Meccanica
Meccanica 7
28 marzo 2011
Corpi estesi. Forze interne al sistemaCentro di massa e suo
significato dinamico1 eq. cardinale. Conservazione della quantita`
di motoSistemi continui. Densita` di materiaMassa inerziale
definita indipendentemente dal pesoMomento angolare e di forza.
Cambio di poloCoppia di forzeMomento delle forze interneSistema di
forze parallele. Centro di forza
Sistemi di punti
Finora abbiamo considerato sistemi formati da un solo punto
materiale
Ora considereremo sistemi formati da pi punti materiali
Accanto alle forze che si esercitano tra il sistema e lambiente,
dette forze esterne (rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si
esercitano tra punti appartenenti al sistema, dette pertanto forze
interne
Forze interne ed esterne
Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la forza totale agente
sul punto
Questa puo` essere pensata come somma di due termini, uno dovuto
alle forze interne al sistema e uno dovuto a quelle esterne
Sia le forze interne che esterne possono essere conservative o
dissipative
Risultante delle forze interne
Abbiamo un primo importante teorema: la risultante di tutte le
forze interne di un sistema e` nulla
Questo e` conseguenza del 3o principio della dinamica: ad una
forza agente sul punto i e dovuta al punto j, corrisponde la forza
coniugata uguale e opposta alla precedente
La risultante della coppia e` zero e quindi la somma delle
risultanti e` pure zero
Grandezze meccaniche del sistema
Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le grandezze
meccaniche QM, momento angolare, energia cinetica
Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza meccaniche del
sistema come somma delle grandezze dei punti componenti
Massa:
QM:
Momento angolare:
Energia cinetica:
Centro di massa
E` un punto ideale dello spazio la cui posizione e` definita
da
Attenzione che questa e` unuguaglianza vettoriale
Cio` significa che le coordinate del CM (p.e. in un sistema
cartesiano) sono
Media dei raggi vettori pesata sulle masse dei punti
Velocita` del CM
Calcoliamo la velocita` del CM
Ne deriva limportante teorema: la QM di un sistema e` uguale
alla QM del CM, considerato come un punto materiale di massa M e
velocita` vCM
Media delle velocita` pesata sulle masse dei punti
Media delle accelerazioni pesata sulle masse dei punti
Accelerazione del CM
Calcoliamo laccelerazione del CM
Ricordiamo la 2a legge della dinamica per il punto generico
i
e introduciamola nellequazione precedente
Moto del CM
Troviamo
Lultima uguaglianza deriva dal fatto che la risultante delle
forze interne e` nulla
Daltra parte
Prima equazione della dinamica dei sistemi
Abbiamo ottenuto limportante teorema:
Il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata
tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante
delle forze esterne
Prima equazione della dinamica dei sistemi
O prima equazione cardinale della dinamica
Proprieta` del CM
Come risulta dalle definizioni di posizione, velocita` e
accelerazione del CM, questo punto ci da` informazioni sulle
proprieta` medie del sistema ma nulla ci dice sul moto dei singoli
punti
Distribuzione continua di massa
Come sappiamo la materia suddivisibile in unit discrete, gli
atomi e le molecole
Nel volume occupato da un corpo macroscopico, c un numero
estremamente grande di tali costituenti elementari
Si pu allora ritenere con buona approssimazione che entro questi
corpi la massa sia distribuita con continuit
Questa assunzione permette di applicare i metodi del calcolo
differenziale e integrale
Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza
Densit di massa
Massa distribuita in un volume
Densit spaziale
Massa distribuita su di una superficie
Densit superficiale
Massa distribuita lungo una linea
Densit lineare
Dimensioni della densit
omogenea generale
Distribuzione continua di massa
Viceversa si pu trovare la massa:
in un volume V
su di una superficie S
lungo una linea L
