35

INSTRUMENTE PENTRU MĂSURAREA PRESIUNILOR

Aparatele cu ajutorul cărora se măsoară presiunea se numesc manometre. După principiul

de funcţionare, acestea se pot clasifica în două categorii principale:

manometre cu lichid: funcţionarea acestora se bazează pe legea de variaţie a presiunii în

lichidele aflate în repaus; se mai şi numesc piezometre;

manometre cu element elastic: funcţionarea acestora se bazează pe dependenţa dintre

valoarea presiunii şi mărimea deformaţiei elementului elastic.

Măsurarea presiunii se poate face şi cu aparate ce funcţionează pe baza altor principii,

precum cele ce utilizează traductoare electrice sau pneumatice. Indiferent de natura instrumentului

de măsură, fluidul a cărui presiune se măsoară este dirijat spre instrument prin intermediul unei

prize de presiune:

statică, când axa prizei este normală pe direcţia curentului (pentru fluide în mişcare), vezi

figura 1.1;

totală, când axa prizei este pe direcţia curentului (pentru fluide în mişcare), vezi figura 1.2. 1. PIEZOMETRE

Sunt manometre cu lichid şi măsoară întotdeauna presiuni relative, exprimate în coloană de

lichid. Când determină presiunea într-un punct se numesc piezometre simple, iar dacă măsoară

diferenţa de presiune între două puncte piezometre diferenţiale. Dacă lichidul piezometric (lichidul

utilizat pentru determinarea presiunii) este cel a cărui presiune se măsoară se numesc piezometre

directe, în caz contrar piezometre indirecte. Cele mai utilizate sunt: 1.1 Tubul piezometric

Este cel mai simplu manometru şi este constituit dintr-un tub, deschis

la capătul superior, celălalt fiind conectat la un recipient ce conţine un

lichid sub presiune, superioară celei atmosferice, precum este ilustrat

în figura 2. Presiunile măsurate sunt relative la cea atmosferică

(locală), deci suprapresiuni. Acest instrument poate fi utilizat doar în cazul lichidelor, când

înălţimea de lichid pe tubul piezometric este suficient de mare, astfel

încât să fie sesizabile şi măsurabile variaţiile de presiune. Presiunea în punctul A, exercitată de coloana de lichid este:

Fig. 2 - Tubul piezometric

Fig. 1.1

pv

Fig. 1.2

pv

tot

st

36

Fig. 4 - Manometru diferenţial U

lichid] de coloanã [m h g p AfA ρ= . (1)

1.2 Tubul manometric U Denumirea se datorează formei acestuia. Poate fi utilizat

pentru măsurarea presiunii statice în interiorul ambelor tipuri

de fluide (lichide şi gaze). Conectarea la un recipient ce

conţine un fluid se face precum este ilustrat în figura 3.

Densitatea lichidului piezometric trebuie să fie mai mare ca

cea a fluidului a cărui presiune se măsoară. De asemenea, în

cazul măsurătorilor în interiorul lichidelor, acestea şi lichidul

piezometric trebie să fie imiscibile. Pentru manometrul din

figura 3 se pot scrie următoarele relaţii:

Presiunea în interiorul unui fluid în echilibru static absolut este constantă la nivelul oricărui

plan orizontal. Astfel:

CB pp = .

Pentru braţul din stânga al manometrului:

1fAB h g pp ρ+= ;

Pentru braţul din dreapta:

2lpC h g p ρ= .

Astfel, presiunea (relativă la cea atmosferică locală) în punctul A este:

1f2lpA h g h g p ρρ −= . (2) Dacă fluidul a cărui presiune se măsoară este un gaz, densitatea acestuia este mult mai mică

decât cea a lichidului piezometric flp ρρ >> . În acest caz termenul 1f h g ρ poate fi neglijat

(deoarece 1h1 << ), iar presiunea poate fi calculată cu o acurateţe suficientă cu relaţia:

2lpA h g p ρ= . (3) 1.3 Măsurarea diferenţelor de presiune cu ajutorul manometrelor U Manometrele U pot fi utilizate si pentru măsurarea diferenţelor

de presiune în punctele din interiorul unui fluid. Pentru situaţia

prezentată în figura 4:

DC pp = ;

1fAC h g pp ρ+= ;

h g )hh(g pp lp2fBD ρρ +−+= ;

h g )hh(g ph g p lp2fB1fA ρρρ +−+=+ .

