SCIENCES SUPCours et exercices corrigs SCIENCES SUP2editionCOURS DE PHYSIQUEMCANIQUEDU POINT2editionAlain Gibaud Michel HenryA. GIBAUD M. HENRYCOURS DE PHYSIQUE MCANIQUE DU POINTCOURSLicence 1reet 2eannesAlain Gibaud Michel HenryCOURS DE PHYSIQUEMCANIQUE DU POINTCet ouvrage aborde l'ensemble de la mcanique du point etintroduit les concepts d'nergie et de puissance. Dans cette secondedition entirement actualise, une nouvelle rubrique dExercicesdapplication avec solution dtaille complte les applications etles nombreux exercices corrigs.Les deux premiers chapitres sont ddis la cinmatique du pointainsi quaux changements de rfrentiels. Ensuite les loisfondamentales de la mcanique sont prsentes ainsi que lesconcepts dnergie et de puissance et les oscillateurs libres et forcs.Un chapitre est consacr la caractrisation des rfrentiels nongalilens : cas du rfrentiel terrestre avec le poids dun corps etdu rfrentiel gocentrique avec le phnomne des mares. Lesdeux derniers chapitres sont consacrs au problme deux corps.Laccent est mis sur la notion de rfrentiel barycentrique.Les outils mathmatiques ncessaires la bonne comprhensiondun cours de physique et les notions de base de la mcaniquecleste sont prsents en fin douvrage.MATHMATIQUESPHYSIQUECHIMIESCIENCES DE LINGNIEURINFORMATIQUESCIENCES DE LA VIESCIENCES DE LA TERRE1 2 3 4 5 6 7 8LICENCE MASTER DOCTORAT6647754ISBN 978-2-10-050586-9 www.dunod.comALAIN GIBAUD est professeur luniversitdu Maine.MICHEL HENRY est matre de confrences lIUFM des Pays de Loire. Optique (Parisot/Le Boiteux) Mcanique du point(Gibaud/Henry) Mathmatiques pour laphysique (Noirot/Brouillet) lectromagntisme 1 et 2(Cordier)COURS DE PHYSIQUECe cours de physique prsente les grands domaines de la physiqueenseigns en 1re, 2eet/ou 3eannes de licence. COURS DE PHYSIQUE MCANIQUE DU POINT Alain Gibaud Professeur luniversit du Maine (Le Mans) 2 e dition Michel Henry Agrg de physiqueMatre de confrences lIUFM des Pays de Loire (Le Mans) MCANIQUE DU POINTPage IMardi, 26. juin 20079:03 09 Illustration de couverture : Digital Vision Dunod, Paris, 1999, 2007 pour la seconde ditionISBN978-2 -10-050586-9 MCANIQUE DU POINTPage IIMardi, 26. juin 20079:03 09AVANT-PROPOSLe cours prsent dans ce livre est le fruit de plusieurs annes denseignement dispensaux tudiants de premire anne luniversit du Maine. Il sagit dun cours dintroduc-tion la mcanique du point et des systmes de points matriels. Notre souci au coursde la rdaction de cet ouvrage a t de nous rfrer aux connaissances acquises par lestudiants dans les classes du secondaire an dassurer une transition la plus continue pos-sible.Laprincipaledifcultquenousavonsrencontrelorsdececoursatcertainementdordremathmatique. Lamcaniqueest unesciencequi exigedelarigueur et lesconceptsacquislorsdelapprentissagedanslesecondairesonticireprisdefaonplusformelle et rigoureuse. Nous prsentons donc, en annexe 1, les outils mathmatiques quinous semblent ncessaires la bonne comprhension du cours de physique.Le premier et le second chapitres sont consacrs la cinmatique du point ainsi quauxchangementsderfrentiels. Nousinsistonsplusparticulirementsurladnitiondurfrentiel ; cette dnition conditionne bien souvent la faon de traiter un problme etreste, bien des fois, mal comprise.Nous prsentons ensuite les lois fondamentales de la mcanique en dcrivant les forces lesplus classiques susceptibles dintervenir dans les problmes de mcanique. Nous introdui-sons alors les concepts dnergie et de puissance avant de prsenter les oscillateurs libreset forcs.La partie suivante montre que pour traiter un problme de mcanique dans un rfrentielnongalilenilestncessairedintroduiredespseudosforcesappelesforcesdinertie.Ltude du poids dun corps sur Terre met en vidence le fait que le rfrentiel terrestrenest pas galilen. Ltude du phnomne des mares conduit la mme conclusion pourle rfrentiel gocentrique.Les deux derniers chapitres sont consacrs au problme deux corps. Laccent est missur la notion de rfrentiel barycentrique. Ltude de la trajectoire dun systme deuxcorps permet de retrouver les lois de Kepler auxquelles obissent les plantes du systmesolaire. Une prsentation de la mcanique cleste se trouve la n du livre en annexe 2.Cet ouvrage sadresse bien sr aux tudiants du premier cycle universitaire mais aussi ceux des classes prparatoires, du CAPES et de lagrgation. Nous esprons quil leur seraune aide prcieuse dans leur effort de comprhension de cette branche de la physique.TABLEDESMATI RESAvant-propos IIICHAPITRE 1. CINMATIQUE DU POINT 11. De la ncessit du rfrentiel 12. Vitesse dun point matriel 53. Acclration dun point matriel 94. Rcapitulatif 115. Exemples de mouvements 12 retenir 18Exercice dapplication avec solution dtaille 19Exercices 20Solutions 23CHAPITRE 2. CHANGEMENTS DE RFRENTIELS 291. Mouvements dun rfrentiel par rapport un autre 292. tude de la vitesse 343. tude de lacclration 41 retenir 43Exercice dapplication avec solution dtaille 44Exercices 47Solutions 51CHAPITRE 3. LOIS DE NEWTON ET RFRENTIELS GALILENS 571. Principe dinertie : premire loi de Newton 572. Principe de la dynamique : deuxime loi de Newton 623. Actions rciproques : troisime loi de Newton 654. Les forces 665. Applications 72 retenir 77Exercices dapplication avec solution dtaille 78Exercices 83Solutions 86CHAPITRE 4. TRAVAIL, PUISSANCE, NERGIE 931. Travail dune force 932. Exemples de calcul du travail 953. Puissance dune force 984. nergie 985. tats lis dun systme mcaniquement isol 104 retenir 107VI Mcanique du pointExercices dapplication avec solution dtaille 109Exercices 121Solutions 121CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MCANIQUES 1251. Loscillateur harmonique 1252. quation diffrentielle 1273. Exemples doscillateurs harmoniques 1284. tude nergtique des oscillateurs 1305. Oscillateur mcanique amorti par frottements visqueux 1326. Analogie lectrique 1377. Oscillateur amorti par frottement solide 1378. Portrait de phase dun oscillateur 141 retenir 143Exercices dapplication avec solution dtaille 144Exercices 152Solutions 153CHAPITRE 6. OSCILLATIONS FORCES, RSONANCE 1551. Oscillations forces 1552. Solution de lquation diffrentielle 1583. Transfert de puissance 1634. Facteur de qualit 165 retenir 166Exercices dapplication avec solution dtaille 167CHAPITRE 7. INTERACTION GRAVITATIONNELLE 1751. Attraction universelle 1752. Champ de gravitation terrestre 1773. nergie potentielle de gravitation 1794. Applications 181 retenir 185CHAPITRE 8. RFRENTIELS NON GALILENS 1871. Introduction 1872. Loi de la dynamique dans un rfrentiel non galilen 1883. Exemples dapplication 1894. Dynamique terrestre 197 retenir 209Exercices dapplication avec solution dtaille 209Exercices 219Solutions 221CHAPITRE 9. SYSTMES DEUX CORPS 2271. lments cintiques 2272. Rfrentiel du centre de masse 2293. Relation fondamentale de la dynamique 2324. Proprits du mouvement 236 retenir 241Table des matires VIIExercices dapplication avec solution dtaille 242CHAPITRE 10. TRAJECTOIRES DUN SYSTME DEUX CORPS 2531. Rappels 2532. quation polaire de la trajectoire : Formule de Binet. 2543. Rsolution de la formule de Binet 2564. tude des trajectoires 2575. tude nergtique 2606. Trajectoires elliptiques : lois de Kepler 261 retenir 265Exercices dapplication avec solution dtaille 265Exercices 274Solutions 277ANNEXE 1. RAPPEL DES OUTILS MATHMATIQUES 2831. Scalaires et vecteurs 2832. Composantes dun vecteur 2863. Produit scalaire 2884. Produit vectoriel 2905. Drivation vectorielle 2936. Diffrentielle dune fonction 2947. Vecteur gradient dune fonction 3028. Intgrales et primitives 3049. Intgrales vectorielles 306ANNEXE 2. INTRODUCTION LA MCANIQUE CLESTE 3091. Historique 3092. Dnitions 3113. La Voie Lacte 3124. Le Systme Solaire 3135. La dnition du temps 3166. Temps et reprage de la longitude des toiles 3187. Reprage de laltitude du Soleil au cours de lanne 321 retenir 322BIBLIOGRAPHIE 325INDEX 326CHAPI TRE 1CINMATIQUE DU POINTPr-requis Connatrelessystmesdecoordonnescartsiennes, polairesetcylin-driques.Savoir driver les vecteurs de la base polaire ou cylindrique.Savoirintgrerquelquesfonctionslmentaires(polynmes, fonctionstrigonomtriques, exponentielle etc.).Ces notions sont reprises en annexe, Rappel des outils mathmatiques.Objectif I partir du vecteur acclration dun point, savoir retrouver le vecteurvitesse, les quations horaires du mouvement ainsi que lquation de latrajectoire de ce point.IConnatre lexpression des vecteurs position, vitesse et acclration dansles diffrents systmes de coordonnes.IConnatre la dnition de quelques mouvements particuliers traits enn de chapitre.ILobjet de la cinmatique du point est dtudier le mouvement dun pointau cours du temps indpendamment des causes qui produisent ce mou-vement. Les objectifs sont la dtermination des grandeurs cinmatiquestelles que les vecteurs acclration, vitesse, position et lquation horairede la trajectoire de ce point par rapport un rfrentiel choisi par lob-servateur.1. DE LA NCESSIT DU RFRENTIELLtudedumouvementdunpointimpliquencessairementlaprsencesimultanedupoint et dun observateur qui analyse le mouvement de ce point. Lobservateur est le pilierde ltude du mouvement car selon sa position par rapport lobjet en mouvement sesconclusions quant la nature du mouvement seront trs variables. Ainsi, dans un TGV quise dplace vitesse constante, un passager qui lche verticalement une bille conclut quela bille a un mouvement rectiligne. La personne qui est sur le quai et qui observe la mmescne conclut que le mouvement nest pas rectiligne et pourtant il sagit bien de la mmebille. Un mouvement est donc toujours li un observateur. On dit quil est relatif.2 Mcanique du pointLe mouvement dun objet ne pourra se faire que par rapport une rfrence. Il est doncncessaire de dnir ce que lon appelle un rfrentiel ou solide de rfrence dans lequellobservateur est xe. On entend par solide de rfrence un ensemble de points tous xesles uns par rapport aux autres. Par exemple, dans le cas cit plus haut, on peut choisirleTGVcommerfrentiel, lobservateurtantassislintrieur, oubienlerfrentielterrestre (constitu par tout ce qui est xe par rapport la Terre) pour la personne restesur le quai.La gure 1.1 illustre bien quun mouvement est relatif un rfrentiel choisi. Ainsi unobservateur situ au sommet dune montagne conclut que le pilote dun avion se dplacetrs vite. Lobservateur situ sur laile conclut de faon trs diffrente que le pilote est bieninstall au repos. Nous concluons donc que :Le mouvement dun point est toujours relatif un rfrentiel.Suis-je au repos ouen mouvement ?Quelle chance ! Il estbien install, au reposA cette vitesse, ils auront vitefait le tour de la Terre !Figure 1.1 Relativit du mouvement.Pourcaractriser lemouvementdelobjet,lobservateuraensuitebesoin desereprerdanslespace R3quilenvironne. Illuifautpourdterminerlanaturedumouvementconnatre la position du point au cours du temps, cest--dire pouvoir rpondre aux ques-tions suivantes :O se trouve le point ?Quand est-il pass cette position ?Pour pouvoir rpondre la question o ?, il se choisit un repre despace. Le repre des-pace est dni par une origine O qui est xe dans le rfrentiel et des axes de rfrence(x, y, z) qui permettent lobservateur de juger dans quelle direction se trouve lobjet. Cesaxes sont eux-mmes lis au rfrentiel. En toute logique, lorigine O du repre doit treplace sur lobservateur. Aussi dans le cas de la gure 1.1, le rfrentiel est le rfrentielmontagne avec une origine O prise sur lobservateur qui sy trouve. Cet observateur choisitses axes x, y, z comme il lentend an de reprer la position dun point de lavion.Pourunrfrentieldonn, ilexisteautantderepresdespacequedechoixdorigineet daxes possibles, cest--dire une innit. Par contre, un repre despacedonnnecorrespond quun seul rfrentiel constitu par tout ce qui est xe par rapport ce repre.Cinmatique du point 3Pour pouvoir rpondre la question quand ?, il faut ajouter un repre de temps, cest--dire une grandeur qui est la variable de temps. Cette variable est continue et croissante,ce qui traduit lirrversibilit du temps. Elle est mesure au moyen dune horloge ou chro-nomtre partir dune origine des temps xe par lobservateur et dune dure unitairexant une chronologie. chaque instant, on associe un nombre rel appel date qui correspond la dure couledepuis linstant origine.Axe des tempsInstantsDatesOrigine0Instant 1 Instant 2t1t2Unit detempsFigure 1.2 Repre de temps. La dure entre les deux instants 1 et 2correspond la diffrence de leur date t2t1.En mcanique classique ou newtonienne, on postule que le repre de temps est le mmepour tous les rfrentiels et que le temps scoule de la mme manire dans des rfren-tiels en mouvement les uns par rapport aux autres. Ce principe duniversalit du tempsnest plus applicable dans le cadre de la mcanique relativiste. Notons que la mcaniquerelativisteestutilisedsquelavitessevdunobjetdevientvoisinedelaclritcdela lumire dans le vide. La transition entre les deux mcaniques est xe en gnral v = c /10.Pourterminernoussignalonsquunrfrentielpeuttrecaractrisparsonnom. Parexemple, il est trs frquent dutiliser pour des observations faites la surface de la Terrele rfrentiel terrestre. Il est clair alors que ltude se fera par rapport la Terre ou parrapport tout ce qui est xe sur Terre. On distingue plus particulirement les rfrentielsde Copernic (gure 1.3), gocentrique (gure 1.3) et terrestre dnis par : Le rfrentiel de Copernicorigine : centre du Systme Solaire (voisin du centre dinertie du Soleil) ;axes dirigs vers les toiles situes dans des directions xes par rapport au So-leil ;proprit : suppos galilen (voir chapitre 3). Le rfrentiel gocentriqueorigine : centre de la Terre ;axes dirigs paralllement ceux du rfrentiel de Copernic. Le rfrentiel terrestreorigine : point de la surface de la Terre ;axes xes par rapport la Terre.4 Mcanique du pointSTRfrentiel deCopernicRfrentielGocentriqueFigure 1.3 Rfrentiels de Copernic et gocentrique. Il faut noter que lesaxes du rfrentiel gocentrique restent parallles ceux du rfrentiel deCopernic.Au lieu de caractriser un rfrentiel par son nom, on convient souvent de le reprsenterpar le symbole R associ un repre despace et de temps. La notation suivante est dusagecourant :rfrentiel R(O, x, y, z, t)Pour une tude plus prcise du mouvement dun point mobile dans un rfrentiel R on estamen dnir sa position mais aussi des grandeurs vectorielles comme le vecteur vitesseou acclration de ce point. Il faudra donc faire un choix de systme de coordonnes(voir annexe : rappel des outils mathmatiques) et utiliser la base correspondante :(x, y, z) en coordonnes cartsiennes avec la base_ux,uy,uz_qui est une basedont les vecteurs sont xes dans le repre.(r, u, z)encoordonnescylindriquesaveclabase _

