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Dinámica

Dinámica

FERDINAND P. BEER

Lehlgh Unlverslty (finado)

E. RUSSELL JOHNSTON, JA.

Unlvorsuy 01 Connecticut

WILLlAM E. CLAUSEN

Tlle Ohlo State Unlverslty

Con la colaboración de

Philllp J . Cornwell

Rose-Hulman Instltute 01 Technology

Revisión técnica :

In9. Javier León Cárdenas

Jele de Ingenierla Mecanlca

Umversldad La Salle. campus Ciudad de MéxIco

MÉXICO. BOGOTÁ. BUENOS AIRES· CARACAS· GUATEMALA LISBOA. MADRID. NUEVA YORK· SAN JUAN • SANTIAGO

AUCKLAND • LONDRES. MILÁN. MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO. SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO

.................. Ild .Ite: ÁJIaeI Ric:ardo . del Bosque Alay6a

....-= Pablo E. Roig ázquez EcUton de desan'OIJo: Lorena Campa Rojas Supervisor ele producci6n: Zeferino Garcfa Garcfa

Traducd6n: Elmer Murrieta Murrieta Gabriel agore Cazares

MECÁNICA VECTORIAL PA RA INGENIEROS

DINÁMICA Octava edición

Prohibida la reproducción total o parcial de e,ta obra. por cualquier medio. sin la autoril:lci6n escrita dd editor.

McGraw-Hi Inte

DERECHOS RESERVADOS ([l 2007 resl~c t l l a la llCt:l \ a edici6n en espanol por McGRAW-HILUI:>JTERA\IERICA:-\A EDITOR ES. SA DF CY A SlIbsidiar\" (~f T"e JfcGraw-Hi/I COIll{Jmlíc\, l ile,

Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Refomla , 'úrn. 10 15. Turre A Piso 17. Coloni a Desarrollo Santa I'l' .

• Delegación Ah'aro Obreglín c.P. 01376. \1¿xicll. D. F. Miembro de la Cámara ~a(ional de la Industria Editorial \1 l'xlcana. Reg. urn 7 6

Créditos de las fotografías de pnnada: Pllnad.¡ frontal. ~) Ilnwl SU(fon/.Ht/ I rfill': ( onlrapon.Jda: ul 'nur ' R" BOSliclJllldc,1 Stock ImClIIC /)': Cenlral. © Richard CUI/II/I¡II\/C( )IUI/S; Inferior' c/¡lrlit'll/u/(/¡/CORIlI

FOlografia de /a por/ada; Conesía de l.lmd SUllon/.\laslerfilc (,enero lore~ d' lurhm3 d \ lento cc~ a d l'm h r( re.: Alb L l' , . - lid I d' \ In! ) cna. ()s uene, \ Ientos Chrn()ok soplan desde 1.1 montan.! \ OC.I'IIlIl.ll1 que esl.1 re 11 n len '<1 J \ OCI.l promedio más alta en loda :-':oneamérica, 1:11 mar/o d 200ll. 1:1 ¿Ipa Id.ld 111 \:llad.1 de ir ro cnerado en (.rn.Jd.1 er.1 75 1, I MW. de los cuales 275.4 \ 1\\' e\lán en '\Ihenil, LII aerogeneradores cl1m Icrtell un.1 punlon de la en r;:I.1., IJ

de las pan ículas del aIre en energía .:Ié.:tnl'a l.a enlrad;1 de energl.1 es propon:lon I al cubo ti· 1.1 \ loud.ld del \1 nI"

La secCIón de crédi t()· para "'l" l'lh . I ' ~, ~ ro ':OI11ICIl/a en [SB '_13: 978-970-10-6102_2 ISB -10: 970-10-6102-0 (ISBN: 970- 10-4470-3 edlcHín anteriOr)

Ó d • 11 P "JO.l le JI lll.'i ) se eOIl Idera un.1 e"'len I nc.

TradUC Ido de la octava edici6n en ingl':s de la ohra I.CrOR t.lI:ClIA!'«''> 1 ()I{ b (11 LI'R~ f)'I 'AMI( COPYright <í) 2(XJ7 hy The !\1LGraw-HIII (ol1lpallics. Ine AII rigllls re,er\cd. I'>B"I 10: () .. 01 29/6914 ISBI\;-13 978-0-07-2lJ7693_1)

134 S6 7 H902

Impreso en Chilla Impreso por CTPS

09%.'i4 U I 07

¡'nlllell/ll (/1/1/<1

¡'rllltcd b, ("TPI) Th. McGraw'HIII Companles . .,.,..

.:5-.

1 1 1 C nlro de ma d un ul 860

1 de movimiento angular de un sistema de partlculas

alrededor de su centro de masa 862 14 6 Conservación de la cantidad de movimiento para sistemas

de partlculas 864

147 1 8

Energfa cmétlca de un sistema de partículas 873 PrincipiO del trabajo y la energia. Conservación de la energia para un sistema de partrculas 875

14 9 Principio del impulso y la cantidad de movimiento de sistemas

de partfculas 875 '14 10 Sistemas variables de partículas '1411 CorrIente estaCionaria de partfculas '1412 Sistemas que ganan o pierden masa

886 886

889

~so y del capitulo 14 904 Prob!emU de repaso 908

151 15,2 15,3 11.4

11.1 11.1

11.7 1U *tU

1.

de computadora 911

15 CINEMÁTICA DE CUERPOS RíGIDOS

915

916 918

de un eje lijo 919

IIIedIdordeunejefijo la rotación de un cuerpo rlgido

922 plano generaJ

YIIocIdId abIaIuIa Y 932

relativa en el rnovImlento pIIno 834 CenIro de rotac'6n en el illJ.hnlento plano

....... y reIIIIIva en el plano pIIno en de un

aun de

Contenido ,

XI

,,,rlcto todeun portante, mi nto de un miento conciso uniRcado la

tre dimensione (capítulos 16 "

Se emplean diagramas de cuerpo libre para blemas de equilibrio y expresar la eq de de fuerzas. I.os diagrum d cuerpo lihn' lOtroduJt'ron al pnn cipio del libro de . i mportuncia se lo largo de I

do el texto, " , diagramas" t' l'mple.U1 no sólo para n'sol\ r pmhlt mas de eqUlhhno, tamlllén pum l' presur la l'Cluh .lIt n la dl It si temas de fuer/,as o. de m<xlo mi\s g('lIeml. de do dI \t

tores, La vt>ntaja de t', te t'lIflXIUt' S(' vuel\(' ('\idt'nll' n ti lit la diJlIímil'a dI' cUl'rpos rígido" dondl' (' utililA pan! n )h r prublt llIi\! Irillilllt~nsi()nall'S) hidinll'n,iollall's, l' Plldo logrnr 111M ('01111/'('11 sión n¡¡ír intuith ,1) eomplpl.1 dt' lo pnndpio lund.lInt ni III d( 11 tll

niímka al poul'r ma~\Jr I~ufil! is I'U 1,1 "''<'11.1('10111' de lo dI gntm. le ('lIt'rpo lihn:' I'U lugar dt' t~n 1.15 el'uaC'Íont s .tl).!t bruie.\! I I ml.lr 1I 1111 \imit'nto, E,II' t'Ilf(X!UP, inlnxlllddoln 1002 t n la pnllll'r.1 ftlldólIll ,\lI'('ól/il'(/ t'rrtmil/f !)(Im i" '1 lIirm\, "1 o(¡Il'lIIdo 1.1 fl 'h.1 IIIl.1 .IIHplt.1 :!e('plal'ÍólI t'lI E'lado\ l lIidos «,lIlre lo profl'son' dp 1111'<.1111.1 Pur lo taulo t'lI la r(',ollldóu de' t<xlo lo pmblt 111.1 n udl dt, It h hm . t' pretlt'!"p \11 IIlili,.1 'í 11 PII 111 '.lr d,,1 1Il<,lc In d,-. l'qlllt.hno <1111

mil () y dI' la, t'('lIal'Íollí' dI' JIlm imlC'uto •

Se utilizan pre enlacIo n cu ro CO or p los vectore. I~I l'olor ,,' h.1 11 .Id" 110 010 paro JII{'J IntT IJ lollllbd de la, ¡Iu tmdonc'\, sino tallllnPII p.lr.1 .I~ ud, r .1 lo l tmlt.llltt I ell lill~lIir (,Iltn' lo dh,'!"~o lipo dI' \t lor<.' fJlU 11111'(1,11 ('IU~lIItr.lr 111

\ Í1tlld c\<.' qlle 110 hahía inlC'll('1 )JI dI' t olon'.lr por mpl. lo (' 11' te lo

c'lI 1111 ('apitlllo d.ldo (' lililí/Al I I 1111 1110 (1)lor r Ir.1 n'pn' {,lIt.lr d nI! 111<1 tipo el,> ,,.dor Por "jc'lIlpl .. ,1 lo Ilrgo c!,,1 loUlo dc' l' 1 tlC.1 ¡ 1 ro jn 't" lililí/a C'II forma o>,dllSl' ,1 p.lm rt'pn'sl'lIl.11 rlll'rn \ l.Irt' HlIlll

tras 'JlIO' lo \( dor," dI' po IUÓII " 11111" II.UI ('11 .I:lul \ 1.1 clIIIH 11 1'111<

1'11 lIegro , E Ic, \1I,'hf' III.JS f.ol p.11'a los l' 11111..1111('\ 1.1 Id'·HIIf¡¡.ICll1'

dI' las r" '1'/.1> '111" <1('11"1:111 ohll' IUlJ p.1I1kul.l o 1I11 <:11"'11° rí"Ic!O tI el. ) Le Cllll1pr .. n í,íll d(' 1" prohlllll 1\ r('\ll/'lto \ dI utro ('Jllllpl, l' pordllll,ldos ,'11 ellihro EII I ),/f(f11lila p<1I.1lo (.ll'fllllo d, c 111 111 1 ,! rojo SI' II\il di' 11111'\1) P'Ir:1 (ut' í"Al!> , IMn'\, .I\í ('(lino para hwrl. L' (1 tl~a, El rolJO t.llllllil>1I s,' lililí/Al P.lnlll'IHe' C'III.tr IlIlplll,o \ (.lIIhd.lll, d,' lllll\íllli"1I111 ,'11 'TU,1I101l" el (b.lgr.llII.ls de IIII:r1'O bbro 1111' nlr 'JlIO' 1'1 \prd,' C" IIlilizildo par.1 ",loC!d ,,1,,\ ) d .I/ul ('11 .lt Il·r. tlt 111

EII lo, dos ('upíllllo\ d .. CIIH'III,ílH'a doude 1111 1 ill\"lm r 11 1I1g1 111 1 fll' r /.<1, ,,, 11\;111 il/l¡]. ,,'rd,', rojo , n' p('('II\<l11I1 IItl'. p.lr,1 IIIdll, r d, pl,u 1

1I1i.'ntc" \,.I'l('icl,lcI.'s,' D .. ,.].'I,II'IOIII'S

S antlc e, n forma con I nt un u d e tre I s Un! des del SI y a Uf d I I

I lid" a J..:¡ It 'lIdl 11('1.' qUI I xlsI,~ ,'11 1.1 .lelll.llld,1(1 (' 11 (1 'Ollll ni"

t n,l ('\1. dlj\lllldlll~f ~ dI adopt.lr el "1 t, 111.1 rllle ni lu"ull tI( (11 I11dl(¡'~ 111{olnc.lS ~rl 1.1 Illlld.cd, .,1 CfIlC 11 11 ,,1/1 1Ill\ ,r En l't I (TI IIH 1 illit ,1 ~( IItI rodu{'l 11 I 11 ( 1 (. JI 11110 J (1lI11, 11 11 I

lihrn \l'rfJ Ihl,ld,IIT1lIl!' 1, 1111 ,11) dI lo probl, 1111 n 11 It 11111

HI,IÚlll'lo~probltllhl dlt,n 'f 1[l111I1t ... I" 111 t lit" ,1

I

I I '1 ,n 'B 1 llrud IU' dI" 11 o lO

foque el qu qwenes como

de unidades de uní­

Como el sis­la longitud Y la

el la la lOIución de

J lo

boduccl6n que la que se describe y aplicaciooes en la vos lineamientos del caplhdo previa de los temas que

Lecciones en al El cuerpo del texto unidades, cada una de las cual consiste en una o mú teoría, uno o varios problemas resueltos, una blemas de tarea Cada unidad coliesponde a un tema bien que, por lo general, puede r cubierto en una lección, embargo en ciertos casos el profesor enrontranl que deseable dedicar de una lección a un tema en particular,

Problemas resueltos. Los problemas rPSueltos de manera muy similar a la que u, ar.in In t'studiante re ueh'lll lo pmblemas que se le a.~ignen, Pnr lo tanto, esto pmblem cum­plen el dohl(' pmpó Un de ampliar ('1 tf'xtn y demostrar la forma de tra­bajo clara y ordenada que los estudiantt's deben ('ultivar en soludnDl's,

Resolución de problemas en forma independiente, Elltn'lo prohlt'mas resueltos y los dt' tarea, cada 1t'l'CiólI illclu~e ulla S('("(:iólI h­

hIlada Resll/uciólI de lIrobll'I/l(l.,~ ,'11 f"mu¡ illdt71l'IIdú lit.', El prop'~sll() de estas secciones t's a~"dar a lo e' tudiaulf's 11 organizar 1II('III,t1mclI­

t(' la l('olÍa \11 cubierta ('n ('1 texto \ m{otodos d" n oluci(1II ell' lo • •

prohlt'mas rt·sudtos. de mallera que' pUl'dall n'soher ('011 lIIa\lIr é ito los prohlelllas dI' lan'a, Adelllá.s. 1'11 I'sla.s St'l'('iOlll's lalllhil~n St' IIldll­)'1'11 slIgl'n'n('Í¡LS y I'slrah' ri:lS I·sl)(·cjflca.s Ijlll' Il's I)('nnilinin I'nlrl'lllar dI' marll'ra 1II:l\ 1·f1dl·lIlt· ('lIal'llIil'r prohlema ,Isigllado,

Series de problemas de tarea, La rlla~lIrfa d,' los prohlt'rll.~ SOIl di' lIa! 11 mil '''1 pníd im \ d!'hl'lI lIalllar la .11t '1Il'Í{1II d!'1 ('sllllli.mll' dI ill!.!;,'nit'rfa, Sill "IIIJ,argo, I'~t¡ín di ('fiados para ilmlrar el m.tI,'rí.11 pn'S( JI­

tado 1'11,,1 I,'xlo \ il\lldar .1 los ,'SllIdialll,'s.1 {,(lIllllrl'Jld"r los príJldllll~ ,It, • • 1 la Ull'(~íui(~l, Los prohl"IIl:l\ (' hall aJ.tntpado di' UCUI·rt! .. ('Oll .L\ 11;1r1' d"llIIal"IÍal tpll' i1llstrall) "'1m' ,'nl.m "1101111'11 d,' diflclllt.1I1 1'f('(1,'nll' Los prohl"JJ1¡LS 'PII' rt"pli"n'Jl ult'lll'i,')Jl "SI)I'(i.lI,'slaJl \('jl,II,ldo 1ll1'(It.Ul !t, :LSIt'ri, ('(IS, Al Hual d"IIt'\11I s,' prtlpllr('itlll,m h, n-splll'sl.1 ('om"I"m di"IIIt's a llll 70 pllr d"III0 di' los prtlhl"lIlas propuestll" \ .H/lldlo, p.l­ra los ('lIal"s uo ,,' da n"lltlt'~la s,, iJldieau ,'u ,,1 lihro l''1Tihll'lldo u . '

1I1JIIH'rO PII ("lIrSlvas.

Repaso y resumen del capItulo, (:.lIla capítlllo f'lu.IIi/,1 1"'>1III~ n'paso)' '1l1 n'SIlIIl"U d,·1 lllillt'riall'llhi,'!1o (,Jl ,,1 mismo, l.lS llul.l "

'1' I 1 l' I ,'z:ar Sil Ir.l!>.I)O (" Illar!.!;I'U SI' llll l/mi para ;1)111 ar ji ,'sIn, tal! l' .1 org,lIl1 1 rt'visi,íll , adl'lll¡ís SI' hall illclllido n-f"f('fI('las erll/AIII.IS par.lu\udarlo • "ll('Olllrar las part"s d,' IIlal"ri.d '111(' ft'qlli(>ft'lI .1!"1Il1ÓU' 1)1"1.11

Problemas de repaso, Al rmal di cada ('3p(11I11I I IIlc!UH 1111 ~nl po de probll'1lHLS de f( P,l o, I',slo pro"I, '11l~ propllflllJll.lJl lo ( tudiautl's lIua Opc)rtullid.ltl .ltlll'lOU,11 di' ¡¡pltl,.lr lo l,JIl(I'I'11l mol 1111 port.mtl' preselllados ('u , I C:ll'ft 1110

Lista d símbolos

('(,I('raclón ( ollSt.lllh'· r,t<lio' distanda' ('J'e scmimavor dI' la plil)SP • I • J

('( '''ración d(,1 ('('lItro d(' masa ('C·I('ra('IÓIl de B n·lativa al sish'ma de refert'lIda ('n tnL~laci{m con A

('(,I('radón d" P relativa al sistema de reft'rencia t'n rotad6n ~ ('('I('ración de' Coriolis

B ( R('¡K'('ion(' pn soport('S y l'Onexiones ( Punto

\ rt'a

ndlO; di tanda: ('j(' St'mimenor de la elipse Con tantt'; ('()('ficil'nt(' de amortiguamiento visroso

( C ntroide; centro in tantán('() de rotación: capacitancia

1:

centro de masa; constante de g¡avitación Ulgular por unitaria Ulgular alrededor del punto O cambio de la de movimiento Ulgular con respecto a un

de orientaci1Sn fija de la cantidad de mOYimi Dto Ulgu1ar con aun

lo .... G%yz.

-

p

• u U

V \ w W

x 1) Z , , ,

x 1) , -- - -x IJ -

Q' a a f3, 'Y

'Y 5 e A

TI (J

¡.t

P T

T" .p .p

t/J W (d

(')1

,,, U

Trabajo ek-;dad

Rapidez elocidad del centro de elocidad de B al sistema de

dePrelativaal de vec.'torial

olumen; potencial Caiga por de longitud Peso' •

Derivadas temporales de las % fJ ~ Coordenadas rectangulares del cenboide. centro o cesobo de ~celeración angular Angulos Peso especifico Elongación Excentricidad de sección cónica o de órbita Vector unitario a lo largo de una línea Eficiencia Coordenada angular; ángulo euleriano; ángulo; polar Coeficiente de fricción Densidad; radio de curvatura Periodo Periodo de vibración libre Ángulo de fricción; án~III() l'uleriano; ángulo de fase; ángulo Diferencia dl' fase • Angulo euleriano Velocidad angular Frecuencia circular de ~iur,ld611 lorJ'.ad.1 Frpcul'lI('ia dn'lIJar 1I.ltllral Velocidad .Inglllar dd '1 tI 1111 di' n fl tI r1C I I

b ,

I

...... u ..

C.optidere la partÍ<:ula que se lJIueve en IIna '''pon. que e lá definida por la ocuacióu

donde t exprpsa en st'~lJldo y r en metros. La velocidad de ., .. (.'Ualquier tiempo t se ohli('ne al diferenciar r con respecto a t

I = é. = 121 - 3t:Z dt

La oc't'I('r,K1ón ti se ol>li('II(' al difen'nciar otra \ ez con respel.1:o a t:

ti = dt = 12 - 6t di

La ('oordt'nad,1 de la posición, la \elocidad )' la a(''eleraci6n se han ~ralk-ado (.'onlra t en la figura 11.6. L:c ('urvas obtenidas se cono­('t'n l'Omo ('un a, l/t· I/lOtlm;('/Ilu, R('eu~rde e. n embargo, que la partít-ula no (' mu('\{' a lo lar~o de ninguna de e tas ('urvas; la par_ tf( ula e mu('\(' ('fl una Irllt'a n'da. Pue to que la derivada de una fun('16n Ilude la 1)('lIdi('"le de la eun a l'Orr(' pondiente. la pendiente dt la (.'una r-I ('11 ('ualquit'r li('mpo dado e igual al valor de v en

tll'mpo) la pt'ndi('nt(' dl' la ('un a r-I e igual al valor de a. Puesto qU(' a O en I = 2 s. la pt'ndil'nll' de la eun'a ('-1 debe er cero en t 2; la \e1ocidad alcanza UII máximo en e te instante. Además.

que t - O ('n t = O \' I =.. la tangl'lIte a la cun'a r-' debe r honwntal para ambo de ,alore de t.

n muestra puedta

de las tn' ('unal de lIIo\;miento de la figura 11.6 1 tnO\;mi nto de la partíeula de de I = O hasta , = ce en cuatro etapas:

l . La partfcula inicia el origen, r = O, in velocidad pero con una aceleración positiva. Bajo esta aceleración, gana

positiva . mueve en la dirección positiva. De t = O t - 2 ,r, v. Q son todas positivas.

'-2 la valor .áhno, De, = 2

cero; la Iocidad ha a , = 4 v positiva.

aún m en dirección la partícula está

, - la Iocidad cero; la coordenada de la posicIt1e valor múimo. partir de ahí. tanto.,

la partícula con

t mI)

10

~m)

L--- I " JO 111/

I------.l ti I I 111

Yo= +20m

( "" a \1 In .. dad lit "'po

:3.28 t() t ,

" , '<" ,

---------

RESUELTO 11.2 Una pelota se laMa con una velocidad de 10 mis dirigida verticalmente arriba desde IIDa ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe la leración de la pelota es constante e i~al a 9.1H m/s

2 hacia abajo,

a) la velocidad v y la elevación '1 de la pelota sobre el suelo en po t, b) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor de t, e) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la pondiente. Dibuje las curvas v-I Y '1-1.

SOLUCiÓN

a) Velocidad ~ de, aci{m. El eje '1 <¡U e mide la coordenada de la po­sición (o elevación) se elige con su origcn O sobf(' el suelo y su sentido po­sitivo hacia arriba. El valor de la aceleracilÍn y los valores iniciales de v y !I son romo se indica. Al sustituir a en a = dt'/ di Y observar que en t = O, Vo = + 10 mis, se tiene

dv ., .::.:::. = a = -9.81 m/s­di

J' dv = _J' 9.81 dt ' " = 10 o "

[vl~1I = -[9.1Htl~)

v-lO = -9.811

r = IO - ~J'ill (1) •

Al sustituir ven v = d'1/dt y observar que en t = O, Yo = 20 m, se tiene

1ft = v = 10 - 9.8lt

r d'1 = f (10 - 9.8lt) dt Yo= 20 11

[y l~o = [lOt - 4.905t21~ Y - 20 = IOt - 4.905t2

Y = :20 + 101 - -UJ05t2 (2) ..

b) Múbna ele ación. Cuando la pelota alc-anza su máxima eleva­ci6n, le tiene v = O. Al sustituir en (1), se obtiene

10 - 9.8lt = O

sustituir t == 1.019 s en (2), se tiene

1= 1.019

y = 20 + 10(1.019) - 4.905(1.019)2 '1 = 25.1 m

H ~. golpea el suelo. Cuando la pelota golpea el __ , - O. Al sustituir en (2), se obtiene

í~- =0 t = -1.243 s y 1-+3.28

a un tiempo después de que este valor de t en (1), se

... -22.2 mis v

PROBLEMA RESUELTO 11.3

I 1 11. .1111 11 o d.· frC'Jlo '111(' l1~a p.ml n ducir el retnKI'\I) ell ciprtos tiplls

dI' , ilion, . C'scnc i;t!1I11 nll' en 1111 ~Illholo Ullido a un (~lI-J(íll '1'11' ~.' mll{ \, {JI \111 ulllldro filO lleno d.> .K'(.'it" (_l1ando Pll'uii';1I rdnK,,'d .. COIl IIl1a

\ 1.,( u 1.111 1I1It"Í.11 1 l. "II~lIlh()l() s<, mUCH') j·1 a('Pite es ¡'orLado a

de lo que I 11111' I •

la po.tfcfón. la velocidod o la .......,. En cada problema, es impor­

(por lo romÚD t o x) y qué es lo que ::; o como una función de x). Se reco-

la informaci6n dada romo un enun-

Como se explicó en la secci6n a t son respectivamente igua­

[ec.uaciones (11.1) y (11.2)]. Si la la partícula puede llegar al reposo

[problema 11.1]. Así, cuando se partfcuIa. se debe deteJ lIIinar primero si

de Al ronstruir 11.1 que la posici6n y la velo-

(o = Om .... V = O. etc.), se contará ron

41(,) dada. La solución de problemas de ele la 11.3. alas rondicio-

Inferlcnes de las integrales en t y v, c: D'I'IO e ido (por ejemplo, t = t 1> V = Vi).

chcoMdda (por ejemplo, la coos­al sustituir un ronjunto

a G(t).

I

I I 11 ..... '101 nlo de- un partk,da drRnido por la t dundt' t t"n metnlS I nnlll Q I moml"nlu n I (fllt' la cero b) la II I 1(' L.J (It> I partK:UIa n lnonlt'nto.

I I III,J\ IIlIIt nlu d partlt: lila I d ROldo por la relación t t _ t1umlt ~ t t prt sall "met rtJ5 segundos,

I nlllllt a e J 111011 nlu " I 'fllt> J¡¡ ro, b la I 1,. lad dt La parti ,tll t n t 111011 1110

I J 11 J\ IIUf 1110 de una partícula definido por la relación ít t ~ _ t n

I 11 I I nnlllt J¡¡ la \ kx.,dad la dr la par-11 Jo t

1 1 ~ I 1110\1

,.., l~

lit .1 11 "do t

I nI I :iólI de la

11 t I 1110\ IIUt nto la

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J¡¡ po5J :i6n

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11 7 E I lt1O\ mie'nto una particuIa t 9t

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1 , 8 movimiento t

111

la

614

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Figura Pl1.l0 y Pll.ll

- t ·1

Figura P1U6 y Pll.17

11

, Figura Pll.18 Y Pll.19

11 10 I~ •. Kt·l .. m(·ióll d, 1 plllltO ,\ s .. d!'lilll' 1I1 .. <líant!' 1.1 r"lad<>n a '" 5.4 s¡·n kt donde f/ ) t St' t'~pn'~all ell ft/sz \ Sl'glllldos. rvspt't·tivallll:ntl" \

J" '3 rmL's. "1 r = 0\ I - I ~ n/s ClIalldo 1 ~ D, dl"t¡'f1111111' la \l"lo{'luau V l •• pOSlt161l del¡lIlJ1to , \ t1HlIIdo 1 (l.;, s.

11 .11 1M' a,d,·.~lt'i{," d,·1 pllllto , \ st' d!'fllll' IIl('díant," la n,lat'ic',,, (/ ~ l21 sen kl 1.32 l'!'S kt, dOlldl' (/ vi st' l',¡m'san 1'11 Itls~ y Sl'glll"¡O" res-

pldhafllf'lIk y k 3 m,lIs. COII x '- O ., I~ ft \ !' = LO') ftls CII~lIldo 1 '" !l. dd(nnÍlII' Lt \"Io!'idad \ la po"u{", d,,1 plinto , \ clIando 1 - O .. ') S.

11 .12 1 ... a('t·I"I'lI{'itíll di' IIl1a partí('lIla I'S directallwllte proporciollal ,11 li"IIIPO l. Cllalldo 1 - O 1,1 \( lo('idad d" la partícllla I'S de -lOO IIIl11/s. Si 1

170 IIll1lf, \.~ .-¡OO 111111 ('lIalldo 1 - I s. ddl'nnin(' la \ ('Ioeidad, la po-Sil 11'11.) la thst,lIl! 1,1 total I'!'{'ornda (,lI,mdo 1 = -; S.

