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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse Objectifs de cette synthèse : – Restructurer les connaissances acquises, – Remémorer les méthodes classiques, – Redéfinir les outils nécessaires au cours de dynamique. Remarque : ceci n’est pas un cours ! Il s’agit seulement de refaire un point rapide sur les notions qui seront importantes pour le cours de dynamique. Table des matières 1 Le cours de mécanique du solide en MPSI – PCSI 2 2 Étude géométrique des systèmes de solides 2 3 Cinématique 3 4 Statique 5 A Angles d’Euler 7 B Rappels sur les torseurs 8 C Tableau des liaisons 11 D Pour aller plus loin : résoudre graphiquement un problème plan [HORS PRO- GRAMME] 12 D.1 Propriétés utilisées en cinématique graphique (problème plan) ......... 12 D.2 Propriétés utilisées en statique graphique (problème plan) ........... 12

Mécanique MPSI – PCSI : synthèse · Mécanique MPSI – PCSI : synthèse Objectifs de cette synthèse : – Restructurer les connaissances acquises, – Remémorer les méthodes

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

Objectifs de cette synthèse :

– Restructurer les connaissances acquises,– Remémorer les méthodes classiques,– Redéfinir les outils nécessaires au cours de dynamique.

Remarque : ceci n’est pas un cours ! Il s’agit seulement de refaire un point rapide sur lesnotions qui seront importantes pour le cours de dynamique.

Table des matières

1 Le cours de mécanique du solide en MPSI – PCSI 2

2 Étude géométrique des systèmes de solides 2

3 Cinématique 3

4 Statique 5

A Angles d’Euler 7

B Rappels sur les torseurs 8

C Tableau des liaisons 11

D Pour aller plus loin : résoudre graphiquement un problème plan [HORS PRO-GRAMME] 12D.1 Propriétés utilisées en cinématique graphique (problème plan) . . . . . . . . . 12D.2 Propriétés utilisées en statique graphique (problème plan) . . . . . . . . . . . 12

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

1 Le cours de mécanique du solide en MPSI – PCSI

Trois parties majeures occupent le programme :– l’étude géométrique : vecteurs position, paramétrage, fermeture géométrique des chaînes

de solides ;– l’étude cinématique : vitesse des solides et systèmes de solides ;– l’étude statique : équilibre des systèmes de solides, efforts.Pour le moment, cinématique et statique sont totalement découplées. On remarque :– la similitude des outils (torseurs et vecteurs),– la dualité entre les torseurs de liaisons en statique et cinématique.

2 Étude géométrique des systèmes de solides

Avant tout, il faut préciser :– le système étudié ;– le référentiel choisi.

Solide & ParamétrageUn solide est un système matériel tel que tout bipoint garde une longueur constante au

cours du temps (solide indéformable). La position d’un solide est définie par la position d’unpoint (trois coordonnées scalaires) et une orientation (trois angles). Un solide est cinémati-quement équivalent à un repère.

L’étude d’un système de solides nécessite un paramétrage, qui consiste à :– attribuer un repère par solide,– définir des paramètres de position entre les repères définis (angles ou longueurs), afin

de les positionner avec au maximum 1 angle entre deux repères.

Quelques rappels sur les projections de vecteurs

Les cadrans sont des outils de projection. Ils ont toujours

x1

x2

y1y2

z =1 z2

θ

la même forme quel que soit l’angle réel entre les deux repères.On dessine les repères avec θ positif et petit (' 20o). L’inter-prétation des sinus et cosinus est immédiate avec les "petitscotés" et "grands cotés".

Graphe de structureLe graphe de structure est une vue épurée du système de so-

lides : les ellipses sont les solides, les liens sont les liaisons entreles solides. Le bâti est généralement représenté par un rectangle.

Notion de fermetureUne fermeture est une équation représentant les contraintes

de bouclage dans les chaînes de solides.Une fermeture géométrique est une relation de Chasles sur les vecteurs de positon où

chaque vecteur est soit fixe par rapport à un solide, soit défini par un paramètre de transla-tion, pour former une des boucles du graphe de structure.

