MECANICA DOS FLUIDOS I.ppt

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Mecânica dos Fluidos

Introdução Propriedades Básicas dos

Fluidos

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Introdução

Mecânica: Ciência que estuda o equilíbrio e o movimento de corpos sólidos, líquidos e gasosos, bem como as causas que provocam este movimento;

Em se tratando somente de líquidos e gases, que são denominados fluidos, recai-se no ramo da mecânica conhecido como Mecânica dos Fluidos.

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Introdução

Mecânica dos Fluidos: Ciência que trata do comportamento dos fluidos em repouso e em movimento. Estuda o transporte de quantidade de movimento nos fluidos.

Exemplos de aplicações: O estudo do comportamento de um furacão; O fluxo de água através de um canal; As ondas de pressão produzidas na explosão de uma

bomba; As características aerodinâmicas de um avião

supersônico;

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Por que estudarMecânica dos Fluidos?

O conhecimento e entendimento dos

princípios e conceitos básicos da

Mecânica dos Fluidos são essenciais na

análise e projeto de qualquer sistema no

qual um fluidofluido é o meio atuante

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O projeto de todos os meios de transporte requer a aplicação dos princípios de Mecânica dos Fluidos. Exemplos: as asas de aviões para vôos subsônicos e supersônicos máquinas de grande efeito aerobarcos pistas inclinadas e verticais para decolagem cascos de barcos e navios projetos de submarinos e automóveis

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Projeto de carros e barcos de corrida (aerodinâmica); Sistemas de propulsão para vôos espaciais; Sistemas de propulsão para fogos de artifício; Projeto de todos os tipos de máquinas de fluxo incluindo

bombas, separadores, compressores e turbinas; Lubrificação; Sistemas de aquecimento e refrigeração para

residências particulares e grandes edifícios comerciais;

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O desastre da ponte sobre o estreito de Tacoma (1940) evidencia as possíveis conseqüências que ocorrem, quando os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos são negligenciados;

A ponte suspensa apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao tráfego, foi destruída durante um vendaval;

Inicialmente, sob a ação do vento, o vão central pôs-se a vibrar no sentido vertical, passando depois a vibrar torcionalmente, com as torções ocorrendo em sentido oposto nas duas metades do vão. Uma hora depois, o vão central se despedaçava

8


9


O sistema de circulação do sangue no corpo humano é essencialmente um sistema de transporte de fluido e como conseqüência o projeto de corações e pulmões artificiais são baseados nos princípios da Mecânica dos Fluidos;

O posicionamento da vela de um barco para obter maior rendimento com o vento e a forma e superfície da bola de golfe para um melhor desempenho são ditados pelos mesmos princípios.

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Aceno Histórico

Até o início do século o estudo dos fluidos foi efetuado essencialmente por dois grupos – Hidráulicos e Matemáticos;

Os Hidráulicos trabalhavam de forma empírica, enquanto os Matemáticos se concentravam na forma analítica;

Posteriormente tornou-se claro para pesquisadores eminentes que o estudo dos fluidos deve consistir em uma combinação da teoria e da experiência;

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Importância

Nos problemas mais importantes, tais como: Produção de energia Produção e conservação de alimentos Obtenção de água potável Poluição Processamento de minérios Desenvolvimento industrial Aplicações da Engenharia à Medicina

Sempre aparecem cálculos de: Perda de carga Forças de arraste Trocas de calor Troca de substâncias entre fases

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Importância

Desta forma, torna-se importante o

conhecimento global das leis tratadas no

que se denomina Fenômenos de

Transporte.

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Os Fenômenos de Transporte na Engenharia

Engenharia Civil e ArquiteturaEngenharia Civil e Arquitetura

Constitui a base do estudo de hidráulica e

hidrologia e tem aplicações no conforto térmico

em edificações

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Engenharias Sanitária e AmbientalEngenharias Sanitária e Ambiental

Estudos da difusão de poluentes no ar, na

água e no solo

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Engenharia MecânicaEngenharia Mecânica

Processos de usinagem, processos de

tratamento térmico, cálculo de máquinas

hidráulicas, transferência de calor das

máquinas térmicas e frigoríficas e Engenharia

aeronáutica

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Engenharia Elétrica e EletrônicaEngenharia Elétrica e Eletrônica

Importante nos cálculos de dissipação de

potência, seja nas máquinas produtoras ou

transformadoras de energia elétrica, seja na

otimização do gasto de energia nos

computadores e dispositivos de comunicação;

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Quais as diferenças entre fluido e sólido?

