CCOORRNNEELLIIUU BBĂĂLLAANN

MMEECCAANNIICCAA FFLLUUIIDDEELLOORR PPEENNTTRRUU FFIILLOOSSOOFFII ssccrriissăă ddee uunn iinnggiinneerr

2

3

MMEECCAANNIICCAA FFLLUUIIDDEELLOORR

PPEENNTTRRUU FFIILLOOSSOOFFII

ssccrriissăă ddee uunn iinnggiinneerr

ddee CCOORRNNEELLIIUU BBĂĂLLAANN

CCuuvvâânntt--îînnaaiinnttee ddee MMIIRRCCEEAA FFLLOONNTTAA

EEddiittuurraa PPOOLLIITTEEHHNNIICCAA PPRREESSSS

BBuuccuurreeşşttii,, 22001122

4

Copyright@ Politehnica Press, 2012

Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate autorului.

RReeffeerreenntt şşttiiiinnţţiiffiicc:: PPrrooff.. uunniivv.. ddrr.. iinngg.. SStteerriiaann DDĂĂNNĂĂIILLĂĂ

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României BĂLAN, CORNELIU Mecanica fluidelor pentru filosofi : scrisă de un inginer /

Corneliu Bălan. - Bucureşti : Politehnica Press, 2012 ISBN 978-606-515-399-8

531 532.135

Coperta: Adriana BUTMĂLAI

Bun de tipar: 10.05.2012

ISBN: 978-606-515-399-8

5

CCUUPPRRIINNSS

PPrreeaammbbuull .................................................................................................................................................................................................................................... 1133

11.. CCoonncceeppttuull ddee fflluuiidd dduuppăă WWiittttggeennsstteeiinn –– cceerrttiittuuddiinnee?? .................................. 1177

22.. MMeettooddaa şşttiiiinnţţiiffiiccăă şşii nneevvooiiaa ddee pprreessuuppoozziiţţiiee llaa CCoolllliinnggwwoooodd ........................................................................................................................................................................ 2244

33.. EEcchhiilliibbrruull ddee llaa AArriissttootteell llaa SSttookkeess,, vviiaa NNeewwttoonn –– vviizziiuunneeaa TToouullmmiinn ........................................................................................................................................................................ 3311

44.. TTeennssoorruull tteennssiiuunnee ccaa ppaarraaddiiggmmăă aa mmeeccaanniicciiii mmeeddiiiilloorr ccoonnttiinnuuee,, dduuppăă oo iiddeeee ddee CCaauucchhyy,, TTrruueessddeellll şşii KKuuhhnn ................................................................................ 4400

55.. EEccuuaaţţiiaa ddee mmiişşccaarree –– iinneerrţţiiaa lluuii KKooyyrréé,, ppeerrsseevveerreennţţaa lluuii BBllaaggaa,, şşii nnuu îînn uullttiimmuull rrâânndd LLeeggiillee lluuii NNeewwttoonn ................................................................................ 4477

IInntteerrlluuddiiuu:: AAmmiinnttiinndduu--mmii ddee TTrruueessddeellll ........................................................................................................ 5577

66.. CCoommpplleemmeennttaarriittaatteeaa llaa NNiieellss BBoohhrr:: tteennssiiuunneeaa ssuuppeerrffiicciiaallăă şşii eeccuuaaţţiiaa lluuii SScchhrrööddiinnggeerr .......................................................................................................................................... 5599

77.. NNeevvooiiaa ddee aa îînnţţeelleeggee rreeaalliittaatteeaa –– vviizzuuaalliizzaarreeaa mmiişşccăărriiii fflluuiiddeelloorr:: îînnttrree HH..SS.. HHeellee--SShhaaww,, LL.. PPrraannddttll,, GG.. II.. TTaayylloorr şşii AAllbbeerrtt EEiinnsstteeiinn ((ffiizziicciiaann)) .......................................................................................................................................... 7722

88.. TTuurrbbuulleennţţaa –– oo vveeşşnniiccăă iinncceerrttiittuuddiinnee ((WWeerrnneerr HHeeiisseennbbeerrgg)) .......... 8899

99.. EExxiissttăă rraaţţiiuunnee şşttiiiinnţţiiffiiccăă ffăărrăă ppeerrssppeeccttiivvăă ffiilloossooffiiccăă?? ((MMiirrcceeaa FFlloonnttaa)) .................................................................................................................................................................... 110055

EEppiilloogg:: ŞŞccooaallaa îînn ssppiirriitt ddiissccuuţţiiii ddee sseeaarrăă nnoorrddiiccăă .................................................................. 111177

6

7

CCUUVVÂÂNNTT--ÎÎNNAAIINNTTEE

De când cercetarea ştiinţifică beneficiază de o poziţie recunoscută în

cultura şi civilizaţia lumii moderne occidentale, ea a devenit obiectul mai

multor discursuri. Putem distinge astfel discursul celui care practică

cercetarea, discursul istoricului şi discursul filosofului. Nu numai legitimitatea,

dar şi autonomia preocupărilor pentru reconstituirea trecutului unui anumit

domeniu al cercetării ştiinţifice, ca şi a preocupărilor istorice în general, sunt

larg acceptate. În cazul reflecţiei asupra unor subiecte cum ar fi natura

cunoaşterii ştiinţifice, locul acesteia în universul cunoaşterii omeneşti şi

relaţia sa cu alte configuraţii ale culturii, factorii care îi condiţionează succesul,

limitele gândirii de tip ştiinţific s-a pus şi se mai pune încă întrebarea dacă ea

este, în primul rând, de competenţa oamenilor activi în cercetarea ştiinţifică

sau a celor care se îndeletnicesc în mod profesional cu filosofia. Pe de o parte,

sunt mai bine sau mai puţin bine cunoscute reflecţiile asupra cunoaşterii

ştiinţifice ale unor mari cercetători ai naturii cum au fost Ernat Mach,

Max Planck, Henri Poincaré, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg.

Pe de altă parte, începând cu opera de pionierat a unor autori din secolul

al XIX-lea ca William Whewell, Auguste Comte sau John Stuart Mill,

preocupările filosofilor pentru analiza cunoaşterii ştiinţifice au devenit deja

din secolul trecut, prin contribuţii cum au fost cele ale lui Carl G. Hempel,

Karl R. Popper sau Thomas S. Kuhn, un domeniu înfloritor al cercetării

filosofice instituţionalizate. În mod firesc, atât cercetătorii ştiinţifici cât şi

oameni instruiţi interesaţi de asemenea reflecţii se pot întreba care este

discursul cel mai autorizat.

8

Raporturile dintre cei ce produc aceste două tipuri de literatură asupra

cunoaşterii ştiinţifice nu au fost şi nu sunt nici astăzi deosebit de cordiale.

Nota lor dominantă nu este cea de înţelegere şi apreciere reciprocă.

Cercetătorii naturii care se apleacă asupra cunoaşterii ştiinţifice cu interes

filosofic le reproşează adeseori filosofilor ştiinţei caracterul abstract al

analizelor lor, şi mai ales sterilitatea, lipsa de relevanţă a acestor analize

pentru orientarea cercetării ştiinţifice fundamentale. Ei sugerează că este greu

să spui lucruri cu adevărat importante despre o activitate pe care nu ai

practicat-o, o activitate despre care îţi poţi face, în cel mai bun caz, o imagine

din surse indirecte. Într-un capitol intitulat Împotriva filosofiei din cartea sa

relativ recentă Visul unei teorii finale, cunoscutul fizician atomist american

Steven Weinberg formulează multe comentarii acide la adresa filosofiei

ştiinţei făcute de profesioniştii filosofiei. În cel mai bun caz, scrie el, ea

reprezintă “un comentariu agreabil despre istoria şi descoperirile ştiinţei. Dar

nici nu trebuie să ne aşteptăm ca filosofia ştiinţei să ofere oamenilor de ştiinţă

din zilele noastre o îndrumare utilă privind calea de urmat în cercetare sau a

rezultatelor la care este probabil să ajungă”. Weinberg adaugă că nu cunoaşte

pe nimeni dintre “participanţii activi la progresul fizicii în perioada postbelică

ale cărui cercetări să fi fost semnificativ influenţate de lucrările filosofilor”.

Aceasta nu este o poziţie singulară. Scepticismul cu privire la contribuţia pe

care o pot aduce filosofi care se apleacă asupra ştiinţei la progresul efectiv al

cunoaşterii era larg răspândită şi în generaţiile anterioare de cercetători ai

naturii. Într-un articol scris în deceniul patru al secolului trecut, Albert

Einstein nota: “Într-o epocă cum este a noastră, când experienţa ne obligă să

căutăm o bază nouă, mai solidă, fizicianul nu poate pur şi simplu să lase pe

seama filosofiei examinarea critică a fundamentelor teoretice, căci numai el

cunoaşte şi simte cel mai bine punctul nevralgic”.

De obicei, filosofii ştiinţei adoptă o poziţie mai defensivă. Legitimitatea

preocupărilor lor este justificată prin aportul acestora la o mai bună înţelegere

a naturii cunoaşterii ştiinţifice şi a semnificaţiei generale a rezultatelor ei din

punctul de vedere al intereselor şi preocupărilor de ordin filosofic ale minţii

omeneşti. Dat fiind că eforturile oamenilor de ştiinţă sunt consacrate, în

primul rând, cercetării propriu-zise şi ţinând seama de particularităţile

educaţiei acestora, ei nu ar fi în măsură să urmărească până la capăt clarificări

care sunt esenţiale din punct de vedere filosofic. Iată ce scria, în acest sens,

9

într-o lucrare programatică intitulată The Rise of Scientific Philosophy,

americanul de origine germană Hans Reichenbach: “Cercetarea ştiinţifică nu

lasă practicianului ei destul timp pentru a se îndeletnici cu analiza logică, şi

invers analiza logică cere atât de multă concentrare încât nu mai rămâne

destul timp pentru munca ştiinţifică. În afară de asta, acest gen de concentrare

poate frâna, în anumite condiţii, productivitatea ştiinţifică deoarece ea este

orientată mai mult spre clarificare decât spre descoperire. Filosoful care se

îndeletniceşte în mod profesional cu analiza ştiinţelor naturii, reprezintă

produsul acestei evoluţii.” Mulţi filosofi ai ştiinţei împărtăşesc, până astăzi, o

asemenea caracterizare a situaţiei.

Un sâmbure de adevăr există, fără îndoială, în aprecierile ambelor

părţi. Important mi se pare să nu pierdem din vedere că cele două discursuri

se acoperă doar parţial. În centrul interesului filosofului ştiinţei stau clarificări

de ordin principial în timp ce omul de ştiinţă care filosofează este în primul

rând preocupat de orientarea cercetării. Nu sunt însă lipsite de importanţă,

după părerea mea, şi alte observaţii. Literatura consacrată analizei cunoaşterii

ştiinţifice scrisă de specialişti marcanţi în domenii ca matematicile, fizica

teoretică, biologia moleculară, genetica, biologia evoluţiei, neuroştiinţele şi

ştiinţele cognitive nu epuizează spectrul problematicii filosofice a cercetării

ştiinţifice. Cu toate acestea, constatăm că până astăzi unor asemenea domenii

le-au fost consacrate cvasitotalitatea scrierilor de popularizare ale

cercetătorilor activi. În multe alte domenii ale cercetării, survin episoade în

care sunt în competiţie abordări diferite, se confruntă puncte de vedere

divergente privitoare la orientarea cercetării. Deoarece această confruntare

afectează în mai mică măsură imaginea de ansamblu asupra lumii şi asupra

noastră ca fiinţe omeneşti ea poate deveni mai greu obiectul unor publicaţii de

largă audienţă. Pe de altă parte, problematica filosofică a unor domenii

pronunţat tehnice ale cercetării ştiinţifice răzbate greu în publicaţiile de

specialitate. Acestea acordă o largă prioritate comunicării rezultatelor

cercetării propriu-zise. Ca şi în tratatele şi manualele fiecărui domeniu al

cercetării, accentul va cădea pe ceea ce este susţinut de consensul ferm al

comunităţii profesionale. Or teritoriul problematicii filosofice este, prin

excelenţă, teritoriul a ceea ce este problematic, a ceea ce îi poate despărţi pe

cercetătorii performanţi şi de bună credinţă. Iată de ce discuţiile asupra

acestei problematici, puţin reflectate în publicaţiile de specialitate, se consumă

10

de obicei în contacte informale ale unor grupuri restrânse. Ele nu devin

accesibile nici măcar cercurilor mai largi ale comunităţii ştiinţifice. Se mai

poate observa că cele mai multe lucrări cu profil filosofic scrise de cercetători

sunt consacrate unor perioade de prefaceri profunde în fundamentele

disciplinei lor. Mai puţin este reflectată şi tematizată practica normală a

cercetării, acea activitate în care sunt angrenaţi aproape tot timpul marea

majoritate a oamenilor de ştiinţă. Şi evident calificaţi să ne spună ceva în

această privinţă sunt doar practicienii cercetării.

Cred că cei care vor fi de acord cu cel puţin unele din aceste

consideraţii, vor recunoaşte că, atât pentru orientarea noilor generaţii de

cercetători, cât şi pentru formarea unei imagini cât mai fidele şi mai

cuprinzătoare asupra cercetării ştiinţifice a publicului larg, este bine-venită

diversificarea profilului scrierilor dedicate exprimării punctelor de vedere ale

cercetătorilor activi asupra problematicii cunoaşterii ştiinţifice. Ei vor avea

toate motivele să întâmpine cu interes această lucrare a unui profesor de

mecanica fluidelor care discută, pe largi porţiuni, probleme speciale ale unui

domeniu de cercetare, pe care însă autorul ei insistă să o prezinte drept o

lucrare de filosofia ştiinţei. Ceea ce conduce, în mod firesc, la întrebarea:

Ce este filosofia ştiinţei?

Răspunsul lipsit de orice echivoc pe care îl primim este că filosofia

ştiinţei reprezintă ceea ce fac practicienii autentici ai cercetării atunci când îşi

pun întrebări de interes principial cu privire la natura şi orientarea activităţii

lor. Profesioniştii filosofiei, cei care nu au experienţa cercetării, pot să

contribuie doar la educaţia viitorilor oameni de ştiinţă; iată o formulare din

Preambulul prezentei cărţi: “un filosof nu se poate transforma într-un filosof al

ştiinţei, dar prezenţa sa activă în sistemul educaţional este indispensabilă

formării filosofilor ştiinţei”.

Acest punct de vedere, deosebit de radical, poate fi înţeles dacă

acceptăm supoziţia că obiectul principal al filosofiei ştiinţei este să orienteze

în mod fertil cercetarea dintr-un domeniu, să o facă mai eficientă, să

contribuie în acest fel în mod direct la progresul cunoaşterii. La realizarea

acestui obiectiv pot participa, evident, doar cei care au experienţa cercetării

efective şi cunosc îndeaproape situaţiile problematice relevante. Dacă ne

punem de acord în această privinţă va fi, totodată, important de subliniat că în

formarea orizontului filosofic al acestora familiarizarea cu preocupările

11

filosofilor profesionişti ai ştiinţei şi interacţiunea cu aceştia pot contribui în

diferite moduri. Ceea ce probează şi lucrarea de faţă. Ea citează de mai multe

ori publicaţii ale unor filosofi ai ştiinţei. Însăşi scrierea cărţii a fost stimulată

de participarea autorului la un seminar cu masteranzii pe o temă de istoria şi

filosofia ştiinţei, iar structurarea ei pe capitole urmează texte scrise, în cele

mai multe cazuri, de autori care s-au consacrat filosofiei, şi nu cercetării

ştiinţifice (L. Wittgenstein, R. C. Collingwood, St. Toulmin, Al. Koyré, L. Blaga)

chiar dacă unii dintre ei beneficiaseră şi de o pregătire ştiinţifică. Ceea ce

constituie o recunoaştere semnificativă a aportului unor distincţii şi corelaţii

conceptuale elaborate de filosofi la clarificarea problematicii cercetării

ştiinţifice specializate. În această ordine de idei, mă simt tentat să răspund

uneia dintre întrebările pe care şi le pune autorul: “Poate un critic de artă să

devină remarcabil fără să fie el însuşi un artist creator autentic?” Semnificaţia

acestei întrebări pentru abordarea relaţiei dintre creatorul de ştiinţă şi

filosoful angajat în analiza cunoaşterii ştiinţifice nu va putea scăpa. Răspunsul

meu este că specialistul în critica de artă poate şi el să fie remarcabil, nu în mai

mică măsură decât un creator de artă. Numai că în alt fel, adică în raport cu

alte cerinţe, standarde şi criterii de excelenţă. Ştim doar că excelenţa

producţiei ştiinţifice a unui cercetător nu asigură şi excelenţa lui ca filosof al

ştiinţei. Nu fiecare mare descoperitor care reflectează asupra ştiinţei se va

putea ridica la nivelul unui Poincaré, Einstein sau Bohr!

Nu-l pot judeca pe autorul nostru ca cercetător. Am însă impresia că

multe din reflecţiile sale de ordin conceptual şi metodologic, formulate pe

baza examinării unor episoade semnificative pentru dezvoltarea cercetărilor

de mecanica fluidelor, vor apărea incitante îndeosebi celor care au unele

gânduri proprii referitoare la problemele pe care le discută. Iată de ce cred că

ar fi de dorit ca specialiştii implicaţi activ în cercetări de mecanica fluidelor şi

oamenii de ştiinţă interesaţi de acest domeniu să citească cartea profesorului

Corneliu Bălan. Şi că ar fi de sperat ca ea să fie parcursă şi de cititori din afara

acestor cercuri.

Septembrie 2011 Mircea Flonta

12

13

PPRREEAAMMBBUULL

Ideea unei astfel de cărţi a zăcut latent ani buni în programul meu

editorial fiind activată de întâlnirea cu profesorul Mircea Flonta în toamna

anului 2010. Această lucrare îi este dedicată.

Cursul Tipuri istorice de ştiinţă pe care l-am urmat în cadrul

programului de masterat al Universităţii Bucureşti – Istoria şi Filosofia Ştiinţei

a creat cadrul propice transformării unor presupoziţii în certitudine: filosofia

oamenilor de ştiinţă remarcabili aduce flavour-ul necesar transformării

inginerului într-un cercetător performant. Filosofia ştiinţei trebuie făcută de

filosofi pentru oamenii de ştiinţă aleşi să devină filosofi ai ştiinţei. Un filosof nu

se poate transforma într-un filosof al ştiinţei, dar prezenţa sa activă în

sistemul educaţional ştiinţific este indispensabilă formării filosofilor ştiinţei.

Mecanica fluidelor pentru filosofi scrisă de un inginer este structurată

plecând de la programa cursului, cuprinsul respectând strict ordinea de studiu

şi tematica impuse masteranzilor de profesorul Flonta (v. documentul ataşat).

Asumarea acestei auto-constrângeri este ideea directoare a cărţii. Dacă

bibliogafia primită în prima oră de curs era diferită, aş fi produs o altă carte de

mecanica fluidelor... chiar dacă ordinea capitolelor “ştiinţifice” ar fi fost

păstrată. Dacă filosofia la Platon era primul subiect studiat defineam fluidul

după Platon!

Aşa a trebuit să încep cu Wittgenstein... despre care în octombrie 2010

ştiam următoarele trei lucruri (fără să fi citit nimic scris el): (i) “s-a ocupat”

de logica limbajului, (ii) era excentric (ca şi Russell, pe care însă îl citisem în

tinereţea mea), (iii) că se fac “asociaţii biografice” între el şi Hitler... în timp ce

a existat o anumită relaţie a familiei Wittgenstein cu Ravel.

Până acum nu am descoperit un interes special în opera lui

Wittgenstein filosoful, dar sunt fascinat de evoluţia sa până la apariţia

vestitului Tractatus. În particular, conexiunea destinului la tinereţe al lui

Wittgenstein cu mecanica fluidelor, în contextul istoric al primelor decenii din

secolul XX, a declanşat scrierea acestei cărţi.

14

Fiecare capitol al cărţii începe cu o viziune personală a textului propus

spre analiză masteranzilor şi se continuă cu o tematică de mecanica fluidelor

sugerată de acesta. Dificultatea principală a constat în respectarea unei ordini

naturale şi logice în prezentarea conceptelor din mecanica fluidelor, simultan

cu parcurgerea lecturilor impuse de profesorul Flonta. Evident, într-un curs de

mecanica fluidelor nu se poate introduce conceptul de mişcare turbulentă

înainte de a defini tensorul tensiune sau o curgere laminară!

Mă întreb dacă este logic pentru un curs de filosofia ştiinţei ca textele

lui Heisenberg să fie analizate/studiate înaintea scrierilor lui Kuhn ....

Singura excepţie pe care am făcut-o de la această regulă draconică

(autoimpusă) a fost inversarea ordinii ultimelor două tematici studiate la

masteratul de filosofia ştiinţei şi intercalarea între Bohr şi Heisenberg a unui

capitol dedicat vizualizării mişcării fluidelor.

Interludiu a fost scris de autor pentru autor... nu puteam continua

altfel!

Capitolele se deschid cu un Motto inspirat de lucrările personalităţilor,

filosofi sau oameni de ştiinţă, cărora acesta le este dedicat; textul respectiv

este o judecată ce îmi aparţine. Materialul grafic prezentat este aproape în

totalitate original, unele dintre fotografii fiind însă preluate din paginile web

cu acces liber (menţionate în textul ataşat figurii).

Traducerea textelor din literatura citată în subsolul paginilor este

personală, fiind în anumite situaţii mai mult o interpretare decât o traducere

mot-a-mot (în acest ultim caz autorul textului este clar menţionat).

În această privinţă, exemplul cel mai relevant sunt chiar textele din

primul capitol, respectiv interpretările pe care le-am dat judecăţilor lui

Wittgenstein din lucrarea Despre certitudine1, numerele 83, 96, 505, 672

(în total scrierea menţionată cuprinde 676 de judecăţi).

În continuare prezint textul în limba engleză, traducerea publicată la

Humanitas în 2005 (marcată specific) şi interpretarea mea (caractere italice).

8833.. TThhee ttrruutthh ooff cceerrttaaiinn eemmppiirriiccaall pprrooppoossiittiioonnss bbeelloonnggss ttoo oouurr ffrraammee ooff

rreeffeerreennccee..

„Adevărul anumitor propoziţii de experienţă ţine de sistemul nostru

de referinţă.”

AAddeevvăărruull uunneeii cceerrttiittuuddiinnii eemmppiirriiccee aappaarrţţiinnee iinnttrriinnsseecc ssiisstteemmuulluuii

nnoossttrruu rreeffeerreennţţiiaall..

9966.. IItt mmiigghhtt bbee iimmaaggiinneedd tthhaatt ssoommee pprrooppoossiittiioonnss,, ooff tthhee ffoorrmm ooff eemmppiirriiccaall

pprrooppoossiittiioonnss,, wweerree hhaarrddeenneedd aanndd ffuunnccttiioonneedd aass cchhaannnneellss ffoorr ssuucchh eemmppiirriiccaall

pprrooppoossiittiioonnss aass wweerree nnoott hhaarrddeenneedd bbuutt fflluuiidd;; aanndd tthhaatt tthhiiss rreellaattiioonn aalltteerreedd wwiitthh

ttiimmee,, iinn tthhaatt fflluuiidd pprrooppoossiittiioonnss hhaarrddeenneedd,, aanndd hhaarrdd oonneess bbeeccaammee fflluuiidd..

15

„Ne-am putea imagina că anumite propoziţii care au forma unor

propoziţii de experienţă au împietrit şi au funcţionat ca o conductă pentru

propoziţiile de experienţă neîmpietrite, curgătoare; şi că în timp această

relaţie s-a modificat, propoziţii curgătoare împietrindu-se, iar propoziţii solide

devenind fluide.”

NNee ppuutteemm iimmaaggiinnaa uunn fflluuiidd ccuurrggâânndd pprriinnttrr--uunn ccaannaall;; îînn ttiimmpp,, eessttee

ppoossiibbiill ccaa rreellaaţţiiaa ddiinnttrree cceellee ddoouuăă ssuubbssttaannţţee,, rrăămmaassee îînn ccoonnttaacctt,, ssăă ssee

iinnvveerrsseezzee:: mmaatteerriiaalluull ccaannaalluulluuii,, ddeevveenniitt fflluuiidd,, ssăă ssee ddeeffoorrmmeezzee îînn jjuurruull

fflluuiidduulluuii iinniiţţiiaall,, ttrraannssffoorrmmaatt aaccuumm îînn ssoolliidd..

550055.. IItt iiss aallwwaayyss bbyy ffaavvoorr ooff NNaattuurree tthhaatt oonnee kknnoowwss ssoommeetthhiinngg..

„Este întotdeauna o favoare a naturii când se ştie ceva”.

ÎÎnnttoottddeeaauunnaa NNAATTUURRAA ffaaccee ffaavvooaarreeaa uunnuuiiaa ddiinnttrree nnooii ddee aa şşttii CCEEVVAA..

667722.. IIff II ddoonn’’tt ttrruusstt tthhiiss eevviiddeennccee wwhhyy sshhoouulldd II ttrruusstt aannyy eevviiddeennccee??

„Dacă nu am încredere în această dovadă, de ce ar trebui atunci să mă

mai încred în vreo dovadă?”

DDaaccăă nnuu ccrreedd aacceeaassttăă eevviiddeennţţăă,, ddee ccee aaşş ccrreeddee oo aallttaa??

Sigur, libertatea de interpretare a unui text provenit dintr-o limbă

străină este discutabilă. Contextul acestei lucrări este însă special ...

Voi reveni cu un Epilog.

AAcceeeeaaşşii ffeerreeaassttrrăă nnee ppooaattee ddeesscchhiiddee ssppiirriittuull şşii mmiinntteeaa sspprree lluummii ddiiffeerriittee......

sseennssuull pprriivviirriiii şşii aattiittuuddiinneeaa ffaacc ddiiffeerreennţţaa ((MMuuzzeeuull UUnniivveerrssiittăăţţiiii SSttaannffoorrdd,, CCaalliiffoorrnniiaa))..

16

PPrrooggrraammuull ddee ssttuuddiiuu pprrooppuuss ddee pprrooffeessoorruull MMiirrcceeaa FFlloonnttaa,,

aannuull aaccaaddeemmiicc 22001100--22001111..

17

11. CCOONNCCEEPPTTUULL DDEE FFLLUUIIDD DDUUPPĂĂ WWIITTTTGGEENNSSTTEEIINN11 -- CCEERRTTIITTUUDDIINNEE??

MMoottttoo::

MMăă îînnddooiieesscc ddee ttooaattee,, ddeeccii nnuu eexxiisstt!!

dduuppăă WWiittttggeennsstteeiinn,, vviiaa DDeessccaarrtteess

Oare trebuie să caut o certitudine empirică, să dovedesc un

experiment irefutabil, să mă-ncred într-o paradigmă absolută, pentru a defini

univoc conceptul de fluid? Nu am niciun dubiu că aerul şi apa sunt fluide...

este de ajuns această apriorică credinţă pentru formularea judecăţii mele

într-un cadru ştiinţific?

83. Adevărul unei certitudini empirice aparţine intrinsec sistemului

nostru referenţial.

De câte ori răsuflarea ta nu mi-a mângâiat privirea. Ploaia uda des

fereastra dintre noi... sticla şi apa deveneau una fără să ştiu, fără să simt

trecerea discretă a clipelor. Totul este un continuum în transformare acolo

unde spaţiul nu găseşte forma şi timpul risipeşte în trecerea lui aşteptarea.

Numai gândul îmi rămâne alături: fluid, spumos, pătrunzător. Cum voi putea

şti dacă râul curge sau albia se mişcă fără să-mi stabilesc sistemul referenţial?

96. Ne putem imagina un fluid curgând printr-un canal; în timp, este

posibil ca relaţia dintre cele două substanţe, rămase în contact, să se

inverseze: materialul canalului, devenit fluid, să se deformeze în jurul

fluidului iniţial, transformat acum în solid.

Se pare că a defini un material drept fluid este numai o problemă de

observaţie temporală şi de răbdare: să aştept să curgă, să cuprindă spaţiul

aderând solidului... sau este de-ajuns evidenţa că materialul va curge în faţa lui

Dumnezeu (singurul care beneficiază de un timp infinit al observaţiei)?

1 Ludwig Josef Johann Wittgenstein (Viena, 1889 – Cambridge, 1951) On certainty (Űber Gewissheit), edit G.E.M. Anscombe and G.H. von Wright, Oxford 1969-1975. Despre certitudine (2005), traducere I. Giurgea şi M. Flonta, Humanitas, Bucureşti. Traducerea (mai bine spus interpretarea) textelor din acest capitol îmi aparţine fiind realizată după ediţiile publicate în limba engleză (v. PPrreeaammbbuull).

18

505. Întotdeauna NATURA face favoarea unuia dintre noi de a şti

CEVA.

672. Dacă nu cred această evidenţă, de ce aş crede o alta?

Să admitem deci că există cel puţin o EVIDENŢĂ... şi postulăm că

existenţa fluidului este o astfel de evidenţă, independentă de referenţialul faţă

de care raportăm realitatea.

Fluidul este un model de reprezentare a materiei la scară spaţială

macroscopică, bazat pe conceptul de continuum deformabil. Evident fluidul

este o noţiune abstractă având în vedere că structura materiei este intrinsec

discretă, fiind formată din particule, atomi şi molecule.

Cu siguranţă tânărul Wittgensteain a încercat să înţeleagă dualismul

continuu – discret, respectiv câmp – particulă, din definţia fluidului. Marcat de

teoria cinetică a gazelor şi termodinamica lui Ludwig Boltzmann (1844-1906),

şi de sfârşitul tragic al acestuia, poate şi de disputele filosofice din societatea

ştiinţifică vieneză la început de secol XX (generate în special de Ernst Mach),

Wittgenstein a fost format ştiinţific de ideile lui Heinrich Rudolf Hertz (1857-

1894), publicate în lucrarea Principiile mecanicii (v. www.archive.org).

Plecând de la reprezentarea proceselor fizice propusă de Helmholtz în

teoria simbolurilor (signs theory), Hertz (doctorand al lui Helmholtz) dezvoltă

teoria imaginii (Bild/picture theory) ca fundament comun pentru modelele

realităţii2.

2 Heidelberger M. (1998) From Helmholtz’s philosophy of science to Hertz’s picture

theory, in Heinrich Hertz: Classical physicist, modern philosopher, Edit. By Baird D. et al., Boston Studies in the Philosophy of Science vol. 198, Kluwer Academic Press, 9-24. Lűtzen J. (2005) Mechanistic images in geometric form: Heinrich Hertz’s principles of mechanics, Oxford University Press. Patton L. (2009) Signs, toy models, and the a priori: from Helmholtz to Wittgenstein, Studies in History and Philosophy of Science 40, 281-289.

19

Fenomenele fizice sunt conceptualizate şi vizualizate geometric prin

folosirea unui limbaj simbolic care generează imagini al căror suport este un

spaţiu abstract, în care este definită “distanţa” dintre două elemente.

Limitele limbajului meu sunt limitele lumii mele.3

L. Wittgenstein

Tot ce se poate transmite prin simboluri şi relaţii matematice

se poate spune prin cuvinte. Reciproca este însă falsă. Multe ce

se pot spune şi se spun prin cuvinte nu pot fi puse cu succes în

ecuaţii, pentru simplul motiv că rezultatul ar fi un nonsens.3

C. Truesdell

Imaginea creată de teoriile mecanice este bazată pe trei concepte

primare: (i) spaţiul tridimensional (poziţia spaţială – ), (ii) timpul – şi

(iii) masa – . Densitatea masică, , este asociată acestor trei elemente prin

relaţia:

( ) (x, )

(1.1)

Dacă densitatea masică este definită în orice punct spaţial din

domeniul (cu volumul ), ocupat la timpul de corpul material4 , iar

parametrii microscopici (mişcarea moleculelor, forţele intermoleculare etc.)

nu sunt direct observabili, atunci imaginea materiei respective este de mediu

continuu.

Aplicaţia bijectivă corp material – reper referenţial generează o

imagine spaţio-temporală sub forma unui domeniu în care fenomenele fizice

definesc câmpuri de proprietăţi (funcţii continue şi derivabile în spaţiu şi

timp) – (x, ): materiale (densitatea, viscozitatea, elasticitatea),

cinematice (viteza, vorticitatea, acceleraţia), dinamice (forţa, eforturile),

termodinamice (temperatura, entropia). Practic, toate aceste câmpuri sunt

reprezentări abstracte cu ajutorul cărora se descriu fenomenele fizice asociate

unui mediu continuu.

Imaginea geometrică (cinematică) a unui proces dinamic într-un

material fluid (mediu continuu) are la bază aplicaţia bijectivă – , stabilită la

fiecare moment între corpul material (compus din puncte materiale X) şi

domeniul spaţial (inclus în spaţiul euclidian al cărui element este ).

3 www.aphids.com 4 v. şi lucrarea: Heisenberg W. (1977) Transformări ale structurilor de gândire în progresul ştiinţei, în Paşi peste graniţe, Editura Politică, Bucureşti, 282-294.

20

Urmând raţionamentul pe linia Helmholtz – Hertz – Wittgenstein, se

poate enunţa un principiu al “certitudinii” (identităţii):

Sistemul referenţial spaţio-temporal folosit pentru realizarea unei

imagini a procesului dinamic trebuie să fie înzestrat cu o metrică

corespunzătoare materialului studiat (v. şi principiul Just setting enunţat de

Truesdell5).

Compatibilitatea scării observaţiei cu scara materialului conferă

teoriei şi modelului creat condiţiile necesare, dar nu şi suficiente, pentru o

reprezentare ştiinţific corectă şi coerentă a fenomenului din realitate.

În această lucrare, prin ( ) se va nota timpul prezent, prin

timpul variabil ( ), to un timp intermediar fixat, 0 timpul de referinţă,

0 to t. Simbolul t reprezintă configuraţia prezentă a corpului , iar o

configuraţie neprecizată; dacă 0, 0 defineşte configuraţia de referinţă

(iniţială); pentru to, to reprezintă configuraţia intermediară.

Fie

X (X, 0); X = (1.2)

şi

x (X, t); x = (1.3)

poziţiile spaţiale ale punctului material X în configuraţia de referinţă, respectiv

în configuraţia prezentă; X poartă numele de coordonată materială, iar x este

coordonata spaţială (x ), aplicaţia simbolizând procesul cinematic.

O altă posibilă imagine cinematică asupra procesului mecanic se

formează dacă configuraţia prezentă se consideră configuraţie de referinţă,

poziţia spaţială a punctului material la timpul trecut, t, exprimându-se

relativ la poziţia spaţială ocupată de acelaşi punct la timpul prezent t,

xt() t(x, ). (1.4)

Prin definiţie,

v(x, t) d

d t(x, ) t , a(x, t) 2

2

dξ

d t(x, ) t (1.5)

reprezintă câmpul vitezei, respectiv al acceleraţiei în domeniul , la timpul

prezent t.

5 Truesdell C., Toupin R. (1960) The classical field theories, in Handbuch der Physics III/1, Edit. Flűgge S., Springer, Berlin, p.701.

21

Viteza şi acceleraţia fiind mărimi vectoriale, sunt caracterizate în

referenţialul spaţial ales de trei componente, de exemplu:

v(x, t) = = (1.6)

(sumare după indicele „mut”), unde componentele de viteză sunt funcţii

continue de spaţiu (x = ) şi timpul t.