11 .13 I.a a('tI"'~I{'i(íll dI' IIl1a partÍt'lIla está dpfinida por la rt,lacicín a"" 0.1;' IIJ,~ "i T - 10.11 ('lIalldo 1 0\( - -O 15 IIIls cllando t =:2 s, r\e­tPfI.Jin{' la \,'Inudad , la p",it'í(m \ la di,tant'Ía total recorrida cllando t = 5 s.

11. 14 I.a lll·t,I,'.~.ci('III dI' 1111;. partítll\;¡ ",t:1 d,'lInida por la r(,laeión 11 ~ fJ ~Il. IMI partíelda illícia ,'n t = O con I = () >' x = 5 111. Determine 11) el tll'lIIpO "11 '1''' Lt \I'IOClllad es dI' 1I11"\'() c,'ro. /¡) la posición ~ la \'elocidad ('II,l1Id" lis, c'l la distallua total recorrida por la partí('lIla d('sde t = O \¡,lst,1 ti,

11.15 La .lt~'Il'raci(íll dI' 1l11a partícllla t'stí ddlI1lda por la rplaciónll = kl l

. al ,,¡ l' - 10 1Il1~ ('lIalld() t =- {J \ ( = lO mIs cllando t = :2 s. deter-•

IIlIU{' 1.1 coustallt" k. /¡) Escriha las I'Cllat'Íoues de mo\;mit'uto. con x = () (·u.mll" t ~ ::! s .

•

11 .16 El pllUto , \ oscila COUllll,1 a('('I(Oración 11 = -lO - l50x. dontlea ~ x SI' "'pl'l'sau l'U llI (s~) IlIdros , l"l'sp('di\~\I1It:'lltt'. La magnitud de la \'plo­¡¡d"d 1" dI' O.;, lIl ís ('uando x - OA m, \)!'t('rmiuc' 11 ) la \ 'e locidad m<hima de 1\, 1, \ I.IS dos I'osit'ioul's l'U <¡lit' la \t'lot'Ídad de A es cero.

11 .17 El pllUto , \ oscila mn IIU.I .(('elt'raci<Ín a = lOO, 0.1.5 - xl. dondl' )

ti \ 1 SI' 1"pn'S<lu l'U m 's· \ IIll'lroS. rt'specti\'iunente. Si el sistema inicia l'!l ,,1 til'IIIPO t O ('on (, :c () \ X '" 0.2 111. dt'tt'nnine la posición y la velocidad dI' . \ clI,llldo t = 0.2 s.

11.18 La aCl'll'rat'ÍlÍn ,\(01 punto A SI' ddlnt' mecliantt' la rt'iación ti = hO(),{ I + h~·. doudl' (/ \. X se l"pn'sall l'n ftls~ ~ pies. respecti\'an)('ntl', y k I'S (,(lIlst,lIltl'. Si la \t'locidad dI' , \ I'S de 7.,5 ftls cuando x = O V de 15 lb l'lIaudo.r = OA.') n. dd('f1llillt, ('1 \ 'alor dt' k. '

11.19 La aceleración del punto , \ se deflnp mediante la rl'laci¡\nll '" SOO, + :3 ~tJ()X', donlll' (/ y x SI' (',[m'san (·n ftls~ y pies. res[l!'cti\allll'llte. Si la \('Iocidad dI' A I'S dl' I () ftl.s ) r = O ('liando t = O. determilll' la \t.locidad \. la posici<'>n dI' . \ clIando t = 0.0,,) s.

11.20 La aCl'll'r'lt'itín dI' IIna l'aliícllla se dl'lIne por lIIedio d(' la rela­d,'m ti =O. 12x -. ::!S. dondl' 11 \'.r SI' 1"prl's:lI1 l'n III¡S~ y nlt'tros. rl'sl't'dÍ\'a­ml'ut". s. r = S IIl/s ("lIaudo.r == O. dl'tl'I'IUllH' ul 1,1 \,lIor lIláxilllO dI' x. bl la \docidad ('lIamlo la paliÍl'lIla ha n't'llrlido 1I1la distallt'ia total dI' 3 111.

, 1 I •• "tuh dt 1111 p IrtÍl:UIa ,. ddúlt .II,·dialll' la n L",,,'>II dOlltl, k l {fJll I;Uli< '11 l •• \. 10< Id.ld d, 1..1 I'"rlielll" PS I "

111 lo 111 la p..rtícula tl'l('da ell r('j)('S" ~'Il el urj", 11 d,., 1 11'1 lit 1.. " 1.1 \. I(lltd.ld d, la p.lrtkub cllalld" x -'"' -2 111.

1 2 1 Irtlf ,I! \ ti SJlI \{·I,/(.'"Lld 1I1It·lal. h .lcel .. raeiúll (j¡ 1111 allt" . I ti, IlImla JI"" l., rt 1.1< 1611 (( (¡.~ 11 ()fK .7., d,,"d(, (/ \'.t ". (." •

I h If~ \ '11' In", n SJ>I (1I\.III1l'IIIl' 1Jt.1l'f1l1illl· la Jl"slciúlI del allto • 11ft f '111 1" L ,;(1 lid,

1 23 '.1111. 1I m0611 d. IIIIcI 1"IIIÍ<'ul.l ". dl,IIIII' IIH'dialll,' la n.lacitÍlI

(J l' dOlld, ti" "xIII,·s., ,'11 11,1101,·) I '1' IIII1V,. Si ella"do I = (J la oud Id t dt j') 111111/' d,'l. '1Int'll ti) L. dist,III'·I.1 'IUI' rc"ellrr"f,i 1.1 partícula

u I d Ifllt d Ir ,'11 ro p"so. h ,1 IIr'IIIJlO /I"ll[cndll para '1"" la \"I'K:,dad dI" 111 Irtllull SI ft elIIZI., 1111110 poc d"lIto d" Sil \,tI"r illil;lal.

112 1 ... In l. 1.ld '" dt·UII.IIJ,lIilllll., ,'sl.í d,.flllid.1 p"r la n·laciríll (/ = , /... .Ioml. l/ \t l' pn S,I , '1 IIJs ~ , 111 lIIf~, IAI parlÍt"ILt illi"lit ('1\ X - (J

HUI 1111.1 \1 11>lld.a,f dt !J In/s \ (lIanelo t 1.1 1fI" "!.,,n ,1 '11It' J.¡ \ C'locidad I d. i IIV' J )d"m 111(' 1.1 dl~I.III{,I.1 '111(' n'('(l/r'>lfI I.t p,trlí"IILt (/) au!!'s d(' '11It '1 \ IC/(·Id.ld ti ~IIIIJll\.111 J 111/' ¡,) ,11111" d,· '1III'd .. r 1'11 n'poso.

11.25 I Al, "·"·I.IU 111 de lIl1,l pa,1it'ula '" ddllll IJlI·diallll' la n·lat'ÍólI 1, h, dO'ul. k, comlillllt'.:-i T () ) 1 :2:; fl/s <'11 I = (J. ~ t :... 12 t (1I,\IId" l h n. dt 1('1"11111" al I.J ",IDud, .. 1 el,· 1.1 partielll .. 1'1\ x = .., n

¡, • I 111 IIlpO 1I«llIt'ndo pal" qUé' 1.1 p.1I lit lila <ju"II" ('11 n·poso.

11.26 \ pJlllr d, T () ~III \, lodd .. d ¡lIi. I.d, IIlIa partí(,lIla fl'l'ibl'lIl1a I II r: .. IOIIII OS\ t' \9 dOlldt'{f \ 1 ,,' l'xl)!t",lII ,'Il n/s2 \' n/s, fes-

• • 1" 11\.IIIIl'IIII· I )l'It'nnilll al 1.1 poslei(,1I d,' l., parlil'ul.1 ('u,llldo [ - 24 ftls, 1, 1,1 \l1 .. ,,<I.1C1 d. 11 (l.lrlí. ul., l'II,Uulo.l -\tl n.

11.27 II Ion (J

'11. lI\t. \ k , \ ' O ~I 1

IAI dt,.·I('IIIl'I(;1I dI 1.1 ('01'1".1,,1',' I '" .11'11111' por llIl'dill d,' la 1\"

!!.J.. \ 1..' 1 '. d'JlItI, t1 \ 1 '" "'1",",111 ,'11 !'ti,l!)' f'tls. fl"p,'di\a-1'Ü', \'111\' El ,,'1,',"., "",'1;0 ,'" ,'f 1"'1111)11 I - () ("011 r \.."í n

I ;:! n "11.111110 I n2, d,'I, IIl1ill" ,,1 \.tlm .1" k.

11 28 1.,1.1\"( 1""11'1('11 d,' 1.1 l'oOT,'d,'m , \" d,'l1m' Illl'dianll' la relat'itÍl1 (/ 2\ I • 11"11111' a ) 1 st', 'PIt',.1I1 1'11 rllS') n s n'sp,'di\~III1"lltt' El

1 IpIIl.! 111111.11'11 el 11(,'Jlp" I tl 1'011 \ l.;; n \ I - !l . ])l'Il'rlllllll' la po·

1( 1111 de I ('11:.111(\" a, IUi n s J,\ la l''''ll'iou .1,' , 1 ('lIalldo I = (J.:) s.

11 29 \ p.1I111 dI' T tl "11 \(·1 .... 111.1.1 illinal,Ia:!!:·"I"filt·ltÍl1 de Ul1 aulo tll r 10l r ,'tI dI 11m l., pOI' la ,,'Lolioll ( 1.>1 \ 1 ,,1"""'" doude [ )

!I( prt ,111 l'" '11 \ 1111'1111' n·'I'l','ll\dllll·IIlt'. [)I'l,'nllllll' la I'tlsll'ilÍn \ la

tri 1111 d, I ,mio dI (,In" LS "II,lIl1ltlll) r ~(l 111·\,1» ( -" ,10 mI,.

11 O «(lH \.\, 111 obs, n,U'inlll" Lo \ \,I""ld,,,1 dI' 1111 ,Illela ['m'd .. I 11 ItI IIIt ti 1111\ 1.1 r. I.I( 1'"\ I 7.0 I (l () h )" l. d"ml.· (' ~ .\ st' 1"

I I '1 1", 11 \ k'l IIldlll rt"Il({'lI\,IIIItIlIt' SI \ () "lIalldo I . O. d,'-n , • "di I III 11 .1'11 hl n·( .... ntl .. 1,1 .lllda 1'11.11"1../ 1 h. f¡) Lo al~'-

• ,111 111 I I II " 11l.lIIdo I o. ( ,-1111'1111'" "',!",'nd" 1',\,.,1 <]111' ,,1 I In ( kili

Problem, 615

A

~I.-------x------~, I Figura P" .27 Y P11.28

Figura P11.29

(

Figura P11 .30

616

1

I I I I I ,

Figura PI',3'

l'

I I I I I I I I

Figura PI',32

,

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I

•

"

11,37 La .I .. ..J' 'r.lción, "ehid:, ¡I la gr:t\f ,dad .1" Urla p; lltíellla ,¡ Uf;' C:aiga h.l<1II.1 IlI'rra l'S u g/1'¡'J., do,,,l, ,., s la di,tanda d, ' d,' ,,1 ~'(,lI/m d!;' la lierm Itasta la partfu,b, /1, ,·1 r.tlho t,'lT' tn' \ !!'~ la ,lc,.I,'ra('IOJl tle.1a gra­\Pd.ld PII l., sllp"rfi'1e to-rrpsln Si H - .l H()() IIU, dt:t('rJO~"l' la 1 clv'1dad de '\(Upc. ('sto es. la Vl'lo(,d,ul mílllllla ,~JI' la (,11,,1 IIl1a partlcllla d .. he proye<:_ t.lf\f' hau.! arnha d, dI' la '"Ilf'rtit'Í" lerr,'stn' para 110 r,'grpsar a la Tierra. (Sil;':' nl/df/: l - O para r' 00 I

11,32 1.1 ,1('"I"Llt'Í,íu d"hida.l la gran'dad a lIua illtura IJ sohrt' la ~ll-1,,·¡fi'· 11' d, ' 1.1 ' JI"I ... a p,lt'd, (-\pn-sar,,' COIIIO

dOlld, · (/ \ !J 'L' "xprpS;11l 1'11 I'tI,l)' pi,'.,. n·sp,·ctl\amentc: C'tílic:e esta ('\pre­SII'.II p.lra '~Ik-IIJ.¡r 1,1 ;tltma '1"" alt-au/.a '"1 pro}l'ctil lanzado \ 'e rtic:almente h'I"la ,lrIi h ,1 d".,d, la '"Ilt'rlkil' tern"tn,.,i '" \ elocid,ld inicial!;'s (/) l = 2.jOO rlls !J 1 - I O(H) n i'.,. e' , .. ' 10 (lOO I'tls,

11 33 1. 1 \ ,'lo"ldad di' lUla ('o l ..... d('ra SI' d"f¡JI(' ,nediantp la relaci.ín t: l' ,,'11 /<),,1 + lb ) Si la \,'lu .. id,ld) 1.1 posicir'ln de la correclera ,'11 1 = O Sl' d'·III.I,1 l't'" lo) Xu, n,.,p"cti\,lIlll'lIt,',) "ahit'mlo 'lile el desphv~lInit'lItu 1 lI:l\I 1110 .1" la "1l/Tl'd"I~les 2.\'0, IIlm,.,tn' '1"t' fI ) ti = ( t:,~ + xgw~)/2.r,,w,,, b¡ el "do!' 1I1;Í\illlt. di ' la ",Iot'idad ')("lIrn' ('ualldo X = .1',,[:3 - (ro/xow .. fl/ ~.

11.34 La \(,I,)(.·idad d,' IUI,1 pa'iícula l'~ l = loO - sen l7rt/ T: Si la p,u1iud,1 p,lIil' dl'sdl' 1,1 orie;I'1l COIl lUla \(,locid,ld II1lcial ro, uetennín(' a su !'<)s¡eilíll ~ "1 .1l'l'll'ral'Í,íll"1I1 _. 3'1', f¡ ) 'u \plo(:Í,lad promedio durante el iu-1,'1,\ ,110 dI' 1 -- () .1 1 T,

---------------------11,4, MOVIMIENTO RECTILíNEO UNIFORME

EllllmiuJil'lIlo !'l't'lilílll'O unil(lfIlll' l'~ un tipo de mO\imiento en línea

n'da lillt' a UH'llUdo se l'IK'U"lItra ,'n las aplicaciones pnícticas. En este 111m iUlil'UtO, la an,ll'ral'i<Í1I 11 d,' ulla [l<lIucula es cero para todo \'alor

dI' t , EUl'OIl\lTIII'JlcÍiI, la \l'lot'Ídad l e~ constante, \ la ecuaciónlll.ll \l' t r,llIsrOrtll<l l'lI

dI' di

=o l' = constante

•

La l'oonll'natla tll' posiei<Ín y se O!Jtil'llt' cuando se integra esta ecua­l'ioíll. Al d"lIotar IIll'diantl' Yo ,,1 \alor inicial de r, se escribe

.t = .to + r:t (11.5)

Esta l'I'U(l,'ilíll lluedl' utilizars,'"¡/,, si 1// 1 I I l ce ¡lcir 11/ dI' 111 /'flftíClI t/ ('(I",ta,,','.

18

,1 /1 -1 - -

-Figura 11.7

"l.luon.l .IX, t 1.1 l'Ul:Illlíl' ( 11'> .... Ia(¡olla" / .\ r {'lIa "plí('a('¡ (11 1 1111 port lit .. del JI IU\ 111 ",'11 t" 1111 i Ion JI" 11 11'11 ti' I[("pl, . rado ('5 ..t 1110\ ji 11 i, ·nlt. d( 1111 ('/1( '7 i () 'l/ca/ti" I¡JI/ 'C I.a al'l·I, ' ra("j,íll dI' 1111 ("''''1110 ,'11 ('aída li. 1m 11" 1.1111I('lIté' e1",,,,!:,,la 1I11 ',ballt, ..: ) ''s j~lI.d a U'> \ IItls

2 o 32.2 l"usl

F, IIIlportallt,· ... ·corelar '111" las tl.,.S "lllill"iol\l's illlt'·rjo ... ·~ p"<'d,u IItib"af"'¡1 sól" ("//(/1111" ~, ' ",Iu ' ,///1' 1" ",.,1"rlI('/,íl/ rI, ' /" /)(/rtín¡/" ''s ('(ll/~_ 1(/II1t" ~I 1.1 :[(""I"r,1< I<ill d,' la partícllla ('.S \aria!>It, . Sil IIImilllil'llt" s<' d, !J,. d, lt'rllllll:t/ a partir el" la, "('lIacioll"s IlIlIdallH'lItall's ( \\ \ , ¡, \ 1\ I ~,·~,íll 1", "I..todos s'llalad"" ('11 la SI 'Cl' i,ill 11.3.

11.6. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTíCULAS

( III11do '.tII.IS partí('IIlas ,1' 11111<'\"11 dI' IlIalll'ra ind"ll<'ndi('lIt" .1 lo I.lrgo d, ' la nllSllla lill< a . "s p",,!>I, "S( nbir ('clI¡lciones dI' IIlmimil'lIto 1I1<1"P"lIdil'lIt"s par.1 (';Ida partícllla '>ll'lnpn' '111(' s('a I~ldi!>k . (,1 tklll­p" d, ·I ... ,'gislr.II·" a partir d, ·1 nnSlllO instante inici.,1 para to,h~ LLs partí('III.IS. \ ,'~ IH'c",ario IIll'dir los dl'spla/alllil'ntCls desdl' el mismo ong"n \ , ' 11 Llllnslll.1 dll'l '('( 1<'111 EII otra, palabras . dehen IIsarse 1111 solo n lo,) 1111.1 \1 ,la cillta IIH"trie;!

MOVimiento relativo de dos partículas, COlIsld('n' dos paltí­('Id." I ~ H 'I'H' SI' III1H'\('1I a 1" I.lr~o dI' la IlIisllla líllea n'da ('¡gllra \1 i SI las (""I1'lI,,"adas d,' p",¡clt"ln .\', Y"/J SI' Inidell desde ellnislllo miglll la dilí'l'l'lIcí., X/I - .l, d('1I11l' la r""rr!cl/lldl/ dI ¡lo\lc/(;/1 /,('/lIlirll dI' H ('01/ ""'/IC'I'I/I {/ • I \ st· d!'lIota por 1I1(,dio d(' Xli , <;(' ('scrihe

.1'/1 ,- X¡¡ - .r, o

\)(' 111;IIH'nl ílldqWlldllllt,· d,' las [lOSI('lOIl('S d(' \ ~ B con respecto.JI Ol1g"II , 1111 Si\!;lIll positi\(, para X/l ,si\!;nilll'a C¡lIe B está a la de)'('cha dI' .1. \ 1111 S1\!;lIll 1Il'\!;,ili\o illdica C¡"" H sv VIICII('lItm a la izqll)('rda de.1

I..a mllill d,' ('<llllhio "ti I st' COII()(',' C0l110 la rl'/ocidad rc/"lilll elC' H ,'0/1 rn¡l/'C'/o {/. 1\ s,' dVllota por 1I1('(lio d(' l/J ,. \1 diferellciar (1 U¡:. "lO t .... l ... ilH·

1/1 , ( ' , o rH = r., + ['/J, ,

t ' 11 "~lIll "",iti,,) dI' lti ,si\!;lIillca 'lile 1/ //(Irlir dc.-I se O/¡S,TW I¡Ul' B Sl ' 111111' \' ,'11 din'ccilÍlI positi\'a; IIn si\!;lIo lIt'gati\'() indica. segúu se "h"'I'\,I. C¡II" {sta s,' 111111'\" ,'11 din'cciólI 1I('g,tti\a.

I..a I~I/lill d,' camhio dv (/i ,S(' l'OIlOl'(' C0l110 la I/celerol'ÍcÍ/I rc/,,'I­

tU d. H 0)/1 n"/ll'C'/o (f . I \ st' d"llota llIediant,· aH / l. Al difereillür

(\1 1 ()). ". ohtivlll'

(lH \ = tll., - (/ \ • (fu = 1/, + I/H /. ' o

Movimientos dependientes. AI\!;lIl1aS \ ('Ces. la posicilÍlI dI' UII;I partíclIla dqll'lIdl'nl d" la pOSll'i,íll d,' "tl~l o dv \ arias partículas. EIll',e

I \lhit'rt.llllH' C'I prodlldo th: lo., 'l1hindil-,', \ \ H/~ \ «PIl' '<' 1I' .. lt'l1l'!llIit'lllbro i/.'pll,'rd,' ,ll Ll\ ( ttadom's 11 ~H. "ti 10 1 \ \ 1I II ) t· ... 1~11.11 al 'lIhi .. du:t· H lItdlL.uln en t:!lI1ll'Tuhf\"'

di ll.1do 1/.'!UIt rdn

, I

, o

•

(1

, ,

I o

()

()

PROBLEMA RESUELTO 11.4 1 nd pdola L·!,11I7.<1 \"r1il'..II","!t. h'lCl,l "rrih" d,',d,' 1111" "lt\lm <1(, I:! 11\('lro~ {'Il ,1 pozo dO' 1111 c!.'\ac\or l'OIl \lila ,,'!o("it!at! illieia! tI(, 1'> I1I/S, EII l'llIlISlIlO IllsUllt, \l1l1·1.,\,,,!or d .. pbtafi>rlll" ,.I,il'rta pasa por "llIi\(,1 <1(, '5,fIl. III00i~n. dO\l hau;! ,ti nb .. ("" IIl1a \..!'K,¡<1"d eOIl,t,mtl' de :! m/s, D('(('nTUIH' 1/) (:lIan· d" , (\t.II,k golp,'a ,,1 .. 1t·"ldor, 1,) la \(,I'K'idad n,lati"a ti,· la pelota COII n's·

1)('d".tI, 1.,\.,,111, (',LuId" ,',1.1 lo ~(Jlpt'",

SOLUCiÓN lo ¡mil nto dI 1 p,lot,\, I'lIl'sto '1"1' la \)('Iota tiene IIna aceleración

(,()I1St.mlc'. Sil "'0\ illlit'lIt" ,', 1/11;«1/'111111/1'1/11' acelerado, \l colocar el origt'n de () d,,1 , )" !1 .1 111\('1 .11,1 slul,,: I'S dl'(:lr Sil (lirección positi\'a hacia arriba, ('IIC'ClTIll.III1OS '1"' la po"ei,'lII illicial I'S UO - + 12 In, la ,'e!ocidad inicial (:(). Ir,' pond( ", I t... • )~ 111/'. ~ la ,'Cl,!t-ral'i{¡n ('11"1\"le a (/ = -9,'>lm/s

2, SIIS·

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2

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[/ ~ +2 111 S

!lJ'-UlI+cf l U t = ,5 + :JI

(3)

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,·I"',I""!',

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(5)

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I = -0,:39 s \ I / ., ~(íl" 1" 1,líz I - a,().1 , l'OITl'Sptllllk, a U11 tielllpo después de que se ha inicia· .1 .. 1,1111II\'i11lil'lItll. \1 slIStituir l'sll' "dor en (4'. se obtiene

'/ E = .5 + :2(:3.6.5) = 12,30 m F • , , . ,

J _ .)\ ' '1

1.1 't'llIt'Ídad rt'I"tí\~1 tll' la pelota CDII rl'spel'to aldel'adar es

eH / = 1'« - [/' = ll~ - 9,Slt ) - 2 = 16 - 9'>11

( '1I,111dll la 1)('llIt" \!,oljwa all,I,'\ador l'l1 el til'mpa I = 3.65 S. Sl' til'lll'

, J 1 I

El si)!;111l 1ll'~alí\1l Si~l1í)ka'll1l' dl'sde l,ll'll'",dor Sl' obsl'l'\a qUl' la pt'lota SI' nllll'\(' ('11 ,,1 "'1I11l10 III'gall\" I \¡al'''1 aha),,).

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PROBLEMA RESUELTO 11.5

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po r tll'S po l, ·.IS ( f) \ L l""10 ~ ( ' 11,,11( " 1 1 ' ( ,. 1111 (',1 1 l' '1"" p;¡~a , • 11...-IS[)()P' lSC ' yF -

" 11 I.mlo '1'" . TI ( st.! Ulllcll 11111 ('(111 '11'1'1 ' l' " - ~" 111,1111"'1"'1) lijas . ' "'I',,·M·p·II · · ·· I ' .• (1,h" co ,, ~t • .III1 • d. :1 I II J~, 1'. 11 I {) .I . 11 . . 1.1( 1.1.1 ,alo ('011 ""a lele"

I 1 1 1 , 1 (O .Ir[" , \ ('llIllj(·/ . ' l '

, t MJO (I ·~ ( j ' , 1 j)O H'U 'H l J\. ("0111111'1 . • 1 . ~ .. l.l 1110\( r!\(' !tU' );l , .1(' 1'1.1( '1011 ('o"sl'tllll' . l ' . (,1,,1 '>1 se s,tI" , '1", , 1.1 \I ·I"C'ldacl d, ·1 ('111 .' \ l " ~ "" 1('I1('"ladll ll

1,11111 , I'S 2111/\" 1 t ,1 1'" 11 10 L. cI, ' lr> nlllll" , ,1 (':l lltl.i" (¡,. 1 .1. .• 1 (1I.1I1( <1 1 sl(' pa,,, por

1 ,11 '".1< 1011 , ",,·lo('ld 1 ' 1· .. 1 . ,

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, .1< ) .1.1(' ('r¡¡('ICJI) • • .l"ít por ~ .

SOLUCIÓN

lo Imi, 1110 eh Iltlll 1m \ S, , ~lllí.1 (·ll1ri""1I () ,l· l' . 1 I 1

. 1 ., (11 .1 sup!'r 1('1<' 11) · 117""" SIII" '1I01 \ s,> "lI r, 1.1 din '('( i,'JI) I)ositil ' 1 .. . l ·' , 1 . 1 ,<" • .1 I,I( 1.1 11 l.lJo .• ,(' 1) "('r\~ l (IU(' ( 11.11110 / () (1 ('oII.JrlII , \ ,'\1.1 "11 1.11)O\j('it'1I1 K, (l' • _. () l' t l ') j . .' . '" - . I(('S 1) (1',, ' 1, - 111 S \ , 1 (\ , )" 'i 111. . ('II¡¡lIdo el ('ollaríll (las" por l. , S(' ('scrillt'

, , /, (/, 'i. t '2t, ,1\, - (.1. 4 )'" 11112 = () + '2tI, (" )

1/, .- !) ill js~

1: 1 tll ' III(10 "11 ,,1 ('u .d ,,1 ('ollarín , \ ak' lIlu ' (,1 pllllto L SI' ohli( ' III ' al I'scrihir

/ , = 1/ ,!t, + 1/ ,/ 12 • () '1- f)f / = 1.:3.1:3 s

Imimil'lIlo dI' 1.1 pole.1 1). HI '('onlalldo (1'I<'!a din'cci(ill pmitil'a ('S h .l( i.1 "hajo , \1 ' ('snilll'

() I/)

C U;lIldo ,,1 ('ollaríll , \ 1Il't:a .1 l. , 1' 11 / = 1 131 s. '" ti('1I1'

1-:11 ('ollsl'tu"lIcia ,

1m 1II11( 1110 el. 1 hJO(11It n. Ila' <¡III' ohst'n~lr <¡II(' la IOIlt:itlld total d, 'l ('al,l, > , \( ' / )J~H dill,'n' dI ' la calltidad 11, + :21'" + XIJ ) s<ilo por IIl1a ('OIlS' 1,1I11!' 1'11I'\ to (1'11' 1.1 IOIl~itllll d,'l ('ahlt, ,'s t'ollslalllt' dllralltt' "IIlIOlilllil'lIlo, 1"t ,1 "¡¡lIlid,ul t.llllhi'~ 1I d.,IIt · 1lt'J'lllall.·(·t'r (,ollstallt" . D.· tal lIIodo, ('ollsidt"

I alldo 10\ til ' III)'''' I .= () ~ / 1.:1.1:'1 s. '" "'s(Tih!'

