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C H A P I T R E 6
MECANIQUE DES FLUIDES
6 Introduction
La mĂ©canique des fluides est la science des lois de lâĂ©coulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mĂ©canismes de transfert des fluides. Câest une option de la physique qui Ă©tudie les Ă©coulements de fluides c'est-Ă -dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend deux grandes parties :
la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'ArchimÚde et l'étude de la pression.
la dynamique des fluides qui Ă©tudie les fluides en mouvement, dynamique des fluides incompressibles, lâĂ©quation de continuitĂ©, thĂ©orĂšme de Bernoulli, thĂ©orĂšme dâEuler .
6.1 DĂ©finition dâun fluide
On appelle fluide, un milieu matériel continu et déformable (il épouse la forme du récipient qui le contient), sans forme propre et qui peut s'écouler. Dans les fluides, on distingue les gaz qui sont compressibles (la masse volumique varie en fonction de la pression) et les liquides qui sont trÚs peu compressibles).
6.2 Fluide parfait
C'est un fluide totalement dépourvu de frottements internes. Tl s'écoule sans frottement, avec une viscosité nulle.
6.3 Fluide réel
Contrairement Ă un fluide parfait qui nâest quâun modĂšle pour simplifier les calculs et pratiquement inexistant dans la nature, les forces tangentielles de frottement interne qui sâopposent au glissement relatif des couches fluides sont prises en considĂ©ration dans un fluide rĂ©el. Le phĂ©nomĂšne de frottement visqueux apparait lors du mouvement du fluide.
6.4 Fluide compressible
Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupĂ© par une masse donnĂ©e varie en fonction de la pression extĂ©rieure. Les gaz sont des fluides compressibles : lâair, lâhydrogĂšne, le mĂ©thane Ă lâĂ©tat gazeux, sont considĂ©rĂ©s
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
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comme des fluides compressibles 6.5 Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupĂ© par une masse donnĂ©e ne varie pas en fonction de la pression extĂ©rieure. Les liquides peuvent ĂȘtre considĂ©rĂ©s comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.). 6.6 CaractĂ©ristiques physiques des fluides
Les fluides sont caractérisés par les propriétés suivantes :
Masse volumique : C'est la masse par unité de volume du corps considéré :
=đ
đŁ (6.1)
P : s'exprime en kg. m-3.
V : volume en m3. m : masse en kg. La masse volumique est fonction de la température et de la pression.(voir tableau 6.1.
Tableau 6.1 : Valeurs des Masses volumiques de quelques fluides
Volume massique V :
V est l'inverse de la masse volumique, il est exprimé en m3.kg-1 :
V =1
đ (6.2)
Poids volumique m : m est exprimé en N m-3 , il est décrit par la relation ci-dessous :
m =đ đ
đ= đ. đ (6.3)
Densité d :
Fluide Masse volumique (kg.m-3 ) Type de fluide
BenzĂšne 0,880.103 Incompressibles
Chloroforme 1,489.103
Eau 103
Huile dâolive 0,918.103
Mercure 13,546.103
Air 0,001205.103 Compressibles HydrogĂšne 0,000085.103
MĂ©thane 0,000717.103
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
60
Câest le rapport entre la masse volumique du corps considĂ©rĂ© et la masse volumique du corps pris en rĂ©fĂ©rence dans les mĂȘmes conditions de tempĂ©rature et de pression. La rĂ©fĂ©rence est :
- pour les liquides : lâeau prise Ă 4°C et sous 1013 hPa
- et les gaz : lâair Ă 0°C et 1013 hPa.
Liquides : d=đ
đ0 (6.4)
Gaz : d=đ
29 (6.5)
Il est Ă noter que la densitĂ© nâa pas dâunitĂ©.