ur,

uu,

k_quiestunebasedont les deux premiers vecteurs voient leur direction varier au cours du temps.(r, u, w) en coordonnes sphriques avec la base mobile_

ur,

uu,

uw_.Il est important de noter que suivant le choix effectu, la base utilise, comme outil ma-thmatique, peut tre xe ou mobile dans le rfrentiel donn. Ceci a des consquencesimportantes lorsquil sagit de driver des vecteurs. Pour viter toute erreur ou confusion,on notera, chaque fois quune tude est entreprise, le choix de la base en prcisant sielle est xe ou pas.Lassociation de lorigine dun repre despace, des axes du repre despace et de la chro-nologie dnit le rfrentiel dtude. On notera ensuite la base de projections utilise enprcisant si elle est xe ou pas dans le rfrentiel. On notera donc un rfrentiel dtudesous la forme prsente sur la gure 1.4.R(O,x,y,z, t ) avec ( uzuyux , , ) fixeAxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)ChronologieOrigineFigure 1.4 Rfrentiel dtude.Cinmatique du point 5Onappelle rfrentiel un solidede rfrence constitu delensemble despointstous xes les uns par rapport aux autres.Un rfrentiel peut tre dni par un de ses repres despace muni dune origine, de troisaxes et dune chronologie : R(O, x, y, z, t)Pour une tude plus prcise, on notera, la suite, la base utilise en prcisant si elle estxe ou pas : R(O, x, y, z, t) avec (base xe ou mobile)Si un rfrentiel est dni par un de ses repres, on prendra soin de noter :lorigine : O;les axes du rfrentiel : x, y, z ;le temps : t.On prcisera ensuite, lorsque ltude le ncessite, la base de projections dont on indiquerasi elle est xe ou non dans R.2. VITESSE DUN POINT MATRIEL2.1. DnitionSoit un point M mobile dans un rfrentiel R(O, x, y, z, t) avec_u x,u y,u z_xe.xyzOuxM(t)uzuyM /(t+dt)Figure 1.5 Mouvement dun point M dans le rfrentiel R.On appelle vitesse du point M par rapport R la drive du vecteur positionOM du pointM par rapport au temps1, soit :vM/R =dOMdtCette dnition est la seule qui reste toujours valable quel que soit le problme considr.Dun point de vue pratique, le calcul du vecteur vitesse se fait en considrant le dplace-ment lmentaireMM

du point M entre les instants t et t + dt, qui nest rien dautre quele vecteur dOM =OM

OM =MM

(annexe 1, 6.5.).1. La notation d / d t est qualie de notation de Leibniz.6 Mcanique du point2.2. Expression de la vitesse en coordonnes cartsiennesLorsque le repre dans lequel le mouvement est tudi est cartsien, la position du pointM scrit :OM = xu x + yu y + zu zLes vecteurs_u x,u y,u z_sont constants et la drive de la position conduit :vM/R =dOMdt=d(xu x + yu y + zu z)dt=dxdtu x + dydtu y + dzdtu zLcriture prcdente peut tre condense en utilisant les variables surmontes dun pointpour dcrire la drivation temporelle. On crit alors la vitesse de la faon suivante :vM/R = xu x +yu y +zu z2.3. Vitesse en coordonnes polaires ou cylindriquesOnappellecoordonnescylindriquesdescoordonnesrelativesunebasetournante_ur,uu,u z_ autour de laxe z dans le rfrentiel R. Les coordonnes sont dites cylin-driques si elles font intervenir une coordonne z en dehors du plan (O, x, y) et polairesdans le cas contraire.xyOMuuuuuzxyMuxuxuzuyuyuuu(a) (b)OFigure 1.6 Systme de cordonnes cylindriques (a) et polaires (b).En gnral, la base _ur,uu,u z_ est reprsente au point M considr mais elle peuttout aussi bien tre place en O.Si le point M se dplace dans le plan xOy (gure 1.6b), il peut tre repr par ses coordon-nes polaires r = OM et la position angulaire u = (

u x,OM).Dans la base mobile_ur,uu,u z_, la position du point M est alors dnie par le vecteur :OM = rurCinmatique du point 7Il est impratif de remarquer que la base_ur,uu,u z_est une base orthonorme et queles vecteurs ur,uu sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps, contrai-rement aux vecteursu x,u y,u z qui eux sont xes.En appliquant la dnition de la vitesse, il est possible dexprimer le vecteur vitesse dupoint M dans la base mobile, soit :vM/R =dOMdt=d(rur)dt=drdtur +rdurdtLe calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le thorme du vecteur unitaire tournant(annexe 1, 5.2.) qui impose que :durdt=uududt=uuuce qui engendre quen coordonnes polaires :vM/R = rur +ruuuEn coordonnes cylindriques (gure 1.6a), il suft de rajouter la troisime composantesuivant laxe Oz :OM = rur + zu zLexpression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivantu z :vM/R = rur +ruuu +zu zLutilisation des coordonnes cylindriques (ou polaires) est apprciable ds que lemouvement du point M est curviligne (circulaire ou elliptique).Le vecteur vitesse que nous avons calcul et exprim dans la base polaire reprsentela vitesse du point par rapport au rfrentiel R. Il sagit bien du mme vecteur quelon exprime dans la base cartsienne par :vM/R = xux +yuy2.4. Vitesse dans la base de FrenetIlestgalementpossiblededterminerlavitessedupointMdanslerfrentielRenutilisant une nouvelle base appele base de Frenet. La base de Frenet est une base localequisedplaceaveclepointM.ElleestutiliselorsquelemouvementdupointMestcurviligne. Elle fait intervenir le cercle osculateur la trajectoire du point M, cest--direle cercle qui est tangent localement la trajectoire du point M. Lun des vecteurs de baseest tangent la trajectoire et est orient dans le sens positif donn la trajectoire, lautrevecteurestdirigselonlerayondecourburedelatrajectoire,verslecentreducercleosculateur.8 Mcanique du point+teneMCxyTrajectoire du point MOFigure 1.7 Abscisse curviligne et base de Frenet.La vitesse du point M est par dnition :v =dOMdt=dOMdsdsdtavec s =

VM (mesure algbrique sur la courbe de la distance VM).Lorsque lon fait varier de faon lmentaire la position du point M en dcrivant la trajec-toire, labscisse curviligne du point M passe de s s +ds entre linstant t et linstant t +dt.Le dplacement lmentaire du point M scrit donc :xMM/Osteys+dsFigure 1.8 Prsentation du dplacement lmentaire sur la trajectoire curviligne.dOM =MM

= dsetce qui permet dcrire que la vitesse dans la base de Frenet est :vM/R =dsdtet =setRemarque. Le vecteur unitaire tangent la trajectoire peut tre dtermin analytiquement partir de lquation ci-dessus :et =dOMdsCinmatique du point 93. ACCLRATION DUN POINT MATRIEL3.1. DnitionOn appelle acclration dun point matriel M par rapport un rfrentiel R la drivedu vecteur vitesse par rapport au temps, soit :aM/R =dvM/Rdt=ddt(dOMdt) =d2OMdt2Lacclration est aussi la drive seconde de la position par rapport au temps.3.2. Expression en coordonnes cartsiennesConsidrons une base orthonorme cartsienne_O,u x,u y,u z_du rfrentiel R servant dnir la position du point M. Lacclration du point M dans cette base scrit, puisqueles vecteurs de baseu x,u y,u z sont constants :aM/R =dvM/Rdt=d2OMdt2= xu x +yu y +zu zavec la notation suivante : x =d2xdt2 .3.3. Expression en coordonnes polaires ou cylindriquesSi lon utilise comme base de rfrence du rfrentiel la base polaire_ur,uu_qui est unebase qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy), nous avons montr que lavitesse dans cette base scrit :vM/R = rur +ruuuLacclration du point M par rapport au rfrentiel R sexprime dans cette base par :aM/R =dvM/Rdt=d( rur +ruuu)dt= rur + rdurdt+ ruuu +ruuu +ruduudtR Mv/uuyxRMaOFigure 1.9 Vecteurs vitesse etacclration en coordonnes polaires.Enutilisant lethormeduvecteuruni-taire tournant, il vient :aM/R = ( r ru2)ur + (2 ru +ru)uuLacclration du point M dans cette basea deux composantes : une composante ra-diale (suivant ur) et une composante or-thoradiale (suivantuu).En coordonnes polaires, le vecteur acc-lration scrit :aM/R = ( r ru2)ur + (2 ru +ru)uuEn coordonnes cylindriques, il suft de rajouter la troisime composante suivant laxe Oz :vM/R = rur +ruuu +zu zLexpression du vecteur acclration est obtenue en ajoutant la composante z suivantu z :aM/R = ( r ru2)ur + 2( ru +ru)uu +zu z10 Mcanique du point3.4. Expression dans la base de FrenetLacclration du point M peut galement sexprimer dans la base de Frenet. Dans cettebase, la vitesse scrit :vM/R =setce qui entrane pour lacclration :aM/R =set +sdetdtuninstantt,aupointMdelatrajectoire,levecteurdebasefaitunangleaavecladirection de laxe des x. linstant t + dt, ce vecteur tourne dun angle da (gure 1.10).MxyCdneTrajectoireddste+Figure 1.10 Base de Frenet et dplacement lmentaire.La drive, par rapport au temps, de ce vecteur unitaire est donc donne par :detdt= aenDe plus on a , avec R = rayon du cercle osculateur :ds = CMda = Rdasoit :dadt= a =1Rdsdt=1RsOn obtient donc :sdetdt=s aen =s2Ren =v2M/RRence qui conduit :aM/R =set + v2M/RRenRemarques Onpourra vrier quecersultatesttoujoursvraiquellequesoitlaconcavitdelatrajectoire.Lacomposantenormaletant toujourspositive, levecteuracclrationest toujourstourn vers la concavit de la trajectoire au point considr.Cinmatique du point 114. RCAPITULATIFNous prsentons dans le tableau suivant le rcapitulatif des expressions que nous avonsintroduites prcdemment.Base Position Vitesse AcclrationCartsienneO,u x,u y,u zOM = xu x+ yu y+ zu zvM/R = xu x+yu y+zu zaM/R = xu x+yu y+zu zCylindriqueO, ur, uu,u zM = rur + zu zvM/R = rur +ruuu +zu zaM/R =( r ru2)ur(2 ru +ru)uuzu zBase de FrenetV;et,ens = V

