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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO : MECÁNICA DE SÓLIDOS I
PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
PROBLEMA Nº 1
La torre de la figura tiene 70 m de altura. La tensión en los cables BC, BD y BE tiene una
magnitud de 2 kN. Considere la base de la torre como un soporte fijo. ¿Qué valor tienen las
reacciones en A?
Resolución
Para resolver problemas de equilibrio de un cuerpo rígido en el espacio, se recomienda seguir el
siguiente procedimiento:
1ro. Hacer el DCL del cuerpo rígido completo. Recuerde que sólo deben graficarse las fuerzas
externas que actúan sobre dicho cuerpo rígido.
2do. Determinar la expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
rígido analizado.
3ro. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para calcular las incógnitas solicitadas. Para ello se
recomienda aplicar primero 0
M con respecto a un eje especifico o con respecto a un punto,
y luego 0
F .
z (m) x (m)
y (m)
B
C (-50; 0; 0)
A
E (40; 0; -40)
D (20; 0; 50)
DCL de la torre (cuerpo rígido completo)
Las fuerzas externas que actúan sobre la torre son: las tensiones en los cables BC, BD y BE, y
las reacciones en el soporte fijo A (tres componentes de la fuerza de reacción:ZYX AAA RyRR
, ,
tres componentes de momento de par: ZYX MyMM
, ).
* Asumimos que el punto A está ubicado en el origen de los ejes coordenados.
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la torre
);;(ZYX AAAA RRRR
BCBCBC FF )( ; donde: kNFBC 2 y )0;02325,86
70;
02325,86
50(
BC
)0;6275,1;1625,1( kNkNFBC
BDBDBD FF )( ; donde: kNFBD 2 y )31761,88
50;
31761,88
70;
31761,88
20(
BC
)1323,1;5852,1;4529,0( kNkNkNFBD
BEBEBE FF )( ; donde: kNFBE 2 y )90
40;
90
70;
90
40(
BE
)8889,0;5556,1;88889,0( kNkNkNFBE
Además, el momento de par que actúa en A se expresa como: );;( ZYX MMMM
z (m) x (m)
y (m)
B
C (-50; 0; 0)
A
E (40; 0; -40)
D (20; 0; 50)
Cálculo de ZYX AAA RyRR ; (componentes de la fuerza de reacción en A)
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas, tenemos:
0 xF 08889,04529,01625,1 kNkNkNRXA kNR
XA 1793,0
0 YF 05556,15852,16275,1 kNkNkNRYA kNR
YA 7682,8
0 YF 08889,01323,1 kNkNRZA kNR
ZA 2433,0
Luego, la fuerza de reacción en A es )2433,0;7682,8;1793,0( kNkNkNRA
Cálculo de ZYX MyMM ; (componentes de momento de par en A)
Aplico primero suma de momentos totales respecto al eje x.
0 Totales
XEjeM 0
BEBDBC F
XEje
F
XEje
F
XEjeX MMMM . . . (1)
Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto al eje x:
XEjeXEje
F
XEje FrM
;
r = vector posición que va desde el eje x hasta la fuerza
Obtenemos:
)0;0;0(
BCF
XEjeM ; )0;0;2479( mkNMBDF
XEje
; )0;0;23,62( mkNMBEF
XEje
Además: )0;0;( XX MM
Reemplazando en (1) y despejando XM obtenemos: mkNMX 01,17
Si aplicamos suma de momentos totales respecto al eje y, tenemos:
0 Totales
YEjeM 0
BEBDBC F
YEje
F
YEje
F
YEjeY MMMM . . . (2)
Como las fuerzas de tensión en los cables BC, BD y BE interceptan al eje y, entonces los
momentos de estas fuerzas, respecto al eje y, son iguales a cero.
Además: )0;;0( YY MM
Luego, al reemplazar en la ecuación (2), tenemos que: 0YM
Para calcular ZM aplicamos suma de momentos totales respecto al eje z. Es decir:
0 Totales
ZEjeM 0
BEBDBC F
ZEje
F
ZEje
F
ZEjeZ MMMM . . . (2)
Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto al eje z, obtenemos:
)34,81;0;0( mkNMBCF
ZEje
; )71,31;0;0( mkNMBDF
ZEje
; )23,62:0;0( mkNMBEF
XEje
Además: );0;0( ZZ MM
Luego, al reemplazar en la ecuación (2), tenemos que: mkNMZ 64,12
Por lo tanto, el momento de par en A es )64,12;0;01,17( mkNmkNM A
PROBLEMA Nº 2
Si la carga tiene un peso de 200 bf , determine la fuerza de tensión en los cables CD, BD y EF
y la fuerza de reacción en la rótula esférica A.