ViscositĂ© : Câest une grandeur qui caractĂ©rise les frottements internes du fluide, autrement dit sa capacitĂ© Ă sâĂ©couler. Elle caractĂ©rise la rĂ©sistance d'un fluide Ă son Ă©coulement lorsqu'il est soumis Ă l'application d'une force. Il existe deux types de viscositĂ© : les fluides de grande viscositĂ© rĂ©sistent Ă l'Ă©coulement et les fluides de faible viscositĂ© s'Ă©coulent facilement. Elle peut ĂȘtre mesurĂ©e par un viscosimĂštre Ă chute de bille dans lequel on mesure le temps Ă©coulĂ© pour la chute dâune bille dans le fluide. L'unitĂ© de la viscositĂ© cinĂ©matique est le (m2/s). Il existe deux types de viscositĂ© :
- ViscositĂ© dynamique : La viscositĂ© dynamique exprime la proportionnalitĂ© entre la force qu'il faut exercer sur une plaque lorsqu'elle est plongĂ©e dans un courant et la variation de vitesse des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. Elle est exprimĂ©e par un coefficient reprĂ©sentant la contrainte de cisaillement nĂ©cessaire pour produire un gradient de vitesse d'Ă©coulement d'une unitĂ© dans la matiĂšre. ConsidĂ©rons deux couches de fluide adjacentes distantes de Îz. La force de frottement F qui s'exerce Ă la surface de sĂ©paration de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle Ă :
la diffĂ©rence de vitesse des couches soit Îv leur surface S
et inversement proportionnelle Ă : Îz : Le facteur de proportionnalitĂ© ÎŒ est le coefficient de viscositĂ© dynamique du
fluide.
F =ÎŒ.S..âV
âZ (6.6)
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
61
OĂč :
F : force de glissement entre les couches en N) , ÎŒ : ViscositĂ© dynamique
en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m2), Îv : Ăcart
vitesse entre deux couches en (m/s), Îz : Distance entre deux couches en
m.
Viscosité cinématique
La viscositĂ© cinĂ©matique caractĂ©rise le temps d'Ă©coulement dâun liquide. Par contre, la viscositĂ© dynamique correspond Ă la rĂ©alitĂ© physique du comportement dâun fluide soumis Ă une sollicitation (effort). En dâautres termes, cette derniĂšre exprime la rigiditĂ© dâun fluide Ă une vitesse de dĂ©formation en cisaillement. Elle est par la relation 6.7 :
v =Ό
Ï (6.7)
Les propriĂ©tĂ©s prĂ©cĂ©dentes seront utilisĂ©es ultĂ©rieurement. Le comportement mĂ©canique et les propriĂ©tĂ©s physiques des fluides compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diffĂ©rents. En effet, les lois de la mĂ©canique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables uniquement pour une classe de fluides donnĂ©e. ConformĂ©ment Ă la classification des fluides : parfait, rĂ©el compressible et incompressible, les lois relatives Ă chaque type de fluides seront exposĂ©es dâune façon indĂ©pendante
Remarque : Dans le systĂšme international (SI), l'unitĂ© de la viscositĂ© dynamique est le Pascal seconde (Paâ s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Paâ s = 1 Pl = 1 kg/mâ s
6.7 Statique des fluides
Elle comprend lâĂ©tude des fluides au repos : Les lois et les thĂ©orĂšmes fondamentaux, la notion de pression, le thĂ©orĂšme de Pascal, le principe dâArchimĂšde et la relation fondamentale de lâhydrostatique.
6.7.1 Notion de pression dâun fluide
La pression est une grandeur scalaire. Un fluide est capable d'exercer une force sur un solide. De la force qu'exerce ce fluide sur une surface en résulte une pression. Par définition la pression P s'exprime par :
P =dFN
S (6.8)
La force exercée par le fluide sur un élément de surface dS peut se
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
62
décomposer en composantes tangentielle et normale : (voir Fig. 6.1).
Figure 6.1 : Forces exercées par le fluide
une composante tangentielle dFT
une composante normale dFN
En statique des fluides, on ne s'intéresse qu'à la composante normale, la composante tangentielle n'intervenant que si le fluide est en mouvement
P, s'exprime en Pascal (Pa). Dâautres unitĂ©s sont unitĂ©s sont utilisĂ©s pour la pression :
le bar : 1 bar = 105 Pa
l'atmosphĂšre : 1atm = 101325 Pa
le millimĂštre de mercure : 760 mmHg = 101325 Pa
6.7.2 Relation fondamentale de lâhydrostatique
ConsidĂ©rons un Ă©lĂ©ment de volume dâun fluide incompressible (liquide homogĂšne de poids volumique ïżœïżœ ). Cet Ă©lĂ©ment de volume a la forme dâun
cylindre dâaxe ( G, ïżœïżœ ) qui fait un angle comme indiquĂ© en Fig. 6.2, avec lâaxe vertical (O,Z) dâun repĂšre R(O,X,Y,Z). oĂč : l la longueur du cylindre, ds sa section, G1 dâaltitude Z1 et G2 dâaltitude Z2, les
centres des sections droites extrĂȘmes.