CCoonnffiigguurraaţţiiiillee ccoorrppuulluuii îînn pprroocceessuull cciinneemmaattiicc .. ÎÎnn ffiieeccaarree mmoommeenntt ccoorrppuull

vvaa ooccuuppaa ddoommeenniiuull ssppaaţţiiaall uunnddee XX rreepprreezziinnttăă ppaarrttiiccuullaa mmaatteerriiaallăă şşii xx (( )),,

xx == xx((tt)),, ppoozziiţţiiaa ssaa ssppaaţţiiaallăă llaa mmoommeennttuull pprreezzeenntt tt.. ÎÎnn ddoommeenniiuull ssppaaţţiiaall ,, ddeelliimmiittaatt ddee

eexxtteerriioorr pprriinn ssuupprraaffaaţţaa îînncchhiissăă ,, ffiieeccăărruuii ppuunncctt mmaatteerriiaall îîii ccoorreessppuunnddee uunn ppuunncctt

ssppaaţţiiaall ((şşii rreecciipprroocc)),, ddiissttaannţţaa ddiinnttrree ddoouuăă ppuunnccttee ssppaaţţiiaallee ffiiiinndd ccaallccuullaattăă ccoonnffoorrmm mmeettrriicciiii ddeeffiinniittee îînn ssppaaţţiiuull eeuucclliiddiiaann..

Fluidul este un mediu continuu care aderă la un corp solid, căpătând

forma acestuia. Este evident că această proprietate îşi are originea în structura

microscopică a materialului, respectiv în mărimea forţelor moleculare (cele

mai reprezentative fiind forţele van der Waals).

Este important să remarcăm că Heinrich Hertz a avut la începutul

carierei ştiinţifice o contribuţie remarcabilă în mecanica fluidelor prin

formularea legii de evaporare a lichidelor, respectiv a transformării fluidului

lichid în fluidul gazos, aşa-numita ecuaţie Hertz6-Knudsen7.

6 Hertz H. (1882) On the evaporation of liquids, especially mercury, in vacuo, Ann. Phys. (Leipzig), Vol. 17, p. 177. 7 Knudsen M. (1915) Maximum rate of vaporization of mercury, Ann. Phys. (Leipzig), Vol. 47, p. 697.

D

D(t)

/to /0

/t

X x

X

X

X

1

3

2

22

Ulterior, Wittgenstein a preluat teoria imaginii (Bild) dezvoltată de

Hertz pentru reprezentarea fenomenelor fizice şi a aplicat-o logicii descrierii

stărilor de lucruri în propoziţiile limbajului8.

Mecanica fluidelor a reprezentat cadrul director (frame - ul) pentru

evoluţia şi transformarea lui Wittgenstein finalizată în anul 19219, urmând

traseul ştiinţific-iniţiatic: Viena – Berlin – Manchester – Cambridge – Viena

(via Primul Război Mondial!).

Pregătit spiritual de Boltzmann, Helmholz şi Hertz, dezamăgit de

atmosfera din T. H. Charlottenburg, Berlin (1906), Wittgenstein studiază

aerodinamica la Victoria University din Manchester (1908-1910), un centru

ştiinţific de excepţie în domeniul matematicii aplicate şi al mecanicii fluidelor,

reprezentat în perioada respectivă de Sir Horance Lamb FRS (1849-1934), Sir

John Endensor Littlewood FRS (1885-1977), al cărui cursant a fost, şi nu în

ultimul rând de renumitul Osborn Reynolds FRS (1842-1912).

Trecerea de la reprezentarea discretă a fluidului la conceptul de mediu

continuu, model folosit în studiul profilului palei aerodinamice (tema de

cercetare abordată la Manchester), a declanşat probabil modificarea de

atitudine a tânărului Wittgenstein. Familiarizat cu teoriile atomiste ale lui

Boltzmann, dar şi cu noţiuni de teoria câmpului (de exemplu, vorticitatea

v introdusă de Helmholtz), impactul produs de studiile de inginerie

aerospaţială a avut cu siguranţă un efect major asupra deciziei lui

Wittgenstein10 de a pleca la Cambridge.

Răspunsul la întrebarea:

Ce model de fluid este indicat pentru studiul curgerii aerului în jurul

unui profil ?

nu putea fi aflat decât în structura axiomatică a mecanicii fluidelor, deci în

studii fundamentale de matematică. Soluţia a fost găsită de Wittgenstein la

Cambridge unde logicianul, matematicianul şi excentricul de Bertrand Russell

(1872-1970) a tranşat în 1912 dilema lui Wittgenstein: mecanica

fluidelor/aerodinamică sau logică/ filosofie?

8 Harre R. (2001) Wittgenstein: science and religion, Phylosophy 76, 211-237. 9 Anul apariţiei lucrării: Logisch-Philosophische Abhandlung (Tractatus logico-philosophicus), Annal. Naturphilosophie, 14(3/4). versiunea în limba română: (2001), traducere M. Dumitru şi M. Flonta, Humanitas, Bucureşti. 10 Lemco I. (2007) Wittgenstein's aeronautical investigation, Notes Rec. R. Soc. 61, 39–51.

23

De aici lucrurile sunt cunoscute11... pentru filosofi (... dar vom reveni la

Cambridge, aşa cum ne vom întoarce pentru Bohr la Manchester; oare

Wittgenstein în timp ce proiecta profile aerodinamice aflase de lucrarea12 lui

Ludwig Prandtl publicată în 1905?...). De asemenea, trebuie menţionată

conexiunea evidentă între Russell, mentorul declarat al lui Wittgenstein, şi

Helmholtz. Teza de doctorat a lui Russell susţinută la Trinity College în anul

1895 (şi publicată la Cambridge Univ. Press în 1897 sub titlul An Essay on the Foundations of Geometry) este în realitate o replică şi o completare la lucrarea

lui Helmholtz din revista Mind, 1878 – The Origin and Meaning of Geometrical Axioms.

Se poate afirma (specula?) că viziunea, atitudinea ştiinţifică şi lucrările

lui Hermann von Helmholtz (1821-1894), la origine medic, au contribuit

decisiv în formarea lui Wittgenstein ca filosof... regăsim oare în opera acestuia

conceptul de vorticitate (vârtej)?

În final, mă feresc a afirma că s-a definit cu certitudine în acest capitol

noţiunea de fluid, concept pe care îl vom considera de acum înainte aprioric

cunoscut oricărui model sau experiment din mecanica fluidelor... aşa cum

Wittgenstein susţinea că forma logică a ecuaţiilor de conservare din mecanică face parte din cunoaşterea noastră apriorică despre natură13.

IImmaaggiinneeaa ((vviizzuuaalliizzaarreeaa)) uunnuuii vvâârrtteejj lliibbeerr..1144

11 The Cambridge companion to Wittgenstein, Edit by Sluga H and Stern D.G.,

Cambridge Univ. Press, 1996. 12 Prandtl L. (1905) Űber Flűssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, in Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses, edit. Krazer A., Leipzig, 484-491. 13 Irschik H. (2007) On rational treatments of the general laws of balance and jump, with emphasis on configurational formulations, Acta Mech 194, 11–32. 14 Vizualizare obţinută de dr. ing. Roland Kádár în Laboratorul REOROM din Universitatea Politehnica Bucureşti.

24

22.. MMEETTOODDAA ŞŞTTIIIINNŢŢIIFFIICCĂĂ ŞŞII NNEEVVOOIIAA DDEE PPRREESSUUPPOOZZIIŢŢIIEE LLAA

CCOOLLLLIINNGGWWOOOODD1155

MMoottttoo::

EExxiisstteennţţaa ccaauuzzeeii eessttee oo pprreessuuppoozziiţţiiee nneecceessaarrăă,, ddaarr nnuu şşii ssuuffiicciieennttăă ppeennttrruu eexxiisstteennţţaa ffeennoommeennuulluuii..

dduuppăă CCoolllliinnggwwoooodd

Urmând metafizica lui Collingwood, este indicat să limităm obiectul

cunoaşterii la fenomene individuale, în care particularul şi universalul să

coexiste. Ştiinţa reduce fenomenele la concepte abstracte, iar istoria studiază

manifestările concrete ale acestora16.

Concretul este materializat printr-un fenomen înfăptuit, este deci

istorie, trecut... ştiinţa, prin abstractizare, creează o ipotetică realitate viitoare

pe care o experimentăm într-un prezent continuu.

Scopul ştiinţei este de a recunoaşte realitatea inteligibilă ca un

întreg în sine, ca un obiect independent de conştiinţă, spaţiu şi timp,

şi aflat astfel în opoziţie cu imprevizibila şi aparenta realitate

definită de simţurile noastre17.

R.G. Collingwood

Cunoaşterea bazată pe o metodă (abordare) ştiinţifică se realizează

printr-o teorie creată pe o structură axiomatică, la ale cărei origini stă un

sistem logic format din presupoziţii absolute şi relative.

Propoziţia 2. Fiecare enunţ al unei întrebări este precedat de o presupoziţie.

Propoziţia 4. O presupoziţie este fie relativă, fie absolută.

15 Robin George Collingwood (Lancashire, 1889 – Oxford, 1943) On presupposing, in An Essay in Methaphysics, edit. Rex Martin, Oxford Univ. Press, 1998, pp. 21-33. 16 History as a science – The philosophy of R.G. Collingwood, edit. W.J. van der

Dussen, Kluwer Publ. Press, Dordrecht, 1981, pp. 41-52. 17 //quotes.dictionary.com

25

Definiţia 5. O presupoziţie este relativă dacă are şi calitatea de a fi

răspuns la o întrebare.

Definiţia 6. O presupoziţie absolută nu poate avea şi calitatea de a fi

răspuns la o întrebare.

În clipa în care o afirmaţie capătă calitatea de axiomă, ea devine o

presupoziţie absolută. Pe baza axiomelor se enunţă teoremele, care trebuie

însă demonstrate în cadrul teoriei ştiinţifice. Putem considera teoremele ca

presupoziţii relative, deoarece, odată demonstrate, ele conţin răspunsuri la

întrebări.

În principiu, după o astfel de ordine şi ordonare interioară, un om de

ştiinţă este pregătit să înţeleagă şi să modeleze realitatea. Dar nu va avea

niciodată garanţia că raţiunea lui şi modelul alcătuit sunt corecte... îi mai

trebuie har şi credinţă, intuiţie şi iubire, abilitate experimentală şi îndoială

metafizică, categorii apriorice oricărei presupoziţii!

Nu l-am studiat pe Colingwood ca filosof18, dar intuiţia îmi spune că

l-aş fi găsit fascinant ca arheolog şi istoric al Britaniei Romane19.

Oare avem nevoie de presupoziţii absolute să înţelegem istoria?

Fluidul este un mediu continuu (v. §I) are calitatea de a fi o presupoziţie

absolută deoarece noţiunea de mediu continuu este parte integrantă a

definiţiei conceptului de fluid. Astfel, existenţa densităţii masice (1.1), ca

funcţie continuă şi derivabilă, este o axiomă a mecanicii fluidelor, fiind ilogic

(din punctul meu de vedere) să se constituie într-un “răspuns” la o întrebare.

Afirmaţia: Acest fluid se consideră incompresibil (izodens) este însă o

presupoziţie relativă, fiind un răspuns posibil la întrebarea: Există fluide cu

densitatea constantă?

Care este presupoziţia absolută asociată acestei întrebări?

(v. Propoziţia 2). Să formulăm întrebarea puţin diferit: Într-o teorie ştiinţifică,

cum se pretinde a fi mecanica fluidelor, poate exista un fluid cu densitatea

constantă dacă temperatura este menţinută constantă?

Răspunsul este categoric NU, deoarece orice perturbaţie mecanică

(în particular prezenţa undelor sonore) se propagă într-un mediu continuu,

deci şi într-un fluid, cu o viteză finită – ,

. (2.1)

18 Collingwood R.G. (2008) An Essay on Philosophic Method (1933), Oxford Univ. Press. 19 Collingwood R.G. (1994) Roman Britain, Barnes & Noble Inc.

26

În relaţia (2.1) p reprezintă presiunea, componentă a tensiunii

normale de compresiune existente în fluid. S-a folosit notaţia pentru viteza

perturbaţiei, deoarece fluidul se consideră izotrop, infinit şi izoterm; în

condiţiile experimentale concrete viteza perturbaţiei este notată cu c, .

Este poate mai uşor acum să descoperim presupoziţia absolută,

identică în acest caz cu un postulat al fizicii:

Orice perturbaţie (undă mecanică sau electromagnetică) se transmite cu

viteză finită;

sau

Cauza şi efectul nu pot fi simultane, cauza precedând efectul,

(afirmaţia: Tot ce se întâmplă are o cauză este considerată de

Collingwood o presupoziţie absolută15, 20).

În consecinţă, într-un mediu continuu variaţia izotermă a densităţii cu

presiunea este o mărime strict pozitivă, 0, unde

( , ) (2.2)

este denumită prin tradiţie ecuaţie de stare (aici simbolizează temperatura).

Asocierea relaţiilor (1.1) şi (2.2),

( , ) ( , ) (2.3)

necesită un comentariu separat, înaintea căruia nu se pot evita anumite

precizări asupra sistemului axiomatic pe care se fundamentează mecanica

fluidelor.

Termenul “teorie” implică un sistem coerent de legi şi noţiuni primare

valabile pentru un anumit domeniu al realităţii, caracterizat de un set de

fenomene identice sau similare. Orice teorie cuprinde o serie de afirmaţii al

căror adevăr trebuie dovedit şi un număr de noţiuni a căror semnificaţie

trebuie bine definită. În procesul demonstraţiei afirmaţiilor unei teorii este

necesar să se evite formarea unui cerc vicios, respectiv al existenţei unor

definiţii tautologice. Acest lucru se realizează dacă demonstraţiile pornesc de

la afirmaţii bazate pe conceptele primare, numite axiome, a căror valabilitate

şi sens sunt aprioric acceptate (uneori tacit, fără a se afirma explicit acest

lucru). Axiomele astfel definite aparţin unei structuri logice care trebuie să

îndeplinească anumite condiţii restrictive, de exemplu:

1. independenţa axiomelor;

2. sistemul axiomatic trebuie să fie non-contradictoriu şi coerent

(nu se poate găsi în aceeaşi teorie demonstraţia unei teoreme

concomitent cu infirmarea ei, fără negarea unei axiome);

20

Newman J. (1973) Metaphysics and absolute presuppositions, Continental Philosophy Review (Man and World) 6(3), 280-292.

27

3. sistemul axiomatic trebuie să fie complet (pe baza sistemului

axiomatic ales trebuie să se deducă toate teoremele enunţate în

teorie, proces care exclude implicit necesitatea existenţei unor

axiome suplimentare).

Calitatea conceptelor de a fi primare nu este intrinsecă acestora;

conceptele devin primare numai în raport cu un sistem axiomatic căruia îi

aparţin, din acest motiv trebuie definită cu precizie şi acurateţe calitatea

fiecărui concept/termen/noţiune.

O caracteristică a teoriilor ce aparţin domeniului ştiinţelor

experimentale (în care se încadrează şi mecanica fluidelor) o constituie faptul

că ele implică existenţa unui set de axiome, numite postulate, ce sunt direct

corelate cu experimentul. Definirea postulatelor ca axiome ale teoriilor din

sfera practic-experimentală implică o relaţie de subordonare între aceste

noţiuni, în sensul că toate postulatele sunt axiome, dar numai unele axiome au

calitatea de a fi postulate.

Valabilitatea unei teorii se stabileşte prin compararea teoremelor sale

cu fenomenele reale, prin intermediul experimentului. Teoriile ale căror

teoreme au fost confirmate prin experimente poartă denumirea de teorii

ştiinţifice.

O teorie se numeşte fenomenologică dacă conţine toate caracteristicile

unei teorii ştiinţifice, dar a cărei arie de aplicaţie este restrânsă de un set de

constrângeri impuse (de exemplu, mecanica fluidelor este o teorie

fenomenologică în cadrul mecanicii mediilor continue).

Teoriile fenomenologice ce aparţin mecanicii mediilor continue se

bazează pe un sistem axiomatic ce conţine:

(i) concepte primare: referenţial, eveniment, corp, forţă, temperatură,

entropie;

(ii) axiome şi postulate numite principii generale:

Principiul indiferenţei materiale;

Principii de conservare (masă, impuls, energie);

Principiul ireversibilităţii (inegalitatea entropiei);

(iii) postulate specifice ce reprezintă fundamentul teoriei relaţiilor

constitutive (de material):

Consistenţa relaţiilor constitutive cu principiile generale şi

echiprezenţa variabilelor constitutive în toate relaţiile

constitutive asociate teoriei;

Izotropia materială;

Principiile determinismului şi acţiunii locale;

Principiul “amneziei” materialului.

28

Conceptele primare referenţial şi eveniment necesită câteva explicaţii

suplimentare (noţiunea de corp fiind definită anterior).

Conştiinţa are capacitatea de a crea modele ale realităţii, fiecare dintre

aceste modele fiind un spaţiu abstract. Spaţiul punctual euclidian

tridimensional , cu elementele , care defineşte punctele (poziţiile)

spaţiale, şi spaţiul unidimensional, unidirecţional şi absolut pozitiv , cu

elementele , care defineşte timpul, sunt exemple de spaţii abstracte21.

Prin compenetraţie22 definim proprietatea conştiinţei de a asocia

elemente din spaţii diferite într-un spaţiu unic. Noul spaţiu astfel creat se

bazează pe alte relaţii de ordine, elementele sale conservându-şi însă

apartenenţa la spaţiile iniţiale. Prin acest procedeu s-a creat lumea

evenimentelor – , un spaţiu în care poziţiile sunt asociate momentelor

temporale în perechile ( , ), numite evenimente.

Aplicaţia:

: , cu ( ) = ( , ) (2.4)

defineşte un referenţial.

Lumea evenimentelor este spaţiul primar în care se reprezintă

modelele mecanice. În modelul clasic (mecanica newtoniană) elementul

este definit de patru numere reale: trei coordonate spaţiale şi o

coordonată temporală, spaţiul şi timpul fiind sau nu independente, în funcţie

de sistemul axiomatic folosit. Trebuie remarcat că într-o teorie ştiinţifică se

pot recunoaşte numai evenimente, nu poziţii spaţiale şi momente temporale

luate separat, timpul însuşi având o reprezentare spaţială.

Evenimentul capătă semnificaţie numai în relaţie cu un model, acesta

fiind construit pe o structură axiomatică. Un referenţial este newtonian dacă

este independent de model, respectiv metrica asociată lui nu depinde de

sistemul axiomatic al teoriei. În concluzie, într-un referenţial newtonian

modelele nu interacţionează cu lumea evenimentelor, poziţia şi timpul

fiind variabile primare pentru orice cantitate fizică inclusă în teorie.

Un model fenomenologic definit de principiile generale menţionate şi

raportat la un referenţial newtonian îl vom denumi proces dinamic.

O relaţie constitutivă (de material) este o relaţie funcţională, de tip

cauzal, între mărimi fizice (câmpuri reprezentate prin funcţii continue şi

derivabile) ce apar în expresiile matematice ale principiilor generale,

respectiv de conservare. Tipul de funcţională defineşte o familie de materiale,

iar în această familie se găsesc forme particulare, fiecare material fiind

21 Truedell C. (1977) A first course in rational continuum mechanics, vol. 1 General concepts, Academic Press. Popa O. (2007) Mecanica fluidelor, vol. 1, Tempus, Timişoara. 22 Noica C-tin. (1986) Scrisori despre logica lui Hermes, Editura Cartea Românească, Bucureşti.

29

individualizat printr-un număr de constante de material. Într-un proces

dinamic, relaţiile constitutive formulate trebuie să fie în concordanţă cu

structura axiomatică adoptată. Astfel, un material este caracterizat de o unică

relaţie constitutivă, invariantă la transformările galileene (respectiv,

schimbarea referenţialului conservă metrica: distanţele dintre puncte rămân

aceleaşi, iar evenimentele simultane rămân simultane).

Într-un proces dinamic se remarcă trei categorii de mărimi:

1. variabile primare: poziţia x şi timpul t (acestea generând variabilele

cinematice viteză, acceleraţie, vorticitate etc.);

2. variabile constitutive, funcţii continue de variabilele primare - ( , ),

care devin necunoscutele din expresiile matematice ale principiilor

generale; de exemplu: densitatea , temperatura , tensorul viteză de

deformaţie D, energia liberă etc. De remarcat că aceste mărimi

trebuie să fie obiective pentru a se respecta principiul indiferenţei

materiale;

3. funcţii constitutive, ( , ) , 1, . . : presiunea p, extra-tensiunea

, fluxul termic q etc. Aceste funcţii apar explicit în enunţul

principiilor generale.

Alegerea funcţiilor şi variabilelor constitutive nu este unică, însă este

evident că într-o teorie o mărime poate avea numai o singură calitate (funcţie

sau variabilă), aşa cum o presupoziţie este fie absolută, fie relativă.

Ca exemplu se consideră relaţia constitutivă (caz izoterm, .)

pentru presiunea într-un fluid: ( ), presiunea fiind tensiunea normală

redusă la presiunea hidrostatică într-un fluid aflat în repaus. Deci, în acest caz

presiunea este funcţia constitutivă şi densitatea este variabila constitutivă,

dependentă de spaţiu şi timp (variabilele primare). Relaţia (2.1) este în teoria

mecanicii fluidelor o relaţie constitutivă diferenţială:

, (2.5)

unde este o constantă de material (viteza sunetului).

De remarcat că ecuaţia (2.5) nu este singura relaţie constitutivă

posibilă; de exemplu, pentru anumite fluide se foloseşte ecuaţia van der Waals,

( )

(2.6)

în care ai sunt constante de material.

Prin integrarea relaţiei (2.5) se obţine formula echivalentă:

1 ( ) (2.7)

în care defineşte coeficientul de compresibilitate izoterm ( 1 ),

şi fiind două valori de referinţă pentru densitate, respectiv presiune (la

acest subiect se va reveni în EEppiilloogg…).

30

Corespondenţa sugerată de (2.3) precizează că densitatea poate fi

reprezentată într-un proces dinamic ca un câmp în spaţiu şi timp, dar şi ca o

funcţie de presiune şi temperatură (mărimi care la rândul lor sunt câmpuri).

Acest “dualism” este specific în mecanica mediilor continue (şi nu numai)

variabilelor şi funcţiilor constitutive. Ambele depind de variabilele primare,

însă prin enunţul principiilor generale şi formularea constitutivă ele devin

interdependente, formalism impus de următoarele caracteristici ale teoriei

ştiinţifice: (i) numărul de necunoscute trebuie redus la numărul de ecuaţii;

(ii) ecuaţiile trebuie să fie valabile pentru o clasă de materiale sau de procese

dinamice, deci trebuie să conţină şi constante constitutive care diferenţiază

procesele în funcţie de calitatea materialelor implicate. Mai precis, ecuaţiile de

conservare (ca expresii matematice ale principiilor generale) sunt identice

pentru toate fluidele, însă fiecare fluid are caracteristici structurale distincte,

ce sunt reprezentate în relaţiile constitutive folosite de constantele de

material: densitatea , viteza sunetului (celeritatea) , elasticitatea,

viscozitatea (ca o măsură a frecării între particulele fluide) etc.

Importanţa constantelor de material este fundamentală deoarece prin

aceste mărimi se realizează conexiunea nivelului microscopic (discret) cu

modelul macroscopic, reprezentat de teoria mecanicii fluidelor. Aceste

constante conţin informaţii asupra structurii materialelor implicate în

procesele studiate, ele cuantificând la nivel macroscopic efectele unor

fenomene ce au loc la nivel microscopic. La nivel molecular (microscopic)

constantele de material nu au niciun sens.

Un scop central al teoriilor aplicativ-experimentale este de a

determina (măsura) valorile constantelor de material. Acest lucru nu se poate

face însă independent de structura axiomatică a teorie, ci în contextul aplicării

principiilor generale enunţate. În particular, într-o ecuaţie de echilibru sunt

prezente n mărimi cinematice şi variabile constitutive necunoscute, acestea

din urmă fiind funcţiile care includ constantele de material. Prin măsurarea

sau predicţia a n–1 mărimi va rezulta din ecuaţie constanta de material dorită,

a cărei interpretare este intrinsec asociată cadrului teoretic construit, deci

sistemului axiomatic formulat.

În lumea evenimentelor, în spaţiul teoriilor ştiinţifice…

Nihil sine αξιωμα (Nimic fără axiome),

o concluzie potrivită, în stil Collingwood, a acestui capitol.

Lumea evenimentelor este asemenea unei pânze albe pentru un

pictor sau unei pietre brute pentru un sculptor. Pânza şi piatra

folosite de artist îi limitează spaţial creaţia, dar nu-i determină

conţinutul şi stilul.

C. Truesdell

31

33.. EECCHHIILLIIBBRRUULL DDEE LLAA AARRIISSTTOOTTEELL LLAA SSTTOOKKEESS,, VVIIAA NNEEWWTTOONN ––

VVIIZZIIUUNNEEAA TTOOUULLMMIINN2233

MMoottttoo::

NNuummaaii llaa ttiinneerreeţţee aamm pprreeffeerraatt uunn aarrgguummeenntt2244 ccoonnvviinnggăăttoorr uunneeii jjuuddeeccăăţţii2255 şşttiiiinnţţiiffiiccee..

dduuppăă TToouullmmiinn

Chiar dacă

intenţiile acestei cărţi sunt radicale, iar argumentele folosite nu

vor excela prin originalitate23,

îmi impun să urmez ordinea naturală în prezentarea conceptelor mecanicii

fluidelor. După definiţia fluidului şi stabilirea (pe baza sistemului axiomatic

formulat) a unui referenţial-cadru necesar reprezentării fenomenelor studiate,

logica studiului ştiinţific ne orientează (într-un mod natural) către cercetarea

realităţii; citatul din Toulmin se potriveşte ca o mănuşă:

În afară de orele cu Ludwig Wittgenstein şi scrierile lui

Collingwood, am avut senzaţia că toate cărţile şi lucrările pe

care a trebuit să le citesc despre filosofia ştiinţei sunt scrise de

matematicieni rataţi: aceşti autori erau preocupaţi numai de

corectitudinea formală şi coerenţa logică a argumentelor

teoretice din fizică, având o preocupare aproape nulă să

răspundă la întrebarea dacă aceste argumente sunt aplicabile în

realitatea pe care încercăm să o înţelegem. În opoziţie cu

această atitudine, experienţa mea în fizica aplicată (analiza şi

prelucrarea informaţiilor captate prin radar în timpul celui

de-al Doilea Război Mondial) m-a învăţat următorul lucru:

astfel de argumente formale trebuie să fie enunţate de membrii

comunităţii ştiinţifice în relaţie directă cu lumea în care trăim24.

23

Stephen Edelson Toulmin (London, 1922 – Los Angeles, 2009) Ideals of natural order, in Philosophical problems of natural science, edit. D. Skapere, MacMillan, Toronto, 1965, pp. 110-123. 24 Toulmin S.E. (1958) The uses of argument, Cambridge Univ. Press. 25 Toulmin S.E. (2001) Return to reason, Harvard Univ. Press.

32

Nu se poate vorbi despre echilibru fără introducerea

conceptului de forţă, cauza generatoare de mişcare. Un proces

dinamic este definit în primul rând prin echilibrul forţelor ce

acţionează asupra corpului, echilibrul şi forţa fiind noţiuni

asociate.

Într-un mediu continuu fluid forţa este un câmp, ( , ), ce reflectă

măsura interacţiunii dintre particulele materiale, respectiv între corpurile

materiale sau părţi componente ale acestora. În funcţie de varietăţile

geometrice (variabile în timp) pe care acţionează, forţele se pot clasifica astfel:

forţe pe domeniul (t) - (volumice), forţe pe suprafaţa ( ), ce închide

domeniul - sau - forţe pe suprafaţa (t), forţe ce acţionează pe curba

închisă - , forţe punctuale - . Generic, expresiile matematice ale acestor

forţe sunt exprimate de următoarele relaţii:

( ) ,

, ( .1)

în care b este forţa specifică masică, fem reprezintă forţe volumice de natură

electromagnetică, t simbolizează tensiunea pe suprafaţă, iar este tensiunea

superficială ce acţionează pe curba .

RReepprreezzeennttaarreeaa ddoommeenniiuulluuii îînn ccoonnffiigguurraaţţiiaa tt şşii ffoorrţţeellee ccaarree aaccţţiioonneeaazzăă aassuupprraa ssaa..

D(t)

B/t

x

X

1

3

2

n

t

dx

d

b

fem

dA

33

Forţa este o noţiune abstractă asociată oricărui model de reprezentare

fizică, deci este indicat să recunoaştem calitatea ei primară, postulându-i

existenţa21. Forţa nu se vizualizează direct precum deplasarea sau viteza, dar

prezenţa ei este permanent remarcată prin observarea stării de echilibru.

Există o stare naturală de echilibru?… o întrebare “potrivită” pentru

filosofia ştiinţei!

În spiritul fizicii lui Aristotel, răspunsul este dat de relaţia:

, (3.2)

adică rezultanta forţelor ce acţionează asupra corpului este nulă la echilibru.

Modelul lui Newton26 consideră echilibrul sub forma:

, (3.3)

deci suma forţelor este întotdeauna egală cu variaţia în timp a impulsului

( )

. (3.4)

În ipoteza conservării masei, expresiile (3.2) şi (3.3) coincid când viteza este o

constantă (în particular v = 0, condiţie ce defineşte starea de repaus);

mai precis, când viteza are mărimea constantă şi este orientată permanent pe

o traiectorie rectilinie (suportul vectorului viteză este o dreaptă).

Unde este filosofia?

Preţul vieţii trăite în lumea pragmatismului şi scepticismului

este nevoia de a recunoaşte că fundamentele credinţelor noastre

sunt încă nesigure. Nici fizica şi nici psihologia nu pot împlini

aşteptările raţiunii… Cînd nu mai suntem bântuiţi de iluzia

teoriei, ne întoarcem în lumea speranţelor şi temerilor realităţii.

Postscriptum24: Trăind cu incertitudinea

Precedentul citat din Toulmin ne sugerează să nu fim chiar atât de

siguri că este necesară existenţa unei filosofii a ştiinţei27 pentru ca modelele

realităţii să fie o certitudine.

Să admitem că există argumente convingătoare pentru a considera

unicitatea stării naturale de echilibru (într-un referenţial dat). Modelul lui

Toulmin pentru analiza şi susţinerea argumentului23 ne pune la îndemână

procedura logică de testare a celor două variante prezentate, dar alegerea

finală dintre credinţa lui Aristotel şi judecata lui Newton trebuie confirmată

printr-un experiment ştiinţific controlat. Are un filosof argumente pentru a

convinge un inginer că, în lipsa existenţei unei structuri logice şi a unui model

teoretic, varianta cunoaşterii fenomenului exclusiv pe baza experimentului nu

este suficientă?

26 Pourciau B. (2006) Newton’s interpretation of Newton’s second law, Arch. Hist. Exact Sci. 60, 157–207. 27 Toulmin S.E. (1953) The philosophy of science: an introduction, Hutchinson’s Univ. Library, London.

34

Dacă clasificăm enunţurile (3.2) şi (3.3) în categoria postulatelor, calea

de verificare experimentală este obligatorie. Înainte de experiment, trebuie

însă clarificate noţiunea de echilibru natural şi sensul termenului ;

primul este de natură filosofică, al doilea simbolizează o mărime matematică.

Ambele sunt însă fundamentate axiomatic.

Echilibrul natural este starea pe care orice fenomen din univers o

atinge în devenirea sa, este sensul existenţei unui proces dinamic.

În viziunea lui Aristotel se consideră că această stare este realizată

numai dacă suma tuturor forţelor ce acţionează asupra corpului este nulă.

În consecinţă, dacă forţele dependente de viteză sunt nule, atunci corpul

trebuie să se afle în stare de repaus.

Mecanica newtoniană se bazează pe axioma că echilibrul natural al

unui corp este menţinut dacă forţa rezultantă este întotdeauna egală cu

variaţia temporală a impulsului acelui corp (denumită şi inerţie). Dacă

rezultanta forţelor este nulă, corpul îşi va păstra în mod necesar impulsul

constant, ceea ce implică:

1. masa corpului, v. (1.1), rămâne constantă;

2. viteza, v. (1.5)1, are mărimea şi sensul constante, iar direcţia

rectilinie28.

În cazul unui impuls constant, cele două interpretări conduc la relaţii

matematice identice, în spirit ele sunt însă diferite. Formularea aristoteliană

are ca imagine a mişcării perfecte mişcarea circulară, ceea ce implică existenţa

unui spaţiu finit, deci a conceptului de cosmos. Pentru Newton mişcarea

rectilinie şi uniformă este nu numai mişcarea perfectă, dar şi starea naturală

de echilibru (care în viziunea lui Aristotel este repausul).

Spaţiul newtonian al evenimentelor este infinit, este un univers. Într-un

astfel de spaţiu mişcarea este într-un mod natural raportată la un sistem de

coordonate spaţiale (reper) cartezian – , , , în care orientarea

versorilor se realizează pe trei drepte ortogonale.

Variaţia unei mărimi fizice este reprezentată matematic prin

operatorul derivată. În (3.3), derivata în timp a impulsului conduce în final la

expresia:

( )

( )

( ). (3.4)

28 Condiţie care implică atât mărimea, cât şi orientarea, constantă a versorilor ei din (1.6). De remarcat că în mişcările reprezentate în coordonate curbilinii orientarea versorilor vitezei (componente fizice) nu este constantă. Într-o astfel de mişcare impulsul nu este constant (chiar dacă mărimile vitezei şi masei sunt constante), deci derivata sa nu este nulă. Astfel, în ecuaţia de echilibru apare un termen inerţial suplimentar ce poartă denumirea de acceleraţie centripetă.

35

Dacă masa corpului (1.1) se conservă, atunci derivata sa este nulă:

0 ( )

, (3.5)

respectiv :

( ) 0

( ), (3.6)

relaţie integrală echivalentă cu forma locală:

( ) = 0; (3.7)

(3.6) fiind considerată valabilă şi pentru orice subdomeniu inclus în (t),

presupunând că domeniul spaţial este omogen şi izotrop.

Aplicând constrângerea (3.7) relaţiei (3.4), aceasta devine:

( )

( ), (3.8)

unde termenul din paranteza dreaptă semnifică câmpul acceleraţiei în fluid,

( ) , (3.9)

componentele fiind definite prin relaţiile:

(3.10)

cu operatorul lui Hamilton (i = 1, 2, 3).

Este important să remarcăm că acceleraţia într-un mediu fluid are

două componente : (i) acceleraţia locală – variaţia în timp a vitezei

, şi

(ii) acceleraţia convectivă – variaţia spaţială a vitezei

.

Existenţa acceleraţiei convective este preţul pe care îl plătim pentru

folosirea modelului de mediu continuu, a cărui mişcare este raportată la un

sistem referenţial spaţial fix (Euler). Este un termen matematic neliniar, sursa

majoră a dificultăţilor în rezolvarea ecuaţiei de echilibru.

În formularea discretă (Lagrange), o particulă materială X cu viteza

are acceleraţia

(variaţia în timp a vitezei), derivata temporală de

ordinul doi a poziţiei x ocupate de particula X, , , v. (1. ), impulsul

particulei fiind , unde este masa acesteia.

Într-un mediu continuu (reprezentarea Euler) viteza este un câmp,

( ( ), ), deci acceleraţia va avea expresia (3.9) viteza fiind o funcţie

compusă (din acest motiv apare termenul de acceleraţie convectivă).

Evident, la timpul t mărimile cinematice obţinute prin cele două

interpretări coincid în punctul spaţial x, în care se găseşte particula

materială X, aplicaţia dintre corpul material şi spaţiul euclidian fiind bijectivă,

(X, ) ( , )…, dar dacă aplicaţia (1.3) nu este bijectivă? Se poate construi

o teorie ştiinţifică pe baza unei astfel de supoziţii, care eventual să capete

calitatea de axiomă?

