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Mécanique II

Par Tilahun Tesfaye

African Virtual universityUniversité Virtuelle AfricaineUniversidade Virtual Africana

Mécanique II

Université Virtuelle Africaine �

Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.


Table des maTières

I. Mécanique II ______________________________________________ 3

II. Connaissances préalables ____________________________________ 3

III. Échéancier________________________________________________ 3

IV. Matériel didactique _________________________________________ 4

V. Fondements du module______________________________________ 4

VI. Contenu__________________________________________________ 4

6.1 Présentation générale____________________________________ 4

6.2 Sommaire ____________________________________________ 5

6.3 Représentation graphique _________________________________ 6

VII. Objectifs généraux _________________________________________ 7

VIII. Objectifs spécifiques d'apprentissage ___________________________ 7

IX. Évaluation préliminaire ______________________________________ 9

X. Activités d'apprentissage ___________________________________ 16

XI. Concepts-clés (glossaire) ___________________________________ 89

XII. Liste exhaustive des lectures obligatoires _______________________ 93

XIII. Liste exhaustive des ressources pertinentes _____________________ 97

XIV. Liste exhaustive des liens utiles ______________________________ 99

XV. Synthèse _______________________________________________ 104

XVI. Évaluation sommative _____________________________________ 105

XVII. Références bibliographiques _______________________________ 121

XVIII. Biographie de l'auteur ____________________________________ 122

XIX. Structure des fichiers _____________________________________ 123


i. mécanique iiPar Tilahun Tesfaye de l’Université Addis Ababa en Éthiopie

Fig. 1 : La roue de vélo effectue un mouvement de rotation, l’axe tourne autour du point de suspension, afin que le plan de rotation de la roue demeure vertical.

ii. Connaissances préalablesPour bien comprendre les notions contenues dans ce module, il faut avoir complété le module mécanique I.

iii. ÉchéancierLa durée d’apprentissage de ce module est de 120 heures.


iV. matériel didactiqueLe matériel listé ci-dessous est nécessaire pour effectuer les exercices du module.

1. Ordinateur : Un ordinateur personnel équipé d’un logiciel de traitement de texte et d’un tableur électronique.

2. Une balle et une ficelle : Pour les expériences portant sur le mouvement de rotation.

3. Un mètre à mesurer : Pour les expériences portant sur le mouvement de rotation.

V. Fondements du moduleLa physique étudie l’énergie et ses transformations. L’une des manifestations de la transformation de l’énergie apparaît lorsque les objets sont mis en mouvement. Le mouvement a été étudié dans le module mécanique I. Dans ce dernier, l’accent était mis sur la description cinétique et dynamique du mouvement des particules.

Le présent module étudie profondément la notion de mouvement en traitant la dynamique d’un système de particules : le mouvement de rotation de corps rigides et la force gravitationnelle. Le présent module vise à développer la capacité de résolution de problème en utilisant l’équation du mouvement d’un corps rigide en rotation lorsque le mouvement se fait autour d’un axe fixe et lorsque le mouvement se fait autour d’un axe principal. De plus, l’étudiant apprendra à calculer l’énergie cinétique de rotation d’un corps rigide en mouvement de rotation et à utiliser cette forme d’énergie cinétique dans la résolution de problème en utilisant le principe de la conservation de l’énergie.

Vi. Contenu

6.1 Présentation générale

Les principales notions du module de mécanique II sont : les dynamiques d’un sys-tème de particules, le mouvement de rotation et la force gravitationnelle. La première partie du module est consacrée à l’étude de l’impulsion mécanique en relation avec la quantité de mouvement.

Le module se concentre ensuite sur les descriptions cinétique et dynamique du mouve-ment de rotation. De nouvelles variables seront présentées et utilisées pour décrire le mouvement de rotation. Puis, on verra que les équations de mouvement qui décrivent un mouvement de translation ont une contrepartie rotationnelle.


La troisième partie du module met l’accent sur la force gravitationnelle. Jusqu’à maintenant, diverses forces ont été décrites d’un point de vue totalement empirique. Afin d’avoir une compréhension plus unifiée de ces forces et pour acquérir un pouvoir de prédiction plus précis, nous examinerons deux des quatre forces fondamentales qui sont à l’origine de toutes les autres forces. La troisième partie s’intéressera à la force gravitationnelle qui explique l’interaction entre tous les corps astronomiques, le mouvement des planètes et de la Lune, les trajectoires empruntées par les véhicules spatiaux, le mouvement des marées et le poids des objets.

6.2 Sommaire

Dynamiques d’un système de particules (40 heures)

- Quantité de mouvement d’une particule et d’un système de particules.- Conservation de la quantité de mouvement- Impulsion et quantité de mouvement- Conservation de la quantité de mouvement dans les collisions et les explosions

; collisions élastiques et inélastiques- Collisions doubles- Centre de masse et mouvement autour du centre de masse

Mouvement de rotation (35 heures)

- Cinétique de rotation, variables angulaires, relations entre quantité de mou-vement et cinématique angulaire – axe fixe

- Dynamique de la rotation, couple, moment cinétique (d’une particule et d’un système de particules), moment d’inertie, énergie cinétique de rotation

- Conservation du moment cinétique

Force gravitationnelle (25 heures)

- Loi de la gravitation universelle- Le mouvement des planètes et des satellites- Champ gravitationnel et énergie potentielle gravitationnelle, inertie et élément

de masse- Variation de la force du champ gravitationnel selon la latitude et l’altitude- Mouvement des orbites de satellites géostationnaires


Relativité du mouvement (20 heures)

- Vitesse relative- Mouvement relatif transversal- La transformation de Galilée

6.3 Représentation graphique

MechanicsII

A. Dynam ic s o fs ys tem s o f pa rt ic les:

B . R ot at ional Mo t ion:

C. Gra vita tio n:

D. Re lat iv it y of Mo tio n:

L in ear m om entum of part icl e and of a sys tem of part icl es,c onservati on of li n ear m om entum .

Im pul se and li near m om entum ,

Con servation of li near m om entu m in colli sion s and expl osi ons;elast ic and i nelasti c colli s ions; colli s ions in t wo dim ensi ons.

Cent re of m ass and m otion about centr e of m ass.

Rotati onal k inem ati cs, angul ar vari ables,rel ation ship betwee n li near and an gular k in em ati cs - fixed ax i s.

Rotati onal d ynam ic s, t orque, ang ular m omentu m(of a part ic le and a sys tem of p ar ti cl es ),rotat ion iner tia, rot ation al k i netic energ y,

c onservati on of ang ular m omentu m .

The Law of Universal Gravi tati on,

planet an d satelli te m oti on,

grav i tati onal fi e ld and pot ent ia l ,i nert ia and grav it at ional m ass.

V ar iati on i n g rav itati onal fie l d st rengthdue to lati tud e, alt itu de.

Mot ion of pl anets and satelli t es-geostati onary orbi ts. Relati ve vel ocit y.

Relat ive Vel ocit y

Unform Rel ative Tran slati onal Moti on

The Galili an Transform ati on

MechanicsII


Vii. Objectifs généraux

À la fin de ce module, vous devriez être capable de :

- Comprendre les concepts de quantité de mouvement et de mouvement ciné-tique

- Comprendre la dynamique de rotation- Comprendre l’interaction des forces gravitationnelles et comment elles s’ap-

pliquent aux satellites artificiels- Avoir acquis les compétences nécessaires à la résolution de problèmes

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage

Dynamiques d’un système de particules (40 heures)

Objectifs d’apprentissage À la fin de cette section, vous devriez être capable de :

• Quantité de mouvement d’une particule et d’un système de particules.

• Conservation de la quantité de mouvement• Impulsion et quantité de mouvement• Conservation de la quantité de mouvement

dans les collisions et les explosions ; collisions élastiques et inélastiques

• Collisions à deux dimensions• Centre de masse et mouvement autour du centre

de masse

• Faire le lien entre l’impulsion et la quantité de mouvement

• Résoudre des problèmes qui renferment des collisions élastiques et inélastiques, à une ou deux dimensions.

• Définir le mouvement du centre de masse et le mouvement d’un système de particules autour du centre de masse


Mouvement de rotation (35 heures)• Cinétique de rotation, variables angulaires,

relations entre quantité de mouvement et la cinématique angulaire – axe fixe

• Dynamique de la rotation, couple, moment angulaire (d’une particule et d’un système de particules), moment d’inertie, énergie cinétique de rotation

• Conservation du moment cinétique

• Résoudre et utiliser des équations sur le mouvement de rotation

• Comprendre le rapport entre les quantités angulaires et linéaires et le mouvement de rotation autour d’un axe fixe

• Utiliser la formule τ = Iα pour résoudre des problèmes

• Définir ce qu’est le mouvement angulaire et sa conservation

• Résoudre des problèmes de dynamique de la rotation

Force gravitationnelle (25 heures)• Loi de la gravitation universelle• Le mouvement des planètes et des satellites• Champ gravitationnel et énergie potentielle

gravitationnelle, inertie et élément de masse• Variation de la force du champ gravitationnel

selon la latitude et l’altitude• Mouvement des satellites géostationnaires

• Utiliser la loi de la gravitation universelle dans la résolution de problèmes• Définir ce qu’est le champ gravitationnel et l’énergie potentielle gravitationnelle• Faire la différence entre inertie et élément de masse • Calculer la vitesse de libération des satellites

Relativité du mouvement (20 heures)• Vitesse relative• Mouvement relatif transversal• La transformation de Galilée

• Définir la relativité du mouvement• Utiliser la transformation de Galilée pour la résolution de problèmes


iX. Évaluation préliminaire

Êtes-vous prêt à suivre le module de Mécanique II ?

À l’étudiant :

Dans cette section, une auto-évaluation vous permettra de vérifier si vous avez les connaissances nécessaires pour commencer le présent module. Il est important que vous suiviez les recommandations qui vous seront faites selon votre résultat. Prenez le temps de répondre au questionnaire.

Au professeur :

L’évaluation préliminaire sert à évaluer si l’étudiant possède les connaissances préalables à ce module. Il est fortement suggéré de suivre les recommandations qui correspondent au résultat que l’étudiant aura obtenu. En tant que professeur, vous devriez encourager l’étudiant à répondre à toutes les questions de l’évaluation. Des recherches en pédagogie démontrent que ce type d’exercice aide l’étudiant à être mieux préparé et à exprimer clairement les connaissances qu’il a déjà acquises.

Auto-évaluation

Cette évaluation vous permettra de savoir si vous possédez les connaissances préa-lables à la réalisation du module Mécanique II. Si vous obtenez un résultat supérieur ou égal à 60 sur 75, vous êtes prêt à commencer le présent module. Si votre score se situe entre 40 et 60, vous devriez réviser la notion de chaleur dans le domaine de la physique. Si votre résultat est inférieur à 40 sur 75, vous devriez suivre un cours de base en physique.

Répondez aux questions suivantes

1. Une personne parcourt une distance d en mètres qui correspond à la formule

(5m/s2 )t2 dans laquelle t est en secondes. Parmi les énoncés suivants, choisissez ceux qui sont vrais.

a) Sur une période de 10 secondes, la distance parcourue est de 500 mètresb) Sur une période de 10 secondes, la vitesse moyenne d’une personne est de

50 m/sc) Sur une période de 10 secondes, la vitesse moyenne d’une personne est de

100 m/s

d) Si 10t = s, la vitesse instantanée d’une personne est de 100 m/s

Université Virtuelle Africaine �0

2. La position d’une particule qui se déplace en suivant l’axe x dépend de la durée. Le modèle de l’équation suivante est sur quatre secondes, x est en mètres et t en secondes.

x = 4t2 − 2t3 +

t4

4 Parmi les énoncés suivants, choisissez ceux qui correspondent à cette formule.

a) La particule atteint sa position maximale x en 2 secondesb) Sur une période de 4 secondes, le déplacement de la particule est de zéroc) Sur une période de 4 secondes, la particule parcourt une distance de 8 mètresd) Après 2 secondes, la vitesse de la particule est de zéro

3. Parmi les énoncés suivants, choisissez ceux qui sont vrais.

a) Un projectile lancé de la Terre suit une trajectoire circulaireb) Un projectile lancé de la Terre suit une trajectoire paraboliquec) Un projectile atteint sa vitesse minimale au plus haut point de sa trajectoired) Un projectile atteint sa vitesse maximale au plus haut point de sa trajectoire

4. Une particule est entraînée par une force de grandeur constante qui est toujours perpendiculaire à la vitesse de la particule. Si l’on considère que le mouvement de la particule suit celui d’un avion, la particule :

a) A une vitesse constanteb) A une accélération constantec) A une énergie cinétique constanted) Se déplace en suivant une trajectoire circulaire

5. Une piste circulaire est conçue pour s’y déplacer à une certaine vitesse, mais une particule parcourt cette piste à une vitesse moindre. La force de frottement à angle droit par rapport à la direction du mouvement :

a) Est totalement absenteb) Agit en suivant la route vers l’extérieurc) Agit vers l’extérieur selon l’horizontaled) Agit en suivant la route vers l’intérieur

Université Virtuelle Africaine ��

6. Si deux forces égales ont une résultante égale à la grandeur de chacune de ces forces, alors l’angle entre ces deux forces est de :

a) 0o

b) 60o

c) 190o

d) 120o

7. Un corps solide flotte dans un liquide d’une densité de 0,8. Le corps solide a 2/5 de son volume exposé à l’air, sa masse volumique est donc de :

a) 0,6 g/cm3

b) 0,48 g/cm3

c) 0,4 g/cm3

d) 0,32 g/cm3

8. Parmi les énoncés suivants, choisissez celui qui indique que la voiture n’a pas accéléré.

a) La voiture monte une pente raide et sa vitesse chute de 60 km/h une fois arrivée au sommet

b) La voiture tourne un coin à une vitesse constante de 29 km/hc) La voiture monte une pente raide à une vitesse constante de 40 km/hd) La voiture monte une pente raide, passe le sommet et descend l’autre côté de

la pente à une vitesse constante de 40 km/h

9. Quelle loi du mouvement rend la nage possible?

a) La deuxièmeb) La premièrec) La troisièmed) Aucune

10. Un projectile est lancé à un angle de 37 ° à une vitesse initiale de 100 m/s. Quelle est sa composante de vitesse verticale après 2 secondes?

a) 80m/secb) 40m/secc) 60m/secd) 100m/sec


11. Un projectile est lancé à un angle de 37 ° à une vitesse initiale de 100 m/s. Quelle est sa composante de vitesse verticale après 2 secondes ?

a) 80 m/sb) 40,4 m/sc) 60 m/sd) 29,6 m/s

12. Dans la question 11, la position du projectile au-dessus du sol après 3 secondes est d’environ :

a) 140 mb) 200 mc) 136 md) 120 m

13. Un projectile est lancé horizontalement à une vitesse initiale de 20 m/s. Trois secondes plus tard, sur le plan horizontal, sa vitesse est de :

a) 20 m/s b) 6,67 m/s c) 60 m/s d) 29,4 m/s

14. Sur le plan vertical, la vitesse de ce même projectile après 3 s est d’environs :

a) 9,8 m/sb) 60 m/sc) 29,4 m/sd) 20 m/s

15. Lequel de ces angles de projection permettra le plus long parcours?

a) 37 °b) 20 °c) 48 °d) 60 °


16. Un bloc de 10 kg est soulevé à 20 m au-dessus du sol à l’intérieur d’un champ gravitationnel. Celui-ci a :

a) Un effet négatifb) Un effet égal à l’énergie potentielle finale c) Un effet positifd) Une quantité vectorielle

17. Un corps en équilibre peut ne pas avoir de :

a) Quantité de mouvementb) Vecteur vitessec) Accélérationd) Énergie cinétique

18. Le watt-seconde est :

a) Une quantité de mouvementb) Une forcec) Une énergied) Une puissance

19. Une tête de hache de 2,5 kg exerce une force de 80 kN lorsqu’elle s’enfonce de 18 mm dans un tronc d’arbre. La vitesse de la tête de hache lorsqu’elle frappe l’arbre est de :

a) 1,2 m/sb) 34 m/sc) 3,4 m/sd) 107 m/s

20. Une masse de 50 kg a une énergie potentielle de 4,9 kJ par rapport au sol. La hauteur de la masse au-dessus du sol est de :

a) 10 mb) 98 mc) 960 md) 245 m


Réponses

1. A, C, D

2. A, B, C, D

3. B, C

4. C, D

5. B

6. D

7. B

8. C

9. C

10. B

11. B

12. C

13. A

14. C

15. C

16. A

17. C

18. C

19. C

20. A


Remarque aux étudiants

Beaucoup d’étudiants croient à tort que la mécanique est difficile à comprendre. Cette croyance ne provient pas d’un manque d’information ou de concepts théoriques, mais bien de l’absence d’idées claires et justes quant aux relations entre les concepts de la physique. Les étudiants ont souvent du mal à préciser ce qui forme la base d’une définition, ce qui est le résultat d’une expérience ou ce qu’il faudrait traiter comme une généralisation théorique d’un savoir empirique.

Il faut savoir déterminer si un fait s’impose comme une évidence ou non. Il est aussi capital de ne pas prendre différentes formulations d’un même problème pour des lois différentes. De là l’importance de résoudre autant de problèmes que possible et de prendre le temps de bien faire les exercices et les autoévaluations suggérés dans le présent module.

Des recherches sérieuses effectuées récemment ont démontré que les étudiants les plus performants en physique (et en d’autres matières) sont ceux qui s’engagent à fond dans le processus d’apprentissage. Cette implication peut prendre plusieurs for-mes : écrire des questions en marge de vos lectures, poser des questions par courriel, participer à des forums de discussion portant sur la physique, etc.

Pour conclure…

La physique n’est pas seulement un ensemble de faits, elle est une façon de voir le monde. L’auteur de ce module espère qu’en plus de vous apprendre des notions de mécanique, ce cours vous permettra d’améliorer votre faculté de raisonnement, votre habileté à résoudre des problèmes et votre capacité à communiquer de façon précise. Dans ce cours, vous vous exercerez à faire des explications qualitatives, des estima-tions numériques rapides et la résolution méthodique de problèmes quantitatifs. Si vous parvenez à comprendre un phénomène selon tous ces angles et que vous pouvez l’expliquer clairement à d’autres, alors vous « pensez comme un physicien », comme nous nous plaisons à le dire. Même si vous finissez par oublier toutes les notions apprises dans ce cours, les compétences que vous aurez acquises vous serviront tout au long de votre vie.


X. activités d’apprentissage

Activité 1 : Dynamiques d’un système de particules

Il vous faudra 40 heures pour compléter cette activité. Au cours de celle-ci, vous passerez à travers une série de lectures, de capsules multimédias, d’exemples d’exer-cices et de questions lors d’autoévaluations. Il est fortement conseillé de faire tous les exercices proposés et de consulter le matériel pédagogique, les liens utiles et les références.

Objectifs d’apprentissage

— Faire le lien entre l’impulsion et la quantité de mouvement— Résoudre des problèmes qui renferment des collisions élastiques et non élas-

tiques, à une ou deux dimensions.— Définir le mouvement du centre de masse et le mouvement d’un système de

particules autour du centre de masse

Sommaire de l’activité d’apprentissage

Les problèmes dans lesquels ont retrouve la collision de corps sont difficiles à ré-

soudre si l’on tente d’appliquer la seconde loi de Newton

r

F∑ = mr

a parce que les forces qui agissent entre les corps qui se rencontrent ne sont pas totalement connues. Dans cet exercice, il n’est pas nécessaire de connaître les forces et leur durée pour analyser le mouvement d’un système de particules interdépendantes. Nous définirons

et utiliserons plutôt la notion de l’impulsion comme suit : J = Δp

Afin de pousser plus loin notre compréhension de la mécanique, il faut commencer par observer les interactions de plusieurs particules à la fois. Il faut d’abord définir et examiner un nouveau concept, le centre de masse, qui nous permet de faire des calculs mécaniques pour un système de particules.

Lectures obligatoires

Les lectures libres de droits d’auteurs devraient être fournies aux étudiants en version électronique sur support CD en même temps que le module.


Lecture 1 : Momentum in One Dimension

Référence complète : Conservation of Momentum Version HTML de Simple Nature, par Benjamin Crowell. URL : http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch03/ch03.html#Section3.1 Page visitée le 20 avril 2007

Résumé

Cette lecture est un extrait d’un livre de Benjamin Crowell qu’il est possible de consulter en ligne à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’extrait recom-mandé est pertinent à la présente activité d’apprentissage.

Fondement

La lecture recommandée contient plusieurs illustrations sur la quantité de mouvement. Le mouvement du centre de masse est aussi représenté à la fin du document. On y trouve une façon particulière de voir les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Les exemples tirés de la nature, portant par exemple sur les comètes, sont intéressants et éducatifs.

Lecture 2 : Momentum Conservation and Transfer

Référence complète : Momentum Conservation and Transfer De : Project PHYSNET PDF Modules URL : http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m15.pdf Page visitée le 20 avril 2007

Résumé

Dans ce document, on trouve la définition de la quantité de mouvement pour une particule et un système de particules. À l’aide des lois de Newton et de la définition de la quantité de mouvement, il est démontré que la quantité de mouvement d’un système de particules isolé reste inchangée avec le temps (c.-à-d. conservé).

Fondement

Ce document traite du contenu de la présente activité d’apprentissage. On y voit d’une façon différente les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Les exercices fournis à la fin du document peuvent aider à appliquer les notions et principes étudiés à différentes situations.


Ressources pertinentes à l’activité d’apprentissage

Exercices interactifs en ligne, vidéos, animations, etc.

Ressource 1

Titre : Motion of Center of Mass

URL : http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/CM/CMApplet.html

Capture d’écran :

Description : L’applet montre le mouvement du centre de masse d’un objet en forme d’haltère. Le point rouge et le point bleu représentent deux masses et sont liés par une tige. La vitesse de projection de l’haltère peut être changée en utilisant les barres de défilement correspondant à la vitesse et à l’angle de projection. La barre de défilement du rapport de masse permet de décaler le centre de masse. Dans l’image, m

1 est la

masse de l’objet bleu et m2, celle de l’objet rouge. Cochez les cases de trajectoire 1

et 2 pour faire apparaître ou disparaître les trajectoires des deux masses.

Fondement : L’applet illustre le mouvement du centre de masse de deux points (en rouge et en bleu). La vitesse et l’angle de projection peuvent être changés.


Liens utiles à l’activité d’apprentissage

Liste de liens qui apportent un point de vue différent sur la matière de l’activité d’apprentissage. Chaque lien est accompagné d’une capture d’écran.

Lien 1 : Classical Mechanics

Titre : All Thermodynamics

URL : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/


Description : Portrait approfondi des sujets abordés en mécanique I et II.

Fondement : Ce site Web aborde de façon claire la plupart des notions de mécanique dans le domaine de la physique. L’étudiant devrait consulter les chapitres 7, 8 et 9 du livre, dont on peut consulter la version PDF.


Description détaillée de l’activité d’apprentissage

Introduction

Dans le module de mécanique I, vous avez étudié les forces qui agissent sur les corps et les particules ainsi que leur effet. Ces forces agissent sur leurs points d’appui pour une durée assez longue pour être mesurées. Dans certains phénomènes, l’interaction entre les corps est si rapide qu’il est difficile d’en mesurer les forces produites ou la durée de l’interaction. Par exemple, combien de temps dure la collision entre deux boules de billard ? Quelle est la force appliquée par une balle sur une autre ? Ce sont des questions auxquelles il est difficile de répondre. Devrions-nous abandonner l’idée de calculer le résultat des collisions ? Devrions-nous laisser cela à l’expérience et l’intuition du joueur de billard ? La physique ne laisse pas tomber si facilement la possibilité d’expliquer un phénomène.

Dans un cas comme celui des boules de billard, les notions de quantité de mouvement et d’impulsion, en plus des conditions où la quantité de mouvement est conservée, nous permettront de prédire la vitesse et la direction du mouvement après l’interaction.

Les quantités scalaires du travail et de l’énergie ne sont pas associées à des direc-tions. Lorsque deux ou plusieurs corps interagissent entre eux, ou lorsqu’un corps se fractionne en deux ou plusieurs autres corps, les différentes directions de mouvement ne peuvent être liées seulement à l’énergie. Les quantités vectorielles qu’on appelle quantité de mouvement et impulsion doivent aussi être analysées.

Quantité de mouvement et impulsion

Dans le module de mécanique I, les notions de travail et d’énergie ont été abordées selon les lois du mouvement de Newton. Nous verrons maintenant les notions de quantité de mouvement et d’impulsion qui proviennent aussi de ces lois.

Une particule de masse m se déplace à une vitesse vr

. Supposons qu’une force

constante Fr

agit en suivant la trajectoire du mouvement, alors

tavvrrr

+= 0 en multipliant les deux termes de cette équation par m nous obtenons

mr

v = mr

v0 +r

F t ⇒ mr

v − mr

v0 =r

F t

⇒ Δr

p =r

F t


r

v =r

vo

+r

at en multipliant les deux côtés de cette équation par nous obtenons

mvr

= mvr

0 + Fur

t

⇒ mvr

− mvr

0 = Fur

.t

⇒ Δ pur

= Fur

t

La quantité de mouvement d’une particule est le produit de sa masse et de sa vitesse linéaire

vmprr

= valable uniquement pour vr

<< à la vitesse de la lumière C

r

P = mr

v valid only for r

v << the speed of light c

⇒ px

= mvx; p

y= mv

y; p

2= mv

2

L’impulsion d’une force est le produit d’une force et de l’intervalle de temps Δt de temps durant lequel elle agit, c.-à-d.

r

j = Δr

p

En termes de ces deux quantités nouvellement définies

Δ pur

= Jur

= Fur

.t

Notez que l’équation ci-dessus fonctionne indépendamment pour les composants c.-à-d.