M vM/R =set = vetaM/R =set + v2RenuzM(t)dxyzM /(t+dt)Ouzdtd =Figure 1.11 Langle u crot au cours dutemps donc la valeur algbrique de lavitesse angulaire est positive et le vecteurvitesse angulaire est dirig dans le sens desz positifs.Remarque. Il estgalementpossibleded-nir, partirdelapositionangulairedunpointMsedplaantdansleplanO, x, y, levecteur vitesse angulairev=uu z et le vecteuracclration angulaired vd t=uu z. Ces vecteurssont perpendiculaires au plan dans lequel sefait le mouvement de M.Lesignedeu(et donc lesens duvecteurv) permet desavoirdansquel senslesys-tme tourne en appliquant la rgle habituelledu tire-bouchon (voir annexe). La gure 1.11illustre ce propos ; le point M tourne dans lesenstrigonomtriqueetletirebouchonquitournedanscesenssedplacedanslesensdesz >0. Levecteurvitesseangulaireestdonc orient dans le mme sens queu z.Le mouvement est acclr si [u[ crot avec letemps cest--dire si u2est une fonction crois-sante du temps. La drive 2uu doit tre positive. Ltude du signe du produituu indiquerasi le mouvement est acclr (uu> 0, les deux vecteurs vitesse et acclration angulairesont le mme sens) ou dclr (uu < 0, les deux vecteurs sont alors de sens contraire).Encart 1.1. Les quations diffrentielles du mouvementLtudedu mouvementdun point matriel a pour but de dterminer les quationshoraires de la trajectoire, cest--dire la loi dvolution des composantes de la positiondu point matriel en fonction du temps. Les quations horaires de la trajectoire ne12 Mcanique du pointpeuvent tre obtenues que si lon connat au pralable lacclration de ce point. Cesten faisant le bilan des actions qui agissent sur le point matriel que lon dtermine,par la relation fondamentalede la dynamique, lacclration du point matriel. Onobtient alors lquation diffrentielle du mouvement du point matriel, cest--direune quation qui relie lacclration, la vitesse et la position instantanedu point la variable t. Nous distinguerons plusieurs types dquations diffrentielles selon leursformes. titredexemplenonexhaustif, noustrouvonslesquationsdiffrentiellessuivantes :x = 0 ; x + ax = 0 ; x + ax + bx = 0La dernire quation est sans doute lune des quations les plus connues de la physiquepuisquon la rencontre dans tous les problmes doscillateurs, que ce soit en mcaniqueou en lectricit. Cette quation fait intervenir seulement la variable x ainsi que ses d-rives. Elle est qualie de linaire car si la variable x est multiplie par une constanteil en va de mme pour ses drives, ce qui fait que la forme de lquation nest pas mo-die si elle est multiplie par une constante. Sa rsolution ne pose pas de difcultsparticulires. Il fautcependantnoterquecetypedquationrsultedunemodli-sation souvent simplie de phnomnes physiques et que la ralit est parfois pluscomplexe. Les problmes rels font souvent appel des quations diffrentielles nonlinaires qui associent par exemple la variable x une puissance n> 1 ses drives,comme lquation suivante :x + ax3= 0On voit alors que, si la variable x est multiplie par une constante, lquation changedeforme. Dansdetelscaslutilisationdelordinateurdevientleseul recourspos-sible pour dterminer la solution qui dpend trs fortement des conditions initialesdu mouvement ( effet papillon ). partir de lquation diffrentielle du mouvement du point, on dtermine les qua-tions horaires du mouvement. Il importe de noter que gnralement il existe autantdquationsdiffrentielles quil ya devariables deposition dansleproblme. Lob-tentiondesquationshorairesdumouvementsefaitparintgrationdesquationsdiffrentielles.5. EXEMPLES DE MOUVEMENTS5.1. Mouvements rectilignesa) Le mouvement rectiligne uniformeOMv = cstexFigure 1.12 Mouvement rectiligneuniforme ; le point M se dplace surune droite vitesse constante.Un mouvement dun point matriel est ditrectiligne uniforme si le point matriel sedplace vecteur vitesse constant.Mouvement rectiligne uniforme v =csteCinmatique du point 13Le vecteur vitesse tant constant, le mouvement est rectiligne car la vitesse est tangente latrajectoire. La droite sur laquelle le point se dplace est assimile laxe des x. Lquationdiffrentielle du mouvement scrit alors :v = xu x = Cu x x = Cce qui conduit lquation horaire suivante :x = Ct + x0b) Le mouvement uniformment variUn mouvement est dit rectiligne uniformment vari si le vecteur acclration est constantet la trajectoire rectiligne.Mouvement rectiligne uniformment vari a =cste et trajectoire rectiligneSi le mouvement est rectiligne, il est commode de se xer comme axe du mouvement laxedes x. On aura donc :OM = xu x = v = xu x = a = xu xeta = xu x = Cu xPar intgration de cette quation nous obtenons la vitesse du point M :v = x = Ct + Bce qui, par une nouvelle intgration, conduit lquation horaire du mouvement :x =12Ct2+ Bt + DLes constantes B et D qui sont apparues dans les deux intgrations successives, sont d-termines par les conditions initiales du mouvement du point M. Ainsi, si le point M a unevitesse nulle et est en x = xo t = 0, les constantes B et D deviennent B = 0et D = xo etlquation horaire du mouvement scrit alors :x =12Ct2+ xoRemarques. Le mouvement est uniformment acclr si la norme du vecteur vitesse estune fonction croissante de t, soit v2fonction croissante. La drive de v2doit donc trepositive. La condition sera :dv2dt> 0 =2 v.dvdt> 0Ltudedusigneduproduitdelavitesseparlacclrationpermettradeprcisersilemouvement est acclr (x . x > 0) ou retard (x . x < 0).14 Mcanique du pointAvoir un vecteur acclration constant ne suft pas pour dire que le mouvement est recti-ligne. Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la mme direction que le vecteur acclration.Dans le cas contraire, on obtient un mouvement parabolique qui est trait la n de cechapitre.Encart 1.2. Un mouvement plus complexeNous considrons maintenant le cas dun mouvement rectiligne plus complexe danslequel nous supposons que lacclration est de la forme :x = pto p est une constante.Lacclrationestvariabledansletempsetnousrecherchonslquationhorairedumouvement. Nous effectuons donc deux intgrations successives qui nous conduisentdune part la vitesse :x = pt =dv = pt dt =v =_pt dtsoitv = pt22+ q = xet dautre part la position :x = pt36+ qt + rComme toujours les constantes dintgration q et r sont dtermines par les conditionsinitiales du mouvement qui, si elles se rsument x = 0 et v = 0 t = 0, conduisent :x = pt36c) Mouvement rectiligne sinusodalx(t)tXmFigure 1.13 Reprsentation du mouvementsinusodal dans le temps.Lemouvement dunpoint Mest ditrectilignesinusodalsi, seproduisantsur un axe Ox, labscisse x du point Mscrit :x = Xm cos(vt +w)Letermevt +westappelphaselinstant t avecw la phase loriginedes dates (t = 0). Le terme Xm corres-pond lamplitude du mouvement, xvariant sinusodalement de Xm Xmcomme le montre la gure 1.13. La vi-tesse a pour expression :v = x = Xm sin(vt +w)Cinmatique du point 15et lacclration:a = x = v2Xm cos(vt +w)Lquation diffrentielle du mouvement est doncx +v2x = 0Cette quation correspond lquation diffrentielle du second ordre dun oscillateur har-monique.Remarque. La solution de cette quation diffrentielle peut scrire de diffrentes faons,toutes quivalentes. On a :x = Xm cos(vt +w) = Xm sin(vt +w

) = Asinvt + Bcos vtEn utilisant les relations trigonomtriques usuelles, on obtient trs simplement :w

= w +p/2 ; A = Xm sinw ; B = Xm cos w.5.2. Mouvement circulaire uniformeuyxMuRMaRMvROFigure 1.14 Mouvementcirculaire uniforme.Lemouvement dunpoint est dit circulaireuni-forme si :le point se dplace sur un cercle ;sa vitesse angulaire de rotation est constante.Lquationdiffrentielledumouvementestdonnepar :dudt= v = cstece qui conduit par intgration u = vt +uoLes caractristiques cinmatiques du mouvement circulaire uniforme peuvent se dduiredu schma de la gure 1.14 et sont donnes par :OM(t) = rur(t) = r cos uu x +r sinuu yv (t) =d_rur(t)_dt= ruuu(t)a (t) =dv (t)dt= ru2ur(t)Nous remarquons donc que le mouvement circulaire uniforme est un mouvement acclrdont lacclration est centripte. En remarquant que uu= u z ur (annexe 1, 4.) onpeut donner une expression du vecteur vitesse indpendante de la base choisie. En effeton obtient :v (t) = ruuu(t) = ruu zur(t) =uu z rur(t) =v OM(t)16 Mcanique du pointDans cette expression vest le vecteur vitesse angulaire. Cette relation est valable pourtout mouvement circulaire. On obtient de mme pour le vecteur acclration :a (t) =v _v OM(t)_=v v (t)Ce rsultat peut tre obtenu directement en drivant le vecteur vitesse exprim sous formedun produit vectoriela (t) =dv (t)dt=d_v OM(t)_dt=dvdtOM(t) +v dOM(t)dtSilemouvementestcirculaireuniforme,levecteurvitesseangulaire vestunvecteurconstant. Sa drive tant nulle, on retrouve bien lexpression du vecteur acclration.5.3. Le mouvement hlicodalOxyzMFigure 1.15 Illustration dunmouvement hlicodal.Le mouvement hlicodal est la combinaison dunmouvement de translation rectiligne uniforme se-lon laxe des z et dun mouvement circulaire uni-forme dans le plan xOy.Les quations horaires dumouvement selonlestrois axes x, y, z du rfrentiel cartsien sont :x(t) = Rcos vt ; y(t) = Rsinvt ; z(t) = votIl est facile de dterminer par drivations succes-sives les composantes du vecteur vitesse et du vec-teur acclration du point dans cette base :vM/R =RvsinvtRvcos vtvoaM/RRv2cos vtRv2sinvt0De mme, les expressions de la vitesse et de lacclration dans la base cylindrique sontdonnes par :vM/R =0Rvv0aM/RRv2005.4. Le mouvement paraboliqueSupposons que le vecteur acclration soit un vecteur constant et qu linstant t =0 levecteur vitessevo soit donn. Le choix du repre tant libre, nous pouvons dcider de lednir partir des donnes du problme. Nous faisons le choix suivant pour des raisonsde bon sens (gure 1.16) :origine du repre : position du point t = 0 ;axe z suivant le vecteur acclration, soita = aou z;Cinmatique du point 17axe x perpendiculaire laxe z et dans le plan contenanta etvo. On aura alors :vo = voxu x + vozu zaxe y dni de sorte queu x,u y,u z forment une base orthonorme directe.On obtient, par intgrations successives et en tenant compte des conditions initiales :aM/R00ao=vM/Rvox0aot + vozsoitOM =x = voxt + xo = voxty = yo = 0z =12aot2+ vozt + zo =12aot2+ vozDans le cas o vo= 0, on retrouve le mouvement rectiligne uniformment vari suivantlaxe des z.Pour vox ,=0, le mouvement est un mouvement plan, dans le plan dni par le vecteuracclration et le vecteur vitesse linstant t = 0.Le mouvement projet suivant laxe des x est un mouvement uniforme de vitesse vox .Le mouvement projet suivant laxe des z est uniformment vari, dacclrationconstante ao .En liminant la variable t entre les deux quations horaires du mouvement, on obtientlquation de la trajectoire :t =xvoxet z =12aox2v2ox+ vozxvoxSi a est langle que fait le vecteur vitesse vo avec laxe des x et vo la norme de ce vecteurvitesse, on peut encore crire :z =12aox2v2o cos2a + x tan a (1.1)La trajectoire est une portion de parabole.La gure 1.16 reprsente la trajectoire dun projectile pour lequel le vecteur acclrationvaut :a =g = gu z =ao = go g est lacclration de la pesanteur.La che h correspond laltitude maximale que peut atteindre le point mobile. La ported correspond la distance maximale que peut atteindre le point lorsque quil revient lordonne z = 0.18 Mcanique du pointovzxaOuza ao=uzuxLa flche hLa porte dFigure 1.16 Chute parabolique. Lacclration correspond ici lacclration de la pesanteur.a) Calcul de la portez = 0 =x = 0 et x = d =v2oao2 sinacos a =v2ogsin2aLa porte est maximale pour 2a =p/2, soit pour un angle a =p/4 = 45 (il importede noter que ce rsultat nest valide que si lon part dune altitude de lancement z = 0).b) Calcul de la cheElle peut tre obtenue de diffrentes faons. On peut rechercher, par exemple, lordonnecorrespondant labscisse x = d/2. On obtient alors :h =v2o2g sin2a RETENIR Ltude du mouvement dun point ncessite un rfrentiel caractris par :R(O,x,y,z, t ) avec ( uzuyux , , ) fixeAxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)ChronologieOrigine Expressions des vecteurs positionOM, vitessev =dOMd tet acclrationa =d vd t=d2OMd t2dans les diffrents systmes de coordonnes.Cinmatique du point 19Coordonnes Cartsiennes Cylindriques FrenetBase_u x,u y,u z_ _ur,uu,u z_ _et,en_PositionOM_xyz_ _r0z_s =

