Mécanique des Fluides II - koutanisaid.files.wordpress.com · Mécanique des Fluides – Saïd KOUTANI - 1996 Page 4 ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX I- APPROCHE EXPERIMENTALE Nous

Mécanique des Fluides – Saïd KOUTANI - 1996 Page 1

MECANIQUE DES FLUIDES

II

Saïd KOUTANI


TABLE DES MATIERES

Chapitre 1 : STATIQUE DES FLUIDES I- Notion de contrainte II- Equation générale de la statique des fluides III-Hydrostatique IV- Tension superficielle et phénomène de capillarité Chapitre 2 : CINEMATIQUE DES FLUIDES

I- Cinématique de Lagrange et cinématique d’Euler II- Equation de continuité III- Description analytique d’un écoulement. Tenseur de déformation. Chapitre 3 : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS I- Bilan de quantité de mouvement II- Equation de Bernoulli III- Théorème de l’énergie cinétique IV- Théorème des quantités de mouvement Chapitre 4 : APPLICATION DES THEOREMES DE LA DYNAMIQUE

I- Théorème de Bernoulli 1) Formule de Torricelli 2) Tube de Venturi 3) Tube de Pitot II- Théorème des quantités de mouvement 1) Réaction d’un jet 2) Impact d’un jet Chapitre 5 : ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX I- Approche expérimentale II- Forces de viscosité dans les fluides Newtoniens III- Ecoulement laminaire et écoulement turbulent : Nombre de Reynolds IV- Solutions de l’équation de Navier Stokes Chapitre 6 : SIMILITUDE ET ANALYSE DIMENSIONNELLE I- Problèmes de similitude II Analyse dimensionnelle 1) Théorème de Vaschy-Buckingham 2) Exemple d’application Chapitre 7 CHARGE ET PERTE DE CHARGE I- Charge en un point


II- Charge totale moyenne dans une section droite d’une conduite III- Perte de charge d’un tronçon de conduite de section uniforme IV- Calcul des pertes de charge dans les conduites circulaire 1) Analyse dimensionnelle 2) Expérience de Nikuradse 3) Diagramme de Colebrook-Moody V- Perte de charge dans les singularités VI- Pertes de charge d’un circuit Chapitre 8 : TURBOMACHINES I- Généralités II- Introduction à la théorie des turbomachines III- Similitude des turbomachines IV- Turbines hydrauliques V- Les pompes


ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX

I- APPROCHE EXPERIMENTALE

Nous avons vu que pour un fluide immobile, les forces intérieures sont les forces de pression et que celle-ci sont normales aux surfaces sur lesquelles elles s’exercent. Pour un fluide en mouvement d’autres forces apparaissent : les forces de viscosité.

1) Expérience de Couette

On considère un fluide remplissant l’espace délimité par les surfaces solides de deux cylindres de même axe.

Fluide

ω

On met le cylindre extérieur en rotation avec une vitesse angulaire constante. Le cylindre intérieur, initialement fixe se met à tourner dans le même sens.

Le fluide doit être le siège de forces tangentielles qui sont responsables de ce phénomène. Ce sont des forces de frottement internes au sein du fluide : forces de viscosité.

2) Viscosité dynamique :

On considère deux points M et M’ appartenant à deux couches fluides différentes.

M

M ’

à l’instant t

M

M ’

à l’instant t+ dt


Les couches fluides se déplacent avec des vitesses différentes: le vecteur qui joint M et M’ dépend du temps. Pour les faibles déplacements MM’, les forces de viscosité sont

proportionnelles à la différence de vitesses entre les couches fluides. La viscosité dynamique µ est la grandeur de proportionnalité.

[ ]µ = − −ML T1 1 dans le S.I l’unité est le Poiseuille

et dans le système C.G.S. l’unité est le Poise

µ dépend de la température T. µ(T) croit avec T pour l’air, tandis qu’elle décroît pour l’eau. Pour les deux fluides la viscosité ne dépend pratiquement pas de la pression. Les huiles ont une viscosité 100 fois supérieure à celle de l’eau (= 0.0013 Pa.s à 20°C).

II FORCES DE VISCOSITE DANS LES FLUIDES NEWTONIENS

1) Tenseur des contraintes de viscosité

Pour un domaine D pris à l’intérieur de la masse fluide, les contraintes qu’il subit dépendent de l’orientation de l’élément de surface considéré. En rapportant l’espace à un système d’axes trirectangulaire, on le tenseur de contrainte par la matrice 3*3

[ ]ττ τ ττ τ ττ τ τ

ij =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

où τ ij est la contrainte exercée selon la direction xi sur une surface de normale parallèle à

x j . Sur une surface dS centrée autour d’un point M, de normale �

n , la contrainte visqueuse est

[ ]� �τ τ= ij n .

