Mecánica para Ingenieros Dinámica, Sexta Edición [Russell C Hibbeler]

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MECNICA PARA INGENIEROS " DINAMICAR. C. HIBBELER



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MECANICA PARA INGENIEROS DINAMICA~

SEXT A EDICIN EN INGLS (TERCERA EDICIN EN ESPAOL) R.C . HIBBELER

TRADUCCIN:

Virgilio Gonzlez PozoIngeniero Qumico Facultad de Qumica

UNAM

REVISIN TCNICA:

Jos de la Cera AlonsoIngeniero Civil UNAM Diplom Ingenieur Universidad Tcnica de Munich Coordinador de Ingeniera Civil U A M Azcapotzalco

OCTAVA REIMPRESIN MXICO, 2006

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL


Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por: correo:.Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco , 02400, Mxico, D.F.

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Ttulo original: ENGINEERING MECHANICS : Dynamics, 6th. ed. ISBN 0-02-354686-7 Ed icin autorizada de la sexta edicin en ingls publicada por: MacmiJl an Publishing Company, a division of Macmillan Inc. USA Copyright 1992, by R.e. Hibbeler

Mecnica. para. ingenieros. Dinmica.

Derechos reservados respecto a la edicin: 1994, 2000, Russell e. Hibbeler 1994, 2000, COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE e. v. 2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE e.V. bajo el sello de Compaa Editorial Continental Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin AzcapotzaJco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43 ISBN 968-26-1244-6(tercera edicin) (ISBN 968-26-0843-0 segunda edicin) (ISBN 968-26-0355-2 primera edicin) Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas , sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Tercera edicin: 1994 Sptima reimpresin: 2004 Octava reimpresin: 2006


AL ESTUDIANTECon la esperanza de que esta obra estimule su inters en la mecnica de ingeniera y constituya una gua aceptahle p;:ra su comprensi(n.



Prlogo

El objeto de este libro es dar al estudiante una presentacin clara y completa de la teora y aplicaciones de la mecnica de ingeniera. Desde luego que el autor no ha trabajado solo, sino que este libro ha sido conformado en gran parte, por los comentarios y sugerencias de ms de cien especialistas en el campo de la enseanza y de muchos de los alumnos del autor, que han sido usuarios de las ediciones anteriores. Se ha hecho bastante para preparar esta nueva edicin. Los usuarios de las ediciones anteriores advertirn que la presentacin artstica se ha mejorado con el fin de dar un sentido ms real y comprensible al material. En esta edicin se incluyen ms problemas que antes, y la mayor parte de ellos son nuevos. Aunque el contenido del libro permanece en el mismo orden, se han ampliado algunos temas, se han sustituido varios ejemplos por otros nuevos, y se han mejorado las explicaciones de muchos otros mediante la reformulacin de determinadas frases. Sin embargo, la caracterstica principal del libro permanece igual; es decir, cuando es necesario, se pon ,gran nfasis en el trazado de un diagrama de cuerpo libre y se acenta tambin la importancia de seleccionar un sistema de coordenadas adecuado, as como la convencin de signo asociada a los componentes de vectores, cuando se aplican las ecuaciones de la mecnica.

Organizacin y mtodo. El contenido de cada captulo sehalla organizado en secciones bien definidas. Grupos seleccionados de las secciones contienen una explicacin de temas especficos, problemas de ejemplos ilustrativos y un conjunto de problemas de tarea. Los temas dentro de cada seccin se incluyen dentro de subgrupos que se identifican con ttulos en negritas. El objeto de lo anterior es presentar un mtodo estructurado para introducir cahttp://gratislibrospdf.com/

viii

PRLOGO

da definicin o concepto nuevo, y hacer accesible el libro para referencia y repaso posteriores. Al final de muchas secciones se da un "procedimiento de anlisis" con objeto de proporcionar al estudiante un repaso o resumen del material y un mtodo lgico y ordenado para seguir al aplicar la teora. Como en las ediciones anteriores, los problemas de ejemplo se resuelven empleando el mtodo que se describe, con el fin de aclarar su aplicacin numrica. Sin embargo, se entiende que, una vez que se dominen los principios necesarios y se haya adquirido la confianza y el criterio suficientes, el estudiante puede continuar por s mismo desarrollando sus propios procedimientos de resolucin de problemas. En la mayora de los casos, se sugiere como primer paso en cualquier procedimiento trazar un diagrama. Al hacerlo as, el estudiante se forma el hbito de tabular los datos necesarios, al tiempo que enfoca los aspectos fsicos del problema y su geometra relacionada. Si ese paso se lleva a cabo en forma correcta, la aplicacin de las ecuaciones de la mecnica se vuelve de alguna manera algo metdico, ya que los datos pueden tomarse directamente del diagrama. Este paso es de importancia especial cuando se resuelven problemas de cintica, y por esta razn en el libro se recomienda siempre trazar el correspondiente diagrama de cuerpo libre. Ya que las matemticas nos dan un medio sistemtico para aplicar los principios de la mecnica, cabe esperar que el estudiante tenga conocimientos previos de lgebra, geometra, trigonometra y, para una comprensin total, una parte de clculo. Se presenta el anlisis vectorial en los puntos donde su aplicacin es mayor. Su uso proporciona un medio conveniente para presentar deducciones concisas de la teora, y hace posible una solucin sencilla y sistemtica de muchos problemas tridimensionales. A veces, los problemas de ejemplo se resuelven empleando ms de un mtodo de anlisis, para que el estudiante desarrolle la capacidad de usar las matemticas como herramienta mediante la cual se puede llevar a cabo la solucin de cualquier problema del modo ms directo y eficaz.

Problemas. Numerosos problemas en el libro describen casosrealistas que se encuentran en la prctica de la ingeniera. Se espera que ese realismo estimule el inters del estudiante en la mecnica de ingeniera y al mismo tiempo desarrolle la habilidad de reducir cualquier problema, a partir de su descripcin fsica, a un modelo o representacin simblica a los cuales se puedan aplicar los principios de la mecnica. Como en las ediciones anteriores, se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pueden resolverse empleando mtodos numricos ejecutados en una computadora personal o con una calculadora programable de bolsillo. En el apndice B, se dan tcnicas numricas adecuadas y programas relacionados de computadora. En este caso la in tenhttp://gratislibrospdf.com/

PRLOGO

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cin es ampliar la capacidad del estudiante para emplear otras formas de anlisis matemtico sin sacrificar el tiempo necesario para enfocarse hacia la aplicacin de los principios de la mecnica. Los problemas de este tipo que se puedan o se deban resolver con procedimientos numricos se identifican mediante un "cuadro" (-) antes del nmero del problema. En todo el texto hay una cantidad equilibrada de probleqlas en los que se emplea el sistema ingls y el SI. Adems, en cualquier conjunto, se ha tratado de presentar los problemas en orden de dificultad creciente. En la ltima parte del libro se presenta una lista de las soluciones a todos los problemas, excepto uno de cada cuatro. Para advertir al lector que se trata de un problema sin respuesta en el libro se indica con un asterisco (*) antes del nmero del problema.

Contenido. El libro consta de 11 captulos. * En el captulo 12 se describe en especial la cinemtica de una partcula, seguida de una presentacin, en el captulo 13, de la cintica de la partcula (ecuacin de movimiento). El captulo 14 trata sobre trabajo y energa, y el captulo 15 sobre impulso y cantidad de movimiento. Los conceptos de dinmica de partculas que contienen esos cuatro captulos se resumen en una seccin de "repaso" y se da la posibilidad al estudiante para que identifique y resuelva un conjunto de diversos tipos de problemas. Para el movimiento de un cuerpo rgido en el plano se sigue una secuencia de presentacin similar: El captulo 16 trata sobre cinemtica en el plano; el 17 sobre ecuaciones de movimiento; el 18 sobre trabajo y energa; y el19 sobre impulso y cantidad de movimiento: estn seguidos por un resumen y un conjunto de problemas de repaso para esos captulos. Si se desea, es posible cubrir los captulos 11 al19 sin prdida de continuidad: Captulos 12 y 16 (cinemtica); captulos 13 y 17 (ecuaciones de movimiento); captulos 14 y 18 (trabajo y energa); y captulos 15 y 19 (impulso y cantidad de movimiento). Si el tiempo lo permite, se puede incluir en el curso algo del material sobre movimiento tridimensional del cuerpo rgido. La cinemtica y la cintica de ese movimiento se describen, respectivamente, en los captulos 20 y 21. El captulo 22, sobre vibraciones, puede incluirse si el estudiante cuenta con el respaldo matemtico necesario. Las secciones del libro que se consideran estn ms all del propsito del curso bsico de dinmica, se marcan con una estrella (*) y se pueden omitir. Sin embargo, conviene advertir que este material ms avanzado constituye una referencia adecuada para los principios bsicos cuando se ve en otros cursos. Los primeros once captulos de la serie forman el contenido de Mecnica de Ingenie/fa: Esttica, CECSA, Mxico.


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PRLOGO

Reconocimientos. Mi empeo al escribir este libro ha consistido en que satisfaga tanto al estudiante como al maestro. En el curso de los aos, mucha gente ha ayudado en su desarrollo, y deseo reconocer sus valiosas sugerencias y comentarios. En especial, deseo dar personalmente las gracias a las siguientes personas que han contribuido a esta edicin; el profesor Serge Abrate, University of Missouri-Rolla; profesor Henry C. Christiansen, Brigham Young University; profesor E. S. Doderer, Trinity University, San Antonio; profesor A. Frank D'Souza, Illinois Institute of Technology; profesor J. H. Gaines, University of Texas at Arlington; profesor John Geremia, U. S. Naval Academy; profesor Richard Gill, University of Idaho; profesor Brian Mahoney, University of Wisconsin; profesor Larry Oline, University of South Florida; capitn Joseph Schwarz, U. S. Air Force Academy; profesor William H. Walston, University of Maryland, College Park; y profesor Alan Zehnder, Cornell University. Se da una nota especial de agradecimiento a los profesores Edward Hornsey, University of Missouri, Rolla y Will Lidell, Jr., Auburn University at Montgomery, y a un exalumno graduado mo, el seor Kai Beng Yap, por su ayuda al comprobar las soluciones a los problemas. Extiendo tambin mi agradecimiento a todos mis estudiantes y a los miembros de la comunidad docente que han dedicado su tiempo para mandarme sus sugerencias y comentarios. Como la lista es demasiado larga para mencionarla, tenemos la esperanza de que todos aquellos que han ayudado de esta forma acepten este reconocimiento annimo. Adems, aprecio la libertad y el apoyo que me dieron mis editores y el personal de Macmillan, en especial David Johnstone, Gary Ostedt, Dora Rizzuto, Anna Yip y Sandy Moore. Por ltimo, deseo reconocer la ayuda de mi esposa, Conny, durante el tiempo que tard en preparar el manuscrito para su publicacin.