36

Nu ştiu cât de mult Sir George Gabriel Stokes29 FRS a fost influenţat de

Aristotel, însă cu siguranţă este un demn continuator al lui Sir Isaac Newton

(nu numai prin ocuparea poziţiei de Lucasin Professor la Cambridge

University). Stokes a constatat că relaţia (3.3) aplicată unui fluid vâscos

newtonian (aşa-numita ecuaţie de mişcare Navier-Stokes, v. § cap. 5) nu se

poate rezolva corect matematic din cauza prezenţei acceleraţiei convective,

v.(3.9). În spirit newtonian, dar apelând la formalismul aristotelian (!), Stokes

a observat că ecuaţia de echilibru (3.2) se obţine din (3.3), dacă forţele de

frecare sunt dominante comparativ cu inerţia. În particular, dacă raportul

dintre inerţia convectivă şi forţa de frecare din fluid (raport ce defineşte

numărul adimensional Reynolds – Re) este neglijabil de mic, Re << 1, cele două

forme matematice devin asimptotic identice. Numai în acest caz se pot obţine

soluţii exacte care au calitatea de a modela dinamica unor curgeri de interes

practic. Această judecată este un exemplu remarcabil de gândire ştiinţifică!

Stokes a aplicat cu succes procedura menţionată anterior pentru

modelarea mişcării unui fluid vâscos (presupus infinit, viziune newtoniană!)

cu inerţie neglijabilă, în jurul unei sfere (geometrie aristoteliană!).

FFoorrţţeellee ccee aaccţţiioonneeaazzăă aassuupprraa uunneeii ssffeerree ssoolliiddee ccee ssee ddeeppllaasseeaazzăă ccuu vviitteezzaa ccoonnssttaannttăă îînnttrr--uunn fflluuiidd vvââssccooss nneewwttoonniiaann.. SSffeerraa ddiissllooccăă fflluuiidduull,, ggeenneerrâânndd

aassttffeell oo mmiişşccaarree aa aacceessttuuiiaa îînn îînnttrreegguull ddoommeenniiuu ddee ccuurrggeerree ((ssppaaţţiiuull ccuupprriinnss îînnttrree ssffeerrăă şşii ppeerreeţţiiii cciilliinnddrruulluuii ccuu ddiiaammeettrruull ddcc))..

29 Remarcabil matematician şi fizician britanic, (Skreen, Ireland, 1819 - Cambridge, England, 1903). Este creatorul, împreună cu Claude-Louis Navier (Dijon, 1785 - Paris, 1836), al ecuaţiei de mişcare a fluidelor newtoniene, ecuaţia Navier-Stokes, formă particulară a relaţiei (3.3).

d

FR FA

FG

,

dc

x2

x3

x1

0

37

Rezolvarea ecuaţiei de mişcare astfel obţinute permite calcularea

forţei de rezistenţă la înaintare (denumită formula lui Stokes),

, (3.11)

(Re 0) exercitate de fluid asupra unei sfere solide cu diametrul d, care se

deplasează staţionar cu viteza , într-un mediu fluid infinit (dc ) aflat

iniţial în repaus, ale cărui proprietăţi (densitatea şi viscozitatea ) sunt

constante.

Deci, pentru mişcarea studiată, forţa de frecare este direct

proporţională cu viteza. Acest rezultat teoretic exact, anticipat de Aristotel22 şi

confirmat experimental, este una dintre cele mai importante formule din

mecanica fluidelor, cu aplicaţii multiple30 şi implicaţii nebănuite asupra

dezvoltării ulterioare a ştiinţei31 la data când a fost stabilită de Stokes

(1851)32.

Ecuaţia de echilibru (3.2) aplicată sferei solide devine:

, (3.12) unde (3.13) şi (3.14)

reprezintă forţa de greutate a sferei, respectiv forţa ascensională arhimedică

(aici şi sunt densitatea şi volumul sferei).

Dacă proiectăm relaţia (3.12) pe direcţia acceleraţiei gravitaţionale

(definită de axa 0x3), se obţine expresia:

( ) , (3.15)

în care simbolizează componenta vitezei sferei pe 0x3 (valoare presupusă

constantă, ).

Cum arată însă ecuaţia de echilibru a sferei în prezenţa inerţiei,

respectiv dacă viteza sferei nu mai este constantă, adică ( )?

În acest caz deplasarea fluidului indusă de mişcarea sferei nu mai este

staţionară, deci formula (3.11) îşi pierde valabilitatea. Chiar în ipoteza Re << 1,

obţinerea unei soluţii matematice complete este dificilă, analiza devenind şi

mai complicată dacă deplasarea sferei se face într-un fluid aflat în mişcare.

De menţionat că prima abordare a problemei enunţate a fost legată de

studiul oscilaţiei unui pendul sferic într-un fluid vâscos, aflat iniţial în repaus.32

30 Happel J., Brenner H. (1983) Low Reynolds number hydrodynamics with special

applications to particulate media, Kluwer, Dordrecht. 31 Einstein A. (1905) On the motion of small particles suspended in liquids at rest required by the molecular-kinetic theory of heat, Annalen der Physik 17, pp.549-556. 32 Lamb H. (1945) Hydrodynamics, 6th edition, Dover, New York, pp.562-696.

38

Relaţia de echilibru (3.3) aplicată pentru sferă are expresia33:

, (3.16)

unde se adaugă două forţe de rezistenţă suplimentare, faţă de mişcarea

staţionară (3.12), datorită dependenţei de timp a vitezei:

( 2 ) (3.17)

şi

( 2 ) ( )

. (3.18)

Forţa este generată de prezenţa aşa-numitei mase adiţionale, iar

este forţa Basset.33

Termenul din partea stângă a relaţiei (3.16) este inerţia sferei (numită

uneori, impropriu din punctul meu de vedere, forţă de inerţie) – variaţia

impulsului ( ) datorită nepermanenţei vitezei de deplasare a acesteia.

În concluzie, forţa de rezistenţă la înaintare exercitată de un fluid

asupra sferei într-o mişcare nepermanentă nu mai are o dependenţă liniară de

viteza sferei, nici măcar în domeniul Re << 1… ipoteza lui Aristotel nu mai este

confirmată de realitate.

Nu este dificil de observat că relaţia (3.16) nu oferă soluţii simple

pentru funcţia necunoscută, reprezentată de proiecţia vitezei sferei pe direcţia

deplasării, ( ). Pentru consistenţa teoriei ştiinţifice, trebuie să admitem că:

lim ( ), (3.19)

sau 0, respectiv , pentru .

Cu alte cuvinte, nepermanenţa mişcării pentru procesul studiat se

manifestă numai într-un interval de timp finit, 0 . În afara acestui

interval temporal rezultatul lui Stokes, şi implicit formula de echilibru (3.12),

devin valabile.

Modelele lui Aristotel şi Newton se exclud conceptual, dar coexistă

formal în anumite teorii specifice domeniului mecanicii fluidelor aplicate.

Exemplul analizei lui Stokes asupra problemei în cauză este remarcabil, este

calea de urmat în complexul proces de înţelegere, reprezentare şi modelare a

lumii fizice folosind experimentul “controlat” de o teorie ştiinţifică.

33 Odar F., Hamilton W.S. (1964) Forces on a sphere accelerating in a viscous fluid,

J. Fluid Mech. 18, 302-314. Cox R.G. (1965) The steady motion of a particle of arbitrary shape at small Reynolds numbers, J. Fluid Mech. 23, 625-643. Lovalenti P.M., Brady J.F. (1993) The hydrodynamic force on a rigid particle undergoing arbitrary time-dependent motion at small Reynolds number, J. Fluid Mech. 256, 561-605.

39

Din acest motiv, curgerea în jurul unei sfere a devenit o problemă de

studiu paradigmatică pentru cercetătorii de profil, formula (3.11) fiind pînă în

prezent de necontestat (în condiţiile şi ipotezele enunţate).

Studiul experimental încadrat într-o teorie ştiinţifică şi interpretat în

spiritul ei este nu numai etapa crucială de formare a concepţiei inginereşti, dar

şi o parte importantă a procesului de validare a sistemului axiomatic pe care

teoria este construită.

Ingineria teoretică nu există, ar fi ca filosofia fără conştiinţă… un limbaj

inutil, o poezie fără spirit, o mişcare fără inerţie şi un fluid fără viscozitate…

pe scurt, un ideal posibil de studiat, dar fără nicio şansă de a deveni realitate.

IImmppaaccttuull uunneeii ppiiccăăttuurrii ssffeerriiccee ddee uulleeii ppee oo ssuupprraaffaaţţăă ssoolliiddăă,, ssuubb aaccţţiiuunneeaa ffoorrţţeeii ggrraavviittaaţţiioonnaallee;; vviizzuuaalliizzăărrii ssuupprraappuussee3344 ccaappttaattee llaa uunn iinntteerrvvaall ddee 00,,0011 ss..

MMiişşccaarreeaa eessttee rreepprreezzeennttaattăă pprriinn iimmaaggiinnii ssppaaţţiiaallee ddiissccrreettee îînn ffuunnccţţiiee ddee ppaarraammeettrruull ttiimmpp.. AAnnaalliizzaa şşii pprreelluuccrraarreeaa iimmaaggiissttiiccăă ppeerrmmiittee ddeetteerrmmiinnaarreeaa eexxppeerriimmeennttaallăă aa vviitteezzeeii şşii aacccceelleerraaţţiieeii ppiiccăăttuurriiii îînn mmoommeennttuull ccoonnttaaccttuulluuii ccuu ssuupprraaffaaţţaa ssoolliiddăă,, îînn ppaarraalleell ccuu

oobbsseerrvvaarreeaa ddeeffoorrmmăărriiii ffoorrmmeeii ssffeerriiccee dduuppăă iimmppaacctt..

34 Vizualizarea a fost realizată de autor în laboratorul profesorului Cameron Tropea de la T. U. Darmstadt (1999).

40

44. TTEENNSSOORRUULL TTEENNSSIIUUNNEE CCAA PPAARRAADDIIGGMMĂĂ AA MMEECCAANNIICCIIII MMEEDDIIIILLOORR

CCOONNTTIINNUUEE,, DDUUPPĂĂ OO IIDDEEEE DDEE CCAAUUCCHHYY,, TTRRUUEESSDDEELLLL ŞŞII KKUUHHNN3355

MMoottttoo::

SScchhiimmbbaarreeaa ppaarraaddiiggmmeeii nnuu mm--aa ffăăccuutt mmaaii bbuunn,, mmii--aa aammiinnttiitt ddee ttiimmppuull ppiieerrdduutt.. dduuppăă KKuuhhnn

Paradigma impune prin aplicarea teoriei un pattern36 (structură)

practicii ştiinţifice, pe baza căruia cercetătorul construieşte puzzle-ul ce se

doreşte a fi o reprezentare (modelare) cât mai fidelă a fenomenului fizic, în

particular a unui proces dinamic din mecanica fluidelor. Într-o tradiţie

(practică) ştiinţifică existentă, rezolvarea problemelor (construcţia puzzle-ului)

induce în timp o tensiune esenţială care generează în final o revoluţie

ştiinţifică, desăvârşită în momentul schimbării paradigme ... paradigma fiind

modelul exemplar, problema/procedura standard, la care o teorie face mereu

referinţă şi la care îşi raportează rezultatele la un moment dat.

Acest paragraf sintetizează viziunea lui Thomas Kuhn despre ştiinţă

proiectată în filosofie. Nu cred că este foarte util să definim mai precis

termenul de PARADIGMĂ... un grad de neclaritate este întotdeauna necesar în

filosofie, chiar şi în filosofia ştiinţei! Ce ar însemna filosofia lui Heidegger dacă,

în profunzimea lui, termenul DASEIN37 (fiinţarea prin noi înşine?) ar fi

accesibil unei persoane care nu-şi pune întrebări existenţiale... Uneori este un

câştig mai important efortul intelectual in vivo depus pentru înţelegerea unui

concept fundamental într-un context aplicativ concret, decât găsirea

semnificaţiei şi interpretării sale originale.

35

Thomas Samuel Kuhn (Cincinnati, Ohio, 1922 – Cambridge, Massachussets, 1996) The structure of scientific revolutions , Chicago Univ. Press, 1962. Structura revoluţiilor ştiinţifice, Humanitas, Bucureşti, 2008, pp. 207-224. 36 Kuhn T. S. (1977) The essential tension: selected studies in scientific tradition and change., Univ. Chicago Press. Tensiunea esenţială: studii despre tradiţie şi schimbare în ştiinţă, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1982, pp. 267-281. 37 Heidegger M. (1988) Repere pe drumul gândirii, Editura Politică, Bucureşti (notă introductivă de T. Kleininger şi G. Liiceanu la Ce este metafizica?, p. 31).

41

Întrebarea şi răspunsul lui Kuhn:

Trebuie ca o teorie a mişcării să explice cauza forţelor... sau

poate doar să consemneze existenţa ca atare a forţelor?...

dinamica lui Newton implică al doilea răspuns 35,

ne lămuresc asupra unei paradigme fondatoare pentru mecanică. Fără

precizări suplimentare, Sir Isaac Newton (1642-1727) a introdus (practic,

într-un mod axiomatic) în Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

(1687) conceptul de forţă, v. § cap.3, paradigmă ce nu a fost până în prezent

înlocuită. Cred că omul de ştiinţă Thomas Kuhn (doctorat în fizică la Harvard,

1949) a suferit o revoluţie conceptuală reală în perioada 1948-1951, în urma

căreia a devenit filosof al ştiinţei... numai un om de ştiinţă putea să pună o

astfel de întrebare, în speranţa obţinerii unui răspuns de la un filosof. În acest

caz este una şi aceeaşi persoană.

Cu excepţia lui Kuhn, clasicii filosofiei ştiinţei secolului XX au fost filosofi

(doctorat în filosofie, dar cu educaţie în matematică, fizică sau economie) care

s-au dedicat studiului ştiinţei: R. Carnap (1891-1970), K. Popper (1902-1994),

W.V.O. Quine (1908-2000), P. Suppes (1922-), W. Stegmüller (1923-1991),

P. Feyerabend (1924-1994). Kuhn nu este pentru filosofia ştiinţei un

Wittgenstein38 sau un Heidegger39; Kuhn nu a atins nici pe departe calibrul

ştiinţific al lui N. Bohr, E. Schrödinger, W. Heisenberg, M. Born... (fizicienii

remarcabili, creatori de filosofie a ştiinţei). “Paradigma kuhn-iană” a rămas

însă un concept singular atât în ştiinţă, cât şi în filosofia ştiinţei... există o

filosofie a ştiinţei40? Există însă sigur o TENSIUNE asociată creaţiei ştiinţifice!

Tensiunea dintre dorinţa de inovare şi necesitatea conservării valorilor

ştiinţifice tradiţionale36 este o permanentă prezenţă în ştiinţa normală

(normalitatea după Kuhn), în truda ştiinţifică zilnică a cercetătorului (după

Heidegger). Folosirea excesivă în practica ştiinţifică sau filosofică a unor

concepte fundamentale ce nu sunt precis şi univoc definite (precum

Paradigmă sau DASEIN) generează de regulă tensiuni suplimentare, ce nu

aduc o contribuţie pozitivă în completarea corectă a puzzle-ului.

38 Kuhn: A Wittgenstein of the sciences?, text de Read Rupert: http://www.uea.ac.uk/~j339/KuhnWittgenstein.htm 39 Is Thomas Kuhn the American Heidegger? in Kuhn vs. Popper: The struggle for the soul of science, by Fuller S. and Turney J., Columbia Univ. Press, 2004. Rouse J. (1981) Kuhn, Heidegger, and scientific realism, Man&World 14(3), 269-290. 40 Truesdell C. (1973) Is there a philosophy of science?, Centaurus 17, 142-172.

42

Noţiunile primare trebuie cunoscute şi enunţate, însă apelarea lor

excesivă în procesul de modelare a realităţii nu este benefică practicii

ştiinţifice. Dacă analizez continuu utilitatea sau nu a folosirii unui referenţial

spaţial anume pentru fenomenul de studiat, sau îmi pun permanent problema

valabilităţii relaţiei constitutive folosite pentru modelarea fluidului în cauză,

este mai mult ca sigur că nu voi aduce soluţia problemei la nivelul

testării/confirmării experimentale. După un timp finit de studiu cercetătorul

trebuie să fie capabil de a lua decizii concrete! Ştiinţa obţine rezultate prin

aplicarea corectă a teoremelor şi găsirea soluţiei matematice corespunzătoare

fenomenelor reale, nu prin discutarea permanentă a sistemului axiomatic.

Oare sunt prea ataşat “ştiinţei normale” pentru a fi capabil de ”revoltă”?

Auto-întrebări de natură ontologică:

Ce devine fiinţa care îşi pune întrebarea propriei existenţe în timp41?

Ce este un lucru42?

au o importanţă majoră în formarea şi educarea cercetătorului, la fel şi

descoperirea sensului unei afirmaţii de tipul:

Centrul disputei (controversei) a fost afirmaţia (lui Kuhn) că

practica ştiinţifică pre- şi postrevoluţiei ştiinţifice sunt

incomensurabile (nu se pot compara?) 39(2),

însă căutarea răspunsurilor prin cercetare ştiinţifică aplicată este, în opinia

mea, o eroare (în sensul propriu al acestui cuvânt).

Un gând filosofic bine formulat, de exemplu:

Ştiinţa ca proiecţie matematică a naturii43

poate aduce liniştea necesară peste puzzle... înaintea declanşării revoluţiei

aşteptate şi a schimbării paradigmei!

La finalul secolului XVIII, ecuaţia de conservare a impulsului (3.3) în

mecanica fluidelor avea expresia locală:

, (4.1)

tensiunea de suprafaţă fiind redusă la efortul de presiune (compresiune

izotropă), , unde s-a folosit relaţia lui Gauss,

.

(4.2)

41 Heidegger M. (1953) Sein und Zeit, Ediţia a 7-a, Tübingen: Max Niemeyer. Fiinţă şi timp, trad. de G. Liiceanu şi C. Cioabă, Bucureşti, Humanitas, 2003. 42 Heidegger M. (1967) What is a thing?, Regnery, Chicago. 43 atribuit lui Heidegger de T. Glazebrook în Heidegger’s philosophy of science, Fordham Univ. Press, NY, 2000.

43

Formula (4.1) se datorează în special şcolii de la Basel44, Leonhard Euler

(1707-1785) şi membrilor familiei Bernoulli, contribuţii remarcabile în

domeniu fiind aduse de Jean LeRond d’Alembert (1717-1783) şi Joseph Louis

Lagrange (1736-1813).

Produs al post-revoluţiei franceze, adversar declarat al lui Napoleon şi

regalist convins, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) a introdus conceptul de

tensor al tensiunilor T (denumit tensorul Cauchy). Practic, Cauchy a schimbat

paradigma în mecanica mediilor continue prin introducerea unei noi formulări

matematice a legii de conservare a impulsului21, 45, respectiv relaţia (3.3)

devine:

. (4.3)

Până la Cauchy rezolvarea puzzle-ului se reducea la obţinerea unei

soluţii acceptabile a ecuaţiei lui Euler (4.1). Post-Cauchy, greutatea problemei

cade pe găsirea unei expresii corespunzătoare a tensorului T, care să conducă

într-un final la soluţionarea ecuaţiei de mişcare (4.3) pentru un fluid anume...

puzzle-ul a căpătat acum o nouă dimensiune!

Cum a ajuns Cauchy la formula (4.3)?

Ecuaţia de echilibru (3.3) aplicată unui mediu continuu oarecare este:

( )

,

(4.4)

în care vectorul tensiune t este dependent la timpul t atât de coordonatele

spaţiale ale punctului de pe suprafaţa , cât şi de normala corespunzătoare.

Cauchy a observat că forma (4.4) nu se poate reduce la o expresie

locală deoarece, în lipsa prezenţei explicite a normalei n, integrala pe

suprafaţă nu se poate transforma într-o integrală pe volum, conform

relaţiei (4.2); în consecinţă a propus expresia:

( , ; ) ( , ) (4.5)

cu

; (4.6)

tensorul tensiune Cauchy,

t t t

t t t

t t t

(4.7)

fiind considerat simetric, t t .

44 Truesdell C. (1987) Great scientists of old heretics in „The Scientific method”, Univ. Press Virginia, Charlottesville. 45 Truesdell C. (1966) Six lectures on modern natural philosophy, Springer, Berlin.

44

Ipoteza (postulatul) lui Cauchy (4.5) afirmă că vectorul tensiune variază

liniar cu normala la suprafaţă, iar tensorul tensiune depinde exclusiv de

coordonatele spaţiale ale punctului respectiv. Cauchy şi-a justificat postulatul

observând că relaţia de echilibru (4.4) se poate aproxima cu formula:

0

, (4.8)

în limita 0 (de exemplu, dacă domeniul este un tetraedru al cărui

volum tinde către zero în jurul punctului curent M).

RReepprreezzeennttaarreeaa tteennssiiuunniiii ,, ccoorreessppuunnzzăăttooaarree ppuunnccttuulluuii ccuurreenntt MM ddee ppee ssuupprraaffaaţţăă,, şşii aa ccoommppoonneenntteelloorr tteennssoorruulluuii tteennssiiuunnee tt ((ii,, kk == 11,, 22,, 33)).. ÎÎnn ppuunnccttuull MM tteennssiiuunneeaa ssee ppooaattee

ddeessccoommppuunnee îînn ddoouuăă ccoommppoonneennttee:: ((ii)) nnoorrmmaallăă –– ttnn şşii ((iiii)) ttaannggeennţţiiaallăă –– tt..

Introducând (4.5) în (4.4) şi aplicând aşa-numita Lemă a integralei nule,

0 0 în ,

(4.9)

unde este un domeniu oarecare, funcţia ( , ) fiind continuă, se

obţine fără dificultate relaţia (4.3).

Evident, tensiunea într-un proces dinamic este legată cauzal de

cinematica mişcării, de asemenea tensiunea nu poate fi nulă dacă corpul se

află în stare de repaus... deci,

(4.10)

i = 1, 2, 3

ti

ti1

ti2

ti3

M

t1

t(x, n) n

t2

t3

n

( , ) n

t

t(x, n)

tn

t

n

x M

45

unde

1 0 00 1 00 0 1

(4.11)

reprezintă tensorul tensiune sferic existent în fluid indiferent de starea de

mişcare sau de repaus, ( ) fiind presiunea, iar

(4.12)

este extra-tensiunea, dependentă exclusiv de procesul deformaţiei (deci de

mişcare).

În structura axiomatică adoptată, extra-tensiunea trebuie să fie un

tensor independent de referenţial, o mărime obiectivă la schimbarea

sistemului de coordonate din 0 în 0 ,

(4.13)

unde este tensorul ortogonal caracteristic21, 45.

Relaţia de echilibru (4. ) capătă astfel forma locală (adică valabilă în fiecare

punct spaţial ocupat de fluid),

, (4.14)

sau

(4.15)

unde

(4.16)

(forţa masică specifică derivă din potenţialul ) şi

( )

. (4.17)

Se observă imediat că ecuaţia (4.1) este o formă particulară a relaţiei lui

Cauchy (4.15), obţinută pentru un tensor extra-tensiune cu

. (4.18)

Este important să remarcăm că expresia (4.15) capătă forma

(4.19)

în limita 0, aproximaţie identică cu neglijarea acceleraţiei şi forţei masice

în ecuaţia de echilibru.

Regăsim în (4.19) relaţia (3.2)... deci ne întoarcem la Aristotel!

Diferitele forme matematice ale relaţiei de conservare a impulsului

(denumită şi relaţia de echilibru a forţelor sau legea a II-a a lui Newton, sau

mai simplu ecuaţia de mişcare, în care putem încadra şi (4.1) cunoscută sub

numele de ecuaţia de mişcare a lui Euler) nu sunt decât piese disparate ale

46

puzzle-ului. Folosindu-şi o abilitate dobândită, cercetătorul construieşte prin

asamblarea pieselor imaginea fenomenului, o imagine de dorit a fi cât mai

apropiată de realitate... Dar se pot construi mai multe imagini, mai multe lumi

ideatice pentru o singură realitate cognoscibilă (copie a lumii existente în

afara fiinţei umane)... nu ştiu de ce, dar îmi amintesc de Platon (fără să-l fi citit

cu adevărat, recunosc!).

Revoluţia lui Kuhn poate fi privită ca o componentă a mecanismului

folosit de DASEIN să-şi motiveze existenţa printr-o teorie ştiinţifică. Probabil,

există speranţa că schimbările repetate de paradigmă au un sens – ne vor

purta asimptotic către Aletheia46 – adevărul ultim, fără de taine…

Eu nu strivesc corola de minuni a lumii şi nu ucid cu mintea tainele, ce le-ntâlnesc în calea mea în flori, în ochi, pe buze ori morminte.47

CCuurrggeerreeaa uunnuuii fflluuiidd vvââssccooss ((aappăă)) îînnttrr--uunn mmiiccrrooccaannaall ccuu llăăţţiimmeeaa ddee 770000 µµmm4488.. aa)) iimmaaggiinneeaa ddiiggiittaallăă aa ssttrruuccttuurriiii ccuurrggeerriiii ((ssppeeccttrruull lliinniiiilloorr ddee ccuurreenntt)) –– uunn ppaatttteerrnn aall

rreeaalliittăăţţiiii oobbţţiinnuutt pprriinn vviizzuuaalliizzaarree mmiiccrroossccooppiiccăă ddiirreeccttăă;; bb)) ssppeeccttrruull lliinniiiilloorr ddee ccuurreenntt oobbţţiinnuutt pprriinn ssiimmuullaarree nnuummeerriiccăă –– ppuuzzzzllee--uull ssuupprraappuuss ddee

cceerrcceettăăttoorr ppeessttee rreeaalliittaatteeaa oobbsseerrvvaattăă..

46 Knox A. (2009) A Heideggerian route through Kuhnian revolutions, teză de

doctorat, Louisiana State University. 47 Blaga L. (1919) Eu nu strivesc corola de minuni a lumii 48

Bălan C.M., Broboană D., Bălan C. (2010) Mixing process of immiscible fluids in microchannels. Int. J. Heat Fluid Flow 31, 1125-1133.

a b

47

55.. EECCUUAAŢŢIIAA DDEE MMIIŞŞCCAARREE –– IINNEERRŢŢIIAA LLUUII KKOOYYRRÉÉ4499,, PPEERRSSEEVVEERREENNŢŢAA

LLUUII BBLLAAGGAA5500,, ŞŞII NNUU ÎÎNN UULLTTIIMMUULL RRÂÂNNDD LLEEGGIILLEE LLUUII NNEEWWTTOONN

MMoottttoo::

ÎÎnn lliippssaa eenneerrggiieeii iinntteerrnnee,, ddiinn ppeerrsseevveerreennţţăă nnuu mmaaii rrăămmâânnee ddeeccââtt iinneerrţţiiaa...... îînn lliippssaa mmiisstteerruulluuii şşii iiuubbiirriiii rrăămmâânnee nniimmiiccuull..

dduuppăă BBllaaggaa

Arta dialogului şi retorica au o valoare epistemologică de necontestat;

sub nicio formă însă nu se poate reduce dezbaterea ştiinţifică la o discuţie

(închipuită) între Platon şi Aristotel, cum uneori filosofi cu preocupări

ştiinţifice şi cercetători ştiinţifici cu preocupări filosofice ne sugerează.

Înainte de a aplica şi rezolva ecuaţia mişcării fluidelor pentru un caz

concret trebuie să înţelegem principiul conservării impulsului, enunţat în baza

unor axiome... pe care le acceptăm tacit, aşa cum avem credinţa că adevărul

despre noi şi lume a fost revelat în Grecia Antică, de Socrate, Platon, Aristotel...

dar şi de Zenon şi Arhimede, primii care au enunţat întrebări şi judecăţi

indispensabile formării unei atitudini ştiinţifice.

La final de Renaştere, Galileo Galilei (1638) a reformulat Discursul

antic şi l-a folosit (eficient) pentru introducerea în spaţiul cunoaşterii

moderne a mecanicii (Μηχανική) – o adevărată revoluţie la acel moment în

ştiinţă, poate cea mai importantă din istorie... Isaac Newton (1687) a

generalizat discursul şi l-a structurat în Principii, sintetizate şi dezvoltate

ulterior de Euler şi de matematicienii francezi în mecanica raţională, disciplină

apărută la curţile şi academiile regilor şi împăraţilor Europei la final de

49 Alexandre Koyré (Taganrog, Rusia, 1892 – Paris, 1964)

Études galiléennes, Hermann, Paris, 1939. Newtonian studies, Chapman&Hall, 1965.

Galilei şi Platon, în Istoria ştiinţei şi reconstrucţia ei conceptuală, edit. Pârvu I., Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981, pp.165-191. 50 Lucian Blaga (Lancrăm, 1895 – Cluj Napoca, 1961) Ştiinţă şi creaţie, în Opere vol. 10 Trilogia valorilor, Editura Minerva, Bucureşti, 1987, pp. 53-211.

48

secol XVIII. A urmat naşterea ingineriei, în formă iniţială o sinteză între

mecanică şi matematică aplicată, o creaţie ştiinţifică a secolului al XIX-lea, veac

dominat de spirit revoluţionar, monarhii constituţionale şi imperialism.

Mulţi filosofi şi istorici ai ştiinţei au păstrat însă vie fascinaţia antică...

poate, pentru că învăţătura din tinereţe nu se uită, iar cea recentă nu este

temeinică; aşa cum un om de ştiinţă adevărat, în scrierile sale filosofice, nu

poate face abstracţie de matematică, fizică, biologie... referirile la Aristotel,

Bacon şi Kant fiind doar contextul ce îmbracă o erudiţie superficială.

Atunci, cum se poate naşte o filosofie a ştiinţei de valoare?

La început, printr-un Dialog imaginar despre mişcare şi dinamică între

personajele Greciei Antice, cu un moderator renascentist şi cronicari ai

secolului al XX-lea.... noi, inginerii, ascultăm.

Aristotel (384 – 322 Î.H.) fenomenul real nu trebuie supus

experimentului, ci studiat empiric... dinamica sa proprie te va conduce într-un

mod natural spre cunoaştere: cercetarea naturii primează modelului

matematic abstract.

Galilei (1564 – 1642) cunoaşterea ştiinţifică se bazează pe

experimentul controlat de teorie şi interpretat printr-un model matematic...

amintiţi-vă de Platon (circa 428 – circa 348 Î.H.) toate fenomenele fizicii

se pot deduce dintr-un model matematic fundamental, dintr-o formă perfectă.

Mişcarea nu este o stare… este o devenire… Devenirea are ca sfârşit al

său existenţa; mişcarea are ca scop al său repausul.49

„Interpretarea” datelor sensibile în lumina unor „idei teoretice” are loc,

în ultimă analiză, în funcţie de liniile de forţă ale unui „câmp stilistic”.50

Dinamicul devine o categorie fundamentală a existenţei, fiindcă el este

o categorie a spiritului apusean.50

Blaga consideră inerţia ca o perseverenţă a mişcării; concept sugerat

de Galilei şi enunţat de Newton.

Nu poţi stabili o teorie matematică a calităţii, obiectează Aristotel lui

Platon; nici chiar una a mişcării.49

49

Pentru Aristotel nu există interfaţă matematică între experienţa

empirică şi cunoaşterea ştiinţifică. În acelaşi timp, cunoaşterea ştiinţifică nu

poate fi o simplă reamintire, cum Platon susţinea49, ci trebuie dobândită prin

experimente multiple, validate în spiritul modelului teoretic adoptat.

Unui om de ştiinţă, care lucrează într-un anume „câmp stilistic” i se vor

părea „adevărate” sau „verosimile” numai construcţiile teoretice care urmează

liniile stilistice ale „câmpului” său 50... poate experimentul să fie independent

de liniile câmpului stilistic?... dar observaţia empirică?

Natura vorbeşte în limbaj matematic, mecanica fiind pentru Galilei o

demonstraţie experimentală a platonismului49, în viziunea lui Platon

matematica fiind un mod superior de cunoaştere51.

Pe scurt,

Toate metodele de cercetare sunt acceptate în ştiinţa de tip galileo-

newtonian, cu condiţia să fie susceptibile de a face de fiecare dată cuplu cu

matematica51.

Citatul lui Poincaré reprodus de Blaga51 încheie dialogul:

Ne-am putea întreba de ce generalizarea în ştiinţă îmbracă în fizică aşa

de bucuros forma matematică?. Cauza este acum uşor de recunoscut: aceasta

are loc nu numai fiindcă trebuie să se exprime legi numerice; aceasta are loc

fiindcă fenomenul de observat se produce prin suprapunerea unui mare număr

de fenomene elementare, care toate îşi sunt similare; astfel, ecuaţiile diferenţiale

se introduc în chipul cel mai firesc.

Ce mult îmi doresc ca în şcoala de inginerie mecanică din România să

se poată preda un curs de dinamica sistemelor urmând viziunea lui Poincaré...

atunci poate vom înţelege de ce filosofia ştiinţei este indispensabilă formării

omului de ştiinţă.

În mecanica fluidelor dialogul începe prin aplicarea principiilor

generale şi transformarea lor, folosind un limbaj matematic coerent, în ecuaţii

matematice rezolvabile.

51 Blaga L. (1969) Experimentul şi spiritul matematic, Editura Ştiinţifică, Bucureşti.

50

Urmează apoi discursul omului de ştiinţă, care trebuie să susţină prin

confirmări practice şi investigaţii experimentale soluţia obţinută (analitic sau

numeric, urmând o procedură deductivă precum Platon sau pe calea inductivă

propusă de Aristotel...).

Cuplarea principiului conservării masei cu principiul conservării

impulsului conduce la formarea următorului sistem de ecuaţii:

( ) = 0, (5.1)

( ) , (5.2)

unde s-au folosit relaţiile (3.4), (3.7) şi (4.14), respectiv , v. (4.16).

O rezolvare pentru tensorul extra-tensiune a fost găsită de Milne-

Thomson52. Acesta a observat că relaţia (5.1), denumită şi ecuaţia de

continuitate, este satisfăcută identic dacă:

, (5.3)

, (5.4)

unde este o funcţie scalară arbitrară (diferenţiabilă de poziţie şi timp).

Relaţia (5.2), denumită ecuaţia de mişcare, capătă astfel expresia:

( ) (5.5)

respectiv,

, (5.6)

cu un tensor arbitrar de ordinul doi, .

Soluţia (5.6) este elegantă şi generală, însă neutilizabilă în practică

deoarece câmpul de viteze nu este cunoscut; de asemenea, funcţiile şi trebuie

determinate pentru fiecare caz analizat în parte.

Procedura clasică pentru soluţionarea problemei este rezolvarea

simultană a ecuaţiilor (5.1) - (5.2) cu un set de relaţii constitutive (denumite şi

relaţii de material) pentru densitate, v. (2.2), (2.5), respectiv pentru tensorul

extra-tensiune. Expresia relaţiei constitutive pentru tensorul extra-tensiune se

construieşte plecând de la postulatele specifice enunţate în capitolul 2. Este o

legătură ce reflectă starea de tensiune din material la momentul actual în

52 Milne-Thomson L.M. (1957) A general solution of the equations of hydrodynamics, J. Fluid Mech. 2(1), 88.

51

funcţie de istoria deformaţiei corpului53. Formulele matematice

corespunzătoare relaţiilor constitutive pot fi ecuaţii integrale, ecuaţii

diferenţiale sau relaţii polinomiale, de exemplu modelul Reiner-Rivlin:

(5.7)

unde ( ) sunt funcţii scalare de invarianţii tensorului viteză de

deformaţie D (partea simetrică a gradientului de viteză)54.