Centro di massa in un corpo continuo
Riprendiamo la definizione di CM
Per un corpo con distribuzione continua di materia bastera`
sostituire le sommatorie con integrali e le masse elementari con
masse infinitesime
Centro di massa in un corpo continuo
Ove abbiamo indicato con M la massa totale del corpo
Le masse infinitesime sono contenute in volumi infinitesimi
Se la densita` e` uniforme, gli integrali si riducono a
integrali puramente geometrici
CM di sottoinsiemi e CM globale
Cerchiamo il CM di un corpo non connesso
1
2
La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa M1), la
seconda al corpo 2 (di massa M2)
CM di sottoinsiemi e CM globale
La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la seconda
quella del corpo 2
Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi
CM di due corpi puntiformi
Siano M e m le masse
Prendiamo come origine la posizione di uno dei due corpi (l1
p.e.) allora r1=0
Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e la sua
distanza da essi e` inversamente proporzionale alle loro masse
1
2
r2
CM di due corpi puntiformi
Detto
i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM si possono
scrivere
1
2
r2
CM
r1
Corpi con alta simmetria
Se un corpo e` simmetrico rispetto ad un punto, un asse o un
piano, il CM giace nel punto, sullasse o sul piano,
rispettivamente
Se esistono piu` assi o piani di simmetria, il CM si trova nella
loro intersezione
Conservazione della QM
Se il sistema e` isolato, o le forze esterne hanno risultante
nulla, e quindi , la QM si conserva
In tal caso il CM si muove di moto rettilineo uniforme
Attenzione: la QM dei singoli punti puo` cambiare nel tempo, e`
la loro somma che rimane costante
Conservazione solo in alcune direzioni
La legge
E` una legge vettoriale, per cui puo` accadere che la risultante
delle forze esterne, pur non essendo nulla, abbia una o due
componenti nulle
In tal caso la QM si conserva nelle direzioni corrispondenti
Massa inerziale
La conservazione della QM permette di definire la massa
dinamicamente, senza riferimento al peso
Consideriamo un sistema costituito da due corpi fermi e da una
molla compressa di massa trascurabile che li collega
Lasciando espandere la molla, la QM del sistema non varia,
poiche lunica forza in gioco, quella della molla, e` interna al
sistema
Massa inerziale
Quando la molla ha finito di espandersi
Passando ai moduli
Cioe` e` possibile misurare la massa di un corpo qualunque,
rispetto ad un corpo campione, attraverso misure di velocita`
Massa inerziale
Analizzando lurto tra due corpi, Newton arrivo` alla conclusione
che nellurto tra due corpi isolati, la variazione di velocita` di
uno e` in rapporto costante con la variazione dellaltro
Velocita` iniziali
Velocita` finali
Massa inerziale
Newton estese poi la conclusione ad altri tipi di interazione,
ad esempio quella elastica (dovuta ad una molla di massa
trascurabile)
Massa inerziale
In ogni interazione tra due punti materiali isolati, il rapporto
delle rispettive variazioni di velocita` ha sempre lo stesso valore
e non dipende dal tipo di interazione
k12 dipende solo dalla coppia di punti
(Poiche le variazioni di velocita` hanno segno opposto, il segno
negativo serve per rendere k12 positiva)
Massa inerziale
Se si assegna arbitrariamente una massa m1 ad uno dei due punti,
la massa m2 dellaltro puo` quindi essere definita con riferimento
al primo
Sostituendo nella relazione precedente abbiamo un modo operativo
di misura della massa inerziale
Momento angolare
Supponiamo di essere in un sistema inerziale
Il momento angolare totale di un sistema di punti {Ai} rispetto
al polo fisso O e`
Vogliamo trovare come cambia il momento angolare se lo
calcoliamo rispetto ad un altro polo Q
pi
O
ri
Ai
Notare che la QM e` sempre quella relativa al sistema
inerziale
Momento angolare
In generale non e` necessario che il polo Q sia fisso, potendo
questo muoversi di moto arbitrario
ri
pi
Q
O
rQ
ri
Ai