Russell Charles Hibbeler

-,


Contenido

12Cinemtica de una partcula12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9

1Cinemtica rectilnea: movimiento continuo 1 Cinemtica en coordenadas rectangulares: movimiento errtico 16 Movimiento curvilneo general 28 Movimiento curvilneo: componentes rectangulares 31 Movimiento de un proyectil 36 Movimiento curvilneo: componentes normales y tangenciales 44 Movimiento curvilneo: componentes cilndricas 58 Anlisis del movimiento absoluto dependiente de dos partculas 72 Anlisis de movimiento relativo de dos partculas empleando ejes en traslacin 79

13Cintica de una partcula: fuerza y aceleracin13.1 13.2 13.3 Leyes de Newton del movimiento 91 La ecuacin de movimiento 95 Ecuacin del movimiento para un sistema de partculas 96

91


xii

CONTENIDO

13.4 13.5 13.6

*

13.7

Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares 98 Ecuaciones de movimiento: coordenadas normal 113 y tangencial Ecuaciones de movimiento: coordenadas 124 cilndricas Movimiento con fuerza central y mecnica 133 del espacio

14Cintica de una partcula: trabajo y energa14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

143

El trabajo de una fuerza 143 El principio del trabajo y la energa 148 El principio del trabajo y la energa para un sistema de partculas 150 Potencia y eficiencia 163 Fuerzas conservativas y energa potencial 169 Conservacin de la energa 173

15Cintica de una partcula: impulso y cantidad de movimiento15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9

177

* *

Principio del impulso y cantidad de movimiento 185 lineales Principio del impulso lineal y cantidad de movimiento 197 para un sistema de partculas Conservacin de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partculas 198 Impacto 209 Momento angular 221 Relacin entre el momento de una fuerza'y el momento angular 222 225 Los principios del impulso y momento angulares Corrientes estables de fluido 235 Propulsin con masa variable 240

Repaso 1: Cinemtica y cintica de una partcula

251


CONTENIDO

xiii

16Cinemtica plana de un cuerpo rgido16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 Movimiento del cuerpo rgido 265 Traslacin 267 Rotacin con respecto a un eje fijo 268 Anlisis del movimiento absoluto general en el plano 281 Anlisis del movimiento relativo: velocidad 287 Centro instantneo de velocidad cero 301 Anlisis del movimiento relativo: aceleracin 311 Anlisis de movimiento relativo empleando rotacin de ejes .324

265

17Cintica de un cuerpo rgido en el plano: fuerza y aceleracin17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

337

Momento de inercia 338 Ecuaciones cinticas del movimiento en el plano 351 Ecuaciones de movimiento: traslacin 354 Ecuaciones de movimiento: rotacin con respecto a un eje fijo 367 Ecuaciones de movimiento: movimiento general en el plano 380

18Cintica del cuerpo rgido en el plano: trabajo y energa18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 Energa cintica 393 Trabajo de una fuerza 397 Trabajo de un par 399 Principio del trabajo y la energa 400 Conservacin de la energa 411

393

19Cintica de un cuerpo rgido en el plano: impulso y cantidad de movimiento19.1 19.2 Cantidad de movimiento lineal y momento angular 423 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 428

423


xiv

CONTENIDO

19.3 19.4

Conservacin de la cantidad de movimiento y del momento angular 433 Impacto excntrico 448

Repaso 2:Cinemtica y cintica planas de un cuerpo rgido

457

20Cinemtica de un cuerpo rgido en tres dimensiones

471

* 20.1

* 20.2 * 20.3 * 20.4

Rotacin alrededor de un punto fijo 471 Derivada de un vector con respecto al tiempo, medida desde un sistema fijo y otro en traslacin y rotacin 474 Movimiento general 480 Anlisis de movimiento relativo empleando ejes en traslacin y en rotacin 487

21Cintica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 499500

*

21.1

* 21.2 * 21.3 * 21.5

* 21.421.6

Momentos y productos de inercia Momento angular 510 Energa cintica 513 Ecuaciones de movimiento 521 Movimiento giroscpico 534 Movimiento libre de pares 540

22Vibraciones

547 * 22.1* 22.2Vibracin libre no amortiguada 548 560 Mtodos de energa Vibracin forzada no amortiguada 566 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso 572 Vibracin forzada con amortiguamiento viscoso 575 Analogas con circuitos elctricos 578

* 22.3* 22.4

* 22.5

* 22.6


CONTENIDO

xv

APNDICES A Expresiones matemticas B Anlisis numrico y computacional C Anlisis vectorial Respuestas ndice

583

587

597 603 617



12 Cinemtica de una partcula

En este captulo estudiaremos los aspectos geomtricos del movimiento de una partcula, medido respecto a marcos de referencia fijos y a marcos de referencia en movimiento. Describiremos la trayectoria mediante diversos tipos de sistemas coordenados y determinaremos las componentes del movimiento a lo largo de los ejes coordenados. Para simplificar describiremos el movimiento a lo largo de una lnea recta antes de acometer el estudio general del movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Una vez completamente comprendidas estas ideas, presentaremos en los siguientes captulos el anlisis de las fuerzas que causan el movimiento.

12.1 Cinemtica rectilnea: movimiento continuoLa primera parte del estudio de la mecnica de ingeniera se ocupa de la esttica, que trata del equilibrio de los cuerpos en reposo o en movimiento con velocidad constante. La segunda parte se dedica a la dinmica, que se ocupa de los cuerpos con movimiento acelerado. En este libro, el tema d'11a dinmica se presentar en dos partes: la cinemtica, que slo trata los aspectos geomtricos del movimiento, y la cintica, que es el anlisis de las fuerzas que originan el movimiento. Para comprender mejor los principios que intervienen, describiremos primero la dinmica de partculas, y a continuacin se tratarn temas sobre la dinmica del cuerpo rgido, presentado en dos dimensiones y despus en tres. Comenzaremos nuestro estudio de la dinmica describiendo la cinemtica de la partcula. Recurdese que una partcula tienehttp://gratislibrospdf.com/I

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CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA

masa, pero tamao y forma despreciables. Por lo tanto, debemos limitar la aplicacin a aquellos objetos en los que sus dimensiones no tengan efectos en el anlisis del movimiento. En la mayor parte de los problemas se tiene inters en cuerpos de tamao finito como cohetes, proyectiles o vehculos. Estos objetos se pueden considerar como partculas, siempre y cuando su movimiento est caracterizado por el movimiento de su centro de masa y pueda despreciarse cualquier rotacin del cuerpo.

Cinemtica rectilnea. Una partcula se puede mover a lolargo de una trayectoria tanto recta como curva. Para presentar la cinemtica del movimiento de una partcula, comenzaremos con el estudio del movimiento rectilneo. La cinemtica de ese movimiento se caracteriza especificando, en cualquier instante dado, la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula.

Posicin. Se puede especificar la trayectoria recta de la partcula empleando un solo eje coordenado s, figura I2.Ia . El origen O sobre la trayectoria es un punto fijo, y a partir de ste se emplea el vector de posicin r para definir el lugar de la partcula P en cualquier instante. Sin embargo, para el movimiento rectilneo, la direccin de r siempre es a lo largo del eje s, y por lo tanto nunca cambia. Lo que va a cambiar es su magnitud y su sentido o sea la orientacin de la punta de la flecha . POrlo tanto, en el trabajo analtico es conveniente representar a r con un escalar algebraico s, que representa a la coordenada de posicin de la partcula, figura I2.Ia. La magnitud de s y de r es la distancia de O a P medida en general en metros (m) o pies (ft), y el sentido u orientacin de la punta de la flecha de r se define mediante el signo algebraico de s. Aunque la seleccin es arbitraria, en este caso s es positivo, ya que el eje de coordenadas es positivo a la derecha del origen. Igualmente, ser negativo si la partcula est ubicada a la izquierda de O. Desplazamiento. El desplazamiento de la partcula se define como el cambio en su posicin. Por ejemplo, si la partcula se mueve de P a P', figura I2.1b, el desplazamiento es l1 r = r' - r.Empleando escalares algebraicos para representar a l1 r, se tiene tambin que l1 s = s' - s. Aqu l1 s es positivo, ya que la posicin final de la partcula est a la derecha de su posicin inicial; es decir, s' >s. Igualmente, si la posicin final est a la izquierda de su posicin inicial, l1 s es negativo. Como el desplazamiento de una partcula es una cantidad vectorial, se debe distinguir de la distancia que viaja la partcula. Especficamente, la distancia recolTida es un escalar positivo que representa la longitud total de la trayectoria recorrida por la partcula.

Velocidad. Si la partcula se mueve a travs de un desplazamiento l1 r de P a P' durante el intervalo de tiempo l1 1, figurahttp://gratislibrospdf.com/

SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO

3

12.1b, la velocidad media de la partcula durante este intervalo de tiempo es~r vavg = ~ t

Si tomamos valores cada vez ms pequeos de ~ l, la magnitud de ~ r se hace ms y ms pequea. En consecuencia, la velocidad instantnea se define como v = lm (~r/~), o sealit-O

v =-

drdI

Posicin

(al

~-----~rP-~' --- sO

rr'=t1sDesplazamiento (b)

I------s'~

-+LlS~

-o+----------~~

I

(e)

vP'

P

'f

t-Lls-jVelocidad

Fig.12.1

Si se representa a v como escalar, figura 12.1c, podemos escribir tambin(12.1)

Como ~ t o dI siempre es positivo, el signo que se emplea para definir el sentido de la velocidad es el mismo que el de ~ s, o de ds. Por ejemplo, si la partcula se mueve hacia la derecha, figura 12.1c, la velocidad es positiva; mientras que si se mueve hacia la izquierda, la velocidad es negativa. Se subraya aqu este hecho mediante la flecha que aparece a la izquierda de la ecuacin 12.1. La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se expresa en general en unidades de mis o ft/s .http://gratislibrospdf.com/

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CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA

A veces se usa el trmino "velocidad media". La velocidad media siempre es un escalar positivo y se define como la distancia total recorrida por una partcula, Sn dividida entre el tiempo transcurrido at, es decir,V sp

=-

at

ST

o

~

------'~.; ..

P

-

3

--y '

P'

e

p p,. -o+-------~-s

I

---- -3y y'

Acele racin(d)

Desace leracin(e)

Aceleracin. Si se conoce la velocidad de la partcula en losdos p~ntos P y P', se define a la aceleracin media de la partcula durante el intervalo de tiempo a t comoaovg=-

av

at

Aqu, a v representa la diferencia de la velocidad durante el intervalo de tiempo a t; es decir, a v = v' - v, figura 12.1d. La aceleracin instantnea en el tiempo t se calcula tomando valores cada vez menores de a t y valores correspondientes, cada vez menores, de a v, de modo que a = lm ca v/a t) o bien, emat-O pleando escalares algebraicos,

Cdvl~d 2s a=2

(12.2)

Sustituyendo la ecuacin 12.1 en este resultado podemos escribir tambin quedt

Tanto la aceleracin media como la aceleracin instantnea pueden ser positivas o negativas. Especficament~ cuando la partcula est frenando, o su velocidad decrece, se dice que est desacelerando. En este caso, en la figura 12.1e, v' es menor que v, y entonces av = v' - v ser negativa. En consecuencia, a ser tambin negativa, y por lo tanto actuar hacia la izquierda en sentido contrario al de v. Tambin ntese que cuando la velocidad es constante, la aceleracin es cero ya que av = v - v = O. Las unidades que se usan normalmente para expresar la magnitud de la aceleracin son ro/s 2 o ft/s 2.http://gratislibrospdf.com/

SECo 12.1

CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO

5

Se puede obtener una ecuacin diferencial que implique al desplazamiento, velocidad y aceleracin a lo largo de la trayectoria eliminando la diferencial de tiempo dt entre las ecuaciones 12.1 y 12.2. Al hacerlo, es conveniente tomar en cuenta que si bien en este caso podemos formular otra ecuacin, sta no ser dependiente de las ecuaciones 12.1 y 12.2. Se demuestra que

a ds

=

vdv

(12.3)

Aceleracin constante, a =ac. Cuando la aceleracin esconstante, cada una de las tres ecuaciones cinemticas, ac = d v/dt, v = ds/dt yac ds = v d v se pueden integrar para obtener frmulas que relacionan a ac. v, s y t.Velocidad como funcin de tiempo. Se integra ac = dv/dt, suponiendo que inicialmente v = Vo cuando t = O.

v - Vo = a c (t- O)

v = Vo + a,./

(12.4)

Aceleracin Constante

Posicin como funcin del tiempo. Se integra v = ds/dt = suponiendo que inicialmente s = So cuando t = O.