O relaţie de tipul (5.7) se traduce astfel: starea de tensiune la timpul

prezent, într-un punct spaţial precizat, depinde numai de procesul deformaţiei

evaluat la timpul prezent în acel punct. Este cel mai simplu model de material

fluid... omogen, izotrop, fără memorie, fără influenţa deformaţiei din afara

vecinătăţii punctului spaţial în cauză.

Problema se simplifică considerabil dacă ne limităm la varianta liniară

a relaţiei (5.7), numită modelul lui Newton, respectiv:

2 (5.8)

şi fiind două constante de material (viscozitatea volumică şi viscozitatea

de forfecare).

Pentru un fluid considerat izodens (incompresibil), ,

relaţia (5.1) se reduce la 0 ( 0), obţinându-se din (5.8) expresia

2 ,

2

2

2

. (5.9)

având în vedere că în acest caz 2 , ecuaţia (5.2) capătă forma:

( ) , (5.10)

respectiv

, (5.11)

0

cu i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, sumarea fiind după indicele mut.

53 Truesdell C., Noll W. (1965) The non-linear field theories in mechanics, in Handbuch der Physics III/3, Springer, Berlin. 54 Bălan C. (2003) Lecţii de mecanica fluidelor, Editura Tehnică, Bucureşti.

52

Menţionăm două expresii echivalente cu (5.10),

( ) ( ), (5.12)

şi

( ) , (5.13)

unde

este vectorul vârtej (vorticitatea, v. cap.1).

Ecuaţia (5.10) poartă denumirea de ecuaţia Navier-Stokes, relaţie ce

exprimă forma matematică a principiului conservării impulsului, aplicat unui

fluid newtonian incompresibil55.

Expresia adimensională56 a ecuaţiei Navier-Stokes devine:

( ) , (5.14)

unde numerele adimensionale folosite au următoarele expresii şi denumiri:

v

( );

v ( );

v ( );

v ( ).

Dacă alegem corespunzător mărimile de referinţă folosite în procesul

de adimensionalizare pentru spaţiu, timp, forţă specifică masică, presiune şi

viteză, ( , , , , v ), atunci (5.14) este echivalentă cu ecuaţia:

( ) . (5.15)

În principiu, toate mişcările fluidelor newtoniene la numere Mach mici

( 1) pot fi descrise, reprezentate şi modelate exact de sistemul de ecuaţii

Navier-Stokes, (5.11), dacă condiţiile la limită şi iniţiale sunt corecte şi

suficiente. Aplicaţiile acestei ecuaţii sunt multiple, nefiind limitate numai la

studiul curgerii apei în canale/conducte şi a aerului. De exemplu, printre

ultimele domenii de aplicaţie ale sistemului Navier-Stokes se află biodinamica

fluidelor57; studiul curgerilor în plante, transportul moleculelor, mişcarea

55 Iacob C. (1959) Introduction mathématique à la mécanique des fluids, Editura Academiei, Bucureşti. Foiaş C., Manley O., Rosa R., Temam R. (2001) Navier-Stokes equations and turbulence, Cambridge Univ. Press, New York. Doering C.R. (2009) The 3D Navier-Stokes problem, Annu. Rev. Fluid Mech. 41, 109–128. 56 Mărimile adimensionale se obţin prin raportarea mărimii fizice dimensionale (reale) la o valoare de referinţă, de exemplu: (i) viteza adimensională se defineşte prin v , unde v este viteza de referinţă pentru procesul studiat, sau (ii) numărul lui Mach se defineşte ca v , unde este viteza sunetului, v. (2.5). 57 Fauci L.J., Dillon R. (2006) Biofluidmechanics of reproduction, Annu. Rev. Fluid Mech. 38, 371–394.

53

fluidelor în microcanale sub acţiunea câmpurilor electromagnetice, dinamica

spermatozoizilor, evoluţia tumorilor canceroase, hemodinamica anevrismelor

vasculare... toate aceste fenomene au la baza descrierii lor soluţia ecuaţiei

Navier-Stokes... pentru mine este fascinant!

Fascinaţia devine cu atât mai mare dacă analizăm dintr-o perspectivă

puţin diferită forma adimensională (5.15) a ecuaţiei Navier-Stokes. Este

evident că soluţiile pentru viteză şi presiune vor fi dependente de singurul

parametru prezent, respectiv numărul Reynolds. Astfel, într-un punct spaţial

fixat, soluţia pentru viteză are forma:

( , ) ( , ). (5.16)

În ipoteza existenţei soluţiei (5.16), se pun următoarele întrebări legitime:

1. Este această soluţie unică pentru toate valorile parametrului?

2. Dacă soluţia este unică, este şi stabilă?

3. Pentru un domeniu fixat (condiţii la limită date), cum influenţează

condiţiile iniţiale evoluţia în timp a soluţiei?

4. Este structura curgerii dependentă continuu de valorile parametrului

de control?... sau există valori critice ale numărului Reynolds care

diferenţiază calitativ clar pattern-urile asociate mişcării?

Răspunsurile la aceste întrebări implică folosirea unor ipoteze şi

modele suplimentare, în care apar concepte şi noţiuni precum perturbaţie,

instabilitate, turbulenţă... uneori cu sonoritate exotică: fractali, soliton,

sinergetică, haos şi catastrofă58! Întrebările enunţate deschid probleme noi,

care nu şi-au găsit până în prezent soluţii generale, unanim acceptate în

practica inginerească. Din acest motiv, confirmarea experimentală a soluţiilor

particulare Navier-Stokes devine o procedură obligatorie pentru validarea

modelului şi teoriei folosite.

Jensen K.H., Rio E., Hansen R., Clanet C., Bohr T. (2009) Osmotically driven pipe flows and their relation to sugar transport in plants, J. Fluid Mech. 636, 371–396. Kleinstreuer C., Li Z., M.A. Farber M.A. (2007) Fluid-structure interaction analyses of stented abdominal aortic aneurysms, Annu. Rev. Biomed. Eng. 9, 169–204. Konstantopoulos K., Thomas S.N., Cancer cells in transit: the vascular interactions of tumor cells, Annu. Rev. Biomed. Eng. 11, 177–202. Mofrad M.R.K. (2009) Rheology of the cytoskeleton, Annu. Rev. Fluid Mech. 41, 433–453. Tai Y-C., Ho C-M. (1998) Micro-electro-mechanical systems (MEMS) and fluid flows, Annu. Rev. Fluid Mech. 30, 579–612. 58 Drazin P.G., Reid W.H. (1999) Hydrodynamic stability, Cambridge Univ. Press. Haken H. (1977) Synergetics, Springer, Heidelberg. Manneville P. (2004) Instabilities, chaos and turbulence - An introduction to nonlinear dynamics and complex systems, Imperial College Press. Poston T., Stewart I. (1985) Teoria catastrofelor şi aplicaţiile ei, Editura Tehnică, Bucureşti.

54

Atât din perspectivă istorică59, cât şi “filosofică”60, mecanica fluidelor

este o disciplină ştiinţifică structural legată şi intrinsec dependentă de

metodele şi tehnicile de vizualizare ale proceselor dinamice.

CCuurrggeerreeaa ppllaannăă aa uunnuuii fflluuiidd vvââssccooss iinnccoommpprreessiibbiill ((uulleeii)) îînn jjuurruull uunnuuii pprrooffiill ““TT””.. MMiişşccaarreeaa ppeerrmmaanneennttăă aarree lloocc llaa nnuummăărruull RReeyynnoollddss –– RRee == 4400;; vviizzuuaalliizzaarreeaa

ttrraaiieeccttoorriiiilloorr ((aa)) şşii ssoolluuţţiiaa nnuummeerriiccăă aa ssiisstteemmuulluuii ddee eeccuuaaţţiiii NNaavviieerr--SSttookkeess ((bb)).. SSee rreemmaarrccăă aappaarriiţţiiaa cceelloorr ddoouuăă vvâârrtteejjuurrii îînn ssppaatteellee pprrooffiilluulluuii5544,, 6611,, mmăărriimmeeaa aacceessttoorraa

ffiiiinndd ddeeppeennddeennttăă ddee uunngghhiiuull ddee îînncclliinnaarree aall pprrooffiilluulluuii ffaaţţăă ddee ddiirreeccţţiiaa ccuurreennttuulluuii iinnffiinniitt aammoonnttee ddee pprrooffiill ((pprreessuuppuussăă ppeerrffeecctt oorriizzoonnttaallăă)).. ÎÎnn ddoommeenniiuull mmiişşccăărriiii llaammiinnaarree,,

lluunnggiimmeeaa vvâârrtteejjuurriilloorr ssiimmeettrriiccee LL eessttee ddiirreecctt pprrooppoorrţţiioonnaallăă ccuu nnuummăărruull RReeyynnoollddss ccaarraacctteerriissttiicc,, LL RRee.. PPeessttee oo vvaallooaarree ccrriittiiccăă aa nnuummăărruulluuii RReeyynnoollddss,, ,, eessttee ddee aaşştteeppttaatt ddeeppeennddeennţţaa:: LL ,, 00 << nn << 11.. VViizzuuaalliizzaarreeaa ccuurrggeerriiii fflluuiiddeelloorr vvââssccooaassee,, ccaa mmeettooddăă ddee ssttuuddiiuu şşii ddee vvaalliiddaarree aa ssoolluuţţiiiilloorr NNaavviieerr--SSttookkeess,, aa ffoosstt ddeezzvvoollttaattăă îînncceeppâânndd ddee llaa ssffâârrşşiittuull sseeccoolluulluuii XXIIXX..6600..11 SSiimmuullaarreeaa ccuurrggeerriiii ppee bbaazzaa ssoolluuţţiiiilloorr nnuummeerriiccee NNaavviieerr--

SSttookkeess,, ccoonnffiirrmmaattee pprriinn vviizzuuaalliizzăărrii ccaalliittaattiivvee şşii mmăăssuurrăăttoorrii ccaannttiittaattiivvee,, eessttee aassttăăzzii mmeettooddaa cceeaa mmaaii ffoolloossiittăă îînn aapplliiccaaţţiiiillee pprraaccttiiccee aallee mmeeccaanniicciiii fflluuiiddeelloorr,, ddeennuummiittăă şşii

CCFFDD –– CCoommppuuttaattiioonnaall FFlluuiidd DDyynnaammiiccss..

59 Gad-El-Hak M. (1998) Fluid mechanics from the beginning to the third millennium, Int. J. Engng. Editura 14(3), 177-185. 60 Bloor D. (2008) Sichtbarmachung, common sense and construction in fluid mechanics: the cases of Hele-Shaw and Ludwig Prandtl, Stud. Hist. Phil. Sci. 39, 349–358. Morrison M. (2006) Applying science and applied science: What's the difference?, Int. Studies Phil. Scie. 20(1), 81-91. 61 Broboană D., Muntean T., Bălan C. (2004) Mecanica fluidelor cu FLUENT, vol. 1, Editura Politehnica Press, Bucureşti. Bălan C., Legat V., Neagoe A., Nistoran D. (2004) Experimental investigations and numerical simulations for an open channel flow of a weak elastic polymer solution around a T-profile, Exp. Fluids 36, 408-418.

a)

b)

L

55

Vizualizarea fluidelor oferă imagini spectaculoase atât ale curgerilor

laminare ( ), în care liniile de curent şi vârtejurile sunt bine definite

(aşa cum este cazul precedent), cât şi ale structurilor complexe, permanente

sau tranzitorii, caracteristice evoluţiei mişcării către dinamica turbulentă

( ). Vom continua şi dezvolta acest subiect în capitolele următoare.

MMiişşccaarreeaa ddee rroottaaţţiiee CCoouueettttee6622--TTaayylloorr6633 îînnttrree cciilliinnddrriiii ccoonncceennttrriiccii –– vviizzuuaalliizzăărrii vvss.. ssiimmuullăărrii nnuummeerriiccee NNaavviieerr--SSttookkeess ((cciilliinnddrruull iinntteerriioorr ssee rrootteeşşttee ccuu vviitteezzăă ccoonnssttaannttăă,, cciilliinnddrruull eexxtteerriioorr ffiiiinndd îînn rreeppaauuss;; lluunnggiimmeeaa cciilliinnddrriilloorr eessttee ccuu mmuulltt mmaaii mmaarree ddeeccââtt

ssppaaţţiiuull ddiinnttrree cceeii ddooii cciilliinnddrrii)).. CCiilliinnddrruull eexxtteerriioorr eessttee ttrraannssppaarreenntt,, vviizzuuaalliizzăărriillee pprreezzeennttaattee ssuunntt rreeaalliizzaattee pprriinn iinnttrroodduucceerreeaa îînn fflluuiidduull aaffllaatt îînnttrree cciilliinnddrrii aa uunneeii ppuullbbeerrii

rreefflleeccttoorriizzaannttee.. TTrraannzziiţţiiaa ddiinnttrree mmiişşccaarreeaa llaammiinnaarrăă ssttaabbiillăă ((RRee << 111100)) şşii cceeaa ttuurrbbuulleennttăă ((RRee >> 11000000)) iimmpplliiccăă ttrreecceerreeaa pprriinn ddoouuăă ccoonnffiigguurraaţţiiii iinntteerrmmeeddiiaarree::

aa)) ccuurrggeerreeaa ccuu vvâârrtteejjuurrii TTaayylloorr –– RRee 115500,, şşii bb)) ccuurrggeerreeaa oonndduullaattoorriiee –– RRee 3377006644..

Imagistica aplicată mecanicii fluidelor îşi găseşte locul între ştiinţă şi

artă65 (artă a mişcării fluidelor sau o artă fluidă?…), spaţiul abstract în care

intuiţia cercetătorului şi educaţia sa în vizualizarea fenomenelor fizice devin

condiţii necesare reuşitei ştiinţifice.

62 Couette M. (1890) Etudes sur le frottement des liquids, Ann. Chim. Phys. 21, 443-510. 63 Taylor G. I. (1923) Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders, Phil. Trans. R. Soc. A, CCXXIII, 289-343. 64 Kádár R. (2010) Studiul mişcării fluidelor vâscoase şi viscoelastice între cilindri concentrici cu aplicaţii în hidrodinamica amestecătoarelor rotative, teză doctorat, U. P. Bucureşti. 65

Flow visualization – A course in the physics&art of fluid flow. www.colorado.edu/MCEN/flowvis/ Hertzberg J., Sweetman A. (2005) Images of fluid flow: Art and physics by students, J. Visualization 8(2), 145-152. Fujisawa N., Verhoeckx M., Dabiri D., Gharib M., Hertzberg, J. (2007) Recent progress in flow visualization techniques toward the generation of fluid art, J. Visualization 10(2), 163-170.

a) b)

56

Într-o altă dimensiune a aceluiaşi spaţiu, coexistenţa istoriei cu

spiritul ştiinţific şi trăirea culturală a generat prin studiile lui Blaga şi Koyré

contribuţii remarcabile în filosofia ştiinţei (în opinia mea, fără a fi lucrări

propriu-zise de filosofia ştiinţei… ).

Multe dintre scrierile lui Blaga se pot asocia gândirii lui Ernst Mach

(1838-1916), pe care l-a denumit un fizician al impresionismului; aşa cum

raţionamentele lui Koyré îşi au originea în operele marelui matematician

David Hilbert (1862-1943).

Blaga şi Koyré au fost însă uniţi prin intuiţie inteligentă şi

pătrunzătoare, prin erudiţie şi bun simţ. Amândoi au fost marcaţi în tinereţe

de opera lui Henry-Louis Bergson (1859-1941)… când Koyré începea studiile

cu Bergson la Paris, Blaga îşi publica reflecţiile asupra emblematicului creator

(1914). Era la începutul Primului Război Mondial.

Au avut atunci aceşti remarcabili gânditori intuiţia evenimentelor

secolului al XX-lea?… a dramelor ce vor urma şi a tragediilor prin care vor

trece?

Pentru ei va rămâne perseverenţa luminii-n poezie66 şi fascinaţia

existenţei inerţiei într-o lume închisă într-un univers infinit67… din neant şi

bibliografia citată a apărut The John Hopkins University, Baltimore...

Il Plazzetto, Clifford Ambrose Truesdell III (1919-2000).

BBiibblliiootteeccaa ““tteehhnniiccăă”” ddiinn bbiirroouull lluuii TTrruueessddeellll..

66 Blaga L. (1919) Poemele luminii, în Poezii (1967) Editura pentru Literatură, Bucureşti. 67 Koyré A. (1957) From the closed world to the infinite universe, John Hopkins Press, Baltimore.

57

IINNTTEERRLLUUDDIIUU:: AAmmiinnttiinndduu--mmii ddee TTRRUUEESSDDEELLLL

A trebuit să rămân fără curent electric într-o seară de noiembrie

(Sfinţii Mihail şi Gavril, 2010). Tăcerea luminii şi zgomotul străzii îmi învăluie

gândurile… aşez tăcut oglinda lângă lumânare, îmi devin intim, cu bucurie.

Conexiunea Google a sucombat provocator, a rămas mobilul pe care

l-am externalizat (voit) în neantul holului, pe măsuţă. Totul este acum

pregătit… îmi umplu tacticos stiloul cu cerneală şi îmi îndrept foile palide de

hârtie spre flacăra unduitoare. Aştept să vie…

Cum în seara asta mi-am propus să încep al… capitol din cartea

Mecanica Fluidelor… nicio filosofie… eram setat! Întunericul impus mi-a

formulat tema: Clifford Truesdell… numai pentru el valoarea luminii arzânde,

muzica pre-clasică in vivo şi limba latină erau componentele indispensabile

filosofiei naturale şi mecanicii raţionale la sfârşit de secol XX.

Mi-l amintesc în seara de noiembrie final la Baltimore, la Il Palazzetto.

Nu ştiu dacă lumina tremura, însă imaginea lui Clifford vibra. Ne-am întâlnit

într-o tăcere domoală, lină, duioasă. Copleşit de biblioteca din spatele biroului,

nu eram atent la gesturile lui. Răsfoia un manuscris şi ofta… uitarea îl

întovărăşea de o vreme… poate aceasta a fost şansa mea să-l cunosc.

58

Singur, departe de toţi, în amintire nu mi-a rămas decât împlinirea…

Truesdell nu mai era o persoană fizică, poate nu a fost niciodată pentru mine.

Eram eu aşa cum mă visam, etern şi absolut.

Mă conducea, sau îl conduceam, prin sălile bibliotecilor de la etaj…

Euler, Duhem, Virgiliu, da Vinci… lexicoane şi dicţionare infinite, albume de

artă renascentistă, Rodin (autentic)… într-un clarobscur care oprea timpul şi

sugera spaţiul.

Numai atunci nu am avut întrebări, îndoieli şi reproşuri. Niciodată nu

m-am cunoscut mai bine… Aşa era să fie, un orgoliu împlinit care îmi va da

puteri să dăruiesc necondiţionat iubirea, să mă dăruiesc?

Trăiam o întâlnire imposibilă, într-un spaţiu cu metrică neprecizată şi

normă variabilă. Am aflat din cărţi cât de diferiţi eram, în educaţie, în viziuni,

în vocabular, în plăceri… în ştiinţă.

Atunci… de ce?

Datorită excentricităţii lui perverse, nealterate de vârstă, sau datorită

căutărilor mele ingenue şi răscolitoare?

… Au venit electronii purtători de lumină… Lumânarea se stinge…

înainte sau după reflexia din oglindă?

Răspunsurile mă vor aştepta până la viitoarea pană de curent.

59

66.. CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIITTAATTEEAA LLAA NNIIEELLSS BBOOHHRR6688::

TTEENNSSIIUUNNEEAA SSUUPPEERRFFIICCIIAALLĂĂ ŞŞII EECCUUAAŢŢIIAA LLUUII SSCCHHRRÖÖDDIINNGGEERR

MMoottttoo::

ÎÎnn ccăăuuttaarreeaa aaddeevvăărruulluuii,, ccoorreessppoonnddeennţţaa ssppaaţţiiiilloorr şşii ccoommpplleemmeennttaarriittaatteeaa tteeoorriiiilloorr şşttiiiinnţţiiffiiccee ppoott ggeenneerraa uunn sseennttiimmeenntt ppeerrmmaanneenntt ddee iinncceerrttiittuuddiinnee..

dduuppăă BBoohhrr

La începuturile studiilor aprofundate de mecanica fluidelor m-a atras

similitudinea evidentă dintre ecuaţia Navier-Stokes şi ecuaţia lui Schrödinger...

nu-mi dădeam seama că erau complementare.

Textele lui Feyman despre mecanica cuantică69 mă fascinau... fără a

stabili însă o corespondenţă între ele şi mecanica fluidelor.

Câteva scrieri ale lui Heisenberg m-au orientat în timp către Niels

Bohr... Poate vizita la castelul Kronborg a grăbit întâlnirea cu mentorul Şcolii

de Mecanică Cuantică de la Copenhaga,

Nu este ciudat că acest castel parcă devine altfel când ne gândim că Hamlet a trăit aici?... Parcă auzim întrebarea „a fi sau a nu fi”.70

Şi pentru mine Helsingør reprezintă întreaga lume... Hamlet este infinit

mai complet şi mai complex decât orice creaţie ştiinţifică. Am sentimentul,

nelocalizat şi difuz, că Bohr a dorit stabilirea unei corespondenţe directe cu

Hamlet, a visat să-i fie complementar în spirit şi dual în acţiune...

Astfel, Bohr şi-a clădit lumea din universuri duale (continuum –

discret, undă – corpuscul, mecanică clasică – mecanică cuantică) puse în

corespondenţă prin complementaritate. Trecerea de la un univers la celălalt

68 Niels Henrik David Bohr (Copenhaga, 1885 – Copenhaga, 1962) The philosophical writings of Niels Bohr – Essays 1958-1962 on atomic physics and

human knowledge (1987) Ox Bow Press, Woodbridge, Connecticut.

Atomic Theory and the Description of Nature (1961) Cambridge Univ. Press. Fizica atomică şi cunoaşterea umană (1969) Editura Ştiinţifică, Bucureşti. 69 Feyman R. (1970) Fizica modernă – mecanica cuantică, Editura Tehnică, Bucureşti. 70 Heisenberg W. (1977) Amintiri despre Niels Bohr din anii 1922-1927, în Paşi peste graniţe, Editura Politică, Bucureşti.

60

este discretă, atât cât îi trebuie unui electron ce orbitează în jurul nucleului

să-şi schimbe nivelul energetic şi să emită un foton, o cuantă de lumină cu o

frecvenţă proporţională mărimii saltului. Un foton este mai puţin decât o

clipă... atât ai la dispoziţie pentru relevarea adevărului şi înţelegerea de sine.

Pentru Bohr, ca şi pentru Hamlet, desăvârşirea destinului s-a petrecut

în Anglia. Între 1911 şi 1918 Bohr a studiat la Cambridge cu J. J. Thomson

(1856-1940) şi la Manchester cu Ernest Rutherford (1871-1937). A urmat

aceleaşi drumuri cu Wittgenstein, sensuri diferite, alte condiţii iniţiale...

pe care le putem numi Max Planck (1858-1947) pentru Bohr şi Ludwig

Boltzmann pentru Wittgenstein, traiectorii apropiate pentru un moment,

atractori diferiţi, dinamică în spaţii complementare...

Bohr s-a întors în Danemarca să construiască o ŞCOALĂ şi să dea un

sens mecanicii cuantice. Nu ştiu dacă aspiraţiile lui şi-au atins asimptotic

limitele, dar doresc să cred că a simţit pentru un moment soluţia, oricum ar fi

fost ea: probabilă şi incertă pe hârtie, tragică şi devastatoare în realitate,

o cuantă efemeră... ca iubirea.

Bohr a fost în primul rând filosof, nu fizician70... nu sunt convins (chiar

dacă a fost un sincer admirator al lui Kierkegaard), însă mă regăsesc în

afirmaţia următoare: Bohr ştia că în timpul nostru filosofia naturii poate avea

putere numai dacă se supune în toate amănuntele criteriului sever al

corectitudinii experimentale.70

În viziunea lui Bohr experimentul este complementar teoriei, şi nu se

poate rezuma exclusiv la scopul de a valida teoria. Experimentul capătă

independenţă de fenomenul căruia îi este dedicat şi generează împreună cu

acesta un nou obiect de studiu. Evident apare incertitudinea: ce analizează

omul de ştiinţă printr-un experiment, fenomenul din realitate sau rezultatul

interacţiunii dintre fenomen şi instrumentul de măsură68?

Dacă şi fenomenul investigat devine complementar procedurii de

măsură, atunci principiul complementarităţii îşi justifică generalitatea în fizica

aplicată, de ce nu şi în filosofie...

Conceptul de complementaritate corespundea exact acelei atitudini

filosofice fundamentale pe care Bohr o împărtăşise întotdeauna şi în

care insuficienţa mijloacelor noastre de expresie era considerată o

problemă filosofică centrală.70

61

Se poate complementaritatea asocia coexistenţei inevitabile a unor

manifestări aparent contradictorii în dinamica fenomenelor ce au loc la scară

atomică?

În cazul unui răspuns afirmativ, ştiinţa devine cu adevărat umană…

incertă şi tainică.

În viziunea lui Kierkegaard, ştiinţa nu poate dovedi validitatea niciunui

adevăr 71… poate adevărul este în monologul lui Hamlet,

To be, or not to be, that is the question; Whether 'tis nobler in the mind to suffer The slings and arrows of outrageous fortune, Or to take arms against a sea of troubles, And by opposing, end them?72

poate în ultima sa tăcere...

Mecanica cuantică şi versurile lui Shakespeare îşi pierd farmecul dacă se

traduc... Înţelesul lor fundamental nu se poate decât simţi şi releva. Oare ne

lipseşte limbajul necesar exprimării îndoielii care ne însoţeşte clipele?

CCaasstteelluull KKrroonnbboorrgg ddiinn Helsingør.

71 www.associatedcontent.com/article/16310/kierkegaard_on_the_proof_of_god.html 72 Shakespeare W. (1965) Tragedia lui Hamlet – prinţ de Danemarca, Editura pentru Literatură, Bucureşti (actul III/1, pp. 160).

62

Niels Bohr şi Erwin Schrödinger (1887 – 1961) nu au fost întotdeauna în

rezonanţă. Vestita problemă asociată pisicii lui Schrödinger73, interpretată în

spiritul Şcolii de la Copenhaga, rămâne un paradox al mecanicii cuantice.

BBoohhrr şşii SScchhrrööddiinnggeerr,, CCoonnffeerriinnţţaa SSoollvvaayy,, BBrruuxxeelllleess,, 11992277..

Schrödinger a fost un produs al societăţii şi educaţiei vieneze la sfârşit

de imperiu austriac, spaţiu cultural major comparativ cu Europa nordică, în

care Danemarca îşi clădea cu nobleţe şi resemnare spiritul liberal. În anul când

Bohr părăsea Anglia, la finalul primei conflagraţii mondiale, Schrödinger era

foarte aproape să ocupe o poziţie de profesor la Universitatea din Cernăuţi

(Czernowitz)...

Cum ar fi evoluat fizica dacă... Şcoala de la Copenhaga şi Şcoala de la

Cernăuţi propuneau lumii ştiinţifice interpretări complementare ale mecanicii

cuantice... cercetătorii din Berlin, Cambridge şi Zürich fiind nevoiţi să facă

naveta între cele două centre universitare periferice spaţiului Europei

apusene?

Existenţa potenţială a unei istorii paralele ne aruncă-n incertitudine şi

fabulaţie ... poate, în acel spaţiu dual, într-un similar an 1977, premiul Nobel ar

fi fost împărţit de acad. Radu Grigorovici (1911 – 2008), România şi Sir Nevill

Francis Mott74 (1905 – 1996), Cavendish professor of physics at Cambridge,

England.... Radu Grigorovici fiind elevul preferat a doi renumiţi profesori de

fizică din Cernăuţi: Erwin Schrödinger şi Eugen Bădărău (1887 – 1975),

amândoi laureaţi ai premiului Nobel.

Există o visare în fiecare dintre noi... Pentru fizicieni visul este palpabil

şi are un nume – mecanica cuantică.

73 en. wikipedia.org/wiki/Schrödinger's_Cat 74 Laureant al premiul Nobel pentru fizică în 1977; a recunoscut realizările remarcabile ale academicianului Radu Grigorovici în fizica semiconductoarelor amorfe (domeniul pentru care Sir Nevill Mott a primit premiul Nobel).

63

CCaammbbrriiddggee UUnniivveerrssiittyy,, EEnnggllaanndd –– UUnniivveerrssiittaatteeaa CCeerrnnăăuuţţii,, BBuuccoovviinnaa..

64

Între mecanica cuantică, mecanica fluidelor şi filosofia ştiinţei există o

subtilă conexiune. Baza educaţiei lui Wittgenstein10 şi Bohr75 a fost mecanica

fluidelor, ecuaţia lui Schrödinger76 este similară ecuaţiei Navier-Stokes77…

parcă toate conexiunile devin complementare unui unic şi general model… ca

să nu mai amintim că teza de doctorat a lui Einstein31, 78 a fost un superb

exerciţiu de mecanica fluidelor aplicată, în care autorul teoriei relativităţii a

stabilit formula de calcul a viscozităţii echivalente pentru un amestec:

(1 2.5 ) (6.1)

şi a definit coeficientul de difuzie în mişcare browniană, v. formula Stokes cap. 3:

, (6.2)

în care este concentraţia volumică ( < 0.01) a unor particule sferice rigide

de diametru d în fluidul omogen cu viscozitatea ( fiind temperatura şi o

constantă).

La Schrödinger este chiar mai interesant. Plecând de la forma (5.8) a

tensorului extra-tensiune şi folosind notaţia introdusă în capitolul 5,

, (6.3)

ecuaţia de mişcare (5.2), respectiv ecuaţia Navier-Stokes pentru fluide

compresibile, devine:

( )

( ), (6.4)

unde s-a luat în considerare relaţia lui Stokes79 între cei doi coeficienţi de

viscozitate,

2 0. (6.5)

Folosind identitatea, ( ) ( ) şi ipoteza mişcării

potenţiale80 (deci irotaţionale – 0),

, (6.6)

75 Bohr N. (1909) Determination of the surface-tension of water by the method of jet vibration, Phil. Trans. R. Soc. London, A209, 281-317. 76 Peter Ván P., Fülöp T. (2006) Weakly non-local fluid mechanics: the Schrödinger equation, Proc. R. Soc. A462, 541-557. 77 Nassar A. (1985) Fluid formulation of a generalised Schrödinger-Langevin equation, J. Phys. A: Math. Gen. 18 L509, doi: 10.1088/0305-4470/18/9/004. 78 Einstein A. (1998) A new determination of molecular dimensions, in Einstein’s Miraculous Year, J. Statchel, Princeton Univ. Press. 79 Relaţia lui Stokes este echivalentă cu ipoteza că tensorul extra-tensiune este, pentru un fluid newtonian, un tensor deviator – 0. 80 Având în vedere caracterul irotaţional al mişcării potenţiale, tensiunea vâscoasă

dintr-un fluid newtonian devine în acest caz nulă. Această proprietate cinematică nu este însă echivalentă cu afirmaţia că fluidul este ideal (lipsit de viscozitate), pentru detalii v. www.aem.umn.edu/people/faculty/joseph/archive/docs/935_history_1.pdf Joseph D.D. (2003) Viscous potential flow, J. Fluid Mech. 479, 191–197.

65

relaţia (6.4) devine echivalentă cu:

( )

(6.7)

unde K este o constantă de integrare şi 4 (coeficient similar

viscozităţii cinematice a fluidului, : ).

Considerând potenţialul vitezei proporţional cu logaritmul unei funcţii ,

2 (6.8)

forma finală a ecuaţiei de mişcare devine81:

2

2

0, (6.9)

cu 2 ( ) .

Formula (6.9) corespunde ecuaţiei difuziei cu termen sursă, similară

structural cu ecuaţia lui Schrödinger69, 82,

0, (6.10)

unde ( , ) este funcţia de undă (distribuţia de probabilitate în spaţiu şi timp

a particulei) şi ( ) este potenţialul câmpului de forţe în care se mişcă

particula de masă m (cu 2 , fiind constanta lui Planck).

Ecuaţiile (6.9) şi (6.10) sunt deterministe, diferenţa dintre ele fiind

dată de interpretarea funcţiei necunoscute. În (6.9) este un câmp asociat

potenţialului vitezei (funcţie scalară continuă de spaţiu şi timp), iar în (6.10)

reprezintă o distribuţie de probabilitate, care se poate pune sub forma:

( , ) ( )

, (6.9)

în care E este valoarea probabilă a energiei totale a particulei şi o funcţie de

spaţiu ce urmează a fi determinată pentru problema concretă de studiu.

Interesant este să observăm că analogia celor două ecuaţii pune în

corespondenţă proprietatea de viscozitate a lichidelor şi constanta lui Planck,

( ) . (6.10)

unde n este numărul de moli pe unitatea de volum şi este temperatura de

vaporizare83.

81 Schmitt J. (1978) Fluid mechanics and quantum mechanics, Rev. L’Inst. Francais Petrole 6, 915-920. Christianto V., Smarandache F. (2008) An exact mapping from Navier-Stokes equation to Schrödinger equation via Riccati equation, Prog. Physics 1, 38-39. 82 Wichmann E.H. (1983) Fizica cuantică, în Cursul de fizică Berkeley, vol IV, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, pp.282-322. 83

Hirschfelder J.O., Curtiss C.F., Bird R.B. (1967) Molecular theory of gases and liquids, J. Wiley&Sons, New York.

66

Similitudinea “ascunsă” dintre mecanica cuantică şi mecanica fluidelor,

sugerată printre primii de David Bohm84 (1917 – 1992), a fost pusă în

evidenţă de recentele experienţe efectuate de echipa profesorului Yves

Couder85. Folosind interacţiunea dintre undele Faraday (obţinute pe suprafaţa

unui strat subţire de lichid prin vibraţia pereţilor vasului în care se află) şi o

picătură de lichid care “saltă” vertical pe suprafaţa fluidului, se pot modela

fenomene asociate interacţiunii undă – particulă din mecanica cuantică.

Se obţin imagini spectaculoase… ireale în cadrul mecanicii clasice a fluidelor.

PPiiccăăttuurrăă ddee lliicchhiidd mmeennţţiinnuuttăă îînn lleevviittaaţţiiee ddaattoorriittăă oosscciillaaţţiiiilloorr ggeenneerraattee ddee uunnddeellee FFaarraaddaayy;; iinntteerraaccţţiiuunneeaa ppiiccăăttuurriiii ccuu lliicchhiidduull aaffllaatt îînn vviibbrraaţţiiee ddeetteerrmmiinnăă aappaarriiţţiiaa uunnddeelloorr ddee ssuupprraaffaaţţăă,, vv.. ////wwwwww..llppss..uu--ppssuudd..ffrr//ssppiipp..pphhpp??aarrttiiccllee11663377&&llaanngg==ffrr..

Recent, John Bush86 de la MIT a preluat problema, dezvoltând în

continuare analogia dintre “picătura cuantică” de materie şi picătura de fluid.

Privind fascinat prezentările lui Couder şi Bush am retrăit anii finalului

de studenţie (1979-1980)… când lucram cu ardoare la primul meu articol,

O analogie între mecanica cuantică şi mecanica fluidelor87(în care am găsit o

soluţie particulară a relaţiei 6.10).

Inevitabil m-a cuprins nostalgia, regretul… disperarea… dacă eu

atunci... Este totuşi o plăcere în justificarea mediocrităţii… dar şi o speranţă.

Dacă un tânăr, ca mine acum 30 de ani, se va întâlni cu un mentor adevărat

cum a fost Bohr… se va putea repeta povestea?

84 Bohm D. (1952) A suggested interpretation of the quantum theory in terms of

hidden variables, Phys. Rev. 85, 166–179. 85 Couder Y., Fort E. (2006) Single-particle diffraction and interference at a

macroscopic scale, Phys. Rev. Letters 97, 154101.