Lespressione del momento angolare rispetto a Q e`
La relazione tra le distanze di Ai dai due poli e`
Ove rQ(t) e` la distanza (orientata e dipendente dal tempo) tra
i poli
Momento angolare
Il calcolo del momento da`
Il momento dipende dunque dal polo scelto, a meno che la QM non
sia nulla
Momento delle forze
Il momento risultante di tutte le forze agenti sul sistema di
punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`
Similmente a quanto fatto per il momento angolare, vogliamo
trovare come cambia il momento delle forze se lo calcoliamo
rispetto al polo (che puo` essere mobile) Q
Momento delle forze
Lespressione del momento delle forze rispetto a Q e`
Il calcolo da`
Ove F e` la risultante delle forze: a meno che questa non sia
nulla, il momento dipende dal polo
Coppia di forze
Un caso particolare importante e` quello di due forze uguali e
opposte (non agenti sulla stessa retta)
In tal caso la risultante e` nulla e il momento e` indipendente
dal polo scelto
O
F1
F2
r1
r2
r12
Coppia di forze
Il momento risultante e` un vettore perpendicolare al piano
individuato dalle forze e dal vettore r12
Il modulo e`
Ove b e` il braccio della coppia, ovvero la distanza tra le
rette dazione delle due forze
F1
F2
r12
O
b
Momento delle forze
Approfondiamo largomento considerando il momento delle forze
interne e il momento delle forze esterne, per un polo generico,
fisso o in moto
Dimostriamo ora un importante risultato valido per il momento
delle forze interne
Momento delle forze interne
Gli addendi della sommatoria
si possono raggruppare in coppie coniugate secondo il 3o
principio della dinamica
Il momento relativo a una qualunque di tali coppie e`
ri
rj
fij
fji
O
e poiche le due forze sono uguali ed opposte
Altrimenti il momento non sarebbe nullo
Momento delle forze interne
La differenza dei raggi vettori ha la direzione della
congiungente i due punti e poiche anche le forze di interazione
hanno questa direzione, ne segue
Il momento totale delle forze interne risulta quindi nullo
perche e` somma di termini tutti nulli
ri
rj
fij
fji
O
ri-rj
Momento delle forze
Visto in altro modo, abbiamo limportante risultato che, per un
polo arbitrario, il momento delle forze e` uguale al solo momento
delle forze esterne
Questo deriva da due proprieta` della 3a legge della
dinamica:
Le forze di interazione sono uguali ed opposte
Le forze hanno la stessa retta dazione
Sistema di forze parallele
Sia u il versore che individua la direzione delle forze
La risultante delle forze risulta parallela a u
Il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O
Sistema di forze parallele
Introduciamo il centro delle forze parallele
Si dimostra facilmente che la posizione del centro non dipende
dal polo scelto
Per il momento di forza otteniamo dunque
Questo significa che un sistema di forze parallele e`
equivalente alla forza risultante F applicata nel centro di
forza
CM e peso
Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla forza
peso: la risultante di tutte le forze peso agenti su ciascun
elemento del corpo e`
Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e
coincide con il CM
La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto
CM e peso
Rispetto ad un polo fisso, il momento risultante e`
ovvero e` uguale al momento della risultante rispetto allo
stesso polo
Sistema di forze qualsiasi
Un sistema di forze non parallele, applicate in punti diversi,
non puo` essere rappresentato, in generale, dalla sola risultante
delle forze F
Ce` bisogno di introdurre anche il vettore risultante dei
momenti di forza
Detto in altro modo i vettori F e sono indipendenti fra loro
Sistema di forze qualsiasi
Vale il seguente risultato, che non dimostreremo
Scelto un polo, un sistema di forze (applicate in punti diversi)
e` equivalente ad una forza (uguale alla risultante delle forze) la
cui retta dazione passi per il polo e ad una coppia di momento
uguale al risultante dei momenti rispetto al polo
