FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTODEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

SECO DE ESTRUTURAS

MECNICA DOS SLIDOS

lvaro Azevedo

1996

PREFCIO

A matria leccionada na disciplina de Mecnica dos Slidos tem-se mantido praticamente inalterada nos ltimos anos. Esta estabilidade deve-se ao facto de se tratar de uma matria nuclear do curso de Engenharia Civil e tambm por constituir uma introduo clssica ao estudo do comportamento das estruturas. Os trs captulos fundamentais so os relativos aos estados de tenso e de deformao, complementados com o estudo das relaes entre tenses e deformaes. Com o objectivo de facilitar a exposio destas matrias, efectuada uma breve introduo ao clculo tensorial, com especial nfase na notao indicial e na mudana de referencial. Nesta publicao o ritmo de exposio propositadamente lento e pormenorizado, de modo a facilitar a um aluno de Licenciatura a apreenso de todos os conceitos expostos, sem ter de recorrer bibliografia clssica. Esta, por se destinar a leitores mais experientes, apresenta-se quase sempre demasiado compacta e resumida, requerendo uma capacidade de abstraco elevada, que no est ao alcance da generalidade dos alunos. O ndice desta publicao respeita a ordenao de assuntos que tem sido adoptada nos ltimos anos pelos docentes da disciplina de Mecnica dos Slidos da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Algumas das matrias aqui expostas baseiam-se nas lies do Prof. Correia de Arajo, que se encontram compiladas no livro Elasticidade e Plasticidade (ver a Bibliografia). Os apontamentos da disciplina de Fsica II da autoria do Prof. Pinho de Miranda, bem como alguns manuscritos dos Profs. Silva Matos e Antnio Arede, constituram tambm uma preciosa fonte de informao, que muito facilitou a preparao desta publicao. A todos os meus agradecimentos.

lvaro Azevedo

Dezembro de 1996

NDICE CAPTULO 1 1 - INTRODUO AO CLCULO TENSORIAL ------------------------------------- 1.1 1.1 - Notao indicial------------------------------------------------------------------------- 1.1 1.2 - Definio de tensor--------------------------------------------------------------------- 1.2 1.3 - Transformao linear de coordenadas ----------------------------------------------- 1.3 1.4 - Ortogonalidade-------------------------------------------------------------------------- 1.7 1.5 - Significado dos elementos da matriz de transformao--------------------------- 1.8 1.6 - ndices livres e ndices mudos -------------------------------------------------------1.10 1.7 - Ortogonalidade em notao indicial ------------------------------------------------1.12 1.8 - Tensor de ordem n---------------------------------------------------------------------1.13 1.9 - Lei de transformao em notao matricial----------------------------------------1.15 1.10 - Operaes com tensores-------------------------------------------------------------1.15 1.10.1 - Adio -------------------------------------------------------------------------------1.16 1.10.2 - Produto ------------------------------------------------------------------------------1.17 1.10.3 - Contraco --------------------------------------------------------------------------1.17 1.10.4 - Produto contrado ------------------------------------------------------------------1.18 1.10.5 - Derivao ---------------------------------------------------------------------------1.19 1.11 - Tensores notveis --------------------------------------------------------------------1.19 1.11.1 - Delta de Kronecker ----------------------------------------------------------------1.19 1.11.2 - Tensor alternante-------------------------------------------------------------------1.20 1.12 - Operadores tensoriais----------------------------------------------------------------1.21 1.12.1 - Gradiente----------------------------------------------------------------------------1.22 1.12.2 - Divergncia -------------------------------------------------------------------------1.22 1.12.3 - Rotacional---------------------------------------------------------------------------1.23 1.13 - Simetria e antissimetria tensorial --------------------------------------------------1.23 CAPTULO 2 2 - ESTADO DE TENSO ----------------------------------------------------------------- 2.1 2.1 - Caso geral tridimensional ------------------------------------------------------------- 2.1 2.1.1 - Consideraes gerais----------------------------------------------------------------- 2.1 2.1.2 - Estado de tenso num ponto -------------------------------------------------------- 2.4 2.1.3 - Tensor das tenses ------------------------------------------------------------------- 2.5

2.1.4 - Equaes de equilbrio definido---------------------------------------------------- 2.7 2.1.5 - Equaes de equilbrio indefinido ------------------------------------------------2.10 2.1.6 - Mudana de referencial-------------------------------------------------------------2.16 2.1.7 - Tenses principais e invariantes do tensor das tenses ------------------------2.17 2.1.8 - Tenses tangenciais mximas e mnimas ----------------------------------------2.25 2.1.9 - Circunferncias de Mohr -----------------------------------------------------------2.32 2.1.10 - Tenses octadricas ---------------------------------------------------------------2.37 2.1.11 - Tensor hidrosttico e tensor de desvio------------------------------------------2.39 2.2 - Estado plano de tenso----------------------------------------------------------------2.40 2.2.1 - Formulao---------------------------------------------------------------------------2.41 2.2.2 - Circunferncia de Mohr ------------------------------------------------------------2.46 2.2.3 - Facetas conjugadas ------------------------------------------------------------------2.53 CAPTULO 3 3 - ESTADO DE DEFORMAO -------------------------------------------------------- 3.1 3.1 - Deformao homognea --------------------------------------------------------------- 3.1 3.2 - Sobreposio de deformaes homogneas----------------------------------------- 3.8 3.3 - Decomposio de deformaes homogneas --------------------------------------- 3.9 3.3.1 - Rotao -------------------------------------------------------------------------------3.10 3.3.2 - Deformao pura --------------------------------------------------------------------3.13 3.4 - Deformao volumtrica -------------------------------------------------------------3.17 3.5 - Deformao em torno de um ponto -------------------------------------------------3.19 3.6 - Tensor das deformaes - mudana de referencial -------------------------------3.24 3.7 - Extenses principais e direces principais de deformao ---------------------3.26 3.8 - Tensor do desvio das deformaes--------------------------------------------------3.30 3.9 - Equaes de compatibilidade --------------------------------------------------------3.31 3.10 - Estado plano de deformao--------------------------------------------------------3.35 3.11 - Circunferncia de Mohr -------------------------------------------------------------3.40 CAPTULO 4 4 - RELAES ENTRE TENSES E DEFORMAES----------------------------- 4.1 4.1 - Lei de Hooke generalizada ------------------------------------------------------------ 4.1 4.2 - Casos de simetria elstica ------------------------------------------------------------- 4.3 4.2.1 - Simetria elstica relativamente a um plano--------------------------------------- 4.4

4.2.2 - Simetria elstica relativamente a dois planos ortogonais ----------------------- 4.7 4.3 - Isotropia---------------------------------------------------------------------------------- 4.8 4.3.1 - Relao inversa ----------------------------------------------------------------------4.12 4.3.2 - Valor mximo do coeficiente de Poisson ----------------------------------------4.17 4.3.3 - Casos particulares -------------------------------------------------------------------4.18 4.3.3.1 - Estado plano de tenso -----------------------------------------------------------4.19 4.3.3.2 - Estado plano de deformao-----------------------------------------------------4.20 BIBLIOGRAFIA

SIMBOLOGIA

A~

- matriz de transformao de coordenadas entre dois referenciais (transfor-

mao directa)

aij - elemento da matriz A~

B~

- matriz de transformao de coordenadas entre dois referenciais (transfor-

mao inversa)

C - corpo

C - centro da circunferncia de Mohr

cijkl - elemento do tensor de 4 ordem correspondente lei de Hooke generalizada

c~

- matriz 6 6 correspondente lei de Hooke generalizada cij - elementos da matriz 6 6 correspondente lei de Hooke generalizada d~

- tensor das deformaes

dij - elemento do tensor das deformaes

d~

' - tensor do desvio das deformaes

dij - elemento do tensor do desvio das deformaes d~

- vector com as 6 componentes independentes do tensor das deforma-

es (Cap. 4)

di - componentes do vector d~ (Cap. 4)

d0 - extenso mdia

dS - elemento infinitesimal de superfcie

dV - elemento infinitesimal de volume

E - mdulo de elasticidade longitudinal ou mdulo de Young

$ei - versor correspondente ao eixo xi ei0 - tensor de 1 ordem que caracteriza uma deformao homognea (translao)

eij - tensor de 2 ordem que caracteriza uma deformao homognea ( )= u xi j F - fora genrica rF - vector fora com componentes ( )f f f1 2 3, ,

fi - componente do vector rF segundo xi

rfm - foras mssicas ou de volume rfS - foras de superfcie

G - mdulo de elasticidade transversal ou mdulo de distoro

I~

- matriz identidade

I1 - 1 invariante do tensor das tenses ou das deformaes

I2 - 2 invariante do tensor das tenses ou das deformaes

I3 - 3 invariante do tensor das tenses ou das deformaes

ID - circunferncia de Mohr: polo irradiante das direces

IF - circunferncia de Mohr: polo irradiante das facetas

L - comprimento genrico

L - Lagrangeano r

M - vector momento com componentes ( )m m m1 2 3, , mi - componente do vector

rM segundo xi

$n - versor de uma direco arbitrria com componentes ( )n n n1 2 3, , $n - versor normal a um elemento de superfcie ni - componente do versor $n segundo xi $nI - versor da 1 direco principal de tenso ou de deformao $nII - versor da 2 direco principal de tenso ou de deformao $nIII - versor da 3 direco principal de tenso ou de deformao $noct - versor normal a uma faceta octadrica O - origem do referencial

P - ponto genrico de coordenadas ( )x x x1 2 3, , rp - vector posio do ponto P R - raio da circunferncia de Mohr

S - referencial ( )O x x x, , ,1 2 3 S - superfcie rt - vector tenso com componentes ( )t t t1 2 3, , ( )rt n$ - tenso num ponto para uma faceta de normal $n

( )rt ei$ - tenso num ponto para uma faceta de normal $ei

t - grandeza do vector rt

toct - grandeza do vector tenso numa faceta octadrica ru - vector deslocamento com componentes ( )u u u1 2 3, , ui - componente do vector

ru segundo xi ruT - componente de translao do vector deslocamento ru R - componente de rotao do vector deslocamento ru D - componente de deformao do vector deslocamento V - volume

w~

- tensor rotao

wij - elemento do tensor rotao

rw - vector rotao com componentes ( )w w w1 2 3, , wi - componente do vector

rw segundo xi

w - ngulo de rotao ( )= rw X - ponto genrico de coordenadas ( )x x x1 2 3, , rx - vector posio do ponto X xi - eixo do referencial

xi - coordenada de um ponto segundo o eixo xi

- ngulo entre duas direces I - estado plano de tenso ou deformao: ngulo que define a 1 direco

principal

II - estado plano de tenso ou deformao: ngulo que define a 2 direco principal

- deslocamento genrico S - elemento de superfcie ij - delta de Kronecker ou smbolo de Kronecker ijk - tensor alternante i - extenso segundo o eixo xi (e.g., 3 33=d ) I - 1 extenso principal