Eddi A., Sultan E., Moukhtar J., Fort E., Rossi M., Couder Y. (2011) Information stored in Faraday waves: the origin of a path memory, J. Fluid Mech. 674, 433–463. 86 Bush J. (2010) Quantum mechanics writ large, PNAS 107 (41), 17455-17456. 87

Balan C. (1981) Simple analogii?, Sesiunea naţională a cercurilor ştiinţifice studenţeşti, Târgul Mureş (Premiul III)... no comments!

67

Cu siguranţă, pentru Bohr similitudinea dintre ecuaţia propusă de

Schrödinger şi ecuaţia Navier-Stokes a fost evidentă, având în vedere educaţia

solidă pe care o avea în mecanica fluidelor.

La 20 de ani, Bohr a primit medalia de aur a Societăţii Regale de Ştiinţe

din Danemarca (datorită acestei distincţii a obţinut bursa de studii în Anglia)

pentru o lucrare dedicată investigaţiei teoretice şi experimentale a curgerii

unui jet de fluid vâscos liber în aer.75

Studiul (efectuat în laboratorul de fiziologie al tatălui său) s-a bazat pe

o soluţie particulară a ecuaţiei Navier-Stokes. Pentru un fluid incompresibil,

aproximaţia Stokes a ecuaţiei Navier-Stokes (5.12) are expresia:

( ), (6.11)

echivalentă cu:

0, (6.12)

deoarece 0, ( ) şi ( ) 0.

Cu alte cuvinte, funcţia (redusă la presiune în cazul neglijării forţei masice)

este o funcţie armonică în domeniul de mişcare (definit de forma jetului).

Soluţia ecuaţiei (6.12) este unică dacă sunt cunoscute condiţiile la

limită pe toată frontiera domeniului (condiţii tip Dirichlet – este o funcţie

cunoscută sau condiţii tip Neuman – derivata funcţiei după direcţia normală

să fie cunoscută).

Punând condiţiile menţionate corect:

(i) pe suprafaţa liberă (necunoscută iniţial!) a jetului presiunea este

presiunea atmosferică ,

(ii) diferenţa dintre presiunea din jet ( ) şi este echilibrată pe

suprafaţa jetului de tensiunea superficială, conform formulei lui

Laplace:

(6.13)

(unde este tensiunea superficială a lichidului în aer şi sunt razele de

curbură ale suprafeţei jetului în punctul curent), Bohr a obţinut o soluţie a

ecuaţiei (6.12), urmând metoda lui Rayleigh88, pentru mişcarea de “vibraţie“

indusă de tensiunea superficială (prin unde capilare de suprafaţă) asupra unui

jet de fluid vâscos, axial-simetric, ce curge liber în atmosferă.

88 Lord Rayleigh (John William Strutt) (1879) On the instability of jets, Proc. London Math. Soc. 10, 4-13.

68

Aplicaţia dezvoltată în lucrare, prin care se stabileşte în final o

procedură de măsurare a tensiunii superficiale a lichidului de lucru, dovedeşte

abilităţi remarcabile ale autorului în iniţierea şi efectuarea cercetărilor

experimentale. A fost acest studiu o etapă relevantă pentru viitorul fondator al

mecanicii cuantice sau un simplu exerciţiu de pregătire “studenţesc”?

VViizzuuaalliizzaarreeaa uunnuuii jjeett lliibbeerr îînn aattmmoossffeerrăă,, îînn ffuunnccţţiiee ddee vvaallooaarreeaa vviitteezzeeii fflluuiidduulluuii llaa iieeşşiirreeaa ddiinn ttuubbuull ccaappiillaarr îînn aattmmoossffeerrăă:: aa)) VV00 == 77..88 mmmm//ss,, bb)) VV00 == 99..88 mmmm//ss,,

cc)) VV00 == 2299..55 mmmm//ss ((ddiiaammeettrruull ccaappiillaarruulluuii –– dd == 11..22 mmmm;; lliicchhiidduull ddee lluuccrruu:: gglliicceerriinnăă –– ddeennssiittaatteeaa 10101010 // ,, vviissccoozziittaatteeaa 00..9595 ,, tteennssiiuunneeaa ssuuppeerrffiicciiaallăă

00..067067 // )).. ÎÎnn pprreezzeennttuull eexxppeerriimmeenntt ssuupprraaffaaţţaa lliibbeerrăă aa jjeettuulluuii nnuu eessttee ““ppeerrttuurrbbaattăă”” ((ccaa îînn ccaazzuull aannaalliizzaatt ddee BBoohhrr7755)),, ddaattoorriittăă vvaalloorriiii mmiiccii aa nnuummăărruulluuii WWeebbeerr::

// ,, RR ffiiiinndd rraazzaa jjeettuulluuii.. PPrriinn ccrreeşştteerreeaa vviitteezzeeii,, ffoorrţţaa ddee iinneerrţţiiee ccrreeşşttee

((rreessppeeccttiivv nnuummăărruull RReeyynnoollddss:: // )),, ppoonnddeerreeaa ffoorrţţeelloorr ddee aaddeerreennţţăă ddiinnttrree gglliicceerriinnăă şşii ppeerreetteellee ddee ssttiiccllăă aall ttuubbuulluuii ccaappiillaarr ssccaaddee,, cceeeeaa ccee ddeetteerrmmiinnăă oo ffoorrmmăă

aapprrooaappee ppeerrffeecctt cciilliinnddrriiccăă aa jjeettuulluuii llaa iieeşşiirree îînn aattmmoossffeerrăă ((cc)).. PPeerrttuurrbbaaţţiiaa aassuupprraa ssuupprraaffeeţţeeii jjeettuulluuii,, iinndduussăă iinniiţţiiaall ddee ddiiffeerreennţţaa îînnttrree vviitteezzaa şşii

vviissccoozziittaatteeaa lliicchhiidduulluuii şşii aa mmeeddiiuulluuii îînnccoonnjjuurrăăttoorr ((aaşşaa--nnuummiittaa iinnssttaabbiilliittaattee KKeellvviinn--HHeellmmhhoollttzz)),, ddeetteerrmmiinnăă aappaarriiţţiiaa uunnoorr uunnddee ppee ssuupprraaffaaţţaa jjeettuulluuii ddaattoorriittăă pprreezzeennţţeeii

tteennssiiuunniiii ssuuppeerrffiicciiaallee.. OOddaattăă ccuu ccrreeşştteerreeaa vviitteezzeeii,, uunnddeellee ccaappiillaarree ggeenneerreeaazzăă oosscciillaaţţiiaa jjeettuulluuii ((iinnssttaabbiilliittaattee RRaayylleeiigghh--TTaayylloorr5588)) şşii îînn ffiinnaall rruuppeerreeaa ccoollooaanneeii ddee fflluuiidd şşii aappaarriiţţiiaa

ppiiccăăttuurriilloorr8899,, aaşşaa ccuumm eessttee vviizzuuaalliizzaatt îînn ffiigguurraa uurrmmăăttooaarree..

89 Yarin A. (1993) Free liquid jets and films: hydrodynamics and rheology, Longman, England.

a) b) c)

p0

69

VViinnttaaggee sscciieennttiiffiicc...... vviizzuuaalliizzăărrii aallee uunnddeelloorr ffoorrmmaattee llaa ssuupprraaffaaţţaa jjeettuurriilloorr ((aappăă îînn uulleeii))

îînnaaiinnttee ddee rruuppeerreeaa aacceessttoorraa.. FFeennoommeennuull,, aassoocciiaatt iinnssttaabbiilliittăăţţiiii hhiiddrrooddiinnaammiiccee,, eessttee ggeenneerraatt ddee pprreezzeennţţaa ffoorrţţeelloorr iinntteerrffaacciiaallee ((iimmaaggiinnii ssiimmiillaarree ssuunntt pprreezzeennttaattee ddee

NNiieellss BBoohhrr îînn lluuccrraarreeaa ssaa ddee ddeebbuutt7755))..

Lucrarea publicată în 1909 este un exemplu de urmat pentru orice

cercetător din mecanica fluidelor, Bohr demonstrând atunci că era pregătit

pentru marea încercare din lumea ştiinţei şi a filosofiei ştiinţei: apariţia

mecanicii cuantice.

Interesant este că, în acelaşi an, tânărul G. I. Taylor (v. cap.4 şi cap.7) a

publicat “o comunicare” în domeniul mecanicii cuantice90, după care însă a

abandonat domeniul, dedicându-se studiului mecanicii fluidelor... a avut tăria

unei opţiuni împotriva „modei”; Bohr şi Heisenberg (v. § cap.8) au urmat

cursul vremii...

90 Taylor G.I. (1909) Interference fringes with feeble light, Proc. Cambridge Phil. Soc. 15, 114-115 (lucrare comunicată de profesorul său, Sir J.J. Thomson... acelaşi care va lucra ulterior cu Bohr).

70

Pentru mine, descoperirea lucrării lui Bohr a fost o revelaţie… mi-a

adus aminte de tinereţe87, m-a repoziţionat (la final de carieră) faţă de

mecanica cuantică şi îmi dă forţă să continui cercetările în mecanica fluidelor…

Faptul că studiul realizat de Bohr în prima decadă a secolului XX este

considerat şi astăzi (după mai bine de un veac) un exemplu de referinţă în

domeniul dinamicii jeturilor91, îmi întăreşte convingerea că nereuşita

profesională poate fi suportată mult mai uşor prin umilinţă asumată raţional şi

înţelepciune.

La final de capitol mă bântuie o întrebare:

Există în fizică o complementaritate subtilă a mecanicii cuantice cu

mecanica fluidelor?

… sau această asociere este numai în imaginaţia mea, acolo unde încerc

să fac abstracţie de ireversibilitatea timpului şi certitudinea sfârşitului.

DDeeppllaassaarreeaa ppiiccăăttuurriilloorr ddee aappăă,, iimmeerrssaattee îînnttrr--uunn uulleeii ssllaabb vvââssccooss ((îînn pprreezzeennţţaa uunnuuii ssuurrffaaccttaanntt)),, ppee uunn ppllaann îînncclliinnaatt ((ssuubb aaccţţiiuunneeaa ffoorrţţeeii ggrraavviittaaţţiioonnaallee)).. ÎÎnnttrree ssuupprraaffaaţţaa

ssoolliiddăă şşii ppiiccăăttuurrăă eexxiissttăă uunn ssttrraatt ssuubbţţiirree ddee fflluuiidd lluubbrriiffiiaanntt.. ÎÎnn aacceesstt ccaazz,, vvaallooaarreeaa tteennssiiuunniiii iinntteerrffaacciiaallee ddeetteerrmmiinnăă mmăărriimmeeaa şşii ffoorrmmaa ppiiccăăttuurriilloorr..

91 Goren S.L., Wronski S. (1966) The shape of low-speed capillary jets of Newtonian liquids, J. Fluid Mech. 35(1), 185-198. Sterling A.M., Sleicher C.A. (1975) The instability of capillary jets, J. Fluid Mech. 68(3), 477-495. Bechteli S.E., Cooper J.A., Forest M.G., Petersson N.A., Reichard D.L., Saleh A., Venkataramanan V. (1995) A new model to determine dynamic surface tension and elongational viscosity using oscillating jet measurements, J. Fluid Mech. 293, 379-403. Wang J., Joseph D.D., Funada T. (2005) Pressure corrections for potential flow analysis of capillary instability of viscous fluids, J. Fluid Mech. 522, 383–394.

71

Este posibil, dar nu probabil, ca Niels Bohr să fi fost doar un fluidist

excentric... pentru care viziunea asupra structurii atomului publicată în 1913

nu era decât o etapă în desăvârşirea modelului picăturii de lichid al nucleului92.

În final, din jetul fluid se va desprinde (sub acţiunea destabilizatoare a

tensiunii superficiale în câmp gravitaţional) o picătură care, prin minimizarea

energiei de suprafaţă, va căpăta formă sferică... apoi sfera de fluid se va

dispersa în picături mai mici, din ce în ce mai mici... o fisiune a materiei, ca

într-o poveste de Andersen.

Nu pot preciza dacă mecanica fluidelor este complementară mecanicii

cuantice (sau invers!)... pot însă menţiona că activitatea ştiinţifică a lui Bohr

începe cu jetul de fluid (1909) şi se termină cu picătura de fluid (1939)...

restul a fost singurătatea lui Hamlet, “tăcerea” războiului şi filosofia ştiinţei93.

DDuuppăă ddeesspprriinnddeerreeaa ppiiccăăttuurriiii ddiinn jjeett,, aacceeaassttaa ccaappăăttăă îînn aaeerr ffoorrmmaa ssffeerriiccăă.. SSuubb aaccţţiiuunneeaa

ffoorrţţeeii ggrraavviittaaţţiioonnaallee vviitteezzaa ppiiccăăttuurriiii ccrreeşşttee,, cceeeeaa ccee ppooaattee ccoonndduuccee llaa rruuppeerreeaa ssuupprraaffeeţţeeii ssffeerriiccee şşii ffoorrmmaarreeaa iimmeeddiiaattăă aa uunnoorr ppiiccăăttuurrii mmaaii mmiiccii

((aaşşaa--nnuummiittaa aattoommiizzaarree))..

92 Sub influenţa fizicienilor Georgiy Antonovich Gamow (1904-1968) şi Carl Friedrich

Freiherr von Weizsäcker (1912-2007), Niels Bohr a propus în 1936 analogia dintre nucleul atomic şi picătura de lichid, pe baza acestei idei formulând apoi împreună cu John Archibald Wheeler (1911-2008) modelul fisiunii nucleare: Bohr N., Wheeler J.A. (1939) The mechanism of nuclear fission, Phys. Rev. 56,

426–450, pentru detalii v. cap. 5 în: Patel S.B. (1991) Nuclear Physics, New Age Int.,

New Delhi (pp. 181-212). 93 Healey R. (1995) Filosofia mecanicii cuantice – o interpretare interactivă, Editura Tehnică, Bucureşti.

picătură satelit

72

77.. NNEEVVOOIIAA DDEE AA ÎÎNNŢŢEELLEEGGEE RREEAALLIITTAATTEEAA –– VVIIZZUUAALLIIZZAARREEAA MMIIŞŞCCĂĂRRIIII

FFLLUUIIDDEELLOORR:: ÎÎNNTTRREE HH..SS.. HHEELLEE--SSHHAAWW9944,, LL.. PPRRAANNDDTTLL9955,, GG..II.. TTAAYYLLOORR9966 ŞŞII

AALLBBEERRTT EEIINNSSTTEEIINN9977 ((FFIIZZIICCIIAANN))

MMoottttoo::

MMiişşccaarreeaa îînnttrr--uunn rreeffeerreennţţiiaall pprreecciizzaatt eessttee uunniiccăă,, iimmaaggiinneeaa ccrreeaattăă ddeesspprree ffeennoommeennuull îînn ccaauuzzăă ddeeppiinnddee îînnssăă ddee nnooii:: rreeaalliittaatteeaa nnuu eessttee nniicciiooddaattăă rreellaattiivvăă!!

dduuppăă EEiinnsstteeiinn

Este important şi benefic pentru un om de ştiinţă obişnuit să înţeleagă

că vizualizarea dinamicii într-un spaţiu curb cu dimensiunea mai mare decât

trei este pentru el o iluzie. Cunoaşterea limitei este o condiţie necesară,

evident nu şi suficientă, pentru o reprezentare decentă a realităţii şi o

înţelegere corectă, poate nu şi profundă, a fenomenului. Călătoria pe o rază de

lumină rămâne apanajul fizicienilor geniali93 şi al filosofilor care percep

frumuseţea matematicii aplicate în cotidian.

Albert Einstein a fost un astfel de caz: un fizician genial care rămânea

fascinat de mişcarea frunzelor de ceai într-o cană cu apă fierbinte.

94 Henry Selby Hele-Shaw FRS60 (London, 1854 – London, 1941) Investigation of the nature of surface resistence of water and of stream-line motion under certain experimental conditions (1898) Trans. Institution Naval Architects 40, 21-46. The motion of a perfect liquid (1899) Nature 60, 446-451. Alexander Vasil’ev A. (2009) From the Hele-Shaw experiment to integrable systems: a historical overview, Compl. Anal. Oper. Theory 3, 551–585 95 Ludwig Prandtl12, 60 (Freising, 1875 – Göttingen, 1953) Essentials of Fluid Dynamics (1952) Hafner Publications, New York. Oertel H. (ed.), Prandtl – essentials of fluid mechanics (2010) Springer, New York. Vogel-Prandtl J. (2004) Ludwig Prandtl - A biographical sketch, remembrances and documents, International Centre for Theoretical Physics Trieste, Italy. 96 Sir Geoffrey Ingram Taylor63 (London, 1886 – Cambridge, 1975) The interaction between experiment and theory in fluid mechanics (1974) Annu. Rev. Fluid Mech. 6, 1-17. Brenner M.P., Stone H.A. (2000) Modern classical physics through the work of G.I.Taylor, Physics Today May, 30-35. Batchelor G.K. (2008) The life and legacy of G. I. Taylor, Cambridge Univ. Press. 97 Albert Einstein31, 78 (Ulm, 1879 – Princeton, 1955) Teoria relativităţii (1957) Editura Tehnică, Bucureşti; traducerea ediţiei: The meaning of relativity (1955) Princeton Univ. Press.

73

Aidoma mai tinerilor Bohr (v. cap.6) şi Heisenberg (v. cap.7), Einstein

şi-a încadrat temporal opera de studii în mecanica fluidelor98.

Credeţi că teoria relativităţii poate fi disociată de experienţa zilnică a

difuziei cafelei şi jocului frunzelor de ceai98.2 după ce amestecăm cu linguriţa în

cană? (... pentru a grăbi difuzia moleculei de zahăr, a cărei dimensiune Einstein

a calculat-o în 1905!31, 78). Dacă nu avem capacitatea de a înţelege sensul

adevărat al lucrurilor, măcar să avem decenţa de a privi cu obiectivitate

natura, vizualizând mişcarea.

Bunul simţ (aşa-numitul “common-sense epistemology of scientific

practitioners”60) îmi spune să mă bucur de frumuseţea dinamicii ce

mă-nconjoară şi să sper că modelul propus o va reflecta aşa cum este... nu cum

ne dorim noi să fie. Vizualizarea unui proces fluid nu este o viziune a

cercetătorului, este obiectivarea unei realitaţi într-o formă grafică accesibilă

observatorului. Este bazată pe un procedeu de reconstrucţie imagistică, în

care elementul primar al puzzle-ului este voxel-ul (Volumetric Picture

Element). Mărimea voxel-ului stabileşte implicit scara fenomenului vizualizat

şi acurateţea imaginii obţinute, imagine care trebuie să fie într-o relaţie de

corespondenţă cu mişcarea reală şi nu complementară acesteia.

Principial, o vizualizare nu este incertă, dar poate lăsa loc la

interpretări60. De multe ori, imaginea obţinută capătă un statut de paradigmă

pentru omul de ştiinţă, care îi caută înţelesul şi modelul de reprezentare.

Se formează astfel cadrul cunoaşterii ştiinţifice în mecanica fluidelor:

mmooddeell tteeoorreettiicc –– vviizzuuaalliizzaarree eexxppeerriimmeennttaallăă –– ssiimmuullaarree nnuummeerriiccăă99,,

relevat adesea cercetătorului prin asocierea fenomenului fizic cu arta vizuală...

Imagistica are nevoie întotdeauna de o simeză specifică, care poate fi ceaşca

de cafea (difuzie), cana de ceai (curgeri secundare) sau un pahar de vin bun

(efectul Marangoni100), întovărăşite de muzica lui Mozart (unde sonore...) şi

lumina Soarelui reflectată de Lună (unde electromagnetice...).

98 Einstein A. (1901) Folgerungen aus den Capillaritätserscheinungen, Annalen der Physik 4, 513-523. Einstein A. (1926) Die Ursache der Mäanderbildung der Flussläufe und des sogenannten Baerschen Gesetzes, Die Naturwissenschaften 14, 223–224. (v. paradoxul frunzei de ceai: en.wikipedia.org/wiki/Tea_leaf_paradox) 99 Aref H. (1986) The numerical experiment in fluid mechanics, J. Fluid Mech. 173, 15-41. 100 Carlo Giuseppe Matteo Marangoni (1840 -1925), fizician italian.

74

CCuurrccuubbeeuull110011 şşii eecclliippssaa ddee SSooaarree…… NNeewwttoonn,, GGooeetthhee,, BBllaaggaa..

Imagistica (denumirea generică a procedeelor de vizualizare) a fost la

început o simplă fotografie..., dar pozele lui Hele-Shaw şi Prandtl au creat

paradigme noi în ştiinţă şi au deschis domeniul cercetărilor fundamental-

aplicative în mecanica fluidelor.

Fotografia rămâne fascinantă... este poate singura imagine statică a

timpului de neoprit, un paradox... Fotografia nu numai imortalizează, dar prin

asociere poate da omului mediocru iluzia nemuririi sau, de ce nu, a geniului!...

este greu să rezişti tentaţiei…

Efectul Marangoni (Gibbs-Marangoni) denumeşte procesul de transfer de masă ce are loc la interfaţa a două fluide datorită unui gradient al tensiunii superficiale, v. cap.6, relaţia (6.13). Fenomenul se observă la peretele paharului cu vin, în momentul evaporării alcoolului - lacrimile vinului , v. en.wikipedia.org/wiki/Marangoni_effe Dehaech S., Wylock C., Colinet P. (2009) Evaporating cocktails, Phys. Fluids 21, 091108s2009d. 101 Pincock C. (2011) Mathematical explanations of the rainbow, Stud. History Phil. Modern Phys., doi:10.1016/j.shpsb.2010.11.003.

75

LLuuddwwiigg PPrraannddttll ((11990044,, HHaannnnoovveerr)) –– CCoorrnneelliiuu BBăăllaann ((22000044,, GGööttttiinnggeenn))

DDiissppoozziittiivvuull eexxppeerriimmeennttaall ffoolloossiitt iinniiţţiiaall ddee PPrraannddttll ppeennttrruu vviizzuuaalliizzaarree eerraa uunn ccaannaall ccuu

ssuupprraaffaaţţăă lliibbeerrăă,, îînn ccaarree lliicchhiidduull eessttee ppuuss îînn mmiişşccaarree mmaannuuaall.. PPee ssuupprraaffaaţţaa lliibbeerrăă ssee

rrăăssppâânnddeesscc fflloottooaarree ccaarree ssee oorriieenntteeaazzăă dduuppăă ttrraaiieeccttoorriiiillee ppaarrttiiccuulleelloorr fflluuiiddee.. AAssttffeell,,

pprriinn ffoolloossiirreeaa uunnoorr ttiimmppii ddee eexxppuunneerree ccoorreellaaţţii ccuu vviitteezzaa ddee ccuurrggeerree,, ssee îînnrreeggiissttrreeaazzăă

ffoottooggrraaffiicc ssppeeccttrruull mmiişşccăărriiii ssuubb ffoorrmmaa uunnoorr lliinniiii ccoonnttiinnuuee.. PPrriinncciippiiaall,, aacceeaassttăă mmeettooddăă

ddee vviizzuuaalliizzaarree ssee ffoolloosseeşşttee şşii aassttăăzzii,, eeaa ffiiiinndd ccuu aattââtt mmaaii pprreecciissăă ccuu ccââtt ddiimmeennssiiuunneeaa

ppaarrttiiccuulleelloorr iinnttrroodduussee îînn ccuurrggeerree eessttee mmaaii mmiiccăă şşii aappaarraattuurraa ddee îînnrreeggiissttrraarree ooppttiiccăă eessttee

mmaaii ppeerrffoorrmmaannttăă ((aaşşaa--nnuummiittaa mmeettooddăă PPIIVV110022 –– PPaarrttiiccllee IImmaaggiinngg VVeelloocciimmeettrryy)).. AAllttee

mmeettooddee ddee vviizzuuaalliizzaarree ffoolloossiittee uuzzuuaall îînn pprreezzeenntt ((îînn aaffaarrăă ddee vviizzuuaalliizzaarreeaa ooppttiiccăă ddiirreeccttăă))

ssee bbaazzeeaazzăă ppee tteehhnniiccaa hhoollooggrraaffiiccăă,, NNMMRR –– NNuucclleeaarr MMaaggnneettiicc RReessoonnaannccee,,

LLDDVV –– LLaasseerr DDoopppplleerr VVeelloocciimmeettrryy110033..

Este un lucru unanim acceptat că Ludwig Prandtl trebuia să devină

laureat al Premiului Nobel104 … nu numai pentru introducerea conceptului de

strat limită105, ci mai ales pentru viziunea impusă lumii ştiinţifice asupra

ingineriei aplicate în mecanica fluidelor şi a statutului de cercetător în

societatea modernă.

102 Wereley S.T., Meinhart C.D. (2010) Recent advances in micro-Particle Image Velocimetry, Annu. Rev. Fluid Mech. 42, 557–576. 103 Smits A.J., Lim T.T. (2000) Flow visualization: techniques and examples, Imperial College Press, London. Yang W-J. (2001) Handbook of flow visualization, Taylor&Francis, New York. Katz J., Sheng J. (2010) Applications of holography in fluid mechanics and particle dynamics, Annu. Rev. Fluid Mech. 42, 531–555. 104 O'Malley Jr. R.E. (2010) Singular Perturbation theory: a viscous flow out of Göttingen, Annu. Rev. Fluid Mech. 42, 1-17. 105 Anderson Jr. J.D. (2005) Ludwig Prandtl’s boundary layer, Physics Today, December, 42-48.

76

Prandtl a vizitat România la începutul celui de-al Doilea Război

Mondial91.3 (aprilie-mai, 1941), având o contribuţie semnificativă la formarea

Şcolii de mecanica fluidelor din Bucureşti, acad. Dumitru Dumitrescu

(1904-1983) fiindu-i unul dintre ultimii doctoranzi106. Stilul de cercetare

introdus de Prandtl la Göttingen s-a transmis din aproape în aproape107… şi

aşa am început să pozez traiectorii pe suprafaţa fluidelor61.2… forme dinamice

a căror frumuseţe estetică nu poate fi negată.

Se pot considera aceste fotografii artă vizuală?… Nu sunt scrierile de

popularizare ale fizicienilor tratate (uneori!) drept lucrări filosofice?

VViizzuuaalliizzaarreeaa ccuurrggeerriiii llaammiinnaarree îînn jjuurruull uunnuuii pprrooffiill ““TT”” îînncclliinnaatt,, vv.. ccaapp.. 556611,, llaa ddoouuăă

nnuummeerree RReeyynnoollddss ddiiffeerriittee ((RRee == 2200 şşii RRee == 4400)).. MMeettooddaa pprriinn ccaarree ss--aauu oobbţţiinnuutt îînn

LLaabboorraattoorruull RREEOORROOMM aacceessttee ffoottooggrraaffiiii îînn aannuull 11999977 eessttee iiddeennttiiccăă ccuu cceeaa ffoolloossiittăă ddee

LLuuddwwiigg PPrraannddttll llaa îînncceeppuuttuull sseeccoolluulluuii XXXX..

106 Dumitrescu D. (1941) Strömung an einer Luftblase im senkrechten Rohr, Georg August Universität, Göttingen (teză doctorat). 107 Dumitrescu D., Cazacu M.D. (1970) Theoretische und experimentelle

betrachtungen über die strömung zaher flussigkeiten um eine platte bei kleinen und mittleren Reynoldszahlen, ZAMM 50, 257-280.

77

Ştiinţa mecanicii fluidelor se transmite din generaţie în generaţie, dar

numai înţelegerea frumuseţii ei poate declanşa mecanismul ereditar care

activează pasiunea pentru cunoaşterea-n domeniu; oare ce mesaj a lăsat

bunicul Niels Bohr nepoţilor108?

Peste un nivel de percepţie, imagistica dinamicii fluidelor109 (devenită

obiect de studiu65) se contopeşte în arta vizuală. Topologia mişcărilor

laminare în geometrii complexe12,63,95.2, “cascadele” de vârtejuri108,109,

procesele de amestec, asociate de multe ori turbulenţei şi comportamentului

haotic110 (v. cap. 8), conţin într-un mod intrinsec valenţe artistice111.

Vârtejurile desenate de Leonardo Da Vinci112 şi valurile înspumate din

stampele japoneze111.2 sunt printre primele vizualizări care au prefaţat ştiinţa

newtoniană… aşa cum pointilismul a premers teoriei fractalilor,

impresionismul a propus imagistica ca metodă de cunoaştere şi sculptura lui

Brâncuşi a anticipat era spaţială.

Ingineria fluidelor şi arta vizuală creează astăzi113 o imagine nouă

asupra fenomenelor din natură şi stabilesc împreună cadrul şi direcţiile

viitoare de studiu în domeniu. Avem şansa de a formula acum o nouă

paradigmă, de data aceasta a educaţiei: imaginea lumii creată la nivel

individual şi colectiv trebuie să reflecte cunoaşterea naturii şi înţelegerea

holistică a mecanismului vieţii. Ştiinţa este doar o piesă a puzzle-ului,

incapabilă să formeze singură o reflectare nedistorsionată a realităţii.

108 Andersen A., Bohr T., Schnipper T. (2010) Separation vortices and pattern formation, Theor. Comput. Fluid Dyn. 24, 329–334. 109 //media.efluids.com/galleries/educational 110 Ottino J.M. (1989) The kinematics of mixing: stretching, chaos, and transport, Cambridge Univ. Press. Wiggins S., Ottino J.M. (2004) Foundations of chaotic mixing, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A362, 937–970. 111 Ottino J.M. (2010) The art of mixing with an admixture of art: Fluids, solids, and visual imagination, Physics Fluids 22, 021301. Fujisawa N., Brown K., Nakayama Y., Hyatt J., Corby T. (2008) Visualization of scientific arts and some examples of applications, J. Visualization 11, 387-394. 112 M. Gharib M., D. Kremers D., Koochesfahani M.M., Kemp M. (2002) Leonardo’s vision of flow visualization, Exp. Fluids 33, 219–223. 113 Gad-el-Hak M. (1998) Fluid mechanics from the beginning to the third millennium, Int. J. Eng. 14, 177-185.

78

Contribuţia filosofiei ştiinţei devine indispensabilă în acest moment

(remarcabil studiul lui Bloor60!),114 putând contribui decisiv la modificarea

percepţiei asupra cercetării ştiinţifice şi la restructurarea curriculum-ului

universitar al disciplinelor inginereşti… De ce să nu începem cu mecanica

fluidelor? Este poate momentul să gândim din nou educaţia ştiinţifică ca un

întreg, ca o întoarcere la natură… să studiem natural science, natural

philosophy115, rational mechanics…., iar titlurile noastre ştiinţifice să însemne

cu adevărat PhD – Doctor in Philosophy!

CCoonnssttaannttiinn BBrrâânnccuuşşii –– PPaassăărree îînn ssppaaţţiiuu,, 11992277..

114 Batterman R.W. (2005) Critical phenomena and breaking drops: infinite idealizations in physics, Stud. Hist. Phil. Modern Physics 36, 225–244. Needham P. (2008) Is water a mixure? Bridging the distinction between physical and chemical properties, Stud. Hist. Phil. Sci. 39, 66–77. Aubin D. (2008) ‘The memory of life itself’: Bénard’s cells and the cinematography of self-organization, Stud. Hist. Phil. Sci. 39, 359–369. Klein C. (2010) Images are not the evidence in neuroimaging, Brit. J. Phil. Sci. 61, 265–278. 115 Truesdell C. (1966) Six lectures on modern natural philosophy, Springer, New York.

79

VViizzuuaalliizzaarreeaa ddiirreeccttăă aa ssttrraattuulluuii lliimmiittăă1122,, 110011 îînn ccuurrggeerreeaa ppeerrmmaanneennttăă ccuu ssuupprraaffaaţţăă lliibbeerrăă..

SSttrraattuull lliimmiittăă eessttee zzoonnaa ddiinn iimmeeddiiaattaa vveecciinnăăttaattee aa ccoorrppuurriilloorr ssoolliiddee,, aaffllaattee îînnttrr--uunn

ccuurreenntt ddee fflluuiidd pprreessuuppuuss iinnffiinniitt,, îînn ccaarree vviitteezzaa fflluuiidduulluuii vvaarriiaazzăă ddee llaa vvaallooaarreeaa vviitteezzeeii

ccoorrppuulluuii ssoolliidd ((fflluuiidduull eessttee ccoonnssiiddeerraatt vvââssccooss nneewwttoonniiaann,, ddeeccii aaddeerrăă llaa ssuupprraaffaaţţaa

ssoolliiddăă)) llaa 9999%% ddiinn vvaallooaarreeaa vviitteezzeeii ccuurreennttuulluuii lliibbeerr.. ÎÎnn iinntteerriioorruull ssttrraattuulluuii lliimmiittăă

ffoorrţţeellee ddee ffrreeccaarree vvââssccooaassee ssuunntt ddee aacceellaaşşii oorrddiinn ddee mmăărriimmee ccuu ffoorrţţeellee ddee iinneerrţţiiee,, îînn

ttiimmpp ccee îînn aaffaarraa ssttrraattuulluuii lliimmiittăă tteennssiiuunneeaa vvââssccooaassăă ssee ppooaattee nneegglliijjaa,, ddeeccii fflluuiidduull ssee

ccoonnssiiddeerrăă iiddeeaall –– ffăărrăă vviissccoozziittaattee.. ÎÎnn ccoonnsseecciinnţţăă,, ffoorrţţeellee hhiiddrrooddiinnaammiiccee ddee rreezziisstteennţţăă llaa

îînnaaiinnttaarree ssuunntt ddeetteerrmmiinnaattee îînn pprriinncciippaall ddee ssttrruuccttuurraa ccuurrggeerriiii ddiinn ssttrraattuull lliimmiittăă..

AApplliiccaaţţiiiillee aacceessttuuii ccoonncceepptt ssuunntt aassttăăzzii mmuullttiippllee,, iinniiţţiiaall ffiiiinndd ddeezzvvoollttaattee ddee PPrraannddttll îînn

ddoommeenniiuull aaeerroonnaauuttiicciiii.. ÎÎnn pprriimmaa ffoottooggrraaffiiee ssee rreepprreezziinnttăă ssppeeccttrruull lliinniiiilloorr ddee ccuurreenntt llaa oo

llăărrggiirreeaa bbrruussccăă aa uunneeii sseeccţţiiuunnii ddee ccuurrggeerree,, zzoonnaa ccuurrggeerriiii pprriinncciippaallee ffiiiinndd pprreecciiss

mmaarrccaattăă.. ÎÎnn uurrmmăăttooaarreellee ppaattrruu iimmaaggiinnii ssee pprreezziinnttăă ddeelliimmiittaarreeaa ((ffaaţţăă ddee ddoommeenniiuull

ccuurrggeerriiii)) aa zzoonneeii uunnddee ssttrraattuull lliimmiittăă ssee ddeezzvvoollttăă îînn vveecciinnăăttaatteeaa uunnoorr pprrooffiillee

hhiiddrrooddiinnaammiiccee.. VViizzuuaalliizzaarree llaa RRee 2200,, ccuurrggeerreeaa aarree lloocc ddee llaa ssttâânnggaa llaa ddrreeaappttaa..

80

Din punctul meu de vedere, prima lucrare CFD (Computational Fluid

Dynamics) a fost publicată de G. I. Taylor în anul 192363. Acest studiu

reprezintă până astăzi un model de abordare, investigare şi reprezentare

teoretică, experimentală şi numerică a unui fenomen din mecanica fluidelor.

Este o continuare şi o desăvârşire a lucrărilor lui Rayleigh, Couette, Hele-Shaw,

Prandtl şi Bohr… într-un stil inconfundabil marca Cambridge University, UK.