VMVitessevM/R_xyz_ rruzset = vetAcclrationaM/R_xyz_( r ru2)(2 ru +ru)zsetv2M/RRen Diffrents mouvements simples :Mouvement rectiligne uniforme v = cste.Mouvementrectiligneuniformmentvari a =csteet a et v ontmmedirection.Mouvement circulaire uniforme v = u = cste et acclration normale et centri-pte a = v2R =v2R.EXERCICE DAPPLICATION AVEC SOLUTION DTAILLECinmatiqueDansunreprecartsien(O, x, y, z), muni delabase(u x,u y,u z), unpointMenmouvement a pour quations horairesx = 1 + cos ty = sintz = 0(units du systme international)1) Dterminer lquation de la trajectoire et montrer que cest un cercle dont le centreCest sur laxe Ox (OC = +1 m) et dont le rayon est R = 1m.2)Exprimerlevecteurvitesse V .Prcisersadirectionparrapportlatrajectoire.Donner la valeur de la vitesse V du point Met montrer que le mouvement est uniforme.3)Exprimerlevecteurvitesseangulaire v(ouvecteurrotation). Donnerlavaleurde v.4) Exprimer le vecteur acclrationa . Le comparer avec le vecteurCM. Que peut-ondiredecevecteurparrapportauvecteurvitesse V etparrapportlatrajectoire.Donner la valeur de a.20 Mcanique du point5) Reprsenter la trajectoire, le vecteur vitesse angulairev, le vecteur vitesseVainsique le vecteur acclrationa en un point M quelconque.Solution1) (x 1)2+ y2= cos2t + sin2t = 1 trajectoire est un cercle de centre xo = 1 m etyo = 0 soitOC =u x et de rayon R = 1 m (dans le plan Oxy).2)x = sin ty = cos tz = 0V= sintu x + cos tu y ___V___ = sin2t + cos2t = 1 m.s1.La vitesse est constante, le mouvement est donc uniforme. Le vecteur vitesse est tan-gent la trajectoire circulaire (perpendiculaire au rayon correspondant).3)v= v.u z, v =VR= 1 rad.s14)x = cos ty = sintz = 0 a = (cos t)u x(sint)u y.Ce vecteur est normal et centripte (mouvementcirculaire uniforme) dirig de M vers C. Ce vec-teur est perpendiculaire au vecteur vitesse.CM =OMOC =OMu xCM = (1 + cos t 1)u x + (sint)u y = aOC M x uVa x yFigure 1.17EXERCICES CORRIGS1 Mouvement rectiligne uniforme. linstant t = 0, deux navires, N

et N, sont situssur un mme mridien. Le navire N

est une distance a au nord de N.1)Nsedirigeverslenordlavitessev,N

verslestaveclavitesseconstantev

.Quelle sera la distance minimale entre les deux navires ?2) N

se dirige vers lest avec la vitesse v

. constante. Quelle direction doit prendre Npour atteindre N

en ligne droite ? Calculer la dure correspondante.ABCdDlxFigure 1.182 Mouvement rectiligne uniforme. Untracteurpartant dunpoint Asitusurune route rectiligne doit atteindre unpoint B situ dans un champ la distanced = CB de la route, et ce, dans un tempsminimal (voirgure1.18). Onsupposeles trajets successifs AD et DB rectiligneset parcourus vitesseconstantepar letracteur qui va deux fois moins vite dansle champ que sur la route. On poseAC = l et AD = x.Cinmatique du point 211) Exprimer la dure t du trajet ADB en fonction de x.2) En quel point D le tracteur doit-il quitter la route ?3 Mouvement rectiligne uniformment vari. Sur le quai dune gare, une voya-geuse,enretardcourt,pouressayerdeprendresontrain,unevitesseconstantev = 8 m.s1.Le train dmarre alors quelle est encore 100 mtres du dernier wagon. Lacclra-tion constante du train est de a = 0,5 m.s2.1)Lavoyageuserejoindra-t-ellesontrain?Sinon,quelledistanceminimalesentrouvera-t-elle ?2)Reprendrela question1 danslecaso ledmarragedu traina lieu lorsqueledernier wagon est 40 m de la voyageuse.3) Quelle devrait tre, linstant du dmarrage, la distance minimale entre le trainet la voyageuse pour que celle-ci atteigne effectivement le dernier wagon?4 Mouvement rectiligne sinusodal. Deux points mobiles A et B se dplacent tous lesdeux, le long dun segment, dun mouvement sinusodal damplitude 10 cm. Le pointA a une pulsation vA = 10 rad.s1et B une pulsation vB = 11 rad.s1.1) la date t = 0 s, ils passent dans le mme sens lorigine des abscisses. quelledate se rencontrent-ils nouveau, avec chacun une vitesse de mme signe ?2) Quelle distance aura parcouru le moins rapide ? le plus rapide ?OABBVFigure 1.195 chelledouble. UnechelledoubleOABest appuyeaubasdunmurenO(gure1.19). Ledeuximepoint dappui Bglissesurlesol lavitesse vB. OnprcisequeOA = AB = 2, 5 m et que la vitesse angulairede OA garde la valeur constante de 10 degrspar seconde. linstant t = 0, u = uo = 15.1) Donner lquation u = f (t)2) quel instant t1 langle OAB vaut-il 100?3) cet instant t1, donner les caractristiques(direction, sens, module) du vecteur vitesse vA1et du vecteur acclration aA1dupoint A : faire un schma reprsentant ces deux vecteurs.4) Calculer en fonction de t la longueur OB.5) En dduire les quations horaires de la vitesse vB et de lacclration aB du point B.6) Faire lapplication numrique pour t = t1.7) Quelle est la nature du mouvement de B?6 Mouvement circulaire uniforme. Un pilote de chasse fait un looping. La trajectoirecirculaire est situe dans un plan vertical. La vitesse est suppose constante et gale 1800 km.h1.Sachant que le corps humain ne peut pas supporter une acclration suprieure 10g(g = 10 m.s1), calculer le rayon minimal que le pilote peut donner la trajectoire.22 Mcanique du pointCAInstant t=0 Instant tACoVxyFigure 1.207 Mouvement dun point duneroue. Une roue circulaire, derayon a et de centre C, roule sansglisser sur Ox, tout en restant dansle plan Oxy (gure 1.20). Un pointAdelaroueconcidelinstantt = 0 avec lorigine Odu re-pre. Lecentre Caunevitesseconstante Vo.1) Dterminer les coordonnes deA linstant t.2) Calculer le module du vecteur vitesse de A et tudier ses variations au cours dutemps.3) Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul ?8 Rotation. Le rotor dune machine tourne 1200 tr.min1. linstant t =0, il estsoumis une acclration angulaire a suppose constante jusqu larrt complet. Ilsarrte en 300 tours.1) Donner les quations horaires de a et a.2) Calculer la dure du freinage. Que vaut a?R2R1ocFigure 1.219 Rotation. Onconsidre unsystme de deuxpouliesreliesparunecourroie(gure1.21).LapremirepoulieaunrayonR1=5cmet tourne la vitesse angulaire constantevo= 180 rad.s1, la seconde a unrayonR2 = 30 cm.1) Calculerlavitesseangulairedelasecondepoulie.2) La courroie porte une marque C. Calculer lacclration du point C au cours dumouvement.10 Mouvement curviligne. Un ballon sonde a une vitesse dascension verticale vo ind-pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse horizontale vx=ztproportionnelle laltitude z atteinte. z est une constante.1) Dterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que lquation de la trajectoirex(z).2) Calculer le vecteur acclration, ses composantes tangentielle et normale.11 Mouvement curviligne. Une mouche M parcourt dun mouvement uniforme, avecla vitesse Vo, laiguille des secondes dune horloge situe sur un mur vertical (gure1.22). linstant t =0, la mouche est au centre O de lhorloge qui indique 0 se-condes . Au bout dune minute elle atteint lextrmit de laiguille qui mesure 20 cm.Cinmatique du point 23MoxyuxuuuyFigure 1.221) Par rapport au mur, exprimer levecteur vitesseV (M) de la mouchesur la base mobile (ur,uu) lie M.Calculer les composantes deV (M)pour t = 0 s, 15 s, 30 s, 45 s et 60 s.2) Reprsenter V (M) auxpointsM correspondants aux instants ci-dessus. Donner lallure de la trajec-toire sur le mur.3) Calculer les composantes de lacclration de M,a (M), sur la base mobile. Repr-sentera (M) aux cinq positions prcdentes.12 Mouvement curviligne. Une particule M se dplace dans le plan xOy. Sa vitesse estdnie parv = auu + bu y, o a et b sont deux constantes.1) Dterminer lquation r(u) de la trajectoire en coordonnes polaires.2) On choisit a = 3b. Sachant que pour u = 0 labscisse du point M est +1 m, donnerlexpression de r(u). Quelle est lallure de la trajectoire dans le plan xOy ?13 Mouvement curviligne. Un point Mse dplace sur une spirale logarithmique dqua-tions polaires paramtriques : r = roeu, u = vt avec v constant.1)Dessinerschmatiquementunespiralelogarithmique.Reprsenterlesaxesdescoordonnes polaires et le repre de Frenet en un point M quelconque de cette tra-jectoire.2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et acclration de M en coordonnespolaires. En dduire les normes de ces vecteurs. Que vaut langle a que fait la vitesseavec le vecteur unitaireur ?3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.4) Le point M dcrit la mme spirale r = roeumais cette fois-ci cest la vitesse linairev qui est constante. Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps ?Solutions1 Positions initiales des navires : No, N

o. Axes xes lis la Terre : Nox vers lest et No, N

oy vers lenord (voir gure 1.23a).(nord)Nv/No/No(est)Naxyv(nord)Nv/NoNo(est)N1axyvNu(a) (b)Figure 1.2324 Mcanique du point1) Date t :NoN= vtuy,N

oN

= v

tux et leur distance est D=NN

=pv2t2+ (a vt)2.La drivedDdtest gale 12D(2v2t 2v(a vt)) et sannule pour tm=avv2+v2. cet instant, ladistance est minimale et sa valeur est :D(tm) =hv2v2a2(v2+v2)2+ (a av2(v2+v2))2i1/2=av

v2+v2.2) Soit u la direction prise par le navire N (gure 1.23b). On a alors :NoN = (vt cos u)ux + (vt sin u)uy ;N

oN

= v

tux.Les navires se croisent en N1sil existe uninstant t pour lequel ona simultanmentvt cos u =v

