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Mecánica de Suelos, Tomo III - Eulalio Juárez Badillo y Alfonso Rico Rodríguez

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Presentamos ahora a la atención d e nuestros benévolos lectoresel tercero y último volumen d e nuestro trabajo. D esd e que en 1961comenzamos a laborar en el Volumen I d e nuestro libro ha transcu­rrido una larga jornada; es una maravillosa suerte p od er decir que lavemos con la alegría d e saberla una d e las más serenas y fecundasde nuestra existencia. En ella hemos recibido solo estímulo y respaldoamistoso y muchas veces entusiasta d e nuestros amigos d e casa y d enuestros buenos vecinos d e habla española; éllos quizá no tienen ideade lo importante que fue para nosotros su ap oy o y su simpatía,pero se convirtió en gratos todos los momentos que dedicam os a esteesfuerzo y. excusado es decirlo, éstos no fueron pocos. Los estu­diantes han acogido nuestro trabajo con la actitud con que siempreacogen lo que se hace por éllos sin otro interés que su beneficio; congenerosidad, algunas veces injustamente h alagadora; siempre cáliday sincera. A éllos, algunos ya p rofesantes y compañeros muy esti­mados en nuestra especialidad, d ebe ir también nuestro pensamientoen este momento en que superamos la cuesta, emprendida pensandomuy especialmente en sus necesidades.El volumen que hoy presentamos a nuestros lectores (y a nues­tros amigos d e antiguo), está d ed icad o al flujo d e las aguas y a suinfluencia en los problem as d e resistencia y comportamiento generald e los suelos. H asta ahora, habíamos h ablado d e una M ecánica d eSuelos casi seca (con agua qu ieta); hoy dam os un p aso más haciala inalcanzable realidad, pues el flujo d el agua está casi siempre pre­sente en nuestras preocupaciones prácticas y m ojar la M ecánica d eSuelos es una necesidad imperiosa, dem andada p or la experienciade campo.La pon

Text of Mecánica de Suelos, Tomo III - Eulalio Juárez Badillo y Alfonso Rico Rodríguez

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  • F lu jo de A g u a en Suelos

  • Dr. Arturo Casagrande

    continuador de la obra de Terzaghi, gua y estmulo del avance de la Mecnica de Suelos en el mundo

  • MecnicadeSuelos

    T O M O I I I

    F l u j o d e A g u a e n S u e l o s

    EULALIO JUAREZ BADILLO

    ALFONSO RICO RODRIGUEZ

    E D I T O R I A L L I M U S AM E X I C O 1 9 7 4

  • 1969, Revista IN G E N IE R IA

    E U L A LIO JU A R E Z B A D IL L O D octor en Ingeniera. Profesor de la Divisin del Doctorado de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico. Auxiliar del C. Director Gerenal de Proyectos de Vas Terrestres, SO P.

    ALFO N SO R IC O R O D R IG U E Z M aestro en Ingeniera. Profesor de la Divisin Profesional y Estudios Superiores de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional Autnoma de Mxico. Profesor de la Universidad Iberoamericana. Jefe del Departamento de Geotecnia. D irector General de proyectos de Vas Terrestres, SO P.

    Todos los derechos reservados

    1974, E D IT O R IA L LIM U SA , S . A.Arcos de Beln Ndm. 75, Mxico 1, D. F .

    Miembro de la Cm ara Nacional de la Industria Editorial. Registro Nm. 121

    P rim era r e im p re s i n : 1974 Im preso en M xico

    (1,318)

  • PROLOGO DE LOS AUTORES

    Presentamos ahora a la atencin de nuestros benvolos lectores el tercero y ltimo volumen d e nuestro trabajo. D esde que en 1961 comenzamos a laborar en el Volumen I de nuestro libro ha transcurrido una larga jornada; es una maravillosa suerte poder decir que la vemos con la alegra d e saberla una d e las ms serenas y fecundas de nuestra existencia. En ella hemos recibido solo estmulo y respaldo amistoso y muchas veces entusiasta de nuestros amigos de casa y de nuestros buenos vecinos de habla espaola; llos quiz no tienen idea de lo importante que fue para nosotros su apoyo y su simpata, pero se convirti en gratos todos los momentos que dedicam os a este esfuerzo y. excusado es decirlo, stos no fueron pocos. Los estudiantes han acogido nuestro trabajo con la actitud con que siempre acogen lo que se hace por llos sin otro inters que su beneficio; con generosidad, algunas veces injustamente halagadora; siempre clida y sincera. A llos, algunos ya profesantes y compaeros muy estimados en nuestra especialidad, d ebe ir tambin nuestro pensamiento en este momento en que superamos la cuesta, emprendida pensando muy especialmente en sus necesidades.

    E l volumen que hoy presentamos a nuestros lectores (y a nuestros amigos de antiguo), est dedicado al flujo d e las aguas y a su influencia en los problem as d e resistencia y comportamiento general de los suelos. H asta ahora, habamos hablado d e una M ecnica de Suelos casi seca (con agua qu ieta); hoy dam os un paso ms hacia la inalcanzable realidad, pues el flu jo d el agua est casi siempre presente en nuestras preocupaciones prcticas y m ojar la M ecnica de Suelos es una necesidad imperiosa, dem andada por la experiencia de campo.

    La ponderacin de los problem as de flu jo d e agua en la M ecnica de Suelos es muy diversa dentro d e sus varios cam pos d e aplicacin. Tradicionalmente, los ingenieros especialistas en presas de tierra han dado gran importancia al punto y es natural que asi sea, ya que la estructura que manejan est sistemticamente expuesta al flu jo de agua. Los hombres que aplican la M ecnica de Suelos en otros campos han sido mucho ms descuidados; en las vas terrestres, por ejemplo, si bien el control d e las aguas que discurren superficialmente ha preocupado desde siempre, se suele perder con mucha frecuencia todo rastro d e las que se infiltran, a menudo con tan malas consecuencias, que puede hoy afirmarse que un subdrenaje

  • vi PROLOGO D E LOS A U TO R ESadecuado d eb e ser una precaucin tan rutinaria com o la que ms, en esas tcnicas. Los ingenieros d e cim entaciones no suelen tam poco prestar gran atencin a las aguas en movimiento, a no ser que vean anegadas sus excavaciones.

    Querramos que todos esos colegas vieran en este libro un arma til para el m anejo d e sus problem as diarios; que a travs d e l pudieran sopesar d e m ejor m odo la conveniencia o inconveniencia d e introducir la condicin d e flu jo en sus diseos. E ste punto es, sin duda, muchas veces uno d e criterio fino y ha sido ciertamente muy debatido, pues en tanto que hay estructuras, com o la presa d e tierra, en que un diseo que tome en cuenta condiciones d e flu jo es indispensable, hay tambin otras en que el criterio para proyectar aparece mucho ms dudoso a este respecto: en la carretera, por ejem plo, disear todos los taludes considerando flu jo probablem ente conduce a posiciones conservadoras en exceso, pues la experiencia indica que cuando ello no se hace, la deficiencia solo se m anifiesta en algunos casos aislados, que pueden corregirse esos si, tom ando ya en cuenta todas las acciones perjudiciales d el agua, con un ahorro econm ico d e conjunto considerable; el hasta donde deba d e llevarse este criterio, an en casos en que el flu jo d e agua vaya hacindose ms y ms palpable por signos externos o an internos es uno d e los puntos ms delicados para definir una poltica d e estabilidad d e taludes, tan necesaria a quien construya vas d e comunicacin terrestre y que tanto influye en los costos que se alcancen. N aturalm ente que las reflex iones anteriores se refieren a la estabilidad d e los taludes y no a la necesidad d e drenaje y subdrenaje, que d eb e verse siem pre com o rutinaria en las vas terrestres y que d eb e resolverse siempre con benfica generosidad.

    N uestro prim er y fundam ental objetivo sigue siendo en este volumen el proporcionar un libro d e texto com prensible y eficaz a nuestros com paeros estudiantes. D e nuevo presentam os en anexos por sep arado, al fin d e cada captulo, la informacin que juzgam os pertenece ms bien a cursos d e nivel superior a los regulares que se imparten en los sem estres correspondientes al cuarto ao universitario d e la carrera normal.

    A l repetir nuestros am igos nuestra gratitud por su respaldo, slo nos resta esperar que acojan con la misma simpata este tercer volumen.

    M xico, D . F ., marzo d e 1969

  • PROLOGO

    Por su importancia en el diseo de presas y cimentaciones as como en el estudio de la explotacin de agua subterrnea, el tema de este libro constituye un instrumento valioso para el ingeniero. En castellano no se ha publicado un trabajo completo como el presente, por lo que es una contribucin inestimable para la enseanza en los niveles profesional y superior de las escuelas de ingeniera; adems, servir de consulta a los que laboran en problemas como los mencionados al principio.

    En 1930, P. Forchheimer expuso en su conocido libro H ydra- ulik , la teora del flujo de agua en medios porosos, aplicando un mtodo grfico para encontrar de modo expedito la solucin de la ecuacin de Laplace, una vez definidas las condiciones de frontera. Este procedimiento despert gran inters en los ingenieros dedicados al proyecto de presas, y en 1937, A. Casagrande publica su notable trabajo " S eepage through D am s. Hasta esa fecha, el proyecto de presas y diques estaba basado exclusivamente en reglas empricas ( Bligh, Lae). Las fallas por tubificacin eran frecuentes, y aunque entre los aos 1925 a 1934, K. Terzaghi haba explicado en varias publicaciones el mecanismo de ese fenmeno y la importancia de las fuerzas creadas por la percolacin del agua, el ingeniero no dispona de la herramienta necesaria para el anlisis de procesos como el antes sealado. La labor de los profesores P. Forchheimer y A. Casagrande, tiene como antecedentes a las publicaciones que sobre el tema inici J. Dupuit en 1863, seguidas por otras del presente siglo que produjeron Iterson, Schaffernak y Kozeny. Pero todas ellas se apoyan en un resultado experimental expuesto por Darcy en "Les fon- taines publiques de la Ville d e D ijon", 1856, a raz de sus estudios sobre el flujo de agua en filtros. Es interesante anotar que en el corto lapso de 1934 a 1936, aparecen las contribuciones de tan destacados ingenieros como G. Hamel y E. Gnther, G. Gilboy, L. Casagrande, A. F. Samsioe, M. Muskat, R. Dachler, y J. H. Brahtz. Este desarrollo explosivo de la materia hizo que rpidamente se incorporara gran parte de su contenido a la enseanza, como captulo importante de la mecnica de suelos, y sin duda alguna, el Prof. A. Casagrande ha tenido en ello una influencia extraordinaria, a travs del trabajo antes mencionado y principalmente desde su ctedra en la Universidad de Harvard.

