝑉´ · 𝑙 = 0
∴ 𝑉 · 𝑎 = 𝑉´ · 𝑙
En la que 𝑉 es el volumen del líquido que desplaza el cuerpo, 𝑉´ es el volumen de las cuñas
sombreadas y 𝑉´ · 𝑙 su momento:
𝑉´ · 𝑙 = 𝑑𝜃 · 𝑦 · 𝑑𝐴 · 𝑦 = 𝑑𝜃 𝑦2𝑑𝐴 = 𝑑𝜃 · 𝐼𝑥𝑥
C
G
O
1
6
3
2
4
5
dq
M
´C
´V
´V
V
a
l
dA
y dq
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En la que 𝐼𝑥𝑥 es el momento de inercia de la superficie limitada por la línea de flotación con
respecto al eje x (de traza “O”); 𝑑𝜃 · 𝑦 · 𝑑𝐴 es el volumen de un prisma elemental de base 𝑑𝐴 y altura
𝑑𝜃 𝑦 ; e 𝑦 es el brazo de palanca para cada prisma elemental.
𝑉 · 𝑎 = 𝑉´ · 𝑙 = 𝑑𝜃 · 𝐼𝑥𝑥 ⟹ 𝑎 =𝑑𝜃 · 𝐼𝑥𝑥
𝑉
Por lo tanto:
𝐶𝑀 =𝑎
𝑑𝜃=
𝐼𝑥𝑥𝑉
(44´)
Finalmente:
𝐺𝑀 =𝐼𝑥𝑥𝑉
− 𝐶𝐺 (45´)
Si se cumple que:
𝐶𝑀 > 𝐶𝐺
Entonces el equilibrio es estable.
Es decir que 𝐺𝑀 > 0 para que el equilibrio sea estable
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Cinemática de los fluidos
Generalidades:
Estudiaremos ahora el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, es decir, sin entrar a la
consideración de las causas que la originan, que se verán al abordar la dinámica.
Es necesario el conocimiento del aspecto de un fluido en movimiento, de las líneas descriptas por las partículas,
de las que pueden trazarse en el campo ocupado por el escurrimiento cuando se conocen las velocidades, etc. Pero
previamente precisaremos el concepto de partícula, noción, ésta, fundamental en Mecánica de los Fluidos. Su
magnitud es tal que no es posible imaginar discontinuidades entre una y otra, el número de moléculas que posean
debe ser el suficiente para darle el carácter de las grandes masas de fluido. Pero al mismo tiempo el volumen
ocupado por cada partícula debe ser despreciable con respecto al de la masa total del fluido estudiado.
Puesto que las partículas deben estar siempre en contacto, consideremos imposible el choque entre unas y
otras.
Métodos de descripción
Para conocer el estado de movimiento de un fluido, en cada instante de tiempo, pueden emplearse dos
métodos. El primero es conocido con el nombre de “Lagrange” y el segundo con el de “Euler”.
Cualquiera sea el procedimiento que se emplee, el propósito es estudiar lo mejor posible las relaciones entre la
posición de la partícula y el tiempo.
a) Método de Lagrange:
El método de Lagrange describe el movimiento de cada partícula
durante su viaje. Entonces lo primero que es necesario conocer es el camino que ha recorrido, que se llama
trayectoria. Dada la abstracción hecha antes, podemos imaginar que las partículas no tienen dimensiones, es decir,
asimilarlas a un punto material, y por esto el camino que recorran en el espacio será, a su vez, asimilable a una línea.
Podemos pues, definir las trayectorias como las líneas descriptas por las partículas en su movimiento.
En un espacio triplemente infinito y referido a un sistema cartesiano coordenado, podemos definir
escalarmente la trayectoria como.
0 0 0( , , , )X x x y z t 0 0 0( , , , )Y y x y z t 0 0 0( , , , )Z z x y z t
Los valores 0 0 0, ,x y z definen la posición inicial de la partícula en un instante t0.
Vectorialmente la trayectoria queda expresada por una sola
ecuación, el vector posición se expresa:
0 0 0 0 0; ; ;x y z tr r
(1)
0 0 0 0x y z + +r i j k
0;tr r r
(2)
Entonces las componentes de la velocidad según lo ejes
rDuurz
x
y
z0
y0
x0
0 0 0 0 0; ; ;r r x y z t
ur ur
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coordenados serán:
0
0
0
xt
yt
zt
x xim
t t
y yim
t t
z zim
t t
D
D
D
D
D
D
D
D
D
v i
v j
v k
(3)
b) Método de Euler:
El método de Euler
no sigue a cada partícula como el método anterior, sino
que observa todos los que pasan por un punto del espacio a
través del tiempo. Entonces la velocidad que calculemos
será función del punto considerado y del tiempo, se tendrá
que:
0 0 0; ; ;x x y z t xv v
0 0 0; ; ;y y x y z tv v
(5)
0 0 0; ; ;z z x y z tv v
;r tv v
(5 )
; ;x y z
dx dy dzv v v
dt dt dt (6)
Estas expresiones son derivadas totales porque, ahora con la salvedad de que seguimos a una partícula (x0; y0;
z0), son funciones exclusivas de t .
Trayectorias y Líneas de Corrientes:
Ya hemos definido las trayectorias como el camino recorrido por cada una de las partículas.
Una familia de curvas tales que en ese mismo instante t sean tangentes en todos los puntos a las velocidades
vr
, constituye el conjunto de líneas de corrientes. Estas no pueden cortarse en un punto regular, pues si así sucediera
la partícula que pasara en el instante t por el punto de intersección, tendría simultáneamente dos velocidades
diferentes.
Supongamos que en el campo de velocidades haya una curva cerrada, que no sea línea de corriente y que todas
las líneas de corrientes la corten en un instante dado. Si el campo de velocidades es continuo, formaran un tubo de
cierta longitud que llamaremos Tubo de Flujo y que no puede ser atravesado por el fluido, en ese instante, pues las
líneas de corrientes no pueden cortarse. El fluido escurre pues como por entre paredes impermeables, es decir, como
si fuese un tubo real.
El fluido interior a un tubo de flujo de directriz infinitesimal se denomina Filamento de Corriente.
z
x
y
z0
yx0
trvv ;
tzyx ;;; 00000 rr
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Filetes:
Además de las trayectorias y líneas
de corrientes, debemos considerar otra
clase de líneas características del
escurrimiento. Definiremos pues como
filetes a las líneas que unen las posiciones
instantáneas de las partículas que pasaran
o pasarán por cada punto del espacio.
Movimientos Permanentes y No Permanentes
Todo lo anterior se refiere a aquellos movimientos que estudiados con el criterio de Euler, presentan la
propiedad de que la velocidad es función del punto y el instante considerados. O en otras palabras, aquellos
movimientos en que la velocidad en cada punto cambia con el tiempo. Estos se designan con el nombre de “no
permanentes”; para los cuáles se cumple la circunstancia de que “trayectoria”, “línea de corriente” y “filete” son
distintos.
En cambio, cuando la velocidad es función del punto pero no del tiempo; el movimiento se llama “permanente”
o “estacionario”. Durante su desarrollo se observa que las tres clases de líneas coinciden, y su posición es invariable
con el tiempo.
En particular, cuando el vector velocidad no depende del tiempo ni de la posición elegida, el movimiento
permanente se llama “uniforme”. Las trayectorias son entonces rectilíneas y paralelas, y la velocidad de las
partículas es constante a lo largo de aquellas.
Para este caso, pues, se podrá hablar indistintamente de “trayectoria” o “filete” o “línea de corriente”.
Caudal: Definición
Hemos descrito al movimiento en su aspecto íntimo, sin embargo pese a que es esencial conocer las
trayectorias, velocidades, aceleraciones, etc. de las partículas, no podemos dejar de reconocer que la primera
impresión que produce en nosotros una corriente fluida en la realidad, está generalmente alejada de estas cuestiones
matemáticas.
Cuando se observa el agua que pasa por un río, o se piensa en la que lleva una cañería, la primera pregunta que
se suele formular es ¿cuánta agua pasa o conduce esa corriente?
Observemos que esta idea de cantidad de agua conducida tiene carácter integral, pues no nos interesa cual es la
velocidad de cada partícula, sino el conjunto de todas.
La cantidad de fluido solo ha de medirse como cantidad de materia o mejor, como cantidad de masa. Como la
densidad es constante en los fluidos incompresibles, puede hacerse abstracción de la masa y pensar en el volumen,
que le es en todo momento proporcional.
Por consiguiente, la pregunta formulada más arriba deberá contestarse en términos de una cierta cantidad de
kilogramos masa o de metros cúbicos, o de litros que pasan por cada unidad de tiempo elegido para este cómputo.
A esto se llama caudal, flujo o gasto de la corriente que pasa por cierta sección transversal y que se designa con
la letra “Q”.
Tubo de Flujo
Líneas deCorrientes
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Para los líquidos, las unidades elegidas suelen ser:
Metros cúbicos por segundo Q (m3/seg.)
Litros por segundo Q (lts/seg.)
Metros cúbicos por día Q (m3/día)
Hectómetros cúbicos por día Q (Hm3/año), etc.
Veamos ahora como se puede referir esta imagen familiar de la corriente a la que surge del estudio de los
artículos anteriores.
Sea un campo vectorial cualquiera y una superficie de área A dentro
de éste. Llamaremos flujo del vector v a través de una superficie muy
pequeña AD contenida en la otra al producto escalar:
AQ DD nvrr
En la que nr
es el vector normal a la superficie.
Haciendo 0DA
dAvdAvdQ n cos (30)
Es decir, que el flujo a través de dA es el producto de dicha superficie elemental por la proyección del vector
sobre la normal a ella. En cuanto al signo, depende del sentido positivo elegido para la normal “nr
”. Si la superficie
es cerrada adoptaremos como positivo el sentido de la normal entrante al volumen limitado.
Vemos que las unidades del flujo son el producto de las de v
por las de A . Si v
es una velocidad, deben ser
un volumen partido por el tiempo.
Si el vector considerado fuera la velocidad de las partículas que pasan a través de la superficie, la (30) daría el
caudal elemental a través de dA , es decir, el volumen que atraviesa dA en la unidad de tiempo. Es evidente que ese
volumen será tanto mayor cuanto mayor sea la velocidad normal a la superficie.
El caudal total, esto es el volumen que atraviesa la superficie de área total A , en la unidad de tiempo, se
obtendrá sumando los caudales elementales a través de la superficie dA , luego:
· cos cos cosn x y z
A A A
Q dA v dA v v v dA + + v n
(31)
ahora cuando el fluido es compresible utilizamos el caudal de masa, o sea la masa que atraviesa la superficie total
por unidad de tiempo
A
n
A
dAvdAG nvrr
(32)
tanto “Q ” como “G ” son idénticamente nulos a través de las superficies libres o limítrofes de un escurrimiento.
En el caso particular de que la superficie atravesada fuera plana y normal a la velocidad, y esta fuera constante
a través de ella, se tendría:
AvQ (33)
AvG Si =cte. (34)
dA
n
v
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La velocidad media del fluido que pasa por A es el cociente del caudal por el área de la superficie:
nA
m
A
v dA Qv
AdA
Teorema de Gauss
Consideremos un fluido cualquiera, animado de un
movimiento definido por su campo de velocidad. Sea un
volumen cualquiera “ V ” limitado por una superficie
cerrada “ ”.
Si se quiere conocer cuál es el caudal total de fluido
que pasa a través de la superficie de área A , analizamos el
problema a través de un volumen elemental en que puede
subdividirse V :
Por comodidad y como no afecta la generalidad del
razonamiento, tomamos cubos elementales de lados o
aristas dzdydx __ . Calculamos pues el flujo de v
a
través de las caras normales al eje x, con el convenio de
signos adoptado:
x xx x x
v vdQ v dy dz v dx dy dz dx dy dz
x x
+
Análogamente en las dos direcciones restantes:
dzdydxz
vdQdzdydx
y
vdQ z
z
y
y
;
El flujo a través del cubo será:
dzdydxz
v
y
v
x
vdQ zyx
+
+
(35)
El flujo a través de la superficie de área A será, en consecuencia:
Q yx z
n
V
vv vv dA dV
x y z
+ +
(36)
Esta es la fórmula de Gauss o de Ostrogradski
La expresión escalar del vector v
se llama divergencia:
ˆ yx zvv v
divx y z
+ +
(v) (v)
dxx
vv x
x
+
dzz
vv z
z
+
dyy
vv
y
y
+
y
z
x
xv
zv
yv
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Por lo tanto, el flujo total o caudal de v a través de la superficie cerrada de área A, es igual a la integral de
( )div v
extendida a todo el volumen V encerrado por A.
Puede verse también, de la expresión (35), que la divergencia es el caudal por unidad de volumen que atraviesa
la superficie de área dA que limita al volumen infinitésimo dV situado en un punto donde la velocidad tiene un
valor v .
( )div dQ dVv
(35 )
Ecuación de continuidad
Hemos establecido que para el estudio de la mecánica de los fluidos se considerará la invariación de la masa
con respecto al estado de movimiento y ello se traduce en la ecuación de continuidad. Estableceremos entonces que
la materia no puede ser creada ni aniquilada por ningún proceso hidrodinámico.
Tratamos primero el caso de un fluido incompresible, es decir, un fluido
en el que la densidad es constante a través del tiempo. Entonces el principio de
la conservación de la masa se traduce al de conservación del volumen.
Consideremos pues el caso de un escurrimiento en el seno de una
superficie cerrada de área A que encierra un volumen V . Si esta superficie no
es impermeable, será atravesada por el fluido y habrá partículas que ingresen y
partículas que salgan de dicho volumen. Para que la ecuación de continuidad se
cumpla deben ser iguales los flujos entrantes y salientes, porque de lo contrario
habrá producción o destrucción de materia en su interior dada la invariación de
la densidad .
Surge de esto que:
Q= 0nAv dA (36)
Esta expresión exige que la integral del segundo miembro sea nula:
ˆ ( ) 0yx z
vv vdiv
x y z
+ +
(v) v
(37)
para todos los puntos del campo. Esta es la ecuación de continuidad de los fluidos incompresibles.
Si en cambio es fluido es compresible, el caudal total de volumen o de masa a través de A puede no ser nulo,
pues el fluido que llena el volumen limitado puede estar más o menos comprimido. Pero es necesario que este
caudal no nulo sea exactamente compensado con la acumulación o disminución de masa por unidad de tiempo en el
volumen V . El caudal de masa total es:
VA
n dVdAvG )( vr
Por la fórmula de Gauss (38)
Ahora bien, la masa fluida que llena el volumen V es naturalmente:
dVM
V
A dA
n
v
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Por lo tanto, la variación de esta masa por unidad de masa debe ser igual a G :
V
MG dV
t t
=
V
dV v
(39)
0)(0)( +
+
vv
rr
tdV
tV
Desarrollando )( v
( ) ( ) 0grad divt
+ +
v v
(40)
0x y zv v v divt x y z
+ + + +
(v)
(40 )
Es decir que si nos referimos al movimiento de una partícula, utilizando el criterio de Euler:
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx ;;
variacion de laVariación de la densidad en función
densidad en el tiempo del camino o posición del punto,
(variación local) cuando este es a su vez función del tiempo (variac
dx dy dz
t x dt y dt z dt
+ + +
ión convectiva)
0div+ (v)
0d
divdt
+ (v)
(41)
O lo que es igual:
0
+
+
+
z
v
y
v
x
v
dt
d zyx
(41 )
Esta es la expresión más general de la “Ecuación de Continuidad”, en que es función de (x; y; z; t).
Obviamente la ecuación (41) coincide con la ecuación (31) cuando el fluido es incompresible porque entonces seria:
0dt
d.
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Ecuación de continuidad referida a un tubo de flujo
Nos ocuparemos ahora de otra forma de la
ecuación de continuidad, que es la más utilizada en la
Mecánica de los Fluidos práctica.
Supongamos primero un fluido incompresible y en él
un tubo de flujo de sección transversal “A”, en general
variable; el caudal que pasa a través de ella, escurre en cada
instante, lo mismo que si el tubo de flujo fuera sólido. Este
caudal será variable de sección a sección, pues el tubo
experimenta variaciones de tamaños durante el tiempo
transcurrido para pasar de una a otra.
Supongamos un trozo de longitud “dl” en la dirección del escurrimiento medio, la velocidad es constante para
toda la sección del tubo si se elige “A” lo suficientemente pequeño. Como Q es el caudal que pasa a través de la
sección inicial “A1” el que pasa a través de “A2” será: Q+ (Q/l) dl, y el volumen que sale por “A2” en el intervalo
dt es proporcional al caudal: [Q+ (Q/l) dl dt , mientas que el que entro por “A1”es: Qdt , con el convenio de
signos, el volumen V comprendido entre A1 y A2 tendrá durante dt una variación :
·Q
dV dt dll
Pero este incremento puede expresarse igualmente si conocemos la variación de “A”, pues V=A dl dt,
entonces dtdlt
AdV
, por lo tanto:
dtdlt
Adtdl
l
Q
De donde se tiene que:
0
+
t
A
l
Q (43)
Que es la ecuación de continuidad referida al tubo de flujo.
Si el movimiento es permanente 0A t , y la ecuación de continuidad se expresa por la invariación del
caudal a lo largo del tubo de flujo, que ahora es inmóvil y se comporta como si realmente fuera rígido e
impermeable.
Todo lo dicho precedentemente es aplicable al caso de los fluidos compresibles, con la salvedad de considerar,
en lugar del caudal Q, por el caudal de masa G= Q, de la masa contenida en V.
La ecuación de continuidad será entonces:
0Q A
l t
+
(44)
Ecuación, ésta, útil en el estudio del golpe de ariete.
En los líquidos la variación de”” a lo largo de un tubo es sumamente pequeña y puede despreciarse sin error
sensible, por lo que la expresión anterior puede expresarse mas sencillamente:
0AQ
l t
+
(44´)
1A
2A
V
dl1A
2A
V
dl
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Aceleración
La aceleración de una partícula es la variación de su velocidad por unidad de tiempo, su estudio puede hacerse
por dos caminos, según el método de Euler o el de Lagrange
Se puede preguntar cuál es la variación de la velocidad de las partículas que pasan por un punto del espacio
lleno de fluido, ó bien se puede calcular la variación de la velocidad de una partícula a lo largo de su trayectoria.