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Une fermeture angulaire est une somme nulle d’angles d’un même plan formant une desboucles du graphe de structure.

3 Cinématique

Le torseur cinématique représente la vitesse d’un solide S2 par rapport à un autre S1 :

VS2/S1

=

A

~ΩS2/S1

~VA,S2/S1

Il est composé du vecteur vitesse de rotation ~ΩS2/S1 et du vecteur vitesse d’un point Aquelconque ~VA,S2/S1 ("vitesse du pointA appartenant à S2 par rapport à S1" ou encore "vitesseen A de S2 par rapport à S1"). La vitesse d’un point M fixe de S par rapport à R0 est définiepar la dérivée du vecteur position par rapport à R0 :

~VM,S/R0 =d ~OM

dt /R0

Calcul de la dérivée d’un vecteur ~U par rapport à R0

Première méthode : projeter le vecteur ~U dans R0 puis dériver les composantes. À EVITER !Deuxième méthode : utiliser la relation de changement de référentiel dans la dérivation :

d~U

dt /R1=d~U

dt /R2+ ~ΩR2/R1 ∧ ~U

Si ~U est fixe dans R2, le problème de dérivation se transforme en produit vectoriel.

Torseur cinématique de liaisonLe torseur cinématique du mouvement relatif de deux solides liés par une liaison s’écrit

simplement et peut être posé en fonction de quelques paramètres de vitesses (voir Tableau desliaisons en Annexe).

Composition des vitessesLa composition des mouvements s’effectue en additionnant les torseurs en un même

point : VS2/S1

+VS1/S0

=VS2/S0

ce qui correspond à la composition des vitesses angulaires et à la composition des vitesses.

Formule de changement de pointComme pour tout torseur, la formule de changement de point permet de donner la vi-

tesse en tout point d’un solide à partir de la connaissance du torseur en un point :

~VB,S/R0 = ~VA,S/R0 + ~ΩS/R0 ∧ ~AB

Deux méthodes d’approche de la cinématique

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

Position

Vitesse

Accélération

Vecteur position+ dérivation

Torseur cinématique+ composition de

mouvement

Dérivation Compositiondes accélérations

Méthode d’étude cinématique des systèmes de solides– modéliser le système en proposant un schéma cinématique,– paramétrer le système,– écrire les fermetures géométriques et trouver les relations entre paramètres de position,– poser les torseurs cinématiques des liaisons,– construire le graphe de structure et faire le bilan des équations à écrire,– écrire les fermetures cinématiques torsorielles, vectorielles puis scalaires,– résoudre et déterminer les paramètres inconnus du mouvement en fonction des para-

mètres connus.Remarque : dans un cas plan, on ne considère que les translations dans le plan et les rota-

tions normales au plan.

Fermeture de chaîne cinématiqueUne fermeture cinématique est une somme nulle de torseurs exprimés au même point.

Les équations obtenues par fermeture cinématique peuvent se retrouver par dérivation deséquations géométriques et angulaires. Il s’agira de choisir donc entre les méthodes géomé-triques et cinématiques.

Vitesse de glissement – roulement sans glissementSoit deux solides S1 et S2 en contact au point I , la vitesse de glissement de S2 sur S1 estdéfinie par :

~VI,S2/S1 = ~VI,S2/R0 − ~VI,S1/R0

Lorsqu’il y a "roulement sans glissement", la vitesse de glissement est nulle : ~VI,S2/S1 = ~0.

Mouvement plan

Un solide S2 est en mouvement plan de normale ~z1 par rapport à S1 si le torseur ciné-matique de S2/S1 s’écrit :

VS2/S1

=∀M ∈ S2

~ΩS2/S1 = ω~z1

~VM,S2/S1

avec ~VM,S2/S1 .~z1 = 0

Conséquences :– Toutes les vitesses sont contenues dans des plans de normale ,– Les vitesses de rotation sont normales au plan (suivant ~z1),

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– Un mécanisme comportant une liaison hélicoïdale n’est pas plan (cf Maxpid).– Le torseur cinématique d’un mouvement plan présente dans le cas général 3 inconnues

cinématiques au maximum contre 6 pour un mouvement quelconque.– Chaque fermeture cinématique apporte 3 équations scalaires :

Fermeture sur les vitesses de rotation en projection suivant ~z1

Fermeture sur les vitesses en un point en projection suivant ~x1 et ~y1.– Une résolution graphique peut être mise en place.Le torseur d’un mouvement plan est un glisseur car ∀M ~ΩS2/S1 .