Exemple : ( )τ ij

0

1

0

est la contrainte sur un élément de surface perpendiculaire à x2

La contrainte totale est composée de la contrainte visqueuse et de la contrainte statique( )− pn�

[ ] ( )�

� � � � � �

T = pn + avec n'est pas à − =τ τ ττ ij n n

2) Fluides Newtoniens


On rappelle que le vecteur déformation (voir cinématique) est donné par

� �

D S dMij=

Le frottement des couches fluides les unes par rapport aux autres conduit à une déformation du milieu fluide. La déformation, déterminée par le taux de déformation Sij , résulte des contraintes

de viscosité. Par définition, un fluide en écoulement est dit newtonien si les causes (contraintes) sont proportionnelles aux effets (déformation)

τ µij ijS= 2

Il faut noter que les fluides ne sont pas tous Newtoniens, seul ce cas particulier sera étudié. III - Equations locales de la dynamique des fluides incompressibles

Force de surface : �

T

Force de volume : �

f

On écrit l’équation locale du principe fondamental de la dynamique

d

dtV f Tρ ρ� � �

= +

Soit pour un domaine D

d

dtV d f d p n d S d S

D D Ss∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫= − +ρ τ ρ τ τ

� �

� �

. .

ou encore

d

dtV d fd pd dS

DD D S

ρ τ ρ τ τ τ� � �

�

= − ∇ +∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ,

équation qui s’écrit selon

�

e1 (par exemple)

d

dtu d f d

p

xd dS

DD D S

ρ τ ρ τ∂∂

ρ τ1 11

1= − +∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

On transforme la dernière intégrale en une intégrale de volume

( ) ( )τ τ τ τ τ τ τ1 11 12 13 1 2 3 1 1dS n n n dS n dS dS S

jS

j∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫= = = ∇ ⋅, , , ,� �

�

�

par conséquent


d U

dtf

P

xd U

dtf

P

xdpU

dtf

p

x

j

j

j

ρρ

∂∂

τ

ρρ

∂∂ τ

ρ∂∂

τ

= − + ∇ ⋅

= − + ∇ ⋅

= − + ∇ ⋅

11

1

22

22

33

33

�

�

�

�

�

�

Qu’est ce que �

�

∇τ 1 j ? C’est ∂τ∂

∂τ∂

∂τ∂

11

1

12

2

13

3x x x+ + . Il en est de même pour les autres divergences.

Rappelons que τ µij i jS= 2 pour un fluide Newtonien.

∂ τ∂

µ∂

∂∂∂

∂∂

µ∂∂

∂∂

∂ τ∂ µ

∂∂

∂∂

∂∂ µ

∂∂

∂∂ ∂

∂ τ∂

µ∂

∂∂∂

∂∂

µ∂∂

11

1 1

1

1

1

1

21

12

21

12

12

2 2

1

2

2

1

21

22

22

1 2

13

3 3

1

3

3

1

21

32

21

2

21

2

21

2

x x

u

x

u

x

u

x

u

x

x x

u

x

u

x

u

x

u

x x

x x

u

x

u

x

u

x

= +

= +

⋅

= +

= +

= +

= +

∂∂ ∂

23

1 3

u

x x

Faisons la somme

�

�

� �

∇ = + ∇ ⋅τ µ∂

∂1 11

j ux

V∆

Pour les autres on obtient :

�

�

� �

∇ = + ∇ ⋅τ µ∂

∂2 22

j ux

V∆

�

�

� �

∇ = + ∇ ⋅τ µ∂

∂3 33

j ux

V∆

Pour un fluide incompressible : � �

∇ ⋅ =V 0, donc les équations dynamiques locales s’écrivent

d u

dtf

p

xu

d u

dtf

p

xu

d u

dtf

p

xu

ρρ

∂∂

µ

ρρ

∂∂ µ

ρρ

∂∂

µ

11

11

22

22

33

33

= − +

= − +

= − +

∆

∆

∆

Ce sont les équations de Navier-Stockes, qui sont évidemment les projections de l’équation vectorielle


ρ ρ µd

dtV f p V� � � �

= − ∇ + ∆ .

Sachant que ( ) ( )∆ Λ Λ Λ Λ� � � � � � � � � �

V V V V= ∇ ∇ ⋅ − ∇ ∇ = −∇ ∇ ,

si �

f dérive d’un potentiel : � �

f U= −∇ , l’équation devient

( )d

dtV U p Vρ ρ� � � � �

= −∇ + − ∇ ∇Λ Λ

Dans le champ de pesanteur U gx= 3, par conséquent

( )d

dtV gx p Vρ ρ� � � � �

= −∇ + − ∇ ∇3 Λ Λ .

Développons dV

dt

�

, et faisons apparaître le vecteur tourbillon �

� �

ω = ∇ ∧1

2V , on obtient

∂∂ ω ρ ν ω�

�

�

� � �

�V

t

VV gx

p+ ∇

+ ∧ = −∇ +

− ∇ ∧

2

322 2 ,

où νµρ

= est la viscosité cinématique.

Remarques importantes

1- En prenant νµρ

= = 0, on retrouve l’équation des fluides parfaits.

2- Si �

� �

ω = ∇ ∧1

2V = 0 (Ecoulement irrotationnel), ceci n’implique pas que le fluide est

parfait. Seule la résultante des contraintes visqueuses sur un élément de volume est nulle. En fait, le travail produit par les forces de viscosité se traduit par une dissipation d’énergie mécanique sous forme de chaleur, ne doit pas être nul si le mouvement est irrotationnel. 3- En général, on ne sait pas intégrer les équations de Navier-Stokes; la prise en compte des conditions aux limites est un problème très complexe. Seuls des cas simples, correspondant à quelques applications, en particulier les écoulements laminaires sont traitables analytiquement. IV- ECOULEMENT PERMANENT DE FLUIDE INCOMPRESSIBLE On s’intéressera particulièrement aux fluides en écoulement dans le champ de pesanteur.