En el primer caso supondremos fijas las coordenadas del punto en cuestión y solo consideraremos la variación
con respecto al tiempo, esta derivada se denomina local y naturalmente se anula cuando el movimiento es
permanente, su expresión es:
v
t
.
Supongamos que en vez de tratarse de la velocidad se calculase la variación de cualquier otra propiedad física
del fluido (por ejemplo la temperatura, densidad, etc.) entonces si estuviera en reposo no podría considerarse para
cada partícula otra variación que la local, la que concierne al punto en que la partícula estaría durante todo el proceso.
Pero si se considera un fluido en movimiento, la variación local no será la única que cambie la propiedad
mencionada , pues se consibe muy bien que esta varíe por el hecho de que la partícula cambie de posición. A esta
variación se llama “convectiva” o de “convección”.
La derivada de convección depende en consecuencia de:
1. La velocidad de la partícula en sí, o sea del vector velocidad
2. La distribución espacial de la propiedad considerada.
Si se tratase de la velocidad, esta derivada se podría calcular cuando se conozcan los valores de:
zyx
vvv;; Y zyx vvv :;
Que nos dan los componentes de la variación de v
a través del espacio y de la velocidad de la partícula
respectivamente. En efecto si derivamos con respecto al tiempo la función vectorial velocidad, suponiendo
nula la derivada local, se tendrá:
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
x
+
+
vvv O bien:
zyx vz
vy
vx
+
+
vvv
Que será la expresión de la derivada de convección, es decir, la variación de la velocidad de una partícula por el
hecho de que cambia de posición.
Si sumamos ambas derivadas (la local y la convectiva) obtendremos la derivada total de la velocidad con
respecto al tiempo, cuando se considera el movimiento de una partícula. A esta derivada se la conoce como
derivada sustancial y es la expresión aceleración de la partícula:
A
t
vx y zv v v
x y z
+ + +
v v v
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También las componentes del vector A
según los tres ejes coordenados son:
x x y zv v vt x y z
+ + +
x x x xv v v vA
y y y y
y x y zv v vt x y z
+ + +
v v v vA
(46)
z z z zz x y zv v v
t x y z
+ + +
v v v vA
La Aceleración en coordenadas intrínsecas
Si l
es el versor tangente a la trayectoria l de una partícula en
un punto P determinado, tangente también a la línea de corriente que
pasa por P en ese instante, el vector velocidad de aquella estará dado
por el producto del módulo “v” por l
, es decir:
v v l
Llamamos n
al versor normal principal, que es normal a la
curva y está contenida en el plano osculador.
Finalmente b
será el versor binormal, normal a l
y a n
.
La terna “ l
- n
- b
”. Se llama intrínseca, depende de la posición de la partícula sobre la trayectoria “l” y esta
posición del tiempo “t”.
La aceleración de una partícula será por consiguiente:
( )d d v dv dv
dt dt dt dt
+
v l lA l
Pero como “l” es función del camino “s” que es a sus ves
función del tiempo t para una trayectoria determinada, se tiene que:
d d ds d
vdt ds dt ds
l l l
(47)
Puesto que dtds es el módulo de la velocidad. Además dl es
un vector dirigido paralelamente a la normal principal “nr
”. En efecto está en el plano de dos tangentes sucesivas y
es el resultante de dos vectores de igual módulo cuyo ángulo es infinitésimo. Además puesto que “ l
” y “ d+l l
”
lr
dll +r
dslr
dll +r
dl
d
x
y
ln
b
v
P
Triedro Intrínseco
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son módulos iguales a la unidad, “d l
”mide el ángulo de contingencia d . Por ello d dsl
es un vector cuya
dirección es la de “nr
” y cuyo módulo es igual a la curvatura “C ” de la trayectoria.
modd d
Cds ds
l
1d
ds r
ln
(48)
En la que “r” es el radio de curvatura local, entonces de (47) y (48) se tiene:
dl v
nds r
De donde se tiene que: 2dv v
dt r + A l n
Es decir que la aceleración de la partícula no tiene componente según el eje binormal “b”.
Sobre el eje “l ” la componente de la aceleración es dtdv que puede obtenerse sabiendo que v es función de
“ s ” y de “ t ”. Entonces:
s
v
t
vv
s
v
t
v
dt
ds
s
v
t
v
dt
dv
+
+
+
)(
2
1 2
Esta componente se llama “aceleración lineal”:
s
v
t
vAl
+
)(
2
1 2
Aceleración lineal
En cuanto a la componente sobre el eje “n ” puede verse que es la aceleración centrípeta local:
2vAn
0bA
Se comprueba que cuando un movimiento es rectilíneo la aceleración está dirigida como la trayectoria, puesto
que como el radio de curvatura es infinito, la aceleración centrípeta es nula.
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R 27
Dinámica de los fluidos
Esfuerzos en los sistemas continuos en movimiento
Consideremos un sistema continuo en movimiento con respecto a una terna de ejes y veamos que causas son
capaces de provocarlo. Estudiamos las condiciones de una porción fluida limitada por una superficie de área “ A ”en
la cual supondremos contenida una cierta cantidad de partículas, y veamos las acciones que experimentan las
partículas contenidas y las que a su vez ellas transmiten a través del límite ideal. Ahora bien, estas fuerzas pueden ser
de dos clases esencialmente distintas, las primeras corresponden a las acciones que las
partículas exteriores, próximas al límite, transmiten a través de este, y la segunda a las
fuerzas que dependen de la masa contenida en el volumen interior. Analizaremos
primeramente las fuerzas superficiales (primer tipo mencionado), sea “dA” el área de
un elemento infinitésimo de superficie y admitamos que pueda suponerse aplicada a
dA una fuerza del mismo orden de magnitud. Si llamamos “ dATr
” a esta fuerza
superficial elemental, el factor “Tr
”será naturalmente finito.
Euler denominó “esfuerzo” a estas fuerzas superficiales, que son pues
fuerzas y tienen dimensión de estas. El factor Tr
se puede concebir en
cambio como el esfuerzo unitario que se ejerce sobre la superficie y en el punto de posición de “ dA”,
pero por cada unidad de área, suele llamarse también “esfuerzo especifico”.
Hemos dicho que en el fluido perfecto la dirección de los esfuerzos no depende del estado de
movimiento, siendo siempre normales a las superficies sobre las que se ejercen. Pero es una
abstracción pues lo real es que la dirección puede ser cualquiera. Es conveniente enfocar el estudio de
los esfuerzos por sus componentes normales y tangenciales, por lo que definiremos como esfuerzo
normal a la proyección de dATr
sobre la normal a “ dA”.
En cuanto a los signos, diremos que el esfuerzo específico normal es positivo cuando es una
“presión”, o bien cuando su sentido coincida con el de la normal positiva. Cuando A sea el área de una
superficie cerrada, se da el signo positivo a la cara interna a fin de que resulten positivas las presiones ejercidas sobre
el fluido interior.
Definimos como empuje elemental al producto del esfuerzo normal por el elemento de área “n dAT
”, el
empuje total será:
nA
E dA T
Empuje resultante
Fuerzas de Masa y Fuerzas de D´Alembert
Es imprescindible definir claramente las fuerzas de masa y diferenciarlas de las llamadas fuerzas
de D´Alembert o de inercia. Una fuerza de masa puede concebirse como la resultante de las acciones a
distancia que se ejercen sobre los elementos de masa contenidos en una porción fluida. Estas fuerzas
son proporcionales a la masa contenida, y naturalmente no se desarrollarían si el volumen considerado
estuviera vacío, véase la diferencia sustancial con los esfuerzos o fuerzas superficiales.
Así pues, las fuerzas de masa para un elemento de volumen dV serán:
dm dV F F
En la que “ Fr
” es la fuerza por unidad de masa que se desarrolla en el baricentro de dV .
·dATrn
r
dA
A
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Acabamos de definir todas las clases de fuerzas que pueden presentarse en la Mecánica de los
Fluidos, es decir, que podrán ser superficiales o de masa exclusivamente.
Ahora bien, cuando un fluido está en reposo o en traslación uniforme, los principios de la
Hidrostática dicen que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la porción fluida considerada y la
suma de los momentos de las mismas con respecto a cualquier centro, deben ser nulas
simultáneamente.
Esto no ocurre cuando el fluido experimenta una aceleración, el principio de D´Alembert dice
entonces que el sistema estaría en equilibrio o a lo sumo en traslación uniforme (con respecto a un
sistema galileano) si además de las fueras que realmente actúan, se introdujeran otras “ficticias” y
proporcionales a la masa acelerada cuya expresión para el volumen dV es el siguiente:
Ar
dV
En la que “ Ar
” es la aceleración, vector definido en cinemática y su signo (-) dice que esas fuerzas
ficticias se oponen a la aceleración.
Puede verse que Fr
debe tener también la dimensión de una aceleración.
Ecuaciones Indefinidas
Supongamos el movimiento de un continuo sometido a fuerzas de masa y superficiales, y sea “ Ar
”
la aceleración impresa a un
elemento muy pequeño de volumen
“ dV ” y masa “ dV ” que por
comodidad supondremos limitado
por las caras de un paralelepípedo
de aristas dx ; dy ; dz paralelas a
los ejes coordenados, hipótesis ésta
que no introduce limitación alguna
en la validez de nuestros resultados.
Las fuerzas de masa y las de
D´Alembert darán una resultante
aplicada en el baricentro “G ” del
cubo y cuya expresión es la
siguiente:
( ) dV F A
En cuanto a las fuerzas
superficiales, comenzaremos por hallar la resultante de las que actúan sobre las caras normales al eje x ,
será:
dzdy xTr
Y en la cara opuesta:
dzdydxx
+ )( x
x
TT
rr
Y la resultante será:
dVx
dzdydxx
xx TT
rr
)(
y
z
x
xTr
x xTr
x z
x zdx
x
+
TT
rr
x x
x x dxx
+
TT
rr
xx dx
x
+
TT
rr
x y
x y dxx
+
TT
rr
· ·dVr Fr
x zTr
x yTr
· ·dVr Ar
O
Análisis del equilibrio dinámico de unparalelepípedo elemental
dy
dx
dz
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A expresiones análogas se llegará con respecto a los otros ejes:
dVy
yTr
dVz
z
Tr
Las derivadas y
xTr
; y
yTr
; z
zTr
tienen carácter vectorial son fuerzas y pueden concebirse como
los esfuerzos resultantes por unidad de volumen que actúan sobre las caras normales a los ejes
coordenados correspondientes. Por lo tanto de acuerdo al principio ya enunciado será:
0)(
dV
zdV
ydV
xdV ZYX TTT
AF
rrrr
(1)
O bien:
zyx
+
+
ZYX TTT
AF
rrrr
)( (1´)
Que es la primera ecuación indefinida del movimiento de los continuos.
Si proyectamos la expresión anterior sobre los tres ejes coordenados, y llamamos Xr
– Yr
- Zr
a las
componentes de la fuerza de masa Fr
, se tendrá:
zyx
XXX
+
+
ZYX
X
TTTAX
rrrrr
)(
zyx
YYY
+
+
ZYX
X
TTTAY
rrrrr
)( (1´´)
zyx
ZZZ
+
+
ZYX
X
TTTAZ
rrrrr
)(
La segunda condición de equilibrio
dinámico exige también que sea nulo el
momento resultante, con respecto a cualquier
punto, de todas las fuerzas que actúan sobre
una determinada porción del continuo.
Tomamos igual que el caso anterior un
paralelepípedo, y sea su centro coincidente
con el origen de coordenadas (por
simplicidad de cálculo). Respecto al eje Z
tomamos momentos, los de las fuerzas de
masa y de inercia serán nulos por ser
coplanares, lo mismo ocurrirá con aquellos
esfuerzos que también son coplanares con
dicho eje.
y
z
x1
2
y x
y x dyy
TT
rr
1
2
x y
x y dxx
+
TT
rr
1
2
y x
y xdy
y
+
TT
rr
O
1
2
x y
x y dxx
TT
rr
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En consecuencia resultará:
1 1
2 2 2 2
1 10
2 2 2 2
Y YY Y
X XX X
dx dxdx dy dz dx dy dz
x x
dy dydy dx dz dy dx dz
y y
+
+
+
X XX X
Y YY Y
T TT T
T TT T
0 dzdydxdzdydx XY YX TTrr
Entonces:
XY YX TTrr
(2)
Y análogamente, tomando momento respecto a los otros ejes, se llegaría así:
XY YX TTrr
(3)
XY YX TTrr
Las ecuaciones (1´), (2) y (3) son ecuaciones indefinidas, esto es, que deben cumplirse en
cualquier punto de un continuo.
Dinámica del Fluido Perfecto. Ecuaciones de Euler
De (1´´) tenemos tres ecuaciones escalares entre las diferentes magnitudes que intervienen en el
movimiento. Debe agregarse a estas la ecuación de continuidad que se vio en cinemática.
Para que el movimiento esté completamente individualizado es necesario que se conozca la
velocidad (dada por sus proyecciones v v vX Y Z, , ).
Si se tratara de un fluido perfecto (=cte.) los esfuerzos tangenciales son nulos
0 XZY ZYX TTTrrr
. Además los esfuerzos normales X Y ZT T T p X Y Z , el valor común de estos
esfuerzos normales es la presión hidrostática.
Con estas simplificaciones para un fluido perfecto las ecuaciones indefinidas (1´´) se escriben así:
( )p
x
XX A i
, ( )p
y
YY A j
, ( )p
z
ZZ A k
(4)
Que se conocen como las ecuaciones de Euler.
Las expresiones de Euler se pueden resumir con la notación vectorial en una sola:
( )grad p F A
(5)
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Caso en que las Fuerzas de Masa derivan de un Potencial
Todos los procesos reales en la hidráulica se desarrollan en el campo gravitatorio terrestre y por
ello reviste mucho interés el estudio de los movimientos en los que las fuerzas de masa derivan de un
potencial.
Supongamos que “U ” sea la función escalar de un punto, de la que se deriva el campo de fuerzas
conservativo, cuya expresión en un punto cualquiera es “ Fr
”, en tal caso se sabe que:
( )U U U
grad Ux y z
+ +
F i j k
Por lo que las expresiones de Xr
– Yr
- Zr
serán:
kZjYiXrrrrrr
z
U
y
U
x
U
,;
En consecuencia las ecuaciones de Euler se transforman en:
kAjAiA ZYX
rrrrrr
z
p
z
U
y
p
y
U
x
p
x
U
1,
1;
1 (6)
O bien en lenguaje vectorial:
1( ) ( )grad U grad p
A
(7)
Como caso particular, el de un líquido que se encuentra sometido a la acción de la gravedad. Como
= cte. La expresión (7) puede escribirse así:
pgrad U
A
(8)
Además resulta que 0UzgU + donde “g” es la aceleración de la gravedad y “z” la cota
geodésica sobre un plano de referencia X-Y en la que el potencial vale U0, entonces:
; , ·p p p
z gx y z
+
X Y ZA i A j A k
(9)
O bien:
pgrad z g
+
A
(10)
En la Mecánica de los Fluidos práctica (Hidráulica) suele escribirse de otra forma considerando
que “ g ” se mantiene constante en todo el campo:
pgrad z
g
+
A
(11)
La magnitud “ pz + ” o cota piezométrica en Hidrostática se mantiene constante.
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Proyección de las Ecuaciones de Euler sobre el Triedro Intrínseco
Veremos ahora el problema más general del movimiento en el que es cualquiera la repartición de
velocidades y presiones en el campo abarcado.
En estas condiciones parece sumamente práctica la elección de una terna de referencia intrínseca a
la trayectoria, pues permite expresar cómodamente la velocidad y la aceleración de la partícula, en el
movimiento de su paso por el origen.
La ecuación (11) establecía que:
pgrad z
g
+
A
Ahora bien, si proyectamos esta ecuación vectorial sobre los ejes de la terna intrínseca tendremos:
Con respecto al eje binormal:
0bA pz
g b
+
(12)
Con respecto al eje normal principal:
21nA
g
v pzg r n
+
(13)
Con respecto al eje tangente:
21 1 1 ( )
2
lA dv v v pz
g g dt g t l l
+ +
(14)
Si multiplicamos cada una de las ecuaciones por db , dn y dl y luego integramos, suponiendo
que el fluido es incompresible, tendremos:
bCp
z +
Es decir que la cota piezométrica es siempre igual a una constante Cb a lo largo de la binormal a
la trayectoria, o en otras palabras que según esa dirección se cumple en todo punto de un líquido la ley
de la Hidrostática.
Esta propiedad es absolutamente general, pues no hemos hecho hipótesis alguna sobre las
condiciones en que se desarrolla el movimiento.
21p vz dn Cn
g r+ + (15)
Así pues la cota piezométrica no es constante a lo largo de la normal a la trayectoria, si no es
constante la integral del segundo miembro de la expresión (15). Esto último puede ocurrir solo cuando
la trayectoria es rectilínea, pues entonces 0dn y la integral es idénticamente nula.
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En consecuencia, cuando un movimiento es
rectilíneo la cota piezométrica a lo largo de
cualquier normal a un punto cualquiera de la
trayectoria es constante. En el caso de un canal
se tiene que la profundidad “ h ” del fondo es,
para un escurrimiento rectilíneo, igual a la altura
de presión de las partículas situadas allí. Por
consiguiente, si se toma el plano 0z , de modo
que pase por el fondo del canal, h mide la cota
piezométrica de todas las partículas que escurren
por la sección considerada.