    En Mxico, estas tcnicas encontraron aplicacin desde 1938, en los Laboratorios de Ingeniera Experimental de la Secretara de Re

  • cursos Hidrulicos, bajo la direccin del Ing. Rodolfo Espinoza P .: los Ings. F. Hiriart y R. Sandoval L. utilizan con soltura el mtodo grfico, la analoga elctrica y el de la membrana; el Ing. M. Urquijo desarrolla el conformgrafo; para estudiar el flujo de agua en las excavaciones de la presa Alvaro Obregn, Son., se recurre en 1946 a estudios con modelos tridimensionales de la cimentacin de esa poca, el diseo de la presa A. Rodrguez, prxima a la ciudad Her- mosillo, requiere determinaciones de permeabilidad en el propio lecho y el anlisis correspondiente con redes de flujo para definir la longitud del delantal impermeable, aguas arriba del corazn de arcilla. Los hechos mencionados sealan etapas del desarrollo que ha tenido en Mxico, la aplicacin, de los conocimientos expuestos en este libro.

    Ral ]. M ar sal

    M ayo de 1969

    vi PROLOGO

  • CA PITU LO I

    PRINCIPIOS TEORICOS FUNDAMENTALES

    1-1. IntroduccinHasta hace apenas unos cuarenta aos el proyecto de las presas

    y estructuras de retencin de agua hechas con suelos se basaba casi exclusivamente en reglas empricas que los constructores se transmitan por tradicin oral; se adoptaban las secciones de obras que haban resistido satisfactoriamente el embate del tiempo y de las aguas, independientemente de la naturaleza de los materiales constituyentes y de las caractersticas del terreno de cimentacin. Con el nacimiento de la Mecnica de Suelos y el conocimiento del comportamiento de estos materiales que con ella se adquiri, ha sido posible analizar bajo una nueva luz el comportamiento de las presas y estructuras afines construidas, extrayendo de ellas y especialmente de las que fallaron, enseanzas de tendencia generalizadora.

    Las bases para un anlisis racional de los problemas prcticos que comporta la infiltracin del agua a travs de los suelos fueron establecidos por Darcy en trabajos ya mencionados' en el Volumen I y que datan apenas de algo ms de un siglo. Posteriormente a Darcy, el siguiente paso fundamental en el avance del conocimiento fue dado alrededor de 1880 por Ph. Forchheimer1, quien demostr que la funcin carga hidrulica que gobierna un flujo en un medio poroso es una funcin armnica, es decir, que satisface la ecuacin de La- place. El propio Forchheimer desarroll al principio de este siglo las bases para el mtodo grfico que hoy se conoce con el nombre de Mtodo de las Redes de Flujo, que sigue siendo el arma ms sencilla y poderosa de que el ingeniero dispone para la resolucin prctica de los problemas diarios que involucre el flujo de agua en suelos. El mtodo fue popularizado a partir de 1937 para los problemas de proyecto por A. Casagrande, en su histrico artculo mencionado en la re. 2. Desde entonces la solucin grfica de la ecuacin de Laplace, que constituye el Mtodo de las Redes de Flujo, se ha transformado en el procedimiento normal de trabajo para todos los ingenieros. En pocas ms modernas, la escuela rusa ha aadido importantes contribuciones con soluciones tericas a muchos problemas de inters prctico.

    ' 1.M ecnica de Suelos III

  • 2 CAPITULO I

    Antes de comenzar con una exposicin ms o menos detallada de las bases tericas actuales de que se dispone para atacar los problemas de lujo de agua, conviene establecer las razones por las que la resolucin de tales problemas es vital para el ingeniero. Al resolver un problema prctico de flujo de agua, tal como el anlisis de las infiltraciones a travs de la cortina y del terreno de cimentacin de una presa de tierra, el ingeniero obtiene informacin fundamental respecto a tres cuestiones trascendentales:

    1. El gasto de infiltracin a travs de la zona de flujo2. La influencia del flujo de agua sobre la estabilidad general

    de la masa de suelo a travs de la que ocurre3. Las posibilidades del agua de infiltracin de producir arrastres

    de material slido, erosiones, tubificacin, etc.

    La primera cuestin es importante porque todo gasto que se infiltre a travs de una cortina o bordo de tierra representa una prdida que debe ser cuantificada.

    La segunda cuestin suele ser la ms importante de las conectadas con los problemas de flujo de agua en suelos, a lo menos desde un punto de vista prctico. Cuando el agua fluye, la presin a la que est sujeta es, por definicin, hidrodinmica y este hecho produce varias repercusiones importantes. En primer lugar, dependiendo de la direccin del flujo, la presin hidrodinmica puede alterar el peso especfico sumergido del suelo; por ejemplo, si el agua fluye verticalmente hacia abajo aquel se incrementa en el valor de tal presin; si el flujo ocurre verticalmente hacia arriba, se ejerce un efecto boyante sobre las partculas del suelo, que equivale a la disminucin de su peso especfico. En segundo lugar y de acuerdo con la ecuacin de Coulomb:

    s =(

  • M ECANICA D E SU ELO S (III) 3

    El agua del suelo puede clasificarse en tres categoras, dependiendo de su movilidad dentro de l. En primer lugar est el agua adsorbida (ver Volumen I ) , ligada a las partculas del suelo por fuerzas de origen elctrico, que no se mueve en el interior de la masa porosa y que, por lo tanto, no participa en el flujo, quedando al margen de este tipo de problemas. En segundo lugar, aparece el agua capilar (ver tambin el Volumen I ) , cuyo flujo presenta gran importancia en algunas cuestiones de Mecnica de Suelos, tales como el humedecimiento de un pavimento por flujo ascendente y otras anlogas. Sin embargo, en la mayora de los problemas de filtracin de agua, el efecto del flujo en la zona capilar es pequeo y suele despreciarse en atencin a las complicaciones que planteara al ser tomada en cuenta tericamente su influencia. En tercer y ltimo lugar, existe en el suelo la llamada agua libre o gravitacional que, bajo el efecto de la gravedad terrestre, puede moverse en el interior de la masa sin otro obstculo que el que le imponen su viscosidad y la trama estructural del suelo. En la teora del flujo de agua que se expone en este volumen se trata exclusivamente con esta agua y cuando en lo sucesivo se mencione este flido deber entenderse nicamente que se trata precisamente del agua libre o gravitacional.

    En una masa de suelo, el agua gravitacional est separada del agua capilar por una superficie a la que se denomina Nivel Fretico. No siempre es fcil de definir ni de localizar el nivel fretico; en un suelo suficientemente fino, al hacer una excavacin el espejo de agua que se establece con el tiempo define al nivel fretico, pero tal superficie distintiva no existe en el suelo adyacente, ya que arriba de este nivel el suelo puede estar totalmente saturado por capilaridad y, por lo tanto, en ese suelo el nivel fretico no tiene existencia fsica o real.

    No hay tampoco un acuerdo total entre los autores respecto a una definicin del concepto nivel fretico que, como se dijo, muchas veces se refiere a una superficie sin clara existencia concreta. Para los fines de este libro, se considerar nivel fretico a la superficie que constituye el lugar geomtrico de los puntos en que el agua posee una presin igual a la atmosfrica que, en cuestiones de flujo en que se trabaja normalmente con presiones manomtricas, se considera igual a cero. As, en el espejo de agua de la excavacin de que se habl, todos los puntos tienen esa presin y en el suelo adyacente al pozo podr hablarse de una superficie que une puntos a esa presin.

    En condiciones estticas del agua de un cierto suelo, el nivel fretico sera una superficie horizontal; sin embargo, si se admite la posibilidad de que el agua fluya dentro del suelo, ya no hay razn para que el nivel fretico siga siendo horizontal y de hecho, naturalmente, no lo es.

  • 1-2. Lmites de validez de la ley de DarcyLa ley de Darcy fue estudiada ya con anterioridad en esta obra

    (ver Volumen I) y, segn all se estableci, demuestra la existencia de una relacin lineal entre el gradiente hidrulico y la velocidad de descarga del flujo a travs del medio poroso. Tambin fue establecido en aquella ocasin que esta ley es solamente aplicable en la resolucin de problemas en que el flujo del agua sea laminar. Reynolds concluy alrededor de 18833 que la naturaleza del flujo depende de su velocidad, de manera que para velocidades abajo de un valor crtico el flujo siempre resulta laminar. Tambin en el Volumen I se estudi ms detalladamente esta cuestin; en el mismo lugar se trat algo la fundamental pregunta de hasta qu grado es aplicable a los suelos la teora de flujo a travs de medios porosos que tiene en la ley de Darcy su base ms importante; en este lugar se desea, sin embargo, insistir un poco en este punto tan trascendental.

    Reynolds propuso para un flujo dado una relacin adimensional entre la fuerza de inercia y la fuerza viscosa, que se conoce precisamente como el nmero de Reynolds. Dicha relacin establece que:

    v D pR = ------- (1 -1 )

    i*donde

    v velocidad de descarga, en cm /seg D = dimetro promedio de las partculas del suelo, en cm p = densidad del fluido, en grm/cm s p. = coeficiente de viscosidad dl fluido, en gr seg /cm *

    Varios investigadores4 han hecho ver que el valor limite del nmero de Reynolds para el que un flujo cambia de laminar a turbulento oscila entre 1 y 12. Si en la ec. 1-1 se substituyen los valores de p y [i para el agua y se acepta v 0.25 cm/seg que es una velocidad muy conservadora por lo alta para el flujo de agua en suelos, se tiene que R ^ 1 con tal de que D no sobrepase el valor de 0.4 mm, que corresponde a una arena gruesa. Asi queda garantizada la validez de la ley de Darcy y el flujo laminar en el agua hasta ese tipo de suelos como mnimo, hablando en trminos generales y considerando al agua velocidades usuales. Procede recordar que en el Volumen I se lleg a la misma conclusin de validez de la ley de Darcy para los suelos finos, hasta el tamao de la arena gruesa por lo menos, razonando de un modo ligeramente diferente. Cabe notar tambin que la naturaleza laminar del flujo de agua a travs de suelo representa uno de los pocos casos en que realmente aparece este tipo de flujo en toda la hidrulica ingenieril.

    4 CA PITU LO I

  • MECANICA D E SUELO S (III) 5

    1-3. Ecuaciones hidrodinmicas que rigen el flujo del agua atravs de los suelosEn lo que sigue se presenta un tratamiento matemtico somero

    que permite llegar en forma sencilla a las ecuaciones bsicas que se utilizan hoy para plantear tericamente el problema del flujo de agua a travs de suelos. En el Anexo I-a aparece un tratamiento algo ms formal y alternativo del que aqu se expone.

    Considrese una regin de flujo (o sea una regin de suelo a travs de la que fluye el agua), de la que forma parte un elemento paralelepipdico de dimensiones dx, dy y dz, tal como el que se muestra en la fig. 1- 1.

    Supngase que la velocidad v con que el agua pasa por el elemento posee tres componentes vx, vv y vz y que stas son slo funcin de x, y y z respectivamente, pero no del tiempo (puesto que, por hiptesis, se trata de un rgimen establecido), ni de ninguna otra variable. Se supone tambin que estas componentes son funciones continuas que admiten cualquier orden de derivacin necesario al razonamiento expuesto.