Vo +

act,

Ss ds .Co CSo

=

Vo + aJ)

dI

s - So

= voCt- O) + ac Ci t2 - O)

2 s = So + VI) t + + Oc t Aceleracin Costante

(12.5)

Velocidad como funcin de la posicin. Se puede despejar a t de la ecuacin 12.4 y sustituirla en la ecuacin 12.5, o bien integrar v d v = acds, suponiendo que inicialmente v = Vo en s = so.


\

6


1 v2- 1 JO 2 2

=

ac (s - so)(12.6)

v2 = v~ + 2ac (s - so) Aceleracin Constante

Esta ecuacin no es independiente de las ecuaciones 12.4 y 12.5. Porqu? Las magnitudes y los signos de so. vo y ac se determinan de acuerdo con el origen y la direccin positiva del eje s que se hayan seleccionado. Como lo indica la flecha que aparece a la izquierda de cada ecuacin, hemos supuesto que las cantidades positivas actan hacia la derecha, de acuerdo con el eje s de coordenadas que aparece en la figura 12.1. Tambin es importante recordar que las ecuaciones de arriba son tiles slo cuando es constante la aceleracin y cuando t = 0, s = So Y v = vo. Un ejemplo comn de movimiento de aceleracin constante se tiene cuando un cuerpo cae libremente hacia el suelo. Si no se toma en cuenta la resistencia del aire y la distancia de la cada es corta, entonces la aceleracin constante hacia abajo del cuerpo cuando est cerca del suelo es aproximadamente de 9.81 m/s 2, o 32.2 ft/s 2 La prueba de lo anterior aparece en el ejemplo 13.2.

PROCEDIMIENTO DE ANLISISSistema de coordenaoos. Siempre que se aplican las ecuaciones cinemticas, es muy importante establecer primero una coordenada s de posicin a lo largo de la trayectoria y especificar su origen fijo y direccin positiva. Como la trayectoria es rectilnea, las lneas de direccin de la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula nunca cambian. Por lo tanto, se pueden representar esas cantidades como escalares algebraicos. Para trabajo analtico se puede determinar el sentido de s, v y a a partir de S!lS signos algebraicos. En los siguientes ejemplos, se indicar el sentido positivo para cada escalar mediante una flecha aliado de cada ecuacin cinemtica al momento de aplicarla. Ecuaciones cinemticas. Con frecuencia se puede establecer una relacin matemtica entre cualesquiera dos de las cuatro variables a, v, s y t, ya sea por observacin o por experimentacin. Cuando es se el caso, se pueden obtener las relaciones entre las variables restantes por diferenciacin o intcgra-


SEC.12.1

CINEMTICA RECTILr-EA: MOVIMIENTO CONTINUO

7

clon, empleando las ecuaciones cinemticas a = d v/dt, v = ds/dt o a ds = vd v. * Como cada una de esas ecuacior.es relaciona a tres variables, entonces, si se conoce una variable en funcin de otra, se puede calcular una tercera variable seleccionando la ecuacin cineiitica que relacione a las tres. Por ejemplo, supongamos que la aceleracin se conoce como funcin de la posicin, a = f(s). La velocidad puede determinarse a partir de a ds y vdv, ya que se puede sustituir af(s) en lugar de a para obtener f(s) ds = vd v. Para despejar v se necesita integrar. Ntese que la velocidad no puede obtenerse empleando a = dv/dt, ya que f(s)dt =dv contiene dos variables, s y t del lado izquierdo y por lo tanto no puede integrarse. Siempre que se lleva a cabo la integracin, es importante que se conozcan la posicin y la velocidad en determinado instante para evaluar ya sea la constante de integracin, si se emplea una integral ind~finida, o bien los lmites de integracin cuando se usa una integral definida. Por ltimo, tngase en cuenta que las ecuaciones 12.4 a 12.6 slo son de uso limitado. Nunca deben aplicarse esas ecuaciones a menos que se est absolutamente seguro de que la aceleracin es constante.

En el apndice A se dan algu nas f rmulas bsicas de diferenciacin y de integracin.


8


Ejemplo 12.1 El vehculo en la figura 12.2 se mueve en lnea recta de tal modo que durante un breve tiempo su velocidad est definida por v = (9t 2 + 21) ft/s, estando t en segundos. Calcule su posicin y aceleracin cuando t = 3 s. Cuando t = O, s = O.

Fig.12.2

~,

.

' ----l I" .

~;

, ...a,Y

SOLUCIN Sistema de coordenadas. La coordenada de posicin se extiende desde el origen fijo O hasta el vehculo. Hacia la derecha es positiva.Posicin. La velocidad del vehculo se da como funcin del tiempo, de modo que su posicin puede calcularse a partir de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona av, s y t. Teniendo en cuenta que s = Ocuando t = O, tenemos*v== -

ds dt

=

(9t 2 + 21)2

f; ds f; (9tS

+ 21) dtt

S 1o =

3t + t21 o

3

s = 3t3 + t 2 )

Cuando t

= 3 s,s = 3(3)3 + (3)2 = 90 ftResp.

Ace(eracin. Si se conoce la velocidad como funcin del tiempo, se calcula la aceleracin a partir de a = d v/dt, ya que esta ecuacin relaciona a a, v y t. (~"-+ ) dv d a = - = - (9t 2 + 21) dt dt = 18t + 2

Cuando t

= 3 s,a = 18(3) + 2 = 56 ft/s 2->

Resp.

No se pueden emplear las frmulas para aceleracin constante para resolver este problema. Por qu? Se puede obtener el mismo resultado calculando una constante e de integracin y no usando lmites definidos de la integral. Por ejemplo, si se integra ds = (91 2 + 21) dI, se obtiene s = 313 + 12 + C. Se usa la condicin de que cuando I = O, s = Oy, entonces e = O.


SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO

9

Ejemplo 12.2

Un proyectil pequeo se dispara verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 mis. Si el proyectil experimenta una desaceleracin igual a a = (-0.4 }) m/s 2, para la cual v se mide en mis, calcule la velocidad y posicin del proyectil 4 s despus de haberlo disparado.SOLUCIN

Sistema de coordenadas. Como el movimiento es hacia abajo, la coordenada de posicin es positiva hacia abajo, y el origen est ubicado en 0, figura 12.3. Velocidad. Se da la aceleracin como funcin de la velocidad, y por lo tanto, la velocidad se puede calcular a partir de a = d v/dta, ya que esta ecuacin relaciona a v, a y t. (Por qu no se usa v = Vo + act?). Separando las variables e integrando, con Vo = 60 mis cuando t = O, se obtiene(+!)a =

Fig.12.3

di = - 0.4

dv

v3

En este caso se toma el signo positivo de la raz, ya que el proyectil se mueve hacia abajo. Cuando t = 4 s,v

= 0.559 mis !

Resp.

Posicin. Conocida la velocidad como funcin del tiempo, podemos ahora calcular la posicin del proyectil a partir de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona a s, v y t. Empleando la condicin inicial s = Ocuando t = O, tenemos que(+!)

v = ds = + 8t] -1/2 dt (60)2 .Jo

[_ 1 _O

f"s ds = f"'S

Jo (60)2

[_1 _

+ 0.8t] -1/2dt

= ~[_1_ + 8t] 1/21 0.8 (60)2 .+ 0.8t]1/2

O

t

s=Cuando t

_1_ [_1_ 0.4 (60)2s=

o

-~} m60

= 4 s,4.43mResp.


10

CAP.12

CINEMTICA DE UNA PARTCULA

Ejemplo 12.3 Un nio lanza una pelota en direccin vertical hacia arriba a un lado de una pared, como se ve en la figura 12.4. Si la velocidad inicial de la pelota es de 15 mis hacia arriba y se lanza a 40 m del fondo de la pared, calcule la altura mxima Sn que alcanza y su velocidad justo antes de chocar contra el suelo. Durante todo el tiempo que la pelota se encuentra en movimiento est sujeta a una aceleracin constante hacia abajo igual a 9.81 m/s2 debida a la gravedad. Desprecie el efecto de la resistencia del aire. SOLUCIN

n

r

Un;O

Sistema de coordenadas. Se toma el origen O de la coordenada15 mis

VA;

L-

11 1

A",

1 '.~40In

s de posicin en el nivel del terreno inferior, y el sentido hacia arriba como positivo. Vase figura 12.4. Altura mxima. A la altura mxima, s = sa, la velocidad Vn = O. Como la pelota se arroja hacia arriba cuando t = 0, est sujeta a una velocidad VA = + 15m/s. Es positiva ya que tiene el mismo sentido que un desplazamiento positivo. Durante todo el movimiento la aceleracin es constante, de modo que a, = -9.81 m/s'. Es negativa ya que acta en sentido contrario al de la velocidad positiva, o del desplazamiento positivo. Como a, es constante durante todo el movimiento, la posicin de la pelota se puede relacionar con su velocidad en los dos puntosA y B de la trayectoria, empleando la ecuacin 12.6, o sea (+ 1) v]= v~ + 2ac(Sa-SA) 0= (15)2 + 2(-9.81)(sa - 40)

f

e

oNivel del terreno

sa = 51.5mFig.12.4

Resp.

Velocidad. Para obtener la velocidad de la pelota inmediatamente antes de chocar con el suelo podemos aplicar la ecuacin 12.6 entre los puntos B y e, figura 12.4. (+ 1) vl: = Vb + 'Ia (sc - s a)- = O + 2(-9.81)(0Vc

- 51.5)

= -31.8m/s = 31.8 mis ~

Resp.

Se escogi la raz negativa porque la pelota se mueve hacia abajo, y el sentido positivo de s es hacia arriba. Igualmente se puede aplicar tambin la ecuacin 12.6 entre los puntos A y e, es decir (+ 1) vl: = 0t + 2aJ\'c - SA)Vc

= 152 + 2(-9.81)(0 - 40) = -31.8m/s = 31.8m/s~

Nota: Se debe tener en cuenta que la pelota est sujeta a una desaceleracin entre A a B igual a 9.81 m/s2, y a continuacin, de B a e, la pelota acelera a esa misma proporcin. Adems, aun cuando la pelota llega al reposo en B en forma momentnea (va = O), la aceleracin en B es de 9.81 m/s? lhacia abajo!