Fig. 3 – Tubul manometric U

37

Astfel, diferenţa de presiune între punctele A şi B devine:

h g)()hh(g pp flp12fBA ρρρ −+−=− . (4) De asemenea, dacă flp ρρ >> , termenii ce conţin fρ pot fi neglijaţi, deci:

h g pp lpBA ρ=− . (5)

1.4 Variante îmbunătăţite ale manometrului U Pentru a evita calculul presiunii prin citirea înălţimii de lichid piezometric pe ambele braţe ale

tubului manometric U, se utilizează varianta în care unul dintre braţe are diametrul mult mai mare

în comparaţie cu celălalt, precum în figura 5. În acest caz, deplasarea de lichid piezometric pe

braţul de diametru mai mare devine nesemnificativă. Planul de referin indică nivelul lichidului

piezometric pentru o diferenţă nulă de presiune.

Fig. 5 – Variantă îmbunătăţită a manometrului U Volumul de lichid piezometric transferat de pe un braţ pe celălalt este:

4d h

4D h

2

2

2

1ππ

==V .

Astfel, căderea de nivelel pe braţul cu diametru mai mare este: 2

21 Ddhh

= .

Diferenţa de presiune 21 pp − este dată de diferenţa de nivel pe cele două braţe:

+=

+=−

2

2lp

2

22lp21 Dd1h g

Ddhhg pp ρρ . (6)

Deoarece D este mult mai mare ca d ( dD >> ), raportul 2)D/d( este neglijabil ( )1)D/d( 2 << ,

deci:

2lp21 h g pp ρ=− . (7) În cazul determinării unor diferenţe foarte mici de presiune, pentru a mări precizia de citire, se

utilizează micromanometrele cu braţ înclinat (vezi figura 6). În acest caz, diferenţa de nivel se

determină ca funcţie de lungimea de lichid piezometric pe braţul micromanometrului:

38

αρρ sinl g h g pp 21 ⋅==− . (4.51) Precizia de măsurare poate fi crescută prin înclinarea braţului micromanometrului.

Fig. 6 – Micromanometru cu braţ înclinat Utilizarea mai multor tuburi piezometrice, ca în figura 7, permite măsurarea presiunii simultan în

mai multe puncte. Tuburile formează un piezometrul multiplu, sau baterie piezometrică.

Fig. 7 – Piezometru multiplu

1.5 Alegerea piezometrului adecvat La alegerea piezometrului adecvat unei măsurători trebuie avute în vedere avantajele şi/sau

dezavantajele pe care le prezintă acestea. Avantaje

sunt foarte simple din punct de vedere constructiv;

nu necesită calibrare, presiunile măsurate fiind determinate conform principiului fundamental

al hidrostaticii.

Dezavantaje

nu pot înregistra variaţii rapide de presiune;

în cazul tuburilor manometrice U, trebuie efectuate simultan două măsurători pentru a

calcula presiunea diferenţială; acest dejavantaj poate fi eliminat prin utilizarea variantei în

care unul dintre braţe are diametrul mult mai mare;

este dificilă determinarea unor diferenţe mici de presiune.

39

2º Manometre cu element elastic Sunt manometre a căror construcţie se bazează pe principiul deformării unui element elastic sub

acţiunea unei presiuni. Deformaţia este amplificată prin intermediul unui mecanism, astfel încât

presiunea să poată fi determinată cu o precizie suficient de bună. Sunt simple, uşor de montat şi

utilizat şi pot măsura presiuni într-un domeniu extins. Principalele dezavantaje sunt legate de

mecanismul de amplificare, ce nu permite realizarea unei precizii mari şi de deformaţiile remanente

ale elementelor elastice, aceste aparate necesitând reetalonări periodice. Principalele tipuri

constructive sunt prezentate în figura 8: cu tub elastic (figura 8.1), cu membrană elastică (figura

8.2) şi cu burduf (figura 8.3).