~VM,S2/S1 = 0 (automo-ment nul).

Un torseur glisseur possède un axe central (lieu où les vitesses sont nulles) parallèle à~z1. On parle d’axe instantané de rotation. Soit I un point de l’axe central, à tout instant, lemouvement plan est un mouvement de rotation d’axe (I, ~z1).

Centre instantané de rotationLa trace de cet axe dans le plan d’étude est un point appelé centre instantané de rotation

(C.I.R.). On le note I12 ou I21. Le vecteur ~IM est perpendiculaire à ~VM,S2/S1 car :

∀M dans leplan ~VM,S2/S1 = ~ΩS2/S1 ∧ ~IM

4 Statique

Notion d’isolementIsoler un système de solide, c’est définir une frontière séparant ce qui est intérieur au sys-

tème de ce qui est considéré comme extérieur, en vue de faire le bilan des actions mécaniquesextérieures agissant sur le système et appliquer le PFS.

Action mécaniqueUne action mécanique représente l’effort exercé par un système matériel S1 sur un autre

système matériel S2. Dans le cas des solides, une action mécanique est complètement définiepar un torseur : le torseur d’action mécanique ou torseur statique.

T S1/S2

=

A

~FS1/S2

~MA,S1/S2

où ~FS1/S2 est la force exercée par S1 sur S2 et ~MA,S1/S2 est le moment en A de S1 sur S2.

Torseur statique des liaisons (ou torseur d’action mécanique des liaisons)Un certain nombre de liaison parfaite entre solides sont normalisées. Leurs torseurs sta-

tiques sont classiques (voir le Tableau des liaisons en Annexe).On remarque que les torseurs statiques et cinématiques sont duaux : si on appelle

V1/2

etT 1/2

les torseurs cinématique et statique d’une même liaison entre les solides 1 et 2,

alors la forme linéaire suivante est nulle :

P =V1/2

⊗T 1/2

= 0

Cela correspond à la puissance dissipée dans la liaison, qui est nulle sous l’hypothèse de"liaison parfaite".

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

Principe Fondamental de la statiqueSi S est un système de solides à l’équilibre dans un référentiel galileen, alors :∑

T ext/S

= 0

Principe des actions réciproquesSi un solide S1 exerce sur un solide S2 une action mécanique

T S1/S2

, alors S2 exerce

l’action mécanique exactement opposée sur S1 :T S2/S1

= −

T S1/S2

Frottement de coulombLa loi du frottement de Coulomb pour deux solides en contact ponctuel en I s’écrit (FN

et ~FT les composantes normal et tangentielle de l’effort) :

T S1/S2

=

I

FN .~z + ~FT

~0

– Si adhérence :‖~FT‖ ≤ f.|FN |~VI,S2/S1 = ~0

– Si glissement :‖~FT‖ = f.|FN |~FT opposé et de même direction que ~VI,S2/S1

Méthodologie de résolution d’un problème de statique– tracer le graphe de structure,– définir les isolements permettant de calculer les inconnues,– isoler les systèmes et écrire le PFS sous forme de torsorielle, vectorielle puis scalaire,– résoudre et calculer les inconnues recherchées.Remarque : Dans le cas d’un problème plan, on ne considère que les efforts dans le plan et

les moments normaux au plan.

Remarque pour les isolements : Repérer l’objectif à atteindre :• Si l’objectif est : trouver toutes les actions mécaniquesVérifier que le système puisse être résolu. Il s’agit d’isoler l’ensemble des solides. Le bâti

ne peut pas être isolé (des actions mécaniques indéterminables s’y appliquent).En appliquant le principe fondamental de la statique à chacun des solides, on obtient un

système d’équations comportant 6(p− 1) équations avec p le nombre de solides.