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I l · 1, /' 1 ( 1)1' lal IIl0do: I l,I'I.'·. '1 I 111 "... . II

¡\I dtli'n'lIl'Íar ( 1) dos l ·t'('t'S , St' Ilhlit'lIl'l1 "l'lIal'iollt'S <¡lit' n'lal'iol1al1 la.s 1,,10' ,'"lad,., I las al'l,l,>nlt'illllt,s dI' A, H , JJ :\1 SlIslitllir las n'locidad,'s , . an'l,' ,

• mt·iolll" .1, • . \ I f) ,'11 / = 1.:3:1:1 s, SI' lil'lIt'

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1/, +- ::!t1/1 + (//1 O: H + 2(0 ) + 1//1 - O • 11,< ~ - !) jll js~ I . I •

11 35 \ 1111..1 \ .I:?;on, ta se It pnwhan la i!(.'(,lerat,ón y lo, frenos, En 1" 1'01111 1'.1 pnteha d • acelt I'lluón en la ('all,'. tr.ll~(Im;Ú UIl twmpo de '>." par.! logrdr 1111 IflUt'IIWllto dl' wloud.ul dl'sdt JI) km/h ha,ta 100 km/h, En la pntth..l dI frl'lIo .1..1 \.I\!lJllI't .. rl(~lm611na dJ t.lIlci,\ Ul' +t m durante d freo n.ldo d. dt' lOO knilh hast.l tero, '> e III)()fIl'n \aloft' con,tantt- parn la U.f 1, r 1011 \ 1.1 c1"'i.ltdl.'I'lK,ó71 ddl rlllllle a b aeell'ración durallt(' la pri­IIll.td pnll 11;1 '!1 1.1 ("111". /J 1.1 de c.·I .. rauóll dUn:lntt' la pntE'ha de ere 1 os,

Figura P11,35 Y P11 ,36

11 36 en el 11Iobl('JIl 11 , - , dl tcnnim {/ 1.1 d •. t.lIIl'la rl'('omda du­r.lIIte 1.1 pntl h.1 d, d(,{'lll.l<"Íón en l.ll.llIl' /J I d herulX¡ tralht'lIrritlo tlmantr

I pnll h.1 dI' frellos

11 .37 l 11 .l\;(~1I ¡mel,1 'u d "pt'!!ue ('n , \ COII \docid.ld ()) .ll...Ieral'Íóll ('(111 t,UtIt a, "1 , 11lpll'),~1 .1 \01. l' (J, dl'spllés ('ti R \ la llí,tallt'la , \8 es dt _ 700 ft dl'teJ'Illllll' (/ b IC'II"I,I\'i6n (l. /J ) 1.1 \'t'locilLlll d,' liL"lwglll' lB

\ .------Figura P11 .37

11 .38 \1 1.1.1" dt' ,lIlt"plsLIS l11"nt.\i"",,, St' l'tl1)stnl\en ),;\I11I"t' de ,,­~1I11.t.1 11'.\r.II't'lIl1ltir 'p"'I,,s \I'hillll", 11111 frl'nos dd~'l'tllll'llS frenen dl n"I-111'1') "')!IIIH ( In tr.ll'I"l"II11i"11l "lIt .. a a IIlla ralllp') dI' 750 ft a \Ina alta \ek.d­<1,1<11" \ I ,'l','llt' 01ll t't 1'11 (i , l'Illl tks¡)l'l'll'ral'iúll l'll1lSt'l1ltt' antl's dl' 'lUI' su liq'ltl,,¿ s,' 1<'.111;'''1.1 r .. ,:2 '>lIp'lI)i"lldo la Il1lsma Iks<ln'l"racitÍll ,~ln,t'lIltt', .I1'1"IIIIII1"lJ\ ,-1 tlt'llll''' "dll'lollal rt''tlll'ndn para 'tlll' ,,1 tr'll'tt"II."1I11i,íll '1' dl~ h'll)¡.1 1,) 1.1 disLIll<'''1 ,Idll'ioll,tll"l'l>rrida por 1,1 tradI11\lllli611,

Figura P11,38

11 I 1 U/l' (. ,rreT.\ .1, . tOO m. UII .tll,>[;¡ .,epl/·ra d .. 'lIodo I!lIilc)J'JIJ(' II lo pnn 'ro 110111\ It"'gu tOITe., ~ .. lo('id,,,1 ('Ol!qulI\(' Si ,.lli('l!lpo

I par lo pnlflt"ros 1 (J 111 P d" ~,) s, <I .. I'·rllllll(· fl 11 a(;(.leraciólI, Id ul 110.11, r' d heJllpn (J' 'pIlO cOlJlpl, 1.1 la earn'ra.

1140 l n grupo d, " 11Il¡',IIJI .. ~ lall/'I 1111 ('oll( tI' a ('sC'ala ('11 din'C'ción :l l:Cm ¡,." '11 I()~ d,ll", JI glsll',ulos dl'!('fJllill.l1l /JlI{' la altitlld d('1 ('0_

It f .. .1, Zi'i IJI en 1,1 parl, filial d!'1 VI!!'lo, (;lIando a(lll tenía illJplllso, ,. lit, rTII:.I Ih s d"sl)l"~s '>i (·1 par;l<'aídas d" d('s('('lIso no pudo abrir \ (:1 ,h,', d, "'('nd,,; ,'JI' aída Idll'" llilsta ,,1 \1(('10 d('splI(:s dI' akanl.ar la altlJra

'1.1 11.1 \ Sllplll i"lId" 'PII' g :=... !J ,SI III / S:.!, dl'l(,I'IIIIII(' (/ ) la ,'clocidad ti del 1/ te /1111..11 d. / IlI"/O (,(JI I illlpll/S0, II I la altma III:l\illla akalll.aua,

1141 l n 1!1(1J(j(;,i/ , \ s.d,· d .. sd .. () ",I('"I('ra a ral.ón C'OJlstantp de , (,-, JII/s FIJ 1'0(,0 li"II'PO, \l' l'JI('I!"lIlra .tI aI1101,IÍ, B (pI<' SI' ¡]psplal.a (>11 la ti. ft'('('IOI I "p",'sl., j' ,,·lol'Ídad ('OIISl.lIJl" d .. ri III/S, ~i ,,1 alltohlís B pasa por el pJlJlIII () 20 S d"'JlI1'~' '1'11 ,,1,111111111(1' il , \ q]i,; d(' ahí, dd('f1níll(' cllándo I d'~lId, SI' ('IJCIIIIII ,JI Óll ,'sI", \"hicldo"

• f) - I

Figura P11,41

11.42 IAls alllolJ,,-)\il.·, , 1:- H \lajilIJ ,'JI carriles adyaceJltes de uJla l'a­rn 1"1',1) ,'111 {) lil'lJt'1J 1.1, pO'lcilJlll" \ \l·lol'Í(J.¡d('s (~I(' indil'a la flgllra Sí ,] IUlolJl!>\11 \ 111'11' .11'( 1, r.l( Jt-)J1 cOlI\talJll' dI' OJi mIs· " B tienl' una dt'sa­('('1, 1[11"('11 1'0",1.1111, d,> (j , ! IJII\'\ (klPflJlilH' (/ ) cli,ínc!o;' d6nde ,,\ ,tIl'anl.arJ ,¡ 11,/, J.I \ ('!"<:id.u] d., l,ld.1 .1IItOIlJl'I\l] ,'Il .·s.· mOJlI,'Jllo,

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Figura P11.42

11 43 I ~ JI 1I1Ia d¡'llIll.lda l'alTt'ra d., carros lirados por cah,Lllos, el ca­kili" :2 II'h,I',1 ,ti (ahall" I "JI 1,1 p1I1IlO , \ , dond .. las dos \('Iocídades son r~ = _1 IVs) , I :W ! ItI.. I~I cahallo I pas,) dnplil;' ,ti cahallo :2 ,'n e] punto B , l" 1I1d;1 .1 ).:.111.11 !a can .. ra ,'IJ ,,1 p1lnto e, a 1200 n de .\. Lm tiempos Ir.11l~('II' rlllllS di> ,1 .1 (' par,l 1'/ cahallo I y ,'!cahallo :2 ,on, rl'spl't'ti\·¡III1l'ntp. /1 h I f> , \' / ~ ::- (i:2,O s. ~I \l' slIJl0Jl('n a(, .. I..ral'iollt', lInílúrnH's para ambos (' h"II .. ~ "lJln' , \ \ (', dd"IJIiIJH' 1/) la distancia d,'sd.' . \ h'Lsta B. /)l la posí­l'1(,n d, I, ·;¡h.dl .. i ,'lJ ,,·Llt'161J COIJ .. 1 caballo :2 cuando .. 1 cahallo 1 alcanl.a la Irl1,.1 d,· "" 1,1 e,

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e H '~'~[---------~~---.----~y---~

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Figura P11.43

Problcr~ 6

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Figura P11.40

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Agur. P11 44

1 /, 1 11 • .1' 111111(j{lI. ti. hu go .utiflu.II, o;{ !anun du {oh, 'r

I 1 ( ,l •• I \, 1m/a {Oll Hluutl.uJ l"lu.ll. \ d {1l!t( le n I d, PU( l'tl II 1 I 111 (! Xlt! ,111 11I.tl I Jl do!> ("olwt< " l.lIl progr.lln.ldo p Irol l pi,) ir

IL IIlU. r.1 IlIultán. I .1 1111,1 .llIur,1 ti 210 It • uando .\ d, <;(Ieml< \ B • • u JI!,. (" .. Id.·r .... do un.1 .ll't·" ntu611 (.'01, 11:,1.' f!. ,1" ~ fu - d, ten '1

tJ la \,lollIl.d UlIl'!.11 t, " I H:loculad dI' B eh n'!aclón con \ al .. olJ,cnh ti: I • plo lun

11 45 I:n 111.1 t.lrrn d, hot, .,1 hol< \ ."tá ,3,> 10 por ddalll~ dd IK.I /J \ .tlllb.l' '11 h.trl.ltiolH \laj.tI nm r.lpidl·z lOllstante de 16'> klr" ,. 1 / (J lo IK.II" .ll'(,I, ran .1 r.IZ()IIC~ lIlJlsl.lIltl'\. '>i ('lIaJl(I" H rt:ha:;.1 1 \ , / " ~ \ ! \ 22'> kl tIIl d<'t, n lill!' a l II ,Ied, ral'lÓIl d. \. hila [Ju'l .. r .. dón ti, IJ

11 46 ,,' .lIlloIl10\1 \ t'\1.1 l 't"l.:'lIlado ,!l 1·1 l.lrril de 1111.1 .1'llopi la (111 d,n'{lIolI IIlIrÍ< \ el .1lI11l1ll0\.1 /! \1.i)a.1 IUI.l \dol.ltlad COI ,Iante de \J6 I..u.,1 •• ,1 d {.lrr.1 '111 \.1 ('11 din'cL1ón SIIf EII I - O. \ l'JJlple/.a .1 al't'lerar d

r.lzO! {OH t.lIIll' de a ~ 1111( ntr.I' ,plt' ('11/' ')' , ¡¡ empieza d frenar L'OG de\, ,cel. roll,r.n l1J1l I.mtt· ti, magnitud 1/ l / f> . ~I r '''.lO 11. ~ l' ~ - lB, u:.lndu lo

ItOIll6\lil' l',l.1II Imll .111.ldo d,l otro dl'tl'mllllt' (/ la .lt't'l, r.,ción a \ b ti 111111111 lito , 11 (lit l." \t t.íc 110 p.l\ ¡el lI"lO .111.ldo (1,,1 otro. e ' \¡ di,tanda en·

In lo .\ lit. 1"" ¡", 1'" I (/

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Figura Pll.46

11.47 1 lo .. , .1"t""I"" ¡I", .. I , Ji 'JI"' 'l' d"'p!a;r.ul ,'11 1.1 11\1'111;1 din'l'("ór "hrl' l.lml, s iI<h,ll't 111,". '1 d, ti,'ll,'1I .IIIIt' 1111 '1'II1,iforo. ('nalldo 1,1 ,,'nü'

1010 t' pOIll" 11 \ '1'11." ,,1 ¡lIlt"ln,i,iI.1 ,1l'l'I"I~I.1 raLlíll COlIStallt .. dl' fí,) ft,2 1) .. st'gullIlo, d"'I"It', ,,1 .1Illtlllltl\ ti J~ (1"l'il'''.1 a IIIO'I'I'SI'" ;in'I,'r,1 a mzón ("mt.lllte d, 11 i n ,- ¡),'!t nnillt, al ulü"d .. , d6ml,' ¡.¡ ak~lIIzani;i .1, b '.1

\t 1,1( ,,1.1<1 d, (.1I1.1 .1I1ltllll,i\11 "11 1"" IIIOIlIt "to~

11 48 1 >t., dlllonlt" lit', 1, Ji '1' ;11'1'''\1111;111 1111" al otw 1'11 lo, t,lrnk, ,llh.llt'nlt" d,· U[I,I ,1Ilt0l'lst,I, EII / - 0, 1, H ,'st;ill a O,(i') mi d,' (Ji,tanl'I;I, ,

Sil' \,1'1(,,,1;\11,,, '011 t', ti" IllI " , In - ;N lIIil" , '" ,-IIl'lll'lItrall t'lI lo, 1'111110' J' \ ~). 1"'1"" ti,alllt'lIlt', ~I , \ l'as,l 1'''1' ,,1 pllllto <) .H) , d,'spllI" '¡lit Ji "tIl\O .tlu. , Ji 1';1'a 1''''' 1'11'"111" J' I~ , d"SPIIl" 'PI' l . dl'lt-nllin, (/11a.' .1('1')' f¡lCIOII'" 1I111f,'nu," d,' I ~ H. f¡ ,'11 '1",; 1I1"III"lIto pasan In, "'hit'nl,,, 11111' ,lll.ltl .. tic) .. 1 ..... el 1.1 ,,'lol'ld,ld d,' H ,'11 "'" 1II'"I1,'nto

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FlgU11l PII,48

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11.50

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P11 57 '1 PI I 1S8

1 En la (11It: S( mue tra, .. 1 <-'OlIdrín 8 e muev ba(1a 111 1""llIIt'rlU <-un const,mlt· de 300 mml Determme a la ,'1). ud,ul «Id <cullarín A 11 ) la veloc'ídad dpl trdmo e dp\ <--ab\e. c' u \t!ocldad r Idtl\li d.·1 tnuno e d, \ C'db\l n~pe('to al <-'Ollarin 8

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Figura P11.53 y P11.54

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11.54 bl ('OH,nill J\ empic/.a a mU\'l'rse desde l,l n'poso~' ,. desplaza had.1 la d .. n'(:J.a <-'011 ~·I, ral'Íón constant" ~I d,'spll~s de ~ , la vl·locídad ro \.111\.1 dd colbrin H ].'S\X'ltu al collarill , \ ," dI' filO IllIII/S. d.·t.'nnme a l l,]! ('t'll'rauollc el, , \ ) u ,/d 1.1 H'\ol'Í,bd)' el cambio PO la ptlSIl1Óll d.· B el,' pll~S cI" h s.

t 1.55 I~II ,,1 illstalllt' mostrado ,'11 la figura, d bloque deslizante B st mll{'\' h.ICI.II,1 dl'rl'dla l'UlI u.:e1l'rnciólI ('OllSt,llItl'" su velocidad es de fi in/:. , "1 dl'spll(" <tUl d hloqUl rll' 11/~lIllt J\ " ha lIIo\Ído 10 ill hacia la derecha

11 , .. Iodddd es de 2.4 inis dt termlll' a l 1.1 .lederaci61l tll' A" B. /JI la, Ct'-,

It'melón del tr,lIl1O /) "elmlllt', c la ,-e!o(Jcbd) ,,1 camhio ell la ptJSIl1ón del bl0'lll{' d .. li7~lIIt{, H IlIego di' ~

B ::-.- - . • )

Figura PII,55 Y Pl1.56

1156 el hl"'III" d"sliZ\IIt" H 'l' IIlU,",' hada la d,'rt'cha .1 ",I,)('ldad l'ollst,lIItl' dL' 1:2 ill.ls. Iktt'l'llllll<' 11) la ,,,Iocidild dt'1 hloqu,· d,'sli ... ,lIltt'.\. !JI la ,..IO('II!.I 1 .11,1 tl~UIIO e d"leahlt', ella ,t'iO<.:idild dd tramo O dd L,¡hll', dl\1 \l'lodd,II\.l'!.lti',1 .1,,1 tLIIIIO ( .1,,1 l'ahl,' r"specto al hlo'lut' dl'.sIi7~lIlt .. ,\

11 57 El hltl'llll' dl'sli/"lIIt" B '" 11111"\,' !tilL'lil liI izquil'rda ''L)]\ Illla \('­",{]!1.1I1 .1" lO IIII1l s. Cllillldo I '= O, ,,1 hlo!IUl' dl'.,!izilntt' A st' mu,"'" h'l 1.1 la d"!l'..!I,1 "'11 ,ln'I"I~ldtÍlI t~)Il,tilllt" ) '1'loL'idatl ti" 100 mm, Si l'U t -= ~ s ,,1 1>1'\'111<' d",II/.IUI<' e '" ha IlIo,ido .jO 111m !taciil la dl'n'cha. dl't"rIl¡j¡lt al 1.1 \ ,'''''''ld,ld d"l 1>10'111<' d,'sIi7<l1l1<' (' ,'11 I = O, hlla \t'lol.'iLLtd d,,1 tr.ulle J) d.,ll,lhl, ,'11 t = O, C'l las lln'll'nleiou", dt' c\ , C.

,,!) FI 1>1°'111,' d,',liwllt" ,\ "lIlpíl""1 '11 1II1l' illll"lItll <"\\11 ,t'I(\cl,l.ltI 111!('í,11 ('11 t O \ ,ln·I"I~I"I"'1I l'\lll\t,llIt" d., :270 1111111' ha .. i.1 la d,'r<,('J¡,1, El 111011\1.> dl'shl,IlIIt' ( . illi,'la d .. sd,' ,,1 n'postl , 11 t '= O " ,,' 1I1U,'\,' Iwda \.1 dt' It ·h I l'm ,1\'1'1.'1.1"1(\11 """st,IIIh'. "1 "11 t ~ :2 s la, \ ,'I,)¡'id,ld •• , r .. s!,' dh .l' d! \ , 11 SOIl d.> ·1::0 1111111' h le1.1 I.~ d,'r",'ha \ .1" ~10 1I1111 's h;lda J.¡ IZl\Uít>rtl,¡.

d .. 1< IlIllllt' tlll,l I .... ~I,'I,I'H\II .1"". ")l.ls \,'1""1,1.1.1", illll'Í,ll"s tI,'.\' F e 1 .. 'l.lol'ItI,IlIIlIl"I,11 .1,,1 tl,IIIH' r <1 .. 11-,11>1., •

1160

1181

- . _. ,

9 1ESOLUCION DE PROBLEMAS - EN IFORMA INDEPENDIENTE

1'. 11 1 ' ~t.1 II 'cdlíll (SI'('dOIIl'S 11,7) II.S) SI' n',-isarcJII , desarrollaron varias técnicas

gnU/m\" ¡mili 111 stl/l/c'ÍcÍII ¡J(. ¡!ro/J/ell/os r/e 11I00;ill/il'IIU'¡ rcctilílll'O Es posible utilizar l'st.lS 1t~ 1 ' 1I1( 'a~ pam rt'sol,,'¡, prohll'III¡[S dí¡,C'clalllt'IJt(' () para complC'llIentar métodos de So11l1'U'1I1 allalílicos al propOn'IOJI¡)r 1I11a dC'scripciólI ,-isllal y, en consecuencia, una fII t'.I llJ l'Olllprt'lIsi())I dl ,l 111m illlit'lllo (l<. 1111 cllerpo determinado, Se sugiere dibujar IlIla o III:ís ('111\ ;lS dc' IlImillJÍelllo para , -arios de los probleIlJas de esta lección, in­I" llIso SI I~ sl()s JIO SOIl parlt' dt ' la larea asigllada.

l . I)il)//jo de (/In ti 1'-1. l ' I Y (/ I Y aplicacioll de melodos graficos. Las siguien­It ,~ plopit'dadl" St ' illdÍC'aron 1' 11 la s('l'cic'ln 11,7:- d(,lll'lI recordarse cuando se utilicen JIII~ lod()s dl' ~tJlll( ' i(íll gníIJt.IlS ,

a l I (/ ~ pCllclic IIles de I(/s CI/rt' a x I !JI 1 ('11 ellielllpo ti SOIl respectivamente igllall's Il 1,1/ c/o('ir/lld)' la (/('dl'l'(/cilÍlI 1'11 (,1 ti('nlpo ti

¡' ¡ l .tl (//"cas bClJo [liS < /In liS 11 - entre los til'llIPOS I I :-. 1'2 son respectiva-11II' lIlt ' igllalt' s alc:lIl1llio ~l ' ('1\ la \'('locidad: al call1bio ~x en la coordenada de posi­(,it'lIl dllnlllll ' 1'\1' illll'lyal() dI' lil'IIIPO,

e ) i 'íe COIIO('(' 1111(/ l](ljo (,IIII'U'I (h modm;clllo. las propiedades fundamen­l,tI!'s '(lit SI' hall rt'~IIIJ1ido 1'11 los párraf()s (/ :- h permitirán cOllstruir las otras dos cur­,as , ~ill ('lIlhargo, alllsar las propil'dad('s del párrafo /J, l'S lIl'ct'smio conocer la ,'e]o­(,idad) b ('oordl'lIada dI' POSil'iI)1I 1'11 l'1 lil'Il1PO 1 I para (\t'tl'rminar In ,'elocidad y la ('oordl'lIad.l dI' pnsil'i<ÍJI ('11 ('1 lll'llIJlO 1" Por lo tanto, l'n el problema resuelto 11.6, S,tll\'1 t[llt' l,l "alm IlIiclal d(' la ,('Ioeidad l'ra ('ero penllitl' encontrar la ,elocidad en 1 () s: 1'" = 1'0 ' ~l : () + ~·I fl/s = 2-t n,'s,

SI' hall ('sllldiado pn"ÜIII('lIll' los lliagram,ls dl' fUl'rl.a cortante: momento flexio-1I,IIIlI' () nl'clo" para 1I11a ,iga, \ Sl' ddH' rt't'OIlOCl'r la analogía <¡ue existe entre las tres , ('Illyas dI' IIIll\illlil'lIlo l'lI los lrl's Ihagra\1las CjUl:' represl'ntan respectinllnente la carga dislrihllida, la I'II(,I"/.a l'orlanll' , 1,1 JII01l1l'IltO fledor en una \iga_ De tal modo, todas , '

I,IS ll"('1I11';IS n'lati"i\S a la l'OllSlrlll'l'ilíll dl' I'StOS diagramas pueden aplicarse cuando se dilllljl'lI bs 1'lInas dI' IIIOlilni('lIlo.

2. I "'pie o de lile loe/os a/JI" \ 1111, " 1,. _ Cuando las CUlyas (/-t y [:-t no se represent~m por Illt'dio dt' lillll'ioJll's 'lJ1alítil'as () cuando se basan en datos ('xveJimentales, en OC<1-si"l \1'\ I~ 11l'( '('sano IIS;\)' Illl;tlldos ,lproxi mados para calc:ular hL\ úreas b,~o E'stas CUlyaS, EII I''''~ ('¡\~tlS, 1,1 ;ín'a dada ('S ,Iproximada por una selie de rectángulos dE' ,mcho ~t, (;1\,11111" )l1:b \11'11111'1-10 Sl'a vi '~llll), dl' ~l, l,lIllO menor sl'lía d error introducido por la apio 111111'11"11. La 'l'\o<:idad, l,ll'IlOnll'l1at!a de posiciólI se Obtil'I1l'1I alcscJibir

I - l' +" '1 t) .-J(/pl'OllI....l.

dOJ\{I" al""'" )' 1 1,,0111 sOIl las altllras de 1111 n'dáll~lll(l dt' aceleración)' un dl' \l'lueicl,ul, n"pt'di';Ullt'Il\('

rectúngulo

(cOlltilIlía)

11 63 1 JI;} pa rtíeula S( ' Ill'W"- <'11 1í'H':I wda ('ollll('"ll'radrín ('onstanh' dI 2 JI dllr.\IIk 1 s. (.~ 1Jl <w,.J,'r,'l'üíll ('''rO 1'11 los síc;uí,'nh's 4 s, )' ('on ae('-1, ILI JII (1111st,m h d" 2 ni/ s ' ( ' 11 lo 4 ~ pmt,'rí(ln'~ , Si la (lartj('ula ini('ia J. ti (1 on"l 11 ~ ~II \{·loc'lll.ld ,'s i~ II.t1 4 II./~ dllrallt., el inh'rYalo dt· .!t'I'-

r \(\011 ceru C1 ('O\lstn l).\ b s l'lInas , -1 ) .t,l para () oC ( $ 14 s. h) d!'ler-11 111 1.1 po IliOn) 1,1 \t locid.ld d(' la p.lrtíc ul.l ) la distalll'ia total f('eorrida

(I.lfl¡)of 11

(J 1111 - r

- r----:I (, I O t-----y-__ ..... ___ ..JL-. __ _

)O 14 l Is) ~ ¡-------'

I

Figura P11,63 y P11.64

11.64 l ' n.1 p.lrt Íl'UW (' mll'~\l en linea n'('ta eOIl acelerad<Ín constante d, 2 11 dlll .ml(' 6 con . ('I~lemeicíJl ('ero dllranl!' los siguientes 4 s. \' con .ICll, I 1('IÜn {'(Jl\sl .mll' d., + 2 m/s.! 1'1\ los 4 s posterioft's, Sí la partícul~ IIIÍ('I. l' lI el ori~('n ('On t() - S mIs, (j (~lIIstm~~1 l.ts CI\IV.lS de 1'-' y x-' para IJ .,. f 14 s. h) d['t"flllílll' la I'anlídad de tiempo dl\rante el cual la par­trenla ,'sI •• •• 1I1i¡ d,' S III d(,1 orig('11.

1165 1' 11.1 p.lrtÍt'ula (' IIIIII'V(' ('n Ihwa re('hl con la velocidad que in­dl(".1 IJ h Tur.I , Sí r - 4S ft ('n f = (l. tmc(' las l'urvas a-t y x-' para O < t < 10 , \ dl'll'nnílll' (j (,1 \alor máximo de la coordenada de posición de la par­tku l.l h lo \ulort's d{, f para lo cual('s la partícula se encuentra a 108 ft del fln~l' n

[di /)

ll!

fi O

t ( )

IS -------------

FIgura P11 ••

"66 PIU1l la particuIa 1 llll'V Gol 01 rra O , mda por la particu durante Ifln. el( f para los cua1es la

el movimiento del problema U.55. graflque determine G) la total reco-

de , - O ., - 30 • b) los dos va­por el origen.

636

\

Figura P11.68

, -1-- " llU -~~

Figur. P1 1.72

11 67 1'1 l' .. rl"'nhn' COI1 ¡lintma en a • " COIIIP(HII'lIlt· ( l' ll1la III,lCllIlIhl S( '- . e-

rosol util-lItra, \p IIIOlltil sohn' Hila tarllJla quP St' dt'spla.J'.a a 12 ft ell 20 s. 1 .... t.,ri"',1 ti"'II' ,"Pl"cidad inidal d,' '3 i"j, \' pnl'd,' aCI'I,'rars,' a nna r'I7.6n m.lXII":' d" ;2 i"j,J. ~i ,,1 ¡¡roc"s" d,' pintll;a rl't¡lIien' d.,' 15 s para t!'flni. ""rsl' , se IIt·v" " caho cllando la ta,in", \l' 1l1l1"V!' " s'elocldad cOllstanlt', ,It,. tl'l "lint' ,,1 "alor más 1ll't¡lIl'no [1osihl(' d,' la sl'loddad máxima dI' la tan lila,

11.68 l'lI P¡II~,c,udi,t., C'1I' IihrcnH'l1te a razón de J '>0 ftls cllando ahr" Sil l).tramillas a IIlIa altllra dt' 1900 ft, Después de una ráp,da ) cOllstante dl'sal'l''''",d,ín, d,'scjt'nelt' a razón comtante d(' 4-1 ftls desde 1 '>00 It hasta 100 n dOlld" maniohra ,,1 paracaídas cntre ('1 viento para frenar atÍn má.s Sil

d,'su'mo, Si 1'1 paracaidista at('niza con v(·loeidad descendente insignificante, ddt'nnill" 11 ) ('1 ti(,lIIpO rl'll' f('f]nl"rt' para aternzar después de abrir su pa· ral'a¡d.l\, ,) ) la dt'san,l('raeitín initial.

