INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERIA

CAMPUS GUANAJUATO

Construccin de un mecanismo de Reloj en madera

Arturo Ruiz Vargas

Gilberto Ruiz Jimnez

Esteban Hernndez Lara

Benjamn Ramrez Ojeda

Jos Leonardo Medina Pegueros

1AM1

Fsica Clsica

Dr. Juan Carlos Mixteco Snchez

M.C. Irene Hernndez Rangel

Silao de la Victoria, Guanajuato. 14 de octubre de 2013.

2

ndice

1. Introduccin y Justificacin .............................................................................................................. 3

2. Formulacin del problema ............................................................................................................... 4

3. Delimitacin ......................................................................................................................................... 5

4. Marco terico ...................................................................................................................................... 6

4.1Relojera Mecnica .............................................................................................................. 6

4.2 Mecanismos de escape .................................................................................................... 7

4.2.1 Mecanismo de corona y borde ....................................................................... 8

4.2.2 Escape de ancla de retroceso ........................................................................ 9

4.2.3 Mecanismo de escape de Graham ............................................................. 10

4.3 Engranes .............................................................................................................................. 11

4.3.1 Tipos de Engranes ............................................................................................. 11

4.3.2 Diseo de Engranajes ...................................................................................... 12

4.4 Pndulo ................................................................................................................................ 13

4.4.1 Isocronismo ........................................................................................................ 14

5. Hiptesis .............................................................................................................................................. 15

6. Metodologa....................................................................................................................................... 15

6.1 Diseo y construccin del reloj ...................................................................................... 15

6.1.1 Proporciones entre los engranajes................................................................ 17

6.1.2 El mecanismo de escape ............................................................................... 18

6.1.3 Polea y pesos ..................................................................................................... 20

6.1.4 Construccin ...................................................................................................... 20

6.1.5 Ajustes ................................................................................................................. 22

6.2 Anlisis experimental del prototipo ............................................................................... 23

6.2.1 Pndulo ............................................................................................................... 23

6.2.2 Dinmica rotacional de los engranes .......................................................... 23

6.2.3 Contrapeso ........................................................................................................ 25

7. Conclusiones...................................................................................................................................... 26

Bibliografa .............................................................................................................................................. 27

3

Resumen A lo largo de este trabajo se investigaron y aplicaron principios de mecnica clsica para la construccin de un reloj en madera con escape tipo ancla. Se tuvo como propsito la aplicacin de conceptos de fsica clsica para entender el funcionamiento de los mecanismos utilizados, maximizar su eficiencia y precisin, entre otros. Se utilizaron tambin conceptos sobre el funcionamiento de mquinas simples y se hizo una descripcin del funcionamiento del producto obtenido a travs de herramientas de fsica clsica y matemticas. Una vez obtenido el mecanismo, se realizaron pruebas experimentales para determinar su precisin y eficiencia en su funcionamiento. Se descubri que diversos factores inherentes al material del que se fabric, la construccin del mismo y las simplificaciones que hicimos a los clculos provocan que el modelo funcione de forma errtica y falle en su propsito de medicin de tiempo. Sin embargo, el objetivo principal de aplicacin de conceptos logr cumplirse por completo y la experiencia fue enriquecedora para todos los integrantes del equipo.

Abstract During the development of this work, basic principles of classic mechanics were investigated and applied to the construction of a wooden clock with anchor escapement. The main purposes were the application of classic physics concepts to understand how the used mechanisms work, maximize their efficiency and precision, among others. Simple machine concepts were also used and a description about the function of the product was made using physical and mathematical tools. Once the mechanism was built, a series of experimental tests were made to determine is precision and function efficiency. It was discovered that a variety of factors inherent to the material we used on its fabrication, the construction process and the simplification on our calculus caused the model to work in an erratic way and fail on its measuring time purpose. However, the application of physics concepts, our main goal, was completely achieved and it was an enriching experience for each member of our team.

1. Introduccin y justificacin. Desde que el hombre tiene consciencia, ha buscado formas de interpretar el cambio. Y la base principal de cualquier cambio es el tiempo. Ahora bien, para el hombre primitivo la medicin del tiempo era una tarea muy rudimentaria, puesto que no disponan de los conocimientos necesarios para crear marcos de referencia y estndares que les permitieran uniformizar sus mediciones. As, existieron desde un inicio distintas maneras de interpretar el paso del tiempo:

4

calendarios solares, lunares o estelares, basados cada uno en la importancia que cada cultura le daba a los distintos astros. Con el paso de los siglos, se volvi imperativo uniformizar la manera de medir el tiempo. De este modo, en occidente se adopt un sistema sexagesimal (basado en el 60) para la medicin del tiempo. Esto es claro si consideramos que cada hora tiene 60 minutos, cada minuto a su vez tiene 60 segundos. Se entiende entonces que la medicin del tiempo no es un concepto trivial, menos una disciplina que estudia el cambio de forma metdica como la fsica. Para la medicin del tiempo contamos ahora con sistemas exactsimos como los relojes atmicos o los recientemente surgidos relojes de lgica cuntica, que nicamente pierden un segundo cada 3,400 millones de aos. Pero esto no siempre fue as, si nos remontamos a los primeros intentos de crear mecanismos para medir el tiempo sin necesidad de aparatos enormes e imprcticos debemos llegar a los talleres suizos donde los artesanos, sin saberlo, aplicaban principios fsicos para la creacin de relojes. En el curso de fsica clsica que se desarroll, se trataron sobre todo principios bsicos de mecnica., cinemtica y esttica que permiten explicar la manera en que estos primeros relojes funcionaban. Al no existir electricidad, los relojes obtenan su movimiento a travs de energa potencial que, mediante un mecanismo de escape, se liberaba gradualmente convirtindose en energa cintica en ciclos determinados. Sabiendo esto, nos pareci interesante desarrollar un reloj con un mecanismo tradicional que no requiera energa elctrica sino nicamente que se le de cuerda para funcionar. Todo ello utilizando principios de esttica y mecnica para obtener mayor precisin y funcionalidad. El proyecto busca tener el doble propsito de entender ms a fondo el funcionamiento de engranes y mquinas simples, a la vez que nos permite utilizar principios de mecnica clsica para lograr un correcto funcionamiento en la medicin del tiempo.