• Si l’objectif est : trouver une action mécanique particulièreIl n’est pas forcément nécessaire d’écrire les 6 équations par solide issues de l’application

du PFS. Un isolement judicieux, le choix d’écrire une résultante ou un moment, ainsi qu’uneprojection adéquate permet d’aboutir au résultat rapidement. Quelques conseils :

Ne pas faire intervenir les inconnues d’actions mécaniques de liaisons non recherchéesen rendant ces actions mécaniques internes à l’isolement ou en écrivant une projection sui-vant une direction où les liaisons présentent des composantes nulles en effort.

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

Ex :Si l’on recherche une résultante motrice permettant à un ensemble de solide de se dé-

placer en translation, Il s’agira d’écrire une équation de résultante en projection suivant ladirection de déplacement.

Pour la recherche d’un couple moteur s’exerçant sur un ensemble de solide en rotationautour d’un axe fixe, Il s’agira d’écrire une équation de moment en un point de l’axe derotation en projection sur la direction de l’axe .

A Angles d’Euler

Les angles d’Euler représentent une pos-sibilité (à connaître) pour définir l’orientationd’un solide dans l’espace à l’aide de 3 para-mètres angulaires.

Les 3 rotations s’effectuent autour de 3 vec-teurs indépendants. Le choix des vecteurs derotation effectué dans Euler est le suivant :- La première rotation s’effectue autour de ~z1,- La dernière rotation s’effectue autour de ~z2.- La rotation intermédiaire s’effectue autour d’unvecteur perpendiculaire à ~z1 et à ~z2 : ~n = ~z1∧~z1

‖~z1∧~z1‖

ψ angle de précession ;θ angle de nutation ;φ angle de rotation propre.

Vecteur taux de rotation de R2/R1 :~ΩR2/R1 = dψ

dt~z1 + dθ

dt~n+ dφ

dt~z2

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

B Rappels sur les torseurs

Définition.

On appelle TorseurT

l’ensemble d’un champ de vecteurs anti-symétrique ~M et d’un

vecteur ~R associé. ~R est appelée la résultante et ~MA le moment en A.Pour définir complétement un torseur, il suffit de préciser sa résultante et son moment en unpoint quelconqueA de l’espace. Ces deux vecteurs sont alors appelés les éléments de réductiondu torseur en A. On note le torseur

T

comme suit :

T

=A

~R~MA

=

A

R1.~e1 +R2.~e2 +R3.~e3

MA,1.~e1 +MA,2.~e2 +MA,3.~e3

où R est la base de vecteurs R(~e1, ~e2, ~e3). Les coordonnées Ri et MA,i sont les coordonnéespluckériennes du torseur

T

.Le torseur nul est un torseur dont la résultante et le moment sont nuls en au moins un pointM de l’espace.

Propriétés — Relation de changement de point.

Champ antisymétrique.

Un champ de vecteurs ~M est antisymétrique si, et seulement si, pour une application Lantisymétrique de R3 dans R3, et deux points P et Q quelconques de l’espace E(R3), on a :

~MP = ~MQ + L( ~QP )

Dans R3, cette relation s’écrit à l’aide d’un produit vectoriel car pour toute application anti-symétrique de R3 dans R3, il existe un vecteur ~R tel que L(~U) = ~R ∧ ~U , d’où :

~MP = ~MQ + ~R ∧ ~QP

C’est cette propriété des champs antisymétriques qui nous permettra de calculer les coor-données du torseur en différents points. Cette relation est à connaître absolument.

Champ équiprojectif.

Un champ de vecteurs ~M est équiprojectif si, et seulement si, pour tous points P et Q deE(R3), on a :

~MP . ~PQ = ~MQ. ~PQ

Le théoréme de Delassus nous dit alors que : Tout champ antisymétrique est équiprojectif etréciproquement.

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

Somme de deux torseurs.