Δpx

= Jx

= Fx.t

Δp4

= J4

= F4.t

Δp2

= J2

= F2.t

La quantité de mouvement d’une particule peut aussi être liée à la force nette qui agit sur la particule, comme suit

r

F = mr

a = mdr

v

dt=

d

dt(m

r

v) =dr

p

dt⇒ d

r

p =r

Fdt


En intégrant cette dernière formule, le changement de la quantité de mouvement d’une particule est

Δ pur

= pur

f − pur

i = Fur

ti

t f

∫ .dt

La quantité Fur

ti

t f

∫ .dt est appelée l’impulsion de la force F

ur

pour Δt = Δ

f− t

i

I = F

ur

ti

t f

∫ .dt = Δp Impulsion – Théorème de la quantité de mouvement

Comme la force peut généralement varier selon le temps, il est approprié de déterminer une moyenne temporelle de la force

Fur

=1

Δt⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟Fur

ti

t f

∫ .dt

⇒ I = Δr

p = Fur

Δt

Conservation de la quantité de mouvement

Deux particules peuvent interagir ensemble, mais sont isolées de leur environne-ment


F12

= la force sur la particule 1 due ˆ la particule 2

F21

= la force sur la particule 2 due ˆ la particule 1

On applique la seconde loi de Newton

F12

=dp

1

dt, and

F21

=dp

2

dt

Ces forces peuvent avoir différentes origines (gravitationnelles, électromagnétiques, etc.).

Puisqu’elles sont des paires action-réaction

F12

+ F21

= 0

dp1

dt+

dp2

dt=

ddt

( p1

uru

+ p2

uru

) = 0

⇒ quantité de mouvement totale (r

p) =r

p1

+r

p2

= constant.

⇒ pix

= pfx

piy

= pfy

piz

= pfz

Lorsque la quantité de mouvement totale d’un système est conservée, il s’agit de la loi de la conservation de mouvement.

Exemple 1 : Quantité de mouvement et impulsion

Un enfant fait rebondir une balle sur le trottoir. L’accélération linéaire de la balle qui rebondit sur le trottoir est de 2 ns durant 1/800 de seconde de contact. Quelle est la grandeur de la force moyenne exercée sur la balle?


Solution

Si: I = 2Ns and Δt =1

800sec.

Par définition :

I = Fav

Δt

Alors la force moyenne exercée sur la balle est de Fav

=2

1800

= 1600N.

Exemple 2 : Une balle d’acier de 3 kg frappe un mur massif à une vitesse de 10 m/s, à un angle de 60 ° comme dans l’image ci-dessous. Si la balle est en contact avec le mur pour 0,2 seconde, quelle est la force moyenne exercée par la balle sur le mur?

Solution

ΔpΔt

= Fav

=p

f

2 + pi

2 + pip

f

Δt

=302 + 302 + 2 × 30 × 30cos

0.02= 260N . en direction horizontale.


Le système de particules

Jusqu’à maintenant, nous avons simplifié les interactions entre particules en consi-dérant que ces particules étaient des points. Cette façon de faire a ses limites pour deux raisons :

- La plupart des objets ont une forme plus complexe qu’un simple point- Les systèmes à débit massique ne pourraient pas être traités (propulsion de

fusée, explosion, etc.)

Dans cette section de l’activité d’apprentissage, nous généraliserons les lois du mouvement afin de passer outre ces difficultés. Commençons par revoir la seconde loi de Newton

r

F = mr

a =ddt

mr

v( ) = md

r

Pdt

Nous préférons cette version de la seconde loi parce qu’elle s’applique aux systè-mes complexes et parce que la quantité de mouvement s’avère être un élément plus essentiel que m ou v pris séparément.


Voici quelques définitions de termes utilisés dans ce module :

Système : Un système est un ensemble de substances ou d’objets interdépendants formant un tout, gouverné par les lois de la physique. Par exemple, le système solaire est gouverné par la loi de la gravitation.

Système fermé : Un système fermé n’a pas d’interaction avec son environnement.

Force externe : Une force externe est une force exercée sur un système, ou une partie d’un système, par un corps ou un organisme à l’extérieur du système.

Prenons un système de N particules qui interagissent avec des masses

m1, m

2, m

3... m

N

La thj particule se trouve en position jrur

, la force de la particule thj est de jfur

, et

sa quantité de mouvement est de jj vmprr

= .

L’équation du mouvement de la particule emeJ est donc :

externej

ernejj ff

dtpd

frr

r

r

+== int

La force de la particule j peut être séparée en deux termes (force interne et force externe)

Si l’on ajoute toutes les équations de mouvement de toutes les particules du système, on obtient :

r

f1

int +r

f1

ext =d p

1

uru

dtM

r

fj

int +r

fj

ext =d p

j

uru

dtM

r

fN

int +r

fN

=d p

N

u ru

dt

⇒r

fj

int∑ +r

fj

ext∑ =d p

j

uru

dt, j = 1, 2, 3, Ln∑


fj

ext∑ = la somme de toutes les sommes externes qui agissent sur toutes les particules

= la totalité de la force externe qui agit sur le système

=r

Fext

fj

int∑ = la somme de toutes les forces internes qui agissent sur toutes les particules

= 0 Selon la troisième loi de Newton

Selon la troisième loi de Newton, les forces entre deux particules sont égales et opposées. Les forces internes d’un système de particules s’annulent lorsqu’elles forment des paires.

Donc fj

ext∑ = Fur

ext =d pur

dt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∑

=ddt

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟pur

∑ jQ la dérivée d'une somme est la somme des dérivées

Si p

j= p

ur

∑ représente la quantité de mouvement totale du système, alors la dernière équation dévie :

r

Fext =dr

pdt

La force externe totale qui agit sur un système de particules est égale au taux de changement temporel de la quantité de mouvement totale. On constate ici le manque

de détails concernant les interactions. En effet, extFur

peut tout aussi bien être une force unique qui agit sur une particule unique que le résultat de plusieurs éléments qui interagissent.


Le centre de masse des particules

La notion de centre de masse nous permet de définir le mouvement d’un système de particules par le mouvement d’un simple point. Nous utiliserons le centre de masse pour calculer la cinématique et les dynamiques d’un système en le considérant comme un tout, sans prendre en compte le mouvement individuel de chacune des particules du système.

Nous expliquerons ce qu’est le centre de masse du système de particules le plus simple, qui contient seulement deux particules, et nous l’appliquerons ensuite à des systèmes contenant plusieurs particules.

Le centre de masse de deux particules en une dimension

Si une particule de masse 1m a une position 1x et qu’une particule de masse 2m a une position 2x , alors la position du centre de masse des deux particules est de :

xcm

=m

1x

1+ m

2x

2

m1

+ m2

La position du centre de masse est un point dans l’espace qui ne fait pas nécessairement partie d’une ou l’autre des particules. On peut comprendre intuitivement ce phéno-mène en reliant de façon imaginaire les deux particules à une barre rigide. Si vous tenez cette barre à l’endroit où se trouve le centre de masse, les particules devraient s’équilibrer. Ce point d’équilibre n’existera pas entre tous les éléments.

Centre de masse d’un système de deux particules sur plus d’une dimension

La notion de centre de masse peut être poussée plus loin si l’on y ajoute des éléments de vitesse et d’accélération :

Si l’on prend une simple dérivée de temps cmx , on constate que :

vcm

=m

1v

1+ m

2v

2

m1

+ m2

Voici une autre variation, mais cette fois en fonction de l’accélération :


acm

=m

1a

1+ m

2a

2

m1

+ m2

Avec ces trois équations, nous avons généré les éléments nécessaires à la cinématique d’un système de particules.

De plus, il est possible de pousser plus loin la dernière formule que nous avons vue afin d’en faire ressortir les dynamiques du centre de masse. Prenons deux particules qui interagissent entre elles dans un système qui n’a pas de force externe. La force

exercée sur 2m par 1m se nomme 21F , et la force exercée sur 1m par 2m se nomme

12F . En appliquant la deuxième loi de Newton, il est possible de dire que F

12= m

1a

1

et que F

21= m

2a

2. On peut maintenant intégrer cela à la formule de l’accélération

du centre de masse :

acm

=F

12+ F

21

m1

+ m2

Par contre, selon la troisième loi de Newton, 12F et 21F sont des forces en réaction,

et F

12= −F

21

Donc, a

cm= 0 . Donc, si un système de particules ne subit aucune force externe, le

centre de masse du système se déplacera à une vitesse constante.

Qu’arrive-t-il s’il y a une force externe? Comment peut-on prédire le mouvement

du système ? Prenons encore notre exemple de système à deux particules, avec 1mqui reçoit une force externe de 1F et 2m qui reçoit une force de 2F . Il faut continuer

à tenir compte des forces entre les deux particules, 21F et 12F . Selon la deuxième loi de Newton :

F1

+ F12

= m1a

1

F2

+ F21

= m2a

2

Si l’on intègre cette formule dans l’équation de l’accélération du centre de masse, on obtient :


F1

+ F2

+ F12

+ F21

= m1a

1+ m

2a

2

⇒ F1

+ F2

= m1a

1+ m

2a

2= m

1+ m

2( ) acm

⇒ Fexternal∑ = m

1+ m

2( ) acm

= Macm

Cette équation a une forte ressemblance avec la deuxième loi de Newton. L’ensemble de l’accélération d’un système de particules, sans tenir compte du mouvement indi-viduel de chaque particule, peut être calculé avec cette équation. Prenons maintenant une particule unique de masse M placée au centre de masse d’un système. Exposée aux mêmes forces, la particule unique accélérera de la même façon que le fera le système. Ceci nous amène à voir un énoncé très important : Le mouvement d’ensemble d’un système de particules peut être déterminé en appliquant les lois de Newton, si l’on considère que la masse du système est concentrée au centre de masse et que les forces externes agissent directement sur ce point.

Systèmes de plus de deux particules

Une simple expansion de notre équation à deux particules à un système de n particules permettra de voir la masse totale du système M

M = m

1+ m

2+ m

3+ L + m

n

Avec cette définition, il est possible d’énoncer simplement les équations pour trouver la position, la vitesse et l’accélération du centre de masse d’un système à plusieurs particules de la même façon qu’on l’a fait avec le système à deux particules. Donc, pour un système de n particules :

xcm

=1

Mm

nx

n∑

vcm

=1

Mm

nv

n∑

acm

=1

Mm

na

n∑F

ext= Ma

cm∑


Quelques explications sur ces équations s’imposent, puisque leur forme est identi-que à celle des équations pour les systèmes à deux particules. Toutes ces équations concernant les dynamiques du centre de masse peuvent être confondues , mais nous clarifierons tout cela par un court exemple.

Prenons un missile composé de quatre parties, qui fait une trajectoire parabolique dans les airs. À un certain moment, un mécanisme installé dans le missile le fait ex-ploser en quatre parties. Chacune d’elles emprunte une direction différente, comme on peut le voir ci-dessous :

Figure : Un missile qui explose en plusieurs morceaux.

Que peut-on dire à propos du mouvement des quatre parties du système ? Nous sa-vons que toutes les forces appliquées sur les parties du missile jusqu’à l’explosion étaient internes, et ont donc été annulées par une autre force réactionnelle; c’est la troisième loi de Newton. La seule force extérieure qui agit sur le système est la force de gravitation, et elle agit de la même façon avant et après l’explosion. Donc, même si après l’explosion les pièces du missile volent dans des directions imprévisibles, il est tout de même possible de prévoir que le centre de masse de ces quatre pièces continuera la trajectoire parabolique qu’il avait empruntée avant l’explosion.

Cet exemple démontre la force de la notion du centre de masse. Avec cette notion, il est possible de prévoir le comportement potentiel d’un groupe de particules qui em-prunteront des directions imprévisibles. Nous savons maintenant comment calculer le mouvement d’un système de particules si on le considère comme un tout. Cependant, pour pouvoir réellement expliquer le mouvement, il faut aussi trouver une loi pour déterminer la façon dont chacune des particules réagira. Pour ce faire, la notion de quantité de mouvement sera expliquée dans la prochaine section.


Conservation de la quantité de mouvement (dans un système de particules)

Nous avons vu que le taux de variation de la quantité de mouvement d’un corps est proportionnel à la force résultante qui agit sur le corps, et va dans la même direction que cette force :

=fr

dr

pdt

Pour un système de n particules

=pr

n

ppprrr

+++ ....21

= 11vm

Quand la résultante de la force externe qui agit sur le système est de zéro, le vecteur total de la quantité de mouvement du système reste constant. C’est le principe de conservation de la quantité de mouvement.

pur

= pur

1 + pur

2 +L pur

n

= m1vr

1 + m2vr

2 +Lmnvr

n = MVcm

i.e. Quantité de mouvement totale

d'un système de particules

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

masse totale

du système

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ ×

Vitesse du centre

de masse du système

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⇒d

r

Pdt

= Mdr

vcm

dt= M

r

acm

⇒r

Fext

=d

r

Pdt

= 0, quand aucune force externe n'agit sur le système


Système de masse variable :

v

M

y

x

y

xv+Δv

M-ΔmΔm

Figure : La masse m se déplace à la vitesse v.

La figure ci-dessus montre la masse m qui se déplace à la vitesse v. Après un certain temps, une masse Δm est éjectée à une vitesse u dans la direction opposée de celle

de v. Pour ce système de masse variable, il est possible d’écrire F

ext=

d pur

dt qui

est le résultat approximatif de

Fext

;

Δ pur

Δt=

pur

f − pur

i

Δt; [( M − ΔM )(v + Δv) + ΔMu] − [ Mv]

= MΔvΔt

+ [u − (v + Δv)]ΔMΔt

as Δt → 0

Fext

= MdMdt

+ vdMdt

− udMdt

Note : Cette équation est une forme simplifiée de la loi de conservation de la quantité de mouvement.

Exemple 3 : Une grenade, qui vole à l’horizontale à une vitesse de 12 m/s, explose en deux fragments qui ont respectivement pour masses 10 kg et 5 kg. La vitesse du plus gros fragment est de 25 m/s et forme un angle de 330 ° avec l’axe horizontal. Trouvez la direction et la vitesse du plus petit fragment.


Solution : La figure ci-dessous représente la situation donnée.

Exemple 4 : Un corps dont le poids est de 4N repose sur un plan horizontal lisse et il est frappé par une force de 2N qui dure 0,02 seconde. Trois secondes plus tard, il est poussé par une autre force de -2 N qui dure 0,01 seconde. Quelle sera la vitesse du corps après 4 secondes ?

Solution : Les forces dans ce problème sont :

Pour chaque t>3,01 secondes est la somme des deux surfaces

i.e Jr

∑ = (2 × 0.02) + (0.01× (−2)) = 0.02N − sec

⇒ 0.02N .sec =4

9.8(v − 0) ⇒ v = 0.049m/ s

Quantité de mouvement

totale avant l'explosion

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

Quantité de mouvement

totale après l'explosion

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

(Ptot

)before

=(Ptot

)after

⇒ (15 × 12)r

i=(250 cos 30 + 5 v cos θ)ir

+ (−250sin30 + 5vsinθ) jr

0 ⇒ 5v sin θ=125

⇒ vsin θ=25

⇒ 180 =216.5 + 5v cos θ ⇒ vcos θ =-7.3L(2)

(1) ÷ (2) ⇒ tan θ =25/-7.3 = -3.4247 ⇒ θ=-73.720 =

tan est – ve dans les 4e et 2e cadrans. Pour le problème, nous utilisons l'angle du 2e

∴ en utilisant la valeur de θ dans (1)

v=25

sin 6=

25

sin106.28= 26m/ s


Exemple 5 : Un cours d’eau ayant une surface transversale de 2000 mm2 , dont l’eau s’écoule à une vitesse de 10 m/s sur le plan horizontal, frappe une turbine fixe. Si l’on considère que la vitesse de l’eau par rapport à l’aube est constante (aucune friction), déterminez les composantes verticales et horizontales de la force de l’aube agissant sur le cours d’eau.

Solution :

"' vvrr

= , mais les dimensions sont différentes

La masse m de toutes les particules de l’eau dans un intervalle de temps Δt est

m= AvgΔt A = surface , v vitesse, p-densité de l'eau

= (2000 × 10−6 m2 )(10m/s)(103kg/m3 )=20(Δt)

on utilise Jr

= Δ pur

dans les directions x et y

FxΔt = m(v

x

11 − vx

1 ) = (20Δt)(−10cos45 − 10) = (20Δt)(−17.07)

FyΔt = m(v

y

11 − vy

1 ) = (20Δt)(−10 sin 45 − 0) = (20Δt)(7.07)

∴ Fx

= −341.4N ; Fy

= 141.4N


Exemple 6 :

Prenons le mouvement de 0 à A

v11

= vog − gtob

⇒

tob

=v

0sin45

gL(1)

x1

= vox

.tob

= (v0cos45)(

v0sin45

3)L(3)

v11

= v0-gt

ob

Lorsque le projectile explose au point A, la vitesse suivra la trajectoire x.

i.e.

v

0cos45m(v

0cos45) =

m

2v

f by cons of mom and where fv is the v of the flying frag.

⇒ vf

= 240cos45

∴ x2

= (240cos45)tob

since the fine of fall is

= (240 cos 45)v

0sin45

g=

v2

0sin45cos45

g

⇒ xtot

= x1

+ x2

=v2

0sin45cos45

g+

2v2

0sin45cos45

g=

v2

0sin45cos45

g[1+ 2]

=3v2

0sin45cos45

g= 1.055 × 105 ft


Résolvez les problèmes suivants

Tâche 1.1 La distance franchie par un fragment après une explosion

Un projectile est tiré d’un fusil à un angle de 45 ° par rapport à l’horizontale, et à une vitesse de 1500 pi/sec lors de sa sortie de la bouche du canon. Lorsqu’il atteint le plus haut point de son vol, le projectile explose en deux fragments de masse égale. L’un des fragments a une vitesse initiale de zéro et tombe verticalement. À quelle distance l’autre fragment atterrira-t-il si l’on suppose que le terrain est toujours de même niveau?

Réponse : = 1.055 × 105 ft

Tâche 1.2 La masse d’un bateau qui recule

Quatre filles qui ont une masse de 50 kg chacune plongent horizontalement à 2,5 m/s du même côté du bateau. Celui-ci recule à une vitesse de 0,1 m/sec. Quelle est la masse du bateau?

Réponse : 5000 kg

Tâche 1.3 Thèmes de discussion

Discutez des questions suivantes sur le forum de discussion

1. Pourquoi un fusil recule-t-il après que la balle soit partie ?2. Vous attrapez une balle de baseball. Puis, quelqu’un vous invite à attraper une

balle de fusil qui possède la même quantité de mouvement ou avec la même énergie cinétique. Choisirez-vous d’attraper la balle de baseball ou la balle de fusil ?

3. Ce n’est pas la chute qui fait mal, c’est ce qui l’arrête. Discutez.

Tâche 1.4 Expérience avec des boules de billard

Avez-vous déjà joué au billard ? Si vous ne l’avez jamais fait, essayez-le à titre expérimental. Une boule (b1) en mouvement entre en collision avec une boule (b2) qui était immobile. Tout de suite après la collision, b2 se déplace à la même vitesse que b1 tandis que b1 s’arrête.


Essayez cela avec des boules de différentes masses et déterminez la relation entre les masses des boules. Utilisez la loi de la conservation de la quantité de mouvement pour appuyer vos réponses de façon mathématique.

Évaluation formative 1

1. Les blocs A et B ont respectivement pour masses 10 kg et 20 kg. S’ils se déplacent à la vitesse inscrite sur le schéma, déterminez leur vitesse commune lorsqu’ils entreront en collision et se colleront l’un à l’autre.

.

A10kg

2m/sec 4m/sec

a. 2 m/s à droiteb. 2 m/s à gauchec. 3,33 m/s à gauched. 4 m/s à gauche

2. Supposons que la population totale du monde se rassemble à un endroit et qu’au son d’un signal déterminé, tout le monde saute en même temps. Pendant que tout le monde est dans les airs, est-ce que la Terre reçoit une force dans la direction opposée?

a. Non; la masse de la Terre est si grande qu’un tel mouvement serait impercep-tible.

b. Oui; par contre, à cause de la masse de la Terre qui est si grande, le change-ment de la quantité de mouvement des planètes est bien moindre que le saut des gens.

c. Oui ; la Terre subirait un changement dans sa quantité de mouvement égal et opposé à la force des gens qui sautent.

d. Aucune de ces réponses

3. Supposons que la pluie tombe verticalement dans un chariot ouvert qui suit une route horizontale avec un taux négligeable de friction. Avec l’accumulation de l’eau, la vitesse du chariot :

a. s’accroîtb. ne change pasc. décroît


4. Lors d’une forte pluie, une personne se tient sous un parapluie. Quelques minutes plus tard, la pluie se transforme en grêle. Le nombre de grêlons qui tombent sur le parapluie et leur vitesse restent égal au nombre et à la vitesse des gouttes de pluie qui tombaient auparavant. Est-ce que la force requise pour tenir le parapluie sous la grêle est la même que sous la pluie?

a. Ouib. Non; la force requise est plus grande sous la grêle que sous la pluiec. Non; la force requise est moins grande sous la grêle que sous la pluied. Aucune de ces réponses

5. Une force de 4 N agit sur un objet de 3 kg qui, lui, se déplace à 8 m/s pendant 10 secondes. Quel est le changement qui s’opère dans la quantité de mouvement de l’objet? Quelle impulsion agit sur l’objet? Quelle est la vitesse finale de l’objet ?

6. Une voiture de 1000 kg se déplace à 9 m/s vers l’est. Elle heurte un camion de 2000 kg qui était stationné. Lors de la collision, les deux véhicules s’emboîtent et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quelle est leur vitesse ? Quel est leur vecteur vitesse ?

7. Un lance-roquettes de 15000 kg contient une roquette de 5000 kg. La roquette est expulsée à +450 m/s. Quelle est la vitesse de recul du lance-roquette?

8. Une balle de 100 g se déplace vers la droite à 2 m/s. Elle entre en collision avec une balle de 200 g qui se déplace vers la gauche à 4 m/s. Après la collision, la balle de 100 g a une vitesse de 8 m/s vers la gauche. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 200 g?

9. Une voiture se déplace vers le nord à 8 m/s. Elle entre en collision avec un ca-mion qui se dirige vers le sud à 4 m/s. Après cela, la vitesse de la voiture est de 6 m/s vers le sud. Quel est le vecteur vitesse du camion?

10. Une voiture de 1325 kg se déplace vers le nord à 27 m/s et entre en collision avec une voiture se déplaçant vers l’est à 17 m/s. Lors de la collision, les deux voitures s’emboîtent l’une dans l’autre et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse après la collision?

11. Une balle collante de 200 g se déplace vers l’ouest à 6 m/s. Elle entre en colli-sion avec une autre balle collante de 300 g qui se déplace vers le nord à 5 m/s. Lors de la collision, les deux balles se collent ensemble et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse ?

12. Un objet A de 6 kg se déplace vers la droite à 3 m/s, il entre en collision avec un objet B de 6 kg au repos. Après la collision, l’objet A se déplace à 1,6 m/s à un angle de 30 °. Quel est le vecteur vitesse de B après la collision ?


13. Une balle immobile de 0,14 kg est percutée par une balle de 0,23 kg se déplaçant vers l’est à 2 m/s. Après la collision, la balle de 0,14 kg a une vecteur vitesse de 0,9 m/s, à 30 °. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 0,23 kg ?

14. Une balle immobile de 0,50 kg est percutée par une balle de 0,30 kg se déplaçant vers l’ouest à 5 m/s. Après la collision, la balle de 0,30 kg a une vecteur vitesse de 3 m/s, à 200 °. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 0,50 kg ?

15. Un objet de 2 kg se déplace à 4 m/s vers le sud. Il percute un objet au repos de 3 kg. Après la collision, l’objet de 2 kg a une vecteur vitesse de 2,5 m/s, à 300 °. Quelle est la vecteur vitesse de l’objet de 3 kg ?

16. Une rondelle de hockey A se déplace vers la droite à une vitesse de 50 m/s. Elle percute une rondelle B identique qui est immobile sur la glace. Après la colli-sion, la vecteur vitesse de A est de 35 m/s, à 27,6 °. Quel est le vecteur vitesse de B?

Réponse : 24,97 m/s, à 40,52 ° sous l’axe horizontal.

17. Une boule de billard de 600 g se déplaçant vers la droite à 2 m/s entre en collision avec une balle immobile de 800 g. Après la collision, la balle de 600 g est déviée de 37 ° au-dessus de sa direction originale à une vitesse de 0,5 m/s. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 800 g?

Réponse : 1,22 m/s, à 10,85 ° au-dessus de l’horizontale

18. Un camion de 6000 kg se déplace vers le nord à 5 m/s et entre en collision avec une voiture de 4000 kg qui se déplace vers l’ouest à 15 m/s. Les deux véhicules s’emboîtent lors de la collision et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse après la collision ?

Réponse : 6,71 m/s, à 26,6 ° au nord-ouest

19. Une voiture de 1200 kg se déplace vers l’est à 60 km/h. Elle entre en collision avec un camion de 3000 kg qui se déplace vers le nord à 40 km/h. Après la col-lision, les deux véhicules restent emboîtés et se déplacent comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse en km/h?

Réponse : 33,3 km/h, à 59 °

20. Une balle de 10 kg se déplace vers l’ouest à 4 m/s. Elle entre en collision avec une balle immobile de 12 kg. Après la collision, la vitesse de la balle de 10 kg est de 2,5 m/s, à 40 ° sous l’horizontale. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 12 kg ?