2. Formulacin del problema

Qu es lo que queremos conocer al finalizar este proyecto?

Lo que queremos conocer al finalizar el proyecto es identificar las ventajas y usos que nos pueden brindar los componentes de este mecanismo que son los engranes y el pndulo, conocer los principios por los que se rigen sus movimientos para hacerle mejoras y aprovecharlos al mximo, conocer las posibles aplicaciones que podramos darle a estas mquinas en la aeronutica, buscamos tambin comprender el movimiento oscilatorio de un pndulo. Otra cosa que nos proponemos es investigar a fondo los engranes ya que son muy tiles en la ingeniera, as como tambin las ventajas y mejoras que podramos hacerles a estos para un fin especfico para una necesidad que se nos presente en un futuro.

5

3. Delimitacin

El objetivo de nuestro equipo al desarrollar el reloj compuesto es poder explicar

tericamente el funcionamiento interno de este cuerpo mecnico por los diversos

efectos de las fuerzas actuantes sobre los engranajes y dems componentes del

reloj. Con esto se demostrara la importancia de los conocimientos tericos

adquiridos en clase.

Para conseguirlo se estudiaran diversos temas relacionados con la mecnica para

poder determinar la coordinacin perfecta del movimiento de los engranajes

basndonos en su tamao, posicin y las fuerzas que actan sobre ellos, as

como estimar la capacidad de conservacin del movimiento de estos.

Para desarrollar nuestro proyecto tendremos que considerar un periodo de

desarrollo de mximo un mes y medio antes de la fecha de entrega del proyecto,

tiempo en el que tendremos que maximizar nuestro entendimiento de los diversos

temas a tratar, y familiarizarnos con el correcto uso de diversas herramientas con

el fin de ensamblar el reloj de la mejor manera y con el menor desperdicio de

material posible.

Tendremos que desarrollar nuestro proyecto en Len Gto, ya que es la ciudad en

la que se hospedan o vivimos los miembros del equipo y no hay que gastar mucho

dinero en transporte, sin embargo, puede provocar dificultades el tener que

transportar herramientas y materiales a una casa o locacin en especfico.

Para ensamblar el reloj necesitaremos madera, por lo que no tendremos muchos

gastos econmicos en materia prima, sin embargo tendremos que considerar las

herramientas necesarias para trabajarla, habra que conseguir cortadoras,

lijadoras o lijas sueltas (aunque tomara ms tiempo) y dems, lo que tal vez

requiera de ms dinero u nos retrase en el desarrollo en caso de tener que

contactar a alguien que nos preste esas herramientas.

Un factor importante para conseguir realizar el proyecto con xito ser el hecho de

que todas y cada una de las piezas tenga la forma y medida necesaria para que el

prototipo funcione correctamente y por lo tanto nuestros clculos tambin sean

correctos, puesto que mientras ms diferencia exista entre los datos reales con los

que nosotros consideremos o mientras incluso despreciemos ciertos factores

importantes nuestros clculos tendrn un porcentaje de error mayor.

6

4. Marco Terico Para el desarrollo de este proyecto decidimos dividir el marco terico en dos partes: la primera concerniente a los mecanismos e historia de los relojes mecnicos y la segunda dedicada a los principios mecnicos necesarios para el desarrollo de nuestro modelo. 4.1 Relojera Mecnica

La historia de la relojera mecnica inicia cerca del siglo XVIII, aunque no se tiene una certeza clara de su origen debido a que en un principio los cronistas de la poca no consideraban importante el desarrollo de relojes mecnicos y se centraban en la descripcin de sus antecesores: los relojes de agua. Estos sistemas se caracterizaban por lo complejo de su operacin aunado a su poca precisin (tenan un margen de error de cerca de 15 minutos). En la ilustracin 1 se puede observar un reloj de agua colocado en una plaza pblica. Pas mucho tiempo hasta que artesanos e inventores idearan una forma mecnica de medir el tiempo. Los registros ms antiguos de uso de pesas y engranes en relojes nos llevan a la era pre-cristiana, este desarrollo estuvo ampliamente ligado a la invencin de molinos de viento. (H. Lienhard, 2000) Ahora bien, el uso de engranes y pesas hubiese sido imposible sin algn mecanismo de escape. La cada de una pesa no podra medir el tiempo porque se movera de forma acelerada y estara en el piso en poco tiempo. Queda claro entonces que la parte central en el diseo de relojes mecnicos es el llamado sistema o mecanismo de escape. Sin ste el reloj simplemente no funciona.

Uno de los ms antiguos sistemas de escape de los que se tiene registro aparece en el Album of Villard de Honnecourt. La idea es bastante primitiva y no se utiliz primordialmente para medir el tiempo de forma precisa, puesto que nicamente permita saber si era de da o de noche (Abbott Payson, 1929). En la ilustracin 2 se puede ver el sistema referido. A partir del mencionado mecanismo hay una gran brecha de tiempo hasta que se tenga registro de nuevos y mejorados sistemas. Es hasta 1348 que se tienen registros slidos de avances en la materia: existe un reloj en el castillo de Dover

Ilustracin 1 Fachada de reloj de Agua en Gazari (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic, 2012)

7

que tiene inscrito el ao antes mencionado y que no presenta signos de haber sido actualizado en fechas posteriores (Abbott Payson, 1929).

Se dice que el trabajo es de artesanos Suizos. Como muchos relojes primerizos, nicamente presenta la manecilla de la hora, contiene un conjunto de engranes arreglados de tal forma que cuando el engrane de escape gira una vez (tomndole 4 minutos hacerlo) provoca que el engrane ms grande se mueva una vez cada 55 minutos. Este es un claro avance puesto que se reduce el error en el reloj a nicamente 5 minutos. (H. Lienhard, 2000) A partir de entonces comienzan a aparecer registros ms precisos de relojes mecnicos, muchos de ellos comienzan a construirse en iglesias, alcaldas y castillos, sin llegar a influir mucho en la vida cotidiana de la gente puesto que no se fabricaban relojes domsticos.