Fluido é mole e deformável

Sólido é duro e muito pouco deformável

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Passando para linguagem científica:

A diferença fundamental entre sólido e fluido está relacionada com a estrutura molecular:

Sólido: as moléculas sofrem forte força de atração (estão muito próximas umas das outras) e é isto que garante que o sólido tem um formato próprio;

Fluido: apresenta as moléculas com um certo grau de liberdade de movimento (força de atração pequena) e não apresentam um formato próprio.

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Fluidos:Líquidos e Gases

Líquidos: - Assumem a forma dos

recipientes que os contém;

- Apresentam um volume próprio (constante);

- Podem apresentar uma superfície livre;

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Gases e vapores:-apresentam forças de atração intermoleculares desprezíveis;-não apresentam nem um formato próprio e nem um volume próprio;-ocupam todo o volume do recipiente que os contém.

Fluidos:Líquidos e Gases

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Teoria Cinética Molecular

“Qualquer substância pode apresentar-se sob qualquer dos três estados físicos fundamentais, dependendo das condições ambientais em que se encontrarem”

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Estados Físicos da Matéria

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Fluidos

De uma maneira geral, o fluido é caracterizado pela relativa mobilidade de suas moléculas que, além de apresentarem os movimentos de rotação e vibração, possuem movimento de translação e portanto não apresentam uma posição média fixa no corpo do fluido.

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Fluidos x Sólidos

A principal distinção entre sólido e fluido, é pelo comportamento que apresentam em face às forças externas.

Por exemplo, se uma força de compressão fosse usada para distinguir um sólido de um fluido,este último seria inicialmente comprimido, e a partir de um certo ponto ele se comportariaexatamente como se fosse um sólido, isto é, seria incompressível.

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Diferenciação entre sólido e fluido

O fluido não resiste a esforços tangenciais

por menores que estes sejam, o que implica

que se deformam continuamente.

F

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Já os sólidos, ao serem solicitados

por esforços, podem resistir,

deformar-se e ou até mesmo

cisalhar.

Diferenciação entre sólido e fluido

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Fluidos x Sólidos

Os sólidos resistem às forças de cisalhamento até o seu limite elástico ser alcançado (este valor é denominado tensão crítica de cisalhamento), a partir da qual experimentam uma deformação irreversível, enquanto que os fluidos são imediatamente deformados irreversivelmente, mesmo para pequenos valores da tensão de cisalhamento.

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Fluidos: outra definição

Um fluido pode ser definido como uma substância que muda continuamente de forma enquanto existir uma tensão de cisalhamento, ainda que seja pequena.

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Propriedades dos fluidosMassa específica =

- É a razão entre a massa do fluido e o volume que contém essa massa (pode ser denominada de densidade absoluta)

Sistema SI............................Kg/mSistema SI............................Kg/m33

V

m

volume

massa

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Massas específicas de alguns fluidos

Fluido (Kg/m3)

Água destilada a 4 oC 1000

Água do mar a 15 oC 1022 a 1030

Ar atmosférico à pressão atmosférica e 0 oC

1,29

Ar atmosférico à pressão atmosférica e 15,6 oC

1,22

Mercúrio 13590 a 13650

Petróleo 880

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Propriedades dos fluidos Peso específico =

- É a razão entre o peso de um dado fluido e o volume que o contém;- O peso específico de uma substância é o seu peso por unidade de volume;

Sistema SI............................N/mSistema SI............................N/m33

V

G

volume

peso

W

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Propriedades dos fluidos

Relação entre peso específico e massa específica

gV

gm

V

G

W

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Volume Específico = Vs

Vs= 1/ =V/m- É definido como o volume ocupado pela unidade de massa de uma substância, ou seja, é o inverso da massa específica

Sistema SI............................m3/KgSistema SI............................m3/Kg

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Densidade Relativa = δ (ou Densidade)

É a relação entre a massa específica de uma substância e a de outra tomada como referência

δ = o

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Para os líquidos a referência adotada é a água a 4oC

Sistema SI.....................ρ0 = 1000kg/m3

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Para os gases a referência é o ar atmosférico a 0oC

Sistema SI................. ρ0 = 1,29 kg/m3

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Análise Dimensional GRANDEZAS FUNDAMENTAIS Equações Dimensionais

Na mecânica,adota-se a massa (M), compri-mento (L) e o tempo (T) como grandezas fundamentais.Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de M, L e T, adotando-se, assim, a equação dimensional da grandeza G.