Réponse : 2,20 m/s, à 142,4 °.


Transmettre ces notions aux élèves du secondaire

Qu’est-ce qui intéresse les étudiants lorsqu’on aborde les collisions et la conserva-tion de la quantité de mouvement ? Cette simple question devrait servir de base à la préparation d’un cours sur la conservation de mouvement. Les étudiants devraient d’abord tenter d’expliquer ce que veut dire pour eux la quantité de mouvement et comment cette notion permet de voir les lois de Newton sous un autre angle. Cette activité permettra à l’enseignant de voir le degré de connaissance et de compréhen-sion des étudiants à propos du mouvement en général. L’activité permettra aussi de faire ressortir ce que les étudiants ne connaissent pas ainsi que leur degré d’habileté à poser des questions qui peuvent être expliquées de façon mathématique.

Il est ensuite possible de préparer une série d’activités adaptées aux étudiants et qui leur permettront d’aborder les notions de quantité de mouvement et de conservation.


Activité 2 : Mouvement de rotation



- Résoudre et utiliser des équations sur le mouvement de rotation- Comprendre le rapport entre les quantités angulaires et linéaires et le mouve-

ment de rotation autour d’un axe fixe

- Utiliser la formule τ = Iα pour résoudre des problèmes- Définir ce qu’est le mouvement angulaire et sa conservation- Résoudre des problèmes de dynamique de la rotation

Sommaire

Dans la nature, on retrouve plus souvent le mouvement de rotation que le mouve-ment de translation. Par exemple, les corps célestes et les particules subatomiques (comme les électrons) sont en mouvement de rotation. Cette activité contient les descriptions cinématique et dynamique du mouvement de rotation. Vous devrez définir

de nouvelles grandeurs mesurables, comme le déplacement angulaire θ( ) , la vitesse

angulaireω( ) l’accélération angulaire α( ) le moment d’inertie

I( ), le couple

τ( ) et

le moment cinétique

L( ) qui permettront de décrire le mouvement de rotation. Il est intéressant de constater un fort parallélisme entre les grandeurs linéaires et angulaires. Les équations qui utilisent des grandeurs de rotation ressemblent, dans leur forme, à celles qui utilisent des grandeurs angulaires.



Lecture 3 : Angular Acceleration

Référence complète : Angular Acceleration in circular motion

Project PHYSNET PDF modules

URL: http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m33.pdf

Page visitée le 24 avril 2007

Résumé : Ce document traite des deux agents de changement, l’accélération angu-laire et linéaire, qui produisent une accélération angulaire, ainsi que du cas du couple constant dans la cinématique de rotation.

Fondement : Ce document traite du contenu de la présente activité. Il permet de voir d’un autre point de vue les théories de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Des tests et exercices donnés à la fin du document permettent de mettre en application les théories et principes abordés.

Lecture 4 : Momentum in One dimension

Référence complète : Conservation of Momentum

Tiré de la version html de Simple Nature, de Benjamin Crowell.

URL: http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch04/ch04.html


Résumé : Ce document est un extrait d’un livre écrit par Benjamin Crowell. Il est possible de consulter le document en entier gratuitement sur Internet à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’adresse donnée dans la référence renvoie à un extrait pertinent pour la présente activité.

Fondement : Cet extrait comporte des illustrations claires sur la quantité de mou-vement. Les théories sur le moment cinétique dans un système à deux ou à trois dimensions sont bien expliquées. De plus, la théorie sur le corps rigide en rotation est abordée de façon très intéressante.

Lecture 5 : Torque and Angular Momentum Couple de forces et moment angulaire

Référence complète : Torque and Angular Momentum in circular motion

Project PHYSNET PDF Modules

URL : http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m34.pdf




Fondement : Ce document aborde le couple et le moment cinétique, le système de particules, la conservation du moment cinétique et les corps rigides non planaires. Les exercices et l’examen proposés rendent ce site Internet attrayant.


Exercices interactifs en ligne, vidéos, animations, etc.

Ressource 2 : Rotating Stool

URL : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rstoo.html#sm

Résumé : Le document contient des animations et des applets qui permettent de visualiser la dépendance du moment d’inertie sur la distribution de la matière sur un objet.

Fondement : Complément aux notions de l’activité d’apprentissage 2.




Lien 2 : Tutorial on torque from universiy of Guelph

Titre : Torque

URL : http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/index.html


Description : Ce site Web contient des descriptions détaillées de la notion de cou-ple.

Fondement : On y trouve de bons tutoriels sur la notion de couple.



Introduction

Dans vos cours de physique précédents, vous avez abordé sommairement le mou-vement de rotation en étudiant des objets qui se déplaçaient en cercle à une vitesse constante et en apprenant ce qu’est la force centripète. Ce n’étaient cependant que des notions de base. Les objets qui se déplacent en cercle n’ont pas nécessairement une vitesse constante, ils peuvent aussi avoir une accélération tangentielle qui se produit lorsque la vitesse angulaire (qu’on peut calculer, par exemple, en radian par seconde) change. Par exemple, un lecteur de CD a une vitesse tangentielle qui dé-célère, lorsque le laser se déplace vers l’extérieur du CD, afin de préserver la même vitesse de lecture en m/s.

Afin de pouvoir bien comprendre ce genre de problèmes, il faut aborder une nouvelle façon de définir la distance et la vitesse angulaires. La mesure en degrés n’est pas idéale, le fait que le cercle soit divisé en 360 ° est complètement arbitraire et peu intuitif. Il est plus naturel de dire que la circonférence du cercle est de 2π fois le radius. Donc, plutôt que de diviser le cercle en 360 parties, nous le diviserons en

2π parties. Ces parties sont appelées les radians. Donc, 90 ° correspond à π

2 , 45 °

correspond à π

4 , etc. Dans la présente activité, nous définirons et utiliserons les radians pour la résolution de problèmes portant sur le mouvement de rotation.

2.1 Cinématique de rotation

Variables angulaires :

Déplacement angulaireθ( ) :

rθ

ΔS

rθ = ΔSΔS = C = 2πr

⇒ θ = 2π

Conversion: 360o = 2π radians


Vitesse angulaireω( ) :

La vitesse angulaire se définit comme la vitesse : un objet qui se déplace d’un angle

θ i à un angle

θf a une vitesse angulaire moyenneω :

ω =

Δθ

Δt=

θf

− θi

Δt

La vitesse angulaire instantanée s’obtient avec un petit Δt . Un objet se déplace à

45 radians par minute (r/min) et il a ω = 90π radians/sec radians par seconde (r/s). Comme on l’a vu dans la définition du radian, la mesure de l’angle d’un objet qui se déplace en cercle à une vitesse constante parcourt une distance de 2π radian par tour. Un tour correspond à 2π radians. La vitesse v est donc reliée à la vitesse angulaireω par la formule :

v = ωr

Cette formule n’est valide que si ω est exprimé en radians. Notez que les radians ne sont pas vraiment une unité : si v est mesuré en m/s, en km/h, etc., le radian n’est pas utilisé. Nous pouvons maintenant écrire l’accélération centripète comme suit :

a

c=

v2

r=

ω 2r 2

r= ω 2r

Notez que l’accélération centripète est perpendiculaire à la vitesse de tous les points de la trajectoire et c’est elle qui est responsable du changement de direction et de vitesse, et non la magnitude !

Accélération angulaireα( ) :

La direction de l’accélération centripète et la force sont internes (radiales). S’il y a une accélération tangentielle du cercle, la vitesse angulaire doit alors changer. L’ac-célération angulaire α se définit comme étant le taux d’augmentation de la vitesse angulaire :

α =

Δω

Δt


Pour une vitesse angulaire constante, Δω = 0 et donc, α = 0 . Pour une accélération angulaire, l’accélération tangentielle est définie par :

aT= αr

(Encore une fois, α doit être mesurée en radians.) La direction de l’accélération tangentielle est une tangente au cercle et est donc toujours perpendiculaire à l’accé-lération centripète.

Relations cinématiques

Maintenant que nous avons défini les grandeurs angulaires, nous pouvons facilement trouver la cinématique du mouvement angulaire, tout comme nous avions trouvé la cinématique du mouvement linéaire en Mécanique 1. À partir de la définition de la vitesse angulaire, nous savons que pour une accélération angulaire constante,

ω = ωo

+ αt

Toutes les formules linéaires ont une version angulaire. Vous pouvez facilement voir

la ressemblance entre l’équation ci-dessus et la suivante : v = vo

+ at . Vous pouvez aussi trouver la position angulaire d’une particule qui est en constante accélération avec la formule qui suit :

θ = ω

o

t +1

2αt2

Les autres équations s’appliquent aussi si vous remplacez

x par θ , v par ω et a par α

Exemple 1 : La vitesse angulaire d’une pale d’un hélicoptère augmente de 1 rad/s à 64 rad/s en 3 secondes avec une accélération angulaire constante. Quelle est l’accé-lération angulaire de la pale ? Quel est son déplacement angulaire ?

Solution

L’accélération angulaire est définie par :

α =

Δω

Δt=

64rad/s -1rad/s

3s= 21rad/s


Le déplacement angulaire est défini par :

θ = ω

o

t +1

2αt2 = 98rad ;15revolutions.

Exemple 2 : Sur un vélo, le plateau du dérailleur avant a un rayon r1 et le pignon

du dérailleur arrière a un rayon r2. La roue a un rayon rw

. Faites le lien entre la vi-tesse linéaire v à laquelle le vélo se déplace et la vitesse angulaire à laquelle vous pédalez.

Solution : Un vélo est construit pour que les plateaux à l’avant tournent à la même vitesse que les pédales, pendant que les pignons à l’arrière tournent à la même vitesse angulaire que la roue lorsque vous pédalez. (Si vous arrêtez de pédaler, les pignons se détachent de la roue.) La chaîne relie les plateaux et les pignons, elle doit donc avoir la même vitesse linéaire que chacun d’entre eux. Nous nommerons cette vitesse

linéaire vchain. Ce qui donne :

v

chain= ω

petalr

1 pour les plateaux, et

vchain= ω

wheelr

2

En combinant les deux, on obtient : ω

petalr

1= ω

wheelr

2 . Il faut maintenant trouver la vitesse du vélo. La vitesse linéaire du vélo est en lien avec la vitesse angulaire des roues :

v = ωwheel

rw

Donc :

v = ω

petal

rwr

1

r2

Changer les vitesses du vélo change le facteur de r1r

2. Changer pour une vitesse

plus petite à l’avant, ou à une vitesse plus grande à l’arrière (c.-à-d. réduire r1r

2)

permet de pédaler plus facilement. C’est la raison pour laquelle lorsqu’on fixe une

vitesse angulaire ω

petal, v devient plus petit. Plus v est bas, moins vous devez tra-

vailler pour avancer.


Exemple 3 : Quantité de mouvement et impulsion

Un ventilateur de plafond effectue un mouvement de rotation à 0,90 rad/s. Lorsqu’on l’éteint, il ralentit uniformément jusqu’à s’arrêter après 2,2 minutes. (a) Combien le ventilateur fait-il de tours durant ce laps de temps ? (b) Selon le résultat obtenu à la question (a), trouvez le nombre de tours que le ventilateur doit faire pour que sa vitesse passe de 0,90 rad/s à 0,45 rad/s.

Solution : Le ventilateur de plafond tourne autour de son axe et ralentit à une vitesse angulaire constante avant de s’arrêter.

Il faut utiliser les équations cinématiques de rotation pour trouver le nombre de tours que le ventilateur effectue durant le laps de temps déterminé. Puisque le ventilateur ralentit à un taux constant d’accélération, il a besoin de la moitié de ce laps de temps pour passer de 0,90 rad/s à 0,45 rad/s.

(a)

Δθ =

1

2ω + ω

o

( )t =1

20 + 0.90rev/s( ) × 2.2min× 60sec/ min = 59rev

(b)

Δθ =

1

2ω + ω

o

( )t =1

20.45 + 0.90rev/s( ) × 1.1min× 60sec/ min = 45rev

Dynamiques de rotation

La description du mouvement de rotation est analogue à la description du mouvement linéaire. Cette analogie peut aussi s’étendre aux dynamiques de rotation.

Déplacement (x) ↔ Accélération angulaire (θ)

Vitesse (v) ↔ Vitesse angulaire (ω )

Accélération (a) ↔Accélération angulaire (α )

Force (F) ↔ Couple (τ )

Masse (m) ↔ Moment d’inertie (I )

Quantité de mouvement (p) ↔ Moment cinétique (L)


Moment d’inertie

Le moment d’inertie (I ) du mouvement de rotation est analogue à la valeur de masse (m). Plus le moment d’inertie d’un corps est grand, plus la résistance au changement

de sa vitesse angulaire est grande. La valeur du moment d’inertie (I ) d’un corps qui tourne autour d’un axe de rotation ne dépend pas seulement de la masse du corps, mais aussi de la façon dont la masse est distribuée autour de l’axe.

Couple

Vous avez peut-être remarqué qu’il est difficile d’ouvrir une porte si on la pousse du côté des charnières. Plus vous pousserez la porte loin des charnières, plus facile il sera de l’ouvrir; vous devez exercer une plus grande force pour donner à la porte la même vitesse angulaire si vous poussez près des charnières que si vous poussez du côté opposé aux charnières. Même chose si vous utilisez une clé anglaise; vous aurez besoin d’une moins grande force pour dévisser un boulon si vous maniez la clé anglaise à l’extrémité la plus éloignée du boulon.

F1 et F2 ont une même magnitude. Quelle force produit un meilleur effet de rotation, F1 ou F2?

Avant d’aller plus loin, nous devons donc introduire une autre notion que la force qui nous permettra de comprendre le mouvement de rotation dans son entier et de tenir compte de l’effet des différents radians.

L’idée qui sous-tend la notion de couple est que l’application de forces peut provo-quer le mouvement de rotation. En d’autres termes, tout comme l’application d’une force peut provoquer l’accélération linéaire, un couple de forces peut provoquer une


accélération angulaire. La notion de couple peut se définir, par exemple, en appliquant une force à une distance r du centre de rotation. La magnitude du couple est alors :

τ = F

Tr

F

T est la composante de la force perpendiculaire au radian (qu’on nomme aussi force

tangentielle). La raison pour laquelle nous devons seulement inclure la composante tangentielle de la force est assez évidente. Le couple est un vecteur et il a une direc-tion. Il faut savoir que la direction d’un couple s’inscrit à l’aide d’un signe positif ou négatif. Tout comme le signe de vitesse du mouvement linéaire indique la direction du mouvement, le signe du couple, dans un mouvement de rotation, indique sa direction. Selon la convention, une rotation en sens antihoraire se définit par un couple positif, et une rotation en sens horaire se définit par un couple négatif.

Notez que le couple dépend de la force tangentielle. Le couple est donc complètement indépendant de la force centripète. La force centripète est une force qui maintient le mouvement circulaire d’un objet. Le couple varie si la vitesse angulaire augmente ou diminue. Remarquez aussi que plus le radian est grand, plus le couple est grand.

Moment cinétique

Une particule de masse m et de vitesse v a une quantité de mouvement p = mv La particule peut aussi avoir un moment cinétique L , selon un point donné dans l’espace. Si r est le vecteur du point à la particule, alors :

r

L =r

r ×r

p

Le moment cinétique est toujours un vecteur perpendiculaire au plan définit par les

vecteurs rr

et pr

(ou vr

). Par exemple, si la particule (ou la planète) est dans une orbite circulaire, son moment cinétique, en respectant le centre du cercle, est per-pendiculaire au plan de l’orbite et va dans la direction donnée par le vecteur, il est le produit vectoriel selon la règle de la main droite, comme démontré ci-dessous :

Figure 10 : Le moment cinétique L d’une particule qui se déplace sur une orbite circulaire.


Puisque dans le cas d’une orbite circulaire, rr

est perpendiculaire à pr

(ou vr

) , la magnitude de L est simplement :

L = rp = mvr

La signification du moment cinétique est née de sa dérivée en respectant le facteur temps :

dr

Ldt

=ddt

r

r ×r

p( ) , m

ddt

r

r ×r

v( )

Dans cette équation, pr

a été remplacé par m vr

et la constante m n’est pas utili-sée.

Si on utilise la règle du produit du calcul différentiel :

ddt

r

r ×r

v( ) =dr

rdt

×r

v +r

r ×dr

vdt

Le premier terme du côté droit, dr

r dt est simplement la vitesse vr

, ce qui donne

r

v ×r

v . Puisque le produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même est toujours zéro, cette variable tombe, ce qui donne :

ddt

r

r ×r

v( ) =r

r ×dr

vdt

Dans cette équation, dr

v dt est l’accélération de r

a d’une particule. Donc, si les

deux côtés de l’équation ci-dessus sont multipliés par m, le côté gauche devient

dr

L dt , et le côté droit peut être inscrit comme suit : r

r × mr

a . Puisque selon la

deuxième loi de Newton, amr

est égal à Fr

(la force nette qui agit sur la particule) le résultat est :

dr

Ldt

=r

r ×r

F

L’équation ci-dessus signifie que tout changement du moment cinétique d’une parti-cule doit être produit par une force qui n’agit pas dans la même direction que r

r

.


Le système solaire est un bon exemple de mise en application de ce que l’on vient de voir. Chaque planète suit une orbite selon son attraction gravitationnelle au Soleil, une force qui agit dans la même direction que le vecteur, du soleil à la planète. Donc, la force de gravitation ne peut changer le moment cinétique d’une planète si l’on tient compte du Soleil. Chaque planète a donc un moment cinétique constant par rapport au Soleil. Cette affirmation est correcte, même si les orbites ne sont pas des cercles, mais des ellipses.

La valeur r

r ×r

F est appelée le couple r

τ . On peut considérer le couple comme un genre de force de torsion, celle qui serait nécessaire pour serrer un boulon ou propul-ser un corps dans un mouvement rotatif. Selon cette définition, l’équation ci-dessus peut être reformulée ainsi :

r

τ =r

r ×r

F =d

r

Ldt

Cette équation signifie qu’il n’y a pas de couple qui agit sur une particule et que son moment cinétique est constant (conservé).

Par contre, si un agent applique une force Fa sur une particule, il en résulte un couple

égal à

r

r ×r

Fa . Selon la troisième loi de Newton, la particule doit appliquer une force

- aFr

à l’agent. Il y a donc un couple égal à −r

r ×r

Fa qui agit sur l’agent. Le couple de forces qui agit sur la particule fait changer son moment cinétique à un taux donné

par

dr

Ldt

=r

r ×r

Fa . Par contre, le moment cinétique Lr

de l’agent change à un taux

dr

L a

dt= −

r

r ×r

Fa . Donc, dL

adt + dL dt = 0 , signifiant que le moment cinétique

total d’une particule et d’un agent est constant (conservé).

Ce principe peut être généralisé afin d’y inclure toutes les interactions entre les corps de toutes sortes, qui agissent en relation avec des forces de toutes sortes. Le moment cinétique total est toujours conservé. La loi de conservation du moment cinétique est l’un des principes les plus importants en physique.


Exemple 4 : Moment d’inertie d’un bâton ayant une masse volumique uniforme, partie 1

Prenons un mince bâton de masse et de longueur uniformes. Dans ce problème, nous calculerons le moment d’inertie autour d’un axe perpendiculaire au bâton et qui passe dans le centre de masse du bâton. Un schéma du bâton avec son élément volume et son axe est représenté ci-dessous.

-

Solution : Choisissez des coordonnées cartésiennes, avec l’origine au centre de masse du bâton, qui est situé exactement au centre des deux extrémités puisque le bâton est de densité uniforme. Choisissez un axe x qui va dans la même direction que le bâton, avec le x positif vers la droite, comme dans l’illustration.

Identifiez un élément de masse infinitésimal dm = λdx , situé à un déplacement x du

centre de masse du bâton, où la masse linéaire λ = m L est une constante, à cause de l’homogénéité du bâton. Lorsque le bâton tourne autour d’un axe perpendiculaire au bâton et qui passe dans le centre de masse du bâton, l’élément trace un cercle ayant

un rayon de r

⊥= x . Nous ajoutons les contributions de chaque élément infinitésimal

à partir de x = −L 2 jusqu’à x = L 2 . L’équation complète est donc :

Icm

= r⊥( )

body

∫2

dm = λ x2( ) dx = λx3

3− L 2

L 2

∫− L 2

L 2

=m

L

L 2( )3

3

−m

L

− L 2( )3

3=

1

12mL2


En utilisant une masse linéaire constante dans la même direction que le bâton, nous n’avons pas à considérer les variations dans la masse volumique dans d’autres di-rections que l’axe x. Nous tenons pour acquis que la largeur est négligeable. (Tech-niquement, nous devrions traiter le bâton comme un rectangle sur le plan x − y , sur le même axe que l’axe z. Le calcul du moment d’inertie, dans ce cas, serait plus compliqué.)

Résolvez les problèmes suivants

Tâche 2.1 Moteur à accélération uniforme

Un moteur a besoin de 5 s pour passer de son régime ralenti de 600 rad/s r/s à une vitesse de 1200 rad/s. (a) Quelle est son accélération angulaire ? (b) Combien de tours le moteur effectue-t-il durant ce laps de temps?

Réponse :

(a) 12,6 rad/s

(b) 75,2 tours

Tâche 2.2 L’accélération d’un corps qui roule vers le bas sur un plan incliné

Le rayon de giration d’un corps autour d’un axe est la distance de cet axe à un point où la masse entière du corps est concentrée. Donc, le moment d’inertie d’un corps de

masse M et d’un rayon de giration K est I = Mk2 . (a) Le rayon de giration d’une

sphère creuse de rayon R et de masse M est k = 2R 3 . Quel est son moment

d’inertie ? (b) Trouvez le rayon de giration d’une sphère solide.

Réponse :

(a) I =

2

3MR2 (b) k =

2

5R


Discutez des questions suivantes sur le forum de discussion.

1. Lorsque le lait est baratté, quelle force sépare la crème du lait?

2. Deux balles identiques se déplacent vers le bas sur un plan incliné. La balle A glisse vers le bas sans friction et la balle B roule vers le bas. Est-ce que les deux balles arriveront en bas au même moment ? Si ce n’est pas le cas, laquelle arrivera la première, et pourquoi ?


3. Un cylindre solide et un cylindre creux de même masse et de même diamètre, tous deux initialement au repos, roulent vers le bas sur le même plan incliné sans glisser.

a. Lequel atteindra le bas en premier?b. Quelle sera la différence entre leurs énergies cinétiques lorsqu’ils seront arrivés

en bas?

4. Un cylindre d’aluminium de rayon R, un cylindre de plomb de rayon R et un cylindre de plomb de rayon 2R roulent vers le bas d’un plan incliné. Dans quel ordre atteindront-ils le bas ?

Tâche 2.4 Exercice de réflexion

Dans une histoire de science-fiction, la vitesse de rotation de la Terre a été changée lors du lancement d’un projectile dans une direction tangente à l’équateur. Quelle devrait être la différence entre la vitesse de la lumière et la vitesse du projectile pour en arriver à arrêter la Terre de tourner autour de son axe ? La Terre a un rayon de

RE

= 6370 km M

E= 6370 km et une masse de

ME

= 6 × 1024 kg. Le moment

d’inertie de la Terre, relatif à son axe de rotation, avec une masse volumique non uniforme, est défini de façon assez exacte avec la formule suivante :

I =

MER

E

2

3Comparez les énergies cinétiques du projectile et de la rotation de la Terre. La masse

du projectile est m = 106 kg .



1. Une échelle de densité uniforme pesant 45 kg et mesurant 5 m de long est appuyée sur un mur, sans friction, et forme un angle de 60 ° avec le plancher, sans fric-tion. Est-ce qu’une personne de 80 kg peut se tenir de façon sécuritaire à 2 m du haut de l’échelle sans que cette dernière glisse si une deuxième personne exerce une force de 500 N vers le mur sur un point situé à 3,5 m du haut de l’échelle ? (Toutes les distances sont prises parallèlement à l’échelle.)

2. La combinaison d’une force appliquée et d’une force de friction produit un couple constant de 36 N × m sur une roue qui tourne autour d’un axe fixe. La force appliquée agit pendant 6 secondes, laps de temps durant lequel la vitesse angulaire de la roue augmente de 0 à 10 rad/s. On arrête ensuite d’appliquer la force et la roue s’arrête au bout de 60 secondes. Trouvez (a) le moment d’inertie de la roue, (b) la magnitude du couple frictionnel, et (c) le nombre total de tours de la roue. (38)

3. Un plongeur de 48 kg se tient sur le bout d’un plongeon de 3 m de long. Quel couple est produit par le poids du plongeur autour d’un axe perpendiculaire au plan du plongeon si cet axe passe au point milieu du plongeon?

4. Deux enfants s’assoient sur une balançoire à bascule. L’un des enfants de 400 N est assis à 2 m du point d’appui. À quel endroit l’autre enfant, s’il pèse 475 N, devrait-il s’asseoir pour produire un effet de balance, si le point d’appui se trouve au point milieu de la balançoire ?

5. L’enfant de 400 N du problème précédant décide qu’il veut actionner la balançoire à bascule tout seul. Pour ce faire, elle déplace la planche pour que le point d’appui ne soit plus situé à son point milieu. Elle trouve le point de balance lorsqu’elle s’assoit 1,5 m à gauche du point d’appui et que le centre de la planche est à 0,5 m à la droite du point d’appui. Quel est le poids de la planche ?