Tuvieron que pasar cerca de 5 siglos para que finalmente los relojes fueran parte de la vida diaria de las personas y su uso se intensificara. Todo ello es posible

nicamente debido al desarrollo de mecanismos de escape ms modernos, fiables y econmicos, que se describirn ms adelante. A partir de entonces, se calcula que la precisin de los relojes mecnicos fue duplicndose cada treinta aos aproximadamente hasta llegar a nuestros das. 4.2 Mecanismos de Escape El mecanismo de escape de un reloj se define como el sistema de control de liberacin de energa de forma peridica que posee el dispositivo. (H. Lienhard, 2000) Es la parte medular para la medicin del tiempo puesto que evita que la energa suministrada al aparato escape de l rpidamente y sin periodicidad. A travs del tiempo, diversos inventores han creado varias maneras de regular el movimiento de los relojes con mecanismos de escape de todos tipos. Para efectos de nuestro trabajo, describiremos nicamente los mecanismos ms representativos de escape, sin considerar algunos de los sistemas modernos que requieren alguna fuente de energa elctrica. Esto es porque nuestro diseo se

Ilustracin 2 Mecanismo de escape de Villard (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic, 2012)

8

basar nicamente en principios mecnicos y obtendr la energa para su funcionamiento del potencial con respecto al suelo de un juego de pesas. Mostraremos 3 diseos distintos, a saber:

Corona y borde

Anclaje de retroceso

Escape de Graham (Deadbeat escapement)

En todos ellos describiremos un poco de su historia y nos detendremos en su

funcionamiento, que es la parte medular de inters para el proyecto que buscamos

llevar a cabo.

4.2.1 Mecanismo de

Corona y Borde

El mecanismo de corona, es

un regulador de velocidad de

los ms antiguos, presente

en viejos relojes que

surgieron en la segunda

mitad del siglo XIII en

Europa. El dispositivo se

cree que data de 1273 y se

atribuye al constructor

francs Villard de

Honnecourt.

Para entender el principio de

su operacin, se debe tener

en cuenta que los primeros

relojes, cuya velocidad estaba regulada por este tipo de mecanismo, no contaban

con un oscilador que regulara su velocidad. La velocidad de la corona slo est

regulada por la inercia del foliot con un muy impredecible error. Para un

entendimiento ms claro, puede observarse la ilustracin 3, donde se presenta un

ejemplo del mecanismo. (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic,

2012)

Ilustracin 3 Mecanismo de escape tipo Corona (H. Lienhard, 2000)

9

Cuando la corona (5) rota, empuja las paletas (4) del foliot (1), de tal forma que las pesas rotan en un sentido mientras que en el lado opuesto la inercia generada empuja los dientes de la corona para que den otra vuelta. De nuevo, la corona empuja las paletas y el proceso comienza de nuevo. Dado que el foliot no es exactamente un oscilador, la velocidad de los relojes medievales era susceptible de muy variadas afectaciones. No fue sino hasta 1658 que se introdujo un sistema de pivote y pndulo al diseo original, lo que permiti reducir el error del mecanismo de varias horas al da a un par de decenas de minuto diarias. (Stoimenov, Popkonstantinovi, Miladinovi, & Petrovic, 2012) 4.2.2 Escape de ancla de retroceso

,El diseo de este sistema se le debe a dos ingleses: el maestro relojero William Clement y el cientfico Robert Hooke, que presentaron su idea en 1670. En ese mismo ao se construy el primer reloj basado en este principio de escape. La ilustracin 4 muestra la geometra bsica y sistema de operacin del ancla de

retroceso. El sistema funciona de la siguiente manera: Se conecta una pesa al eje del engrane principal (4), posteriormente se da un impulso ligero inicial al pndulo (6) conectado al ancla (1) de tal suerte que sta comience un movimiento primero elevando la parte derecha, permitiendo que el engrane avance para luego por efecto del regreso del pndulo bajar el lado opuesto, deteniendo el engrane hasta que el proceso se reinicie. Al estar controlado por un pndulo, este proceso es mucho ms exacto que los intentos previos para regular la energa entregada a los relojes, pero no es suficientemente bueno porque existe un factor importante de friccin en la parte curveada izquierda (2) que lleva al pndulo a detenerse gradualmente y acelerar el avance del reloj . Sin embargo, este problema puede reducirse con ligeras alteraciones al diseo del ancla que regula al engrane principal, lo que llevara la creacin del ltimo mecanismo a revisar, y que utilizaremos en nuestro diseo: El mecanismo de escape de Graham.

Ilustracin 4 Mecanismo de ancla de retroceso (H. Lienhard, 2000)

10

4.2.3 Mecanismo de escape de Graham.

El diseo de la solucin para separar el impulso del pndulo del detenimiento que generaba la corona principal, probablemente la parte ms importante en toda la historia de la ciencia y arte de hacer relojes, fue obra de Thomas Tampion en 1675. Por ello se le considera el padre de la relojera moderna, pero fue su discpulo y amigo George Graham quien adapt su sistema en 1715 para permitir su uso masivo y a gran escala. El modelo bsico de funcionamiento para el diseo de Graham se muestra en la ilustracin 5, el lector se dar cuenta de que en gran medida se trata de un mecanismo muy parecido al de ancla de retroceso antes revisado, pero las ligeras diferencias generan un gran cambio en la precisin del reloj que utiliza la idea mejorada.

El escape de Graham se compone de dos partes: la rueda de escape, lo que es una rueda vertical con dientes puntiagudos (1) y el ancla (6) , con forma vagamente como el ancla de un barco que se balancea hacia atrs y adelante en un pivote justo por encima de la fuga rueda. En los dos brazos del ancla (5) forman ngulo caras planas (3) que los dientes de la rueda de escape contra el empuje, llamadas paletas. El eje central del ancla est unido al pndulo, por lo que el ancla se balancea hacia atrs y adelante, con las paletas alternativamente la captura y la liberacin de un diente de rueda de escape en cada lado.