    En estas condiciones, si en las caras I (ver fig. 1-1) las componentes de la velocidad del agua son vx, vy y vz, como queda dicho, en las caras II estas mismas componentes sern, respectivamente:

    z

    Y

    FIG. I-I. Elemento de una regin sujeta a lujo tridimensional

    vx + dxdx, Vy ,

    v + ^ - d y

  • Se admitir ahora que el suelo a travs del que ocurre el flujo tiene sus vacos saturados por agua y que, adems, tanto dicho elemento como las partculas slidas que forman la estructura del suelo son incompresibles en s mismos. As, durante el flujo, la cantidad de agua que entra al elemento tiene que ser igual a la que sale, en un rgimen establecido. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el gasto que pasa por una seccin puede expresarse como el producto del rea de la seccin por la velocidad del flujo, podr escribirse:

    vx dy dz + vy dx dz + v dx dy

    = dx'j dy dz + ^vv + dy'j dx dz +

    + + dz^ jdxdy

    En la expresin anterior, el primer miembro representa el gasto que entra al elemento y el segundo, el que sale.

    Reduciendo trminos semejantes:

    6 CAPITULO I

    de dondedvx dvy dvxdx dy dz = 0 ( 1-2 )

    La ecuacin anterior juega un papel importante en la teora de flujo de agua y se conoce con el nombre de Ecuacin de Continuidad.

    Es conveniente establecer aqu un breve resumen de las hiptesis que implica la aceptacin de la ecuacin d continuidad, tal como ha sido deducida. Estas son:

    i 9 El rgimen es establecido29 El suelo est saturado39 El agua y las partculas slidas son incompresibles en si

    mismas4 El flujo no modifica la estructura del suelo en ninguna forma.

    Si ahora se supone vlida la ley de Darcy podr escribirse para la velocidad de descarga del agua a travs del elemento.

    , dh

  • Lo cual, expresando al gradiente hidrulico a travs de sus tres componentes, da lugar a:

    , a hv* ~ x dx

    vv = - h ^ (1-3)

    ve - kz dz

    En las ecs. 1-3 se ha supuesto el caso ms general en que el suelo se considera anistropo en lo referente a su permeabilidad, con una permeabilidad kx en la direccin del eje X -X 'f otra de valor ky en la direccin del eje Y-Y' y, finalmente, otra k z en la direccin del eje Z -Z '.

    Introduciendo las ecs. 1 -3 en la ecuacin de continuidad (1 -2), se tiene:

    k Vh k Vh k V h _ Q ( M )* + 7 dy* * dz2 ~ ' '

    La ec. 1-4 describe matemticamente al flujo en la regin considerada e implica todas las hiptesis enlistadas arriba, ms la de aplicabilidad de la ley de Darcy.

    En los problemas prcticos de la Mecnica de Suelos, es muy frecuente que el flujo en una seccin de la regin considerada, transversal a su eje longitudinal, sea idntico al que se tiene en cualquier otra seccin; este es el caso, por ejemplo, en presas de tierra de eje largo en comparacin a su altura. As, los efectos en los bordes de la regin de flujo pueden ignorarse y, de esa manera el problema de flujo puede estudiarse bidimensionalmente como contenido todo l en el plano X~Y. En estas condiciones, la ec. 1-4 puede escribirse en una forma ms simplificada como:

    k 4- k d 0 ( 1 - 5 )0X2 + dy2 (

    que es la ecuacin fundamental para el anlisis de un flujo bidi- mensional en una regin de flujo dada.

    Si el suelo a travs del que ocurre el flujo en estudio es, adems, istropo en lo referente a la permeabilidad, entonces:

    km km k

    MECANICA D E SUELO S (III) 7

  • 8 CAPITULO I

    y la ec. 1-5 an puede simplificarse, obtenindose la ec. 1-6 para representar matemticamente el problema

    d2h d2h _ n+ W V h = {1' 6)

    La ec. 1-6 es una ecuacin diferencial muy conocida y estudiada, por describir matemticamente muchos fenmenos fsicos de gran importancia prctica, a parte del flujo de agua a travs de los suelos. Se la conoce con el nombre de ecuacin de Laplace. Una funcin que satisface la ecuacin de Laplace, como h en la ec. 1-6, se dice armnica.

    Dado lo estudiada que est la ecuacin de Laplace y sus soluciones generales y particulares, resulta muy afortunado que ella sea precisamente la ecuacin que describa los problemas ingenenles de flujo de agua; sin embargo, en rigor la ec. 1-6 representa una situacin particular, en la que el suelo es istropo en lo relativo a su permeabilidad (implica tambin la particularidad de que el flujo sea bidimensional, pero en realidad esta suposicin se ajusta a la mayora de los casos prcticos, por lo que su carcter limitativo es usualmente despreciable). La anisotropa en el suelo es, desde luego, una condicin frecuente; baste considerar que muchas de las estructuras de tierra a travs de las que interesa estudiar el flujo se construyen compactando por capas, procedimiento que, lgicamente, conduce a permeabilidades horizontales bastante mayores que las que se obtienen para el flujo en la direccin vertical. As, se plantea una situacin de incomodidad y tal parece que sea la ec. 1-5 y no la (1 -6 ), ms sencilla, la que haya de usarse en las aplicaciones. Afortunadamente, sin embargo, existe un artificio matemtico de trabajo que va a permitir estudiar todos los problemas de flujo como si ste ocurriera a travs de suelos istropos. Este artificio, que se conoce con el nombre de teora de la Seccin Transformada, se estudia ms adelante en este mismo captulo y permite estudiar cualquier suelo anistro- po en relacin a su permeabilidad, como si fuera istropo. Con esta teora, la ec. 1-6 cobra toda su importancia prctica en el sentido ms general como la ecuacin bsica que satisface el flujo de agua a travs del suelo.

    La solucin general de la ecuacin de Laplace est constituida por dos grupos de funciones que son, a su vez, susceptibles de una interpretacin geomtrica muy til, segn la cual ambos grupos de funciones pueden representarse dentro de la zona de flujo en estudio como dos familias de curvas ortogonales entre s. La solucin general que satisfaga las condiciones de frontera de una regin de flujo especfica constituir la solucin particular de la ecuacin de Laplace para esa regin especfica.

  • Conviene ahora obtener con base en la misma fig. 1-1 una expresin que proporcione el gasto que pasa a travs del elemento en el tiempo dt. Teniendo en cuenta que el gasto puede expresarse como el producto del rea de la seccin por la velocidad del flujo, se tiene:

    d q = kt ^ dy dz + kv dx dz + k z d x d y (1 -7)

    Si el suelo es istropo en lo referente a la permeabilidad, la ec. 1-7 queda:

    dq = k { ^ dydz + ^ dxdz + J F dx d*) < 1'8>

    En el flujo bidimensional.

    d q = k ( ^ d y + ^ d x ' ) (1-9)En la ec. 1-9 el elemento de la fig. 1-1 se considera plano y conte

    nido todo l en el plano X~Y; se le supone un espesor unitario normal al plano del papel, de manera que las reas normales a las direcciones del flujo son dxml y dy\ .

    La ec. 1-9 expresa el gasto en forma diferencial en el flujo bidimensional en un suelo istropo, que es el caso prctico ms frecuente, segn se indic ms arriba.

    1-4. Solucin de la ecuacin de LaplaceSi atenindose l caso del flujo bidimensional, se observa la ecua

    cin de Laplace ( 1-6 ) y se define una funcin:

    = k h + c

    (Ntese que esta funcin es la identificada como funcin potencial de velocidades en el Anexo I-a ), puede concluirse de inmediato que dicha funcin satisface la citada ecuacin de Laplace. Por lo tanto se cumple:

    -^ -^ -+ -^ -= 0 ( 1- 10)3x2 ^ dy2 11 l '

    As la funcin (x,y)= cte es una solucin de la ecuacin de Laplace. Esta solucin rep resen ta una infinidad de funciones,

    MECANICA D E SUELO S (III) 9

  • 10 CAPITULO Isegn sea el valor de la constante c que intervenga. De inmediato puede darse una interpretacin geomtrica a esta solucin, pues la expresin $ ( x ,y ) cte puede representar a una familia de curvas que se desarrollan en la regin plana en la que ocurre el flujo, obtenindose una curva especfica de la familia para cada valor de la constante que se tome.

    Considrese ahora una funcin ip (x, y) cte llamada funcin de flujo y definida de modo que:

    - = f " S

    Puede demostrarse (vase Anexo I-b) que una funcin vp as definida satisface tambin la ecuacin de Laplace, de modo que se cumple:

    Adems, se demuestra tambin (vase el mismo Anexo I-b) que si al conjunto de funciones (x, y) ~ cte se le da una interpretacin geomtrica, de manera que tambin se representen esas funciones por una familia de curvas (ip = cte) en la regin de flujo, la familia ip = cte es ortogonal a la familia = cte, de manera que la interseccin entre cada dos curvas de distinta familia ocurre a noventa grados.

    Se demuestra en la literatura especializada que en un problema especfico en el que haya unas condiciones de frontera fijas, la solucin de la ecuacin de Laplace constituida por las dos familias de curvas = cte y ip = cte, mas la exigencia de que estas familias satisfagan las condiciones de frontera existentes, produce en definitiva una solucin nica del problema considerado. Este es un hecho esencial que se debe tener muy en cuenta en lq que sigue.

    Hasta este momento, se ha encontrado la solucin general de la ecuacin de Laplace y se ha dado una interpretacin geomtrica que ms adelante se revelar muy til a dicha solucin. Sin embargo, siendo a fin de cuentas el problema de flujo de naturaleza fsica, es importante encontrar una interpretacin fsica tambin para las dos familias de curvas que se estn manejando. Esta interpretacin existe y es de importancia fundamental para la comprensin de las soluciones ingenieriles a los problemas de flujo de agua a travs de los suelos. En los prrafos siguientes se describe esa interpretacin fsica tan importante.

    Siendo la funcin

  • MECANICA D E SUELO S (III) 11

    Se sigue que si una curva une puntos en que es constante, en esos puntos tambin h ser constante. En otras palabras, en la curva cte. todos los puntos tendrn la misma carga hidrulica, h. As, el sentido fsico de las curvas de la familia

  • 12 CAPITULO IUna primera propiedad muy importante de las lneas de flujo es

    que el gasto que pasa entre dos de ellas es constante en cualquier seccin que se tome entre las lneas. Este espacio entre dos lneas de flujo se llama usualmente un canal de flujo. En efecto:

    r ^ 'i r V'iq = vr du \ d) = 4>i 4>2 = cte

    J i* J

  • te exigen el manejo de herramientas matemticas que ya han dejado de ser familiares a muchos ingenieros de experiencia. Por esta razn se han desarrollado mtodos aproximados para obtener las soluciones a los problemas de flujo. Tambin es frecuente y ello vale la pena de que se destaque, que an los ingenieros muy expertos en la aplicacin de los mtodos matemticos se enfrentan a serias dificultades en este tipo de problemas, muchos de los cuales carecen de solucin rigurosa posible, por lo menos por el momento.

    Los captulos siguientes estn dedicados a la presentacin de esos mtodos aproximados mencionados ms arriba.