Ecoulement permanent : ∂∂t

= 0 . L’équation vectorielle de Navier-Stokes devient


�

�

� � �

�

∇

+ ∧ = −∇ +

− ∇ ∧

VV gx

p2

322 2ω ρ ν ω

Projetons cette équation sur la trajectoire

�

V

s

∂∂ ρ ρ µ ωs

Vgx p trajectoire

2

322+ +

= − ∇ ∧

�

�

Entre deux points d’une ligne de courant, on a

p gxV

p gxV

pt2 3222

1 3112

2 2+ +

− + +

= −ρ ρ ρ ρ ∆ .

On retrouve p : pression statique p’ : pression motrice.

ρV 2

2 est la pression dynamique.

La pression totale est la somme de la pression motrice et la pression dynamique. ∆pt est la

pression totale perdue par viscosité (frottement). Remarque : On constate que la formule de Bernoulli n’est pas vérifiée pour les fluides visqueux. L’énergie mécanique ne se conserve pas; une partie se transforme irréversiblement en chaleur par frottement. V-ECOULEMENT LAMINAIRE ET ECOULEMENT TURBULENT 1) Transports diffusif et convectif des quantités de mouvement Les particules d’un fluide en écoulement transportent la quantité de mouvement. On distingue deux mécanismes de transport : la convection et la diffusion. a) La convection La convection est simple à comprendre par l’exemple suivant. Soit un écoulement parallèle avec un vecteur vitesse constant.


S = 1

Chaque élément de fluide transporte sa propre quantité de mouvement. Ce type de transport est dit convectif. Le débit de quantité de mouvement par unité de surface et par unité de temps est

ρV 2 .

b) La diffusion Considérons l’exemple suivant : Fluide entre deux plaques parallèles l’une mobile et l’autre fixe.

x1

x2

Plaque mobile

Plaque immobile

L

T

u

x u

x=

=2

0 2 0

0 0 0

0 0 0

0

1

0

1

21

2

µ

∂∂

µ∂∂

En supposant que la vitesse varie linéairement avec x2 , Cette contrainte est

TV

L= µ

c) Nombre de Reynolds Dans un écoulement quelconque, les deux mécanismes sont présents. Pour comparer leurs importances relatives, on définit le nombre de Reynolds Re

RDé bit diffusif dequantitédemouvement

Dé bit convectif dequantitédemouvement

V

V L

VLe = = =

ρµ ν

2

/

L est une longueur caractéristique de l’écoulement. Pour une conduite cylindrique, L sera le diamètre. 2) Ecoulement Laminaire et écoulement turbulent


On dit qu’un écoulement est laminaire lorsque les lignes de courant ne se mélangent pas au cours du mouvement. Ce type d’écoulement devient instable à partir d’une certaine valeur du nombre de Reynold. Remarquons que ce nombre dépend de la vitesse du fluide et de sa viscosité. Pour les grandes valeurs de Re, les trajectoires des particules s’enchevêtrent et il devient compliqué de décrire leurs mouvements particuliers; ce type d’écoulement est dit turbulent. Il faut noter que pour une conduite cylindrique la valeur critique de Re, pour laquelle il y a transition laminaire-turbulent, est de l’ordre de 2000.

VI- SOLUTIONS DE L’EQUATION DE NAVIER-STOKES 1- Ecoulements de Poiseuille Ce sont des écoulements laminaires de fluide incompressible entre deux plans parallèles fixes ou dans une conduite cylindrique de section circulaire. a) Ecoulement dans un tube cylindrique On considère un écoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique de rayon R, induit par une différence de pressions ∆p p p= −1 2.

L

D=2R

p1 p2

�

Vmaxx2

x1

x3

r

x1

x3

Le vecteur vitesse est donc tel que

u u u u x x1 3 2 2 1 30= = =et ( , )

Par conséquent, les équations de Navier-Stokes s’écrivent simplement

[ ]

[ ]

[ ]

∂∂

ρ

∂∂

ρ

∂∂

ρ µ

xp gx

xp gx

xp gx u

13

33

23 2

0

0

0

+ =

+ =

− + + =∆


Les deux premières équations montrent que la pression motrice ne dépend pas de x x1 3et ; elle

est constante sur la section verticale du tube. On a donc

( )p p x' '= 2

En coordonnées cylindriques, la troisième équation devient

∂∂ µ

p

x r

d

drr

du

dr

'

2

21=

Le premier membre ne dépend que de x2 et le second ne dépend que de r; les deux membres

doivent être égaux à une constante α .

d

drr

du

dr

r2

= α

µ

équation, qui a pour solution

ur

r2

2

4= + +

αµ

β δln .

Pour empêcher cette solution de diverger en r = 0 , β = 0. La troisième constante est

déterminée à partir de ( )u R2 0= . On trouve

( )u R r22 2

4= −

αµ

.

où encore

u ur

R2 2

2

21= −

max

Cette équation donne la distribution des vitesses à l’intérieur de la conduite : Paraboloïde des vitesses. Quant aux pressions, on a

∆p p p L' ' '= − =2 1 α

d’où

α = −−p p

L1 2' '

.