Cada vez que una paleta se aleja de la rueda de escape, la liberacin de un diente, la rueda gira y un diente en el otro lado se engancha en la otra paleta, que se est moviendo hacia la rueda. El impulso del pndulo contina para mover la segunda paleta hacia la rueda, empujando la rueda de escape hacia atrs por una distancia, hasta que el pndulo se invierte la direccin y la paleta comienza a moverse fuera de la rueda, con el diente de deslizamiento a lo largo de su superficie, empujndolo. A continuacin, el diente se desliza fuera del extremo de la paleta, comenzando de nuevo el ciclo. (Stoimenov, Popkonstantinovi,

Ilustracin 5 Mecanismo de escape de Graham (Abbott Payson, 1929)

11

Miladinovi, & Petrovic, 2012)

Con las adecuaciones antes mencionadas, el mecanismo de Graham termina siendo una de las mejores opciones por la precisin que puede otorgar. Es por eso que decidimos utilizar este principio en nuestro diseo. Como se puede observar, es completamente mecnico y por ello puede ser descrito y modelado con los principios que aprendimos en la clase de fsica. Al diagrama presentado hace falta agregarle las pesas que dan energa al sistema y el resto del sistema de engranes para poder obtener un reloj completamente funcional que es el propsito de este proyecto.

4.3 Engranes

Se denomina engranaje o ruedas dentadas al mecanismo utilizado para transmitir potencia de un componente a otro dentro de una mquina. Los engranajes estn formados por dos ruedas dentadas, de las cuales la mayor se denomina corona' y la menor 'pin'. Un engranaje sirve para transmitir movimiento circular mediante contacto de ruedas dentadas. (Enciclopedia Salvat de Ciencia y Tecnologa, 1984) Una de

las aplicaciones ms importantes de los engranajes es la transmisin del movimiento desde el eje de una fuente de energa, como puede ser un motor de combustin interna o un motor elctrico, hasta otro eje situado a cierta distancia y que ha de realizar un trabajo. De manera que una de las ruedas est conectada por la fuente de energa y es conocida como engranaje motor y la otra est conectada al eje que debe recibir el movimiento del eje motor y que se denomina engranaje conducido. (Dudley, 1983)

4.3.1 Tipos de Engranajes

Existen muchas maneras de clasificar las ruedas dentadas dependiendo de su forma, funcin, mecanismo de accin, etc. Para nuestro caso particular, utilizaremos dos clasificaciones: segn su tamao, y segn la distribucin de sus ejes.

Segn su tamao, los engranes pueden ser: o Corona: Es el engrane de mayor tamao y hace girar al pin. o Pin: Es el engrane de menor tamao, puede usarse tanto para

recibir movimiento como para transmitirlo.

Segn la distribucin de sus ejes:

Ilustracin 6 Detalle de los dientes en un engrane. (Dudley, 1983)

12

o Ejes paralelos: En esta distribucin todos los engranes se encuentran girando a distancias variadas pero en el mismo ngulo, siendo paralelos. En esta clasificacin se incluyen los engranajes cilndricos rectos, que son el tipo de engranaje ms simple y corriente que existe. Se utilizan generalmente para velocidades pequeas y medias.

4.3.2 Diseo de engranajes.

El diseo de engranajes es un rea muy vasta en el campo de la ingeniera mecnica. No es el objetivo de este proyecto ahondar en tcnicas de diseo manuales o complejas puesto que al nivel en el que estamos resultara imprctico. Sin embargo, dado que s requerimos utilizar engranajes para el reloj, decidimos utilizar un sistema computarizado que simplifica la tarea de crear engranes. Este software, llamado Gear Template Generator permite crear sistemas de engranajes por pares, el usuario nicamente requiere ingresar el nmero de dientes, el tipo de engrane que requiere, adems de otras especificaciones generales.

El software genera una animacin y planos que pueden imprimirse fcilmente y utilizarse para los propsitos que se requiera. En la siguiente ilustracin se muestra una captura de pantalla del programa, que nos permite agilizar al mximo el diseo y con ello la fabricacin posterior de los engranes.

Ilustracin 7 Ventana del programa utilizado para diseo de engranajes.

13

4.4 Pndulo

Un pndulo es un cuerpo grave que puede oscilar suspendido de un punto por un hilo o varilla. (Real Academia Espaola de la Lengua, 2001). En este caso, se utiliz un pndulo de madera para controlar los ciclos del reloj. Es importante hacer notar que la mecnica de un pndulo no es nada sencilla, aunque aparente serlo. Diversos factores pueden alterar la uniformidad de su periodo, desde la gravedad a la temperatura. Es por ello que nosotros realizamos una serie de simplificaciones en nuestros clculos tericos para hacer ms comprensible el desarrollo de stos y menos complejo el anlisis. As pues, el pndulo que utilizamos se trat al momento de hacer clculos como el llamado pndulo ideal o pndulo simple que cumple con las siguientes suposiciones: (Baker, G. L., & Blackburn, J. A., 2005)

La barra que une la masa inferior con el punto superior tiene masa despreciable, es completamente rgida e inflexible.

La masa inferior es una masa puntual.

El movimiento ocurre en dos dimensiones nicamente, formando un arco y no una elipse.

El movimiento no pierde energa por friccin o resistencia del aire. Habiendo considerado estas condiciones previas, se pueden obtener las siguientes frmulas y descripciones matemticas sobre el comportamiento de un pndulo, mismas que se utilizarn para el diseo del reloj en la parte de metodologa. En la ilustracin 8 se puede observar un diagrama que describe las fuerzas involucradas en la oscilacin del pndulo.

Consideremos un pndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partcula desde la posicin de equilibrio hasta que el hilo forme un ngulo con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el pndulo oscilar en un plano vertical bajo la accin de la gravedad. Las oscilaciones tendrn lugar entre las posiciones extremas y -, simtricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la

longitud, , del hilo. El movimiento es peridico, pero no podemos asegurar que sea armnico. (Serway, Vuille, & Faughn S., 2010)

Ilustracin 8 Diagrama de fuerzas en un pndulo simple (Serway, Vuille, & Faughn S., 2010)

14

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuacin del movimiento de la partcula.