Integración de la Ecuación de Euler a lo largo de una trayectoria. Ecuación o Teorema de Bernoullí
Ahora integrando para un fluido perfecto compresible situado en un campo gravitatorio cualquiera
se tiene: 21 ( ) 1
2
v v U p
t l l l
+
Multiplicando ambos miembros por dl e integrando a lo largo de la línea de corriente se tiene:
2
2l l
dp v vU dl Cte
t
+ + +
(16)
En el campo gravitatorio terrestre, para un fluido incompresible será:
gzU 2
2l
p v vz g dl Cte
t
+ + +
O bien:
2 1
2l
p v vz dl Cte
g g t
+ + +
(17)
Cuando el movimiento es permanente 0vt
y entonces llamando “ H ” al primer miembro, se
tiene:
2
2
p vH z Cte
g + + (18)
La ecuación (18) expresa la ley establecida por Daniel Bernoullí, y es una de las ecuaciones
básicas de la Hidrodinámica por cuanto establece que varían presiones y velocidades, en su
interdependencia recíproca.
0z
1ph
1z1p
h
Movimiento rectilíneo con superficie libre: La cotapiezométrica es constante a lo largo de la normal.
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Recapitularemos brevemente las condiciones que hemos establecido en la deducción de la
fórmula:
a) El fluido es perfecto
b) El fluido es incompresible
c) La integración se ha hecho a lo largo de una determinada trayectoria que ahora por d)
coincide con la línea de corriente l
d) El movimiento es permanente
e) El movimiento se desarrolla en el campo gravitatorio terrestre
De acuerdo con la a) no podrá ser válida la fórmula para un fluido real, pues no se ha tenido en
cuenta los frotamientos que producen tensiones tangenciales.
Por la b) no puede aplicarse con aproximación sino cuando se cumplan las condiciones para que
un fluido se pueda considerar incompresible. Si no ocurriese así, será necesario utilizar la fórmula
general deducida: 2
2
dp vz Cte
g+ +
De acuerdo con la c) la constante de la (18) solo es válida en general para una trayectoria pero
diferirá de otras trayectorias.
Según la d) la constante de (18) corresponde a una trayectoria permanente durante el
escurrimiento cuando este es estacionario, pues si no hay que tener en cuenta la variación local de la
velocidad.
Finalmente, la e) nos impedirá utilizar la fórmula si se superpusiese al campo terrestre algún otro
campo. Además se ha supuesto constante este campo a lo largo de la trayectoria.
Con estas condiciones podemos afirmar que, a lo largo de una trayectoria cualquiera en un
movimiento permanente, la suma de la cota piezométrica y el término 2 2v g es constante.
En la figura se ha representado con línea continua
un filamento de corriente cuya forma es invariable
durante un movimiento estacionario. Si dQ es el
caudal infinitésimo que pasa a través del tubo y dAes
el área de su sección transversal, se tiene que:
v dQ dA
Es el módulo de la velocidad media en el tubo,
que podemos considerar constante, pues se trata de un
filamento de corriente.
Si logramos conocer en esta forma el valor de v ,
nos será fácil calcular p para cada punto de la
trayectoria, con tal que tengamos el valor de la constante. En otros términos, se deben conocer los
valores de los tres sumandos en un punto 1R de la trayectoria para el cual:
2
1 11
2
p vH z
g + +
El término 2 2v g tiene dimensión de una longitud, como p y z , así que la formula hallada es
dimensionalmente homogénea. Esta distancia es la que recorrería a lo largo de la vertical, un punto
material pesado que partiese del reposo cayendo en el vacío, hasta alcanzar la velocidad “ v ”, o bien
sería la altura hasta la que subiría si fuese lanzada hacia arriba con velocidad inicial “ v ”.
p
2
12v g
1z
1p
H
0z
Trayectoria
Piezométrica 2 2v g
1( )R
( )R
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El Teorema de Bernoullí puede expresarse de esta manera: “La suma de la altura geodésica ( z ),
más la altura piezométrica ( p ), más la altura cinética (2 2v g ) es constante a lo largo de una
trayectoria”.
En la figura anterior se ha representado por una línea horizontal al plano de referencia a partir del
que se miden las cotas y el diagrama de las cotas o cargas piezométricas o simplemente piezométrica de
la trayectoria considerada.
Cuando en cada punto (considerado) de la trayectoria se suma a la cota piezométrica la altura
cinética 2 2v g , el Principio de Bernoullí establece que el diagrama resultante es una línea horizontal.
Esta recta se llama línea de “cargas totales” o línea de las cargas hidrodinámicas.
Interpretación dinámica del Teorema de Bernoullí
En nuestros desarrollos hemos llegado a establecer el principio de Bernoullí sin recurrir nada más
que a la ley de D´Alembert, pero en esta forma hemos demostrado también el principio de
conservación de la energía de la Mecánica de los Fluidos. Para mejor comprensión supondremos
inversamente, que este principio sea válido y obtendremos la fórmula de Bernoullí tal como fue
obtenida por él mismo.
Supongamos que un filamento líquido limitados por
las secciones A y B , en movimiento permanente, ocupe
en un instante determinado la posición BA y se mueva
en el sentido de A hacia B . vA será la velocidad en A y
vB será la velocidad en B . AU será el potencial de las
fuerzas exteriores en A y BU en B .
Después de un instante, el trozo de un filamento
ocupará la posición ´´ BA y si “ m ” es la masa contenida
entre A y A , también será “ m ” la masa contenida entre
B y ´B por la ecuación de continuidad.
La energía cinética poseída por el fluido entre A y A será muy aproximadamente igual a
“ 212 Am v ” y entre B y ´B “ 21
2 Bm v ”.
La energía potencial del fluido entre A y A será “ AUm ” puesto que AU es la energía potencial
por cada unidad de masa en A , y entre B y ´B se tendrá “ BUm ”.
En consecuencia el incremento de energía entre A y B será:
2 21 1
2 2B B A Am v U m v U
+ +
Este incremento de energía debe ser igual al trabajo efectuado por las presiones. Como solo
producirán trabajo las que tengan componentes paralelas a la dirección del movimiento, consideremos
aquellas que actúan sobre los extremos del trozo.
El trabajo de las fuerzas de presión para el fluido comprendido entre A y A será:
mpdVpdldAp AAAA
Av
´BB
´A
A
Bv
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Si dl es el camino infinitésimo recorrido entre A y A , y dV el volumen comprendido entre
dichas secciones.
Por lo tanto el trabajo total realizado por las presiones será:
mp
mp AB
Igualando al incremento de energía se tendrá, por unidad de masa:
2 21 1
2 2
A BA A B B
p pv U v U
+ +
Que cuando CtegzU + “potencial gravitatorio terrestre”, coincide con la fórmula de
Bernoullí:
2 21 1
2 2
A BA A B B
p pv z g v z g
2 2
2 2
A A B BA B
p v p vz z Cte
g g + + + +
2
2
vpH z
g + +
Donde podemos decir que:
z : Es la energía potencial que la unidad de peso del líquido en movimiento posee
cuando pasa por el punto considerado.
p: Es el trabajo efectuado por las presiones, también por unidad de peso.
2
2
v
g: Es la energía cinética de la unidad de peso que se traslada con la velocidad v .
De esto se sigue, entonces, que en un fluido perfecto en movimiento estacionario, la suma de las
energías de posición (o potencial), de presión y cinética de una partícula se mantiene constante a lo
largo de la trayectoria correspondiente.
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Aplicaciones del teorema de Bernoullí:
a) Vena líquida que cae en la atmósfera
La superficie libre de la vena es isóbara si se desprecian las
variaciones que la presión puede experimentar entre los diversos
puntos del recorrido (que por cierto es pequeña). Entonces la
ecuación de Bernoullí puede escribirse prescindiendo de la
presión, por lo menos para trayectorias superficiales: 2
2
vz Cte
g+
Si suponemos que las trayectorias son
aproximadamente rectilíneas y verticales, la (15) nos
permite afirmar que la presión se mantiene constante en
cada sección transversal de la vena, que es
aproximadamente plana y horizontal. Por esto
supondremos que la expresión es válida para cualquier
trayectoria. Esta ecuación nos permite calcular la
velocidad en cada punto de cota conocida, siempre que se
tenga el valor de aquella en un punto arbitrariamente
elegido de la misma trayectoria.
Supongamos que la partícula parte prácticamente del reposo desde un punto situado a la cota z1, se
tiene entonces:
z1=Cte y 2
12
vz z h
g
De modo que la velocidad a “ h ” metros aguas abajo del punto de partida será 2v g h , es
decir proporcional a la raíz cuadrada de “h”.
Si se quiere conocer la forma de la vena habrá que recurrir a la ecuación de continuidad referida al
tubo de flujo de aquella. Se tiene para la cota z que 2 2 2Q v A
, que es constante, puesto que el
movimiento es permanente. Se ha supuesto que la curvatura de las trayectorias es despreciable, y que
puede considerarse constante la velocidad en la sección A2, por lo tanto:
2
2
2
1
2
Qh
g A
y 2
·
QA
2 g h
Con lo que 2A resulta inversamente proporcional a h .
b) Movimiento permanente en un conducto de sección variable. Tubo de Venturi
Supondremos, como siempre, que el fluido sea perfecto y que la distribución de velocidades en
una sección transversal sea uniforme, además supondremos que no hay curvatura apreciable en las
trayectorias.
h
1z 2A
zvena libre
0z
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Sea pues, el tubo de la figura por el que circula un caudal Q, el cual puede expresarse de la
siguiente forma, de acuerdo con la ecuación de continuidad:
Q AvAvAvrrrrrr 2211
En la que A1 es el área inicial de
la singularidad, A2 el área que
corresponde a la garganta (es
decir, la sección mínima), A
corresponde al área de una
sección transversal cualquiera,
1vr
, 2vr
y vr
serán las
velocidades correspondientes.
Estableceremos la
ecuación de Bernoullí para las
secciones inicial y de garganta:
2 2
1 1 2 21 2
2 2
p v p vz z
g g + + + +
Esto significa que, como la
energía cinética en la garganta
es mayor que en la entrada,
deberá ser, en consecuencia, menor la cota piezométrica en la garganta. Por ello por la piezométrica
desciende en correspondencia y luego vuelve a su valor primitivo, cuando la velocidad vuelve al suyo.
Si el conducto es horizontal, puede afirmarse a priori que la presión es menor en correspondencia
con la garganta. En el caso de la figura resulta también 12 pp .
La formula anterior se puede transformar en la siguiente:
1 21 22 2
2 1
1 1
2
p pQz z h
g A A
+ +
2
En la que “h” es la diferencia entre las cotas piezométricas de la entrada y de la garganta, es decir
que:
Q hhgAA
AA
K2
2
2
2
1
21 (19)
Hemos obtenido una relación entre el caudal y la diferencia de cotas piezométricas entre ambas
secciones. A la misma se habría arribado si se hubiera establecido la ecuación de Bernoullí entre la
garganta y la sección de salida, siempre que el líquido fuese perfecto.
Si logramos medir esa diferencia de carga mediante un manómetro diferencial, podemos conocer
el caudal “Q” que circula por la cañería, pues “K” es una constante propia del aparato. En consecuencia
este es un aforador de caudales.
Este aparato fue ideado por C. b. Venturi, por lo que se decidió llamar a su invento “Contador
Venturi”.
0z
1z 2z3
z
r
1p
r
2p
r3p
gv 22
1
gv 222
gv 223Carga total
piezométrica
1d
2d
1d
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Teorema de las Cantidades de Movimiento o del “Momentum” de una corriente
Las ecuaciones usadas hasta ahora corresponden a las condiciones locales del escurrimiento de los
fluidos, esto es que deben satisfacerse en cada punto del campo abarcado por el movimiento. Por ello
no hemos estudiado todavía en detalle las propiedades del escurrimiento del fluido que se observa
considerando no ya una partícula, sino un conjunto que forma una porción cualquiera.
Se sabe que las ecuaciones diferenciales del movimiento además de las condiciones de frontera e
iniciales, nos permiten considerar resuelto el problema desde un punto de vista teórico. Pero son muy
pocos los casos de movimiento real en que es posible utilizarlas prácticamente. Sin embargo, en la
mayoría de las aplicaciones técnicas no es necesario conocer acabadamente el movimiento íntimo, sino
el de las porciones mayores, como cuando es preciso averiguar el caudal a través de una superficie o
conocer el empuje sobre otra, o la fuerza ejercida por el fluido sobre su continente.
Es necesario, pues, conocer la forma general de las integrales extendidas a toda una porción finita,
de las ecuaciones locales, porque la acción de una masa fluida es igual a la suma de las de todas sus
partículas. El resultado de esta operación nos dará la ecuación de las cantidades de movimiento o de
“momenta”. La ecuación de momentos dará lugar a la ecuación del momento resultante de las
cantidades de movimiento o de los pares de “momenta”.
Es conveniente fijar la atención en el hecho de que, como no impondremos condición alguna al
comportamiento de las partículas, estas ecuaciones serán absolutamente generales y podrán aplicarse a
cualquier fluido contenido en el volumen considerado. En esto reside su gran valor, pues nos
permitirán obtener datos seguros de cualquier proceso hidrodinámico con solo conocer las condiciones
en el límite.
Para obtenerlas, se puede aplicar la ley de Newton directamente y lo haremos así en primer lugar
para aclarar completamente el asunto. Luego será necesario efectuar su investigación a partir de las
ecuaciones locales de momentos.
Se sabe, de acuerdo con las ecuaciones cardinales de la mecánica clásica, que la derivada de la
cantidad de movimiento resultante de un sistema con respecto al tiempo, es igual a la resultante de las
fuerzas exteriores que actúan sobre aquel. Las fuerzas interiores, que en este caso son las interacciones
de las partículas, se anulan entre sí por el principio de acción y reacción. Si “ dm ” es la masa de una
partícula, su cantidad de movimiento será el producto de aquella por la velocidad de que está animada:
vdmdQr , y la cantidad de movimiento total en la masa “m” de la porción considerada será:
m
Q dm v
Por lo que la derivada total de Q con respecto al tiempo será:
m
dQ ddm
dt dt v
Que debe igualar a la suma de las fuerzas exteriores Fr
entre las que están comprendidas las
fuerzas superficiales y las fuerzas de masa. Así pues:
m
ddm
dt v F
(20)
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Hay que recordar inmediatamente que para emplear la Ley de Newton como se ha hecho, es
necesario considerar la misma porción fluida en todo el desarrollo, lo que se lograría si el límite de la
masa estuviera formado por las mismas partículas fluidas, las que en todo instante estarían en
movimiento con el resto.
La expresión (20) es demasiado general para que sea útil,
haremos su análisis a fin de poner de manifiesto las diferentes
fuerzas que actúan sobre la masa.
Supongamos que esta ocupe el volumen finito “V”. En la
posición indicada por la línea llena. Luego pasará a ocupar
otra posición limitada por la línea de trazos. Trataremos
únicamente el problema de un líquido incompresible, por lo
que el volumen antes y después de la deformación debe
permanecer invariable. Si “ Gr
” es la resultante de todas las
fuerzas de masa que actúan sobre “V”, y “ Pr
” la de las fuerzas
superficiales se tiene la suma vectorial:
+ FPGrrr
Pues no hay otras fuerzas exteriores. En cuanto a la
derivada de la cantidad de movimiento, si la efectuamos
siguiendo el movimiento de la masa fluida (derivada
sustancial) estará construida por una derivada local y una
convectiva.
La primera será:
Lv rr
dV
tV
Vector que hemos llamado Lr
.
Debe calcularse además la derivada convectiva, para lo cual consideraremos la diferencia entre la
cantidad de movimiento del volumen V1 y la del volumen V2, pues permaneciendo invariable el
volumen intermedio, obtendremos el incremento total en el instante considerado de la cantidad de
movimiento por efecto del desplazamiento. Por otra parte es evidente que si V no varía, V1=V2.
Calculamos pues:
D12
2
1 VV
V
VdVdVQ vv
rr
Pero: * ndV dQ dt d dt v dA dt v A
En la que nv es la velocidad normal en cada punto de la sección de pasaje A y *dQdAvn es el
caudal elemental que pasa a través del elemento dA . El caudal *dQ , multiplicado por dt nos da el
volumen que ha pasado a través de dA en dicho tiempo. Entonces:
D12
2
1 Vn
Vn
V
VdtdAvdtdAvQ vv
rr
nv 1V
2V
GrV
Pr
1A
2A
dATr
vr
C
B
A
Deducción del principio de las
cantidades de movimiento A Superficie límite: t=t0
B Superficie límite t=t0+dt
C Línea de corriente t=t0
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Y la derivada con respecto al tiempo
2 1
2 1n nA A
d Qv dA v dA
dt
D v v M M
Hemos usado la notación común 12 MMrr
para la diferencia de vectores momenta entre las masas
1V y 2V .
En consecuencia la (20) se escribe:
PGMMLrrrrr
++ 12 O bien
021 +++ MMPLGrrrrr
(21)
Esta importantísima relación vectorial, constituye la llamada ecuación de las cantidades de
movimiento o de momenta.
Debemos insistir en que esta ecuación se establece entre fuerzas y que por lo tanto 1Mr
y 2Mr
deben tener tal dimensión. Esto ocurre, en efecto, por tratarse de derivadas de cantidades de
movimiento.
La expresión (21) nos dice que, para una porción de volumen V del espacio ocupado por un líquido,
es nulo en cada instante el vector resultante de la suma de: la fuerza total de masa ( Gr
); la inercia local
resultante -correspondiente a la derivada local de la velocidad- ( Lr
); la resultante de las fuerzas
superficiales ( Pr
); y la diferencia entre el momentum del fluido entrante y el del saliente ( 21 MMrr
).
Potencia de una corriente líquida
Cuando estudiamos el teorema de Bernoullí, vimos que se podía interpretar como expresión de la
energía total que una unidad de peso del líquido posee por el hecho de estar en movimiento permanente
a la cota “z”, con una velocidad “v” y bajo la presión “p”.
Consideremos un filamento de corriente de sección transversal dAque pase por el punto dado, el
caudal elemental que fluye a través de dA será: dAvdQ y el peso del fluido que pasa por unidad de
tiempo: dAvdQ rr
. Luego, la energía poseída por la masa escurrente en la unidad de tiempo
debe ser: 2
2
p vdW v dA z
g
+ +
Así pues dW es la potencia (energía por unidad de tiempo) desarrollada por la corriente que
circula por el filamento.