t et vt sin u =acos u =v

v . Nnepeut atteindreN

quesi v >v

. Ladirectionquildoitprendreestdonnepar:cos u =v

vetlecroisementalieulinstantt1=av sin u=av2v2.2 Distance AD = d1= x parcourue la vitesse constante v. Temps t1=xv.Distance DB = d2=p(l x)2+ d2parcourue la vitesse constante v/2. Tempst2=2(lx)2+d2v.Temps mis pour aller de A B : t= t1 + t2=1v(x + 2p(l x)2+ d2). Ce temps est minimallorsque la drive sannule, soit :d td x= 0 1 2(lx)(lx)2+d2= 0 x = l d3.3 Repre : axe Ox dans la direction du mouvement du train et de la voyageuse ; origine O positionde la voyageuse lorsque le train dmarre. t = 0 il se trouve D = 100 m de O.Voyageuse : mouvement rectiligne uniforme dquation horaire x = vt = 8t.Train : mouvement rectiligne uniformment acclr dacclration a = 0, 5 m.s2.La vitesse horaire est vt= at = 0, 5t et lquation horaire : xt=12at2+ D = 0, 25t2+ 100. Lavoyageuse rejoint le train si pour une mme date t on a : x = xt 0, 25t28t + 100 = 0.Le discriminantD= 36 0. Les solutionssont :t1= 16 96 = 6, 2 s et la voyageuse a parcouru x1= vt1= 49, 6 m (le train a effectu 9, 6m et sa vitesse est alors de 3, 1 m.s1. La voyageuse est plus rapide et commence remonterle train.)t2= 16 +96= 25, 8 s et la voyageuse a parcouru x1= vt1= 206, 4 m (le train acclrant,il deviendra plus rapide que la voyageuse et la dpassera si elle na pas pu monter en marche.Elle a pour cela 19, 6 s.)Distance minimale Dm pour que la voyageuse atteigne le train : x = xt 0, 25t28t +D = 0.Le discriminant doit tre positif ou nul soit 64 D >0 Dm=64 m. On a alors t =16 set la distance parcourue est de x =128 m. Le train a parcouru 28 m et sa vitesse est de 8m.s1= v.Cinmatique du point 254 A : vA= 10 rad.s1TA=2pvA ; B : vB= 11 rad.s1TB=2pvb< TA.La priode de A est suprieure celle de B qui est donc le plus rapide. Lors de la premireconcidence, B aura effectu une oscillation de plus que A. On peut donc crire que la rencontrese fera linstant t = nTA= (n + 1)TB o n reprsente le nombre doscillations effectues parA jusqu la concidence.n =TBTATB=1vBvA1=11,11= 10 t = 10TA= 6, 28 s.Le moins rapide aura effectu 10 oscillations soit une distance de 10 fois 4Xm cest--dire 4 m.Le plus rapide effectue une oscillation de plus et a donc parcouru 4, 4 m.5 Vitesse angulaire constante de OA : vo=u = 10s1=p18rad.s1.1) u = vot +uo= 10t + 15 (en degrs) =p18t +p12(en radians)2) 2u1= 100 t1=u1uovo=501510= 3, 5 s3) A a un mouvement circulaire uniforme de rayon OA=2, 5 m=l et de vitesse angulairevo=p18rad.s1. On a donc vA= lvo= 0, 436 m.s1, etvA OA vers B. Lacclration estcentripte, direction OA, sens de A vers O et a pour expression : a =v2Al= v2ol = 0, 076 m.s1.4) OB = 2OA sin u = 5 sin(10t + 15)= 5 sin(p18t +p12).5)-vB=dOBd t=ux2OAvo cos(vot +uo) =ux 5p18cos(p18t +p12)aB= ux2OAv2o sin(vot +uo) = ux5(p18)2sin(p18t +p12).Pour t = t1 vB=5p18cos 50= 0, 5609 m.s1et aB= 0, 1523 sin 50= 0, 1166 m.s16) B a un mouvement rectiligne sinusodal damplitude 2OA = 5 m et de pulsation vo.6 Mouvement circulaire uniforme de vitesse constante v = 1800 km.h1= 0, 5.103m.s1. Lac-clration est normale et centripte et a pour expression a =v2r< 10g r >v210g= 2, 5 km.7 Roulement sans glissement : pendant la dure d t, le point C effectue vo d t et la roue a tournde d u. On a donc a d u = vo d t u =voau =voa t (en orientant u comme sur le schma).OA =OC +CA =(vot)ux + auy+a sin uuxa cos uuyOA =vot a sinvoa tux + a1 cosvoa tuyvA=d OAd t= vo(1 cosvoa t)ux +uy sinvoa tvA = voq(1 cosvoa t)2+ sin2 voa t

vA = vo2p1 cosvoa t. Fonction priodique de priode T =2pavo(temps mis pour faire untour de roue complet u = 2p). Elle sannule pour t = nT (avec n nombre entier correspondantau nombre de tours effectus). Le point A est alors en contact avec le sol. Elle est maximalepour t = nT +T2et prend alors la valeur de 2vo. Le point A est alors au sommet de la roue.26 Mcanique du point8 Rotation de 1200 tr.min1 ao= 40p rad.s1. Arrt en 300 tr a1= 600p. Acclrationangulaire constante a a = at + ao et a =12 at2+ aot a = a aotet a =12 a aott2+ aot.Larrt seffectue pour :a = a1 et a = 0 a1= 12 aot + aot =12 aot t = 2a1 ao= 2600p40p= 30 s. a = a aot= ao30= 43p rad.s2.9 Un point C de la courroie se dplace avec une vitesse constante. La courroie ne glissant passur les roues, on peut exprimer la vitesse du point lorsquil est en contact avec la roue de rayonR1(vc=R1vo) et lorsquil est en contact avec la roue de rayon R2(vc=R2v2). On a doncR1vo= R2v2 v2= vo R1R2= 30 rad.s1.Sur les roues, le point C a un mouvement circulaire uniforme. Lacclration est donc normaleet centripte (vers le centre des roues) et a pour valeur :Roue n1 : a1= R1v2o= 1620 rad.s2. Roue n2 : a2= R2v22= a1 R1R2= 270 rad.s2. Entreles deux roues, le mouvement est rectiligne uniforme et lacclration est donc nulle.10 La vitesse dascension verticale votant constante, on peut crire que le mouvement projetsur laxe des z est rectiligne uniforme. On a :d2zd t2= 0;d zd t= vo; z = vot (avec z = 0 pour t = 0).Suivant laxe des x, on a : vx=d xd t=zt=vottet x=vot22t(le mouvement est uniformmentacclr).Lquation de la trajectoire est x =z22tvoet correspond une portion de parabole.Le vecteur acclration est donn para =d2xd t2ux +d2zd t2uy=votux.Levecteurvitesseestdonnpar v =ztux + vouy.Levecteurvitessetanttangentlatrajectoire, on en dduit lexpression du vecteur unitaire tangent :ut=v

v = t(z2+ v2ot2)1/2(ztux + vouy).Le vecteur normal la trajectoire se dduit deutpar :ut.un= 0 un= t(z2+ v2ot2)1/2(vouxztuy).at=a .ut= t(z2+ v2ot2)1/2 vozt2= (z2+ v2ot2)1/2 vozt.an=a .un= (z2+ v2ot2)1/2v2o.11OM=rur V (M)= rur + ruuu. M parcourt laiguille dun mouvement uniforme avec lavitesse Vo constante. On a donc r= Vo r= Vot ( t= 0, r= 0) et u=v= p30rad.s1(mouvement de laiguille des secondes : un tour en 60 secondes dans le sens inverse du senstrigonomtrique).En 60 secondes la mouche effectue 20 cm. On a donc Vo=2060=13cm.s1.V (M) = Vo(ur p30tuu)V (t = 0) = Vour=13uy ;V (t = 15) = Vo(ur p2uu) =13(uxp2uy).Cinmatique du point 27V (t = 30) = Vo(urpuu) =13(uypux) ; V (t = 45) = Vo(ur32puu) =13(ux+32puy).V (t = 60) = Vo(ur 2puu) =13(uy + 2pux).Il est alors possible de tracer les diffrents vecteurs vitesse tous tangents la trajectoire. Lallurede la trajectoire est une spirale.a (M) = Vo(ur +vtuu)

= Vo(vuu +vuu +vt(vur)) = Vo(v2tur + 2vuu).a (M) =p30Vo(p30tur 2uu) = p190(p30tur 2uu) (en cm.s2).a (t = 0) = 2Vovuu= 2Vovux=p45ux ;a (t = 15) = Vo(v215ux + 2vuy) = p90(p2ux + 2uy).a (t = 30) = Vo(v230uy + 2vux) = p90(puy + 2ux).a (t = 45) = Vo(+v245ux2vuy) =p90(32pux + 2uy).a (t = 60) = Vo(v260uy2vux) =p90(2puy + 2ux).12v = auu + buy etuy= sin uur + cos uuu0,40,81,21,623060240 3003300Figure 1.24v = b sin uur+(a+b cos u)uu= rur+ruuu.d rd t= b sin u et rd ud t= a + b cos ur d ud r=a + b cos ub sin ud rr=b sin ua + b cos u d u.Onintgre chaque membre de lgalit (avecC = ln ro une constante dintgration).On obtient :ln r + C =Zb sin ua + b cos u d u = ln r ln ro= ln(a + b cos u) = lnrroLquation de la trajectoire est : r(u) =roa+b cos u.Avec a = 3b et pour u = 0 on a : r(0) = 1 =ro3b+b ro= 4b.r(u)=43+cos u=4/31+13cos u. Ceci est lquation dune ellipse en coordonnes polaires (allure dela trajectoire : voir gure 1.24).13 1) Voir gure 1.25.30600uutunuMFigure 1.252) r = roevt r = vr et r = v2r.La vitesse angulaire est constante : u = v u = 0.v = rur +ruuu= rv(ur +uu)angle a=(v ,ur) = 45=angle (ut,ur)a = ( r ru2)ur + (2 ru +ru)uu= (v2r v2r)ur + 2rv2uu= 2rv2uu.Langle entre a et (utou un) est donc aussi de 45(voir gure 1.25).

v=2rv et a= 2rv2.28 Mcanique du point3) an=a .un= acos 45=2rv2= v 2R=2r2v2RR =2r.4) v=2ru = v = cste d ud t=vro2eu eud u =vro2 d t.eu=vro2t + C. Si pour t = 0, u = 0 alors eu=vro2t + 1.On a donc u = ln(vro2t + 1) et u =vro2vro2t + 11.CHAPI TRE 2CHANGEMENTS DE RFRENTIELSPr-requis Avoir compris ce quest un rfrentiel.Savoir driver un vecteur unitaire tournant.Objectif ISavoir reconnatre le type de mouvement que peut avoir un rfrentielpar rapport un autre.ISavoir driver un vecteur dans des rfrentiels diffrents.IConnatre la loi de composition des vitesses.IConnatre la loi de composition des acclrations.Dans les mouvements de rotation que nous allons tudier, nous ne considrerons que larotation autour dun seul axe.1. MOUVEMENTS DUN RFRENTIEL PAR RAPPORT UN AUTREDans ce qui va suivre, nous considrons deux rfrentiels R et R

. Le premier est carac-trisparundesesrepres (O, x, y, z)aveclabasecorrespondante _u x,u y,u z_,etlesecond par (O

, x

, y

, z

) avec la base_u

x,u

y,u

z_. Les axes O

x

, O

y

, O

z

sont choisisde sorte tre parallles respectivement aux axes Ox, Oy, Oz un instant quelconque quipeut tre un instant origine. Cette condition valide t =0 nest plus vraie en gnralquandletempsscoulepuisquenousconsidronsqueR

sedplaceparrapportR.Nous allons cependant prciser ce que devient lorientation des axes de ces deux rfren-tiels dans quelques cas importants.1.1. Le mouvement de translationa) DnitionNous dirons que le rfrentiel R

est en mouvement de translation par rapport au rf-rentiel R si les axes du rfrentiel R

restent parallles ceux du rfrentiel R au cours dumouvement. Si le point O

est en mouvement par rapport R, tous les points constituantle rfrentiel R

se dplacent de la mme quantit vectorielle que O

. Consquences :30 Mcanique du point tout instant, on a les galitsu x =u

x,u y =u

y,u z =u

z. La base_u

x,u

y,u

z_est donc une base xe dans R

mais aussi dans R. Le vecteurOO

correspond au vecteurtranslation. Le mouvement de translation de R

par rapport R peut tre rectiligne, circulaire ouquelconque selon la nature du mouvement de lorigine O

du rfrentiel R

. O x yz Vecteur translationz0y/(R )Ouzuzuyuxuxuy(R)xFigure 2.1 Translation dun rfrentiel R

par rapport un rfrentiel R.b) Translation rectiligneLe point O

suit une trajectoire rectiligne par rapport au rfrentiel R. Un exemple simpleestceluiolerfrentielR

estliuntapisroulant,RtantlilaTerre.Danscesconditions, on peut crire la vitesse du point O

par rapport R en choisissant laxe Oxdans la direction du mouvement de translation :VO

/R = VO

u x = VO

u

x(R) (R)O O//Figure 2.2 Mouvement de translation rectiligne dun rfrentiel R

parrapport un rfrentiel R.La vitesse VO peut varier au cours du temps.Encart 2.1. Translation rectiligne uniformeLe mouvement du point O

est un mouvement rectiligne et uniforme. On a donc :VO

/R =cste =dOO

dt=OO

= VO tu x +CLe vecteurCest une constante qui dpend des conditions initiales du mouvement. Enparticulier, si t = 0 le point O

est confondu avec le point O, ce vecteur est nul.Changements de rfrentiels 31c) Translation circulaireLe point O

dcrit un cercle autour dun point xe de R qui peut tre choisi comme origineO du repre de R. Son mouvement est caractris par le vecteur vitesse angulaire vO