La partcula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la accin de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensin del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

siendo at, la aceleracin tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner:

Siendo la aceleracin angular del sistema, de modo que la ecuacin queda

como:

( ) ( )

Esta ecuacin no corresponde a un movimiento armnico simple (m.a.s.) debido a

la presencia de la funcin seno, de modo que podemos asegurar que el

movimiento del pndulo simple no es armnico simple, en general.

Sin embargo, Si consideramos tan slo oscilaciones de pequea amplitud, de

modo que el ngulo sea siempre suficientemente pequeo, entonces el valor del

sen ser muy prximo al valor de expresado en radianes (sen , para

suficientemente pequeo), y la ecuacin anterior se reduce a:

Que s corresponde al comportamiento del movimiento armnico simple y de la

cual podemos obtener una expresin para el periodo de la oscilacin: (Serway,

Vuille, & Faughn S., 2010)

4.4.1 Isocronismo

Obsrvese que el periodo del pndulo simple es independiente de la masa de la

partcula suspendida y, tambin, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que

stas sean suficientemente pequeas como para que la aproximacin sen

15

sea aceptable. Esta ltima propiedad, conocida como isocronismo de las

pequeas oscilaciones, fue descubierta por Galileo (1564-1642), hacia el ao

1581, en la catedral de Pisa. Puesto que las pequeas oscilaciones del pndulo

son iscronas, resulta til para la medida del tiempo, que es el propsito que

tenemos pensado darle al pndulo en nuestro mecanismo. Se utilizar un ngulo

pequeo para lograr la aproximacin necesaria y tener as un regulador iscrono

del movimiento de los engranes, y en ltima instancia, de la energa liberada.

5. Hiptesis Previo a la construccin del mecanismo, tenemos una serie de hiptesis previas que verificaremos posteriormente, indicando con evidencia experimental la veracidad o falsedad de stas.

El mecanismo de escape del reloj ser capaz medir el tiempo con un

retraso menor a una hora diaria.

A menor longitud del pndulo el periodo ser menor y viceversa.

A menor peso del pndulo el periodo ser menor y viceversa.

Es posible controlar la liberacin de energa potencial en periodos determinados utilizando un pndulo.

6. Metodologa Para el desarrollo de este proyecto existen dos lneas metodolgicas principales: la primera es el desarrollo y construccin del reloj; la segunda es precisamente el anlisis del prototipo construido para contrastar su comportamiento con los datos tericos esperados. Ambas se analizarn por separado para dar una estructura ms ordenada y lo ms clara posible. 6.1 Diseo y construccin del reloj.

Para comenzar con el diseo del reloj, lo ms importante fue revisar trabajos previos similares a lo que buscbamos lograr. Para nuestra sorpresa, se encontraron una gran variedad de diseos, todos ellos con apariencia bastante compleja, algunos definitivamente inalcanzables segn nuestra delimitacin para este proyecto. Fue as que decidimos idear alguna manera de simplificar los mecanismos existentes.

16

Salt a la vista que uno de los aspectos que ms complicaba los engranajes era que las manecillas de hora, minuto y segundo deban moverse de forma independiente y sobre un plano de fondo que deba permanecer esttico. Todo esto por el arquetipo de reloj que todos conocemos. Ante este panorama, una de las primeras ideas fue separarnos un poco del diseo tradicional y

generar un sistema en el que fueran los engranes los que se movieran en el fondo, marcando la hora, y que nicamente una serie de manecillas estticas sirvieran como referencia para determinar el tiempo marcado. En este sentido, encontramos un diseo que nos llam mucho la atencin, y en el cual nos basamos para la construccin de nuestro prototipo. Se trata del reloj Genesis diseado por el Dr. Clayton Boyer. Este reloj representa la forma ms simple para armar el dispositivo porque sus manecillas son estticas, de modo que no es necesario aadir engranes adicionales para que el movimiento de las manecillas sea independiente. Sin embargo, no pudimos

Ilustracin 9 Reloj estndar de pndulo con 49 piezas diferentes. (Law, 2000)

Ilustracin 10 Reloj Gnesis, de manecillas estticas y separadas en distintos planos. (Boyer, 2011)

17

obtener los planos puesto que stos eran de pago y nuestro financiamiento fue limitado. Resolvimos entonces observar diversos videos e imgenes del reloj en funcionamiento, con lo que pudimos determinar la relacin entre os dientes de cada engrane (parte ms importante para el diseo) y utilizar estos datos para, con ayuda de software para diseo de engranes antes mencionado, obtener nuestros propios planos aproximados. 6.1.1 Proporciones entre los engranes Existe un total de 7 engranes en nuestro prototipo, mismos que guardan una proporcin entre sus dientes que finalmente sirve a nuestro propsito de que cada engrane de segundos, minutos y horas se mueva a la velocidad necesaria para medir cada fraccin de tiempo. Se utilizan varios piones porque permiten reducir velocidades sin aumentar en gran medida el tamao de cada engrane. Si no se utilizaran, el engrane de horas (el ms grande) debera ser 60 veces ms grande que el de minutos y 3600 veces ms grande que el de segundos para una proporcin correcta.

Segundero/Engrane de escape Comenzamos a plantear el nmero de dientes necesario con el engrane de escape, que marca los segundos. Cada revolucin de este componente debe durar dos minutos, por lo tanto, la velocidad angular de este eje estar dada por:

Engrane loco/intermedio Este engrane se mueve a travs de un pin colocado en la parte inferior del engrane de escape, dicho pin tiene 7 dientes y se mueve a la misma velocidad angular que el segundero. Por lo tanto, si se quiere calcular la velocidad angular del engrane intermedio, uno debe auxiliarse de la proporcin siguiente:

Donde representa la velocidad angular del pin, su nmero de dientes; y la velocidad angular del engrane con nmero de dientes. Siendo as:

Engrane de minutos Para que este engrane funcione correctamente, debe dar una vuelta completa

cada 120 minutos, lo que equivale a

. Utilizamos entonces la proporcin

anterior, ahora con el pin que se encuentra bajo el engrane loco y conserva por lo tanto su velocidad angular.