11.69 l n trt'n 'I"t' siaja a fH km/h se encllentra a 4.8 km de una es· t.,ci'·"1 El tn'lI d,',ac"l('ra d,' modo '111(' Sil s'elocidad es de 32 km/h cuando '" t'lll'lIl'lltn, a '>00 111 d" la ,'stat'ÍÓII , '>i el tren llega a la estaeión 1,5 min dl"I"It~s '1"1' "lIIpi,'za " d,'sacell'rar \ suponiendo desaceleraciones cons· t.,"lt'S . dt'lerlllilH'lI ) 1'1 til'lllpO lI('tt'sario para qlle recorra los primeros 4 km, /J , 1.1 \t'locubd dl·1 tn'lI cllalld" lIl'ga a la l'\taeión . e la desaceleración Ona! "OllSt.lllt, dt,l trl'lI.

rl.----- 4 ~ kll1 ~----j

~~

Figura P11.69

• i U En IIna carrl'ra, dos plintos de s'erifk-ación A y B se ubican so· hrl' la lIIisllla autupista l'on una sl'paraclón de S mi. Los límites de veloci­dad dI' las prilllt'r.lo;.'5 mi s' de I.Lo; IÍltilllas 3 mi son, respecthamente, de 60 1IIi1" l' dI' 35 lIIi/h. Los l'Onductort's dl'ben detenerse en t'ada punto de le· n!ical'ión, ~'l'1 til'mpo l'slweilkado entrc' los puntos A y B es de 10 min con 20 s Si un conductor acell'ra I dt'sacelera a la misma tasa constante, de ter­IIlim' la IIlagnitud de su acell'ración al desplazarse el mayor tiempo posible 1'11 ,,1 lilllitl' tIt' \t,IOl:idad,

\ 1- ---~~~~~- 5 lI1i --~~-~-~~. tl ~. ~-- 3 mi ----j. I B e

Figura P11.70

11.71 En una prueba realizada en un tanque de agua para la bota­elura d,' un pt'<Jueño bott:' a t:'scaJa, la st:'locidad horizontal inicial del modelo I'S dI' 20 ftls l' su acelt:'ración horizontal \'<uía linealmente desde --lO ftls~ t'n 1 ~ O hasta -6 ftls

2 en 1= 11. Y después se mantiene igual a -6 ftls 2

hasta <¡Ul' 1 = 1.4 s, Si l = 6 ftls cuando 1 = 110 determine a) el valor de 11' b) la sl'loeidad y posición dd modelo en 1 = 1.4 s,

11.72 En una carrera de 1/4 mi, la corredora A alcanza su st:<locidad nüxima P.I en 4 s con aceleración constante \ mantiene esa I'elocidad h'lsta <¡II!' 1I1'ga al punto medio l'n un tiempo dt:' 25 s, La corredora B alcanza SU

\'t·loddad má.xima ('8 en 5 s con aCt:'leración constante \ mantiene esta \t~ lot:idad hasta 1I1'g,u' al punto nlt'dio en un tiempo de 25.2 s, ,\mbas atld:1S corren d,'spUl's la sl'~~unda mitad dI' la carrl'ra con la misma desaceleración constantl' dI' 0,:3 flls-. Dt'tt'ntlinl' a' los ti('mllos que re,gistran ambas corrt'­d,,['¡lo; ,'11 la Carrl'ra ctllnpll'la. b) la posidón dI' la ganadora respecto a la ¡lt'r' dt,d"I~1 cllalldo la primera llega a la nlt'ta,

11.73 t 11 .tlIln l )J í ~ '" , 1.1~ · llt ' l1lra ('~I:1('lol1ado al lado d(' liBa autopista mio (l.l '!JuntlJ" ~ 11111 (':111111111 fl \ (' lo('I(1.ld ('Ollstall(!' d(' 70 kIlI/lID' , os mI-

1 de plH~, ('1 ,llItoll1í, "1I11 1i1'1'1I iI IIlm{'rS{' \' a(·{'I!'ra \¡'''st'l 'll'''\n' ' " el..; ( c .... , Z<.lf 1I na

léX1(hd d' ¡no kullh, I.1 (,lIallll<1lllicl1<' posll'norllll'nl(' Si 12 minutos des-'Iut el call1ltll l I'",t. al lado dc,l :lll!ol>lb ':S!{' s!' ('11<:lI('l1tra a 1,2 km c!<>

h t lIlell dll ('ami!;1 1 dpII'nJlll11 ' (/ ) (,lI ,ll1do ~ dÓlld" pasó el alltob(IS al lado ,1 "unión. ¡, 1.1 IIU 1, 'ml 'I';11 lI11il()J'JII! d,,1 all(olllís ,

11 74 Los 111I! 0 11 \(;\ ill's A ~ H I'sláll sc 'parados por \lna distancia d = hO m) " Inlsladall, ]"(" pC'(·li \'alll(,l1t( ·, a \'( 'Iocidat!('s COllstantes ele (0,\ )0 = 32 kULII, , ¡¡'O 2, ~ k, fII h so.bre' Illll'al1lil1o l'ldJl(' rlo de' hielo, Si 45 s desp\lés I ()l/dlldo, 1\ .¡pli, a los ''''l1os para l'\ 'itar chocar con pI allto B p<>ro alll­

IXI uutOI1"')\ d, ·, d J(}(,:l11 d1'll'rrlli,H' (/ ) la d('sal'('lpnlcilÍ11 uniforme del alllo , /¡ 1,1 '('!cl<'idad f'l'lati\a e1,,1 alltol1lóyi! B cl1alldo slIl'pd(' la colisión .

• H

------ d -------1 Figura P11.74 Y P11.75

11.75 1..0\ ,11110111(')\ dl' \ 1\ )' B \ 'iajan , rl's[wcti\amente, con \'elocidades ((1nstan! ,'\ d" (1 Jo - :2:2 mil I! , (1 /j)11 = [:3 mVh sohre un camino cubierto ele hillo l'a r,l 1·\'i !.11' c\¡()('ar con l,l ,lIItOln<Í\'iI B, el condllctor del alltomó\;l A aJllil~ 1 SIlS h",-uo, d" 1Il,III1' ra qlll' Sil carro dl' sace!era a lI11a tasa constante de !l.1 1 rtí,Z, 1)1'1('1"111111\' la distancia el entre los automlÍviles a la cllal el con­dudo!' ,h· ,\ d, 'lll' aplicar los frenos para {'\'ilar apenas el choque con el au­IllIn,í\i l H.

11.76 UII "Il'\ ador inicia d"sde (,1 reposo) se' mlleve hacia ,miba, ace­l<'r, lIldo a ra¡(¡1I d, ' ~ rus2

. I!¡lsta qlle aleanza IIlla \,t' locidad ele 24 rtls, la cual nl,1I1Ii"lll ' Dos sl't.:lll1dos d('spués 'lile' vi "I,,\"ador empieza a mo\'erse. un Il1l1nhn' '1111 ' \1' (' llclIl'nlra a 40 n por l'1ll'ima d(' la posición inicial del ele­\'ador lallza IIn;\ Iwlnta hacia arriha COIl \'l'locidad inicial ele 6-1 ftls. Deter­millt , ,,1 nH11I11'llto "11 <¡1I1' la pelota golp('ará al ('l('\ador .

.jO n

Figura P11.76

Problema: 637

38

11

r T I

Figura P1f.SI

11 .77 111 IU!UJIl6\i1 \ 1111 {".lInic~1I \1.1J'1I1 a IIl1a \'l,lcK'idacllollstalltl' d(· >4 kll 11. {l ólll!OIllÓ\11l's!:' u Jo 111 p"r c1driÍs d,'1 (·.lIllic',n. FI cOllclllc!"r d l

.. 1110 qlllPf( n ha~ár .. 1 c.llni{,lI. "~1" .. 5 c1"SC';l c'(Iloear Sil auto ell H lO In pur lId.III!I' dd (.lIl1i{,II, \ dl'spllts n'w,'s,lr ,1 1 .. \ "I,,<.:idad cI,' 3·1 kilI/h. Ll <lll'le_ ralló" 111. \110 .. dd :llltom<Í\lll's d,' ~ IIl/Sl y la ""'XlIII;\ d,'san,lcraciólI uh!!'. 111<1.1.11 aplil'ár los frl'JI(" ('~ dC' ... III/S '. ~CII;ill" ,,1 [iI'IIIP" lIIá, corto en el <¡u,' d (,'olldllL1or d, I ,IIllolIUí\ íl p"ll'dc' ('Olllplt't,lr 1.1 o!wr.lci,íll de f( I.~Sl' SI eu 11111;':(111 1II01l"'lIto ",hn.'l'asa 1.1 \1 I'K'iclad dI' DO klll/h'j TraCl' la t'1Ir\a'_/

\

, ,

10111--1 ... .. ..... ¡Om- - -- Hi m ---¡j--'¡m

Figura P11.77

11 ,78 l{eslI('h.1 1'1 proI.lpllla 11 77. slI!>ollil'lIdo <¡lit' ell'onullctor dd ,lutuIJI6\i1 110 Im'sta lIillglllla ,lkm'i,"1I .t1lílllill' dI' \'(·I'K:idad Inil'lItr;LS reb;lsa \ l' ('OIIl't'lIlm ell ,t1L~III¿ar la 1'0'II'ít'1I1 H ~ \'Oh, r .1 tOlllar la \e!ot:ldad di' ,)4

kmlll ('11 PI 111['))(11 Ii, IIlpO p",ibll'. (,CII,III's la lIü\ílna \e1ocidad alcanzada') ' Iru(/, 1,lclln.1 di' l-/

11 .79 I )1If':1Il1t 1111 p('(>eI'S" de IlIalllllilc!lIra, IIlIa hallda transportadora 1'lIIpi, .1.\ a 1110\"1 l' d,'sd, ,,1 l't'p"SO \ n'corn' 1111 total dI' O 3fi 111 anll's dl' ljllt'd.lr 1t·lIIpor.lllllt'nt" ('11 fl'l'''s, I "'I"¡ tir(lII rl'!ll'lItinu, u tasa de cambiO en 1,\ 'INI('mci6n, se Iilllila a "'"1 .í 1" por W~lIl1d(), determine (1) el tiempo m, s (~Jl10 re'l"t'ndo para ,¡tlt' la banda .Sl' 111111'\,11'11 0.:36 m, b) los \~\Iores lII,l\lmO y pnllllP(ho dI' \t,I'K'ulad d,' la handa dllrante ese tiempo,

11 ,80 El) 1111 ,I,'rtlp"1'11tl, 1111 tll'lI di' t'lIla('(' \ÜFI entre dos terminales que l' ('II('U(,lItl~1I1 ,1;; kili dl' di,tallda. Para mantl'ner el confort de los pa­~,IJt'r"s la .Ilt'lt'I:I('I'->l1 dl'1 treIl St' 1i1llita a -:': 1 :2.) m/s;\ y el tirón repentino. o tu! ,1 (1" 1"llIIlli" ,'11 la al'l'll'I~Il'Í!ÍII, 'ol' lillllta a ::!::O.2,5 m/s~ por .segundo. Si el tn n de l'1I1.1l't' ti,'m' IIn;l \ l'lo\.'ld,ld 1II:t\ima de 32 km/h. uetermine a el t¡PlllpO (\lb ('(lrto parcl '1m' SI' d"'placl' l'ntn' las dos terminales, b) su \elo­cid.ld I'fOlIll'l!tO l'OITt"I'0mlil'nt"

11.81 l 'lI "II'\,ldor inil'Ía dl'sdl' 1,1 reposo \ 'lsciende -lO m a su ,elo­<:id.ld 111, "¡lila l'lI T S l'on l,1 rt'g¡,tro dl' aceleración que muestra la Hgur<l 1 )l'Il'ITIUIIl' (/l ,,1 til'IIIPO n'<¡u,'rido T, h) la wlocidad mibJma, c) la \elocidad \ la posil'i,ín dt'l,'ll'\~ldor l'n / = T/·1 .

11.82 l/II registro dl' ill'l'lt-nímt'tro correspondiente al mo\imil'nto ti" d"lia pipza de 1111 Im'l'allismo Sl' ,Iproxima mediante un arco de par¡Í­btll.1 tllll',lIIt,· 0:2 s y ulla linea n'cta por los siguientes 0.:2 s, como indica \;¡

f1gIlJ~I, SI l' = () l'uamlo / = O \ .\' == 0.3 m cllando t == O.-! s, ti' constru'~1 1,1 Clln.l I'-/ pal~1 () <: / <: OA s, !JI dl'tl'rminl' la posición de la pieza di t - tU s ,t 0.:2 s.

, a(1Il ... -\

,:l ---------

11

Figura P11.82

I I I I

1I.::!

•

-. , 4 .')f"

1I -1 " I

11.14

40 " .86 EII la f¡~lIra S{ 1Il\l{'stra IIl1a part!' d .. h cllrva l -;r dd{·rtl1iltatla "\1I"lIIoellt,.IIII<'IIII' par .• 1111 ('armal{'. c.t1cIII., d .. tll<lIH'ra apro'"llacla la a{,,·~ 1,'radÓII tI"l I'llrmaj.· (/1 ('",,"do X ~ ().~5 111, b ) cllalldo" = 2 lit/S.

l ' litiS )

2110- - t t J 2,0 ' .. +-,

•

1.5 +

I o --

O .. ') t -~ . -4- - .t-

, I O

O 0,2'; 0 ,:50 (J,7') ) (XI 1.25 x (m )

Figura P11.86

11 .87 l.tilic(' el Ill(~tod() dt, la sección l J.S \ deduzca la fórmula x =

:ro + I {JI + ~alZ para la c(xlnl"llada dt' posiulÍn lÍe una partícula eo 1110\;­

Illieuto rt'dilíUl'O IIlIifimlll'JIIl'ut" ¡¡('(,Ierado,

11 .88 Utilice l·l Illt~tod() de la Sl'et'ÍlÍn 11.5 para determinar la posi­('i.;1I di' l.. partíellla dl'l prohl, ma 1 un cllant!o t = 12 s.

11.89 Eu IIU <llltoll1(¡\i1 Sl' l'mpJ('zan a aplicar los frenos cuando la ,'c­h)(·¡d,ul ('S dl' HO fUs ''u 1 = o: el alltoJl)lÍ\il se detiene en 1 = ti con el re­I.!"tro d(' at·(,leraeuín '1"(, Sl' UlIlL'stra ('u la figura. Si el área bajo la cuna (/-1 tIl"tIl' 1 ~ () hasta 1 = T ('S s,'miparabt'llíea, IItiliee el método de la sección 11 S p,tra dl'll'rmiuar la distaut'Ía n'corrida por el automó\'il antes de de te-11t'f\(' cllaudo al T = 0.2 s. h T: O S s,

T 1I o ~--------.---______ ,, __ I t (s \ I I I I I I

~ 2~ - - - - - :::--"-.l..-________ ..i

Figura P" ,89

11.90 Para la partícula del prohl,'ula 11.6.'5. tmee la clllya (J-I \ dc> It'rtnill.· nlt'diautl' ,,1 método dI' la SI'cdlln II '>tI' la posici6n de la partícllla l'lIalld" 1 - 20 s. b) l'l '~tlor JII<lxilllO dl' '11 coordl'uatla til' posil'itín.

veCTOR

2

J"

l'

(1 t

y

(J

(1

/ r'

y

I

)

,1

gur. " 15

t

, IJ

x

•

1 Al I1Ipid(·z t pllt'd(' ollt('ll('rW ('lItOIlC('S dil<"reIldando con respecto a t 1.1 IOllgltud s dl ·1 arco '1\1(' dl'scrill(' la paliÍl'ula,

LIJllsidt' n > la, elol'Íd,ld , dI la paliícllla en el tiempo t ;. su 'eloci­d,ul " t'lI 1111 11l1l1pO poskrior t ' .1t figura 11.15a Se dibujar:ín amllos 't'('tort'S ' \ , \ partir dl'lmisl1lo origen O' ( figura 1115bl. El ' edor .1\' r¡lll 1111( ,1 Q , ' .1 Q' rt' pn'st'lIta 1,1 cambio t'll la n'loddad de 11 partíl'III.1 duranll' t'I ¡lIt('n alo dc tielllpo .1t :- a que el , 't'ctor y ' puede ol.tt'llt'r'l'.tI sllmar los 'l'dons , ,.1, [la, Cjut' achertir que .1y repre­'(lita 1111 camhio 1'11 la din 'cciríll dI la ,t'locidad, así como Ull cambio eH 1.1 ro/'id,: 1.1 (/(,c!r'rtleitÍlI/ml/l/n!io de la pa,tícula sobre el inten'alo de tlt ' lIIpO .11 SI' dl'fill(' C0ll10 1'll'o<.'Íl'nte ('ntrt' .1,' y .1t. Puesto que .1, es 1111 \( 'dO!" .11 1111 escalar. el COC'Íl'lItl' .1, .1f es un "cctor de la misma dire('l'Ír;1I qlll' .1,

1_1 (/(,c!f'I'l/(';'ill in,'m/flÍllc(/ de la paliícllla en el tiempo f se obtiene al tOIll;l!' ' 11101"l's cada H'Z lII:ís y Ill<Ís pequC'tlos ele .1t ;. .1, La acelera­dríll illst.lllt:íIlt'a SI' !'epn'wllta ('11 cOllsecuencia por meluo del ,'cclor

.1, a = lílll -­

:'1 -(1 .1f (11.1-;'

.\1 al" 1'1111' qUl' la \('Iocidad , I'S ulla runción "ectOlial \'\f del tiempo f, t'S posihll' re['I'lirsl' al lílllite dell'ociellte .1\'/ .1f como la deri' ada de , l'on res[wdo a f. Se escrihe

a == el\'

tlt (111'1)

St' llhst'l'\'a r¡Ul' la aCl'll'ral'\(ín a I'S langl'lltt' a la cun a dl'sclit" por ~I p\ll~t.1 Y dd 'l'c~)r , cuando l'stl' último SI' dibuja desde uu ()ri~cn hlO () \h!!;\lI~1 ll.l,:)(' , <¡Ul'. 1'11 gl'nl'raI. la acl'leracióll no es tan!!;t'lItl' n la tm\l'dori'l dI' la partít'lIl~l (figura 1:.15c1l, La cuna descIit;I[;tlr 1<1 ['lIl1ta ti" " t' IIl1[¡cada I'JI la fIgura Il.l0c) SI' t'1l110Cl' como la h()(M!!.m­f(/ tI,>1 1110\ illlit'nto,

644 , 1 1 I'I('~ dl' SIIIIl<LS" prodllctos, o.tI r"lonlar la, propwdad(" «' os 11111 ,

!I'fPl !Ir f t!P ,- ~P + rI" - el" d"

( 1121

I l' Iru'fo rl'clo/"ial de dos r IHIS dl'rhadas dcl/!ro!l"cfO ('SI'(I (Ir ~ l' /11"( , , lIn-'1 P Q [ , 1 ' 1 l)llll'lH'rSe de manera slIIlllar S C1()n('~ '('l tona es "y "1 pUl ( ( l· . , (:

tit'JH'

tI (P , Q) !lP , Q + P'

dQ (1122 -

ti" dll dll

tlPx Q dP X Q + P X dQ 01.23)\ rI" dll c/ll

I ~I\ propit'daelps ant(',s ('stabll'cielils pueden emplearse para df'ter. IlIin,lr 1", ('UIII/JO/lI'lItn n'('t(lIl!!."larn di' la tll'ricada de /lila función I {'('torin! PI/ I)('Sl'OlllpOni('ndo P ('11 cOll1poncntes a lo largo de los ('J(" n'('lall~\IIi1rt's fijos x. 'l.;:; S(' ('scrihe

01.24)

dondl' 1'. /',/ P son las cOl1lpon('nt('s ('scalares rectangulares del "el'. lor p. " i. j k los wdores IInitarios correspondientes. respecth'amen. tl' .1 lo, ".lIS \ Ij";:; (sección ~,I ~ De aCllerdo con 11.20>. la derh'a­da d(· P ('S igual a la Sll1lla dp las d"rÍ\ at!,ls de los términos en el miem­Ino dl·llado d('f('c]¡o, PIWStO <¡lit' cada 11110 de estos ténninos es el pro­dudo d(' IIl1a ('scalar, \lila fllnci<Ín n'doria\. se debe usar OLH}, Pero ,

los ",don's IlIlit,n;os i j , k tll'Il('1l ulla magnitud constante (igual a 1): 1'11 din't"('IOIH'S fijas , Por lo tanto SIlS dl'rin1das son cero, ,'se escriben

, ,

dP

ti" tlP, . ---:-- I t­dll

(11,25)

"i Sl :1<" i('rl<' (1'1(' los t'O,'fll'Íl'ntcs de los H'ctores unitaJios son. por d(,f¡nit'Í<Ín, las t'ollljlonl'ntl'S esmlares del "("ctor dPjdu. se concluH.' CJI1I'!0\ ¡'(I/lI//III1('l/fcs ('sclllal'( s rectlll/gll/ares de la dcrit'ada rlP!dll de la jilllCiáll ree/orial P(" se obtienen ,11 di ferenciar las componentes esea­lan's corn'spol1(lil'nles dl' P

Razón de car Cuando el ,'eetor P es una flllld6n dd tiempo /, Sil deri"ada t!P jdt representa la ra::,ól/ de ca/1l­hio ell' P con n'specto al sist('ma de re fert'ncia Oxy::., Descomponiendo P. l'lI t'OI11[>OIlI'lltl'S rectangulares, se tiene, por (11.:25).

dP

dt dP,. ~-"-. i + dt

dPy . + dt J

n, al utilizar puntos para indicar difer('ll('¡"lr'I'O' 1 t t ' " 1 con respec o a .

( 11.25'\

I Put',hl 'Itlc' el producto \'l'(:hmal 110 t" l"OIlIlHltlti\11 I I I l e I \t"n.'ión '1.-4 • dt·!lt' rn.lIIlent'~e f un. tl (e ()\ IUCt01'l" t'll a l'(:lIaci()11 \ 11 ~:3 l

11 I uhll7.a1'

I

,

11.1 de Wl acal\til"do de l.SO m

_ JDguIo de 30" con la borizoOtU. ca) la distancia hori7Dntal el

.. l·. ~

:::! el uelo. b) la elevación

SOLUCIÓN

Los movimientos

1m miento rtical. uniforlllelllente acelerado. I positiw del eje y hacia arriba Y ituando el origen O

( ,>o - (1SO mi ) sen 30° = +00 mi ca = -9. l mi 2

en las ec:uacion del movimiento Ilnifonnemente

del

0, - Oy>O + al

'J - o,lot + ~ v: .. o,~ + 2ay

v, = 00 - 9. 11 y=~-4.~

v: = 100 - 19.62y

horizontal. \1m imiento unifonne. je r la derecha. tiene

mi ros 30" = + 155.9 mi

Al elegir el

en las ecuaciones del movimiento Ilnifonne. se obtiene

:r - (0.>01 r = 155.9t

uando el p~ choca con el

'J" -150 m

la eeu.ci6n (2) el movimiento

ti - 1 .37t - 30.6 ... O

(4) para el movb.AaltIo

:r - 153.9(19.91)

.c.ndoel

11 92 FI

11

IliUt 11 '''''lICio a' 2 b,

!llndl,d ,

1194 Mil fiI

t 11'

11

la . , " ,

, 1

o 1

..... P11 ...

654

1/

\

r

Flgurll P11.98

•

Pl1 101

-/1-

-

1ft

, ,

•

)

1 ft

11!'17 U movi"ll"n)o tridiIJ1"n~lollal d,' IIlIa partkllla , .. d"fill" m(" dillllll' .. 1 \(Octor d .. pO'id"'" l' ( HI ('os '0,.1 i + d j t (HI ,,'11 (o"/¡ k 1)"ler_ 1111'1<' la Ih,lgnitud,,'s dI' '1'Iocidad ~ la a('('I, raC'Íón d .. la IMrtÍ<'lIl.l, ' I K'I t'lllV"oI esp,u,ml (1"(, d"<<:rih(O la partícllla "s IIl1a h(,li('(' cr'>IIiea. 1

·11 98 El 11 11 "'11 lIU'nto tneli'""lIsiollal d"lIl1a partícrrla SI' d"fin{' Ilw,IJanle el ,,-,('tm d,· J!0\('I(,II r = {, \I ( 'OS I , i + tJ \ ,,0" + J j -r BI \('n I ¡k dOl\(k· r y t SI' .. ~lln·s'lIl '" pi," \ S('~llIldos n-slwc!i\'arrwllI( Delllll('sln' '1nl' la C"IV" d"s .. nl.l po, la partícnla 'l ' I'lIclI,'nlra sohr<' (·1 hiperboloide (1)/, \ )2 {x/,\ )l JZ I /l) 2 , l . Para J \ = :3 ~' /~ = l. (!t'l<-nllilll' {/ ) hs magnitudl's de wlocidad y "<,, 1, 'r,l('i';1I ClI,llIdo 1 - O h) (·1 "alm el,· c('ro más pequeño de t para ('1 <:lIal los \I'eton's d" pmi¡-¡(¡II ) ",1'K'idad son ¡lI'r¡wlldiclllares entr<' sí.

11 .99 l ' " '.lIt.lllm d,· ""Jllí i"icia Sil salto con lIna n·locitlad de des­p( g¡II ' .1" 23 III/ s )' atl'rriza soh .... 1111;1 p"lIdiellll' reda de :30' de ínclinaci,ín, J )de rI11IJIf' (/ , ,,1 tWIII¡>O tnlllS('lIrnc1o ,' nln' ('1 d('sp( \!;lll' ~ ' pi alerrizaj(,,!J 1 la longitlld el d,,1 saIto. ( ) 1.1 11 "1\1 lila c1istancia n ' rtil",11 (1'1(' hay entre el esqllía, dor )' 1.1 l)('ndlPlltp ,,,hn' la 'JlI! all 'n'Íla ,

-_ ') IJ

I 1-

Figura Pl1 .99

11 .100 l ' IlJII\,(adoJ' d,' \,(011" dllígt' Sil tiro par,¡ que P,lS€' por encima de 1111 • ¡hol ,1 1111;\ di-t,ll\('ia h ,'11 ,·1 plllltO I1Iii\.iI110 de la trayectoria \ e\;tar que 1.1 PI lota t-,Ii!.!;a "11 ,,1 ('stan'llll' d,,1 lado Opllt·stO. Si la Illagnihld de \'" es clt' "\It mI" dl'l"rtllil1" ,,1 mllgo d" \11Ion" dl' 1, ljl\( <!phe e\'itars{'

• I

" I - :::;:..

11m

,

Figura Pl1 .1 00

\ .-

[,t,mque , •

--- ,';0111 -----______ • ~

11 .101 l '11 jllgado¡ d,' Idol1l1l.1I10 ltnz'l 1111' I t 1 1 ¡ . '. _ . . " .\ Pl' o a l l"\( (, A con \t ll-<,.d.\(1 honmntal ' o' SI d ~ 1,) 11 . dt'\l'nlllllt' a ) ,1 1 1 1.1 1.