    M ECANICA D E SU ELO S (III) 13

    1-6. La Teora de la Seccin TransformadaLa Teora de la Seccin Transformada, a la que ya se ha hecho

    mencin en este mismo captulo, permite reducir al caso de un suelohomogneo e istropo un suelo en el que la permeabilidad para elflujo en la direccin horizontal (k x) y la que se tenga para el flujo en la direccin vertical (k v) sean diferentes. Con esa reduccin se logra que la ecuacin de Laplace y sus soluciones sean aplicables para describir el flujo a travs del medio anistropo, En esencia la Teora de la Seccin Transformada es un simple artificio de clculo que se logra por una sencilla transformacin de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio, de manera que la nueva seccin obtenida, supuesta istropa con kx ky, tiene todas las condiciones de flujo que interesan iguales a las prevalecientes en la seccin propuesta, en la que kx ky.

    Sea la regin de flujo de la fig. 1-4.

    FI&. 1-4. La teora de la Seccin Transformada

  • 14 CA PITU LO IEn ella se tienen permeabilidades kx kv. Se someter a la regin

    de flujo a una transformacin de coordenadas en la que la coordenada y se transforme a otra y', tal que:

    s = ^ y o - )

    La ec. 1-5 describe el flujo bidimensional en un medio anistropo general; dicha ecuacin puede escribirse como:

    A ._ ^ L + = o (1-5)k y dx" dy2

    Teniendo en cuenta la transformacin 1-13 puede, por otra parte,escribirse:

    y tambin:

    dli _ oh dy _ I kx dh dy ' __ / kx (1 -14)3y ~ dy' dy ~ \ ky dy' dy ~ \ ky

    32h _ kx 92h (1 -15)dy" ~ k v dy'2

    Si estas relaciones se llevan a la ec. 1-5 escrita arriba, se tiene:

    kx d2h kx d2h _

    lo que se reduce a

    ky dx2 ky dy'

    dh + p L = o = v 2ft (1-16)dx2 n dy'2

    As pues, tal como se anunci, la transformacin de coordenadas (1-13) ha permitido reducir la ec. 1-5 a la forma que se presenta en la (1 -1 6 ), que es la ecuacin de Laplace correspondiente al caso istropo. Naturalmente que la transformacin de coordenadas no ha de hacerse slo en las ecuaciones, sino tambin fsica y realmente en la seccin bajo estudio. As, la zona de flujo original de la fig. 1-4.a se transforma para todos los clculos subsecuentes en la regin transformada de la fig. I-4.b (en la fig. 1-4 se ha supuesto que k j k v = 10 _1); las dimensiones verticales se modifican todas segn la ley 1-13, en tanto que las dimensiones en la direccin horizontal no se modifican.

    Es evidente y se deja como un sencillo ejercicio al lector, que con la transformacin

  • M ECANICA D E SU E L O S (III) 15

    P b*' = y t xhubiera podido llegarse a otra seccin istropa en la que se modifi- carian las dimensiones horizontales, pero no las verticales.

    Considrese ahora el gasto dado por la ec. 1-7.

    dq kx dy dz + ky dx dz + k~ dx dy (1 -7)L dx y dy dz '

    Al considerar el caso bidimensional la ecuacin anterior se reduce, segn puede visualizarse fcilmente a:

    dq = kxf r dy + ky dx O '17)

    Si se aplica aqu la transformacin 1-13 se obtiene, teniendo encuenta la relacin 1-14

    , . dh dy' . dh I k , ,, = J 7 + ' W X K x

    \ kypues

    * * = yj% J Por consiguiente, arreglando trminos, se llega a:

    d q = ^ k x kv( J ^ d y + j - r d x ' j (1-18)

    Esta ecuacin debe compararse ahora con la (1-9) que proporcionaba el gasto en el medio istropo.

    La ec. 1-18 y la ec. 1-9 se refieren evidentemente al mismo gasto; al que realmente est pasando por la seccin en que ocurre el flujo. Al comparar ambas ecuaciones se ve que la permeabilidad equivalente en la seccin transformada a la combinacin de permeabilidades de la seccin real es:

    k yjkx kv (1-19)

    O sea que en la seccin transformada deber usarse, al considerarla istropa, un valor de la permeabilidad igual a la media geom

  • 16 CAPITULO I

    trica de las permeabilidades reales^ as podr hacerse en la seccin transformada cualquier clculo referente a gasto, obteniendo el mismo resultado que si se manejase la seccin anistropa y con mucha mayor simplicidad.

    La Teora de la Seccin Transformada permite no volver a sentir preocupacin por los suelos anistropos, cuya teora de flujo es, como ya se dijo, molesta y complicada en sus desarrollos. Cuando un suelo anistropo se presente en un caso prctico se transformar previamente y se le aplicar la teora de suelos istropos, que ser la que se desarrolle bsicamente en los captulos que siguen.

    ANEXO I-a Ecuaciones hidrodinmicas que gobiernan el flujo. Potencial de velocidad5

    Sean vt vv y ~vz las componentes de la velocidad de filtracin del agua (Cuestin IX -3 del Volumen I) en un punto A, en el instante t (fig. I -a .l ).

    Estas funciones dependen de las variables x, y, z y t. Para un valor particular de t, describen el movimiento en todos los puntos del fluido, dentro de la regin a la que pertenece el elemento mostrado y para un punto dado son funciones slo de t, proporcionando la historia de cmo la velocidad_vara en ese punto.

    Se supondr que tanto vx, vv, vj, como sus derivadas sucesivas son funciones continuas y acotadas. Una partcula de fluido con posicin inicial en A (x , y, z) en el tiempo t, se mover a la posicin (x 4- vx S, y + vy 8, z -f vz S) cuando haya transcurrido el tiempo 8t. La variacin respecto al tiempo de la velocidad vale:

  • Si? _ dvi dVi 8x . dt>i Sy , dVi 8z_" S T - di dx S dy S dz St

    Donde i tomar los valores x, y y z para llegar a expresiones para vt, vy y v.

    Si S tiende a cero, la aceleracin total en cada direccin de los ejes coordenados ser:

    dvi _ 0y dvi dx dvi dy . dv dzdt ~ dt dx dt + dy dt dz dt

    Lo cual, teniendo en cuenta que:- dx - dy - dzV, l>ir y* - d

    puede an escribirse como:

    = f + + + ' iDonde, de nuevo, basta poner x, y y z en lugar de i para tener

    las ecuaciones correspondientes a dvx/d t, dvv/d t y dvz/d t.Supngase ahora que en el punto A (fig. I -a .l ) exista la presin

    p, que la densidad del fluido que circula sea p y que sean X, Y, y Z las componentes de las fuerzas de cuerpo por unidad de masaen la direccin de los ejes respectivos y en el instante . En problemas de flujo la fuerza de cuerpo tpica suele ser la debida al campo gravitacional terrestre, por lo cual sta se. destacar en lo que sigue. Habiendo una presin p en el punto A (x, y, z ) , la fuerza en la cara Y Z del elemento ms prxima al origen ser

    y en la ms alejada ser:

    Teniendo en cuenta la Segunda Ley de Newton, el producto de la masa por la aceleracin debe dar la fuerza en la misma direccin; asi:

    pd x d y d z ^ - = ( p - - f - d x ^ j dy d z - ( p + 1 | \ d x ) dy dz +

    + pX dx dy dz ( l-a .2)

    MECANICA D E SUELOS (III) 17

    Mecnica de Suelos III

  • Pudindose escribir expresiones anlogas para las proyecciones de fuerzas y aceleraciones sobre los ejes Y y Z.

    Si se suhstituye en las expresiones l-a.2 el valor de la aceleracin dado por las ecs. 1-a.l, se obtiene simplificando:

    d v g . - 3 v x - d v t . - d v t v

    - s - + < v 5 r + * i j r + ' ' . i r = x

    ? g - + . ^ + S , p - + , p - = Y-i - J E - (l-a .3 )3f dx dy 3z p ay

    18 CAPITULO I

    dvz - duz , - dvz . - 3i>*S 3x dy dz

    1 dp_p dx

    1 dp_p dy

    1 dpp dz

    Ntese que en la tercera ecuacin, la fuerza gravitacional (-o) aparece con signo negativo, debido a que su sentido es el de la direccin negativa del eje Z.

    Las ecs. l-a.3 reciben el nombre de ecuaciones de Euler y describen el movimiento de un fluido no viscoso. En flujo laminar, las componentes de la velocidad y sus derivadas son chicas, por lo que los productos del tipo u*(3u,/3*) puede despreciarse: entonces las ecs.l-a.3 pueden escribirse

    1 dv* _ ^ _ 1 3pn dt ~ p dx

    1 8ty _ y 1 3pn dt ~ p dy

    - r w = z - - i r i r ~ > ( '-a A >

    En las ecuaciones anteriores vt, vy y vz representan las componentes de la velocidad de descarga, relacionadas con las respectivas de la velocidad de filtracin por expresiones del tipo:

    1Vi ViTI

    donde n es la porosidad del sueloCuando el flujo es establecido, es decir, cuando la velocidad no

    depende del tiempo, el primer miembro de las expresiones l-a.4 vale cero y aquellas pueden escribirse:

  • x = 3 L p dx

    Y - J _ 9 * 9

    Z = + g (l-a .5)p oz

    Si h es la carga hidrulica en un punto, podr escribirse:

    h = z + - - ( l-a .6)r

    en donde se ha considerado despreciable la carga de velocidad,por estar en estudio flujo laminar con bajas velocidades. Lo anteriorpuede escribirse:

    P = y , c ( h z ) = p g ( h - z )

    y las ecs. l-a.5 quedan

    v oh* = 0 3 j = - 9 ' .

    v ^hY = s ^ = - < 1 '

    Z = g ^ = - g i , (l-a .7 )

    Ntese que se ha definido i = dh/ds.

    Donde se ve que en flujo establecido y rgimen laminar, lasfuerzas de cuerpo son funciones lineales de la velocidad, ya que alaplicar la ley de Darcy (v = ki) a las ecs. l-a.7, se tiene:

    r = -

    Z = d -a -8>

    MECANICA DE SUELOS (III) 19

  • 20 CAPITULO I

    As, en definitiva, las ecs. l-a.4 pueden escribirse para las condiciones supuestas:

    1 dvx 9 Vrn dt p ex k

    1 dvv ____1 dp gvn dt p dy k

    * Z l = _ J . En dt p dz k 9 \ )

    Para el caso de flujo establecido, los primeros miembros de las ecs. l-a .9 valdrn cero y por ello:

    _ L JE - _p dx 9 k1 dp Vy

    J d = ~ 9 T -1 dp _ vxp dz ~ 9 k 9

    Teniendo en cuenta que p = p g (h z) , se tendr:

    de donde

    1 dh vx7 p* ? = - * x1 dh vv

    1 ( d h A V~ p " \ d z ~ ) = ~ 9 1T ~ 9

    . dh vx - k dx

    . enVy = k

    v-

    dhdych

    = - k ~ ( l -a .10)cz

    Si se consideran las ecs. l-a.10 como expresiones de las componentes del vector velocidad total v y se multiplican ordenadamente

  • M ECANICA D E SU ELO S (III) 21

    por i, j y k (vectores unitarios en las direcciones de los ejes X , Y y Z . respectivamente), se tiene, sumando vectorialmente miembro a miembro.

    -v A: grad h (1 -a .l l )

    La hiptesis de flujo establecido se hace usualmente, al igual que aqu se hizo, para poder calcular las fuerzas de cuerpo X , Y, Z ponindolas en trminos manejables.