SECo 12.1

CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO

11

Ejemplo 12.4

Una partcula metlica se halla sometida a la influencia de un campo magntico tal que se mueve hacia abajo a travs de un fluido que llena el espacio de la placa A a la B (vase Fig. 12.5). Si la partcula parte del reposo en el punto medio e, s = 100 riun, Y se mide que la aceleracin es a = (4s) m/s 2, donde s est en' metros, calcule la velocidad de la partcula al alcanzar la placa B, s = 200 mm, y el tiempo que necesita para pasar de e a B.SOLUCIN Sistema de coordenadas. Como se ve en la figura 12.5, se toma a s como positiva cuando es hacia abajo, medida a partir de la placaA. Velocidad. Como la aceleracin de la partcula se conoce como funcin de la posicin, se puede obtener la velocidad como fun cin de la posicin a partir de v d v = a ds. Por qu no se usan las frmulas para aceleracin constante? Si consideramos que v = O paras = 100 mm = 0.1 m, tenemos que(+!)v O

A

vdv=ads

Ir~B

200m

1 v d v =l'.1.2 O

0.1

4s ds

v21 v = i s21 '20.1

V = 2(S2 - 0.01)1/2

(1)Fig.12.5

L

Cuando s

= 200 mm = 0.2 m,VB

= 0.346 mIs = 346 mm/s!

Se escoge la raz positiva, ya que la partcula viaja hacia abajo, es decir, en la direccin +s.Tiempo. El tiempo para que la partcula viaje de e a B se puede calcular mediante v = ds/dt y la ecuacin 1, siendo s = 0.1 m cuando t = O.(+! )

ds = vdt

= 2(S2 - 0.01)1/2 dt

Jo.!

f'

ds(S2 -

0.01)1/2 Jo 0.01)

= f'2dt = 2t

In(s + . S2

_

l'tU

l'

o

In(s + . S2 - 0.01) + 2.30 = 2t Cuando st

= 200 mm = 0.2 m,=

In(0.2 + . (0.2); - 0.(1) + 2.30

=

0.657 s

Resp.


12

CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA

Ejemplo 12.5 Una partcula se mueve a lo largo de una lnea horizontal de tal modo que su velocidad est dada por v = (3t2-6t) mis, donde t es el tiempo en segundos. Inicialmente est en el origen O. Calcule la distancia que recorre la partcula durante el intervalo de tiempo desde t = O hasta t = 3.5 s, y la velocidad y la rapidez medias durante ese intervalo de tiempo. SOLUCIN Sistema de coordenadas. En este caso supngase que el movimiento positivo es hacia la derecha, medido desde el origen O. Distancia recorrida. Como la velocidad est relacionada con el tiempo, la posicin en funcin del tiempo se puede calcular integrando v = ds/dt con la condicin t = O, S = O.

(~)

ds

= =

vdl (3t 2 - 6t) dt 3 f~ t 2 dt - 6 f~ t dt

v (mis)

f; dsv =3r2 - 6t

= =

s

et

3-

3t 2 ) m

(1)

- 4 - --

- - - + - - - -- - t(s)

( l s. - 3 mis)(a)

Para calcular la distancia recorrida en 3.5 s, es necesario investigar la trayectoria del movimiento. En la figura 12.6a la grfica de la funcin velocidad indica que para O : entonces, al aplicar la ecuacin 14.16 puede verse que el trabajo de W y Fs es

UI - 2 = VI

-V2 = (-

Ws I + !ksl) - (- Ws 2 +! ks~)- SI) -

~ W(S2

(!ks~ - !ksI>

k

~

l

I

Datos

-:1wFig.14.19


172

CAP.14 CINTICA DE UNA PARTCUlA: TRABAJO Y ENERGA

Cuando el desplazamiento a lo largo de la trayectoria es infinitesimal, es decir, desde el punto (x, y, z) hasta (x + dx, y + dy, z + dz), la ecuacin 14.16 se transforma endU = V(x, y, z) - V(x + d.x,y + dy, z + dz)

= - dV(x, y, z)

(14.17)

Si la fuerza y el desplazamiento se definen empleando coordenadas rectangulares, entonces el trabajo puede expresarse comodU = F dr = (F,i + Fyj + Fzk) (d.xi + dyj + dzk) = Fxd.x + Fydy + Fzdz

Sustituyendo este resultado en la ecuacin 14.17 y expresando la diferencial dV(x, y, z) en trminos de derivadas parciales se obtiene

av d.x + -av dy + -av dz F d.x + F dy + F dz = - x

y

z

( ax

ay

az

J

Como todos los cambios en X, y y z son independientes entre s, esta ecuacin se satisface siempre queF = _ avx

ax'

F = _ avy

ay ,

F =_z

av

az

(14.18)

As,

osea

I F=-VV IEn la cual la V (del) representa el operador vectorial V

(14.19)

+ (a/ay)j + (a/ay) k.

= (a/iJx) i

La ecuacin 14.19 relaciona una fuerza F con su funcin potencial Vy con ello da un criterio matemtico para probar si F es conservativa. Por ejemplo, la funcin potencial gravitatoria de un peso ubicado a una distancia y sobre la referencia es Vg = Wy, ecuacin 14.13. Para demostrar que W es conservativa es necesario demostrar que satisface a la ecuacin 14.19 o a la ecuacin 14.18, en cuyo caso

F = _ av.y

ay ,

F

= - -

ay

a (Wy) =-W

El signo negativo indica que W acta hacia abajo, en sentido contrario a las y positivas, que es hacia arriba.


SEC.14.6 CONSERVACIN DE LA ENERGA

173

14.6 Conservacin de la energaCuando sobre una partcula acta un sistema de fuerzas tanto conservativas como no conservativas, la parte del trabajo que efectan las fuerzas conservativas puede escribirse en trminos de la diferencia de energas potenciales mediante la ecuacin 14.16; es decir, (.EUI _2)cons. = VI - V2 Como resultado de ello, puede escribirse el principio del trabajo y la energa de la siguiente manera; (14.20) En este caso (.EUI _2)no cons. representa el trabajo de las fuerzas no conservativas que actan sobre la partcula. Si slo se aplican fuerzas conselVativas al cuerpo, este trmino es cero y entonces se tiene que (14.21 ) A esta ecuacin se le llama la conselVacin de la energa mecnica, o simplerrente la conselVacin de la energa. Establece que durante el mO,vimiento la suma de las energas cintica y potencial de la partcula permanece constante. Para que suceda lo anterior, la energa cintica debe transformarse en energa potencial y viceversa. Por ejemplo, si se deja caer una pelota de peso W desde una altura h sobre el piso (referencia), como se muestra en la figura 14.20, la energa potencial de la pelota es mxima antes de dejarla caer, cuando su energa cintica es cero. La energa mecnica total de la bola en su posicin inicial es, entonces,E = TI + VI = O + Jf7z = Jf7z

1h

E nerga pntcncii11 (n respectivamente, figura 15.3. Igual que el diagrama de cuerpo libre, el diagrama de impulso es una forma esquemtica de la partcula que muestra todos los impulsos que actan sobre ella cuando est en algn punto intermedio a lo largo de su trayectoria. En general, siempre que la magnitud o direccin de una fuerza Vala, el impulso de la fuerza se determina mediante integracin y se representa en el diagrama de impulso como 1 = J," F dt. Si la fuerza es constante para el intervalo (t2 - (), el impulso aplicado a la partcula es 1 = Fe(t2 - tI), y acta en la misma direccin que Fe'

1"

Ecuaciones escalares. Si cada uno de los tres vectores de la ecuacin 15.3 o en la figura 15.3 se descompone en sus componentes x, y y z, podremos expresar en smbolos las tres ecuaciones escalares siguientes:m( vJ + r, r"FT di

J"

=

m( VJ2

m( vy) + r,

J"

r',Fy dt = m( Vy)2

(15.4)


188

CAP.15 CINTICA DE UNA PARTCULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Esas ecuaciones representan el principio. del impulso y la cantidad de movimiento de la partcula en las direcciones x, y y z, respectivamente.

PROCEDIMIENTO PARA ANLISISEl principio del impulso y la cantidad de movimiento se emplea para resolver problemas en los que intervienen fuerza, tiempo y velocidad, ya que stos son los trminos qe intervienen en la formulacin. Para sus aplicaciones se sugiere emplear el siguiente procedimiento.Diagrama de cuerpo libre. Establezca el marco x, y, z inercial ge referencia y trace el diagrama de cuerpo libre para incluir . todas las fuerzas que producen impulsos sobre la partcula. Tambin establezca la direccin y el sentido de las velocidades inicial y final de la partcula. Para explicar estos vectores, se puede hacer un esquema en un sistema de coordenadas, pero no en el diagrama de cuerpo libre. Si se desconoce una velocidad, suponga que el sentido de sus componentes est en direccin de las coordenadas inerciales positivas. Como procedimiento alternativo, trace los diagramas de impulso y cantidad de movimiento para la partcula, como se describe en referencia a la figura 15.3. * Principio de impulso y la cantidad de movimiento. Aplique el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales, mv + rlr, :Ir, F dt = mvz. Si hay movimiento en el plano x - y, pueden formularse las dos ecuaciones de componentes escalares ya sea resolviendo las componentes vectoriales de F a partir del diagrama de cuerpo libre, o bien empleando los datos sobre los djagramas de impulso y cantidad de movimiento. Si el problema implica el movimiento independiente de varias partculas, use el mtodo descrito en la seccin 12.8 para relacionar sus velocidades. Asegrese de que las direcciones de las coordenadas positivas que se usan para formular esas ecuaciones cinemticas sean las mismas que las que se usaron para formular las ecuaciones de impulso y cantidad de movimiento.

Los ejemplos siguientes muestran en forma numrica la aplicacin de este procedimiento.

Este procedimiento se seguir para desarrollar las demostraciones y la teora del texto.


SECo 15.1

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES

189

Ejemplo 15.1 La caja de 100 kg que se indica en la figura 15.4a se encuentra originalmente en reposo sobre la superficie lisa horizontal. Si se aplica a esa caja una fuerza de 200 N en un ngulo de 45 durante 10 s, calcule la velocidad final de la caja y la fuerza normal que ejerce la superficie sobre la caja durante el intervalo de tiempo. SOLUCIN Este problema se puede resolver empleando el principio del impulso y la cantidad de movimiento, ya que en l interviene la fuerza, velocidad y tiempo.Diagrama de cuerpo libre. (Vase Fig. 15.4b). En este caso se

ha supuesto que durante el movimiento la caja permanece sobre la superficie, y que despus de 10 s la caja se mueve hacia la derecha con una velocidad .V2' Como todas. las fuerzas que actan sobre la caja son constantes, los impulsos respectivos simplemente son el producto de la magnitud de la fuerza y 10 s, [1 = F c (t2 - tI)].Principio del impulso y la cantidad de movimiento. Descomponiendo los vectores de la figura 15.4b a lo largo de los ejes x, y y aplicando las ecuaciones 15.4 tenemosm( vx)1 + I. ('t'F, dt = m( V,)2

(a)

y

JI 0+ 200(10) cos 45 = 100v2 V2 = 14.1 mIs -+(+ 1)m( Vy)1 + I. ('I'Fy dt JI=

Resp.(b)

m( V)2

0+ NcClO) - 981(10) + 200(10) sen 45 = O

N c = 840N

Resp.