1 I 1 ., ' \.1 ur 1 (' l'o ¡,.Iro t' ClI,U'"

Il<' ot,1 ~o IJI'·m1'·11 a 1'''1'1111;1 ( ,J, ) l'1 1',111"0 d ' 1, I I 1 1 1 I

• " ~ (\.101"" l' \' IMm 1" CU.I' 1 p' ot,1 )!O ¡l< .ml la n'gtiln ""llIil1ad,1 HeJ), Il

1 102 A

nc. ........

111 Inicial "

el .. entra en la

..... pu._

• r ,

Figura P 11. 107

-P11.1011

)

, n b 111

t

- -

20 ,

-

11 106 1 na jugadora d,. 1"IIIS SIf\" '" 1'"101,, a 1IIIa Hltllra 11,(;011 velo. (Idad IIl1cial d •. 10 m/s \ állglllo .1" I n"pedo iI la bon/ollta!. SI la pelota piL~.11':;21J11J1 por arriba d,.la wd ti" (UJII 111 dI' . .110, dd"rllIlIlI'l/lla altllra " /¡) la dist.tI",i., ti, dI' dI' la r('d , "11 la ,["" atl'fri/dI la 1)1'101,1.

• I I J,

I ,

~ , , \

I •

/

_ __ I~:! ,,, - - -------. .JI-.- el , .\ Figura P11.106

11 .107 l ' I'" ¡';tlHI., Irilllsport.,dol~' '[lit' fOfllla IIIl ángulo de ·JO' tOIl la Ilon;wllloll t' lisa I'am (';,r~al IIIl a,'iúll . :,i (,1 trahaiador lall/,a (,1 paquett' (;01]

",I,,<"id.,d 1I11<'1.d "1) a 1111 ,íll~lIlo .1" \'5 d .. III;lIll'ra que S1I \t·lo<:Ídad es para-11'1.1 .1 I,¡ 1>,111<1.1 (lIalldo "lltn'lI "11 cOlltado a ,3 ft sohre el plinto (\{, lalll~l­llIi"1Ito, ddl' 111 11111' 1/ ) la IIla~lIitlld d,· r.h f¡ ) la (h .. tallcia horizontal d.

11 .108 l 11 jll~'ldor dI' golf goll)(':! IIlla p"lola con ,elucidad illicial dl" llIagllltlld 1" ,1 1111 ;¡Ilglllo Ir ('011 la Ilori/()Jltal SI la pelota dc'be p¡LSar por l"1J­

<:1111;1.1,· 1m dos úrh,,¡", )" alnnzar lo 111:1', ('(Te,t posible de lIna handera, de­Il'n1l1t1(' 1" la dislallci.1 ti tll;lIIdo t'ljngat!or IItiliza a l 1111 palo IItintero seis COIlIt :\[ /J ) IIlI palo IlIílll('ro cilll~) COII a ~ 27°

, -1

Jl; fl , 1 ,

I~ It ,

! ' 1 - - lj() It - --i,------ ::! lO It - -----+ó --f---- el ---l 3D ft

Figura Pll.1 08

11 109 lit homhr<' ullliza ulta harn'dora de niE'\'c para limpiar el ac­('('Sil 11 'u lx)('IIt·I~\. Si la nit,\(, '" t1('sl"arga a Ult úllfTulo promedio dE' .!(t con ::-1.\ lroriZOllt,d, ddl'nnin(' la I~tpitll'z Inicial r" dE' la nie'E'.

... ....... /l-,-

1 J I 111

1------5 1Il-------j. I

B ¡ I

'3, O-j ~ 111

,

Figura Pl1.110

11 .110 e na jugadora dt' haloltl"t'sto hl1Z'l t' I I 1 ll

".. ' • '. un ,ro ('u'ut( O se encuen' tm a 5 ID • t' ta) t'm. SI la (",Iota tit'lIt' ,t'l,,,.' 1, \. , 'l· . 1 d

1 ~ 1, .tt IIlIl'n " ·t UII ángu o e

.lO (~1I1 a horizolltal. dl'lt'nnint' l'l ,'L1o/' ti • \' o· • ')')" 1 4

"() • l 1'" l"lIalllO eles im lal a al :.;;.u lIun, J) IHIIl. . .~~

ua

"-- SOft --------

agua a alta I ~I agua

: d la qurelagua

_ b e160gulo o.

situ8daeo a ca. la

el

•

664

Fotogralla 11 4 Al VI lar sobro la par te curva de pi la. cnda dellsla está sUlelo a una compo-nI normal d ae leraClón dirigIda haCIa el con­

lro d curvatura de su Irllyoctorta

I de,

di =- c "

(1

,>¡" slIsliluw 11/ ( 11 .. 37 /. S(' ,,1>11('11('

d, ~c + di I

• ,"-p e"

1)0 l.d II/"d" . las ('''/lIP''II!'II!!'S ( scalan 's dI ' la acel(' raci6n son

al (h d/

, 1'-

(/ " - -p

I! 131,

' 1 I~}J

(11.40)

I M I ~ nll(II/II/ " I/hl/ ' llidas ('\pn 'S<1I1 !Pll' la (,O Il1J10/1CII /(' /alli!.cllrial d/ 1.1 ¡(('!' I, ' rad!;1I (·s ie;lIal a 1.1 m ;;: ,;" tll ' CIII/dúo di' la t'elol'idad de la

/llIrllCl/ltI 111 lanl" 'lIt(' la ('/I/II/JOIII 11/1' /1011/1fI1 es igtlal al cl/odrado dc 1" 1,1,)( ;t/I/I/ dI! ir/idll /'/IIr1 ' d mdi" dI' "IIITa/l/m di' lo /mljl'c/orill f' ll

/' ", ,lIl1ll1'lIla la \(I"cidad dI' la partíc tlla , (/ , (' S poslti\" y la COIII[>O-1It1l1! ' \"donal n. i1Jlllllta 1 11 1,1 din 'ccil; n (\(' 1II001Illi(' nto. Si disminll\'(' 1./ \/'Ioudad d( la partíc llla . 11, (' s 1I ('~atl\ a y a:, aptlnta contra la dirpc­('1011 d(·1 IIHI\·lIl1i/ ' lItO . La COlllplllt(>ntC' \ '('ctonal an por otro lado, 8;1'111-

/1I'l SI ' tlin '.!.' , !'III'lO ,·1 ('( ' /llro ti, · 1'11/1'I1tllrtl e de la trayecturia (figm<l I 1.2:11,

c"'-

-----

, , ' >

I

¡{ e I,

o~--------------------x Figura 11 .23

1)" 1/ I anterior SI' ('onelll)l' qut' la cOlllponente tangencial de la aet'­InU\·jt'lIl rdhja tln (';tlllhio l'n la \l'Io!'i<bd de la paJtí(,I~la. mipntras que stl lXlIllpOlI"lItl' lIorIttal rt'lll'p tln cambio pn su dirección de lllOÚ­

\\Ii"lIto. La aceleración dl' una partícula spr<\ ('pro sólo si amhas de "" l'OlllpOItl'ntl's sonl'ero. En consl'cut'n('Ía, la aceleración de una par­tícu!.' /P/(' Sl' IltUl'\'(' con \('Iot'idad ('onstante a lo larao de una ctlly;t ..... no st,t~í cero, a Iltl'IlOS '1t1l' la p,l1tÍl'ula pase por un punto dI' infle\.iÓn dl' la ('tll'\ a (donde el radio dt, Ctu'\'atura I'S infinito) o a Illl'nOS que \;¡ ('Ul'\ a Sl'a una lilll'a rl'da.

El I 1l'e1 10 de que la ('OlltpOllelltl' normal de la acelpración dependa dd radio d,' l'Ul'\~ttllr,~ de la tran'ctOlia (lue si.gUl' la partícula se tOll1a l'n l'u,'ula ,'n d (hsl'llo dI' l'st1l1duras o Illt'canismos tan dil"rl'ntes "/l/II(I las '11a, dl' los ;l\iolll's. la.s \Üs dl' ferrocarril \ la.s 11'\ as . Para cd­hu ealll],i"s rqwntinos ,'n ~a an'll'racilÍn dl' las p,{rtícuhs dl' aire 'lile n 11\ clI por las alas. los Iwrhll's dI' ('stas SI' disl'lian sin nim'lÍn cambio !lnlseo ,'n la l'Ul'\lItura. SI' til'lIl' il,'1lal cllidado al disl'iiar l'U~~ts de da.s de fl'rrol".Irril, para ,'\·itar l';uubios bruseos ('n la ;tl'elpración dl' los \a­).!O\l{'S ,lo l'lIal podría daitar ,,1 l'(]Ilipo \ 'l'r iueómot!o para Ill.S pas,lje-

J

I I l' • I

OP alele ratlMl.

11.13 para

-de. dldo

•

PROBLEMA RESUELTO 11.10 n automovilista viaja sobre una 5(.occión eu!" a dI' una autopista de 2

de radio a una de 60 milh. El apUca los frenos, que el autumóvil SI' . a una ta~

I que de 8 la ~doddad St' ha reducIdo a 45 milh, !le la ac Ieradón autummil inn\{'Jialarnt'utt' dI' pués de que se han ~ l..Jo los frenos

SOLUCiÓN

( umpont lit hm~t'ndal clt' 1.1 ,1(:11,1 u:iulI. Primero se In fV .

60 milh - (~)(52S() ft)( I h ) = AA fVs I1 I III i 3600 s

4,'5 mi/h = fi6 ftls (..oIlKI' I allturnmil d,'sal'dl'ra 11 tilia ta~ a l'Q\lSt,IIIIt', St' til'II1'

a, prume<lio a, = ~ _ 66 fV -. s,'i fVs = -:2.7,5 fv 2

001 lila 1 dt, 111 lIu'I,'ral'ioll. Inmediatamente de que los frenos han aplicado, la \elociclad se mantiene en ftI tiene

JClÚtud de la resultante

(;2 (J = = ..:...:,=-.;.=.:­

" p

dil'l"Crión dt In 1I('('lt'nal'iulI. La magnitud y direcd6a de las rompont'ntt' y a, son

tan a = (J .. = 3.10 ftJ 2

(J, 2.75 ftI 2 a

3.10 ftI 2 --

RESUELTO 11.11

... tI., ",fuimo de curvatura de la travectoria descrita por el problema lesuelto 11.7. '

la ac leral.'ión de las par-

111a

a

11 la

11

1 166 I I 'CtorIa una 11.. t drflnido por las

11 • pn san en 1.11 I .. ración 1 l. • IUC."I,1ad

11 167 1-1 IIMJ\ miento 11 I/t I la

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11.119 ~1tI' In (lllt' I ¡,!, tll O 1 ('" ,,1 111 1.1111' lJluslr.ldo, el es-111 \11 d 1I 11' 110m l' t.1 ·Ir.uulo t'lI • IIl1do !'ollll.InO al de I.I~ .n.mf-

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" t O 1 11110\111111 110 Indllll' 11 1111 1 d. 1111 parlí!'utl Sl' d{'fil\(' por 1 1 (1. I l mi, n d.l ulllldm.c "a 1.1 fi~\Ir.tll 2) 11 .\/u 1.11

(, I 1 1) '11 fllIIlIl' 1.1 11 ,.!11I11Il1., d, 11 \t 1 .... ·ldad ~ la oIl"I{'ra-1 IIIdo t/ , O b, x

1 t,181 I 111111\111 l. nlo d.· 1111.1 JI Irtklll.1 obn' 1I ~UI'I rile\(' d, un el-

'Itlrllor ullr d. flllt 111. 1111111 te rl'ladoll!'s JI \ /1 2m \;; - ,\1-/1, ,1 md. \. IUI I IIIt J)d('flIIIIH Ils 111 '1IIIlId. de \(·1(1('1(1..<1 \ l •• :tc"I. nI-

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Figura P" .176y Pl1 .178

Figura Pl1 .179

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679

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11 fNl«:fdnd cJt. la partícula ,(It finió

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:ontró que rn un 1 t. r lall '. IIt( a la I rolj' etono de la tinJo cJt. l denolJlII¡¡}(U nr¡ntl. : d., la partícula Ir m la '11 t I tM IIIpO cIt la IClII~tll I J¡·I art'O dt ntu lx,r la

11.16 d 1

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1 ... 01 l. roo m a de b !l.lrtí 111 l' d.,lImó IIll diallt{' 1,1 relación

u ti, ell

I 1I <¡II. JI' lit rul ltl (1( tiro 11m /10 l' t(/II;'('lI/t' a la t,.. 'N~, ntl ti I lIort/i'u/a

h·.1 r I I1 ( 111 I I r 011 dI 1.l.S ('OJllpollt'lIt de ve­I JI! 't tu ho I dt fllll 1Óll [unll.11 dt' la derivada

It UI hlll )JI l ton ¡J \ t t t Ihlt It mn ul~1II l regla! que so­I n m la tI. n I 141 I ,JI d. lIlII \ pnx1udo dI' funciolle \'ecto-ni! u lIle tr <¡lit I r.u.)JI de -lIUblO d,' \111 \ectores I IIU 11 () UII I tl 11 l dt n: f('r 'IICI, liJO ~ ton respato

1 r I t JI tn I n 11 t :1ÓIl 1\10 l.

I ( lIot r 11 h IIIt '/ xm)t'lIada rectangulares de 11 1 lla l' "11 lit ) qUt I t ("olIIpOIl 'lite rectangulares de la

.ldll l 1 l ~ I)JI el l' r \lit 11 1,.,1.lle , re lwcth ,\lnente, a 'un I ti milI '011 n: 1 'C o .\ t dI' 1.\ coordenadas

1) =.t ti. = Z

\

• 1.,

•

Figura P11.191

\

11 191 I 1 t 1 " ~ r sr,III" '111 ¡o,\a!(,n, 11,·1 plinto A, r¡. n~l pt f).' 'SI" ( (-J<' ,-.u . -

1 I! I 1 1 \ - . la \f'11i<~,! 1), t('r1f11I1" el,' 10t,1 (,'01& \e O(l( U( \ " ,1 UII ángll CI «l' ) l 011 ~or

1 1 1 1 ,1 t n ,1 1'1\1110 ¡¡ Sil \",locilJ.¡11 '

(f t (J I Jllsto dutf s (f que .1 P(' ot.l 1I te. t ,11 t '8 f"rma '111 .\nguln d, 12 (~,n la \, rh"ll

-12

\

II

\8 , 111 •

¡¡

Figura P11.192

11. 192 s,· d, ,mrga (',lrI,(íll d,·,d .. 1111 ('¡lIlIiólI de \ (Jlteo ,1 \ ('lo{'ulad ini, l'.li \ ( 1(' 1 S 'lI 's ;y" .lO par.1 '111' (,U~'I \I,lm la handa trallsportadora Ji, 1) 'I('nlllll' 1.1 \. 1"("Id.ul n'qll!'nda \ • 11 la I>anda si la \!'loeidad relativa ton II ('lIal .·I\~lrh(1I1 hau' Ul\Il.Il'l1l (1111 la I>allda dl'h(· ser al \ertieal, hIlo 1Il'",

P' CJUt (1,1 posll>l, ..

11 .193 El p,ls.ldor.\ IIl\1d" al (·,lahón/\B l'St.¡ restlingido a 1\10\ ('r" ('11 ti r,lIIura (¡n'lIlar ej). ~I "11 / - o • I pas,ul"r l'llIpl,/~1 ,1 mOH'rs\' d,' lila, lIt'r.1 <JIU ~u \t"I<)('illad alll\lllll.1 a r;\ZI'm ('''lIstant,· d( () '> in _ 'sl ddt'rlllint' la m.lgnitm! (), '11 an·I"I1I,'i,íll tot,IIl'II,lIId" (/1/ -, n, h / = 2. s,

f)

•

, ') In

30-

Figura P11.193 Figura P11.194

11 ,19 Sl' tI"sl'arga earh6n tll'sd(' la pll('rta trasera de IIn camitÍll dc \0111',' a \t'J.l('itl,ld inid,tI tll' , \ 2. mIs '7.')0 I)('tl'rnlilll' el radill dl'('ur' \.ltlll1l d., b Il~I,\,·,'tOlÜ tI!'Sl'J"iI.l por I'Il'arhtÍn a ('n el punto,\, hl,'nl'll'lIl1t(! d., 1.1 Il.l\l'dona "tuado ,1 I ni por d,'hajo tll'l plinto , \ ,

.'1. 195 EII~I",illlil'nto l'n dos tlilnl'n'"llll" tll' Ilna partíl'llla se d"fine 1Ilt',It.\IlI., la rt'lal"lon r ~ fil I - 2" tI Y 11 - :2¡:2t t- -4" .!t), tlondl' r ,,' "'l'rt-,a ,'11 1"(" I ,'Il "'gnlld", ~ ti ,'n ra,h,lIll", J)l'h'nninl' la \ <,lnl'ldad \ la '1,~·kr.I' Ut'>1I (h- la 1',lrl;""\;¡ al "l"llld" t - O ¡'\ "1\111,1., / t-I 1 '1' 't - \ (ju" . • l'Hl l.' .l In JIH o. (".' "tllldll""1I 1'''''.1., 1I,'gar,,' n"llt'do.l la tl' l\l,,'t"I"I'1 ¡' 1 I 1 rt"llll? • • IIl:t C. l~ a p~l Il •.

, " -, '

1 I mildo a 1111 « l.

CAP TUlO I

•

...... ... ........ -"....,.,. u ........ gravedad, ............ ...

692

12.2, tkuIa no tuddela

tant de la En la 1

una partfcuIa como ~ pj(IClucto de la partfcula. xpresarse n una fOm a1t mam

de la cantidad de m0\1mk'nto Iimoal actúan sobrt> la partfcul

La 'ón 12.. uhra la la lución dt pmhl 111 tilO

Internacional de t: mdac:1t , ('n E tado l mdl

En la! 12 - \ 'pil{" la !unda 1, tIt t \ un

nil"ria utill7AUltlo ('01Il1l<1II' nt< ("al, \ nonnal( d. I.e IUf rl t ,

n"('ordar '1'''' I 11 UII {"UI f1 1 n .,1 111 luulf autn\ll6\il. UII ('ol\lll o UII e (,"pililo I tkul.1 ('UII 11 hll dI .1Il.¡JII~tr 11 11 "111111 lit 1 1111' lit el (fl :In dC' UII.I mt.\('1Ón d. I "'1)11 I le J, .Ie u,

1.1 se: j.,'lIllILI partl tll 11 I ftulo ti. 11, L, "1 ell l{onmllQ d. le l1)1IlJl<lIIl nlt r. h ,1 I

m¡uwr.l partl{"ular .11IIU\11111( 1110.1. l. I rt tuL. 111 EII la '('(1(m 12 7 l •• mili /lIad ti, l/k t'III', '"

l ••• lln,d("(\,Jr d,1 punto () ti. 111' ," IJ 111Jl(JJIJ( 1111 .&1 1.ll.lIltld.ld d"IIIO lJ1J1' IItn 11111 .1,1, 111 .rtl ,,11 ti. r IC I d(·dUl,{' de l.. '1md.1 l. dI \1011 '1''' I r,villl'l. 1 .. , lid •• d d., 1I10\11111(nIO .1I1"uJ.¡r 11, ,l. 111 Irtí uL, 1 wl J.. mOIllCIIIO .lln-d lor d, () d. 1, f", rll '1''' "11111 " MIl

La se:U1ÓIl 12.9 Ir 1I Itl rJ\e"lIlll. IIlo.k '1JI11"t IL.I l' ullafllC/-=a u71/ml ( lo ( 11)< I 1 •• 11111 ru. 1'/1 JO J.. d 1111 punID bJO o. I'IJ( lo 'III( 1111. fllt r.r..\ ,1; • t 111 111 1

nln.J..Jor d, () l: 'lldU\l (¡II' 11lIJ f\ 1 LI U I L.I Ir ;\11 '1.11.lr de 1.1 partí 11.1 IIn L: lor.1; () 1- a P"'1 L.I ra ('on ¡de rabIe tI UJ.íh I ,k 1111<1\11111( IIln llr, 11"" , ....... 1.<1 ('t. n t ral 1 11 11 'UcJll 12 10 aplK la ,¡ K I (';\11 el IIIrnllnJl lito orblt 11 tIi (111 TI 11 Ir

IMt [('( '1 JI" d. 1 l. 11 11 l. 1 "fI('''I'"';&Io~ dI 1 u IÓIl II¡ .1"'1 h, d. 1 rr 1, JII rI ~

b f '" ro II( lO di I "" " • 1

LEY DE MOVIMIEN I o DE NEWTON

puede nun(.1ar de la manera siguiente: que actúII obre una parl{cula 110 e~ cero, la

pn1pOP'donal a la magnitud de la resul­de Ma foer=a resultante. movlml nto de ewton se <.'Omprende mejor al

mento una partícula somete a una fuerza magnitud F J• Bajo la aa.ión de esa

la partícula n línea recta y en la diree-12 lo la posición de la partícu-

ncuentra que aceleración tiene una repite con fuerzas F 2,

o direcc.lón Agura 12.tb y e). se des-mu en la dirección de la fuer-

magnitudes (J 1 as a3 • ...• de las ace­a las magnitudes FJ• Fi. Fa. ...• de las

... = constante

para el deJas de la

fuerza • la t la

l.2.1

122 nda ay <le movomoento de Newton 693

•

a

b

e

figura 12.1

F llb

figura 12.6

figura 12.7

de

en Iizarse en c4Iculos de consistente con las En cuando lCtda Iobre eIJa do se somete a su ¡noplo ~ la de l. gravedad, g - 32.2 ffl.- ( que requiere la ecuación (12.1) pie, la libra y el segundo la ft/sz cuando se le aplica una llamada en un después de sustituir 1 lb escribe

F=ma 11b 1

IConocido tamb~n como _""'"

698

Fotografía 12.1 Cuando viaja sobre la parte. curva de la pista. el trineo de carreras está SUjeto a una componente normal de la aceleración dirigida hacia el centro de curvatura de su trayectOria.

Componentes rectangulares. Al desc'olllpOII('r cada fl\(: I I . l ' ·'I.a F y :t a('(' ('raClóll a ('11 COIllPOIH'III('s r('dall~1I ar(' , 'i(, ('scnll('

'Y,(P,i ..... F,j + F.k) /Il{{/.i + fI,/j ..... fI.k)

dI' lo c¡ 11(' Sl' (lt-d 1IC('

'::2F, O":: 11U1 , ~P'I - /Ilfl,/ "'2.F_ = 111([ _ (p t - Jl)

Al recordar d(' la s('ccicín 11.11 que las <:OI11poll(,lltes de la acelf'r' " . 1 ~Ion SOIl 1.!.!;1Iall's a la SC'gllllcla el('Ji\ada ele las coorc ('nadas de la partíc:l\l.

. a, se. 111'11(' .

~F, = 1/1.\: LF = I/!V" IJ

C()llsid(~r<'s(' COlllO Iln <'jt'lllplo, el l11.ovimicnto ele un proyectil. S SC' Ignora la f('sistC'llcia del aire. la línic(\ fuerza (iue actúa sobre el p 1

)'(,ctil desplJ(~s de qlle é-ste se ha h~nzado es S1I peso W = - Wj. En c~~: S('clI('n<:ia, las ('<:II<I<:iOll<''i q1le definen ('1 11100imicnto del I)rovcctll s . on

1//\: ~ O I//U = '" 1//;: = O

Y las COI1lPOIl('llt('S d(' la aceleración elel proyectil corresponden a

" . . \' = O .. O - -

~

.. !I = - 111 =-g

dond(' g ('S H.S I 111/,,2 o .'32.2 rtls". Las ecuaciones que se obtienen se illl<'grall de lIIallera independiente. <:01110 se muestra en la sección I 1.11 , para O!Jt('IlN la velocidad y el desplazamiento del proyectil en cualquier illstallte.

Cualldo Ull prohlema implica dos o más cuerpos, las ecuaciones de mO\imil'lllo debe]) escIibirse para caela lino de ellos (\'éanse los pro· blemas resueltos 12.:3 ~ 12.4 ), Se recuerda de la sección 12.2 que todas bs aceleraciones deben medirse con re'ipecto a un sistema de referen· cia ne\\toniano E n la mayolÍa de las aplicaciones de ingeniena es posi­hle ele'terminar las aceleraciones COIl respecto a ejes unidos a la Tierra. a1lllqlle las ace!eracIOlH's relati\ as medielas con respecto él ejes mó\;les. como los ('jl'S u nidos al cuerpo acelerado, no pueden sustituirse en lugar dt ' a t']) las ecuaciones de movimiellto.

Componentes tangencial y normal. Al descomponer las fuer­zas)' la ac('leracióll d(' la partícula el1 componentes a lo largo ele la taJ,l' (tc'])tl' a la tran'ctOlia (en la dirección de J1lO\'Íllliento) \" la nonnal (hac¡a ..... .

1/

lF IIli.ln

..... Ic - ,

Figura 12.9 " (p ;JI,

el inl<'rior de la tray('ctoria) (figura 12.9) \' sustituir a la ecuacloIl ~.~

Sl' ohtielll'1I las dos ('clIaCÍones escalares'

'ZF, = ma, LF" = II/{/" ( 12,9)

Al sustituir (/, y (/", de h; e<:uaciolles (11.-40), se tiene

,dt, v2 (12,9') "'2:. F, = 11/ 1 "'2:. FI! = 11/-

(/ P • 't¡¡S,

Las t'clHldol\('s ({l1(' se obtienen pueden resolverse para dos JIlcógru

12.6. QUILlBRIO DINAMICO

\1 01 II 11.1e 'Hl lIin 1)" \ tJ'l 1 I 1 .... -. Spolll'r (, rniPJ nb ' I 11 I 1

({ n)'.l l gUlld.1 1(,\ dt' {'\\'t l iJO ((' ,H () ( (' r('(' IIO, , {)IJ (n a orilla ,t1II. rnatI\¡ 1

71/ a () ( 12.10)

(11 1.1 IflJ(' l' (' pr(' d (11IC' ,,¡ S ' SlI l1l a (·1 \ (·('tor - , , 1, ' r , I ., 1 " " I . //1<1 el ,tS lIPI-zas (jll( ' ' 1('-tu,lIl O)Jt d p.u tlU I a, '1' u l'/ /(' 11(> /(1/ ... is/ ' / .,,, "

f'! I :) ~ , ( ///(/ (( I ( ( lor('s ( '(I'I/I'(/ltl//(' ellll Jlj.,'l l r.l :....101. 1'.1 \ ('('l l) r II/·t dI' I r ' t ! 1 (/

1 I . ' , lI ,Il..,11I 11( II/f! \ ' e ( , di rt ' ( 'citÍlI (l/JIU la .1 a «' la . t e l( 'f'¡Il'I (lIl S( ' d( '1I01l1ill ' l 1" ' / • 1 : ,

'. .' • (( 01 (1 ' I/U'/"( ' /(I , De' hl modo, ('., fae! lb lt' C'oJlsal! m I ( jll (, II !) 'lrtí('III '1 's t.' '1'1 . 1 . (

, ,. ,_ • " '" ( , 1 ( ' 11 ('r¡1JI I )110 )alO la ,1 '( IÓIJ d l I. l<i (11( 1:t ... 1S e1 , II!.1 \' d('1 \ ('(' t()r d t> iIU' I( 'I" l S " 1'" I '

.. • , , ( , 1 11111 ,1 1111(' ' 1 Inr-lÍ{'ulil (sl:1 (,11 t¡71 ilihrio rlíl/ríl/l Ít '() \ (,II)J'ol>l(' III '1 /111( ' S( ' " 1 ' ' ' 1

• " .. ( (OI1SJ( (' ra plll '( e n' oht rs{' JIU dJa"lt·los IIl(' tO<!()S l!ll(' SI' dl':iarrollarol1 :L1Ill's ( ' 11 ('státi('a,

1-.11 el ca () ch, fW'I'Z:l<'¡ {'oplalliln ':i, todo.., los \('doJ'('s 11"(' se ' 1l11lC'S­

l!'tUl ('11 la flgll ra 12. 10, Iw'llIl/t ' I/r!(/ 01 I'( 'I ' I(//" tI( , illl ' l'I ' i(/ 1)[J('d('11 t ' " , I

L • , , r ,1/.tll -

(' 111 11 ( l P U( 'S d( ' 1 o tJ'lI pal d I()J'Illar 1111 p()lí~OIlO \ ('dorial ('('rrado, l:lIl1b i(~1I (' 'i j>o'iil¡l (' igll ,dal' a ('(' ro la \llllIa dI' los ('olllpoll('lll( 's d(, todo,;

los \ ('don '. ('11 la fi gura 12. 10. ill('llI\('lIdo di: 11111'\0 al \('dor de' 111('1'­

el,1. 1'.11 con lTlIl' lI l'ia, IIti li7.<tJld() (()Il ;P()lIl'lIl( ':' J'(,< · tall~lIla!'('s . S(' ('scJib('

() " " _ y- n ;lIclllyCl1do el ('('ctor de inercia 12,11 )

Cu,mdo se 11 an las CO IllJ ulI(' lIl( ' ~ tall~l'II( ' laJ y 1I0rJlI,d, !'('sldta IIlÚS COII­

\{ ni ' IIt( ' n ' p n (' J}tM ,1 \ l , t()1' dl' illl'rt ia pOI' lIl<'dio d(' SIIS dos COlllpO­

IIpnll' lila , ~ ma " \ ' 11 (· 1 llIi:'IIIO dihlljo (ll~lIl'a 12,11 }, La ('0111-

P( 1I(, llk tang l ' Jl 'jal d\ '1 \ (' ('(01' d( ' illl'rda ol'r('c(' Illla 11t('(lida (JlI(' la rl 'ii l(' IlCÜ de la p arlíeula pn' \l'llla a tUl call1bio C'JI la \C,locidac!. ('11

t,mlo r¡u{' II C'O JIlpOI](, llt( · Il() rlll al (t alllhic~lI lIaJllada.///(>/,":(/ cenlrifllga ) n pr(' pilla la lt'lJ(It'J} 'ia el!' 1.1 partíl'llla H ahalldonar sil trayl'dOlia <:111'\',1.

