Mecânica Quântica Postulados da Mecânica Quântica. Equação de Schrondiger. Bandas de Energia

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Mecnica QunticaPostulados da Mecnica Quntica.Equao de Schrondiger.Bandas de Energia.Cincia dos Materiais - CEUNES2Postulado de de Broglie

Para de Broglie a matria est associada a uma freqncia :Relao de de Broglie:este o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matria associada ao movimento de uma partcula material com momento p.22Cincia dos Materiais - CEUNES3Dualidade Onda-ParticulaNiels Henrik David Bohr enunciou o princpio da complementaridade .

33Dualidade Onda-PartculaNiels Bohr enunciou o princpio da complementaridade . Radiao e matria no so apenas ondas ou partculas.Einstein unificou as teorias corpuscular e ondulatria para radiao e Max Born para a matria.Funes de onda de matria :

Anlogo ao campo eltrico de uma onda eletromagntica

(leis da probabilidade)Cincia dos Materiais - CEUNES5Dualidade Onda-Particula

Anlogo ao campo eltrico de uma onda eletromagnticaleis da probabilidadeNiels Henrik David Bohr enunciou o princpio da complementaridade . Einstein unificou as teorias corpuscular e ondulatria para radiao e Max Born para a matria. Funes de onda de matria de Max Born:

55Cincia dos Materiais - CEUNES6Dualidade Onda-Particula

Esta grandeza especifica a probabilidade, por unidade de comprimento, de encontrar a partcula prxima da coordenada x em um instante t.Max Born postulou esta relao:A funo de onda proposta por Max Born no tem significado fsico. A ligao bsica entre as propriedades da funo de onda (x,t) e o comportamento da partcula associada expressa em termos da densidade de probabilidade P(x,t):

Onde temos:66Primeiro PostuladoO estado de um sistema fsico definido por uma funo de onda Y(r, t).

Any system can be described by a wave function , where t is a parameter representing the time and r represents the coordinates of the system. Function must be continuous, single valued and square integrable.

5) A Interpretao da funo de onda

(Interpretao probabilstica)Dualidade onda-partcula: Todos os portadores de energia e momento se propagam como onda e trocam energia como partcula. Princpio da incerteza:

(Werner Heisenberg)Segundo PostuladoTo every observable in classical mechanics there corresponds a linear, Hermitian operator in quantum mechanics. http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.htmlhttp://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node16.html#subsub:HermitOps

Every measurable physical quantity A is described by an operator A acting in E; this operator is an observable.Com a funo de onda podemos calcular a probabilidade de localizao de uma partcula em qualquer instante. Entretanto, para calcular outras grandezas relativas ao seu movimento preciso introduzir o conceito de operador. A cada grandeza fsica corresponde um operador matemtico que opera na funo de onda.Table 1: Physical observables and their corresponding quantum operators (single particle) ObservableObservableOperatorOperatorNameSymbolSymbolOperationPosition Multiply by Momentum Kinetic energy Potential energy Multiply by Total energy Angular momentum

Operadores.A funo de onda de um eltron livre dada por:

O operador energia dado por:

Aplicado a funo de onda do eltron livre isto leva a:

Operadores

Any observable (i.e., any measurable property of the system) can be described by an operator. The operator must be linear and hermitian. http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node2.htmlTerceiro PostuladoThe only possible experimental results of a measurement of an observable are the eigenvalues of the operator that corresponds to such observable. Note que se o espectro de A discreto os resultados obtidos ao medir A so quantizados.Postulado 3Uma vez definidos os operadores, pode-se obter o valor das respectivas propriedades de uma funo de onda empregando-se: a) a equao de autovalores ou b) o teorema do valor mdio. Uma equao de autovalores corresponde a seguinte expresso: Se corresponde a uma funo de onda bem-comportada e o operador de uma propriedade fsica qualquer, diz-se que uma autofuno do operador quando a acima obedecida. Em outras palavras, a aplicao do operador sobre a funo de onda , produz a mesma funo de onda multiplicado por uma constante . O valor da propriedade desejada corresponde ao da constante . Esta constante tambm chamada de autovalor do operador . Sendo o operador hermitiano, pode-se garantir que ser sempre um nmero real e, conseqentemente compatvel com grandezas mensurveis fisicamente.

ExpansoThe eigenfunctions of a linear and hermitian operator form a complete basis set. Therefore, any function Y that is continuous, single valued, and square integrable can be expanded as a linear combination of eigenfunctions fjof a linear and hermitian operator as follows,

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.htmlValor MdioEntretanto, comum o fato de termos vrias funes de onda que so autofunes de um determinado operador (ou melhor, uma funo de onda que composta por diversas). Neste caso, para determinar-se o valor dessa propriedade lana-se mo da seguinte expresso:

onde corresponde ao valor mdio da propriedade representada pelo operador em um sistema caracterizado por uma funo de onda . A barra sobre o smbolo utilizada para caracterizar o valor mdio. Entretanto, comum encontrarmos o valor mdio representado como .

Quarto Postulado - PulaQuinto PostuladoA evoluo no tempo do estado de um sistema no perturbado dada pela equao de Schroedinger dependente do tempo

http://www.mloos.eti.br/oldqt1/ccm/ccm1/tempo1.htmlSe possvel, ver pgs 60 ... do livro texto.Equao de SchroedingerA equao de Schroedinger a equao diferencial que satisfaz a todas as hipteses relativas equao de onda da mecnica quntica.

P(x,t) a probabilidade de uma partcula ser encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.Cincia dos Materiais - CEUNES22Equao de SchrdingerZurique, 1926: Peter Debye pede ao jovem fsico Erwin Rudolf Josef Alexander Schrdinger para discutir as idias de de Broglie em um seminrioSchrdinger procura a equao de onda que deveser satisfeita pela funo de onda de Max Born, sabendo que:

Cincia dos Materiais - CEUNES23Equao de SchrdingerTomando a funo de onda proposta por de Broglie

e utilizando a mesma seqencia feita para as ondas eletromagnticas

Operador Momento

Operador EnergiaCincia dos Materiais - CEUNES24Equao de Schrdinger

Sabendo que a energia pode ser escrita como:

Substituindo na equao de energia, temos:Operador HamiltonianoA aplicao deste operador na funo de onda de Max Born, nos fornece a Energia do sistema e seu momento e qual a relao de disperso.Cincia dos Materiais - CEUNES25Equao de Schrdinger

Esta a equao de SchrdingerSoluo Para Partcula Livre

A funo de onda complexa.Equao Independente do Tempo