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GRANDEZAS FUNDAMENTAIS Deste modo, a equação fundamental de G, que é indicada pela indicação [G], será dada

por:

[G]=MLTOs expoentes e são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação as grandezas fundamentais M, L e T respectivamente.

Análise Dimensional

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GRANDEZAS FUNDAMENTAISPor exemplo, a equação dimensional da velocidade no movimento uniforme é dada pela seguinte equação: [V]=[s]

[t]Assim temos, s=L e t=T, vem:

[V]= L = L1T -1

T

Ou em função de M,L e T: [V]=M0L1T -1


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GRANDEZAS FUNDAMENTAIS Outras equações dimensionais da Mecânica

Aceleração (g)g= v [g]=[v] = M0L1T -1 [g]=M0L1T -2

t [t] TForça (F)

F=m.g [F]=[m].[g]=M1 M0L1T -2 = M1L1T -2

[F]= M1L1T -2


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GRANDEZAS FUNDAMENTAISMassa específica ()

m []=[m] = M []=ML-3T 0

v [v] L3 Peso específico () = W []=[m].[g] []=[].[g]

v [v]

[]=ML-3M0L1T -2

[]= M1L-2T -2


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GRANDEZAS FUNDAMENTAIS

Exemplo: []=ML-3T 0 = Kg

m3


No Sistema Internacional (SI), as unidades de grandezas fundamentais massa, comprimento e tempo são, respectivamente, quilograma (Kg), metro (m) e segundo (s).

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Exercício de fixaçãoAdotando como grandezas fundamentais a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T), determine as equações dimensionais:

a) Da área de uma superfícieb) Da pressão

c) Da energia potenciald) Do volume


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O que é escoamento?

Mudança de forma do fluido sob a ação de um esforço tangencial;

Fluidez: capacidade de escoar, característica dos fluidos;

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Escoamento

Definição:

Processo de movimentação das moléculas de um fluido, umas em relação às outras e aos limites impostos.

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Escoamentos

Os escoamentos são descritos por:

Parâmetros físicos

Pelo comportamento destes parâmetros ao longo do espaço e do tempo;

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Definições Importantes

TrajetóriaLinha de CorrenteTubo de correnteLinha de emissão

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Trajetória

Linha traçada por uma dada partícula ao longo de seu escoamento

X y

z

Partícula no instante t1



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Linha de Corrente

Linha que tangencia os vetores velocidade de diversas partículas, umas após as outras

Duas linhas de corrente não podem se interceptar (o ponto teria duas velocidades)

X y

z

Partícula 1no instante t



v1

v2

v3

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Tubo de Corrente

No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas

A superfície constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida

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Linha de Emissão

Linha definida pela sucessão de partículas que tenham passado pelo mesmo ponto;

A pluma que se desprende de uma chaminé permite visualizar de forma grosseira uma linha de emissão;

Ponto dePonto deReferênciaReferência

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Classificação Geométrica;

Classificação quanto à variação no tempo

Classificação quanto ao movimento de rotação

Classificação quanto à trajetória (direção e

variação)

Classificação dos Escoamentos

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Escoamento TridimensionalEscoamento Tridimensional:

As grandezas que regem o escoamento variam nas três dimensões.Escoamento BidimensionalEscoamento Bidimensional:

As grandezas do escoamento variam em duas dimensões ou são tridimensionais com alguma simetria.Escoamento UnidimensionalEscoamento Unidimensional:

São aqueles que se verificam em função das linhas de corrente (uma dimensão).