II - 2 extenso principal III - 3 extenso principal x - estado plano de deformao: extenso segundo x y - estado plano de deformao: extenso segundo y - estado plano de deformao: extenso na direco - valor prprio de um tensor de 2 ordem ij - ngulo entre os eixos $ 'ei e $ej (Cap. 1) ij - distoro entre os eixos xi e x j ( ij ijd i j= 2 , com ) xy - estado plano de deformao: distoro entre as direces x e y - estado plano de deformao: distoro entre as direces e + 90 - multiplicador de Lagrange - uma das constantes de Lam (a outra o mdulo de distoro G) - coeficiente de Poisson - plano r - vector correspondente componente normal da tenso i - componente normal da tenso na faceta perpendicular ao eixo xi

(e.g., 3 33= ) - grandeza da componente normal da tenso I - 1 tenso principal II - 2 tenso principal III - 3 tenso principal I - 1 tenso principal do tensor do desvio das tenses II - 2 tenso principal do tensor do desvio das tenses III - 3 tenso principal do tensor do desvio das tenses

- tenso normal mdia oct - tenso normal numa faceta octadrica x - estado plano de tenso: tenso normal numa faceta perpendicular ao eixo x y - estado plano de tenso: tenso normal numa faceta perpendicular ao eixo y - ngulo entre duas direces ~

- tensor das tenses

ij - elemento do tensor das tenses ~ ~

' - tensor do desvio das tenses

ij - elemento do tensor do desvio das tenses ~ H

- tensor hidrosttico ou isotrpico

r - vector correspondente componente tangencial da tenso - grandeza da componente tangencial da tenso oct - tenso tangencial numa faceta octadrica ~

- vector com as 6 componentes independentes do tensor das tenses (Cap. 4)

i - componentes do vector ~ (Cap. 4) xy - estado plano de tenso: tenso tangencial numa faceta perpendicular ao eixo x - operador gradiente ( ) x x x1 2 3, , , tambm designado nabla

FEUP - Mecnica dos Slidos - 1996 lvaro Azevedo 1.1

1 - INTRODUO AO CLCULO TENSORIAL

Neste captulo so apresentadas algumas noes sobre o clculo tensorial, de modo a facilitar mais adiante a deduo de algumas expresses fundamentais da Mecnica dos Slidos.

1.1 - Notao indicial

A principal vantagem da utilizao da notao indicial a de permitir a deduo de expresses complexas utilizando uma notao compacta. Considere-se a seguinte equao que relaciona as grandezas vectoriais ra ,

rb e vc .

r rr

c a b= + (1.1)

Uma vez que

( )ra a a a= 1 2 3, , (1.2) ( )rb b b b= 1 2 3, , (1.3) ( )rc c c c= 1 2 3, , (1.4) verificam-se as seguintes relaes entre as respectivas componentes

c a b1 1 1= + (1.5) c a b2 2 2= + (1.6) c a b3 3 3= + (1.7)

As equaes (1.5)-(1.7) relacionam as componentes dos vectores segundo cada um dos eixos coordenados x1, x2 e x3. Em vez de escrever estas trs equaes poder-se-ia recorrer a um ndice i e escrever apenas

( )c a b ii i i= + = 1 3,..., (1.8) Em (1.8) pode-se omitir a expresso entre parnteses porque se subentende que o ndice i pode adoptar os valores 1, 2 ou 3. Partindo de (1.8) chega-se s equaes

1.2

originais (1.5)-(1.7) efectuando uma permutao cclica dos ndices, i.e., atribuindo-lhes sucessivamente os valores 1, 2 e 3. Recorrendo utilizao de ndices, consegue-se, na generalidade dos casos, manipular expresses de um modo mais compacto. A notao indicial tambm designada notao tensorial, devido ao facto de ser utilizada no clculo tensorial, que ser em seguida apresentado. Nalguma bibliografia esta notao designada notao de Einstein, por ter sido muito utilizada por este fsico.

1.2 - Definio de tensor

Um tensor um conjunto de grandezas fsicas definidas em relao a eixos coordenados (e.g., deslocamento de um ponto no espao). O conjunto de grandezas fsicas que constitui o tensor apresenta algumas caractersticas independentes do referencial, que por esse motivo se designam invariantes (e.g., grandeza de um deslocamento no espao). A noo de tensor pode ser generalizada a situaes mais complexas e abstractas, que sero adiante apresentadas. Quando um tensor se encontra definido num sistema de eixos ortonormado designado tensor cartesiano. Na disciplina de Mecnica dos Slidos todos os tensores so cartesianos, sendo de aqui em diante designados apenas tensores. Na Fig. 1.1 encontra-se representado um sistema de eixos ortonormado, bem como os versores desses eixos. (Notas: um versor um vector de norma unitria; um referencial ortonormado quando os seus eixos so perpendiculares entre si e a escala segundo cada um dos eixos comum a todos os eixos e apresenta como unidade a grandeza dos versores).

1

3

2O

x3

x2x1

Figura 1.1 - Sistema de eixos ortonormado e respectivos versores.

Em certos casos particulares a notao matricial pode apresentar vantagens em relao indicial, por exemplo, para eliminar ambiguidades ou para aumentar a clareza da exposio. Sempre que tal se verificar, deve-se recorrer notao matricial.

1.3

1.3 - Transformao linear de coordenadas

Na Fig. 1.2 encontram-se representados os referenciais ortonormados S e S', sendo o primeiro constitudo pelos eixos x1, x2 e x3 e o segundo pelos eixos x1', x2' e x3'. Ambos os referenciais tm como origem comum o ponto O e so directos. (Nota: um referencial directo quando ao rodar o semi-eixo x1 positivo em torno de x3, aproximando-o de x2 positivo, um saca-rolhas avanaria segundo x3 positivo). Na disciplina de Mecnica dos Slidos apenas sero considerados referenciais ortonormados directos.

2'

x1'

x1

(O, x1', x2', x3')

(O, x1, x2, x3)

Referencial S'

Referencial S

3

P

O

3'

1'

12

x3' x3

x2'

x2

p

Figura 1.2 - Referenciais S e S' e respectivos versores.

O referencial S definido pelos versores 1, 2 e 3, e o referencial S' pelos versores 1', 2' e 3'. Quando um referencial ortonormado e directo, atendendo definio de produto vectorial ( ) verifica-se o seguinte $ $ $e e e3 1 2= (1.9) $ $ $ = e e e3 1 2 (1.10)

1.4

Na Fig. 1.2, P um ponto genrico e rp o respectivo vector posio. Projectando rp sobre cada um dos eixos x1, x2 e x3 obtm-se as suas componentes no referencial S, que se designam x1, x2 e x3. Assim, tem-se

( )rp x x xS

= 1 2 3, , (1.11)

ou

rp x e x e x e= + +1 1 2 2 3 3$ $ $ (1.12)

Os valores de x1, x2 e x3 so as coordenadas do ponto P no referencial S. Relativamente a S' tem-se

( )rp x x xS

= 1 2 3, , (1.13)

ou

rp x e x e x e= + + 1 1 2 2 3 3$ $ $ (1.14)

sendo x1', x2' e x3' as coordenadas do ponto P em S'.

Na Fig. 1.3 encontra-se representado um vector ra e uma direco definida pelo

versor $n . Quer o vector, quer o versor, podem ter uma orientao qualquer no espao a trs dimenses.

a

n^

a

b

Figura 1.3 - Projeco de um vector sobre uma recta.

A projeco do vector ra sobre a direco definida pelo versor $n corresponde ao

produto escalar ra n| $ , porque

1.5

r r ra n a n a b| $ $ cos cos= = = (1.15)

Notas:

no clculo da projeco de ra sobre $n , o sinal do ngulo irrelevante porque ( ) ( )cos cos = ; quando ] ] 90 180 , , b apresenta sinal negativo.

Regressando Fig. 1.2 e atendendo a (1.15), verifica-se que as coordenadas do ponto P no referencial S, i.e., as projeces de rp sobre os eixos do referencial S, so dadas por

x p e1 1= r | $ (1.16) x p e2 2= r | $ (1.17) x p e3 3= r | $ (1.18)

De um modo semelhante tm-se as seguintes expresses para as coordenadas do ponto P no referencial S'.

= x p e1 1r | $ (1.19) = x p e2 2r | $ (1.20) = x p e3 3r | $ (1.21)

Substituindo (1.12) em (1.19)-(1.21), tem-se

( )= + + x x e x e x e e1 1 1 2 2 3 3 1$ $ $ | $ (1.22) ( ) = + + x x e x e x e e2 1 1 2 2 3 3 2$ $ $ | $ (1.23) ( ) = + + x x e x e x e e3 1 1 2 2 3 3 3$ $ $ | $ (1.24) Atendendo propriedade distributiva do produto escalar em relao soma vectorial, tem-se

= + + x x e e x e e x e e1 1 1 1 2 2 1 3 3 1$ | $ $ | $ $ | $ (1.25) = + + x x e e x e e x e e2 1 1 2 2 2 2 3 3 2$ | $ $ | $ $ | $ (1.26) = + + x x e e x e e x e e3 1 1 3 2 2 3 3 3 3$ | $ $ | $ $ | $ (1.27)

1.6

Atendendo propriedade comutativa do produto escalar, verifica-se facilmente que as equaes (1.25)-(1.27) so equivalentes seguinte expresso matricial

=

xxx

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

xxx

1

2

3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

1

2

3

$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $

(1.28)

ou

=x A x~ ~ ~

(1.29)

sendo A~

a seguinte matriz 3 3

Ae e e e e ee e e e e ee e e e e e

~=

$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

(1.30)

A matriz A~

, definida em (1.30), designada matriz de transformao de S em S'. Se a

matriz A~

for conhecida, recorrendo a (1.29) possvel converter as coordenadas de

um ponto do referencial S para o referencial S'. Esta transformao de coordenadas designada transformao directa.

Se em vez de se ter efectuado a substituio de (1.12) em (1.19)-(1.21) se tivesse substitudo (1.14) em (1.16)-(1.18), obter-se-iam as seguintes expresses para as coordenadas de P no referencial S

( )x x e x e x e e1 1 1 2 2 3 3 1= + + $ $ $ | $ (1.31) ( )x x e x e x e e2 1 1 2 2 3 3 2= + + $ $ $ | $ (1.32) ( )x x e x e x e e3 1 1 2 2 3 3 3= + + $ $ $ | $ (1.33) Tal como no caso anterior, tem-se

x x e e x e e x e e1 1 1 1 2 2 1 3 3 1= + + $ | $ $ | $ $ | $ (1.34) x x e e x e e x e e2 1 1 2 2 2 2 3 3 2= + + $ | $ $ | $ $ | $ (1.35) x x e e x e e x e e3 1 1 3 2 2 3 3 3 3= + + $ | $ $ | $ $ | $ (1.36)

e matricialmente

1.7

xxx

e e e e e ee e e e e ee e e e e e

xxx

1

2

3

1 1 2 1 3 1

1 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3

1

2

3

=

$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $

(1.37)

x B x~ ~ ~= (1.38)

com

Be e e e e ee e e e e ee e e e e e

~=

$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $

1 1 2 1 3 1

1 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3

(1.39)

Com a expresso (1.37) ou (1.38) fica definida a transformao de coordenadas de S' em S, que se designa transformao inversa.