6. La porte d’un dortoir mesure 2,5 m de haut et 1 m de large, elle pèse 250 N, et son centre de gravité est situé en son centre géométrique. La porte est suppor-tée par des charnières situées à 0,25 m du haut et du bas, chacune d’entre elles supporte la moitié du poids de la porte. Déterminez la composante horizontale des forces exercées par chacune des charnières sur la porte.

7. Une voiture de course a une masse de 1600 kg. La distance entre l’essieu avant et l’essieu arrière est de 3 m. Si le centre de gravité de la voiture est à 2 m de l’essieu arrière, quelle est la force normale de chaque pneu?


8. Une trappe de fer mesure 1,25 m de large et 2 m de long, pèse 360 N et ses charnières sont situées du côté le plus court. Son centre de gravité est en son centre géométrique. Quelle est la force appliquée à angle droit de la trappe est nécessaire pour la lever (a) lorsqu’elle est à l’horizontale ? (b) lorsqu’elle a été ouverte à un angle de 30 ° par rapport à l’horizontale ? (La force est appliquée sur le côté de la trappe opposé aux charnières.)

9. Un athlète fait tournoyer une balle de 4,5 kg attachée au bout d’une chaîne dans un cercle horizontal. Si la balle est à 2,5 m de son axe de rotation et qu’on peut la considérer comme un objet à deux coordonnées, trouvez le moment d’inertie de la balle.

10. Quel couple de forces doit-on exercer sur la balle du problème précédent pour lui donner une accélération angulaire de 2 rad/s ?

11. (a) Trouvez le moment d’inertie d’un cylindre plein ayant une masse de 1,5 kg et un rayon de 10 cm à partir d’un axe qui passe en son centre. (b) Faites le même exercice avec une sphère pleine de la même masse et de même rayon et dont l’axe passe en son centre.

12. Le cylindre du problème 11(a) tourne à une vitesse angulaire de 2 rad/s. Quel couple de forces est nécessaire pour l’immobiliser en 15 secondes ?

13. Un pneu d’automobile, pris comme un disque plein, a un rayon de 35 cm et une masse de 6 kg. Trouvez son énergie cinétique de rotation lorsqu’il tourne autour d’un axe qui passe en son centre à une vitesse angulaire de 2 rad/s.

14. L’une des parties d’un moteur de voiture est une mince tige ayant une masse de 100 g et une longueur de 5 cm. Si la tige tourne à une vitesse angulaire de 3 rad/s, trouvez son énergie cinétique lorsque (a) elle tourne autour d’un axe situé à 2,5 cm de chaque extrémité. (b) elle tourne autour d’un axe situé à l’une de ses extrémités.

15. Si un système de masses (représenté ci-dessous) effectue un mouvement de rotation autour d’un axe x avec une vitesse angulaire de 2,5 rad/s, (a) trouvez l’énergie cinétique du système. (b) Trouvez l’énergie du système s’il effectue un mouvement de rotation autour de l’axe y.



Le mouvement de rotation pousse plus loin les notions de mouvement rectiligne et curviligne. Les étudiants ayant suivi un cours d’introduction à la physique ne sauront probablement pas reconnaître que le mouvement d’un projectile est le résultat d’un mouvement linéaire qui va dans deux directions simultanément. La notion d’indé-pendance de la vitesse représente une difficulté considérable pour les étudiants. Des démonstrations ainsi que des exercices de laboratoire et de résolution de problèmes aideront l’enseignant à transmettre ces notions.

Le mouvement circulaire est une notion qui crée de la confusion chez ceux qui ne sont pas familiers avec la science. Le mouvement centripète doit être analysé sans la valeur d’accélération, puisque la deuxième loi de Newton ne peut être appliquée que dans. Lorsqu’on enseigne le mouvement circulaire, il est conseillé de mettre l’accent sur la nécessité de trouver la source physique de la force qui cause l’accélération vers le centre du cercle.


Activité 3 : Force gravitationnelle



• Utiliser la loi de la gravitation universelle dans la résolution de problèmes• Définir ce qu’est le champ gravitationnel et l’énergie potentielle gravitation-

nelle• Faire la différence entre inertie et élément de masse • Calculer la vitesse de libération des satellites


Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, deux corps de masse m1 et

m2 séparés par une distance r exercent une force d’attraction égale l’un sur l’autre

d’une magnitude exprimée par F = Gm1m

2r2 , G étant la constante gravitation-

nelle universelle qui s’applique à tous les corps, peu importe leur constitution. La force gravitationnelle est probablement la moins bien connue des forces de la nature, même si elle est responsable du mouvement des étoiles, des galaxies et de l’univers entier. Les trajectoires des corps du système solaire sont déterminées par les lois de la gravitation. Tous les corps sur Terre ont un poids proportionnel à leur masse, ou une force de gravitation, liée à la masse de la Terre, qui les attire vers le bas.

L’observation de Galilée, selon laquelle tous les corps en chute libre accélèrent constamment, implique que la force gravitationnelle qui cause cette accélération est en relation constante avec la masse d’inertie.

Pour explorer l’espace, des satellites artificiels y sont envoyés. La vitesse nécessaire pour que le satellite s’échappe du centre d’attraction sans qu’il y ait une accélération trop grande se nomme la vitesse de libération. La vitesse de libération diminue avec l’altitude et elle est égale à la racine carrée d’environ 1,414 fois la vitesse nécessaire pour maintenir une orbite circulaire à la même altitude.



Lecture 6 : Universal gravitation

Référence complète : Newton’s law of Universal Gravitation




Résumé : Dans ce document, on retrouve le contexte historique de la découverte de la loi et le centre de masse et les effets d’objets non compacts sont abordés. La constante G est définie de trois façons.

Fondement : Le document aborde des thèmes en relation avec cette activité. Les exercices et le test modèle proposés sont un supplément important à la présente activité.

Lecture 7 : Orbital Motion

Référence complète : Orbital motion in an inverse-square law force field




Résumé : Ce document est un bon résumé des théories développées qui concernent le mouvement des planètes. La proposition de Copernic d’un système solaire hélio-centrique, la loi de Kepler sur le mouvement des planètes ainsi que l’interprétation de Newton du mouvement des planètes et des satellites sont des thèmes abordés.


Lecture 8 : Gravitational Phenomena





Résumé : Ce document est un bon résumé des théories développées qui concernent le mouvement des planètes. La proposition de Copernic d’un système solaire hélio-


centrique, la loi de Kepler sur le mouvement des planètes ainsi que l’interprétation de Newton du mouvement des planètes et des satellites sont des thèmes abordés.



Ressource 3 : Hyper Physics

URL : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vesc.html

Page visitée en avril 2007

Description : Cet applet Java permet de faire une série d’expériences virtuelles. Il est possible de choisir la vitesse de libération et la vitesse de révolution orbitale en variant les différents paramètres du projectile.



Lien 3 : Universal Gravitation from Wikipedia

Titre : Universal Gravitation

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_universal_gravitation


Description : On y retrouve nombre de théories et le contexte historique de la loi de la gravitation universelle de Newton.


Fondement : Ce site Web fournit une description détaillée du sujet et présente des problèmes et leur solution.

Site visité en avril 2007

Lien 4 : From The physics Class room

Titre : Universal Gravitation and Planetary Motion

URL : http://www.glenbrook.k12.il.us/GBSSCI/PHYS/Class/circles/u6l3c.html


Description : Forum contenant des notes de lecture et des discussions provenant d’une classe de physique.

Fondement : Sujets de discussion ouverts et problèmes interactifs.


Lien 5 : Wikipedia

Titre : Gravitational Field

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_fiel


Description : Le champ gravitationnel, sa définition dans le domaine de la mécanique classique et sa signification générale sont décrits dans cette section.

Fondement : Utile à ceux qui éprouvent le besoin de comparer plusieurs sources.


Lien 6 : Geostationary Orbit

Titre : Geostationary orbit

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Geostationary


Description : Ce lien explique l’orbite de satellite géostationnaire. Les animations aident à visualiser la notion.

Fondement : Ce site est un bon supplément à la présente activité d’apprentissage.


Description détaillée de l’activité d’apprentissage 3

Introduction

À l’époque de Newton, on croyait que la force gravitationnelle était une force qui n’influençait que les objets qui se trouvaient près de la terre. Avant lui, les scientifiques croyaient que la physique sur Terre différait de la physique céleste. Le mouvement d’une pomme qui tombe, par exemple, n’était pas considéré comme étant lié liée au mouvement d’une planète en orbite. Newton a découvert que la force gravitationnelle s’appliquait à l’échelle de l’univers, et de cette découverte, découlèrent d’importantes notions. Il a admis, entre autres choses, que les lois du mouvement devaient aussi s’appliquer à l’échelle universelle, c.-à-d. que les mêmes lois du mouvement s’ap-pliquaient sur le plan terrestre que sur le plan céleste.

Ce fut, bien sûr, le début d’une meilleure compréhension de la nature qui a mené à l’exploration spatiale que nous connaissons aujourd’hui, grâce aux nombreux satellites artificiels qui gravitent en orbite autour de la Terre.

La loi de gravitation universelle

Isaac Newton a émis l’hypothèse que les mouvements terrestres et célestes devaient obéir aux mêmes lois, c.-à-d. que l’accélération centripète de la Lune dans son orbite

et l’accélération vers le bas g( ) d’une pomme qui tombe devaient avoir la même

origine. Voici les arguments et les calculs sur lesquels il s’appuyait pour faire cette affirmation :

Si l'orbite de la lune est circulaire et que l'on connaît la distance de la lune à la terre

( R = 3.84 × 108 m) et sa période de révolution ( T = 27.3d ), Newton a calculé a⊥

comme suit :

a⊥

=v2

R=

(2π R / T )2

R=

4π 2 RT 2

= 2.72 × 10−3 m/ s2

g = 9.8m/s2

a⊥

g=

1

3606

rayon de la Terre (RE)

rayon de l'orbite de la lune (R )=

1

60, il a observé que


a1

g=

RE

R

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

⇒ gRE

2 = a⊥

R 2

⇒ L'accélération d'un corps et donc la force est inversement

proportionnelle au carré de la distance du centre de la terre.

À partir de cela, Newton a supposé que la force gravitationnelle obéissait à la loi de l’inverse des carrés. Il a poussé sa réflexion encore plus loin en disant que :

Fg : m1m

2 selon les 2e et 3e lois .

Deux particules de matière, où qu’elles se trouvent dans l’univers, s’attirent l’une et l’autre avec une force directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare ; la direction et la force suivent la ligne qui les relie.


Notes :

i. Les forces gravitationnelles entre deux particules forment une paire action – réaction.

ii. G est universel.iii. La force gravitationnelle en interaction entre deux corps est indépendante de

la présence des autres corps ou de leurs propriétés dans l’intervalle spatiale. C.-à-d. pas d’écran de gravitation.

iv. La force gravitationnelle obéit à la loi de la superposition, c.-à-d. la force pro-venant d’un groupe de particules est la somme vectorielle des forces exercées par les particules individuellement.

v. La force gravitationnelle d’une sphère de rayon R est :

Énergie potentielle gravitationnelle

L’énergie potentielle gravitationnelle d’une masse m à une distance r d’une autre masse M se définit par la somme de travail produite en apportant la masse m d’une valeur infinie à une distance r

dW = F dr

⇒ S = F dr∞

r

∫ =GmM

r 2

∞

r

∫ dr = GmM∞

r 1

r 2dr

= GmM −1

r∞

r

=−GmM

r

Donc PE =−GmM

r

Note (i) Il est possible d’utiliser l’équation ci-dessus pour calculer la somme de travail produite contre la force gravitationnelle de la masse M pour déplacer la masse m de

la position 1r à 2r r1 ˆ r

2.


W = ΔU = GmM1

r1

−1

r2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒ If r1

< r2 W will be positive

r1

> r2

W will be negative

Potentiel de gravité

Le potentiel de gravité V, à un point du champ gravitationnel la masse est définie comme le travail produit dans le mouvement d’une masse unitaire d’une valeur infinie à ce point. Donc m = 1

V =

GM

r

Exemple 1 : Le champ gravitationnel dû à une masse sphérique non homogène

Une sphère non homogène de rayon R varie en densité comme suit :

p = ρ0 for :r<

R

3

=ρ

0

2 for :

R

3< r ≤

3R

4

=ρ

0

8 for :

R

3< r ≤ R

Quel est le champ gravitationnel dû à la sphère si

r =

R

4,

R

2,

5R

6 et 2R


Solution

g =Gmr 2

=GpV

r 2

∴ g R 4( ) =G ρ

0

43

π R 4( )3

R 4( )2=

π

3G ρ

0R

gR2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= G ρ

0

4

3π

R 3( )3

+12

R 2( )3

− R 2( )3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(R / 2)2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

= G ρ0

4 3( )π R1

21 3( )2

+1

21 2( )3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ × 4

= G ρ0π R

4

3× 2 1 27 + 1 8⎡⎣ ⎤⎦ = 0.432πG ρ

0R

g5R6

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= G ρ

0

4

3π

R 3( )3

+12

3R 4( )3

− R 3( )3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+18

5R 6( )3

− 3R 4( )3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

(R / 2)2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

= 0.48πG ρ0R

Similairement g(2R)=G ρ0

4 3( )π R 1 3( )3

+1

23 4( )3

− 1 3( )3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

1

81− 3 4( )3⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

÷ 4

= 0.1πG ρ0R


Exemple 2 : Le potentiel de gravité

Démontrez qu’il n’y a pas de champ gravitationnel dû à la masse d’une couche concentrique à l’intérieur

Solution

P= peut être n’importe quel point à l’intérieur d’un feuillet sphérique

ρ = masse linéaire dans la zone du feuillet

Prenons deux cônes dont le sommet part de P et qui interceptent de petites surfaces S et S’ sur le feuillet comme démontré sur la figure ci-dessus. Un plan x-y passe par le diamètre au point P.

S = r 2 .ω S ' = r '2 .ω

S cosα = r 2ω S cosα = r '2 w

masse de S = r 2ωρ / cosα

masse de S = r '2 ωρ / cosα

∴ intensité à p due à S=r2ωρ

cosαr 2G =

Gωρ

cosαet

intensité à P due à S' =r'2ωρ

cosαr '2G =

Gωρ

cosα


Ces deux intensités qui passent par P étant égales et opposées, leur résultante est de zéro. Les paires qui s’opposent par rapport à l’axe xy agissent de façon similaire. L’axe xy divise le cercle et il en résulte que l’intensité ou le champ au point P s’étend à tout le cercle et la résultante est de zéro.

Exemple 3 : Le couple gravitationnel

Un corps de masse M pivote au point O (voir figure ci-dessous) Démontrez que le couple gravitationnel agit sur ce corps comme si toute la masse était concentrée au centre de masse.

Solution

C o n s i d é r o n s q u e l e c o r p s e s t f a i t d ’ u n g r a n d n o m b r e d e po in t s de masses e t qu ’une de ces masses e s t déc r i t e pa r m

i.

τ = τi∑ = r

i

ur

∑ × migur

= ( mir

i∑ ) × gur

Q g est constant

Par défintion du centre de masse

mi∑ rr

i = Rur

cm mi∑ = R

ur

cm M

Rur

cm = la position vectorielle du centre of masse

Si on utilise les deux expressions ci-haut, on obtient la formule qui suit

τ =Rur

cm × (mgur

)


τ i = τ i =r

ri × mi

r

g = mi ri∑( )∑∑∑ ×r

g =� Q g est constant

Par définition du centre de masse

mi

r

ri = Rcm mi∑∑ = Rcm M

=cmR position du centre de masse

si on utilise les deux expressions ci-haut, on obtient la formule qui suit

τ = Rcm × mg

Donc, le couple agit comme si la masse M totale du corps était concentrée au centre de masse.

Le mouvement des planètes et des satellites

Les planètes se déplacent en orbites elliptiques, le Soleil étant l’un des foyers. Afin de conserver une certaine simplicité, nous considérons ici que les orbites sont très près d’être circulaires, le Soleil étant en leur centre. Une force centripète est nécessaire pour créer une attraction circulaire. Même si deux corps sont en révolution autour de leur centre de masse commun, si l’un des corps a une masse bien plus grande que l’autre, le corps le plus lourd peut être considéré comme étant au repos. Ceci s’ap-plique aussi à la Terre et à ses satellites artificiels.

Si M est la masse du corps le plus lourd, situé au centre d’un cercle de rayon r, et que m est la masse du corps le plus léger,

GMr 2

= mω 2r or GMr 2

= ω 2r

GMr 2

= ω 2 =4π 2

T 2

À partir de cela, il est possible de déduire la période de révolution de la planète ou du satellite

T 2 =

4π 2

GMr 2


Les lois de Kepler

En publiant ses trois lois sur le mouvement des planètes, Johannes Kepler rendait l’aboutissement de 30 années de recherche. Les trois lois du mouvement des planètes peuvent être nommées comme suit :

1. Les planètes décrivent une trajectoire elliptique dont le Soleil est l’un des foyers.

2. Le rayon vecteur qui relie le Soleil à une planète balaie des aires égales dans des intervalles de temps égaux.

3. Le carré d’une période de révolution d’une planète est proportionnel au cube du demi grand axe de son orbite.

Vitesse de l’orbite

Si un satellite continue à se déplacer dans une orbite circulaire autour de la Terre, à une distance h de la surface de la Terre,

GM

(RE

+ h)2=

mv02

(RE

+ h)

o� RE

est le rayon de la Terre

v0

=GM

(RE

+ h)

If h < RE,v

0= gR

E

Si h<RE, v0 = gRE

La quantité de travail nécessaire pour déplacer un corps de la Terre à l’infini est donnée par la formule suivante :

GE

Mm

RE

Cela correspond à environ 0,6 x 107 joules/kg. S’il était possible de donner à un pro-jectile une énergie plus grande que cela à la surface de la Terre, il s’en échapperait.


La vitesse critique initiale v0, appelée vitesse de libération est donnée par la formule

suivante :

1

2mv

02 =

GMEm

RE

v0

=2GM

E

RE

= 11.2 km/seconde

Satellite synchrone (orbite géostationnaire)

La plupart des satellites de communication, ainsi que plusieurs satellites météorolo-giques, tournent en orbite autour de la Terre au-dessus de l’équateur. De la surface de la Terre, ils ont l’air d’être immobiles, car ils complètent une orbite en 23 heures et 56 minutes. C’est aussi le laps de temps que prend la Terre pour faire un tour sur elle-même.

Le laps de temps nécessaire pour compléter une révolution autour de la Terre est dé-terminé par la distance du satellite par rapport au centre de la Terre. Pour compléter une révolution une fois toutes les 23 heures et 56 minutes, les satellites géostation-naires doivent être à une distance précise par rapport à la Terre. L’une des façons de calculer cette distance est d’utiliser la loi de la gravitation de Newton ainsi que sa deuxième loi du mouvement. C’est-à-dire qu’il faut considérer que la période est de 24 heures et utiliser l’équation suivante :

T = 2πr

(RE

+ h)3

GM= 86400secondes.

h ‘peut être calculé. La distance est de 22 700 miles au-dessus de la surface de la Terre.


Exemple 4 : L’accélération causée par la gravitation bien au-dessus de la surface de la Terre. Trouvez l’accélération causée par la gravitation à une altitude de 1000 km.

Solution

La force gravitationnelle de la Terre sur un objet de masse m à une distan-ce r du centre de la Terre est égale au poids mg de l’objet à cette distance :

GMEm

r2= mg ⇒ g =

GME

r2

À la surface de la Terre, où g=go

= 9.8m/s2 et r = rE

= 6400km

À partir de ces formules, pour g et go il est possible de déterminer qu'à une distance r

du centre de la Terre, l'accélération due à la pesanteur est de

g=r

E

r

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

go

en utilisant r=rE+h=6400km + 1000km =7400km

Donc g=7.3m/s2



1. Quelle serait la variation d’un corps s’il était transporté jusqu’au centre de la Terre ?

2. Lorsqu’on parle d’objets dans l’espace, qu’est-ce que l’impesanteur ? Y a-t-il un endroit où le poids est de zéro ? Si oui, pourquoi ?



1. Pourquoi un objet pesant un gramme et un autre pesant 100 kilogrammes relâchés simultanément du haut d’une tour atteindront-ils le sol au même moment?

2. Si vous sautez d’une chaise, vous avez un mouvement d’accélération vers la Terre. Est-ce que la Terre a aussi un mouvement d’accélération vers vous ? Expliquez.

3. Qu’arriverait-il si la force de gravitation disparaissait soudainement?

4. La Terre agit constamment sous l’attraction gravitationnelle du Soleil. Pourquoi la Terre ne tombe-t-elle pas sur le Soleil?

5. Un corps est transporté de Nairobi, Kenya (très près de l’équateur) jusqu’en Afrique du Sud. Quel en sera l’effet sur son poids? Sur sa masse?

6. Lors d’une discussion informelle à propos de satellites, on entend des questions comme : « Qu’est-ce qui fait que les satellites se déplacent constamment dans une orbite ? » ainsi que « Comment le satellite reste-t-il dans les airs ? ». Que répondez-vous à ces questions ?

7. Est-ce que vos réponses aux questions ci-dessus sont applicables à la Lune ? Expliquez.

8. Une force 4 N agit sur un objet de 3 kg qui se déplace à 8 m/s sur une durée de 10 secondes. Quel est le changement de l’objet dans sa quantité de mouvement? Quelle impulsion agit sur l’objet ? Quelle est la vitesse finale de l’objet ?

9. Une fusée a une masse de 2.0 × 104 kg , dont la moitié est du carburant. Le car-burant est consommé à un taux constant lorsque la fusée est lancée et il y a une

poussée constante de 5.0 × 106 Newtons. Sans tenir compte de la résistance de l’air et des variations possible de g , calculez :

a) l’accélération initiale

b) l’accélération après que le carburant est consommé

10. La masse de la Lune est de

1

81 et son rayon est environ le quart du rayon de la

Terre. Quelle est l’accélération due à la pesanteur à la surface de la Lune ?


11. Trouvez l’accélération de la Lune vers la Terre, si la Lune est située à une distance de 60 fois le rayon de la Terre calculée à partir du centre de la Terre.

12. Si R

1 et

R

2 sont les rayons de deux planètes

ρ

1 et

ρ

2, leurs masses volumiques

respectives montrent que la valeur de l’accélération due à la pesanteur sur les

deux planètes sera de ratio R1

ρ1: R

2ρ

2


Lorsqu’on introduit les étudiants à la notion de gravitation, il faut d’abord leur ex-pliquer comment Newton a utilisé les travaux de Kepler et de Brahe pour enrichir les siens (l’équation des forces d’accélération centripètes) afin de définir les lois qui gouvernent la force gravitationnelle et leur universalité.

Les lois de la physique deviennent plus claires aux étudiants s’ils en comprennent l’origine. La dérivation de la loi de la gravitation universelle est assez simple pour que les débutants puissent comprendre. Cela amène les étudiants à comprendre quelles quantités peuvent être appliquées au mouvement des planètes à partir de l’application de la loi de la gravitation.

Le champ gravitationnel est un concept difficile à comprendre pour les étudiants, mais il est possible de les aider à le comprendre en faisant l’analogie avec les champs électriques et magnétiques.


Activité 4 : Relativité du mouvement

Il vous faudra 20 heures pour compléter cette activité. Au cours de celle-ci, vous allez parcourir une série de lectures, de capsules multimédias, d’exemples d’exercices et de questions lors d’autoévaluations. Il est fortement conseillé de faire tous les exercices proposés et de consulter le matériel pédagogique, les liens utiles et les références.


• Définir la relativité du mouvement• Utiliser la transformation de Galilée pour la résolution de problèmes


Il est nécessaire de connaître le point d’origine d’un système de coordonnées pour définir la vitesse d’un corps, tout comme sa position. Normalement, ce point d’origine est rattaché à un autre corps, mais ce deuxième corps peut être en mouvement par rapport à un troisième corps, et ainsi de suite. Donc, lorsque l’on parle de la vitesse d’un objet, on désigne habituellement sa vitesse relative à la Terre. Mais la Terre est elle-même en mouvement par rapport au Soleil, et le Soleil est lui-même en mouve-ment par rapport à une autre étoile, et ainsi de suite.

Pour les observateurs se déplaçant dans deux cadres différents, il n’y a pas de force mécanique qui peut distinguer quel observateur est au repos et lequel est en mouve-ment. Einstein a appliqué cette règle à tous les phénomènes physiques.

Les lois de la physique sont identiques dans tous les cadres de référence relativement inertiels. Entre autres, Einstein a appliqué le principe de relativité de Galilée aux domaines électromagnétique et optique qui ont mené à la théorie de la lumière.

La transformation de Galilée, aussi appelée la transformation newtonienne, est une série d’équations en physique classique qui relient les coordonnées d’espace et de temps de deux systèmes se déplaçant à une vitesse constante l’un par rapport à l’autre. S’appliquant uniquement aux phénomènes à faible vitesse, les transformations de Galilée expriment le fait que le temps et l’espace sont absolus et que la longueur, le temps et la masse sont indépendants du mouvement relatif de l’observateur.



Les lectures libres de droits d’auteurs devraient être fournies aux étudiants en version électronique sur support CD en même temps que le module.

Lecture 9 : Vitesse et mouvement relatif

Référence complète : De la version HTML de Simple Nature, par Benjamin Crowell

URL : http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch02/


Résumé :

Cette lecture est un extrait d’un livre de Benjamin Crowell qu’il est possible de consul-ter en ligne à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’extrait recommandé plus haut est pertinent à la présente activité d’apprentissage.

Fondement :

La lecture recommandée contient plusieurs illustrations sur la quantité de mouvement. Le mouvement du centre de masse est aussi représenté à la fin du document. On y trouve une façon particulière de voir les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement.