Resolución
Las fuerzas externas que actúan sobre la estructura ABGCE son las siguientes: peso de la carga,
tensiones en los cables CD, BD y EF, y reacción en la rótula esférica A (la cual se ha
descompuesto en sus tres componentes espaciales), tal como se observa en el DCL mostrado a
continuación.
DCL de la estructura ABGCE (cuerpo rígido completo)
3 pies
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la estructura ABGCE
)200;0;0( bfw
; );;(ZYX AAAA RRRR
BDBDBD TT )( ; )1;0;0(
BD );0;0( BDBD TT
CDCDCD TT )( ; )5/3;5/4;0(
CD )5/3;5/4;0( CDCDCD TTT
EFEFEF TT )( ; )1;0;0(
EF );0;0( EFEF TT
Cálculo de la tensiones
BDT ,
CDT y
EFT
Para calcular las tensiones en los cables BD, CD y EF aplicamos 0
M , respecto al punto A,
porque de esta manera elimino de los cálculos las componentes de la reacción en A. Es decir:
0 Totales
AM 0
w
A
T
A
T
A
T
A MMMMEFCDBD
. . . (1)
Donde:
BDAB
T
A TrMBD
; de la figura dada: )0;0;4(
ABr , y se halló que: );0;0( BDBD TT
)0;4;0( BD
T
A TMBD
CDAC
T
A TrMCD
; de la figura dada: )0;4;4(
ACr , y se halló que: )5/3;5/4;0( CDCDCD TTT
CDCDCD
T
A TTTMCD
5
16;
5
12;
5
12
EFAE
T
A TrMEF
; de la figura dada: )0;4;2(
AEr , y se halló que: );0;0( EFEF TT
)0;2;4( EFEF
T
A TTMEF
wrM AG
w
A ; de la figura dada: )0;2;4(
AGr , y según dato: )200;0;0( bfw
piebfMw
A
)0;800;400(
Reemplazando estos momentos en la ecuación (1) y aplicando las tres ecuaciones escalares de
equilibrio de momentos, tenemos:
0 XM 040045
12 EFCD TT . . . (2)
0 YM 080025
124 EFCDBD TTT . . . (3)
0 ZM 05
16 CDT 0CDT
Reemplazando 0CDT en las ecuaciones (2) y (3), se obtiene:
bfTBD 150 ; bfTEF 100
Respuesta: )150;0;0( bfTBD
; 0
CDT ; )100;0;0( bfTEF
Cálculo de AR
(reacción en la rótula esférica A)
Para calcular AR
, primero hallo sus componentes aplicando las ecuaciones escalares de
equilibrio de fuerzas. Es decir:
0 XF 0XAR
0 YF 05
4 CDA TR
Y , se halló que: 0CDT 0
YAR
0 ZF 05
3200 EFCDBDA TTTR
Z, se halló: bfTyTbfT EFCDBD 1000,150
bfRZA 50
Respuesta: )50;0;0( bfRA
PROBLEMA Nº 3
Una placa rectangular uniforme de 285 bf se sostiene en la posición mostrada por medio de
bisagras puestas en A y B, y mediante el cable DCE que pasa sin fricción por un gancho colocado
en C. Si la magnitud de la tensión en ambos lados del cable es la misma, determine:
a) La magnitud de la tensión en el cable.
b) Las reacciones en A y B. Suponga que la bisagra en B no ejerce ninguna fuerza de empuje
axial.
x
y
z
A
B
C
E
D
15 in.
23 in.
9 in.
22,5 in.
32 in.
3 in.
3 in.
Resolución
DCL de la placa rectangular
De acuerdo con la figura dada, las coordenadas de los puntos son:
inA )0;0;3( , inB )0;0;29( , inC )15;0;23( , inD )0;5,22;0( , inE )0;5,22;32(
y inF )5,7;0;16(
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la placa rectangular
)0;285;0( bfw
, );;(ZYX AAAA RRRR
, );;0(ZY BBB RRR
CDCD TT )( ; 5,35
)15;5,22;23(
CD
)423,0;634,0;649,0( TTTTCD
CECE TT )( ; 5,28
)15;5,22;9(
CE
)526,0:789,0:316,0( TTTTCE
a) Cálculo de “T” (magnitud de la tensión en el cable DCE)
Para calcular “T” aplico 0
M en el eje AB (eje x) porque de esta manera se anulan las
reacciones en A y en B (anulo cinco incógnitas).