Taylor a propus spre studiu comunităţii ştiinţifice o mişcare

emblematică pentru fenomenele dinamice: curgerea în spaţiul dintre doi

cilindri generată de rotaţia relativă a acestora (v. cap.5). Din acel moment,

studiile fundamentale şi aplicative asupra tranziţiei dintre mişcarea laminară

şi cea turbulentă, şi implicit a stabilităţii curgerii fluidelor vâscoase, trebuie să

se raporteze la ceea ce astăzi se numeşte mişcarea Taylor-Couette116.

Evoluţia mecanicii fluidelor în secolul al XX-lea a fost marcată de

Prandtl şi Taylor, oameni de ştiinţă autentici, fondatori de şcoală117 şi, nu în

ultimul rând, personalităţi dedicate societăţii (şi iubitori de muzică, amândoi

fiind pianişti decenţi). Întâlnirea dintre cei doi la Cambridge în 1934 (când

Prandtl, la recomandarea lui Taylor, a primit titlul onorific de doctor) a făcut

istorie… o istorie care ar trebui continuată de fiecare cercetător, aspirant la

statutul de om al ştiinţei.

Un exemplu de abordare ştiinţifică pe linia Prandtl-Taylor este prima

lucrare118 a lui George Keith Batchelor (1920-2000), mult timp director al

DAMTP - Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics,

Cambridge... (Silver Street, ce poveste!) publicată în Journal of Fluid Mechanics

(JFM). În această lucrare autorul obţine o soluţie Navier-Stokes într-un

domeniu închis, în limita viscozităţii zero (deci a fluidului ideal, respectiv

pentru numere Reynolds foarte mari). Nu am să mă refer la conţinutul

116 Dintre numeroasele studii remarcabile dedicate acestei mişcări menţionez: Coles D. (1965) Transition in circular Couette flow, J. Fluid Mech. 21, 385-425 devenită o lucrare de referinţă pentru vizualizarea curgerilor Taylor-Couette. 117 Prandtl a fost dedicat şcolii doctorale (von Kárman, Blasius, Ackeret, Busemann, Schlichting... în total 85 de doctoranzi!), în timp ce Taylor a preferat activitatea de consultanţă şi focalizarea pe un singur urmaş ştiinţific: G. K. Batchelor, remarcabil cercetător şi profesor de mecanica fluidelor, fondator al revistei Journal of Fluid Mechanics - JFM (cea mai influentă revistă din acest domeniu ştiinţific). 118 Batchelor G. K. (1956) On steady laminar flow with closed streamlines at large

Reynolds numbers, J. Fluid Mech. 1, 177–190.

81

ştiinţific al acestui studiu, ci doresc să citez motivaţia prezentată de autor în

introducere. Acest text a fost scris de elevul preferat al lui Taylor, un om de

ştiinţă pur britanic (australian la origine) ce a devenit simbolul mecanicii

fluidelor la Cambridge, dar stilul şi abordarea sunt evident marca Prandtl.

Lucrarea prezentată abordează mişcarea laminară staţionară a unor fluide slab vâscoase. Studiul pleacă de la premisa general acceptată că, atunci când numărul Reynolds este foarte mare, forţele vâscoase sunt mici oriunde în domeniul curgerii, cu posibila excepţie a vecinătăţii unor anumite suprafeţe din fluid. …Este bine cunoscut, parţial din observaţia directă, parţial din analiza matematică, că pentru anumite câmpuri de curgere staţionare posibil de studiat, premisa de mai sus este fără niciun dubiu adevărată. Se pare că, dacă numărul Reynolds tinde la infinit, fără nicio altă modificare a condiţiilor de curgere, regiunea din fluid în care forţele de viscozitate sunt prezente devine din ce în ce mai redusă, în final ajungând la câteva straturi subţiri, cel mai probabil sub forma straturilor limită sau a dârelor.118

Cu alte cuvinte, există mişcări în care curgerea se poate separa în două

domenii spaţiale distincte: (i) un domeniu în imediata apropiere a

suprafeţelor solide, unde efectele vâscoase sunt importante (aşa-numita zonă

a stratului limită), şi (ii) un domeniu exterior acestuia, în care viscozitatea

fluidului se poate neglija119.

Este important să precizăm două lucruri:

a. în mod normal, viscozitatea este asociată proprietăţii de aderenţă a

fluidului la suprafaţa solidă. Acest lucru determină ca viteza fluidului la

peretele imobil care limitează domeniul curgerii să fie nulă. Deci,

în stratul limită este prezent un gradient important de viteză pe

direcţia normală peretelui, comparativ cu restul curgerii unde variaţia

de viteză poate fi nesemnificativă (practic, tensiune de frecare nulă);

b. în majoritatea curgerilor din categoria analizată de Batchelor, zona

stratului limită este reprezentată de un strat subţire, adică grosimea

acestuia (măsurată pe direcţie normală peretelui), , este cu mult mai

mică decât dimensiunile asociate domeniului exterior în care are loc

mişcarea.

119 Schlichting H. (1951) Grenzschicht-Theorie (Boundary layer theory), G. Braun, Karlsruhe. Batchelor G. K. (1967) An introduction to fluid dynamics, Cambridge Univ. Press. Aceste două tratate sunt de referinţă pentru domeniul mecanicii fluidelor, fiind publicate în numeroase ediţii ulterioare. Evident reprezintă cele două şcoli de mecanica fluidelor: Göttingen (Ludwig Prandtl) şi Cambridge (Geoffrey Taylor).

82

La o lectură mai atentă a textului citat se remarcă expresii relativ

ambigue, neaşteptate aş spune, pentru o lucrare ştiinţifică: premisă general

acceptată…, cu posibila excepţie…, este bine cunoscut…, fără niciun dubiu…,

se pare că…, cel mai probabil….

Toate aceste cuvinte nu fac decât să fixexe cadrul gândirii în care

fenomenul fizic va fi studiat, să justifice modelul ales şi să stabilească

domeniul de valabilitate al rezultatelor ce se vor obţine… ce fascinantă şi utilă

ar fi filosofia ştiinţei dacă s-ar apropia mai mult ştiinţa comună, cotidiană…

Din acelaşi text al lui Batchelor se poate remarca coexistenţa în

procedurile de rezolvare a problemelor concrete de mecanica fluidelor a celor

două modele fundamentale de fluid: ideal şi vâscos.

Practic, acest lucru a fost observat experimental de Hele-Shaw94, care a

vizualizat curgerea într-un domeniu cuprins între două plane paralele situate

la o distanţă h, cu , (L şi B fiind dimensiunile celor două

suprafeţe). S-a obţinut astfel spectrul liniilor de curent în jurul diferitelor

geometrii (profile) plasate între cele două plane, geometria fiind localizată la o

distanţă apreciabilă de limita domeniului şi având dimensiunea caracteristică

mult mai mare decât distanţa h.

MMiişşccaarreeaa ddee ttiipp HHeellee--SShhaaww ssee rreeaalliizzeeaazzăă îînn jjuurruull uunnoorr ggeeoommeettrriiii ((îînn aacceesstt ccaazz uunn cciilliinnddrruu)) ppllaassaattee îînnttrree ddoouuăă ppllaannee ppaarraalleellee ffooaarrttee aapprrooppiiaattee,, ccââmmppuull ddee vviitteezzee ffiiiinndd

ccaarraacctteerriizzaatt nnuummaaii ddee ddoouuăă ccoommppoonneennttee ((vviitteezzaa nnoorrmmaallăă cceelloorr ddoouuăă ppllaannee eessttee ccoonnssiiddeerraattăă nnuullăă)).. AAvvâânndd îînn vveeddeerree ccăă nnuummăărruull RReeyynnoollddss ccaarraacctteerriissttiicc eessttee ffooaarrttee mmiicc,,

ccuurrggeerreeaa ssee ccoonnssiiddeerrăă ssuuffiicciieenntt ddee bbiinnee ddeessccrriissăă ddee aapprrooxxiimmaaţţiiaa SSttookkeess ((66..1111)).. BBiinneeîînnţţeelleess,, aacceeaassttăă iippootteezzăă nnuu eessttee vvaallaabbiillăă îînn iimmeeddiiaattaa aapprrooppiieerree aa ggeeoommeettrriieeii,, uunnddee

aacccceelleerraaţţiiaa ccoonnvveeccttiivvăă nnuu mmaaii ppooaattee ffii nneegglliijjaattăă..

0

V = 0

h

B

L

0

0

83

Vizualizarea liniilor de curent (realizată prin introducerea unor dâre

subţiri de colorant) a surprins, deoarece spectrul obţinut era aproape identic

cu cel al curgerii potenţiale plane ( ), corespunzător unei mişcări

fără frecare…. ceea ce contrazice experimentul, acesta fiind efectuat cu un fluid

vâscos, la un număr Reynolds caracteristic foarte mic,

1, unde este viteza medie de curgere.

S-a creat astfel o dilemă… cum este posibil ca o mişcare potenţială

(în care numărul Reynolds este practic infinit!) să descrie foarte bine o

curgere vâscoasă, caracterizată de un număr Reynolds foarte mic ?

SSppeeccttrruull ccuurrggeerriiii ppllaannee îînn jjuurruull uunnuuii cceerrcc:: aa)) mmiişşccaarreeaa îînn lliippssaa ffoorrţţeelloorr ddee aaddeerreennţţăă llaa ppeerreettee ((iippootteezzaa fflluuiidduulluuii iiddeeaall)),, bb)) mmiişşccaarreeaa îînn pprreezzeennţţaa ffoorrţţeelloorr ddee aaddeerreennţţăă vvââssccooaassee

((RRee == 00..11)).. ÎÎnn ddrreeaappttaa eessttee pprreezzeennttaattăă iimmaaggiinneeaa îînn ddeettaalliiuu.. PPrreezzeenntteellee rreezzuullttaattee nnuummeerriiccee ssiimmuulleeaazzăă eexxppeerriieennţţaa lluuii HHeellee--SShhaaww9944..11 ((ccaazzuull bb))..

Răspunsul a fost dat de Stokes, printr-o justificare matematică

elegantă, bazată pe o analiză atentă a experimentului efectuat de Hele-Shaw.

La finalul secolului al XIX-lea, după lucrările lui Helmholtz şi Lord Kelvin120 şi

120 Wu J-Z, Ma H-Y, Zhou M-D. (2006) Vorticity and vortex dynamics, Springer, Berlin.

a)

b)

84

studiile lui Osborn Reynolds121 referitoare la tranziţia laminar-turbulent,

atenţia cercetătorilor era focalizată, cu precădere, asupra relevanţei şi utilităţii

conceptului de vorticitate în mecanica fluidelor.

În acest context, ecuaţia de mişcare Navier-Stokes pentru un fluid

incompresibil ( , 0) este pusă în forma,

( ) (7.1)

v.(5.12), (6.11).

Evident ecuaţia lui Euler (4.1) pentru un fluid ideal (fără viscozitate,

0) este un caz particular al relaţiei (7.1), relaţia (4.1) fiind regăsită şi

pentru o mişcare potenţială ( ), v (6.6), unde 0.

Aşa cum s-a remarcat, (6.11-6.12), în aproximaţia Stokes funcţia este

armonică, 0, calitate pe care o are şi potenţialul scalar al vitezei

( 0).

Pentru a completa imaginea ecuaţiei Navier-Stokes trebuie să

introducem două noi concepte cinematice:

1. circulaţia – d

, (7.2)

unde c este o curbă simplă închisă în domeniul curgerii,

2. funcţia de curent – , cu

şi

. (7.3)

Este de remarcat că funcţia de curent este definită numai pentru o

mişcare plană/axial simetrică (în referenţialul 0, , , );

funcţia de curent având o valoare constantă pe o linie de curent (linia tangentă

în fiecare punct la vectorul viteză, identică cu traiectoria particulei de fluid

dacă mişcarea este permanentă). Tot într-o mişcare plană, în aproximaţia

Stokes şi cu neglijarea forţelor de greutate, sunt valabile următoarele relaţii:

, (7.4)

0, (7.5)

0, (7.6)

deci funcţia de curent este bi-armonică,

0, (7.7)

unde este singura componentă a vorticităţii. Bineînţeles, funcţia

de curent este o funcţie armonică pentru o mişcare potenţială ( 0).

121 Reynolds O. (1883) An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water in parallel channels shall be direct or sinuous

and of the law of resistance in parallel channels, Philos. Trans. R. Soc. 174, 935–982.

85

Stokes a făcut următorul raţionament: datorită geometriei şi

numărului Reynolds redus, în experienţa efectuată de Hele-Shaw liniile de

curent marcate în curgere se deplasează într-un plan – .

(0 ), deci fotografiile vor arăta o mişcare plană, chiar dacă mişcarea în

realitate nu are această calitate. Este adevărat, viteza nu are decât două

componente ( şi ), însă acestea depind (în realitate!) de toate cele trei

coordonate (denumirea corectă fiind de mişcare pseudoplană). Dacă se admite

că în domeniul de curgere, poate cu excepţia unei mici zone în jurul geometriei

plasate între plane, cele două componente de viteză depind practic numai de

coordonata normală la plane (derivatele după direcţiile de curgere fiind

neglijabile), atunci distribuţiile de viteză au următoarele expresii:

( ) (7.8)

(i = 1, 2), cu

0. Într-un plan .:

şi

(k fiind o constantă, ce include viscozitatea), mişcarea pare irotaţională

(presiunea este armonică), în consecinţă curgerea se consideră potenţială:

(7.9)

potenţialul vitezei fiind în acest caz presiunea.

Deci, spectrul liniilor de curent într-o mişcare Hele-Shaw va avea o

geometrie vizualizată similară unei mişcări potenţiale (în aproape întreg

domeniul curgerii)122. Pentru mine este una dintre cele mai frumoase soluţii

din mecanica fluidelor... bineînţeles, este o aproximaţie (soluţia nefiind

valabilă în vecinătatea profilului plasat între cele două plane).

Diferenţele dintre modelul propus de Stokes şi realitate încep să apară

evidente odată cu creşterea numărului Reynolds şi a ponderii vorticităţii, când

simetria curgerii în jurul cercului dispare.... atunci modelul stratului limită

introdus de Prandtl începe să-şi demonstreze utilitatea.

122 Se poate demonstra că vitezele medii verifică ecuaţia lui Euler (4.1), pentru detalii: Constantinescu V.N. (1987) Dinamica fluidelor vâscoase în regim laminar, Editura Academiei, Bucureşti, pp. 411-414.

Spectrele liniilor de curent în mişcările potenţiale şi vâscoase sunt identice dacă ambele reprezintă curgeri universale, respectiv dacă sunt îndeplinite condiţiile: (într-un fluid ideal acceleraţia este potenţială, deci circulaţia se conservă); (într-un fluid vâscos există un potenţial flexional - ), (aceste restricţii sunt valabile aproape peste tot în mişcarea Hele-Shaw, nu şi în apropierea profilului). Fosdick R.L., Truesdell C. (1977) Universal flows in the simplest theories of fluids, Annal. Scuola Normale Sup. Pisa Serie IV(IV/2), 323-341.

86

CCuurrggeerreeaa ppllaannăă îînn jjuurruull uunnuuii cceerrcc ((ssoolluuţţiiee nnuummeerriiccăă ppeerrmmaanneennttăă 22DD NNaavviieerr--SSttookkeess)).. ÎÎnn ddrreeaappttaa ssee pprreezziinnttăă ddiissttrriibbuuţţiiaa lliinniiiilloorr ddee vvoorrttiicciittaattee ccoonnssttaannttăă..

LLaa RRee == 2200 ssee oobbsseerrvvăă ffoorrmmaarreeaa uunnoorr vvâârrtteejjuurrii ssiimmeettrriiccee îînn ssppaatteellee cceerrccuulluuii,, ffeennoommeenn aassoocciiaatt ddeesspprriinnddeerriiii ssttrraattuulluuii lliimmiittăă ddee ppee cceerrcc

((ppuunncctteellee ddee ddeesspprriinnddeerree,, DD,, ffiiiinndd mmaarrccaattee ddee lliinniiiillee ddee vvâârrtteejj))..

Dezvoltarea studiilor în geometriile (celulele) Hele-Shaw a continuat

pe tot parcursul secolului al XX-lea, în special prin lucrările lui Philip Geoffrey

Saffman (1931-2008)123, doctorandul lui Batchelor la Cambridge, care a pus în

evidenţă fenomenul de fingering în curgerile fluidelor imiscibile (datorat

tensiunii superficiale/interfaciale). În prezent, aplicaţiile mişcărilor Hele-Shaw

sunt dezvoltate cu precădere în dinamica fluidelor complexe: fluide

viscoelastice şi ferofluide124.

Curgerile tip Hele-Shaw şi mişcările în prezenţa stratului limită sunt

natural făcute pentru imagistică! Dinamica fluidelor generează topologii de o

frumuseţe fascinantă... nu numai sub aspect estetic, dar şi prin capacitatea

(uneori numai virtuală!) de a fi modelate teoretic şi simulate numeric.

123 Saffman P.G., Taylor G.I. (1958) The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid, Proc. Royal Soc. London, Ser. A 245, 312–329. Saffman P. G. (1986) Viscous fingering in Hele-Shaw cells, J . Fluid Mech. 173, 73-94. 124 Fast P., Kondic L., Shelley M.J., Palffy-Muhoray P. (2001) Pattern formation in non-Newtonian Hele–Shaw flow, Physics Fluids 13, 1191-1212. Lorenz C., Rinaldi C., Zahn M. (2004) Hele-Shaw ferrohydrodynamics for simultaneous in-plane rotating and vertical DC magnetic fields, J. Visualization 7, 109.

D

D

RRee == 11

RRee == 2200

87

IImmaaggiinneeaa „„ddiissccrreettăă”” aa mmiişşccăărriiii ppiiccăăttuurriilloorr ddee fflluuiidd vviissccooeellaassttiicc;;

iimmppaaccttuull ppee oo ssuupprraaffaaţţăă ssoolliiddăă..

VViizzuuaalliizzaarreeaa ccuurrggeerriiii îînnttrr--oo cceelluullăă HHeellee--SShhaaww:: iinnttrraarreeaa uunneeii ssoolluuţţiiii ssllaabb eellaassttiiccee ddee

ppoolliimmeerr îînn aappăă ((VV == 00..00007755 mm//ss,, RRee 00..0011,,

sol apa 3300))..

1

2

3

4

7

6

5

V

88

În astfel de fenomene cercetătorul se regăseşte plenar... este împlinit

ca fiinţă universală în căutarea adevărului şi a înţelegerii naturii125. Poate nu le

va găsi... însă ce minunată este iluzia vizualizării, să vezi ne-văzutul... forme ce

nu trăiesc decât miimi de secundă126... o microviaţă într-o picătură!

Să avem speranţa că într-un viitor nu prea îndepărtat, inginerii îşi vor

publica lucrările ştiinţifice într-o nouă serie a Analelor Academiei Române,

similară celei editate de Clifford Truesdell la Springer127, cu cel puţin un

referent specializat în filosofia ştiinţei!

125 Squires T.M. (2010) A furtive stare at an intra-cellular flow, J. Fluid Mech. 642, 1–4. Bhat P.P., Appathurai S., Michael T. Harris M.T., Pasquali M., McKinley G.H., Basaran O.A. (2010) Formation of beads-on-a-string structures during break-up of viscoelastic filaments, Nature Physics 6, 625-631. Bird J.C., de Ruiter R., Courbin L., Stone H.A. (2010) Daughter bubble cascades produced by folding of ruptured thin films, Nature 465, 759-762. 126 Brujan E.A., Vogel A. (2006) Stress wave emission and cavitation bubble dynamics by nanosecond optical breakdown in a tissue phantom, J. Fluid Mech. 558, 281-308. Thoroddsen S.T., Etoh T.G., Takehara K. (2008) High-speed imaging of drops and bubbles, Annu. Rev. Fluid Mech. 40, 257–285. 127 Seria de volume Springer Tracts in Natural Philosophy a fost iniţiată de C. Truedell în anul 1964; până în anul 1996 s-au editat 40 de volume.

89

88.. TTUURRBBUULLEENNŢŢAA –– OO VVEEŞŞNNIICCĂĂ IINNCCEERRTTIITTUUDDIINNEE

((WWEERRNNEERR HHEEIISSEENNBBEERRGG112288))

MMoottttoo::

LLaa ssffâârrşşiittuull zziilleelloorr,, ssee ppooaattee aaddmmiittee rreellaattiivviittaatteeaa cclliippeelloorr ttrrăăiittee,, ddaarr vvaa rrăămmâânnee ddee nnee--nnţţeelleess ttuurrbbuulleennţţaa ttrreeccuuttuulluuii;; iinncceerrttiittuuddiinneeaa ddiissppaarree aassiimmppttoottiicc nnuummaaii îînn eetteerrnniittaatteeaa uullttiimmeeii cclliippee ......

dduuppăă HHeeiisseennbbeerrgg

Fiecare cercetător este marcat de un model teoretic ideal şi de

neputinţa experimentală de a-l valida în lumea reală. La finalul carierei, dacă

eşti respectat şi ai orgoliul împlinit, recunoşti acest lucru; în tumultul tinereţii

nu poţi însă accepta spectrul eşecului. Cei inteligenţi şi orientaţi aleg de la

început soluţia facilă: enunţă problema în lumea reală, externalizează

neputinţa şi se concentrează în formarea (acceptarea) unui cadru ştiinţific, în

care îşi testează virtual noile modele create. Într-un mediu ştiinţific favorabil,

cu şansă şi multă muncă, această decizie îţi asigură succesul.

Cu siguranţă, Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951) şi

Niels Bohr au generat un astfel de mediu pentru Werner Heisenberg.

A rezultat astfel o nouă interpretare în mecanica cuantică şi un principiu care

nu trebuie să lipsească din structura fundamentală a oricărui cercetător –

certitudinea că nu poţi atinge cunoaşterea ştiinţifică absolută128.5.

128 Werner Heisenberg (Würzburg, 1901 – München, 1976) Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmmen (Diss.), Ann. Physik, 74(4), 577-627, 1924 (teză doctorat, München, 1923; conducător Arnold Sommerfeld) On the theory of statistical and isotropic turbulence, Proc. R. Soc. London A195, 402-406, 1948. On the statistical theory of turbulence, Tech. Memorandum 1431, NACA, Washington, 1958. (traducerea lucrării: Zur statistischen Theorie der Turbulenz, Z. Physik 124, 628-657, 1948). Nonlinear problems in physics, Physics Today 20, 23-33, 1967. Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Physik 43(3–4), 172–198,1927 (lucrare în care s-a enunţat principiul incertitudinii din mecanica cuantică).

90

Probabil datorită geniului şi a bunei creşteri, Heisenberg nu s-a lăsat

amăgit de celebritate… şi-a conservat visul tinereţii128.1 pentru timpul

înţelepciunii128.2-4, în speranţa că va avea răgazul să rezolve problema. Timpul

nu poate fi întors, avântul se pierde, putinţa se micşorează… aşa că modelul

turbulenţei a rămas incomplet pentru Heisenberg şi, în opinia lui, nici cu

perspective reale de a fi definitivat curând129…

Nu cred că Sommerfeld l-a prezentat pe Heisenberg lui Bohr numai în

ideea că tânărul lui doctorand va căpăta astfel impulsul ultim necesar pentru

desăvârşirea modelului turbulenţei (iunie, 1922). Sunt însă convins că bănuia

potenţialul remarcabil al lui Werner şi avea premoniţia apariţiei unei noi

interpretări în fizică. Eşecul în a explica mişcarea turbulentă în frame work-ul

mecanicii fluidelor clasice s-a transformat pentru Heisenberg într-o victorie,

prin enunţarea principiului incertitudinii în mecanica cuantică…

Un domeniu de succes în ştiinţă nu este caracterizat numai prin

acurateţea şi frumuseţea teoriei sau a experimentului, ci şi de existenţa unei

formule emblematice, simple şi sintetice, de exemplu:

1. teoria relativităţii – = 2, (8.1)

2. mecanica cuantică – , (8.2)

3. turbulenţă – spectrul energiei turbulente, ( ) . (8.3)

Relaţia (8.1) este cunoscuta formulă prin care Einstein a definit

energia “statică” a unei particule cu masa de repaus , 10 / fiind

viteza luminii. Formula (8.2) reflectă principiul incertitudinii:128.5 produsul

erorilor de măsură a poziţiei spaţiale ( ) şi a impulsului ( ) (rezultate în

urma procesului observării unei particule elementare) trebuie să fie mai mare

decât constanta lui Planck, 6.626 10

. Formulele sunt uşor de

reţinut, chiar dacă înţelegerea şi aplicarea lor prezintă dificultăţi majore; poţi

să calculezi energia dintr-un gram de substanţă, dar cum se poate transforma

această energie în lucru mecanic util?… unde se află o particulă dacă se

cunoaşte exact impulsul acesteia?… răspunsurile nu sunt facile!

129 Crutchfield J.P. (2009) The dreams of theory, SantaFe Institute working papers, 23

June, 1-4.

91

Relaţia (8.3)124.3 este diferită structural de celelalte două deoarece

implică mărimi cu un grad ridicat de abstractizare, care nu au o corespondenţă

imediată cu fenomenul fizic real. În cuvinte, relaţia (8.3) se poate enunţa

astfel: spectrul Fourier caracteristic energiei turbulente izotrope dezvoltate –

( ) (corespunzător modului ) este proporţional cu puterea -5/3 a lui

(inversul lungimii de undă asociate componentelor vitezei în urma aplicării

transformatei Fourier asupra ecuaţiei de mişcare…). Din păcate, nici până

astăzi turbulenţa fluidelor nu beneficiază de un limbaj clar şi accesibil celor

care nu sunt specialişti în acest domeniu ştiinţific.

Comparativ cu mişcarea laminară (ce are loc la viteze mici de curgere,

, fiind descrisă de traiectorii ordonate şi o topolgie a curgerii

formată de suprafeţe materiale netede), curgerile turbulente se obţin la viteze

mari ( ), având un caracter nestaţionar care generează un amestec

continuu de substanţă în domeniul curgerii. Sunt greu de prevăzut (chiar

impredictibile relativ la o scară temporală mare a observaţiei), instabile

(având uneori un caracter haotic) şi produc structuri de vârtejuri care coexistă

la scări spaţiale şi temporale diferite. În turbulenţă perturbaţiile se auto-

generează şi se disipează aleatoriu, asociind şi disociind structuri efemere

care dau senzaţia existenţei unor sisteme dinamice discrete (cu structură

fractală?), dar integrate la scară macroscopică într-un continuum deformabil.

Turbulenţa domină dinamica fluidelor din realitate, fiind un fenomen a

cărui complexitate se pare că depăşeşte capacitatea de reprezentare a teoriilor

ştiinţifice actuale. Ideea inadecvării folosirii procedurilor clasice pentru

reprezentarea şi modelarea turbulenţei a fost tacit lansată chiar de creatorii

fizicii atomice şi mecanicii cuantice. Studiile de mecanica fluidelor ale lui

Einstein şi Bohr (limitate iniţial la mişcări laminare) au fost abandonate în

primii ani ai secolului al XX-lea, înainte de extinderea lor în teorii de

reprezentare a mişcării turbulenţei. Sub influenţa lui Planck şi Rutherford, cei

doi tineri fizicieni au schimbat paradigma cercetării, mutând centrul de

interes din sfera mecanicii clasice (unde turbulenţa este integrată by default)

către mecanica relativistă şi mecanica cuantică. Astfel, calea deschisă de

Helmholtz, Hertz, Poincaré, Duhem, Stokes, Lord Kelvin, Reynolds… a fost

92

abandonată, studiile în domeniul turbulenţei rămânând marcate de modele

semiempirice. Chiar dacă lucrări fundamentale despre turbulenţă au fost

publicate la finalul secolului al XIX-lea130, până la apariţia modelului lungimii

de amestec propus de Prandtl în 1925 nu s-au realizat studii experimentale

sistematice, cu impact major în dezvoltarea unui model general acceptat

pentru mişcarea turbulentă.

Arnold Sommerfeld (alături de matematicianul britanic William

McFadden Orr) a intuit că modelul turbulenţei trebuie să se dezvolte într-un

mod natural plecând de la studiul stabilităţii mişcării laminare131, însă lipsa

unor cooperări reale între mecanicienii/matematicienii germani, francezi

(în special Henry Poincaré) şi reprezentanţii şcolilor britanice de la Cambridge

şi Manchester a orientat studiul într-o direcţie a ştiinţei aplicative dependentă

exclusiv de experiment şi aparatura disponibilă la un moment dat.

Eroarea (mă refer la lipsa de cooperare) a fost evitată de fizicienii ce

lucrau (cam în aceeaşi perioadă) la “naşterea” mecanicii cuantice, rezultatul

obţinut fiind (aşa cum se cunoaşte) remarcabil… Niels Bohr are principalul

merit în această întreprindere. Oare Sommerfeld nu a avut capacitatea şi

disponibilitatea lui Bohr de a se dărui… sau turbulenţa este un domeniu cu

mult mai dificil decât mecanica cuantică?

130 Reynolds O. (1883) An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous and the law of resistance in parallel channels, Phil. Trans. R. Soc. 174, 935–982. Boussinesq J. V. (1897) Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes a grande section, Gauthier-Villars, Paris. Jackson D., Launder B. (2007) Osborne Reynolds and the publication of his papers on turbulent flow, Annu. Rev. Fluid Mech. 39, 19–35. Eckhardt B. (2009) Introduction. Turbulence transition in pipe flow: 125th anniversary of the publication of Reynolds’ paper, Phil. Trans. R. Soc. A 367, 449–455. 131 Sommerfeld A. (1908) Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der

turbulenten Flüssigkeitsbewegungen, Proc. of the 4th Int. Congress of Mathematicians III, Rome, 116–124. Orr W. M'F. (1907) The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I&II, Proc. R. Irish Acad. A 27, 9–68/69–138. Eckert M. (2010) The troublesome birth of hydrodynamic stability theory: Sommerfeld and the turbulence problem, Eur. Phys. J. H. 35, 29–51. Schweber S.S. (2009) Weimar physics: Sommerfeld’s seminar and the causality principle, Phys. Perspect. 11, 261–301,

93

În contextul ştiinţific al primilor ani după Primul Război Mondial,

contrar tendinţei şi tentaţiei momentului, subiectul tezei lui Heisenberg a fost

axat pe o tematică considerată clasică: stabilitatea şi turbulenţa curgerii

fluidelor. Poate din acest motiv, lucrarea a avut un impact limitat în societatea

ştiinţifică din acel timp, evenimentul cel mai important fiind disputa generată

de opiniile nefavorabile emise de Wilhelm Wien (1864-1928) relativ la

capabilităţile “doctorandului” de a dezvolta cercetări experimentale. Să nu

uităm că Werner nu împlinise la acea dată 22 de ani!

CCooppeerrttaa tteezzeeii ddee ddooccttoorraatt aa lluuii WWeerrnneerr HHeeiisseennbbeerrgg,,

ddaattaa ssuussţţiinneerriiii –– 1100 iiuulliiee 11992233 ((wwwwww..aaiipp..oorrgg//hhiissttoorryy//hheeiisseennbbeerrgg//pp0066..hhttmm))..

Abordarea propusă de Heisenberg128 a fost poate prima în care s-a

evidenţiat mecanismul transferului energetic între diferitele scări spaţiale la

care turbulenţa se manifestă, fenomen asociat disipării energiei turbulente la

nivel micro prin frecare pur vâscoasă. S-a anticipat astfel modelul

fenomenologic al “cascadei energetice” introdus în turbulenţă de Richardson-

Kolmogorov.132 Din păcate, marea turbulenţă socială a secolului XX a făcut ca

aceşti oameni de ştiinţă să nu colaboreze.

132 Richardson L. F. (1926) Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph, Proc. Roy. Soc., A110, 756, 709–737. Kolmogorov A.N. (1941) The local structure of turbulence in incompressible viscous fluids for very large Reynolds numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR 32(1) – translation in Proc. R. Soc. Lond. A (1991) 434, 15-17.

94

Finalitatea teoriei a rămas incertă pentru Heisenberg; turbulenţa şi-a

păstrat nealterată taina, conservându-şi calitatea de a fi o zonă “albă” a

realităţii pentru majoritatea cercetătorilor. Soluţia problemei este virtuală,

încă departe… undeva în spaţiul cu metrică necunoscută al interferenţei

cunoaşterii ştiinţifice cu arta.

Lipsa unui model al turbulenţei general acceptat devine fascinantă!

SSaallvvaaddoorr DDaallii113333:: TThhee mmaaxxiimmuumm ssppeeeedd ooff RRaapphhaaeell''ss MMaaddoonnnnaa,, 11995544..

Mecanica cuantică, Heisenberg şi suprarealismul lui Dali în Anti-

Material Manifesto (publicat în catalogul expoziţiei organizate la Carstairs

Gallery, New York, 1958)... nu căutaţi legătura, dacă nu o simţiţi din prima

clipă; vă recomand pentru început arta medievală japoneză....

Nu cred că modelele turbulenţei se pot cu adevărat învăţa... ele se

percep după o educaţie intensă în ştiinţa mecanicii fluidelor, în pictură, în

muzică... poate şi în filosofie, dacă dorim să conservăm incertitudinea134.

133 Carme Ruiz (2000) Salvador Dali and Science, Dali Study Centre www.salvador-dali.org/serveis/ced/articles/en_article3.html Suman Datta (2005) Dali: Explorations into the domain of science, Issue date:

4/29/05 media.www.thetriangle.org.

95

Turbulenţa are avantajul de a fi singurul domeniu ştiinţific clasic în

care se admite eşecul (Cioran?).

KKaattssuusshhiikkaa HHookkuussaaii:: TThhee GGrreeaatt WWaavvee ooffff KKaannaaggaawwaa ((ppiiccttuurrăă ddiinn sseerriiaa TThhiirrttyy--ssiixx VViieewwss ooff MMoouunntt FFuujjii,, 11882233––11882299)) aa ddeevveenniitt uunn ““ssiimmbbooll”” aall ttuurrbbuulleennţţeeii..

IImmaaggiinneeaa uunnuuii mmaaccrroo--vvâârrtteejj îînnrreeggiissttrraattăă ccuu ooccaazziiaa ttssuunnaammii--uulluuii ddiinn JJaappoonniiaa ((aapprriilliiee,, 22001111)),, ““aannttiicciippaattăă”” ddee oo ttaappiisseerriiee jjaappoonneezzăă ddiinn sseeccoolluull aall XXVVII--lleeaa..

134 Morrison M. (2011) One phenomenon, many models: inconsistency and

complementarity, Stud. History Philosophy Science, doi:10.1016/j.shpsa.2010.11.042.

96

VViizzuuaalliizzaarreeaa ppeerreecchhiilloorr ddee vvâârrtteejjuurrii llaa ssccăărrii ssppaaţţiiaallee ddiiffeerriittee…… ssiimmiilliittuuddiinneeaa îînn ttuurrbbuulleennţţăă ssee lliimmiitteeaazzăă llaa aassppeeccttee ccaalliittaattiivvee..

Ultimele imagini prezintă macro-vârtejuri create în mişcarea

turbulentă (stânga) şi în mişcarea laminară (dreapta). Diferenţa marcantă

dintre ele este dată de “neregularităţile” observate în imaginea asociată

mişcării turbulente. Ambele perechi de vârtejuri sunt bine individualizate, însă

traiectoriile din mişcarea laminară sunt perfecte, parcă trasate de o mână

sigură. Vârtejul turbulent urmează "aceeaşi linie", doar prezenţa unui

tremurat, a unei incertitudini a traiectoriei, face ca “pictura” finală să difere în

detalii…

Observând realitatea, Osborne Reynolds130 a imaginat un model al

turbulenţei bazat pe ipoteza că mărimile instantanee (cinematice sau

dinamice) din ecuaţiile de conservare se pot descompune sub forma unei

sume dintre o mărime temporală medie şi o fluctuaţie; pentru viteză rezultă:

(8.4)

unde

(8.5)

reprezintă media temporală a vitezei instantanee, v = v(x, t), iar este pulsaţia

(fluctuaţia) vitezei; se consideră .