Fig.lS.4

Como no se tiene movimiento en la direccin y, la aplicacin directa de I.Fy = Oda el mismo resultado para N c. Ntese el procedimiento alternativo que consiste en dibujar los diagramas de impulso y cantidad de movimiento de la caja figura 15.4c antes de aplicar las ecuaciones 15.4.98 1 (lO)

I(e)


190


Ejemplo 15.2

La caja que se muestra en la figura 15 .5a tiene un peso de 50 lb Y sobre ella acta una fuerza de magnitud variable P = (20t) lb, en la cual t est en segundos. Calcule la velocidad de la caja, 2 s despus de haber aplicado P. La caja tiene una velocidad inicial V = 3 ft/s pendiente abajo y el coeficiente de friccin cintica entre caja y plano es J.1k = 0.3.

p(a)

SOLUCINDiagrama de cuerpo libre. (Vase Fig. 15.5b). Como la magnitud de la fuerza P = 20t vara con el tiempo, el impulso que . ~rea debe calcularse integrando sobre el intervalo de 2 s. El

peso, fuerza normal y fuerza de friccin, que se opone a la direccin del movimiento, son constantes, y por lo tanto el impulso creado por cada una de esas fuerzas es simplemente la magnitud de la fuerza por 2 s.Principio del impulso y la cantidad de movimiento. Al aplicar las ecuaciones 15.4 en la direccin dex, tenemos que

( + /" )(b )

m( vJ +. L f

'F, dt = m( Vx ) 21

50 o 32.2(3) + J o20t dt - 0.3NJ2) + (50)(2) sen 30 4.66 + 40 - 0.6Ne + 50 = 1.55 V2

rz

=

50 32.2 V2

Fig.lS.S

La ecuacin de equilibrio puede aplicarse en la direccin de y. Porqu?

+

,,-Uy=O;

N e - 50 cos 30

0

=

O

Despejando,N c = 43.3 lbVz

= 44.2 ft/s /'

Resp.

Este problema se ha resuelto tambin mediante la ecuacin del movimiento en el ejemplo 13.3. Se deben comparar los dos mtodos. Como la fuelZa, velocidad y tiempo intervienen en este problema, la aplicacin del principio de impulso y cantidad de movimiento elimina la necesidad de emplear la cinemtica (a = d v/dt) y con ello se tiene un mtodo ms fcil de solucin.


SECo 15.1 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES

191

Ejemplo 15.3 Los bloques A y B que se muestran en la figura 15.6a tienen masa de 3 kg Y 5 kg, respectivamente. Si el sistema se suelta desde el reposo, calcule la velocidad del bloque B en 6 s. Desprecie la masa de las poleas y de la cuerda. SOLUCIN Diagrama de cuerpo libre. (Vase Fig. 15.6b). Como el peso de cada bloque es constante, las tensiones de la cuerda sern constantes tambin. Adems, como no se toma en cuenta la masa de la polea D, la tensin de la cuerda TA = 2TB , figura 15.6c. Se supone que los bloques se mueven hacia abajo en la direccin positiva.Principio de impulso y cantidad de movimiento

-,----II-~..

.1---,

Da tos

BloqueA:m( vA ) + I:

J,"F dt = m( VA )2y1

0 - 2TB(6) + 3(9.81)(6) = 3( VA )2

(1)

3 kg B 5 kg

BloqueB:(+ !)

(a)

0+ 5(9.81)(6) - T B(6)

=

5(VB)2

(2)

Cinemtica. Como los bloques se hallan sometidos a movimiento dependiente, puede relacionarse la velocidad deA con la de B mediante el anlisis cinemtica descrito en la seccin 12.8. Se establece una referencia horizontal que pasa por el punto fijo en C, figura 15.6a, y las posiciones cambiantes de los bloques, SA YSB se relacionan con la longitud total constante 1 de los segmentos verticales de la cuerda mediante la ecuacin

3(9. 8 1) N

2sA + SB

=1(3)5(9.8 1) N

Tomando la derivada con repecto al tiempo se obtiene

Como lo indica el signo negativo, cuando B se mueve hacia abajo A se mueve hacia arriba.* Sustituyendo este resultado en la ecuacin 1 y resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene(VB)2= 35.8 mIs! T B = 19.2N

(b)

Re!lp.

Fig.15.6

Ntese que las direcciones positivas (hacia abajo) de (vA)z y (vB)2 son COIlsistcllIcs en las figuras 15.00 y 15.6b, Yen las ecuaciones 1 a 3. Por qu es importante esto?


192


PROBLEMAS15.1. Calcule la fuerza horizontal Fa que se aplica a * 15.4. La grfica muestra la fuerza vertical de reaccin una bala de 2.5 g al dispararla. La velocidad de salida de la interaccin zapato-suelo en funcin del tiempo. es 450 mis cuando t = 0.75 mis. Desprecie la friccin El primer pico acta sobre el taln y el segundo soentre la bala y el can del rifle, y suponga que el im- bre los dedos. Calcule el impulso total que acta sopulso es constante. bre el zapato durante la interaccin. 15.2. Un cabo de martillo H que tiene un peso de 0.3 lb se mueve verticalmente hacia abajo a 40 ft/s cuando golpea la cabeza de un clavo de masa despreciable y lo mete en un bloque de madera. Calcule el impulso sobre el clavo si se supone que el agarre en A est suelto, que el mango tiene masa despreciable, y que el martillo permanece en contacto con el clavo hasta que se detienen ambos.F(lb)

7S0 1---- - -- - - , .

-~

' - - - --

-L-

2S

-

SO

L

- -- ,-Loo- ---2-"-00 - - t(ms)Prob.lS.4

15.5. A un bloque de 5 lb se le da una velocidad inicial de 100 ft/s para subirlo por una pendiente lisa de 45 . Calcule el tiempo que tardar en ir hacia arriba y detenerse. 15.6. Un bloque de 20 lb se desliza hacia abajo de un plano ~einado a 30" con una velocidad inicial de 2 ft/s. Calcule la velocidad del bloque en 10 s si el coeficiente de friccin cintica entre el bloque y el plano es I-'k= 0.25. 15.7. Una locomotora de 30 ton ejerce una fuerza constante de 20 ton sobre el gancho (acoplamiento) de un tren con tres vagones que tienen un peso total de _ 250 ton. Si la resistencia al la rodadura es 10 lb por ton para la locomotora como para los vagones, calcule cunto tiempo se tarda en aumentar la velocidad del tren de 20 a 30 mi/h. Cul es la fuerza de impulsin que ejercen las ruedas de la locomotora sobre las vas? (1 ton corta = 2000 lb).

Prob.lS.2

15.3. Un hombre pega a la pelota de golf, de 50 g, de tal modo que deja el lee a un ngulo de 40 con la horizontal y llega al suelo, a la misma altura, a una distancia de 20 m. Calcule el impulso del palo e sobre la pelota. Desprecie el impulso originado por el peso de * 15.8. Un tren consta de una locomotora de 50 Mg Y la pelota mientras el palo pega a la pelota. tres vagones, cada uno de los cuales tiene una masa de 30 Mg. Si el tren se tarda 80 s en aumentar su velocidad de modo uniforme hasta 40 km/h, partiendo del reposo, determine la fuerza que se desarrolla en el gancho entre la locomotora E y el primer vagn A. Las ruedas de la locomotora dan la fuerza de traccin F resultante, por friccin, que le da al tren su movimiento de avance, mientras que las ruedas de los vagones giran libremente. Calcule la F que acta sobre las ruedas de la locomotora.

---v

Prob.lS.3

Prob.lS.8


PROBLEMAS

193

15.9. Los bloques A y B tienen masas de 10 y 3 kg * 15.12. Unos paquetes con masa de 6 kg cada uno se respectivamente. Si el bloque A se mueve hacia deslizan hacia abajo por una tolva lisa y llegan horiabajo por el plano inclinado con una velocidad inicial zontalmente con velocidad de 3 mIs a la superficie de (VA)! = 2 mis, calcule la velocidad de B cuando t = 2 s. una banda transportadora. Si el coeficiente de friccin Suponga que el plano inclinado es liso. Desprecie la cintica entre banda y paquete es }lk = 0.2, calcule el masa de las poleas y de la cuerda. tiempo necesario para que se detenga el paquete sobre la banda, si sta se mueve en la misma direccin 15.10. Resuelva el problema 15.9 si el coeficiente de que el paquete, con una velocidad V = 1 mis. friccin cintica entre el plano inclinado y el bloque eS}lA = 0.15.1 mis

oProb.lS.12

15.13. El buque tanque tiene una masa de 130 Gg. Si al principio est en reposo, calcule su velocidad cuando t = 10 s, si el empuje horizontal que da su hlice vara con respecto al tiempo de acuerdo con la grfica de la figura. Desprecie el efecto de la resistencia del agua.B

F(MN)

Probs.lS.9/1S.10

15.11. Calcule las velocidades de los bloques A y B, 2 segundos despus de haber sido soltados partiendo del reposo. El bloqueA tiene un peso de 21b y el bloque B de 4 lb. Desprecie la masa de las poleas y de los cables.

' - - - - - - - - - - - - - - - 1 (5)

Prob.lS.13

15.14. El avin de reaccin tiene una masa de 250 Mg Yuna velocidad horizontal de 100 mis cuando t = O. Si los dos motores dan un empuje horizontal que vara de acuerdo con lo que muestra la grfica, calcule la velocidad del avin cuando t = 5 s. Desprecie la resistencia del aire y la prdida de combustible durante el movimiento.

F(kN)

AB' - - - - - -- -- - - -- - 1(5)

Prob.lS.11

Prob.lS.14


194

CAP. 15 CINTICA DE UNA PARTCULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

15.15. La viga uniforme tiene un peso de 5000 lb. Calcule la tensin media en cada uno de los cables AB y AC si a la viga se le da una velocidad uniforme de subida de 8 ft/s en 1.5 s. Al principio, la viga est en reposo.

15.17. El montacargas de 60 lb trabaja con un motor M. Parte del reposo, y el motor puede enrollar el cable de modo que se mueva en relacin con el motor con una velocidad de 3 ft/s en 5 s. Si el cable no resbala en las poleas, calcule la fuerza promedio que ejercen los cables durante este tiempo. Desprecie las masas de las poleas.

p

1 - -3 ft - - + --

3

ft -----1

Prob.lS.lS

Prob.lS.17

* 15.16. El tractor de cuchilla de 28 Mg se encuentra originalmente en reposo. Calcule su velocidad cuando t = 4 s si la traccin F horizontal vara con el tiempo, de acuerdo con la grfica.

15.18. La cabina de 20 lb est sujeta a la fuerza F = (3 + 21) lb, estando t en segundos. Si la cabina se mueve pendiente abajo inicialmente con una velocidad de 6 ft/s, calcule cunto tardar la fuerza para detener por completo a la cabina. F acta en direccin paralela al plano.

F(kN )

4r----__

F = (4 - O.O I P)

'--- - - - - - --

- - - - '''::--- I(S)

Prob.lS.16

Prob. lS.18


PROBLEMAS

195

15.19. El bloque deslizante de 10 lb se mueve hacia la derecha con una velocidad de 10 ft/s cuando obran sobre l las fuerzas F y F 2 Estas cargas varan del 'modo que se muestra en la grfica. Calcule la velocidad del bloque a los 6 s. Desprecie la friccin y el peso de las poleas.