1.4 - Ortogonalidade

Atendendo a (1.29) e (1.38) verifica-se simultaneamente

=x A x~ ~ ~

(1.40)

x B x~ ~ ~= (1.41)

Substituindo (1.41) em (1.40) resulta

= x A B x~ ~ ~ ~

(1.42)

Uma vez que x~

um vector qualquer, de (1.42) conclui-se que

A B I~ ~ ~

= (1.43)

sendo I~

a matriz identidade. Multiplicando ambos os membros de (1.43) pela inversa

da matriz A~

, resulta

B A~ ~= 1 (1.44)

Observando (1.30) e (1.39), constata-se que

B AT~ ~= (1.45)

1.8

De (1.44) e (1.45) conclui-se que

A AT~ ~

=1 (1.46)

Assim se conclui que a matriz de transformao ortogonal. (Nota: uma matriz ortogonal quando a sua inversa coincide com a sua transposta).

Substituindo (1.45) em (1.41), chega-se a

x A xT~ ~ ~= (1.47)

que constitui uma expresso alternativa para a definio da transformao inversa.

1.5 - Significado dos elementos da matriz de transformao

O elemento genrico da matriz de transformao A~

designa-se aij . Atendendo

a (1.30), a sua expresso a seguinte

a e eij i j= $ | $ (1.48)

Em aij o ndice i representa a linha de A~ e o ndice j a coluna. Os ndices i e j podem

adoptar os valores 1, 2 ou 3.

Considerando, por exemplo, i=2 e j=3, tem-se (ver Fig. 1.4)

a e e23 2 3= $ | $ (1.49)

( )a e e e e23 2 3 2 3= $ $ cos $ , $ (1.50) Uma vez que as normas dos versores so unitrias, resulta

( )a e e23 2 3= cos $ , $ (1.51) Designando por 23 o ngulo formado pelos versores 2' e 3 (ver Fig. 1.4), tem-se ( )a23 23=cos (1.52) Nota: o sinal de 23 irrelevante porque ( ) ( )cos cos 23 23= .

1.9

3

O

3'

2'

1'

1

2

x3'

23

x3

x2'

x1'

x2

x1

Figura 1.4 - Definio do ngulo 23 .

Generalizando estas consideraes, conclui-se que os elementos da matriz de transformao A

~ so cosenos de ngulos entre os semi-eixos positivos dos

referenciais S e S'. Estes ngulos podem ser sempre definidos no intervalo [ ]0 180, . A

~=

cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(1.53)

( )aij ij=cos (1.54) Exceptuando alguns casos particulares (e.g., referenciais S e S' coincidentes), o ngulo entre 2' e 3 diferente do ngulo entre 3' e 2 (ver Fig. 1.4). Assim, tem-se ( ) ( )cos cos 23 32 e, atendendo a (1.54), a a23 32 . Conclui-se assim que, exceptuando casos particulares, a matriz de transformao A

~ no simtrica.

De acordo com (1.30), considere-se que cada linha da matriz A~

constitui um vector

Ae e e e e ee e e e e ee e e e e e

~=

$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $$ | $ $ | $ $ | $

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

(1.55)

1.10

Atendendo Fig. 1.3 e a (1.15), constata-se que a primeira linha da matriz A~

constituda pelas projeces do versor 1' sobre os versores dos eixos do referencial S (1, 2 e 3). Tratam-se assim das componentes do versor 1' em S. De um modo semelhante, verifica-se que a segunda linha e a terceira linha da matriz A

~ so

constitudas pelas componentes de 2' e 3' no referencial S.

Conclui-se assim que as linhas da matriz de transformao A~

so constitudas pelas

componentes dos versores de S no referencial S. Se num determinado problema os versores de S' forem os seguintes

( )$ , ,=e a b c S1 (1.56) ( )$ , , =e d e f S2 (1.57) ( )$ , , =e g h i S3 (1.58) a matriz de transformao A

~ pode escrever-se imediatamente como sendo

Aa b cd e fg h i

~=

(1.59)

1.6 - ndices livres e ndices mudos

As coordenadas de um ponto no referencial S' podem ser obtidas a partir das suas coordenadas no referencial S recorrendo equao matricial (1.29). Atendendo a (1.28) e designando por aij o elemento genrico da matriz A~ , pode escrever-se

=

xxx

a a aa a aa a a

xxx

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 33 33

1

2

3

(1.60)

Desenvolvendo o produto matricial em (1.60) chega-se a

= + +x a x a x a x1 11 1 12 2 13 3 (1.61) = + +x a x a x a x2 21 1 22 2 23 3 (1.62)

1.11

= + +x a x a x a x3 31 1 32 2 33 3 (1.63)

De acordo com a notao indicial apresentada na Seco 1.1, pode-se recorrer a um ndice i e escrever de um modo mais compacto

= + +x a x a x a xi i i i1 1 2 2 3 3 (1.64)

Esta equao vlida para i=1, i=2 ou i=3. A seguinte equao equivalente a (1.64).

==x a xi ij jj 1

3

(1.65)

Em notao indicial o smbolo suprimido, resultando =x a xi ij j (1.66)

Nota: a notao indicial tornou as equaes (1.61)-(1.63) mais compactas.

Em (1.66), i um ndice livre e j um ndice mudo. As suas caractersticas so as seguintes: ndice livre

- aparece uma vez em cada monmio - pode adoptar os valores 1, 2 ou 3 - figura em todos os monmios

ndice mudo

- aparece duas vezes no monmio - pode no figurar em todos os monmios - implica a existncia de um somatrio de 1 a 3 ao nvel do monmio

Notas: nenhum ndice pode aparecer mais do que duas vezes num monmio qualquer ndice mudo pode ser substitudo por outra letra que no figure no

monmio. Como exemplo, apresentam-se as duas seguintes expresses que so equivalentes: = =x a x x a xi ij j i it t

qualquer ndice livre pode ser substitudo por outra letra que no figure na expresso. Por exemplo: = =x a x x a xi ij j p pj j

num monmio a ordem dos factores arbitrria: = =x a x x x ai ij j i j ij

Para clarificar as caractersticas dos dois tipos de ndices, apresenta-se a seguinte equao

ijk pjk ip jj ij jp= (1.67)

1.12

Em todos os monmios de (1.67), i e p so ndices livres. No primeiro membro, j e k so ndices mudos. Em ambos os monmios do segundo membro, j um ndice mudo. Substituindo p por t em todos os monmios obtm-se a seguinte equao, que equivalente a (1.67)

ijk tjk it jj ij jt= (1.68)

Substituindo j por r no ltimo monmio, obtm-se uma nova equao que equivalente s anteriores

ijk tjk it jj ir rt= (1.69)

1.7 - Ortogonalidade em notao indicial

Considere-se que P~

, Q~

e R~

so matrizes 3 3 arbitrrias, cujos elementos genricos so pij , qij e rij respectivamente. Atendendo s caractersticas da notao matricial e

da notao indicial, verifica-se a seguinte equivalncia

P Q R p q rij jk ik~ ~ ~= = (1.70)

Nota: a repetio do ndice j no monmio implica a existncia de um somatrio de j=1 at 3.

Pelos mesmos motivos, verifica-se tambm a seguinte equivalncia

P Q R p q rT ij kj ik~ ~ ~= = (1.71)

Nota: em notao indicial, a transposio de uma matriz corresponde troca da ordem dos seus dois ndices.

Considere-se agora a matriz de transformao A~

definida na Seco 1.3. Da

substituio de (1.45) em (1.43) conclui-se que

A A IT~ ~ ~

= (1.72)

ou

1.13

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1 0 00 1 00 0 1

=

(1.73)

Atendendo a (1.71), em notao indicial (1.72) e (1.73) correspondem a

a aij kj ik= (1.74)

Nesta equao, ik o delta de Kronecker, que apresenta as seguintes propriedades: quando i k= , ik =1; quando i k , ik =0 . Estas caractersticas fazem com que o delta de Kronecker corresponda matriz identidade I

~.

Multiplicando ambos os membros de (1.72) por AT~

resulta

A A A AT T T~ ~ ~ ~

= (1.75)

Concluindo-se que

A A IT~ ~ ~

= (1.76)

Em notao indicial (1.76) corresponde a

a aji jk ik= (1.77) As equaes (1.74) e (1.77) exprimem a ortogonalidade da matriz de transformao A

~

em notao indicial.

1.8 - Tensor de ordem n

De acordo com o que foi exposto nas Seces 1.3 e 1.6, as componentes de um vector rp no referencial S' podem ser calculadas com a expresso (1.66), em que intervm as componentes de

rp no referencial S e a matriz de transformao A

~.

=x a xi ij j (1.78)

Considere-se agora um vector ( )rv v v v= 1 2 3, , , ao qual corresponde um conjunto de grandezas fsicas no espao a trs dimenses. Se a respectiva lei de transformao for

=v a vi ij j (1.79)

1.14

passa a designar-se v por tensor de primeira ordem.

Notas:

o tensor v possui 31 = 3 componentes; necessrio que a lei de transformao (1.79) seja vlida para que v seja um

tensor.

Generalizando estes conceitos, chega-se lei de transformao de um tensor de segunda ordem, que a seguinte

=w a a wpq pi qj ij (1.80)

Notas:

no segundo membro de (1.80) est implcito um duplo somatrio em i e em j; tal como em (1.79), os ndices i e j podem adoptar os valores 1, 2 ou 3; o tensor w possui 32 = 9 componentes.

No caso mais geral, a lei de transformao de um tensor de ordem n a seguinte

=w a a a wpqr pi qj rk ijkL L L (1.81)

Notas:

em w e em w' figuram n ndices; no segundo membro de (1.81), a matriz de transformao A

~ figura n vezes;

o tensor w possui 3n componentes. Considerando o caso do tensor de ordem n com um valor de n nulo, tem-se o caso do tensor de ordem zero, cuja lei de transformao a seguinte

=w w (1.82)

Notas:

no tensor w que figura em (1.82), existem zero ndices; a matriz de transformao A

~ aparece zero vezes;

w um escalar, i.e., no apresenta componentes segundo os eixos coordenados; a equao (1.82) revela que o tensor w apresenta o mesmo valor em S e em S',

sendo portanto independente do referencial. Assim se conclui que um tensor de ordem zero um invariante.