Classificação Geométrica do Escoamento

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Permanente:Todas as propriedades e grandezas

características do escoamento são constantes no tempo;

Não Permanente:Quando ao menos uma grandeza ou

propriedade do fluido muda no decorrer do escoamento;

Classificação do Escoamento quanto à variação no tempo

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RotacionalRotacional: A maioria das partículas desloca-se animada de velocidade angular em torno de seu centro de massa;

IrrotacionalIrrotacional: As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação (na maioria das aplicações em engenharia despreza-se a característica rotacional dos escoamentos)

Classificação do Escoamento quanto ao movimento de

rotação

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Uniforme:Uniforme: Todos os pontos de uma mesma trajetória

possuem a mesma velocidade.

VariadoVariado: Os pontos de uma mesma trajetória não

possuem a mesma velocidade.

Classificação do Escoamento quanto à variação da

trajetória

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Escoamento de Fluidos

Definição: O movimento da água de um rio, a fumaça que sai de um cigarro acesso, o vento, o movimento do sangue no corpo humano, são exemplos de escoamento de fluidos. O escoamento de um fluido real tem um comportamento bastante complexo; assim, usaremos quatro hipóteses simplificadoras, as quais definem um fluido ideal. Sob certas condições o comportamento de um fluido real é muito semelhante ao de um fluido ideal.

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Escoamento de FluidosAs quatro hipóteses são:

1- Escoamento não viscoso (=0)

A viscosidade é uma espécie de atrito ao fluido; há uma resistência ao deslizamento de uma parte do fluido sob a outra, que provoca uma perda de energia mecânica, a qual é transformada em energia térmica.

Exemplo: A água é um fluido que apresenta viscosidade nula (=0), já o leite condensado apresenta viscosidade (>0)

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Escoamento de Fluidos2- Escoamento incompressível (=cte)

O escoamento é dito incompressível quando a densidade do fluido não varia ao longo do percurso e também não varia em relação ao tempo. Com os líquidos, que são pouco compressíveis, isto é fácil de se conseguir, mas com os gases é mais difícil, pois são facilmente compressíveis.Exemplo: A água escoando numa tubulação é considerado incompressível. Já o ar comprimido numa tubulação é considerado compressível.

60

3 – Escoamento irrotacional

O escoamento é irrotacional quando nenhuma porção do fluido efetua movimento de rotação em torno do seu centro de massa.

4 – Escoamento estacionário (v=cte)

Também chamado de escoamento permanente. Quando a velocidade do fluido

em um ponto qualquer de uma tubulação não varia com o tempo

Escoamento de Fluidos

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Escoamento Estacionário

A figura abaixo representa um escoamento estacionário, onde as velocidades em cada ponto são constantes.

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Uma seção reta S, conforme figura abaixo Em um tubo de fluxo, consideremos.

Vazão e Fluxo de Massa

S

S

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Sendo V o volume de fluido que passa por S num intervalo de tempo t, definimos a vazão (Qv) do fluido através de S por:

Qv= V

Se considerarmos a massa m de um fluido que passa por S num intervalo de tempo t, definimos o fluxo de massa (Qm) através de S por:

Qm= m


t

t

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Sendo a densidade do fluido, temos

m = V, e assim:

Qm= V logo Qm=Qv

t Alguns autores chamam o fluxo de massa de vazão mássica.


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Exemplo:Uma torneira despeja um liquido de densidade = 1,2g/cm³, a razão de 18 litros por minuto. Calcular a vazão dessa torneira lembrando que 1 litro equivale 10³ cm³.Qv= V = 18L = 18 L . 10³ cm³ = 3.10² cm³/s

t 1 min 60 sComo 1 cm³ = 10-6, obtemos: Qv = 3.10² cm³/s = 3.10² .10-6 m³/s = 3.10-4 m³/s


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Também vamos calcular o fluxo de massa no SI.