/R.Lexpression du vecteur vitesse du point O

par rapport au rfrentiel R est donc :VO

/R =vO

/ROO

Oxyx /y /O /uxuyuz(R)(R /)R O//Figure 2.3 Translation circulaire dun rfrentiel R

par rapport unrfrentiel R. Les axes de R

restent parallles ceux de R, lorigine O

dcritun mouvement circulaire.Exemple : Si on considre la nacelle dune grande roue dune fte foraine, elle constitue unrfrentiel qui est en translation circulaire par rapport au rfrentiel terrestre, le fond dela nacelle restant toujours horizontal (gure 2.3).Translationcirculaireuniforme: Levecteur vitesseangulaire vO

/Rest unvecteurconstant.d) Translation quelconqueLe point O

a un mouvement quelconque, curviligne uniforme ou vari mais les axes durepre de R

restent parallles ceux du rfrentiel R (gure 2.4).1.2. Le mouvement de rotationNous dirons quun rfrentiel R

est en rotation par rapport un rfrentiel R si les axesdu rfrentiel R

tournent par rapport ceux du rfrentiel R.LepointO

, originedurepredurfrentiel R

, estimmobileparrapportR. Nousconsidreronslarotationautourdunseul axe, cetterotationtantcaractriseparlevecteur vitesse angulaire de rotation du rfrentiel R

par rapport R :VR

/R.32 Mcanique du pointO(R)yzxuxuyuzO/z/y/O/(R /)zx/y/O/(R /)z/x/y/(R )x /Figure 2.4 Mouvement de translation quelconque.Dans ces conditions, on peut choisir lorigine O confondue avec le point O

et choisir unrepre (O, x, y, z) de sorte que le vecteur vitesse angulaireVR

/R soit de la forme :VR

/R = VR

/Ru zLaxe O

z

peut tre confondu avec laxe Oz et donc u z= u

z. Les axes O

x

et O

y

sontalors en rotation autour de laxe Oz. Dans ces conditions, la base_u

x,u

y,u

z_, qui estla base xe du rfrentiel R

, est une base mobile dans R. Les vecteursu

x etu

y tournentautour de laxe Oz au cours du temps.uyux/uxxx/yy/z z/uzuz/ uy/RR/ OO/RR/ uy/uyxx/yy/uxux/Figure 2.5 Mouvement de rotation dun rfrentiel R

par rapport un rfrentiel R.Si u est langle que faitu

x avec laxe Ox du rfrentiel R (gure 2.5), nous avons alors :u = VR

/RLa drivation du vecteur unitaire tournantu

x conduit (voir 5. de lannexe 1) :du

xdu=u

y =du

xdt_R=uu

y = VR

/Ru

yChangements de rfrentiels 33Si nous nous plaons dans le rfrentiel R, la drivation des vecteurs de la base donne :d u xd t_R= VR

/Ru

y = VR

/R_u

xu

z_=VR

/Ru

xd u yd t_R= VR

/Ru

x = VR

/R_u

zu

y_=VR

/Ru

yd u zd t_R=0Dans le rfrentiel R

nous aurions :du

xdt_R

= 0;du

ydt_R

= 0;du

zdt_R

= 0.Il est donc important de prciser chaque fois si la drivation est effectue dans R oudans R

. Ceci peut tre spci en indice au niveau du symbole de drivation.Enn on peut remarquer que la base_u

x,u

y,u

z_du rfrentiel R

se confond avec labase_ur,uu,u z_, base mobile des coordonnes cylindriques du repre (O, x, y, z).1.3. Mouvement quelconqueUn mouvementquelconquepeuttreconsidrcommeunecombinaisondunmouve-ment de translation et de rotation. On peut prendre lexemple suivant de la roue dunebicyclette qui se dplace le long dun axe Ox (gure 2.6) et dnir trois rfrentiels pos-sibles : le rfrentiel R terrestre, li la Terre sur laquelle se dplace la bicyclette ; le rfrentiel R1 li la bicyclette ; enn un rfrentiel R2 li aux rayons de la roue et la valve de la chambre air.uyuy1x1y1ux2ux2uy2uy2O1O2xyuxuy1x1y1O1O2x2y2x2y2Oux1ux1Figure 2.6 Mouvement dune roue de bicyclette.Lerfrentiel R1(bicyclette)estentranslationrectiligneparrapportaurfrentiel Rterrestre. Le rfrentiel R2 (rayon de la roue) peut tre caractris par le repre (O1, x2, y2).Ce repre est en rotation par rapport R1. Le mouvement du rfrentiel R2, par rapportau rfrentiel R, peut donc se dcomposer en un mouvement de translation rectiligne etun mouvement de rotation.34 Mcanique du pointAvec cet exemple simple, on saperoit que :Le mouvement quelconque dun rfrentiel par rapport un autre peut toujours seramener une composition de mouvement de translation et de rotation.Do limportance de ces deux cas que nous allons tudier maintenant.2. TUDE DE LA VITESSE2.1. Rfrentiel R/ en translation par rapport Ra) Position dun point MLe repre du rfrentiel R

, en translation par rapport un rfrentiel R, est choisi desorte que les axes O

x

, O

y

et O

z

soient respectivement parallles aux axes Ox, Oy et Oz durepre caractrisant le rfrentiel R. Lorigine O

, lie R

, a un mouvement quelconquepar rapport R.O(R)yzxuxuyuzO/(R/)z/x/y/O/(R)z/x/y/O/(R /)z/x/y/Figure 2.7 Mouvement de translation quelconque.La base xe de R,_u x,u y,u z_, est aussi une base xe de R

.Dans le rfrentiel R, les coordonnes du point M sont (x, y, z). Dans le rfrentiel R

, ellessont (x

, y

, z

). La relation de Chasles applique aux vecteursOM etO

M scrit :OM =OO

+O

Mavec :OM = xu x + yu y + zu zet O

M = xu x + yu y + zu zEncart 2.2. Transformation de GalileConsidrons le cas particulier o R

est en mouvement de translation rectiligne parrapport un rfrentiel R. Nous pouvons alors choisir les axes des repres de sorteque le mouvement de translation soit colinaire laxe des y. Dans ces conditions, levecteur vitesse du point O

, par rapport au rfrentiel R, peut scrire :vO

/R =dOO

dt= VO

u y = VO

u

yChangements de rfrentiels 35(R)(R /)O/Oyxx/zz/MROV/uzuxuyuxuyuzFigure 2.8 Mouvement de translation rectiligne.Si le rfrentiel R

est en translation rectiligne uniforme par rapport R, on peut crireque :OO

= votu yOn en dduit donc que les coordonnes du point Mdans R sexpriment en fonction descoordonnes du point M dans R

par la transformation suivante dite transformationde Galile :xu x + yu y + zu z = votu y + xu x + yu y + zu zCette relation peut scrire en utilisant la notion de quadrivecteur (position, temps)et en se rappelant que le temps en mcanique classique est une grandeur absolue sousla forme matricielle suivante :xyzt=1 0 0 00 1 0 vo0 0 1 00 0 0 1x

y

z

t

b) Loi de composition des vitessesPar dnition nous pouvons crire que :vM/R =dOMdt_R=d(xu x + yu y + zu z)dt=dxdtu x + dydtu y + dzdtu zvM/R=dO

Mdt_R

=d(xu x + yu y + zu z)dt=dx

dtu x + dy

dtu y + dz

dtu zetdOO

dt_R=vO

/R =vR

/REn drivant par rapport au temps dans le rfrentiel R la relation de Chasles qui donnela position du point M, il vient :dOMdt_R=dOO

dt_R+dO

Mdt_R36 Mcanique du pointComme les axes de R

restent parallles ceux de R, la drive de O

M dans R est iden-tique la drive deO

M dans R

dO

Mdt_R=dO

Mdt_R

ce qui conduit la relation suivante :dOMdt_R=dOO

dt_R+dO

Mdt_R

soit :vM/R =vO

/R +vM/R

CetterelationentrelesvitessesestformellementanaloguelarelationdeChaslessurladdition des vecteurs et est connue sous lappellation loi de composition des vitesses.On peut remarquer que si le point M tait xe dans R

on aurait :vM/R =vO

/RPour cette raison,vO

/R =vR

/R est aussi appele vitesse dentranement et noteve.2.2. Rfrentiel R/ en rotation par rapport RConsidrons maintenant le cas oule rfrentiel R

(O, x

, y

, z

, t) avec_u

x,u

y,u

z_xedeR

estenmouvementderotationparrapportaurfrentiel R(O, x, y, z, t)avec_u x,u y,u z_xe de R. Nous supposons comme lindique la gure 2.9 que le point O

estconfondu avec O.xx/yy/z z / RR/OO /RR /xx/yy/uyux/uxuzuz/uy/uy/uyuxux/Figure 2.9 Mouvement de rotation dun rfrentiel R

par rapport un rfrentiel R.Changements de rfrentiels 37Nous faisons en outre lhypothse que laxe de rotation de R

par rapport R est laxe desz, ce qui permet dcrire que la vitesse angulaire de rotation de R

par rapport R est :VR

/R =dudtu zIl est alors trs important de comprendre que dans le rfrentiel R

les vecteurs de base_u

x,u

y,u

z_ sont constants puisquils tournent avec les axes du rfrentiel. Pour senassurerilsuft dedterminertoutinstantlanglefaitparcesvecteursetlesaxesdurfrentieletdeconstaterquilesttoujoursnul.Lesvecteurs_u

x,u

y,u

z_sontdoncxes dans R. Dautre part le rfrentiel R peut tre rapport soit la base_u x,u y,u z_xedeRsoitlabase_u

x,u

y,u

z_mobiledeR. Danscecas, lesvecteurs u

x,u

ycorrespondent, comme nous lavons vu au paragraphe 1.2. aux vecteursur,uu de la basepolaire de R. Ils ne sont plus constants dans R puisquils tournent la vitesse angulaireVR

/R par rapport R. Toute la difcult du calcul qui suit repose sur la comprhensionde ce point.Quel que soit le rfrentiel dtude, la position du point M peut scrire :OM = xu x + yu y + zu zOM = xu

x + yu

y + zu

zLa vitesse du point M de coordonnes (x, y, z) dans R(O, x, y, z, t) est :vM/R =dOMdt_R=dxdtu x + dydtu y + dzdtu zalors que la vitesse du mme point M dans R

(O

, x

, y

, z

, t) scrit :vM/R=dOMdt_R

=d_xu

x + yu

y + zu

z_dtDans R

, les vecteurs de base_u

x,u

y,u

z_sont constants, ce qui conduit :vM/R=dx

dtu

x + dy

dtu

y + dz

dtu

zNous nous replaons maintenant dans R mais nous exprimons la position du point M dansla base_u

x,u

y,u

z_. La vitesse du point M scrit alors :vM/R =d(xu

x + yu

y + zu

z)dtsoit :vM/R =dx

dtu

x + dy

dtu

y + dz

dtu

z + x

du

xdt+ y

du

ydt+ z

du

zdt38 Mcanique du pointEn utilisant les rsultats du paragraphe 1.2. de ce chapitre, on obtient :vM/R =dx

dtu

x + dy

dtu

y + dz

dtu

z + x

uu

yy

uu

xEn remarquant que :uu

y =VR

/Ru

xet uu

x =VR

/Ru

yon obtient nalement :vM/R =dx

dtu

x + dy

dtu

y + dz

dtu

z + x

VR

/Ru

x + y

VR

/Ru

yNous constatons ensuite que :VR

/R xu

x +VR

/R yu

y =VR

/R_xu

x + yu

y_Comme le vecteur vitesse instantan de rotation est dirig selonu

z, nous avons aussi :VR

/R_xu

x + yu

y_=VR

/R_xu

x + yu

y + zu

z_=VR

/ROMNous pouvons donc conclure que :dOMdt_R=dOMdt_R

+VR

/ROM (2.1)ce qui montre que :Driver le vecteurOM dans R nest pas quivalent le driver dans R

.En posantvR

/R =VR

/ROM, la loi de composition des vitesses dans deux rfrentielsen rotation scrit :vM/R =vR

/R +vM/R

avecvR

/R appele vitesse dentranement, cest--dire la vitesse, par rapport R, quau-rait le point M sil tait xe dans R

.La loi prcdente a t applique au vecteur positionOM. Elle est tout fait g-nrale et peut sappliquer nimporte quel vecteurX . Ainsi, siXest un vecteurquelconque, on a daprs (2.1) :dXd t_R=dXd t_R

+VR

/RX (2.2)Changements de rfrentiels 39Nous insistons trs fortement sur cette dernire relation qui montre que :Si un vecteurXappartient deux rfrentiels R et R

en rotation lun par rapport lautre, la drive du vecteurXdans R est diffrente de sa drive dans R