1.15

1.9 - Lei de transformao em notao matricial

As leis de transformao dos tensores de primeira e de segunda ordem podem ser expressas em notao matricial. No caso do tensor de primeira ordem, a lei de transformao definida em (1.79)

=v a vi ij j (1.83)

corresponde seguinte equao matricial, j referida nas Seces 1.3 e 1.6 (ver (1.29) e (1.66) )

=v A v~ ~ ~

(1.84)

No caso do tensor de segunda ordem, cuja lei de transformao se encontra definida em (1.80), pode-se efectuar uma troca de factores e escrever

=w a w apq pi ij qj (1.85)

A expresso que figura no segundo membro de (1.85) corresponde a um duplo somatrio, que pode ser explicitado do seguinte modo

===w a w apq pi ijji

qj1

3

1

3

(1.86)

A seguinte equao matricial, que equivalente a (1.86), corresponde a uma representao alternativa da lei de transformao de um tensor de segunda ordem.

=w Aw AT~ ~ ~ ~

(1.87)

Nesta expresso A~

, w~

e w~

so matrizes 3 3 .

1.10 - Operaes com tensores

Nesta seco so apresentadas algumas operaes envolvendo tensores. Nalguns casos demonstra-se que o resultado da operao continua a ser um tensor, i.e., respeita a lei de transformao tensorial, cuja expresso genrica (1.81).

1.16

1.10.1 - Adio

Considerem-se dois tensores de segunda ordem designados uij e vij . Uma vez que se

tratam de tensores, a lei de transformao (1.80) vlida para cada um deles

=u a a upq pi qj ij (1.88)

=v a a vpq pi qj ij (1.89)

Em S, a soma de uij com vij designa-se wij , sendo

w u vij ij ij= + (1.90)

Em S' tem-se

= + w u vij ij ij (1.91)

Uma vez que i e j so ndices livres, podem ser substitudos por outra letra que no figure na expresso, podendo escrever-se

= + w u vpq pq pq (1.92)

Substituindo (1.88) e (1.89) em (1.92), obtm-se

= +w a a u a a vpq pi qj ij pi qj ij (1.93)

( ) = +w a a u vpq pi qj ij ij (1.94) Atendendo a (1.90), resulta

=w a a wpq pi qj ij (1.95)

A equao (1.95) mostra que o resultado da soma tensorial transformado de S para S' recorrendo lei de transformao de tensores de segunda ordem. Assim se conclui que da operao de adio de tensores resulta um tensor.

Nota: de um modo semelhante seria possvel chegar mesma concluso para o caso dos tensores de ordem n.

1.17

1.10.2 - Produto

Considerem-se os tensores uij (segunda ordem) e vk (primeira ordem). Uma vez que

se tratam de tensores, so vlidas as leis de transformao (1.79) e (1.80)

=u a a upq pi qj ij (1.96)

=v a vr rk k (1.97) Em S, o produto de uij por vk designa-se wijk , sendo definido do seguinte modo

w u vijk ij k= (1.98)

Em S' tem-se

= w u vpqr pq r (1.99)

Nota: em (1.98) e (1.99) no est implcito qualquer somatrio porque no existem monmios com ndices repetidos.

Substituindo (1.96) e (1.97) em (1.99) resulta

=w a a a u vpqr pi qj rk ij k (1.100)

Substituindo (1.98) em (1.100) chega-se a

=w a a a wpqr pi qj rk ijk (1.101)

Uma vez que (1.101) corresponde lei de transformao de um tensor de terceira ordem, conclui-se assim que o resultado do produto entre um tensor de segunda ordem e um tensor de primeira ordem um tensor de terceira ordem.

Nota: de um modo semelhante poder-se-ia concluir que do produto de um tensor de ordem m por um tensor de ordem n resulta um tensor de ordem m n+ .

1.10.3 - Contraco

Efectuar a contraco de uma expresso tensorial consiste em igualar dois ndices livres em todos os monmios. Este par de ndices livres passa a constituir um par de ndices mudos. Por exemplo, a contraco dos ndices i e j corresponde substituio

1.18

do ndice j pelo ndice i ou, em alternativa, substituio do ndice i pelo ndice j. Esquematicamente tem-se

ij ii (1.102)

ou

ij jj (1.103) Considere-se por exemplo o monmio wijk . A contraco de j e k corresponde a

efectuar a seguinte substituio

( ) ( )w w w w wijk

j kijj i i icontraco

de e

ordem ordem

= + +11 22 333 1

(1.104)

Da contraco de um tensor de terceira ordem resultou um tensor de primeira ordem. possvel demonstrar que da contraco de um tensor de ordem n resulta um tensor de ordem n 2 . Quando a contraco aplicada a uma equao tensorial, tem de se aplicar a mesma contraco a todos os monmios. Apresenta-se como exemplo a seguinte equao tensorial

ijk pqk ip jq iq jp= (1.105)

Aps a contraco dos ndices j e q, i.e., aps a substituio de q por j em todos os monmios, resulta

ijk pjk ip jj ij jp= (1.106)

Se a equao (1.105) for verdadeira, ento a equao (1.106) tambm verdadeira, porque resulta de uma operao de contraco.

1.10.4 - Produto contrado

O produto contrado consiste no produto de dois tensores seguido de uma ou mais contraces. Atendendo s caractersticas do produto e da contraco, atrs referidas, conclui-se facilmente que a ordem do produto de dois tensores de ordem p e q seguido de n contraces p q n+ 2 . Apresenta-se em seguida um exemplo, que

1.19

corresponde ao produto de dois tensores de segunda ordem seguido de duas contraces.

( )( )( ) ( ) ( )d v w w wik pj ikpj

k pikkj

i jikki= contraco

de econtracode e

ordem ordem ordem ordem ordem2 2 4 2 zero

(1.107)

1.10.5 - Derivao

Esta operao consiste na derivao das componentes de um tensor de ordem n em ordem s variveis do sistema (x1, x2, x3), resultando um tensor de ordem n +1. Considere-se o seguinte exemplo que corresponde derivao de um tensor de segunda ordem

( ) ( )

wwx

wijij

kij kderivao =

,

ordem ordem2 3

(1.108)

Neste exemplo, a derivao de um tensor de segunda ordem deu origem a um tensor de terceira ordem. (Nota: a representao da derivada com uma vrgula consiste numa alternativa mais compacta do que a notao tradicional.)

1.11 - Tensores notveis

Apresentam-se em seguida dois tensores que possuem caractersticas particulares e que so muito utilizados em equaes tensoriais.

1.11.1 - Delta de Kronecker

O delta de Kronecker (ij ), que tambm por vezes designado smbolo de Kronecker, foi j referido na Seco 1.7. As suas caractersticas so as seguintes

iji ji j==

10, quando, quando

(1.109)

1.20

Atribuindo aos ndices livres i e j os valores 1, 2 ou 3, obtm-se a seguinte matriz 3 3

ij I=

=

1 0 00 1 00 0 1

~ (matriz identidade) (1.110)

Aplicando a lei de transformao de tensores de segunda ordem (1.80) ao delta de Kronecker (ij ) resulta = pq pi qj ija a (1.111) Atendendo s caractersticas de ij , a equao (1.111) pode ser simplificada, resultando

= pq pi qia a (1.112)

Devido ortogonalidade da matriz de transformao (ver (1.74) ), o segundo membro de (1.112) corresponde ao delta de Kronecker, chegando-se assim seguinte concluso

= pq pq (1.113)

Esta equao indica que as componentes do delta de Kronecker apresentam o mesmo valor em S e em S'. Assim se conclui que o delta de Kronecker um tensor invariante ou isotrpico, porque independente do referencial.

1.11.2 - Tensor alternante

As caractersticas que definem o tensor alternante ( ijk ) so as seguintes

ijk ijkijk

=

011

, quando dois quaisquer ndices forem iguais, estiverem por ordem circular directa, quando estiverem por ordem circular inversa

quando os ndices os ndices

(1.114)

Na Fig. 1.5 indicado o significado de ordem circular directa e ordem circular inversa.

1.21

Ordem circular directa

Ordem circular inversa

2

3

1

2

3

1

312

231

123

132

213

321

Figura 1.5 - Ordem circular directa e ordem circular inversa.

O tensor alternante ijk de terceira ordem, apresentando um nmero de componentes igual a 27 (3n = 33 = 27). Atendendo sua definio (1.114), verifica-se que trs componentes so unitrias, outras trs so iguais a -1 e as restantes 21 so nulas.

123 231 312

321 213 132

11

= = == = =

Restantes 21 componentes so nulas (1.115)

possvel demonstrar que o tensor alternante um tensor de terceira ordem invariante ou isotrpico.

1.12 - Operadores tensoriais

Os operadores gradiente, divergncia e rotacional so em seguida apresentados, quer em notao matricial, quer em notao indicial. Qualquer um deles pode ser definido com recurso ao seguinte operador

=

x x x1 2 3, , (1.116)

1.22

1.12.1 - Gradiente

Considere-se o seguinte campo escalar

( )u u x x x= 1 2 3, , (1.117) O gradiente de u define-se do seguinte modo

grad u uux

ux

ux

= =

1 2 3, , (1.118)

Em notao indicial a representao do gradiente de u

uxi

(1.119)

ou, de um modo mais compacto

u i, (1.120)

correspondendo esta expresso a um tensor de primeira ordem.

1.12.2 - Divergncia

Considere-se o seguinte campo vectorial

( ) ( ) ( )( )rv v x x x v x x x v x x x= 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3, , , , , , , , (1.121) A divergncia de rv um escalar definido do seguinte modo

div v vvx

vx

vx

r r= = + +

1

1

2

2

3

3 (1.122)

Em notao indicial a representao da divergncia de rv

div v vvxi i

i

i

r = = (1.123)

ou, de um modo mais compacto

div v vi ir = , (1.124)

1.23

Notas:

em (1.123) e (1.124), a presena de ndices repetidos num monmio implica a existncia de um somatrio de 1 a 3;

i iv corresponde ao produto contrado de i por vj ; vi i, resulta da derivao de vi seguida de contraco.

1.12.3 - Rotacional

O rotacional do campo vectorial rv define-se do seguinte modo

rot vvx

vx

vx

vx

vx

vx

=

r

3

2

2

3

1

3

3

1

2

1

1

2, , (1.125)

ou

rot vvx

vx

evx

vx

evx

vx

e = +

+

r

3

2

2

31

1

3

3

12

2

1

1

23$ $ $ (1.126)

O rotacional pode tambm ser definido como o seguinte produto vectorial

rot v v

e e e

x x xv v v

= =r r$ $ $1 2 3

1 2 3

1 2 3

(1.127)

Em notao tensorial tem-se

rot v vijk k j =r , (1.128)

Nesta expresso ijk o tensor alternante. Desenvolvendo os somatrios em j e k, e atendendo s caractersticas de ijk , chega-se expresso (1.126).