Qm=Qv = 1,2 g/cm³ = 1,2 . 10-3 kg = 1,2 .10³kg/m³

10-6 m³

Qm = 1,2 .10³ kg/m³ . 3.10-4 m³/s = 0,36 kg/s


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Consideremos agora um tubo de fluxo em que as linhas de corrente sejam paralelas, conforme figura abaixo:

Relação entre Vazão e Velocidade

S S’

v

x = v. (t)

Nesse caso, a velocidade do fluido ao longo do tubo é constante. Uma particula que, em determinado instante, passa por S com uma velocidade v, após um intervalo de t estará em S’ (com velocidade v), tendo percorrido uma distancia x, tal que:

x = v. (t)

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O volume de fluido que passou por S no intervalo de tempot é o volume entre S e S’. Sendo A a área de S, temos:

V = A . x = A . v. tPortanto, a vazão do fluido nesse tubo é:

Qv = V = A . v. t = A . v Qv = A . v t t

Para o fluxo de massa temos: Qm = Qv = . A .v Qm = . A .v

Relação entre Vazão e Velocidade

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Tomemos agora um tubo de fluxo em que a seção reta não seja constante, como ilustra a figura abaixo.

Equação da Continuidade

Supondo fluido ideal e portanto incompressível, para qualquer intervalo de tempo t, o volume que passa por S1 é o mesmo que passa por S2 e, portanto, a vazão através de S1 deve ser igual a vazão através de S2: Qv1 = Qv2

S1

S2

Lembrando que: Qv = A.v

A1 . v1 = A2 . v2

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A expressão A1.v1 = A2.v2 é chamada de

equação da continuidade para fluido ideal.

De acordo com a equação A e v são inversamente proporcionais. Onde o tubo é mais estreito a velocidade é maior e as linhas de corrente estão mais próximas.

v1 > v2

Equação da Continuidade

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1º Para encher uma caixa d’água de 1000 litros usando uma mangueira, demora-se 40 min. Calcule a vazão de água nessa mangueira.

2º Usando um tubo pelo qual escoam 0,02m³ de água por minuto, quanto tempo demora para encher uma caixa d’água com capacidade de 1m³ ?

3° Um líquido passa pela secção transversal de um cano com velocidade de 15 cm/s. Se a área dessa secção é de 10cm², qual é a vazão do líquido nesse cano?

4° A vazão de água em uma mangueira é 162cm³/s. Qual deve ser o diâmetro interno dessa mangueira para que a água escoe com uma velocidade de 6cm/s ? Considere =3,14.

5° Em um cano de 4.10-2 m de diâmetro interno é ligado a uma mangueira de 3.10-2 m de diâmetro interno. Se a velocidade da água no cano é de 9m/s, calcule a sua velocidade na mangueira.

Exercícios de Aplicação

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6° Um cano cujo raio interno é r = 1,0 cm, flui um líquido, de modo que por uma secção reta passam 720 litros por hora. Considere a densidade do líquido igual a 1,2 g/cm³ e = 3,14. Calcule:

a) A vazão nesse cano, em litros/minuto, litros/segundo e cm³/segundo.b) Qual a velocidade do líquido?c) Calcule o fluxo de massa nesse cano.

7° Um líquido de densidade 8,0 . 10² kg/m³ flui através de um cano de secção reta constante, com velocidade constante de 10m/s, de modo que por uma secção reta qualquer, passam 240 litros/minuto. Calcule:

a) A vazão nesse cano, em litros/segundo e m³/s.b) Qual a área da secção reta desse cano?c) O fluxo de massa através desse cano em kg/s.

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8° Uma mangueira, que despeja água à razão de 2 litros/segundo, é usada para encher uma piscina de forma de paralelepípedo, cuja área da base é 48m² e cuja profundidade é de 1,5m.

a) Quanto tempo será necessário para encher a piscina?b) Com que velocidade subirá o nível de água na piscina enquanto durar o processo de enchimento?

9° Por um tubo, cuja secção transversal tem área constante e igual a 2cm², escoa um líquido à uma velocidade de 4m/s. Quanto tempo será necessário para a passagem de 240 litros do líquido, por uma secção transversal qualquer?

10° O gás natural que abastece uma cidade é transportado à razão de 1,6kg/s, através de uma tubulação cuja secção transversal tem área de 600cm². Calcule a velocidade do gás dentro da tubulação, sabendo que a densidade do gás é de 0,9kg/m³.