18

El resultado coincide con lo esperado, as que continuamos con el engrane de las horas:

Engrane de horas Para el correcto funcionamiento del reloj, este engrane debe dar una vuelta

completa cada 12 horas, lo que equivale a

. Si se utiliza de nuevo la regla de

proporcin antes mencionada, tomando en cuenta el pin en la parte superior del engrane de horas:

El resultado de nuevo es consistente con lo que se esperara para el buen funcionamiento del reloj, con ello concluimos que las suposiciones que hicimos sobre el nmero de dientes y la distribucin del engranaje es correcta y podemos pasar al siguiente punto. 6.1.2 El mecanismo de escape El otro elemento de suma importancia para el correcto funcionamiento del reloj es el mecanismo de escape, compuesto por el engrane del mismo nombre, el pndulo y el ancla de retroceso. Este sistema tiene la funcin de regular la liberacin de energa del sistema, en otras palabras, evita que los engranes giren sin control a velocidades desproporcionadas. El primer elemento a considerar es el pndulo. Como ya expusimos en el marco terico, para este trabajo se simplificar conceptualmente su comportamiento. Lo que deseamos es obtener una funcin para el periodo T del pndulo en segundos en funcin de su longitud y la aceleracin de la gravedad. Teniendo una relacin as no sera difcil determinar la longitud terica que debe tener el pndulo para el periodo deseado.

En una posicin desplazada del equilibrio, la barra formar un ngulo respecto a la vertical. En esta situacin el peso de la partcula puede descomponerse en dos fuerzas, Fy en la direccin de la barra (eje y) y otra Fx perpendicular a l (eje x) y con sentido hacia el punto de equilibrio:

Teniendo en cuenta que el movimiento se producir nicamente en la direccin del eje x, puesto que la barra se ha definido como inextensible, las ecuaciones del movimiento para este sistema resultan ser:

19

La ecuacin de inters es la primera de ellas donde, si el ngulo es lo suficientemente pequeo, los valores de su seno y su tangente son prcticamente iguales. Adems, es posible calcular el valor de esta tangente en el tringulo definido por el hilo y la vertical, tal y como se muestra en la ilustracin 11,

que resulta ser .

Realizando la aproximacin y sustituyendo este valor en la ecuacin del movimiento:

Por otra parte, como para todo m.a.s. la aceleracin tiene la forma a = -2x , al igualar ambas ecuaciones se obtiene:

El periodo de un oscilador armnico es:

Por lo que, la longitud terica que debe tener el pndulo para el periodo deseado

de 2 segundos est dada por:

( ) ( )

( )

Utilizaremos este valor de longitud como nuestra gua para el largo del pndulo,

sin embargo es seguro que se tendrn que hacer ajustes debido a las

simplificaciones tericas que hicimos para llegar al valor reportado.

La masa del pndulo es otro elemento importante, sin embargo, slo es importante

en la medida en que otorga una mayor inercia al sistema, lo que le permite

continuar en movimiento por ms tiempo. Desde nuestra conceptualizacin, el

periodo del pndulo no depende para nada de la masa y entonces tenemos la

Ilustracin 11 Diagrama del pndulo

20

libertad se asignar valores arbitrarios de masa, que se ajustarn segn sea

necesario para que el reloj funcione de la mejor manera posible.

Finalmente, el ancla de retroceso se fabricar tambin en madera. Esta pieza es la

que, a travs del movimiento del pndulo, restringe el movimiento de los engranes,

de tal suerte que el reloj funcione a la velocidad debida. Para esta pieza slo

tuvimos como directriz inicial la forma que se observa en los videos de relojes ya

fabricados, por lo que se realizar una primera aproximacin que se ir puliendo

segn se desarrolle el proyecto.

6.1.3 Polea y pesos

La polea es la parte del sistema en la que se ejerce la fuerza de los pesos para

permitir el movimiento de los engranes. Se encuentra detrs del engrane que

marca los minutos, ya que a travs de l se mueven el resto de los componentes.

Para la polea el aspecto a cuidar ms importante desde el punto de vista terico

es que la friccin con el eje sea mnima para que se aproveche al mximo la

fuerza que proveen las cuerdas atadas a ella. Proponemos usar cuerda de nylon

por ser muy ligera pero a la vez resistente a cargas pesadas. La polea ser

fabricada tambin por nosotros y ajustada conforme se requiera.

Para los pesos que cuelgan del reloj, debemos aadir una fuerza que sea lo

suficientemente fuerte para poner en movimiento a los engranes. Este factor es

difcilmente calculable en esta etapa del proyecto, por lo que proponemos que al

momento de estar construido el reloj, se aadan progresivamente masas ms

grandes a la polea hasta lograr un movimiento fluido del reloj, que es lo que se

busca.

6.1.4 Construccin

La parte ms complicada del proyecto, ms all del diseo

y clculos tericos es la construccin del sistema.

Enfrentamos muchos y muy variados problemas, que se

fueron resolviendo uno a uno hasta llegar al producto final.

Todo inicia con varios tablones de madera de distintos

grosores que se usan para fabricar las partes. Iniciamos

con los engranes, que se hicieron utilizando un taladro

vertical y una caladora elctrica.

Para facilitar esta tarea, utilizamos el programa Gear

template generator para imprimir patrones a tamao real

que pegbamos en los tablones de madera, para despus

Ilustracin 12 Perforacin de curvas.

21

cortarlos segn fuese necesario.

El siguiente paso fue pulir las hendiduras

y los dientes en los engranes obtenidos

con el fin de que encajaran de la mejor

manera posible, evitando as que el

mecanismo final llegara a trabarse o

detenerse. Este proceso se realiz con

lijas o bien con una pulidora de alta

velocidad y de punta pequea, con la que

el detallado se volva ms

sencillo.

Una vez terminados los

engranes, nos dedicamos a

colocar espaciadores entre ellos

para que entraran en contacto a

las alturas correctas sobre el

marco en que se montan.