Jo: Jl(' ' (' anu ad\(,rtir quP ellalqllil l':l d( ' ('stas dos COJllpOIH'llt('S pued('

,'ror (.'('r ) ('11 cOlldicillll\ 's ' lw<.'iclle : I ) i la part íl'lIla pali(' d('1 n'poso. su

\ ploC'iebd imdal ('S cero y la 'CllllP()IH'lItC' lIoJ'Jllal d('1 \ '('dor de im'l'c.ü cs

cero l' ll l (J; :.. ) si la partícltlil (' 11111('\(' COll ,,('Iocidad COJlstaJltc a lo

lar{r( de su tra)\:'C1orta, la CIIIIlI)()IIl'llt(' taJl~('lIdal d('1 \ ('dor <1(' inercia es

('( 'ro \' sólo , 11! ce ari() c'ollsidl'rar SIl C()llIPOIH 'lItl' 1I0rIIlal.

()elmlo a C¡IIt' lllid(' la r(':ii~tl JIt'ia qUf' la partíclIla o/'rc(.'(: cllando se

trata dp pOllPrla (:'11 IIHI\ ¡IJli('llt(), o ('lIalldo S(' illlvllla camhlal' las COl~­di 'iolle dI' C'Sll' Illi'il I() , I()s \ ('don'\ dt' illercia a 1lH'lllldo SI' denOll11-

n.m {lu '-:'0 de il/l.,-cia Sin ('IIIJ¡ar~o. las 1'1It'1?,aS di: illnda 110 SOIl siJl1i­

larC' a la,; <¡1H' '{' ('lll'lH'lltraJl ('ll \'stütiC:L, 11',ll' S,OIl fllerzas d~' COJl,t~lctO, o (Iwrllls gr:l\itcll'iolJall's { I)('\()~)' Por C'OIlSI~lIWlltl', Illllcll.IS pe ISOII,IS

1 1 1 1 "f' .. 1 -.' 'l'I('r('n ,ti \ '(,dor -lila. o ljf'tan \,1 uso d(, a pa a)11I lIl'I'Zi! ('lIall( o S( I( "

1 '1'1' l' ' " Otros 'llmllan que o in ,luso (" itan ('1 ('(llIceptll «' ('CJlII I )no (lItallllUl. , ',' ,',"

I r: 1" 1 ,. ~," .. 1 " . )1110 hs ¡q"l\'ltaclonal( s, ,1r( c.-a 1\1('1'/." «(' 11\('ITla v as 1ll'IZ,lS I( ,l( s, 1I " ,:-.', " ',1,' , ' 1 '" f' , " 's I)OSJ hl(' cbstlllgll ll ,1S

lall nI\(' 11'0 "'('Jltlc!OS ('11 a IIIlSlll.! 01 1ll,1) no t" " " . ) I 1, , ,", "1 'n 1" I t' levador <¡lit' se acc-

por IIlpdi 'iOIJf' Ir Jeas, l 11 10111 III qll( \ I.I} t , 1 1, , ,_ . . -. . ., lt'l IllCl't'llIcnta< () « Jl1,1Il(

Itrillt.\daaniha})\J('d('s\'1I11rqll('SlIptSO Sl , 1 ' l' 1 "1

1, 1 r ,t ,1, lelltro dt'1 (' ('\ a( OJ PO( n. r,l J('lwntllla, \ Jlillgulla 111('( Il a (' l'( 1I,ll

l·1 C " , 1, . cJ'('JlH'lItado de

( llhlc'(' '1' 1 (.sl(' ('11 \l'rdad (' ,tá ilt'('I('rac o o SI SI' l,tllll'l" " , l' l· t" 'ci(¡1l ej('rcida por a Icn.1.

IIl.lIll r,l repentilla a IlJ('17a ( (' ,1 Iell 1 1 ' ,11, I'IS J'cslIcllOS dc ('sil' l. l·' 's l (' os plO ) ( 11 , . ' (' ha 11(' 1i1do a ,IS so 11( HIJI(, 1 1 1, 1,\' dI' ;\'l''''ÍOll, COJllO

1 l· ' , liJ'f'd'l (1' a S('gllll(.1 ( '1' lc lo lIH'dianl( a ap ll'at'IOII ( • 'I"! ' (:1 Jlll;!odo dc l'<¡1lI 1-

f' 1'') ~ ·1') q \' 110 1I11'( 1.111 ( l il" Ir t eJl la Iguras -, ) -"',

lino din.ill1ico,

lo'

1/1

1

Figura 12,10

F 1

11 ,.

F

lila,

Figura 12.11

. ,-

o

FJ o

lila"

I

I

1 ........

\ {.¡

•

r _~ I)'&.1

'" h 2\ lh· ft

PROBLEMA RESUELTO 12.1

l n hlwl'l( (h· 200 Ih de '<111<;<1 <¡olm' 1111 plano horizontal. Ddennine la mag_ Il1tt~d dI 1,1 fu< r.t.l P (111t' '>c rl'qIlÍC'rv para dar al bloC¡lIe una aceleración de 10 ft - k\('ia 1.1 <!<>reclll. El COl' fki l' 11 k dp fricción dlH~tiea entre el hloque y el pl.mo (" IJ.l o.~:).

SOLUCiÓN

111=--(1 ,...

200lh = 6.21 lb . s2/ft 32.2 ftls2

(' tit'llt' fJlIC' F = IJ.J..S :;:: O.2.'5S y que a = 10 ftls2. Al expresar que las zas <¡1If' acllÍall obn:' el bloque son ('(luivalentes al vector ma, se escribe

-_I' l = 1/10:

_F" = O:

P ('os 3()0 - O.25N = (6.21 lb . s2/ft)(lO ftls2)

P cos 30° - 0.25N = 62.1 lb X - P sen 30° - 200 lb = O

\1 re oher (2) para X) u tituir el re ultado en (1), e obtiene

¿ T = P en 30° + 200 lb

P cos :30 - O.25(P en 30° + 200 lb) = 62.1 lb p -151

PROBLEMA RESUELTO 12.2

[)

T

11/ ~ = 100 kg

/1111 = 300 k,

2940 msaB

T

PROBLEMA RESUELTO 12.3

Los do blo(!'\(>., (lile "e IT\lIPstran (>mpít'z<ln a 1lI0\('r~e a parln d!'1 reposo, El plano honzolltal \ la llolt a 110 pn <;('ntan frícci(¡1I \ <;( <;1l1)()IIP (11Il' \. 1 • • <.l lflaSa ( P

b polea pl1edf' íg11orar'iC'. I kt('r11lIJI!' la .IU ,ll'raei()l1 dI' c.:ada 1¡lo'!1\( \ la !P!I_

siün de (<ld.1 (1\('nla, '

, SOLUCION

Cinem{lti('a. ~l' tí('11P (!I\(> si l·1 bloc!1w A SP 111IlP\('\a dístanc:iax,\ hac:ia la d"n'l'ha, I'l hlot¡lIl> H <!1,.,cil'Ji(lt·

Al dift'relll'Íar do . \ ('ces ('Ol\ n's!wdo a 1, se tiene

1 (/ R = i(l,\ (1)

(in~tiea. SI' aplica SIICI'sh'aITlt'nte la segunda ley de e\\ton al bloque 1\, el hloql1P B ) la polea C.

1 \ Bloque \. Al deBotar Ill(·diante TI la tensión en la cuerda ACD, se

escribe

Bloque B. Al observar que el peso del bloque B es

W8 = t1I8g = (300 kg)(9,81 miz) = 2940

} al denotar mediante Tz la tensión en la cuerda BC, escribe

+ ¡l:Fy = mBllB: 2940 - Tz = 300aB

0, al u tituir a8 de (1),

2940 - Ta = 300(ia ) Ta = 2940 - l50a

Puesto que me supone igual a cero se tiene

+lU, ... fI'IcCJc 1:1 O: T. - 2T1 = O

(1 en (4)

294.0 - l50a - 2(100rJ ) = l~ - 35OrI. = O

'-~

(3)

(2)

(3)

PROBLEMA ESUELTO 12.4

El bloque B de 12 lh empieza a moverse el reposo y desliza obre la cuña A de 30 Ih la cual está sobre una superfici horizontal. i se ignora la fricción, determine a) la aceleración de la cuña, b) la aceleración del blo­que relativa a la cuña.

SOLUCiÓN

Cinemática. ración del bloque.

e examina primero la aceleración de la cuña Y la

Cuña A. Pue to que la cuña está resbingida a moverse sobre la fici horizontal, aceleración a horizontal. supondrá c;¡ue ésta ta hacia la

Bloque B. La ma de la

donde

hori70ntal

-

de

stá dirigida a lo

aplica

la

aB del bloque B ydela

-- +

de la

un

ción de la y

En lo prohlPlllas de esta secd6n '(' aplicará la segunda ley de movimiento de ero­flm, _F lila para relacionar las fu('r/ .. m¡ (lue al'tímn obre una partícula con el mo-

\ímic'lIto de ('sta misma.

l. f crilllm ele las ecuaciones de modmiento. Al aplicar la egunda ley de ('\\ion a lo tipo U(' 1ll00;lIliento que (' e. tudian en e ta lecci6n, e encontrará más

(.'011\ t'llit'nh.' (' pn' ar los wl'tores F ) a en términos de componente rectangula-n' () el«' u. ('ollllx)J)('ntes tangencial)' normal.

a) (uando e utilicen componentes rectangulares y recordando de la d6n 11.11 las exprt· iOlle que e obtuvi ron para a r , ay y aZ, debe escribir

b) Cuando la 11.13

12.1

• xpre Ion qu

dv 2F, = m dt

mm: .mi litO r lula, o. Cuando el como en I r su Ito 12.4, a

Bcomo

= +

a , o ,la unido y n traslación.

lo largo de circnlar, la

nolmaJ a

B se i queB or obo lado, si

debe

B

:= -.= ...

Figura P12.3

figure P12.5

706

12.1 \',11 \tlrll . 1I d l!t'ra HlII {\tlm\.1 .1 1.1 ·1 I 1I1 1 si olll'i,lllIll'nlt' l' h.1 de 1 '11 I:lv 1I 111 I .1 dt IIn.1 I 111 1 tll ,11\ t

k 1 ' \ (Itllll( IOll ('11 \.1\1 _0 g, ( t'll'nllllll ' {' l ' 1

12.2 El \ .1101 dt' 1.1 .I! I l('r.1! 1011 It 1.\ 'l. • I l. 11 11111

.-. t J d.\do 1 or J!. 70 ¡lO OO~ ( n 1 ti 11 l. h t'tlellla (1 fl 'lo lit· 1.\ rold 1 11 d( 11 "ll! n.1 )111110 111 I III 1I 1 1 11 ) l' l' tt'll( .1 , 1 Ofi('I.IIII\I'1I1t 1 It 1 ti 1 '11. do 11 111 I It \\11 1 r

t'OIllO igual .\ _ kg dt'tcllllllh un h 1 1.1 (11. It 1 1 If r 1 I '11111 ' 11 kih l!;1 11110 \ ~II P I ('11 ni ,tO\l ,1 ti 11 I 1 tlllI I 1 (/ (

12.3 l 11.1 b.1 (UI.I d r I lit \, unll ull (1 hrl.ll I hl.l.l.OS d(' 1 ".1Il1.1 1~1I,"l' t flllIl .11 It ( ho ti 1111 Il lor 1 1.1 form.l inllic.H!.t I .lflll '1 Id, nl1 o 1 11 ti mOJI 1 lito 1" Illllt'\t' h,lel,¡. h.J!) ('011 ,1 I l('rall)J1 1 _ I 111 111 i I

c.lrg. dI' -; Ih. ddl'llIllIH' n 11 o d 1" 1 ,pI! h b I I 1I b. 111.1 de n '\01 1(' b 11M, 1Il' .IIlII 1r.1 ¡1Il111. 11 1I ll.l'iet

'¡1I1

cllando el 1 11'\ ad, r ,1'l'l! IIdl ( 1II I ·11 1,1 Ion di _ l

12.4 l ' ll ,It(ohtt 1 ,1 ol tI 1 Itlll, el I I 1 111 111\1

U Igl,1 11 illgl ' J ( t 11 \I(·lItr.1 t 11 Irllt 1 111 r I 1_" ) "'1 I 1 ('rfi J( d(' la '1Il'n ,1 \ l"OlIll h t.l 1111 I (Ir! 1I I uf 1_ h 1 I 111 1 l'.lIltid,ul dI' \110\ lllllí'nto 1m ,11 dd lIt 11\ II -;- \O 111 ti 1.1 '11 'rT.I (' dt l lO 11\1 d t< 1 milI! el 1.1 mili 1 It ht " JI ,¡I ~lill' .mk (11' t'r IIII/ulo dI el 1.1 lu rr I

12.5 El I IO«IIt' I( \0 Ih 1111 1 I 11 11 ti 111\1 1 n

/.<llldo (' h.ll'I,' tlmh,\ ( lI.m Jo ( .11 he 111 [lit I Z (111 t mh 1 )( hrp h (llt'n:11 qlJ( lo o tu 11 n 1 1 '"or,m I I ('[1' to d(, la fri<:( i{lIl d t nllm l.. I( I tul dI I 1110\ ido l.') ft

12.6 l n ,lIItOIllO\ iIí ta <¡Ut 1aJa I lo f rPllo de 111 IIll fa tí hlt,1 \ st d( ti n miní' a I tií'IIlIX) r (1lIendo p.u"" qll dente de frÍ<.'ci6n ('ntrl' las 1

12.7 U n automóvil dt' I 4CX)

dient de 4 a una eloc'1dad de lmvb <>Cal ¡ona IIna fu rJ.: de fJ nado 7 Dete! mine la distancia por

12.8 la dad

12.9 tn (-,ohe tt' •• (' (\.J •• qllt' JX •• () - Ih , IUI/ •• t'lt ••• 11111 111 1 I el reprn0 t'n d lit'lIlPO t O COII 1111 ,mp"lt ( 111 1.11111 dt - 11 111 111\1 111

gtlll<lo.\ in l'1Il11ll.Í<' l'1I ti, I 1l!lIor.1 1.1 n 1~It'1l( •• 1 1I Il!lm 1111\ 1, del cohelt'. <Id 'nnillt' (J J.1 .lllIra 1Il,l; 1111 •• "<¡lit .J ',Ul/' h 1 I Iu 1111 I

parn llegar .1 ,.ltura m,l; 1111,1.

12.10 ln P,ulllt'tt' clt' 40 k~ l' ('m'II('nlm oh" 111\ pl.UlO 11\ 1111.1) cuando le aplica IIna fllt'r/.a P. Dt'll'fmin(' l.. JII •• gnilll I dt P i rt 11'11(

ren" pam que el pa(luelt' r('('()rr,l \O m ,.1 .C (l'"d{'r pOI t I pl.mo l.o 1(

ficiente dt' fricdón e táti<',l ~ <'Íntli<' •• ('nlre (,1 pa(!lJ('1t 1'1 pl.UlO OH n'''-

pecthamente, d 0.30. 0.25,

30

figure P12.10

12.11 i la frenado de un de 60 m parejo

100 kmIh cuando automóvil ti hacia abajo un plano 2 por

12.12 Los dos al principio. i ignoran

los I bla

dih partí r elt 100

partir de b

FIg&n P1U

de ley de Newton

1215 110 B

1218

p-o

7 O

• - ,

"Iaur P1225

~lDur P12.27

•

I I

P12.2

I

1 I

P1230

1 J I 1) Ir d. 11Il (,tlI1HlI1 ll1hl plb (\1 111 I (U nprirnida E'I ( I dlldor IIlC "11 pr tul ro 1,1 (,1111<1 d.1 {III( 111 J. ti 111 ,Illlera de d,

1( ¡ ( I ':> () (O( h(1 J1tf d( friCl'lOIl "l1tn' 1.1 1.1 I 1lI 11 1 ti 1II.1dpra ('(JlTlp".

I ( t( lICio 1,1 ( ni ()J1 I.L O. O, 14 (! ~IJ dI tI mi 11 a 1I al' ,Il •

r I '1 IIlhll 11 I ¡ d 11 '11I)1l '1"(> pn)\o ,Ira ~ 1 lit' h/l' I 'lit" ti 1.1 pill dp 1n,1

der,1 " 1", l( r I 1011 dll l'ami6n Ilt'C(' ,\n.1 P 11 .1 <¡II(, I.t l qll\nl \ de Iu piJa

d. III 111, r.1 lit g\lf ,11 ( trell10 dI 1.1 ('.UII,I ('n () l <,.

12 Lo !1rolllllsorr", lit' un b,ln'o cl<' 1111<' 1 /11 pIH'dl'n gl' llpr:¡r 1 , trld

t 111 r 7 IIl1plll 01', I 1'0 (lI,mllo los Illotun 'o; SI Ill\lt rt. 'JI 0;,' prodl\ce ti lIa fUI r:

dI' 1 'IMI III I rllatlld p,'ro ("n (('1 )Il 01'11(''01,1. 1 (1 har('o 'l' ('o;tá <l{'~pl Ü"II\~~ "It , uII.1II11 ,1 1\ \tI()('ld.ld l11.lXlm,1 t () ('1I,lIIclo los alloto 1" t' ponul l'1I rp_ \( r ,1 d tI fluilH 1I dI t,lII( j,a qllC' n'corre I1 harto ,Ilit'o; dI' dC'I(,IIC'r'il' ~

1 ' l' \l.

I)(lIlga 'lllt' 1.1 n I h'nu I fn('(·jonanh de ,Igua \,ln,1 (Ired.llm. llle COII d,...,· ",Iol-

d, ,Illo d., 11 \l'lodd,ld

1227 l' ,¡pije a 1111,1 fllerl.l (On,I.llltl' P .11 pi tÓI\ ) la \,mlb dl' nl,~" t 1I d TII P 11.\ (¡lit t ITIlI!'\ .11\ ('ti un (i"mlro Henu de .. ('itl' Confoml(' ('

111111'\( 1,1 P t 111 pl.1 t i!1 C'i oblig.1lto a .Itr I\{,.,ar 10 ' onfkios llt'l pistC1n pard

('WI t r ul n ,te' UII,I flll'r/,1 1 magllitlld Id 111 la lllr >('ci(1O ()pll{'~ta.ll mo-tI"ll lito dl,l PI IÓII Si ( 1 pí<;lón p 111 d. 1 n po o t'O I O ) x - O 1Il1l' trp

<¡II ' 1.1 « 1I.lt'l 111 n,J.ltl\ 1 , 1 , I ('S IIIIC';\I ( 11 ("ld.1 1111,\ (lt~ hl! \ariabll's dondr ( 1,\ h t.UH 1.1 l' ('()J ntl.1 por (·1 pi t lTl \ 1 la ,doCldad cI 1 1111 lOO

1228 lJl pro\l'dd d 1 kJ! dísp.lru \l rtíe.!III1f'nk eon \Iolidad mi, 1.11 Ir () .d 011\/1 11 ,Iltllr.l In IXJJJl<l \ ea< ,\1," ·In. 1:1 arra tre (\C'rodiná-

IIllltl 1) lit 11<' 111 IgIutlld J) 0,0021 t J( ndf' f), l ., l prt' an {'II Ill'\\ton

'" I PI ('tl\.al\l('nte I 1, din ( 1111 cid ,tri 1 lre lemprl (" 01''' ' la ,lid

<h 11 \( lo 'Id.a 1, (\el<'fllIlIlt' a 1,\ .11tur,1 m,l ¡ma el la trU\l'eton.1 11) la \doci-•

d. el <1. ,1 pro\\' tl1 (lI.uHI< lit g. ,11 1Ie10

12.29 l 11 n'<;OJit . \I~ tI. l:on tante k (' IInl' ,\ un soport!: ) a un eo-Illríll elf' m.\".1 111, 1 1 IOllgItllllllonn,11 df'1 re mi<. ' l. ~i (' ul'll.l 1 t;ollarín di I (1 n 10 u lJl \ I ~ Ignur.1 1,\ fm 'iólI ntr" 1 collarín ~ b ',Iril\¡ horwml,11 tJ¡ I nlline 1.1 I/llglutud 1 1" ,l'Iocicl.1d 11,1 collarín clhlmlo p;cd

I}J 1 plinto

12 O FI 1 h 111,1 de tre hl(xl'lt dI 1 ( kg l: o ti 11 el1 11\1 pl.mo \t T-

11<.11 , I t 1111 I tlml I\!t t n 1'<'1 ) I 1 ~IIOI .tIldo I.tl¡ ma ,1 de l:l! polp,lS \ ('1 f( 10 d. 1.1 111 'tlon ()I,,· ( t.¡: dt t fllllI\( a I "IIUbIO ('1\ 1 o id6n d I hlo-

(\,I< \ el d!' l ') ,!J 1.1 kll i 1II l n ('1 e,lh! .

Figure P12.31

1 1,0 x'" I( IIIt d. In 1 m 'lItn ti hlntl" B tI t loql1t 14 O 10 , ('lit n • 1 hloqllt \, 1 I pi U10 llldinado JI.,. O:M 11 01

11 O 1111 1111

t nIHIl( (J

I I 1 hle l' It \ 11. !le 111 lid. 10 k ' 1 hlexlllt B d .to.

1 I h 111.1 • h I r 1 d. l. I nI) () 1 11 1 , l. rau 1II d. \ b le 1 h 1 1 B 05

I I I

lt'II--nl IK

l ,o 1

1

I ji mi

FIgure P12.32 Y P12.33

n ( lIlll

11 dI 1. poli L. blo( ¡lit" h J.. t

u ( 20 lb " 11 (le 10 de 11

1\ i '111 ('11 ti (\lhk_

12 33 fllIt ntl· d fn< 1ón ntre tn' hloCj'u's . las Sllpt'm-'K,nI: mtalt )JI ,.,. O 2.5 \""A 0.20. .,OS P('so d(· los hloq\J{ son

u u ( 20 Ih u H lO Ih I los bloqut> tán inid,llm{'nte t>n reposo ( mil hana la el. n'( ha 2 ft n 0.4 dt·temline a) la a(.'e1emción de

hkxJI'" h la n 1 <.-ahl . e la fUt> P. o tOlll(> en cuenta la n 1 111 del ,

1234 25 k~ un miro pe al

1235 8 250

I n I la

D.

hre una uperfil"Íe inclinada. n la qut indi(".l. i

la n el cable in-mpieza moverse desde 1 re-

un (".lbl unido a una vi~ 1 inclinada en Ja fOIUla que

la al I t'tilla ti n una de a) la 8 reJa-

mm a) 1 fique

Po m 71

figura P12.3f

7 2

{JI I

I )lIr IlIt I practica de un lanzador d m rtlllo la cabeza rtlllo gil"" {'\c)Cidad <.'On tant v n un <'1rclllo hori7.ontal A dt-

qm IOU tm la figura. i p = 3 ft. 8 = 60 d t mun a la te en la I unhr B( b la elocidad de la cabeza del martillo. Osión

- - ----

p

I u P12

\

Agur. P12.50

11 t 11 11 (1 e. 1II1. PI (11 Ion 1 lt, ld d Un iU').

n , 1I ti 1 Ir l 11 dr ) 11 () k 1 'IIW ,i q:l (011 r.llml 7 de 1 iO I1 pl'n IS ¡>U'rdt

(111 \ lo ( 1J11 ti (1\1 1110 cu.Uldo .11(.\11:1: 11.1 tn t.1 \ ti 1111.1 (olma a 1) t lr

"1I11l (11 Jlud( (UI"\ Itur.l[ld I l)('rfiIHrti(.11 llt'!(.lIl1 10(" .\.b t'tihi'~LI1do (1 .llm d. p ( Jlt ulldo (11 ('1 Jllci o (/ , el t( nlllm 1.1 fll('r7a (1t1 ')( r{ 1 1 I lito di 1 ('olldm tor ohrl' 1111 piloto de iO k~ (111 lIJan p un .l\Itom&.;1 di;

1 100 k ' (ti 111110 ( lt' líhullo \ 1.1) ImIo a ,('\ot'itl.ld (UI\ tantp dp ~O klll/h, p

1 (Ir \

12 \ 11111 PI 11\( lIa I (t'r.1 n d 0.:2 kg '1' Il Imprime IIna \ dO<. 'dad h I IklJO ' o \ o '111 ('1)IJ IIh rlad ('n 1111 11.1\10 \{·rtil'al, pnmero alrededor d( () 11\( go I 11 tumo ,1 1.1 t.lehuell , \ dI' ¡me (It <lUI' PI cordón hdl.P t'Orl-

t.llIo «(¡JI l t.ll1l1l1l1 1 I)('tl rlllilll la H·I(IL'ldad 1115 illl.l pCrJlli ¡bIt:' ' o i la t('II-1 )JI ( 1\ \.1 t lit 'rda IIU I \11 1\ ur d(' 1 U .

Ü 6 II - -\ 11 ......... r-() --.

\

-- -".

Figura P12,49

, t

UJm

I

" '" ".

I /

1250 Un hluqul H d(· 0,- Ih (' lll'Ul'lItm d('l1tm d una pequeña C.l­

\ Id Id rt lOrt Id.1 1: 11 1111 1/0 () \ . {'lellal gml en ell \.\IlO \ l'rtkal a mzón con . tant di t.11 IlImlo qm t U n 1 {·I J'{' urt 'jt'r l' ulla fuer!. 1 de magni­tmll' O· lb olll' 1,1 blmllll H \ in tum.lr ('n CUl nta fUl'17 .. a de fricción. dl'lt nllllll' l r.lJIgo dI' \ .llore dL O P \1 I ('1 t'U 11 I l hloque B {' tú pn contado ('011 1.1 1.:.1r,1 lit \.1 C.I\ ld.I(J 111.1 t't'I'l \11.1 .11 t jl d!' rotad n.