0 Totales
xEjeM 0
CECD T
xEje
w
xEje
T
xEje MMM . . . (1)
Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un eje específico, para las
tensiones
CDT y
CET y el peso
w , se obtiene:
x
y
z
A
B
C
E
Dato:
Por condición:
La bisagra en B no ejerce ninguna fuerza de empuje axial. Es decir:
La magnitud de la tensión en ambos lados del cable es la misma.
Además:
Si las bisagras están alineadas en forma apropiada, entonces no generan pares sobre la placa.
)0;0;51,9( TMCDT
xEje
; inbfMw
xEje
)0;0;5,2137( ; )0;0;835,11( TMCET
xEje
Reemplazando en (1) y aplicando 0 XM , tenemos:
0835,115,213751,9 TT bfT 14,100
b) Cálculo de
AR y
BR (reacciones en las bisagras A y B)
Aplicando las tres ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas tenemos:
0 XF 0316,0649,0 TTRXA
bfRXA 347,33
0 YF 0789,0634,0285 TTRRbfYY BA
bfRRYY BA 5,142 . . . (2)
0 ZF 0526,0423,0 TTRRZZ BA
bfRRZZ BA 033,95 . . . (3)
A continuación aplico 0
M en el punto A:
0 Totales
AM 0
CECDB T
A
T
A
w
A
R
A MMMM . . . (4)
Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un punto, para la reacción
BR , las
tensiones
CDT y
CET y el peso
w , se obtiene:
)26;26;0(YZ
B
BB
R
A RRM
; inbfMCDT
A
)6,1269;65,127;35,952( ; ;
inbfMCET
A
)2,1580;1528;15,1185( ; inbfMw
A
)3705;0;5,2137(
Reemplazando en la ecuación (4) y aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de
momentos, tenemos:
0 YM 0152865,12726 ZBR bfR
ZB 85,53
0 ZM 037052,15806,126926 YBR bfR
YB 89,32
Finalmente reemplazamos YBR en (2) y
ZBR en (3) y obtenemos:
bfRYA 61,109 ; bfR
ZA 18,41
Respuesta:
bfRA )18,41;61,109;347,33(
; bfRB )85,53;89,32;0(
PROBLEMA Nº 4
La placa de la figura está soportada por bisagras en A y B y por el cable CE, y está cargada por
una fuerza en D. El borde de la placa al cual están unidas las bisagras se encuentra en el plano
y-z, y los ejes de las bisagras son paralelos a la línea que pasa por los puntos A y B. Las bisagras
no ejercen pares sobre la placa. ¿Qué magnitud tiene la tensión en el cable CE? Si la bisagra en
B no ejerce una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra. ¿Qué valores tienen las
magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la placa por las bisagras en A y B?
Resolución
Primero determinamos las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E. Para ello observamos la
figura dada y concluimos que:
)3;1;0(,)0;0:2(;)20cos2;202;2(,)20cos2;202:0(,)0;0;0( 0000 EDsenCsenBA
A continuación hacemos el DCL de la placa y luego aplicamos las ecuaciones de equilibrio.
DCL DE LA PLACA
X
X X
X
X
X
E.
Expresión vectorial de cada una de las fuerzas que actúan sobre la placa
kNF )0;6;2(
, );;(ZYX AAAA RRRR
, );;(ZYX BBBB RRRR
CECECE TT )( ; 845,2
)121,1;684,1;2(
CE )394,0;592,0;703,0( CECECECE TTTT
Cálculo de la magnitud de la tensión del cable CE
Para calcular la tensión en el cable CE aplico 0
M respecto al eje AB, porque de esta forma
cancelo las fuerzas de reacción en A y en B (las cuales también son incógnitas en este problema).
Es decir:
0 Totales
ABEjeM 0
CET
ABEje
F
ABEje MM . . . (1)
Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un eje específico, para la fuerza
F
y la tensión
CET , se obtiene:
mkNMF
ABEje
)580652,10;853656,3;0( ; mkNTTM CECE
T
ABEje
CE
)29756,1;4726,0;0(
Reemplazando en (1) y aplicando 0 YM , tenemos:
04726,0853656,3 CET kNTCE 156,8
Cálculo de las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la placa por las bisagras en A y B,
si la bisagra en B no ejerce una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra.