Si consideramos el escurrimiento total como formado enteramente por filamentos de corriente,
como hicimos en Cinemática, la potencia total de una corriente de sección “A” debe ser:
2 2
2 2A Q
p v p vW z d z dQ
g g
+ + + +
v A
(19)
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La potencia de la corriente puede, entonces, ser concebida como la suma de tres términos:
A Q
z d z dQ v A
La energía de posición del caudal Q
A Q
p pd dQ
v A
La energía de presión del caudal Q
2 2
2 2A Q
v vd dQ
g g v A
La energía cinética del caudal Q
La energía de posición depende del plano de comparación elegido y, naturalmente, sería nula si
fuera baricéntrico.
La presión es nula en toda la corriente en los casos de chorros rectilíneos, y en consecuencia
también la energía de presión.
En la práctica es necesario referir la potencia a los elementos integrales de la corriente, en vez de
tomar los elementos locales de z, v, p. Así pues, trataremos de expresar la (19) en función de la cota y de
la presión en el baricentro de la sección del caudal, de la sección total y de la velocidad media
mv Q A .
Si la sección “A” fuera plana y las velocidades correspondientes a la misma fuesen uniformes, la
cota piezométrica sería constante para todos los puntos de aquella, pues la condición de que “A” sea
plana y “ vr
” uniforme, implica necesariamente que la corriente sea paralela y rectilínea. Como en estas
condiciones 2 2v g sería constante para toda la sección resultaría:
2
2
p vH z
g + +
Constante para todos los puntos de la sección, y la expresión es:
A Q
W H d H dQ Q H v A
(20)
Entonces la potencia (W) sería el producto del caudal de peso Q
por la carga total (H) de
Bernoullí que sería constante para toda la sección.
Si la corriente fuera rectilínea y paralela, y su velocidad a través de la sección variase según una
ley conocida, podríamos también obtener una expresión sencilla de la (19). Este es el caso de los
movimientos llamados gradualmente variados o lineales.
También ahora r
pz + es igual para todos los puntos de la sección, de modo que la (19) se puede
expresar: 2 2
2 2A Q
p v p vW z Q d z Q dQ
g g
+ + + +
v A
Si definimos un coeficiente “ ” de manera tal que:
2 3
2 3
Q A
m m
v dQ v dA
v Q v A
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Y, en consecuencia, podremos escribir:
2
2
mvpW Q z
g
+ +
(21)
Que expresa la potencia total de la corriente gradualmente variada.
El coeficiente de Coriolis “ ” es por definición, la relación existente entre la energía cinética real
de la corriente y la que tendría si la velocidad fuera constante e igual a su media “ mvr
” con lo que
tendría igual caudal.
En el caso más general, no debe perderse de vista que el valor de la carga total media de la
corriente está dado por una relación como:
21
2Q
p vH z dQ
Q g
+ +
O bien está la otra:
21
2A
p vH z dA
A g
+ +
Extensión del Principio de Bernoullí a las Corrientes Finitas
Consideremos una corriente finita y estacionaria en un líquido. Para cada trayectoria podemos
imaginar sendos filamentos fluidos. Como el caudal escurre a través de cada filamento y la carga total
de cada uno puede considerarse constante a lo largo de su recorrido, la (19) debe dar un valor constante
para todas las secciones “A” consideradas:
2 2
2 2A Q
p v p vW z d z dQ cte
g g
+ + + +
v A
Así pues, la potencia de una corriente se mantiene invariada para cualquier sección que se
considere, salvo que algún medio mecánico logre introducir o quitar de la corriente una parte.
Podemos decir entonces, que es constante la suma de las tres energías del líquido que atraviesa por
unidad de tiempo cada sección transversal del tubo de flujo. En esta forma, queda extendido el
principio de Bernoullí a toda la corriente.
Para las corrientes gradualmente variadas se tiene:
2
2
mvpz cte
g
+ + (23)
Porque de esta manera la expresión de Bernoullí se refiere al tubo de flujo finito.
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Expresión del Principio de las Cantidades de Movimiento en Función de “Vm”
Si se quisiera expresar la (21) para una sección de un tubo de flujo en función de la velocidad
media “ mvr
” habrá que transformar los términos M1 y M2 como veremos ahora.
En general e tiene:
nA
v dA M v
Pero en una corriente paralela, las secciones “A” son planas y la velocidad vr
es normal a ella, por
lo que puede escribirse: 2
Av dA M n
Ahora bien, si conociéramos la ley de variación de “v” a través de la sección transversal,
podríamos calcular el módulo de M. Como en general será más práctico introducir la velocidad media
de la sección, definiremos un coeficiente “ ”, tal que sea la relación entre el momentum efectivo de
una corriente y el que tendría si su velocidad fuera uniforme e igual a la velocidad media, en cuyo caso:
2
2
A
m
v dA
v A
Y por lo tanto: 2( ) ( )m mM v A Q v
El coeficiente “ ” a semejanza de “ ” es siempre próximo a la unidad.
Cálculo de “” y del coeficiente “”
En la figura se esquematiza el diagrama de velocidades de un tubo cilíndrico. Podemos escribir de
acuerdo con ella que
m δ +v v
(24)
En la que “r
”es la diferencia, en general distinta de
cero, entre la velocidad efectiva y la velocidad media en
un determinado punto.
Ahora bien, como: m
AQ d v A v A
la igualdad (24) nos dice que
Ad 0Arr
, en
consecuencia será:
r
mvrvr
r
22 2
m mA A Av dA v dA v A dA + +
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Así pues el coeficiente “ ” se puede calcular así:
2 2 2 2
2 2 21
mA A A
m m m
v dA v A dA dA
v A v A v A
+ +
Como el segundo término del último miembro es positivo, el coeficiente “𝛽” resulta siempre
superior a la unidad y se aproxima tanto más a este valor cuando más uniforme sea la velocidad (y por
lo tanto más próxima a mv
). Además en estas condiciones, la integral 3
Av dA que utilizamos para
definir el coeficiente de Coriolis, debe escribirse así:
3 3 2 33m m
A A Av dA v A v dA dA + +
En muchos casos 3
AdA es muy pequeño o despreciable respecto de los otros términos, pues
3 es sumamente pequeño y puede ser positivo o negativo.
El coeficiente “𝛼” se calcula así:
3 3 2 2
3 3 2
· 3· ·1 3
· · ·
m mA A A
m m m
v dA v A v dA dA
v A v A v A
+ +
Entonces la relación entre y es evidentemente:
1 3 1 +
Suele escribirse también de la siguiente manera:
2
2
A
m
dA
v A
Luego: 31+ y +1 se ve fácilmente que “ ” es algo superior a “ ” para la misma
corriente. En las corrientes muy turbulentas los valores de “ ”varían entre 1 y 1,05 mientras que los de
“ ” entre 1 y 1,15.
Cuando el escurrimiento es laminar, del que nos ocuparemos más adelante, los coeficientes“ ” y
“ ” pueden alcanzar valores muy elevados del orden de 2 y 4/3, respectivamente en cañerías, pues el
diagrama de velocidades se hace parabólico y v puede diferir considerablemente de mv .
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B
1Æ
(1)
(2)
2Æ
)(21 realHH 21 HH
r1p
r2p
gr
r
2
2
22
v
gr
r
2
2
11
v
H2
H1
Aplicaciones:
a) Potencia para elevar un cierto caudal a una altura determinada
En la figura se ha
esquematizado una
bomba ○B que está
destinada a elevar el
contenido en el
recipiente (1) hasta el
recipiente (2).
Supongamos que
“Q ” es el caudal, si el
diámetro del conducto
de aspiración es 1Æ , la
velocidad media de
llegada a la bomba
será:
1 2
1
4 Qv
Æ
Y si 1 1z p + es la cota piezométrica a la llegada, la potencia de la corriente antes de llegar a la
bomba es:
2
1 11 1 1 1
2
p vW Q z Q H Kg seg
g
+ +
A la salida de la cañería el diámetro es 2Æ y la velocidad media:
2 2
2
4 Qv
Æ
Y si 2 2z p + es la cota piezométrica de salida, la corriente tiene la potencia siguiente después de
pasar por la bomba:
2
2 22 2 2 2
2
p vW Q z Q H Kg seg
g
+ +
La diferencia 12 WW es la potencia desarrollada por el motor (salvo la corrección por
rendimiento) y cedida al líquido para que su carga total se incremente de 1H a 2H .
Así pues, aún cuando se cumplen los requisitos que expusimos para la explicación del principio de
Bernoullí, 21 HH . Esto se debe a que la bomba ha incorporado a la corriente la potencia suministrada
por el motor, medio mecánico externo.
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R 47
b) Potencia obtenida de un embalse
En la figura se ha representado esquemáticamente un embalse de agua. Si a través de un río se
construye una presa que la cierra las aguas elevan su nivel (A-B´) con respecto al que tenía cuando
corría libremente (A-B).
En estas condiciones tiene
almacenado una energía
potencial con respecto al
lecho, susceptible de
aprovecharse mediante
una máquina. Se dice que
tiene un salto, pues toda la
energía antes se disipaba
gradualmente en el
escurrimiento, queda
concentrado-por así
decirlo- en el embalse.
La potencia que es
aprovechable estará dada
por la diferencia entre el
nivel del embalse y el eje de la cañería de salida, pues se desprecia en primera aproximación la
diferencia de energías cinéticas del líquido que llega a la caseta de máquinas y del que sale de ella, y la
presión es igual, en ambos lugares, a la atmosférica, entonces:
1 2 1 2 [ / ]W W Q z z Kg seg
La diferencia 21 zz se llama “salto teórico” que sería aprovechado si no existiesen las
resistencias de que hablamos en el ejemplo anterior. Entonces puede decirse que la potencia teórica (o
máxima) que podría obtenerse de un embalse es el producto del peso específico del agua por el caudal
y por el salto teórico.
Por esto pueden obtenerse grandes potencias con grandes caudales ó con grandes saltos, lo que
condiciona las categorías más típicas de aprovechamiento de potencia hidráulica. Los embalses de
curso medio de los ríos en general, proporcionan grandes caudales con un salto relativamente
moderado, y los embalses de curso superior se caracterizan por saltos mayores y caudales, en general
menores.
Pero como ya se dijo, no toda la potencia teórica es aprovechable, de modo que habrá que afectarle
de un coeficiente de rendimiento inferior a la unidad:
1 2eW W W
En la que eW es la potencia efectiva.
En una primera aproximación puede calcularse la potencia máxima efectiva de un embalse,
tomando 75,0 y 3/000.1 mKg . Como un caballo de vapor métrico es igual a 75 Kg·m/seg. Se
tendrá:
1 210 10 [ . .]eW Q z z Q h c v (24)
´B
2z
B
A
1zM
Esquema de un embalse. M: máquina hidráulica
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R 48
Con las máquinas modernas se pueden llegar a rendimientos mayores (del orden del 0,90) por lo
que la expresión anterior es solo aproximada. En KW (kilowatts) la expresión será:
][75,0 21 KWzzQWe
Dinámica del Líquido Viscoso
Se ha definido la viscosidad como característica física de los fluidos reales. El concepto del fluido
perfecto es útil como aproximación, por ejemplo, en los casos en que el límite sólido del movimiento
fluido es pequeño en comparación con las dimensiones del campo abarcado por el proceso, o cuando es
un escurrimiento incipiente que parte del reposo. Entonces son despreciables las velocidades de los
desplazamientos relativos de las partículas situadas hasta una distancia más o menos cortas del límite.
Si nos concretamos al estudios de los líquidos (=cte.) para resolver el problema del movimiento
solo disponemos de la ecuación de continuidad, y las tres ecuaciones indefinidas. En consecuencia
tenemos cuatro ecuaciones indefinidas, o sea que deben cumplirse en cada punto. Pero las incógnitas
son nueve, por lo que las cinco ecuaciones restantes deben obtenerse del conocimiento de las
características físicas de los esfuerzos sobre la base de determinaciones experimentales.
Para resolver, por lo menos desde el punto de vista analítico, el problema del movimiento, se
utiliza la ecuación de “Navier-Stoke” que en su forma más general se puede aplicar a cualquier fluido
(líquido o gaseoso), pero nosotros lo aplicaremos solamente a fluidos incompresibles, adoptando
entonces la expresión:
2
2
2
( )
( )
( )
X x
Y y
Z z
pX A v
x
pY A v
y
pZ A v
z
O bien vectorialmente:
2( ) ( )grad p v F A
Ecuación de Navier- Stokes para =cte.
Nótese que en esta forma la ecuación difiere de la de Euler solo en el término correctivo,
representado por el producto de la viscosidad por el laplaciano de la velocidad.
Esta ecuación es fundamental en Hidrodinámica. Podría aplicarse sin restricción alguna a
cualquier líquido real, pero su integración presenta dificultades en la mayoría de los casos prácticos.
Para el movimiento uniforme o laminar la práctica demuestra una excelente concordancia entre la
teoría y la realidad.
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Movimiento Uniforme en Conductos Circulares.
Ya se ha estudiado la ecuación de las cantidades de movimientos, que ahora utilizaremos para
establecer de un modo general, la relación que liga la pérdida de carga con la resistencia opuesta a la
corriente, prescindiendo por ahora de la causa de ambos. Luego se considerará en particular el caso del
movimiento laminar.
Sea un conducto cilíndrico de diámetro “𝑑” de inclinación “𝛼” y de longitud indefinida, por el que
escurre un líquido real de peso específico “𝛾”.
Consideremos un trozo de longitud “ 𝑙 ” comprendido entre las secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 . El
volumen interior es:
𝑉 = 𝜋 · 𝑑2𝑙/4
Si se supone que 𝛽 es prácticamente igual a la unidad se podrá referir a la velocidad media.
Como el movimiento es permanente, el término de las inercias locales será: 𝐿 = 0 , y como por otra
parte el conducto es cilíndrico, las velocidades medias en las secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 serán iguales
por lo que:
𝑀1 = 𝜌 · 𝑄 · 𝑣1 = 𝜌 · 𝑄 · 𝑣2 = 𝑀2 ; 𝑀1 − 𝑀2 = 0
Descomponemos la resultante “P” de las fuerzas de presión, entre las que se ejercen en las
secciones 𝐴1𝐵1 ; 𝐴2𝐵2 que llamaremos “ 𝑃1 ” “ 𝑃2 ” y la fuerza total de frotamiento, que se llamará
“ 𝑅 ”. Las dos primeras serán normales a las secciones, “ 𝑅 ” la parte tangencial del esfuerzo que el
líquido recibe de la envoltura.
En cuanto a la fuerza de masa total “ 𝐺 ”, estará formada por el peso del líquido contenido en “V”,
o sea 𝐺 = 𝛾 𝑉.
Si se proyecta la ecuación sobre el eje del conducto, serán nulas las componentes de las presiones
normales sobre el conducto y será:
𝛾 · 𝑉 · 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑃1 − 𝑃2 − 𝑅 = 0
2P
1P
2H
2p
1H
22mv g
l s1z
2z
2B
1p
1B
1A
j
2A
j
0z
d
Gr
Pérdida de carga y resistencia opuesta al movimiento del fluido
energía perdida
piezométrica
línea de cargas totales
lll
R
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Se ha adoptado el signo (−) para 𝑃2 y 𝑅 pues son opuestos al sentido positivo de “ 𝑠 ”.
Entonces la fuerza total de frotamiento, que el conducto opone al líquido es:
𝑅 = 𝛾 · 𝑉 · 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑃1 − 𝑃2 = 𝛾 · 𝑉 ·𝑧1 − 𝑧2
𝑙+
𝜋 · 𝑑2
4· 𝑝1 − 𝑝2
𝑅 =𝜋 · 𝑑2
4· 𝛾 · 𝑧1 − 𝑧2 + 𝑝1 − 𝑝2
En la que 𝑝1 y 𝑝2 son las presiones en los baricentros de las secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2.
O también:
𝑅 = 𝛾 ·𝜋 · 𝑑2
4 𝑧1 +
𝑝1
𝛾 − 𝑧2 +
𝑝2
𝛾 (25)
Puede verse que la expresión entre corchetes es la diferencia entre las cotas piezométricas de las
secciones 𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 , que llamaremos ∆ . Esta diferencia es igual a la de las cargas totales,
puesto que las energías cinéticas de ambas secciones son iguales. Es correcto pues, llamarla también
pérdida de carga entre las dos secciones. En la figura se han indicado las cargas totales 𝐻1 y 𝐻2 de
ambas secciones.
En cada unidad de longitud se producirá una caída de la carga que será constante a lo largo del
conducto. Esta caída se llama “pérdida de carga por unidad de longitud”. Como la línea piezométrica
es una recta, cuya inclinación está medida por esta magnitud, puede llamarse con propiedad “pendiente
piezométrica” y designándola con la letra 𝑗 se tiene:
∆ = 𝑗 𝑙 [𝑚] (26)
Y por la (25):
𝑅 = 𝛾 𝜋 𝑑2
4 𝑗 𝑙 = 𝛾 𝑉 𝑗 𝐾𝑔 (27)
Así pues, la pendiente piezométrica en un conducto es la resistencia opuesta al escurrimiento, por
cada unidad de peso que circula.
La 𝑅 es una fuerza puesto que 𝑗 es adimensional. Si se quiere determinar la resistencia por
unidad de superficie que el conducto opone al escurrimiento se tiene:
𝑅1 =𝑅
𝐴𝑑=
𝑅
𝜋 𝑑 𝑙= 𝛾 ·
𝜋 𝑑2 𝑙
4 𝜋 𝑑 𝑙· 𝑗 = 𝛾
𝑑
4 𝑗 𝐾𝑔 𝑚2 (28)
Se ve que 𝑅1 es proporcional a 𝑑 4 que es llamado radio hidráulico del tubo.