15.21. Un pastel y su plato que pesan 1.5 lb descansan en el centro de una mesa circular. Sin tocar el pastel el joven trata de quitar el mantel con radio de 2 ft jalndolo rpidamente en sentido horizontal. Si siempre hay resbalamiento entre el plato y el mantel, calcule el mayor tiempo que puede permanecer el mantel en contacto con el plato sin que ste caiga al piso. El coeficiente de friccin cintica entre el plato y el mantel es J1k = 0.3, Yentre el plato y la superficie de la mesa J1~ = 0.4. Sugerencia: Aplique los principios del impulso y la cantidad de movimiento y del trabajo y la energa al pastel para x ft, que es la distancia que el plato per,manece sobre el mantel, y para (2 - x) ft, que es cuando permanece sobre la mesa.

F(lb)

0.41-_ _ _ _ _ _ _---r _ _F .... 2'--...,

0.30.2

____ _ _ _ .!L _ _ __ __1II

Prob.lS.21

II

0. 1 f - - - - - - I

I

r-------

0' - - - - -...:'.2- - ---"-4- - -----'6'---/(5)

Prob.lS.19

15.22. El tronco tiene una masa de 500 kg Ydescansa en el suelo, y en este caso los coeficientes de friccin esttica y cintica son, respectivamente, J1s = 0.5 Y J1k = 0.4. El montacargas suministra una fuerza T de arrastre a su cable en A, la cual vara de acuerdo con la grfica. Calcule la velocidad del tronco cuando t = 5 s. Al principio la tensin del cable es cero. Sugerencia: Determine primero la fuerza necesaria para comenzar a mover el tronco. 15.23. El tronco tiene una masa de 500 kg Ydescansa en el suelo, y para este caso los coeficientes de friccin esttica y cintica son, respectivamente, J1s = 0.5 Y Jlk = 0.4. El montacargas suministra una fuerza T de arrastre a su cable en A que vara de acuerdo con la grfica. Cunto tiempo se necesita para alcanzar una velocidad de 15 mis? Al principio la tensin del cable es cero. Sugerencia: Calcule primero la fuerza necesaria para comenzar a mover el tronco.

* 15.20. Calcule la velocidad de cada bloque 10 s despus de liberarlos partiendo del reposo. Desprecie la masa de las poleas. El bloqueA tiene una masa de 10 kg Yel B de 50 kg.

64oob,.;-4

T(N)

lZL

t (5)

A

Prob.lS.20

Probs.lS.22/1S.23


196

CAP.15

CINTICA DE UNA PARTCULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 15.26. Un bloque de 20 kg est en reposo al principio, sobre una superficie horizontal para la cual el coeficiente de friccin esttica es u, = 0.6, Y el coeficiente de friccin cintica es Jlk = 0.4. Si la fuerza horizontal F se aplica de tal rr.odo que vara con respecto al tiempo de acuerdo con la grfica, calcule la velocidad del bloque en 10 s. Sugerencia: Calcule primero el tiempo necesario para vencer la friccin y comenzar a mover al bloque.

* 15.24. Si los coeficientes

de friccin esttica y cintica entre el plano y el empaque de 40 kg son Jl. = 0.3 Y Jlk = 0.25, calcule el tiempo necesario para que la fuerza horizontal F le d al empaque una velocidad de 2 mis. La fuerza tiene una magnitud de F = (50t) N, estando t en segundos. Sugerencia: Calcule primero el tiempo necesario para superar la friccin e iniciar el movimiento del empaque.

F(N)

200r-----7,-----,

Prob.lS.24

"-------'--------:":IO,.------I(S)

15.25. El motor M jala del cable con una fuerza F cuya magnitud vara de acuerdo con lo que se muestra en la grfica. Si la caja de 20 kg descansa originalmente en el piso y la tensin del cable es cero cuando se enciende el motor, calcule la velocidad de la caja cuando t = 6 s. Sugerencia: Calcule primero el tiempo necesario para que comience a subir la caja.

Prob.lS.26

F

15.27. El carrotanque tiene una masa de 20 Mg Yrueda libremente hacia la derecha con una velocidad de 0.75 mis. Si choca con la barrera, determine el impulso horizontal necesario para detener al carro tanque si el resorte del parachoquesB tiene una rigidez de (a) k .... (el parachoques es rgido), y (b) k = 15 kNjm.

00

F(N)

v= 0.75 mis

I(S)

Prob.lS.2S

Prob.lS.27


SECo 15.2 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL...

197

15.2 Principio del impulso y cantidad de movimiento lineal para un sistema de partculsEl principio del impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de partculas en movimiento con respecto a una referencia inercial, figura 15.7, se obtiene a partir de la ecuacin de movimiento r,F = Lm8, ecuacin 13.5, que puede reformularse del siguiente modo: (15.5) El trmino del lado izquierdo representa slo la suma de todas las fuerzas externas que actan sobre el sistema de partculas. Recurdese que las fuerzas internas f; entre las partculas no aparecen en esta suma, ya que debido a la tercera ley de Newton se dan en pares colineales iguales pero opuestos, y por lo tanto se anulan. Multiplicando ambos lados de la ecuacin 15.5 por dt e integrando entre los lmites l = lb V = (V)I y t = l2' V = (V)2 se obtiene

~------ y

Sistema inercial de coordenadas

x

Fig.lS.7

(15.6)

Esta ecuacin establece que las cantidades iniciales de movimiento del sistema, sumadas vectorialmente a los impulsos de todas las fuerzas externas que actan sobre el sistema durante el periodo tI a l2 son iguales a las cantidades de movimiento finales del sistema~ Por definicin, la ubicacin del centro de masa G del sistema se determina mediante mrG = Lmr, siendo m = Lm la masa total de las partcul~s, y rG Y r se definen en la figura 15.7. Tomando la derivada con respecto al tiempo obtenemos

Segn esta ecuacin la cantidad total de movimiento del sistema de partculas es equivalente a la cantidad de movimiento de una partcula "ficticia", agregada de cuya masa m = Lm que se mueve con la velocidad del centro de masa G del sistema. Sustituyendo en la ecuacin 15.6 se obtiene (15.7) Esta ecuacin establece que la cantidad inicial de movimiento de la partcula agregada ms la suma de los impulsos externos que actan sobre el sistema de partculas durante el intervalo de tiempo tI a t 2 es igual a la cantidad final de movimiento de la partcula. Como en realidad todas las partculas deben tener tamaohttp://gratislibrospdf.com/

198


finito para poseer una masa, la ecuacin anterior justifica la aplicacin del impulso y cantidad de movimiento lineales a un cuerpo rgido representado por una sola partcula.

15.3 Conservacin de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partculasCuando la suma de los impulsos externos que actan sobre un sistema de partculas es cero, la ecuacin 15.6 se reduce a una forma simplificada, que es (15.8)

A esta ecuacin se le llama la conservacin de La cantidad de movimiento lineal. Establece que la suma vectorial de las cantidades de movimiento para un sistema de partculas permanece constante durante el periodo de tiempo t i a t 2 Sustituyendo mVG = r.mv en la ecuacin 15.8, tambin se puede escribir (15.9) la cual indica que la velocidad VG del centro de masa del sistema de partculas no cambia cuando no se aplican impulsos externos al sistema. Con frecuencia se aplica la conservacin de la cantidad de movimiento cuando las partculas chocan o interactan. Para su aplicacin, debe hacerse un anlisis cuidadoso del diagrama de cuerpo libre para el sistema completo. Al hacerlo, pueden identificarse las fuerzas que crean impulsos, ya sea internos o externos, y con ello, determinar en qu direccin(es) se conserva la cantidad de movimiento lineal. Como se dijo antes, los impulsos internos del sistema siempre se anularn, ya que se dan en pares iguales y opuestos, colineales. Si el periodo de tiempo en el que se estudia el movimiento es muy corto , algunos de los impulsos externos tambin pueden omitirse o considerarse aproximadamente iguales a cero. Las fuerzas que causan estos impulsos despreciables se llaman fuerzas no impulsivas. En comparacin, a las fuerzas muy grandes que actan en periodos muy cortos y sin embargo producen un cambio apreciable en la cantidad de movimiento, se les llama fuerzas impulsivas. stas, desde luego, no se pueden despreciar en el anlisis de impulso-cantidad de movimiento. Las fuerzas impulsivas, se presentan normalmente debido a una explosin o el choque de un cuerpo contra otro, mientras que las fuerzas no impulsivas pueden incluir el peso de un cuerhttp://gratislibrospdf.com/

SECo 15.3 CONSERVACIN DE lA CANTIDAD DE MOVIMIENTO...

199

po, la fuerza ejercida por un resorte ligeramente deformado que tiene una rigidez pequea, o cualquier fuerza que sea muy pequea en comparacin con otras fuerzas mayores (impulsivas). Cuando se hace esta distincin entre fuerzas impulsivas y no impulsivas, es importante tener en cuenta que slo se aplica durante un periodo especifico de tiempo. Para dar un ejemplo, consideremos el efecto de pegar con un bate a una bola de beisbol. Durante el tiempo muy corto de interaccin, la fuerza del bate sobre la pelota (o partcula) es impulsiva, ya que cambia de modo drstico la cantidad de movimiento de la bola. En comparacin, el peso de la bola tendr un efecto despreciable sobre el cambio de la cantidad de movimiento, y por lo tanto ser no impulsivo. En consecuencia, puede despreciarse en un anlisis de impulso-cantidad de movimiento durante este periodo de tiempo. Sin embargo, cabe sealar que si se hace un anlisis impulsocantidad de movimiento durante el tiempo mucho mayor de vuelo de la pelota despus de la interaccin pelota-bate, entonces el impulso del peso de la bola es importante ya que, junto con la resistencia del aire, origina el cambio de la cantidad de movimiento de la bola.

PROCEDIMIENTO DE ANLISISEn general, el principio del impulso y cantidad de movimiento lineales o de conservacin de cantidad de movimiento lineal se aplican a un sistema de partculas para calcular las velocidades fimiles de las partculas inmediatamente despus del periodo de tiempo que se considera. Aplicando esas ecuaciones al sistema completo, se eliminan del anlisis los impulsos internos que actan dentro del sistema que, por otra parte pueden desconocerse. Para su aplicacin, se sugiere emplear el siguiente procedimiento.Diagrama de cuerpo libre. Establezca el marco x, y, z inercial de referencia y trace el diagrama de cuerpo libre para cada

partcula del sistema para poder identificar las fuerzas internas y las externas. La conservacin de la cantidad de movimiento lineal se aplica al sistema en una direccin dada cuando no actan juenas impulsivas externas sobre el sistema en esa direccin. Tambin, establezca la direccin y sentido de las velocidades iniciales y finales de las partculas. Si se desconoce el sentido, suponga que tiene la direccin de las coordenadas positivas de un eje inercial. Como procedimiento alternativo, dibuje los diagramas de impulso y cantidad de movimiento para cada partcula del sistema inmediatamente antes, durante, y despus de la aplicacin de las fuerzas. A continuacin investigue el diagramahttp://gratislibrospdf.com/

200


de impulso para diferenciar claramente las fuerzas impulsivas y las no impulsivas, de los impulsos internos del sistema.Ecuaciones de cantidad de movimiento. Aplique el principio

del impulso y cantidad de movimiento lineales, o la conservacin de la cantidad de movimiento en las direcciones adecuadas. Si las partculas estn sujetas a movimiento dependiente en donde se usen cables y poleas, puede usarse la cinemtica, como se describe en la seccin 12.8, para relacionar las velocidades. Si es necesario calcular lafuena impulsiva interna que acta sobre slo una partcula del sistema, esa partcula se debe aislar (diagrama de cuerpo libre) y se debe aplicar a la partcula el principio del impulso y cantidad de movimiento lineales. Despus de haber calculado el impulso F dt, entonces, siempre que se conozca el tiempo 11t durante el cual acta el impulso, se puede calcular la fuena impulsiva promedio Fovg mediante Fovg = F dt/11t.

f

f

Los siguientes ejemplos muestran la aplicacin numrica de este procedimiento.


