Soluzioni Tema A

Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Trasporto di calore e materia – Tema A

16 Febbraio 2016

Esercizio 1 – Temperatura stimata da una termocoppia La temperatura dell’aria esterna nelle auto è misurata attraverso una termocoppia localizzata nel collettore cilindrico di aspirazione del motore (vedi figura sottostante).

La termocoppia è inserita all’interno di una guaina cilindrica in acciaio inossidabile. La guaina, lunga 2 cm, ha un diametro esterno di 3 mm ed interno di 2 mm. Il condotto di aspirazione dell’aria ha un diametro di 7.5 cm e trasporta una portata d’aria di 80000 L/min. La parete esterna del condotto ha un temperatura di 80 °C, mentre l’aria entra nel condotto a 25 °C. La resistenza termica tra la termocoppia e l’aria presente all’interno della guaina si può ritenere trascurabile. Si determini la temperatura letta dal sensore della termocoppia, ipotizzando di considerare solo la conducibilità in direzione trasversale al moto dell’aria e di trascurare gli effetti dell’irraggiamento. Suggerimento. Ove utile, si tenga conto della soluzione analitica dell’equazione differenziale sotto riportata:

2

2

( )( ) 0

d y xy x

dx 1 2exp exp 0C x C x

Dati

Proprietà dell’acciaio inossidabile

Densità 8000 kg/m3

Capacità termica 0.480 kJ/kg/K

Conducibilità 0.5 W/m/K

Diffusività termica 4E-06 m2/s

Proprietà dell’aria

Capacità termica 1.0 kJ/kg/K

Conducibilità 0.026 W/m/K

Diffusività termica 2.2E-05 m2/s

Viscosità cinematica 1.6E-05 m2/s

Prandtl 0.7

Nusselt 1

0.5 30.664 Re Pr

Soluzioni Tema A

Soluzione Per prima cosa bisogna determinare il coefficiente di scambio liminare esterno: Qair = 80000 L/min = 1.33 m3/s Re = 5.66E+06; Nu = 140; hext = 1215.5 W/m2/K A questo punto si può scrivere l’equazione differenziale per il sistema in esame:

2

2 2

int 22 2 0

airext ext ext

d Tr r h r T T

dx

Seguendo il suggerimento dato si ottiene la seguente soluzione analitica:

1 2

2 2

int

( ) exp exp 0

2.92 06

air

ext ext

ext

T x C x C x T

h rE

r r

Applicando le condizioni al contorno:

0.02

( 0) 80

0x

T x C

dT

dx

1 2

1 2

80

0 exp exp

airC C T

C x C x

Risolvendo questo sistema lineare si ottiene: C1=0.0 C2 = 55 La temperatura letta dalla termocoppia è 25 °C. Quindi riesce a leggere perfettamente la temperatura dell’aria esterna.

Soluzioni Tema A

Esercizio 2 – Valutazione coefficiente globale di scambio Si consideri una lastra a temperatura pari a 25 °C, con una superficie di 0.5 m2 investita da una corrente di aria secca a 25°C, 1 atm e con velocità di 2 m/s. Si vuole determinare il coefficiente di scambio termico. Per fare ciò si ricopre la lastra con uno strato di naftalina (C10H8) e si misura che dopo 15 minuti ne sono sublimati 12 g. Dati: DC10H8 = 6.1×10-6(m2/s) cparia = 1005 (J/kg/K) Karia=0.025 (W/m/K)

Pvap C10H8=11(Pa) correlazione numeri adimensionali: Nu = cost Re0.5×Pr1/3 Soluzione

12 10 8 128 naft

kgW

kmol

3412 10

1.04 10128 15 60

evapnaft

naft

naft

m kmolM

W tempo s

6

34.4 10

vap

naft

P kmolc

RT m

0 naft m naftM h A c

72

6

1.04 104.69 10

0.5 4.4 10

naft

m

naft

M mh

Ac s

Analogia tra trasporto di materia e di energia:

0.5 1/3 0.5 1/3Re Pr Re

Nu Sh

Sc

1/31/3Pr

pcNu Sh Sh

Sc K

D

1/3

2127

pmch K W

hK m K

DD

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Meccanica dei Fluidi con Fondamenti di Ingegneria Chimica Trasporto di calore e materia – Tema B

16 Febbraio 2016 Esercizio 1 – Scioglimento di un farmaco in acqua Si vuole studiare lo scioglimento di un farmaco granulato per soluzione orale. Per semplicità si ipotizzi il granulo come una sfera di diametro iniziale pari a 0.3 mm. Si vuole determinare la quota alla quale il farmaco risulta essere completamente disciolto. Si consideri trascurabile la concentrazione di solido della soluzione acquosa formata. Per la stima della velocità di caduta della particella si utilizzi la seguente stima del fattore d’attrito.