Introduction

Pour les observateurs se déplaçant dans deux cadres différents, il n’y a pas de force mécanique qui peut distinguer quel observateur est au repos et lequel est en mouve-ment. Einstein a appliqué cette règle à tous les phénomènes physiques.

Les lois de la physique sont identiques dans tous les cadres de référence relativement inertiels. Entre autres, Einstein a appliqué le principe de relativité de Galilée aux domaines électromagnétique et optique qui ont mené à la théorie de la lumière.

Vitesse relative

Avez-vous déjà regardé par la fenêtre d’un autobus ou d’un train qui se déplace rapidement ? Le paysage semble défiler rapidement par la fenêtre. Même si vous savez que le paysage ne bouge pas, il semble se déplacer par rapport à vous qui êtes à l’intérieur du train ou de l’autobus.

Prenons deux voitures, A et B, se déplaçant à une vitesse v

A et

v

B, comme illustré

sur la figure 4.1a ci-dessous. La voiture A dépasse la voiture B. Le chauffeur de la voiture A a l’impression que la voiture B se déplace vers l’ouest. Toutefois, un pas-sager arrière de la voiture B remarque que la voiture A rattrape sa voiture.

La vitesse relative de A par rapport à B est la vitesse que A semble avoir pour un observateur qui se déplace à la vitesse de B. Donc, la vitesse relative de A par rapport à B est effectivement la résultante de la vitesse de A lorsqu’on considère que B est stationnaire et qu’on ajoute la même force de ralentissement à A.

Supposons qu’un long train à wagons plats se déplace vers l’est le long d’un chemin de fer de niveau plat, et que les deux voitures se déplacent sur le wagon plat, comme illustré sur la figure 4.1b ci-dessous.

A BVBF VFE

Dans la figure 4.1b, V

FE représente la vitesse du wagon plat relativement à la Terre

E, et V

AF représente la vitesse de la voiture A relativement au wagon plat. La vitesse


relative du wagon par rapport à la Terre est la somme des vitesses de la voiture A relativement au wagon plat et celle du wagon relativement à la Terre. Donc :

r

VAE

=r

VAF

+r

VFE

Cette même équation fonctionne pour la vitesse relative de la voiture B par rapport au wagon plat et celle du wagon plat relativement à la Terre.

r

VBE

=r

VBF

+r

VFE

Notez que la vitesse relative de la voiture A par rapport à la Terre est la somme des deux vitesses alors que la vitesse de la voiture B relativement à la Terre est la diffé-rence des deux vitesses.

Exemple 1 : Un chauffeur d’une voiture A se déplace à 75 km/h relativement à la Terre, sur une route plate. Il roule en avant d’un motocycliste B qui se déplace dans la même direction à une vitesse de 90 km/h. Quelle est la vitesse relative de B par rapport à A.

Solution

Nous savons que

r

VAE

= 75 km/hr, r

VBE

= 90 km/hr et nous voulons trou-

ver

r

VBA

À partir de la règle vue plus haut de la combinaison des vitesses :

r

VBA

=r

VBE

+r

VEA

Mais r

VEA

= −r

VAE

r

VBA

=r

VBE

−r

VAE

= 90 km/hr − 75 km/hr=15 km/hr

Le motocycliste dépassera le chauffeur de 15 km/h.


Exemple 2 : Démontrez que la position des deux n’a pas d’importance lorsque l’on calcule la vitesse relative. C’est-à-dire que la vitesse relative ne changerait pas si B était devant A.

Solution : Les positions relatives des corps n’ont pas d’importance. La vitesse de B relativement à A demeure à 15 km/h, sauf que le motocycliste prend maintenant de l’avance sur la voiture A à une vitesse de 15 km/h.

Exemple 3 : Les objets 1 et 2 se déplacent à une vitesse constante dans la même

direction positive. L’objet 2 est en tête. Avec Vrel= V

1− V

2, les deux objets entreront

en collision si :

1. Vrel> 0

2. Vrel< 0

3. Vrel= 0

Solution : Pour que l’objet 1 dépasse l’objet 2 et entre donc en collision avec ce-

lui-ci, V

1 doit être supérieur à

V

2 , ce qui donne Vrel

> 0 , puisque V1 et V2

sont positifs.

Exemple 4 : Un passager de train se déplace à 40 m/h vers le nord. S’il marche 5 m/h vers l’avant du train, quelle est sa vitesse relativement au sol ?

a) < 40 m/hb) 40 m/hc) > 40 m/h

Solution : Dans la situation donnée, les deux vitesses vont dans la même direction. La vitesse du passager et la vitesse du train s’additionnent par rapport au sol. La vitesse relative du passager par rapport au sol est donc de 45 m/h.


Transformation de Galilée

La relativité s’applique aux lois de la physique puisqu’elles sont formulées par des observateurs en mouvement relatif. Par exemple, si l’on prend deux observateurs : un homme debout sur le sol qui regarde à l’intérieur d’un train en marche et un homme debout dans ce train. L’homme dans le train laisse tomber une pièce de monnaie. L’homme à l’extérieur du train voit la pièce tomber dans une trajectoire parabolique, tandis que le passager la voit tomber en ligne droite puisqu’il se déplace avec elle à une vitesse constante. L’homme extérieur et le passager observent de différentes positions à des vitesses différentes, mais les deux trajectoires sont relatives à chacun des cadres de référence individuels, comme l’énonce Newton dans sa loi du mouve-ment. Même si ces observateurs ne s’accordent pas sur la trajectoire de la pièce, ils s’accordent sur le fait que la loi de Newton s’applique.

Des expériences ont démontré que si la mécanique newtonienne est valide pour un cadre de référence, elle est aussi valide pour tous les autres cadres de référence se dé-plaçant à une vitesse relative constante par rapport au premier cadre. C’est le principe de la relativité. Le point central nécessaire est l’absence d’accélération significative du système de référence. Il n’y a pas d’accélération significative (incluant la rotation) par rapport aux étoiles fixes ou aux galaxies éloignées. Ces cadres de référence à vitesse constante sont appelés systèmes inertiels, parce que la première loi de Newton s’applique à ces systèmes. Dans la terminologie moderne, nous pouvons dire que la mécanique newtonienne est invariante dans le choix du repère inertiel.

L’invariance de la mécanique newtonienne dans le choix de repères inertiels est appelée relativité galiléenne.

Le terme invariance signifie que l’observateur dans différents systèmes inertiels s’ac-corde sur le fait que la mécanique newtonienne décrit adéquatement les mouvements observés. La mécanique newtonienne, alors, est invariante dans le choix du repère inertiel. Toutefois, les observateurs des différents systèmes inertiels ne s’accordent pas sur les positions et les vitesses des trajectoires observées.

Prenons deux cadres de référence, le cadre O (coordonnées t, x, y, z) et le cadre O’ (coordonnées t’, x’, y’, z’) qui se déplacent à une vitesse constante V, l’un par rapport à l’autre. Les points d’origines coïncident à t= t’ = 0. Les cadres O et O’ sont reliés comme suit :


Nous suivons ici l’hypothèse de Newton sur le temps universel. Nous ferons réfé-rence aux équations reliant les quantités de référence majeure et mineure comme les transformations de Galilée.




1. Donnez un exemple d’objet qui est au repos dans un cadre de référence et en mouvement dans un autre.

2. La trajectoire que suit un corps en mouvement peut être droite dans un cadre de référence et parabolique dans un autre. Donnez un exemple.



1. Un paquet est jeté d’un avion qui vole à l’horizontale. Si l’on considère que la résistance de l’air est négligeable, quelle serait la trajectoire du paquet vue par le pilote? Quelle serait sa trajectoire vue d’un observateur au sol ?

2. Si un satellite artificiel a une révolution d’exactement un jour, quel mouvement semble-t-il faire pour un observateur posté sur la Terre en rotation ?

3. Un passager de bateau se déplaçant plein est à une vitesse de 18 miles observe que la fumée qui s’échappe des cheminées du bateau forme un angle de 20 ° avec le sillage laissé par le bateau. Le vent souffle du sud au nord. La fumée atteint une vitesse, par rapport à la Terre, égale à la vitesse du vent sitôt qu’elle sort des cheminées. Trouvez la vitesse du vent.

4. Une rivière s’écoule plein nord à une vitesse de 2 m/s. Un homme rame pour traverser la rivière, sa vitesse relative par rapport à l’eau étant de 3 m/s vers l’est.

a) Quelle est sa vitesse relative par rapport à la Terre ?

b) Si la rivière est de 1000 m de large, à quelle distance au nord de son point dedépart l’homme atteindra-t-il l’autre rive?

c) Combien de temps prendra l’homme pour traverser la rivière?

5. a) Dans quelle direction le bateau du problème précédent se dirigera afin d’at-teindre un point de l’autre rive directement à l’est de son point de départ ?

b) Quelle sera la vitesse du bateau relativement à la Terre ?

c) Combien de temps prendra l’homme pour traverser la rivière ?


Cette activité sert d’introduction aux concepts de relativité du mouvement. Des ex-périences de la vie de tous les jours, comme le mouvement apparent d’objets au bord de la route lorsque les étudiants se déplacent en voiture, peuvent être prises comme des cas de relativité du mouvement. Pourquoi un autobus qui se déplace en direction opposée semble-t-il aller plus vite qu’un autobus qui dépasse un véhicule qui va dans la même direction que lui? Ceci peut aussi servir à illustrer le concept de la vitesse relative aux élèves du secondaire.


Xi. Concepts-clés (glossaire)1. Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’une particule, une quantité vectorielle, est le produit de la masse de la particule et de sa vitesse.

vmPr

r

=

En terme de quantité de mouvement, la deuxième loi de Newton pour une particule peut être exprimée ainsi :

r

F∑ =d rpdt

2. Impulsion : Lorsqu’une force constante agit pour un certain laps de temps, l’im-pulsion de la force est le produit de la force et du laps de temps. Le changement de la quantité de mouvement d’un corps ou d’un système est égal à l’impulsion de la force nette qui agit sur celui-ci.

r

j =r

F(t2

− t1)∑ =

r

F Δt∑Si la force nette varie dans le temps, alors l’impulsion est :

r

J = Fur

dt∑t1

t 2

∫Le changement dans la quantité de mouvement d’un corps dans un laps de temps équi-vaut à l’impulsion de la force nette qui agit sur le corps pendant ce laps de temps :

r

J =r

P2

−r

P1

La quantité de mouvement d’un corps équivaut à l’impulsion qui l’a fait accélérer d’un état de repos à sa vitesse présente.

3. Force interne : Une force interne est une force exercée par une partie du système sur une autre. Une force externe est une force exercée sur une partie du système par quelque chose qui provient de l’extérieur du système. Un système isolé n’est pas sujet à des forces externes.


4. Quantité de mouvement totale : La quantité de mouvement totale d’un système de particules A, B, C, … est la somme vectorielle de la quantité de mouvement de chacune des particules :

CBA PPPPrrrr

++= + L = LVmVmVm CCBBAA +++rrr

5. Conservation de la quantité de mouvement : Dans tout système de deux parti-cules ou plus, dans lequel la force nette de chaque particule est due seulement aux interactions avec les autres particules du système, la quantité de mouvement totale (la somme vectorielle de la quantité de mouvement des particules) est constante, ou conservée.

6. Collision élastique : Une collision dans laquelle l’énergie cinétique totale est conservée s’appelle une collision élastique. Lorsque l’énergie cinétique n’est pas conservée, la collision est non-élastique.

7. Centre de masse : Le centre de masse d’un système est la position moyenne de la masse du système. Son mouvement sous des forces données est le même que si toute sa masse était concentrée en son centre de masse.

8. Corps rigide : Un corps rigide est un corps qui a une forme et une grandeur pré-cises et immuables.

9. Déplacement angulaire (θ ) : C’est la mesure du changement de la position an-gulaire d’un objet en rotation.

10. Vitesse angulaire (ω ) : C’est le taux de changement dans le temps du déplace-ment angulaire :

ω =

dθ

dt

11. Accélération angulaire α( ) : C’est le taux de changement dans le temps de la vitesse angulaire.

α =

dω

dt

12. Moment d’inertie

I( ) : C’est le mouvement de rotation analogue de la masse. Plus le moment d’inertie d’un corps est grand, plus sa résistance au changement dans sa vitesse angulaire est grande. Le moment d’inertie d’un corps autour d’un axe de rotation particulier ne dépend pas seulement de la masse du corps, mais aussi de la façon dont la masse est distribuée autour de l’axe.


13. Couple τ( ) : Le couple exercé par une force sur un corps est la mesure de son efficacité à faire tourner le corps autour d’un certain point de pivot. Le bras de levier d’une force F autour d’un pivot O est la distance perpendiculaire L entre

la ligne d’action de la force et de O. Le couple τ( ) exercé par la force autour de

O a une magnitude : τ = Force( ) × Moment arm( )

14. Énergie cinétique de rotation : L’énergie cinétique d’un corps qui a un moment d’inertie I et une vitesse angulaire ω (en r/s) est :

K E =

1

2Iω 2

15. Travail de rotation (W) : Le travail fait par un couple constant τ( ) qui agit sur

un corps pendant qu’il fait un déplacement angulaireθ en rad est :

W = τθ

16. Moment cinétique : C’est l’équivalent de la quantité de mouvement dans le

mouvement de rotation. Le moment cinétique

L( ) d’un corps en rotation a une magnitude :

L = moment d'inertie( ) × vitesse angulaire( )= Iω

17. Loi de la gravitation universelle : Selon cette loi, chaque corps de l’univers attire tous les autres corps avec une force qui est directement proportionnelle à chacune de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :

Force gravitationnelle = F = Gm

1m

2

r 2

G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2


18. Le champ gravitationnel : La théorie newtonienne de la gravitation est basée sur l’hypothèse qu’une force agit entre toutes les parties de corps ; c’est-à-dire une action à une certaine distance. Lorsqu’une masse se déplace, la force qui agit sur toutes les autres masses s’ajuste instantanément à la nouvelle location de la masse qui s’est déplacée. La théorie des champs des phénomènes électriques et magnétiques a connu un grand succès et la plupart des théories modernes sur la gravitation sont construites à partir de celle-ci. Dans une théorie du champ, la force gravitationnelle entre les corps est formée en deux étapes : 1. L’un des corps produit un champ gravitationnel qui s’infiltre dans l’environnement, mais qui perd de sa force en s’éloignant de sa source. Le champ agit sur un second corps dans cet espace et subit une force. 2. La force de réaction newtonienne est alors perçue comme une réponse du premier corps au champ gravitationnel produit par le deuxième corps, il y a alors une superposition des champs gravitationnels de tous les points de l’espace…

19. L’énergie potentielle gravitationnelle : L’énergie potentielle survient dans des systèmes dont les parties exercent des forces l’une sur l’autre d’une magnitude relative à la configuration, ou à la position relative, des parties. Dans le cas d’un système entre une balle et la Terre, la force de gravitation entre les deux dépend seulement de la distance qui les sépare. Le travail donné pour les séparer encore plus, ou pour soulever la balle, transfère une énergie additionnelle au système, où elle devient une énergie potentielle gravitationnelle. L’énergie potentielle gravitationnelle près de la surface de la Terre peut être calculée en multipliant le poids d’un objet par sa distance au-dessus du point de référence.

20. Force du champ gravitationnel : C’est la force gravitationnelle qui agit sur une unité de masse à un point donné dans l’espace. C’est l’accélération causée par la gravité qui est formulée comme suit :

g =

GMEarth

r2

21. Transformations de Galilée : Aussi appelées les transformations newtoniennes, elles sont une série d’équations en physique classique qui relient les coordonnées de temps et d’espace de deux systèmes qui se déplacent à vitesse constante l’un par rapport à l’autre. S’appliquant uniquement aux phénomènes à faible vitesse, les transformations de Galilée expriment le fait que le temps et l’espace sont absolus et que la longueur, le temps et la masse sont indépendants du mouvement relatif de l’observateur.


Xii. liste exhaustive des lectures obligatoires

Lecture 1 : Momentum in One Dimension

Référence complète : Conservation of Momentum Version HTML de Simple Nature, par Benjamin Crowell. URL : http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch03/ch03.html#Section3.1 Page visitée le 20 avril 2007

Résumé :

Cette lecture est un extrait d’un livre de Benjamin Crowell qu’il est possible de consul-ter en ligne à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’extrait recommandé plus haut est pertinent pour la présente activité d’apprentissage.

Fondement :

La lecture recommandée contient plusieurs illustrations sur la quantité de mouvement. Le mouvement du centre de masse est aussi représenté à la fin du document. On y trouve une façon particulière de voir les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Les exemples tirés de la nature, comme les comètes, sont intéressants et éducatifs.

Lecture 2 : Momentum Conservation and Transfer

Référence complète : Momentum Conservation and Transfer De : Project PHYSNET PDF Modules URL : http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m15.pdf Page visitée le 20 avril 2007

Résumé : Dans ce document, on trouve la définition de la quantité de mouvement pour une particule et un système de particules. À l’aide des lois de Newton et de la définition de la quantité de mouvement, il est démontré que la quantité de mouvement d’un système de particules isolé reste inchangée avec le temps (c.-à-d. conservé).

Fondement : Ce document traite du contenu de la présente activité d’apprentissage. On y voit d’une façon différente les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Les exercices fournis à la fin du document peuvent aider à appliquer les notions et principes étudiés à différentes situations.


Lecture 3 : Angular Acceleration

Référence complète : Angular Acceleration in circular motion

Project PHYSNET PDF modules




Fondement : Ce document traite du contenu de la présente activité. Il permet de voir d’un autre point de vue les théories de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Des tests et exercices donnés à la fin du document permettent de mettre en application les théories et principes abordés.

Lecture 4 : Momentum in One dimension

Référence complète : Conservation of Momentum

Tiré de la version HTML de Simple Nature, de Benjamin Crowell.

URL : http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch04/ch04.html


Résumé : Ce document est un extrait d’un livre écrit par Benjamin Crowell. Il est possible de consulter le document en entier gratuitement sur Internet à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’adresse donnée dans la référence renvoie à un extrait pertinent pour la présente activité.

Fondement : Cet extrait comporte des illustrations claires sur la quantité de mou-vement. Les théories sur le moment cinétique dans un système à deux ou à trois dimensions sont bien expliquées. De plus, la théorie sur le corps rigide en rotation est abordée de façon très intéressante.


Lecture 5 : Torque and Angular Momentum

Référence complète : Torque and Angular Momentum in circular motion




Résumé : Ce document traite des deux agents de changement, l’accélération angulaire et l’accélération linéaire, qui produisent une accélération angulaire, ainsi que du cas du couple constant dans la cinématique de rotation.

Fondement : Ce document aborde le couple et le moment cinétique, le système de particules, la conservation du moment cinétique et les corps rigides non planaires. Les exercices et l’examen proposés rendent ce site Internet attrayant.

Lecture 6 : Universal gravitation

Référence complète : Newton’s law of Universal Gravitation




Résumé : Dans ce document, on retrouve le contexte historique de la découverte de la loi et le centre de masse et les effets d’objets non compacts sont abordés. La constante G est définie de trois façons.

Fondement : Le document aborde des thèmes en lien avec cette activité. Les exercices et le test modèle proposés sont un supplément important à la présente activité.

Lecture 7 : Orbital Motion







Fondement : Le document aborde des thèmes en relation lien avec la présente ac-tivité. Les exercices et le test modèle proposés sont un supplément important à la présente activité.

Lecture 8 : Gravitational Phenomena






Fondement : Le document aborde des thèmes en relation lien avec la présente ac-tivité. Les exercices et le test modèle proposés sont un supplément important à la présente activité.

Lecture 9 : Vitesse et mouvement relatif

Référence complète : De la version HTML de Simple Nature, par Benjamin Crowell

URL : http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch02/


Résumé : Cette lecture est un extrait d’un livre de Benjamin Crowell qu’il est pos-sible de consulter en ligne à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’extrait recommandé plus haut est pertinent à la présente activité d’apprentissage.

Fondement : La lecture recommandée contient plusieurs illustrations sur la quantité de mouvement. Le mouvement du centre de masse est aussi représenté à la fin du document. On y trouve une façon particulière de voir les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement.


Xiii. liste exhaustive des ressources pertinentes

Ressource 1 : Motion of Center of Mass

URL : http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/CM/CMApplet.html


Description : L’applet montre le mouvement du centre de masse d’un objet en forme d’haltère. Les points rouge et bleu représentent deux masses et sont liés par une tige. La vitesse de projection de l’haltère peut être changée en utilisant les barres de défi-lement correspondant à la vitesse et à l’angle de projection. La barre de défilement du rapport de masse permet de décaler le centre de masse. Dans l’image, m1 est la masse de l’objet bleu et m2, celle de l’objet rouge. Cochez les cases de trajectoire 1 et 2 pour faire apparaître ou disparaître les trajectoires des deux masses.

Fondement : L’applet illustre le mouvement du centre de masse de deux points (en rouge et en bleu). La vitesse et l’angle de projection peuvent être changés.


Ressource 2 : Rotating Stool

URL : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rstoo.html#sm

Résumé : Le document contient des animations et des applets qui permettent de visualiser la dépendance du moment d’inertie sur la distribution de la matière sur un objet.

Fondement : Complément aux notions de l’activité d’apprentissage 2.

Ressource 3 : Hyper Physics

URL : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vesc.html

Page visitée en avril 2007

Description : Cet applet Java permet de faire une série d’expériences virtuelles. Il est possible de choisir la vitesse de libération et la vitesse de révolution orbitale en variant les différents paramètres du projectile.


XiV : liste exhaustive des liens utiles

Lien 1 : Classical Mechanics

Titre : All Thermodynamics

URL : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/


Description : Portrait approfondi des sujets abordés en mécanique I et II.

Fondement : Ce site Web aborde de façon claire la plupart des notions de mécanique dans le domaine de la physique. L’étudiant devrait consulter les chapitres 7, 8 et 9 du livre, dont on peut consulter la version PDF.


Lien 2 : Tutorial on torque from universiy of Guelph

Titre : Torque

URL : http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/index.html


Description : Ce site Web contient des descriptions détaillées de la notion de cou-ple.

Fondement : On y trouve de bons tutoriels sur la notion de couple.

Lien 3 : Universal Gravitation from Wikipedia

Titre : Universal Gravitation

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_universal_gravitation


Description : On y retrouve nombre de théories et le contexte historique de la loi de la gravitation universelle de Newton.

Fondement : Ce site Web fournit une description détaillée du sujet et présente des problèmes et leur solution. Site visité en avril 2007

Université Virtuelle Africaine �0�

Lien 4 : From The physics Class room

Titre : Universal Gravitation and Planetary Motion

URL : http://www.glenbrook.k12.il.us/GBSSCI/PHYS/Class/circles/u6l3c.html


Description : Forum contenant des notes de lecture et des discussions provenant d’une classe de physique.

Fondement : Sujets de discussion ouverts et problèmes interactifs.


Lien 5 : Wikipedia

Titre : Gravitational Field

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_field


Description : Le champ gravitationnel, sa définition dans le domaine de la mécanique classique et sa signification générale sont décrits dans cette section.

Fondement : Utile à ceux qui éprouvent le besoin de comparer plusieurs sources.


Lien 6 : Geostationary Orbit

Titre : Geostationary orbit

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Geostationary


Description : Ce lien explique l’orbite de satellite géostationnaire. Les animations aident à visualiser la notion.

Fondement : Ce site est un bon supplément à la présente activité d’apprentissage.


XV : synthèse du module

Mécanique II

Dans le présent module (mécanique II) nous avons traité en détail des dynamiques d’un système de particules, du mouvement rotationnel et de la force de gravitation. Au début du module, nous avons étudié l’impulsion d’une force et sa relation avec la quantité de mouvement. La relation impulsion-force est généralisée pour un système de particules.

Dans la seconde activité d’apprentissage, nous avons décrit la cinématique et la dy-namique du mouvement de rotation en utilisant de nouvelles quantités. Nous avons vu que les équations du mouvement qui décrivent le mouvement linéaire possèdent des formules équivalentes pour le mouvement de rotation.

La troisième activité portait sur la force de gravitation. Jusque-là, nous avions dé-fini plusieurs forces d’un point de vue entièrement empirique. Afin d’acquérir une compréhension plus unifiée de ces forces et un pouvoir de prédiction plus fort, nous avons examiné, dans cette partie, deux des quatre forces fondamentales qui sont ultimement responsables de toutes les autres forces. Dans cette troisième activité d’apprentissage, nous avons donc traité de la force gravitationnelle qui explique l’interaction entre tous les corps astronomiques, le mouvement des planètes et de la Lune, les trajectoires empruntées par les véhicules spatiaux, le mouvement des marées et le poids des objets.

La quatrième activité d’apprentissage a démontré que le mouvement est un concept relatif. Les quantités de mouvement comme la position, le déplacement et la vitesse ne sont pas universelles, quoique les lois du mouvement de Newton soient valides dans tous les repères inertiels. Les quantités de mouvement dans les différents cadres de référence sont liées par les transformations de Galilée.


XVi. Évaluation sommative

Questions à court développement

1. Un objet en mouvement en heurte un autre qui est stationnaire. Après la collision, se déplaceront-ils dans la même direction?

2. Une carabine de 5 kg et une autre de 7 kg tirent chacune une balle identique à la même vitesse initiale. Comparez l’impulsion de recul et la vitesse de recul des deux armes.

3. Un camion à benne roule le moteur coupé le long d’une route horizontale lorsqu’il commence à pleuvoir.

a) Si l’on ne tient pas compte de la friction, quel est le changement qui survient dans la vitesse du camion (s’il y a un changement)?

b) La pluie s’arrête et l’eau qui s’est accumulée dans la benne s’écoule hors de celle-ci. Quel est le changement qui survient dans la vitesse du camion (s’il y a un changement)?