La vitesse maximale est donc donnée par

( )V uR

p pmaxmax ' '= = −2

2

1 24µ.


Calculons maintenant le débit volumique. Par définition

q VndSv = ∫∫�

�

c’est-à-dire

( )q ru drD

Lp pv

R

= = −∫21282

0

4

1 2ππ

µ' ' .

C’est la loi de Poiseuille. On appelle vitesse débitante la vitesse moyenne, donnée par

Vq

S

Vd

v= = max

2.

b) Ecoulement entre deux plans parallèles On considère un écoulement laminaire permanent entre deux plans parallèles et fixe.

x2

x3

( )�

V u= 0 02, ,d

L

On a

( )u u u u x1 3 2 2 30 0= = =, et .

Les équations de Navier-Stokes donnent

( )

( )

( )

d

dxp gx u

du

dx

d

dxp gx

d

dxp gx

23 2

2

3

13

33

0

0

+ = =

+ =

+ =

ρ µ µ

ρ

ρ

∆

Ces équations montrent que la pression motrice ne dépend que de x2 , elle est donc hydrostatique

dans des plans verticaux. Le second membre s’écrit nécessairement


µ α αdu

dx

p p

L2

3

2 1= =−

,' '

avec .

Avec les conditions aux limites : u xd

2 302

= = ±pour , la première équation donne

ud x

d2

23

2

81 4= − −

αµ

,

ce qui permet de déterminer le débit

q u dx dxd

lv = = −∫∫ 2 1 3

32

3

αµ

Où l est la largeur des plaques parallèles. On peut montrer facilement que

V Vd = 2

3 m ax

Il est important de noter que ces résultats ne sont valables que lorsque le nombre de Reynolds

R e =V dd

ν reste petit, c’est-à-dire tant que l’écoulement est laminaire.

2) Graissage hydrodynamique Lorsque deux solides en contact sont en mouvement l’un par rapport à l’autre, il est quasiment impossible de trouver des cas où le mouvement s’effectue sans frottement. Ceci est dû à l’inévitable rugosité des surfaces, plus ou moins importante selon les méthodes d’élaboration des matériaux, et de leurs traitements et polissage. On a donc recours au graissage qui consiste à séparer les surfaces solides en mouvement par une couche de fluide visqueux. Le choix du fluide dépend, entre autres, de sa viscosité. Lorsque la couche d’huile est assez épaisse (quelques dizaines de microns), la rugosité des solides n’intervient plus. Dans ce cas, le graissage est dit hydrodynamique : seules les propriétés physiques du liquide restent à améliorer pour un fonctionnement optimal.

Une huile de graissage à une viscosité cinématique de l’ordre de ( )scentistokesm 30010.3 124 −− .

Pour une épaisseur de l’ordre de 10 microns et une vitesse de l’ordre de 3 1ms− , On a

1.0≈eR

On constate donc que le nombre de Reynolds est extrêmement faible; par conséquent; l’écoulement reste laminaire, et la solution des équations de Navier-Stokes est facile à établir. VI- REMARQUE SUR LE THEOREME DE QUANTITE DE MOUVEMENT


Nous avons établi le théorème de quantité de mouvement pour les fluides parfaits

( )ρ� �

�

V Vn dS Forces exercé essur le domaine de surface SS

∫∫ ∑= .

En fait ce théorème est valable aussi pour les fluides visqueux, à condition de prendre les forces de viscosité en compte

( )ρ ρ τ� �

�

� �

V Vn dS fd TdSS D S

∫∫ ∫∫∫ ∫∫= +

La contrainte �

T représente les forces de pression statique et les forces de viscosité.


SIMILITUDE ET ANALYSE DIMENSIONNELLE

I- PROBLEMES DE SIMILITUDE A priori toute installation hydraulique peut être étudiée théoriquement avant sa réalisation technique. Les paramètres caractéristiques peuvent en principe être déterminés à partir des équations de la dynamique, l’équation d’état du fluide et les conditions aux limites appropriées (limites temporelles et limites géométriques). Or la complexité des équations et des conditions aux limites, et souvent leur multiplicité, rend cette tâche impossible. On réalise alors des maquettes et on fait des essais. La technique des maquettes est très employée pour les turbomachines, dans les constructions hydrauliques et surtout en aérodynamique. Cependant, la maquette n’est pas une simple réduction géométrique du prototype. Il faut trouver des facteurs d’échelle entre les divers grandeurs physiques (débit, pression ...) pour passer de la maquette au prototype et inversement. Pour cela il faut respecter des règles bien déterminées; ce sont les conditions de similitude. Nous allons chercher ces conditions pour quelques cas particuliers. De façon générale, si deux écoulements (maquette et prototype) sont similaires ils doivent être décrits par la même équation. Il faut transformer l’équation de Navier-Stokes en introduisant des variables réduites sans dimension. 1) Ecoulement à surface libre non horizontale Dans ce cas, une surface isobare ne correspond pas à x cte3 = .

a) Variables réduites - Longueur caractéristique Lc : le diamètre d’une conduite par exemple. Les variables

géométriques sont dimension sont

~ ~ ~xx

Lx

x

Lx

x

Lc c c1

12

23

3= = =

-Vitesse caractéristique Vc: la vitesse débitante par exemple. La vitesse réduite en un point

ou ensemble de points a pour composantes

~ ~ ~uu

Vu

u

Vu

u

Vc c c1

12

23

3= = =

On détermine la variable temps réduite par

~ttL

V

V

Lt

c

c

c

c

= =

et la pression réduite par


p V pc= ρ 2 ~ .