Figure 6.2 : Fluide incompressible
Etudions lâĂ©quilibre du cylindre Ă©lĂ©mentaire, celui-ci est soumis aux :
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
63
- son poids : dp0 = âw. l.ds.z (6.9)
- forces de pression sâexerçant sur :
l a surface latérale : Σ dFi
les deux surfaces planes extrĂȘmes :
dF1 = âdp1. đđ . (â ïżœïżœ ) (6.10)
dF2 = â dP2 . ds.( ïżœïżœ ) (6.11)
avec p1 et p2 les pressions du fluide respectivement en G1 et G2.
Le cylindre élémentaire est en équilibre dans le fluide. Donc la résultante des
forces extérieures = 0
dp0 + dFi
+ dF1 + dF2
= 0 (6.12)
En projection sur lâaxe de symĂ©trie (G, ïżœïżœ ) du cylindre, on obtient :
w. l.ds cos +p1. ds. âp2. đđ = 0 (6.13)
On exprime la diffĂ©rence de pression p1 â p2, aprĂšs avoir divisĂ© par ds et notĂ© que :
l.cos = Z1 â Z2 p1 â p2 = w. (Z2 â Zz1) = . đ. (Z2 â Z1) (6.14) (Câest la relation fondamentale de lâhydrostatique)
6.7.3 PoussĂ©e dâArchimĂšde
Elle est énoncée comme suit : « Tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) au repos, subit de la part de ce fluide une poussée verticale dirigée du bas vers le haut. Cette poussée appliquée au centre de masse de ce volume est égale au poids du volume de fluide déplacé.
đŽ = â
đđđąđđđ. đđđđđđ đđđđđđĂ©. đ (6.15)
Une illustration est donnée en Fig. 6.2.
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
64
Figure 6.2 : Corps immergé dans un fluide
6.7.4 ThĂ©orĂȘme de Pascal Un liquide transmet intĂ©gralement et dans toute les directions les variations de pression quâon lui fait subir. Ceci est liĂ© Ă la compressibilitĂ© qui implique une masse constante.
Exemple : la presse hydraulique (illustrée en Fig. 6.3)
On exerce une force F sur le piston de surface s. La pression p =F
s est
intĂ©gralement transmise au piston de surface S. En effet, la relation fondamentale de la statique des fluides sâĂ©crit : p2 â p1 = đ. đ. â , si h est constant
Alors : âp2 = âp1
La force qui sâexerce sur S vaut :
P = p x S = F x đ
đ
Figure 6.3 : Presse hydraulique
Toute variation de pression en un point engendre la mĂȘme variation de pression en un point.
6.8 Dynamique des fluides incompressibles
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
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La dynamique des fluides parfaits qui Ă©tudie les fluides en mouvement. Contrairement aux solides, les Ă©lĂ©ments dâun fluide en mouvement peuvent se dĂ©placer Ă des vitesses diffĂ©rentes. LâĂ©coulement des fluides est un phĂ©nomĂšne complexe. On sâintĂ©resse aux Ă©quations fondamentales qui rĂ©gissent la dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier :
LâĂ©quation de continuitĂ© (conservation de la masse) ;
Le thĂ©orĂšme de Bernoulli (conservation de lâĂ©nergie) ;
Le thĂ©orĂšme dâEuler (conservation de quantitĂ© de mouvement) ; Ă partir duquel on Ă©tablit les Ă©quations donnant la force dynamique exercĂ©e par les fluides en mouvement (exemple les jets dâeau).
6.8.1 DĂ©finition
Ecoulement permanent : Ă©coulement dâun fluide parfait incompressible est dit permanent, si les grandeurs ( pression, tempĂ©rature, vitesse, ...) qui le caractĂ©risent vont rester constantes au cours du temps.