Ideea lui Reynolds este naturală, simplu de înţeles… numai că

generează două probleme dificil de rezolvat:

(i) medierea temporală (8.5) se realizează în intervalul de timp

caracteristic , a cărui mărime nu este precizată… singura condiţie

este ca să fie suficient de mare pentru ca media pulsaţiilor să fie

nulă, respectiv:

0. (8.6)

(ii) pulsaţia vitezei este necunoscută, deci vor fi necesare relaţii

suplimentare pentru completarea ecuaţiilor de conservare.

20 m 20 mm

97

ÎÎnnttrr--oo mmiişşccaarree ttuurrbbuulleennttăă uunniiddiirreeccţţiioonnaallăă şşii ccvvaassiissttaaţţiioonnaarrăă vviitteezzaa mmeeddiiee rrăămmâânnee

ccoonnssttaannttăă îînnttrr--uunn ppuunncctt ssppaaţţiiaall ffiixxaatt ((xx00)),, ppuullssaaţţiiiillee vviitteezzeeii ssuunntt îînnssăă vvaarriiaabbiillee îînn ttiimmpp,, ddeeccii vviitteezzaa iinnssttaannttaanneeee eessttee nneessttaaţţiioonnaarrăă ((fflluuccttuuaaţţiiiillee ffiiiinndd aalleeaattoorriiii şşii aavvâânndd ddee cceellee

mmaaii mmuullttee oorrii uunn ccaarraacctteerr hhaaoottiicc))..

Reynolds a trasat la finalul secolului XIX o direcţie de studiu în

turbulenţă… un început ce părea să aibă şanse reale de finalizare. Evoluţia

ulterioară a dovedit însă că modelul propus îndreaptă cercetarea pe un drum

închis, cele două probleme menţionate fiind practic insurmontabile.

După mai bine de un secol de la publicarea lucrărilor lui Reynolds,

despre turbulenţă se pot afirma următoarele135:

Turbulence is the state of vortex fluid motion where velocity, pressure, and other properties of the flow field vary in time and space sharply and irregularly and, it can be assumed, randomly.

135 Barenblatt G.I., Chorin A.J. (1998) An old challenge and bnew perspectives, Meccanica 33, 445-468. Pentru formarea unei perspective istorice asupra modelelor turbulenţei se recomandă consultarea lucrărilor (bibliografia în domeniu este enormă, studiile menţionate au fost selectate de autor având în vedere structura prezentei cărţi): Sreenivasan K.R. (1999) Fluid turbulence, Rev. Modern Physics 71(2), S383-S395. Shraiman B.I., Siggia E.D. (2000) Scalar turbulence, Nature 405, 8 June, 639-646. Lesieur M. (2001) Looking for turbulence structures: A numerical exploration, Flow, Turbulence and Combustion 66, 477–494. Batchelor G.K., Moffatt H.K., Worster M.G. (2003) Perspectives in fluid dynamics: A collective introduction to current research, Cambridge Univ. Press. Falkovich G., Sreenivasan K.R. (2006) Lessons from hydrodynamic turbulence, Physics Today, April, 43-49. Farge M, Guyon E., A philosophical and historical journey through mixing and fully-developed turbulence. Hinch E.J., Mixing: Turbulence and chaos - an introduction. în: Chaté, H., Villermaux, E., Chomaz, J.-M. (Eds.) (1999) Mixing, chaos and turbulence, NATO Science series B: Physics, vol. 373, Springer.

+

-

timp

( , )

v(x0, t)

t t +

mișcarea turbulentă în conductă

98

Turbulent fluid flows surround us, in the atmosphere, the oceans, in engineering and biological systems. First recognized and examined by Leonardo, for the past century turbulence has been studied by engineers, mathematicians and physicists, including giants such as Kolmogorov, Heisenberg, Taylor, Prandtl, and von Kármán. Every advance in a wide collection of subjects, from chaos and fractals to field theory, and every increase in the speed and parallelization of computers is heralded as ushering in the solution of the “turbulence problem”, yet turbulence remains the greatest challenge of applied mathematics as well as of classical physics.

It is very discouraging that in spite of hard work by an army of scientists and research engineers during more than a century almost nothing became known about turbulence from first principles, the continuity equation and the Navier–Stokes equations.

Finalul acestui text se poate interpreta astfel: folosirea exclusivă a

ecuaţiilor de continuitate şi Navier-Stokes este insuficientă pentru o modelare

corectă a turbulenţei în cadrul teoriei mediilor continue. Soluţia este ca cele

două principii să fie asociate cu ecuaţia energiei şi inegalitatea entropiei136,

asigurându-se în acelaşi timp respectarea principiilor obiectivităţii şi

indiferenţei materiale pentru relaţiile constitutive folosite.

Este oare posibilă existenţa unui astfel de model?

Folosirea unei măsuri energetice asociate dinamicii fenomenului, de

exemplu spectrul energetic al pulsaţiilor turbulente, funcţia ( ) din (8.3), se

impune ca o necesitate pentru a obţine consistenţa modelului (chiar dacă ne

limităm la procese izoterme şi izocore). Contribuţiile lui Heisenberg şi

Kolmogorov pe această direcţie sunt definitorii, iar prezentarea lui

Chandrasekhar137 este remarcabilă pentru a înţelege structura matematică pe

care este clădit aşa-numitul model “k – ” al turbulenţei omogene138.

În modelul menţionat anterior, k reprezintă energia turbulentă specifică

( , [k] = m2s-2) şi este disipaţia specifică (

, [m2s-3, fiind

funcţia de disipaţie a energiei fluctuaţiilor turbulente); legătura dintre energia

turbulentă şi disipaţie este stabilită de ecuaţia energiei:

(8.7)

136 Truesdell C. (1985) Rational Thermodynamics, Springer, Berlin. 137 Spiegel E.A. (ed.) (2011) The theory of turbulence: Subrahmanyan Chandrasekhar’s 1954 Lectures, Springer, Dordrecht. 138 Batchelor G. K. (1953) The theory of homogeneous turbulence; Townsend A.A. (1956) The structure of turbulent shear flows, Cambridge Univ. Press. Landau L.D., Lifschitz E.M. (1987) Fluid mechanics, Pergamon Press, Oxford.

99

în care se presupune că întreaga energie cinetică pulsatorie se disipează prin

frecare vâscoasă (reprezentată prin funcţia de disipaţie).

Modelul “k – ” are ca punct de pornire ideea lui Prandtl de a exprima

pulsaţia vitezei în funcţie de variaţia spaţială a vitezei mediate.

Fie o mişcare turbulentă în lipsa unui gradient de presiune, omogenă,

dezvoltată în vecinătatea unui perete solid, uni-direcţională în medie şi cu o

structură plană a pulsaţiilor de viteză. În acest caz, efortul total de frecare

(8.8)

este compus dintr-o componentă pur vâscoasă:

, (8.9)

şi o componentă turbulentă (

):

. (8.10)

În (8.9 – 8.10) coordonata y este normală vitezei medii , dezvoltată în

lungul axei x, iar reprezintă viscozitatea turbulentă (concept introdus de

Boussinesq130.2). Pentru Prandtl, viscozitatea turbulentă este determinată de

lungimea de amestec – , prin relaţia:

, (8.11)

lungimea de amestec fiind factorul de proporţionalitate între mărimea

pulsaţiei de viteză şi gradientul vitezei medii, respectiv:

. (8.12)

Cu alte cuvinte, lungimea de amestec este o măsură cantitativă a

turbulenţei (şi a gradului de amestec) reprezentând “distanţa parcursă de o

particulă de fluid în domeniul curgerii datorită pulsaţiei de viteză”.

Prandtl a postulat cea mai simplă relaţie posibilă pentru ,

, (8.13)

unde este constanta lui von Kármán.

Deci, lungimea de amestec este direct proporţională cu distanţa de la

perete (unde axa 0y îşi are originea). Cu cât ne îndepărtăm de perete, cu atât

turbulenţa (amestecul) creşte… evident modelul nu este valabil nici în limita

0 (unde mişcarea se presupune laminară), nici foarte departe de

perete139.

139 Diferite modele ale turbulenţei bazate pe conceptul de lungime de amestec sunt prezentate în lucrarea: Launder B.E., Spalding D.B. (1972) Mathematical models of turbulence, Academic Press, London.

100

Heisenberg, Kolmogorov şi Batchelor au completat modelul

fenomenologic propus de Prandtl cu mecanismul transferului de energie între

vârtejurile turbulente, structuri cinematice dezvoltate la diferite scări spaţiale

şi temporale în domeniul curgerii. Rezultă că viscozitatea turbulentă trebuie

să fie dependentă de energia turbulentă şi disipaţia specifică, ( , ; ), unde

, (8.14)

deoarece , relaţia fiind în mod necesar omogenă dimensional (aici

este o constantă).

Energia turbulentă este distribuită la mai multe scări spaţiale şi

temporale. Relaţia (8.14) nu pune însă direct în evidenţă legătura între

energia structurii turbulente şi scara spaţială la care aceasta este dezvoltată.

Turbulenţa se manifestă printr-o succesiune de apariţii şi dispariţii de

vârtejuri cu magnitudini diferite, cu oscilaţii mai mult sau mai puţin periodice.

Folosind analiza Fourier, orice oscilaţie periodică se poate reconstitui prin

suprapunerea a n-semnale sinusoidale şi cosinusoidale (a căror frecvenţă este

n· şi numărul de undă caracteristic – inversul lungimii de undă ).

Spectrul energiei specifice turbulente corespunzătoare scării spaţiale

definite de numărul de undă -

defineşte calitativ un vârtej, fiind

în corespondenţă directă cu ( ). Conform ipotezei cascadei energetice a lui

Kolmogorov-Richardson, energia vârtejului la scara se va transfera la scări

spaţiale inferioare, transfer asociat disipării de energie, deci ( , ),

= m3s-2, de unde rezultă prin analiză dimensională relaţia:

, (8.15)

fiind o mărime adimensională (dependentă uneori de numărul Reynolds).

În cazul unei turbulenţe izotrope dezvoltate (Re Recr), într-un proces

independent de condiţiile impuse la limita domeniului în care disiparea este

constantă, se obţine proporţionalitatea:

. (8.16)

Relaţia (8.16) arată modul de dispunere a energiei fluctuaţiilor

turbulente în funcţie de scările spaţiale la care fenomenul se manifestă.

Vârtejuri dezvoltate la scări spaţiale mari sunt caracterizate de lungimi de

undă mari, deci se vor regăsi la valori mici ale lui . Odată cu creşterea lui ,

1 , vârtejurile îşi reduc dimensiunea, turbulenţa fiind în final disipată la

nivel molecular datorită forţelor de viscozitate.

101

Big whorls have little whorls, Which feed on their velocity; And little whorls have lessor whorls, And so on to viscosity

(in the molecular sense).

Lewis Fry Richardson FRS – Poem (1922)

Urmând această interpretare, turbulenţa se dezvoltă datorită unui input

energetic în sistem la scară macro; pentru menţinerea echilibrului surplusul

de energie trebuie disipat, or acest lucru nu se poate face decât la scară micro,

unde forţele de viscozitate pot acţiona. Se creează astfel un flux/transfer

continuu de energie între scările spaţiale, fenomen caracterizat de spectrul

energiei turbulente, . 140

IImmaaggiinnii aallee ddeezzvvoollttăărriiii ttuurrbbuulleennţţeeii îînn aapprrooppiieerreeaa ppeerreetteelluuii.. SSttrruuccttuurriillee ddee vvâârrtteejj ssee ffoorrmmeeaazzăă şşii ccooeexxiissttăă llaa ssccăărrii ssppaaţţiiaallee ddiiffeerriittee..

Trebuie remarcat însă că ultimele relaţii matematice nu sunt obţinute pe

baza unor modele fizice coerente, ci folosind intuiţia ştiinţifică, abilitatea

matematică şi analiza dimensională141 (o procedură pur inginerească!).

Spectrul energetic este în realitate discret, deoarece numerele de undă

au valori discrete... teoria fractalilor îşi găseşte astfel o aplicaţie naturală în

turbulenţă142... raportul dintre forma geometrică a curgerii şi fondul

matematic143 fiind dependent de teoria aplicată şi posibilităţile de calcul!

140 Un model de turbulenţă, dezvoltat pe direcţia teoretică propusă de Heisenberg şi în

spiritul lui Kolmogorov, a fost dezvoltat de Landau şi Hopf, v. cap.3 138.3 Landau L.D. (1944) On the problem of turbulence, Dokl. Akad. Nauk SSSR 44, 339-342. Hopf E. (1948) A mathematical example displaying the features of turbulence, Comm. Pure Applied Mathematics 1, 303-322. 141 Barenblatt G.I. (1999) Scaling laws for turbulent wall-bounded shear flows at very large Reynolds numbers, J. Eng. Mathematics 36, 361-384. 142 Mandelbrot B.B.(1975) On the geometry of homogeneous turbulence, with stress on the fractal dimension of the iso-surfaces of scalars, J. Fluid Mech. 72, 401-416. Sreenivasan K.R., Meneveau C. (1986) The fractal facets of turbulence, J. Fluid Mech. 173, 357-386. 143 Boutot A. (1997) Inventarea formelor, Editura Nemira, Bucureşti.

1 2

102

Transferul energetic dintre nivelurile spaţiale nu poate fi realizat în

condiţii perfect izoterme, se generează variaţii locale de temperatură şi

creştere de entropie144... ne îndepărtăm astfel tot mai mult de conceptul clasic

al echilibrului mecanic145.

Fenomenul turbulenţei nu este apanajul curgerilor la numere Reynolds

foarte mari, comportamente similare se înregistrează şi în dinamica fluidelor

vâscoelastice, la numere Reynolds reduse146. Regăsim turbulenţa

pretutindeni... este foarte probabil ca sintagma “sinergia faptelor”147 să

provină din asocierea fenomenelor sociale cu turbulenţa!

Turbulenţa este privită astăzi ca o manifestare a unui sistem dinamic

complex148, neliniar şi instabil, dependent de condiţii iniţiale..., catastrofic şi

haotic149, în acelaşi timp... un spaţiu perfect de exprimare a neputinţei

ştiinţifice sub forma unei creaţii aparent profunde în formă, false şi inutile în

fond.

Werner Heisenberg a evitat elegant acest lucru, dedicându-şi activitatea

după teza de doctorat aproape în totalitate mecanicii cuantice şi organizării

cercetării ştiinţifice în Germania.150 Preocuparea pentru studiul turbulenţei s-a

conservat însă, Heisenberg rămânând ataşat până în ultimele clipe de viaţă

primei “iubiri”, neîmplinite...

Pentru noi, anonimi mediocri în mecanica fluidelor dar aspiranţi la

calitatea de filosofi ai ştiinţei, turbulenţa rămâne o incertitudine... restul ar

trebui să fie tăcere, completată de admiraţie şi respect necondiţionat pentru

frumuseţea şi complexitatea naturii... înţelegerea va veni.

144 Malkus W.V.R. (1956) Outline of a theory of turbulent shear flow, J . Fluid Mech. 1, 521-539. 145 Prigogine I. (1961) Introduction to thermodynamics of irreversible processes, J. Wiley & Sons, New York. Prigogine I., Stengers I. (1984) Noua alianţă – metamorfoza ştiinţei, Editura Politică, Bucureşti. 146 Groisman A., Steinberg V. (2000) Elastic turbulence in polymer solution flow, Nature 405, 53-55. Lumley J.L. (1970) Toward a turbulent constitutive relation, J . Fluid Mech. 41, 413-434. 147 Georgescu A. (1987) Sinergetica – o nouă sinteză a ştiinţei, Editura Tehnică, Bucureşti (cu o prefaţă de Ion Iliescu, Preşedinte al României 1990-1996, 2000-2004). Haken H. (ed.) (1977 – ) Springer series in Synergetics, Springer, Berlin. 148 Bohr T., Jensen M.H., Pala G., Vulpiani A. (1998) Dynamical systems approach to turbulence, Cambridge Univ. Press. 149 Poston T., Stewart I.N. (1985) Teoria catastrofelor şi aplicaţiile ei, Editura Tehnică, Bucureşti. Mori H., Kuramoto Y. (1998) Dissipative structures and chaos, Springer, Berlin. Werndl C. (2009) What are the new implications of chaos for unpredictibility?, Brit. J. Phil. Sci. 60, 195–220. 150 Heisenberg W. (1989) Physics and Philosophy, Penguin Books, London. Heisenberg W. (2008) Partea şi întregul, Editura Humanitas, Bucureşti.

103

SSccăărrii ssppaaţţiiaallee,, ssiimmiilliittuuddiinnii ggeeoommeettrriiccee,, ffrraaccttaallii...... oo vvaarrzzăă şşii uunn bbrrooccccoollii..

104

ÎÎnnttrree ttuurrbbuulleennţţaa aappeeii şşii iinnssttaabbiilliittaatteeaa nnoorriilloorr,, ccuurrggeerreeaa llaammiinnaarrăă aa gghheeţţaarruulluuii îîţţii aadduuccee aammiinnttee ddee eetteerrnniittaattee..

105

99.. EEXXIISSTTĂĂ RRAAŢŢIIUUNNEE ŞŞTTIIIINNŢŢIIFFIICCĂĂ FFĂĂRRĂĂ PPEERRSSPPEECCTTIIVVĂĂ FFIILLOOSSOOFFIICCĂĂ??

((MMIIRRCCEEAA FFLLOONNTTAA115511))

MMoottttoo::

CCooeexxiisstteennţţaa îînn aarrmmoonniiee aa rraaţţiiuunniiii şşttiiiinnţţiiffiiccee ccuu iirraaţţiioonnaalluull ffiilloossooffiicc llaatteenntt ddiinn ccoonnşşttiiiinnţţaa cceerrcceettăăttoorruulluuii eessttee oo ccoonnddiiţţiiee nneecceessaarrăă ddeevveenniirriiii îînnttrruu ffiilloossooffiiee aa ccrreeaaţţiieeii şşttiiiinnţţiiffiiccee..

dduuppăă FFlloonnttaa

Nu am înţeles niciodată de ce într-o lucrare de filosofia ştiinţei se

apelează/foloseşte termenul de epistemologie – teoria cunoaşterii ştiinţifice152.

Este un cuvânt greu de pronunţat, uşor de uitat, cu o sonoritate în limba

română ambiguă. Ştiinţa este creată prin cunoaştere… ştiinţifică, iar filosofia

ştiinţei se ocupă de… ştiinţă, deci a vorbi despre epistemologie în acest cadru

nu este numai tautologie, dar şi o dovadă că autorul este ori filosof de

formaţie, ori o persoană care aspiră să devină om al ştiinţei prin filosofie.

Lipsa termenului epistemologie din Cuvântul-înainte al autorului m-a

determinat să abordez cu încredere şi speranţă cartea151 profesorului Flonta…

era în anul 1987 când îmi pregăteam teza de absolvire a Şcolii de Partid

“Ştefan Gheorghiu” (filiala UPB): ELEMENTE DE FILOSOFIA ŞTIINŢEI

(în lumina documentelor de partid şi de stat) APLICATE TEORIEI MECANICII

MEDIILOR CONTINUE… no comments!

Raţiunea existenţei în titlul lucrării a textului marcat (dar scris cu

literă mică, inclusiv în original!) este justificată de lipsa perspectivei apariţiei

studiului propriu-zis fără introducerea citatelor political correctness ale

României comunisto-ceauşiste. În lucrare am propus o metodă proprie

filosofiei ştiinţei (aşa credeam atunci… poate şi acum), denumită axiologia

modelelor fizice, a cărei aplicare în procesul de cercetare să conducă la o mai

151 Mircea Flonta (Supur, Satu Mare, 1932 – ) Perspectivă filosofică şi raţiune ştiinţifică – presupoziţii filosofice în ştiinţa exactă, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985. 152 DEX, Editura Univers Enciclopedic, Bucureşti, 1996, p. 345.

106

bună orientare a acesteia şi la formarea unui cadru optim în care omul de

ştiinţă să-şi construiască şi evalueze modelele. Metoda enunţată (în realitate

doar schiţată) se baza exclusiv pe lucrările lui Lucian Blaga50, 51 şi Constantin

Noica153, fără nicio referire directă la marxism/comunism sau la filosofi ai

ştiinţei (de orice culoare). Poate din teribilism sau neînţelegere conceptuală a

disciplinei eram total împotriva modului în care mulţi filosofi abordau

“filosofia ştiinţei”: disecau la infinit câteva teme ştiinţifice (mereu aceleaşi, de

cele mai multe ori fără să aibă pregătirea de bază în domeniul respectiv),

emiteau judecăţi despre Bacon, Newton şi mecanică, Einstein şi relativitate,

analizau lucrările şi poziţiile altora (ce viziune are Popper despre mecanica

cuantică, de exemplu), dezvoltau formalisme matematice sofisticate…, dar nu

finalizau concret nicio idee, nu aveau atitudini personale sau interpretări

originale, nu propuneau nimic care să vină în beneficiul dezvoltării ştiinţei sau

să sprijine într-un fel cercetătorul… Pentru aceşti “filosofi” filosofia ştiinţei era

doar un pretext de etalare a educaţiei, culturii, inteligenţei, orgoliului, fără

niciun interes ştiinţific real, fără autenticitatea creaţiei adevărate…

În acest context, lucrarea profesorului Flonta151 mi s-a părut ieşită din

tiparul publicaţiilor de filosofia ştiinţei din România anilor optzeci, chiar dacă

aveam reţineri serioase având în vedere formaţia de filosof a autorului.

MMiirrcceeaa FFlloonnttaa vvoorrbbiinndd ddeesspprree WWiittttggeennsstteeiinn şşii rreefflleeccttâânndd llaa oo ppoossiibbiillăă şşttiiiinnţţăă aa ffiilloossooffiieeii...... mmaaii eessttee ttiimmpp ppeennttrruu sscchhiimmbbaarreeaa ppaarraaddiiggmmeeii..

153 Noica C. (1984) Trei introduceri la devenirea întru fiinţă, Editura Univers, Bucureşti. Noica C. (1986) Scrisori despre logica lui Hermes, Editura Cartea Românească, Bucureşti.

107

Fără a fi ostentativ original, apelând la perspectiva istorică pentru

punerea în discuţie a unor idei-concept şi folosind aproape exclusiv subiectele

clasice ale domeniului (fenomenologia lui Mach, fizica atomistică, mecanica

cuantică), Flonta pune în discuţie tranşant şi elegant, dar cu reţinerea specifică

momentului, importanţa viziunii filosofice a cercetătorului în procesul creaţiei

ştiinţifice novatoare desfăşurate într-un context social-politic dat154.

Din punctul meu de vedere, această tematică (adusă în prezent)

trebuie să fie centrală pentru filosofia ştiinţei... este locul unde contribuţia

filosofului se poate finaliza, prin intermediul creaţiei cercetătorului, într-un

act ştiinţific real, deci cu impact social.

Este clar că presupoziţiile-cadru ale cercetării, deci opţiuni care au un caracter esenţial filosofic, exercită o influenţă determinantă asupra judecăţii ştiinţifice a cercetătorilor,151

...adevărat, însă nu cred că este benefic ca omul de ştiinţă să fie conştient de

aceste opţiuni... şi-ar autoimpune o constrângere inutilă şi, în final, nocivă.

Relaţia filosof al ştiinţei – cercetător se aseamănă până la un punct cu

relaţia critic literar – scriitor... întrebările vor exista întotdeauna:

Poate un critic de artă să devină remarcabil fără să fie el însuşi un

artist creator autentic? Este capacitatea de evaluare şi judecată ştiinţifică

condiţionată de calitatea propriei producţii ştiinţifice? Va admite un filosof

judecăţile unui om de ştiinţă despre Platon? Se poate face abstracţie de

imoralitatea, vanitatea, interesul meschin şi lipsa de scrupule ale unui om de

ştiinţă în evaluarea creaţiei sale? Trebuie să fie atitudinea civică şi educaţia

morală liniile de forţă ale cercetătorului?

Flonta evită nu numai răspunsurile, dar poate argumenta (plecând de

la analiza diferenţelor conceptuale şi de cadru ştiinţific dintre mecanica clasică

şi mecanica cuantică) neadecvarea punerii unor astfel de întrebări...

Orice creaţie ştiinţifică se realizează dintr-o perspectivă aprioric

istorică... Dacă se bazează pe raţiune, atunci creaţia generează într-un mod

implicit şi un cadru filosofic; filosofia şi raţiunea nu se pot disocia de ştiinţă...

sunt componentele aceluiaşi spaţiu (înzestrat cu proprietăţile de existenţă şi

unicitate), metrica însă aparţine fiecărui om de ştiinţă în parte.

154 Capitolul VI din partea I a lucrării citate151 este un exemplu de tratare a acestui subiect: Raţiuni filosofice ale rezistenţei faţă de fizica nouă. “Fizica germană” a lui P. Duhem şi „fizica germană” a lui Ph. Lenard, pp. 115-128.

108

Impactul social al ştiinţei şi poziţia cercetătorului faţă de un regim

totalitar sunt problematicile care m-au atras în perioada comunistă spre

filosofia ştiinţei (insinuant abordate şi de Flonta în cartea citată). Remarcabili

filosofi, oameni de ştiinţă şi filosofi ai ştiinţei din secolul XX au avut momente

de nălucire evidente relativ la regimurile totalitare (în particular comunismul

şi nazismul european). Nu suportam să citesc în anii optzeci ai secolului trecut

opinii favorabile socialismului/marxismului emise cu nonşalanţă la Paris

(Jean Paul Sartre, pe care nu l-am citit la timp din această cauză... ) şi Viena

(Rudolf Carnap în anii de început şi Karl Popper la tinereţe), capitale de

imperii, oraşe pe care nu le puteam vizita..., dar la care visam. Evident, nici

Wittgenstein nu a putut rata ocazia de a admira realizările comunismului în

Uniunea Sovietică.155

Dacă pentru unii oameni de ştiinţă evrei atitudinea de acceptare a

comunismului este de înţeles, aşa cum se pot admite rătăcirile pro-naziste din

anii treizeci ale multor intelectuali germani (şi nu numai…), nu există

justificări pentru poziţii stângist militante şi xenofob anti-occidentale ale unor

filosofi şi filosofi ai ştiinţei după perioada stalinistă. Retractarea “post-factum”

a opţiuniilor comunist-sovietice din tinereţe nu are valoare, este profund

imorală… mai bine tăcerea.

Într-o dictatură, lumea ştiinţei devine adevărata zonă de încercare a

moralităţii şi a caracterului uman; în literatură, filosofie, artă, lucrurile sunt

mult mai simple… fără compromisuri profesionale nu poţi exista public,

uneori nici fizic. Orice regim autoritar face distincţie între intelectualul

umanist şi intelectualul om de ştiinţă (la limită inginer), deoarece economia şi

producţia de arme sunt direct dependente de cei din urmă. În viziunea sa

stupidă, dictatorul impune societăţii această separare artificială în urma căreia

omul de ştiinţă este decăzut din calitatea de intelectual, fiind în compensaţie

“ocrotit social”, iar intelectualul devine un “asistat social” dependent de

toanele conducătorului.

Calitatea unei societăţi academice (şi implicit a membrilor săi) se

testează într-o dictatură prin modul de manifestare socială al oamenilor de

155 Carver T. (2002) Marx, Wittgenstein and postmodernism, in Marx and Wittgenstein – knowledge, morality and politics, Eds. Kitching G., Pleasants N., Taylor&Francis, London, pp. 95-110. Rubinstein D. (1981) Marx and Wittgenstein – social praxis and social explanation, Taylor&Francis, London.

109

ştiinţă. Limita colaborării cu regimul o stabileşte cercetătorul, inclusiv preţul

coabitării plătit de cele două părţi contractante (admis de multe ori tacit):

conferinţe în străinătate, automobile şi televizoare color peste rând… pentru o

teză de doctorat în chimia polimerilor, de exemplu.

Ştiinţa adevărată nu poate exista fără oameni mari… Heisenberg,

Prandtl, Planck alături de Kapitza, Landau, Saharov au conservat nu numai

onoarea academică, au demonstrat importanţa etic-morală a ştiinţei într-o

societate în criză profundă (aşa cum era Germania nazistă şi Rusia comunistă).

Aceasta era raţiunea lor, singura care putea asigura o perspectivă decentă

societăţii post-dictatoriale. Faptul că raţiunea este ştiinţifică şi perspectiva

este filosofică nu are nicio relevanţă dacă atitudinea socială lipseşte şi

moralitatea este precară… exemplul personal al omului de ştiinţă rămâne

definitoriu.

Alături de scrierile lui Heisenberg, Schrödinger, de Broglie (publicate

înainte de 1990 în colecţia Idei contemporane a Editurii Politice), culegerea de

texte156 a lui Piotr Leonidovich Kapitza (1894 – 1984) m-a fascinat de la prima

pagină: Organizarea muncii ştiinţifice în institutul pentru problemele fizicii –

raport prezentat la şedinţa lărgită a prezidiului Academiei de Ştiinţe a URSS,

1943. După ce am citit acest text (în care nu era menţionat numele lui Stalin

sau al partidului comunist) nu-mi doream decât să-l aud repetat de la tribuna

Academiei Române. În mijlocul războiului şi sub dictatura lui Stalin, Kapitza

prezenta incompatibilitatea dintre cercetarea ştiinţifică şi ideologie

(nu filosofie!), ceea ce Academia Română nici măcar nu a insinuat în deceniul

nouă al secolului XX. Poate dacă un savant român ar fi vorbit cu Ceauşescu aşa

cum a vorbit Kapitza cu Stalin157, prezentul României ar fi fost altul...

Kapitza, studentul preferat al lui Rutherford la Cavendish Laboratory

din Cambridge, laureat al Premiului Nobel (1978) şi singurul din Prezidiul

Academiei URSS care nu a fost membru de partid, l-a salvat pe renumitul

fizician L. D. Landau din lagăr, a refuzat să participle la proiectul bombei cu

156 Kapiţa P.L. (1981) Experiment, teorie, practică, Editura Politică, Bucureşti. 157 Într-o prelegere dedicată relaţiei dintre omul de ştiinţă şi regimurile totalitare (Universitatea din Minnesota, 1995) Barenblatt131,136 (doctorand al lui Kolmogorov, fiul unui renumit medic rus deportat de Stalin în lagăr) a prezentat o scrisoare adresată de Kapitza lui Stalin: Tovarăşe Stalin, Rusia are nevoie de oxigen lichid şi eu ştiu cum să-l produc în cantităţi industriale. Dacă vă interesează mă puteţi contacta… după două zile Stalin a trimis o maşină să-l aducă pe Kapitza la Kremlin. A se consulta şi cartea: Kojevnikov A.B. (2004) Stalin’s great science, Imperial College Press, London.

110

hidrogen al Uniunii Sovietice, l-a sprijinit public pe Andrei Saharov, a criticat

continuu aspectele negative ale politicii economice din URSS (atrăgând atenţia

asupra unui posibil dezastru generat de funcţionarea precară a modelului sovietic

de centrală nucleară!)... îşi permitea deoarece era unicul care putea produce gaze

lichefiate la scară industrială, produse indispensabile pentru o industrie ce se

dorea mare putere (până şi un ideolog îşi dădea seama de acest lucru!).

Ce pereche făcea Kapitza cu Heisenberg... coşmarul oricărui dictator,

terminatori de regimuri totalitare, oameni de caracter.

KKaappiittzzaa şşii HHeeiisseennbbeerrgg llaa vvrreemmeeaa vviisseelloorr...... îînnaaiinnttee ddee mmaarreeaa îînncceerrccaarree::

lluuppttaa ccuu SSttaalliinn şşii HHiittlleerr ((wwwwww..rruuttvv..rruu,, pphhoottooss..aaiipp..oorrgg))..

Legătura ştiinţifică dintre Kapitza şi Heisenberg este mai subtilă; nu

s-a stabilit exclusiv datorită lui Niels Bohr, la Conferinţa Solvay din 1930 sau

în cadrul Kapitza Club din Cambridge158... mecanica fluidelor, în particular

turbulenţa, a avut şi aici un rol decisiv.

Importanţa turbulenţei în formarea ştiinţifică a lui Heisenberg este

cunoscută (v. cap.8). În urma studierii heliului lichid159 (începută în 1930),

Kapitza a descoperit fenomenul de superfluiditate160 (1937/38), fundamentat

teoretic de colegul său Lev Landau în 1941 (discipol al lui Bohr, laureat al

premiului Nobel în 1962).

158 Mehra J., Rechenberg H. (1982) The discovery of quantum mechanics – 1925, Springer, New York. 159 Reif-Acherman S. (2009) Several motivations, improved procedures, and different

contexts: The first liquefactions of helium around the world, Int. J. Refrigeration 32, 738-762. 160 Balibar S. (2007) The discovery of superfluidity, J. Low Temp. Physics 146, 441-470.

111

PPaarrttiicciippaannţţiiii llaa aa 66--aa CCoonnffeerriinnţţăă SSoollvvaayy,, BBrruusssseellss,, ooccttoommbbrriiee 11993300

ZZeeeemmaann,, PPiieetteerr;; WWeeiissss,, PPiieerrrree;; SSoommmmeerrffeelldd,, AArrnnoolldd JJoohhaannnneess WWiillhheellmm;; CCuurriiee,, MMaarriiee;; LLaannggeevviinn,, PPaauull;; EEiinnsstteeiinn,, AAllbbeerrtt;; RRiicchhaarrddssoonn,, OOwweenn WWiillllaammss;; CCaabbrreerraa,, BBllaass JJuuaann JJoossee;; BBoohhrr,, NNiieellss HHeennrriikk DDaavviidd;; ddee HHaaaass,, WWaannddeerr JJoohhaannnneess;; HHeerrzzeenn,, EE..;; MMaannnneebbaacckk,, CChhaarrlleess LLaammbbeerrtt;; CCoottttoonn,, AAiimmee AAuugguussttee;; SStteerrnn,, OOttttoo;; PPiiccccaarrdd,, AAuugguussttee;; GGeerrllaacchh,, WWaalltthheerr;; DDaarrwwiinn,, CChhaarrlleess GGaallttoonn,, SSiirr;; DDiirraacc,, PPaauull AAddrriieenn MMaauurriiccee;; KKaappiittssaa,, PPeettrr LLeeoonniiddoovviicchh;; BBrriilllloouuiinn,, LLeeoonn;; KKrraammeerrss,, HHeennddrriikk AAnntthhoonnyy;; DDeebbyyee,, PPeetteerr JJoosseeff WWiilllliiaamm;; PPaauullii,, WWoollffggaanngg;; VVaann VVlleecckk,, JJoohhnn HHaassbbrroouucckk;; FFeerrmmii,, EEnnrriiccoo;; HHeeiisseennbbeerrgg,, WWeerrnneerr ((pphhoottooss..aaiipp..oorrgg)) ........ oo iimmaaggiinnee ppuuţţiinn nneeccllaarrăă,, ssee ssiimmţţeeaa îînncceeppuuttuull ddeezzaassttrruulluuii ((uullttiimmaa CCoonnffeerriinnţţăă SSoollvvaayy,, aa 77--aa,, îînnaaiinnttee ddee aall DDooiilleeaa RRăăzzbbooii MMoonnddiiaall aa aavvuutt lloocc îînn aannuull 11993333));; sseerriiaa ccoonnffeerriinnţţeelloorr ccoonnttiinnuuăă şşii îînn pprreezzeenntt..