    Por otra parte, puede demostrarse3 que los trminos de inercia en los primeros miembros de las ecs. l-a .9 son de orden despreciable en muchos casos de la prctica, aun cuando la velocidad del flujo vare con el tiempo. La razn de sto es que la velocidad del flujo real a travs del suelo es tan baja que los cambios en cantidad de movimiento son despreciables en comparacin a las resistencias viscosas al flujo, por lo que los cambios en velocidad no ejercen efecto apre- ciable.

    La ec. 1 -a .ll contiene en realidad cuatro incgnitas, a saber vlw vv, v, y h; de aqu que se necesita una ecuacin ms para hacer posible la solucin del problema. Volviendo de nuevo a la fig. I-a .l, la cantidad de agua que cruza la cara Y Z del elemento ms prxima al origen es n v.dy dz; en la cara opuesta, el agua que cruza es

    f + 1 7 n^ dy dz.As la cantidad neta de agua que sale del elemento por flujo en

    la direccin del eje X y por unidad de tiempo es:

    ~ (n vx)dx dy dz

    Anlogamente, las transferencias netas de agua que se tienen en el elemento por flujo en las direcciones Y y Z , son, respectivamente:

    0 0 ~ ( n v v) d x d y d z y (n~v)dxdydz

    Ahora bien, si se cumplen las hiptesis mencionadas en el cuerpo de este captulo y si el fluido y las partculas de suelo son ambos incompresibles, el almacenamiento o prdida total de agua en el elemento debe ser nulo, de manera que:

  • ( . ) + ^ ( n i i , ) + ( 5 , ) = 0

    o, lo que es lo mismo:

    3u , dv , Su* _ A , , , vi 7 + -0 r + ^ r = o 1' 3-12)

    que es la ecuacin de continuidad ya vista en el cuerpo de estecaptulo. Esta ecuacin, juntamente con la ( 1- a . l l ) proporciona losmedios para encontrar los valores de las incgnitas vx, vy, vz y h.

    Conviene en la resolucin de los problemas de flujo introducir la funcin (x, y, z ) , definida como:

    (x,y,z)= - k ( ^ - + z j + c = k h + c (l-a .13)

    donde c es una constante.

    Debe observarse de inmediato que el gradiente de esta funcin as definida es la velocidad en el punto de la regin de flujo considerada; en efecto:

    v * = 7 + ^ 7 + i -9 dx 9 dg ' 9 d i

    k J j l + t d F k ) =- -> - -4

    = vt i + vvj + vk = v

    De acuerdo con la definicin tradicional de funcin potencial de un campo vectorial de variable escalar, la funcin arriba definida resulta ser simplemente el potencial de velocidad en la regin de flujo.

    As, en resumen, se cumple:

    3 dd> Zt e = v ' : '>

    Si se substituyen las ecs. 1-a. 14 en la (1-a. 12), se obtiene final

    22 CAPITULO I

    mente

    3V , 3 ^ _ n , , . . .a*2 + a2 + 0 ( l - a . 15)dx2 r dy2 dz2 que es la ecuacin de Laplace, ya mencionada.

  • M EC A N ICA D E SU E L O S (III) 23

    ANEXO I-bLa funcin flujo (i]/ = cte)

    Sea la funcin de flujo vj; (x, y ) cte, definida en cada punto de la regin de flujo por las expresiones:

    Teniendo en cuenta que:

  • 24 CAPITULO I

    Sumando miembro a miembro se llega a:

    0 + 0 = V + = O ( t -M)O sea que la uncin ip tambin cumple la ecuacin de Laplace

    y por lo tanto es solucin de la misma.Se demostrar ahora que las curvas cte y las (p cte se

    cortan a 90 dentro de la regin plana de flujo. Para ello considrense las derivadas totales a lo largo de cada una de dichas curvas.

    d * = x dx + ^ dy =

    d ^ = ^ dx + ^ dy = 0 ( l-b.5)

    Con base en las ecuaciones anteriores pueden obtenerse las pendientes d y /d x de ambas familias:

    9( dy\ _ _ 0x

    dx )$ ddy

    dx

    8ip39

    Aplicando ahora las condiciones de Cauchy-Riemann que satisfacen las funciones y segn se vio, a la segunda de las expresiones anteriores se obtiene, dejando la primera sin cambio.

    0 d y \ ~dx~V dx d

    3 yd

  • ANEXO I-c Soluciones rigorosas a los problemas de flujo*

    La utilidad del mapeo conforme para la resolucin de los problemas de flujo bidimensional tiene como base el hecho de que las soluciones de la ecuacin de Laplace lo siguen siendo cuando se las sujeta a una transformacin o una serie de transformaciones conformes.

    La solucin directa de los problemas de flujo desde un punto de vista analtico es, como se dijo en el cuerpo de este captulo, muy difcil, a menos que la regin de flujo sea de una forma muy simple. Sin embargo, haciendo uso de las tcnicas del mapeo conforme es posible frecuentemente transformar una regin de flujo dada en otra mucho ms sencilla, susceptible de ser estudiada resolviendo la ecuacin de Laplace para las nuevas condiciones de frontera. As, una vez obtenida la solucin en la regin sencilla a la que se lleg por la transformacin, puede usarse la transformacin inversa para volver a poner las cosas en su forma original. La clave de este mtodo de solucin consiste en encontrar una o varias transformaciones que conviertan a la zona de flujo en otra sencilla, generalmente un rectngulo o un crculo.

    A modo de ilustracin se presenta en lo que sigue la solucin matemtica rigurosa de un caso prctico de relativa sencillez. Se trata del flujo a travs del terreno de cimentacin, considerado semi-in-

    MECANICA DE SUELOS (III) 25

    Y

    Para la correcta comprensin de los temas que se tratan tan someramente en este anexo, el lector debe acudir, a no ser que su preparacin previa lo dispense de ello, a textos apropiados de matemticas, entre los que pueden citarse las refs 6, 7, 8 y 9.

  • 26 CAPITULO I

    finito, y supuesto permeable, homogneo e istropo, de una cortina vertedora de concreto o de manipostera (fig. I - c .l ). Se supone que la cortina descansa directamente sobre la superficie del terreno.

    Examinando los requisitos que deben de cumplir las componentes de velocidad del agua a lo largo de las fronteras de la regin de flujo (fig. I-c .l.a ) puede notarse que a lo largo de las lneas semi-infinitas A B y CD las componentes horizontales de la velocidad del agua son nulas. En efecto, es fcil ver que ambas lneas son equipotenciales, puesto que la carga hidrulica en todos los puntos de cada lnea es evidentemente la misma. De la misma manera se ve tambin que a lo larqo de la frontera B O C la componente vertical de la velocidad del agua es nula, por lo que dicha lnea es una lnea de flujo al coincidir la direccin de la velocidad con la propia lnea.

    Considrense la velocidad del agua en un punto expresada en forma compleja; para ello considrese en primer lugar una funcin w f ( z ) , definida como:

    w = + iip

    y siendo z x + / y

    donde las funciones y son respectivamente la funcin potencial y la funcin flujo, ya tratadas en este captulo. Se supondr tambin que la funcin w es una funcin analtica o lo que es lo mismo que ella y su derivada son finitas y de valor nico dentro de la regin que interesa estudiar. La derivada de w con respecto a z estar dada por

    * . = t - + i $L ( i . c. i )dz dx dx

    lo cual, teniendo en cuenta los valores de vt y vy, definidos en estecaptulo en funcin de c> y respectivamente, puede en definitivaescribirse como:

    W = - ~ - = v 9 - i v y ( l-c.2)

    donde W se denomina la velocidad compleja:W ser real a lo largo de B C (fig. -c .l.a ) siempre que

    b < x < b (l-c .3 )

    Anlogamente podr decirse con base en lo arriba establecido, que W ser imaginario a lo largo de las fronteras A B y CD, en las que

    W > b (l-c .4 )

  • Cabe observar ahora que la funcin (b z)'A cumple la condicin de ser real para z x < b e imaginaria para cualquier z x > b. Anlogamente, puede notarse que la funcin (6 + z ) % es real para z = x > b e imaginaria para z x < . b. Por otra parte se observa que el producto de las dos funciones, es decir, la funcin ( r2 z2)1/2 da valores reales para b < x < b e imaginarios para | x | > b, cumpliendo as las condiciones de frontera que han sido impuestas a W ms arriba. Hay que explicar que en los prrafos anteriores se ha venido estableciendo que z = x. lo cual aparentemente es falso si se toma en cuenta que en realidad z x + i y ; sin embargo, todas las fronteras de las que se habla estn situadas en el eje x, con lo que y = 0 y z = x.

    Supngase ahora que se acepta que la velocidad con la que el agua entra al suelo tiende a cero al considerar puntos cada vez ms alejados de la cortina (hacia A y D de la fig. I-c .l .a ) . Esta condicin se siente razonable cuando se considera el problema en estudio de un modo intuitivamente fsico. Tomando en cuenta la condicin mencionada puede observarse que la funcin

    W = = K - - _ ( l-c .5)dz y /t f 2?

    satisface tanto las condiciones de frontera expresadas ms arriba como esta ltima condicin fsica. En esta expresin K es una constante real cuyo valor ha de ser determinado.

    Si se integra la ( l-c .5 ) se obtiene:

    w =

  • Lo cual puede escribirse tambin, teniendo en cuenta que

    z , z ang sen -g- + ang eos

    comow ang eos 1 "c-8)

    Ti bI

    de donde finalmente se obtiene

    z b eos - r- (1 -c .9)kh

    Ecuacin que establece en definitiva la relacin de transformacin de tipo conforme entre los planos z y w de la fig. I-c .l.

    Para conocer las trayectorias del agua que fluye bajo el vertedor del problema considerado, conviene separar la ec. l-c.9 en sus partes real e imaginaria; esta separacin no se detallar en este lugar y su justificacin podr encontrarse en las referencias especializadas que se mencionaron al comenzar este anexo. Se obtiene asi:

    x = b eos ' cosh

  • MECANICA D E SUELO S (III) 29

    As. la red de flujo (conjunto de lneas de flujo y equipotenciales) resulta en definitiva como se muestra en la fig. I-c.l.a. Y a con este trazo realizado, el problema de flujo puede considerarse resuelto, tomando en cuenta las ideas que se exponen en el Capitulo II.

    Quiz con el ejemplo analizado, el lector haya adquirido claramente la idea de lo difcil y engorroso que podra llegar a ser para la mayor parte de los ingenieros la solucin analtica rigurosa de los problemas de flujo; para confirmar lo anterior debe tenerse en cuenta que el caso presentado es de los ms sendllos. Sin embargo, el lector podra tomar la idea tambin de que la aplicacin de los mtodos matemticos es fundamentalmente cuestin de ingenio y dependiente de la feliz idea del proyectista. En efecto, en la resolucin del problema anterior hubo mucho de aparente artificio. Es conveniente aclarar, sin embargo, que esa sensacin de relativo desamparo ante este tipo de problemas no sera, en general, del todo justa. Existen mtodos generales, de carcter mucho ms determinista, para resolver muchos problemas de flujo; por ejemplo, el lector podr consultar la ref. 10 para encontrar un modo de resolver el problema anterior en forma mucho menos dependiente de una ocurrencia feliz, a base de una aplicacin sencilla de la transformacin de Schwarz-Christoffel. una de las ms utilizadas para encontrar soluciones analticas rigurosas a problemas de flujo.