6.8 .2 DĂ©bit
Soit une canalisation de section S. La quantitĂ© de fluide traversant cette section pendant une certaine durĂ©e, permet dâexprimer le dĂ©bit :
DĂ©bit massique qm en kg/s :
qđ =đđ
đđĄ (6.16)
DĂ©bit volumique qđ en m3/s :
qđ =đđ
đđĄ (6.17)
Les deux dĂ©bits sont reliĂ©s par la relation suivante : qđ = Ï. qđ (6.18)
6.8.3 Conservation du débit (ou équation de continuité)
ConsidĂ©rons une veine dâun fluide incompressible de masse volumique animĂ©e dâun Ă©coulement permanent (voir Fig. 6.4) :
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
66
Figure 6.4 : Veine
On note :
S1 đđĄ S2 : la section dâentrĂ©e et de sortie Ă lâinstant t respectivement SâČ1 đđĄ SâČ1 : les sections dâentrĂ©e et de sortie Ă lâinstant tâ v1 et v2 : les vecteurs vitesse dâĂ©coulement respectivement Ă travers les sections de la veine
dx1 et dx2
: les dĂ©placements des sections S1 đđĄ S2 pendant lâintervalle de temps dt
dm1 : masse comprise entre les sections S1 đđĄ SâČ1 dm2 : masse comprise entre les sections S2 đđĄ SâČ2
Pendant lâintervalle de temps dt, la masse đđ1 ayant traversĂ© la surface đ1 sera la mĂȘme que celle traversant lâĂ©lĂ©ment de surface đ2, dâoĂč :
Ï1. dx1. S1 = Ï2. dx2. S2 (6.19)
Ï1. S1dx1
dt= Ï2. S2 .
dx2
dt (6.20)
Ï1. S1. v1 = Ï2. S2. v2 (6.21)
Comme le fluide est parfait : đ = đ1 = đ2,
dâoĂč :
S1. v1 = S2. v2 ou bien qV = đđŁ (6.22)
6.8.4 Equation de Bernoulli (sans Ă©change de travail)
Soit un fluide parfait et incompressible, avec Ă©coulement permanent. LâĂ©quation de Bernoulli Ă©nonce le fait que lâĂ©nergie totale reste constante lors de lâĂ©coulement. Rappelons que lâĂ©nergie totale Et est la somme de lâĂ©nergie cinĂ©tique (Ec), lâĂ©nergie de pesanteur (Epz), et lâĂ©nergie potentielle de pression (Epp).
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
67
On Ă©crit : đžđĄ = đžđ + đžđđ§ + đžđđ (6.23)
AprĂšs remplacement dans lâĂ©quation ci-dessus, on obtient :
đžđĄ =1
2đđŁ1
2 + đđđ§1 + đ
đđ1 =
1
2đđŁ2
2 + đđđ§2 + đ
đđ2 (6.24)
De lâĂ©quation (6.24), nous dĂ©duisons les trois formes de lâĂ©quation de Bernouilli : (6.26), (6.27) et (6.28).
1Ăšre forme : Equation de Bernoulli en fonction des Ă©nergies massiques En divisant lâĂ©quation (6.24) par la masse m, on obtient :
Et =1
2v1
2 + gz1 + p1
Ï=
1
2v2
2 + gz2 + p2
Ï (6.25)
DâoĂč :
đđ =đ
đđŻđ + đ đł +
đ©
đ= đđđ. (đđ§ đ/đ€đ ) (6.26)
2Ăšme forme : Equation de Bernoulli en fonction des pressions
En multipliant lâĂ©quation (6.26) par on obtient :
đđ =đ
đđŻđ + đđ đł + đ = đđđ (đđ§ đđ) (6.27)
avec P ⶠpression statique, Ï
2v2 ⶠpression cinétique, Υgz : pression de
pesanteur
3Ăšme forme : Equation de Bernoulli en fonction des hauteurs
En divisant lâĂ©quation (6.27) par .g, on obtient :
đđ
đđ+ đł +
đ
đ.đ= đđđ. (đđ§ đŠ) (6.28)
Avec z : hauteur gĂ©omĂ©trique, đŁ2
2đ : hauteur due Ă la vitesse ou hauteur
dynamique, P
đ.đ : hauteur due Ă la pression
6.8.5 ThĂ©orĂšme dâEuler (conservation de la quantitĂ© de mouvement)
Le thĂ©orĂšme dâEuler rĂ©sulte de lâapplication du thĂ©orĂšme de quantitĂ© de mouvement Ă lâĂ©coulement dâun fluide :
âđč đđ„đĄ =đđ
đđĄ, avec ïżœïżœ = đ. đŁ đș (6.28)
oĂč : P est la quantitĂ© de mouvement.
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
68
Ce thĂ©orĂšme permet de dĂ©terminer les efforts exercĂ©s par le fluide en mouvement sur les objets qui les environnent. Lâapplication du thĂ©orĂšme dâEuler est lâĂ©valuation des forces exercĂ©es par les jets dâeau, celles-ci sont exploitĂ©es dans divers domaines : production de lâĂ©nergie Ă©lectrique Ă partir de lâĂ©nergie hydraulique grĂące aux turbines, coupe des matĂ©riaux, etc.