Les opérateurs sans dimension s’écrivent

d

dt

V

L

d

dt L Lc

c c c

= ∇ = ∇ =2

2

1 1~

~ ~�

�

et ∆ ∆ .

A partir de ces variables et opérateurs l’équation de Navier-Stokes

( )ρ ρ µdV

dtp gx V

�

� � �

= −∇ − ∇ +3 ∆

devient

( )dV

dtp

Frx V

~

~~~ ~ ~

Re~ ~

�

� � �

= −∇ − ∇ +1 1

3 ∆

avec

FrV

L g

L Vc

c

c c= =2

et Reρ

µ

Fr est appelé nombre de Froude, et l’on reconnaît le nombre de Reynolds Re.

Pour que deux écoulements relatifs respectivement à la maquette et au prototype soient semblables, il faut qu’ils soient décrits par la même équation dynamique ci-dessus. Les variables réduites étant sans dimension, il suffit d’avoir l’égalité des nombres de Reynolds et l’égalité des nombres de Froude entre la maquette et le prototype

( ) ( ) ( ) ( )Re Remaquette prototype Fr maquette Fr prototype= =et .

Remarque On constate que les conditions de similitude de Froude et de Reynolds ne peuvent être réalisées à la fois, sauf si les dimensions géométriques de la maquette sont celles du prototype. En conséquence, la notion de maquette disparaît. Toutefois, lorsque Re est très grand, il suffit de respecter la condition de Froude.

2) Ecoulement en charge

On appelle écoulement en charge les écoulements dont les conditions aux limites font intervenir des frontières géométriques, des vitesses et des pressions avec des isobares horizontales. Dans ce cas,

p p gx cte x cte'= + = ⇒ =ρ 3 3 .

Nous avons donc à regrouper la pression statique et l’effet de la pesanteur en une seule variable sans dimension


p V pc' ~'= ρ 2 ,

Ce qui conduit à la forme suivante de l’équation de Navier-Stokes

dV

dtp V

~

~~~'

Re~ ~

�

� �

= −∇ +1

∆ .

La condition de similitude pour un écoulement en charge c’est la similitude de Reynolds. Cependant, il faut noter que lorsque Re est supérieur à une valeur critique, la condition de similitude de Reynolds n’est plus nécessaire. II- ANALYSE DIMENSIONNELLE Tout problème relatif à un phénomène physique est décrit par une équation du type

( )f X X X Xn1 2 3 0, , ,..., = ,

où les X i sont les variables physiques du problème.

En mécanique des fluides le nombre n est souvent très important, et il est pratiquement difficile de déterminer la fonction f. L’analyse dimensionnelle est un moyen puissant pour approcher cette fonction. L’équation ci-dessus est dite homogène, si quelque soit le système d’unité elle garde la même forme et les mêmes valeurs pour les coefficients. Par exemple, l’équation qui donne la distance parcourue par un corps dans le champ de pesanteur

d gt− =12

02

2) Matrice dimensionnelle Soit X i les n variables intervenant dans un problème physique donné. Tout produit de ces

variables est de la forme

Π = X X X Xnn

1 2 31 2 3α α α α...

où les exposants α i sont des constantes. Les X i ne sont pas des grandeurs fondamentales. En

dynamique, les grandeurs fondamentales sont

G L G M G T1 2 3= = =

La masse n’intervient pas lorsque le problème est cinématique. Chaque X i doit s’écrire

X G G Gi rr= 1 2

1 2β β β...

où r est le nombre de variables fondamentales. On construit un tableau de r lignes et n colonnes


β β ββ β β

β β β β

11 12 1

21 22 2

1 2 3

. . .

. . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. .

n

n

r r r r n

dont les composantes constituent la matrice dimensionnelle

[ ]D ij= β .

3) Théorème de Vaschy-Buckingham

a- Toute équation physique homogène, ( )f X X Xn1 2 0, ,.., = , entre les n grandeurs X i ,

peut être réduite à une relation ( )ϕ Π Π Π1 2 0, ,..., r = entre les m produits sans dimension Πi

formés à partir des variables X i .

b- Le nombre m de produits est m = n-r, où r est le rang de la matrice dimensionnelle. Ce théorème nous apprend qu’il suffit de m variables pour représenter le phénomène physique et non pas n. 4) Exemple d’application On considère une sphère de diamètre D se déplaçant à la vitesse V dans un fluide de viscosité µ

et de masse volumique ρ . La traînée (effort longitudinal) Ft dépend de ces quatre grandeurs, on

a donc

( )f F V Dt , , , ,ρ µ = 0 .