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  • 30 C A P IT U L O I

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  • CA PITU LO II

    TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO

    II-l. La red de flujoEn el prrafo 1-4 se demostr que la ecuacin de Laplace queda

    resuelta por dos familias de curvas ortogonales entre s, que son las lneas de flujo y las lneas equipotenciales que all se estudiaron; se mencion tambin que dos familias de lneas que cumplan la condicin de ortogonalidad y las condiciones de frontera de la regin de flujo constituyen una solucin nica de la ecuacin de Laplace y, por ende, del problema de flujo descrito por aquella ecuacin.

    El mtodo de las redes de flujo utiliza esas afirmaciones para resolver el problema de un modo sencillo y puramente grfico. Se trata de definir en cada caso particular las condiciones de frontera especficas del problema y de trazar, cumpliendo aquellas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo as una verdadera imagen grfica del problema.

    Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando las condiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendr una aproximacin a la solucin nica del problema; esta aproximacin, si el dibujo se ha realizado con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenierles y da soluciones del problema ventajosas respecto a las que se obtienen por los mtodos matemticos rigurosos, algo ms precisos quiz, pero mucho ms complicados.

    E l trazo de una red de flujo comprende en la prctica los siguientes pasos:

    1. Delimitacin de la zona de flujo que se desea estudiar, analizando sus condiciones especficas de frontera

    2, Trazo de dos familias de curvas ortogonales entre s que satisfagan las condiciones de frontera y que constituyen la solucin nica de la ecuacin de Laplace.

    No se pueden dar muchas reglas generales para definir qu fronteras pueda tener en un caso dado una zona de flujo en estudio, pero a continuacin se mencionan algunos casos muy frecuentes respecto a los que si es posible decir algo como guia de criterio o de aprendizaje.

    31

  • 32 CAPITULO IIConsidrese en primer lugar el caso ilustrado por la lnea 1-2

    de la fig. II-1, que es evidentemente una frontera de la zona por la que se infiltra el agua a travs de la presa.

    ZONA IM P E R M E A B L E

    FIG. II-1. Anlisis de algunos condiciones d e frontera en redesd e flujo

    Puede notarse al analizar lo que sucede en los puntos A y A' que a lo largo de esa lnea, las cargas de presin (representadas por las alturas de agua medidas del punto a la superficie) son diferentes; las cargas de posicin, si se toma el plano 1-3 como plano de comparacin por ejemplo, tambin lo son, pero la suma de ambas, o sea la carga hidrulica total,* es la misma en todos los puntos y est representada por la distancia comprendida entre la horizontal 1-3 y el nivel de agua. As, la lnea 1-2 es una lnea equipotencial. En general la situacin ilustrada por el ejemplo anterior prevalece y el contacto entre el agua libre y un medio permeable a travs del cual se infiltra el agua es siempre una lnea equipotencial.

    Considrese ahora el caso de la frontera 1-3. El agua que llegue a hacer contacto con esa lnea deber de seguirla en su recorrido, pues la roca impermeable no le permite atravesarla. As, la lnea 1-3 es una lnea de flujo. Tambin puede establecerse como regla general que el contacto entre un medio impermeable y otro permeable a travs del que se infiltra el agua, es una lnea de flujo.

    Siguiendo lincamientos similares a los expresados arriba puede entonces definirse a qu tipo de lnea corresponde cada una de las fronteras de la regin de flujo; por el momento se supone que todas esas fronteras son conocidas a priori, es decir, que la regin de flujo est claramente delimitada; ms adelante se estudiarn algunos casos importantes en los que las fronteras de la regin de flujo no son conocidas de antemano y, por lo tanto, han de ser estudiadas como primer paso para el trazo de la red de flujo.

    * En realidad la carga hidrulica total es la suma de las cargas de posicin de presin y de velocidad, que no se ha considerado en el razonamiento anterior. La razn es que, dadas las bajas velocidades con que el agua circula a travs del suelo, esta carga de velocidad es despreciable y no se toma en cuenta en los problemas de flujo de agua en suelos.

  • MECANICA D E SUELOS (III) 33

    Una vez conocidas las fronteras, el trazo de la red de flujo consiste, como ya se dijo, en dibujar las dos familias de curvas ortogonales entre si y que cumplan dichas condiciones de frontera. El hacer cumplir las condiciones de frontera consiste simplemente en satisfacer en stas los requerimientos tericos de la red; as por ejemplo si la frontera es una lnea de flujo, la familia de lneas equipotenciales la deber cortar ortogonalmente, etc.

    II-2. Trazo de la red de flujo. Clculo del gastoAl intentar el trazo de las familias de lneas equipotenciales y

    de flujo surge el problema de que por cada punto de la regin de flujo deber de pasar en principio precisamente una lnea de flujo y una equipotencial, pues en cada punto de la regin de flujo el agua tiene una velocidad y una carga hidrulica. Esto llevara, de trazar todas las lneas posibles, a una solucin que formara una mancha uniforme en todas las regiones de flujo; a este modo de proceder le faltara todo valor prctico, pues las soluciones obtenidas en los diferentes problemas sern uniformemente intiles. Para aspirar a una solucin discriminativa, que sepa diferenciar un problema de flujo de otro, ser preciso no trazar todas las lneas de flujo y equipotenciales posibles; en cambio se trazarn slo unas cuantas seleccionadas con un cierto ritmo til y conveniente. El problema no es nuevo y los lectores familiarizados con la representacin grfica de otros campos vectoriales de variable escalar, como el campo elctrico por ejemplo, o la representacin de una topografa con curvas de nivel, lo reconocern de inmediato. La solucin que conviene dar en el caso de problemas de flujo es anloga a la dada en esos otros casos; fijar, como se ha dicho, un ritmo para dibujar solamente al

    gunas de las infinitas lineas posibles. La convencin ms conveniente es la siguiente:

    a) Dibujar las lneas de flujo de manera que el gasto que pase por el canal formado entre cada dos de ellas sea el mismo (Aq ) .

    b ) Dibujar las lneas equipotenciales de manera que la cada de carga hidrulica entre cada dos de ellas sea la misma (Ah).

    Supngase que se ha trazado la red de flujo cumplien-

    FIS. 11-2. Una porcn de una red de flujo.Obtencin de la frmula para el

    clculo del gasto

    Mecnica de Suelos III

  • 34 CAPITULO IIdo los dos requisitos anteriores, de manera que un fragmento de ella, el limitado por las lneas de flujo y i];;- y por los equipotenciales i y (>j es tal como el que se muestra en la fig. II-2.

    El gasto Aq que pasa por el canal vale, segn la ley de Darcy:

    A q - k a ^ - ( 2- 1 )

    pues el rea media del rectngulo curvilneo normal al flujo es a (se considera un espesor unitario normal al plano del papel), Ah es la cada constante de potencial hidrulico entre y y b es la distancia media recorrida por el agua.

    Si n es el nmero total de canales de flujo que tiene la red y ne el nmero de cadas de potencial que hay en toda la zona de flujo, podr escribirse, teniendo en cuenta las dos convenciones que se han seguido para construir la red de flujo:

    A h = (2-2)fie

    Donde q y h son el gasto total y la carga perdida en total, en toda la zona de flujo.

    Asi, la ec. 2-1 podr escribirse:

    * = (2-3)

    En la expresin 2-3 puede notarse que puesto que q, k, h, n y ne son constantes para una red .de flujo dada, la relacin a / b debe serlo tambin. As, si han de satisfacerse las dos condiciones que se ha decidido cumplir, la relacin entre el ancho y el largo de todos los rectngulos curvilneos de una red de flujo debe de ser la misma; es decir todos los rectngulos curvilneos deben ser semejantes y, recprocamente, el hecho de que se cumpla esta condicin de semejanza implica que se estn satisfaciendo automticamente las dos condiciones impuestas a la red al comienzo de esta seccin. Ntese tambin que el nico requisito que ha de cumplirse respecto a la relacin a / b , para satisfacer las dos condiciones que fijan el ritmo de las lneas de flujo y equipotenciales es que sea constante; por lo dems, la relacin a / b podr ser cualquier constante. Se antoja as, en aras de la sencillez y la elegancia, fijar el valor de a / b precisamente como la unidad, que es incuestionablemente la constante mssencilla. Si esto se hace, los rectngulos curvilneos se transforman en cuadrados curvilneos, de manera que la red dibujada cumplir la

  • M ECANICA D E SU ELO S (III) 35

    condicin de que por cada canal pase el mismo gasto y de que entre cada dos lneas equipotenciales haya la misma cada de potencial, simplemente si las figuras definidas por esas lneas son cuadrados. Evidentemente el cuadrado es la figura ms sencilla y conveniente, con la ventaja adicional de que permite verificar lo bien dibujada que una red est al golpe de vista, lo que no sucedera con los rectngulos, pues al variar el tamao de ellos no se puede decir sin tomar medidas si se conservan sus proporciones o se han dibujado diferentes, con el correspondiente error.

    Si se acepta para siempre en adelante que todas las redes de flujo sern de cuadrados, en tanto no se especifique otra cosa, la ec. 2-3 podr escribirse:

    q = k h ^ ~ (2 -4 )He

    El trmino n/ne depende solamente de la forma de la regin de flujo. Se le llama Factor de Forma y se representa:

    F f = J (2 -5 )le

    As, en definitiva, la expresin 2-3 puede ponerse como:

    q k h F f (2 -6 )

    que es la frmula sencilla que permite calcular el gasto por unidad de longitud normal a la seccin estudiada, que ocurre a travs de una regin de flujo en la que se ha dibujado la red correspondiente.

    Antes de detallar otros conceptos importantes que pueden calcularse por medio de la red de flujo, conviene insistir un poco ms en las normas para el trazo de stas. Casagrande en la ref. 1 de este captulo proporciona los siguientes consejos a los ingenieros no expertos en este campo y a los jvenes estudiantes:

    1. Usense todas las oportunidades posibles para estudiar la apariencia de redes de flujo bien hechas, tratando despus de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios.

    2. Usualmente es suficiente trazar la red con un nmero de canales de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desva la atencin de los aspectos esenciales.

    3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto, sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella est aproximadamente bien trazada.

  • 36 CAPITULO II4. Frecuentemente hay partes de la red en que las lneas de flujo

    deben ser aproximadamente rectas y paralelas: en ese caso los can'ales son ms o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona.

    5. Las redes de flujo en reas confinadas, limitadas por fronteras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simtricas y las lneas de flujo y las equipotenciales son entonces de forma parecida a la elptica.

    6. Un error comn en los principiantes es el de dibujar transiciones muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las diferentes lneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parablica o elptica: el tamao de los diferentes cuadrados debe ir cambiando tambin gradualmente.

