Mécanique des fluidesMécanique des fluides

HYDRODYNAMIQUE

Sommaire

3) HYDRODYNAMIQUE3.1- Lignes de courant3.2- Ecoulement permanent3.3 - Débit massique; débit volumique3.4 - Équation de Bernoulli3.5 – Viscosité3.6 - Différents régimes3.7 - Pertes de charge3.8 – Energétique hydraulique

3.1- Lignes de courant

Les lignes de courant sont les trajectoires suivies par les molécules d'un fluide en mouvement (voir figure ).

3.2 - Écoulement permanent

•Un écoulement est dit permanent lorsque les lignes de courant ne varient pas au cours du temps.

•En un point du fluide, toutes les molécules passent avec la même vitesse (les vitesses sont indépendantes du temps).

•Dans un écoulement parfait, on considère que toutes les molécules traversant une même section ont la même vitesse.

3.3 - Débit massique et débit volumique d'un liquide

a. a. Débit massiqueDébit massique

Le débit massique Qm est le rapport de la masse m de liquide s'écoulant pendant le temps t

m

mQ Sv

t

m(masse) en kg; t(durée) en s; Qm(débit massique) en kg/s

Unités:

ρ(masse volumique) en kg/m3; S(l’aire de la section) en m2;

v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

b. b. Débit volumiqueDébit volumique

Le débit volumique Qv est le volume de fluide, par unité de temps, qui traverse une section droite. Unité : mètre cube par seconde (m3/s )

V

VQ Sv

t

V (volume) en m3; t(durée) en s; S(l’aire de la section) en m2;

v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

QV(débit volumique) en m3/s

Remarque:

Qm = ρ×QV

ρ étant la masse volumique du liquide, on constate:

On utilise plus généralement le débit volumique que l'on notera, sauf ambiguïté Q

Exemple :

Dans un tube de diamètre intérieur d = 12,7 mm s'écoule, à la vitesse moyenne de 1,2 m/s, de l'huile de masse volumique 820 kg/m³.

Calculer :

• le débit volumique Qv

• et le débit massique Qm

Solution

L’aire:2

4

ds

m2

•Débit volumique Qv VQ S v

2 2 66(12,7) 10

126,7 104 4

ds

6 6 3126,7 10 1,2 152 10 /VQ S v m s

Débit massique Qm

6 1820 152 10 1,25 10 /mQ S v kg s

c. Équation de conservation des débits

En admettant que le débit est le même dans toutes les portions du circuit (conservation de la matière), on obtient l'équation suivante, appelée équation de continuité :

v1 S1 = v2 S2

Remarque

Dans un écoulement, vitesse et section sont des grandeurs inversement proportionnelles.

1. Quelle doit être la section en (1) pour que la vitesse de l'eau en sortie soit de 140 m/s ?

2. Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau (2 ), sachant que sa section a un diamètre de

1,2 cm ?3. Quelle est la puissance

hydraulique utile Pu (en W)

Exercice 4 : Hydrodynamique – Nettoyeur haute pression

Solution 1 L/min = 10-3 / 60 m3/s

Q = 8,4 L/min = 8,4x10-3 / 60 = 1410-5 m3/s

VQ S v

1. Section en (1)

= 14x10-5 / 140 = 1x10-6 m2

Soit une surface S1 en entrée de 1 mm2

2. Aire de la section (2)

•Vitesse en (2)

S2 = x D2 / 4 = x (1,2x10-2)2 / 4 = 113x10-6 m2

Soit une surface S2 en sortie de 113 mm2

1410-5 / 113x10-6 = 140/113 m.s1

Soit une vitesse V1 en entrée de 1,24 m/s

3 - Puissance hydraulique utile Pu (en W)

Pu = Qv . p = ([8,4 . 10-3]/60) . (120.105) = 1680 W

Débit volumique en m3/s Pression en Pascal ou N/m2

d. Puissance hydraulique

La puissance transmise par un fluide hydraulique est appelée "puissance hydraulique".

1. Cas d’un vérin hydraulique

F : force exercée par la tige du vérinv : vitesse en sortie de tigeS : section du pistonQv : débit reçup : pression dans la chambre du vérin.

La puissance utile d'un vérin est donnée par la relation :

Pu = F × v

Si on considère les pertes négligeables : Pu = Pa

Or F = p×S; v =Qv

S; p en pascal; Qv en m3/s;

Pa en WattDonc

Pa = F v = P×S×Qv

S= p×Qv

2. Cas général

Un fluide hydraulique de débit Qv et de pression p transporte

une puissance hydraulique P, telle que:

P = p × Qv p en pascalsQv en m3/s et P est en Watt

p en barQv en L/min et P est en kiloWatt

Ou encore

P =p ×Qv

600

Exemple

Un vérin de rendement 80 %, reçoit un débit de 36 L/min sous une pression de 80 bars.Calculez la puissance utile du vérin.