Ahora bien, conocida la relación entre 𝑅 y 𝑗 en forma general y sin precisar la causa de la
resistencia, estableceremos la pendiente piezométrica en función de 𝜇 , o sea de la viscosidad. Sea por
ejemplo un líquido que escurre en régimen laminar por un conducto cilíndrico de diámetro “ 𝑑 ”. En
estas condiciones las láminas fluidas son cilíndricas coaxiales con el conducto, y por lo tanto las
velocidades de las partículas no dependen más que de su distancia al eje. En otros términos todos los
cilindros de radio 𝑟 < 𝑑 2 coaxiales con el conducto escurren con una velocidad igual para cada una
de sus generatrices.
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Consideremos uno de
ellos de radio “ 𝑟 ”, la pérdida
de carga “ 𝑗 ” provocada por el
hecho de que escurre con
velocidad diferente de la de un
estrato adyacente, como el de
radio 𝑟 + 𝑑𝑟 , debe estar dada
por una expresión totalmente
similar a la (27):
𝑅𝑟 = 𝛾 𝑉𝑟 𝑗 = 𝛾 𝜋 𝑟2 𝑙 𝑗 (29)
Como la velocidad no
tiene componentes según el
radio:
𝜕 𝑧 +𝑝𝛾
𝜕𝑟= 0
Esto nos dice que “ 𝑗 ” es independiente de “ 𝑟 ” y este es el valor de la pendiente piezométrica,
para todas la capas o cilindros.
Se puede escribir en consecuencia, referido al volumen 𝑉𝑟 :
𝐺𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝑃1𝑟 − 𝑃2𝑟 − 𝜇 𝜕𝑣
𝜕𝑛 𝑑𝐴
𝐴𝑟
= 0 (30)
𝐺𝑟 es el peso del volumen 𝑉𝑟 y 𝑃1𝑟 − 𝑃2𝑟 la resultante de las presiones normales sobre la caras
𝐴1𝐵1 y 𝐴2𝐵2 respectivamente.
También:
𝑅𝑟 = 𝛾 𝜋 𝑟2 𝑗 𝑙 = 𝜇 𝜕𝑣
𝜕𝑛 𝑑𝐴
𝐴𝑟
Pero: 𝜕𝑣
𝜕𝑛= −
𝜕𝑣
𝜕𝑟
En consecuencia puede escribirse:
𝑅𝑟 = 𝛾 𝜋 𝑟2 𝑙 𝑗 = −𝜇 𝜕𝑣
𝜕𝑟 𝑑𝐴
𝐴𝑟
= −2 𝜋 𝑟 𝑙 𝜇 𝜕𝑣
𝜕𝑟 (31)
Pues 𝜕𝑣 𝜕𝑟 solo depende del radio.
Como 𝜕𝑣 𝜕𝑙 = 0 la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑟 es total, es decir 𝑑𝑣 𝑑𝑟 , con lo que:
𝛾 𝜋 𝑟2 𝑙 𝑗 = −2 𝜋 𝑟 𝑙 𝜇 𝜕𝑣
𝜕𝑟 ⟹ 𝛾
𝑟
2 𝑗 + 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟= 0 (32)
dr2
p g
l
S1z
2z
2B
1p g
1B
1A
j
2A
0z
d
Pérdida de carga en el movimiento laminar en un tubo
piezométrica
r
rRR
rR
R
vmax
v
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Esta ecuación diferencial se integra entre 𝑟 y 𝑟 < 𝑑 2 :
𝛾 𝑟
2 𝑗 + 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟 𝑑𝑟
𝑑 2
𝑟
= 0 ⟹ 𝑣𝑟 − 𝑣𝑑2
=1
4 𝜇𝛾 𝑗
𝑑2
4− 𝑟2 (33)
El diagrama de velocidades es entonces, de forma parabólica y el volumen limitado por aquel y
que representa el caudal, es un paraboloide de revolución, cuya generatriz es la parábola dada por la
expresión (33). El vértice de esta parábola se sitúa sobre el eje del conducto. La velocidad máxima
tiene un valor de:
𝑣𝑚𝑎𝑥 =1
16𝜇𝛾 𝑑2 𝑗 (34)
La forma de este diagrama concuerda perfectamente con la realidad. Integrando el flujo elemental
a través de toda la sección, se tiene el caudal:
𝑄 = 𝑣𝑟 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑣𝑟 · 2 𝜋 𝑟 𝑑𝑟𝑑/2
0
= 1
4 𝜇𝛾 𝑗
𝑑2
4− 𝑟2 · 2 𝜋 𝑟 𝑑𝑟
𝑑/2
0
=𝜋
𝜇·
𝑑4
128𝛾 𝑗 (35)
Así pues, en régimen de Poiseville o laminar el caudal en un conducto circular es proporcional al
peso específico del líquido, a la pendiente piezométrica y a la cuarta potencia del diámetro, e
inversamente proporcional a la viscosidad.
Calculando la velocidad media:
𝑣𝑚 =4 𝑄
𝜋 𝑑2=
𝛾
32 𝜇· 𝑗 · 𝑑2 =
𝑣𝑚𝑎𝑥
2 (36)
Se mantiene la relación lineal entre el caudal y la pendiente piezométrica, despejando 𝑗 se tiene:
𝑗 =32
𝛾
𝜇
𝑑2𝑣𝑚 (37)
Esta expresión tiene la forma de la Ley de Darcy*, y vincula las tres variables fundamentales para
este caso 𝑗 , 𝑑 y 𝑄.
* Ley de Darcy-Weisbach: Para un flujo permanente, en un tubo de diámetro constante, la línea de carga piezométrica es paralela a
la línea de energía e inclinada en la dirección del movimiento. En 1.850, Darcy, Weisbach y otros, dedujeron experimentalmente una
fórmula para calcular en un tubo la pérdida por fricción:
𝒋 = 𝒇
𝒅 𝒗𝟐
𝟐 𝒈
𝒇: 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (Adimensional)
𝒈: 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (m/seg2)
𝒍: 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 (m)
𝒅:𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 (m)
𝒗: 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 (m/seg)
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Cañerías con Caudal Variable
Hasta el momento nos hemos ocupado exclusivamente de las pérdidas por frotamiento en las
cañerías en las que circula, en toda su extensión, un caudal constante. Como ya se ha visto, en este caso
la pérdida total será:
ljh D
Resulta interesante estudiar ahora rápidamente que ocurre con las pérdidas por frotamiento en
una cañería en la cual, por necesidades técnicas, el caudal varía de una sección a otra.
Para proyectar tales cañerías, o para calcular la pérdida de carga por frotamiento en un tramo
determinado, puede procederse, en primera aproximación, dividiéndola en trozos y aceptando para
cada uno de ellos un caudal constante.
Cuando la variación de aquel no es uniforme, ni continua, la única solución es la señalada.
Sin embargo, existen algunos casos prácticos en los que es posible conocer o calcular la variación
continua del caudal a lo largo de la cañería. Esto ocurre en las conducciones para provisión de agua
potable a centros urbanos.
En cada calle dentro del radio servido, se coloca una cañería sobre la cual se insertan las
conexiones domiciliarias, a lo largo de cada cuadra. Cada conexión supone un consumo de caudal, y
por lo tanto el gasto va disminuyendo a lo largo de la cañería distribuidora.
Para poder encarar analíticamente el problema, con miras a una solución práctica para los
innumerables casos de este tipo que se presentan, se acepta que por las conexiones domiciliarias de la
cañería distribuidora sale un caudal constante por unidad de longitud , el cual designaremos con la letra
“ q ” conocido como gasto unitario en ruta. En la práctica “ q ”suele expresarse en (m3/Hm·seg) ó en (lts.
/Hm·seg).
A los efectos de poder determinar la pérdida de carga
debida a los frotamientos, consideraremos una cañería de
longitud “ l ” y afectada de un gasto unitario en ruta q. A
causa de éste, el caudal que ingresa en el tramo
considerado irá disminuyendo en el sentido del
escurrimiento, teniéndose que: Ex QQQQ 1 donde
1Q y xQ son caudales que atraviesan secciones ubicadas a
distancias 1l y x de la iniciación del tramo. El caudal EQ
que sale por el extremo, se denomina gasto o caudal de extremidad.
Evidentemente, de acuerdo con la definición de q podrá escribirse:
lqQQE (1)
xqQQx (2)
Ahora bien, si desde la sección x consideramos un tramo de longitud diferencial dx , y en el
aceptamos que el caudal sea constante y de valor xQ , podremos escribir, teniendo en cuenta la
expresión de Darcy:
22 2 22
2 2 5 5 52
8· · ·
2 ·2 ·
4
x x xQ q xQ Q Qf v f f
j dx dx dx dx K dx K dxd g d g d d dd
g
1L
EQxQQ1Q
dx
L
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Expresión que nos da la pérdida de carga por frotamiento en el tramo dx , para cañerías
circulares.
La pérdida de carga, debida a los frotamientos, para el conjunto de la cañería será, reemplazando
el valor de xQ dado por la (2):
2
5
0 0
· ( · )
l lK
h j dx Q q x dxd
D (3)
Desarrollando el cuadrado indicado, e integrando se obtiene:
2 2 2
5
0
( 2· · · )
lK
h Q Q q x q x dxd
D +
2 3
2 2
5· ·
3
K q lh Q l Q q l
d
D +
(4)
Con lo que quedaría, en un principio, resuelto el problema. Sin embargo resulta de utilidad
expresar el valor obtenido, en función del caudal de extremidad.
Para ello se reemplaza en (4) el valor de Q dado por la (1) obteniéndose:
2 2
2
5· ·
3E E E
K q lQ Q q l h l Q Q q l
d
D + +
(5)
Observando esta expresión se desprende de inmediato que la magnitud entre paréntesis tiene un
valor comprendido entre:
22
2
2
0,5·2
0,577·3
E E
E E
qlQ Q ql
qlQ Q ql
+ +
+ +
(6)
Llamando qlQR , al gasto en ruta en toda la cañería de longitud l, es posible reemplazar las
expresiones de (6) por una intermedia:
2 2
0,55· 0,55·E E R CQ ql Q Q Q+ +
Con lo cual la (5) nos queda:
2
5
CQh K l
dD
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Expresión totalmente análoga a la que da la pérdida por fricción para una cañería con caudal
constante, con la única diferencia de ser necesario reemplazar, en este caso de caudal variable , el valor
de Q por un caudal ficticio “ CQ ”, denominado por ello caudal de cálculo.
Dada la incertidumbre ya puesta de manifiesto, acerca de la exacta proporcionalidad entre las
pérdidas y el cuadrado del caudal, y por otra parte por la dificultad en la elección de la expresión de K,
se considera como perfectamente suficiente en la práctica, adoptar para CQ un valor:
REC QQQ 5,0+ (7)
Con lo cual resulta una conclusión sumamente sencilla:
La pérdida de carga en un tramo con gasto en ruta es análoga a la del mismo tramo con un caudal
constante, debiendo sustituirse éste por un caudal ficticio que es el gasto de extremidad más la mitad
del gasto total en ruta.
Pérdidas de Cargas Localizadas
Todo cambio en la forma o dimensiones de la sección transversal de una cañería, lo mismo que
cualquier variación en la dirección de la misma, produce una pérdida de carga que debe ser agregada a
la provocada por los
frotamientos a lo largo
del tramo del conducto
en el que tienen lugar
dichas alteraciones de
sección o de de
dirección. Tales
pérdidas adicionales son
las que reciben el
nombre de pérdidas
localizadas.
Supongamos, a
título de ejemplo, tener
una cañería en la que se
ha intercalado un
diafragma. La
circulación normal de la
corriente se ve alterada
por la existencia del
diafragma y ésta se
alejará de las paredes del conducto en la zona “a”, aguas arriba del obstáculo y en la zona “c” aguas
abajo del mismo. Dichas zonas permanecen llenas de líquido, pero este no participa sino en una porción
muy reducida del movimiento general de circulación. En el punto “b” hay un verdadero punto de
estancamiento en el que la velocidad es nula. La zona “d” se caracteriza por su fuerte turbulencia, la
que se extiende hasta una distancia considerable hacia aguas abajo hasta que se va atenuando
paulatinamente como consecuencia de los efectos viscosos del líquido. En “c” la corriente llega a
invertirse en la proximidad de las paredes.
( )b
Z
( )a
]
1hD
2p ( )d
[
22
mv g
vr
1z
2z
B
1p
´B
A
( )c
[
´A
fhD
0z
d
piezométrica
línea de cargas totales
2
1
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El chorro líquido que atraviesa el diafragma alcanza su menor sección transversal un poco aguas
abajo del orificio, en la que se llama sección contraída, a la que como es lógico, le corresponde la
mayor velocidad y como consecuencia la menor presión.
En la figura se ha dibujado aproximadamente la forma que toma la línea piezométrica
correspondiente al centro de la cañería, entre las secciones A-A´ y B-B´, distantes una longitud “ l ” entre
sí. De no existir el diafragma, la piezométrica tendría en el tramo considerado una pendiente j (en
líneas de trazos), y la pérdida de carga fhD sería tan solo la debida a frotamientos. Pero a causa de la
interposición del obstáculo, la mayor turbulencia de aguas abajo se mantiene a expensas de la energía
mecánica de la corriente, la cual sufre una disminución, que es precisamente la pérdida de carga
provocada por el diafragma.
Suponiendo que en la sección BB se hayan restablecidos las condiciones de escurrimiento de
aguas arriba, y por tanto la distribución de velocidades haya vuelto a ser la misma, así como la
velocidad media, se observa que la piezométrica no se recupera hasta el punto 1, sino tan solo hasta el
punto 2. La distancia entre ambos puntos constituye la lhD o pérdida de carga localizada provocada
por el diafragma. Evidentemente la pérdida de carga total del tramo de longitud “l” será:
lf hhh D+DD .
En el caso de las pérdidas localizadas es frecuente expresarlas en función de la energía cinética de
la corriente: 2
2lvh K
gD
En la que “v” es la velocidad media en una sección no alterada, y k es un coeficiente que
numérico que expresa la razón entre la carga perdida y la energía cinética.
En algunos casos se prefiere relacionar hD con una pérdida por frotamiento ficticio:
´lh j lD
Donde ´l es la longitud que produciría, por rozamientos, una pérdida de carga igual a la provocada
por el cambio de sección o dirección, con el mismo caudal y el diámetro normal de la cañería. Teniendo
en cuenta la expresión de Darcy para pérdidas en cañerías, podemos escribir:
2
´2
l
f vh l
d gD
Para eliminar ´l de la expresión anterior, puede hacerse igual a un múltiplo del diámetro, es decir: ´l m d
Por lo que resulta: 2 2
2 2l
f v vh m d m f
d g gD
De donde resulta en consecuencia:
f
KmfmK (2)
Es lógico que m , es decir el número de diámetros que debe agregarse a la longitud real de la
cañería para computar como si fueran de fricción las pérdidas localizadas, depende de K , es decir, del
tipo de alteración y del factor de fricción.
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Ensanches bruscos
Se dice que hay un ensanche brusco cuando entre dos secciones infinitamente próximas de una
cañería, existe una
diferencia sensible
entre los diámetros de
una y otra. En este
caso ocurre algo
similar a lo que
hemos considerado
anteriormente cuando
interpusimos un
diafragma en la
cañería. La zona
está ocupada por
líquido que no
participa del
movimiento de
circulación. Los
bordes de la cañería
pequeña en la sección
misma del ensanche
constituyen puntos de
separación, y del primer tramo emerge una verdadera vena líquida que se va ensanchando
gradualmente hasta llegar al segundo tramo a una cierta distancia hacia aguas abajo del cambio de
diámetro y toda la zona de expansión se caracteriza por su fuerte agitación. La pérdida de carga entre
las secciones (1) y (2) puede expresarse por la diferencia entre las sumas de Bernoullí
correspondientes:
2 2
1 1 2 21 2
2 2
p v p vh z z
g g
D + + + +
Dicha pérdida de carga total se puede descomponer en dos sumandos, uno que tenga en cuenta los
frotamientos y otro que equivalga a las pérdidas por ensanche:
ef hhh D+DD
En la cual: 2211 ljljh f +D
Debe señalarse que por la escasa longitud del tramo de la cañería en el que se producen estos
fenómenos, el término fhD es generalmente despreciable respecto de ehD .
El cálculo analítico de la pérdida de carga ocasionada por un ensanche brusco puede efectuarse
aplicando el teorema de las cantidades de movimiento, entre las secciones (1) y (2). Recordamos:
021 +++ MMLPGrrrrr
2
12v g
1j
1j
1l 2
l
2vr2d
1p
1vr
1d
ehD
2p
2
22v g
fhD
2j
2j
Piezométr
ica
1 2
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2A l sen G
Peso del líquido
proyectado en la dirección del movimiento.
1 1 2 1 2 2( )p A p A A p A + P
Resultante del empuje total, más las
fuerzas de frotamiento, que despreciamos por
producirse en un tramo muy corto.
0Lr
Por tratarse de un movimiento
permanente.
Por último para hallar la diferencia de las
cantidades de movimiento 21 MMrr
tengamos en cuenta que la masa de líquido que
atraviesa la sección (1) en la unidad de tiempo
es:
2
1 1A vg
Donde 1v es la velocidad media.
La masa que sale por la sección (2) en igual lapso será:
2
2 2A vg
De donde podemos expresar la diferencia:
2 2
1 2 1 1 2 2( )A v A vg
M M
Y teniendo en cuenta que 1 1 2 2A v A v Q cte
1 2 2 2 1 2( )A v v vg
M M
Y finalmente la ecuación vectorial del momentum de la corriente es:
2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1( ) ( )A l sen p A p A A p A A v v vg
+ + (3)
Observando la figura se deduce que ·l sen no es otra cosa que la diferencia de cotas 12 zz del
eje de la cañería en las secciones (1) y (2), medidas desde un plano de referencia cualquiera.