    7. En general el primer intento no conduce a una red de cuadrados en toda la extensin de la regin de flujo. La cada de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondiente a un cierto nmero de canales con el que se intent la solucin, no suele ser una parte entera exacta de la prdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una ltima hilera de rectngulos entre dos lineas equipotenciales en la que la cada de carga es una fraccin de la Ah que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta ltima hilera puede tomarse en cuenta para el clculo de ne. estimando que fraccin de cada ha resultado. S, por razones de presentacin, se desea que todas las hileras de cuadrados queden con el mismo Ah, podr corregirse la red, cambiando el nmero de canales de flujo, bien sea por interpolacin o empezando de nuevo. No debe intentarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente grficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeo.

    8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red que se discutirn con ms detalle en los prrafos siguientes.

    9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni lnea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie no pueden ser completos. Sin embargo, como ms adelante se demostrar,, estas superficies deben cumplir la condicin de que se tengan iguales cadas de posicin entre los puntos de ellas cortados por las lneas equipotenciales.

    Adems de las normas anteriores, es conveniente que las lneas de flujo y equipotenciales se dibujen siempre completas. Los princi-

  • I

  • MECANICA DE SUELOS (III) 37

    piantes cometen numerosos errores de concepto en la red por dejar trazos incompletos que, de ser terminados, les hubieren revelado dichos errores en forma muy clara.

    En las figs. II-3 aparecen algunas redes de flujo dibujadas a modo de ilustracin.

    n-3. Superficies libres a la presin atmosfricaUna frontera muy comn en las redes de flujo la constituye una

    superficie abierta al aire o, en general, una superficie en la cual todos los puntos estn a la presin atmosfrica. Respecto a tales superficies existe una condicin terica que ha de cumplirse, que se traduce en una condicin grfica que debe satisfacerse y que es sencilla de verificar.

    FIG. 11-4. Superficie abierta al aire

    Sea la superficie A B una superficie abierta al aire, en la cual todos los puntos tienen la misma carga de presin, que corresponde a la presin atmosfrica (fig. II-4 ). Entonces dos puntos de esa superficie cortados por dos equipotenciales sucesivas estarn separados verticalmente por una distancia Ah que tiene que ser igual a la cada de carga hidrulica entre esas dos equipotenciales, puesto que por ser igual la carga de presin, la diferencia de carga tiene que traducirse slo en prdida de posicin. Como quiera que entre todas las equipotenciales que cortan a la superficie libre hay la misma prdida de carga, se sigue que entre todos los puntos en que dichas equipotenciales cortan a la superficie libre debe de haber la misma diferencia de posiciones o cada de alturas, precisamente igual a Ah. Ese hecho est grficamente expresado en la fig. II-4.

    II-4. Cuadrados singularesHay ocasiones en que dentro de las redes de flujo las circuns

    tancias geomtricas de la regin de flujo fuerzan las cosas de manera

  • 38 CAPITULO II

    que se produce una singularidad, dando as lugar a cuadrados en la red que quedan aparentemente fuera de la regla comn.

    La parte'a^l de la fig. II-5 presenta un caso muy comn que, por otra parte, ya se present en las redes de la fig. I-3,

    IMPERMEABLE

    c

    FIG. 11-5. Cuadrados singulares

    La frontera superior del fragmento que se reproduce de la regin de flujo es una lnea equipotencial, en tanto que la inferior lo es de flujo. Ambas lneas son paralelas, por lo que el cuadrado extremo, de a bj a la izquierda, es un cuadrado abierto de forma singular. Es de notar que de la lnea de flujo que parte de a a la izquierda pasa el gasto Aq, mismo que pasa por los restantes canales de flujo de la red; si se subdivide en mitades el cuadrado singular (lneas por los puntos a* y b, de la figura), por cada subdivisin pasar el gasto A q/2. Si se siguen las subdivisiones hacia la izquierda podrn obtenerse los canales por los que pasa la cuarte parte, la octava parte, etc., del gasto; puede verse que esos canales tienden a ser similares hacia la izquierda, en tanto que el gasto que pasa por ellos disminuye

  • MECANICA DE SUELOS (III) 39

    rpidamente. De lo anterior se deduce que la velocidad de filtracin del agua en la zona permeable disminuye hacia la izquierda montonamente, de manera que se acerca asimptticamente a cero. Lo anterior puede elevarse al grado de regla general, de modo que puede decirse que cuando una lnea de flujo y una equipotencial son paralelas por una singularidad de una red, en su interseccin (punto oo ) la velocidad con la que el agua se infiltra se reduce a cero.

    En la parte b) de la fig. II-5 se presenta otra singularidad bastante comn en muchas redes. En el punto A concurren una lnea de flujo y una equipotencial, que son colineales; es decir, forman entre s un ngulo de 180, en lugar del usual de 90. Tambin ahora si se subdivide el canal original, en el que pasa el gasto Aq, se obtienen dos canales por cada uno de los que pasa A q/2. La subdivisin posterior permite obtener canales por los que ir pasando la cuarta parte, la octava parte, etc., del gasto. Pero ahora la situacin es diferente a la que se tuvo en el caso a ) . Si ahora se observa la fig. II-5.b se ver que la seccin de cada canal va siendo bastante menor que la mitad de la anterior, en tanto que el gasto que pasa por ella es precisamente la mitad del que pasaba por el canal antes de la subdivisin; en consecuencia, al acercarse al punto A , la velocidad de infiltracin del agua en el suelo debe ir aumentando. De hecho, esa velocidad aumenta montonamente hacia A, de manera que en ese punto es, tericamente, infinita. Lo anterior tambin es regla general y puede decirse ahora que si una lnea de flujo y una equipotencial se unen a un ngulo mayor que 90 (y 180 no es ms que un caso particular), en el punto de unin el agua tiene una velocidad de infiltracin infinita.

    Al considerar el hecho terico de que la velocidad en el punto A es infinita, deben de tenerse en cuenta los siguientes puntos de vista: La teora con la que se ha llegado a la conclusin que se estudia, que se ha venido exponiendo en ste y en el precedente captulo, ha sido elaborada bajo la hiptesis de rgimen laminar en el agua y de validez de la ley de Darcy. Estas hiptesis exigen a su vez, segn se ha venido insistiendo, bajas velocidades en el agua que fluye; as, esa teora no es aplicable a un punto en el que las velocidades crecen en forma importante, por lo que la conclusin de que la velocidad se hace infinita no ha de ser aceptada literalmente. La conclusin que si puede extraerse es que en las vecindades de A las velocidades del agua aumentan mucho y el flujo se concentra, razn por la que zonas de este tipo sern zonas crticas desde el punto de vista de erosiones, arrastres, etc., cuando estn a la salida de la red y el material no tenga confinamiento.

    En la fig. II-5.C se presenta otra singularidad frecuente en las redes de flujo. Ahora una lnea equipotencial y una de flujo se cortan a un ngulo a que es menor de 90. Puede verse que al hacer las

  • 40 CAPITULO II

    subdivisiones en este caso se tiene cada vez un gasto mitad del anterior pasando a travs de una seccin que es mayor que la mitad de la anterior; as la velocidad de filtracin va disminuyendo montonamente cuanto ms cerca se est de A , de manera que en dicho punto se llega a la velocidad cero. Lo anterior tambin es regla general; es decir, cuando una equipotencial y una lnea de flujo se cortan por singularidad en la red de flujo a un ngulo a < 90, en el punto de interseccin la velocidad de filtracin del agua vale cero. El valor a < 90 incluye a cero, como se vio al discutir el caso de la fig. II-5.a, que es entonces un caso particular del que ahora se discute.

    n-5. Clculo de las presiones hidrodinmicas en una red de flujoAhora se ver una de las ms tiles aplicaciones de una red de

    flujo: aquella que permite calcular las presiones hidrodinmicas en el agua que se infiltra a travs de la regin de flujo. Este clculo es aplicable de inmediato al diseo de estructuras sujetas a flujo, tales como taludes, muros de retencin, cimentaciones, etc.

    En los prrafos siguientes y a modo de ilustracin se analiza el clculo de las presiones en el agua en dos casos de inters prctico. En el primero de ellos se considera un talud cuya red de flujo aparece parcialmente dibujada (ver fig. II-6 ); se trata de calcular las presiones en el agua en el interior del talud.

    FIG. 11-6. Clculo de las presiones en el agua, en el interiorde un talud

    Supngase que se desea calcular la presin hidrodinmica en un punto como el A. Si por ese punto se dibuja la equipotencial que le corresponde, esta lnea sale al aire libre en B. Los puntos A y B deben tener la misma carga hidrulica, puesto que pertenecen a la misma equipotencial; el A, si por l se hace pasar un plano horizontal de referencia ( h = 0) tiene carga de posicin nula y toda su carga es de presin y corresponde precisamente a la presin del agua en el punto; el punto B tiene carga de presin nula, pues est en contacto con la atmsfera y por ello toda su carga hidrulica es de posicin. Debe cumplirse que:

  • MECANICA DE SUELOS (III) 41

    (Carga de posicin)b = (Carga de presin)a

    Luego la presin en A puede calcularse como se ve en la fig. II-6 trazando una horizontal por el punto de salida B y midiendo la distancia entre A y dicha referencia, que es la carga de presin deseada.

    Considrese ahora el caso ilustrado en la fig. I-7 en el que el agua se infiltra en una regin permeable, bajo una estructura impermeable. Se trata ahora de calcular tanto las presiones que el agua tiene en los puntos precisamente abajo de la estructura (que reciben el nombre de subpresiones y juegan un importante papel en el diseo de la estabilidad de la estructura como un conjunto). como en cualquier otro lugar de la zona permeable.

    FIG. 11-7. Clculo de las presiones en el agua bao una estructura impermeable

    Considrese en primer lugar el caso del punto 1, en la cimentacin de la estructura. Puesto que la carga original del agua es h , en el punto 1 la carga valdr h A h . pues dicho punto est en la siguiente equipotencial, con una cada de carga A h respecto al valor inicial; pero adems el punto 1 tiene una carga de posicin que sera la distancia que hay del punto al plano AB, que se considera como el plano de comparacin (h 0 ). Si la carga h se divide en n c partes iguales (11 en el caso de la fig 11-7, pues hay 11 cadas de potencial en la red) y se trazan referencias horizontales por esas divisiones, la distancia del plano A B a la divisin correspondiente da la carga hidrosttica de cualquier punto. En el caso del punto 1 esta carga grficamente es la distancia vertical entre el plano A B y el nivel de la primera divisin; a esta carga se le resta la de posicin representada por la distancia vertical del punto 1 al plano AB, que en este

  • 42 CAPITULO IIcaso es negativa. As la carga de presin (/ipre = h hpoa) en 1 (o sea el valor de la subpresin) es la distancia u, tal como se marca en la fig. II-7.

    En el caso del punto 2, que est en una posicin cualquiera dentro de la masa de suelo permeable, la carga de presin puede calcularse de un modo anlogo. Obsrvese que el punto 2 est a una y media cadas de potencial Ah respecto a la carga original. As su carga hidrulica ser la distancia vertical entre el plano AB y una horizontal trazada una divisin y media abajo del nivel h; adems la distancia entre 2 y el plano A B proporciona la carga de posicin de aquel punto, tambin negativa, de manera que la carga de presin en 2 es el segmento u>, tal como se le ve en la fig. II-7, obtenido restando de la carga hidrulica, la carga de posicin (negativa).