Réponse

• Puissance absorbée: P =p×Qv

600

P =80×36

600= 4,8 kW

• Puissance utile: Pu = 4,8×0,80 = 3,84 kW

3.4 - Équation de Bernoulli

1. Cas général

Soit un fluide parfait, incompressible, s'écoulant dans une conduite non constante (S1 < S2 ).Considérons une portion de ce fluide de masse

volumique et de volume V.

L’équation de Bernoulli traduit la variation de la vitesse v,

de la pression p et de l’altitude z entre les positions (1) et (2):

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

v p gz v p gz

s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m

Chacun des ces termes est homogène à Chacun des ces termes est homogène à une pression…une pression…

Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

v p gz v p gz

s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m

½ . . V 2La composante volumique d’énergie cinétique du fluide (masse volumique) remplace la masse m

pLa composante volumique du travail des forces de pression p du fluide

. g . Z La composante volumique d’énergie potentielle de hauteur Z du fluide

Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

v p gz v p gz

s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1;

½ . . v 2La composante volumique d’énergie cinétique du fluide (masse volumique) remplace la masse m

E c = ½ . m . v 2 et m = . Volume

Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

v p gz v p gz

l : déplacement du fluide en mS : Surface de fluide déplacé en m2

p pression en Pa

pLa composante volumique du travail des forces de pression p du fluide

Travail des forces de pression p du fluide W (p)

Avec W(p) = F.l et F = p.S donc W(p) = p. S . l et S . l = Volume de fluide déplacé

Décortiquons un peu l’équation de Bernoulli

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

v p gz v p gz

s’exprime en kg·m-3; Volume en m-3; z en m

. g . Z La composante volumique d’énergie potentielle de hauteur Z du fluide

Energie potentielle de hauteur Z du fluide E p(Z)

Avec E p(Z) = m . g . Z et m = . Volume

2. Cas d’un écoulement horizontal: Effet Venturi

Soit un écoulement permanent dans une conduite horizontaleprésentant un étranglement.

L’équation de Bernoulli entre l’état (1) et l’état (2) s’écrit:

2 21 1 2 2

1 12 2

v p v p

z1 = z 2

Comme S1 > S 2 , v2 > v 1 et par conséquent p2 < p 1

La pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement

augmente.

Applications:

Pistolet à peinture; vaporisateur; aile d’avion…

3.5 - Viscosité d’un fluide

Les fluides parfaits s’écoulant sans frottement n’existent pas réellement .L’écoulement d’un fluide réel fait apparaître des frottements des molécules entre elles et avec les parois de la conduite.•La viscosité dynamique d’un fluide réel caractérise son aptitude à s’écouler . On la note: (éta) et elle s’exprime en pascal seconde(Pa·s)

•La viscosité cinématique est donnée par la formule suivante:

(nu) : Viscosité cinématique en (m2/s)Avec (éta)Viscosité dynamique en (Pa·s) (rhô) : masse volumique en (kg/m3)

Autres unités plus pratiques:

•Le stokes (St): 1 m2/s = 104 St

•Le centistokes (cSt): 1 cSt = 10-2 St

Fluide Température(°C) Viscosité dynamique(Pa·s)

0 1,79×10-3

eau 20 1,00×10-3

100 0,28×10-3

0 12

glycérine 20 1

20 106 à 103

bitumes de pétrole 50 103 à 101

La viscosité des liquides diminue si la température augmente.

3.6 - Les différents régimes d’écoulement:

On distingue deux régimes d’écoulement :Laminaire ou Turbulent.Les régimes d’écoulement sont déterminés à l’aide d’un nombre appelénombre de Reynolds (sans unité), noté Re

V: Vitesse d’écoulement en (m/s)Avec D : Diamètre en (m) mètre

: Viscosité cinématique en (m2/s)

R e = V . D / Laminaire

Turbulent

3.7 - Les pertes de charge:

La viscosité du fluide et la longueur de la conduite engendrent des pertes de pression appelées aussi pertes de charge Les pertes de charges linéiques ou régulières, notées p, sont exprimées en pascal (Pa):

K: coefficient de pertes de charge(sans unité)L: longueur de la conduite(en m)D: diamètre de la conduite(en m): masse volumique du fluide(en kg/m3)v : vitesse du fluide(en m/s)

p

Pour un écoulement laminaire:

64

e

KR

Pour un écoulement turbulent:

4

0,316

e

KR

Remarque :Il existe d’autres pertes de charge liées à des singularités des conduites : coudes, rétrécissements, vannes…Elles sont nommées pertes singulières.

