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08-02-2011
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Mecânica dos Fluidos – 3ª parte
Introdução à Mecânica dos FluidosProf. Luís Perna 2010/11
Hidrodinâmica
• Na hidrostática estudámos fluidos em equilíbrio
estático. Agora na hidrodinâmica iremos estudar os
movimentos dos fluidos.
• O comportamento dos fluidos em movimento pode ser
muito complexo. Por exemplo, na parte central de um rio
calmo, a água flui duma forma regular, mas quando
surge um declive no rio, o escoamento passa a ser
turbulento.
• Quando um fluido se encontra em
movimento, o seu escoamento pode ser:
- Estacionário ou laminar;
- Não estacionário ou turbulento.
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Movimento dos Fluidos
• Escoamento estacionário ou laminar – é quando a
velocidade do fluido, em cada ponto, é constante ao
longo do tempo, embora possa variar de ponto para
ponto.
Isto significa que todos os elementos do fluido podem ter
a velocidade ao passar por um ponto A e a
velocidade ao passar por um ponto B, etc.
A velocidade do fluido é, uma função da posição ao
longo do tempo.
Av
Bv
Movimento dos Fluidos
• Escoamento não estacionário ou turbulento – é
quando a velocidade do fluido, em cada ponto, varia no
decorrer do tempo.
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Linhas de corrente
• Num escoamento estacionário, o movimento do fluido é
representado por linhas de corrente, tangentes à
velocidade em cada ponto e que formam um tubo de
corrente.
As linhas de corrente de um fluido são, portanto, linhas
de um campo de velocidades.
Linhas de corrente
• Num escoamento estacionário as linhas de corrente
nunca se cruzam o que significa que o fluido é formado
por várias camadas que se sobrepõem sem se misturar.
• As regiões com linhas de corrente mais juntas são as
que têm maiores velocidades de escoamento.
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Linhas de corrente
• Se as linhas de corrente se cruzarem haverá mais do
que uma velocidade nesse ponto e o escoamento é não
estacionário ou turbulento.
Equação de continuidade
• Consideremos uma porção de um fluido com massa
volúmica e com escoamento estacionário dentro de
um tubo, com secção transversal variável tal como
indicado na figura:
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Equação de continuidade
• A distância percorrida pela massa de fluido que entra no
tubo, de área de secção recta S1, com velocidade ,
durante um certo intervalo de tempo t, será:1v
tvx 11
Equação de continuidade
Analogamente, a distância percorrida pela massa de
fluido que sai do tubo através da secção recta S2, com
velocidade , durante o mesmo intervalo de tempo t,
será:
2v
tvx 22
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Equação de continuidade
• Sendo o fluido incompressível, a massa de fluido que
entra em S1 é igual à massa de fluido que sai em S2,
assim:
Equação de Continuidade, que traduz a Lei da
Conservação da Massa na dinâmica dos fluidos.
m1 = m2
.V1 = .V2
.S1 .x1 = .S2 .x2
.S1 .v1 .t = .S2 .v2 .t
S1 .v1 = S2 .v2
Equação de continuidade
• Desta equação podemos concluir que a velocidade de
um fluido é tanto maior quanto menor for a área de
secção do tubo onde ele escoa.
• Ao produto F S.v chama-se caudal, vazão ou fluxo
volumar, que é o volume de fluido que atravessa a
secção recta de um tubo por unidade de tempo.
• A unidade do SI é o metro cúbico por segundo, m3.s-1.
• No escoamento estacionário de um fluido
incompressível, o caudal, F, é o mesmo em qualquer
ponto do fluido.
S1 .v1 = S2 .v2
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Exemplo 1
• Num tubo de raio 1,0 cm passam 0,20 L de água por
segundo. Qual é a massa de água que passa no mesmo
tubo quando este estreita, se o raio passar a metade?