SECo 15.3

CONSERVACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO...

201

Ejemplo 1;';.4

El vagn de carga de 15 Mg rueda libremente a 1.5 mis sobre la va horizontal cuando encuentra un carrotanque B que tiene una masa de 12 Mg, que rueda libremente en direccin opuesta a 0.75 mis, como se ve en la figura 15.&1. Si los vagones se encuentran y se enganchan, calcule (a) la velocidad de ambos vagones inmediatamente despus del acoplamiento y (b) la fuerza promedio entre ellos si el acoplamiento se efecta en 0.8 s. SOLUCINParte (a) Diagrama de cuerpo libre. * Como se muestra en la figura 15.8b, hemos considerado a ambos vagones como un sistema nico.(a)

v

0.75 mis

Por inspeccin, se conserva la cantidad de movimiento en la direccin x ya que la fuerza F de acoplamiento es interna al sistema y, por lo tanto se anular. Se supone que ambos vagones, cuando se acoplen, se movern a V2 en la direccin positiva dex.Conservacin de la cantidad de movimientomA(vA) + mB(vB)

~----x

l>j>~m[)&:F(b)

-F

~J

= (mA + m B)v2-+

15000(1.5) - 12000(0.75) = 27 000v2V2 =0.5 mis

Resp.

Parte (b). La fuerza promedio

Favg (de impulsin) de acoplamiento puede calcularse aplicando el principio de la cantidad de movimiento a cualesquiera de los vagones.

-

v

Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 15.&,

(e)

si se asla el vagn de carga la fuerza de acoplamiento es externa a l.Principio de impulso y cantidad de movimiento. Como F.vg 6.t = F. vg(0.8), tenemos quemA(VA) +1: fFdt=mAv2

f F dI =

Fig.lS.8

15 000(1.5) - F avg(0.8) = 15 000(0.5~F.vg

= 18.8 kN

Resp.

En este caso la solucin fue posible porque la velocidad final del vagn de caja se obtuvo en la parte (a). Trate de despejar a Favg aplicando el principio del impulso y cantidad de movimiento al carrotanque. Slo se muestran en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas horizontales.


202

CAP.15 CINTICA DE UNA PARTCULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTOEjempl~

15.5 El can de 1200 lb que se muestra en la figura 15.9a dispara un proyectil de 8 lb con velocidad de salida de 1500 ft/s. Si el disparo se hace en 0.03 s, calcule (a) la velocidad de retroceso del can inmediatamente despus de disparar, y (b) la fuerza promedio de impulsin que acta sobre el proyectil. El soporte del can est fijo al terreno y el culatazo horizontal se absorbe mediante dos resortes. SOLUCINParte (a) R dt. Inmediatamente despus de separarse las partculas tendrn las cantidades de movimiento que se muestra en la figura 15.14e, siendo (VB)2 >(VA)2.

Lnea de impacto

Impa

(trabajo de un resorte elstico)


254

REPASO 1: CINEMTICA Y CINTICA DE UNA PARTCULA

Si las fuerzas que actan sobre la partcula

son fuerzas con-

servativas, es decir, si no originan disipacin de energa, como lafriccin, entonces se aplica la ecuacin de conservacin de la energa. Es ms fcil de usar esta ecuacin que la ecuacin del trabajo y la energa, porque slo se aplica a dos puntos de la trayectoria y no necesita del clculo del trabajo efectuado a medida que la partcula se mueve por su trayectoria. TI donde (energa potencial gravitatoria) (energa potencial Si se va a calcular la potencia emplea elstica) una fuerza, se

+ VI = T2 + V2

que desarrolla

donde v es la velocidad fuerza F.

P> dU = F. v dt de una partcula

sobre la cual acta la

Impulso y cantidad de movimiento. La ecuacin del impulso y cantidad de movimiento lineales es una forma integrada de la ecuacin de movimiento, LF = ma, combinada con la cinemtica (a = dv/dt). Se usa para resolver problemas en los que intervienen fuerza, velocidad y tiempo. Antes de aplicar esta ecuacin, siempre se debe trazar el diagrama de cuerpo libre, para identificar todas las fuerzas que originan impulsos en la partcula. De acuerdo con el diagrama deben identificarse las fuerzas impulsivas y no impulsivas. Recurdese que las fuerzas no impulsivas se pueden no tomar en cuenta en el anlisis. Tambin, debe establecerse la direccin de la velocidad de la partcula inmediatamente antes e inmediatamente despus de aplicar los impulsos. Como procedimiento alternativo, los diagramas de impulso y cantidad de movimiento pueden acompaar a la solucin para identificar en forma grfica los trminos de la ecuacinmv + L fl'F dt = mv

Jl1

Si intervienen varias partculas en el problema, considrese la aplicacin de la conservacin de la cantidad de movimiento al sistema para eliminar del anlisis a los impulsos internos. Esto se puede hacer en una direccin especificada, siempre que no hayan impulsos externos que acten sobre las partculas en esa direccin. LmvI=

Lmv2 de res-

Si el problema implica impacto y se da el coeficiente titucin e, entonces se aplica la siguiente ecuacin:

e

= (VB)2

- ( VA)2

(a lo largo de la lnea de impacto)

(vA)

- ( vs)


PROBLEMAS DE REPASO

255

Recurdese que durante el impacto no se puede emplear el principio del trabajo y la energa, ya que las partculas se deforman y, por lo tanto, el trabajo debido a las fuerzas internas se desconoce. Sin embargo, puede emplearse el principio del trabajo y la energa para calcular la prdida de energa durante el choque una vez que se determinan las velocidades inicial y final de la partcula. Se puede aplicar el principio deL impulso y momento anguLares y la conservacin deL momento anguLar con respecto a un eje para eliminar algunos de los impulsos que se desconocen y que _actan sobre la partcula durante el periodo de tiempo en el que se estudia su movimiento. Ayudar una investigacin del diagrama de cuerpo libre de la partcula, o el diagrama de impulso, para seleccionar el eje para la aplicacin.(1-1 0 )1 + 1:

J"Mo dtI

=

(1-1 0 )2

(1-1 0 )1 = (1-10 )2

Los siguientes problemas dan la oportunidad de aplicar los conceptos anteriores. Se representan sin un orden determinado con el fin de que el estudiante adquiera destreza para identificar los diversos tipos de problemas y desarrolle las habilidades necesarias para su solucin.

PROBLEMAS DE REPASORl.l. La fuerza que acta sobre la caja de 50 lb tiene

una magnitud F = (2.4 12 +151) lb, en la que 1 se da en segundos. Si la caja parte del reposo, calcule su velocidad cuando 1 = 2 s. Tambin, calcule la distancia a la que se mueve la caja en 2 s. Desprecie la friccin. R1.2. La fuerza que acta sobre la caja de 50 lb tiene una magnitud F = (2.4 (2) lb, estando 1 en segundos. Si la caja parte del reposo, calcule su velocidad cuando 1 5 s. Los coeficientes de friccin esttica y cintica entre caja y piso son Jls = 0.3, YJlk = 0.2, respectivamente.

R1.3. La pieza fundida tiene una masa de 3 Mg. Est suspendida en posicin vertical e inicialmente en rede 200 mm/s poso. Se le da una velocidad ascensional 1 en 0.3 s con el gancho H de una gra. Calcule la tensin promedio en los cablesAC y AB durante este intervalo de tiempo.

=

Probs. R1.1/R1.2

Probo R1.3


256

REPASO 1: CINEMTICA Y CINTICA DE UNA PARTCUlA

"R1.4. La nia arroja la pelota con velocidad horizontal v1 = 8 ft/s. Si el coeficiente de restitucin entre bola y piso es e = 0.8, calcule (a) la velocidad de la pelota inmediatamente despus de rebotar del piso, y (h) la altura mxima a la que se eleva despus del primer rebote.

R1.6. Un automvil se encuentra inicialmente en reposo cuando s = O. Si arranca entonces para aumentar su velocidad a = (0.05(2) ft/s2, estando ( en segundos, calcule la magnitud de su velocidad y aceleracin cuando ( = 18 S.

v

R1.7. El automvil se halla primero en reposo cuan. Si arranca de modo que su velocidad audo s = O menta a = (0.05t 2) ft/s 2, estando t en segundos, calcule la magnitud de su velocidad y aceleracin cuando s = 550 [t.

v

Prob.R1.4

R1.5. La fuerza F que acta en direccin constante sobre el bloque de 20 kg tiene una magnitud que vara de acuerdo con la posicin s del bloque. Calcule hasta qu distancia se desliza el bloque antes de que su velocidad llegue a 5 mIs. Cuando s = O, el bloque se mueve hacia la derecha a 2 mis. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y la superficie es f.1k = 0.3.

240 ft

F(N)

F

Probs. R1.6fR1.7

'.......""--_ _ _ _ _ _ _ _ _ s(m)

* Rl.8. Un automvil y su conductor tienen 1.5 Mg demasa total. Cuando el automvil viaja a 20 mIs, se aplican los frenos y se observa que el auto derrapa 30 m antes de detenerse. lA qu distancia patinar el coche si viaja a 35 mIs?

Prob.R1.5


PROBLEMAS DE REPASO

257

R1.9. El snowmobile se mueve a 10 mis cuando deja el terrapln enA. Calcule el tiempo de vuelo desdeA a B y el alcance R de la trayectoria.

R1.11. Se dispara horizontalmente un proyectil de 15 kg con un cafin ubicado a 20 m del piso. Si se ejerce una fuerza promedio de 600 kN sobre el proyectil durante 0.02 s dentro del can, calcule el alcance R, medido desde el extremo del can, en el cual el proyectil toca tierra en B.