Fig 8 - Tipuri constructive de manometre cu element elastic

Manometru cu tub elastic (Bourdon) Manometru cu membrană elastică

Fig. 8.1

p

pp

Fig. 8.2 Fig. 8.3

40

APLICAŢII ALE STATICII FLUIDELOR

Pb. 1

Să se determine presiunea în punctul A (Pa şi OH mm 2 ), dacă presiunea în punctul B este

at 1.0pB = şi m 2.0h1 = , m 1.0h2 = , m 4.0h3 = , 30 kg/m 1000=ρ , 3

1 kg/m 800=ρ .

Fig. 1 SOLUŢIE: Pasul 1:

Se trec datele problemei în Sistemul Internaţional (dacă este necesar)

)OmmH10( Pa 1081.9Pa 1081.91.0at 1.0p 2334

B =⋅=⋅⋅==

Pa 81.91081.91000OmmH 1 32 =⋅⋅= −

Pasul 2:

⇒++=+++= 3021B3210AC h g h g p)hh(h g pp ρρρ

⇒+−+= )h(h g h g pp 31130BA ρρ

⇒=+⋅⋅−⋅⋅+⋅= Pa 2.9025)4.02.0(81.98004.081.910001081.9p 3A

OmmH 920p 2A =

41

Pb. 2

Într-un rezervor închis, având forma ca în figura 2.1, se află apă sub presiunea mp .

Fig. 2.1

Sunt cunoscute: m 5.1H = adâncimea apei în rezervor

m 5.0R = raza de curbură a rezervorului

m 0.1L = lăţimea rezervorului

3mkg/ 1000=ρ densitatea apei

at 1.0pm = presiuea indicată de manometru.

Să se calculeze şi să se reprezinte distribuţia de presiuni pe pereţii vasului.

Determinaţi valoarea forţei de presiune pe peretele )AB(

Determinaţi valoarea forţei de presiune pe peretele )BC( .

SOLUŢIE: Pasul 1: Se trec datele problemei în Sistemul Internaţional (dacă este necesar)

Pa 1081.91.0at 1.0p 4m ⋅⋅==

Psul 2: Se calculează înălţimea manometrică mh corespunzătoare poziţiei planului manometric, faţă de

suprafaţa de separaţie a apei (vezi figura 2.2). Deoarece la nivelul planului manometric presiunea

absolută este cea atmosferică locală, deci suprapresiunea este nulă 0p = :

⇒= mm h g p ρ

42

m 181.910001081.91.0

g ph

4m

m =⋅⋅⋅

==ρ

Se alege sistemul de referinţă xOyz , astfel încât:

xoy este în planul manometric;

oz în sensul creşterii adâncimii.

Fig. 2.2 Pasul 3:

Se calculează presiunea (relativă) în punctele caracteristice ale geometriei rezervorului. Astfel:

Pa 1081.9ph g h g p 3

mmAA ⋅==== ρρ (presiunea este constantă în interiorul unui gaz);

⇒−+=−+== )RH( g p)]RH([h g h g p mmBB ρρρ

Pa 1062.190.5)-(1.5 81.910001081.9p 33B ⋅=⋅+⋅=

⇒+=+== H g p)H(h g h g p mmCC ρρρ

Pa 1053.241.5 81.910001081.9p 33C ⋅=⋅+⋅=

Se reprezintă variaţia presiunii pe pereţii rezervorului, ca în figura 2.3.

43

Fig. 2.3

Pasul 4: Se calculează presiua pe peretele plan )AB( , )AB(F . Pentru calcule convenabile, se notează

hRH =− (vezi figura 2.4). 4.1 Cu ajutorul relaţiei integrale:

⇒+=+=+== ∫∫∫∫∫∫AA

mAA

mA

mA

)AB( dA zg dApdA z g dA pdA z) g p(dA pF ρρρ

⇒+=

+=+= ∫∫∫ ∫ dx

2hg L h h g dx

2zg L h h g dx dz zg A pF

L

0

2

m

L

0

h

0

2

m

L

0

h

0(AB)m)AB( ρρρρρ

L h 2hh L

2hg L h h g F m

2

m)AB(

+=+= γρρ

4.2 Cu relaţia (4.12) (din curs):

( ) Pa 1471511 0.519810 L h 2hh A h F m(AB)(AB) CG)AB( =⋅+=

+== γγ

Observaţie: Ca voaloare, forţa de presiune este egală cu „volumul distribuţiei de presiuni” şi

acţionează în centrul de greutate al acestei distribuţii.