Reemplazando dicho valor en la (3) quedará:
2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1( ) ( )A z z p A p A A p A A v v vg
+ +
1z
2p
2 2,d A
1p
1 1,d A
l
´p
2· · · ( )l A sen r
2· ·l Ar
0z
2z
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Dividiendo ambos miembros por 2A se tiene:
2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2
( ) ( )A z z p A p A A p A A v v v
A A A A g A
+ +
2
1 1 2 1 2 2 1 21 2
2 2
( )´p A A A p v v vpz z
A A g g
+ +
Y sumando a ambos la diferencia 2 2
1 2
2 2
v v
g g y a la vez sumando y restando al primer miembro la
expresión 1p
resultará:
2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 2
2 2
( )´
2 2 2 2
p A A A p v v p p v v v v vpz z
A A g g g g g g
+ + + + +
Ordenando:
2 2 2
1 1 2 2 1 1 1 21 2
2
´ ( )1
2 2 2
p v p v p p A v vz z
g g A g
+ + + +
(4)
La magnitud entre corchetes del primer miembro no es otra cosa que la diferencia de las sumas de
Bernoullí entre las secciones (1) y (2), siendo por lo tanto la pérdida ehD buscada. En consecuencia:
2
1 2
2e
v vh
g
D (6)
Conocida como la fórmula de Borda, la cual si bien da una pérdida de carga aproximada por
defecto, es muy usada por su fácil aplicación, y por no diferir apreciablemente del valor real
comprobado por la experiencia.
Con respecto a p´, que como dijimos es la expresión sobre la corona circular que se forma en la
misma sección del ensanche, puede decirse que las determinaciones experimentales han probado que
se mantiene algo inferior a la presión p1 en la desembocadura del conducto menor, siempre que
1 2 2d d , si ocurre lo contrario p´ puede superar a p1. Suele considerarse que 𝑝´ ≅ 𝑝1 y luego se
corrige el error con el uso de tablas.
Utilizando la ecuación de continuidades puede poner 2vr
en función de 1vr
:
11 1 2 2 2 1
2
AA v A v Q cte v v
A
2 2
1 1 1
2
12 2
v A vh K
g A g
D
Donde
2
1
2
1A
KA
depende exclusivamente de la relación de áreas o diámetros de los tramos.
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Salida Libre. Caudal, Velocidad Máxima
Analizamos el esquema de la figura, una cañería de longitud l y diámetro " "d , desagua con un
desnivel total H , un depósito en el cual supondremos el líquido a una cota constante, lo cual siempre
puede conseguirse mediante una adecuada alimentación del mismo. El agua o líquido del depósito, por
el hecho de estar en un nivel superior que el punto medio de la sección de salida B , posee respecto de
tal punto una cierta energía de posición que se transforma en energía cinética, al iniciarse el
escurrimiento.
Aplicando el teorema de Bernoullí entre la
superficie libre en el depósito y la extremidad de la
cañería (punto B) se obtendrá, suponiendo que el líquido
fuera perfecto, y suponiendo un plano de comparación
horizontal que pasa por B:
2 2
0
2 2
a ap v p vH
g g + + +
Donde 0v es la velocidad en el depósito, v la
velocidad media en la cañería y ap es la presión atmosférica. Como 0v es prácticamente nula para
cualquier depósito siempre que no sea extremadamente pequeño, suprimiremos su altura
correspondiente. Simplificando queda: 2 / 2H v g , o bien: 2v gH
Esta expresión quiere decir que la hipótesis del fluido perfecto equivale a suponer que la
velocidad dependería exclusivamente del valor de H, apareciendo como independiente de la longitud,
naturaleza y diámetro de la canalización. En tal situación el movimiento resultaría uniformemente
acelerado, por cuanto en cada punto la velocidad sería proporcional a la raíz cuadrada de la diferencia
de nivel entre el punto y la cota del depósito.
Dicho escurrimiento debiera
ser con superficie libre, tal como
acontece en los canales, siendo
contrario por hipótesis a un
movimiento en cañería donde por
la ecuación de continuidad, y
teniendo en cuenta el diámetro
constante todas las secciones
deben tener igual velocidad. Las
pérdidas por rozamiento son causa
de que la sección de escurrimiento
esté totalmente llena, y el líquido
circule con una velocidad v Q A
uniforme, lo cual se mantiene
mientras exista una altura de carga
sin consumir.
Para analizar el efecto de las distintas pérdidas volvamos al dispositivo de la figura, en la cual se
ha dibujado la línea de carga total y la línea piezométrica de funcionamiento.
Inmediatamente aguas debajo de la sección (1) de entrada, a causa de la curvatura de los filetes
líquidos, se produce una contracción de la vena (sección C ) exactamente en la misma forma ya
indicada para los estrechamientos de sección.
H
A
B
32
3z
2 2v g
1H 2 2v g
C
20,5 2v g
l1z
p g
2
3
2f l
vH h h
g + D + D
1
NivelEstático
Carga total
Piezom
étrica
2 2v g
2
3 2v g
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Allí la velocidad es máxima por cuanto todo ocurre como si la cañería tuviera una sección menor
(por la contracción de la vena).
Por ser Cv v la línea piezométrica sufre un rápido descenso desde la sección (1) hasta la C,
inclusive puede llegar a cortar a la cañería, pasando por debajo de ella, con tal que Cv sea
suficientemente grande, lo cual podría conseguirse disminuyendo las resistencias del conducto. En tal
caso estaría escurriendo líquido con presiones relativas negativas, las presiones absolutas son siempre
positivas.
Si el depósito de alimentación no fuese suficientemente profundo, una presión relativa negativa o
depresión en la zona contraída podría provocar con cierta facilidad un arrastre de aire, el cual reduce la
sección útil de la cañería, provocando trastornos apreciables a los que se agrega, si la presión fuera
grande, el probable desprendimiento de vapor de agua.
Entre las secciones (1) y (2) podemos aplicar el teorema de Bernoullí:
2
21 1 2 12
2
p vz H z h
g+ + + + D (7)
Donde 12hD mide las pérdidas de cargas entre ambos secciones, que valen aproximadamente
g25,0 2vr
. Según ello podemos escribir:
2
21 1 2 1,5
2
p vz H z
g+ + + (7´)
Desde la sección (2) hasta la extremidad de la cañería la línea piezométrica desciende
constantemente a causa de la pérdida por frotamiento con un gradiente j correspondiente a la
velocidad v , y diámetro d .
Si en la sección extrema (3), el líquido fluye libremente, estará sometido exclusivamente a la
presión atmosférica. Puesto que hemos estado trabajando con presiones relativas, se tendrá: 3 0p .
Aplicando nuevamente el teorema de Bernoullí entre las secciones (2) y (3):
2 2
2 22 3
2 2
p v vz z j l
g g+ + + + (8)
Si en lugar de tratarse de un tramo recto la cañería tuviera cambios de dirección, u otras fuentes de
pérdidas de carga localizada (válvulas, compuertas, etc.), al segundo miembro de la (8) habría que
agregar las pérdidas ocasionadas por tales elementos, quedando:
2 2
2 22 3
12 2
n
i
i
p v vz z j l h
g g
+ + + + + D (9)
Comparando la (9) con la (7´) se obtiene: 2
21 1 2 1,5
2
p vz H z
g+ + +
2 2
2 22 3
12 2
n
i
i
p v vz z j l h
g g
+ + + + + D
2
1 1 3
1
1,52
n
i
i
vH z H z j l h
g
+ + + D (10)
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Como por la ley de Darcy: 2
2
l vj l f
d g
Y como además sabemos que es posible expresar las pérdidas de cargas en función de la altura de
velocidad, la (10) quedará:
2
1,52
v lH f K
g d
+ +
(11)
Expresión que indica que la altura H, desnivel entre la superficie libre en el depósito y la boca de
la cañería, se consume en generar la velocidad vr
y en vencer todas las resistencias localizadas. De la
expresión anterior se puede despejar la velocidad:
2
1,5
gHv
lf K
d
+ + (12)
Aplicándola a casos prácticos, se observa que en el denominador de la expresión, el término
Æ lf resulta en general mucho mayor que la suma + K5,1 , por la cual para cañerías de longitud
apreciable, es posible omitir los últimos dos términos frente al primero.
Sobre la base de tal consideración suelen clasificarse las cañerías en largas o cortas, según se
pueda hacer o no la simplificación indicada. Comparando las expresiones más comunes que dan el
valor de f, con las que dan las pérdidas localizadas, se llega a la conclusión de poder considerar como
cañerías largas, a los efectos señalados a aquellas en las cuales la longitud supere unas 300 veces el
diámetro.
Calculando v por la (12), se obtiene de inmediato el valor del caudal correspondiente:
2 2·
41,5
gHdQ
lf K
d
+ + (13)
Evidentemente, para que aumente el caudal
dado por una cañería de diámetro fijo, puede
disminuirse el factor de fricción que figura en el
denominador eligiendo tubos más lisos, o bien
aumentar el desnivel H entre el depósito y la boca
de salida de la cañería.
Sin embargo no es posible aumentar
indefinidamente la velocidad, en efecto,
consideremos nuevamente el caso anterior
dibujando a más la línea piezométrica absoluta y
distante 0 10,33p . Por comodidad de
razonamiento, supongamos que el aumento de v
se logra una disminución de los frotamientos en la
cañería. Si aquella magnitud llega a un valor tal que en la sección contraída la altura de velocidad fuese
igual a H1, la presión relativa sería nula en tal sección, y la presión absoluta sea app 0 .
2 2v g
1H0p
2
max1, 52
v
g
0p
0H
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Aumentando más la velocidad habría presiones inferiores a la atmosférica, y se llega a un límite
cuando la altura de velocidad mas la pérdida de carga que existe entre las secciones (1) y (2), igualan la
energía disponible, que es:
00 1
pH H
+
Luego: 2
00 1 1,5
2
p vH H
g +
01
max
2
1,5
pg H
v
+
Que da el límite máximo que puede alcanzar la velocidad.
Potencia obtenida de una cañería
Si en la cañería anterior se regula la salida del líquido mediante una estructura cualquiera, a igualdad de
desnivel 𝐻 , el nuevo caudal habrá de ser inferior al dado por la (13) ya que en aquella toda la altura se utilizaba en
la generación de la velocidad y en vencer las pérdidas localizadas.
Ahora bien, regulando la salida, con una llave
por ejemplo, el líquido llega a la sección 𝐵 de salida
con menor velocidad, debido al menor caudal,
teniendo la línea piezométrica menor pendiente.
Al salir el agua por el extremo del tubo, la
energía potencial en 𝐵 : 𝐵 = 𝑝𝐵 𝛾 se transforma
en energía cinética, previa deducción de la pérdida de
carga localizada que supone la propia válvula. Se
tiene:
𝐵 = 𝐻 − 𝑣2
2𝑔 𝑓
𝑙
𝑑+ 𝑘 + 1,5
Siendo, como se ha dicho, 𝑣 menor que en el
caso de salida libre.
La velocidad de salida del chorro será:
𝐵 +𝑣2
2𝑔=
𝑣´2
2𝑔⟹ 𝑣´ = 2𝑔
𝑣2
2𝑔+ 𝐵 (15)
Resulta particularmente interesante el estudio de los casos en los cuales, en vez de una simple válvula
reguladora en la extremidad de aguas debajo de la tubería, se intercala un motor hidráulico o turbina, que utiliza
tanto la energía cinética del escurrimiento como la energía de presión.
Se ha visto que caída de un cierto caudal 𝑄 desde una altura 𝐻 , genera una potencia:
𝑁 𝑘𝑔 𝑚1
𝑠𝑒𝑔 = 𝛾 𝑘𝑔 𝑚−3 · 𝑄 𝑚3𝑠𝑒𝑔−1 · 𝐻(𝑚)
H
h
hB
j
B
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R 64
Si descartamos a la altura 𝐻 (deben descartarse) las pérdidas por frotamiento, queda en consecuencia la carga
neta:
𝐵 = 𝐻 − ∆
Si se desprecian las pérdidas locales que puede haber, las cuales tratan de reducirse al mínimo, se tiene que ∆ se debe exclusivamente a las resistencias de frotamientos. Por lo tanto:
∆ = 𝑓 𝑙
𝑑 𝑣2
2𝑔
La potencia disponible en la turbina, expresada en caballo de vapor será:
𝑁 =1.000 𝑄
75 𝐻 − 𝑓
𝑙
𝑑
𝑣2
2𝑔 (16)
Expresando la velocidad en función del caudal, se obtiene:
𝑣2 =16𝑄2
𝜋2𝑑4
Valor que al ser sustituido en (16) nos dará:
𝑁 =1.000 𝑄
75 𝐻 − 𝑓
𝑙
𝑑5
16 𝑄2
𝜋22𝑔 (17)
Haciendo:
𝐾1 =1.000
75 ; 𝐾2 =
16
2𝜋2𝑔
𝑓𝑙
𝑑5
𝑁 = 𝐾1 𝑄 𝐻1 − 𝐾2 𝑄
2 (18)
Para cada diámetro posible de la cañería de alimentación resulta 𝑁 = 𝜑 𝑄, 𝐻 pero como en general 𝐻 es
un desnivel fijado por las condiciones físicas de la instalación, resultará 𝑁 = 𝜑 𝑄 .
En consecuencia, puede hallarse para cada diámetro, el valor del caudal que hace máxima la potencia
disponible. Derivando la expresión (18) se obtiene:
𝜕𝑁
𝜕𝑄= 𝐾1 𝐻 − 3𝐾2𝑄
2 = 0 (19)
De donde se tiene que 𝐻 = 3𝐾2𝑄2 en la que si recordamos la expresión de 𝐾2 y la de ∆ deducidas más
arriba, se llegará a:
𝐻 = 3∆ (20)
Lo cual nos indica que adoptando un diámetro "𝑑" , el máximo posible de potencia se logra con aquel caudal
que produce una pérdida de carga igual a la tercera parte de la altura total disponible.
El procedimiento para poder proyectar una cañería que hidráulicamente rinda al máximo, es el siguiente: Dada
la potencia que debe generarse con el salto de agua, dividiendo aquella por el rendimiento 𝜂 de las turbinas:
𝑁1 = 𝑁𝑒/𝜂
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El caudal necesario se calcula mediante la (17) teniendo en cuenta la relación (20):
𝑁1 =1.000
75𝑄1
2
3𝐻 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑄1 = 0,1125𝑁1
𝐻 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐻 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒
Calculada 𝑄1 se halla 𝑑1 combinando la (18) y la (19)
𝑑1 = 0,757 𝑓𝑙𝑄1
2
𝐻
5
(21)
Obtenido en esa forma el diámetro mínimo que con un caudal 𝑄1 puede dar la potencia 𝑁1 , es posible para
dicho diámetro trazar la curva 𝑁 = 𝜑(𝑄) , caso curva 1. Aumentando el caudal, la potencia disminuye a causa de
las mayores pérdidas por rozamientos.
Con un diámetro menor 𝑑2 , curva 2, no se llega a producir la potencia deseada. Con un diámetro mayor se
llega a la curva 3, para 𝑑3 , con el mismo caudal 𝑄1 se obtiene una potencia efectiva mayor 𝑁3 .
Potencia obtenibles en
función del caudal, adiámetro constante.
3 1 2d d d
(3)
(1 )
( 2 )
3( )Q m seg
3d
2d
1d
1Q
3N
1N
( )N H P
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R 66
Cañerías de alimentación
En este caso, fijado Q, sobre la base de las condiciones hidráulicas de la fuente de alimentación, y determinado
𝐻 por las condiciones físicas del terreno, puede calcularse el ingreso anual de la energía producida mediante la
expresión:
𝑁 𝐻𝑃 · 𝜂 · 0,736 𝐾𝑤
𝐻𝑃 · 𝐴
𝑠.
𝑎ñ𝑜𝑠 · 𝐵
$
𝐾𝑤 = 𝑀
$
𝑎ñ𝑜𝑠 (22)
Donde 𝑁 es la potencia obtenida con una
cañería de diámetro 𝑑 , calculada según la expresión
(21); 𝜂 es el rendimiento del grupo turbogenerador;
𝐴 es el número de horas útiles de trabajo de las
mismas y 𝐵 el precio unitario de venta del Kw-Hs.
Al ser 𝑁 = 𝜑 𝑑 , resultará que 𝑀 = 𝜑1 𝑑 pudiéndose por lo tanto trazar la curva correspondiente
a los ingresos: Curva (1). Evidentemente la función
𝑀 es creciente, pero es necesario tener en cuenta los
costos, también crecientes de las cañerías de mayores
diámetros. Es posible determinar, para cada uno de
ellos, el servicio anual de intereses y amortización del
capital invertido.
Tal servicio vale:
𝐿 𝑚 · 𝐶 $
𝑚 · 𝐸
1
𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑆
$
𝑎ñ𝑜𝑠 (23)
En la cual 𝐿 es la longitud de la cañería, 𝐶 es el costo unitario de provisión y colocación de la misma, el cual
resulta función del diámetro, 𝐸 es la taza anual de interés y amortización que puede suponerse de 0,006, valor que
equivale a estimar la vida útil de la instalación en treinta años aproximadamente.
Al ser 𝐶 = 𝜑(𝑑) , resultará que 𝑆 = 𝜑1(𝑑) pudiéndose trazar, por lo tanto la curva correspondiente a los
egresos. Curva (2).
El diámetro económicamente más conveniente, es aquel para el cual se hace máxima la diferencia 𝑀 − 𝑆 entre las expresiones (22) y (23), la cual es relativamente fácil de determinar en forma gráfica mediante las curvas
(1) y (2).
Evidentemente que para tal diámetro, las tangentes a ambas curvas serán paralelas, lo cual equivale a decir que
aquél cumple con la condición: 𝜕𝑀
𝜕𝑑=
𝜕𝑆
𝜕𝑑
Como en 𝑀 = 𝜑(𝑑) la única función del diámetro es la potencia 𝑁 y ella a su vez es calculable por la
expresión (17), se obtiene:
𝜕𝑀
𝜕𝑑= 5 ·
1.000
75·
16
𝜋2 2𝑔· 𝑓 · 𝑙 · 𝜂 · 0,736 𝐴 · 𝐵 ·
𝑄3
𝑑6 (24)
Donde todos los coeficientes de 𝑄3 𝑑6 son los que aparecen en las ecuaciones (17) y (22). Resumiéndolos
todos en un único coeficiente numérico, la expresión anterior puede escribirse:
𝜕𝑀
𝜕𝑑= 𝑀´
𝑄3
𝑑6 (25)
(2)
3d
$año
(1)
d
M
S
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R 67
Costo de una cañería
Evidentemente el costo de la unidad de longitud de una cañería depende de
su diámetro y del espesor “e” de sus paredes. El diámetro interno “d”, debe
determinarse por medio de las condiciones hidráulicas de escurrimiento, las que
en ciertos casos habrán de ajustarse también con las posibilidades constructivas.