Adems fabricamos el pndulo,

las poleas y otras piezas

menores importantes para el

montaje final.

Luego de semanas de trabajo,

pudimos concretar la pieza final,

que se acerca bastante al diseo

original en el que nos basamos

para la produccin del prototipo. Para el momento de la presentacin se volvi

imperativo fabricar adems un soporte en madera que fuera desmontable para

poder transportarlo fcilmente.

Ilustracin 13 Se cortan los dientes con caladora elctrica

Ilustracin 14 Pulido de los engranes, diente por diente.

22

Ilustracin 15 El sistema casi terminado, slo le hace falta el pndulo. Se encuentra montado en su marco de presentacin.

6.1.5 Ajustes

Aunque en un principio pudiese parecer que este es un proceso sencillo, con el

que simplemente culmina todo el trabajo previo, en realidad es tambin una parte

difcil de superar, sobre todo en un mecanismo que debe tener un movimiento tan

fluido. En esta etapa es importante aplicar muchos conceptos de mecnica clsica

para poder corregir los problemas que surgen en lugar de dar soluciones a medias

que pueden llegar a empeorar el funcionamiento a largo plazo.

Para ajustar el peso, colocamos los engranes en su posicin inicial, sin el pndulo

e hicimos varias pruebas hasta lograr que el peso moviera a todos y cada uno por

el slo hecho de estar colgando, sin que ninguna persona otorgara impulsos

iniciales. Fue necesario corregir en este punto algunos dientes en el sistema que

creaban conflictos al no embonar correctamente o quedar muy separados unos de

otros.

Una vez que logramos que el reloj corriera correctamente por s solo, aadimos el

factor del pndulo. Se realiz un proceso de prueba y error hasta que el

mecanismo regulador realizaba su funcin sin parar permanentemente al reloj. En

un inicio no se prest atencin al periodo del pndulo, pues lo principal es que el

ancla de retroceso funcione antes que ajustar el tiempo del periodo.

Posteriormente hicimos pruebas con distintas masas en el pndulo hasta lograr

que no se detuviera pasado un tiempo. Finalmente, se ajust la longitud de la

23

barra hasta lograr un periodo aproximado de 2 segundos, el necesario para el

funcionamiento de nuestro reloj.

6.2 Anlisis experimental del prototipo.

En este apartado nos dedicaremos a contrastar las especificaciones que

obtuvimos durante el diseo con aquellas a las que se llegaron al final con tal de

que la mquina operara correctamente. Se puede decir que, en parte, aqu se

realiza el proceso de comparar nuestras hiptesis con la realidad.

6.2.1 Pndulo

Para medir el periodo de oscilacin del pndulo se realizaron 5 observaciones de

la siguiente manera: Se dej avanzar el pndulo desde un punto lateral fijo, al

mismo tiempo se comenz a medir el tiempo con un cronmetro Timex Cx-2200

con precisin de milisegundos. Se contaron 30 oscilaciones completas y se par el

cronmetro en ese momento. Se registraron los tiempos como se muestra en la

tabla:

Tabla I. Clculo del periodo del pndulo

Prueba Tiempo para 10 oscilaciones (s)

Periodo (s)

1 24.7 2.47

2 24.7 2.47

3 24.6 2.46

4 24.6 2.46

5 24.7 2.47

El tiempo promedio en 10 oscilaciones del pndulo fue de 24.66 segundos, por lo

que el tiempo de oscilacin del pndulo es de 2.466 segundos, lo cual indica que

existe un retraso de 0.5 segundos aproximadamente y que debe corregirse

acortando el largo del pndulo hasta obtener el periodo deseado o uno muy

cercano.

Se realiz la prueba de nuevo, ahora con una longitud L con la que pudimos

obtener el periodo de 2 segundos que queremos.

Considerando el pndulo como ideal y el cuerpo como masa puntual, calculamos

el momento de inercia:

( ) ( )

Ahora calculamos la velocidad angular,

24

=2.548

6.2.2 Dinmica rotacional de engranes

El siguiente aspecto a examinar es la dinmica rotacional que existe en cada

engrane del sistema. Esto es importante porque si existen velocidades correctas

en cada uno de los elementos que conforman el sistema, entonces podremos

asegurar que el reloj se comporte con un comportamiento peridico bien definido.

Los siguientes clculos se realizaron despreciando la aceleracin angular ( ) ya

que los engranes tienen velocidad angular constante. El momento de inercia del

centro de masas es nulo ya que como los engranes son una figura regular su

centro geomtrico y de masas se encuentra en el centro y por lo tanto no habr

momento de inercia para el centro de masas.

A lo largo del anlisis matemtico se utilizarn las siguientes variables fsicas:

-Clculos para el engrane de escape

( )(

)=

( ) ( )

( )

25

[ ( )

(

)

] (

)

-Clculos para el engrane de minutos

( )(

)=

(

) ( )

( )

[ ( )

(

)

] (

)

-Clculos para el engrane de horas

( )(

)=

(

) ( )

( )

[ ( )

(

)

] (

)

-Clculos para el engrane loco

(

)(

)(

)

( ) (

)

(

) ( )

( )

26

[ ( )

(

)

] (

)

27

6.2.3 Contrapeso El peso necesario para el contrapeso para mover el engrane que proporciona la fuerza a todo el sistema se obtuvo a travs de varios experimentos ya que tericamente era muy complejo o no contamos con los conocimientos necesarios para obtener un peso exacto con clculos. La funcin del contrapeso es hacer que gire el engrane loco y al mismo tiempo este hace girar todos los engranes a travs de los piones. El peso aproximado de las pesas es de 4 kg. 6.2.4 Energa asociada al sistema El requisito esencial para el funcionamiento del reloj es que se le provea de energa para su funcionamiento. En nuestro prototipo esto se logra convirtiendo energa potencial proporcionada por las pesas en energa cintica de rotacin en cada engrane, adems de prdidas por fuerzas no conservativas como friccin y deformacin de la madera. La energa cintica del sistema se contabilizar en intervalos. Esto es, en cada intervalo de 1 segundo, un pequeo tramo de cuerda cae por accin de la gravedad, moviendo la polea y con ella a todo el sistema. Siendo as, en ese intervalo de un segundo, se cumple que:

Donde h es la altura que cae la cuerda en un segundo, m es la masa del contrapeso, g es la aceleracin de la gravedad y la energa cintica final de

cada uno de los engranes despus de un segundo, puesto que en cada ocasin inician desde el reposo por la accin del pndulo. Para determinar la energa cintica, medimos la distancia que bajaba el sistema formado por los dos contrapesos en un ciclo del reloj. Esta result ser de aproximadamente 0.8 centmetros. Adems, utilizamos el valor del momento de inercia de cada engrane, ya antes calculado y algunas frmulas de trabajo para determinar la energa deseada. Como sigue:

La fuerza ejercida sobre la polea es el peso de ambos contenedores, y se considera constante. La distancia es la medida con anterioridad, luego:

Adems,

La segunda expresin se utiliza para calcular la velocidad angular final del engrane de minutos, que mediante la frmula de proporcin de velocidades se

28

puede extrapolar al resto de los engranes y as obtener una expresin para la energa cintica inicial con respecto a la final. Tabla 2. Energas cinticas de cada engrane un instante antes de chocar con el pndulo.

ENGRANE MOMENTO DE INERCIA

(rad/s) ENERGA CINTICA (J)

Segundos 3.587x10^-4 .0815

Minutos 5.783 x10^-4 .3139 x10^-6

Horas 7.0498 x10^-4 .1170 x10^-6

Engrane loco 1.741x10^-4 .0870 x10^-6

7. Conclusiones A comparacin del tiempo real, el tiempo medido por el reloj present una ligera variacin puesto que al momento de probar el funcionamiento de la rueda de escape con el pndulo no regulaba de manera adecuada la energa transmitida por los pesos debido a los pequeos errores fsicos que presenciaba y que se tuvieron que corregir hasta lograr una buena aproximacin a los clculos. Nos pudimos dar cuenta que para recrear un sistema cuyo funcionamiento se acoplara al tiempo establecido por las unidades convencionales, los engranes y piones deban de contar con una exacta proporcionalidad en cuanto a sus dientes, ngulos de separacin, etc. Con lo que respecta a las hiptesis realizadas de los pesos y longitud del pndulo acertaron exitosamente, ya que las relaciones establecidas fueron directamente proporcionales. La transmisin de la energa mecnica se cumpli para cada engrane del sistema y debido a la proporcionalidad entre ellos pudimos apreciar que de igual forma se conservaba en el trabajo requerido para mover los engranes manualmente.

El sistema no era perfecto, entonces los clculos por consecuencia no iban a coincidir con los puestos en prctica, as que al modelo se le tuvieron que hacer adecuaciones para lograr un sistema que pudiera despreciar al mximo las fuerzas no conservativas. Como el mecanismo fue hecho de madera, la friccin entre s fue significativa, as que para lograr un movimiento angular sin interrupciones se le colocaron piezas de metal para reducir dicha friccin, los ejes

29

fueron modificados para evitar el juego axial de los engranes y as mejorar el movimiento entre ellos para que no generara pausas inesperadas.

Como recomendacin para quienes pretendan realizar un trabajo similar, lo primero que se debe asegurar es el funcionamiento del pndulo con la rueda de escape, para esto se tiene que considerar una buena inclinacin del sistema para que el ancla de retroceso embone en los dientes sin ninguna interrupcin. Las piezas de metal son muy efectivas si son puestas entre los engranes y los separadores para as disminuir la friccin en gran cantidad. Las varillas que fungieron como ejes son ms funcionales cuando el radio de la perforacin de engrane no excede en gran cantidad al radio del eje, no importa mucho si no le da tanta libertad, lo que importa es que no le d tanto juego axial. La base tiene un papel importante de igual forma, el modelo nicamente presenta dos perforaciones aproximadamente en cada extremo de la base, lo recomendable es tener otra perforacin por donde est el engrane que contiene la polea ya que ah se concentra todo el peso, sin esa perforacin al momento de realizar pruebas con pesos esto hace que se venza un poco la base y por consecuencia los engranes se ladean provocando choques entre ellos, aunque por eso es necesario tener ejes y perforaciones justas para evitar estos problemas.

El mecanismo de reloj de escape fue una buena representacin de un sistema que funciona puramente con energa mecnica, los mecanismos utilizados hoy en da son mucho ms exactos y complejos pero para comprender los principios fundamentales de este curso de fsica clsica no hubo mejor prototipo para explicar y entender los conceptos previamente adquiridos.

Bibliografa Abbott Payson, U. (1929). A history of mechanical inventions. Nueva York: McGraw-Hill.

Baker, G. L., & Blackburn, J. A. (2005). The pendulum: a case study in physics (Vol. 8). Oxford:

Oxford University Press.

Dudley, D. W., Celis, E., Ortega, A. E., & Martnez, J. S. C. (1983). Manual de Engranajes: diseo,

Manufactura y Engranajes. CECSA.

Enciclopedia Salvat de Ciencia y Tecnologa (Vol. 3). (1984). Barcelona: Salvat Editores.

H. Lienhard, J. (25 de Agosto de 2000). The first Mechanical Clocks. Obtenido de University of

Houston: http://www.uh.edu/engines/epi1506.htm

Real Academia Espaola de la Lengua. (2001). Diccionario de la Lengua Espaola (Vigsima

Segunda ed.). Madrid: Editorial Espasa Calpe.

30

Serway, R. A., Vuille, C., & Faughn S., J. (2010). Fundamentos de Fsica (Octava ed.). Quertaro:

Cengage Learning.

Stoimenov, M., Popkonstantinovi, B., Miladinovi, L., & Petrovic, D. (15 de Enero de 2012).

Evolution of Clock Escapement. Obtenido de University of Blegrade:

http://www.mas.bg.ac.rs/istrazivanje/biblioteka/publikacije/Transactions_FME/Volume40

/1/03_MStoimenov.pdf