Qual é o valor da velocidade nos dois casos?
v1 = 0,637 m/s
v2 = 2,55 m/s
Equação de Bernoulli
• É uma equação que relaciona
a pressão, o desnível e a
velocidade de um fluido
incompressível num
escoamento estacionário num
tubo secção recta variável.
Traduz o Princípio da
Conservação da Energia na
Mecânica de Fluidos.Daniel Bernoulli
(1700 – 1782)
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Equação de Bernoulli
• Consideremos um fluido incompressível e não viscoso
que escoa em regime estacionário ao longo de um tubo
de secção recta variável.
Inicialmente o fluido encontra-se entre os pontos A e B
ao fim de um certo intervalo de tempo t o fluido ocupa
as posições A´ e B´.
Equação de Bernoulli
Seja m = V a massa de fluido deslocado. Nesse
intervalo de tempo essa massa m de fluido foi elevada
de uma altura y1 para uma altura y2 e a velocidade v1
passou a ser v2.
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Equação de Bernoulli
• Calculo da variação da energia potencial gravítica
(Ep) do fluido de massa m
12 ygmygmEp
)( 12 yygmEp
)( 12 yygVEp
Equação de Bernoulli
• Calculo da variação da energia cinética (Ec) do fluido
de massa m
2
1
2
22
1
2
1vmvmEc )(
2
1 2
1
2
2 vvmEc
)(2
1 2
1
2
2 vvVEc
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Equação de Bernoulli
• Por outro lado o fluido
na secção 1 exerce
uma força sobre o
elemento de volume
cuja intensidade é:
1F
111 SpF
O trabalho realizado por esta força é:
VpWxSpWxFW 111111111
Equação de Bernoulli
• Simultaneamente o
fluido na secção 2
exerce uma força
que se opõem ao
movimento e cuja
intensidade é:
2F
222 SpF
O trabalho realizado por esta força é:
VpWxSpWxFW 222222222
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Equação de Bernoulli
21 WWWtotal
VppWVpVpW totaltotal )( 2121
Aplicando a Lei da Conservação da Energia, vem:
O trabalho total realizado pelas duas forças é:
EpEcWtotal
)()(2
1)( 12
2
1
2
221 yygVvvVVpp
)()(2
1)( 12
2
1
2
221 yygvvpp
Kygvp 2
2
1
2
2
221
2
112
1
2
1ygvpygvp
Equação de Bernoulli
Esta é a equação Fundamental da Hidrodinâmica,
conhecida por equação de Bernoulli.
• Num fluido em equilíbrio, dado que v1 = v2 = 0, a equação
vem:)()( 1221 yygpp
)()(2
1)( 12
2
1
2
221 yygvvpp
que é a Lei Fundamental da Hidrostática, pois esta é
um caso particular da Equação de Bernoulli.
Kygvp 2
2
1
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Exemplo 2
• Num tubo com área transversal de 4 cm2 passa água
com velocidade 5 m/s. O tubo baixa 10 m e a sua secção
passa para o dobro.
a) Qual é o valor da velocidade da água no nível mais
baixo?
b) Se a pressão no nível superior for 1,5 x 105 Pa, qual é
a pressão no nível mais baixo?
v2 = 2,5 m/s
p2 = 2,6 x 105 Pa
Exemplo 3
• Através de um tubo horizontal de secção variável flui
água em regime estacionário. Na zona mais larga, a
pressão é 130 kPa e o valor da velocidade é 0,60 m/s.
Determine a pressão na zona mais estreita do tubo, em
que o valor da velocidade é 9,0 m/s.
p2 = 89,7 kPa
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Tubo de Venturi
É um tubo horizontal com estrangulamento, como o das
Figuras.
S1 .v1 = S2 .v2Pela equação de continuidade, a velocidade
aumenta no estrangulamento.
Tubo de Venturi
Pela equação de Bernoulli (como a energia potencial
gravítica é constante)
Kvp 2
2
1
a um aumento da velocidade corresponde, uma diminuição
da pressão, logo o manómetro M2 mede um valor inferior a
M1.