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11° A figura representa duas secções transversais, s1 e s2 , de uma tubulação através da qual escoa um fluido ideal. As áreas de s1 e s2 são, respectivamente, iguais a 40cm² e 30cm². Sabendo que em s1 a velocidade do fluxo é 6m/s, calcule a velocidade em s2.

s1 s2

v1 v2

12° Um fluido ideal escoa por uma tubulação de secção reta variável. O fluido passa por s1, cuja área é 12cm², com velocidade de 10m/s. Calcule a área de s2 ,sabendo que nessa secção a velocidade do fluido é de 30m/s. Faça o esquema da tubulação.


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13° Complete:a) 1m³/s = ______ litros/segundob) 240m³/min. = _______ litros/min. = _______ litros/segundoc) 600cm³/s = _______ m³/min.d) 8m/s = _______ cm/min.

14° Sendo a velocidade média do sangue capilar 5.10-2 cm/s e a área da secção transversal do capilar 10-4 mm², o tempo necessário para a passagem de 1mm³ de sangue por uma secção transversal qualquer do capilar é um valor mais próximo de:

a) 6s b) 60s c) 6min. d) 60 min. e) 6 h.

15° Uma caixa d’água com volume de 150 litros coleta água de chuva à razão de 10 litros por hora. a) Por quanto tempo deverá chover para encher completamente a caixa d’água?b) Admitindo-se que a área da base caixa é 0,5m², com que velocidade subirá o nível da água enquanto durar a chuva?


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16° Um líquido ideal cuja densidade é 0,8 g/cm³ escoa por uma tubulação de secção reta variável, como indica a figura. As secções retas s1 e s2 tem áreas respectivamente iguais a 2cm² e 6cm². Sabendo que o fluxo de massa através de s1 é 24 g/s. Calcule:

a) A velocidade do líquido em s1.

b) A velocidade do líquido em s2.

c) A vazão através da tubulação.

17° Por uma tubulação escoa um fluido ideal. Num dado ponto, o diâmetro da tubulação é reduzido pela metade. Em vista disso, pode-se considerar que, em relação ao valor inicial, no local da redução:

a) A vazão é o dobro. b) A velocidade é dobrada.c) A vazão é reduzida a metade. d) A velocidade é quadruplicada.


s2

s1

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Relação entre Pressão e Velocidade

Na Hidrostática o Teorema de Stevin, nos dá a diferença de pressão entre dois pontos situados dentro de um fluido em repouso, em função do desnível entre esses dois pontos; através desse teorema, vimos que a pressão em um ponto do fluido depende do nível desse ponto. Porém,

quando o fluido está em movimento, é fácil perceber que além do nível, há um outro fator que afeta o valor da pressão: a velocidade.

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Consideremos, por exemplo, o tubo da figura, disposto horizontalmente e pelo qual escoa um fluido ideal.

Tomemos, sobre as seções retas Sx e Sy , os pontos X e Y, situados no mesmo nível. No ponto X o fluido tem velocidade vx e no ponto Y tem velocidade vy. Sendo Ax e Ay as áreas de Sx e Sy, temos, pela equação da continuidade:

sysx

Fvx

vyX Y

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Ax vx = Ay vy

Assim: Ay< Ax vy >vx

Portanto, ao passar do trecho “ largo “ para o trecho “ estreito “, a velocidade aumentou. Isso significa que as partículas dos fluidos foram aceleradas e, assim, há uma força, com o sentido indicado na figura, produzindo essa aceleração. O fato de o sentido da força ser da esquerda para a direita significa que à pressão a esquerda é maior que a pressão à direita:

px >py

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Se o fluido estivesse em repouso as pressões em X e Y seriam iguais, pois esses pontos estão no mesmo nível. Porém, como o fluido está em movimento, as pressões em X e Y são diferentes: de vx< vy concluimos

que px >py, isto é:

No trecho em que a velocidade é maior, a pressão é menor

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Na figura anterior, consideramos o fluido indo da esquerda para a direita (do trecho largo para o trecho estreito). Se o fluido fosse da direita para a esquerda (do trecho estreito para o largo), a força F teria o mesmo sentido da figura, pois, ao passar de Sy para Sx, as partículas diminuiriam a velocidade, sendo, portanto, retardadas.

Para análise que fizemos, percebemos que precisa-

mos de um teorema mais amplo, um em que relacione a pressão com o nível e com a velocidade do fluido. Este

teorema (ou lei) foi desenvolvido por Daniel Bernouilli.