1.13 - Simetria e antissimetria tensorial

Este assunto apenas abordado para o caso dos tensores de segunda ordem.

Um tensor de segunda ordem simtrico quando

1.24

w wij ji= (1.129)

para todos os valores de i e j. Quando i j= , a igualdade verifica-se sempre. Assim, um tensor de segunda ordem simtrico quando

w w w w w w12 21 23 32 31 13= = =, e (1.130)

Um tensor de segunda ordem antissimtrico quando

w wij ji= (1.131)

para todos os valores de i e j. Quando i j= , (1.131) s se verifica se o termo for nulo. Por este motivo, um tensor de segunda ordem antissimtrico quando

w w w11 22 33 0= = = (1.132)

e

w w w w w w12 21 23 32 31 13= = =, e (1.133)

Qualquer tensor de segunda ordem pode ser substitudo pela soma de um tensor simtrico com um antissimtrico. Apresenta-se em seguida o respectivo modo de decomposio.

Considere-se um tensor de segunda ordem qualquer, designado dij . Este tensor pode

ser substitudo pela adio das suas metades

d d dij ij ij= +1212

(1.134)

Somando e subtraindo metade do tensor transposto ( d ji ), chega-se uma equao que

sempre verdadeira

d d d d dij ij ij ji ji= + + 1212

12

12

(1.135)

Agrupando as parcelas do seguinte modo

( ) ( )d d d d dij ij ji ij ji= + + 12 12simtrico antisimtrico

1 24 34 1 24 34 (1.136)

obtm-se a decomposio pretendida.

1.25

Para tornar mais evidentes as caractersticas de (1.136), atribui-se a i e a j os valores 1, 2 ou 3, chegando-se seguinte expresso

d d dd d dd d d

d d d d d dd d d d d dd d d d d d

d d d d d dd d d d d dd d d d d d

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 11 12 21 13 31

21 12 22 22 23 32

31 13 32 23 33 33

11 11 12 21 13 31

21 12 22 22 23 32

31 13 32 23 33 33

12

12

=

=+ + ++ + ++ + +

+

(1.137)

que equivalente a

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

d d dd d dd d d

d d d d dd d d

d

d d d dd d d dd d d d

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 21 13 31

22 23 32

33

12 21 13 31

12 21 23 32

13 31 23 32

12

22

2

12

00

0

=

=+ +

+

+

+ + +

SIM.

(1.138)

ou

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

d d dd d dd d d

d d d d d

d d dd

d d d d

d d d d

d d d d

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 21 13 31

22 23 32

33

12 21 13 31

12 21 23 32

13 31 23 32

12

1212

012

12

12

012

12

12

0

=

=+ +

+

+

+

SIM.

(1.139)

1.26

FEUP - Mecnica dos Slidos - 1996 lvaro Azevedo 2.1

2 - ESTADO DE TENSO

Neste captulo so descritas as caractersticas do estado de tenso a que um corpo pode estar sujeito. Comea-se por apresentar o caso geral tridimensional, seguindo-se um caso particular, que o do estado plano de tenso.

2.1 - Caso geral tridimensional

Nesta seco apresentado o caso geral tridimensional, i.e., o estado de tenso caracterizado em pontos de um corpo que apresenta uma forma qualquer no espao a trs dimenses. Admite-se tambm que as foras podem estar orientadas segundo uma qualquer direco do espao.

2.1.1 - Consideraes gerais

Apresentam-se em seguida algumas definies e suposies. descontnua - caso real devido natureza atmica da matria Matria contnua - simplificao do problema

Ao supor a matria contnua, introduz-se uma simplificao, que na generalidade dos casos no introduz erros significativos. no homogneo Material homogneo

Diz-se que um material homogneo quando as suas propriedades no variam de ponto para ponto. Na generalidade dos casos, supe-se que o material que constitui o corpo homogneo. No entanto, distintos materiais apresentam em geral propriedades distintas. Se um determinado corpo for constitudo por dois ou mais materiais homogneos, existe uma descontinuidade na transio entre os diversos materiais.

2.2

anistropo - caso geral Material istropo - caso particular

Material anistropo - as suas propriedades variam com a direco considerada.

Material istropo - as suas propriedades so independentes da direco. plstico - caso geral Material com comportamento elstico no linear - caso particular elstico linear - caso particular

Para exemplificar estes trs tipos de comportamento num caso simples, considere-se uma barra prismtica com uma extremidade fixa e com uma fora F aplicada na outra extremidade (ver Fig. 2.1). A extremidade livre apresenta um deslocamento . Nas figuras 2.2, 2.3 e 2.4 apresentam-se os diagramas F para os trs tipos de comportamento atrs referidos.

F

Fig. 2.1 - Barra prismtica sujeita a uma fora F.

F

Comportamento plstico - as deformaes no so reversveis. - existem deformaes residuais. - a relao fora-deslocamento no linear.

Fig. 2.2 - Comportamento plstico.

2.3

F

Comportamento elstico no linear - as deformaes so reversveis. - no existem deformaes residuais. - a relao fora-deslocamento no linear.

Fig. 2.3 - Comportamento elstico no linear.

F

Comportamento elstico linear - as deformaes so reversveis. - no existem deformaes residuais. - a relao fora-deslocamento linear.

Fig. 2.4 - Comportamento elstico linear.

O comportamento de um corpo pode ainda ser classificado relativamente ordem de grandeza das deformaes a que est sujeito. - materiais muito deformveis (e.g., borracha) Grandes deformaes ou - configuraes muito deformveis (e.g., lmina de ao) Pequenas deformaes - materiais muito rgidos com configuraes pouco

deformveis (e.g., paraleleppedo em ao)

2.4

Exceptuando indicao em contrrio, na disciplina de Mecnica dos Slidos apenas sero tratados problemas com as seguintes caractersticas:

- material homogneo

- material istropo

- material com comportamento elstico linear

- pequenas deformaes

2.1.2 - Estado de tenso num ponto

Considere-se um corpo nas condies indicadas na Fig. 2.5.

x 1 x 2

x 3

O

P

S

n

VC

Sf

mf

Sf

S

C- corpo qualquer V- volume arbitrrio do

corpo C, limitado pela superfcie de contacto S

P- ponto da superfcie S

Fig. 2.5 - Corpo sujeito a foras mssicas e de superfcie.

rfm - foras mssicas aplicadas a V

Foras que actuam sobre um corpo

rf S - foras de superfcie aplicadas a V atravs de S

Foras mssicas ou foras de volume - exercem a sua aco sobre todos os elementos infinitesimais de volume (e.g., foras gravticas, foras de inrcia).

Foras de superfcie - actuam na superfcie exterior do corpo (e.g., aco do vento, presso de um gs sobre a parede interior de uma caldeira).

Na Fig. 2.5 esto ainda definidos os seguintes elementos

S - elemento de superfcie de S contendo o ponto P

2.5

$n - normal a S dirigida para o exterior de S rf S - fora exercida atravs de S pela matria exterior a V sobre a

matria interior a V

Definio de tenso no ponto P para uma faceta de normal $n :

( )r

r rt

fS

d fd Sn S

S S$ lim= =

0 (2.1)

+ rf S - fora que o exterior a V exerce sobre o interior a V. rf S - fora que o interior a V exerce sobre o exterior a V.

Trata-se do princpio da igualdade da aco e reaco de Newton.

Por este motivo, verifica-se que

( ) ( )r rt tn n = $ $ (2.2)

2.1.3 - Tensor das tenses

Na Fig. 2.6 est representado um cubo cujas faces so paralelas aos planos coordenados. As trs faces representadas na figura so aquelas cujo versor normal $n coincide com $e1 , $e2 ou $e3 . As faces do cubo so facetas infinitesimais que contm um mesmo ponto P. Na Fig. 2.6 est tambm representado o vector tenso ( )

rt

ei$

correspondente a cada uma das trs facetas.

x 1 x 2

x 3

O e1^

e2^

e3^

t e1^( )

t2e^( )

t3e^( )

e1^ e2

^

e3^

Fig. 2.6 - Vector tenso nas trs facetas paralelas aos planos coordenados.

2.6

Cada um dos vectores tenso representados na Fig. 2.6 possui trs componentes, i.e., ( )rt t t t t e t e t e= = + +1 2 3 1 1 2 2 3 3, , $ $ $ , sendo ( ) ( ) ( ) ( )rt t e t e t e

ee e e

$$ $ $$ $ $

1

1 1 11 1 2 2 3 3= + +

( ) ( ) ( ) ( )rt t e t e t e

ee e e

$$ $ $$ $ $

2

2 2 21 1 2 2 3 3= + + (2.3)

( ) ( ) ( ) ( )rt t e t e t e

ee e e

$$ $ $$ $ $

3

3 3 31 1 2 2 3 3= + +

Em notao tensorial este conjunto de equaes pode ser escrito de um modo mais compacto

( ) ( )rt t e

e je

ji

i

$$ $= (2.4)

Nesta equao, i um ndice livre e j um ndice mudo. A cada ndice mudo est associado um somatrio de 1 a 3.

Considerando

( ) ij jet i= $ (2.5)

resulta

( )rt e

e ij ji$$= (2.6)

Nesta expresso, ( )rt

ei$ representa o vector tenso numa faceta de normal $ei .

Matricialmente:

( )( )( )

rrr

ttt

eee

e

e

e

$

$

$

$$$

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

=

(2.7)

A matriz 3 3 cujos elementos so os ij designa-se por tensor das tenses. (Nota: a demonstrao de que

~ um tensor ser apresentada mais adiante).

Na Fig. 2.7 encontram-se representadas as componentes do vector tenso em cada uma das trs facetas definidas na Fig. 2.6.

2.7

x 1 x 2

x 3

O

11 21

31

1222

3213

23

33

ij = t j( )i

Fig. 2.7 - Significado dos elementos do tensor das tenses.

Nos elementos do tensor das tenses ( ij ), o ndice i est associado faceta e o ndice j est associado componente de

rt .

Os elementos do tensor das tenses podem ser classificados do seguinte modo (ver Fig. 2.7).

11 , 22 , 33 - tenses normais (valor positivo traco) 12 , 13 , 21 , 23 , 31 , 32 - tenses tangenciais

2.1.4 - Equaes de equilbrio definido

Considere-se um ponto P cujo estado de tenso caracterizado pelo tensor ~

. Na

Fig. 2.8 encontra-se representado um tetraedro infinitesimal ( )OABC , cujas caractersticas so em seguida referidas.

2.8

x 1

x 2

x 3

AB

C

t(- )3

t(- )1

t(- )2

t( n )

n

fm OP

Fig. 2.8 - Tetraedro infinitesimal.