.Par contre il est clair que si deux rfrentiels R et R

sont en mouvement de transla-tion lun par rapport lautre_VR

/R =0_, la drive dun vecteurXdans lunest gale la drive de ce mme vecteurXdans lautre.2.3. Cas gnralCette relation peut tre gnralise un mouvement combinant une translation et unerotation en faisant intervenir la vitesse de O

par rapport R ainsi que le vecteur vitesseangulaireVR

/R caractrisant la rotation de R

par rapport R. En partant de :OM =OO

+O

Mon voit que :dOMdt_R=dOO

dt_R+dO

Mdt_ROr la drive de O

M dans R peut sexprimer partir de la drive de ce mme vecteurdans R

, do :dOMdt_R=dOO

dt_R+dO

Mdt_R

+VR

/RO

MNous obtenons ainsi la loi de composition des vitesses dans un cas gnral :vM/R =vO

/R +vM/R +VR

/RO

MOn distingue dans cette expression deux termes :vM/R qui reprsentelavitessedeMparrapportR

etquelonappellevitesserelative de M par rapport R

.vO

/R+VR

/RO

M qui est la vitesse dentranement de M dans son mouvement parrapport R. Cette vitesse est la somme de deux termes. Le premier terme correspond la vitesse dentranement due au dplacement de lorigine O

(terme de translation)etledeuximecorrespondlavitessedentranementduelarotationdeR

parrapport R (terme de rotation).Encart 2.3. Le mouvement cyclodalNotre but est de montrer comment il est possible dutiliser la loi de composition desvitesses an de prdire la vitesse dun point dans un rfrentiel R connaissant sa vitessedans un rfrentiel R

. ce titre nous considrons le mouvement de la valve M de laroue dune bicyclette de rayon R. Ce mouvement est le rsultat de la composition dun40 Mcanique du pointmouvement de translation de la fourche et dun mouvement de rotation de la roue. Lemouvement tant compos, il est difcile dcrire lexpression de la vitesse de la valvedans le rfrentiel R xe. Cest pourquoi il est utile de dcomposer le mouvement enfaisant intervenir un autre rfrentiel dans lequel le mouvement de la valve est simple.Nous allons ce titre donner deux exemples qui montrent comment il est possible detirer les avantages de la loi de composition des vitesses.x1y1 O1Mxyx1y1O1Mx2y2x2y2Ouyuy1ux2ux2uy2uy2uxuy1ux1ux1Figure 2.10 Mouvement de la valve dune roue de bicyclette.Nous considrons dans les exemples qui suivent les rfrentiels suivants (-gure 2.10) : R(O, x, y, z, t) avec_u x,u y,u z_; R1(O1, x1, y1, z1, t) avec_u x2,u y2_base polaire mobile de R1; R2(O1, x2, y2, z2, t) avec_u x2,u y2_base xe de R2.Nous observons que la position du point M est dnie parO1M = Ru x2;_

u x1,u x2_= u(t)Avant de faire un bon usage de la loi de composition des vitesses, il est utile de se poserles questions suivantes : que fait le rfrentiel R

par rapport au rfrentiel R? que fait le point M dans le rfrentiel R

?Considrons tout dabord que R

sidentie au rfrentiel R1. En rponse la premirequestion nous observons que le rfrentiel R1 se dplace avec le centre de la roue O1(fourche) et est en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitessevO1/R. Nousconcluons donc queVR1/R =0 . la deuxime question nous rpondons que le point M est en mouvement de rotationuniforme dans R1.En appliquant la loi de composition des vitesses qui se rsume :vM/R =vM/R1 +vO1/R +VR1/RO1Mnous voyons que le dernier terme est nul. En utilisant la base mobile_u x2,u y2_de R1dans laquelleO1M = Ru x2, nous voyons queChangements de rfrentiels 41vM/R =vM/R1 +vO1/R =vO1/R +dO1Mdt_R1vM/R =vO1/R + d_Ru x2_R1dt=vO1/R + Ruu y2Considrons maintenant le rfrentiel R2 li la valve. Ce rfrentiel est en rotationtranslation par rapport R, donc dans ce casVR2/R ,=0 et VR2/R =uu zDe plus la valve M est immobile dans R2, donc vM/R2 =0On obtient donc :vM/R =vO1/R +VR2/RO1M =vO1/R +VR2/Ru z Ru x2 =vO1/R + Ruu y2Nous retrouvons bien videmment la mme expression puisquen utilisant le rfren-tiel R1 nous nous sommes placs dans la mme base (u x2,u y2).3. TUDE DE LACCLRATION3.1. Loi de composition des acclrationsNouscherchonsexprimerlacclrationdupointMparrapportRconnaissantlescaractristiques du mouvement par rapport R

. Nous supposons que le rfrentiel R

esten mouvement de translation rotation par rapport R. La loi de composition des vitessesnous donne :vM/R =vM/R +vO

/R +VR

/RO

Met par dnition nous avons :aM/R =dvM/Rdt_RIl en rsulte que :aM/R =d_vM/R +vO

/R +VR

/RO

M_dtROn obtient donc :aM/R =aO

/R +dvM/R

dt_R+VR

/RdO

Mdt_R+ dVR

/RdtO

M (2.3)Il importe ce stade de commenter les rgles de drivation. Nous voyons que par d-nitionnousdrivons,pourobtenirlacclrationdeMparrapportR,lavitessede42 Mcanique du pointM dansR par rapport au temps. En faisant cette opration, il apparat dans le secondmembre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs lis au rfrentiel R

commepar exemple le vecteurO

M ou encore le vecteurvM/R . Nous souhaitons faire apparatreleur drive dans R

et nous utilisons donc cette n la rgle de drivation (2.2) :dXdt_R=dXdt_R

+VR

/RXApplique aux vecteursO

M etvM/R cette rgle conduit :dO

Md t_R=dO

Md t_R

+VR

/RO

Md vM/R

d t_R=d vM/R

d t_R

+VR

/RvM/R

Nous concluons donc que :dO

Md t_R=vM/R +VR

/RO

Md vM/R

d t_R=aM/R +VR

/RvM/R

Le report de ces expressions dans lquation (2.3) conduit crire le vecteur acc-lration de M par rapport R sous la forme :aM/R =aM/R +ae+ac(2.4)avec :ae=aO

/R +VR

/R_VR

/RO

M_+d VR

/Rd tO

Mac= 2VR

/RvM/R

Le rsultat ci-dessus constitue la loi de composition des acclrations.Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression : le premier terme du second membre aM/R qui reprsente lacclration de M dansR

ou acclration relative; le dernier terme du second membre qui reprsente lacclration de Coriolis ou ac-clration complmentaire vc= 2VR

/R vM/R . Elle nexiste que si le point est Men mouvement dans R

et si R

est un rfrentiel en rotation par rapport R; le terme intermdiaire qui reprsente lacclration dentranementae. Cette accl-ration correspondrait lacclration quaurait le point M par rapport R sil tait xedans R

. Dans ce cas les acclrations relative et complmentaire sont nulles.Encart 2.4. Application de la loi de composition des acclrationsNous cherchons comprendre comment utiliser lquation (2.4). Reprenons lexempledu mouvement cyclodal illustr par la gure 2.10 et considrons les trois rfrentielssuivants :Changements de rfrentiels 43 R(O, x, y, z, t) avec_u x,u y,u z_xe de R; R1(O1, x1, y1, z1, t) avec_u x2,u y2_base polaire mobile de R1; R2(O2 O1, x2, y2, z2, t) avec_u x2,u y2_base xe de R2.Nous supposons que la roue se dplace dun mouvement rectiligne uniforme, ce quiimposeaO

/R =0 .Nous commenons par utiliser les rfrentiels R et R1. Puisque R1est en translationpar rapport R, le vecteur VR1/R et le terme dacclration de Coriolis sont nuls. Ilen va de mme de lacclration dentranement. Nous en dduisons que :aM/R =aM/R1Comme nous avons :O1M =O2M = Ru x2il est facile de voir que :aM/R =aM/R1 = Ru2u x2Dans le cas o nous considrons les rfrentiels R et R2li la valve, lacclrationde Coriolis est nulle car le pointM (valve) est xe dansR2, ainsi que lacclrationrelative. Par contre R2 est en mouvement de rotation par rapport R etVR2/R =uu zNous obtenons alors le rsultat suivant :aM/R =VR

/R_VR

/RO

M_= Ru2u x2Comme dans le cas de ltude de la vitesse, nous retrouvons bien les mmes expres-sions, que lon utilise le rfrentiel R1 ou le rfrentiel R2, en raison de lidentit de labase de ces deux rfrentiels. RETENIR Mouvement de translation dun rfrentiel R

par rapport un rfrentiel R :Les axes du rfrentiel R

restent parallles ceux du rfrentiel R.La translation peut tre rectiligne, circulaire ou quelconque suivant le mouvement delorigine O

du rfrentiel R

.44 Mcanique du point Mouvement de rotation dun rfrentiel R

par rapport un rfrentiel R :Les axes du rfrentiel R

tournent par rapport ceux du rfrentiel R (vitesse angu-laireVR

/R). Loi de composition des vitesses :vM/R =vR

/R +vM/R

avecvR

/R =vO

/R +VR

/RO

M (vecteur vitesse dentranement) Loi de composition des acclrations :aM/R =aM/R +ae+acavec ae= aO

/R +VR

/R _VR

/RO

M_+d VR

/Rd tO

M (vecteur acclrationdentranement)etac= 2VR

/RvM/R (vecteur acclration complmentaire ou de Coriolis)EXERCICE DAPPLICATION AVEC SOLUTION DTAILLECinmatique et changement de rfrentielUne charrette se dplace vitesse constante Vo = 1, 8 km.h1. Ces roues rayons ontun diamtre de D = 47, 75 cm.x uxu y O yuxuC A oV Instant t = 0 C AInstant t1 C AInstant t (0 < t < t1) M u yuFigure 2.11 linstant t =0, on considre un rayon CA horizontal avec C centre dune roue et Alautre extrmit du rayon. linstant t1 ce mme rayon se retrouve pour la premirefois dans la mme position (la roue a effectu un tour complet).Changements de rfrentiels 45I. Question prliminaire : Cinmatique.1) Exprimer la vitesse angulaire v en fonction de Vo et D. En dduire lexpression duvecteur vitesse angulaire v. Calculer v.2) Exprimer le temps t1 au bout duquel la roue a effectu un tour complet. Calculer t1.3) Une petite coccinelle M situe au centre C linstant t =0 part avec une vitesseconstante v sur le rayon CA. Quelle doit tre sa vitesse pour atteindre A linstant t1?II. Rfrentiels en mouvementOn considre les rfrentiels suivants caractriss par leur repre : Rfrentiel R(O, x, y,u x,u y,u z), Rfrentiel R

(C, x, y,u x,u y,u z) Rfrentiel R

li au rayon CA avec sa base xe (ur,uu) qui correspond la basepolaire du repre R

(C, x, y). Quel est le mouvement de R

par rapport R? (prciser les caractristiques dumouvement) Quel est le mouvement de R

par rapport R

? (prciser les caractristiques dumouvement) Quel est le mouvement de R

par rapport R? (prciser les caractristiques dumouvement)III. On se place dans le rfrentiel R

(li au rayon CA, base (ur,uu).1) La coccinelle se dplaant vitesse constante v dans ce repre, donner lquationhoraire du mouvement de M(CM = r(t)).2) Exprimer le vecteur vitessev du point M dans la base (ur,uu)3) Que vaut le vecteur acclrationa du point M dans ce rfrentiel ?IV. On se place dans le rfrentiel R

(C, x, y,ux,uy) et on utilisera sa base mobile(ur,uu).1) Donner lexpression du vecteur positionCM2) Exprimer le vecteur vitessevM/R du point M par rapport au rfrentiel R

.3) Exprimer le vecteur acclrationaM/R du point M par rapport au rfrentiel R

.V. Loi de composition des vitesses et acclrations1) Exprimer, pour le point M, le vecteur vitesse dentranement v e du rfrentiel R

par rapport au rfrentiel R

. noncer la loi de composition des vitesses et retrouverlexpression devM/R partir de celles dev et dev e.2) De mme, exprimer :a) Le vecteur acclration dentranementa e du point M.b) Le vecteur acclration de Coriolis ou complmentaireac de M.c) noncer la loi de composition des acclrations et retrouver lexpression de aM/R

partir de celles dea ,ae etac.46 Mcanique du pointVI. On se place maintenant dans le rfrentiel R(O, x, y,ux,uy).1) Comment, partir devM/R , peut-on obtenir lexpression du vecteurvM/R vitessede M par rapport R? Donner son expression.2) Mme question pour lacclrationaM/R .Solutionx u xuy O yu xu C A oV Instant t = 0 C A Instant t1 C AInstant t (0 < t < t1) M u yu Figure 2.12I. 1)v=2VoD=2.0,50,4775=2,094 rad.s1 v=v.u z= 2,094u zattentionv < 02) Pour un tour : 2p = [v[ t1 t1 =2p[v[=2.3,142,094= 3 s3)D2= vt1 v =D2t1=47,756= 7,96 8 cm.s-1II. R

est en translation rectiligne uniforme par rapport R avec la vitesse VoR

est en rotation uniforme par rapport R avec la vitesse angulairev= v.u z = 2,094u zR

estenmouvementdetranslation(vitesse Vo)plusrotationautouraxe u zparrapport R (v= v.u z = 2,094u z)III. On se place dans le rfrentiel R