Le nombre de variables est 5. Construisons la matrice dimensionnelle

D =− −

− − −

1 1 1 3 1

1 0 0 1 1

2 1 0 0 1

Le nombre de produits doit être 2 et ils ont la forme suivante

Π

Π1

2

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

=

=

F V D

F V D

α α α α α

α α α α α

ρ µρ µ

ou encore

Π

Π1

3 2

23 2

11 12 13 14 15 11 14 15 11 12 15

21 22 23 24 25 21 24 25 21 22 25

=

=

+ + − − + + − − −

+ + − − + + − − −

L M T

L M T

α α α α α α α α α α α

α α α α α α α α α α α


Ces produits étant sans dimension, nous avons les équations à résoudre pour chaque produit

α α α α α11 12 13 14 153 0+ + − − =

0151411

=++ ααα

02 151211 =−−− ααα

Pour un problème dynamique, Il est commode de faire la permutation suivante

pour

pour1Π

Πα α αα α α

14 15 16

2 25 24 26

1 0

1 0

= = == = =

Par conséquent, les autres exposants sont

α α αα α α

11 12 13

22 23

1 2

1 2

= − = == − = =et 21

D’où l’expression des produits

Π Π1

2 2

2= =ρ µV D

F

DV

Ft t

.

On constate que

ΠΠ Π

1

2 1

12= = =

VDCtν

Re et

expressions qui font apparaître le nombre de Reynolds et Ct appelé coefficient de traînée. Le

théorème de Vaschy-Buckingham implique

( ) ( ) ( )ϕ φΠ Π Φ1 2 0 0, Re= = ⇔ =ou Re,Ct Ct

Ce résultat montre que le coefficient de traînée ne dépend que du nombre de Reynolds. D’autres exemples seront traités dans les chapitres suivants et en travaux dirigés. Il faut toutefois souligner l’importance pratique relative du théorème de Vaschy-Buckingham; il ne donne de renseignements ni sur la forme des lois ni sur les ordres de grandeurs.

III- SIMILITUDE DES TURBOMACHINES La notion de similitude des turbomachines est d’une importance capitale, surtout lorsqu’il s’agit de l’utilisation d’une machine dans des conditions différentes. Le fonctionnement d’une turbomachine est défini par D : diamètre de la roue N : fréquence de rotation de la roue


q v : débit volumétrique

ρ : masse volumique du fluide

ν : viscosité cinématique du fluide. La puissance échangée, le couple et le rendement sont fonction de ces 5 variables

( )( )( )

P f D N q

C f D N q

f D N q

v

v

v

=

=

=

1

2

3

, , , ,

, , , ,

, , , ,

ρ ν

ρ ν

η ρ ν

Le théorème de Vaschy-Buckingham montre qu’il existe, pour chaque équation ci-dessus, une

fonction ϕ i , telle que

( )ϕ i i i iΠ Π Π1 2 3 0, , = .

Il suffit simplement de trouver des variables sans dimension. Pour la puissance (coefficient de puissance)

P

N D

q

ND

NDv

ρϕ

ν3 5 1 3

2

=

,

Pour le couple

C

N D

q

ND

NDv

ρϕ

ν2 5 2 3

2

=

, ,

Et pour le rendement

η ϕν

=

3 3

2q

ND

NDv , .

q

NDv

3

P

N Dρ 3 5 ηC

N Dρ 2 5

Pour l’énergie E échangée entre le fluide et la roue, le même raisonnement conduit à l’expression

E

N D

q

ND

NDv2 2 3 3

2

=

ϕ

ν,


où E

N D2 2 est appelé coefficient manométrique,

E

N D

gh

N D2 2 2 2= .

Les coefficients qui apparaissent dans ces expressions sont appelés coefficients de Rateau. Ils doivent être les mêmes pour des machines en fonctionnements semblables. On peut classer les machines, en particulier les pompes, par un autre coefficient; la vitesse spécifique :

( )N

Nq

ghs

v=1 2

3 4

/

/


CHARGE ET PERTE DE CHARGE

I- CHARGE EN UN POINT Rappelons que l’équation de Bernoulli n’est valable que pour un fluide parfait et pour un écoulement permanent et incompressible de fluide permanent cette équation doit être remplacée par

p gxV

p gxV

pt2 3222

1 3112

2 2+ +

− + +

= −ρ ρ ρ ρ ∆

équation établie entre deux points d’une ligne de courant. La perte de pression totale représente une perte d’énergie mécanique qui se transforme irréversiblement en chaleur. Divisons cette équation par ρg

p

gx

V

g

p

gx

V

g

p

gt2

3222

131

12

2 2ρ ρ ρ+ +

− + +

= −

∆.

On appelle perte de charge du fluide le rapport

∆∆

hp

gtt=

ρ

Remarquons que c’est une longueur. Elle peut être mesurée par des hauteurs de fluide. La charge en un point est

hp

gx

V

gt = + +

ρ 3

2

2

Le schéma suivant montre l’effet des frottements sur la pression.

Dans un écoulement, la perte de charge tend à augmenter et la pression à diminuer lorsqu’on s’éloigne d’un générateur de pression.