4. Est-ce qu’un corps peut se déplacer dans une trajectoire elliptique sans qu’il y ait accélération ?

5. De quelles façons, s’il y a lieu, l’accélération due à la pesanteur (g) et la constante de gravité universelle (G) changent-elles en fonction du poids au-dessus de la surface de la Terre ?

6. Deux balles identiques se déplacent vers le bas sur un plan incliné. La balle A glisse vers le bas sans friction et la balle B roule vers le bas. Est-ce que les deux balles arriveront en bas au même moment? Si ce n’est pas le cas, laquelle arrivera la première, et pourquoi?

7. Un cylindre d’aluminium de rayon R, un cylindre de plomb de rayon R et un cylindre de plomb de rayon 2R roulent vers le bas d’un plan incliné. Dans quel ordre atteindront-ils le bas ?

8. Un carré et un rectangle de même masse sont taillés dans la même feuille de métal. Lequel d’entre eux possède le moment d’inertie le plus grand autour d’un axe qui passe en son centre ?


9. Un cylindre solide et un cylindre creux de même masse et de même diamètre. Tous deux, initialement au repos, roulent vers le bas sur le même plan incliné sans glisser.

a. Lequel atteindra le bas en premier ?b. Quelle sera la différence entre leurs énergies cinétiques lorsqu’ils seront arrivés

en bas?

10. Une ficelle est enroulée autour d’une tige, tandis qu’une autre l’est autour d’une poulie. Les deux ficelles ont une charge attachée à l’une de leurs extrémités (les deux charges ont une masse égale). Laquelle des deux charges descendra avec la plus grande accélération et lequel des deux objets effectuant un mouvement de rotation, la tige ou la poulie, a la plus grande accélération angulaire ?


Questions à choix multiple

1. Le moment cinétique total d’un système de particules

a) Change lorsqu’une force externe agit sur le systèmeb) Demeure constant en toutes circonstancesc) Change lorsqu’un couple extérieur net agit sur le systèmed) Peut changer ou ne pas changer lorsqu’un couple extérieur net agit sur le

système, selon la direction du couple

2. Laquelle des unités suivantes n’est pas une unité d’impulsion ?

a) nsb) lb/sc) lb/hd) NM

3. Si la quantité de mouvement d’un corps augmente de 20 %, le pourcentage d’augmentation de son énergie cinétique est égal à :

a) 44b) 88c) 66d) 20

4. La face d’un club de golf exerce une force moyenne de 4000 N lorsqu’elle entre en contact avec la balle. Si elle a une impulsion de 80 ns, le temps de contact sera de :

a) 2 sb) 0,02 sc) 0,2 sd) 0,002 s

5. Une sphère de fer ayant une masse de 50 kg a le même diamètre qu’une sphère d’aluminium dont la masse est de 10,5 kg. Les deux sphères sont lâchées d’une falaise au même moment. À 10 m du sol, les deux sphères sont identiques en :

a) Accélérationb) Quantité de mouvementc) Énergie potentielled) Énergie cinétique


6. Si une voiture gagne de la quantité de mouvement, elle doit :

a) Perdre de l’inertieb) Accélérerc) Se déplacer rapidementd) Devenir plus légère

7. Si la collision du problème 16 est complètement élastique, la vitesse du chariot de 20 kg après la collision sera approximativement de :

a) 3 m/sb) 6 m/sc) 4 m/sd) 2 m/s

8. Une bombe lancée d’un avion explose dans les airs.

a) Sa quantité de mouvement totale diminue.b) Sa quantité de mouvement totale augmente.c) Son énergie cinétique totale augmente.d) Son énergie cinétique totale diminue.

9. Lorsqu’un avion effectue une boucle, le pilote ne tombe pas parce que :

a) Le poids du pilote fournit la force centripète nécessaireb) Le poids du pilote fournit la force antigravitationnelle nécessairec) Le poids du pilote fournit la force centrifuge nécessaired) Toutes ces réponses

10. Un mince anneau de masse M et de rayon r effectue un mouvement de rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire constante� . Deux objets de masse m sont attachés aux extrémités du diamètre de l’anneau. La roue tourne maintenant avec une vitesse angulaire :

a. ω M ( M + m)

b. ω M ( M = 2m)( M + 2m)

c. ω M ( M + 2m)

d. ω ( M + 2m) M


11. Le coefficient de restitution est :

a) Un nombre qui varie entre -1 et 1b) Un nombre négatif qui varie de 0 à -1c) Un nombre positif qui varie de 0 à 1d) Un nombre positif

12. Si la calotte polaire fond, la longueur des journées :

a) Augmenterab) Diminuerac) Restera la mêmed) Les données sont insuffisantes à la résolution de ce problème

13. Afin de faire suivre une trajectoire circulaire à un corps, il est nécessaire d’ap-pliquer :

a) Une force gravitationnelleb) une force d’inertiec) Une force centrifuged) Une force centripète

14. L’accélération centripète d’une particule effectuant un mouvement circulaire est

a) Égale à son accélération tangentielleb) Moindre que son accélération tangentiellec) Plus grande que son accélération tangentielled) Peut être plus ou moins grande que son accélération tangentielle

15. Si la fréquence est de 2 rad/s, la vitesse angulaire est de :

a) 4π rad/sb) π 8 rad/sc) 2 rad/sd) 4 rad/s

16. L’accélération d’un corps qui effectue un mouvement circulaire est constante :

a) En magnitude seulementb) En magnitude et en directionc) En direction seulementd) Ni en magnitude, ni en direction.

Université Virtuelle Africaine ��0

17. L’accélération centripète d’un corps de 2 kg se déplaçant dans un rayon de 0,5 m à une vitesse linéaire de 4 m/s est de :

a) 10 m/s2

b) 4 m/s2

c) 20 m/s2

18. Dans un problème d’équilibre, l’axe autour duquel les couples sont calculés :

a) Doit passer dans le centre de gravité du corpsb) Doit passer par l’une des extrémités du corpsc) Doit croiser la ligne d’action d’au moins une des forces qui agissent sur le

corpsd) Peut être localisé n’importe où

19. Lequel des objets suivants a le plus grand moment d’inertie, si l’on suppose qu’ils ont tous la même masse et le même rayon ?

a) Un disque solideb) Une sphère solidec) Un cerceaud) Un cylindre solide

20. La vitesse linéaire d’un objet effectuant une trajectoire circulaire d’un rayon de 2 m à une fréquence de 5 rad/s est de :

a) 4 m/sb) 20 m/sc) 3 m/sd) 10 m/s

21. Un point situé au bord d’un disque en rotation d’un rayon de 8 m se déplace sur un angle de 2 rad. La longueur de la trajectoire décrite par le point est de :

a) 0,25 mb) 4 mc) 16 md) 4 rad

22. Laquelle des quantités suivantes n’est pas impliquée dans le mouvement de rotation d’un corps ?

a) La masseb) Le couplec) Le moment d’inertied) La vitesse angulaire


23. Un cercle complet contient :

a. π /2 radiansb. π /4 radiansc. π radians d. 2π radians

24. Une roue qui possède un moment cinétique de 10 kg m2/s a un moment d’inertie égal à 6,5 kg m2. Sa vitesse angulaire est de :

a) 5 rad/s b) 20 rad/s c) 40 rad/sd) 0,02 rad/s

25. Un objet au bout d’une ficelle effectue un mouvement circulaire uniforme. Le-quel des changements suivants ne causerait pas une augmentation de la force centripète ?

a) Une ficelle plus longueb) Une vitesse linéaire plus grandec) Une ficelle plus courted) Une masse plus grande

26. À l’intérieur d’un corps rigide effectuant un mouvement circulaire uniforme, une particule située à une distance R de l’axe de rotation :

a) A une vitesse angulaire inversement proportionnelle à Rb) A une vitesse angulaire proportionnelle à Rc) A une vitesse linéaire proportionnelle à Rd) A une vitesse linéaire inversement proportionnelle à R

27. L’unité du moment d’inertie d’un système dans le système M.K.S.A est :

a) kg m3

b) kg m2

c) kg/m2

d) kg m

28. Un objet se déplace suivant un cercle à une vitesse constante. Son accélération est constante :

a) En magnitude seulementb) En magnitude et en direction c) En direction seulementd) Ni en magnitude, ni en direction


29. Laquelle des formules suivantes pour le moment d’inertie (M.I.) de cas simples n’est pas correcte ?

a) Le M.I. d’une tige uniforme de masse M et de longueur I autour d’un axe passant par son centre perpendiculairement à sa longueur est : I = MI2/12

b) Le M.I. d’un disque de masse M et de rayon r tournant autour d’un axe per-pendiculaire à son plan est : I = 1/2 Mr2

c) Le M.I. dans le cas de (b) autour d’un axe passant par l’une de ses extrémités, perpendiculairement à sa longueur est : I = MI2/4

d) Le M.I. d’une sphère de masse M et de rayon r autour d’un diamètre est : I = 2/5Mr2

30. Pour un corps rigide qui tourne autour d’un axe, si I et � sont respectivement son moment d’inertie et sa vitesse angulaire, son moment cinétique L autour de l’axe en question est formulé ainsi :

a. L = Iω

b. L = ω / I

c. L = I / ω

d. L = Iω

31. Si la masse d’un corps en rotation se déplace vers son axe de rotation, son mo-ment d’inertie :

a) Demeure le mêmeb) Diminuec) Augmented) Peut augmenter ou diminuer

32. Lorsque le lait est baratté, la crème se sépare à cause des :

a) Forces gravitationnellesb) Forces centrifugesc) Forces de cohésiond) Forces de friction

33. Lorsqu’une balle attachée à une ficelle effectue des cercles à la verticale, la tension de la ficelle est plus grande lorsque :

a) La ficelle est plus longueb) La vitesse de la balle augmentec) La balle est à son point le plus hautd) La vitesse de la balle diminue


34. Une révolution équivaut à :

a) 57,3 radiansb) 6,28 radiansc) 57,3 degrésd) 6,28 degrés

35. Lorsqu’une voiture se déplace à une vitesse constante autour d’une piste circu-laire, une quantité qui est constante, mais qui n’est pas nulle est :

a) Son accélérationb) Sa vitesse angulairec) Sa vitessed) Son accélération angulaire

36. Lorsque la position angulaire d’une balançoire est de 45 °, sa vitesse linéaire est :

a) Négative et croissanteb) Positive et décroissantec) Positive et croissanted) Négative et décroissante

37. Un cylindre de plomb solide de rayon R, un cylindre creux de rayon R/2 et une sphère de plomb solide sont lâchés au même moment. Le premier objet à atteindre le sol sera :

a) Le cylindre de plomb solide de rayon Rb) Le cylindre creux de rayon R/2c) La sphère de plomb solide

38. Suite à la redistribution de la masse d’un corps, si son moment d’inertie augmente, alors sa vitesse angulaire :

a) Diminueb) Demeure la mêmec) Augmented) Aucune de ces réponses


39. Si I et E sont respectivement le moment d’inertie et l’énergie cinétique de ro-tation d’un corps, alors son moment cinétique L s’exprime ainsi :

a)

2E2

2Ib) 2E2 I

c) 2EI

d) 2EI

40. La vibration d’un corps est donnée par l’équation différentielle

d2 xdt2

+ ω 2 x = 0

L’amplitude le laps de temps sont de :

a) 6 cm et 10 πb) 8 cm et 10 πc) 10 cm et 0,2 sd) 14 cm et 2 s

41. L’accélération d’un corps roulant vers le bas d’un plan incliné est formulée ainsi :

a.

gsinθ

1+k 2

R 2

b.

gsinθ

1+R 2

K 2

c.

gsinθ

R 2 +k 2

R 2


d.

gsinθ

K 2 +k 2

R 2

42. Si la Terre arrêtait de tourner, le poids des objets situés à l’équateur :

a) Augmenteraitb) Resterait le mêmec) Diminueraitd) Varierait avec la latitude

43. L’homme de l’exercice 3 aurait atteint la même destination s’il avait gardé le cap. Quelle est la direction de départ ?

a) 45 ° nord estb) 22 ° nord est c) 50 ° nord estd) 63 ° nord est

44. Un satellite se déplace sur une trajectoire circulaire à une vitesse de

20.000 km/h afin de rester à une altitude constante. Pour échapper à l’attraction terrestre, la vitesse devrait augmenter à :

a) 28 000 km/hb) 21 000 km/hc) 40 000 km/hd) 64 000 km/h

45. La force gravitationnelle qui attire la Lune à la Terre

a) Est plus petite que la force qui attire la Terre à la Luneb) Est la même que la force qui attire la Terre à la Lunec) Est plus grande que la force qui attire la Terre à la Luned) Varie selon les phases de la Lune


46. La constante gravitationnelle est de 6,67 x 10-11N.m2/kg2. Quelle est la force gravitationnelle entre des balles de 4 kg séparées par 0,2 m?

a) 1,33 x 10-8Nb) 2,67 x 10-8Nc) 5,34 x 10-7Nd) 6,67 x 10-8N

47. La valeur de la constante de gravitation universelle G dans un système M.K.S est de :

a) 6,67 x 10-11N.m2/kg2

b) 2,81 x 20-11 N.m2/kg2

c) 5,68 x 10-11 N.m2/kg2

d) 3,00 x 10-11 N.m2/kg2

48. La force gravitationnelle entre les corps ne dépend pas :

a) Du produit de leurs massesb) De leur séparationc) De la somme de leurs massesd) De leur constante gravitationnelle

49. Lorsqu’un vaisseau spatial est à une distance de deux fois le rayon de la Terre par rapport au centre de la Terre, son accélération gravitationnelle est de :

a) 9,8 m/s2

b) 19,6 m/s2

c) 4,0 m/s2

d) 2,45 m/s2

50. Un satellite est en orbite près de la Terre. Afin de l’envoyer dans l’infinité, sa vitesse orbitale doit augmenter de :

a) 20 %b) 10 %c) 41,4 %d) 100 %

51. Un astronaute de 100 kg laisse s’échapper 1 g de gaz d’un pistolet spécialement conçu à cet effet à une vitesse de 50 m/s. Il se déplace alors en direction opposée à une vitesse de :

a) 50 cm/sb) 5 cm/sc) 0,5 cm/sd) 0,05 cm/s


52. Kepler a modifié le système de Copernic en démontrant que les orbites planétaires sont :

a) Des ellipsesb) Des cerclesc) Une combinaison de cercles formant des orbites en bouclesd) À une distance égale les unes des autres

53. S’il n’y avait pas d’atmosphère, la longueur d’un jour sur Terre :

a) Diminueraitb) Demeurerait la mêmec) Augmenteraitd) Changerait selon le climat

54. Si la Terre avait un deuxième satellite, situé à deux fois la distance de la lune, sa période de révolution serait de :

a) 28 jours 22/3

b) 28 jours x 22/3

c) (28 jours)3/2

d) (240 000)3/2

55. Une planète imaginaire a deux fois la masse et deux fois le rayon de la Terre. L’accélération de la gravité à sa surface est de :

a) 4,9 m/sb) 19,5 m/sc) 9,8 m/sd) 39,2 m/s

56. Si la Terre était située trois fois plus loin du Soleil qu’elle ne l’est maintenant, la force gravitationnelle exercée sur elle par le Soleil serait :

a) Neuf fois plus grande que maintenantb) Trois fois plus grande que maintenantc) Un tiers de fois plus grande que maintenantd) Un neuvième de fois plus grande que maintenant


57. Un satellite artificiel se déplace dans une orbite circulaire autour de la Terre. Si R est le rayon de la Terre et que h est la hauteur à laquelle le satellite est situé au-dessus de la surface de la Terre, laquelle des formules suivantes est utilisée pour calculer la vitesse orbitale du satellite ?

a) a.

v = R

g(R − h)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1/ 2

b.

v = R

g(R − h)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

c.

v = R

g(R − h)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

d. 29.6 m/ s

58. Un poids est suspendu au milieu d’une corde dont les extrémités sont au même niveau. Afin que la corde soit complètement horizontale, les forces appliquées sur les extrémités de la corde :

a) Doivent être plus grande que le poidsb) Doivent égaler le poidsc) Doivent être assez grandes pour casser la corded) Doivent être infinies

59. Une sphère de métal creuse est remplie d’eau et est suspendue au bout d’un long fil. L’eau s’écoule par un petit trou au fond de la sphère. En quoi la période de révolution de l’oscillation en sera affectée ?

a) La période de révolution ira en décroissant à mesure que la sphère se viderab) La période de révolution ira en croissant à mesure que la sphère se viderac) La période de révolution demeurera la mêmed) La période de révolution ira en croissant d’abord, puis elle ira en décroissant

et finalement, la période de révolution redeviendra la même que lorsque la sphère était remplie d’eau.


60. Quel doit être le volume d’un ballon censé supporter une masse totale de 10 000 kg à un point où la densité de l’air est de 1,2 kgm3 ? (La masse totale inclut celle du ballon, de l’hélium qui le remplit et de la charge qu’il supporte.)

a) 833 m3

b) 1 200 m3

c) 85 m3

d) 29,6 m/s

61. La vitesse de projection minimale pour sortir du champ gravitationnel de la Terre est connue sous le nom de :

a) Vitesse de projectileb) Vitesse de libérationc) Vitesse angulaired) Vitesse terminale

62. Le carré du temps de révolution d’un satellite autour de la Terre est :

a) Directement proportionnel au cube du rayon de l’orbiteb) Inversement proportionnel au cube du rayon de l’orbitec) Directement proportionnel au rayon de l’orbited) Inversement proportionnel au rayon de l’orbite

63. La Terre retient son atmosphère :

a) Parce que la Terre est une sphèreb) À cause de la vitesse moyenne des moléculesc) À cause de la population de la Terred) Parce que la vitesse de libération est plus grande que la vitesse des molécu-

les

64. Pour savoir l’heure, un astronaute à bord d’un satellite en orbite autour de la Terre doit utiliser :

a) Une horloge à penduleb) Une montre à ressortc) a ou bd) Aucune de ces réponses

65. Pour atteindre la cible, un tireur à la carabine doit viser :

a) Plus haut que la cibleb) Plus bas que la ciblec) Directement sur la cibled) En direction verticale vers le haut

Université Virtuelle Africaine ��0

66. Le ratio de la vitesse orbitale et de la vitesse de libération est de :

a) 1: 2b) 2 : 1

c) 2 :1d) 4 : 1

67. Laquelle des réponses suivantes n’influe pas sur l’accélération due à la pesanteur ?

a) La latitudeb) L’altitudec) La longituded) La profondeur

68. Une fusée peut être lancée verticalement dans l’atmosphère :

a) À cause de l’attraction gravitationnelle du Soleilb) Parce qu’elle est plus légère que l’airc) Parce qu’elle possède une hélice qui déplace plus d’air par unité de temps que

le poids de la fusée.d) À cause de la force exercée par les gaz éjectés par la fusée

69. La vitesse de libération d’un corps projeté verticalement vers le haut à partir de la surface de la Terre est de 11,2 km/s. Si un corps est projeté dans une direction formant un angle de 45° par rapport à un axe vertical, la vitesse de libération sera de :

a. 11.2 × 2km/ s

b. 11.2 ×

1

2km/ s

c. 11.2 × 2km/ s

d. 11.2 km/ s


XVii. références bibliographiques

Ceci est une liste complète des références bibliographiques, comportant des manuels de référence dans le domaine, utilisés dans l’élaboration de ce module. (Ces documents ne sont pas destinés aux étudiants, ils n’ont pas à être exempts de droits d’auteurs.)

Finn, C. B.P (1993). Thermal Physics, Chapman & Hall, London.

Raymond A. Serway (1992). PHYSICS for Scientists & Engineers. Updated Ver-sion.

Kleppner & Kolenkow An introduction to mechanics.

Douglas D. C. Giancoli Physics for scientists and engineers. Vol. 2. Prentice Hall.

Sears, Zemansky and Young, College Physics, 5th Ed.

Sena L.A. (1988) Collection of Questions and Problems in physics, Mir Publishers Moscow.

Nelkon & Parker (1995) Advanced Level Physics, 7th Ed, CBS Publishers & Ditri-buter, 11, Daryaganji New Delhi (110002) India. ISBN 81-239-0400-2.

Godman A and Payne E.M.F, (1981) Longman Dictionary of Scientific Usage. Second impression, ISBN 0 582 52587 X, Commonwealth Printing press Ltd, Hong Kong.

Beiser A., (2004) Applied Physics, 4th ed., Tata McGraw-Hill edition, New Delhi, India

Halliday D., Resnick R., and Walker J. (1997), Fundamentals of Physics, 5th ed., John Wiley and Sons


XViii. biographie de l’auteur

Renseignements sur l’auteur de ce module

Dr. Tilahun Tesfaye

Department of physics, Addis Ababa University,

Ethiopia, East Africa.

P.O.Box 80359 (personal), 1176 (Institutional)

E-mail: [email protected]; [email protected].

Tel: +251-91-1418364

Fax : +251-11-1223931

Bibliographie

L’auteur de ce module est actuellement à la tête du département de physique à l’uni-versité Addis Ababa. Il est l’auteur de manuels scolaires utilisés dans toutes les écoles éthiopiennes. Il a enseigné tant au secondaire qu’à l’université. Il a aussi travaillé en tant qu’expert en développement de programmes et de matériel didactique pour le panel du bureau de l’éducation de l’université Addis Ababa.

Vous êtes conviés à communiquer avec l’auteur pour toute question, commentaire ou suggestion en lien avec ce module.


XiX. structure des fichiers

Nom du module en format WORD :

• mechanicsII.doc

Nom des autres documents (WORD,PDF, PPT, etc.)

• Compulsory readings MechanicsII.pdf Résumé : Les huit lectures obligatoires proposées dans ce module sont com-

pilées dans un document PDF. • Read_me.txt Résumé : Dans ce document, vous trouverez l’information liée aux autres

documents inclus dans le dossier Reading Directory.

1

MECANIQUE 2

Lectures Obligatoires

Source: Wikipedia.org

2

Table des matières Mouvement de rotation .............................................................................................................................. 5

Définition ................................................................................................................................................ 5

Cinématique dans l'espace ................................................................................................................ 8

Dynamique et énergétique ..................................................................................................................... 9

Centre instantané de rotation .................................................................................................................. 10

Définition .............................................................................................................................................. 10

Exemple des danseuses de cancan ...................................................................................................... 11

Justification .......................................................................................................................................... 11

Utilisation du CIR dans un problème de cinématique plane ........................................................... 13

Orbite ......................................................................................................................................................... 14

Éléments orbitaux ................................................................................................................................ 14

Périodes ................................................................................................................................................. 17

Relations entre les anomalies et les rayons ........................................................................................ 17

Barycentre (physique) .............................................................................................................................. 18

Historique ............................................................................................................................................. 18

Développement mathématique ............................................................................................................ 19

Développements physiques .................................................................................................................. 20

Centre d'inertie ................................................................................................................................ 21

Centre de gravité .............................................................................................................................. 21

Méthode graphique .......................................................................................................................... 22

Astronomie ............................................................................................................................................ 22

Localisation du centre de gravité d'une plaque à deux dimensions ................................................ 23

Système masse-ressort .............................................................................................................................. 23

Oscillations rectilignes d'une masse soumise à l'action d'un ressort ............................................... 23

Amélioration ......................................................................................................................................... 25

Autre amélioration ............................................................................................................................... 25

Moment de force (mécanique) ................................................................................................................. 25

Translation d'une force ....................................................................................................................... 26

Moment par rapport à un point ...................................................................................................... 26

Moment par rapport à un axe ......................................................................................................... 28

Couple de forces ............................................................................................................................... 29

3

Théorème de Varignon .................................................................................................................... 30

En dynamique ....................................................................................................................................... 30

Moment d'inertie ....................................................................................................................................... 31

Approche empirique ............................................................................................................................ 31

Détermination du moment d'inertie ................................................................................................... 31

Moments d'inertie particuliers ........................................................................................................... 32

La boule ............................................................................................................................................. 32

La barre ............................................................................................................................................ 33

Le cylindre plein ............................................................................................................................... 33

Le cylindre creux .............................................................................................................................. 33

Théorème de transport (ou Théorème d'Huygens ou Théorème de Steiner) ................................. 34

Énergie cinétique ....................................................................................................................................... 34

Historique ............................................................................................................................................. 34

Conventions .......................................................................................................................................... 34

Définitions ............................................................................................................................................. 35

Cas d'un point matériel ................................................................................................................... 35

Cas d'un système de points .............................................................................................................. 35

Unité ...................................................................................................................................................... 36

Théorème de König .............................................................................................................................. 36

Enoncé ............................................................................................................................................... 36

Application à un solide .................................................................................................................... 36

En mécanique relativiste ..................................................................................................................... 37

Théorème de l’énergie cinétique ......................................................................................................... 38

Énoncé ............................................................................................................................................... 38

Démonstration .................................................................................................................................. 39

Théorème de la puissance cinétique ................................................................................................... 39

L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique ............................................................................ 40

Énergie mécanique .................................................................................................................................... 40

]Expression ........................................................................................................................................... 40

Solide ponctuel ................................................................................................................................. 40

Solide étendu non déformable ......................................................................................................... 41

Solide déformable ............................................................................................................................. 41

4

Théorème de l'énergie mécanique ...................................................................................................... 41

Conservation ......................................................................................................................................... 42

5

Mouvement de rotation

Sphère en rotation autour d'un de ses diamètres

La rotation est l'un des deux mouvements simples fondamentaux des solides, avec la translation

rectiligne. En génie mécanique, il correspond au mouvement d'une pièce en liaison pivot par

rapport à une autre.