1251 Ln.1 pilotu dI' I:..() Ih \ullolllJl jl't di' ('JltTell,uniento en una me-1 •. 1 \ Ilt'lt I \ rtll.\1 lIt 1 Id.o de 600 n. (\e manera CJlle la \l'locidad del jet d. IIJIIIlI 1 .1 1.1/1111 ('011 t.mlt' . i lo !)(' o ap.lrellle de la piloto en lo' pun­

to \ (' IllI n "1 ,ti\ .Hm'lIte de SO, RO lb. d{'tl'rmiJl la fuer/.a que ejerce obrl (11.\ el .l 1l'IIto d(·1 jet ('1I.lIIdo l> lll('\IPlltm ('11 el punto B.

-----

--

('

)

.l600 ft \ \

.-----

/ I

I

8

I

1, 1

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l I Id 111 1Il • 11/ 1 • IJU'I I 1, , I I I , , ItI I 1 l" I1 /1<, P.I

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1 I l I 11 , 1111 1 I 1111 ,\1110 d, l.lrn r 1 (011111/1/1 1 lkl r.ll>.ir o I 1 11111 lo 11) 1 1 HU 1 I loe ¡(fld dI _o klll,l. ddt rmill( (J 1'):111

111, l l 1 I lit, 11 1, 1 ( 'JI fr( J( nll d I m'uOII l' 1,1111'" (ni u 1.1 111111 1 \ la 1 I '1' lI IIIItIIl 111'11 Jlft dI 1f'1IÍ{ ( 11 t foud.lfl mínim.1 a ',1 clI.;1 (,1

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12 Lo In /1 dI IJIt 11111 11111 (111110 (,1 \n In (lll( \í IJoIlh· dI \\~ h-111 '"" I ti IIf I 'urk Bo 1011 I 1.111 di (1I,ldo p.lr.1 dI' pl.v 11 t' ('(111 (-

IOtI I1 1 111 1 110< IIful. of,rt t 10/1( (111"\.1 (\(' 1.1 dI 1'11.111.1 pira tn' , '" lI(u",.llt IJII l. 1110 \1 t IIlr,lr.1 1111.11111"\.1 (.ld.1 \.1 '{1lI \l' indilla 'r 1I I Ktlllllor III<lr.lldl< I 1II01II.ldo olm' 11 pl.lt"fonn.l'i IAlllleJilla­

Ir Kit ri IIC I dt lo \ I 'Ollt 1.lInl,1I 11 Hit /( m('nl.1 (·1 ('(lIIfort dt· lo!\ p~ a-n al 11111111 r ti n"t11J( Ir ti IIIIII( r.1 CfllI "I('mhlt, 1.1 fll('r/AI lah'ral pam-

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1# JI Z 111 11111 1 nmllc!.1 d( 75 lIIill. dd( nlll/\(' a la lIIagnitud le I 111 r/. nI '1lJ( It IIIt 1111 I I.! IJ ro cJt' poo \\ t'lI UII \ .Ig(m ( .dar lJl 11111 '1111 111 h" K Ion f/J U ¡, (1 lIIJ.,'lIJo de IIIlllll,Il'IÓII f/J re. clllt'rido (.1

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Figura P12.52 Y P12.53

716

I I I I I I

O I

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:-I I I

.• hl Id

,. = 5()O 111111

e 250g

FIgura P12.56

!-6ft~

12.56 U Il p('q1\l'iiO collarin e de 2.50 ~ plwclt> ~leslizars(' por una var¡¡¡ C'llliC'irc1\lar dis('iJada para girar alrededor de la vertical AH a una tasa con:

tallte de 7.5 nuVs. J)t'termine los tres valores de (J para los cuales el collar{ 110 S(' dpsli;t.ará por la varilla, suponiendo que no existe fricción entre el con: nu \" la varilla. •

•

1 ~.57 Para el collarín y la varilla del problema .12.~6, sUFnga que los coeficientes de fricción son ¡L, = 0.25 Y J.Lk = 0.20, e mdique SI el collarr deslizará por la varilla al soltarlo en la ~sición co~es~ndiente a a) fJ ::::: ~5~ h) 8 = 40°. También detennine la magrutud y la direCCIón de la fricción ej , cida sobre el collarín inmediatamente después de haberlo soltado. er-

12.58 Un pequeño bloque B encaja en el interior de un corte de nura hecho en el brazo DA, el cual gira en un plano vertical a velocidadco: tanteo El bloque permanece en contacto con el extremo de la ranura IIl4s cercano a A, y su velocidad es de 4.2 ftls para O S 8 S 1SO°. Si el bloque (,()~li~nza a deslizar cuando () = 150°, determine el coeficiente de ~ t'statlCa entre el bloque y la ranura.

12.59 Un bloqu de lico que gira a ciente de fricci6n velocidad

12.80 a del len la

la

9 1ft

1 1 I.,ohn' IIn ('S('('II,IOO ~l 011 Inl\l' 11111 pl.lt,¡f()nlla girulona i\ (111

('

t' 1I1dlL 1"1 CII ttlla pr~)dllCl'lOlI t('alral /)I~nllltl' 1111 "IIScl)O ~P ohs('rv<l (pll' II

b 1111 n I III¡>/CL,I a d, ,I!~arsl' s;Jlm' b plal,donl1a gintlorid 12 .. t!PSPIIt'" dI' 'lile' Id llllp/l La a g/r,lr '>1 (,11':1111"1' Stlllll'II' a IlIliI al'l,lpraCHíll l"Jllst,lIll,' d(, () 1,)

fl., di lt'l lilinl' (,11'0 ~fj('i"llll' dI· flÍn 'i,'1J 1 l'sl.íl1l':I pn's('1I11' Pllln' ( 11';11'" \ la pJ..I.dOJ 111 1 gir;ltol"Í.l. .

12.62 1 ~1 1III'l'allisIIIO d(' IlIla("(' pantll,lo l \Hef) SI' lltiliza para lram­

porldJ' 1111 ('1 IIlllll'"I'IIIt' {I'llln ' I()s pr()('I's()S cI(, 11Iallldil('lllra ¡[I,las ('slacionl's

¡:. /. \ (; ,¡J ltllllar/o 1'11 IlIla l'slal'Ílíll t'lland() (J () \ dt>¡){)sllarlo ('/1 la ('sta­

clón igllil'lIll t'lIalldo (J 1 ~o l. Si 1,II'II'IIIl'III() 13(' l)('nn<lIl('("('J'<Í horizontal

dllrallll> Sil 111m illlil'nlo) Ins 1'lIlan's A13 ) CIJ t!;lrall a \'(·1ocidad COllstante

1'11 1111 plallo \I'rli('al, dI' 111,1111'1:1 <¡II<' In 0.7 IIIls, dl'll'nninl' (/) (,1 \'a1o !' lIIí- Figura P12.61 lIilllO d,-Il'ol flcIt'IIlc' dI' rrit'l'ilíll ('sLílica prl':-'('lIt(· ('lItn' <,1 (,OlllpOlll'lItl' y Be mil'1I1ras SI I·fl'l'llíala lrallSl~'n'llt'i.l, h) I()s \'alort,s <1(, U paJ'a los cllall's el <les-lizallli"1I1n I·S illlllill<'/r(I'.

1

1

r , \ J)

I (J.:! 111

1- - ,- - - ---I------r---1 O 2 I!l ().¡ III () ,1 1ft ().~ 111

Figura P12,62

12.63 Si los co('fkil'lltl'S lIl' f'rin.'i<)1I <'lItrt' l'l cOlllpollellte 1 ~. el ele­Illl'lIto He lIl,l IlIl'callislllo <ll'l prolll('IIla 12.62 SOIl MI' = 0.:3,'5 y MI; = 0.:2.5, t!t'tpJ'lnilll' 1/) la \(·Iocidad I II:Lxi 11 la Ill'rrllitida ('Ji si (,1 COIl 1 [lollt'nk 110 va a des­lizars" obr<' He IIlil'lltras S(' trallsfl('n', h) los valores de (j para los cuales el desliz lIuiplltO (:'s ¡lllllilll'lIt(>.

12.64 EII el IlIho d(' rayos ('atúdicos <{lit' se Illuestra en la figura, los , e

dedroll('s ('mitidos por (,1 ('átodo y atraídos por el ánodo p'l'ian a través de 111' peC{ut'jjo agujero IIhieado ( n ('1 ánodo, y lllego \iajan en línea recta con \ ~I(ldclad t'o hasta <11It' ¡lIddl'n sohre la pantalla situada en A. Sin embargo. ,ti ('stahll'cer una difl'renl.'Ía dl' potencial de V entre hL<; dos placas paralelas, los d('ctronE s t'stán sujetos a una fill'n:a F perpendicular a las placas mien­t~ \ iajan entr<' pstas. (' inl.'Ídl'1l ('n la pantalla en el punto B que está a una di l.mc1.1 [) de A. La magnitud de la fileml F es F = eVld. donde - e es la (',Irg.l dl' un (·leC'trón )' d ('S la distancia entre las placas. Ignore los efectos dt, la gnt\pd.ld )' deduzca una expresión para la des\iación 8 en términos de \ . tu 1,1 earga - (' y la ma a 111 de Ull electrón. así como las dimensiones d, I \ l •.

•

, Anodo

Cátodo y

-

v Pantalla

/---L---I

12.65 En ('1 prohlellm 12.64, detemline el valor mínimo pennitido del Figura P12.64 y P12.65 l: '\l'llte dll en t rminos de ('. m. Vu y " si en x = 1 la distancia mínima per-Il\Ihda Plltr<' la tra\t'ctoria de los electrones y la placa positiva es igual a () Oi5d.

717

118 •

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1// \

r

figura 12.12

12.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTíCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO ANGULAR

( ' . l' , l P 1 11'lS'l 111 (lile se I1I1W"<' Con res ,OIlSI( ('I'('S(' IIlIa ¡)artJ('1I a (e I "', • . P('{:t( ,

. 'O' - (( mo s(:' est tI ' ) a 1111 sistellla dc' rdc'n'ncia l1ewtOJ1lano Xlj~, ,) . . 11 10 en la se, ci(¡n 12,:3, la cantidad d(' mOvimiento lineal de la partí~ula en Un in~~ tan te ddc'rmillado se define como el vector mv obtemdo al Illultipli. ('ar la veloddad v de la partícula por su masa m, El mom~nto alrededo de () del vedor IIIV se denomina I1wmento de la calltulad de l1lot,r miel/to o la ml/tic!oc! de movimiento angular de la partícula en to l· , , rno a O ('11 ('se instante y se denota por medio de Ha, Al recordar la deR. nidcín dpl momelüo de un vector (sección 3,6) y denotar mediante r ('1 vedor de posición de P, se escribe

Bo=rX (12.12)

sp tiene que Ho es un vector perpendicular al plano que contiene r IIIV y de magnitud y

(12.13)

donde q, es el ángulo entre r y m (figura 12.12). El sentido de puede determinarse a partir del sentido de m aplicando la regla ~ano derecha. La unidad de cantidad de movimiento angular se ti~ne al .multiplicar las unidades de longitud y de cantidad de moil­mIento lineal (sección 12.4). Con unidades del 1 se tiene

(m)(kg • mis) = kg . m2/s

Con unidades de uso comlín en Estados Unidos

(ft)(lb· ) = ft • lb •

Al d scomponer los (6. mula (3.10).

716

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I , ,

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Figura P 12.56

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Figura P12.59

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, 1(' 250 g P"( dI d 1, r 1 nOr IlIlil \ , . 12 L r¡ p qlllill)collalíll ( ( , J • It,la \(ltI~a' H. 11'1,1 l ... . ,1111Io

I I I . " lln'« 'LOI ( ,c~.ll'r ('11111l111 Ir e I'iCllal a para glr.u • l ' el fJ I)ara 1<, (\Ia\( , , \. IIIS

1 - ~ 11' J) t .' 1, IS In"; \ a or( ~ L • ' u)IJ. . 1 •• 111 (l' I )ra( s {'C' I IIlI TlP. 1 ¡l' 'l <tl'lrill1'1I1~ 1\11' 1 <11111

" OqlH'Il" .... (1' \ 11" ~r el .. lrzar.l por 1.\ \ari lld. IlpOTlII II( ('{d'l. rill ~ la \ <1lilll

I 11 · 1,1 llrol)lp lllfl 12 ;jI), <, I1P'IIII7'1 1257 P'lra el (1 )1I ' lríTl ) a \ an .1 { • '.J'. \ h' (\\I"Iris ,,' , '. _ () ;¡.- ' 11 = 0,20, " 1I1111C PI ( SI p <:01\ .•

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,I, · ,II /Álri¡ 1)!lr Id \:trilla al sollarlo 111 la posiCi()\llcoll'~l SPOI!{ "'\"1'1 ' alt~ ) (J o:; 1,) ' . . '1 I '1 ( 11'1'('(11)11 (1' a n·,' . ¡" /1 :.. 4()'. 'I: li IIl>i<' 1 1 .11'11'1'1111111 la 111,lgITII

I( '} '1 1 1 ·1 . \ I ( 1011 "Jl'r.

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• l 'lo l'Oll 1'1 ¡>xtrPIIlO dI' la nT), lalll l'. 1'.1 hl0'l11l IWrlll,IIII'l'(' , ' 11 ('011 ,lt _ o " ' Ira Iná~ I . I I \. 1') ¡-l/S j)'lra 0<" 11 ~ lu() . SI ('1 hl( ('1')'( '<1111) a A, \' '11 \, ' OI'J(;l( ,' s «( .- " . , . )(\'1(' ~{,

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Figura P12.58

12.59 l Il hlo<¡lIf' dI' ñ lb (,_tá (,JI reposo respecto él IIll plato parabó. Iico qlll' gi ra a wlo('idad collstante alrededor de un eje vertical, i el coeS­eientf' dI' fricci61l ('stática corresponde a 0,5 y r = 6 ft, detennine la máxima wlocidad p(,l'Il1i~ihll t' d('1 bloqm>.

12.60 ( ;1 lat ro segllndos después <jllt' una pulidora empieza a moverse él partir dl>1 n'poso, se ohst>I\'a el vuelo de pequeñas borlas de lana que sa-1('11 d(' 1.1 t'irclIllft'n'lIcia df' 10 in, de di<ímetro de la almohadilla de pulido, Si 1.1 pulidora SI f'lIcit>lI(le de tal maneTa que la lana de la circunferencia se SOIl1f'tf' a IIlla a{'('lf'ración constante de 12 ftls:2, detelll1ine a) la velocidad v de la borla liando P. ta se de 'prende de la almohadilla, b) la magnitud de la fllf'rl.:l rf'<¡lIerida para liherar la borla si el promedio de la misma ro-rr spoJld{ a ñO 10 hOZ.

figura P12.80

J J I ¡ 5

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12.11

1212

1 I Ir 1 r t rI I I 11 .bohc.,· 1 .llc r 111 I 1 1.1 1I I I 1 I 110 It tri .\.' 1I plinto dI 1111 1

1m d( ( fe ("Iad dI ( ({l/Ji Por COII IgllIl nl, I l ni

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1 1 un .1 1.1 1l.ll1 1Il 12.'30. .llh lertt qUt' 1.1 tra. (>(1oria rá 1 1.11 rlxlIt, 11" I 2 pamh(l}¡ca 110 te ~3 ·líptita itu<t

I 1It1 1, dI Ir, 6rl il,~ C'líptk po ihl . la qu obtiene ..... (JI IIllo ( <1 1.1 11 bIta ur("ul.tr re \lita dt' int('ré e pedal. en-1I1 1It1 I l'OlI 1.1 Illtl.ld (l"f (1 ,11or dI: la ·Ioddad inidal <lit IIlt I IIn 1 Orlllt 1 (Irlul.lr ('

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12.1 circular

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12.C1 El hlo(jI/{' n dI' Ji'l 11> (h' peso está il1iciaII1W11t(' ('11 reposo, tal ('OIIlO l' illdit'<!. ~()I>I"( > la slIperfki(' "'1w!ior de ulla ('tllla "\ de -l,') Ih, la cual

si' 'imtil'lIl' IIll'dlHllt(' lJlla SlIplTf'icil' hori/.<lJltal. l "n hloCJ.l1l' e de -! Ih se co­Ilt et.l .tI hl()<¡II(' H IIll'dialltt· IIIIa ('1I('rda Cjll(' pasa sohre IIII¡\ polea <1(:' masa

ill i~lIifkalltl ' Si St' I"('('IIIT(' a 1111 prOe;ralll<l d(' C()Jllputo : deJlotando me­diall[¡ ' ¡.¡. al ('()('IIt'il'IJt(· dt, I"ril'l'ic')Jl tI(' todas las SlIl)('rfki('s, <.'IIClI('I\[r(' la ace­II' r,lt'i611 illil'Íal dI' la ('lIiia y (1t·1 hlo<¡lI(' H relali\ 'a a la l'lliia para \'alon's de ¡.¡. 2: (l . LItili('(' illt'I('II11'lItm d(, 0,0 \ para J.L llasla <¡lit' la CI111a JlO se mueva, )' !JI( gl) 11\1' ill('n'IIII'lItos d(' (J. \ ¡Iasla ('('sar ('1 11l0\';lllit'lllo.

H

Figura P12.C1

12.C2 U 11 pt''lllt'iio hloque de 0.,50 kg está en reposo en la parte su­!w!ior dt> ulla superficie cilíndrica. Al bloc111e se le imprime una velocidad ini­dal "o hacia la den'eha con magnitud de :3 mIs. la cual provoca que se des­lice sobn> la sUlwmcie cilíndrica. Utilizando un programa de cómputo, calcule )' gmfic¡uf' los \"alorf's de (1 a los cuales el bloque pierde contacto con la su­perfleie para valores de J.Lk. que es el coefIciente de fricción cinética entre el bloque y la superficie. desde O hasta 0.4. en incrementos de 0.05.

Figura P12.C2

(J~I ' o I

~ I I

752 Ir t d p rt \.li S 6 qund I y d N wto

1- --1'0--- ~I Figura P12.C3

12.C3 UII hl(Jlpl(' dc masa 11l ('stú lInid(J a 1111 resOl~t(' d( l'(~I1~tante k 1:1 hl(J(!II( ' \(' slI(,lla d('sde el reposO cllando ('1 resOIi(' esta 1'11 1~(JSI(,l!ín hoti_ /'(lIllal:- 110 r!e!imll¡lda Si ro = -t n, I;tilicc 111I'pro~rall1~t dI' (,C>1llplltO ~ (k­tl'rlllillC' (/ ) para Um = ],5 s :2,:20 s :.. \' :25 s -, la loll~Jtll:1 d('1 n'sorte y la Il1agl1illl(! \ dir('cciún d(' la \elocidad del hloqlle Cllando ('st(· pasa direeta_ 11I('nlc haj¡) ('1 ¡millo dc Sllspcllsi<Ín del rcsotic, /) ) el \'alor ele klm para (,1 el\,ll

la \(,Iocir!ad l'S horizontal.

12.C; U 11 a\'icíll pesa (-)0000 lh Y Sl1S motores gcneran un empuje eons_ t:lllt(' del2 500 Ih durante el c1l'~pegtl(" El arrastre D ejercido sohre el avión tl('l1(' IlIla magnilud J) = O,()(-)(}e-, dOllde J) se (',>;presa en lb y e cs la \eloei_ <laell'll rus, El a\jún parle ele1 reposo ('11 el ,~',>;tremo (k" l~lyista y despega a IlIla \'(' locidael de 2,50 ft/ s, Determi1lc : grahq\lc la poslclon y \'elocidad del ,l\;<Ín COIIIO rlll1cjolll's del tiempo, y la \'('lociclad como función de la posic:ión ('ollfi>n1l(' ('1 a\ i(íll Sl' nlll('\,C por la pista de despegue.

12.C.5 Dos alalllhres ,xC y BC estún \lnidos en el punto e él una pe­c!ll('iia ('sfera qll(' gira a \c]ociclad constante l.~ en el círculo horizontal indi­cado, Ca1cllll' :- graflc¡ut' la tt'llsi(¡n presente l'11 cada alambre como función dl' l. Ikt('rlllilll' el inh'rva!o de \'alores de r, para el cual ambos alambres 1)(' rI nalll'l'l'1l t( '11 sos.

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1- 5ft--'

Figura P12.C5

12.C6 En el punto A, una bolsa de 10 lb se

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la parte superior de un muro y oscila en UD

cuerda de longitud 1 = 5 ft. Calcule y grafique la magnitud de la tensión en la cuerda como fundQ_ hasta 90°.

12 C7 1-1 1110\ IIIlÜ'lIto hidilllPllsional dt' la partíl',d.l H s(' <ld"ill!, 11\('-

n la(loJl( I t 2.t) ) R 1 I 41. dOllde r SI' l'xpn'sa ('11 IIll'tros. t JI 1t'mdo ,H t n r,ldi,uJ('s. Si la partícula tienl' masa d(' O.l3 kg> S(' 1I1IW\'('

n un plano horizontal (',.I,('ul(') grafi< l' \~' Iw; l'OIll (101)('\ ~ tt's radial ) . t nU.ls­

rsaI I m gnitlld de la hll'r/.a qlll' ,lctua sohre la partll'ula l'OIllO IUIIl'IO­

de t de ti () ha! t,l 1.5 s.

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Figura P12.C7

753

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DEL 'MPULSO V LA CANTIDAD D UN SISTEMA DE PARTíCULAS

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'452 Tres una de" dt-n drsIizant. libn-ilknte una SUpEllk.-ie sin friecl6n. La e t"StÚl ront'Ctadas por "wclio) de una varilla delgada Y en .. pDIO ~n la posición que muesba la 8gura cuar.oo la esfera Bes ..

frontal la la c:uaI le - hacia la t'OD .. (.;,hd It ti - ~ y las de las melas A y B dWanwnte des.,ués del impacto I0Il A = o y • = 6 + (v.>..t. .... • mne l. Y 1M -docidd de C tan piedo le piocNce impacto.

1453 Dos pequel'los dicros B de 4. Y 2.4 lb de peso, ilwntl.,.wdt-n !Obre una superficie horimntal sin lG ,la c~án l~1adl)5 una cuerda de 3 ft de largo y giran en .. tkl .. I'Jlltroll1o al ,le las maJIf'CIllas del reloj, alrededor de su centro de iIIaII (. II l"l"UJ.\ t!c.. ....di En t = o. las l.'OOrdenadas de G son ro = 0, ~ = ";" 44 ft ~ 11 \t'kJt:i<1a«1 Wo = 5.i6 ftl li + 1.44 ftf j. Poco tiempo La l II'nJa rnrnJW 5t' obSt'rv.t t'fltonc. que el dist.'O A se mueve a lo dI' UDlI tr.tyt"l.1ona parak-Ja al ej(- 'J y que el disco B lo hace por una • tona qlW mterwc-.t al eje % a UDlI distancia b = 24 ft de O. Detennine al las \ lotidadM de ". B luego de CJIIf' rompe la cuerda. b l Ja distancia a me­dida dMde 1"1 t"Jf' 'J hasta 1M ba~~doria de A.

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11 pe K"' Il\ h fllllllf ( lll1pellll nh Rrl'Ii! tn' ~ 1'11'\1Irión de r-l n "la I r I (,ITK nI< ,hn 1.1 (tU.l ,ft 7.~ gal.

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di lt.1c 11 k ,mlllh lit 1¡tlJult' gastos ml'(hante una ('\lila que la ''''111M nla a una ~Idt l (UlUtantt· dt· 12 ftI . [)etrrmiDt

oIfI'1 tn t It'\ 1611 .... la fut·r/.H 'Iue t'jI'l'l't' la _La I 1ft -: ¡tal

14.., trunros Intmduct-n en que lanza en e

la l'UlnptlQt'llt 1m ... ,'" de la fuella que la pitatbl la uniÓn D

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,4., El nemgent'rador que opela a .... ,.¡,. fo dr :)O lnnIh con de O" I el ,"ca barrida por las 'o t ",,,lo dr diárnt"tro d .. 65 m p - 12 ky¡m3

, delen."· 4) ~ Mr dr Ja, pllrtfmlas de lW't' que entran por segundo al cfn:ulo de &.S el. diáDlf-tm b la salida de potencia. Ir

14 82 F.I at'"'ltf"ot'l'lI(lor 'lue se muestra tieoe uoa salida de pote non mal de 1 ~ k\\ para una ,"('kK·Ida<1 de viento de 36 kmIh Y opera :::

(IK a dt O 5 I P 1 2 kWm . determine a) el diámetro d del irea CÍ/l'Q.

J..r I m(L, por la: palt taso b la ent'rgfa cinética de las partículas de aire que tI Irall al .ut a omllar por St~lIIdo.

'1483 La profundidad d(·1 agua que 1111)"(' en un cana1 rectangu\arde IKtM) ¡, \11. 1tlad" ~ profundidad d, aumenta hasta uoa profundidadflt

t 11 UI altl> 'utlraullw F xprt' ,d ~ast() Q t'O t~rmioos de b, d, Y c4..

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RESUELTO 15.5

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f 5 78 II pok a do"!. fiJa a un hlo<llI .. comdiro Jt r 11 \ lA pole. IIIIt ma de 1 ;; In de rddio se une

t I t nor di: Ul de rabo I {..da una de las dos cuerdas le

...... J (11 la runna 1IldK-dda. dt.-t .. múne a el ceobo • fT 1ÓfI ti. la poIt-a doble b la \ Iocidad del bloque com

u'm ti. pul la dt ~ .. ola llrollada o desenrollada de cada polea

1S 79 It .. r;

1 l' I In tant . la \ lomlad angular de la \'ariIIa Bl 11 nhdt, flI tr.lJ1( al de la,..¡ II\al1t'<.111as del reloj dele, IIIÍDU

llar It la anlla \1) " la \ kx:idad del coIIarin D. e la. I poli! ) \

1580 It I-H l

It

15.81 1

It 11 ti I mdo la IOl1<1ad angular de la varilla.-\8 es 11 I IIhOO ,), la !I\.l1l('('1Ias del n-Ioj. dI:·termine a la \-docr1M

anlla 81> 1, la ·k. Iad del punto medio de la varilla BD.

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~ •. '1 • que OXYZ observador qUt> reC1UJe a Ozyz. dr Q dependa del sistema de la ramo dr cambio de Q

dt-notará por medio de ~ in al istt"ma de Q ( La proput'Sta que edIIe

de rUDnt dr cambio Pnlllt ro 'dt'S<.'Ompone el vector Q en

los t:Jt Ij \ : del de referencia loIalodo, Al dK) dt i j ~ k los vectores IInitarios,. se

1 dift n'n"ar 15.2; ('00 respecto a t y considerar Ojos Jos ullatanos i j k obtieoe la ramn de cambio de Q con It'mO di nft>rmCÚJ rotatorio Ory::

Q u. = Q .. i + QJ + Par .. obtl'llt'r la razón de cambio de Q con

nj,.,..,1rio fijo 0.0'z. deben considerar los mtl \ariabIt cuando la dif'elenciacm (15.27). ('5Cf1bt>

. . ~ Q,j + Q"k + Q .. dt

observa que la suma de los nos en elmiembro del lado de (15.29) , cambio Q G,. oota, por otro la r". de

reducirla a los últimos térmirnoJ fiJO dentro del sistema di; referencia O:ryz. ya

ro Pero en caSO (Q )o.xrz la en la punta de Q unido al de referencia O:ryz.

en 15.29) la el de ca,..: tu OXl'Z en el i .... te concjclerado, se

Q .. ! +Q,~ +

- .-.". - '. . ""-;,. . . •

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11 .... /1

" .... ,lo, , I •

"'1.'71

•

m cuando el nanu t ) ()( .rrini la dbtanda entre los

,lo t n-lac.ionan deo la manera *"lrl'Jl(iÓn an~II\anot deol dltro para Ilnstante

15 171 .... el pn"'lrma 15 178 del nnlne la ..... " r 1(.11 ,IIlJotl.lllr de I dlK'O n Ilnstant en que • 1315

15.180 1-11 ti pn"'ll"ma 15 149 la

·15.12. MOVIMIENTO ALREDEDOR DE UN PUNIO FIJO

.. 11 l.. l'(.l 111 l.') '1 sC' l'ollsidc'ró d movimiento de un rigldo Irtll !ldu 11 ~lrilf lIrt'(lt'{\or dt' UII ('je ( I c.~ , dt,l mc)\;mlc'1llo (1111110 fiJO ()

un cu rpo rígido que tia

.. 11 pnll ... r lu~r!l( dc'mostrurá qUf' el dI "" 1111 '7H' n "t'" nm "n ,nlrlto fijo O t'S n¡uloolente a una ",'(1'( '7HI f" ','m" a "" fY !f'" ,IQ.M por O, t En vez de C1.e rpo ri~do e 11 11 lotalldad. t' dMprender una esfera del InI O dt'! lllt''1)(l \ malll.llr d mCJ\imlento de tal Queda '11It c·1 IIIt"'IIIIC'ulu dt' lu t' ft'm l'llnK1erlza por completo al lo de I c: IIC '1X1 lludo, que los puntos deRnen la

dt UII sólido ('1\ t,l el centro O dos puntos B lu dt' la definirán la d d 1)( IdólI del (·u rpo. 1 B 1 tu qu lión de l. t'n un It m 11 u posldóll 11 un

f1 ri~da. las longitudes loa debeon salvo por de., B I B2 arbitrarlas. Aquf

B purden B

r I

151.1 1 ...