A

B

--- - - R------I

I - - - - - --

R - - - - --I

Probo R1.9

Probo Rl.ll

R1.10. La partcula viaja a lo largo de la trayectoria * R1.12. Dos bolas de billar lisas, A y B tienen masas definida por la parbola y = 0.5x2 Si la componente iguales de 200 g. Si A le pega a B con una velocidad de la velocidad a lo largo del ejex es Vx = (51) ft/s, en de (VA)! = 2 mis como se indica, calcule sus velocidala cual I est en segundos, calcule la distancia de la des finales inmediatamente despus del choque. La partcula al origen O y la magnitud de su aceleracin bola B est originalmente en reposo y el coeficiente de restitucin es e = 0.75. cuando 1= 1 S. Cuando 1= O,x = O,y = O.

yy

' - y ~ O.SY B~}--~--L-----x o~---------x

Prob.Rl.10

Prob.Rl.12


258


R1.13. Un carro de ferrocarril con traccin elctrica toma 30,000 W de potencia. El carro pesa 40,000 lb. Calcule la velocidad mxima que adquiere en 30 s, partiendo del- reposo. La eficiencia mecnica es E =

0.8.R1.14. Un vagn de carga de 5000 lb se remolca por

R1.17. Dos monedas, A y B, tienen las velocidades iniciales que se indican, inmediatamente antes de chocar en el punto O. Si pesan 13.2(10-3) lb Y6.6(10-3) lb, respectivamente, y la superficie sobre la que se deslizan es lisa, calcule su velocidad inmediatamente despus del choque. El coeficiente de restitucin es e = 0.65.

una va horizontal. Si el vagn parte del reposo y adquiere una velocidad de 40 ft/s despus de recorrer una distancia de 300 ft, calcule el trabajo efectuado sobre el vagn si la fuerza de friccin por rodadura entre el vagn y la va es de 80 lb.R1.15. La varilla telescpica gira a una velocidad constante de = 0.8 rad/s, que decrece a = - 0.2 rad/s 2, y al mismo tiempo la varilla entra y sale de modo que su extremo A sigue la trayectoria r = (0.75 cos 8 + 2) ft, estando 8en radianes. Calcule las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleracin deA cuando 8= n/8

y'

e

e

2 ft/s

____

~~~~~~

____-----x3fs

* Rl.16. La varilla telescpica gira a una velocidad

Linea de impacto

constante de = 0.8 rad/s, que disminuye a = - 0.2 rad/s 2, y al mismo tiempo la varilla entra y sale de tal modo que su extremo A sigue la trayectoria r = (1 + 0.75 cos 8 ) ft, estando 8 en radianes. Calcule las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleracin deA cuando 8 = n/8.

e

e

Probo Rl.17

Rl.18. Se deja caer la pelota desde el reposo y cae una distancia de 4 ft antes de chocar con el plano in-

clinado liso en A. Si el coeficiente de restitucin e = 0.8, calcule la distancia d a la cual vuelve a chocar con el plano en B.

Probs. Rl.15/Rl.16

Probo R1.18


PROBLEMAS DE REPASO

259

R1.19. Se le da una velocidad VA = 2 mis al bloque B de 2 kg cuando alcanza el punto A. Calcule la velocidad v del bloque y la fuerza normal N B del plano sobre el bloque como funcin de e. Grafique los resultados de v contra e y N B contra e, y especifique el ngulo al cual la fuerza normal es mxima. Desprecie la friccin y el tamao del bloque en los clculos.

R1.22. Un proyectil que inicialmente est en el origen, se mueve hacia abajo por un medio fluido de tal modo que su velocidad se define mediante v = 2600(1 _e-4l3t) mm/s, estando t en segundos. Calcule el desplazamiento del proyectil durante los primeros 2 S. Rl.23. Se grafica la velocidad del automvil deportivo que pesa 3500 lb, durante el periodo de tiempo de los primeros 30 S. Trace una grfica de la variacin de la fuerza F de traccin de las ruedas, necesaria para causar el movimiento.

B

v (ft/s)

80~--------------~_

Probo R1.19

60 -------r--

* R1.20. El nio en A trata de arrojar una pelota sobre el tejado de un granero con una velocidad inicial VA = 15 mIs. Calcule el ngulo eA al cual se debe arrojar la pelota para que alcance la altura mxima en C. Tambin, calcule la distancia d a la que se debe parar para arrojar la pelota.

"------"---- -- - - - - - - - - - ' - - -- - - t (s)

10

30

Rl.21. El nio en A trata de arrojar una pelota sobre Probo R1.23 el tejado de un granero de tal forma que salga con un ngulo eA = 40. Calcule la velocidad mnima VA a la cual debe arrojar la pelota para que alcance una altu- * R1.24. El brazo robtico tiene longitud fija y entonra mxima en C. Tambin, calcule la distancia d a la ces r 3 ft, Ysu sujetador A se mueve a lo largo de la cual se debe parar el nio para arrojar la pelota. trayectoria z = (3 sen 48) ft, en la cual e est en radianes. Si e = (O.5t) rad, estando t en segundos, calcule la magnitud de la velocidad y aceleracin del sujetador A cuando t = 3s.

=

e

Rl.25. Durante un tiempo corto el brazo robtico se extiende a una velocidad constante tal que; = 1.5 ft/s cuando r = 3 ft, Z = (4 t 2) ft, y e = O.5t rad, estando t en segundos. Calcule la magnitud de la velocidad y aceleracin del sujetador A cuando t = 3 S.

Probs. R1.20/R1.2.l

Probs. R1.24/R1.25


260


R1.26. Unas canicas que tienen 5 g de masa caen des- * R1.28. Calcule la magnitud de la fuerza F como funde el reposo en A en el interior del tubo de vidrio y cin del tiempo, que debe aplicarse al extremo de la se acumulan en la lata en C. Calcule la ubicacin R cuerda en A para elevar el gancho H con velocidad de la lata con respecto al extremo del tubo, as como constante u = 0.4 mis. Al principio la cadena descan-

la velocidad de las canicas que caen en ella. Desprecie el tamafio de la lata.

sa en el piso. Desprecie la masa de la cuerda y del gancho. La masa de la cadena es de 2 kg/m.

F

1---

- -- - R

-

-

- --j

Probo R1.26

ProboR1.28

Rl.27. El parachoques B del vagn de ferrocarril de 5 Mg de masa se deforma segn la grfica carga-deformacin que se acompafia. Calcule la deformacin mxima s que se presentar para detener al vagn si viaja a u = 5 mis cuando choca con el tope rgido. Desprecie la masa de las ruedas del vagn.

R1.29. Mediante experimentacin se construye la grfica de la variacin de la fuerza vertical del pie de un corredor contra el tiempo, al momento de empujar y dejar el piso. stos son los resultados para una carga esttica de 1 lb; es decir, en trminos de peso unitario. Si el corredor pesa 175 lb, calcule el impulso vertical aproximado que ejerce sobre el piso, si el impulso se efecta en 210 ms.

F (N) F(lb)

I

~ s(m)

/ F = 15 (l06)s2Empujat

3.0 1--- -- -----:;>1..

it!J!JlBProbo R1.27

1.51-,,-f'-- ---f-------"'-

25

50

125

200 2 10

1 (m s)

Probo R1.29


PROBLEMAS DE REPASO

261

Rl.30. La rampa, que rueda libremente, tiene 40 kg * Rl.32. El automvil tiene una velocidad de 80 ft/s en de masa. Se suelta una caja de 10 kg deA y se desliza el punto A y una aceleracin a cuya magnitud es 10

hacia abajo 3.5 m para llegar al punto B. Si la superficie de la rampa es lisa, calcule su velocidad cuando la caja alcanza a B. Adems, cul es la velocidad de la caja?

ft/s2 en la direccin que se indica. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria en el punto A y la componente tangencial de la aceleracin.

Probo R1.30

Probo R1.32

Rl.31. Si el punto A del cable se mueve hacia arriba a VA = 14 mIs, calcule la velocidad del bloque B.

R1.33. Un camin viaja a lo largo de la curva horizontal circular de radio r = 60 m, con velocidad constante v = 20 mIs. Calcule la rapidez angular de rotacin lJ de la lnea radial r y la magnitud de la aceleracin del camin.

Probo R1.31

Probo RL13


262

REPASO 1: CINEMTICA Y CINTICA DE UNA PARTCULA

Rl.34. Calcule las fuerzas de impulsin normal y de

friccin que ejerce la pista en espiral sobre la motocicleta de 200 kg en el momento en que (J = (5/3).Had, 0= 0.4 rad/s; y {} = 0.8 rad/s 2.

Rl.37. La vuelta en un parque de diversiones consiste en que una gndola se eleva a una altura de 120 ft en A. Si se suelta del reposo y cae por la va parablica, calcule la velocidad cuando y = 20 ft. Calcule tambin la reaccin normal de las vas sobre la gndola en este instante. La gndola y pasajero tienen un peso total de 500 lb. Desprecie los efectos de la friccin y la masa de las ruedas.

y

.--1~-~ 120 ft

Prob.R1.34

Probo Rl37

Rl.35. Un camin pesa 60(103) lb Ytiene un motor que desarrolla 360 hp. Calcule la pendiente mxima que puede subir el camin con una velocidad v = 10 mi/h.

Rl.38. Calcule la velocidad constante a la que se debe cobrar el cable enA, mediante el motor, para izar la carga en B una distancia de 6 m en 1.5 S.

* Rl.36. El vehculo tiene una masa de 3 Mg, vaCo, ycarga 150 kg de combustible. Si el combustible se consume a una tasa constante de 4 kg/s y los gases se emiten con una velocidad de 250 mIs, calcule la velocidad mxima que alcanza el auto partiendo del reposo. La resistencia de friccin debida a la atmsfera es FD = (6002) N, en la que ves la velocidad medida en metros por segundo.

-v

B

Prob. R 1.36

Probo R1.38


PROBLEMAS DE REPASO

263

Rl.39. El bloque deslizante B est confinado a moverse dentro de la ranura lisa. Est conectado a dos resortes, cada uno de los cuales tiene rigidez k = 30 N/m. Al principio se estiran 0.5 m cuando s = O, como se ve en la figura. Calcule la distancia mxima, smx a la cual se mueve el bloque B despus de haber sido golpeado por otro bloque A que originalmente viajaba a (vA)! = 8 mIs. Tome el coeficiente e = 0.4; la masa de cada bloque es de 1.5 kg.

Rl.42. Con una varilla en forma de corredera, un cilindro liso e, que tiene una masa de 0.5 kg, est constrefiido a moverse a lo largq de la trayectoria horizontal ranurada r = (0.5 9) m, estando {] en radianes. Si la posicin angular del brazo es {] = (0.5(2) rad, estando ( en segundos, calcule la fuerza de la varilla corredera sobre el cilindro y la fuerza normal de la ranura sobre el cilindro cuando ( = 2 S. El cilindro slo est en contacto con una orilla de la corredera y de la ranura en cualquier momento. Rl.43. Con una varilla en forma de corredera, un cilindro liso e, que tiene una masa de 0.5 kg, est constrefiido a moverse a lo largo de la trayectoria vertical ranurada r = (0.59) m, estando (J en radianes. Si la posicin angular del brazo es {] = (0.5(2) rad, con ( en segundos, calcule la fuerza de la corredera sobre el cilindro y la fuerza normal de la ranura sobre el cilindro cuando t = 2 S. El cilindro est en contacto slo con una orilla de la corredera y de la ranura en cualquier momento.

* R1.40. Para el problema R1.39, calcule la fuerza netapromedio que se ejerce entre los dos bloques A y B durante el impacto, si ste se lleva a cabo en 0.005 s.

Probs. R1.39/R1.40

Probs. R1.42/R1.43

* R1.44. Una partcula se mueve en trayectoria circularR1.41. Un motor eleva una caja de 60 kg a una velocidad constante a una altura de h = 5 m en 2 s. Si la

potencia indicada del motor es de 3.2 kW, calcule su eficiencia. La caja se eleva a velocidad constante.

de 2 m de radio de tal modo que su posicin como funcin del tiempo es {] = (51 2 ) rad, estando ( en segundos. Calcule la magnitud de la aceleracin cuando {] = 30. La partcula arranca dcl reposo cuando () = OO.R1.45. El camin viaja por una trayectoria circular con radio de 50 m a una velocidad de 4 mIs. Durante un corto trecho a partir de s = O, su velocidad aumenta en = (0.05s) m/s 2, en la que s est en metros. Calcule su velocidad y la magnitud de su aceleracin cuando se ha movido s = 10m.v = (O. 05 s) mls 2 v= 4 mis

h

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Mecánica para Ingenieros Dinámica, Sexta Edición [Russell C Hibbeler]