La notion de mouvement circulaire est une notion de cinématique du point : on décrit la position

d'un point dans le plan. La rotation est une notion de cinématique du solide : on décrit

l'orientation d'un solide dans l'espace.

L'étude du mouvement de rotation est la base de la méthode du centre instantané de rotation

(CIR).

Définition []

Un solide est en rotation si la trajectoire de tous ses points sont des cercles dont le centre est une

une même droite ; cette droite est appelée « axe de rotation », et habituellement notée Δ.

En cinématique dans le plan, les trajectoires des points sont des cercles concentriques, le centre

commun de ces cercle est appelé « centre de rotation » et habituellement noté O.

Définitions []

Définition de l'orientation et de la vitesse angulaire

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Translation_rectiligne&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Translation_rectiligne&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9nie_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Liaison_pivot

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_circulaire_uniforme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cin%C3%A9matique_du_point

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cin%C3%A9matique_du_solide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_instantan%C3%A9_de_rotation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Axe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotating_Sphere.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotating_Sphere.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_barre_position_vitesse_angulaire.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_barre_position_vitesse_angulaire.svg

6

L'orientation du solide est repérée par un angle habituellement noté θ (voir Angles d'Euler). En

cinématique plane, cet angle peut être défini comme l'angle entre

une direction de référence passant par O, en général l'axe (Ox), et

une droite passant par O et par un point A donné du solide distinct de O.

La vitesse de rotation ω est définie par

.

l'accélération angulaire α est définie par

soit également

.

À l'instar du mouvement de translation et du mouvement circulaire, on distingue le mouvement

de rotation uniforme et le mouvement de rotation uniformément varié.

Mouvement de rotation uniforme []

Dans le cas du mouvement de rotation uniforme, on a une accélération angulaire nulle

α = 0

donc la vitesse de rotation est constante

ω = ω0

et l'angle croît de manière linéaire

θ = θ0 + ω0×t

où θ0 est l'orientation à l'instant initial. Ce mouvement idéal est en général utilisé pour décrire la

partie centrale d'un mouvement (vitesse angulaire stable).

Mouvement de rotation uniformément varié []

Dans le cas du mouvement de rotation uniforme, on a une accélération angulaire constante

http://fr.wikipedia.org/wiki/Angles_d%27Euler

7

α = α0

donc la vitesse de rotation varie de manière uniforme

ω = ω0 + α0×t

où ω0 est la vitesse à l'instant initial, et l'angle croît de manière quadratique

θ = θ0 + ω0×t + 1/2×α0×t2

où θ0 est l'orientation à l'instant initial. Ce mouvement idéal est en général utilisé pour décrire le

début et la fin d'un mouvement (mise en route ou arrêt).

Mouvement des points []

Triangle des vitesses dans le cas d'une barre en rotation

Triangle des vitesses dans le de points situés sur des axes différents

Chaque point M de l'objet a une trajectoire circulaire, donc décrit un cercle de centre O et de

rayon R = OM. Le vecteur vitesse instantané est tangent au cercle, donc perpendiculaire au rayon

[OM]. Sa norme vaut

v = ω×R.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_vitesse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_ellipse_triangle_vitesses.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_ellipse_triangle_vitesses.svg

8

Les équations horaires du point dans le cas des mouvements uniforme est décrit dans l'article

Mouvement circulaire uniforme. Dans le cas général, elles sont décrites dans l'article Mouvement

circulaire non uniforme.

Graphiquement, si l'on considère les vecteurs vitesse des points appartenant à une même droite

passant par O, leurs extrémités sont sur une droite passant par O (en raison de la proportionnalité

en R) ; la figure ainsi formée est appelée « triangle des vitesses ».

Cela permet une résolution graphique de problèmes cinématiques : si l'on connaît la vitesse d'un

point du solide — par exemple point en contact avec un actionneur (extrémité de tige d'un vérin,

dent d'engrenage), on peut déterminer le vecteur vitesse de tous les points du solide :

leur direction est perpendiculaire au rayon en ce point ;

la norme de la vitesse de tous les points situés sur un même cercle de centre O est

identique ;

si l'on « rabat » les points sur une même droite passant par O, les vecteurs forment le

triangle des vitesse.

Par « rabattre le point B sur la droite », on entend trouver le point B' de la droite situé sur le

même cercle de centre O.

Cinématique dans l'espace []

Position et vecteur vitesse de rotation

Dans le cas de la cinématique dans l'espace, on prend un axe de référence normal à l'axe de

rotation et le coupant en O, et un point A du solide situé dans le plan normal à l'axe de rotation et

passant par O.

Le vecteur vitesse de rotation est le vecteur

ayant pour direction l'axe de rotation ;

dont le sens est déterminé par la règle conventionnelle d'orientation : règle de la main

droite, sens de vissage ;

dont la norme est la dérivée de la position par rapport au temps.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_circulaire_uniforme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_circulaire_non_uniforme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_circulaire_non_uniforme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Orientation_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_barre_position_vitesse_angulaire_3d.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Rotation_barre_position_vitesse_angulaire_3d.svg

9

Le vecteur accélération angulaire est la dérivée vectorielle de :

Si O est un point de l'axe de rotation et A un point quelconque du solide, le vecteur vitesse en

A est obtenu par

.

Le vecteur vitesse angulaire est la résultante du torseur cinématique. Le vecteur vitesse en A

est le moment de ce torseur en ce point de réduction.

Dynamique et énergétique []

On peut appliquer la dynamique du point à chaque élément de matière du solide. En intégrant sur

la totalité du solide, on trouve les résultats suivants :

l'inertie en rotation, ou inertie à la rotation, par rapport à l'axe Δ est exprimée par le

moment d'inertie JΔ ;

l'accélération angulaire est reliée aux couples extérieurs Cext et aux moments des forces

extérieures par rapport à l'axe par le principe fondamental de la dynamique :

ou, sous forme vectorielle

.

Article détaillé : Dynamique de rotation.

Par ailleurs, l'énergie cinétique en rotation Ec s'exprime par

et le théorème de l'énergie cinétique énonce que la variation de l'énergie cinétique est égale à la

somme des travaux des couples et moments internes et externes. Le travail d'un couple C

constant entre deux positions θ1 et θ2 s'écrit

Wθ1→θ2(C) = C⋅(θ2 - θ1),

le paramètre (θ2 - θ1) étant l'amplitude du mouvement. Si le couple varie, on définit alors le

travail élémentaire pour une petite rotation d'un angle dθ

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur_cin%C3%A9matique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Couple_%28m%C3%A9canique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27une_force

http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_fondamental_de_la_dynamique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dynamique_de_rotation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique

10

dWC = C⋅dθ

et

.

La puissance P du couple se définit par

PC = C⋅ω.

Sous forme vectorielle, la puissance devient

.

Centre instantané de rotation

Le centre instantané de rotation (CIR) est un terme utilisé en mécanique classique et plus

particulièrement en cinématique pour désigner le point autour duquel tourne un solide à un

instant donné par rapport à un repère de référence.

Définition []

À l'instant t, I est le centre instantané de rotation du solide S dans le repère R défini par les axes

Ox et Oy.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_classique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cin%C3%A9matique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Centre_Instantan%C3%A9_Rotation.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Centre_Instantan%C3%A9_Rotation.svg

11

Lorsqu'un solide isolé au sens mécanique du terme, se déplace suivant une trajectoire comprise

dans un plan, le CIR se définit comme le point où le vecteur vitesse est nul.

Le CIR se situe sur la perpendiculaire à chaque vecteur vitesse du solide isolé passant par le

point d'application de ce dernier.

Lorsque le solide isolé se déplace uniquement en translation dans un plan, le CIR est projeté à

l'infini.

Le torseur cinématique réduit au CIR est :

Exemple des danseuses de cancan []

Danseuses de French cancan vues de haut

L'illustration représente des danseuses de cancan vues de dessus. Si on considère que l'ensemble

des cinq danseuses est un solide isolé au sens mécanique du terme, on peut dire que le centre

instantané de rotation est la danseuse centrale, puisqu'elle n'a pas de vitesse relative

contrairement à ses compagnes qui ont une vitesse proportionnelle à leur éloignement du centre.

Justification []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur_cin%C3%A9matique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cancan

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:CIR_LIDO.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:CIR_LIDO.png

12

Sur un court instant, le mouvement d'une bielle (bas) dans un système manivelle-bielle-piston est

équivalent à une rotation autour du CIR (haut)

Considérons une pièce ayant un mouvement plan quelconque, par exemple le mouvement d'une

bielle. Si l'on prend une photographie, on a un flou en raison du mouvement : les points

« filent », et les segments de droite générés par les points sont une image des vecteurs vitesse.

Si la bielle était en rotation autour de son CIR, on obtiendrait une photo semblable, avec le même

flou. Sur un très court instant — le temps de pose de la photographie —, les deux mouvements

sont équivalents.

De manière plus rigoureuse : le torseur cinématique d'un solide en mouvement plan dans le plan

(Oxy ) réduit à un point quelconque A s'écrit :

c'est un glisseur puisque et sont orthogonaux. Il existe donc un point B tel que

. d'après la propriété d'équiprojectivité, on a

.

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quiprojectivit%C3%A9_en_physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Piston_bielle_manivelle_flou_CIR.svg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Piston_bielle_manivelle_flou_CIR.svg

13

Si l'on note (X, Y, 0) les composantes de , on a alors

si ωz n'est pas nul, alors le point B existe et est unique ; il est appelé centre instantané de rotation.

Utilisation du CIR dans un problème de cinématique plane []

Considérons un mouvement plan qui n'est pas une mouvement de translation. Durant un court

instant, tout se passe comme si le solide était en mouvement de rotation autour de son CIR. On

peut alors appliquer les relations établies dans le cas des mouvements de rotation, et en

particulier la notion de triangle des vitesses. Cela permet de déterminer le vecteur vitesse en un

point quelconque du solide, à condition de connaître :

le vecteur vitesse en un point ;

la position du CIR.

La méthode est une alternative à la méthode de l'équiprojectivité.

Application à une voiture dans un virage

Prenons l'exemple d'une voiture en virage, dont on connaît la direction, le sens, le point

d'application et l'intensité (5 m/s) du vecteur vitesse de la roue avant. On connaît également la

direction, le point d'application et le sens de la roue arrière. Les points A et B sont les centres des

roues et respectivement les points d'application de leur vecteur vitesse.

L'objectif est de déterminer l'intensité du vecteur vitesse de la roue arrière.

Résolution graphique grâce au CIR :

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mouvement_plan&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_de_rotation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_des_vitesses

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quiprojectivit%C3%A9_en_physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:CIR.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:CIR.png

14

1. On choisit une échelle des vitesses, par exemple 10 mm pour 1 m/s ;

2. On place le vecteur vitesse de la roue avant au point A ;

3. On trace (en rouge) la direction du vecteur vitesse de la roue arrière au point B ;

4. Le CIR se situe sur une droite passant par le point d'application des vecteurs vitesse et

perpendiculaire à ces derniers : on trace donc les traits verts, et on déduit le CIR ;

5. On mesure le segment [CIR B] et on reporte la mesure sur le segment [CIR A] trait bleu ;

6. On trace une droite passant par le CIR et par l'extrémité du vecteur vitesse associé au

point A ;

7. On trace un segment perpendiculaire à [CIR A] passant par le mesure reportée sur [CIR

A] et coupant le segment passant par CIR et par l'extrémité de ;

8. On mesure ce dernier segment et en fonction de l'échelle on trouve l'intensité du vecteur

vitesse .

Orbite

Orbite circulaire de deux corps de masse différentes autour de leur barycentre (croix rouge).

En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que décrit dans l'espace un corps autour d'un

autre corps sous l'effet de la gravitation.

L'exemple classique est celui du système solaire où la Terre, les autres planètes, les astéroïdes et

les comètes sont en orbite autour du Soleil. De même, des planètes possèdent des satellites

naturels en orbite. De nos jours, beaucoup de satellites artificiels sont en orbite autour de la

Terre.

Les trois lois de Kepler permettent de déterminer par le calcul le mouvement orbital.

Éléments orbitaux []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trajectoire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gravitation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_solaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Terre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan%C3%A8te

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ast%C3%A9ro%C3%AFde

http://fr.wikipedia.org/wiki/Com%C3%A8te

http://fr.wikipedia.org/wiki/Soleil

http://fr.wikipedia.org/wiki/Satellite_naturel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Satellite_naturel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Satellite_artificiel


http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_de_Kepler

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Orbit2.gif


15

Orbite elliptique

Une orbite elliptique peut se définir dans l'espace selon six paramètres permettant de calculer très

précisément la trajectoire complète. Deux de ces paramètres (excentricité et demi-grand axe)

définissent la trajectoire dans un plan, trois autres (inclinaison, longitude du nœud ascendant et

argument du péricentre) définissent l'orientation du plan dans l'espace et le dernier (instant de

passage au péricentre) définit la position de l'objet. Voici la description plus détaillée de ces

paramètres :

Demi-grand axe a : la moitié de la distance qui sépare le péricentre de l'apocentre (le

plus grand diamètre de l'ellipse). Ce paramètre définit la taille absolue de l'orbite. Il n'a de

sens en réalité que dans le cas d'une trajectoire elliptique ou circulaire (le demi-grand-axe

est infini dans le cas d'une parabole ou d'une hyperbole)

Excentricité e : une ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à deux

points fixes, les foyers (S et S' sur le diagramme), est constante. L'excentricité mesure le

décalage des foyers par rapport au centre de l'ellipse (C sur le diagramme); c'est le

rapport de la distance centre-foyer au demi-grand-axe. Le type de trajectoire dépend de

l'excentricité :

o e = 0 : trajectoire circulaire

o 0 < e < 1 : trajectoire elliptique

o e = 1 : trajectoire parabolique

o e > 1 : trajectoire hyperbolique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Grand_axe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trajectoire

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riapside

http://fr.wikipedia.org/wiki/Grand_axe

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riapside

http://fr.wikipedia.org/wiki/Apoapside

http://fr.wikipedia.org/wiki/Parabole

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Excentricit%C3%A9_orbitale

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Com%C3%A8te_trajectoire_5.svg

16

Inclinaison i : l'inclinaison (entre 0 et 180 degrés) est l'angle que fait le plan orbital avec

un plan de référence. Ce dernier étant en général le plan de l'écliptique dans le cas

d'orbites planétaires (plan contenant la trajectoire de la Terre; en noir dans la figure 1).

L'inclinaison est l'angle orange dans la figure 1.

Longitude du nœud ascendant ☊ : il s'agit de l'angle entre la direction du point vernal

et la ligne des nœuds, dans le plan de l'écliptique. La direction du point vernal (en noir

dans la figure 1) est la droite contenant le Soleil et le point vernal (point de repère

astronomique correspondant à la position du Soleil au moment de l'équinoxe du

printemps). La ligne des nœuds (en vert dans la figure 1) est la droite à laquelle

appartiennent les nœuds ascendant (le point de l'orbite où l'objet passe du côté nord de

l'écliptique) et descendant (le point de l'orbite où l'objet passe du côté sud de l'écliptique).

Argument du périhélie ω: il s'agit de l'angle formé par la ligne des nœuds et la direction

du périhélie (la droite à laquelle appartiennent le Soleil et le périhélie de la trajectoire de

l'objet), dans le plan orbital. Il est en bleu dans la figure 1. La longitude du périhélie est

la somme de la longitude du nœud ascendant et de l'argument du périhélie.

Instant τ de passage au périhélie : La position de l'objet sur son orbite à un instant

donné est nécessaire pour pouvoir la prédire pour tout autre instant. Il y a deux façons de

donner ce paramètre. La première consiste à spécifier l'instant du passage au périhélie. La

http://fr.wikipedia.org/wiki/Inclinaison

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89cliptique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Longitude_du_n%C5%93ud_ascendant

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_vernal


http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quinoxe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_du_p%C3%A9rih%C3%A9lie

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9rih%C3%A9lie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Orbite.png

17

seconde consiste à spécifier l'anomalie moyenne M (en rouge dans la figure 1) de l'objet

pour un instant conventionnel (l'époque de l'orbite). L'anomalie moyenne n'est pas un

angle physique, mais spécifie la fraction de la surface de l'orbite balayée par la ligne

joignant le foyer à l'objet depuis son dernier passage au périhélie, exprimée sous forme

angulaire. Par exemple, si la ligne joignant le foyer à l'objet a parcouru le quart de la

surface de l'orbite, l'anomalie moyenne est ° = 90°. La longitude moyenne

de l'objet est la somme de la longitude du périhélie et de l'anomalie moyenne.

Périodes []

Lorsqu'on parle de la période d'un objet, il s'agit en général de sa période sidérale, mais il y a

plusieurs périodes possibles :

Période sidérale : Temps qui s'écoule entre deux passages de l'objet devant une étoile

distante. C'est la période « absolue » au sens newtonien du terme.

Période anomalistique : temps qui s'écoule entre deux passages de l'objet à son périastre.

Selon que ce dernier est en précession ou en récession, cette période sera plus courte ou

longue que la sidérale.

Période draconitique : temps qui s'écoule entre deux passages de l'objet à son nœud

ascendant ou descendant. Elle dépendra donc des précessions des deux plans impliqués

(l'orbite de l'objet et le plan de référence, généralement l'écliptique).

Période tropique : temps qui s'écoule entre deux passages de l'objet à l'ascension droite

zéro. À cause de la précession des équinoxes, cette période est légèrement et

systématiquement plus courte que la sidérale.

Période synodique : temps qui s'écoule entre deux moments où l'objet prend le même

aspect (conjonction, quadrature, opposition, etc.). Par exemple, la période synodique de

Mars est le temps séparant deux oppositions de Mars par rapport à la Terre; comme les

deux planètes sont en mouvement, leur vitesses angulaires relatives se soustraient, et la

période synodique de Mars s'avère être 779,964 d (1,135 années martiennes).

Relations entre les anomalies et les rayons []

Dans ce qui suit, e est l'excentricité, T l'anomalie vraie, E l'anomalie excentrique et M l'anomalie

moyenne.

Le rayon r de l'ellipse (mesuré depuis un foyer) est donné par :

Les relations suivantes existent entre les anomalies :

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89toile

http://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9riastre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mois_lunaire#Mois_draconitique

http://fr.wikipedia.org/wiki/N%C5%93ud_ascendant

http://fr.wikipedia.org/wiki/N%C5%93ud_ascendant

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ascension_droite

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9cession_des_%C3%A9quinoxes

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjonction_%28astronomie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature

http://fr.wikipedia.org/wiki/Opposition_%28astronomie%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mars_%28plan%C3%A8te%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anomalie_vraie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anomalie_excentrique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anomalie_moyenne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Anomalie_moyenne

18

ou encore

Une application fréquente consiste à trouver E à partir de M. Il suffit alors d'itérer l'expression :

Si on utilise une valeur initiale E0 = π, la convergence est garantie, et est toujours très rapide (dix

chiffres significatifs en quatre itérations).

Barycentre (physique)

En physique et en mécanique, le barycentre (ou centre de masse) d’un solide est le centre des

poids.

La notion est également utilisée en astronomie

En mécanique du solide, on parle spécifiquement de moment : moment d'inertie, moment

cinétique.

Historique []

Le barycentre de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids. C'est donc une

notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des

poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le mathématicien et physicien

Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe

des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface

plane:

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être

considéré comme concentré. »

Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre

O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Astronomie

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_du_solide

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_%28m%C3%A9canique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A8de

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_de_force_%28m%C3%A9canique%29

19

Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments et soient

égaux. Si par exemple la masse m1 est 4 fois plus importante que la masse m2, il faudra que la

longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par

l'égalité vectorielle

Il est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi-disques, des

paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre

de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par

celui de Paul Guldin (1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit

la fonction vectorielle de Leibniz.

La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Christiaan

Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P0, il n'est

pas évident pour lui que G ira à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où

des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas

moins imperturbé son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le

calcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était

transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »

On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité)

comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).

Développement mathématique []

Article détaillé : barycentre (géométrie affine).

Les mathématiques généralisent la construction d'Archimède du point d'équilibre de deux points

affectés de deux masses positives progressivement à des ensembles plus complexes. Les

coefficients peuvent être négatifs : Le barycentre des points A et B affectés des masses a et b (a +

b non nul) est l'unique point G tel que

.

Les coordonnées de G sont alors

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_%28m%C3%A9canique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Guldin

http://fr.wikipedia.org/wiki/Leibniz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens


http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_diff%C3%A9rentiel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Barycentre_%28g%C3%A9om%C3%A9trie_affine%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A8de

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Barycentre1.png

20

Le nombre de points peut passer à trois points, quatre points et se généraliser à n points. Si la

somme des masses ai est non nulle, le barycentre du système est le point G tel

que

.

Les coordonnées sont données par les formules, pour j variant de 1 à la dimension de l'espace

C'est sous cette forme qu'il devient un outil puissant en géométrie affine.

Le nombre de points peut même devenir infini, permettant de trouver le barycentre d'une courbe

ou d'une surface.

Si l'ensemble constitue un domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une

densité g(M) où g est une fonction continue (un champ scalaire). Le barycentre est alors le point

G tel que

dans l'espace ou dans le plan .

Si les points M ont pour coordonnées (x1;x2,x3) la fonction de densité s'écrit g(x1,x2,x3) et les

coordonnées de G s'écrivent

Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on

retrouve la formule de la moyenne pondérée :

Développements physiques []

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_affine

http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_scalaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne_pond%C3%A9r%C3%A9e

21

Centre d'inertie []

En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui

composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc

le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie.

Dans le cas d'un corps continu , on emploie comme fonction de pondération la masse

volumique ρ du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie G est défini par la relation

suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :

ou

Le centre d'inertie ne dépend donc que de la masse volumique et de la forme du corps. C'est une

caractéristique intrinsèque.

Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé

par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne

subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre

d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien

n'était (aux effets de résistance de l'air près) avant, pendant et après l'explosion. Attention : ceci

ne s'applique évidemment pas à un obus balistique ou un astéroïde, précisément parce que la

force sur chaque éclat d'obus varie.

Centre de gravité []

Article détaillé : Centre de gravité.

Le centre de gravité d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps

en question ; chaque particule étant pondérée par son poids propre.

La position du centre de gravité Gg est défini par la relation suivante ( étant le champ de

gravité au point M):

Le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est

plongé. Il n'existe pas forcément !

Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on

considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre

d'inertie sont confondus.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse_volumique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Masse_volumique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_de_gravit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_de_gravit%C3%A9

22

Méthode graphique []

Dans le cas d'un assemblage composé de pièces dont on connaît la masse et le centre de gravité,

on peut déterminer le centre de gravité de l'ensemble avec la méthode du dynamique et du

funiculaire :

1. on détermine la résultante des différents poids avec un premier funiculaire, la pièce étant

dans une position donnée ;

2. on effectue un second funiculaire en considérant les « poids horizontaux », ce qui revient

à tourner la pièce d'un quart de tour.

Astronomie []

Animation impliquant 2 corps de faible différence de masse. Le barycentre se trouve à l'extérieur

du corps principal comme dans le cas du couple Pluton/Charon.

On parle de barycentre en ce qui concerne le couple formé par un corps stellaire possédant un

satellite. Le barycentre est le point autour duquel l'objet secondaire gravite. Si la plupart des

couples connus possède leur barycentre à l'intérieur de l'objet principal, il existe des exceptions

notables :

Le cas du couple Pluton/Charon : la différence de masse entre ces deux corps est

relativement faible, le barycentre se trouve donc à l'extérieur de Pluton. Pour certains

astronomes, plutôt que de parler de planètes et de satellites, il conviendrait dans ce cas

précis de retenir la notion de « planète double ».

Plusieurs astéroïdes reproduisent le cas de figure ci-dessus.

Le barycentre du couple Jupiter/Soleil se trouve à l'extérieur de ce dernier à environ un

rayon solaire de distance.

On retrouve aussi cette particularité chez certaines étoiles doubles

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_du_dynamique_et_du_funiculaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_du_dynamique_et_du_funiculaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/%28134340%29_Pluton

http://fr.wikipedia.org/wiki/Charon_%28lune%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/%28134340%29_Pluton

http://fr.wikipedia.org/wiki/Charon_%28lune%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ast%C3%A9ro%C3%AFde

http://fr.wikipedia.org/wiki/Jupiter_%28plan%C3%A8te%29


http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89toile_double



23

Localisation du centre de gravité d'une plaque à deux

dimensions []

Cette méthode est utile lorsque l'on souhaite trouver le centre de gravité d'un objet plan dont la

forme est complexe et dont on ne connait pas les dimensions exactes.

Étape 1: Une plaque de forme

arbitraire.

Étape 2: Suspendre la plaque

en un point proche d'un

sommet et attendre la position

d'équilibre. À l'aide d'un fil à

plomb, tracer la verticale

passant par ce point.

Étape 3: Suspendre la plaque

en un autre point et tracer une

seconde verticale. Le centre de

gravité est à l'intersection des

deux droites.

Système masse-ressort

Un système masse-ressort est un système mécanique à un degré de liberté. Il est constitué par

une masse accrochée à un ressort contrainte de se déplacer dans une seule direction. Son

mouvement est dû à trois forces :

une force de rappel FR,

une force d'amortissement FA,

une force extérieure FE.

Le système masse-ressort est un sujet d'étude simple dans le cadre des oscillateurs harmoniques.