A face ABC uma faceta que apresenta uma orientao arbitrria definida pelo versor $n . As faces OAB, OAC e OBC so paralelas aos planos coordenados. O referencial

utilizado tem a origem coincidente com o ponto P. Uma vez que o tetraedro apresenta dimenses infinitesimais, no limite todas as suas faces contm o ponto P.

$n - normal face ABC

$e1 , $e2 e $e3 - versores normais s faces que so paralelas aos planos coordenados rfm - foras mssicas

dV - volume do tetraedro

dS - rea do tringulo ABC

dSi - rea da face normal ao eixo xi

Equao de equilbrio segundo x1 :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r rt dS e t dS e t dS e t dS e f dV en e e e m$ $ $ $| $ | $ | $ | $ | $1 1 1 2 1 3 1 11 2 3 0+ + + + = (2.8) Devido ao princpio da igualdade da aco e reaco de Newton (2.2), tem-se

( ) ( )r rt t

e ei i = $ $ (2.9)

Verifica-se tambm que

2.9

dS dS ni i= (2.10) sendo ni a componente de $n de ordem i.

O termo em que figura dV um infinitsimo de ordem superior, podendo ser suprimido. Destas consideraes resulta

( )( ) ( ) ( ) ( )r r r rt e dS t e dS n t e dS n t e dS nn e e e$ $ $ $| $ | $ | $ | $1 1 1 1 2 1 31 2 3 0 = (2.11) Dividindo ambos os membros por dS resulta

( ) ( ) ( ) ( )r r r rt e t e n t e n t e nn e e e$ $ $ $| $ | $ | $ | $1 1 1 1 2 1 31 2 3 0

= (2.12)

A projeco sobre o versor $e1 corresponde primeira componente de cada vector

( ) ( ) ( ) ( )t t n t n t nn e e e1 1 1 1 2 1 31 2 3 0$ $ $ $ = (2.13)

Uma vez que

( )t je iji$ = (2.14)

resulta

( )t n n nn1 11 1 21 2 31 3$ = + + (2.15)

Recorrendo ao ndice mudo j, pode-se escrever esta equao de um modo mais compacto

( )t nn j j1 1$ = (2.16)

Desenvolvendo as equaes de equilbrio segundo x2 e x3 chegar-se-ia a

( )t nn j j2 2$ = (2.17)

( )t nn j j3 3$ = (2.18)

Resumindo as trs ltimas equaes numa nica equao tensorial, resulta

( )t nin

ji j$ = (2.19)

Em notao matricial escreve-se

2.10

( )( )( )

ttt

nnn

n

n

n

1

2

3

11 21 31

12 22 32

13 23 33

1

2

3

$

$

$

=

(2.20)

ou

( )rt nn

T$ $=~ (2.21)

Esta expresso representa as equaes de equilbrio definido.

Fica assim demonstrado que suficiente conhecer o tensor das tenses ~

para poder

calcular a tenso no ponto P para qualquer orientao de $n .

2.1.5 - Equaes de equilbrio indefinido

Antes de iniciar a deduo das equaes de equilbrio indefinido, apresenta-se a expresso correspondente ao teorema da divergncia (ou teorema de Gauss).

Considere-se um campo vectorial rF

( )rF f f f= 1 2 3, , (2.22) As componentes de

rF so funes de x1 , x2 e x3 .

O teorema da divergncia (ou teorema de Gauss) justifica a seguinte substituio de um integral de volume por um integral de superfcie

div F dV F n dSSV

r r= | $ (2.23) Substituindo

rF e $n pelas suas componentes, obtm-se

( ) ( ) fx fx fx dV f f f n n n dSSV 11 22 33 1 2 3 1 2 3+ +

= , , | , , (2.24)

Considere-se agora um volume arbitrrio de um corpo, de acordo com a seguinte figura

2.11

x 1 x 2

x 3

O

V

S

n t

dS

dSn( )

mf dV

dV

V - volume arbitrrio de um corpo

dV - elemento infinitesimal de volume

S - superfcie exterior do volume V

dS - elemento infinitesimal de superfcie rfm - foras mssicas

$n - normal faceta dS ( )rt n$ - tenso na faceta dS

Fig. 2.9 - Volume V sujeito a foras mssicas e de superfcie.

Equilbrio das foras que actuam sobre o volume V (projeces sobre x1 ):

( )[ ] ( )( )[ ]r rf dV e t dS emV

nS

| $ | $$1 1 0 + = (2.25) ( ) ( )( )r rf e dV t e dSm

Vn

S

| $ | $$1 1 0 + = (2.26) As projeces sobre $e1 correspondem s primeiras componentes de cada vector

( )f dV t dSmV

n

S1 1 0 + =$ (2.27)

Atendendo s equaes de equilbrio definido

f dV n dSmV

j jS

1 1 0 + = (2.28) Nota: a repetio do ndice j implica um somatrio.

Representando j jj

n11

3

= como um produto escalar, obtm-se

( ) ( )f dV n n n dSmV S

1 11 21 31 1 2 3 0 + = , , | , , (2.29) Atendendo ao teorema da divergncia (ou teorema de Gauss)

2.12

f dVx x x

dVmV V

111

1

21

2

31

30 + + +

=

(2.30)

fx x x

dVmV

111

1

21

2

31

30+ + +

= (2.31)

Uma vez que o volume seleccionado arbitrrio, a funo integranda tem de ser sempre nula, resultando

fx x xm111

1

21

2

31

30+ + + =

(2.32)

Efectuando a projeco das foras que actuam sobre o volume V sobre os eixos x2 e x3 , obter-se-iam as seguintes equaes

fx x xm212

1

22

2

32

30+ + + =

(2.33)

fx x xm313

1

23

2

33

30+ + + =

(2.34)

Em notao tensorial escreve-se

fxmi

ji

j+ = 0 (2.35)

Esta expresso representa as equaes de equilbrio indefinido.

Considere-se agora um ponto X no espao, cujas coordenadas so x1 , x2 e x3 .

x 1 x 2

x 3

OXx

f1

f2

f3

Fig. 2.10 - Ponto X e componentes da fora que nela actua.

2.13

Neste ponto encontra-se aplicada uma fora rF cujas componentes so f1 , f2 e f3 .

O vector posio do ponto X designado rx .

Verifica-se o seguinte

x1 - distncia do ponto X ao plano ( )O x x2 3 x2 - distncia do ponto X ao plano ( )O x x1 3 x3 - distncia do ponto X ao plano ( )O x x1 2

Os momentos de rF em torno dos diversos eixos so

Momento em torno de x1 : m f x f x1 3 2 2 3= Momento em torno de x2 : m f x f x2 1 3 3 1= Momento em torno de x3 : m f x f x3 2 1 1 2=

Nota: o sinal dos momentos respeita a regra do saca rolhas.

Estes trs momentos so agrupados no vector r

M

( ) ( )rM m m m f x f x f x f x f x f x= = 1 2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2, , , , (2.36) Atendendo definio de produto vectorial, verifica-se que

r r rM x F

e e ex x xf f f

= =$ $ $1 2 3

1 2 3

1 2 3

(2.37)

Considere-se agora o equilbrio de momentos do volume V (ver Fig.s 2.9 e 2.10)

( )r r r r rx f dV x t dSm

Vn

S

+ = $ 0 (2.38) Destas trs equaes de momentos, seleccione-se a primeira

( ) ( ) ( )( )x f x f dV x t x t dSm mV

n n

S2 3 3 2 2 3 3 2 0 + = $ $ (2.39)

Em seguida vai-se proceder apenas ao desenvolvimento do integral de superfcie.

Atendendo s equaes de equilbrio definido

2.14

( )t nn j j2 2$ = (2.40)

( )t nn j j3 3$ = (2.41)

Nota: a repetio do ndice j implica somatrio.

resulta para o integral de superfcie

( )x n x n dSj j j jS

2 3 3 2 (2.42) ( ) ( )[ ]x n n n x n n n dS

S2 13 1 23 2 33 3 3 12 1 22 2 32 3 + + + + (2.43)

Reagrupando

( ) ( ) ( )[ ]x x n x x n x x n dSS

2 13 3 12 1 2 23 3 22 2 2 33 3 32 3 + + (2.44) A funo integranda pode ser substituda por um produto escalar

( ) ( )x x x x x x n n n dSS

2 13 3 12 2 23 3 22 2 33 3 32 1 2 3 , , | , , (2.45) Atendendo ao teorema da divergncia (ou teorema de Gauss)

( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x dVV 1 2 13 3 12 2 2 23 3 22 3 2 33 3 32 + +

(2.46)

xx

xx

xx

xx

xx

xx

dVV

213

13

12

123 2

23

23

22

22

33

332 3

32

3

+ + +

(2.47)

xx x x

xx x x

dVV

213

1

23

2

33

33

12

1

22

2

32

323 32

+ +

+ +

+

(2.48)

Retomando a equao de equilbrio de momentos, resulta

( )x f x f dVx

x x xx

x x xdV

m mV

V

2 3 3 2

213

1

23

2

33

33

12

1

22

2

32

323 32 0

+

+ + + + +

+

=

(2.49)

2.15

x fx x x

x fx x x

dVm mV

2 313

1

23

2

33

33 2

12

1

22

2

32

323 32 0+ + +

+ + +

+

= (2.50)

As expresses entre parnteses curvos so nulas (ver as equaes de equilbrio indefinido), resultando

( ) 23 32 0 = dVV

(2.51)

Uma vez que o volume seleccionado arbitrrio, a funo integranda tem de ser sempre nula, resultando

23 32 0 = (2.52) 23 32= (2.53) Desenvolvendo o equilbrio de momentos do volume V em torno dos eixos x2 e x3 ,

obter-se-iam as seguintes equaes

31 13= (2.54) 12 21= (2.55)

Em notao tensorial pode-se escrever de um modo mais compacto

ij ji= (2.56)

Esta concluso constitui as equaes de reciprocidade de Maxwell.

Conclui-se tambm que o tensor das tenses sempre simtrico. Por este motivo, s seis componentes do tensor das tenses so independentes.

Atendendo a esta concluso, as expresses atrs deduzidas podem tomar a seguinte forma:

Equaes de equilbrio definido

( )t nin

ij j$ = (2.57)

( )( )( )

ttt

nnn

n

n

n

1

2

3

11 12 13

22 23

33

1

2

3

$

$

$

=

SIM. (2.58)

2.16

( )rt nn$ $=~ (2.59)

Equaes de equilbrio indefinido

fxmi

ij

j+ = 0 (2.60)

fmi ij j+ = , 0 (2.61)

( )fx x x

imii i i+ + + = =

1

1

2

2

3

30 1 2 3, , (2.62)

2.1.6 - Mudana de referencial

Considere-se a transformao directa entre dois referenciais S e S '

x A x~ ~ ~'= (2.63)

e a respectiva transformao inversa (ver Captulo 1)

x A xT~ ~ ~= ' (2.64)

Considere-se uma faceta cuja normal o versor $n . A lei de transformao inversa para este versor

$ $'n A nT~ ~ ~= (2.65)

O vector tenso na faceta de normal $n pode ser transformado do seguinte modo

r rt At'=

~ (2.66)

Recorrendo s equaes de equilbrio definido rt n=

~$ resulta

rt A n' $=

~ ~ (2.67)

Substituindo $n de acordo com a lei de transformao inversa resulta

rt A A nT' $'=

~ ~ ~ (2.68)

No referencial S ' as equaes de equilbrio definido escrevem-se

2.17

rt n' ' $'=

~ (2.69)

Comparando estas duas ltimas equaes conclui-se que

~ ~ ~ ~'= A AT (2.70)

Em notao tensorial escreve-se

' pq pi qj ija a= (2.71) Conclui-se assim que ij um tensor de segunda ordem, porque respeita a lei de transformao tensorial.