El espesor “e” no puede bajar de un cierto valor mínimo. Que llamaremos
"𝒆𝟎", también por razones constructivas. Independientemente de tal condición “e”
debe calcularse sobre la base de los esfuerzos a los que deberá ser sometido el
material y de la tensión de trabajo admisible. En general, y siempre en casos de
cañerías de alimentación de centrales hidroeléctricas, el factor determinante del
espesor “e” es la presión hidráulica a la que se ha de someter. Por excepción y en
casos de gran diámetro, de poca presión hidráulica y con grandes cargas exteriores, serán estas las determinantes en
el cálculo del espesor, el que se efectúa mediante los procedimientos que enseña la resistencia de Materiales.
El espesor “e”, cuando prevalece la presión interna “p” debe ser determinada mediante la expresión de
Mariotte:
𝑒 = 𝑝 𝑑 2 𝜍𝑎𝑑𝑚 (26)
En la cual 𝑑 es el diámetro interno, 𝜍𝑎𝑑𝑚 es la tensión admisible a la tracción del material de la cañería, y 𝑝 es la presión interior.
Para computar el valor de la presión es necesario tener en cuenta la situación más desfavorable, la que en
general se supone sea la presión hidrostática, que es la que actuará sobre cualquier tramo de cañería en caso de
interrupción del escurrimiento. En casos de cañerías muy largas, y para evitar presiones excesivas suelen construirse
torres piezométricas que aseguran que en los tramos de aguas debajo de las mismas, la presión no pase de los límites
previstos.
En general pues 𝑝 será igual a 𝛾 𝐻 valor que suele multiplicarse por un factor mayor que la unidad, variable
entre 1,1 y 1,3 para prever ocasionales efectos hidrodinámicos.
El peso de la unidad de longitud de una cañería de diámetro 𝑑 y espesor “e” será:
𝐺 = 𝛾𝑚𝜋 𝑑 + 𝑒 𝑒 (27)
Donde 𝛾𝑚 es el peso específico del material de la cañería.
Reemplazando el valor de “e” dado por la expresión (26) se obtiene:
𝐺 = 𝛾𝑚𝜋 𝑑 +𝑝 · 𝑑
2𝜍𝑎𝑑𝑚
𝑝 · 𝑑
2𝜍𝑎𝑑𝑚
𝐺 = 𝛾𝑚𝜋 𝛾 𝐻
2 𝜍𝑎𝑑𝑚 1 +
𝛾 𝐻
2𝜍𝑎𝑑𝑚 𝑑2 (28)
El costo de la longitud unitaria de la cañería se obtiene inmediatamente multiplicando la expresión anterior por
el precio de la unidad de peso del material de que estará construida. Resumiendo todos los coeficientes de la
ecuación (28) y el último factor indicado, en un solo coeficiente, puede escribirse abreviadamente:
𝐶 = 𝛼 · 𝑑2 (29)
d
e
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Para que 𝐶 sea el precio de provisión y colocación de la cañería, tal como se indicó en la ecuación (23) será
necesario agregar los costos de excavación, traslado y colocación en la zanja, pero todos ellos pueden involucrarse
dentro del coeficiente 𝛼 de la ecuación (29), pudiendo decirse que tales gastos son también proporcionales al
cuadrado del diámetro.
Cañería de Impulsión
Un problema económico semejante al tratado para las cañerías de alimentación, se presenta en las tuberías de
impulsión de las bombas. Tales máquinas elevan la presión del líquido, y por lo tanto comunicarán una cierta
potencia al escurrimiento, la cual debe ser tanto mayor cuanto mayor sean las pérdidas de carga que se produzcan en
la cañería de impulsión.
De tal situación emanan los dos factores opuestos que es necesario tener en cuenta. Por una parte, a menor
diámetro de la cañería, se tiene menor costo de la misma, mientras que por otra parte, las menores dimensiones
provocan mayores pérdidas por frotamientos con el consiguiente aumento de los gastos de bombeo.
Analicemos el caso de la figura, es necesario
elevar el agua captada por un pozo hasta el nivel de un
depósito desde el cual se la utilizará para distribución.
La energía necesaria, para elevarla un nivel 𝐻 , será
como siempre 𝛾 · 𝑄 · 𝐻 , pero en este caso al
desnivel topográfico 𝐻 , será necesario agregar las
pérdidas por frotamiento a lo largo de toda la cañería.
Si aquella fuera muy corta, evidentemente las
pérdidas tendrían poca importancia, y en líneas
generales puede decirse que la cañería más conveniente
será aquella que permita el escurrimiento con la
máxima velocidad compatible con el material. Pero si
la conducción tiene una longitud apreciable, la
situación varía fundamentalmente.
En consecuencia, la potencia teórica necesaria será:
𝑁 = 𝛾 · 𝑄 · 𝐻 + 𝑗 ∙ 𝑙
Donde 𝑙 es la longitud de la tubería de impulsión.
Llamando 𝜂 al rendimiento del equipo del motor y
bomba, la potencia efectiva será:
𝑁 =𝛾 · 𝑄 · (𝐻 + 𝑗 · 𝑙)
𝜂 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐾𝑔 𝑚/𝑠𝑒𝑔
Puede hacerse un cálculo analítico, semejante al
señalado para las tuberías de alimentación, sumando los
precios de la energía y el servicio anual del costo de la cañería,
y posteriormente buscando el mínimo de la suma. Sin
embargo como allá, puede resultar muy cómodo efectuar la suma gráficamente.
(1)
(2)
$/años
c
Diagrama de Colmerer
H
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Para ello, hecho el cálculo del número de horas diarias de bombeo que han de requerirse, se determina el costo
del mismo, por unidad de altura, mediante la expresión.
1.000 𝐾𝑔 𝑚3 𝑄 𝑚3 𝑠𝑒𝑔
75 𝐾𝑔 𝑚 𝑠𝑒𝑔
𝐻𝑃 𝜂
· 𝐴 𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑑í𝑎 · 𝐵
𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑎ñ𝑜 · 𝐶
$
𝐻𝑃 = 𝐹
$
𝑎ñ𝑜 · 𝑚
El costo anual de bombeo, teniendo en cuenta la verdadera altura, será:
𝑘 $
𝑎ñ𝑜 = 𝐹
$
𝑎ñ𝑜 · 𝑚 𝐻 + 𝑗 · 𝑙 𝑚
Que resulta función del diámetro 𝑑 al serlo 𝑗 , y puede representarse gráficamente por la curva (1) de la figura.
El servicio anual del capital invertido en la construcción, también resulta función del diámetro, y viene dado
por la curva (2).
El diámetro más conveniente es aquel para el cual la suma de ambas curvas se hace mínima. La aproximación
dada por el gráfico es perfectamente suficiente por cuanto en la inmensa mayoría de los casos no será posible
dimensionar perfectamente la cañería con el valor hallado, debiendo aceptarse los diámetros comerciales más
próximos que se encuentran en plaza.
Dinámica de la Turbulencia Análisis (de la Turbulencia) Dimensional
Nos proponemos en esta parte, exponer dentro del alcance del programa, el estado actual del
estudio de los escurrimientos de líquidos reales, en los casos que se presentan más comúnmente en la
práctica, esto es, los escurrimientos con turbulencias.
Pero previamente, y dada la dificultad del problema, es necesario decir algo acerca de la teoría
matemática que nos permite abordarlos en primera instancia. Esta es la teoría de la “Homogeneidad
Dimensional”.
La Física Matemática interpreta las leyes de la naturaleza mediante la apreciación cuantitativa de
ciertas características o propiedades de los cuerpos y sus variaciones a través del tiempo y del espacio.
Una magnitud es una propiedad física de las cosas que las hace susceptibles de igualdad y
desigualdad. O en otras palabras, magnitud es lo que nos permite clasificar como conjunto homogéneo
los distintos estados de una propiedad física, entre cuyos elementos están definidas la igualdad y la
suma.
Las magnitudes que aparecen en una ley física pueden ser de dos clases, las primarias son
aquellas para las que se conviene que no puedan reducirse a otras más simples. En cambio las
secundarias se miden indirectamente por la medida de las primarias que la componen.
En Mecánica se usa uno cualquiera de los dos sistemas siguientes de magnitudes primarias:
Longitud, Masa y Tiempo (L-M-T)
O bien:
Longitud, Fuerza y Tiempo (L-F-T)
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En general cualquier magnitud secundaria puede expresarse en la forma:
cba pppAS 321 (1)
En la cual p1, p2, p3 son las cantidades primarias, A, a, b, c son constantes.
Se llama dimensión de una cantidad secundaria, con respecto a una de las cantidades primarias
que la componen, el exponente a que aparece elevada esta última en la expresión de aquella.
MAGNITUD SISTEMAS
M L T F L T
Longitud
Área
Tiempo
Velocidad
Aceleración
Caudal
Masa
Fuerza
Densidad
Peso Especifico
Presión
Trabajo o Energía
Potencia
Momento
M
M
M
M
M
M
M
M
L
L2
L
L
L3
L
L-3
L-2
L-1
L2
L2
L2
T
T-1
T-2
T-1
T-2
T-2
T-2
T-2
T-3
T-2
F
F
F
F
F
F
F
F
L
L2
L
L
L3
L-1
L-4
L-3
L-2
L
L
L
T
T-1
T-2
T-1
T2
T2
T-1
Ahora bien, si una ley física ha de expresarse matemáticamente entre varias magnitudes, es
necesario que su expresión sea dimensionalmente homogénea, es decir, que los términos de la ecuación
deben ser de igual dimensión o grado, con respecto a las unidades primarias elegidas.
Método de Rayleigh
Expondremos este método mediante un ejemplo, para lograr una comprensión acabada.
Elegiremos el caso del escurrimiento de un líquido real por un conducto, que habrá de sernos útil
posteriormente.
Para aplicar el análisis dimensional, es necesario conocer previamente cuales son las variables que
intervienen en el fenómeno físico. Estas variables son magnitudes que dependen del sistema
fundamental elegido.
Así por ejemplo, se tiene suficiente conocimiento experimental para considerar que la resistencia
(R1) opuesta al escurrimiento de un líquido, por unidad de superficie de la pared del conducto, debe
depender de la velocidad media ( mv ); de la viscosidad ( ); de la densidad ( ); del diámetro del
conducto (d) y del tamaño de las asperezas de la pared (k) que pueden expresarse como una longitud.
Podemos escribir:
1 ( , , , , )mR f v d k (2)
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Así pues, se ha supuesto que intervienen en la ley del fenómeno, dos características físicas del
fluido ( y ), dos magnitudes geométricas tendientes a definir la forma del conducto (d y K), una
magnitud dinámica que es la resistencia R1.
Ahora bien, la (2) puede escribirse, de acuerdo con lo dicho antes, de la forma siguiente:
1 · · · ·x y z s t
mR v d k 1 · · · ·x y z s t
mR v d k (3)
El símbolo se utiliza para expresar la proporcionalidad entre R1 y el producto del segundo
miembro.
Si trabajamos ahora con las dimensiones de ambos miembros, utilizando el sistema (M-L-T), las
dimensiones de cada una de las variables será:
1 2
1
1 1
3
1
[ ] [ ] [ ]
[ ]·[ ]·[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
m
R M L T
M L T
M L
v L T
d L
k L
Luego: tszzyyxxx LLTLLMTLMTLM
321
zxtszyxyx TLMTLM ++++ 321
Y como los componentes de M-L-T en ambos miembros deben ser iguales:
1
1 3 3(1 ) (2 )
2
M x y
L x y z s t x x x s t
T x z
+
+ + + + + +
Eliminando x, z, s en este sistema de tres ecuaciones, se tiene:
txsxzxy 2;1
Y en consecuencia la (3) queda así:
1 2 1 2
1
x t
x x x x t t kR v d k v
v d d
(4)
En la que 2·v tienen las dimensiones de 1R y los demás factores son números sin dimensión. El
primero es el inverso del número de Reynolds, cuyo significado se verá más adelante. El segundo es la
rugosidad relativa, por lo que se advierte que no importa la magnitud absoluta de la rugosidad, sino su
relación con el tamaño del tubo.
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Si bien es cierto que la (4) no nos da la forma definitiva de la ecuación de la pérdida de carga, nos
permitirá conducir la experimentación haciendo variar ciertos factores bien definidos y sin tener en
cuenta el valor particular de cada una de las magnitudes que se presentan, sino el de los números
adimensionales mencionados.
Si la rugosidad no influyese en el proceso, el valor de t sería despreciable y la (4) quedaría:
2
1 · ·· ·
x
R vv d
(5)
Que es el caso de un tubo liso.
Puede ocurrir además que la acción inmediata de la viscosidad sea pequeña frente a las otras
fuerzas en juego, aproximándonos al caso de un fluido perfecto. Entonces 0x y la (5) se escribe así:
2
1 ·vR (6)
La resistencia tiende a hacerse independiente del número de Reynolds, cosa que
experimentalmente puede comprobarse en los movimientos con turbulencia plena.
Cuando las fuerzas provenientes de la viscosidad son predominantes sobre las que dependen de
(fuerzas de masa o fuerzas de inercia) 10 xy la (5) queda así:
2
1 · ·R vv d
O bien:
1
vR
d
(7)
Método de Buckingham
El teorema de Buckingham (1.915) se enuncia: “Si la ley de un fenómeno depende de “n”
cantidades diferentes, que a su vez son función de “m” cantidades primarias, puede expresarse una
función de n-m números sin dimensiones, para lo cual se toma un número de cantidades que
intervienen en la ley, que sea igual al número de las primarias y que contengan a todas estas, y se
forman productos de potencias cualesquiera de aquellas, multiplicados por cada una de las cantidades
restantes”.
Ilustrando esto con un ejemplo. Supóngase que un escurrimiento dependa: a) de algunas
magnitudes lineales, que definan geométricamente el límite 𝑎, 𝑏, 𝑒𝑡𝑐.. b) magnitudes cinemáticas y
dinámicas del movimiento, la velocidad media v, la caída de presión ∆p, etc. c) las propiedades físicas
del fluido, densidad 𝜌, peso específico 𝛾, viscosidad 𝜇, tensión superficial 𝜍 y módulo de elasticidad
de volumen 𝜀.
Se tendrá entonces una ley que vincule estas magnitudes:
𝑓 𝑎, 𝑏, 𝑣, ∆𝑝, 𝜌, 𝛾, 𝜇, 𝜍, 𝜀 = 0 (8)
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De entre estas variables escojamos tres, es decir, un número igual al de las magnitudes primarias
(M-L-T) y que las contengan. Sean ellas 𝑎, 𝑣, 𝜌 . Entonces los 𝑛 − 𝑚 = 9 − 3 = 6 números sin
dimensiones que pueden formarse tendrán, de acuerdo con la ley ya dicha, la forma siguiente:
𝜋1 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥1 ⋅ 𝑣𝑦1 ⋅ 𝜌𝑧1 𝜋2 = Δ𝑝 ∙ 𝑎𝑥2 ⋅ 𝑣𝑦2 ⋅ 𝜌𝑧2 𝜋3 = 𝛾 ∙ 𝑎𝑥3 ⋅ 𝑣𝑦3 ⋅ 𝜌𝑧3
𝜋4 = 𝜇 ∙ 𝑎𝑥4 ⋅ 𝑣𝑦4 ⋅ 𝜌𝑧4 𝜋5 = 𝜍 ∙ 𝑎𝑥5 ⋅ 𝑣𝑦5 ⋅ 𝜌𝑧5 𝜋6 = 𝜀 ∙ 𝑎𝑥6 ⋅ 𝑣𝑦6 ⋅ 𝜌𝑧6
Los exponentes incógnitas se calculan sabiendo que los números 𝜋𝑖 son adimensionales. Así para
el primero se tiene:
𝜋1 = 𝐿 ⋅ 𝐿𝑥1 ⋅ 𝐿
𝑇 𝑦1
⋅ 𝑀
𝐿3 𝑧1
= 𝐿1+𝑥1+𝑦1−3𝑧1 ⋅ 𝑇−𝑦1 ⋅ 𝑀𝑧1 = 𝐿0 ⋅ 𝑇0 ⋅ 𝑀0
De donde:
𝑥1 + 𝑦1 − 3𝑧1 = −1 (𝐿) −𝑦1 = 0 (𝑇) 𝑧1 = 0 (M)
Entonces: 𝑥1 = −1 por lo que: 𝜋1 = ba
Para [π2] tendremos:
[π2] = M ⋅ L−1 · 𝑇−2 · 𝐿𝑥2 · 𝐿
𝑇 𝑌2
· 𝑀
𝐿3 𝑧2
= 𝐿−1+𝑥2+𝑦2−3𝑧2 ⋅ 𝑇−2−𝑦2 ⋅ 𝑀1+𝑍2 = 𝐿0 · 𝑇0 · 𝑀𝑜
(M) 0 = 1 + 𝑧2 ∴ 𝑧2 = −1
(T) 0 = −2 − 𝑦2 ∴ 𝑦2 = −2
(L) 𝑂 = −1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑧2 ∴ 𝑥2 = 0
Por lo que [π2] =Δp
ρv2
De la misma forma se procede para los demás 𝜋𝑖 y se llega a:
𝜋3 =𝛾 𝜌
𝑣2 𝑎 ; 𝜋4 =
𝜇
𝑣 𝑎𝜌 ; 𝜋5 =
𝜍 𝜌
𝑣2𝑎 ; 𝜋6 =
𝜀 𝜌
𝑣2
Cuyos inversos son los números de Froude (al cuadrado), Reynolds, Weber y Cauchy
respectivamente, que se indican como ℱ𝑟 , ℛ𝑒 , 𝒲𝑒 , 𝒞𝑎 .