Oscillations rectilignes d'une masse soumise à l'action d'un

ressort []

Mouvement horizontal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fil_%C3%A0_plomb

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fil_%C3%A0_plomb

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_oscillant_%C3%A0_un_degr%C3%A9_de_libert%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ressort

http://fr.wikipedia.org/wiki/Oscillateur_harmonique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Center_gravity_0.svg



http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Ressort2.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Ressort2.gif

24

Oscillation verticale

On peut mettre en oscillation une masse soumise à l'action d'un ressort. Ces oscillations peuvent

être, suivant les cas, des oscillations verticales ou des oscillations horizontales (en utilisant un

dispositif permettant de minimiser les frottements sur le support).

Dans les deux cas, les oscillations sont harmoniques : la fonction du temps [x(t)] de la position

de la masse de part et d'autre de la position d'équilibre (statique) est une fonction sinus. Dans le

cas de l'oscillateur vertical, l'effet de la pesanteur n'introduit qu'une translation de la position

d'équilibre statique. La relation déduite de l'application du théorème du centre d'inertie peut

s'écrire :

, avec

ω0 est appelée pulsation propre de l'oscillateur harmonique. Les solutions de l'équation

différentielle sont de la forme , ce qui est caractéristique d'un

oscillateur harmonique.

La période est indépendante de l’amplitude (isochronisme des oscillations) : elle ne dépend que

de l'inertie du système (masse m) et de la caractéristique de la force de rappel (constante de

raideur k du ressort) :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Oscillation


http://fr.wikipedia.org/wiki/Ressort

http://fr.wikipedia.org/wiki/Frottement

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89quilibre_m%C3%A9canique&action=edit&redlink=1

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_trigonom%C3%A9trique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pesanteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_angulaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Oscillateur_harmonique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9nom%C3%A8ne_p%C3%A9riodique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Amplitude

http://fr.wikipedia.org/wiki/Isochronisme

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Simple_harmonic_oscillator.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Simple_harmonic_oscillator.gif

25

Remarque : cet oscillateur est soumis à la conservation de l'énergie mécanique : celle-ci est de la

forme

En dérivant membre à membre l'équation par rapport au temps on retrouve l'équation

différentielle précédente.

Amélioration []

Ce qui précède est valable si la masse du ressort est négligeable par rapport à celle de la masse

qui oscille. L'expérience montre que la période est plus proche de :

où le tiers de la masse du ressort ;

= la masse suspendue au ressort ;

= la constante élastique ou raideur du ressort.

Autre amélioration []

Ceci est de nouveau une approximation. Une étude complète se trouve dans les liens externes.

Chercher : « Étude de la période d'oscillation d'un ressort ».

On montre que la période correcte d'oscillation est :

où est défini par la relation :

= la masse du ressort ;

= la masse suspendue au ressort ;

= la constante élastique ou raideur du ressort.

Une manière de calculer est d'itérer : en commençant par :

Moment de force (mécanique)

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie

26

Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un

point donné, qu'on nomme pivot.

Translation d'une force []

Basculera, basculera pas ?

Soit une planche en équilibre au bord d'un muret. Pour la déséquilibrer, on peut poser une charge

sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la

planche n'est pas la même suivant qu'elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De

même, on peut au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de

bascule.

Le « pouvoir de basculement » dépend donc de l'intensité de la force, mais également de la

position relative du point d'application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel

considéré.

On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d'une force, qui est

l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, qu'on

nommera pivot.

Moment par rapport à un point []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Basculer.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Basculer.jpg

27

Définition vectorielle

Expression vectorielle []

Le moment d'une force s'exerçant au point A par rapport au pivot P, est le pseudovecteur :

.

où désigne le produit vectoriel.

Remarque sur la notation

Il existe plusieurs variantes de notation des moments de force ; certaines (comme sur

l'image ci-contre) comportent des parenthèses autour du vecteur, parfois autour de

l'ensemble. D'autres ajoutent même à la notation l'élément agissant et l'élément subissant

l'action. Une notation plus compacte consiste à nommer la force par la même lettre que

celle désignant le point d'application, ce qui rend plus rapide l'identification des cas de

nullité de moments.

Ce pseudovecteur est à la fois orthogonal à et au bipoint et finalement normal au plan dans

lequel se déroule la rotation que peut provoquer la force, et son sens donne le sens de rotation (la

rotation est positive dans le plan orienté par ).

Si d est la distance orthogonale du pivot P à la droite d'action, c’est-à-dire PH, alors sa norme

vaut :

.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthogonal

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Orientation_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Moment_f.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Moment_f.jpg

28

La longueur d est appelée bras de levier. Dans le cas bidimensionnel, il est fréquent de

considérer la norme du moment comme le moment lui-même, celui-ci ne comportant qu'une

composante non nulle.

Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre (Nm), dans

le système international d'unités et leurs dimensions sont ML2T

− 2.

Cas de nullité du moment []

Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser

aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :

la force est nulle ;

le bipoint est . La force est donc appliquée en P.

et sont colinéaires ; alors la droite d'action passe par P, ce qui inclut aussi le cas

précédent.

Formule de Varignon []

Lorsqu'on connaît le moment d'une force en un point, il est possible de le recalculer en n'importe

quel point de l'espace. Cette opération est inévitable lorsqu'on manipule les torseurs d'actions

mécaniques. Cela revient à poser une rallonge au levier AP. On montre alors la relation suivante :

.

On peut vérifier alors :

.

En réalité une force est modélisée par un vecteur (représentant la force) et son point

d'application. Il est possible de représenter cette action mécanique par le couple de vecteurs force

et moment en un point, qui sont les éléments de réduction du torseur d'action mécanique. La

relation d'équilibre liée au principe fondamental de la statique devient une somme de torseurs ;

en pratique, on effectuera parallèlement la somme des forces, et la somme des moments tous

exprimés au même point, d'où l'intérêt de la formule de transport de moments.

Moment par rapport à un axe []

Lorsqu'un solide est animé d'un mouvement de rotation effectif autour d'un axe (cas d'une roue

guidée par un palier) il est intéressant de ne considérer que la part utile du moment d'une force.

On définit le moment de la force par rapport à l'axe (Δ) par

,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Newton_%28unit%C3%A9%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8tre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_international_d%27unit%C3%A9s

http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_dimensionnelle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Colin%C3%A9aire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Varignon

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Statique

29

où est un vecteur unitaire de (Δ), P est un point quelconque de (Δ) et où les crochets dénotent

le produit mixte.

En résumé il s'agit de la composante suivant du moment de calculé en P. De ce fait il s'agit

d'un nombre scalaire : « » est une opération de projection sur l'axe . Sur le plan mécanique,

c'est la seule composante (dans le cas d'une liaison parfaite au pivot) susceptible de fournir (ou

consommer) une puissance. Le « reste » du moment sera subi par le palier. Cette partie

complémentaire intéressera le technologue qui prendra en compte ces valeurs pour le

dimensionnement du palier.

Le moment par rapport à l'axe est nul si

le moment par rapport au point est nul (cas général précédent).

la force est dans la direction de l'axe considéré.

Couple de forces []

Si on considère deux forces opposées appliquée en A et appliquée en B, points distincts d'un

même système, il est évident que leur somme est nulle. Qu'en est-il de la somme de leur moment

en un point P de l'espace ?

.

On remarque que le résultat est indépendant du point de pivot P considéré. Cette quantité est

appelée couple. Il n'est pas besoin de préciser le point de rotation. Les deux forces constituent

alors un couple de forces.

Outre les autres cas évidents, le couple est nul lorsque les deux forces ont la même droite

d'action. Le couple augmente avec l'intensité commune des forces, mais aussi avec l'éloignement

des points. Il est maximal lorsque et sont orthogonaux.

Cas général []

En réalité le couple n'existe pas intrinsèquement. Il est toujours associé à un ensemble de forces

s'annulant vectoriellement mais dont les moments s'ajoutent sans s'annuler. C'est par exemple le

résultat de l'action du vent sur une éolienne, ou l'action des forces électromagnétiques sur l'induit

d'un moteur électrique.

On ne doit donc pas faire le raccourci « somme des moments = moment de la somme ». Cela

n'est vrai que pour un ensemble de forces appliquées au même point. Cela montre enfin qu'une

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_unitaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_mixte

http://fr.wikipedia.org/wiki/Scalaire_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Couple_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_du_point

30

action mécanique n'est pas représentable par un seul vecteur force. La considération du point

d'application est primordiale.

Théorème de Varignon []

Le moment en P de la résultante de plusieurs forces concourantes en A est égal à la

somme des moments en P de ces différentes forces :

,

avec .

En effet :

En dynamique []

En mécanique dynamique, on peut montrer que le moment des forces est la dérivée du moment

cinétique par rapport au temps :

Ceci est l'équivalent du principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) en

rotation.

On peut aussi montrer que si est le vecteur vitesse angulaire, c'est-à-dire le vecteur

colinéaire à l'axe de rotation Δ,

dont la norme est la vitesse angulaire

et orienté de façon que l'orientation positive d'un plan normal correspond au sens de

rotation, alors :

où JΔ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation Δ.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dynamique_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_cin%C3%A9tique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton#Deuxi.C3.A8me_loi_de_Newton_ou_principe_fondamental_de_la_dynamique_de_translation



31

Moment d'inertie

Lequel de ces mouvements est le plus difficile ?

Le moment d'inertie quantifie la résistance d'un corps soumis à une mise en rotation (ou plus

généralement à une accélération angulaire), et a pour grandeur physique [M.L²]. C'est l'analogue

de la masse inertielle qui, elle, mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.

Cette appellation est aussi utilisée en mécanique des matériaux pour déterminer la contrainte

dans une poutre soumise à flexion. Il s'agit alors d'une notion physique différente, encore appelée

moment quadratique, qui a pour grandeur physique [L4].

Approche empirique []

Lorsque l'on prend un balai en main au milieu du manche et qu'on le fait tourner comme sur la

figure ci-contre. Il est plus aisé de le faire tourner autour de l'axe du manche (1), qu'autour de

l'axe transversal indiqué (2).

Cela est dû au fait que dans le deuxième cas, la matière constituant le balai se trouve plus

éloignée de l'axe de rotation. Comme pour un solide en rotation, la vitesse linéaire d'un point

croît en proportion avec cet éloignement, il est nécessaire de communiquer une plus grande

énergie cinétique aux points éloignés. D'où la plus grande résistance du balai à tourner autour

d'un axe transversal qu'autour de l'axe du manche.

Détermination du moment d'inertie []

Soit un objet physique composé de plusieurs points solidaires i de masse mi. Cet objet tourne

autour d'un axe Δ, à la vitesse angulaire ω. La distance de i à Δ est ri.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Acc%C3%A9l%C3%A9ration_angulaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Grandeur_physique


http://fr.wikipedia.org/wiki/Acc%C3%A9l%C3%A9ration

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sistance_des_mat%C3%A9riaux

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_quadratique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Grandeur_physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Inertie_balai.jpg

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Inertie_balai.jpg

32

Le calcul de l'énergie cinétique de cet objet donne :

On définit alors le moment d'inertie JΔ par rapport à l'axe Δ par :

Par extension dans un solide considéré comme ensemble continu de points matériels x affectés

d'une masse volumique ρ, le moment d'inertie s'écrit :

où

d(x,Δ) est la distance entre le point x et l'axe Δ ;

dV est un volume élémentaire autour de x ;

dm est la masse de ce volume élémentaire

Cette définition peut également prendre une forme vectorielle :

où

O est un point sur l'axe Δ

est un vecteur unitaire de l'axe Δ

Il découle de la définition du moment d'inertie que plus la masse d'un solide est répartie loin de

l'axe de rotation, plus son moment d'inertie est important. Ainsi, le patineur sur glace rapproche

les bras de son corps lors d'une pirouette. Cela a pour effet de diminuer son moment d'inertie, ce

qui, par conservation du moment cinétique, implique une plus grande vitesse de rotation.

Moments d'inertie particuliers []

Pour les exemples suivants, nous considérerons des solides de densité uniforme ρ et de masse M.

La boule []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_mat%C3%A9riel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distance_%28math%C3%A9matiques%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_unitaire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_pirouettes_de_patinage_artistique

33

Pour une boule de rayon R et de centre O, les moments d'inertie au centre de la boule par rapport

aux trois axes sont égaux :

(avec )

La barre []

Dans le cas d'une barre de section négligeable et de longueur L, le moment d'inertie selon un axe

perpendiculaire à la barre est, en son centre :

(avec M = ρL)

ρ est ici une densité linéique.

Le cylindre plein []

Dans le cas d'un cylindre de rayon R et de hauteur h, le moment d'inertie selon l'axe du cylindre

est :

(avec M = ρπR2h)

Le cylindre creux []

Dans le cas d'un cylindre creux de rayons intérieur R1 et extérieur R2, et de hauteur h, le moment

d'inertie selon l'axe du cylindre est :

(avec )

34

Théorème de transport (ou Théorème d'Huygens ou

Théorème de Steiner) []

Soit l'axe Δ passant par le centre de masse de l'objet, et un axe Δ' parallèle à Δ et distant de d. En

calculant comme précédemment le moment d'inertie, on retrouve la relation établie par

Christiaan Huygens connue sous le nom de théorème de transport[1]

ou théorème de Huygens

ou théorème de Steiner ou théorème des axes parallèles qui donne le moment d'inertie JΔ' en

fonction de JΔ :

À l'énergie cinétique de rotation propre d'un corps, s'ajoute celle de « translation » circulaire du

centre de masse auquel on a affecté la masse totale du solide.

Une conséquence immédiate du théorème de Huygens est qu'il est moins coûteux (en énergie) de

faire tourner un corps autour d'un axe passant par le centre de masse.

Énergie cinétique

L'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement réel. L’énergie

cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire passer le dit corps du repos à son

mouvement de translation ou de rotation.

Historique []

Article détaillé : vis viva.

Gottfried Leibniz, s'opposant ainsi à Descartes, qui estimait que la quantité de mouvement se

conservait toujours, développa l'idée de la « force vive » (vis viva), à laquelle il attribuait la

valeur mv2. La force vive est donc le double de l'énergie cinétique.

« Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de

mouvement, et que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la

force (vive) absolue… On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui

se conserve… » [1]

Conventions []

L'énergie cinétique est généralement notée Ec ou Ek, l'indice c faisant référence au mot

« cinétique » et l'indice k à son équivalent anglais, « kinetic ».



http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie#cite_note-0


http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_%28m%C3%A9canique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Travail_d%27une_force

http://fr.wikipedia.org/wiki/Translation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vis_viva

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz

http://fr.wikipedia.org/wiki/Descartes

http://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement

http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_vive




http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-0

35

Définitions []

Ec formule de l'énergie cinétique selon la masse et la vitesse :

où m est la masse, et v la vitesse. Exemple: 1/2 x 45 kg x (8.3 m/s)2 = 1550,025 joules

Cas d'un point matériel []

Dans le domaine de validité de la mécanique newtonienne, la notion d'énergie cinétique peut être

facilement mise en évidence pour un point matériel, corps considéré comme ponctuel de masse

m constante.

En effet, la relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

, avec somme des forces appliquées au point matériel de masse m (y

compris les "forces d'inertie" dans le cas d'un référentiel non galiléen).

En prenant le produit scalaire, membre à membre, par la vitesse du corps, il vient :

, or , il vient ainsi :

.

On met en évidence dans le membre de gauche la quantité appelée énergie

cinétique du point matériel, dont la variation est égale à la somme des puissances des

forces appliquées au corps (théorème de l'énergie cinétique, forme "instantanée").

On peut obtenir une expression plus générale en considérant que l'on a donc

, puisque . En introduisant la variation

infinitésimale de la quantité de mouvement du corps, , il vient au final l'expression :

.

Cas d'un système de points []

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne

http://fr.wikipedia.org/wiki/Point_mat%C3%A9riel


http://fr.wikipedia.org/wiki/Forces_d%27inertie

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_non_inertiel


http://fr.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement

36

Dans le cas d'un corps que l'on ne peut considérer ponctuel, il est possible de l'assimiler à un

système (d'une infinité) de points matériels Mi de masses mi avec masse totale du

corps.

L'énergie cinétique Ec du système de points peut être alors simplement définie comme la somme

des énergies cinétiques associées aux points matériels constituant le système :

, (1). Cette expression est générale et ne préjuge pas de la nature

du système, déformable ou pas.

Remarque : en considérant la limite des milieux continus on a , M

étant un point courant du système (S).

Unité []

L'unité légale est le joule. Les calculs s'effectuent avec les masses en kg et les vitesses en

.

Théorème de König []

L'expression (1) n'est guère utilisable directement, bien que générale. Il est possible de la réécrire

sous une autre forme, dont l'interprétation physique est plus aisée.

Enoncé []

Ce théorème se démontre en faisant intervenir le référentiel barycentrique (R*) lié au centre

d'inertie G du système, et en mouvement de translation par rapport au référentiel d'étude (R). Il

s'écrit:

.

L'énergie cinétique d'un système est alors la somme de deux termes: l'énergie cinétique du centre

de masse de (S) affectée de sa masse totale M, , et l'énergie cinétique propre du système

dans (R*), .

Application à un solide []

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus

http://fr.wikipedia.org/wiki/Joule

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_K%C3%B6nig_%28m%C3%A9canique%29



http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_d%27inertie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_d%27inertie


http://fr.wikipedia.org/wiki/Centre_de_masse


37

Un solide est un système de points tels que les distances entre deux points quelconques de (S)

sont constantes. Il s'agit d'une idéalisation d'un solide réel, considéré comme absolument rigide.

Cas général : axe instantané de rotation []

Dans ce cas, le mouvement du solide peut être décomposé en un mouvement de son centre de

masse G dans (R) et un mouvement de rotation autour d'un axe instantané (Δ) dans le référentiel

barycentrique (R*).

Plus précisément, pour un solide on peut écrire le champ des vitesses dans le référentiel

barycentrique (R*) sous la forme , étant le vecteur rotation instantané du

solide dans (R*) [ou (R), puisque les deux référentiels sont en translation]. Son énergie cinétique

propre s'exprime alors

,

puisque , moment cinétique du solide par rapport à G, égal

au moment cinétique propre (voir théorèmes de König).

D'après le théorème de König, l’énergie cinétique totale d’un solide s'écrit donc ainsi:

,

que l'on peut considérer comme la somme d’une énergie cinétique "de translation" et d’une

énergie cinétique de rotation , aussi appelée énergie cinétique angulaire.

Cas de la rotation autour d'un axe fixe []

Si, de surcroît, il y a rotation autour d'un axe (Δ) fixe dans (R), le moment cinétique par rapport à

G du solide s'écrit , où IΔ est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de

rotation (Δ). Son énergie cinétique de rotation se mettra ainsi sous la forme:

.

En mécanique relativiste []

Dans la théorie de la relativité d’Einstein (utilisée principalement pour les vitesses proches de la

vitesse de la lumière, mais valable pour toutes vitesses), l’énergie cinétique est :

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_du_solide



http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Barycentrique&action=edit&redlink=1






http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_relativit%C3%A9

http://fr.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_de_la_lumi%C3%A8re

38

Ek = mc2(γ − 1) = γmc

2 − mc

2

Avec : ; (le facteur relativiste)

Ek : l’énergie cinétique du corps (dans le référentiel considéré) ;

v : la vitesse du corps (dans le référentiel considéré) ;

m : sa masse au repos (dans son référentiel) ;

c : la vitesse de la lumière dans le vide (dans TOUT référentiel) ;

γmc2 : l’énergie totale du corps (dans le référentiel considéré) ;

mc2 est l’énergie au repos (90 pétajoules par kilogramme) exprimée en unités

conventionnelles.

La théorie de la relativité affirme que l’énergie cinétique d’un objet (ayant une masse « au

repos[2]

» non nulle) tend vers l’infini quand sa vitesse s’approche de la vitesse de la lumière et

que, par conséquent, il est impossible d’accélérer un objet jusqu’à cette vitesse.

On peut montrer que le rapport de l’énergie cinétique relativiste sur l’énergie cinétique

newtonienne tend vers 1 quand la vitesse v tend vers 0, i.e.,

Ce résultat peut être obtenu par un développement limité au premier ordre du rapport. Le terme

de second ordre est 0,375 mv4/c

4, c’est-à-dire que, pour une vitesse de 10 km/s il vaut 0,04 J/kg,

et que, pour une vitesse de 100 km/s il vaut 40 J/kg, etc.

Quand la gravité est faible et que l’objet se déplace à des vitesses très inférieures à la vitesse de

la lumière (c’est le cas de la plupart des phénomènes observés sur Terre), la formule de la

mécanique newtonienne est une excellente approximation de l’énergie cinétique relativiste.

Théorème de l’énergie cinétique []

Ce théorème, valable uniquement dans le cadre de la mécanique newtonienne, permet de lier

l’énergie cinétique d’un système au travail des forces auxquelles celui-ci est soumis.

Énoncé []

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_de_la_lumi%C3%A8re

http://fr.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc%C2%B2

http://fr.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ta

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-1


http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gravit%C3%A9


http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne



39

Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin

reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme W des

travaux des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide en question :

où EkA et EkB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B.

Démonstration []

D’après la 2e loi de Newton, l’accélération du centre de gravité est liée aux forces qui s’exercent

sur le solide par la relation suivante :

Pendant une durée dt, le solide se déplace de où est la vitesse du solide. On en

déduit le travail élémentaire des forces :

Si le solide parcourt un chemin d’un point A à un point B, alors le travail total s’obtient en

faisant une intégrale le long du chemin :

étant une différentielle totale, l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi entre A et B et

peut donc être obtenue explicitement :

Théorème de la puissance cinétique []

Dans un référentiel galiléen, la puissance des forces s'appliquant au point M est égale à la dérivée

par rapport au temps de l'énergie cinétique.

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_galil%C3%A9en





http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9riv%C3%A9e_partielle

40

L’énergie thermique en tant qu’énergie cinétique []

L’énergie thermique est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des molécules et des

atomes qui forment la matière. La relation entre la chaleur, la température et l’énergie cinétique

des atomes et des molécules est l’objet de la mécanique statistique et de la thermodynamique.

De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique par le

phénomène de rayonnement du corps noir.

La chaleur, qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un travail dans

le sens où elle représente une variation de l’énergie interne du système. L’énergie représentée par

la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à l’agitation moléculaire. La

conservation de la chaleur et de l’énergie mécanique est l’objet du premier principe de la

thermodynamique.

Énergie mécanique

L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie

d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie potentielle mécanique.

C'est une quantité conservée en l'absence de frottement ou de choc et s'avère pour cela pratique à

utiliser.

L'énergie mécanique n'est pas un invariant galiléen et dépend donc du référentiel choisi.

]Expression []

L'énergie mécanique s'exprime généralement :

Em = Ec + Ep

où :

Em est l'énergie mécanique

Ec est l'énergie cinétique // formule: 1/2mv² (m: masse en kg, v2: vitesse en mètre par

seconde au carré) exemple: 1/2 X 45 kg X (8,3 m/s)2 = 1550,025 J

Ep est l'énergie potentielle ou l'énergie de position // formule de l'énergie potentielle de

pesanteur : M x G x H (m : masse en kilogramme, g : accélération de la pesanteur sur

Terre (9.8 newton par kg), H: différence d'altitude en mètre) exemple: 0,5 kg X 9,8 N/kg

X 0,3 m = 1,47 Joules)

Solide ponctuel []

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_thermique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A9cule

http://fr.wikipedia.org/wiki/Atome

http://fr.wikipedia.org/wiki/Temp%C3%A9rature

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_statistique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Thermodynamique

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_quantique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_thermique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_noir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfert_thermique


http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_interne

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Thermodynamique

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_classique


http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_potentielle_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_conservation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Invariant

41

Pour un solide ponctuel M l'énergie potentielle mécanique est donnée par sa position et l'énergie

cinétique par sa vitesse. On a donc

où :

m est la masse du solide

v est la vitesse du centre de gravité ;

V est le potentiel au niveau du point M

Solide étendu non déformable []

Pour un solide indéformable non ponctuel, il convient d'ajouter l'énergie cinétique de rotation.

L'énergie potentielle est donnée, dans le cas d'un potentiel gravitationnel, par la position du

centre de gravité G.

où, toutes notations égales par ailleurs

J est le moment d'inertie du solide par rapport à son axe de rotation ;

Ω est sa vitesse angulaire de rotation.

V est le potentiel gravitationnel dans lequel se déplace la masse.

Solide déformable []

Pour un solide déformable, interviennent des termes de déformation (tension, torsion,

contraction) tant dans l'énergie cinétique que l'énergie potentielle mécanique.

Théorème de l'énergie mécanique []

En dérivant l'expression de l'énergie mécanique on obtient :

dEm = dEc + dEp

Or d'après le Théorème de l'énergie cinétique, on a :

dEc = δW(Fc) + δW(Fnc)

avec δW(Fc) le travail des forces conservatives et δW(Fnc) le travail des forces non

conservatives.

et on a aussi : dEp = − δW(Fc).

D'où le résultat :

dEm = δW(Fnc)

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_potentielle_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Position&action=edit&redlink=1



http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse


http://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse

http://fr.wikipedia.org/wiki/Potentiel_gravitationnel

http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Gravitation



http://fr.wikipedia.org/wiki/Tension_m%C3%A9canique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Torsion

http://fr.wikipedia.org/wiki/Contraction


http://fr.wikipedia.org/wiki/Travail_des_forces_non_conservatives

http://fr.wikipedia.org/wiki/Travail_des_forces_non_conservatives

42

On a ainsi le théorème de la puissance mécanique, la dérivée de l'énergie mécanique est

égale à la puissance des forces non conservatives :

Ainsi si toutes les forces sont conservatives, l'énergie mécanique se conserve.

Conservation []

L'énergie mécanique d'un système soumis à des forces conservatives, c'est-à-dire dérivant d'un

potentiel, est conservée.


http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_conservative

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_conservation

Documents

Mecanique II.pdf