Dans la pratique, des tableaux ou des abaques permettent de calculer les pertes de charge en mètres de longueur de conduite.

3.8 - Énergétique hydraulique

Appliquée à l’étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un moteur, pour alimenter un vérin.

Schéma hydraulique de l’opérateur FAAC

Étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un moteur, pour alimenter un vérin.

1. Moteur

L’arbre du moteur est soumis à un couple de forces de moment M

Puissance utile du couple moteur Pu = . M

M en N·m Avec d : Distance (bras de levier )en (m) mètre

F en N

M en N·m (Newton.mètre)Avec n: fréquence de rotation en tr/s

P en watt(W)

Rendement du moteur

( )

( )

u moteurmoteur

a moteur

P

P (éta) : Rendement (nombre sans unité)

2. La pompe

Caractéristiques:

-débit Q en m3/s-fréquence de rotation n en tr/s-cylindrée C: volume du fluide refoulé à chaque tour de pompe

QC

n (C est en m3/tr)

Puissance hydraulique d’une pompe

Rendement d’une pompe

( )( )

( )

u pompepompe

a pompe

P

P P a(pompe) = P u(moteur)

Pu: puissance en wattAvec p: pression en pascals (Pa)

Q: débit en m3/s

3. Vérin

Le fluide exerce une force pressante F sur le piston du vérinprovoquant son déplacement d’une distance d(sa course),à la vitesse constante v pendant une durée t;

Dans ce cas la puissance est donnée par:

Pu: puissance en wattF: force exercée en N

Avec d: distance(course) en mv: vitesse en m/st: durée en secondes(s)

Rendement d’un vérin( )

( )

u vérinvérin

a vérin

P

P

P a(vérin) = P u(pompe)

4. Rendement global d’une installation hydraulique

( )

( )

u vérin

a moteur

P

P

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

· ·u moteur u pompe u vérin

a moteur a pompe a vérin

P P P

P P P

· ·moteur pompe vérin

Fin

Exercice N° 7 – Hydrodynamique – Pompage et pertes de charges

Alimenter

Panneaux solaires

Convertir

Moteur courant continu

Transmettre Adapter

Pompe mono volumétrique

Distribuer

Driver de commande

Chaîne d’énergie partielle- Schéma N°2

Énergie« Solaire »

= 99% = 83% = 70%

Plan du chantier (le puits est ouvert à l’air libre)

Chaîne d’énergie du système de pompage

1) Pression relative au point 1 P1 = P atm (écoulement à l’air libre) Pression relative au point 2 principe fondamental de l’hydrostatique

P2 – P3 = ρ g h Le point 3 étant à la surface de l’eau dans le puits

D’où : P2 = 1000 x 9,81 x 6 =58860 Pa soit environ 0,59 bar

2) 2.1 Les pertes de charge linéaires (ou régulières) sont :• - proportionnelles à la longueur du conduit• - inversement proportionnelles à la longueur du conduit• - dépendantes du type d’écoulement (nombre Reynolds)• - proportionnelles au diamètre du conduit• - inversement proportionnelles au diamètre du conduit• - proportionnelles à l’épaisseur de la canalisation.

2.2 La canalisation peut être réalisée dans l’un des deux diamètres (en mm) suivants : 20 ou 40.Le diamètre le plus adapté est le plus grand soit 40 mm pourdiminuer les pertes de charge linéaires

3

3) La pompe doit fournir une pression de 2,6 bars pour faire monter l’eau avec un débit de 30L/min. Puissance hydraulique de la pompe ?

P = Q . p

Donc P = (30x 10-3/60) x (2,6 x 105) = 3 x 102 x 2,6 /6 soit 130 Watt

4) Le système de pompage est alimenté par des panneaux solaires. La pompe fournie par le fabricant a une puissance de 130 W.

Rendement global g du système ?Rendement global g = produit des rendements intermédiaires = 1 x 2 x 3 = 0,99 x 0,83 x 0,7

soit 0,57519 arrondi à 0,58

Puissance électrique fournie par les panneaux solaires ?

P Entrée système = P Sortie système / g

= 130 / 0,57519 = 226 Watt

3

Pu: puissance en wattAvec p: pression en pascals (Pa)

Q: débit en m3/s

FIN