(li au rayon CA, base (ur,uu).1) CM = r(t) = vt+constante r(t) = vt2)v = vur3) a =dvd t=d (vur)d t=0 (Maunmouvement rectiligneuniformesurlerayon CA.IV. On se place dans le rfrentiel R

(C,x,y,ux,uy) et on utilisera la base mobile(ur,uu).1)CM = rurChangements de rfrentiels 472) vM/R=d (rur)d t_R

= rur +ruuu = v.ur +rv.uu= v.ur + vv.t.uu = v(ur +v.t.uu).vM/R= v(ur +vt.uu) = 0,08(ur2,094.t.uu)3) aM/R=dv MR

d t_R

= v(uuu +v.uuvtuur)= v(2v.uuv2tur) = v.v(v.t.ur + 2uu)aM/R= 0, 35tur0, 333uuV. 1)v e =vC/R +v CM =0 +v.u zrur = rv.uu = vv.t.uu = 0,167.t.uuLepointMauraitunmouvementcirculaireuniformesilnebougeaitpasdansR

.Doncv e = rv.uu. Daprs la loi de composition des vitesses :vM/R=vM/R +v e = vur + vv.t.uu = 0,08(ur2,094.t.uu)mme rsultat que pour 3) b.2) a)ae =a CR

+v(vCM)+dvd tCM =0 +v.u z(v.u zr.ur) = v2rur.ae = v2rur = v2vtur = 0,349t.urLepointMauraitunmouvementcirculaireuniformesilnebougeaitpasdansR

.Donc lacclration est normale centripteae = v2rur = 0,349t.ur.b)ac = 2v v = 2v.u z vur = 2vv.uuc)aM/R=aM/R +ae +ac =0 rv2.ur + 2vv.uu = vv(v.t.ur + 2uu)mme rsultat que pour 3)c.VI. On se place maintenant dans le rfrentiel R(O,x,y,ux,uy).1) R

est en translation par rapport R. On a donc :vM/R =vM/R +Vo = v(ur +vt.uu) + Vou z2)aM/R =aM/R +aC/R =aM/R=rv2.ur + 2vv.uu = vv(v.t.ur + 2uu)EXERCICES CORRIGS1 un instant pris comme origine des dates (t =0), un autobus prend un virage vitesse angulaire constante vo. O est le centre du virage et la distance OA = R. ce moment prcis, un passager P, immobile en A, se prcipite directement vers uneplace assise libre en B, dun mouvement dacclration constante ao (voir gure 2.13).48 Mcanique du pointOuyuxxyA BPFigure 2.131) tude dans le rfrentiel li lautobus RA. Prciser le repre choisi et la nature dumouvement de P. Dterminer, en fonction des donnes et de t, le vecteur acclrationar et le vecteur vitesse vr du point P, ainsi que lquation horaire du mouvement.2)tudedanslerfrentiel terrestreRT. Prciserlereprechoisi. Dterminerlevecteur vitesse vTet le vecteur acclration aTdu point P. Donner lquation de latrajectoire du point P en coordonnes polaires (r = OP en fonction de u).3) En utilisant les lois de composition des vitesses et des acclrations, retrouver lesvecteurs vTet aTpartirdesvecteurs vret ar. Indiquerclairementlesdiffrentstermes intervenant dans ces lois en prcisant leur signication et leur expression.4)Applicationsnumriques:ao=6m.s2, vo=1/6rad.s1, R=120nmetAB = 3 m.Avec quelle vitesse, P atteint le sige B et en combien de temps ? Quelle distance aparcouru lautobus, et de quel angle a-t-il tourn ?O xyx1y1G1A1Figure 2.142 LerepredespaceGx1, Gy1durfren-tiel R1 tourne autour de laxe Oz du rfren-tiel R daxes Ox, Oy, Oz. Le point G dcrit uncercle de rayon a constant, la vitesse angu-laire constante vo. Dans R1 le point A1 dcritun cercle de rayon r et de centre G, avec lavitesse angulaire constantev1(gure 2.14).Exprimerlavitessedentranement deA1,son acclration dentranement et son acc-lration complmentaire.3 Soitdansunplanunrfrentiel Retunrfrentiel R1dontlesrepresdespacesont forms respectivement des axes Ox, Oy et des axes Ox1, Oy1. Le repre Ox1, Oy1tourne la vitesse angulaire v constante, autour de laxe Oz perpendiculaire au plan.Un point M est mobile sur Ox1 selon la loi :OM = r(t)u x1 = (ro cos vt)u x1Changements de rfrentiels 491) Calculer en fonction de ro et v le vecteur vitesse vR1de M dans le rfrentiel R1ainsi que le vecteur vitesse dentranement ve du point M.2) En dduire le module du vecteur vitesse vRde M dans R et langlew dni parw = (OM,vR)3) Calculer le vecteur acclrationaR1 de M dans R1, le vecteur acclration dentra-nement ae du point M, le vecteur acclration complmentaireacet l

acclrationaRde M dans R. Quelle est la valeur de langle C = (OM,aR) ?OCPoxyuxuyFigure 2.154 Un mange de chevaux de bois tourne la vitesseangulaire constante vo=vo.uz. Pour aider un en-fant en difcult sur un cheval de bois reprsentpar le point C, le patron (point P) du mange partducentreOet sedirigeversCdunmouvementdacclration constante ao (gure 2.15).Notation: Rtrfrentiel terrestre(O,u x,u y,u zrepre xe dans Rt) et Rm rfrentiel li au mange.Origine des dates : t = 0. P est en O et part avecune vitesse nulle ; OC concide avec laxe Ox.On utilisera les coordonnes polaires (r, u) pour re-prer P ainsi que la base (ur,uu) pour exprimer lesdiffrents vecteurs.On prendra : a = 1 m.s2v = 15 tours/min OC = ro = 2 m.1) tude dans le rfrentiel Rma) Quelle est la nature du mouvement de P?b) Dterminer le vecteur vitesse de P : VP/Rm.c) Dterminer lquation horaire du mouvement de P : r(t).d) Temps mis pour atteindre C.2) Mouvement du rfrentiel Rm par rapport au rfrentiel Rta) Prciser quel est ce mouvement.b) Donner lquation horaire u(t).3) Mouvement dans le rfrentiel Rta) Donner lexpression du vecteur vitesse de P, VP/Rt en fonction de a, vo et t.b) Mme chose pour le vecteur acclrationaP/Rt.c) Donner lquation de la trajectoire en coordonnes polaires.d) Faireunereprsentation(onprendralesvaleurspourt =0s ;t =0, 5s ;t = 1 s ; t = 1, 5 s et t = 2 s). Reprsenter les vecteurs vitesses.4) Utilisation des lois de composition des vitesses et des acclrations :a) crire la loi de composition des vitesses.b) Exprimer le vecteur vitesse dentranement de Rm/Rt pour le point P.c) Vrier que cette loi redonne bien VP/Rt (3- a).d) Exprimer la loi de composition des acclrations.e) Dterminer lacclration dentranement.50 Mcanique du pointf) Dterminer lacclration de Coriolis ou acclration complmentaire.g) Vrier que cette loi redonne bienaP/Rt (3- c).5 Une mouche M parcourt laiguille des secondes dune horloge avec une acclrationconstante aoet, linstant t =0, elle est au centre O de lhorloge avec une vitessenulle, alors que laiguille indique 0 seconde .R est le rfrentiel terrestre (ou le rfrentiel du mur de lhorloge). Il est dni par(O, x, y, z), repre xe de R. R

est le rfrentiel li laiguille des secondesOX. t = 0, OX concide avec Oy.OnutiliseralescoordonnespolairesdeM, (r, u),etpourexprimerlesdiffrentsvecteurs, la base (ur,uu).1) Mouvement de M dans R

a) Dterminer le vecteur vitesse de M : VM/R .b) Dterminer lquation horaire r(t) du mouvement de M.c) La mouche atteint lextrmit de laiguille qui mesure 20 cm en 60 s. Quelleest la valeur de ao?2) Mouvement de M dans Ra) Donner lquation de la trajectoire en coordonnes polaires.b) Donner lexpression du vecteur vitesse de M,VM/R, en utilisant la loi de com-position des vitesses.c) Donner lexpression de son vecteur acclration aM/Ren utilisant la loi decomposition des acclrations.6 Une roue circulaire de centre C, de rayon a, roule sans glisser sur Ox, tout en restantdans le plan Ox, Oz (gure 2.16).CzxOuxIA uzFigure 2.16Un point A de la roue concide linstant t = 0 avec lorigine O du repre. Le centreC a une vitesse constante Vo.1) Dterminer les coordonnes de A linstant t.2) Calculer Vle vecteur vitesse de A par rapport au sol et tudier ses variations aucours du temps. Pour quelles positions de A ce vecteur est-il nul ?Changements de rfrentiels 513)Soitlevecteurvitesseangulaire Vcaractrisantlarotationdelaroue.Donnerlexpression deV. Calculer le produit vectorielV IA (gure 2.16). Le comparer Vet commenter.4) ReprsenterVsur la gure. Montrer queVpeut tre dcompos en deux vecteursde mme module, lun parallle Ox, lautre tangent la roue.Calculera , le vecteur acclration de A par rapport au sol.5) On peut considrer que le mouvement de A est le rsultat de la composition dedeux mouvements : un mouvement de rotation uniforme autour de laxe Cy de la roue (caractris parle vecteur vitesse angulaireV) ; un mouvement de translation rectiligne uniforme de la roue (vitesse Vou x).Retrouver V et a en utilisant les lois de compositions des vitesses et des acclra-tions.Solutions1 Rfrentiel R li lautobus, repre (A,ur,uu) base xe dans lautobus. P a un mouvementrectiligne uniformment acclr dacclration aodans la direction de A B (direction deur). t = 0, P est en A.ar= ao vr= aot AP = x =12aot2.2) Rfrentiel terrestre RT : repre (O,ur,uu) base mobile des coordonnes polaires.OP = rur= (R + x)ur vT= xur + (R + x)uuu= aotur + (R +12aot2)vouu.aT= xur +xuuu +xuuu (R + x)u2ur= (ao(R +12aot2)v2o)ur + 2aotvouu.On a lquation de la trajectoire : r = R +12aot2et u = vot r = R +12aov2ou2(quation dunespirale).3) Loi de composition des vitesses :Le rfrentiel R est en mouvement de rotation par rapport RT avec un vecteur vitesse angu-laireVR/RT= vouz.vT=vr +ve avecvr= aotur etve=d OAd t+ (VR/RT AP) = (VR/RT OA) + (VR/RT AP)ve= (VR/RTOP) = (R+x)vouu= (R+12aot2)vouu. La vitesse dentranement correspond la vitesse du point P par rapport RT sil tait xe dans lautobus ce moment-l. Il a alors unmouvement circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo, do lexpressiondu vecteur vitesse.On a doncvT=vr +ve vT= aotur + (R +12aot2)vouu.Loi de composition des acclrations :aT=ar +ae +ac avecar= aour etac= 2VR/RT vr= 2vouz aotur= 2aotvouu.52 Mcanique du pointae=d2OAd t2+d VR/RTd tAP +VR/RT (VR/RT AP)=VR/RT (VR/RT OA) +VR/RT (VR/RT AP).ae=VR/RT (VR/RT OP) = vouz (vouz (R + x)ur.ae= v2o(R +12aot2)uu. Lacclration dentranement correspond lacclration du pointPparrapportRTsil taitxedanslautobuscemoment-l. Il aalorsunmouvementcirculaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulairevodo lexpression du vecteuracclration qui est normale la trajectoire et centripte.aT=ar +ae +ac (ao(R +12aot2)v2o)ur + 2aotvouu.4) AB = 3 m=12aot2t =q2ABao= 1 svb= aot = 6 m.s1.Lautobus a tourn dun angle u = vot =16rad= 9, 55 et a parcouru l = Ru = 20 m.2 Le rfrentiel R1 a un mouvement combin de rotation uniforme par rapport au rfrentiel Ravec un vecteur vitesse angulaireVR1/R= vouz et de translation circulaire uniforme (G dcritun cercle de rayon a avec une vitesse angulaire vouz et donc une vitesse linaire vouzOG).Vitesse dentranement de A1 :ve=dOGd t+VR1/RGA1=VR1/ROG +VR1/RGA1=VR1/ROA1OA1=OG +GA1= aur + r cos u1ur + r sin u1uu= (a + r cos u1)ur + r sin u1uuCeci peut aussi sexprimer dans la base (ux,uy) en utilisant :ur= cos uux + sin uuy;uu= sin uux + cos uuy.ve= vouz ((a + r cos