    En la fig. II-7 aparecen grficamente calculadas las cargas en los puntos 3 y A y se deja al lector como ejercicio la explicacin del procedimiento. Una vez calculada la presin del agua en todos los puntos bajo la estructura (subpresines) podr trazarse a una escala conveniente un diagrama que las represente. El rea de esa figura ser la subpresin total, que pasar por el centroide de la misma.

    II-6. Clcalo de velocidades y gradientes hidrulicos en los puntos de una red de flujoEn los puntos de una regin de flujo en la que se haya trazado

    una red de flujo es posible encontrar el gradiente hidrulico, as como la velocidad del agua. Para ello bastar trazar por el punto en cuestin el segmento de la lnea de flujo que pase por l y que quede contenido dentro del cuadrado en que haya cado el punto. Entonces la cada entre equipotenciales de la red, Ah, dividida entre la longitud de lnea de flujo en la que ocurre dicha cada proporciona el gradiente hidrulico medio en ese tramo que incluye el punto en cuestin. Mayor aproximacin al gradiente especfico en el punto se puede tener subdividiendo el cuadrado en otros menores, cada vez ms en torno al punto.

    Una vez que se tiene el gradiente en el punto, bastar multiplicarlo por el coeficiente de permeabilidad del suelo, para tener la velocidad del agua en magnitud, segn la ley de Darcy; dicha velocidad ser tangente en el punto a la lnea de flujo que pase por l y estar dirigida en el sentido del flujo.

    II-7. Fuerzas de filtracin. Gradiente crtico de ebullicinCuando el agua fluye a travs de una masa de suelo su efecto no

    se limita a la presin hidrosttica que tiene lugar en el agua en

  • MECANICA DE SUELOS (III) 43

    equilibrio, sino que ejerce una presin hidrodinmica sobre las partculas del suelo, en la direccin del flujo, efecto que puede representarse por empujes hidrodinmicos, en la direccin del flujo y tangentes a las respectivas lneas de flujo. La magnitud de esas presiones o de esos empujes hidrodinm icos depende sobre todo del gradiente hidrulico prevaleciente-

    Considrese un cuadrado de una red de flujo, tal como el que se muestra en la figura II-8.

    La presin hidrodinmica que ejerce el agua sobre las partculas del suelo en la seccin AA del cuadrado (considerando a ste un espesor unitario en la direccin normal al papel), vale

    Po = A / ir*

    Pues la prdida de carga Ah ha sido trasmitida por viscosidad a las partculas de suelo.

    Esta presin produce un empuje hidrodinmico que es:

    J Ah- y> AA (2-7)

    Es comn expresar esta fuerza por unidad de volumen, tenindose entonces para el cuadrado considerado:

    } =

    o sea

    / _ Ah y> A AA A - A L ~ A A -A L

    = Y (2-8 )

    Con la frmula 2-8 puede calcularse cualquier fuerza de filtracin ligada a un cuadrado de una red de flujo; conocido el volumen de ste, que es su rea multiplicada por un espesor unitario normal al papel, puede calcularse la fuerza total, que actuar en la direccin del flujo, en el centroide del volumen del cuadrado y tangente a la lnea de flujo que pase por ese punto.

  • 44 CAPITULO II

    Ntese que la fuerza de filtracin depende del peso especfico del agua y del gradiente hidrulico prevaleciente en el cuadrado en cuestin, pero es independiente de la velocidad del flujo y del coeficiente de permeabilidad del suelo, de modo que es la misma en suelos cohesivos y en suelos friccionantes, aunque las velocidades del flujo en ambos tipos de suelos difieran mucho. La fuerza de filtracin es debida a la resistencia viscosa que la estructura slida del suelo genera en el fluido; por ella el agua consume energa en forma de presin hidrodinmica capaz de vencerla, segn se ve en la ec. 2-7, en que se aprecia que el empuje hidrodinmico es debido a la prdida de carga Ah que el agua pierde en el recorrido AL a travs del cuadrado.

    Otro fenmeno ligado de un modo muy directo con el flujo del agua a travs del suelo es la ebullicin de las arenas, que en ltima instancia es una manifestacin del fenmeno de la tubificacin. Al respecto, Terzaghi2 ha presentado un anlisis de inters que se describe a continuacin.

    FIG. 11-9. Gradiente crifico de ebullicin

    Considrese la red de flujo correspondiente a la tablestaca que aparece en la fig. 11-19. En esa red se estudiar el equilibrio de la zona de salida aguas abajo de la tablestaca.

    De pruebas en modelos y de experiencias acumuladas en obras construidas se sabe que la arena de la zona en estudio permanece en equilibrio en tanto que la carga h permanezca menor que un

  • MECANICA DE SU ELO S (III) 4 5

    cierto valor lmite hp. Tan pronto como ese valor crtico es sobrepasado, la descarga a la salida aumenta fuertemente, como si la permeabilidad de la arena hubiese aumentado con brusquedad y el agua comienza adems a arrastrar a la arena, producindose tras la ebullicin de este material un proceso de tubificacin. La experiencia ha demostrado que la mxima concentracin de flujo de agua ocurre dentro de una distancia D /2 de la tablestaca, tal como se muestra en la fig. II-9.

    La tubificacin se inicia cuando la presin hidrodinmica del agua ascendente vence el peso sumergido de la arena colocada en la zona en que comienza a producirse el fenmeno. Con suficiente precisin puede afirmarse que la arena movida por el agita tiene la forma de un prisma de ancho D /2 y de altura D; la tendencia al arrastre en este prisma est contrarrestada por su propio peso (en el instante mismo en que el arrastre se inicia, la presin efectiva en los lados del prisma de arena y por lo tanto la resistencia friccionante, es prcticamente nula). As, el prisma se mueve hacia arriba cuando la presin hidrodinmica ascendente provocada por el agua vence a la presin descendente producida por el peso sumergido del material. La carga de agua, hp, que produce esta situacin inestable es la carga crtica. El nivel de la base del prisma por analizar quedar determinado por la condicin de que hp sea mnimo, a causa de que el arrastre ocurrir naturalmente con la mnima carga de agua capaz de producirlo. Se supone en la figura que ese nivel est representado por la dimensin D 3.

    Para conocer la presin hidrodinmica a ese nivel deber conocerse la presin del agua en esa profundidad; para ello se estudia en primer lugar cul ser sta en un punto de la red cualquiera, tal como el P de la fig. II-9. La presin en P est dada por el valor h,c. altura a que sube el agua dentro de un piezmetro instalado en P. multiplicada por el peso especfico y K. La altura hw est compuesta de dos sumandos, z y s, de manera que el esfuerzo neutral en P es

    Up = z y v> + s y (2-9)El primer sumando de la ec. 2-9 representa la presin hidrosttica

    a la profundidad de P ; su efecto es el de reducir el peso especfico de la arena del valor y m al y'm, correspondiente a la condicin sumergida. El segundo sumando syw es la presin que hay en el agua en P arriba de la hidrosttica (presin hidrodinmica). As la condicin de arrastre para el prisma bajo estudio es que la presin arriba de la hidrosttica en su base no supere a su peso sumergido, que vale (1/2) DDy'm.

    El exceso de presin sobre la hidrosttica en P puede calcularse de la red de flujo y vale, segn se vio:

    s y = nd Ah y a ( 2- 10)

  • 46 CAPITULO IIdonde n es el nmero de cadas de potencial o su fraccin que hay desde P hasta la salida de la red. Con base en lo anterior puede dibujarse la distribucin de presiones hidrodinmicas en la base del prisma. La presin promedio en dicha base se denominar ha y as el empuje hidrodinmico ascendente en la misma zona ser:

    U = ~ D h a yw ' (2-11)

    El valor de s puede expresarse como:

    s = nd = h x (constante) (2-12)ne

    ne = nmero total de cadas de potencial en la red.Donde la constante indicada tiene un valor que depende slo de

    la posicin de P dentro de la red.Las cargas hidrodinmicas en la base del prisma en estudio pue

    den en definitiva, pues, expresarse como:ha = mh (2-13)

    donde m es una constante.Los valores de ha y h se conocen del planteamiento del problema

    o de la red de flujo, de donde el valor de m en la (2-13) puede ser calculado (en realidad para ello ser preciso conocer D 3).

    El prisma de arena en estudio ser levantado por el agua cuando la presin hidrodinmica exceda el valor que satisfaga la igualdad.

    y D ha Yw = y D D 3 y'mde donde

    ha = D 3 (2-14)lw

    Es el valor de la carga hidrodinmica en la base del prisma en el instante en que ste entra en suspensin. En ese mismo instante, por definicin, la carga h tiene el valor crtico h y, de acuerdo con la (2 -13):

    ha m hv (2-15)Substituyendo este valor en la ec. 2-14, se tiene:

    m hp D3 (2-16)y w

    yhp = L & - (2-17)

    m yLa frmula 2-17 puede aplicarse para diferentes valores de la

    profundidad D, siempre que se haya dibujado la red de flujo, que

  • MECANICA DE SUELOS (III) 47permite calcular m, ec. 2-13. As se tienen distintos valores de hp correspondientes a diferentes D 3. El mnimo hv es obviamente el valor ms crtico de la carga y es el que gobierna el problema y el nivel D 3 correspondiente es la seccin crtica, en donde puede comenzar el fenmeno de la tubificacin; sta podr presentarse en esa seccin si la carga que se tenga supera el valor de hp encontrado.

    En el caso de una tablestaca sencilla, como la que se ve en la fig. II-9, los clculos anteriores conducen a que prcticamente en la seccin crtica:

    D 3 = DEste resultado, para el caso de la tablestaca mostrada, hubiera

    podido deducirse directamente de la observacin de la red de flujo, pues debe notarse que segn D 3 aumenta, el valor de las presiones hidrodinmicas crece ms aprisa que el peso sumergido de la arena.

    Ntese que, de acuerdo con la ec. 2-17, el valor de la altura crtica no depende del ngulo de friccin interna de la arena y es proporcional al peso sumergido de la misma. Conviene tambin sealar que la concordancia entre la prediccin terica basada en los clculos anteriores y los resultados de experimentos ha sido reportada como muy satisfactoria.2

    Para una carga de agua real actuante, h, el factor de seguridad contra tubificacin puede calcularse sencillamente con la expresin:

    F = x (2-18)

    Suelen considerarse convenientes valores de F s del orden de 3 4.Si se observa la ec. 2-14 podr obtenerse el valor promedio del

    gradiente hidrulico crtico, o sea el valor de gradiente hidrulicomedio que acta en el nivel crtico en el instante en que la tubificacin comienza. Dicho valor es:

    i ~ - a- Y m O io\D 3 ~ ya

  • 18 CAPITULO II

    FIG. 11-10. Influencia del flujo del agua en el anlisis de la estabilidad de un murode retencin

    del tipo de la mostrada en la fig. 11-10. En dicha figura se ha supuesto que en el respaldo del muro existe un filtro que permite la salida libre del agua que alcanza esa zona.

    La intensidad de la presin