IInniiţţiiaattoorruull CCoonnffeerriinnţţeelloorr SSoollvvaayy ((11991111 –– )),, cchhiimmiissttuull bbeellggiiaann EErrnneesstt SSoollvvaayy ((11883388 –– 11992222))..

112

Superfluiditatea este o stare manifestată de heliul lichid–HeII la

temperaturi mai mici de 2.17 K (aşa-numitul punct critic în diagrama

tranziţiei de fază). HeII este starea lichidă a izotopului 4He, fizica acestuia fiind

descrisă de modelul statistic Bose-Einstein. În aceste condiţii, HeII se

comportă în vase capilare şi spaţii înguste ca un fluid fără viscozitate, având o

conductivitate termică infinită şi manifestând efecte spectaculoase datorită

ponderii mari a tensiunii superficiale138.3 comparativ cu cea a greutăţii.

HeII este deci un fluid perfect: fără frecare, fără producţie de entropie...

un mediu ideal de studiu pentru fizicieni, un fluid cuantic!161

PPiiccăăttuurrii ddee hheelliiuu,,116622 aappăă şşii ssoolluuţţiiee ddee ppoolliimmeerr;; ppeennttrruu ttooaattee fflluuiiddeellee,, ggeeoommeettrriiaa

ssuupprraaffeeţţeeii lliibbeerree eessttee ssttaabbiilliittăă ddee mmăărriimmeeaa tteennssiiuunniiii ssuuppeerrffiicciiaallee ((iinntteerrffaacciiaallee))..

În lipsa viscozităţii, pentru un superfluid pur numărul Reynolds

aparent tinde la infinit163, deci orice tip de mişcare ar fi ipotetic turbulentă.

Cum turbulenţa hidrodinamică clasică nu se poate concepe în lipsa procesului

de disipare vâscoasă, rezultă că turbulenţa din curgerea heliului lichid trebuie

să aibă caracteristici specifice. Fenomenul poartă denumirea de turbulenţă

cuantică164 şi apare la temperaturi în jurul unui grad Kelvin.

161 Wyatt R.E. (2005) Quantum dynamics with trajectories: Introduction to quantum hydrodynamics, Springer, Berlin. 162 http://www.youtube.com/watch?v=w0z8fVrTyzg&feature=related

Formele picăturilor sunt infinite... recomand consultarea lucrării:

Eggers J., Villermaux E.(2008) Physics of liquid jets, Rep. Prog. Phys. 71, 1-79, doi:10.1088/0034-4885/71/3/036601 şi a albumului de vizualizări editat de revista Physics of Fluids: pof.aip.org/gallery_of_fluid_motion 163 Barenghi C.F. (2008) Is the Reynolds number infinite in superfluid turbulence? Physica D 237, 2195–2202. 164 Donnelly R.J., Swanson C.E. (1986) Quantum turbulence, J. Fluid Mech. 173, 387-429.

113

În mişcarea turbulentă cuantică vârtejurile din câmpul curgerii au o

singură dimensiune spaţială, fiind reprezentate de microfilamente discrete. În

acest caz, disiparea energiei cinetice nu se mai realizează prin frecare

vâscoasă ci prin emisia unor unde acustice, aşa-numita cascadă Kelvin163

(concept similar cascadei Kolmogorov-Richardson din turbulenţa clasică

vâscoasă, v. cap.8).

Trebuie remarcat că hidrodinamica cuantică, pe lângă turbulenţă,

studiază aplicaţii similare mecanicii fluidelor clasice, de la curgerea în

conducte159 la saltul hidraulic165 şi dinamica bulei cavitaţionale.166

Esenţială pentru explicarea turbulenţei cuantice este înţelegerea

formării şi dezvoltării structurilor de vârtej într-o mişcare superfluidă,167

respectiv a diferenţei dintre un fluid ideal clasic şi un superfluid.159, 168

Urmând modelul de superfluid al lui Landau,138.3 aşa-numitul model de

fluid dual, HeII în intervalul de temperatură (1 2.17) K prezintă două

manifestări complementare, ca şi când ar fi un “ipotetic amestec” de două

fluide: un fluid ideal, fără transfer termic (superfluidul) şi un fluid vâscos

clasic. Dacă curgerea se realizează la scări spaţiale mici (vase capilare)

comportamentul superfluid este dominant, în timp ce mişcările realizate în

configuraţii spaţiale mari sunt descrise de fluidul vâscos.

Pentru fluidul HeII existenţa frecării este dependentă de scara spaţială

a procesului dinamic. Acest lucru contravine principiului fundamental al

mecanicii mediilor continue, principiul consistenţei, care afirmă că relaţia

constitutivă a unui fluid este independentă de condiţiile la limită şi de scara

spaţială la care procesul dinamic are loc.

Modelul de fluid dual este similar conceptual dualismului undă –

corpuscul folosit pentru studiul fotonului, fiind în concordanţă cu principiul

complementarităţii propus de Bohr (v. cap.6). Deci curgerea fluidului HeII este

o manifestare a unui fenomen cuantic, care nu-şi găseşte o explicaţie raţional-

ştiinţifică în cadrul mecanicii fluidelor clasice.

165 Rolley E., Guthmann C., Pettersen M.S. (2007) The hydraulic jump and ripples in liquid helium, Physica B 394, 46–55. 166 Abe H., Morikawa M., Ueda T., Nomura R., Okuda Y., Burmistrov S.N. (2009) Visual observation of the bubble dynamics in normal 4He, superfluid 4He and superfluid 3He–4He mixtures , J. Fluid Mech. 619, 261–275. 167 Bewley G.P., Lathrop D.P., Sreenivasan K.R. (2006) Superfluid helium: visualization of quantized vortices, Nature 441, 588–588. 168 Physics Today, 63(5), 2010 este dedicat acestui subiect – In search of perfect fluid.

114

În modelul dual, densitatea fluidului şi impulsul specific asociat sunt

definite astfel:

, (9.1)

(9.2)

unde şi sunt densitatea şi viteza superfluidului, iar şi sunt

densitatea şi viteza fluidului vâscos normal. Trebuie menţionat că în modelul

Landau nu există frecare între cele două “faze fluide”, deci nu se poate

transmite impuls între acestea.

Componenta superfluidă va fi o soluţie a ecuaţiei de mişcare Euler

pentru un fluid ideal (6.6), în care viteza derivă dintr-un potenţial:

, (9.3)

în timp ce viteza fluidului normal este dată de ecuaţia Navier-Stokes (5.10),

HeII fiind considerat aici un mediu incompresibil ( 0, 0).

Practic, în modelul de fluid dual coexistă principiile mecanicii clasice

cu cele ale mecanicii cuantice!

În cazul în care se renunţă la constrângerea impusă de

incompresibilitate, dualismul modelului generează existenţa a două formule

pentru calculul vitezei de propagare a undelor sonore. Una este formula

clasică a celerităţii dată de Newton (2.1):

, (9.4)

cealaltă având expresia:

(9.5)

unde este entropia specifică, căldura specifică la volum constant şi

temperatura.

Formula (9.4) reprezintă viteza undelor de presiune ( ), iar

relaţia (9.5), asociată exclusiv comportamentului de superfluid, reprezintă

viteza undelor de temperatură ( ). Astfel, într-un superfluid se poate

genera un al doilea sunet prin variaţii de temperatură pe o suprafaţă fixă

(primul sunet fiind produs prin vibraţie mecanică).138.3

Dualismul şi complementaritatea în ştiinţă devin fascinante... câte

sunete putem noi auzi?... mult mai puţine decât există!

115

Mecanica şi termodinamica mediului continuu, în particular mecanica

fluidelor, este unul dintre modelele ştiinţifice folosite pentru reprezentarea

lumii ce ne-nconjoară,

Considerarea fluidului ca un continuum (în realitate acesta fiind un mediu molecular discret) este esenţială pentru înţelegerea şi explicarea unor fenomene din natură (cum sunt formarea şi dinamica picăturilor); deci o teorie fizică mai puţin “fundamentală”, aşa cum este hidrodinamica, are un rol indispensabil în dezvoltarea cunoaşterii.169

Se poate afirma că mecanica fluidelor este cel mai “comun” model de

reprezentare al naturii; s-a născut odată cu civilizaţia şi s-a dezvoltat continuu

spre domenii limită ale cercetării ştiinţifice. Asociem hidrodinamica cu

temperaturi vecine zeroului absolut, dar şi cu plasma incandescentă a

Soarelui170, studiem nano- şi microfluide171 alături de modelarea vârtejurilor

galactice172, investigăm dinamica celulelor173, curgerea biofluidelor în

plante174 şi a sângelui175... în speranţa înţelegerii funcţionării corpului176 şi

conştiinţei umane, şi de ce nu a regăsirii fluxului iniţial ce ne-a dăruit viaţa.

În perspectiva infinităţii lumii materiale, raţiunea umană are un

potenţial finit de construcţie a modelelor ştiinţifice, dar nelimitat de

reprezentare a realităţii. Există deci mai multe laturi ale cunoaşterii... filosofia

ştiinţei, ca şi mecanica fluidelor, este una dintre ele.

169 Batterman R.W. (2006) Hydrodynamics versus molecular dynamics: Intertheory relations in condensed matter physics, Phil. Science 73(5), 888-904. 170 De Pontieu B. et al. (2011) The origins of hot plasma in the solar corona, Science 331(6013), 55-58 171 Stone H.A., Stroock A.D., Ajdari A. (2004) Engineering flows in small devices: microfluidics toward a Lab-on-a-Chip, Annu. Rev. Fluid Mech. 36, 381-411. Squires T.M., Quake S.R. (2005) Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale, Rev. Modern Physics 77, 977-1026. 172 //science.nasa.gov 173 Kim D-H. et al. (2009) Microengineered platforms for cell mechanobiology, Annu. Rev. Biomed. Eng. 11, 203-233. 174 Jensen K.H., Rio E., Hansen R., Clanet C., Bohr T. (2009) Osmotically driven pipe flows and their relation to sugar transport in plants, J. Fluid Mech. 636, 371-396. Dabiri J.O. (2009) Optimal vortex formation as an unifying principle in biological propulsion, Annu. Rev. Fluid Mech. 41, 17-33. 175 Loth F., Fischer P.F., Bassiouny H.S. (2008) Blood flow in end-to-side anastomoses, Annu. Rev. Fluid Mech. 40, 367-393. Humphrey J.D., Taylor C.A. (2008) Intracranial and abdominal aortic aneurysms: similarities, differences, and need for a new class of computational models, Annu. Rev. Biomed. Eng. 10, 221-246. 176 Thomas S.R. et al. (2008) SAPHIR: a physiome core model of body fluid homeostasis and blood pressure regulation, Phil. Trans. R. Soc. A 366, 3175-3197.

116

FFrruummuusseeţţeeaa rrăăssăărriittuulluuii şşii ttaaiinnaa zzbboorruulluuii...... ssuubbiieeccttee ddee ffiinnaall..

117

EEPPIILLOOGG:: ŞŞCCOOAALLAA ÎÎNN SSPPIIRRIITT –– DDIISSCCUUŢŢIIII DDEE SSEEAARRĂĂ NNOORRDDIICCĂĂ

MMoottttoo::

UUnn mmeeddiiuu ssoocciiaall aasseeppttiicc eessttee ssttaabbiill ddaarr ccrreeaattoorr iinneerrtt;; aaccttiivvaarreeaa ssppiirriittuulluuii nnuu ssee

ppooaattee ffaaccee ddeeccââtt pprriinn ddiissccuuţţiiii ppeerrttuurrbbaattooaarree..

AAnnoonniimm

Sunt experienţe care nu se pot repeta, momente de echilibru local

generate de prezenţa unei forţe dominante, efemere în spaţiul temporal al

existenţei. Forţa la care fac referire este produsă de o personalitate reală,

capabilă să realizeze concentrarea energiilor creatoare ale momentului

într-un domeniu punctual al ştiinţei. Niels Bohr a fost cel mai remarcabil

exemplu de acest fel, dar nu unicul...

Probabilitatea ca un fenomen similar Şcolii de la Copenhaga să aibă loc

astăzi este extrem de redusă; nu din lipsa personalităţilor sau a suportului

financiar, ci din cauza absenţei aspiraţiei spre universalitate într-o societate

economic globalizată şi dominată de constrângerea prezentului.

Ne uzăm în prea multe conferinţe şi mese rotunde, lucrări, rapoarte şi

recenzii, proiecte şi contracte, fără a mai găsi timpul necesar autoreflexiei şi

“aplicării” spre fundamente. Dialogul ştiinţific se reduce astfel la o obligaţie

mondenă, în care schimbul de idei se atrofiază până la limita autismului.

Singurătatea individului (cercetătorului) devine o trăsătură dominantă într-un

mediu artificial concurenţial, dezinteresat de înţelegerea reală a sensului

existenţei şi sufocat de interese financiare.

Reacţia societăţii ştiinţifice conştiente de pericolul fenomenului

menţionat este organizarea Şcolilor de Vară, întâlniri informale între profesori

şi studenţii doctoranzi din universităţi prestigioase. Se creează în aceste spaţii

închise un cadru atemporal în care participanţii încearcă reconstrucţia

spiritului ştiinţific iniţiatic, a relaţiei profund umane mentor – discipol, atât de

absentă (şi de dorită!) astăzi. Protejaţi de zgomotul lumii exterioare şi liberi

să-şi manifeste deopotrivă ignoranţa sau competenţa, spiritul elitist sau

profund democratic, cercetători de renume şi aspiranţi îşi reunesc dorinţele şi

speranţele că vor clădi o lume mai bună....

118

Pentru membrii acestei vremelnice comunităţi diferenţa dintre ştiinţă

şi filosofie este disipată în nopţile de vară printr-o tranziţie naturală, cu

dinamică dependentă de calitatea şi cantitatea vinului disponibil...

MMaaeessttrruu ((TToommaass BBoohhrr)) –– DDiisscciippooll,, KKrrooggeerruupp ((DDaanneemmaarrccaa)),, aauugguusstt 22001111..

IInnvviittaaţţiiee…….. KKrrooggeerruupp ((DDaanneemmaarrccaa)),, aauugguusstt 22001111..

119

În fereastra difuză dintre noaptea îndelung aşteptată şi prea curândul

răsărit apare undeva în Nord, cândva în vară, ecoul vremurilor nu de mult

trecute. Dacă momentul te prinde pregătit, împlinirea se apropie de tine…

o singură dată… am ratat-o (?).

Căutam asemănarea dintre Giacometti şi Brâncuşi177; prin peretele de

sticlă178 se oglindea pe suprafaţa apei Un om în marş… unde se duce?

Tomas Bohr s-a apropiat de mine… “întotdeauna când mă uit la acest

lac îmi aduc aminte de povestea tatălui meu179... aici a aşteptat împreună cu

bunicul, într-o lungă noapte rece din toamna anului 1943, barca să-i ducă în

Suedia...” Tăcere... ne uitam amândoi la imaginea reflectată într-un asfinţit

continuu, monoton şi îngheţat în proiectul de a deveni noapte.

Gândurile mi-au zburat către Bunicul meu şi Tata... părăsind cu ultimul

tren Cernăuţiul în 1944, definitiv şi fără cale de întoarcere. Reflexii.

Dacă există cu adevărat un destin trebuie să-l acceptăm şi să-l

împlinim.

ÎÎnnttoottddeeaauunnaa iimmaaggiinneeaa rreefflleeccttaattăă pprreezziinnttăă oo iirreegguullaarriittaattee......

177 Meares R. (1980) Body feeling in human relations: the possible examples of Brancusi and Giacometti, Phychiatry 43(2), 160-167. 178 Muzeul de Artă Modernă Luisiana, Humlebæk, Danemarca. 179 Aage Niels Bohr (1922-2009), fiu al lui Niels Bohr, laureat al Premiului Nobel în 1975.

120

Teoriile ştiinţifice nu sunt decât o creaţie umană, nici pe departe un

destin... nu ne putem preface încontinuu că le înţelegem, doar de teama

ridicolului. În vara Nordului, într-o Şcoală de Vară poţi scăpa de aceste

complexe....

A reapărut într-o astfel de atmosferă problema definirii mediului fluid

şi a abilităţii sale de “a uda” suprafaţa solidă. Într-o discuţie de seară dedicată

hidrofobicităţii, alunecării la perete şi condiţiilor la limită180, iniţial inocentă,

s-a pus problema legăturii dintre vitezele sunetului în starea lichidă (cl) şi în

starea gazoasă (cg) a aceluiaşi fluid (v. cap.2), relativ la viteza sunetului în

peretele solid care îl înconjoară.

Participanţii activi la discuţiei erau fizicieni familiarizaţi cu teoriile

moleculare clasice (emise la final de secol XIX), asociate unor noţiuni ambigue

pentru inginerii prezenţi (în care mă includ): volumul ocupat de molecule –

(molecula fiind considerată sferă rigidă!), volumul liber – , volumul

minim – şi volumul disponibil – ...

La întrebarea mea dacă volumul este acelaşi cu volumul domeniului

spaţial ocupat de un mediu continuu (v. relaţiile (1.1), (3.4)), s-a răspuns

printr-un zâmbet şăgalnic, ca şi când nu aş fi înţeles că modelul molecular al

fluidelor are o corespondenţă limitată în modelul de mediu continuu...

Evident, viteza sunetului este una şi aceeaşi, indiferent de modelul adoptat...

dar este celeritatea cu adevărat o proprietate exclusiv de material, sau

depinde de domeniul în care materialul (în particular, fluidul) se află?

Cu alte cuvinte, există proprietăţi de material intrinseci (densitatea,

viscozitatea etc.), sau toate caracteristicile materialului sunt în realitate

rezultatul unei interacţiuni ale acestora cu mediul exterior (de felul tensiunii

interfaciale)? Este oare stupid să consideri că viscozitatea unui lichid depinde

de materialul conductei?..., dar de dimensiunea canalului prin care curge?

Are conceptul de viscozitate sens în cadrul teoriilor moleculare?...,

dar prezenta carte nu este un manual de filosofie a ştiinţei aplicată, deci să ne

oprim cu întrebările şi să revenim asupra definiţiei vitezei sunetului în fluide...

180 Vinogradova O.I. (1999) Slippage of water over hydrophobic surfaces, Int. J. Miner. Process. 56, 31-60. Bocquet L., Barrat J-L. (2007) Flow boundary conditions from nano- to micro-scales, Soft Matter 3, 685-693. Bazant M.Z., Vinogradova O.I. (2008) Tensorial hydrodynamic slip, J. Fluid Mech. 613, 125-134. Kamrin K., Bazant M.Z., Stone H.A. (2010) Effective slip boundary conditions for arbitrary periodic surfaces: the surface mobility tensor, J. Fluid Mech. 658, 409-437.

121

poate nu înainte însă de a remarca capitolul de început al manualului lui

De Graef şi McHenry181 unde se poate citi:

A linear material property is the proportionality factor between

an applied field and the resulting material respons.

O astfel de definiţie asigură neutralitatea afirmaţiei şi oferă

posibilitatea de a avansa (fără prea multe prejudicii) în abordarea

problemelor din ştiinţa aplicativă. Pentru un inginer, orice altă dezvoltare a

subiectului ar fi o filosofie inutilă... este doar o simplă definiţie.

Ecuaţia de stare a fluidelor (iniţial a gazelor) este cunoscută în special

sub forma relaţiilor lui Émile Clapeyron (1834):

(E.1)

sau a lui J. D. van der Waals (1873), cu importanta contribuţie a lui

J. C. Maxwell (1875),

( ) , (E.2)

v. relaţia (2.6).

Corespunzător relaţiei (E.1), într-un gaz ideal viteza sunetului are

expresia182:

, (E.3)

în care

reprezintă raportul dintre căldura specifică la presiune

constantă şi căldura specifică la volum constant, iar / este

constanta gazelor ( fiind numărul de moli).

În (E.1) şi (E.2) = 1.38 · 10-23 J·K-1 este constanta lui Boltzmann,

este numărul de atomi, p este presiunea şi este volumul ocupat de gaz

( şi fiind constante).

Două relaţii mai recente pentru ecuaţia de stare sunt important de

menţionat:

1

, 183 (E.4)

şi

. 184 (E.5)

181 De Graef M., McKinley M.E. (2010) Structure of materials, Cambridge Univ. Press, pp. 1-22 (Materials and materials properties). 182 Kincaid J.F., Eyring H. (1938) Free volumes and free angle ratios of molecules in

liquids, J. Chemical Physics 6, 620-629. 183 Tonks L. (1936) The complete equation of state of one, two and three-dimensional

gases of hard elastic spheres, Physical Rev. 50, 955-963.

122

În aceste ultime relaţii , fiind volumul minim obţinut prin

compactarea moleculelor (considerate sfere rigide!), şi

(1 ) volumul disponibil.

Volumul liber,182, 184 1

, este în realitate volumul

obţinut prin diferenţa dintre volumul “spaţial” ocupat de moleculă, aflată în

mişcarea de agitaţie termică, şi volumul efectiv al moleculei.

Se obţin astfel două formule care fac legătura între cele două viteze ale

sunetului, cl, respectiv cg :

, 179 (E.6)

şi

. 181 (E.7)

Pentru apă distilată la temperatura de 20oC avem: .5 ,

cu 1450 m/s.

De remarcat că pentru fluide este întotdeauna valabilă relaţia:

, (E.8)

în care cmol este viteza de oscilaţie a moleculei (de exemplu, pentru benzen

valorile corespunzătoare sunt: cg = 188 m/s < cmol = 283 m/s < cl = 1300 m/s).

În cazul solidelor, vitezele sunetului sunt mult mai mari (având în

vedere că volumul disponibil este mult mai mic), însă trebuie reţinut că undele

elastice sonore au pe lângă componenta longitudinală, cs-long, şi o componentă

transversală, cs-trans (absentă la fluide).

În cazul apei solide (gheaţă la temperatura 0oC) s-au măsurat

valorile185:

cs-long 3837. 9 m/s, cs-trans 1826 m/s, (E.9)

comparativ cu viteza apei în stare lichidă la aceeaşi temperatură, cl-apă = 1403 m/s.

Relaţiile (E.3)-(E.7) au însă un potenţial aplicativ redus, poate şi

datorită faptului că modelul formulat nu are la bază o teorie cu adevărat

ştiinţifică.

184 Kittel C. (1946) Ultrasonic propagation in liquids. II. Theoretical study of the free

volume model of the liquid state, J. Chemical Physics 14, 614-624. 185 Vogt C., Karim Laihem K., Wiebusch C. (2008) Speed of sound in bubble-free ice,

J. Acoust. Soc. Am. 124, DOI: 10.1121/1.2996304.

123

Simplificarea, nu numai formală, este deci necesară... La nivel

macroscopic, se recomandă pentru viteza sunetului folosirea formulei:

, (E.10)

unde 1 , (v. (2.7)), este modulul de elasticitate al fluidului, constantă de

material definită de:

, (E.11)

fiind variaţia de presiune înregistrată în material datorită variaţiei locale

de densitate .

Urmând definiţia proprietăţii de material178: modulul de elasticitate al

fluidului este proprietatea liniară de material reprezentată de raportul dintre

variaţia specifică de presiune şi variaţia specifică de densitate,

(răspunsul materialului la efortul exterior aplicat).

Nu trebuie să uităm că (E.10) este o relaţie ideală, în sensul că fluidul

se află în condiţii izoterme, într-un mediu infinit şi în repaus... aşa ceva nu

poate exista, deci în practica inginerească trebuie să introducem tot felul de

corecţii, mai mult sau mai puţin semiempirice...

Aceasta este ştiinţa... pe înţelesul meu: plec de la o ipoteză “de bun

simţ” (model nerealist în acest caz, moleculele nu sunt sfere rigide182, 183...),

parcurg un traseu logic bazat pe principii enunţate axiomatic (dar verificate

prin exemple), aplic structuri şi formule matematice mai mult sau mai puţin

sofisticate (a căror rezolvare este aproximativă, de cele mai multe ori)

şi ajung la o formulă care nu se poate aplica în practică decât prin înmulţire cu

un factor empiric.

Este oare traseul arătat o cale spre înţelegerea de sine şi a lumii... sau o

trudă inutilă a spiritului?

Această discuţie mi-a sugerat o definiţie a fluidului mai clară decât cea

propusă în primul capitol... fluidul este acel material în care sunetul nu se

transmite decât prin unde elastice longitudinale (unde dezvoltate pe aceeaşi

direcţie cu viteza lor de propagare). Evident, un material fluid nu poate susţine

eforturi tangenţiale decât în mişcare, existenţa acestora în repaus fiind

asociată cu prezenţa componentei transversale a undelor sonore (v. cazul

solidelor).

124

Fiind legată de sunet, definiţia propusă are o frumuseţe aparte ... este

mai aproape de muzică,186 de căldura sunetului,187 de singurătatea artistului şi

a cercetătorului188, companie indispensabilă actului creator.

Legătura dintre existenţa eforturilor tangenţiale în fluid şi aderarea

acestuia la suprafaţa solidă este imediată. Efortul de frecare la perete, , se

poate exprima în următoarele forme echivalente:

, (E.12)

, (E.13)

unde este aici coeficientul de frecare (concept asociat frecării solide), este

viscozitatea (concept asociat frecării dintre straturile de fluid), este normala

la suprafaţă, este gradientul de viteză la suprafaţă şi este viteza de

alunecare la suprafaţa solidă189.

Rezultă imediat:

cu

(E.14)

lungimea de alunecare (concept introdus de Navier180, 189).

Viteza de alunecare şi efortul fiind întotdeauna finite, pentru

se obţine 0 (fluidul alunecă perfect la perete), respectiv

pentru viteza de alunecare trebuie să fie practic nulă, 0, fluidul

aderând la perete.

Acest rezultat imediat pare facil de obţinut... în realitate se bazează pe

ipoteze foarte “dure” şi deloc simplu de justificat. Una dintre ele, despre care

nu vom discuta aici, este ipoteza impenetrabilităţii corpurilor continue şi a

posibilităţii de a fi cu adevărat în contact,190 o problemă specifică filosofiei

ştiinţei. O altă ipoteză consideră că efortul de frecare este acelaşi la perete şi în

fluid, deci nu se admit salturi (discontinuităţi) de natură dinamică.

186 Ffowcs Williams J.E. (1996) Aeroacoustics, J. Sound Vibrations 190, 387-398. The physics of music (în Scientific American, 1978), W. H. Freeman Comp. Limited. 187 Vaughan D. (1980) Warm string tone in acoustics, J. Sound Vibration 68, 119-138. 188 Fry D.B. (1980) The singer and the auditorium, J. Sound Vibration 69, 139-142. 189 de Gennes P.G. (2002) On fluid/wall slippage, Langmuir 18, 3413-3414. De menţionat că “frecarea de tip solid-fluid” apare şi la interfaţa dintre două fluide imiscibile: Zeng H., Tian Y., Zhao B., Tirrel M, Israelachvili J. (2009) Friction at the liquid/liquid interface of two immiscible polymer films, Langmuir 25, 4954-4964. 190 Smith S.R. (2007) Continuous bodies, impenetrability, and contact interactions: the view from the applied mathematics of continuum mechanics, Brit. J. Phil. Sci. 58, 503-538.

125

Să presupunem că distribuţia de viteze în vecinătatea peretelui are

forma din figura alăturată...

se obţine expresia lungimii de alunecare (aparente):

1 . (E.16)

Poate avea un fluid (presupus iniţial omogen) o altă viscozitate în

apropierea peretelui? În cazul unei grosimi de ordinul de mărime al unei

molecule, se poate face oare distincţia dintre viteza reală de alunecare ,

(E.14), şi viteza aparentă de alunecare , (E.15)?

Parcă în această ultimă întrebare se sintetizează majoritatea

problemelor actuale din mecanica fluidelor aplicată şi reologie...

Are filosofia ştiinţei capacitatea de a aborda astfel de teme, sau este

limitată conceptual numai la analiza trecutului?

Nici mecanica fluidelor şi nici filosofia ştiinţei nu oferă răspunsuri

rezonabile la aceste întrebări de final... Atunci, să admitem limita judecăţii

noastre şi să lăsăm mintea să se bucure de sunet şi lumină, de muzică şi

pictură, de flori şi iubire. Poate aşa ne vom apropia de adevărata cunoaştere...

Avem nevoie de timp şi antrenament să vizualizăm sunetul mării191 şi sonetele

lui Shakespeare192, să simţim instabilitatea hidrodinamică din pictura

abstractă a lui Pollock193 şi aerodinamica Păsării lui Brâncuşi, să rămânem

uimiţi de vârtejurile lui Da Vinci şi picturile curgerilor secundare realizate de

A. Hinderks în cartea lui Prandtl194.

191 Yamagishi Y., Oki M. (2008) A visualization picture of sound, J. Visualization 11, 276. 192 Yamada M.,Murai Y. (2010) Stereoscopic story visualization in literary works demonstrated by Shakespeare’s plays, J. Visualization 13, pp.355-363. 193 Herczyński A., Cernuschi C., Mahadevan L. (2011) Painting with drops, jets, and sheets, Physics Today 64(6), pp.31-36. 194 Prandtl L. (1952) Essential of fluid dynamics with applications to hydraulics, aeronautics, meteorology and other subject, Blackie & Son Limit., London and Glasgow, p. 147.

Deci, în imediata apropiere a

peretelui se formează un strat aderent, de

grosime , în care viscozitatea este cu mult

mai mică decât viscozitatea din domeniul

fluid ( ), derivata vitezei nefiind

definită pentru n.

Din continuitatea eforturilor de

frecare la distanţa

(E.15)

s

0

la n

Perete

fluid

126

De ce nu am regândi ştiinţa şi filosofia ca o plăcere a spiritului, bucurie

a sufletului şi respect pentru natură?

La încheierea epilogului, un motto pentru viitor:

First human, then science.

TToommaass BBoohhrr

127

PP..SS.. MMOONNOOLLOOGGUULL UUNNUUII RREEOOLLOOGGIISSTT;; preambul la viitoarea lucrare:

RReeoollooggiiaa...... oo TTeeoollooggiiee aa MMeeccaanniicciiii FFlluuiiddeelloorr??

Monologul lui Hamlet72 Monologul unui Reologist

To be, or not to be, that is the question;

Whether 'tis nobler in the mind to suffer

The slings and arrows of outrageous fortune

Or to take arms against a sea of troubles

And by opposing end them? To die; to sleep,

No more and by a sleep to say we end

The heartache, and the thousand natural shocks

That flesh is heir to. 'Tis a consummation

Devoutly to be wished. To die, to sleep;

To sleep: perchance to dream; ay, there's the rub,

For in that sleep of death what dreams may come

When we have shuffled off this mortal coil,

Must give us pause. There's the respect

That makes calamity of so long life.

For who would bear the whips and scorns of time,

Th' oppressor's wrong, the proud man's contumely

The pangs of despised love, the law's delay,

The insolence of office, and the spurns

That patient merit of th' unworthy takes,

When he himself might his quietus make

With a bare bodkin? Who would fardels bear,

To grunt and sweat under a weary life,

But that the dread of something after death,

The undiscovered country, from whose bourn

No traveller returns, puzzles the will,

And makes us rather bear those ills we have

Than fly to others that we know not of?

Thus conscience does make cowards of us all,

And thus the native hue of resolution

Is sicklied o'er with the pale cast of thought,

And enterprise of great pitch and moment

With this regard their currents turn awry

And lose the name of action. Soft you now,

The fair Ophelia! Nymph, in thy orisons

Be all my sins remembered.

To slip, or not to slip, that is the question;

Whether or not a simple or complex flow

Is sliding near the wall;

To adhere, to slip it doesn’t matter,

Navier-Stokes solution to say we end

The simulations, how useful they might be

To dream reality in virtual experiments,

Without too much thinking ... of

Slip and adherence.

To slip a length is natural,

For Navier the lack of confidence may come,

Must give us pause of run,

The molecules will wait in timeless loops,

Continuum lost in discrete world.

The undiscovered adherence condition,

No traveller returns in theory of Stokes,

An open puzzle is the flow

Than fly to other models that we not know of?

Is the fluid stick on solid

A native consequence of resolution,

Or the turning current is the rule

In name of action conservation;

The neighbourhood of both is self understood.

Soft you now! and let the mind free,

In future knowledge the truth is,

Be all scientists’ sins remembered.

128

FFaasscciinnaaţţiiaa rrăămmâânnee …… ccaasstteelluull KKrroonnbboorrgg,, HHeellssiinnggøørr

(( …… dduuppăă 1100 aannii,, vv.. ppaagg.. 6611))..

MMeennţţiiuunnee

AAcceeaassttăă lluuccrraarree aa ppuuttuutt ffii ssccrriissăă şşii ddaattoorriittăă sspprriijjiinnuulluuii ffiinnaanncciiaarr pprriimmiitt

ddee aauuttoorr pprriinn pprrooiieeccttuull IIDD 6611883300 –– PPiiiiFF.. MMuullţţuummeesscc ppaarrtteenneerriilloorr ddee pprrooiieecctt

ppeennttrruu îînnţţeelleeggeerreeaa ddee ccaarree vvoorr ddaa ddoovvaaddăă..

DDee aasseemmeenneeaa,, aapprreecciieezz rrăăbbddaarreeaa şşii îînnggăădduuiinnţţaa ccoolleeggeeii ccoonnffeerreennţţiiaarr

DDiiaannaa BBrroobbooaannăă şşii aa mmeemmbbrriilloorr GGrruuppuulluuii RREEOORROOMM ddiinn ppeerriiooaaddaa rreeddaaccttăărriiii

mmaatteerriiaalluulluuii,, ccâânndd mmii--aamm nneegglliijjaatt uunneellee ddiinnttrree îînnddaattoorriirriillee zziillnniiccee ccaa şşeeff ddee

ccoolleeccttiivv..

MMuullţţuummeesscc ppee aacceeaassttăă ccaallee ccoolleeggiilloorr şşii pprriieetteenniilloorr mmeeii ccaarree aauu cciittiitt

mmaannuussccrriissuull şşii aauu ffăăccuutt oobbsseerrvvaaţţiiii aassuupprraa ccoonnţţiinnuuttuulluuii lluuccrrăărriiii..

OO mmeennţţiiuunnee ssppeecciiaallăă ppeennttrruu PPrrooffeessoorruull SStteerriiaann DDăănnăăiillăă ddee llaa

UUnniivveerrssiittaatteeaa PPoolliitteehhnniiccaa BBuuccuurreeşşttii,, ssppeecciiaalliisstt rreeccuunnoossccuutt îînn tteeoorriiaa ssttrraattuulluuii

lliimmiittăă şşii îînn ttuurrbbuulleennţţaa fflluuiiddeelloorr,, aallee ccăărruuii rreemmaarrccii şşii ccoommeennttaarriiii mmii--aauu ffoosstt

ddeeoosseebbiitt ddee ffoolloossiittooaarree îînn rreeddaaccttaarreeaa ffiinnaallăă şşii îînn ccoorreeccttaarreeaa uunnoorr eerroorrii iinneerreennttee

oorriiccăărruuii mmaannuussccrriiss şşttiiiinnţţiiffiicc ccee ssee pprreettiinnddee oorriiggiinnaall..

Bucureşti (octombrie, 2010) – Kronborg – Darmstadt – Bucureşti (octombrie, 2011)

129

PPeennttrruu mmiinnee MMaarreeaa NNoorrdduulluuii eessttee ttiimmppuull ttrrăăiitt îînnttrree rrăăssăărriittuull llaa KKrroonnbboorrgg

((SSuueeddiiaa –– DDaanneemmaarrccaa)) şşii aappuussuull llaa AAbbeerryyssttwwyytthh ((WWaalleess,, UUKK –– IIrrllaannddaa)),,

ssppaaţţiiuu tteemmppoorraall ppee ccaarree--ll vvooii aassoocciiaa îînnttoottddeeaauunnaa aacceesstteeii ccăărrţţii..