Φ 𝜋1, 𝜋2, 𝜋3, 𝜋4, 𝜋5, 𝜋6 = 0
𝑓 𝑎
𝑏;
𝑣2
Δ𝑝 𝜌 ; ℱ𝑟 ; ℛ𝑒 ; 𝒲𝑒 ; 𝒞𝑎 = 0 (9)
Naturalmente se habría llegado a un resultado distinto si se hubiera escogido otro grupo de tres
cantidades o magnitudes, en lugar de 𝑎, 𝑣, 𝜌 para la formación de los 𝜋𝑖 . Pero la relación obtenida nos
indica que la ley buscada puede establecerse por lo menos entre este grupo de variables adimensionales
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y que todas las contingencias posibles del fenómeno pueden reproducirse, si se toman todos los valores
posibles de ellas, y no aisladamente las de las magnitudes que intervienen en el fenómeno.
Este análisis permite también expresar la ley empírica de un fenómeno, en la forma más
apropiada a las variables que realmente participan en ella, y también conocer con que amplitud se ha
estudiado un fenómeno y aplicar correctamente los resultados obtenidos, mediante el análisis de la
variación de los números que intervienen.
Supóngase por ejemplo que se haya estudiado experimentalmente un fenómeno de escurrimiento
de un cierto fluido. El escurrimiento de otro fluido cualquiera será semejante al primero y cumplirá con
la misma ley, si los números 𝜋𝑖 son iguales respectivamente, puesto que estos son en realidad las
variables que rigen el fenómeno en cuestión.
Escurrimiento en Líquidos Reales
Los primeros estudios sobre esta materia fueron hechos con cañerías, pues es la forma en la que
son susceptibles de apreciarse de apreciarse más cómodamente y porque fueron los problemas que
primeramente se presentaron.
Reynolds en 1.883, fue quien pudo anunciar una ley que ligara los fenómenos en la transición entre
dos regímenes diferentes: un régimen laminar con flujo paralelo de filetes, y el otro que se produce
cuando aumenta la velocidad del escurrimiento, caracterizado por un intenso entremezclado de sus
partículas. Para ello observó los filetes mediante la inyección de un colorante líquido en el agua que
escurría por un tubo de vidrio.
Cuando la velocidad es menor que un cierto valor crítico, el movimiento dentro del tubo es regular
o laminar y puede considerarse permanente en el sentido exacto que vimos en cinemática. Reynolds lo
llamó movimiento paralelo.
Una vez excedido el valor crítico de la velocidad, los filetes de colorante parecen perder la
continuidad de sección a sección y comenzaban a oscilar transversalmente, hasta su total difusión en el
líquido cuando la velocidad alcanzaba valores más elevados.
A este tipo de movimiento lo llamó sinuoso, y es lo que se conoce actualmente como movimiento
turbulento. La turbulencia produce una agitación debida al hecho de que el vector velocidad no está
dirigido correctamente en la dirección del eje del tubo. Es esta la causa de la mezcla de partículas
materializada por la difusión del colorante.
Reynolds fue más allá de la simple observación cualitativa de estos hechos, al establecer una
relación adimensional, cuyo valor fija la posibilidad de uno u otro régimen y que sirve para expresar las
leyes de los movimientos de todos los fluidos. Es decir, que para un determinado valor de ese número
de Reynolds, el movimiento del agua es turbulento, también lo es el del petróleo o del amoniaco.
Para que exista semejanza dinámica entre dos escurrimientos que escurren por distintos tubos
geométricamente semejantes, es necesario que sean iguales la relación entre las fuerzas de masa y las
b) Movimiento Críticoa) Movimiento Laminar c) Movimiento Turbulento
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de las fuerzas de viscosidad. Es decir, se requiere que haya una escala de fuerzas constante para ambos
fenómenos.
La dimensión de las fuerzas de masa se halla con la ecuación newtoniana:
ℱ𝓂 = 𝑚 · 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑚𝑣 𝑑𝑡
En la que 𝑚 es la masa y 𝑑𝑣 𝑑𝑡 es la aceleración, que está representada por la gravedad, en el
caso de las fuerzas gravitatorias.
Entonces la escala de fuerzas gravitatorias ha de estar dada por:
ℱ𝓂1
ℱ𝓂2
=𝑚1
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑚2 𝑑𝑣
𝑑𝑡 (10)
En la que el subíndice 1 corresponde a un movimiento y el 2 al otro. La ecuación (10) puede,
evidentemente, escribirse en esta otra forma, puesto que se trata de una relación entre escalas.
ℱ𝑚1
ℱ𝑚2
=𝜌1 𝐿1
3 𝑉1 𝑇1−1
𝜌2 𝐿23 𝑉2 𝑇2
−1 =𝜌1 𝐿1
2 𝑉12
𝜌2 𝐿22 𝑉2
2
En la que 𝜌1 y 𝜌2 son las densidades de ambos fluidos.
𝐿1 y 𝐿2 son dos longitudes homólogas de ambos procesos.
𝑇1 y 𝑇2 son dos lapsos también homólogos
𝑉1 y 𝑉2 son dos velocidades igualmente homólogas de ambos procesos.
Además, las fuerzas de viscosidad están representadas por la expresión de Newton:
ℱ𝑣 = 𝜏 𝐴 = 𝜇 𝜕𝑣
𝜕𝑛 𝐴
Por las razones anteriores podemos escribir ahora:
ℱ𝑣1
ℱ𝑣2
=𝜇1𝐿1
2 𝑉1𝐿1−1
𝜇2𝐿22 𝑉2𝐿2
−1 =𝜇1𝐿1
2 𝑉12
𝜇2𝐿22 𝑉2
2 (12)
En consecuencia, si ℱ𝑣1
ℱ𝑣2
=ℱ𝑚 1
ℱ𝑚 2
a fin de que se cumpla la semejanza o igualdad de escalas, las
ecuaciones (11) y (12) nos permiten establecer:
𝐿1 𝑉1 𝜌1
𝜇1=
𝐿2 𝑉2 𝜌2
𝜇2
Es decir, que para que se cumpla la semejanza es necesario y suficiente que sean iguales para
ambos procesos los números de Reynolds:
ℛℯ =𝐿 𝑉 𝜌
𝜇
Formados con una longitud característica del fenómeno, la velocidad media, la densidad y la
viscosidad dinámica. Se sabe que:
ℛℯ < 1.000 𝑎 1.200 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑙 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
ℛℯ > 12000 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜
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Pérdidas de cargas. Resistencia al escurrimiento por rozamiento, en tuberías. Expresiones generales
Vimos que la pérdida de carga Δ en un tramo de longitud “l”, si es constante a lo largo del
recorrido es: Δ 𝑙 = 𝑗 .Donde 𝑗 recibe el nombre de pendiente piezométrica. Si el conjunto tiene una
inclinación I, existe una relación entre 𝑗 e I que se verá posteriormente.
La relación que liga las pérdidas de carga con la resistencia opuesta a la corriente en un conducto
circular era:
𝑅 = 𝛾 ·𝜋 𝑑2
4 𝑧1 +
𝑝1
𝛾 − 𝑧2 +
𝑝2
𝛾 = 𝛾 ·
𝜋 𝑑2
4Δ = 𝛾 ·
𝜋𝑑2
4· 𝑙 · 𝑗
∴ 𝑅 = 𝛾 · 𝑉 · 𝑗 = 𝐺 𝑗 ⟹ 𝑗 =𝑅
𝐺
Que indica que la pendiente piezométrica es la resistencia opuesta al escurrimiento por cada
unidad de peso del líquido que circula. Por último puede establecerse la expresión que da la llamada
resistencia específica dividiendo R por la superficie que abarca al volumen V:
𝑅1 =𝑅
𝜋 𝑑 𝑙= 𝛾 ·
𝑑
4· 𝑗
Cuando vimos el análisis dimensional también llegamos a
𝑅1 ∝ 𝜌 𝑣2 𝜇
𝑣 𝑑 𝜌
x
𝐾
𝑑 𝑡
Y por lo tanto 𝑗 dependerá del número de Reynolds y de la rugosidad relativa de la cañería
expresada en forma de un número sin dimensión 𝑘 𝑑 . Por lo tanto se puede escribir:
𝑅1 = 𝜑 ℛℯ; 𝐾 𝑑 · 𝜌 𝑣2 = 𝛾 ·𝑑
4· 𝑗
∴ 𝑗 =8 𝜑 ℛℯ; 𝐾 𝑑
𝑑 𝑣2
2 𝑔 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑠𝑒:
𝑗 =𝑓
𝑑 𝑣2
2 𝑔
Conocida como la expresión de Darcy-Weisbach en la cual 𝑓 = 8 𝜑 ℛ𝑒 ; 𝑘 𝑑 es el llamado
coeficiente o factor de la cañería. Esta expresión resulta fundamental en el cálculo hidráulico de
cualquier cañería, desde el momento que relaciona los tres elementos básicos que configuran el equipo
el escurrimiento: velocidad media v (y por lo tanto caudal), diámetro 𝑑 y pérdida de carga f.
Puede transformarse ligeramente interviniendo el caudal:
𝑗 =𝑓
𝑑
𝑄2
2 𝑔 𝐴2=
8𝑓
𝜋2𝑔·𝑄2
𝑑5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
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Régimen Laminar
La característica dominante en este tipo de escurrimiento es la viscosidad. Puede lograrse en tubos
capilares, o bien en el caso de circulación de aceites de alta viscosidad que escurren en tuberías de
escasa velocidad. Por tratarse de líquidos reales hay una disipación de energía hidrodinámica que se
transforma en calor, en forma irreversible.
Vimos que:
ℛ𝑒 =𝜌 𝑣 𝑑
𝜇 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℛ𝑒 < 1.000 − 1.200 𝑒𝑙 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑡á 𝑎𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜
La pérdida de carga en un movimiento laminar se produce en la dirección de la corriente, debido a
la resistencia viscosa a la deformación. Se sabe que:
𝑗 =32 𝜇
𝛾 𝑑2 𝑣
Que igualándolo con la expresión de Darcy, se obtiene como valor del coeficiente de fricción:
𝑓 =64
ℛ𝑒
Régimen Inestable Intermedio
Hemos dicho que el régimen laminar queda asegurado en escurrimientos con ℛ𝑒 < 1.200 y en
forma análoga puede expresarse que cuando ℛ𝑒 > 10.000 se tendrá régimen turbulento. Existe pues,
una zona intermedia donde pueden tener lugar cualquiera de los dos regímenes, y que se caracteriza por
su gran inestabilidad. Resulta prácticamente imposible calcular perdidas de carga en un escurrimiento
en esas condiciones.
Régimen Turbulento
Pertenecen a este tipo de escurrimiento la inmensa mayoría de las conducciones de líquidos por
cañerías, y que presenta dificultades para poder valorar las pérdidas de carga que en él se producen.
La mezcla profusa de trayectorias aumenta apreciablemente la disipación de energía, y desde la
época de Darcy se acepta que una mayor rugosidad de las paredes produce mayores pérdidas de carga,
a igualdad de los otros elementos.
Van Karmán definió como tubo liso al que cumple con la relación:
𝒅 > 0,94 𝑲 𝒇
Y rugoso si verifica:
𝒅 < 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 𝑲 𝒇
Teniendo en cuenta la expresión de Darcy, se pone en evidencia que el problema se limita a dar
una expresión adecuada al factor de fricción 𝒇 , que constituye un verdadero factor de ignorancia.
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Fórmulas Antiguas
Solo nos ocuparemos de las más importantes o conocidas:
Woltmann propuso:
𝑗 = 0,00124 𝑣1,75
𝑑
∴ 𝑓 = 0,0243/𝑣0,25
Eytelwein propuso:
𝑓 = 0,03
Dupuit estableció:
𝑓 = 0,0302
Fórmulas Intermedias
Con Darcy se da un gran paso hacia delante, ya que hizo notar que a igualdad de diámetro y de
pendiente piezométrica influye en forma decisiva en la velocidad de circulación del líquido el estado y
las condiciones de las paredes de la cañería, cuya influencia no había sido tomada en cuenta hasta
entonces.
Levy mantuvo el criterio de Darcy, distinguiendo entre cañerías nuevas y usadas. Con su fórmula
llega a la siguiente expresión de 𝑓:
𝑓𝑢 =0,0935
1 + 2,12 𝑑
𝑓𝑛 =0,0296
1 + 2,12 𝑑
Reynolds fue el primero en demostrar que el tipo de escurrimiento no depende de las dimensiones
absolutas de la cañería. Para el régimen laminar obtiene una expresión de 𝑓 muy precisa y conocida:
𝑓 = 64,6/ℛ𝑒
Manning publicó en 1.890 una fórmula para determinar la velocidad de un canal en función de la
pendiente del mismo:
𝑣 =1
𝑛 𝑅6
· 𝑅𝐼
Donde R es el radio hidráulico, I la pendiente y n un coeficiente que depende de la naturaleza de las
paredes. La expresión correspondiente a para cañerías se obtiene sustituyendo la pendiente de fondo I
por el gradiente piezométrico 𝑗 y expresando el radio hidráulico en función del diámetro, se llega a:
𝑓 = 125 𝑛2/𝑑0,333
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La fórmula de William y Henzen (1.903) es posiblemente una de las más usadas en la actualidad, por lo
menos en América:
𝑗 = 10,65 𝑄1,85
𝐶1.85 𝑑4,87
𝑓 =133,5
𝐶1,85 𝑣0,15 𝑑0,17
Expresiones en las que C es un coeficiente cuyo valor depende de la naturaleza de las paredes.
Con las expresiones anteriores se ha construido un ábaco, de cómoda e inmediata aplicación, para un
valor de 𝐶 = 100 dicho ábaco puede ser utilizado para otros valores de 𝐶 . Pudiendo reducirse la
explicación en un cuadro que da los coeficientes de corrección para cada término de la ecuación, según
cuál sea el factor buscado o los datos conocidos. La expresión de Williams-Henzen (semi-empírica)
solo es válida para el agua.
Diámetros (m)
Caudales ( /seg)l
Pe
nd
ien
tes
Material C Fundación nueva 130
Fundación con 5 años de servicio 119
Fundación con 10 años de servicio 111
Fundación con 20 años de servicio 96
Madera 120
Acero soldado Fund.+5 años
Acero Remachado Fund.+10 años
Hormigón ··························
Que se utilizan del modo siguiente a manera de ejemplo práctico: para valores de 𝑄 y 𝑗 se
obtiene un valor 𝑑 con 𝐶 = 100 , pero como el conducto es de hormigón encofrado de madera cuyo
𝐶 = 120 , el valor final de 𝑑𝑓 se obtiene:
𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 0,94 𝑑
𝐶 Factores de corrección cuando𝐶 ≠ 100
𝑗 𝑜 𝑓 d 𝑄
80 ················ ········ ········
90 ················ ········ ········
110 ················ ········ ········
120 0,735 0,94 1,2
130 ················ ········ ········
140 ················ ········ ········
······ ················ ········ ········
······ ················ ········ ········
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Fórmulas Modernas
En este grupo de fórmulas, contrariamente a lo ocurrido en las anteriores, es necesario considerar
si el conducto el liso o rugoso:
a) Conductos lisos:
Hemos visto que la resistencia específica y por lo tanto la pérdida de carga 𝑗 depende de ℛ𝑒 y
de la rugosidad:
𝑅1 ∝ 𝜌 𝑣2 𝜇
𝑣 𝑑 𝜌 𝑥
𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑘
𝑑 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
∴ 𝑗 = 𝜑 ℛ𝑒 ; 𝑣2
𝑔 𝑑
Según Blasius, para tubos lisos 𝑓 = 0,316/ℛ𝑒0,25 para ℛ𝑒 < 10.000 , de los estudios de
Nikuradze, Van Karmán y Prandtl se conoce una expresión para el régimen turbulento en cañerías lisas,
aptas para ℛ𝑒 > 105 :
1
𝑓= 2 log ℛ𝑒 𝑓 − 0,8
Que concuerda mejor que ninguna, con las experiencias.
b) Conductos Rugosos:
En este caso el problema se complica por la influencia de la rugosidad, tan difícil de valorizar. Así
como en los tubos lisos 𝑓 depende tan solo del número de Reynolds (ℛ𝑒) y no de la aspereza, en
el caso de tubos rugosos puede ocurrir dos casos: Si los ℛ𝑒 son muy elevados 𝑓 depende tan
solo de la aspereza y no de ℛ𝑒 , es decir que ocurre todo lo contrario que en los tubos lisos, y se
dice en este caso que la turbulencia es plena; para valores de ℛ𝑒 menores 𝑓 depende de ambos
factores, aspereza y valor de ℛ𝑒 .
Para la zona de turbulencia plena, se tiene otra ecuación similar:
1
𝑓= 2 log
𝑑
𝐾 + 1,14
Como puede verse, resulta independiente del valor de ℛ𝑒 , 𝐾 representa siempre la aspereza de
Nikuradze, es decir el tamaño de granos de arena uniformes que provocarían una pérdida de carga igual
a la de la tubería dada.
Para la zona donde no hay turbulencia plena Colebrook y White han dado la siguiente expresión:
1
𝑓= 1,74 − 2 log
𝐾
𝑑 2 +
18,7
ℛ𝑒 𝑓
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R 81
Que viene a ser una ecuación de transición para tubos lisos y tubos rugosos. Evidentemente una
expresión de este tipo resulta muy complicada para ser usada en los problemas prácticos comunes, de
allí que se hayan construido gráficos como el de Moody o Rouse que facilitan su aplicación:
Turbulencia plena
en cañerías rugosas
Línea de Moody
Zona de Transición
Escurr im
ient o
Laminar
· ·" "e
v dR
;ef R k d
Número de Reynolds
Cañerías LisasFa
cto
r de
fri
cció
n “
” f
Asp
ereza
(K/d
)
Experiencias de Nikuradze sobre tubos artificialmente ásperos graficados por Rouse y Moody,
validos para cualquier régimen de escurrimientos, para tubos lisos o rugosos, y para cualquier fluido
líquido (Ábacos Universales).