2.1.7 - Tenses principais e invariantes do tensor das tenses

Considere-se um estado de tenso num ponto P. Na generalidade das facetas o vector tenso no paralelo ao versor da faceta (ver caso A na Fig. 2.11). Contudo, possvel demonstrar que existe um nmero finito de facetas em que a tenso paralela ao versor $n (ver caso B na Fig. 2.11).

nt

n( )

n

tn( )

P P

Caso A Caso B

Fig. 2.11 - Vector tenso num ponto P para uma faceta de normal $n .

Para determinar quais so as facetas em que o vector tenso paralelo ao versor $n recorre-se seguinte equao em que $n o versor das facetas que se pretendem determinar.

( )rt nn$ $= (2.72)

2.18

Nesta equao, um escalar cujo valor traduz a grandeza e o sentido do vector tenso. O mdulo de a grandeza do vector tenso. Uma vez que o versor $n est orientado para o exterior do corpo, a um positivo corresponde uma tenso normal de traco e a um negativo corresponde, obviamente, uma tenso normal de compresso.

Recorrendo s equaes de equilbrio definido ( )rt nn$ $=~ resulta

~$ $n n= (2.73)

Ou, matricialmente

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

1

2

3

=

nnn

nnn

(2.74)

que equivale a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

1

2

3

=

nnn

nnn

(2.75)

ou

( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

000

=

nnn

(2.76)

Este sistema de trs equaes a trs incgnitas apresenta como soluo o seguinte versor

( ) ( )$ , , , ,n n n n= =1 2 3 0 0 0 (2.77) Esta soluo trivial no caracteriza nenhuma faceta e no respeita a seguinte condio de norma unitria

$n n n n= + + =12 22 32 1 (2.78)

ou

n n n12

22

32 1+ + = (2.79)

2.19

Para que o sistema de equaes (2.76) possua outras solues, alm da soluo trivial, necessrio que o seu determinante principal seja nulo. Uma vez que tambm uma incgnita do problema, possvel calcular o seu valor de tal forma que resulte um sistema de equaes indeterminado, i.e., com mltiplas solues. Entre esta infinidade de solues, s sero consideradas as que respeitam a condio de norma unitria (2.79).

Assim, os valores de que respeitarem a seguinte condio de determinante nulo so aqueles que conduzem existncia de solues no nulas para o sistema de equaes (2.76)

( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

= (2.80)

Desenvolvendo este determinante obtm-se a seguinte equao do terceiro grau que designada equao caracterstica

3 1 2 2 3 0 + =I I I (2.81) Nesta equao do terceiro grau, cuja incgnita , as expresses de I1 , I2 e I3 so as seguintes

I1 11 22 33= + + (2.82)

I222 23

32 33

33 31

13 11

11 12

21 22= + +

(2.83)

I311 12 13

21 22 23

31 32 33

=

(2.84)

As trs razes da equao caracterstica (2.81) so as trs tenses principais ( I , II e III ). A cada tenso principal corresponde uma faceta em que o vector tenso paralelo ao versor $n . Estas trs facetas designam-se facetas principais e as respectivas normais so as direces principais de tenso.

O clculo dos versores $n que caracterizam as direces principais efectuado do seguinte modo:

- substituir pelo valor de I no sistema de equaes (2.76).

2.20

- acrescentar ao sistema de equaes (2.76) a condio de norma unitria (2.79), resultando um sistema de quatro equaes a trs incgnitas. A quarta equao no linear.

- resolver este sistema de equaes por substituio. Existe a garantia de pelo menos uma das equaes ser dependente das restantes.

- a soluo do sistema de equaes um versor $nI que caracteriza a faceta principal em que ocorre a tenso I

Este procedimento deve ser repetido com II no lugar de I , obtendo-se assim o versor $nII . Para que o conjunto de versores que definem as direces principais de tenso constitua um referencial directo, o terceiro versor deve ser calculado com a seguinte expresso (Nota: a demonstrao de que $nIII perpendicular ao plano definido por $nI e $nII ser apresentada mais adiante)

$ $ $n n nIII I II= (2.85)

O clculo das tenses e direces principais coincide com o clculo dos valores e vectores prprios de uma matriz, sendo

I II III, , - valores prprios de ij $ , $ , $n n nI II III - vectores prprios de ij

Uma tenso uma fora exercida sobre uma superfcie infinitesimal com uma determinada orientao. A tenso em si no depende do sistema de eixos utilizado, mas os valores das suas componentes modificam-se quando a tenso passa a ser expressa noutro referencial. Contudo, numa faceta principal, a grandeza de uma tenso principal e o seu sentido so independentes do referencial utilizado. Portanto, os valores das tenses principais so independentes do referencial. Devido ao facto de as razes da equao caracterstica (2.81) serem as tenses principais, os valores de I1 , I2 e I3 tm de ser tambm independentes do referencial. Por este motivo, I1 , I2 e I3 designam-se

invariantes do tensor das tenses e o seu valor no se modifica quando o tensor das tenses passa a estar definido num outro referencial.

Apresenta-se em seguida a demonstrao da seguinte afirmao:

- Quando duas tenses principais so distintas, as respectivas direces principais de tenso so ortogonais entre si e, consequentemente, as correspondentes facetas principais so tambm ortogonais entre si.

2.21

Demonstrao:

Considerem-se duas tenses principais I e II , e os versores das correspondentes facetas principais nI e nII . Estas tenses principais e estes versores respeitam a

equao (2.74), que em notao tensorial apresenta a seguinte forma

ij jI I iIn n= (2.86)

ij jII II iIIn n= (2.87) Multiplicado ambos os membros de (2.86) por ni

II e ambos os membros de (2.87) por ni

I , obtm-se

n n n niII

ij jI

iII

I iI = (2.88)

n n n niI

ij jII

iI

II iII = (2.89)

Subtraindo a equao (2.89) equao (2.88), resulta

n n n n n n n niII

ij jI

iI

ij jII

iII

I iI

iI

II iII = (2.90)

que equivalente a

( )n n n n n njI iII ij iI jII ij iI iII I II = (2.91) Trocando i com j no primeiro monmio, resulta

( )n n n n n niI jII ji iI jII ij iI iII I II = (2.92) Atendendo simetria do tensor das tenses, conclui-se que

( )n niI iII I II =0 (2.93) Em (2.93), sempre que I II , tem de se verificar o seguinte n ni

IiII =0 (2.94)

n n n n n nI II I II I II1 1 2 2 3 3 0+ + = (2.95)

( ) ( )n n n n n nI I I II II II1 2 3 1 2 3 0, , | , , = (2.96) $ $n nI II (2.97)

2.22

Se as trs tenses principais forem distintas entre si, i.e., I II , II III e I III , ento as trs direces principais so mutuamente ortogonais.

Os versores $nI , $nII e $nIII definem um referencial que se designa referencial principal.

Nas consideraes que se seguem o referencial utilizado o referencial principal. Nestas circunstncias, as facetas principais so paralelas aos planos coordenados.

O

n I n II

n III

t nI^( )

t nII^( )

t nIII^( )

Fig. 2.12 - Referencial principal - tenses nas facetas paralelas aos planos coordenados.

Nas facetas principais o vector tenso normal faceta, sendo

( )rt n

n I II$$= (2.98)

( )rt n

n II IIII$$= (2.99)

( )rt n

n III IIIIII$$= (2.100)

Nestas circunstncias, o tensor das tenses apresenta a seguinte expresso (ver Seco 2.1.3)

~

=

I

II

III

0 00 00 0

(2.101)

Apresenta-se em seguida o caso particular de duas tenses principais serem iguais entre si e a terceira ser distinta das outras duas.

I II a= = (2.102)

2.23

III b= (2.103) ( )a b Vai-se em seguida proceder ao clculo do vector tenso numa faceta cuja normal $'n se situa no plano definido por $nI e $nII (ver Fig. 2.13).

nI

n

O

III

nII

n '

Fig. 2.13 - Referencial principal - $'n encontra-se no plano definido por $nI e $nII .

Nestas circunstncias o versor $'n apresenta as seguintes componentes

( )$' ' , ' ,n n n= 1 2 0 (2.104) Recorrendo s equaes de equilbrio definido, tem-se

( )rt nn' $'$ ' =~ (2.105)

Atendendo a (2.101), (2.102) e (2.103), resulta

ttt

aa

b

nn

a na n a

nn

'''

''

''

''

1

2

3

1

2

1

2

1

2

0 00 00 0 0 0 0

=

=

=

(2.106)

( )rt a nn' $'$ ' = (2.107)

( )rt nn I' $'$ ' = (2.108)

Concluso: qualquer que seja o versor $'n no plano ( $nI $nII ), a correspondente faceta principal e a tenso principal igual a I . A direco principal $nIII normal ao

2.24

plano ( $nI $nII ). Concluses semelhantes seriam obtidas para os casos em que II III= ou I III= .

Apresenta-se em seguida um outro caso particular em que todas as tenses principais so iguais entre si.

I II III a= = = (2.109)

Vai-se em seguida proceder ao clculo do vector tenso numa faceta com orientao arbitrria e normal $'n . Nestas circunstncias o versor $'n apresenta as seguintes componentes

( )$' ' , ' , 'n n n n= 1 2 3 (2.110) Recorrendo s equaes de equilbrio definido, tem-se

( )rt nn' $'$ ' =~ (2.111)

Atendendo a (2.101) e (2.109), resulta

ttt

aa

a

nnn

a na na n

annn

'''

'''

'''

'''

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

0 00 00 0

=

=

=

(2.112)

( )rt a nn' $'$ ' = (2.113)

( )rt nn I' $'$ ' = (2.114)

Concluso: qualquer que seja o versor $'n , a correspondente faceta principal e a tenso principal igual a I . Quando as trs tenses principais apresentam o mesmo valor, o estado de tenso designa-se isotrpico ou hidrosttico. Num estado de tenso isotrpico as tenses tangenciais so nulas em todas as facetas.