II- CHARGE TOTALE MOYENNE DANS UNE SECTION DROITE D’UNE CONDUITE La perte de charge résulte de la viscosité du fluide et des frottements avec les parois solides. Dans une conduite réelle la vitesse, de même que la pression, ne sont jamais uniforme dans une section droite. Mais si la vitesse reste parallèle à une direction fixe, tout en variant en module, la pression sera hydrostatique (p’=cte). La pression totale varie d’un point à l’autre de la section et la charge totale aussi. On définit alors la charge totale moyenne dans la section par

h

h VndS

VndS

h VndS

qtm

ttion

tion

ttion

v

= =∫

∫

∫�

�

�

�

�

�

sec

sec

sec

h

p

gx VndS

VndS

V

gVndS

VndS

hp

g gSVV dS

hp

g

V

g

V

V

dS

S

tmtion

tion

tion

tion

tmD tion

tmD

Dtion

=+

+

= +

= + =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

ρ

ρ

ρα

α

3

2

3

2 3

2

1

2

2

�

�

�

�

�

�

�

�

sec

sec

sec

sec

sec

sec

'

'avec

α est le coefficient d’énergie cinétique. Il vaut 1 si la vitesse est uniforme et 2 pour une répartition parabolique. III- PERTE DE CHARGE D’UN TRONCON DE CONDUITE DE SECTION UNIFORME Pour une conduite de section uniforme, la répartition des vitesses est la même quelque soit la section, α est donc constant le long de la conduite. Dans ce cas, la perte de charge est

∆

∆

h h hp

gx

p

gx

hp p

g

t t t

t

= − = +

− +

=−

1 21

312

32

1 2

ρ ρ

ρ' '

Elle peut être mesurée par la différence de niveau entre deux colonnes piézométriques, en hauteur de fluide.


∆ht

L

Souvent on rapporte cette perte de charge à l’unité de longueur de la conduite; c’est la perte de charge linéaire qui ne dépend que de la géométrie et la rugosité d’une part et du débit et de la nature du fluide d’autre part.

hh h

Ltlt t=

−1 2

IV- CALCUL DES PERTES DE CHARGE DANS LES CONDUITES CIRCULAIRES a) Analyse dimensionnelle Pour calculer la perte de charge dans une conduite, il suffit donc de calculer la perte de pression motrice. Pour une conduite cylindrique, elle doit dépendre de D : diamètre de la conduite L : longueur de la conduite VD : vitesse débitante

( )ρ ν, : (nature du fluide)

et de la rugosité caractérisée par rh

: hauteur moyenne des aspérités

rd : Distance moyenne des aspérités.

On a donc

( )p p f V D L r rD h d' ' , , , , , ,1 2− = ρ ν

L’expérience montre que la fonction f est proportionnelle à L que l’on peut normer à D, et l’on obtient.

Φ ∆V D r rD

LpD h d, , , , , , 'ρ ν

= 0 .

Faisons un peu d’analyse dimensionnelle. L’équation ci-dessus s’écrit

( )Φ Π Π Π1 2 0, ,... m =

Le problème étant dynamique, le théorème de Vaschy-Buckingham implique que m= − =7 3 4, et


Π ∆i D h dV D r rD

Lpi i i i i i

i

=

α α α α α α

α

ρ ν1 2 3 4 5 6

7

' .

Il suffit de calculer ces exposants. Sachant que Πi est sans dimension, en l’écrivant sous forme de

produit de puissance des grandeurs fondamentales, on obtient

α α α α α α αα α

α α α

i i i i i i i

i i

i i i

1 2 3 4 5 6 7

3 7

1 4 7

3 2 0

0

2 0

+ − + + + + =+ =

− − − = .

Faisons α α α αi i i i4 5 6 71 0= = = =et , le premier produit s’écrit

Π1 =ν

V DD

.

En permutant 1 et 0 pour les exposants, on obtient

Π

Π

Π∆

2

3

4 2

=

=

=

r

Dr

DD

L

p

V

h

d

D

et'

ρ

En conséquence, l’équation recherchée peut s’écrire

∆p

V

L

Df

r

d

r

DD

h d'Re, ,

ρ 2

2

=

,

c’est-à-dire

∆hL

D

V

gtD= λ2

2

où le coefficient κ =

f

r

D

r

Dh dRe, , est le coefficient de perte de charge. Pour une conduite

donnée, il ne dépend que du nombre de Reynolds. Pour caractériser la perte de charge, il suffit de déterminer ce coefficient pour différents régimes. b) Expérience de Nikuradse Dans cette expérience, Nikuradse étudie la variation du coefficient de perte de charge en fonction du nombre de Reynolds et de la rugosité des conduites qu’il a faite varier artificiellement en collant sur les parois des grains de sable de taille variable. La dimension des grains, donc des aspérités, est caractérisée par un seul paramètre k. Le résultat est représenté sur la figure suivante.