En este caso aplicamos 0
M respecto al punto B, es decir:
0 Totales
BM 0
CEA T
B
F
B
R
B MMM . . . (2)
Aplicando la ecuación del momento de una fuerza, respecto a un punto, para la fuerza de reacción
AR , la fuerza
F y la tensión
CET , se obtiene:
)684,0;879,1;879,1684,0(XXYZ
A
AAAA
R
B RRRRM
; mkNMCET
B
)6546,9;426,6;0(
mkNMF
B
)368,13;758,3;274,11(
Reemplazando en la ecuación (2) y aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de
momentos, se obtiene:
0274,11879,1684,0 kNRRYAAZ . . . (3)
kNRXA 43,5
3,5 kN/m
6 m
A D
2 m 1 m
C B
50 kN.m
Aplicando las ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas, se obtiene:
kNRXB 1624,9
0213464,3 ZZ BA RR . . . (4)
0828352,46 YY BA RR . . . (5)
Por condición del problema: 0"" BENBISAGRALADEEJEDELDIRECCIONLAENF
Para aplicar esta condición se muestra a continuación una vista en el plano y-z:
Resolviendo las ecuaciones (3), (4), (5) y (6), obtenemos:
kNRkNRkNRkNRZYZY BBAA 9257,1;2908,5;2873,1;4686,6
Las magnitudes de
AR y
BR , tenemos:
222 )2873,1()4686,6()43,5( AR kNRA 543,8
222 )9257,1()2908,5()1624,9( BR kNRB 754,10
PROBLEMA Nº 5
Para la carga aplicada en la viga que se muestra en la figura, determine las reacciones en los
apoyos, cuando mkNw /5,10 .
200
200
200
RBY
RBZ
B
A
y
z
Eje de la
bisagra
Aplicando la condición a la figura
tenemos que:
… (6)
Resolución
Primero hallo la función de carga de las fuerzas distribuidas, para ello aplicamos la ecuación de la
recta: bmxy , donde “m” es la pendiente de la recta. Además sabemos qué: )(xwy .
A partir de la figura dada construimos la figura siguiente:
Cálculo de RF y x (magnitud y ubicación de la fuerza resultante de las fuerzas
distribuidas)
La magnitud de la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas está dada por:
dxwF xR )( dxxFR
9
0
)5,39
2( kNFR 5,22
La ubicación de la fuerza resultante (distancia respecto al origen de coordenadas) está dada por:
R
x
F
dxwxx
)(
m
dxxx
x 9,35,22
)5,39
2(
9
0
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Por segunda condición de equilibrio:
0 TOTALES
CM
0)6()1,4(5,2250 YBR kNRBY 042,7
3,5
1,5
0 9
y (kN/m)
x (m)
Recta
Se sabe:
Para
Para
Luego:
9 m
2 m C A
3,9 m
B
1 m 4,1 m
50 kN.m
y
x
300 N/m
1200 N/m
6 m
Parábola
Vértice
A B
Por primera condición de equilibrio:
0 XF 0CXR
0 YF kNRCY 458,15
Respuesta:
)458,15;0(
)042,7;0(
kNR
kNR
C
B
PROBLEMA Nº 6
Para la carga aplicada sobre la viga que se muestra en la figura, determine las fuerzas de
reacción en los apoyos A y B.
Resolución
En este tipo de problemas, primero se halla la función de carga “w(x)” que nos permita luego
calcular la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas. Para ello aplicamos la ecuación de la
parábola: 2)(4)( hxpky , donde: h y k son las coordenadas del vértice de la parábola.
Reemplazando los datos del problema en la ecuación de la parábola, se obtiene que:
30025 2 xy
Esta ecuación de la parábola es nuestra función de carga, es decir:
30025 2
)( xwy x
Cálculo de RF y x (magnitud y ubicación de la fuerza resultante)
La magnitud de la fuerza resultante de fuerzas distribuidas está dada por:
dxwF xR )( dxxFR
6
0
2 )30025( NFR 3600
La ubicación de la fuerza resultante (distancia respecto al origen de coordenadas) está dada por:
R
x
F
dxwxx
)(
mF
dxxx
xR
75,3
)30025(
6
0
2
Cálculo de las reacciones en los apoyos
Para calcular las fuerzas de reacción en los apoyos, primero se hace el DCL de la viga y luego se
aplica las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rígido.
En este caso, las fuerzas externas que actúan sobre la viga son: la fuerza resultante de las
fuerzas distribuidas y las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.
Por segunda condición de equilibrio:
0 TOTALES
AM
0)75,3(3600)6( mNmRBY NRBY 2250
Por primera condición de equilibrio:
0 XF 0AXR
0 YF NRAY 1350
Respuesta:
)2250;0(
)1350;0(
NR
NR
B
A
6 m
3,75 m
B
A