Retomando o caso geral, com todas as tenses principais distintas entre si, j foi visto atrs (2.101) que, no referencial principal, o tensor das tenses apresenta a seguinte expresso

~

=

I

II

III

0 00 00 0

(2.115)

2.25

Nestas circunstncias os invariantes do tensor das tenses apresentam as seguintes expresses

I I II III1 = + + (2.116) I II III III I I II2 = + + (2.117) I I II III3 = (2.118)

A tenso numa faceta genrica de normal $n dada pela seguinte expresso

( )( )( )

ttt

nnn

nnn

n

n

n

I

II

III

I

II

III

1

2

3

1

2

3

1

2

3

0 00 00 0

$

$

$

=

=

(2.119)

( ) ( )rt n n nn I II III$ , ,= 1 2 3 (2.120) Aplicando a lei de transformao tensorial (2.70) ao tensor (2.115) resulta

~ ~ ~ ~'= A AT (2.121)

' ' '' ' '' ' '

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

0 00 00 0

=

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

I

II

III

(2.122)

Desenvolvendo (2.122) resulta

' pq p q I p q II p q IIIa a a a a a= + +1 1 2 2 3 3 (2.123)

2.1.8 - Tenses tangenciais mximas e mnimas

Nas consideraes que se seguem, o vector tenso numa faceta de normal $n designado apenas por

rt

( )r rt tn$ = (2.124)

O vector tenso (rt ) pode ser considerado como a soma de um vector normal faceta

(r ) com um vector tangente faceta ( r ) (ver Fig. 2.14)

r r rt = + (2.125)

2.26

n

P

t

t

Fig. 2.14 - Decomposio do vector tenso rt nas suas componentes normal e tangencial.

A componente normal r obtm-se projectando o vector rt sobre o versor normal

faceta ( $n )

( )r r = =$ | $ $n t n n (2.126) A componente tangencial

r obtm-se com a seguinte expresso, que idntica a (2.125)

r r r = t (2.127)

Considere-se agora a seguinte simplificao de notao

t t22= r (2.128)

2 2= r (2.129)

2 2= r (2.130)

Atendendo ao facto de r ser perpendicular a r , pode-se escrever a seguinte equao,

que relaciona as grandezas dos vectores indicados na Fig. 2.14 (teorema de Pitgoras)

t 2 2 2= + (2.131)

As expresses apresentadas nesta seco at este ponto so genricas. As consideraes que se seguem apenas so vlidas se o referencial utilizado for o referencial principal ( $nI $nII $nIII ).

2.27

Considere-se uma faceta cujo versor $n possui componentes ( )n n n1 2 3, , no referencial principal. De acordo com (2.120), o vector tenso nesta faceta apresenta as seguintes componentes no referencial principal

( )rt n n nI II III= 1 2 3, , (2.132) A norma de

rt

( ) ( ) ( )t t n n nI II III= = + +r 1 2 2 2 3 2 (2.133) Elevando ambos os membros ao quadrado resulta

t n n nI II III2 2

12 2

22 2

32= + + (2.134)

A grandeza da componente normal ( ) pode ser calculada do seguinte modo = rt n| $ (2.135)

( ) ( ) = I II IIIn n n n n n1 2 3 1 2 3, , | , , (2.136) = + +I II IIIn n n12 22 32 (2.137)

Atendendo a (2.131) tem-se

2 2 2= t (2.138)

Substituindo (2.134) e (2.137) em (2.138) resulta

( ) 2 2 12 2 22 2 32 12 22 32 2= + + + +I II III I II IIIn n n n n n (2.139) Vai-se agora proceder ao clculo dos valores mnimos e mximos de 2 . Devido ao facto de ser sempre considerado positivo ou nulo, os mnimos e mximos de 2 coincidem com os mnimos e mximos de . Interessa conhecer tambm as facetas em que esses mnimos ou mximos ocorrem. Para calcular estas grandezas, formula-se o seguinte programa matemtico

Minimizar ou Maximizar

sujeito a

n

2

1$ = (2.140)

A soluo de (2.140) um ponto estacionrio do Lagrangeano L, cuja expresso a seguinte

2.28

( )L n n n= + + + 2 12 22 32 1 (2.141) Substituindo (2.139) em (2.141) obtm-se

( ) ( )L n n n n n n n n nI II III I II III= + + + + + + + 2 12 2 22 2 32 12 22 32 2 12 22 32 1 (2.142) Os pontos estacionrios do Lagrangeano L so as solues do seguinte sistema de quatro equaes no lineares a quatro incgnitas ( n1 , n2 , n3 e ). Supe-se que os valores das tenses principais ( I , II e III ) so conhecidos.

( ) Ln n n n n n nI I II III I1 2 1 12 22 32 1 10 2 2 2 2 0= + + + = (2.143) ( ) Ln n n n n n nII I II III II2 2 2 12 22 32 2 20 2 2 2 2 0= + + + = (2.144) ( ) Ln n n n n n nIII I II III III3 2 3 12 22 32 3 30 2 2 2 2 0= + + + = (2.145)

Ln n n= + + =0 1 012 22 32 (2.146)

Simplificando estas expresses, resulta

( )[ ]n n n nI I II III I1 2 12 22 322 0 + + + = (2.147) ( )[ ]n n n nII I II III II2 2 12 22 322 0 + + + = (2.148) ( )[ ]n n n nIII I II III III3 2 12 22 322 0 + + + = (2.149) n n n1

222

32 1+ + = (2.150)

O sistema de equaes (2.147)-(2.150) apresenta diversas solues. Pode-se verificar facilmente que as solues que so em seguida apresentadas satisfazem as quatro equaes, sendo portanto mnimos ou mximos de . Nota: omitem-se os versores de sentido oposto porque se referem mesma faceta.

1 Conjunto de solues:

( )$ , ,n= 1 0 0 ou ( )$ , ,n= 0 1 0 ou ( )$ , ,n= 0 0 1 = 0 (2.151)

2.29

Esta concluso evidente, porque os versores (2.151) coincidem com os versores das direces principais. Nas facetas principais a tenso paralela ao versor $n , sendo nula a componente tangencial da tenso (ver Fig. 2.14). Nas facetas em que nulo a tenso tangencial assume o seu valor mnimo (Nota: sempre maior ou igual a zero).

2 Conjunto de solues:

a) $ , ,nA =

12

12

0 ou $ , ,nB =

12

12

0 AB I II= 2 (2.152)

b) $ , ,nC = 0

12

12

ou $ , ,nD = 0

12

12

CD II III= 2 (2.153)

c) $ , ,nE =

12

012

ou $ , ,nF =

12

012

EF I III= 2 (2.154)

Tratam-se de facetas que so paralelas a uma das direces principais e fazem 45 com as outras duas (ver Fig. 2.15).

nIII

nI

nII

45

45

nIII

nI

nII

4545

nIII

nI

nII

4545A

BD

F EC

a) b) c)

Fig. 2.15 - 2 Conjunto de solues do sistema de equaes no lineares.

A tenso tangencial mxima o maior dos trs valores indicados em (2.152)-(2.154)

( ) max max , ,= AB CD EF (2.155) Se as tenses principais estiverem ordenadas, i.e., I II III , o valor da tenso tangencial mxima pode ser calculado com a seguinte expresso

max = I III2 (2.156)

2.30

As facetas em que esta tenso tangencial ocorre so as facetas E e F da Fig. 2.15c.

Vai-se agora proceder ao clculo da grandeza da tenso normal que ocorre nas facetas em que a tenso tangencial mxima. Atendendo a (2.132) e (2.154), tem-se

( )rt n n nI II III= 1 2 3, , (2.157) $ , ,nE =

12

012

(2.158)

rt I III=

2

02

, , (2.159)

Atendendo a (2.135)

E E I IIIt n= = +r | $ 2 (2.160)

De um modo semelhante se concluiria que

F F I IIIt n= = +r | $ 2 (2.161)

Assim se conclui que a grandeza da tenso normal que ocorre nas facetas em que a grandeza da tenso tangencial mxima (facetas E e F)

max =+I III2

(2.162)

3 Conjunto de solues:

Trata-se de um caso particular em que se verifica o seguinte

I II III= (2.163)

Nestas circunstncias, todos os versores $n que verificam as seguintes condies correspondem a facetas em que mximo.

n nn12

22

3

1 21 2

+ ==

/

/ = = max I III II III2 2 (2.164)

Na Fig. 2.16 encontra-se representada uma superfcie cnica que tangente a todas as facetas cujo versor normal verifica (2.164).

2.31

nIII

nI

nII

45

I II III

Fig. 2.16 - Superfcie cnica tangente a todas as facetas cujo versor normal verifica (2.164).

Os casos particulares II III I= e I III II= so semelhantes ao anteriormente exposto. Para obter as respectivas concluses, suficiente efectuar uma circulao de ndices.

4 Conjunto de solues:

Trata-se de um caso particular em que se verifica o seguinte

I II III= = (2.165)

Nestas circunstncias:

- todas as direces so principais;

- todas as facetas so principais;

- em todas as facetas a tenso tangencial nula;

- em todas as facetas a grandeza da tenso normal = = =I II III ;

- trata-se de um estado de tenso hidrosttico ou isotrpico.

Este estado de tenso o que ocorre no interior de um fluido em repouso (por este motivo se designa hidrosttico). O significado de isotrpico o de "igual em todas as direces".

2.32

2.1.9 - Circunferncias de Mohr

Apresenta-se em primeiro lugar a equao de uma circunferncia cujo centro se encontra sobre o eixo x (ver Fig. 2.17)

R

C

x

y

( x , y )

C

x

y

Fig. 2.17 - Circunferncia com o centro sobre o eixo x.

Os pontos ( )x y, que se encontram sobre a circunferncia obedecem seguinte condio (teorema de Pitgoras)

( )R y x C2 2 2= + (2.166) Os valores de y2 obtm-se com a seguinte expresso

( )y R x C2 2 2= (2.167) Considere-se agora um estado de tenso cujas tenses principais so I , II e III . No caso de todas as tenses principais serem distintas e de se encontrarem ordenadas por ordem decrescente, tem-se

I II III> > (2.168) Considere-se um versor $n com componentes ( n1 , n2 , n3 ) no referencial principal. Na faceta de normal $n a tenso normal e a tenso tangencial . Atendendo s equaes (2.131), (2.134) e (2.137) e ao facto de o versor $n apresentar norma unitria, possvel escrever o seguinte sistema de trs equaes

n n n12

22

32 1+ + = (2.169)

2.33

I II IIIn n n12 22 32+ + = (2.170) I II IIIn n n2 12 2 22 2 32 2 2+ + = + (2.171) Supondo que todas as grandezas so conhecidas com excepo de n1 , n2 e n3 ,

possvel formular matricialmente o seguinte sistema de trs equaes lineares a trs incgnitas ( n1

2 , n22 e n3

2 )

1 1 1 1

2 2 2

12

22

32 2 2

I II III

I II III

n