Le thĂ©orĂšme dâEuler est la rĂ©sultante (âđčđđ„đĄ) des actions mĂ©caniques extĂ©rieures exercĂ©es sur un fluide isolĂ© (liquide contenu dans lâenveloppe par đ1 et đ2) est Ă©gale Ă la variation de la quantitĂ© de mouvement du fluide qui entre en đ1 Ă une vitesse đŁ1 et sort par đ2 Ă une vitesse đŁ2 :
âđđđđ = đđ(đđ â đđ) (6.29)
6.9 Exercices Exercice 1 : RĂ©pondez par vrai ou faux
1. La mécanique des fluides étudie et caractérise
Le comportement mécanique des fluides
Le comportement chimique des fluides
Le comportement thermodynamique des fluides
2. La viscosité d'un fluide caractérise
sa couleur
sa capacité à s'écouler
sa résistance à l'écoulement
3. Les fluides ont une structure moléculaire :
il est compressible
il possĂšde une surface libre
il est incompressible
Exercice 2 : Statique des fluides
On considĂšre une plate-forme composĂ©e dâune plaque plane et de trois poutres cylindriques en bois qui flottent Ă la surface de la mer. On donne :
a- Les dimensions dâune poutre : - diamĂštre d=0,5 m - longueur L=4 m,
- la masse volumique du bois : bois = 700 Kg/m3
- la masse volumique de lâeau de mer : mer = 1027 Kg/m3 - la masse de la plaque đđ= 350 kg,
b- lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur g=9,81 m/s2
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
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1- Calculer le poids total P0 de la plate-forme. 2- Ecrire lâĂ©quation dâĂ©quilibre de la plate-forme. 3- En dĂ©duire la fraction F (%) du volume immergĂ© des poutres. 4- DĂ©terminer la masse Mc maximale quâon peut placer sur la plate-forme
sans lâimmerger
Exercice 3 : Statique des fluides
Un tube en U contient du mercure sur une hauteur de quelques centimĂštres. On verse dans lâune des branches un mĂ©lange dâeau - alcool Ă©thylique qui forme une colonne de liquide de hauteur h1=30 cm. Dans lâautre branche, on verse de lâeau pure de masse volumique 1000 kg/m3, jusquâĂ ce que les deux surfaces du mercure reviennent dans un mĂȘme plan horizontal. On mesure alors la hauteur de la colonne dâeau h2=24 cm.
1- Appliquer la relation fondamentale de lâhydrostatique pour les trois fluides.
2- En dĂ©duire la masse volumique du mĂ©lange eau â alcool Ă©thylique
Exercice 3 : Statique des fluides
Un cube en acier de cĂŽtĂ© a=50 cm flotte sur du mercure. On donne les masses volumiques : acier Ï1= 7800 kg/m3 et mercure Ï2= 13600 kg/m3 (voir le schĂ©ma ci dessous).
1- Appliquer le thĂ©orĂšme dâArchimĂšde, 2- DĂ©terminer la hauteur h immergĂ©
Chapitre 6 : MĂ©canique des fluides
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Exercice 4 : Dynamique des fluides incompressibles parfaits
Dans le tube de Venturi reprĂ©sentĂ© sur le schĂ©ma ci-dessous, lâeau sâĂ©coule de bas en haut. Le diamĂštre du tube en A est dA= 30 cm et en B il est de dB=15 cm. Afin de mesurer la pression PA au point A et la pression PB au point B, deux manomĂštres Ă colonne dâeau (tubes piĂ©zomĂ©triques) sont connectĂ©s au Venturi. Ces tubes piĂ©zomĂ©triques sont graduĂ©s et permettent de mesurer les niveaux ZAâ=3,061m et
ZBâ =2,541 m respectivement des surfaces libres Aâ et Bâ. On donne :
- lâaltitude de la section A : ZA= 0 m, - lâaltitude de la section B : ZB= 50 cm, - lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur est g=9,8 m/s2, - la pression au niveau des surfaces libres PAâ=PBâ= đđđĄđ= 1bar, - la masse volumique de lâeau est Ï=1000 kg/m3. On suppose que le fluide est parfait.
Questions : 1) Appliquer la RFH (Relation Fondamentale de lâHydrostatique) entre B et Bâ, et calculer la pression PB au point B ? 2) De mĂȘme, calculer la pression PA au point A ? 3) Ecrire lâĂ©quation de continuitĂ© entre les points A et B. En dĂ©duire la vitesse dâĂ©coulement VB en fonction de VA. 4) Ecrire lâĂ©quation de Bernoulli entre les points A et B.