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Equação de Bernouilli

A lei que relaciona a pressão com o nível e a velocidade foi obtida por Daniel Bernouilli (1700-1782) e é expressa através de uma equação que leva seu nome. A seguir vamos apresentar essa equação sem demonstração e faremos algumas aplicações.

Na figura abaixo, w é uma linha de corrente, situado no interior de um tubo de corrente de um fluido ideal. Sobre w tomamos os pontos 1 e 2, cujas alturas, em relação ao plano horizontal de referência (P.H.R) qualquer, são h1 e h2 . Nesses pontos, as pressões são p1 e p2 e as velocidades são v1 e v2. Sendo d a densidade do fluido e g a aceleração da gravidade, Bernouilli demonstrou que:

P.H.R

h2

h1

Linha de corrente w

g

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p1 + dgh1 + dv²1 = p2 + dgh2 + dv²2

2 2

p é chamada de pressão estática ou absoluta;dv²/2 é chamado pressão dinâmica;p+dv²/2 é pressão total.

Equação de Bernoulli

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Casos Particulares

1) Se o fluido estiver em repouso, teremos v1= v2 = 0 e a equaçãode Bernouilli se reduzirá a:

p1 + dgh1 = p2 + dgh2 p1 = p2 + dg(h2 - h1) = p2 + dgh

2) Se os pontos 1 e 2 estiverem no mesmo nível, termos h1 = h2 e a equação de Bernouilli se reduzirá a:

p1 + dv²1 = p2 + dv²2

2 2


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Observações

1ª) Na equação de Bernouilli, a pressão p é chamada de pressão estática ou absoluta; o termo dv²/2 é chamado pressão dinâmica. Alguns outros ainda chamam a soma p+dv²/2 de pressão total.

2ª) Sendo pa a pressão atmosférica e p a pressão estática em um ponto, a diferença p- pa é chamada de pressão efetiva nesse ponto.


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Exemplo:

A figura a seguir mostra uma tubulação disposta horizontalmente, por dentro da qual escoa um fluido ideal de densidade 6,0x10² kg/m³. As áreas das seções retas S1 e S2 são respectivamente, 5,0x10-4 m² e 2,5x10-4 m². Sabendo que no ponto 1 a velocidade é 2 m/s e a pressão é 5,4x104 Pa, vamos calcular a velocidade e a pressão no ponto 2.


S1

S21 2. .

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Resolução

Com relação à velocidade, usaremos a equação da continuidade:

A1 . v1 = A2 . v2 v2 = A1 . v1 = (5,0x10-4 m²) . (2,0 m/s) = 4,0 m/s

A2 (2,5x10-4 m²)

Apliquemos agora a equação de Bernouilli sem os termos dgh1 e dgh2, pois os dois pontos estão no mesmo nível:

p1 + dv²1 = p2 + dv²2 ou p2 = p1 + d (v²1 - v²2)

2 2 2

p2 = (5,4x104) + 6,0x10² [(2,0)² - (4,0)²] = 5,04x104 Pa

2


88

Exercícios

1) Por uma tubulação disposta horizontalmente, escoa um líquido de densidade 0,8 g/cm³. A pressão na seção 1 da tubulação vale

p1 = 6,0x104 Pa e na seção 2 vale p2 = 5,4x104 Pa. Sabendo que as áreas das seções retas S1 e S2 são, respectivamente, iguais a 4,0cm² e 3,0cm², calcule os módulos das velocidades v1 e v2.

v1= 4, 38 m/s

v2= 5,85 m/s

2) Através de uma tubulação horizontal, de seção reta variável , escoa água, cuja densidade é 1,0x10³ kg/m³. Numa certa secção da tubulação, a pressão estática e o módulo da velocidade valem, respectivamente 1,5x105 N/m² e 2,0 m/s. A pressão estática em outra secção da tubulação, onde o módulo da velocidade vale 8,0 m/s, é, em N/m²:OBS: 1 N/m² = 1 Pa

a) 1,2x105 b) 1,8x105 c) 3,0x105 d) 6,0x105


v1 v2

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MECANICA DOS FLUIDOS I.ppt