O medidor de Venturi permite medir a velocidade de
escoamento de um fluido a partir da medição da pressão
num ponto.
)(2
1)( 2
1
2
221 vvpp
)()(2
1)( 12
2
1
2
221 yygvvpp
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Tubo de Pitot
É constituído por um tubo
horizontal onde foram
introduzidos lateralmente dois
ramos abertos de um
manómetro.
Aplicando a equação de
Bernoulli aos pontos 1 e 2 do
tubo temos:2
22
2
112
1
2
1vpvp
o segundo termo do segundo membro da equação é nulo,
porque não há escoamento para dentro do manómetro,
em virtude da ponta ser afilada e o mercúrio ficar
estacionário.
)()(2
1)( 12
2
1
2
221 yygvvpp
Tubo de Pitot
Um tubo de Pitot calibrado constitui um velocímetro.
Com este dispositivo é possível medir a velocidade das
águas de um rio, velocidade do vento, velocidade de um
avião (pois esta é igual, em módulo, à velocidade do ar que
passa por ele).
12
2
12
2
112
1
2
1ppvpvp
)(2 121
ppv
onde p2 – p1 se lê no manómetro e é a massa volúmica do
fluido.
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Escoamento de um fluido viscoso
A viscosidade é a resistência interna ao movimento de um
objecto no interior de um fluido.
A viscosidade tem por efeito diminuir a velocidade dos
corpos que se deslocam no interior dos líquidos.
De um modo geral, a intensidade da força resistente
obedece à relação:
Em que:
quando a velocidade do corpo é pequena
quando a velocidade do corpo é grande
k é uma constante que depende das dimensões e da forma dos corpos
é o coeficiente de viscosidade do fluido
Unidade SI: N s m-2 ou Pa s
vkFresist
.
1
2
Escoamento de um fluido viscoso
Quando uma pequena esfera cai num fluido
sobre ela actuam:
- O Peso, ;
- A impulsão, (cujo módulo é inferior ao
peso para que o corpo desça no fluido);
- E a força de resistência exercida pelo
fluido, .
P
I
.resistF
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Escoamento de um fluido viscoso
Á medida que a esfera cai, adquire maior
velocidade, o que faz aumentar o módulo da
força de resistência.
A determinada altura as três forças
equilibram-se e a resultante das forças que
actuam na esfera anula-se.
00 .. resistresist FIPFIP
IPFresist .(1)
Escoamento de um fluido viscoso
O movimento é então uniforme e atinge-se a
velocidade terminal, vter. Como,
iliqesfesfesf VgIVgP
vkFresist
Para a esfera: k = 6 r e Vesf = Vi
terresist vrF 6
Substituindo (1) vem:
iliqesfesfter VgVgvr 6
r
Vgv
liqesfesf
ter6
)(
IPFresist .(1)
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Escoamento de um fluido viscoso
Substituindo o volume da esfera por: 3
3
4rVesf
9
)(2 2
liqesf
ter
rgv
ter
liqesf
v
rg
9
)(2 2
r
Vgv
liqesfesf
ter6
)(
Verifica-se que a viscosidade de um líquido diminui com
o aumento da temperatura e varia com a pressão. Em
trabalhos laboratoriais esse factor é desprezável.
Tabela de coeficientes de viscosidade
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Trabalho de pesquisa
O aluno deve explicar, com base na Equação de Bernoulli, os
seguintes temas:
1. A sustentabilidade dos aviões.
2. A medicina vascular e a circulação sanguínea.
3. O fluxo dos gases numa chaminé.
4. O fluxo do ar entre edifícios.
5. Os acidentes na estrada.
6. Futebol: “A bola rematada com efeito”.
7. Outro tema à sua escolha.
• Obrigatoriamente têm de escolher tantos temas diferentes quanto
o número de elementos do grupo.
• O trabalho na forma de poster deve ter no máximo uma folha de
papel A4 por tema.
• O trabalho deve ser apresentado no prazo máximo de 15 dias.