15112 l..aI

I I • " e

15'14 Flh ... 11. .... 1 IW

" ........ It BC

..nn. en la 8gura ra .al« drdor de la junta de r6tuIa O eoo

ocie punto denota romo .. D

10 m mml delE'nrune la 1

It I dK-l 'I\lt mI ra rut'da Sin . , loKl angular .. - CIJ, i OIyj ... • j lO , I\J +21.6 de-

lar Ir la hola de holidM- b la 1 de.

qUt rut'da desIizane iIIlJ(UIar .. .,.1 wJ + ...

14 • ~ ,,- 21 6 I\J 28. I\J k. de-1M lit La t.!Ia di- holidw b la Ioc..w de su

Be n "11 forma dt' L !tira aInodedor del eje : l'OII \le­

It .. lit 5 I 1 mst'O de 7 :5 in. de p ~Iar ante ~ de .. rti' determine la

,

6 ID.

" ,.," ,.,

151e2

1 1 El el c:oa.

~.

, ..

,

r r

• r

r , ".

.. ,.~ I t ,',,' '1<' La\ l.

I

AL

1

111 ,

..... ·nl r

1 )

me.

I

..... ,1.31

I •

)

l~,

la

la partfcuIa .. I r

• • , ,

I 11 11 'UII l1!31q1llera de los lZ" l'Z DI: tal modo el pnmer

1. r ~IU dt ,. s: rq> ~ la \ 11 lit" l-gundo I n f¡ n'lll: ')'Z' Esta

11 I

1; - al 11' Itlllr r, 1:'11 lugar de r. En

It It I 1111) r /1 I ID lanh

/1 ,-:).&

15.54

la del nninación de la veJo. ,.nkula lad .. l'Oll respl'do a un

I 11 llluento de la particuIa n lIkJ\lnuenlo Estas fónnulas vol­

fank de rt'(.'Oroar. si adverti­e-n 15.52

lila dt n f¡ n-ncia n movimiento que 11 Kit r •• do que la suma de los pri"'"

la ·leración del mismo puB-15. de la

de un de ea

1546

• , ~~ "

I It-t.·nrlll ....

SOLUCIÓN

.. t I I 11 lit n r. n"lK.1a OXYZ eIIi &jo. 'I"."·n~. I 11 ... 1 Oxy: a la barra acodada. En OOQ-

\t· .... l<II.~1 ... oU. ILm n Iatn a O~"YZ 5011 n.. -lID •

1 j n I r; Ii j n p I nlt F I 10r de p!lS1OOn de D

r J I I 10j

a. I J 1 J Jt J lo Ir') 'JI. ,) I J 1 1\ It r ,.-n·

,'"ltanó" 1- ~

, '1 '1

n r jX 4111 n I j

tturlt .n It Jbtltlltn

-I

4 111 ~ 6 93 m. i I plinto de la bana que ooIrId­n nJtadÓll Oxy: escribe de

1

693 m~) = 25m 43.3

IJ J) t'1I I. eucuenba

j k ... , "T "InH"MM1, Ilt- l."IIl' nIo l'Oll la l'CWICÍÓII 15. se

a,

r Ox OXr x -10

n r

'" r

FI r I r I ItI

U j I de .... -, de , ) r l.i Rj u iurdr leIativo r Hj

I I I 1 .. pur P' 1 cid l' .. "''' cIt .. 15.48

• r r (1

n r pe 1 I RJ ... ' .. r wk Rj -.HA

It 111 r r en 1 • Ik ~ I

l'tÓI' 15

(2)

la .. !KII' ,,1 brne

lit O

-..,

I IIn e

,.'" , , ,

, ,

• drl~l'a gsraola MI. el pililo A

que ......

:uaI gar.a \a a la 1 .8= ene! .. del punto

1 .... ·

I

,

15..

mB

1

.. I ... I ............

~'C1

aqwrr m

drI

.....

5e UD

e IaCUII

': "}~'

, ,- - - - ~

... • I

7 DE CUERPOS

UD

klllpl ....... OO bien la o-considendos varia de

drI lIlOYUJIiea. dibujad.

-I par la iUOCiado coa la

dr un ~ea ublu "J" aquí l1li

11 ra ft'(:Ü\-a en .... nJl\t"r. UtJlI13f en el ca-

, rgía \ I método

n una

rpo

· _... 1

.lJ.lT 1

rI

lllt·r/.a ión alean-

un JIIG.

Ol'Oll

ca­di...) la ro.

ro ra

I~ara

IJ /l1(~

pOI d upo-I F pt'qut'-

I

ti OUt t <ltasl".

16.10

angular a ~ la uhhur la fórmula ~ la

, ..

B

I • _.' •

• ' •• ., I

~ , ... ,

...... .. ..... ~ .. .......

di .......

1iIIIIIIIIIO, .. ...... "de un.....,

di ............ di .. CIIIIIIdtd de ....

171

F. I ",étodo del trabaJO. la eneagfa el del .... <-aJltklad lm.ento para anahzar el pi..,

rí¡;dc de de cuerpos rígidos. n .. ·:ro ~ ídt ra el método del trabaJO. la energía. En las 1- 2 a 17 'j ddllK'"TI el trabajo de una fue IZAl ~ de un par;

·.kt.drá IJ '-xpn: 'Jf1 par.l la ene~ cinética de un I ... n K lo plano El pnnnpio del trabajo ~ la energía se

n: l'T pmbk en los que participan Iíer Y c!.M:K"i, En la rión 17 6 aplica al principio de la conseniaciÓII de la

la >1 Km dt una dr.ersí<1ad de problemas de ingeniería ~ I m la part d I c:apílulo el principio del impulso y la can-

el, I 11tH nto 'apli a en la solución de problemas que impIi-I 1 l.uIt bt IIIp" 10n 17. Y 17.9 Y se pJ'l"5entará y es-

I ( lo el lt ro OiK1ón de la cantidad de mO\imiento r .111710

hl J¡ ltIn part d 1 c: pí ulo seccion 17.11 y 17.12 se consi­de r • prnl>k 11 ~jlJ .ud •• \t'n d 'lIlpado ncéntrico de cuerpos rígi-di ( on ,IILO IJ el capítulo 13 donde analiza el impacto de I rt Il IJ r.i lll'f)t .l1 ntl de r titulÍón entre cuerpos que cbo-

III 111 1 al pnll 'p'o dt,l impulso ~ la cantidad de mO\imiento en la IhK 'n C!, prull n lit- impacto. También se demuestra que el mé­

lIdo utllll.ado aplr a no '10 <1rando los cuerpos que chocan se mue­n ( n Irl rtad clt-spu( dd impacto. ino tanlbién cuando los C\Jef-

t: tán u t a tnCCJon parcial en u mO\imiento,

17.2. PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA •

PARA UN CUERPO RIGIDO

F 1 pnl1l'pKI del tr.iliajo ~ la enefl!:Ía utilizará ahora para analizar el lltO\11111('I1tO plano de cuerpos rígidos. Como se señaló en el capítulo 1 t!t- III todo en particular adapta bien a la solución de probIe­JIl~ n los qlK' IIlteol nen "t'locidades \' desplazamientos. u ventaja pm~pal mdica t'11 el he<,'ho de qut' el b-abajo de fuerzas y la eneIgÍ8 'IJétK".l le partk'ulas l-antidades escalares.

Par .. aplrcar t>I prindpio del trabajo y la energía en el anál¡s¡s del n)O\1111. nto de un (:uerpo rígido. upondrá otra \'eZ que el rígido compuesto por un gran número n de partÍalW de masa .1m, I recuenta la ecuación 14.30 de la sección 14. se

T. + U. l. z: T. 17.1

donde T. T = \-aJores inicial y 6naI de la energía cinética loIaI de partículas que forman al cuerpo rígido

(._2 = trabajo de todas las fuenas que sebe las & \ 'Prsas del cuerpo

La cinética total

1 • T= -~4md

2 I •

........ posiIMI. wml

cIe_

17.1

1 ,- ,

1-

1-

1702

I

I I

7S ft .,

I ";;;'.11

, ... .".

dr 3600 mkW dr 110

(¡¡oci6 .. ctn el

el i pt" el r.d6o dr giro del

.... drhido ...

.... , , .... u,

. . ,. , -

"tl.1r I

« .... ,,' .. ·' ... M

I

" .. , I

or

o

I j no t6Io Ion

por un !VID 9,fM'd ....

el ap!1aId.

por

ti I nudo de que b ea pueden tl1lDlfonnane ea ..

I de 6, ....... I Por lo tanto

,

• ¡ t' ,.

., .. I ""1 I

1 I 't '''''1111 ' ,

,- ,

--

.-

lo" •

,..,. ,.." ...

,

l

7 1 l n

......

_G

'lit , b lo

dr k monwnl alft'dt.dor dt-I partf< dt- una plat-.. rígida

lit la locidad an!tUlar dt- la rI rnonw-nlo lit Int"rt"la lit' la plata

UI dr ~ 1t"1t"1I1t L'On(1iciones a t.J Jllru IIL~anlánt'O de rotación

It- I 111.. IIU UlII al punlo :\

,- ._ JI 1 t (11 n, \ uJrla ol una t' I Mil", de I "n'W 111

J¡ I ct.. F '11 la r lo • I nlm IIL\t.ulloUlt d. -

UI Une. GC k- C.P .. I nln' do p"f( u 111 ,huh .. m

• tr\d I. ;1117.;'& •• 'n "

\\ ~I.l , -t lo I 111 11. h,l d. In m

ral.1 i hl' 'O II. I 1 1111 t..1 d. I'l:. 111m t'n

II .. lldtl 111

I

AgureP17.1O

lR' I I 111111 It

•

UII (W [) dt- r .... lj() Igual l mbillillda tlt- 5 L \ ro IK.

UI ¡¡} lambor .. 11 d pUllln ~ ~tud t'1 (!ist '11':1

10 t"Il t'1 n!'id ... dt­drI

tiitd6n

,

~ D

..... PIUI

FIguIa P17.74

•

I---L-......

En capftlllo se de el nergfa y el método de Imp"lso y la

la parte del .ulo se estudió el del rgfa su apIicad6a al dellllQJliDIIeaID de

dos de cuerpoa

En la sea:ión 17.2 explesó el plincipio del trabajo, la energfa para un cuerpo rígido en la

TI + U I ... I = TI (17.1

donde T I TI los ¡nidal y de la nkica dd cuerpo UI ..... el trabajo de las ntemtJS qlH' actúan sobre el cuerpo rígido.

En la sección 17.3 se lecordó la expresión que se encontró en I 13 para el de IlDA fuerza F aplicada en el pu"to

UI 2 = f" (F cos a) ds (17.3')

" donde F fue la magnitud de la fuena. a el ángulo que forma con la dirección del movimiento de . y la variable de integración que rnidP la distancia recorrida por a lo largo de su trayectoria. 1iun­

derivó la expresión para el trabojo de un par de mornsnto UD cuerpo rígido durante IIDa rotacióD 6 del

1•· 1 •• = JI d8 el

(17.5)

obtuvo en IJIOYimiento

T-jJ+i'''' (11.9)

del ... ' I I I

"", ... '1

•

I

H .. - .. -....,. .. Il .. ..-.-H -.Itz" ..

~ I ,. .

o al del dr un rpo o., esté a lo

m (,noc paI de la cant'dad de mcMUlleruo 1.. le 1«111" ilQK'llar de un t.'lWrpo rfgido tiene

1.. 100 1 7 o 11; 10 debe usane pera Ir dr ..

de... de de_ de de

t n la 17 trató que el roo medo fJI"vlmlt'nto de las dh nas de un cuerpo

un 10r L fijo al G del cuero la <Ir movImknto lineal del cuerpo. y a un

r "

..... 1U

.--ele

I 1 l"--

11.2 II

do- 5 .. dobla para formar un nwro rec-ltlra alrededor de su como iD­Io ... .,.hd angular de magnitud constante

tiel.! di- lIMJ\,mM'nto angular He del man:o G

...... P1U

~oea de m ~ lacio. La :ual forma un útgu10 de 45" i la

,t.... detemunt' la cantjdpd de dd punto A.

lb suelda en su punto -doc.,.Jad angular de .....

la de oxMmiento

• I _ I I

I ... I ,

la ..

...... -que .......

al ... Me ...

DE EULER. EX, ENSIÓN AL DE UN

.. deJa

coobejes

prtmasdeb -

L I " I de 1 ea

--

I I al

,

iiW:p

ryloa 129

1 ........ 'u ua ___ ........ ~ gInIDrIo_ ...... ---~ IDlI ... -*>Na'-':' y cInMIIaL Ea pGItie cIIIeIW el ... qua'" ~.......,

d

1 1

, 11 1 • .,_ H

ti 1 J OrAiMl)eI

I .r. """ .y"

• ) I

..

y

1

11

.... hiIJI pm"wmas qlM' Implican el mm.irnJento tridimen-El odo f"lIIpIeado ~lcam(>l1t .. ..t mi mo que se aplicó en

xJ;(, 1 mO\1I11k-nto plano d~ (Uerpos ri~dos, Se dihujará una n ... ,.p" 11., (j l. mu, tI' que ('1 I tema de fUl'l7.as e~temas es

,.,... ~ I • l~ualar.1n I lIIn~ de componentes y las lo: de lit ,"har 'o. ,'n " te c.-aso el i tema •

01' , \ un \t tor par H(., cuya deter-I 2 ~Ut'lIt

111 In I t..q , 1 .. U\ 111111 lito ndlJlIl'IL IOO.J dI' un ('u('rpo rigido,

l'

Jo

t I 11

\{·II. 'II.W I 'IIW (Al ,,,n ro pt~10 ul sí.~('ma de referencia , pn'I1,lIó "11 la It'C'(:ióo anterior. io

roll .1 bt'Tnpo ... hora ~rá nect'Sa-(. 1/" ~lra 1 para calcular las componentes de

Ir 1 l('fllO E 'J'i'~ Plll:·den l'Star ri~tlamente aso-I Ulgular Igtwl .. w pmbl('mas resueltos 18.3 y

UF n prupu pmhlema re IIdto 1~1)1.

pI' ntl

(. llselos como eje IU( le P Klu ( de lII('n-sa ('Orr. pondIl'OI(' del cuerpo se-

1M 11M r¡ 1 ( undn<:'O ron rp pecto a IIn l>je> e lo ejes

1-.

.u ( K rptl l)(> "llp()n~a (Al ('11 rompt,!,nel,!,le ~' •

.. lc:uk kli lIIonlt'nt pnndpal., de inercia l." Iv' el;·. de la anillad ti.> rno\lmiento angular H G son

-H. = l.-w., (1 .10)

será necesario

p"l'll do.. n\llnar las l'Omponenlt de la C"anlidad de mO\imien­.ioIlt"S I't'(IUlen n I álculo prt'\ io de los prlllluctos de inercia del

WII.tos dt> mema ('011 respecto a los eje seleccionados.

I I 'ultlr 11( . .o\<hierta que e te de referen-

fijG n tullo qlM' 1 stema de referencia G.t'!I'::' que se utiliw al dl-I 01''' ra un tstl'lflD €k referencia NI rotación. Hay que re­:i6n 15 lO dl-la rawo de cambio de un vector ron respecto a ~ rot .. i6rI ret'Ordar la ecuación 15.31. la ra7 ón de cambio He

-del ..

+OxHc de.echo de la ecuación (l .22) ._,

de referencia en rotación tanto en

de referencia Por otro

....... lit. deoero.

(1 .22)

lara­. Este Iéi-

OCM'M)

:uW Il

1 -

• I I •

de mO\'UlUento

de 11IO\1rnlt nto

arbitnano fJ 11 \ -

de 11IO\1mlt."nto

de 1110\ llR1t."nto

IQOIVlDUento

aabitrano de IJ. el

•

ea B

-

1110

o Io~de

Consi-la ( ... pl ao. dos be-

el plano 8JO posición de re-

15" por" -dio di-4» dd -

IIIt rior al-dr(C' Los

e r«-Wcl"lt r

n pet: n la ,dad di- I!,i-

de la ,:an­de

'l lo

C.'OII'~'O·

la

lanutadóo

lo

..

y

e

" z

8

y

..... 1 .. 11

z

CAPíTU LO

..

• •

ea el futuro. " .. I de vibraciones un tema muy amplio al cual se han

completos. En consecuencia, este se limitarA a de vibraciones. a las vibraciones de un "Jer.

po de ctJe'l'05 con un gtado de libertad. Da produce por lo general cuando un lis-

d atI de una de equilibrio estable. El sistema tien-bajo la acción de fue, l3$ (ya

COIIIO en el caso de una masa unida a un

= des como en el caso de un péndulo). Pero el siso .lcanza su posición original con cierta ve1ncidad

lo lIew ... allá de esa posición. Puesto que el proceso de indeAnida. el sisteina se mantiene movién· UD"" otro de su posición de equilibrio. El intervalo de ) para que el realice un ciclo de movimiento el nombre de periodo de la vibración. El número de de tiempo deAne la y el desplazamiento

partir de su posición de equilibrio se conoce ca-mo de la vibración.

mantiene úIDcamente por medio de fuer· que la fricción una vibmción llbrB

aplica una fuerza periódica al sistema, el lIJO-

como una vibmción jOf"ZOlla : los de la fricción se que

in embargo. todas las cierto grado. i una vibnciM 1ibre

ligera, su amplitud deaec:e de tiempo. el movimiento se

largo para evitar el sistema recupera

Da vibración forzada la fuena periódica que

se ve por 19.9).

·"lt .• IIIICMllllt 1110 ti. IIIUl partk"l' elr t lIIIJi""u

,11"". "ud

~,llIm ele 1111' JI 1111t lila oc IIrrt l."lum lIele 1'1 v 111111 11111 lit ellrt"t't.1(1II upucs-

1 } 1 1-1 lIIé 1\""', 1110 re IIltantt IIa "",-t, nI le I JIor l. e't 11 1( Inll IlIfe n lICia!

o HU)

• 11 le r 1( IUII ,,., 11 11 \ k I la l' .&IIC 11 lle e •• , "1( 11111 d.1t re 111 lal e

,

1910)

r 11

11110

""plr 11

I I I'IC It

fJ

I tlt 1111 I T _rr/w" I ro c'" "dil llilll/rol l.'omo d

I pr el. r 11 lb () I I dift·· \"t·h .. latl 1'.1( ·11 11I11Óll dt· la alelO IIIl\lllle~ lit la \t'\ocidlvl

19.15

I 10 pUl It 11

... u Ir" una

propon:ional 1 1)).

que una

11.12

13

il"Ü,

ipuL ". : I I I I

la 1ellt UD

. , l' ~.

.. '1' 1111 11I.\.' ,la .hr ....,., c¡"1 1 1 111 cleo ,,.., 1111 1,1.. ,Ir 11 1"., ,la .lImlll r 1 ,.. .. lfl c¡"

, n It. ,,, .11 n,.\., "h 1.. ,,,,leo 11 1\

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1 ~ 111

,..". .. , ... , • \.. clt 1 '1" cleo 11 2

, r l , "k 111 1 hlllel" c • I I "' 1 .. 111 1 .. c Irft' pllne leo 11 I

I

I , "' I 111. .ftt 1 nI h ... 11\ hlcMI"

Ih I ..le

I IIhh" 1100

lit IIe' l I bIoqu In cJt,

¡"

m 111&11

., prriutlu ,leo 111

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........

, • I 1 1

1 ¡XII' lit'

deun~ b

• longitud

"

e181o~_ •• "'_ peque6II da el ...

.. . . . ( .

I

1

, I

1.1

1

11 U\ In

II1 I

1 1

I~ r1 1 1 1111

I ,_ ,.,1114

1 ......

,....co ... o , -".M_a,

de.UICIn'I6vtl por un resane y un

Plo.oc." la carrocer'. &781'11

lel COt"oduddo lObre un

·'9.9. VIBRACIONES

SI el considerado en la s.xxión anterior está sujeto a IIna fuer-7.a pt"riódica P de magnitud p = p ... sen "",.Ia ecuación de movimIea­lo 'It ('on\1erte en

mi + c:t + a-P ... tIIJ" (19.47)

La §(}lulÍón general de 19.47 se obtiene al umar una solución par-11('lIlar clt., 19.471 a la función complementaria o solución general de la (O( ual'ióll hOlnog{onea 19.38). La función complementaria está dada por 19.42. 19.43 o 19.44). según el tipo de amortiguamiento conside_

mdo E In re'presenta un mO\imiento transitorio que finalmente se alllIJrtlgtl

El IIIlt'rl~ t'lI 5('(.'Ción se (-entra en la \ibración de estado esta-hle n'pn'SClllalla por ulla solución particular de (19.47) de la fonna

X, " = X'" '11 wft - rp) (19.48)

\1 11 till!lr xI"''' t'lI H'Z dt, x t'n (19.471. se obtiene

mw( x", 5<'11 Wtt - rp + cw¡x", ros (w¡t - rp) + Io:m sen (w¡t - ¡p) = P m sen lJJjf

\ h.I('t'f wJI - rp u('('Shalllt'nt(' igual a O y a Tr/2, se escribe

cw¡ X ". = p". sen rp

k - mOJj Xon = p ... ros rp

1 t-\('\ar al clIadmdo ambo miembro de (19.49) y (19.50) Y n' lIlta

(19.49)

(19.50)

umar.

(19.51)

resol, r bro.

19.51) para x'" di\idir (19.49) respectivamente.

(19.50) miembro a miem-

x", = --r=====P=m~====== V (1e - ffl(J~'fl + (cw¡)1 tan cp - cw¡ -le-mMJ

(19.52)

De acuerdo con la (19.4) de que lelm = la frecuencia c:in:uIar de la vIbract6n libre DO

19.40. de que - Ce> dondec" el crftico del

~ ,~ I

,

de un.

•

Problemas de repaso

1

1. ..

1S8 lapl ... 1< Inpe ) 111' If

.. I L I

lt d. UlI pt'lIdulo Imple de longitud 1 = 40 io. se lall(k, 6 ') SI a '\1 It- lIu",imieoto annóoico im­d. 1"1( d. 1.1111" rad,ío a el án~ulo 6. b las mag­

• I r K 1 JO .1,· II plomad.l.

I

9

Figuf8 P1 e. 158

, , 9 l 11 I 11 ti "",o IIt'm 1II{'(!iant(' d arrt>glo de resor-1-1 t.1 )(111 plu..l \ NII a1mentt· hada abajo a partir 1111.1>00 111 o ut'ha i la amplitud dd mO\imieo-

) mm d. h nmne t/ .1 periodo ~ la frecuencia del 1 I ) I 0<1,LKI 1.1 l. rol( 1 111 mol'\llllilS del bl0'lue .

19 160 t ni I rr. dt 111 /Il \ Ion !ltud l. dt ~.Insa sobre dos poleas \ 1 11 o .Im IIIIt "Jlu, t (~)IIIC1 'IIIU~ tra. Denotando I I "h l.lllt el. In Ion lint"tllá "lIln' la barrd ~ las poleas. de-

I n Illf It n .. 1 ll., \1hradón I a la haml St' le aplica 110 pequeilo des-1a la ,it n ha \ IUt'go udla.

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Creditos a: GaBr1eL Dueño del Jose "Peje"

y propi ial

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re,¡. di la mano th, uJltI IIWIeJ1l qUP de-

la del 6oguIo m·

prru '1(1 )j,rrwtotivos

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Figura PB .47

8 .48 l n .il.lmbn' hUIIlDgt'nL'O l'()1l m,lS.' por nnidad d.· longitud de l.~ 111 ulIlllol pam rom If la hgur.1 lIlostr.\(la. Dt'tcrlllín,' los prod\lctos de

I.y lid· e 1.1 figur.1 de .Ilalllbn

8 49 Cornpld, la dl'<lul'C1on de 1.15 l CU.lClOlles (B.~()), h~ (;\l.lll's ex-1\ d t 'On 11 d. eJ' p',ml,los para pnxlucto\ de íner(;í'l

8 .50 P. fIel tl medro hOlllog{n,'() de m.c" /11 '1Ut' se lIluestra. a; de­t.nmll. por mil r., ~on lllnd., d producto d,' JII,'rtü 1",. b) deduzca ly; e 1 partu d, I rt IIt.ld ubtellldo t'JI el IIlCIsO /11.

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Figura PB.51

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8 .51 El nlmdru cll't:ul.lr hOln<lgi'neo 'lul' St· m\lestra tiene lIláS" //l.

O t 'nmn, u mOJllento de lIIlTCl3 f"'¡>t'eto a la linea que une el origen O y ti 1 unt) ~ localizado sobrl' el p .. rimetro de la superficie superior dell'ilin­dro

8 .52 l' Il >no Clrt .lar hOIllDgt:I\l'o qu(' se muestra tiene masa /11. De­t nlUII u JIlUIllt: nto de 1Il,'rCla f("lx cto .\ la Ifnea 'lue une el origen O y el punt) ~

01.05 fJ SODios ejes tI. 'lIf'fl"ÚI

de inercia 1 . 1 dd I rpo Hay muchru .tUac.'lOIlI 1 n I

de UD cuerpo pUN:11 el lu 11~' i . eh '('11 I ti t J(

posible 1 ,

101 = 1 A- 1 A I

" e ,. son los "umu "t, ¡lnll<" ,1

tJt Inll Cuando no posiblt· ohtt lit r 1" observación [5e(.'(.;ÓII B 7 I lIt ln n',,)

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encontró [5e(.'(.iólI B." qUI 1.\ r IC " "

son los momento pnlll1paIl dI 111 I d( I CDIeDOS directort"s A • A \ A d I( I JI

pondientes al momento princip.ll dI \Il1 r II "

sustituyendo K J ('11 1.1' t 11. JOH B 27 •

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1\ dt

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1MlI'a simultánl'a do d(' e t.e ('( tI.1 10111 ( 1

mismo pnx.'l'dimit·lIto S( rl'pil! Illt01\l( IIlJh, ,1 (1" 1\ los l.'OS!.'1I0 din'{1on dI lo otn d" (J' 1 ru

b\ema res!\{' Ito B. 7].

I I I 1\ 1 r I

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16.19 15 USe

9. 9. 1237 1213 • 16.31 16.43. 18.58 l8J58. 16.'73.

1M2 1262

1M2

1217 11 11M

unh rsaI , mecánita. 1030-1031

eJeS en rotaL'l6n 1169 dinámico 1169

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