1 2 3 4 5

l o g λ

logRe

hydrauliquement lisse hydrauliquement rugueux

laminaire turbulent

différents k

Tout d’abord, on constate que la notion de rugosité est relative au type d’écoulement. De ces résultats expérimentaux, on tire les conclusions suivantes :

- Région 1: 2000Re< ; l’écoulement est laminaire. Dans cette région, les données suivent la loi, dite de Hagen-Poiseuille,

Re

64=λ ;

ce qui correspond à la relation que l’on obtiendrait à partir de la résolution de l’équation de Navier-Stokes. - Région 2: Zone de transition laminaire-turbulent mal définie. - Région 3: Zone turbulente. On obtient la relation de Blasius

et ceci pour Re< 105 . -Région 4: Le coefficient de perte de charge dépend de la rugosité et de Re. -Région 5: C’est une zone où seule la rugosité intervient. Le coefficient de perte de charge suit la relation de Karman-Brandtl

14.1log21 +=

k

D

λ

c) Diagramme de Colebrook-Moody La rugosité des conduites industrielles n’est pas uniforme, mais si on définit un paramètre de rugosité k appelé rugosité uniforme équivalente, le coefficient de perte de charge suit la loi empirique universelle

4 Re100

1=λ


+−=λλ Re

51.2

71.3log2

1 D

k

.

On voit qu’il n’est pas facile de déterminer λ à partir de cette équation. Il existe des abaques qui donnent directement ce coefficient. V- PERTE DE CHARGE DANS LES SINGULARITES 1- Elargissement brusque Lorsque le diamètre d’une conduite passe brusquement de D1 à D2 , ce n’est qu’à une distance de

l’ordre de quelques dizaines de D2 que l’écoulement redevient uniforme.

S2

S1

x3

Calculons la perte de charge résultant de cette singularité

∆

∆

hp

g

V

g

p

g

V

g

hp p

g

V V

g

t

t

= +

− +

=−

+

−

' '

' '

1 12

2 22

1 2 12

22

2 2

2

ρ ρ

ρ

Le théorème de quantité de mouvement permet d’expliciter cette expression. En effet

( ) ( )ρ ρ� �

� �

V Vn dS V S V S n∫∫ = −22

2 12

1

et

F pndS f dpesanteur= − + ∫∫∫∫∫∑ �

�

τ .

avec � �

�

f d Ud gx ndSpesanteur∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫= − ∇ = −τ τ ρ 3 ,

on a

[ ]F p gx ndS p ndS= − + = −∫∫∑ ∫∫ρ 3

� �

' .

Faisons une projection selon la direction de l’écoulement.


ρ ρV S V S p S p S22

2 12

1 1 2 2 2− = −' '

d’où le résultat

( )∆

∆h

p

g

V V

gt = =−'

ρ1 2

2

2

que l’on peut écrire sous la forme

∆hg

Vt =ℑ2 1

2

où le coefficient de pertes de charge singulière s’écrit

ℑ = −1 1

2

S

S

2- Rétrécissement brusque En considérant le phénomène de contraction, le problème peut être traité comme un élargissement entre la section contractée σ et S2 .

S2

σ

On a donc

( )∆h

V V

g

V

g

V

Vt =−

= −

2

2

22

2

2

2 21

où V est la vitesse dans la section contractée. Finalement, on obtient

∆hg

Vt =ℑ2 2

2

avec

( )ℑ = −

=

11

2

2CC

Set coé fficient de contraction

σ.

Valeurs du coefficient de pertes de charge


- Orifice rentrant de Borda

ℑ ≈ 1

-Orifice à bords vifs

ℑ ≈ 0.5

-Orifice à bords chanfreinés

ℑ ≈ 0.7à 0.8

-Orifice à bords arrondis

ℑ ≈ 0.5

3) Pertes de charge dues à un coude On a encore une relation du type

∆hg

Vt =ℑ2

2

le coefficient de pertes de charge singulière dépend du diamètre de la conduite, de sa courbure et du nombre de Reynolds

( )ℑ = f D rayon decourbure, , ,Reθ

θ

D 4) Appareils divers


La mesure de pertes de charge d’origines multiples est nécessaire. En général, les constructeurs donnent leurs valeurs pour chaque appareil. VI- PERTES DE CHARGE D’UN CIRCUIT 1-Caractéristique Il est toujours important de connaître l’évolution de la perte de charge totale en fonction du débit pour une conduite ou un ensemble de conduites dans un circuit hydraulique. On introduit la notion de section efficace Se telle que

q VS S g hv e e t= = 2 ∆

par conséquent

∆hgS

qte

v=1

2 22 .

L’équation ( )∆h f qt v= est appelée caractéristique.

qv

∆ht

2) Conduites en série

1 2 3 4

Pertes de charge du circuit :

∆ ∆ ∆ ∆ ∆h h h h hq

g S S S St t t t tnv

e e e en

= + + + + = + + + +

1 2 3

2

12

22

32 22

1 1 1 1... ...

∆hq

g Stv

e

=2

221

Se est appelé section équivalente du circuit, qui donc pour un circuit série s’écrit

1 1 1 1 1

21

22

23

2 2S S S S Se e e e en

= + + + +...


2) Conduites en parallèles

qv

La conservation du débit impose la relation

q q q q qv v v v vn= + + + +1 2 3 ... ,

qui s’écrit

( )q gh S S S S gh Sv t e e e en t e= + + + + =2 21 2 3 ... ,

avec S S S S Se e e e en= + + + +1 2 3 ...

Documents

Mécanique des Fluides II - koutanisaid.files.wordpress.com · Mécanique des Fluides – Saïd KOUTANI - 1996 Page 4 ECOULEMENT DES FLUIDES VISQUEUX I- APPROCHE EXPERIMENTALE Nous