20.5

A

water

Ff

v S

24

Ref

Soluzione Dal bilancio di forze si ottiene la seguente espressione:

𝐹𝐴𝑇𝑇𝑅 + 𝐹𝐴𝑅𝐶𝐻 = 𝐹𝑃𝐸𝑆𝑂

𝑣 =(𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 − 𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟) ∙ 𝑔 ∙ 𝐷2

18 ∙ 𝜇𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟= 𝛽𝐷2

𝛽 =(𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 − 𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟) ∙ 𝑔

18 ∙ 𝜇𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟= 4.36 ∙ 105(𝑚 ∗ 𝑠)−1

Dal bilancio materiale:

𝑑𝑚

𝑑𝑡= −𝐾𝑐 ∙ 𝑆 ∙ 𝐶𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜

𝐾𝑐 =𝑆ℎ ∗ Ɗ

𝐷

𝑑𝑡 =𝑑𝑧

𝑣

𝑣 ∙ 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜 ∙𝑑𝐷

𝑑𝑧= −

2 ∙ 𝑆ℎ ∙ Ɗ ∙ 𝑆𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜

𝐷

Dati

Densità del solido 1800 kg/m3

Diffusività solido - acqua 7.2E-06 cm2/s

Peso molecolare solido 45 kg/kmol

Solubilità del solido 30 g/cm3 di H2O

Viscosità acqua 1E-03 Pa*s

Sherwood 1

0.8 30.02 Re Sc

Soluzioni Tema B

(𝑣 ∙ 𝐷

𝑆ℎ) ∙

𝑑𝐷

𝑑𝑧= −

2 ∙ Ɗ ∙ 𝑆𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜

𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜

(𝑣 ∙ 𝐷

𝑆ℎ) =

𝛽 ∙ 𝐷2 ∙ 𝐷

0.02 ∙ 𝑅𝑒0.8 ∙ 𝑆𝑐13

=𝛽 ∙ 𝐷3

0.02 ∙ 𝑆𝑐13

∙ (𝜇𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟

𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 ∙ 𝛽𝐷2 ∙ 𝐷)

0.8

=𝛽

0.02 ∙ 𝑆𝑐13

∙ (𝜇𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟

𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 ∙ 𝛽)

0.8

𝐷35

𝛾 =𝛽

0.02 ∙ 𝑆𝑐13

∙ (𝜇𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟

𝜌𝑤𝑎𝑡𝑒𝑟 ∙ 𝛽)

0.8

= 9.53 ∙ 10−4

𝛾 ∙ 𝐷35 ∙ 𝑑𝐷 = −𝛿 ∙ 𝑑𝑧

𝛿 =2 ∙ Ɗ ∙ 𝐶𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜

𝜌_(𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑜)= 2.40 ∙ 10−8

𝑧 = −5

8∙

𝛾 ∙ (0 − 𝐷𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡

85 )

𝛿= 5.73 𝑐𝑚

Soluzioni Tema B

Esercizio 2 – Raffreddamento di un componente elettronico Un componente elettronico, che dissipa 70 W, ha forma quadrata di 6 cm di lato. La parte inferiore del componente è termicamente isolata. La temperatura massima sostenibile prima di un eventuale danneggiamento è pari a 70 °C. L’ambiente circostante può essere assunto a una temperatura media di 20 °C. Trascurando effetti radiativi e quanto disperso dai bordi, si valuti se la sola convezione naturale è in grado di smaltire il calore prodotto. Nel caso ciò non sia possibile, si valuti il numero di alette verticali metalliche, lunghe quanto il lato del componente, alte 2 cm, con spessore di 0.5 mm e con efficienza pari al 92% da porre sul componente. Se il numero di alette richiesto fosse eccessivo (superiore allo spazio disponibile), si consideri la soluzione di utilizzare una ventola in grado di spingere l’aria a una velocità di 5 m/s. Anche in questo caso si valuti la necessità o meno delle alette e il loro eventuale numero. DatI:

cparia = 1005 (J/kg/K) Karia = 0.025 (W/m/K) aria = 1.97×10-5 Pa×s Relazioni tra numeri adimensionali: Convezione naturale: Nu = Ra0.25 Convezione forzata: Nu = 0.664 Re0. 5Pr1/3 Soluzione

T media: 320.52

comp ariaT TT K

3 113.12 10 K

T

31.18aria

aria

aria

PW kg

RT m

Pr 0.79pc

K

2 36

21.06 10

g L TGr

5Pr 8.4 10Ra Gr

0.25 17.9Nu Ra 2

7.45NuK W

hL m K

2 3 23.6 10compS L m

1.21comp compQ S h T W <<Qdiss

3 22.4 10alet alet alet aletS L h h s m

0.75alet aletQ hS T W

diss alet alet noalet alet alet comp alet alet aletQ Q n hS T Q n h T S n h s

93diss comp

alet

alet alet alet

Q h TSn alette

Q h Th s

Il numero di alette è eccessivo (non ci stanno sul componente

sommando gli spessori e lo spazio necessario tra essi). Occorre pensare alla convezione forzata:

Re 17940vL

0.5 1/30.664Re Pr 82.3Nu 2

34.3NuK W

hL m K

5.55comp compQ S h T W

3.45alet aletQ hS T W

19diss comp

alet

alet alet alet

Q h TSn alette

Q h Th s