44

Pasul 5:

Se determină presiua pe peretele curb )BC( : )BC(F , prin calculul celor două componente în

sistemul de referinţă considerat:

componenta orizontală )BC(yF

componenta verticală )BC(zF (vezi figura 2.4).

Conform sistemului de ecuaţii (4.22) (din curs):

11036.25Pa10.5 0.25)-1.5(19810 L R 2RHh Sh F mxozGy xoz

=⋅+=

−+=⋅⋅= γγ

Pa 21546.191 114

0.5 9810 L hh4R V F

2

m

2

z =

++=

++==

ππγγ

unde: xozS este aria proiecţiei suprafeţei curbe )BC( pe planul xoz ;

LRSxoz ⋅=

V este volumul de lichid cuprin între suprafaţa curbă (udată de lichid) şi

proiecţia ei pe planul manometric xoy (unde suprapresiunea este nulă).

L R )hh(4R V m

2

++

π= .

În final:

Pa24208.20 FFF 2z

2y =+= .

Fig. 2.4

45

Fig. 3

Pb. 3 Densitatea lichidelor poate fi determinată experimental cu ajutorul unui densimetru, ca în figura 3.

Acesta este compus dintr-un plutitor lestat, având la

partea inferioară o cavitate cu bile de plumb, iar la partea

superioară un tub calibrat (de diametru constant). Să se

calculeze densitatea unui fluid fρ dacă partea calibrată a

densimetrului se scufundă cu mm 50h =∆ relativ la

poziţia de echilibru în apă. Sunt cunoscute:

gf 20G = : greutatea densimetrului;

mm 8d = : diametrul secţiunii calibrate;

30 kg/m 1000=ρ : densitatea apei

Soluţie:

Pasul 1

Se trec datele problemei în Sistemul Internaţional (dacă este necesar)

N 1962.0kg0.02 sm9.81gf 20G 2 =⋅== ;

m 108mm 8d -3⋅== .

Pasul 2

Principiul de măsurare se bazează pe legea lui Arhimede. Ecuaţiile de echilibru pentru cele două

situaţii de plutire sunt: În apă: d00A V g GFG

0ρ=⇔=

În alt lichid:

+==⇔= h

4d V g V g GFG

2

d0fdffAf∆πρρ

Astfel:

⇒+

=

+

=

+

=h d g G4

G4

h4d

g G g

G

h4d V g

G 2

002

0

2

d0

f ∆πρρ

∆πρ

∆πρ

⇒+

=h d g G4

G4 2

00f ∆πρ

ρρ

⇒⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅=

0.05008.01415.381.910000.196240.19624 1000 2fρ

3l mkg 334.888=ρ

46

Probleme propuse Pb. 1 Un tub manometric U, ca în figură, este utilizat la determinarea acceleraţiei unui vehicul. Calculaţi

acceleraţia pentru mm 30h =∆ . Trasaţi curba de etalonare a accelerometrului.

Pb. 2 Un tahometru hidraulic, compus dintr-un tub manometric U ca în figură, este utilizat pentru

determinarea turaţiei. Să se calculeze turaţia (rotaţii/minut) dacă indicaţia tahometrului este

mm 60h =∆ . Trasaţi curba de etalonare a tahometrului.

Pb. 3

Un cilindru de diametru mm 100 , lungime mm 250 şi densitate 3kg/m 800=ρ pluteşte în apă în

poziţie verticală. Determinaţi stabilitatea plutirii cilindrului.

Pb. 4

Un rezervor cisternă, umplut cu combustibil, se deplasează uniform accelerat, 2m/s 2a = . A Să se

calculeze forţa de presiune pF pe peretele posterior al rezervorului. acceleration. Determinaţi şi

reprezentaţi diagrama distribuţiei de presiuni pe pereţii rezervorului. Sunt cunoscute: m 8.1h = ,

m 6.1b = , m 6l = , 3lcombustibi gram/cm 78.0=ρ .

47

Pb. 5

Determinaţi forţa de presiune rezultantă pe peretele vertical al rezervorului din figură, ce conţine un

start de ulei cu densitatea relativă 0.8, plutind pe un strat de apă. Determinaţi şi reprezentaţi

diagrama distribuţiei de presiuni pe pereţii vasului, de laţime m 0.1L = .