Soient deux torseursT 1

etT 2

tels que :

T 1

=

A

~R1

~MA,1

etT 2

=

A

~R2

~MA,2

SoitT S

la somme des deux torseurs. Alors la résultante ~RS est égale à la somme des

résultantes ~R1 et ~R2 et le moment ~MA,S exprimé en A est égal à la somme des moments ~MA,1

et ~MA,2 exprimés en A.~RS = ~R1 + ~R2

~MA,S = ~MA,1 + ~MA,2

Attention ! Ajouter deux torseurs dont les éléments de réduction sont exprimés en despoints différents n’a aucun sens !

Multiplication d’un torseur par un scalaire.

SoitT 1

un torseur et α un réel. Alors :

T 2

= α.

T 1

=

A

α.~R1

α. ~MA,1

Comoment de deux torseurs.

On appelle comoment de deux torseursT 1

etT 2

, la quantité scalaire :

T 1

⊗T 2

= ~R1. ~MA,2 + ~R2. ~MA,1

Comme pour la somme, les moments des torseurs doivent être exprimées au même point.Le résultat ne dépend pas du point A choisi.

Automoment d’un torseur.

On appelle automoment A d’un torseurT

la moitié du comoment de ce torseur parlui même :

A =1

2.T⊗T

= ~R. ~MA

Axe central d’un torseur.

On appelle axe central d’un torseurT

l’ensemble des points I pour lesquels le champ~M est colinéaire à ~R. Soit : ~MI = α.~R , α ∈ R

On remarque que l’axe central est toujours une droite paralléle à ~R.

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

Décomposition d’un torseur.

Glisseur.

Un glisseur est un torseur dont l’automoment est nul avec ~R 6= ~0.Le moment est donc toujours perpendiculaire à la résultante et il est nul sur l’axe central.

Couple.

Un couple est un torseur dont la résultante est nulle : ~R = ~0.Le moment est donc constant en tout point de l’espace et il n’y a pas d’axe central pour cetorseur.

Décomposition d’un torseur en un glisseur et un couple.

Tout torseurT

peut se décomposer en la somme d’un glisseurG

et d’un coupleC

:

T

=G

+C

Soit :A

~R~MA

=

A

~R

~MA,Glisseur

+

A

~0~C

Cette décomposition n’est pas unique. Elle l’est si on impose la condition supplémentaire~C colinéaire à ~R. On appelle parfois "décomposition canonique" cette décomposition unique.

Dans le cas d’une décomposition canonique, l’axe central du torseur est le même quel’axe central du glisseur issu de la décomposition. Le moment du glisseur est biensûr nulsur l’axe central. Le moment du torseur sur l’axe central, colinéaire à la résultante, est égalau moment ~C du couple issu de la décomposition.

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C Tableau des liaisons

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Mécanique MPSI – PCSI : synthèse

D Pour aller plus loin : résoudre graphiquement un problèmeplan [HORS PROGRAMME]

D.1 Propriétés utilisées en cinématique graphique (problème plan)

Pour un mouvement plan d’un mécanisme, il est facile d’évaluer les différentes vitessesutiles en utilisant les propriétés suivantes :

– composition des vecteurs vitesses du mouvement de Sj par rapport à Si ;– équiprojectivité ;– la norme du vecteur vitesse de Si par rapport à Sj en un point est proportionnelle à la

distance du C.I.R. Iij à ce point ;– le C.I.R. est déterminé par l’intersection des normales aux vecteurs vitesse de Sj par

rapport à Si de deux points quelconques.

Théorème des 3 C.I.R.Soient trois solides (1), (2) et (3). Il est possible de définir trois C.I.R. entre ces solides :

CIR1/2, CIR1/3 et CIR 2/3. Ces trois C.I.R. (s’ils existent) sont alignés.

D.2 Propriétés utilisées en statique graphique (problème plan)

Système soumis à l’action de 2 glisseurs (forces) :Lorsqu’un système en équilibre est soumis à deux forces, ces deux forces sont colinéaires,

égales et opposées.

Système soumis à l’action de 3 glisseurs (forces) :Lorsqu’un solide en équilibre est soumis à trois forces non parallèles, il faut et il suffit que

ces trois forces soient coplanaires, concourantes et de somme nulle et de somme de momentsnulle.

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